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Mathematische Probleme lösen:
Ein paar Tipps
Einleitung
Liebe Schülerin, lieber Schüler,
schön, dass Du Dich mit den Aufgaben des Bundeswettbewerbs Mathematik beschäftigst. Wie viele
Teilnehmer der vergangenen Jahre wirst auch Du sehr wahrscheinlich feststellen, dass es sich um
anspruchsvolle Aufgaben handelt, deren Schwierigkeitsgrad deutlich über dem typischen Schulstoff liegt. In
der Regel dauert es um einiges länger, eine Aufgabe des Bundeswettbewerbs zu lösen. Dafür ist das
Erfolgserlebnis umso größer.
Die Aufgaben des Bundeswettbewerbs sind nicht nur komplex, sondern auch vielfältig. Daher wirst Du
eigene Lösungsansätze entwickeln müssen. Für die Entwicklung solcher Lösungsansätze gibt es ein paar
Standard-Techniken, von denen wir Dir einige in diesem Dokument vorstellen möchten. Ob eine der
Techniken Dir hilft, kannst nur Du entscheiden. Nicht jede Strategie passt zu einer konkreten Aufgabe oder
zum Lösenden. Aber solltest Du beim Lösungsversuch zu einer Aufgabe feststecken, kannst Du ja einmal
versuchen, ob Du mit den vorgestellten Methoden weiterkommst.
In diesem Dokument werden drei Methoden vorgestellt.
 Die Beschreibungsmethode:
Ziel ist es, möglichst viele relevante Informationen über ein Problem zu sammeln.
 Die Differenzenmethode:
Ziel ist es, die Differenzen zwischen einer schon erreichten Erkenntnis und dem Ziel zu beschreiben
und dann zu erkunden, wie diese Differenzen überbrückt werden können.
 Die Verneinungsmethode:
Ziel ist es, aus bereits untersuchten erfolglosen Lösungsansätzen neuartige zu entwickeln.
Alle drei Methoden beschreiben keine mathematischen Verfahren oder Ansätze. Stattdessen helfen Dir die
Methoden dabei, bereits bekannte oder zu erlernende mathematische Werkzeuge in der Aufgabe
anzuwenden. Sie unterstützen Dich bei der Frage: „Wie gehe ich an die Aufgabe heran?“
(Die Methoden gehen zurück auf den griechischen Mathematiker Spyros Kalomitsines und sein Buch "How
to Solve Problems: New Methods and Ideas" aus dem Jahr 2008.)
Die Methoden funktionieren besser, wenn Du das Denken im Kopf mit Schreiben auf Papier verbindest.
Aufzeichnungen mit Formeln, Texten, Skizzen und Tabellen sind eine große Hilfe beim Nachdenken:
• Sie helfen, Ideen zu sammeln, zu präzisieren, weiter zu entwickeln, zu überprüfen und zu
dokumentieren.
• Sie unterstützen die Konzentration – auch nach Ablenkungen findest Du Dich schnell wieder zurecht.
• Sie entlasten das Gedächtnis.
Wir zeigen die Methoden anhand einer konkreten Aufgabe des Bundeswettbewerbs Mathematik 2017
(Runde 1, Aufgabe 1):
Die Zahlen 1, 2, 3, ..., 2017 stehen an der Tafel. Amelie und Boris wischen abwechselnd je eine dieser
Zahlen weg, bis nur noch zwei Zahlen übrig bleiben. Amelie beginnt. Wenn die Summe der beiden
letzten Zahlen durch 8 teilbar ist, gewinnt Amelie, ansonsten Boris. Wer kann den Gewinn erzwingen?
(Die Richtigkeit der Antwort ist zu beweisen.)
Bevor wir Dir nun zeigen, welche Fortschritte Du bei der Bearbeitung der Aufgabe mit den einzelnen
Methoden erzielen könntest, möchten wir den wichtigen Hinweis noch einmal wiederholen.
Nicht jede Methode passt zu jeder Aufgabe und jedem Aufgabenlöser. Aber wenn Du einmal nicht
weiterkommst, versuche es doch einfach einmal – vielleicht helfen Dir unsere Tipps.
Wir wünschen Dir viel Freude und Erfolg!

Die Beschreibungsmethode
Du kannst die Beschreibungsmethode am Beginn Deiner Beschäftigung mit einem Problem benutzen. In
späteren Phasen der Bearbeitung kann sie Dir bei der Untersuchung von neuen Ansätzen helfen.
