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xii Preface
well-posedness. Then we embark upon an introduction by example to numerical methods
and issues that are developed more fully later on.
Several years ago L. Petzold and I wrote a book in a similar spirit about the numerical
solution of ODEs. I still like that work, and thankfully so do others; however, there are many
students and researchers in various disciplines who simply don’t seem to have room in their
program to accommodate a course or a text devoted solely to numerical ODEs. Therefore,
I have included in the present text two chapters on this topic. Chapter 2 crams in all the
material from our book [14] that is viewed as essential for a crash course on simulating
ODEs, with an eye toward what is essential and relevant for PDEs. Chapter 6, not covered
in [14], is more specialized and considers certain problems and methods in Geometric
Integration, especially for Hamiltonian systems. These concepts and methods are relevant
also for PDEs—see especially Chapter 7—and they allow a different and interesting look
at numerical methods for differential equations. However, they are less essential in a way.
Chapter 3 develops in detail the basic concepts, issues, and discretization tools that
arise in finite difference and finite volume methods for PDEs. It relates to and expands the
material in the previous two chapters but they are not a strict prerequisite for reading it.
Stability is an essential concept when designing and analyzing methods for the nu-
merical solution of time-dependent problems. Chapter 4 deals with constant coefficient
PDEs where resulting criteria are relatively easy to check. Chapter 5 continues into vari-
able coefficient and nonlinear problems, where stability criteria and approaches are defined
and used, and where new methods for hyperbolic PDEs are introduced.
The first five chapters are the basic ones, and it is reasonable to teach in a semester
course mainly these plus some forays into later chapters, e.g., Chapter 6 if one concentrates
significantly on ODEs. On the other hand, many more delicate or involved issues in nu-
merical PDEs, and much of the more recent research, are in the last five chapters. The topic
of numerical dispersion in wave problems and of conservative vs. dissipative methods is
considered in Chapter 7, while handling solutions with discontinuities is discussed at some
length in Chapter 10. These chapters are both somewhat more topical and occasionally more
advanced, and neither is a prerequisite for the other. The handling of boundary conditions is
briefly considered in Chapter 3, but Chapter 8 discusses deeper and more specialized issues,
particularly for hyperbolic PDEs. Two related but different topics are considered in Chapter
9. The first concerns handling additional issues that arise for problems in more than one
space variable. There are many issues here, and they are necessarily covered occasionally
in less depth than would be possible in a more specialized monograph. I have used this
chapter also to introduce and discuss the interesting class of splitting methods, even though
these arise not only in multidimensional problems. Finally, Chapter 11 quickly describes
some highly interesting related topics that could require separate monographs if they were
to be fully treated.
There are several reviews of background material collected in separate sections in
Chapters 1 and 2. These are meant as refreshers to quickly help a reader who has been
exposed to their contents beforehand, not to replace a proper introduction to their subject
matters. The survey of iterative methods for linear systems of algebraic equations in Sec-
tion 9.4 is somewhere between a review and a core material. At the end of each chapter
there are also exercises, the first of which (numbered 0) consisting of more straightforward
review questions. I have tried to indicate those exercises that have been found to be more
difficult, or more time-consuming, among them.](https://image.slidesharecdn.com/2462292-250609091633-ce0d4f38/85/Numerical-Methods-For-Evolutionary-Differential-Equations-U-M-Ascher-17-320.jpg)
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4 Chapter 1. Introduction
This introductory chapter has two essential parts. In Section 1.1 we develop a sense for
the types of mathematical problems that are being considered here in a more methodical way
than used in the preceding motivating example, still before any discretization or computation
is applied to them. We consider this right away because without some basic feeling for the
problem being solved it is hard to develop adequate numerical methods and to assess the
quality of obtained computational results later on. Thus we elaborate upon the concept
of well-posedness in example-driven fashion. Then in Section 1.2 we give a first taste of
what most of the text is concerned with, by defining and following the performance of three
simple discretizations for the simple advection equation. Various important properties are
manifested in these simple examples. By the end of this section we will be able to give a
rough guide to what follows in further chapters. There is also a section containing various
reviews of relevant background topics, and of course some inevitable exercises.
1.1 Well-posed initial value problems
We want to investigate numerical methods that yield sensible results. For instance, if the
physical problem being simulated has a bounded solution, then we want the numerical one
to be bounded as well. For this we must make some assumptions on the PDE problem being
discretized, essentially ensuring that it behaves sensibly before discretization. Thus, if a
computer simulation of such a problem yields poor results, then we’ll know that the fault
is with the numerical method and seek to improve it. The book by Kreiss and Lorenz [111]
covers well-posedness in depth. (See also Kreiss [110].)
0 x
t
Figure 1.2. Domain of definition for a Cauchy problem.
Consider a linear PDE
ut = P (∂x, t, x) u, −∞ x ∞, t 0 (1.5a)
(see Figure 1.2). Here u = u(t, x) is a scalar or vector unknown function in the time
variable t and a space variable x, and P is an operator which is polynomial in ∂x: P =](https://image.slidesharecdn.com/2462292-250609091633-ce0d4f38/85/Numerical-Methods-For-Evolutionary-Differential-Equations-U-M-Ascher-23-320.jpg)
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10 Chapter 1. Introduction
The symbol is
P(ıξ) = ıξ
⎛
⎝
0 ı
ı 0
⎞
⎠ = −ξ
⎛
⎝
0 1
1 0
⎞
⎠ .
The eigenvalues of the latter matrix are ±1; hence there is unbounded growth like
e|ξt|
in eP (ıξ)t
.
The Cauchy problem for elliptic PDEs is ill-posed!
1.1.2 More general cases
1. The general second order scalar PDE with constant coefficients
auxx + buxt + cutt + dux + eut + f u = 0
obviously has the simple heat, wave, and Laplace equations as special cases. Assum-
ing for definiteness that a = 0, c2
+ e2
0, it can be shown (see, e.g., [127] or the
classic [47]) that
• if b2
− 4ac 0, then the PDE is hyperbolic;
• if b2
− 4ac = 0, then the PDE is parabolic;
• if b2
− 4ac 0, then the PDE is elliptic.
This is the classical PDE classification. In case of variable coefficients the type
determination is done locally in time and space. It can happen (and does so in gas
dynamics) that a PDE would be hyperbolic in one part of the domain and elliptic in
another.
2. For the second order parabolic system
ut = Auxx,
where A is a symmetric positive definite matrix, we get
P(ıξ) = −ξ2
A.
Since A is symmetric positive definite, its eigenvalues are real and positive, and
moreover, we can use (1.24) with cond(T ) = 1; see Section 1.3.5. Hence
eP (ıξ)t
= e−ξ2
At
≤ 1 ∀ξ.
We have obtained a direct extension of the simple heat equation. The essential prop-
erties turn out also to hold if A is allowed to depend on x and t, as will be discussed
later.](https://image.slidesharecdn.com/2462292-250609091633-ce0d4f38/85/Numerical-Methods-For-Evolutionary-Differential-Equations-U-M-Ascher-29-320.jpg)
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1.1. Well-Posed Initial Value Problems 11
3. Next, consider the first order system
ut + Aux = 0.
This system is hyperbolic if the matrix A is a diagonalizable matrix with real eigenval-
ues. Say = T −1
AT is a diagonal matrix, where T is the corresponding eigenvector
matrix. By the Fourier transform we have the symbol
P(ıξ) = −ıξA.
Hence, in (1.24) we get purely imaginary, scalar exponents whose modulus is 1. This
yields
eP (ıξ)t
≤ T T −1
.
The point is that K = T T −1
is a constant, independent of the wave number. We
obtain a well-posed problem, but, as for the simple advection equation, there is no
decay, even in high wave numbers. This translates into potential numerical trouble
in more complex problems of this type.
1.1.3 Initial-boundary value problems
The preceding analysis is applied to the pure initial value problem. A key point is the
diagonalization of the PDE system by the Fourier transform, which leads to a simple ODE
for each wave number. However, on a finite interval in space a similar approach yields
some additional terms relating to the boundary, and the elegance (at least) may be lost.
Indeed, everything can potentially become much more complicated. An exception are
periodic boundary conditions, and this is pursued further in Section 1.3.6, Example 1.1, and
Exercise 2.
We will treat some issues regarding BCs in Section 3.1.3. Afuller treatment is delayed
until later, in Chapter 8, although of course we will encounter BCs again much before that.
Here, let us consider for a moment the heat equation in two space variables,
ut = uxx + uyy.
For the pure initial value problem we apply a Fourier transform in both space variables
x and y. A large initial value ODE system in time is obtained and well-posedness for all
nonnegative time t ≥ 0 is derived in exactly the same way as for the heat equation in one
space variable. Specifically, if ξ and η are the wave numbers corresponding to x and y,
respectively, then
P(ıξ, ıη) = −(ξ2
+ η2
)
and
|eP(ıξ,ıη)t
| = |e−(ξ2
+η2
)t
| ≤ 1 ∀ξ, η.
Now, if the domain of definition in space is a connected, bounded set ⊂ R2
, then,
as it turns out, boundary conditions are needed along the entire boundary of , denoted ∂ .
Suppose that u is given on ∂ —these are Dirichlet boundary conditions. The obtained
initial-boundary value problem is well-posed [111].](https://image.slidesharecdn.com/2462292-250609091633-ce0d4f38/85/Numerical-Methods-For-Evolutionary-Differential-Equations-U-M-Ascher-30-320.jpg)
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1.2. A Taste of Finite Differences 15
Below and throughout the text we occasionally refer to the mesh function v as if it is
defined everywhere in the PDE problem’s domain. Thus, we write v(tn, xj ) = vn
j and refer
more generally to v(t, x). Although the mesh function is not defined, strictly speaking, at
locations other than mesh points, we imagine that its domain of definition is extended by
some appropriate local interpolation scheme. We do avoid taking derivatives of v on the
continuum; thus the details of the extension of the mesh function are unimportant and may
be left unspecified in what follows.
Example 1.1 The three schemes (1.15) all look reasonable and simple, and they approx-
imate the differential equation well when k and h are small. So what can possibly go
wrong?!
Consider the advection problem
ut + ux = 0,
u(0, x) = u0(x) =
1, x ≤ 0,
0, x 0.
Here a = 1. Recall that the exact solution is
u(t, x) = u0(x − t).
So, at t = 1
u(1, x) =
1, x ≤ 1,
0, x 1.
Now, consider applying the scheme (1.15a) for h and k as small as you wish (but in
any case h 1). If x0 = 0, then v0
j = 0 ∀ j 0, which implies that v1
j = 0 ∀ j 0. This
yields in a similar manner v2
j = 0 ∀ j 0, and so on. Thus, for N such that Nk = 1 we
likewise obtain
vN
j = 0 ∀ j 0,
which has the error
|vN
j − u(1, xj )| = 1 for 0 xj ≤ 1.
Figure 1.7 depicts the situation. This is an unacceptable error, both quantitatively and
qualitatively.
The reason for the failure in Example 1.1 is that a fundamental restriction has been
violated. The origin of this goes back to the ancient paper5
by Courant, Friedrichs, and
Lewy [52]. The condition is thus referred to as the CFL condition. It says that the
domain of dependence of the PDE must be contained in that of the difference scheme,
as in Figure 1.8. Indeed, the value of vn+1
j according to (1.15a) depends on vn
j and vn
j+1,
5By “ancient” we mean, needless to say, preceding the modern computing era.](https://image.slidesharecdn.com/2462292-250609091633-ce0d4f38/85/Numerical-Methods-For-Evolutionary-Differential-Equations-U-M-Ascher-34-320.jpg)
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1.2. A Taste of Finite Differences 17
0 x
t
.2 .4 .6 .8 1
.25
.5
.75
1
Figure 1.9. Violation of the CFL condition when |a|μ 1. The exact solution for
the PDE ut − ux = 0 at (t, x) = (1, .2) is equal to the value at the foot of the characteristic
curve leading to it (in dashed blue), u(1, .2) = u(0, 1.2) = u0(1.2). The approximate
solution at the same location is traced back after N time steps, Nk = 1, to initial values in
the range [.2, .2 + Nh]. If μ 1, then .2 + Nh .2 + Nk = 1.2. Here k = .25, h = .2,
hence μ = 1.2, N = 4 and .2 + Nh = 1. Assuming no change in the initial values u0(x)
over [.2, 1], the same numerical solution is obtained at t = 1, x = .2 regardless of the exact
value u0(1.2).
Figure 1.7. Even if the characteristics travel leftward, though, i.e., a 0, we must maintain
(−a)μ ≤ 1: Figure 1.9 shows what happens if the latter condition is violated. Exercise 5
explores this further.
1.2.1 Stability ideas
Now, just as with well-posedness we want to make sure that for any h small enough vn
does not increase too fast in n as k → 0, nk ≤ tf , for a fixed maximum time tf . In fact,
we don’t want vn
to increase at all, if possible, in cases such as the advection equation
where the exact solution does not increase at all (α = 0 in (1.11)). This is the essence of
stability of the difference scheme.
Note: The stability requirement of a difference method corresponds to
the well-posedness requirement of a differential problem.
Since the advection equation has constant coefficients, we have the same computa-
tional formula at all mesh points. This allows us to apply the Fourier analysis also in the](https://image.slidesharecdn.com/2462292-250609091633-ce0d4f38/85/Numerical-Methods-For-Evolutionary-Differential-Equations-U-M-Ascher-36-320.jpg)
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1.2. A Taste of Finite Differences 19
1 + μa
1
Figure 1.10. Stability of the difference scheme (1.15a) for a 0.
For the two-step, leapfrog scheme (1.15c) we obtain
v̂(t + k, ξ) = v̂(t − k, ξ) − μa(eıζ
− e−ıζ
)v̂(t, ξ) or
v̂n+1
= v̂n−1
− 2 (ıμa sin ζ) v̂n
.
We get a second order difference equation which we can solve by an ansatz: try v̂n
= κn
.
Substituting and dividing through by κn−1
, this is seen to work if κ satisfies the quadratic
equation
κ2
= 1 − 2 (ıμa sin ζ) κ.
Solving this equation we obtain the condition that |κ| ≤ 1 (i.e., the stability condition (1.16)
holds) provided again that the CFL condition holds. Indeed, here the condition is really
μ|a| ≤ 1,
i.e., the scheme is stable under the same condition regardless of the sign of a, unlike the
one-sided scheme (1.15a).
The number μ|a| is often referred to in the literature as the Courant number or the
CFL number.
Example 1.2 Let us carry out calculations using the three schemes (1.15) for the initial-
value PDE
ut − ux = 0,
u0(x) = sin ηx,
where η is a parameter. Periodic boundary conditions (BC) on the interval [−π, π] are
employed; thus, u(t, −π + x) = u(t, π + x) for all relevant x and t, and in particular
u(t, −π) = u(t, π).](https://image.slidesharecdn.com/2462292-250609091633-ce0d4f38/85/Numerical-Methods-For-Evolutionary-Differential-Equations-U-M-Ascher-38-320.jpg)
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20 Chapter 1. Introduction
The exact solution is then
u(t, x) = sin η(t + x).
With spatial and temporal step sizes h and k, respectively, let J = 2π
h
− 1 and seek
solution values vn
j for j = 0, 1, . . . , J. The periodic BC give
vn
J+1 = vn
0 ∀n.
Moreover, it is useful to imagine the spatial mesh points sitting on a ring, rather than on
a straight line, with xJ+1 identified with x0. Thus, for j = J, vj+1 = v0, and for j = 0,
vj−1 = vJ , at any n; see Figure 1.11.
x0 x1 xJ−1 xJ xJ+1
x0 = xJ+1
x1
xJ
xJ−1
Figure 1.11. For periodic boundary conditions, imagine the red mesh points sitting
on a blue circle with x0 = xJ+1 closing the ring. Thus, xJ is the left (clockwise) neighbor
of x0, x1 is the right (counterclockwise) neighbor of xJ+1, and so on.
A simple MATLAB®
script for the leap-frog scheme follows:
% parameters
eta = 1;
h = .001*pi;
k = 0.5*h; mu = k / h;
% spatial mesh
xx = [-pi:h:pi];
Jp2 = length(xx);
Jp1 = Jp2 - 1; J = Jp1 - 1;
% final time tf = 1
nsteps = floor(1/k);
tf = k * nsteps;
% initial condition
un = sin (eta * xx);
% exact solution at t=tf
ue = sin (eta * (xx + tf));](https://image.slidesharecdn.com/2462292-250609091633-ce0d4f38/85/Numerical-Methods-For-Evolutionary-Differential-Equations-U-M-Ascher-39-320.jpg)
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24 Chapter 1. Introduction
1.3 Reviews
In this section and in Section 2.12 we have collected short reviews on various mathematical
and numerical topics that are used throughout the text but are not developed here. Thus,
these topics are considered as background material. Of course the background of different
readers may vary widely. For some, a quick review may serve as a reminder or refresher.
Readers may find a review helpful to connect with other, related strands of knowledge. But
there are certain to be readers who may find our short reviews insufficient. If you find that
you still are clueless after reading one of these reviews, then please consult an appropriate
introductory text.
1.3.1 Taylor’s theorem
Let w(·) be a smooth function. Taylor’s theorem expresses the value of w at locations
x̂ = x + h near a given argument value x in terms of w and its derivatives at x
w(x̂) = w + h
dw
dx
+
h2
2
d2
w
dx2
+ · · · +
hl
l!
dl
w
dxl
+ · · · .
Thus, for instance, the first derivative of a function u(t, x) with respect to x can be written
as
ux(t, x) = h−1
(u(t, x + h) − u(t, x)) −
h
2
uxx(t, x) + O(h2
).
Here O(hp
) is the customary notation for terms that tend to 0 at least as fast as hp
when
h → 0. Defining the forward difference for ux as
D+u = u(t, x + h) − u(t, x), @ (t, x),
Taylor’s theorem yields an expression for the error
ux −
1
h
D+u = −
h
2
uxx + O(h2
), @ (t, x).
Also, defining the centered difference for ux as
D0u = u(t, x + h) − u(t, x − h), @ (t, x),
then, by writing the Taylor expansions
u(x ± h) = u ± hux +
h2
2
uxx ±
h3
6
uxxx +
h4
4!
uxxxx + · · · ,
we have
ux −
1
2h
D0u = −
h2
6
uxxx + O(h4
), @ (t, x).
Similarly, a centered difference for the second derivative uxx is given by
D+D−u = [u(t, x + h) − u(t, x)] − [u(t, x) − u(t, x − h)]
= u(t, x + h) − 2u(t, x) + u(t, x − h), @ (t, x).](https://image.slidesharecdn.com/2462292-250609091633-ce0d4f38/85/Numerical-Methods-For-Evolutionary-Differential-Equations-U-M-Ascher-43-320.jpg)
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1.3. Reviews 25
By adding the Taylor expansions for u(x ± h) and subtracting 2u(x) we have
uxx −
1
h2
D+D−u = −
h2
12
uxxxx + O(h4
), @ (t, x).
Recall from advanced calculus that Taylor’s theorem for a function of several vari-
ables gives
w(t + k, x + h) = w + hwx + kwt +
1
2!
[h2
wxx + 2hk wxt + k2
wtt ]
+ · · · +
1
l!
l
w + · · · ,
where the functions on the right-hand side are evaluated at (t, x) and
l
w =
l
j=0
l
j
∂l
w
∂xj ∂tl−j
(x, t)
hj
kl−j
.
1.3.2 Matrix norms and eigenvalues
Let us first recall some matrix definitions. Many people are used to real-valued matrices, but
in this book we occasionally encounter more general, complex-valued ones. The concepts
extend smoothly from real to complex, and so does the associated vocabulary.
Consider a complex-valued m × m matrix A and denote by AT
the transpose and by
A∗
the conjugated transpose of A. Thus, A∗
= AT
if A is real, i.e., if all its elements are
real.
The following definitions are collected in Table 1.2. The matrix A is Hermitian
if A∗
= A and unitary if A∗
= A−1
. Thus, for real matrices, A is Hermitian iff it is
symmetric (i.e., AT
= A), and A is unitary iff it is orthogonal (i.e., AT
A = I). Further,
A is skew-Hermitian if A∗
= −A and skew-symmetric if AT
= −A. The matrix A is
normal if AA∗
= A∗
A. Hermitian, skew-Hermitian, and unitary matrices are all examples
of normal matrices.
Table 1.2. Some matrix definitions, for A complex- and real-valued.
Real-valued A Complex-valued A
Symmetric if AT
= A Hermitian if A∗
= A
Skew-symmetric if AT
= −A Skew-Hermitian if A∗
= −A
Orthogonal if AT
A = I Unitary if A∗
A = I
Normal if AT
A = AAT
Normal if A∗
A = AA∗
Given an l ×m complex matrix A and a vector norm ·, the corresponding induced
matrix norm is defined by
A = max
x=0
Ax
x
.](https://image.slidesharecdn.com/2462292-250609091633-ce0d4f38/85/Numerical-Methods-For-Evolutionary-Differential-Equations-U-M-Ascher-44-320.jpg)
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28 Chapter 1. Introduction
For a positive definite matrix this simplifies into
cond(A) =
maxi λi
mini λi
.
For a more general, possibly rectangular matrix A with a full column rank we have
cond(A) =
maxi σi
mini σi
,
where σi are the singular values of A. These are the square roots of the eigenvalues of
AT
A.
A good reference for numerical linear algebra is Golub and van Loan [68]. There are
many others, including the reader-friendly Trefethen and Bau [170] and Demmel [57]. See
Saad [149] for iterative methods.
1.3.3 Function spaces
On the real line R, define the L2 norm
w =
∞
−∞
|w(x)|2
dx
1/2
.
The space L2(R) consists of all square integrable functions, i.e., all functions whose L2
norm defined above is finite.
A similar definition applies more generally on a domain ⊂ Rd
which may be
bounded or unbounded: the space L2( ) consists of all square integrable functions over ,
with the norm
w =
|w(x)|2
dx
1/2
.
It is customary to omit the dependence on when there is no room for confusion (at least
in the author’s mind).
Other norms that we will encounter are the sup (max), or the L∞ norm
w∞ = sup
x∈
|w(x)|,
and the L1 norm
w1 =
|w(x)|dx.
Note that the corresponding spaces satisfy L∞ ⊂ L2 ⊂ L1.
Estimates that depend on function derivatives are also very common in PDE analysis.
These lead to Sobolev spaces. Based, say, on the L2 norm, a Sobolev space Hs is the space
of functions for which all the derivatives of order j, for all 0 ≤ j ≤ s, are square integrable,
and the corresponding Sobolev norm with which this space is equipped is just the sum of
the norms of these derivatives. Thus, in particular, H0 = L2 (where we identify the zeroth
derivative with the function itself) and Hs+1 ⊂ Hs.](https://image.slidesharecdn.com/2462292-250609091633-ce0d4f38/85/Numerical-Methods-For-Evolutionary-Differential-Equations-U-M-Ascher-47-320.jpg)
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1.3. Reviews 31
Thus, in any consistent matrix norm
An
≤ n
cond(T ) = [ρ(A)]n
cond(T ), (1.23)
where cond(T ) = T T −1
is the condition number of the transformation.
The matrix exponential is defined via a power series expansion by
eAt
=
∞
n=0
tn
An
n!
= I + tA +
t2
A2
2
+
t3
A3
6
+ · · · .
If A = T T −1
, where is a diagonal matrix, then it is easy to see that eAt
= T e t
T −1
,
where e t
= diag{eλ1t
, . . . , eλmt
}. Thus,
eAt
≤ emaxi Reλi t
cond(T ). (1.24)
The calculation of eAt
for a general square matrix A, and even more so of eAt
v for a
given vector v in case that A is very large, can be surprisingly exciting [135].
1.3.6 Fourier transform for periodic functions
Consider the function space L2[0, 2π]. Define the inner product
(v, w) =
1
2π
2π
0
v(x)w∗
(x)dx, (1.25)
which also holds for complex-valued vector functions. Then w = (w, w)1/2
. Let
φj (x) = eıjx
, j = 0, ±1, ±2, . . . , (1.26a)
be the trigonometric basis functions. Then
(φj , φl) = δjl =
⎧
⎨
⎩
0, j = l,
1, j = l,
and any function v ∈ L2[0, 2π] can be written as
v(x) =
∞
j=−∞
v̂j φj (x), where (1.26b)
v̂j = (v, φj ). (1.26c)
Thus, the trigonometric functions form a complete, orthonormal basis for L2[0, 2π]. Par-
seval’s equality (1.19) now reads (due to the basis orthonormality)
v =
∞
j=−∞
|v̂j |2.](https://image.slidesharecdn.com/2462292-250609091633-ce0d4f38/85/Numerical-Methods-For-Evolutionary-Differential-Equations-U-M-Ascher-50-320.jpg)
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32 Chapter 1. Introduction
Now, for a periodic function v (i.e., v(2π) = v(0)) we have the same diagonalization
effect on derivatives as in the infinite case (Section 1.3.4), because
(vx, φj ) =
1
2π
2π
0
vx(x)e−ıjx
dx =
ıj
2π
2π
0
v(x)e−ıjx
dx = ıjv̂j .
Above, the crucial step follows from integration by parts using the periodicity of v to avoid
unwanted boundary terms.
1.4 Exercises
0. Review questions
(a) What is a Cauchy problem?
(b) Let û(t, ξ) be the Fourier transform of u(t, x), where t acts as a parameter. What
is the Fourier transform of ux(t, x)?
(c) Is the heat equation operator a smoother? Is the advection operator a smoother?
(d) For the PDE ut = ux, what is a characteristic curve? Does x grow or decrease
as t grows along this curve?
(e) Write down the wave equation and the Laplace equation. For which is the pure
IVP well-posed? For which is the boundary value problem well-posed?
(f) Define a mesh function.
(g) What is the leapfrog scheme for the advection equation?
(h) State the CFL condition. Is it equivalent to stability?
(i) What is an amplification factor? What happens if it equals 1.2 for all ζ?
1. For the Cauchy problem with constant coefficients (1.8) show that if ım
pm has an
eigenvalue with a positive real part, then the problem cannot be well-posed.
2. For the initial-boundary value, constant-coefficient problem
ut = P(∂x)u, 0 x 2π, t ≥ 0,
u(0, x) = u0(x), u(t, 2π) = u(t, 0),
derive a well-posedness condition analogous to (1.11).
3. The celebrated Black–Scholes model [26] for the pricing of stock options is central
in mathematical finance; see, e.g., [183]. The PDE is given by
ut +
1
2
σ2
x2
uxx + rxux − ru = 0, 0 x ∞, t ≤ T. (1.27)
For the sake of completeness let us add that u is the sought value of the option under
consideration, t is time, x is the current value of the underlying asset, r is the interest
rate, σ the volatility of the underlying asset, T the expiry date, and E the exercise](https://image.slidesharecdn.com/2462292-250609091633-ce0d4f38/85/Numerical-Methods-For-Evolutionary-Differential-Equations-U-M-Ascher-51-320.jpg)
Numerical Methods For Evolutionary Differential Equations U M Ascher
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- 7. Computational Science and Engineering (CS&E) is widely accepted, along with theory and experiment, as a crucial third mode of scientific investigation and engineering design. This series publishes research monographs, advanced undergraduate- and graduate-level textbooks, and other volumes of interest to a wide segment of the community of computational scientists and engineers. The series also includes volumes addressed to users of CS&E methods by targeting specific groups of professionals whose work relies extensively on computational science and engineering. Editor-in-Chief Omar Ghattas University of Texas at Austin Editorial Board C O M P U TAT I O N A L S C I E N C E & E N G I N E E R I N G David Keyes, Associate Editor Columbia University Ted Belytschko Northwestern University Clint Dawson University of Texas at Austin Lori Freitag Diachin Lawrence Livermore National Laboratory Charbel Farhat Stanford University James Glimm Stony Brook University Teresa Head-Gordon University of California–Berkeley and Lawrence Berkeley National Laboratory Rolf Jeltsch ETH Zurich Chris Johnson University of Utah Laxmikant Kale University of Illinois Efthimios Kaxiras Harvard University Jelena Kovacevic Carnegie Mellon University Habib Najm Sandia National Laboratory Alex Pothen Old Dominion University Series Volumes Ascher, Uri M., Numerical Methods for Evolutionary Differential Equations Zohdi,T. I., An Introduction to Modeling and Simulation of Particulate Flows Biegler, Lorenz T., Omar Ghattas, Matthias Heinkenschloss, David Keyes, and Bart van Bloemen Waanders, Editors, Real-Time PDE-Constrained Optimization Chen, Zhangxin, Guanren Huan, and Yuanle Ma, Computational Methods for Multiphase Flows in Porous Media Shapira,Yair, Solving PDEs in C++: Numerical Methods in a Unified Object-Oriented Approach
- 8. Numerical Methods for Evolutionary Differential Equations Uri M. Ascher University of British Columbia Vancouver, British Columbia, Canada Society for Industrial and Applied Mathematics Philadelphia
- 9. Copyright © 2008 by the Society for Industrial and Applied Mathematics. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 All rights reserved. Printed in the United States of America. No part of this book may be reproduced, stored, or transmitted in any manner without the written permission of the publisher. For information, write to the Society for Industrial and Applied Mathematics, 3600 Market Street, 6th Floor, Philadelphia, PA 19104-2688 USA. Trademarked names may be used in this book without the inclusion of a trademark symbol.These names are used in an editorial context only; no infringement of trademark is intended. MATLAB is a registered trademark of The MathWorks, Inc. For MATLAB product information, please contact The MathWorks, Inc., 3 Apple Hill Drive, Natick, MA 01760-2098 USA, 508-647-7000, Fax: 508-647-7101, info@mathworks.com, www.mathworks.com. Figure 2.12 is reprinted with permission from E. Boxerman and U. Ascher, Decomposing cloth, Eurographics/ACM SIGGRAPH Symposium on Computer Animation (2004), 153-161. Figures 9.4 and 9.5 are reprinted with permission from E. Haber, U. Ascher, and D. Oldenburg, Inversion of 3D electromagnetic data in frequency and time domain using an inexact all-at-once approach, J. Geophysics, 69 (2004), 1216-1228. Figure 9.11 is reprinted with kind permission from Springer Science and Business Media from U. Ascher and E. Boxerman, On the modified conjugate gradient method in cloth simulation, The Visual Computer, 19 (2003), 526-531. Figure 11.2 is reprinted with kind permission from Springer Science and Business Media from U. Ascher, H. Huang, and K. van den Doel, Artificial time integration, BIT, 47 (2007), 3-25. The cover was produced from images created by and used with permission of the Scientific Computing and Imaging (SCI) Institute, University of Utah; J. Bielak, D. O’Hallaron, L. Ramirez-Guzman, and T.Tu, Carnegie Mellon University; O. Ghattas, University of Texas at Austin; K. Ma and H.Yu, University of California, Davis; and Mark R. Petersen, Los Alamos National Laboratory. More information about the images is available at http://www.siam.org/books/series/csecover.php Library of Congress Cataloging-in-Publication Data Ascher, U. M. (Uri M.), 1946- Numerical methods for evolutionary differential equations / Uri M.Ascher. p. cm. -- (Computational science and engineering ; 5) Includes bibliographical references and index. ISBN 978-0-898716-52-8 1. Evolution equations--Numerical solutions. I.Title. QA377.A827 2008 003'.5--dc22 2008006667 is a registered trademark.
- 10. To Nurit and Noam
- 12. root 2008/5/5 page vii i i i i i i i i Contents Preface xi 1 Introduction 1 1.1 Well-Posed Initial Value Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Simple model cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.2 More general cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.3 Initial-boundary value problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.4 The solution operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2 A Taste of Finite Differences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1 Stability ideas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3 Reviews . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.1 Taylor’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.2 Matrix norms and eigenvalues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3.3 Function spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.3.4 The continuous Fourier transform . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.3.5 The matrix power and exponential . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 1.3.6 Fourier transform for periodic functions . . . . . . . . . . . . . . 31 1.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2 Methods and Concepts for ODEs 37 2.1 Linear Multistep Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2 Runge–Kutta Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.3 Convergence and 0-stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.4 Error Control and Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.5 Stability of ODE Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2.6 Stiffness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 2.7 Solving Equations for Implicit Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.8 Differential-Algebraic Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.9 Symmetric and One-Sided Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.10 Highly Oscillatory Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.11 Boundary Value ODEs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.12 Reviews . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.12.1 Gaussian elimination and matrix decompositions . . . . . . . . . 73 2.12.2 Polynomial interpolation and divided differences . . . . . . . . . 74 vii
- 13. root 2008/5/5 page viii i i i i i i i i viii Contents 2.12.3 Orthogonal and trigonometric polynomials . . . . . . . . . . . . 77 2.12.4 Basic quadrature rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.12.5 Fixed point iteration and Newton’s method . . . . . . . . . . . . 80 2.12.6 Discrete and fast Fourier transforms . . . . . . . . . . . . . . . . 82 2.13 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 3 Finite Difference and Finite Volume Methods 91 3.1 Semi-Discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.1.1 Accuracy and derivation of spatial discretizations . . . . . . . . . 94 3.1.2 Staggered meshes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.1.3 Boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.1.4 The finite element method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 3.1.5 Nonuniform meshes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.1.6 Stability and convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 3.2 Full Discretization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 3.2.1 Order, stability, and convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 3.2.2 General linear stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 3.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 4 Stability for Constant Coefficient Problems 135 4.1 Fourier Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4.1.1 Stability for scalar equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 4.1.2 Stability for systems of equations . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 4.1.3 Semi-discretization stability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 4.1.4 Fourier analysis and ODE absolute stability regions . . . . . . . . 143 4.2 Eigenvalue Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 4.3 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 5 Variable Coefficient and Nonlinear Problems 151 5.1 Freezing Coefficients and Dissipativity . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 5.2 Schemes for Hyperbolic Systems in One Dimension . . . . . . . . . . . 154 5.2.1 Lax–Wendroff and variants for conservation laws . . . . . . . . . 156 5.2.2 Leapfrog and Lax–Friedrichs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 5.2.3 Upwind scheme and the modified PDE . . . . . . . . . . . . . . 162 5.2.4 Box and Crank–Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 5.3 Nonlinear Stability and Energy Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 5.3.1 Energy method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 5.3.2 Runge–Kutta for skew-symmetric semi-discretizations . . . . . . 173 5.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 6 Hamiltonian Systems and Long Time Integration 181 6.1 Hamiltonian Systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 6.2 Symplectic and Other Relevant Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 6.2.1 Symplectic Runge–Kutta methods . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 6.2.2 Splitting and composition methods . . . . . . . . . . . . . . . . 189 6.2.3 Variational methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
- 14. root 2008/5/5 page ix i i i i i i i i Contents ix 6.3 Properties of Symplectic Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 6.4 Pitfalls in Highly Oscillatory Hamiltonian Systems . . . . . . . . . . . . 198 6.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 7 Dispersion and Dissipation 211 7.1 Dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 7.2 The Wave Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 7.3 The KdV Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 7.3.1 Schemes based on a classical semi-discretization . . . . . . . . . 232 7.3.2 Box schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 7.4 Spectral Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 7.5 Lagrangian methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 7.6 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 8 More on Handling Boundary Conditions 253 8.1 Parabolic Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 8.2 Hyperbolic Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 8.2.1 Boundary conditions for hyperbolic problems . . . . . . . . . . . 257 8.2.2 Boundary conditions for discretized hyperbolic problems . . . . . 261 8.2.3 Order reduction for Runge–Kutta methods . . . . . . . . . . . . 268 8.3 Infinite or Large Domains . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 8.4 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 9 Several Space Variables and Splitting Methods 275 9.1 Extending the Methods We Already Know . . . . . . . . . . . . . . . . 276 9.2 Solving for Implicit Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279 9.2.1 Implicit methods for parabolic equations . . . . . . . . . . . . . 282 9.2.2 Alternating direction implicit methods . . . . . . . . . . . . . . . 290 9.2.3 Nonlinear problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 9.3 Splitting Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 9.3.1 More general splitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 9.3.2 Additive methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 9.3.3 Exponential time differencing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 9.4 Review: Iterative Methods for Linear Systems . . . . . . . . . . . . . . 312 9.4.1 Simplest iterative methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 9.4.2 Conjugate gradient and related methods . . . . . . . . . . . . . . 314 9.4.3 Multigrid methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 9.5 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320 10 Discontinuities and Almost Discontinuities 327 10.1 Scalar Conservation Laws in One Dimension . . . . . . . . . . . . . . . 329 10.1.1 Exact solution of the Riemann problem . . . . . . . . . . . . . . 333 10.2 First Order Schemes for Scalar Conservation Laws . . . . . . . . . . . . 334 10.2.1 Godunov’s scheme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338 10.3 Higher Order Schemes for Scalar Conservation Laws . . . . . . . . . . . 340 10.3.1 High-resolution schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
- 15. root 2008/5/5 page x i i i i i i i i x Contents 10.3.2 Semi-discretization and ENO schemes . . . . . . . . . . . . . . . 342 10.3.3 Strong stability preserving methods . . . . . . . . . . . . . . . . 346 10.3.4 WENO schemes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349 10.4 Systems of Conservation Laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 10.5 Multidimensional Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 10.6 Problems with Sharp Layers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 10.7 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 11 Additional Topics 365 11.1 What First: Optimize or Discretize? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 11.1.1 Symmetric matrices for nonuniform spatial meshes . . . . . . . . 366 11.1.2 Efficient multigrid and Neumann BCs . . . . . . . . . . . . . . . 366 11.1.3 Optimal control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 11.2 Nonuniform Meshes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 11.2.1 Adaptive meshes for steady state problems . . . . . . . . . . . . 369 11.2.2 Adaptive mesh refinement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 11.2.3 Moving meshes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 11.3 Level Set Methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 Bibliography 375 Index 387
- 16. root 2008/5/5 page xi i i i i i i i i Preface Methods for the numerical simulation of dynamic mathematical models have been the focus of intensive research for well over 60 years. However, rather than reaching closure, there is a continuing demand today for better and more efficient methods, as the range of applications is increasing. Mathematical models involving evolutionary partial differential equations (PDEs) as well as ordinary differential equations (ODEs) arise in many diverse applica- tions, such as fluid flow, image processing and computer vision, physics-based animation, mechanical systems, relativity, earth sciences, and mathematical finance. It is possible to- day to dream of, if not actually achieve, a realistic simulation of a clothed, animated figure in a video game, or of an accurate simulation of a fluid flowing in a complex geometry in three dimensions, or of simulating the dynamics of a large molecular structure for a realistic time interval without requiring several weeks of intense computing. This text was developed from course notes written for graduate courses that I have taught repeatedly over the years. The students typically come from different disciplines, includingComputerScience, Mathematics, Physics, EarthandOceanSciences, andavariety of Engineering disciplines. With the widening scope of practical applications comes a widened scope of an interested audience. This means not only varied background and expertise in a typical graduate class, but also that not all those who need to know how to simulate such PDE systems are or should be experts in fluid dynamics! The approach therefore chosen emphasizes the study of principles, properties, and usage of numerical methods from the point of view of general applicability. This text is not a collection of recipes, and basic analysis and understanding are emphasized throughout, yet a formal theorem–proof format is avoided and no topic is covered simply for its theoretical beauty. Moreover, while no one class of applications motivates the exposition, many examples from different application areas are discussed throughout. In addition to not relying on strict fluid dynamics prerequisites, the other strategic decision made was to delay in each chapter as much as possible the separation of treatment of parabolic and hyperbolic equations. The other route, taken by many authors, is to devote separate chapters for the different PDE types. This often leads to a very neat presentation. In this text the approach is more concept oriented, however, and it is hoped that the differences necessarily highlighted by contrasting the treatments in this way shed more direct light on some issues. Moreover, questions about problems such as simulating a convection- dominated diffusion-convection process and about mixed hyperbolic-parabolic systems are more naturally addressed. The introductory Chapter 1 is essential. First we develop a sense for the types of math- ematical PDE models for which solving evolutionary problems makes sense, by studying xi
- 17. root 2008/5/5 page xii i i i i i i i i xii Preface well-posedness. Then we embark upon an introduction by example to numerical methods and issues that are developed more fully later on. Several years ago L. Petzold and I wrote a book in a similar spirit about the numerical solution of ODEs. I still like that work, and thankfully so do others; however, there are many students and researchers in various disciplines who simply don’t seem to have room in their program to accommodate a course or a text devoted solely to numerical ODEs. Therefore, I have included in the present text two chapters on this topic. Chapter 2 crams in all the material from our book [14] that is viewed as essential for a crash course on simulating ODEs, with an eye toward what is essential and relevant for PDEs. Chapter 6, not covered in [14], is more specialized and considers certain problems and methods in Geometric Integration, especially for Hamiltonian systems. These concepts and methods are relevant also for PDEs—see especially Chapter 7—and they allow a different and interesting look at numerical methods for differential equations. However, they are less essential in a way. Chapter 3 develops in detail the basic concepts, issues, and discretization tools that arise in finite difference and finite volume methods for PDEs. It relates to and expands the material in the previous two chapters but they are not a strict prerequisite for reading it. Stability is an essential concept when designing and analyzing methods for the nu- merical solution of time-dependent problems. Chapter 4 deals with constant coefficient PDEs where resulting criteria are relatively easy to check. Chapter 5 continues into vari- able coefficient and nonlinear problems, where stability criteria and approaches are defined and used, and where new methods for hyperbolic PDEs are introduced. The first five chapters are the basic ones, and it is reasonable to teach in a semester course mainly these plus some forays into later chapters, e.g., Chapter 6 if one concentrates significantly on ODEs. On the other hand, many more delicate or involved issues in nu- merical PDEs, and much of the more recent research, are in the last five chapters. The topic of numerical dispersion in wave problems and of conservative vs. dissipative methods is considered in Chapter 7, while handling solutions with discontinuities is discussed at some length in Chapter 10. These chapters are both somewhat more topical and occasionally more advanced, and neither is a prerequisite for the other. The handling of boundary conditions is briefly considered in Chapter 3, but Chapter 8 discusses deeper and more specialized issues, particularly for hyperbolic PDEs. Two related but different topics are considered in Chapter 9. The first concerns handling additional issues that arise for problems in more than one space variable. There are many issues here, and they are necessarily covered occasionally in less depth than would be possible in a more specialized monograph. I have used this chapter also to introduce and discuss the interesting class of splitting methods, even though these arise not only in multidimensional problems. Finally, Chapter 11 quickly describes some highly interesting related topics that could require separate monographs if they were to be fully treated. There are several reviews of background material collected in separate sections in Chapters 1 and 2. These are meant as refreshers to quickly help a reader who has been exposed to their contents beforehand, not to replace a proper introduction to their subject matters. The survey of iterative methods for linear systems of algebraic equations in Sec- tion 9.4 is somewhere between a review and a core material. At the end of each chapter there are also exercises, the first of which (numbered 0) consisting of more straightforward review questions. I have tried to indicate those exercises that have been found to be more difficult, or more time-consuming, among them.