Hier ist das Grundrezept:
• Schreib alles auf, was Du über das Problem weißt und was Dir bei der Untersuchung helfen könnte.
• Wichtige Aspekte dabei:
◦ Führe für alle wichtigen Größen in der Aufgabenstellung mathematische Bezeichnungen ein.
◦ Was ist bekannt?
◦ Was ist gesucht?
◦ Was lässt sich ableiten?
◦ Was könnte nützlich sein?
◦ Schreib Dinge auch dann auf, wenn Du noch nicht weißt, ob sie Dir weiterhelfen.
Wie könnten Deine Aufzeichnungen zur Beispiel-Aufgabe aussehen? In dem folgenden Kasten findest Du
eine mögliche Darstellung.
An einigen Stellen haben wir in eckigen Klammern zum besseren Verständnis Kommentare ergänzt.

• Bezeichnungen
◦ Spieler: A = Anna,
B = Boris
◦ Spielzüge 1, 2, ..., 2015, 2016, 2017
[Vorsicht: Die Spielzüge 2016 und 2017 gibt es nicht!]
◦ gestrichene Zahlen in der Reihenfolge s1, s2, s3, …, s2015
• Was ist gegeben?
◦ Zahlen 1, 2, 3, …, 2016, 2017
◦ A beginnt
• Was ist gesucht?
◦ Wer kann das Spiel gewinnen? A? B?
◦ Was muss ich dazu angeben?
▪ Eine „Vorschrift“: Was soll A oder B in einer Spielsituation tun?
▪ Welche Zahl soll A oder B in einer Spielsituation streichen? (1)
• Was lässt sich ableiten?
◦ A streicht s1, s3, s5, …, s2015
B streicht s2, s4, s6, …, s2014
◦ Summe aller Zahlen zu Beginn:
S = 1 + 2 + ... + 2017 = 2017 ∙ 2018 / 2 = 2035153
▪ S ist nicht durch 8 teilbar!
[Die Summenformel 1 + 2 + ... + n = n(n + 1) / 2 ist für viele Aufgaben nützlich.]
◦ A gewinnt genau dann, wenn s2016 + s2017 durch 8 teilbar ist
◦ s2015 ist die letzte gestrichene Zahl in der Partie
◦ vor der Streichung s2015 sind nur noch 3 Zahlen auf der Tafel
◦ s2015 wird von A gestrichen – A hat hier 3 Wahlmöglichkeiten - Riesenvorteil für A!
◦ deshalb die Vermutung: A gewinnt!
◦ damit zurück zu (1) oben:
▪ Wie lautet die Spielvorschrift für A?
▪ Welche Zahl sollte A als s1 streichen?
▪ Wie sollte A auf die Spielzüge von B reagieren?
[Du kannst solche Fragen zunächst sammeln und später separat untersuchen.]
◦ Tabelle: (2)
[Hier steht B links und A rechts, damit deutlich wird,
wie A nach ihrem ersten Zug s1 auf jeden Zug von B reagieren kann.]
B A
s1 = ? - vielleicht 1? vielleicht 2017?
s2 (beliebig) s3 = ? - abhängig von s2
s4 (beliebig) s5 = ?
… …
s2012 (beliebig) s2013 = ?
s2014 (beliebig) s2015 = ?
◦ A will erreichen: s2016 + s2017 durch 8 teilbar
◦ Paare betrachten: s2 und s3,
s4 und s5,
…
s2014 und s2015
◦ Sind alle Paare jeweils durch 8 teilbar? Lässt sich das erzwingen? Wie?

Die Differenzenmethode
Die Differenzenmethode ist eine große Hilfe, wenn Du nach der Benutzung der Beschreibungsmethode in
Schwierigkeiten steckst – sie kann Dir helfen, Schwierigkeiten zu erkennen, zu beschreiben und nach
Auswegen zu suchen.
Hier ist das Grundrezept zur Differenzenmethode:
• Beschreibe zunächst das Ziel.
• Dann wähle als Ausgangspunkt etwas, was Du bereits weißt - weil es gegeben ist, oder weil Du es
bereits herausgefunden hast, z.B mit der Beschreibungsmethode.