- 18. root 2008/5/5 page xiii i i i i i i i i Preface xiii No attempt has been made to make the bibliography complete: this would have been a vast and dangerous undertaking in itself. Wherever possible I have tried to refer to texts, monographs, and survey articles that contain a wealth of additional references. Several references to my own work are there simply because I’ve naturally drawn upon past work as a source for examples and exercises and because I am generally more familiar with them than with others. Parts of Chapters 2, 6, and 7 were written for a short course that I gave at the Institute of Pure and Applied Mathematics (IMPA) in Rio de Janeiro. Here is an opportunity to thank my friends and colleagues there, especially D. Marchesin, A. Nachbin, M. Sarkis, L. Velho, and J. Zubelli, for their hospitality during several visits to the “marvelous city.” I also gratefully acknowledge the hospitality of A. Iserles and the pleasant Isaac Newton Institute in Cambridge, where much of the material presented here was polished during a seven-week stay last year. Many people have helped me in various ways to shape, reshape, refine, and debug this text. Several generations of our students had to endure its (and my) imperfections and their various comments have helped tremendously. In particular let me note Eddy Boxerman, Hui Huang, and Ewout van den Berg; there are many others not mentioned here. Colleagues who have read various versions of these notes and/or offered loads of advice and useful criticism include in particular MarkAinsworth, MihaiAnitescu, Evaristo Biscaia Jr., Robert Bridson, Chris Budd, Philippe Chartier, Chen Greif, Eldad Haber, Ernst Hairer, Arieh Iserles, Robert McLachlan, Sarah Mitchell, Dinesh Pai, Linda Petzold, Ray Spiteri, David Tranah, and Jim Varah. I am indebted to you all! Uri M. Ascher Vancouver, December 2007
- 20. root 2008/5/5 page 1 i i i i i i i i Chapter 1 Introduction This text explores numerical methods based on finite difference and finite volume discretiza- tions for solving evolutionary partial differential equations (PDEs). Mathematical models involving such differential equations arise in many diverse applications, such as fluid flow, image processing and computer vision, physics-based animation, mechanical systems, earth sciences, and mathematical finance. We will methodically develop tools for understanding and assessing methods and software for these problems. Westartatarelativelybasiclevel, andrudimentaryknowledgeofdifferentialequations and numerical methods is a sufficient prerequisite. In later chapters we discuss advanced techniques required for problems with nonlinearities, multidimensions, long-time integra- tion, interfaces, and discontinuities such as shocks. Many examples are given to illustrate the various concepts and methods introduced. In general, our typical PDE will depend on a few independent variables. Throughout this text we distinguish one of these variables as “time” while the other variables are treated as “space” variables, often not distinguished from one another. To make things more concrete, let us consider a motivating example. We will not get into precise or full details as yet: these will come later. The advection-diffusion equation is given by the PDE ut + aux = νuxx. (1.1) In this equation, the independent variables are time t and space x, and the unknown function sought is u = u(t, x). The subscript notation corresponds to partial differentiation: ut = ∂u ∂t , ux = ∂u ∂x , and uxx = ∂2 u ∂x2 . There are two parameters in (1.1), assumed known, real, and constant. The parameter a corresponds to a fluid velocity in an advection process, while ν controls the amount of diffusion (or viscosity, depending on the application area) and is required to be nonnegative, ν ≥ 0. You don’t have to be familiar with the physical interpretations of these quantities in order to proceed here. Our differential equation is defined on a domain in space and time, 0 x b and t ≥ 0; see Figure 1.1. For instance, set b = 1. The PDE is supplemented, in general, by initial conditions and boundary conditions. 1
- 21. root 2008/5/5 page 2 i i i i i i i i 2 Chapter 1. Introduction b 0 x t Figure 1.1. Domain of definition for an initial-boundary value problem. At the initial time t = 0, our sought solution u must agree with a given function u0(x) u(0, x) = u0(x), 0 ≤ x ≤ b. (1.2) The situation with boundary conditions is more complex and there is more to choose from. Conceptually, the simplest is to specify u for all t at both ends x = 0 and x = b, u(t, 0) = g0(t), u(t, b) = gb(t), (1.3a) which makes sense if ν 0. These are called Dirichlet boundary conditions. For ν = 0 only one condition, either at x = 0 or at x = b (depending on the sign of a), may be specified: we shall return to this later, in Chapter 8. Another favorite type, good for any ν ≥ 0, are periodic boundary conditions, which specify that u(t, x) = u(t, b + x) for all relevant t and x. In particular u(t, 0) = u(t, b). (1.3b) These boundary conditions say that what happens in the strip depicted in Figure 1.1 is replicated at similar strips to the right and to the left: −b x 0, b x 2b, etc. Thus, the problem is defined for all x real, as depicted in Figure 1.2. This corresponds to having no boundary conditions at all on an infinite domain in x, a case that is pursued more methodically in Section 1.1. To better understand the expected behavior of solutions for the advection-diffusion equation (1.1) subject to the initial conditions (1.2), let us look at a solution that at each time t has the form u(t, x) = û(t, ξ)eıξx (1.4) for some fixed, real value of ξ. We assume that the boundary conditions (1.3) allow us to do this (i.e., that they do not “interfere” with our intention to concentrate on the initial
- 22. root 2008/5/5 page 3 i i i i i i i i Chapter 1. Introduction 3 value problem for our PDE). The parameter ξ is called a wave number, and |û(t, ξ)| is the amplitude of the mode eıξx . Here we use complex numbers, and this allows expressing things elegantly. We employ the standard notation ı = √ −1 and recall that for any real angle θ in radians eıθ = cos θ + ı sin θ, |eıθ | = cos2 θ + sin2 θ = 1. Thus, for a complex number λ, |eλ | = eReλ . In particular, |eıξx | = e0 = 1 for any real ξ and x. For our special form of the solution (1.4) we have ux = ıξ û eıξx , uxx = (ıξ)2 û eıξx , so, upon inserting these expressions into (1.1) and canceling the common exponent, we obtain for our advection-diffusion equation ût (t, ξ) = −(ξ2 ν + ıξa) û(t, ξ). For each wave number ξ this is an ordinary differential equation (ODE) in t that has the solution û(t, ξ) = e−(ξ2 ν+ıξa)t û(0, ξ). Therefore, the amplitude of this mode as it evolves in time is given by |û(t, ξ)| = |e−(ξ2 ν+ıξa)t | |û(0, ξ)| = e−ξ2 νt |û(0, ξ)|. For the special form of solution (1.4) we clearly have |u(t, x)| = |û(t, ξ)| at each time instance t, so |u(t, x)| = e−ξ2 νt |u(0, x)|. We see that • If ν 0, then the amplitude of the solution mode decays in time. The larger the wave number ξ, the faster it decays. This is typical of a parabolic PDE. • If ν = 0, then the amplitude of the solution mode remains the same for all ξ: we have |û(t, ξ)| = |û(0, ξ)|. This is typical of a hyperbolic PDE. The case of a very small but positive ν corresponds to a parabolic problem that is “almost hyperbolic.” This concludes our motivating example. In general, we may not expect the PDE to have constant coefficients, and even if it has we may not expect its solution to look like a single mode; and yet, some essential elements encountered above will keep appearing in what follows.
- 23. root 2008/5/5 page 4 i i i i i i i i 4 Chapter 1. Introduction This introductory chapter has two essential parts. In Section 1.1 we develop a sense for the types of mathematical problems that are being considered here in a more methodical way than used in the preceding motivating example, still before any discretization or computation is applied to them. We consider this right away because without some basic feeling for the problem being solved it is hard to develop adequate numerical methods and to assess the quality of obtained computational results later on. Thus we elaborate upon the concept of well-posedness in example-driven fashion. Then in Section 1.2 we give a first taste of what most of the text is concerned with, by defining and following the performance of three simple discretizations for the simple advection equation. Various important properties are manifested in these simple examples. By the end of this section we will be able to give a rough guide to what follows in further chapters. There is also a section containing various reviews of relevant background topics, and of course some inevitable exercises. 1.1 Well-posed initial value problems We want to investigate numerical methods that yield sensible results. For instance, if the physical problem being simulated has a bounded solution, then we want the numerical one to be bounded as well. For this we must make some assumptions on the PDE problem being discretized, essentially ensuring that it behaves sensibly before discretization. Thus, if a computer simulation of such a problem yields poor results, then we’ll know that the fault is with the numerical method and seek to improve it. The book by Kreiss and Lorenz [111] covers well-posedness in depth. (See also Kreiss [110].) 0 x t Figure 1.2. Domain of definition for a Cauchy problem. Consider a linear PDE ut = P (∂x, t, x) u, −∞ x ∞, t 0 (1.5a) (see Figure 1.2). Here u = u(t, x) is a scalar or vector unknown function in the time variable t and a space variable x, and P is an operator which is polynomial in ∂x: P =
- 24. root 2008/5/5 page 5 i i i i i i i i 1.1. Well-Posed Initial Value Problems 5 m j=0 pj (t, x) ∂j ∂xj . For example, setting m = 2, p0 ≡ p1 ≡ 0, p2 ≡ 1, gives the simple heat equation, ut = uxx. This in turn is a special case of (1.1) with ν = 1 and a = 0. The differential equations are supplemented by a given (square integrable) initial value function u0(x) u(0, x) = u0(x), −∞ x ∞. (1.5b) The system (1.5) is then a pure initial value problem (IVP), otherwise known as a Cauchy problem. ' $ % Note: For those weary of infinite domains, and even more so of integrals over infinite domains such as those appearing in (1.6) or (1.10), let us hasten to point out that we have no intention to program or compute solutions for any of these as such. They are here for the purpose of basic analysis, serving as a means to avoid introducing boundary conditions too early in the game: ∞ is our friend! In general, a well-posed problem possesses the property that its solution depends continuously on the data: a small change in the data produces only a small change in the solution. This is obviously a desired feature for the subsequent numerical solution by a stable numerical process. Let us define the L2-norm u(t) ≡ u(t, ·) = ∞ −∞ |u(t, x)|2 dx 1/2 (1.6) (see the review of function spaces in Section 1.3.3). We will say that the IVP (1.5) is well- posed (sometimes referred to as properly posed) if there are constants K and α such that for all t ≥ 0 u(t) ≤ Keαt u(0) = Keαt u0 ∀ u0 ∈ L2. (1.7) Note that K and α may have definite values which can be retrieved for given problem instances.1 Of particular importance is the value of α. It can possibly be zero, in which case the solution does not grow much in time, or even negative, in which case the solution decidedly decays. More generally, we’ll have a possibly finite, or semi-infinite, range for x, e.g., the domain depicted in Figure 1.1. Then the equations (1.5) (appropriately restricted in x) are supplemented by boundary conditions (BCs) at (t, 0) and (t, b). We then have an initial- boundary value problem. The boundary conditions may be assumed homogeneous. A similar definition of well-posedness is then possible, with the integral range in the norm 1We regard the initial time as arbitrary here. Thus, strictly speaking we must require that u(t) ≤ Keα(t−t0) u(t0) for any 0 ≤ t0 ≤ t. The same holds in the context of corresponding stability requirements for numerical methods which follow later on.
- 25. root 2008/5/5 page 6 i i i i i i i i 6 Chapter 1. Introduction definition appropriately changed and all functions u(t, x) considered satisfying the homo- geneous boundary conditions. Consider next the pure IVP (1.5) with constant coefficients P = P(∂x) = m j=0 pj ∂j ∂xj . (1.8) Then we can get a good handle on well-posedness upon using a Fourier transform (see the review in Section 1.3.4). This gives both a justification and a generalization for our motivating treatment of the advection-diffusion equation (1.1) by (1.4). The PDE (1.5a) is now written simply as ut = P(∂x)u, −∞ x ∞, t ≥ 0, and it is transformed in Fourier space with respect to x using (1.17) û(t, ξ) = 1 √ 2π ∞ −∞ e−ıξx u(t, x)dx. This yields2 for each wave number ξ an ordinary differential equation (ODE) in time ût = P(ıξ)û, t 0. (1.9) The matrix P(ıξ) (which is s × s for a system of s first order PDEs) is called the symbol of the PDE system. The ODE (1.9) has a given initial value û(0, ξ) which is the Fourier transform (1.17) of u0(x). This initial value ODE is easy to solve: û(t, ξ) = eP (ıξ)t û(0, ξ); hence for one PDE u(t, ·)2 = û(t, ·)2 = ∞ −∞ |û(t, ξ)|2 dξ = ∞ −∞ |eP (ıξ)t û(0, ξ)|2 dξ ≤ sup ξ |eP (ıξ)t |2 û(0, ·)2 = sup ξ |eP (ıξ)t |2 u02 . (1.10) Comparing this bound to (1.7) we see that a Cauchy problem with constant coefficients is well-posed if there are constants K and α independent of t ≥ 0 such that sup −∞ξ∞ |eP (ıξ)t | ≤ Keαt . (1.11) For a PDE system with s 1 a matrix norm replaces magnitude. The latter condition is easy to check in practice, even though ξ runs over the entire real line, so we proceed to consider special cases and verify their well-posedness. 2We call the Fourier variable corresponding to space a wave number, whereas the Fourier transform in time is traditionally described in terms of frequencies. Occasionally people mix the two, talking about “high frequencies,” for instance, while meaning high (i.e., large) wave numbers. We will try to stay consistent about this terminology.
- 26. root 2008/5/5 page 7 i i i i i i i i 1.1. Well-Posed Initial Value Problems 7 1.1.1 Simple model cases 1. For the simple heat equation ut = uxx, we have P(ıξ) = (ıξ)2 = −ξ2 . Hence |eP (ıξ)t | = |e−ξ2 t | ≤ 1 ∀ξ. The heat equation is the simplest instance of a parabolic equation. Thus, the solution of the parabolic initial value problem for t 0 does not grow—a stronger property than what is required for a mere well-posedness. In fact, we see a decay in û(t, ξ) which is more pronounced for the higher wave numbers. The solution operator of the heat equation is thus a smoother. On the other hand, for ut = −uxx the problem is not well-posed. Indeed, it is not difficult to see from the equations in (1.10) that u(t) grows faster than is allowed by (1.7) for any constant α. This PDE is just the heat equation for t ≤ 0, i.e., backward in time, as can be seen by applying the change of variable t ← −t. Its ill-posedness corresponds to the fact from physics that heat flow is not reversible: the temperature distribution in the past cannot be determined from its present distribution. 2. Next, consider the advection equation ut + aux = 0, where a = 0 is a real constant.3 This is perhaps the simplest instance of a hyperbolic equation. We get P(ıξ) = −ıξa, which is purely imaginary, hence |eP (ıξ)t | = 1 for each wave number ξ. The Cauchy problem is well-posed, with α = 0 in (1.11), but unlike the heat equation there is no decay in û for any wave number. The advection operator, therefore, is not a smoother. Consider for example the initial conditions u0(x) = ⎧ ⎨ ⎩ 1, x 0, 0, x ≥ 0. 3We write the advection equation in this form because the PDE describes a substance (contaminant) with concentration u(t, x) being carried downstream by a fluid flowing through a one-dimensional pipe with velocity a.
- 27. root 2008/5/5 page 8 i i i i i i i i 8 Chapter 1. Introduction Figure 1.3. Solution of the simple advection equation ut − ux = 0 starting from a step-function. The discontinuity simply moves along x = −t. The exact solution obviously has the form u(t, x) = u0(x − at), so the initial discontinuity at x = 0 propagates undamped into the half-space t 0: at a later time t = ˜ t the solution is still a step function with the discontinuity located at x = a˜ t. The discontinuity therefore propagates with wave speed dx dt = a along the characteristic curve x − at = 0, as can be seen in Figure 1.3. On the other hand, the solution of the heat equation for the same initial values u0(x) is smooth for all t 0; see Figure 1.4. This is a simple instance of a fundamental difference between parabolic problems (such as the heat equation) and hyperbolic problems (such as the advection equation). Parabolic problems are easier to solve numerically, in general, and methods which decouple the treatment of the time and space variables are natural for them, as we will see. Simple hyperbolic problems can be treated in a similar way, but in more complex situations the propagation of information along characteristics in hyperbolic problems must somehow be taken into account. 3. The wave equation φtt − c2 φxx = 0,
- 28. root 2008/5/5 page 9 i i i i i i i i 1.1. Well-Posed Initial Value Problems 9 Figure 1.4. Solution of the simple heat equation ut = uxx starting from a step- function and u(t, −π) = 1, u(t, π) = 0. The discontinuity is diffused; in fact, u(t, ·) ∈ C∞ for t 0. where c is a real constant, is also known as the classical wave equation, to distinguish it from other PDEs describing wave motion. It can be written as a first order system in the following way: define u1 = φt and u2 = cφx, obtaining for u = (u1, u2)T ut − ⎛ ⎝ 0 c c 0 ⎞ ⎠ ux = 0. The eigenvalues of this matrix are ±c. (See Section 1.3.2.) They are real, hence the wave equation is hyperbolic. The waves travel left and right along straight line characteristics at speeds ±c. Note that the Cauchy problem for u entails specification of φx and φt for all x at t = 0. The usual form of Cauchy problem for φ actually involves specifying φ(0, x) and φt (0, x) instead. However, obtaining φx(0, x) from φ(0, x) is straightforward. 4. The Laplace equation is the simplest instance of an elliptic equation. In the variables t and x it reads φtt + φxx = 0. This looks like the wave equation, but with imaginary “wave speeds” c = ı. Thus, there are no real traveling waves here.
- 29. root 2008/5/5 page 10 i i i i i i i i 10 Chapter 1. Introduction The symbol is P(ıξ) = ıξ ⎛ ⎝ 0 ı ı 0 ⎞ ⎠ = −ξ ⎛ ⎝ 0 1 1 0 ⎞ ⎠ . The eigenvalues of the latter matrix are ±1; hence there is unbounded growth like e|ξt| in eP (ıξ)t . The Cauchy problem for elliptic PDEs is ill-posed! 1.1.2 More general cases 1. The general second order scalar PDE with constant coefficients auxx + buxt + cutt + dux + eut + f u = 0 obviously has the simple heat, wave, and Laplace equations as special cases. Assum- ing for definiteness that a = 0, c2 + e2 0, it can be shown (see, e.g., [127] or the classic [47]) that • if b2 − 4ac 0, then the PDE is hyperbolic; • if b2 − 4ac = 0, then the PDE is parabolic; • if b2 − 4ac 0, then the PDE is elliptic. This is the classical PDE classification. In case of variable coefficients the type determination is done locally in time and space. It can happen (and does so in gas dynamics) that a PDE would be hyperbolic in one part of the domain and elliptic in another. 2. For the second order parabolic system ut = Auxx, where A is a symmetric positive definite matrix, we get P(ıξ) = −ξ2 A. Since A is symmetric positive definite, its eigenvalues are real and positive, and moreover, we can use (1.24) with cond(T ) = 1; see Section 1.3.5. Hence eP (ıξ)t = e−ξ2 At ≤ 1 ∀ξ. We have obtained a direct extension of the simple heat equation. The essential prop- erties turn out also to hold if A is allowed to depend on x and t, as will be discussed later.