• Beschreibe die Differenzen zwischen dem Ausgangspunkt und dem Ziel:
Was ist am Ausgangspunkt anders als am Ziel? Was fehlt?
• Dann suche nach Möglichkeiten, um diese Differenzen zu beseitigen oder kleiner zu machen.
Wie könnten Deine Aufzeichnungen zur Beispiel-Aufgabe aussehen?
[Wir verfolgen unsere Vermutung aus der Beschreibungsmethode weiter, dass A mit der richtigen Strategie
gewinnen kann.]
• Ziel:
◦ Strategie für A beschreiben, d.h.
▪ ersten Zug s1 für A angeben
▪ weitere Züge s3, s5, …, s2015 für A angeben - abhängig von Bs Zügen
• Ausgangspunkt 1:
◦ Tabelle (2) oben
[Es geht um die Tabelle im vorigen Abschnitt.]
• Differenzen:
◦ Angabe von s1 fehlt
◦ konkrete Zuordnung zwischen s2k und s2k+1 fehlt
• Wege, um die Differenzen zu verkleinern:
◦ s1 = 1 oder s1 = 2017
[Diese Kandidaten sind nicht zwingend, aber naheliegend für erste Versuche]
◦ zu s2k ein s2k+1 so wählen, dass s2k + s2k+1 durch 8 teilbar ist
▪ Paare bilden: (1, 2015), (2, 2014), (3, 2013), ...
wenn B eine Zahl streicht, streicht A die andere Zahl des Paares
alle Paare haben die Summe 2016 - das ist durch 8 teilbar!
[Vorsicht: Statt (1008, 1008) muss (1008, 2016) betrachtet werden.]
• Ausgangspunkt 2:
◦ Summe der Zahlen: S = 1 + 2 + ... + 2017 = 2017 ∙ 2018 / 2 = 2035153 wie oben
• Differenzen:
◦ von der Anfangssumme S zur Summe S-s1 zur Schluss-Summe s2016 + s2017
▪ Idee: nach jedem Zug von A soll die Summe der verbleibenden Zahlen durch 8 teilbar sein
▪ wie kann A das erreichen?
• Wege, um die Differenzen zu verkleinern:
◦ A macht den ersten Zug so, dass die verbleibende Summe durch 8 teilbar ist
das funktioniert für s1 = 1 oder s1 = 2017
◦ Wenn B eine Zahl streicht, die bei Teilung durch 8 einen Rest r lässt,
dann streicht A eine Zahl mit Rest 8 - r
▪ funktioniert das immer?

Die Verneinungsmethode
Die Verneinungsmethode ist besonders dann wertvoll, wenn Du eine Reihe von Ansätzen ausprobiert, aber
noch keine brauchbare Lösungsidee gefunden hast. Sie ist auch dann nützlich, wenn Du bereits eine Lösung
gefunden hast und jetzt nach alternativen Lösungsmöglichkeiten suchen willst.
Hier ist das Grundrezept:
• Beschreibe die bisher untersuchten Ansätze.
• Bilde Verneinungen zu diesen Ansätzen.
• Schau, auf welche Ideen Dich das führt. Du kannst die neuen Ansätze mit Hilfe der
Beschreibungsmethode weiter untersuchen.
Wie könnten für die Beispiel-Aufgabe Deine Aufzeichnungen in Stichworten aussehen?
Du kannst links die bisher versuchten Ansätze darstellen und rechts mögliche Verneinungen sammeln:
bisherige Ansätze Verneinungen der Ansätze
• Vermutung:
A hat eine Gewinn-Strategie
• A hat keine Gewinn-Strategie
• B hat eine Gewinn-Strategie
• keiner der Spieler hat eine Gewinnstrategie
[Diese Verneinungen treffen nicht zu -
trotzdem kann ihre Untersuchung zu neuen
Einsichten führen.]
• Spezialfälle betrachten
[z.B. mit Anfangszahlen 1, 2, ..., 9, oder
Teilbarkeit durch 2 statt durch 8]
• keine zusätzlichen Spezialfälle betrachten
◦ nur den Fall 1, 2, ..., 2017 und
Teilbarkeit durch 8
• keine Spezialfälle betrachten,
sondern allgemeinere Fälle
◦ Zahlen 1, 2, ..., N
◦ Teilbarkeit durch k
[Das sind spannende Verallgemeinerungen
der Aufgabenstellung.]
• eine konkrete Gewinn-Strategie für A
angeben
• keine konkrete Lösungsstrategie angeben
• abstrakt zeigen, dass A eine
Gewinnstrategie besitzen muss (ohne diese
zu beschreiben)
◦ Annahme: Es gibt keine
Gewinnstrategie für A
• Zahlen in Paaren (k, 2016-k) und (1008,
2016) anordnen
[Das ist der Kern der fertigen Lösung.
Wie könnten Alternativen aussehen?]
• Zahlen nicht in diesen Paaren anordnen
• Zahlen in anderen Paaren anordnen
• Zahlen nicht in Paaren anordnen, sondern
in Dreier- oder Vierergruppen

Abschluss
Insbesondere bei schwierigen Problemen kannst Du die drei Basis-Methoden miteinander verbinden:
• Schritt 1:
Beginne mit der Beschreibungsmethode.
• Schritt 2:
Wähle die aussichtsreichsten Einsichten aus der Beschreibungsmethode aus.
Benutze diese Einsichten als Ausgangspunkte in der Differenzenmethode und entwickle neue Ideen.
Untersuche diese Ideen mit Hilfe der Beschreibungsmethode.
• Schritt 3:
Wenn das noch nicht zum Ziel führt, benutze die Verneinungsmethode und erzeuge aus den bisher
untersuchten Ansätzen neue Lösungsideen.
Untersuche die neuen Lösungsideen mit der Beschreibungsmethode.
Wie im Abschnitt 1 beschrieben wurde, sollten in diesem Dokument keine konkreten Lösungen, sondern viel
mehr mögliche Herangehensweisen vorgestellt werden. Am Ende bist Du aber sicher neugierig, wie nah Du
mit den Methoden an eine mögliche Lösung herankommst.
Nun wünschen wir Dir viel Freude beim Herumprobieren mit den Methoden. Vielleicht helfen sie Dir weiter
und Du entwickelst neue Ideen für die Wettbewerbsaufgaben.
Viel Erfolg!
Abschließend stellen wir eine der offiziellen Musterlösungen aus dem Bundeswettbewerb Mathematik zu der
behandelten Aufgabe vor.
Antwort:
Amelie kann den Gewinn erzwingen.
Bezeichnungen:
Die Wörter "wegwischen" und "streichen" werden synonym verwendet, einen Wischvorgang bezeichnen wir
als "Zug".
Beweis:
Zwei Zahlen, deren Summe durch 8 teilbar ist, nennen wir ein Achterpaar. Wir fassen die Zahlen 1, 2, ...,
2016 folgendermaßen zu 1008 Achterpaaren zusammen: Für jedes i = 1, 2, ..., 1007 die beiden Zahlen
1008 + i und 1008 − i, sowie die beiden Zahlen 1008 und 2016. Als Summe in den Paaren ergibt sich
jeweils 2 1008 = 252 8 bzw. 3024 = 378 8, d.h jedes der Paare ist ein Achterpaar. Ferner kommt jede⋅ ⋅ ⋅
der Zahlen 1, 2, ..., 2016 in genau einem der gebildeten Achterpaare vor.
Beschreibung einer erfolgreichen Strategie:
Amelie wischt als Erstes die Zahl 2017 weg, danach wischt sie nach jedem Zug von Boris diejenige Zahl
weg, die mit der von Boris weggewischten Zahl das oben beschriebene Achterpaar bildet.
Nachweis, dass die Strategie befolgt werden kann:
Vor ihrem ersten Zug stehen noch alle Zahlen an der Tafel, insbesondere die 2017. Danach stehen nur noch
vollständige Achterpaare von Zahlen an der Tafel, diese Situation nennen wir A−Situation. In einer
A−Situation kann Boris nur eine Zahl aus einem vollständigen Achterpaar wegwischen. Die andere Zahl aus
diesem Achterpaar steht danach noch an der Tafel und Amelie kann sie wegwischen, d.h. ihre Strategie
befolgen. Danach steht Boris wieder vor einer A−Situation.
Nachweis, dass die Strategie zum Sieg führt:
Nach insgesamt 2015−maligem Wischen, d.h. nach einem Zug von Amelie, stehen noch 2017 − 2015 = 2
Zahlen an der Tafel. Diese bilden ein Achterpaar von Zahlen, damit hat Amelie gewonnen.

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