- 30. root 2008/5/5 page 11 i i i i i i i i 1.1. Well-Posed Initial Value Problems 11 3. Next, consider the first order system ut + Aux = 0. This system is hyperbolic if the matrix A is a diagonalizable matrix with real eigenval- ues. Say = T −1 AT is a diagonal matrix, where T is the corresponding eigenvector matrix. By the Fourier transform we have the symbol P(ıξ) = −ıξA. Hence, in (1.24) we get purely imaginary, scalar exponents whose modulus is 1. This yields eP (ıξ)t ≤ T T −1 . The point is that K = T T −1 is a constant, independent of the wave number. We obtain a well-posed problem, but, as for the simple advection equation, there is no decay, even in high wave numbers. This translates into potential numerical trouble in more complex problems of this type. 1.1.3 Initial-boundary value problems The preceding analysis is applied to the pure initial value problem. A key point is the diagonalization of the PDE system by the Fourier transform, which leads to a simple ODE for each wave number. However, on a finite interval in space a similar approach yields some additional terms relating to the boundary, and the elegance (at least) may be lost. Indeed, everything can potentially become much more complicated. An exception are periodic boundary conditions, and this is pursued further in Section 1.3.6, Example 1.1, and Exercise 2. We will treat some issues regarding BCs in Section 3.1.3. Afuller treatment is delayed until later, in Chapter 8, although of course we will encounter BCs again much before that. Here, let us consider for a moment the heat equation in two space variables, ut = uxx + uyy. For the pure initial value problem we apply a Fourier transform in both space variables x and y. A large initial value ODE system in time is obtained and well-posedness for all nonnegative time t ≥ 0 is derived in exactly the same way as for the heat equation in one space variable. Specifically, if ξ and η are the wave numbers corresponding to x and y, respectively, then P(ıξ, ıη) = −(ξ2 + η2 ) and |eP(ıξ,ıη)t | = |e−(ξ2 +η2 )t | ≤ 1 ∀ξ, η. Now, if the domain of definition in space is a connected, bounded set ⊂ R2 , then, as it turns out, boundary conditions are needed along the entire boundary of , denoted ∂ . Suppose that u is given on ∂ —these are Dirichlet boundary conditions. The obtained initial-boundary value problem is well-posed [111].
- 31. root 2008/5/5 page 12 i i i i i i i i 12 Chapter 1. Introduction Next, examine the steady state case of the heat equation in two space variables, where the solution does not depend on time. Then ut = 0 and the Laplace equation is obtained. The boundary value problem for the Laplace equation is well-posed, even though we found earlier that the initial value problem is not! 1.1.4 The solution operator Consider again the pure IVP with constant coefficients (1.8), (1.5b). Although not explicitly stated, we have obtained the solution using a Fourier transform in space: u(t, x) = 1 √ 2π ∞ −∞ eıξx û(t, ξ)dξ = 1 √ 2π ∞ −∞ eıξx eP (ıξ)t û(0, ξ)dξ = 1 2π ∞ −∞ eıξx eP (ıξ)t ∞ −∞ e−ıξζ u0(ζ)dζ dξ. We can write this as u(t, ·) = S(t)u0, (1.12) where S(t) is the solution operator. It is easy to verify that the family of solution operators {S(t), t ≥ 0} forms a semi-group on the solution space: (a) S(0) = I, (b) S(t1 + t2) = S(t2)S(t1). 1.2 A taste of finite differences Let us return to the pure IVP (1.5) defined on the domain depicted in Figure 1.2. We want to replace the derivatives by divided differences, thereby replacing the differential equation by algebraic equations which can be solved to yield an approximate solution. Consider a uniform mesh in t and x with step sizes k = t and h = x. Thus, the mesh points are (tn, xj ), where xj = jh, j = 0, ±1, ±2, . . ., and tn = nk, n = 0, 1, 2, . . . ; see Figure 1.5. The solution u(t, x) is approximated at mesh points as vn j = v(tn, xj ) ≈ u(nk, jh). For such a uniform mesh, under usual circumstances, the ratio μ = k hm (1.13) plays an important role, as we will see below and in future chapters. Recall that m is the highest order of spatial differentiation that appears in (1.5a).
- 32. root 2008/5/5 page 13 i i i i i i i i 1.2. A Taste of Finite Differences 13 0 x t h k Figure 1.5. Discretization mesh for a Cauchy problem. The function v is called a mesh function. Let us also denote all its values at a certain time level by vn = {vn 0 , vn ±1, vn ±2, . . .}. The superscript denotes the time level, not a power! Further, define the l2-norm vn = h j (vn j )2. (1.14) Below we concentrate on a simple example, just to get a taste of the basic concepts. The general case will be considered in subsequent chapters. For the advection equation ut + aux = 0, consider the following three simple schemes applied at each mesh point (tn, xj ): 1. 1 k (vn+1 j − vn j ) + a h (vn j+1 − vn j ) = 0. This scheme is first order accurate in both t and x. Such accuracy order essentially means that if we substitute the exact solution u(tn, xj ) in place of vn j , etc., in the above difference equation, then the residual decreases by a factor M if both k and h are decreased by the same factor M. We will define order more precisely in the next two chapters; see in particular Section 3.2.1 and Example 3.9. Note that the difference in x is one-sided in that the point to the right, or east, of (tn, xj ) participates but the point to the left, or west, does not. 2. 1 k (vn+1 j − vn j ) + a 2h (vn j+1 − vn j−1) = 0. This scheme is first order accurate in t and second order in x (see Section 3.2.1). The difference in x is centered.
- 33. root 2008/5/5 page 14 i i i i i i i i 14 Chapter 1. Introduction 3. 1 2k (vn+1 j − vn−1 j ) + a 2h (vn j+1 − vn j−1) = 0. This is known as the leapfrog scheme. It is second order accurate, and the difference is centered, in both t and x. Note that this is a two-step scheme, whereas the other two are one-step in time. vn+1 j vn j − μa(vn j+1 − vn j ) vn+1 j vn j − μa 2 (vn j+1 − vn j−1) vn+1 j vn−1 j − μa(vn j+1 − vn j−1) Figure 1.6. Three simple schemes for the advection equation. It is worthwhile to keep in mind for each formula which locations of the mesh it involves. The “computational molecule” distinguishes the schemes from one another; see Figure 1.6. These schemes are all explicit. This means that the next unknown value, vn+1 j , is defined by known values at the previous time levels n and n − 1, vn+1 j = vn j − μa(vn j+1 − vn j ), (1.15a) vn+1 j = vn j − μa 2 (vn j+1 − vn j−1), (1.15b) vn+1 j = vn−1 j − μa(vn j+1 − vn j−1), (1.15c) where μ = k h . Starting from v0 j = u0(xj ) we can march in time using (1.15a) or (1.15b), i.e., for n = 0, 1, 2, . . . , compute vn+1 j for all j in parallel based on the known vn . In the case of (1.15c) we also need initial values at n = 1. These can be obtained by using the Taylor expansion (see Section 1.3.1), u(k) = u(0) + kut (0) + k2 2 utt (0) + O(k3 ) = u(0) − kaux(0) + k2 a2 2 uxx(0) + O(k3 ), or simply a stable, second order accurate, one-step scheme.4 4A one-step scheme is occasionally referred to as a two-level method in the PDE literature. A two-step scheme is three-level, etc.
- 34. root 2008/5/5 page 15 i i i i i i i i 1.2. A Taste of Finite Differences 15 Below and throughout the text we occasionally refer to the mesh function v as if it is defined everywhere in the PDE problem’s domain. Thus, we write v(tn, xj ) = vn j and refer more generally to v(t, x). Although the mesh function is not defined, strictly speaking, at locations other than mesh points, we imagine that its domain of definition is extended by some appropriate local interpolation scheme. We do avoid taking derivatives of v on the continuum; thus the details of the extension of the mesh function are unimportant and may be left unspecified in what follows. Example 1.1 The three schemes (1.15) all look reasonable and simple, and they approx- imate the differential equation well when k and h are small. So what can possibly go wrong?! Consider the advection problem ut + ux = 0, u(0, x) = u0(x) = 1, x ≤ 0, 0, x 0. Here a = 1. Recall that the exact solution is u(t, x) = u0(x − t). So, at t = 1 u(1, x) = 1, x ≤ 1, 0, x 1. Now, consider applying the scheme (1.15a) for h and k as small as you wish (but in any case h 1). If x0 = 0, then v0 j = 0 ∀ j 0, which implies that v1 j = 0 ∀ j 0. This yields in a similar manner v2 j = 0 ∀ j 0, and so on. Thus, for N such that Nk = 1 we likewise obtain vN j = 0 ∀ j 0, which has the error |vN j − u(1, xj )| = 1 for 0 xj ≤ 1. Figure 1.7 depicts the situation. This is an unacceptable error, both quantitatively and qualitatively. The reason for the failure in Example 1.1 is that a fundamental restriction has been violated. The origin of this goes back to the ancient paper5 by Courant, Friedrichs, and Lewy [52]. The condition is thus referred to as the CFL condition. It says that the domain of dependence of the PDE must be contained in that of the difference scheme, as in Figure 1.8. Indeed, the value of vn+1 j according to (1.15a) depends on vn j and vn j+1, 5By “ancient” we mean, needless to say, preceding the modern computing era.
- 35. root 2008/5/5 page 16 i i i i i i i i 16 Chapter 1. Introduction 0 x t .3 .6 .9 1.2 .25 .5 .75 1 Figure 1.7. Example 1.1 with k = .25 and h = .3, i.e., μ 1. The exact solution for the PDE ut + ux = 0 at (t, x) = (1, .3) is equal to the value at the foot of the characteristic curve leading to it (in dashed blue), u(1, .3) = u(0, −.7) = u0(−.7) = 1. The approximate solution at the same location, on the other hand, is traced back to initial values to the right of x = .3; since all of these vanish, v(1, .3) = 0. 0 x t Figure 1.8. Characteristic curves for ut + aux = 0, a 0. The CFL condition implies that the domain of dependence of the PDE is contained in that of the difference scheme. whereas that of the exact solution u(tn+1, xj ) is simply transported along the characteristic curve, so that u(tn+1, xj ) = u(tn, xj − ka). Continuing interpreting such dependence back to the starting line we see that vn+1 j depends only on the values of vn−1 j , vn−1 j+1, and vn−1 j+2, then on vn−2 j , vn−2 j+1, vn−2 j+2, and vn−2 j+3, and so on backward in time until the initial values u0(xj ), . . . , u0(xj+n+1), whereas u(tn+1, xj ) = u0(xj − atn+1). Now, if xj xj − atn+1 or xj+n+1 xj − atn+1, which would occur if a 0 or (−a)μ 1, respectively, then it is possible to arbitrarily change the initial value function u0(xj − atn+1) and thus the exact value u(tn+1, xj ) without affecting the value of the calculated approximate solution! In particular, the scheme (1.15a) violates the CFL condition if a 0, which explains the failure in Example 1.1. This is because the forward difference in x is commensurate with the characteristics traveling leftward in time, as in Figure 1.8, not rightward as in
- 36. root 2008/5/5 page 17 i i i i i i i i 1.2. A Taste of Finite Differences 17 0 x t .2 .4 .6 .8 1 .25 .5 .75 1 Figure 1.9. Violation of the CFL condition when |a|μ 1. The exact solution for the PDE ut − ux = 0 at (t, x) = (1, .2) is equal to the value at the foot of the characteristic curve leading to it (in dashed blue), u(1, .2) = u(0, 1.2) = u0(1.2). The approximate solution at the same location is traced back after N time steps, Nk = 1, to initial values in the range [.2, .2 + Nh]. If μ 1, then .2 + Nh .2 + Nk = 1.2. Here k = .25, h = .2, hence μ = 1.2, N = 4 and .2 + Nh = 1. Assuming no change in the initial values u0(x) over [.2, 1], the same numerical solution is obtained at t = 1, x = .2 regardless of the exact value u0(1.2). Figure 1.7. Even if the characteristics travel leftward, though, i.e., a 0, we must maintain (−a)μ ≤ 1: Figure 1.9 shows what happens if the latter condition is violated. Exercise 5 explores this further. 1.2.1 Stability ideas Now, just as with well-posedness we want to make sure that for any h small enough vn does not increase too fast in n as k → 0, nk ≤ tf , for a fixed maximum time tf . In fact, we don’t want vn to increase at all, if possible, in cases such as the advection equation where the exact solution does not increase at all (α = 0 in (1.11)). This is the essence of stability of the difference scheme. Note: The stability requirement of a difference method corresponds to the well-posedness requirement of a differential problem. Since the advection equation has constant coefficients, we have the same computa- tional formula at all mesh points. This allows us to apply the Fourier analysis also in the
- 37. root 2008/5/5 page 18 i i i i i i i i 18 Chapter 1. Introduction discrete case. Writing v(t, x) = 1 √ 2π ∞ −∞ eıξx v̂(t, ξ)dξ, we obtain for the first scheme (1.15a) ∞ −∞ eıξx v̂(t + k, ξ)dξ = ∞ −∞ eıξx v̂(t, ξ) − μa(eıξ(x+h) − eıξx )v̂(t, ξ) dξ. This must hold for any x, so the integrands must agree, yielding v̂(t + k, ξ) = 1 − μa(eıξh − 1) v̂(t, ξ) = γ1(ζ)v̂(t, ξ), where ζ = ξh and γ1(ζ) = 1 − μa(eıζ − 1). So, each Fourier mode is multiplied by a corresponding constant γ1 over each time step. The stability condition requires that vn remain bounded in terms of v0 for all n. For a scheme which in Fourier space reads v̂(t + k, ξ) = γ1(ζ)v̂(t, ξ), this translates to requiring that |γ1(ζ)| ≤ 1 ∀ζ. (1.16) The function g(ζ) = γ1(ζ) is called the amplification factor; see Section 4.1. For the scheme (1.15a) note that γ1(ζ) is a periodic function, so we need consider only |ζ| ≤ π. Writing γ1(ζ) = 1 + μa − μaeıζ , the condition (1.16) is seen to hold (see Figure 1.10) iff6 a ≤ 0 and μ(−a) ≤ 1. This is a stability restriction which coincides with the CFL condition. Applying the same analysis to the second scheme (1.15b) we readily obtain v̂(t + k, ξ) = γ2(ζ)v̂(t, ξ), γ2(ζ) = 1 − μa 2 (eıζ − e−ıζ ) = 1 − ıμa sin ζ. Clearly, γ2(ζ) does not satisfy the stability condition (1.16). We have stumbled upon a phenomenon which does not occur in ODEs at all, where an innocent-looking, consistent one-step scheme is nonetheless unconditionally unstable! 6iff stands for “if and only if.”
- 38. root 2008/5/5 page 19 i i i i i i i i 1.2. A Taste of Finite Differences 19 1 + μa 1 Figure 1.10. Stability of the difference scheme (1.15a) for a 0. For the two-step, leapfrog scheme (1.15c) we obtain v̂(t + k, ξ) = v̂(t − k, ξ) − μa(eıζ − e−ıζ )v̂(t, ξ) or v̂n+1 = v̂n−1 − 2 (ıμa sin ζ) v̂n . We get a second order difference equation which we can solve by an ansatz: try v̂n = κn . Substituting and dividing through by κn−1 , this is seen to work if κ satisfies the quadratic equation κ2 = 1 − 2 (ıμa sin ζ) κ. Solving this equation we obtain the condition that |κ| ≤ 1 (i.e., the stability condition (1.16) holds) provided again that the CFL condition holds. Indeed, here the condition is really μ|a| ≤ 1, i.e., the scheme is stable under the same condition regardless of the sign of a, unlike the one-sided scheme (1.15a). The number μ|a| is often referred to in the literature as the Courant number or the CFL number. Example 1.2 Let us carry out calculations using the three schemes (1.15) for the initial- value PDE ut − ux = 0, u0(x) = sin ηx, where η is a parameter. Periodic boundary conditions (BC) on the interval [−π, π] are employed; thus, u(t, −π + x) = u(t, π + x) for all relevant x and t, and in particular u(t, −π) = u(t, π).
- 39. root 2008/5/ page 20 i i i i i i i i 20 Chapter 1. Introduction The exact solution is then u(t, x) = sin η(t + x). With spatial and temporal step sizes h and k, respectively, let J = 2π h − 1 and seek solution values vn j for j = 0, 1, . . . , J. The periodic BC give vn J+1 = vn 0 ∀n. Moreover, it is useful to imagine the spatial mesh points sitting on a ring, rather than on a straight line, with xJ+1 identified with x0. Thus, for j = J, vj+1 = v0, and for j = 0, vj−1 = vJ , at any n; see Figure 1.11. x0 x1 xJ−1 xJ xJ+1 x0 = xJ+1 x1 xJ xJ−1 Figure 1.11. For periodic boundary conditions, imagine the red mesh points sitting on a blue circle with x0 = xJ+1 closing the ring. Thus, xJ is the left (clockwise) neighbor of x0, x1 is the right (counterclockwise) neighbor of xJ+1, and so on. A simple MATLAB® script for the leap-frog scheme follows: % parameters eta = 1; h = .001*pi; k = 0.5*h; mu = k / h; % spatial mesh xx = [-pi:h:pi]; Jp2 = length(xx); Jp1 = Jp2 - 1; J = Jp1 - 1; % final time tf = 1 nsteps = floor(1/k); tf = k * nsteps; % initial condition un = sin (eta * xx); % exact solution at t=tf ue = sin (eta * (xx + tf));
- 40. root 2008/5/5 page 21 i i i i i i i i 1.2. A Taste of Finite Differences 21 %leap frog: need also initial values at t = k vo = un; % cheat for simplicity: use exact solution for v at t=k vn = sin (eta * (k+xx)); % advance in time for n=2:nsteps voo = vo; vo = vn; % interior x-points vn(2:Jp1) = voo(2:Jp1) + mu * (vo(3:Jp2) - vo(1:J)); % periodic BC: 1=Jp2 so left of 1 is 0=Jp1 vn(1) = voo(1) + mu * (vo(2)-vo(Jp1)); vn(Jp2) = vn(1); end % plot results and calculate error at t=tf plot(xx,vn,’m’) xlabel(’x’) ylabel(’u’) title(’Leap-frog scheme’) err3 = max(abs(vn-ue)); Table 1.1. Maximum errors at t = 1 for the three simple difference schemes applied to the equation ut − ux = 0 with u0(x) = sin ηx. Error blowup is denoted by *. Note that k = μh. η h μ Error in (1.15a) Error in (1.15b) Error in (1.15c) 1 .01π 0.5 7.7e-3 7.8e-3 1.2e-4 .001π 0.5 7.8e-4 * 1.2e-6 .001π 1.1 * * * 10 .01π 0.5 5.4e-1 1.15 1.2e-1 .001π 0.5 7.6e-2 * 1.2e-3 .0005π 0.5 3.9e-2 * 3.1e-4 Table 1.1 displays the resulting maximum errors. Note that we avoid taking k = h, that is, μ = 1—this would correspond to stepping exactly along characteristics, which is impossible in realistic mathematical models. (Our purpose here is to demonstrate typical phenomena, not to actually solve ut − ux = 0 numerically as an end in itself!) For η = 1 we observe that when μ 1 is held fixed, the error decreases like h for (1.15a) and like h2 for (1.15c). For μ 1 all schemes are unstable because the stability
- 41. root 2008/5/5 page 22 i i i i i i i i 22 Chapter 1. Introduction restriction that coincides with the CFL condition is violated. For η = 10 we observe the same first and second order convergence rates for the stable schemes, although in absolute value all the errors are larger than those for η = 1 by factors of about 100 using (1.15a) and 1000 using (1.15c). This corresponds to the second and third derivatives of the solution u, respectively, being involved in the error expressions of these two schemes, as we’ll see in Chapter 3. Let us further investigate the unstable scheme (1.15b). In general, after n steps v̂n = γ2(ζ)n v̂0 (that’s the amplification factor to the power n). Thus, with nk = 1 we have at wave number ξ the amplification |v̂n | = |1 − ı k h a sin(ξh)|1/k |û0(ξ)|. The amplification factor is far from 1 when sin(ξh) is not small, e.g., ξh ≈ π/2. For such a wave number ξ some basic calculus manipulations show that we get a blowup like e μa2 2h as k → 0. So, as h → 0 the blowup is faster, which is apparent in Table 1.1, and it is particularly damaging for high wave-number components of the initial values. In fact, different initial value functions u0(x) may have high wave-number components with small or large amplitude, and thus exhibit different rates of blowup. The solution at t = 1 for η = 1, h = .001π, and k = .5h is displayed in Figure 1.12. For many physical problems it may be safely assumed that û0(ξ) = 0 for high wave numbers, say, |ξ| ξf for some value ξf . Then, as h, k → 0 with the ratio μ kept fixed, convergence may be seen to occur even for an unstable scheme.7 That is to say, convergence would have occurred in such cases had we worked in precise arithmetic! However, roundoff errors introduce components with high wave numbers into û0(ξ), and these error components are magnified by an unstable scheme. Note: Generally, we need accuracy for low wave numbers and stability for high wave numbers of the error. To close off this introductory chapter we next turn to a rough classification of the problems and numerical algorithms under consideration. The PDE problems considered in this text are well-posed as initial value problems. Attempting to classify them according to suitable numerical treatment, we can distinguish between smooth and nonsmooth in two different ways, namely, in the differential equation operator and in the solution, creating in effect three classes: • For the class of parabolic-type PDEs, the differential operator itself is a smoother, as we have seen. The differential problem is diffusive. The solution of such an initial- 7We will soon make precise the meaning of stability, accuracy, consistency, and convergence. For now, we’re appealing to the reader’s intuition and related knowledge from elsewhere—e.g., a numerical ODE course. Please reread these paragraphs after you’ve read Chapters 2 and 3.
- 42. root 2008/5/5 page 23 i i i i i i i i 1.2. A Taste of Finite Differences 23 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −1 0 1 u First order, stable scheme −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −5 0 5 x 10 14 u Unstable scheme −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −1 0 1 x u Leapfrog scheme Figure 1.12. Solution of ut − ux = 0 at t = 1 using the three schemes (1.15) with u0 = sin x, h = .001π, k = .5h. boundary value problem is smooth even if the initial or boundary value functions are not. Correspondingly, we can seek highly accurate, high order discrete approxi- mations. The main computational challenge is often concerned with the mild stiffness that such problems exhibit, issues that will be made clearer in Sections 2.6, 2.7, 5.1, 9.2, and elsewhere. • For the class of hyperbolic-type PDEs, the differential operator is not a smoother and the PDE is conservative. Still, in many situations concerning wave propagation the solution is smooth. For such problems efficient numerical methods with high order of accuracy are sought as well. The main issues here are stability, dissipation, and dispersion, elaborated upon in Section 1.2, Chapters 4, 5, and 7, and elsewhere. • For the class of hyperbolic-type PDEs, nonsmooth solutions may occur. These may arise as a result of a discontinuity in the initial or boundary conditions, as in Figure 1.3. For nonlinear problems, solution discontinuities inside the domain in x and t may arise even if the solution is smooth along all boundaries. For such problems it is hard to construct accurate numerical methods near discontinuities. Methods are then sought that limit the effect of inevitable inaccuracies near discontinuities on the approximate solution elsewhere in the domain and produce physical-looking solutions with sharp profiles. They turn out to be rather different methods from those used for the smooth case. This is elaborated upon in Chapter 10, Sections 5.2 and 11.3, and elsewhere.
- 43. root 2008/5/5 page 24 i i i i i i i i 24 Chapter 1. Introduction 1.3 Reviews In this section and in Section 2.12 we have collected short reviews on various mathematical and numerical topics that are used throughout the text but are not developed here. Thus, these topics are considered as background material. Of course the background of different readers may vary widely. For some, a quick review may serve as a reminder or refresher. Readers may find a review helpful to connect with other, related strands of knowledge. But there are certain to be readers who may find our short reviews insufficient. If you find that you still are clueless after reading one of these reviews, then please consult an appropriate introductory text. 1.3.1 Taylor’s theorem Let w(·) be a smooth function. Taylor’s theorem expresses the value of w at locations x̂ = x + h near a given argument value x in terms of w and its derivatives at x w(x̂) = w + h dw dx + h2 2 d2 w dx2 + · · · + hl l! dl w dxl + · · · . Thus, for instance, the first derivative of a function u(t, x) with respect to x can be written as ux(t, x) = h−1 (u(t, x + h) − u(t, x)) − h 2 uxx(t, x) + O(h2 ). Here O(hp ) is the customary notation for terms that tend to 0 at least as fast as hp when h → 0. Defining the forward difference for ux as D+u = u(t, x + h) − u(t, x), @ (t, x), Taylor’s theorem yields an expression for the error ux − 1 h D+u = − h 2 uxx + O(h2 ), @ (t, x). Also, defining the centered difference for ux as D0u = u(t, x + h) − u(t, x − h), @ (t, x), then, by writing the Taylor expansions u(x ± h) = u ± hux + h2 2 uxx ± h3 6 uxxx + h4 4! uxxxx + · · · , we have ux − 1 2h D0u = − h2 6 uxxx + O(h4 ), @ (t, x). Similarly, a centered difference for the second derivative uxx is given by D+D−u = [u(t, x + h) − u(t, x)] − [u(t, x) − u(t, x − h)] = u(t, x + h) − 2u(t, x) + u(t, x − h), @ (t, x).
- 44. root 2008/5/5 page 25 i i i i i i i i 1.3. Reviews 25 By adding the Taylor expansions for u(x ± h) and subtracting 2u(x) we have uxx − 1 h2 D+D−u = − h2 12 uxxxx + O(h4 ), @ (t, x). Recall from advanced calculus that Taylor’s theorem for a function of several vari- ables gives w(t + k, x + h) = w + hwx + kwt + 1 2! [h2 wxx + 2hk wxt + k2 wtt ] + · · · + 1 l! l w + · · · , where the functions on the right-hand side are evaluated at (t, x) and l w = l j=0 l j ∂l w ∂xj ∂tl−j (x, t) hj kl−j . 1.3.2 Matrix norms and eigenvalues Let us first recall some matrix definitions. Many people are used to real-valued matrices, but in this book we occasionally encounter more general, complex-valued ones. The concepts extend smoothly from real to complex, and so does the associated vocabulary. Consider a complex-valued m × m matrix A and denote by AT the transpose and by A∗ the conjugated transpose of A. Thus, A∗ = AT if A is real, i.e., if all its elements are real. The following definitions are collected in Table 1.2. The matrix A is Hermitian if A∗ = A and unitary if A∗ = A−1 . Thus, for real matrices, A is Hermitian iff it is symmetric (i.e., AT = A), and A is unitary iff it is orthogonal (i.e., AT A = I). Further, A is skew-Hermitian if A∗ = −A and skew-symmetric if AT = −A. The matrix A is normal if AA∗ = A∗ A. Hermitian, skew-Hermitian, and unitary matrices are all examples of normal matrices. Table 1.2. Some matrix definitions, for A complex- and real-valued. Real-valued A Complex-valued A Symmetric if AT = A Hermitian if A∗ = A Skew-symmetric if AT = −A Skew-Hermitian if A∗ = −A Orthogonal if AT A = I Unitary if A∗ A = I Normal if AT A = AAT Normal if A∗ A = AA∗ Given an l ×m complex matrix A and a vector norm ·, the corresponding induced matrix norm is defined by A = max x=0 Ax x .
- 45. root 2008/5/5 page 26 i i i i i i i i 26 Chapter 1. Introduction • For the maximum vector norm, x∞ = max1≤i≤m |xi|, we have the induced matrix norm A∞ = max 1≤i≤l m j=1 |aij |. • For the l1 vector norm, x1 = m i=1 |xi|, we have the matrix norm A1 = max 1≤j≤m l i=1 |aij |. • For the l2 vector norm, where there is an associated inner product, x2 = √ x∗x ≡ (x, x)1/2 , we have the matrix norm A2 = ρ(A∗A), where ρ is the spectral radius, defined below. Note that if, for instance, x = (1, 1, . . . , 1)T , then x1 = m and x2 = √ m. So, if m increases unboundedly, then the vector norm definition may require scaling, e.g., x2 = √ x∗x/m. Indeed, in (1.14) we scale vn by the spatial step size h. Let A be nonsingular. Then its condition number in a given norm is defined by cond(A) = AA−1 . The condition number features prominently in numerical linear algebra. It indicates a bound on the quality of the computed solution to a linear system of equations involving A: the smaller it is, the better is the guaranteed quality. The condition number is an even more central indicator for the iterative methods reviewed in Section 9.4. However, one rarely requires the exact value of cond(A), as it is used just to indicate quantity sizes. Hence, any reasonable induced matrix norm may be used in its definition. Note that we always have cond(A) = AA−1 ≥ AA−1 = 1. AnyunitaryororthogonalmatrixT isthusideallyconditionedbecauseT 2 = T −1 2 = 1, hence cond(T ) = 1. Given an m × m, generally complex-valued matrix A, an eigenvalue λ is a scalar which satisfies Ax = λx for some vector x = 0. In general, λ may be complex even if A is real. But if A is Hermitian, then λ is guaranteed to be real. If all eigenvalues of A are positive, then A is positive definite. The vector x, which is clearly determined only up to a scaling factor, is called an eigenvector. Counting multiplicities, A has m eigenvalues, which we denote by λ1, . . . , λm. The spectral radius of a matrix is defined by ρ(A) = max 1≤i≤m |λi|.
- 46. root 2008/5/5 page 27 i i i i i i i i 1.3. Reviews 27 In general, in the l2 matrix norm ρ(A) ≤ A2 for any square matrix. But if A is normal, then ρ(A) = A2. A similarity transformation is defined, for any nonsingular matrix T , by B = T −1 AT . The matrix B has the same eigenvalues as A and the two matrices are said to be similar. If B is diagonal, denoted B = diag{λ1, . . . , λm}, then the displayed λi are the eigenvalues of A, the corresponding eigenvectors are the columns of T , and A is said to be diagonalizable. Any normal matrix is diagonalizable, in fact, by a unitary transformation (i.e., T can be chosen to satisfy T ∗ = T −1 ). This is nice because the similarity transformation is ideally conditioned. For a general matrix, however, a unitary similarity transformation can at best bring A only to a matrix B in upper triangular form. (This still features the eigenvalues on the main diagonal of B.) For a general, square matrix A there is always a similarity transformation into a Jordan canonical form, B = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 0 2 ... ... 0 s ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ; i = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ λi 1 0 λi 1 ... ... λi 1 0 λi ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ , i = 1, . . . , s . The Jordan blocks i generally have different sizes. A simple, sometimes useful, way to estimate matrix eigenvalues without computing them is to use Gershgorin’s theorem. In its simplest form this theorem states that the eigenvalues of A are all located in the union ∪m i=1Di of disks (in the complex plane) centered at the diagonal elements of A, Di = ⎧ ⎨ ⎩ z ∈ C : |z − aii| ≤ m j=1j=i |aij | ⎫ ⎬ ⎭ . For example, if aii 0 ∀i and A is diagonally dominant, i.e., m j=1j=i |aij | ≤ aii ∀i, then Gershgorin’s theorem yields that Re λi ≥ 0 ∀i. Thus, if A is also Hermitian and nonsingular, then it is positive definite. If A is normal and nonsingular, then, utilizing the existence of a unitary similarity transformation, it is easy to see that in the 2-norm cond(A) = maxi |λi| mini |λi| .
- 47. root 2008/5/5 page 28 i i i i i i i i 28 Chapter 1. Introduction For a positive definite matrix this simplifies into cond(A) = maxi λi mini λi . For a more general, possibly rectangular matrix A with a full column rank we have cond(A) = maxi σi mini σi , where σi are the singular values of A. These are the square roots of the eigenvalues of AT A. A good reference for numerical linear algebra is Golub and van Loan [68]. There are many others, including the reader-friendly Trefethen and Bau [170] and Demmel [57]. See Saad [149] for iterative methods. 1.3.3 Function spaces On the real line R, define the L2 norm w = ∞ −∞ |w(x)|2 dx 1/2 . The space L2(R) consists of all square integrable functions, i.e., all functions whose L2 norm defined above is finite. A similar definition applies more generally on a domain ⊂ Rd which may be bounded or unbounded: the space L2( ) consists of all square integrable functions over , with the norm w = |w(x)|2 dx 1/2 . It is customary to omit the dependence on when there is no room for confusion (at least in the author’s mind). Other norms that we will encounter are the sup (max), or the L∞ norm w∞ = sup x∈ |w(x)|, and the L1 norm w1 = |w(x)|dx. Note that the corresponding spaces satisfy L∞ ⊂ L2 ⊂ L1. Estimates that depend on function derivatives are also very common in PDE analysis. These lead to Sobolev spaces. Based, say, on the L2 norm, a Sobolev space Hs is the space of functions for which all the derivatives of order j, for all 0 ≤ j ≤ s, are square integrable, and the corresponding Sobolev norm with which this space is equipped is just the sum of the norms of these derivatives. Thus, in particular, H0 = L2 (where we identify the zeroth derivative with the function itself) and Hs+1 ⊂ Hs.
- 48. root 2008/5/5 page 29 i i i i i i i i 1.3. Reviews 29 For example, let be the unit circle defined by x2 + y2 ≤ 1, so its boundary ∂ is defined by x2 + y2 = 1, and let q(x) = q(x, y) = 1 x 0 0 x ≥ 0 . Then q is square integrable but qx is not. Thus, q ∈ H0( ) but q / ∈ H1( ). Now, if the function φ(x, y) satisfies Poisson’s equation φxx + φyy = q in and φ = 0 on ∂ , then φ and its derivatives up to order 2 are square integrable. Hence φ ∈ H2( ), and this higher Sobolev index expresses the additional smoothness that φ has over q. 1.3.4 The continuous Fourier transform For a square-integrable function v ∈ L2(R) define the Fourier transform v̂(ξ) = 1 √ 2π ∞ −∞ e−ıξx v(x)dx, (1.17) where ı = √ −1. It then follows that the inverse transform is given by v(x) = 1 √ 2π ∞ −∞ eıξx v̂(ξ)dξ. (1.18) The variable ξ is traditionally referred to as the wave number when x is a space variable and as the frequency when x is time. The Fourier transform has many beautiful properties, among which are the following two that can be easily verified: • The L2 norm of the transform is equal to (and not just bounded by) the norm of the original function v = v̂ (1.19) (this is called Parseval’s equality). • A differentiation of v(x) is transformed into a multiplication of v̂(ξ) by ıξ, vx ⇐⇒ ıξv̂(ξ). (1.20) In d dimensions the Fourier transform readily generalizes to v̂(ξ) = 1 (2π)d/2 Rd e−ıξ·x v(x)dx, (1.21) where ξ · x = d i=1 ξixi. Let us demonstrate the use of (1.20) for the PDE ut = uxx − 3ux, −∞ x ∞, t ≥ 0. (1.22a)
- 49. root 2008/5/5 page 30 i i i i i i i i 30 Chapter 1. Introduction This is the advection-diffusion equation (1.1) with ν = 1 and a = 3. Applying the Fourier transform in x we have u(t, x) = 1 √ 2π ∞ −∞ eıξx û(t, ξ)dξ. There is only one place under the integral sign where either t or x appears. Taking derivatives we obtain ut (t, x) = 1 √ 2π ∞ −∞ eıξx ût (t, ξ)dξ, ux(t, x) = 1 √ 2π ∞ −∞ eıξx (ıξ)û(t, ξ)dξ, uxx(t, x) = 1 √ 2π ∞ −∞ eıξx (ıξ)2 û(t, ξ)dξ. Substituting in (1.22a) written as ut − uxx + 3ux = 0 we therefore have 1 √ 2π ∞ −∞ eıξx ût + ξ2 û + 3ıξû (t, ξ)dξ = 0. This equality is to hold for any real x, hence the expression in square parentheses must vanish. Thus, for each real wave number ξ the following ODE in time, ût = − ξ2 + 3ıξ û, t ≥ 0, (1.22b) must hold. The PDE (1.22a) has thus been transformed into a set of scalar, constant coefficient ODEs (1.22b) with the wave number ξ as a parameter. The ODE (1.22b) can be solved exactly for each ξ. ' $ % Note: The following identities hold for any scalar θ: eıθ = cos θ + ı sin θ, cos θ = eıθ + e−ıθ 2 , sin θ = eıθ − e−ıθ 2ı , cos θ − 1 = −2 sin2 (θ/2). 1.3.5 The matrix power and exponential We will often want to bound the powers An (i.e., A times itself n times), where A is an m × m matrix. If A = T T −1 , where is a diagonal matrix, then An = (T T −1 )(T T −1 ) · · · (T T −1 ) = T (T −1 T ) (T −1 T ) · · · T −1 = T n T −1 .
- 50. root 2008/5/5 page 31 i i i i i i i i 1.3. Reviews 31 Thus, in any consistent matrix norm An ≤ n cond(T ) = [ρ(A)]n cond(T ), (1.23) where cond(T ) = T T −1 is the condition number of the transformation. The matrix exponential is defined via a power series expansion by eAt = ∞ n=0 tn An n! = I + tA + t2 A2 2 + t3 A3 6 + · · · . If A = T T −1 , where is a diagonal matrix, then it is easy to see that eAt = T e t T −1 , where e t = diag{eλ1t , . . . , eλmt }. Thus, eAt ≤ emaxi Reλi t cond(T ). (1.24) The calculation of eAt for a general square matrix A, and even more so of eAt v for a given vector v in case that A is very large, can be surprisingly exciting [135]. 1.3.6 Fourier transform for periodic functions Consider the function space L2[0, 2π]. Define the inner product (v, w) = 1 2π 2π 0 v(x)w∗ (x)dx, (1.25) which also holds for complex-valued vector functions. Then w = (w, w)1/2 . Let φj (x) = eıjx , j = 0, ±1, ±2, . . . , (1.26a) be the trigonometric basis functions. Then (φj , φl) = δjl = ⎧ ⎨ ⎩ 0, j = l, 1, j = l, and any function v ∈ L2[0, 2π] can be written as v(x) = ∞ j=−∞ v̂j φj (x), where (1.26b) v̂j = (v, φj ). (1.26c) Thus, the trigonometric functions form a complete, orthonormal basis for L2[0, 2π]. Par- seval’s equality (1.19) now reads (due to the basis orthonormality) v = ∞ j=−∞ |v̂j |2.
- 51. root 2008/5/5 page 32 i i i i i i i i 32 Chapter 1. Introduction Now, for a periodic function v (i.e., v(2π) = v(0)) we have the same diagonalization effect on derivatives as in the infinite case (Section 1.3.4), because (vx, φj ) = 1 2π 2π 0 vx(x)e−ıjx dx = ıj 2π 2π 0 v(x)e−ıjx dx = ıjv̂j . Above, the crucial step follows from integration by parts using the periodicity of v to avoid unwanted boundary terms. 1.4 Exercises 0. Review questions (a) What is a Cauchy problem? (b) Let û(t, ξ) be the Fourier transform of u(t, x), where t acts as a parameter. What is the Fourier transform of ux(t, x)? (c) Is the heat equation operator a smoother? Is the advection operator a smoother? (d) For the PDE ut = ux, what is a characteristic curve? Does x grow or decrease as t grows along this curve? (e) Write down the wave equation and the Laplace equation. For which is the pure IVP well-posed? For which is the boundary value problem well-posed? (f) Define a mesh function. (g) What is the leapfrog scheme for the advection equation? (h) State the CFL condition. Is it equivalent to stability? (i) What is an amplification factor? What happens if it equals 1.2 for all ζ? 1. For the Cauchy problem with constant coefficients (1.8) show that if ım pm has an eigenvalue with a positive real part, then the problem cannot be well-posed. 2. For the initial-boundary value, constant-coefficient problem ut = P(∂x)u, 0 x 2π, t ≥ 0, u(0, x) = u0(x), u(t, 2π) = u(t, 0), derive a well-posedness condition analogous to (1.11). 3. The celebrated Black–Scholes model [26] for the pricing of stock options is central in mathematical finance; see, e.g., [183]. The PDE is given by ut + 1 2 σ2 x2 uxx + rxux − ru = 0, 0 x ∞, t ≤ T. (1.27) For the sake of completeness let us add that u is the sought value of the option under consideration, t is time, x is the current value of the underlying asset, r is the interest rate, σ the volatility of the underlying asset, T the expiry date, and E the exercise
- 52. root 2008/5/5 page 33 i i i i i i i i 1.4. Exercises 33 price. In general, r and σ may vary, but here they are assumed to be known constants, as are E and T . For the European call option we have the terminal condition u(T, x) = max(x − E, 0) (1.28a) and the boundary conditions u(t, 0) = 0, u(t, x) ∼ x − Ee−r(T −t) as x → ∞. (1.28b) (a) Show that the transformation x = Eey , t = T − 2s σ2 , u = Ev(s, y) results in the initial value PDE vs = vyy + (κ − 1)vy − κv, −∞ y ∞, (1.29) v(0, y) = max(ey − 1, 0), where κ = 2r σ2 . (b) Show further that transforming v = eγy+βs w(s, y), where γ = (1 − κ)/2, β = −(κ + 1)2 /4, yields the PDE problem ws = wyy, −∞ y ∞, s ≥ 0, (1.30) w(0, y) = max(e 1 2 (κ+1)y − e 1 2 (κ−1)y , 0). (c) Prove that the terminal-value PDE (1.27)–(1.28) is well-posed. (Note that the solution of (1.30), and therefore also of (1.29) and (1.27)–(1.28), can be specified exactly in terms of the integral 1 √ 2π z −∞ e−ζ2 /2 dζ. However, you don’t need this for the purpose of the present exercise.) 4. Consider the advection-diffusion equation ut + aux = νuxx with constant coefficients ν 0 and a. Show that the Cauchy problem is well-posed. What happens as ν → 0?
- 53. root 2008/5/5 page 34 i i i i i i i i 34 Chapter 1. Introduction 5. (a) For the advection equation ut + aux = 0 with a 0, show that the one-sided scheme (1.15a) is unconditionally unstable. (b) On the other hand, show that the scheme vn+1 j = vn j − μa(vn j − vn j−1) is stable for a 0, provided that μa ≤ 1, but unstable for any μ ≥ 0 if a 0. Explain. (c) An upwind (also known as upstream) difference scheme for the advection equa- tion can be defined by vn+1 j = vn j − μa (vn j+1 − vn j ), a 0, (vn j − vn j−1), a ≥ 0. Show that this scheme is stable if μ|a| ≤ 1, just like the leapfrog scheme, regardless of the sign of a. (d) Without programming, construct an additional column in Table 1.1 correspond- ing to the upwind scheme. 6. For the advection equation ut + aux = 0, with a 0, we know that the exact solution satisfies u(t + k, x) = u(t, x − ak). This suggests a Lagrangian numerical method: set vn+1 j = v̂n j , where v̂n j is an interpolation of nearby mesh values at the known time level tn for a value at the point (tn, xj − ak). (a) Show that the CFLcondition implies that the point (tn, xj −ak) must lie between (tn, xj ) and (tn, xj+1). (b) Suppose that v̂n j is defined as the linear interpolation of (xj , vn j ) and (xj+1, vn j+1) at xj − ak. Show that the obtained scheme is the one-sided (1.15a). 7. The nonlinear Schrödinger equation (NLS) is given by ıψt + ψxx = V (|ψ|)ψ, where V : R → R is a smooth function (e.g., the cubic NLS V (w) = ±w2 ) and ψ is complex-valued. Linearizing by setting V = c,
- 54. root 2008/5/5 page 35 i i i i i i i i 1.4. Exercises 35 where c is a real constant, write the resulting equation as a system for a real u = (u1, u2)T , where ψ = u1 + ıu2, and show that the corresponding Cauchy problem is well-posed. Do you expect the solution for discontinuous initial data to become smooth as in Figure 1.4 or stay discontinuous for t 0 as in Figure 1.3? 8. The so-called logarithmic norm of a square, complex-valued matrix A based on a given matrix norm · , is defined by ν(A) = lim k↓0 I + kA − 1 k . (1.31) This is a very useful concept because of item (d) below. (a) Show that for any k ≥ 0, −A ≤ k−1 (I + kA − 1) ≤ A. (b) Show that k−1 (I + kA − 1) is monotonically nondecreasing in k. Hence the limit as k ↓ 0 exists. (c) Explain why ν(A) is not a matrix norm. (d) Show that for any scalar K ∈ R ν(A) ≤ K iff eA ≤ eK . (1.32) (Note that K can be negative.) 9. Continuing the previous exercise, show that the logarithmic norm satisfies the fol- lowing properties: (a) ν(sI + tA) = s + tν(A) ∀ s ∈ R, t ≥ 0, ν(A + B) ≤ ν(A) + ν(B), |ν(A) − ν(B)| ≤ A − B, ν(A) ≥ −Ax/x ∀ x = 0. (b) For the usual 1, 2, and ∞-norms ν∞(A) = max i ⎛ ⎝Re(aii) + j=i |aij | ⎞ ⎠, ν1(A) = max j ⎛ ⎝Re(ajj ) + i=j |aij | ⎞ ⎠, ν2(A) = max{λ| λ eigenvalue of (A + A∗ )/2}. 10. Repeat the experiments of Example 1.2 for η = 2, μ = 0.5, and the three spatial step sizes h = .1π, .01π, and .001π. Record maximum errors at t = 1 using the three schemes (1.15). What are your observations?
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- 56. I plumpen Schlick. Der wie ein Stier gläubig fragend sie anblickte. Er stimmte ihnen bei, es kam kein Leben in ihn. Was er tun sollte; der Herzog werde Gründe angeben. — Er muß herbeigezogen werden, es muß jemand ins Lager. — Schmerzlich runzelte sich die Stirn des Mannes in breite Querfalten: ihn herbeiziehen; es könnte sein, daß er käme — mit der gesamten Armee; sie durchschauten die Verhältnisse nicht. — Sie drangen tiefer in ihn; er wies sie reglos an den Abt von Kremsmünster und Breuner, die Finanzkammer. Die sagten ihnen vieles. Und mit dieser Beute zogen sie knirschend raschelnd ab, planend, sich betäubend, aufstachelnd, begierig nicht nachzugeben, von neuem ausschwärmend; fielen über die Herren des zivilen Hofstaates. Die wollten sich nicht einreden lassen, daß sich der Herzog gegen Wien selbst wende, wichen von den Vätern, die ihnen folgten. An die Herren des Geheimen Rates wagten sich die Jesuiten nicht. Eisiges Schweigen um die Herren. Ein paar böse Worte warf Fürst Eggenberg hin: er werde sich von den Vätern nicht das Heft aus der Hand winden lassen. Ein Schauern ging durch die kontinentalen Hauptstädte, als der Herzog unbeweglich der sächsischen Armee gegenüber lag. Der Herzog hatte den Kampf aufgenommen. Der letzte Akt des Stückes hatte begonnen. n ganz loser Fühlung mit dem kaiserlichen Hofe hatte der Friedländer den Feinden einen förmlichen Friedensvorschlag zugehen lassen. Er werde verhandeln, hatte er nach Wien melden lassen, nicht was wie warum. Auf diese erschütternde Selbständigkeit war niemand vorbereitet. Im Kirchlein zu Heidersdorf Arnim begegnend enthüllte Wallenstein: die Feindseligkeiten zwischen kursächsischem und kaiserlichem Heer sollen aufhören; beide werden vereint die Waffen gegen den richten, der sich unterfange das Reich weiter zu stören und die Religionsfreiheit zu hemmen. Sie saßen mit Trzka auf der vordersten Kirchbank nebeneinander; Arnim machte Notizen auf seiner Schreibtafel. „Der Herr Bruder sieht das Heer, das ich aus Prag mitgebracht habe, und das des Feldmarschalls Gallas. Er weiß, wie es Sachsen im vorigen
- 57. Jahre ergangen ist. Ich kann ihn heute und morgen zerschlagen. Er kennt, da er mein Freund ist, meine Meinung; daß ich zum Frieden kommen will. Der Kaiser läßt sich von Pfaffen anführen.“ Noch einmal: sich zusammenwerfen, rasch und ohne Lärm; jeden fesseln, der Friedensverhandlungen widerstrebe. Im Gespräch rührte Arnim mit keinem Wort an Friedlands Stellung zum Kaiser. „Ich habe keine Lust,“ sagte der Herzog, mit steifem Kreuz am veilchenbestellten Marienaltar entlangschleichend, „nur einen Heller und einen Soldaten noch für fremde Interessen zu opfern. Sagt der Kurfürstlichen Durchlaucht in Sachsen und in Brandenburg: meine Vollmacht ist ausreichend groß, ich tue kein Unrecht; ich habe gewußt, was ich festsetzte, als ich mein Kommando übernahm.“ Später wagte der Herzog einen Vergleich mit dem Bernhard von Weimar: „Seit ich Reichsfürst bin und vor dem Römischen Kaiser mich bedecke, bin ich selbstherrlich. Ich stehe dem Reich bei, nicht mehr und nicht weniger als meinen Absichten entspricht. Zwischen mir, Bernhard und dem Bayern, der dem König in Schweden Neutralität angeboten hat, ist kein Unterschied, Hundsfott, wer mir das bestreitet.“ Auf diesen Punkt, erklärte Arnim, wolle er nicht eingehen. Bei der Tafel an diesem Tage, zu der Arnim und der Oberst Düwall zugezogen war, verfolgte Wallenstein noch zäh diesen Gedanken. Sowohl der schwedische Oberst wie Arnim hatten, soweit sie bei der schallenden Trompetenmusik verstehen konnten, den Eindruck, daß sich der Herzog festbiß in seiner Wut auf den kaiserlichen Hof. Während die anderen den Luxus des herzoglichen Tisches speisten, saß der Herzog selbst hinter gerösteten Semmeln, bröckelte daran, schluckte mit angewiderter Miene einen Brunnen, den man ihm eingoß. Er bohrte an dem schwachen Punkt der kaiserlichen Politik, die habsburgischen Hausmachtinteressen; das Reich sei verfehlt konstruiert, werde darum verfehlt regiert. Man soll offen sagen, ob man ihn mit dem Titel eines Reichsfürsten zum Besten habe. Er werde wie ein Löwe um seine Rechte kämpfen. Wenn es sein sollte, schlüge er sich auf schwedische Seite. Der Oberst Düwall wurde beauftragt, den Herzog dem Bernhard von Weimar zu empfehlen: „Ein forscher Herr; ich bedaure, daß er nicht bei mir ist.“ Die Obersten, die am Tische saßen, akklamierten dem Herzog lebhaft.
- 58. Arnim reiste nach Sachsen. Darauf lagen sich die Heere ruhig gegenüber, aber es war ein. Beißen, Ringen, Niederdrücken. Sie verstärkten sich, bogen sich, warfen sich herum, verschoben sich. Eine unruhige Bewegung machte das sächsische Heer, schon riß sich Holk drohend los, mit seinen Reitern hinfahrend auf Sachsen. Als gäbe es keine Verhandlungen, begann er das Plündern und Morden. Diesmal brach die Pestilenz unter seinen Regimentern aus. Vor Adorf verendete Holk selber mit tausenden seiner Leute. Der Herzog stöhnte eine Woche, der Tote war sein Liebling, er fluchte auf den Krieg. Heftiger drückte er auf das sächsische Heer. Breslau war nicht weit; da sollten gute Astrologen hausen. Zenno wurde aus Gitschin berufen; welche Chancen man für bestimmte Eventualitäten im Augenblick oder bald danach hätte; er sollte sich mit den Breslauern in Verbindung setzen. Eine Woche war Zeit für Berechnungen. Zenno kam ins Lager zurück mit einem der Sterndeuter, der unter dem Merkur geboren schien: ziegenäugig, schwärzlich, schlank. Mit dünner Stimme berichtete der: der unheildrohende Saturn sei eben im Eintritt in das Haus der Zwillinge begriffen; die Situation war für Maßnahmen nicht schlecht, da der Stern zum Horoskop in keinem wirksamen Aspekt stand; sie sei auch nicht einladend. Im letzten Augenblick schlug der Herzog, durch das wochenlange Warten auf Arnim aufs höchste gereizt, eine Verbindung zu Oxenstirn, den er um einen Unterhändler bat. Es traf ein Generalwachtmeister ein, mit dem er allerhand vor dem offenen Feldlager besprach; er wollte die Sachsen in die Zange nehmen. Um die Vertraulichkeit der Verhandlungen zu erhöhen fuhr der Herzog mit dem Unterhändler, der von Haus ein böhmischer Emigrant war, nach Gitschin. Keine Ruhe werde im Reich herrschen, solange Habsburg regiere, erklärte der schwedische Sendling. Der Herzog warnte vor dem Wankelmut Sachsens; er werde Sachsen Geld schwitzen lassen, wenn es sich nicht dem friedlichen Ansinnen füge. Zurück mit dem Unterhändler nach Nimptsch kehrend, ließ er sich von ihm um den Mund gehen mit Versprechungen der Krone Böhmens.
- 59. Der Sommer ging schon um. Da schleppte sich müde und langsam Arnim mit seinem Trompeter an. Der Herzog saß im Nimptscher Schlosse. Arnim bat ihn viel um Entschuldigung, klagte über den lauen Mut der beiden Höfe. Friedland gab grollend und böse lachend zurück, also man traue ihm nicht, er solle erst Beweise bringen. Er dem Sachsen. Ob er das nötig hätte. Wer ihn gezwungen hätte hier in Schlesien Monat um Monat still zu halten. Sei ihnen das nicht als Beweis erschienen. Er forschte Arnim stärker aus. Er bekam es fertig den Sachsen den Tod seines Holk in die Schuhe zu schieben. Während der Unterhaltung kam der Herzog erst allmählich dazu, die Tragweite der Antwort zu überblicken. Die Evangelischen hofften noch auf einen Sieg Schwedens. Die Evangelischen waren wie die Jesuiten; sie hatten es mit ihrem Glauben zu tun. Blödsinnige Kinder; die Eselsköpfe. Die Evangelischen waren noch nicht reif, sie waren zu stolz. Plötzlich faßte er den Feldmarschall am Wehrgehenk, stierte ihn an: so wollten sie zusammen ihr Geschäft abmachen. Es sollte nicht gegen den Kaiser gehen, dem wolle man Zeit geben, sich zu besinnen; aber gegen die Schweden. Gleichviel gegen wen von ihnen: Düwall, Thurn oder wen. Arnim konnte sich knapp aus dem Schloß retten. Friedland verlangte tollwütig Antwort in vierundzwanzig Stunden. Und hinterher ein friedländisches Ultimatum durch einen Oberst: „Die Schweden werden in drei Tagen angegriffen oder vom Heer des Herrn Bruders bleibt nicht ein Mann neben dem andern.“ Dicht bei Strehlen auf dem Wege zu seinem Lager war Arnim in Gefahr von Kroaten gefangengenommen zu werden; der Herzog hatte sie hinter ihm hergeschickt. Der Küster in Strehlen auf seinem Dache mit dem Ausnehmen von Taubennestern beschäftigt sah den Schwarm, gab durch Steinwürfe vom Turm herab dem Feldmarschall und seinem Trompeter Winke; sie entkamen. Das friedländische Heer war im Augenblick losgebrochen. Graf Gallas auf Sachsen, Arnim hinterdrein. Wallenstein schob sich nach, bei Goldenberg warf er die Kroaten unter Isolani nach Sachsen, schwenkte nach Osten, packte, auf die Oder zugehend das Schwedenlager des Grafen Thurn an, siebzig Kanonen auf das Lager richtend; sechstausend Mann ergaben sich, traten in seinen Dienst,
- 60. K Thurn und Düwall hatte er in Händen. Thurn gab er frei, Düwall ließ er entkommen. Glogau Krossen fielen. Zurück von der Oder auf die Lausitz hin; Görlitz geplündert, Bautzen. Nach Brandenburg das Heer; Frankfurt ohne Schwertstreich besetzt, Landsberg, bis Pommern Kroaten. Wallenstein stand vor Dresden. Bernhard von Weimar mit dem Schweden lag in seiner Flanke. Vorbei, in Friedlands Rücken brauste er. Und dann die Schweden wie von einer abschüssigen Ebene gegen die Donau vorrollend, Regensburg angegriffen, erobert, Bayern bedroht, die Erblande in Gefahr. Verblüfftes Stocken, Schnüffeln des Herzogs. Er ließ Sachsen los. In zehn Sturmtagen marschierte er von Leitmeritz über Rackenitz Pilsen auf Fürth. Zuletzt war er langsamer geworden, in Fürth stand er, mürrisch, sich besinnend. Er griff den Schweden nicht an. Wortlos machte er Kehrt. Das Jahr war vorgerückt. Nach Böhmen ging er in Winterquartiere. einer wußte, was das war. Sechs ein halb Regimenter zu Fuß, dreizehn zu Pferde hatte der Bayer, dazu im letzten Augenblick Truppen des Aldringen, die aber auf Befehl des Generalissimus nichts riskieren durften. Die Schweden hingen, wieder und wieder die Schweden, wie Schmeißfliegen an faulem Fleisch an seinem unglücklichen Land. Maximilian schrie nach Wallenstein. Es entspannen sich beispiellose Szenen in Braunau, wohin er wieder floh, der Kurfürst beschuldigte seine Räte Geschäftsträger des Verrats, der Faulheit. Er hätte durch sie jeden Einfluß auf die Wiener Hofkreise verloren. Wie hätte er dagestanden vor einigen Jahren, Wien hätte gezittert vor München, die Mißlaune des bayrischen Gesandten wäre ein politisches Ereignis gewesen, Verträge hatte er mit dem Kaiser gemacht, die ihm, ihm die Oberhand gewährten. Als Böhmen abfiel, die Dänen sich zeigten, immer hieß es: die Liga, Bayern. Jetzt Flennen Kriechen Speichellecken. Gerüchte über Revolten bei den bayrischen Landfahnen traten auf, die sich bestätigten; Hinrichtungen in der Zahl von sechshundert
- 61. setzte der Kurfürst an. Eines Freitag mittags meldete ihm der verzagte schneeweiße Marchese Pallavicino, sein Kämmerer, die dringliche Audienzbitte einiger Herren vom Landschaftshaus. Es erschienen vom großen Ausschuß Valentin von Selbitz, Hugo Beer, Rieter von Kornburg, Hans Hundt. Sie könnten nicht durchhalten, furchtbares Unglück breche über sie her, sie müßten allesamt verderben. Er ließ sie nicht weiterreden, fragte, wer sie seien. Und rief dann, sich vom Sessel erhebend, gegen die Tür: man solle den Abt von Tegernsee, von Metten, den Propst von Vilshofen, die Dekane hereinlassen. Die Herren erst stumm, dann wispernd einige, während sich in Maximilians Gesicht nichts verzog: es sei niemand mehr da. Aufstampfend der Kurfürst in Ungeduld und Erregung: man möchte nachsehen, auf den Gängen, auf dem Hof. Ging, während sie zurücktraten, rasch hinaus; höflich zu den Verwunderten: sie möchten sich gedulden, er würde gleich wiederkommen. Nach knapp einer Viertelstunde stand er vor dem Sessel, blickte unter die Herren, zischte sehr leise: „Nein, nein.“ Seine Augen halb geschlossen, der Mund verzerrt. Wer sie seien. — Vertreter der Vierundsechzig. „Ihr seid der Landschaftsausschuß und Ihr da und Ihr da? Wer ist die Landschaft von Euch? Wer hat Euch zusammenberufen?“ Er hielt ihr Audienzgesuch in den zitternden nassen Händen: „Ihr seid nicht die Landschaft. Ihr seid der Herr Hundt und der Herr Kornburg, Selbitz. Ihr habt die Form zu wahren. Ihr habt nicht meine Verordnungen mit Füßen zu treten. Ich bin es, der die Landschaft beruft. Meine Berufung, wo habt Ihr sie, Herr Hundt, Herr Selbitz, Ihr.“ Er rief sie in steigender Wut, wie sie wachsbleich vor ihm zurückwichen, bei Namen. „Es ist nichts da,“ schrie er, „Kämmerer, Signor Pallavicino, die Herren haben Euch belogen. Das soll die Landschaft sein, es sind Lügner. Jagt sie fort, sperrt sie ein.“ Pallavicino öffnete mit kläglichem Lächeln die Tür; Leibwache mit Musketen rissen die Herren, die keinen Ton von sich gaben, auf den Flur. Er drohte offen nach Wien, jetzt nicht mit den Franzosen, sondern daß ihm die Verzweiflung gebiete, alles auf eine Karte zu setzen. Entscheide man sich dort nicht rasch, setze er seine ganze Armee in Bewegung — gegen Wien. Mit den Schweden.
- 62. Dazwischen gellten seine Briefe mit dem trostlosen Geheul: er sei im Stich gelassen von dem Kaiser, werde verraten. Da nahm Kuttner, zitternd im Gedanken an das Gesicht Maximilians, unfähig der Aufforderung nach Braunau zu folgen, dem hilflosen Leuker die Führung aus der Hand. Neben Kuttner ging der schöne aufgeblühte vergnügte Slawata, die Augen wenig aufgeschlagen, den Arm des Jünglings umschlingend. Die blonden Haare schaukelten dem Bayern in den Nacken; sie standen im Wintergarten von Slawatas Quartier. Kuttner mit dem Degen im Kies spielend dachte an den Zwerg Maximilians und seinen Zweikampf mit dem Storch: „Ich soll mich ekeln“, sagte Maximilian. Slawata setzte sich auf eine Bank: „Ihr werdet nichts schaffen mit euren Petitionen Querellen und Deputationen beim Römischen Kaiser und seinen Räten. Bin ich doch selber ein Rat, will Euer besonderer Bayrischer, Kuttnerscher sein. Der Kaiser ist weit. Ich weiß nicht wie weit. Wir hatten uns geeint, daß Karthago zerstört werden muß. Unsere Ratssitzung kann beginnen, oder seid Ihr zerstreut?“ Von der Seite her über die lange weiße Nase kamen große leicht sentimentale Blicke zu ihm: „Die Sitzung kann beginnen. Ich dachte an meinen gnädigen Herrn, wie schuldlos er dieses Unglück trägt.“ „Da, seht Ihr, Karthago nicht im Augenblick zerstört werden kann, ist es gut, Karthago zu schwächen und uns zu stärken. Laßt nur euren Degen; denkt nicht an München und doch mehr an München; gehen wir. Habt Ihr Durst? Uns kommen die spanischen Wünsche genehm. Wir haben seit lange geplant, uns der Spanier zu bedienen, wenn sie einmal von Mailand heraufkommen wollen. Ihr werdet mitmachen müssen.“ „Was könnten wir tun?“ „Mitmachen; ich sagte schon. Denkt an München. Träumt nicht davon, Kuttner. Habt Ihr mir wirklich zugehört? Ich sagte: Spanier kommen von Mailand herauf, oder sie wollen, sie möchten gern. Sie wollen nach den Niederlanden. Sie haben nichts Böses gegen Bayern. Der Herzog zu Friedland will sie aber nicht dulden, er will sie nicht auf dem Kriegsschauplatz, auch nicht für den Durchzug; sie sollen sich eben ihm unterstellen. Ihr seht, Kuttner, Kompetenzschwierigkeiten, Eifersucht, Ehrgeiz: das alte Lied.“ Kuttner lächelte: „Vielleicht fürchtet Friedland die Spanier für sein
- 63. Spiel, von diesem Rivalitätsstreit wird mein Kurfürst nicht satt.“ „Nun also setzt Euch dahinter, daß ihm der Braten mundet. Er muß erst angerichtet werden. Wenn man Karthago zerstören will, braucht man nichts als Feuer und Holzscheite. Diese Speise erfordert Geschicklichkeit, Talente. Nicht zu große. Sagt etwa: Ihr schert Euch nicht um Habsburg. Ihr hättet vor eigenen Schmerzen keine Neigung zur Rücksichtnahme auf Wien. Ich hab’ doch übrigens gehört, die Briefe Eures Herrn seien auf diesen Ton gestimmt. Auf einen schlimmen Ton; Fürst Eggenberg klagte; er sagte, der Bayer ginge schon fast zu weit. Nun wollen wir auf keinen Fall den Spanier hier haben, wir dürfen ihn nicht wollen; es ist uns gleich, es muß uns als kaiserlichen Räten pflichtgemäß gleich sein, ob ein Infant oder der Mailänder Gouverneur kommandiert. Wir sind nun einmal an unsern Herzog zu Friedland gebunden. Wir dürfen ihm nicht die Laune verderben.“ „Es ist ein Elend. Warum greift Ihr nicht durch.“ „Seht Ihr. Ich bin so schlau: ich bin kaiserlicher Rat; das sollt Ihr für mich tun, das Durchgreifen. Mir sind die Hände gebunden.“ „Ihr habt ihn doch angestellt. Ich bitte Euch, Graf Slawata.“ „Wir haben ihn angestellt, er hat uns angestellt; wir kommen damit nicht weiter. Ihr paßt jetzt übrigens lobenswert auf, mein zerstreuter Kavalier.“ Kuttner stellte sich dem Grafen Slawata gegenüber auf, stützte sich mit beiden Händen auf den Degen, seine rotseidenen Ärmel fielen über den Degenknauf, er lachte offen dem Böhmen ins Gesicht: „Meinen Segen zu Eurem Plan. Wir sollen die Spanier rufen. Ihr werdet dazu schweigen. Die werden kommen, und wir werden Krieg führen nach hinten mit den Schweden, nach vorn mit Wallenstein, nach links mit den Sachsen. Habt Ihr guten Weizen auf Eurer Mühle.“ „Einem jungen Menschen steht Lachen immer gut. Wer Euch lachen hört, wird nie Euer Feind sein.“ Er führte den feingesichtigen Mann vor eine junge Zypresse, die hinter einer Marmorbank aus einem riesigen Kübel im schwarzen Erdboden wuchs: „Kennt Ihr meine junge Zypresse. Ich habe sie so lieb wie ein Hündchen. Was glaubt Ihr, wie sie gepflegt werden muß. Wir setzen uns hier. Wenn man einen jungen Samen pflanzt, wird man ihn nicht bald verlassen. Wenn man einen jungen Gedanken pflegt, wird man ihn nicht bald hinfallen lassen. Der Weizen auf
- 64. meiner Mühle ist nicht schlecht, wollt ihn mir herzhaft kosten.“ „Graf Slawata, Ihr meint es gut mit mir. Ihr seid uns Bayern hold, der Kurfürst sprach gut von Euch, Leuker lobt Euch, sooft ich ihn sehe. Darauf können wir aber nicht beißen. Der Herzog ist uns jetzt wenigstens der Form nach Freund. So bekommen wir ihn zum Feind und sind dann wirklich verloren. Ihr, Ihr und Ihr seid unsere Hilfe. Er ist Euer General. Wir sind Eure Verbündeten.“ „So kostet doch erst meinen Weizen. Ihr sollt den Spanier verlangen. Ihr sollt es tun, wenn es sein muß, über unseren Kopf weg. Was denkt Ihr denn, junger Kavalier, was wir tun? Ihr meintet schweigen. Das ist schon möglich. Der Herzog zu Friedland hielt das immer für besser, den Menschen auf die Faust statt auf das Maul zu sehen.“ „Ihr würdet also —“ „Den Mund halten. Zum wenigsten. Gewiß.“ Sie blickten sich lange still an; ihre Blicke wiegten sich. „Denkt an meine Zypresse“, fing der Graf an. „Wenn man einen Gedanken pflanzt, läßt man ihn nicht bald vergehen. Ihr seid in Not. Wie Ihr in Not seid, wißt Ihr selbst. Ihr könnt tun, was Euch einfällt. Ich weiß, Eggenberg und Trautmannsdorf denken nicht anders. Keiner darf das Euch jetzt verwehren. Der Spanier wartet auf eine deutsche Einladung.“ „Wißt Ihr das sicher?“ Slawata lächelte fein: „Ich habe mich orientiert. Ihr könnt jeden Gebrauch von Eurer Entschlußfreiheit machen. Wir werden Euch jedenfalls nicht hindern.“ Ein breitkrämpiger brauner Samthut saß auf Kuttners langsträhnigem Blondhaar weit in der Stirn. Vom linken Krämpenrand hing ein goldener Stern mit einer Kugel, gegen die die angehobene linke Hand rhythmisch mit den Fingerkuppen schlug. Er träumte wieder; mit schmerzlicher Weite des seitwärts gedrehten Blicks traf er den dunklen Böhmen: „Die Spanier sind fromme Katholiken; sie werden meinen gnädigen Herrn verstehen, wenn er sie um Hilfe bittet.“ „Denkt in welcher Lage Ihr seid. Wißt,“ er näherte sich flüsternd dem Kopf des andern, „wir warten auf Euch.“ „Wieder? Wieder auf Bayern?“ Das Gesicht des jungen leuchtete auf. „Seht Ihr“, flüsterte Slawata. In seinem roten Wams mit den losen Purpurhosen, die weiße Spitzen trugen, beugte der schlanke Bayer vor ihm ein Knie: „Wenn
- 65. D Ihr meinem gnädigen Herrn beistehen wollt.“ „Wir werden Euch nicht verlassen.“ er Bericht des Herzogs Feria, Mailänder Gouverneurs der Spanier, gelangte gleichzeitig an den Hofkriegsratpräsidenten, den Grafen Schlick, den Fürsten Eggenberg und den Botschafter Ognate. Der Mailänder meldete: ihm seien durch besondere Bevollmächtigte des Bundesobersten der Liga Nachrichten zugekommen, die erkennen ließen, daß dieser um die gemeinsame Sache so hochverdiente Fürst in die äußerste Kriegsnot geraten ist. Angewiesen auf eine Truppe von nur wenig Regimentern, unterstützt von nicht kampfbereiten kaiserlichen Regimentern unter der Führung seiner Liebden, des Generalwachtmeisters Aldringen sehe sich die Liga der gesamten Heeresmacht der Schweden gegenüber. Und dies zu einer Zeit, wo es im bayrischen Lande gäre, wo die rheinischen Hilfsquellen der Liga durch feindliche Besetzung verstopft seien und der kaiserliche Generalfeldhauptmann Friedland sich mit seiner gesamten Armee in Böhmen eingeschlossen habe. Bei Erwägung dieser Sachlage und seiner eigenen zugekommenen Nachrichten, die ihm vom deutschen Kriegsschauplatz geworden seien, käme er zu dem Schluß, daß es in naher Zeit sowohl um die kaiserliche wie die gemeinsame Sache bänglich bestellt sei. Weswegen mit der Herrüstung des geeigneten Widerstandes nicht gar so lange gefackelt werden dürfe. Er, der Herzog Feria, sei nun, wie dort bewußt, gemäß erteiltem Befehl der Spanischen Majestät längst im Begriff und im Zuge, in das Römische Reich aufzubrechen, um Truppenkörper nach den Niederlanden zu überführen, wo die Infantin Isabella Hoheit auf den Tod daniederliege und tägliches Ableben zu gewärtigen sei. Begehre er selbst und schlage vor, der dortigen Not Abhilfe zu tun mit seinen spanischen und italienischen Regimentern. Er beschrieb dann noch den Weg, den er nunmehr sogleich einzuschlagen gedachte, endete nicht, ohne vorher auf die eingetretenen und voraussichtlichen Schwierigkeiten der Befehlsgewalt hinzuweisen, die seiner Tätigkeit Eintrag tun könnten und die behoben werden müßten.
- 66. „Ich habe es meinem gnädigen Herrn geraten,“ jubelte Kuttner, die beiden Hände Slawatas pressend, „Doktor Leuker war nur zaghaft dabei. Ihr laßt mich nicht im Stich.“ „Ihr werdet alles von mir erfahren, was Ihr braucht, meine junge Zypresse.“ In den dunklen Korridoren der Burg drängte sich der Graf Slawata mit den Vätern der Jesugesellschaft, die den Grafen Schlick täglich heimsuchten, ihren Affilierten: er solle entschlossen den Friedländer anfassen. Den Grafen Slawata widerten die Jesuiten an; es war ihm zuwider, daß sie sich an Wallenstein, seinem Wallenstein vergriffen; er ließ sich mit ihnen in keine Gespräche ein. Sie sahen ihn süß vertraut an; er ekelte sich, dachte oft die Angelegenheit fallen zu lassen, aber immer wieder wurde er von einer schwebenden Bewegung in sich veranlaßt nachzugeben. Er hatte das Gefühl, diese Sache zu Ende bringen zu müssen, dazu vorbestimmt zu sein; er suchte sich ihr zu entziehen, sie fiel ihn wieder an, es war ein Spiel zwischen ihm und der Sache, er war daran verloren. Lächelnd ging er zum Grafen Schlick, dachte, wie sonderbar einfach es sei, ein Werkzeug der Fügung zu sein und daß er eigentlich nichts mit Wallenstein zu tun habe. Schlick, der Papist, schwer und träge in seinem Stuhl, erklärte, er könne das Vorgehen Spaniens nicht verhindern. Der graue Mann schien es dann für einen wertvollen eigenen Einfall zu halten, daß man die Situation gegen den Herzog ausnützen könne. Die einsetzende geheime Ratsdebatte legte die Schwierigkeit der Situation und die Zerrissenheit der Auffassung bloß. Questenberg wollte empört über Bayern fallen. „Da Bayern offenbar hinterrücks den Spanier gerufen hat, soll man gegen Bayern verfahren. Es ist ein unerhörtes Vorgehen, beleidigend gegen das Kaiserhaus im Äußersten. Es grenzt an Verrat. Freilich ist man es von Bayern gewohnt.“ Was er also gegen Bayern tun wolle. „Wir haben einen Generalfeldhauptmann; der Spanier hat sich ihm sogleich zu unterstellen und seine Befehle entgegenzunehmen. Dies müssen wir anordnen.“ „Ja, wir können es anordnen“, lächelte Trautmannsdorf. Schlick: „Möglicherweise müssen wir es sogar anordnen, denn es steht in seinem Vertrag, im Vertrag des Herzogs.“ Eggenberg: „So wäre ja alles in bester Ordnung. Wir sind uns einig, daß angeordnet
- 67. werden muß, der Mailänder Gouverneur mit seiner Armee unterstellt sich dem Befehl Friedlands.“ Questenberg unterstrich das Verlangen durch Wiederholung. Schlick nickte gleichmütig. Slawata und Trautmannsdorf, die beiden, die gern miteinander plauderten, tauschten Blicke, lächelten. Plötzlich wie auf Signal, sahen sie voneinander weg. Gähnend meinte Schlick, er werde das Schreiben, welches ihren Standpunkt charakterisiere, gleich verfassen; bliebe nur die Frage, wer sich zur Überbringung des Briefes und mündlichen Diskussion mit Friedland bereit erkläre. Alle fixierten Questenberg. Plötzlich war der durch die Einhelligkeit unsicher geworden; er blickte zur Erde, suchte nach Worten; er wolle natürlich gern den Auftrag übernehmen; wozu aber übrigens — das schloß er nach überlegender Pause an — wozu eine mündliche Diskussion da noch benötigt werde, der Brief werde doch wohl rund und nett den hier vorgetragenen Standpunkt wiedergeben; ein Kurier könne dasselbe tun. Trautmannsdorf vorsichtig sanft vor Questenberg; nicht doch, ein Kurier, das sei nicht besser als ein Bote, ein Mensch, der nichts weiß, nichts hört, nichts spricht; und der Herzog wird fragen; er zweifle nicht, daß Friedland wird fragen wollen. — Was denn. — Etwa, wie sich der Hof dazu stelle. — Nun, das sei doch einfach; der Brief ist darin doch von genügender Deutlichkeit; der Hof verlangt völlige Unterstellung des Mailänders unter Friedland. — Eifrig bestätigte das Trautmannsdorf; plötzlich fing er wieder einen Blick Slawatas auf, er fragte: „Warum lächelt Ihr mich an, Slawata?“ „Weil Ihr so eifrig seid. Ich sehe, Ihr seid selbst noch immer so bequem wie früher.“ Eggenberg und Schlick hörten schweigend die Debatte an. Da fühlte sich der etwas verwirrte, sogar bestürzte Questenberg genötigt, sich an jeden einzelnen zu wenden und ihn zu fragen, ob es denn nun so wäre wie man besprochen habe und wo denn da eine Schwierigkeit zu erwarten sei. Wie dieses Wort fiel, „Schwierigkeit“, und wie Questenberg so fragte, wurde es ernst und streng in der Kammer. Fest erklärte Schlick: „In dieser Hinsicht habt Ihr den Friedländer darüber aufzuklären, daß er unsere einzige Stütze sei und daß wir keine
- 68. Machtmittel besitzen den Mailänder zu zwingen, falls der etwa, wie es scheint, seiner Wege gehen will.“ „Es versteht sich auch von selbst,“ fuhr Eggenberg feindselig fort, „daß wir ohnmächtig den Bestrebungen Bayerns gegenüberstehen, sich ausländische Hilfe zu verschaffen. Es liegt bei Bayern ebenso wie bei den rheinischen Städten: wir können ihnen nicht helfen, wir dürfen ihnen darum auch nicht einmal böse sein, wenn sie sich selbst nach Hilfe umsehen. Immerhin könnt Ihr in diesem Zusammenhang dem Friedland bemerken, daß die Schuld an dem Auftreten Bayerns auf ihn selbst falle. Denn er war auch gedacht als Schutz für Bayern; er ist der Befehlshaber eines Reichsheeres.“ Fade lächelte Questenberg: „Ich glaube, ich werde das nicht so sagen.“ „So sagt es anders. Aber irgendwann wird einmal unser Standpunkt hervortreten müssen, Ihr werdet da nicht herumkommen. Was tut denn jetzt Friedland, was hat er im Sommer getan, wofür sind unsere eigenen Steuerquellen in Anspruch genommen worden? Die Herren wissen alle, daß ich kein Fürsprecher bayrischer Politik bin. Nicht von mir hat Maximilian den Kurhut erhalten; aber jetzt haben wir mehr als zurückgezahlt an ihn. Wir fangen alle an, uns des Kurfürsten Maximilian zu erbarmen.“ „Ihr werdet mir noch einen mitgeben müssen; es wird sich leichter verhandeln lassen.“ Eggenberg, herumspazierend, überhörte ihn; er redete laut und scharf: „Wir reden gewiß davon, was uns eigentlich selbst mit all dem von Friedland geschehen ist. Wie uns dies ins Herz schneiden muß, daß ungefragt, ungebeten eine spanische Truppenmacht sich in Bewegung setzt und ins Reich eindringt. So gräßlich liegt das Reich und Habsburg danieder. Wir sind machtlos gegen Friedland, wir wissen es selbst. Er soll es aber nicht bis zum Äußersten treiben. So machtlos sind wir hier nicht, daß wir uns widerstandslos ergeben.“ Dröhnend fiel Schlick ein: „Ich billige ganz, was Ihr sagt, Fürst Eggenberg. Ich werde den Herrn von Questenberg in das Lager Friedlands begleiten. Wir sind nicht so machtlos, daß wir schweigen müssen.“ Trautmannsdorf bat, die Augen leuchtend, um die Erlaubnis reden zu dürfen: was man mit alledem denn vorhabe, worauf es hinausginge. Schlick übernahm die Antwort: „Wir haben es über zu
- 69. schweigen. Wir haben es nicht nötig zu schweigen.“ „Ihr habt es nicht nötig?“ „Nein, Euer Liebden. Wenn es sein muß, haben wir Bayern und Spanien mit uns. Wir werden uns auch des Friedlands erwehren können, nachdem wir mit Böhmen und anderen fertig geworden sind.“ Zurückweichend pfiff der verwachsene Graf: „Also Kampf.“ „Nein, Entscheidung. Kampf haben wir seit zwei Jahren.“ Betroffen Trautmannsdorf, sich einen Sitzplatz suchend: „Verzeiht, wenn ich Euch in Anspruch nehme. Ihr redet von einem Mann, den ich verehren gelernt habe. So rasch lerne ich nicht um. So rasch hab’ ich mir das alles nicht gedacht. Ihr zeigt mir gütigst die Notwendigkeit, diese sogenannte Entscheidung zu suchen.“ Schwer über sich hängend Schlick, aus großen schlaffen Augensäcken um sich blickend, den Stuhl erdrückend: „Ich sag’ Euch gern meine Meinung. Ich halte Friedland für einen Verräter. Er ist nicht besser als Bernhard von Weimar, aber schlauer.“ Trautmannsdorf lachte, er saß, ihm war schwindlig: „Das sagen die Jesuväter auch. Sie predigen es schon lange. Was ist damit gesagt.“ Eggenberg leise, unterbrechend: „Ich halte ihn nicht für einen Verräter. Er ist uns aber gefährlich. Er muß sich entscheiden.“ „Tut das nicht“, bat Trautmannsdorf. „Was?“ fragte fast zärtlich Eggenberg neben ihm. „Schickt jedenfalls nur Questenberg allein. Graf Schlick bleibt besser hier. Was soll bei alledem herauskommen.“ Schlick: „Wir werden Klarheit finden.“ „Und,“ bettelte Trautmannsdorf, „Ihr werdet durch Euer Auftreten Klarheit in ganz falscher Richtung schaffen. Klarheit, die ohne Euch gar nicht so geworden wäre.“ Sie kamen dann, da Schlick nicht nachgab, überein, Schlick dem Questenberg beizugeben und sie beide zu verpflichten, nicht über eine Aufklärung hinauszugehen. Zuletzt entschied man sich noch, an den Herzog schriftlich mitzugeben, was etwa erforderlich sei, und mit der Reise in das Pilsener Lager noch etwas, jedoch nicht gar so lange zu zögern. Man wollte erst warten, ob es Ernst war mit dem Anmarsch der Spanier. Schwebend ging Slawata hinaus, an Trautmannsdorf hängend. „Was meint Ihr,“ fragte der Böhme, „Ihr weint ja fast. Der Herzog lebt noch. Er ist noch nicht tot.“ „Sie werden ihn umbringen. Sie
- 70. wollen ihn beseitigen. Graf Schlick ist kein Mensch. Er ist ein Untier. Es wäre besser, Friedland regiere hier, ganz, schrankenlos, und nichts bewegte sich gegen ihn.“ „Meint Ihr,“ seufzte Slawata und hing dem Gedanken träumerisch nach, „warum wollen wir so Unmögliches bedenken. Es schickt sich in der Tat alles gegen Friedland. Es hat etwas Elementares an sich.“ „Slawata, Ihr seid mein Freund,“ Trautmannsdorf wandte sich plötzlich an den anderen, „wollen wir uns zusammentun. Wir wollen dem Herzog helfen. Ich kann es nicht mit ansehen. Seit Monaten geht es so gegen ihn, Schlick hat alles in der Hand, Eggenberg sagt nicht nein, der Weg ist fast schon vorgezeichnet.“ Ein glückliches Gefühl ging durch Slawata; es war so schön, was der andere vorschlug; kurios war es, daß grade ihm dieser Antrag wurde, aber warum sollte er nicht einmal dem Herzog helfen, helfen, ihn retten. In ihm winselte, zwitscherte es: ich will mit dem Grafen dem Herzog helfen, wir spielen zusammen mit ihm, ich muß ihn doch beseitigen. Und erst in diesem Augenblick war ihm flammend klar und durchrieselte ihn mit Wonne und Seligkeit, daß er wahrhaft vorhatte, den Herzog zu töten. Riesenhoch lohte es durch ihn: ich will ihn töten, er labte sich an dem Feuer, wuchs stolz daran hoch. Voll Dank drückte er dem kleinen Grafen den Arm; ihm sei nichts Lieberes begegnet den Tag als dieses Wort des Grafen Trautmannsdorf, man solle den Herzog nicht dem Grafen Schlick überlassen; nein sie wollten sich selbst an ihn heranmachen. Trautmannsdorf starrte ihn an; Slawata in seiner halben Berauschtheit merkte es erst spät: „Was stiert Ihr so.“ „Wir wollen uns selbst an ihn heranmachen.“ Slawata sah ihn an; das hatte sein Mund gesagt, er erinnerte sich nicht; was tat sein Mund. Launisch, gefaßt lachte er: „So will ich meinen Mund schlagen, der sich auf eigene Füße stellen will. Was sagte er. Er ist ein Kalb. Ich möchte mich an den Herzog heranmachen, ihm die Gefahren schildern, ihn führen.“ „Das will ich doch so gern. Wollen wir ihm helfen.“ Und Slawata sog den aufrichtigen Schmerz und die Sorge des andern wie einen starken leidenschaftlichen Geruch ein. Wie er vor seinem Schreibkabinett saß, schrieb er. Er teilte dem Friedland die Machenschaften am Hofe mit, daß Schlick mit den
- 71. D Jesuiten den Ton angebe, Eggenberg aus Angst mitmache; daß viele gegen ihn seien; bald werde Schlick und Questenberg ihn zur Rede stellen; wichtige Personen am Hofe hätten ihn im Verdacht des Verrats, wichtige entscheidende Personen. Er überlegte sich nicht einmal, als er dies schrieb, wie er seine Teilnahme für den Herzog begründen sollte und was der Herzog dazu sagen würde. er Kaiser hielt sich in der Burg auf. Er beobachtete mit argwöhnischen Mienen, was um ihn vorging. Ein sonderbares Vibrieren hatte noch in Wolkersdorf in ihm begonnen. Es trieb ihn seine Umgebung zu beschnüffeln. Man hatte ihm von den Befürchtungen um Friedland berichtet: das waren dieselben Worte, die sie zu ihm gesprochen hatten, ehe man ihm das Generalat übertrug. Der Schwede war hin, jetzt mußte man auf der Hut vor dem General sein. Sie sagten es. Er gab die Jagden auf. Eine Beängstigung Befremdung wuchs in ihm. Er verschwieg sich, daß er vor den Heiligenbildern und Kruzifixen nicht stillstehen konnte, daß er gepeinigt davon fortgetrieben wurde. Er wollte fort aus Wolkersdorf. Er war eines Morgens fast nach Wien geflohen. Er verlangte bald den, bald den Herrn zu sich zum Vortrag. Sein Geheimsekretär wurde von ihm herumgeschickt, dann befragte er ihn ruhelos. Etwas Ängstliches hielt ihn neuerlich in der Burg fest. Mit Widerwillen Widerstreben verharrte er. Die Kaiserin, die fast ein Witwendasein in tiefer Religiosität abgeschlossen in ihrem Flügel führte, kam näher an ihn. Sie tauschten Worte über einige Ordensdinge. Sie war beglückt, daß er nun selbst Schmerz über diesen Wallenstein empfand und damit rang; auch zu ihr waren diese Dinge gekommen durch ihren Beichtvater; auf den Kaiser zu wirken hatte sie aber abgelehnt. In ihr zuckte es wieder, sich ganz neben ihn zu stellen; die Trauer um Mantua lichtete sich etwas; der Mann neben ihr sah gequält aus. Plötzlich bemerkte sie, daß je mehr sie sich änderte, er von ihr abwich. Er erstaunte über sie; er fühlte: sie bemerkte, daß er den Halt verlor; sie wollte ihm helfen, er wollte es nicht, fand es schamlos, fand sich bloßgestellt, seine Unruhe vertieft; wich, hörte
- 72. sie trübe an. Sie warb weiter um ihn, es geschah ab und zu, daß er sie wieder ansah. Eleonore von Mantua, die in Regensburg vor ihm geflohen war. Sie hatten einmal nebeneinander gestanden vor der golden blinkenden Monstranz, die den Baum des Lebens darstellte. Ihr hochrotes Kostüm, die Perlenkrone auf ihrem spröden braunen Haar, dunkle dicke Augenbrauen, die Schleife an ihrer Hüfte mit seinem Namen. Dann hatte er sich hineingestürzt in sie; sie waren, wie sonderbar, auseinandergekrochen wie zwei grüne Kröten, plätscherten nebeneinander. Verwirrt hielt er sich jetzt in manchen Augenblicken an sie fest, sie umschlangen sich, er war glücklich und besinnungslos, in ihr blieb die Freude und die Sehnsucht. Sie hatte nicht mehr in Erinnerung das verquollene leidende Wesen, das ihr in der Innsbrucker Kirche begegnet war, mißtrauisch aus seiner Schale blickend, das stumme machtgeschwollene Ungeheuer von Regensburg. Er verwandelte sich wieder; er blickte sie an. Sie wußte jetzt nur, aus ihrem Witwenzimmer schleifend, daß er ihr Vaterland war. Mantua war verloren: da ging, da schlich — Mantua! Wie sie aus ihrem Witwenzimmer zu ihm gefunden hatte, hatte sie nur dies Gefühl; es lebte zwangsartig in ihr; sog sich in ihr fest. Nachdem der Kaiser sich bei vielen über die schwebenden Dinge orientiert hatte, lockte es ihn einmal in Gegenwart der Kaiserin den großen Luxemburger, den hinkenden Jesuiten zu sprechen. Ein undeutliches Gefühl hatte ihn bewogen in Gegenwart der Kaiserin und Lamormains die Dinge auf sich wirken zu lassen, mit ihnen gemeinsam die Dinge zu übernehmen. Hilflos fühlte er sich, von Woche zu Woche mehr. Man sah am Hofe: seine große Hoheit war einer Müdigkeit gewichen; er wußte sich keinen Platz, fühlte sich beirrt, gehindert, gereizt, in einer unnatürlichen Lage. Das wehte launenhaft über ihn und breitete sich mehr aus, zerriß seine Einheit. Triebartig hatte er in manchen Stunden das Verlangen, die ganze Last und den Wust von sich abzuschütteln, um wieder zu seiner Macht zu finden. Seine alte Neigung, Schwierigkeiten durch die Flucht zu entgehen, erwachte gelegentlich. Es drängte ihn jetzt leise zu Menschen, zu Eleonore. Sie sollte alles mit ihm dulden. Was würde sie sagen. O er wollte sich fesseln
- 73. lassen. Er fürchtete sich, fürchtete sich vor dem, was ihm bevorstand. Wie Lamormain anschlich, erinnerte ihn Ferdinand, sich in seinen Abtstuhl senkend, an die Ruhe der Tage in Regensburg und wie die Ereignisse gräßlich geworden wären, gräßlich durch das Wanken aller menschlichen Beziehungen; was hätten sie aus seinem Wallenstein gemacht, dies sei kein Verräter, oft hätte er Lust den Herzog zu rufen und mit ihm alles zu klären; Mißtrauen, Übelwollen, daraus sei das jetzige Ungemach geboren, es mußte auf ihrer Seite viel verschuldet sein. Lamormain, mit seinem Stock den Boden zeichnend — sie saßen in einer glasgeschlossenen geräumigen Galerie, die den Blick auf einen Hof gestattete, Gemälde Skulpturen an der seidenbespannten Längswand, bunte Ampeln hingen herunter, der Hof versammelte sich hier oft — auch Lamormain dachte an Regensburg; Maria Himmelfahrt, die gelbroten Flammenräder fuhren über die Wände des Musikzimmers im stillen Bischofspalast; wie ein Begnadeter legte dieser Kaiser alle Macht von sich, legte ihre Schwäche und Kleinheit bloß. Jetzt saßen die Hunde, die er losgelassen hatte, an ihm, fielen den Jäger an. Matt der Pater: Eggenberg hätte sich viel bemüht Schwierigkeiten und Konflikte zu vermeiden, die Dinge nähmen aber einen Verlauf, der fast vorauszusehen war. Gereizt Ferdinand, an seinem grauen Kinnbart rupfend: der Priester möchte das nicht sagen, man möchte nicht Wallenstein schlimme Neigungen zuschreiben, er glaube das nicht, der Verlauf werde ihm vorgezeichnet. — Sein Beichtkind, das flattrig leidend im Stuhl sich bewegte, umfaßte Lamormain mit einem langen herzlichen Blick; er sah auch auf die Kaiserin, die das Kinn auf der Hand, den Arm auf die Sessellehne aufgestützt hatte, leicht vorgebeugt, beide beobachtend: so hätte die römische Majestät es vielleicht richtig genannt; wenigstens zu einem Teil werde dem Herzog ein gefährlicher Weg von außen vorgezeichnet; seit Regensburg könne man das mit Recht sagen. Und als die Kaiserin den aufmerksamen Kopf hob, ihn fragend anblitzte, den Arm sinken ließ: ja, seit Regensburg, seit seiner Entlassung; seit da sei dem Friedland nicht mehr zu trauen; er verirre sich immer mehr. „Seit seiner Entlassung“, hauchte die Mantuanerin errötend, legte sich im
- 74. Sessel zurück; „man durfte ihn doch wohl entlassen.“ Ernst Lamormain: gewiß, er sei vom Kaiser angestellt und nicht auf Lebenszeit, aber die Menschen seien nun einmal im Grunde ihres Herzens eigentümlich, ein Gefühl für die Rechtsverhältnisse sei nicht da; da kümmere sich einer nicht darum, ob jener Kaiser sei und er Kämmerer; er will seine Begehrlichkeit befriedigen, er läßt sich nicht fortschicken. „Was ist das?“ Ferdinand fest angelehnt, die linke Hand vor dem Mund: „fortgeschickt. In Regensburg. Der Herzog zu Friedland ist mein Freund gewesen. Sein Grimm, wenn er da ist, hat mit Regensburg nichts zu tun.“ — Lamormain: man erzähle sich, er datiere seit Regensburg. — Ferdinand: in Regensburg sei das Reich geordnet worden; der Streit der Kurfürsten sei beendet worden; das Reich habe sich gefestigt wie niemals. Friedland hat auf Festigung und Sicherung des Reichs gedrungen; was komme man mit Regensburg; wie solle Regensburg ihn, gerade ihn schlimm beeinflußt haben. Mit demselben tiefen herzlichen Blick nahm Lamormain, gebückt über sich sitzend, seine Worte an, traurig die Stirn runzelnd; leise vorsichtig: „Er ist in Regensburg entlassen worden.“ „Von wem redet Ihr, Ehrwürden.“ „Vom Herzog zu Friedland.“ „Eben. Es ist doch kein Lakai oder Barbier entlassen worden. Es ist der Herzog zu Friedland.“ „Was macht es.“ „Nun sprecht doch, Ehrwürden, um Jesu willen.“ „Er ist von der Römischen Majestät mit Glimpf entlassen worden. Er war Generalfeldhauptmann der kaiserlichen Armada, hatte den dänischen König geschlagen, den niedersächsischen Kreis beruhigt.“ „Ich habe ihn mit mehr als Glimpf entlassen. Ich habe ihm Geschenke geschickt, es ist keine Woche vergangen, daß ich ihm nicht ein freundliches Wort gab, er war mir immer mein oberster Feldhauptmann, ich war ihm stündlich gnädig und huldvoll.“ „Ihr wohl, Kaiserliche Majestät. Ihr wart ihm huldvoll und gnädig. Aber er nicht der Kaiserlichen Majestät. Denn er war der Friedländer, der Herzog zu Friedland, Wallenstein; oh, wer das ist, Wallenstein. Und er ist beleidigt worden, er hat gehen müssen, hat der kurfürstlichen Durchlaucht in Bayern weichen müssen.“ „Wir reden im Kreis. Das Reich hat es erfordert. Der Herzog weiß es. Ich habe ihm nicht übel
- 75. gewollt.“ Immer still der Priester; er hätte, sagt man, dem Kurfürsten in Bayern weichen müssen. Flammend blickte, beide Arme schräg über die Lehne legend, Eleonore den Kaiser an, dessen Gesicht klein in seiner Gequältheit erschien; etwas Drohendes in ihrer Stimme: man erzähle sich überall; es sei nicht der Kaiser, sondern der Bayer gewesen, der den Herzog abgesetzt habe. Durchbohrend Ferdinand vorgebeugt: „Denkst du das auch?“ Sie legte sich angstvoll zurück: „Ich fragte doch.“ Heiser Ferdinand: „Frage nicht, Eleonore. Du denkst zuviel an Mantua.“ Sein Ausdruck wechselte, wie er sie fixierte; dann sanfter: „Du weißt nicht, wie es zugegangen ist. Ich habe Italien nie übel gewollt. Friedland auch nicht. Ich hätte dir gern Freude gemacht, Eleonore.“ Sie hauchte, fast zärtlich, sich über ihren Schoß errötend breitend: „Ich weiß, Ferdinand. Verzeih mir.“ Sie schwiegen. Die Schloßwache marschierte mit langsamem Gesang über den Hof, das helle Winterlicht erfüllte bis in die Winkel den warmen weiten Raum. Eleonore anscheinend zuhörend: „Welche schönen weltlichen Lieder es gibt.“ Der Kaiser, der gebrütet hatte, auffahrend, als wenn er etwas abwürfe: „Also es sieht aus, als wenn ich schuld an der Lage bin. An den Verwicklungen. Vielleicht, nein, ich bin schuld an dem sogenannten Verrat Wallensteins. Das alles leuchtet mir nicht ein. Ich sage es zehnmal. Und wenn man mir zehnmal und zwanzigmal widerspricht.“ Nach einer Pause hitzig mit Gesten gegen Lamormain, der sich hochgesetzt hatte: „Und wenn ich Schuld habe. Wir reden jetzt nicht davon. Wie lange ist Regensburg her. Ich kann es schon gar nicht mehr denken. Regensburg ist schon fast nur eine Einbildung. Was kommt man mit Regensburg. Wenn ich den Herzog entlassen habe, dann ist alles wieder gutgemacht. Wenn er beleidigt war: er ist Feldhauptmann geworden; er hat, was er will. Was will er?“ Die Mantuanerin drückte ihren langen Fächer auf seinen fuchtelnden Arm; er solle sich nicht erregen, die Dinge würden bald wieder ausgeglichen sein. — „Ausgeglichen. Ich weiß es nicht. Ich weiß nicht, was das Ganze soll. Was dahinter steckt.“ Eleonore behutsam: „Wohinter.“ „Nun versteh doch, Eleonore. Ihr versteht mich gewiß, Ehrwürden. Höre doch einmal. Es ist ja gar kein Grund für den Herzog vorhanden gegen
- 76. mich zu sein. Ich habe ihm keinen Anlaß geboten. Er ist Haupt des Heeres mit der ungeheuersten Vollmacht. Wir bestreiten sie ihm nicht.“ Seufzend Eleonore: „Er will nicht.“ Bittend Ferdinand mit gespanntem Gesicht: „Was ist, Pater. Was wißt Ihr.“ Nichts, als daß dem Herzog nicht genug sei an den Vollmachten und an dem Heer; daß er nicht zufriedenzustellen sei. — Was er denn wolle. — Er vergißt nicht, daß man ihn bei Regensburg weggeschickt hat. Er läßt das nicht liegen, es ist ihm wichtig für sein Handeln wie irgend etwas. Und nun gibt es keine Ruhe. — „Wir haben ihn nicht besänftigt mit dem neuen Kommando?“ — „Den Herzog?“ „Nun?“ Lamormain lachte freundlich, tauschte Blicke mit der Kaiserin, die lächelte: „Kaiserliche Majestät. Ich will kein Beispiel geben. Es sollte mir auch schwer sein für den Herzog ein Beispiel zu finden. Im Grunde braucht man nur zu sehen, — wenn ein Stein auf einen Marmorboden geworfen wird — eine Kante von dem Stein bricht ab: diese Kante ist nun in alle Ewigkeit ab, sie kann nur durch einen Entschluß Gottes wieder am Stein befestigt werden.“ — „Nun?“ „Der Herzog weiß, wer er ist. Er hat es in Regensburg gemerkt. Es paßt ihm nicht. Er verzeiht es nicht, daß er so ist, unser, der Kaiserlichen Majestät Feldhauptmann, und weiter nichts.“ Ferdinand biß mit gerunzelter Stirn an seinem Handknöchel, er arbeitete mit dem Zeigefinger an seiner Unterlippe, brachte hervor: „Seht einmal, Lamormain. Ist es Euer Eindruck — hat man dem Herzog irgend etwas in den Weg gelegt.“ „Nicht doch“, lachte behaglich Lamormain. „O warum lacht Ihr denn,“ Ferdinand seufzend, flehend, „sagt mir doch, was ist.“ Mit großer Weiche der Jesuit: „Majestät wollen wissen, was man dem Herzog in den Weg gelegt hat. Nichts. Es hätte keiner wagen können. Er hat ja die ganze Macht allein.“ Erleichtert Ferdinand: „Nun also.“ Lamormain mußte ein anspielendes Lächeln unterdrücken: „Es genügt ihm nicht.“ Unsicher Ferdinand, an seinem Gesicht, an seinen Händen hängend, die ganze schwarze starke Gestalt des Jesuiten mit den Augen verschlingend: „Es ist ihm nicht genug.“ Und im Hintergrund fühlte er sich etwas regen, ganz unerwartet sich aus dem Grauen Tiefen schieben, etwas mit tausend Füßen, das lief, lief, das ihm entgegenlief, dem er entgegendrängte, gegen das
- 77. er sich stemmte. „Puh, puh“, spie er. Das wieder. Dahin, dahin wieder. Er stand aus dem Sessel auf; das Kleid Eleonores rauschte neben ihm, es duftete stark neben ihm; sie war, wie der Ekel sein Gesicht entstellte, zu ihm gedrängt. Sie gingen nebeneinander Arm in Arm über die Teppiche der Galerie. Lamormain stellte sich an die Brüstung der Galerie. „Es ist ihm nicht genug“, flüsterte Ferdinand, als sie an Lamormain vorbeizogen, hielt etwas an. Sein ausgerenktes Gesicht. Er hielt Eleonore an beiden Armen vor sich fest. Die Mantuanerin halb weinend: „Er ist ein Teufel.“ Von der Seite Lamormain schwer traurig: „Kein Teufel. Ein armer Mensch.“ Er hielt noch die Mantuanerin umfaßt, stierte ihre Augen an wie Fremdkörper, ihre verkräuselten Haare, ihren auseinandergezogenen Mund, ihre abwärts gesenkten Mundwinkel, einen Finger hob er: „Dies ist es. So sind die Menschen. Der Pater hat es gesagt.“ Und wieder wimmelten über ihn die tausend kleinen krebsartigen Füßchen, der schuppentragende langgestreckte Leib; der Leib war so dicht über ihm, er hatte Neigung sich zu bücken. „Was sagst du dazu?“ Sie mit tränenerfüllten Augen, gebrochener Stimme, ihn im Gehen fortziehend; sie suchte ihrer Stimme einen leichten Ton zu geben: „Es wird nicht schwer sein etwas gegen ihn zu tun. Wir brauchen darum nicht zu sorgen. Wir werden morgen den Fürsten Eggenberg und unseren lieben Schlick bitten. Sie werden uns erzählen, was zu tun ist.“ Der Kaiser ließ sich, ihren Arm ablösend, in seinen breiten Armstuhl nieder; die geschnitzten Menschen empfingen ihn, über die Lehne fließend, Männer Kinder Frauen, abgleitend, sich hebend, er fragte Lamormain: „Ehrwürden?“ Der trat seitlich, mit dem Stock stampfend, plump hervor, pflanzte sich hinter seinem Stuhl auf, die Lehne angeklammert: „Dies alles ist uns nichts Neues. Die Kirche kennt seit lange die Menschen. Wir rechnen mit diesen Menschen. Wir müssen sie brechen auf irgendeine Weise.“ Ein Zittern hatte den Kaiser befallen: „So sind die Menschen. Ihr habt recht. So bin ich wohl auch. Wir können es nur ändern, wenn wir uns der heiligen Kirche unterwerfen.“ Der Priester redete leise: „Die Menschen sind böse. Sie haben teil an der Erbsünde.“ An Eleonore wandte sich, zu
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