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Aplicación de derivadas en
Ing. Civil.
Matemáticas
Universidad César Vallejo (UCV)
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FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA
PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
Trabajo
Aplicación de la derivada en la ingeniería civil
Curso
Matemática II
Docente
Victoria de los Ángeles Agustín Diaz
1

Presentado por:
Merejildo Berna, Genebrando
Herrera Palacios Delki Leonel
Quispe Gallegos Jean Harryson
Córdova Elera Priscila Brigeth
Pillaca Chipana Josue Aarom
Cervera Sánchez Raúl Gerardo
Trujillo, 06 de noviembre del 2020
Índice
CAPÍTULO 1.......................................................................................................................4
1.1. INTRODUCCIÓN....................................................................................................4
1.2. OBJETIVOS.............................................................................................................5
1.2.1 Objetivo general..................................................................................................5
1.2.2 Objetivo específico.............................................................................................5
1.3 Justificación...............................................................................................................5
Capítulo 2:............................................................................................................................6
Marco teórico.......................................................................................................................6
2.1. Historia de la Derivada.............................................................................................6
2.2. ¿Qué es la derivada?.................................................................................................7
2.3. Derivada de una función...........................................................................................8
2.4 Aplicación de las derivadas en la Ingeniería Civil.....................................................8
2.4.1 Cálculo de la una Viga a través de la Derivada..................................................8
2.4.2 Resistencia de Vigas...........................................................................................8
2.4.3 Ecuaciones de equilibrio.....................................................................................9
2.4.4 Aplicación en canal de Regadío........................................................................10
2.4.5 Canal.................................................................................................................10
2.4.6 Aplicación de en el diseño de carreteras...........................................................12
2.4.7 Aplicaciones de la Derivada Maximos y minimos...........................................14
2.4.8 Aplicación de derivadas en puentes..................................................................15
2.4.9 Aplicación de derivadas parciales.....................................................................18
Capítulo 3...........................................................................................................................20
3.1 Conclusión...............................................................................................................20
2

Ilustración 1 historia de las derivadas Leibniz.....................................................................7
Ilustración 2 La grafica de derivada (Lopez,P)..................................................................7
Ilustración 3 Resistencia de vigas........................................................................................9
Ilustración 4 canal de regadío............................................................................................11
Ilustración 5 geométrica de un canal transversal...............................................................12
Ilustración 6 curvatura de la Carretera...............................................................................13
Ilustración 7 maximos y minimos......................................................................................14
Ilustración 8 Puente estructural..........................................................................................16
Ilustración 9 Resistencia de vigas......................................................................................17
Ilustración 10 derivada parcial...........................................................................................18
Ilustración 11 Análisis SAP2000.......................................................................................19
3

CAPÍTULO 1
1.1. INTRODUCCIÓN
El presente trabajo realizado por el grupo de investigación trata acerca de la aplicación de
la derivada en la ingeniería civil, dicho trabajo está compuesto de un objetivo general que
fue analizar la aplicación de la derivada en la ingeniería, así mismo dentro de los
objetivos específicos fue describir la importancia de la derivada en la ingeniería.
La investigación se realizó de la siguiente manera. En primer lugar, se hizo una
investigación bibliográfica acerca de la historia de la derivada, ¿Qué es la derivada?,
Elementos de la derivada, finalmente la aplicación de la derivada en la ingeniería, de
diferentes fuentes primarias (Tesis y artículos) y secundarios (Libros, revistas)
En la historia de la derivada se puede hacer mención que tiempos remotos en la antigua
Grecia (siglo III a.C) había problemas que no lo podían resolver, luego a veinte siglos
después (en el siglo XVII por obra de Issac Newton y Gottfried Leibniz). En lo que
menciona que para las a las derivadas es de tipo geométrico.
Para poder entender mejor en dicho trabajo vamos a encontrar el origen e historia de la
derivada. ¿Qué es la derivada? Derivada de una función.
Después de haber realizado la investigación podemos observar que hay muchas
aplicaciones de la derivada en la ingeniería.
Por ejemplo, tenemos la importancia de la aplicación en cálculo de vigas, resistencia de
vigas, en el transporte, puentes, carreteras, canales etc.
4

1.2. OBJETIVOS
1.2.1 Objetivo general.
 Analizar la aplicación de la derivada en la ingeniería civil
1.2.2 Objetivo específico.
 Describir la importancia de la derivada en la Ingeniería civil.
 Describir la aplicación de la derivada en la Ingeniería.
1.3 Justificación
La presente investigación, se realizó con la finalidad de conocer la importancia de la
aplicación de la derivada en la ingeniería, siendo que su estudio es importante en la
asignatura de matemática, para nosotros como estudiantes principiantes de ingeniería
Civil, los cuales muchas veces no tenemos conocimientos amplios de la aplicación e
importancia de la derivada en la ingeniería.
5

Capítulo 2:
Marco teórico
2.1. Historia de la Derivada.
El creador de la derivada es el británico Isaac Newton (1642-1727) y el alemán
Goldfried Wilhelm Leibniz (1646-716), etc. Los grandes intelectuales de estos siglos han
utilizado formas diferentes pero independientes XVII y XVIII sistematizan y resumen
algunas ideas y procedimientos, ya que En la antigüedad, antes de que Newton y Leibniz
hicieran diversas contribuciones La importancia asociada con los nombres de grandes
personas, como Por ejemplo: Gilles de Roberval, Johannes Kepler, Rene Descartes,
Pierre viene de Fermat, Galileo Galilei, Christian Huygens, Jon Wallis, Bona Ventura
Cavaklieri de Isaac Barrow tiene una perspectiva científica e histórica Debe decirse que
es una de las donaciones anticipadas decisivas El trabajo de Newton y Leibniz es
geometría analítica ( Puntos geométricos en coordenadas y utilizando métodos
algebraicos), Creado de forma independiente por Descartes y Fermat Según el estándar
de grupo, el cálculo infinitesimal constituye uno de los cálculos más grandes El
descubrimiento de la sabiduría humana. (Prado, 2015, p10, parr,2).
6

Ilustración 1 historia de las derivadas Leibniz
2.2. ¿Qué es la derivada?
Es el cambio de rapidez de una función matemática, según cambie el valor de su variable
independiente. (CALLA 2018, p,40)
Ilustración 2 La grafica de derivada (Lopez,P)
7

2.3. Derivada de una función.
La derivada de una función f en un número a, denotada por f a , está definido por
f ´ (a)=lim
n→∞
f (a+h)−f (a)
h
, siempre y cuando exista este límite.
Es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica
de la función en un punto.
2.4 Aplicación de las derivadas en la Ingeniería Civil.
La ingeniería civil es la rama de la ingeniería que aplica el conocimiento Desde física,
química, cálculo y geología hasta el desarrollo de infraestructura, Ingeniería de transporte
y conservación de agua.
2.4.1 Cálculo de la una Viga a través de la Derivada.
La resistencia en la viga viene dada por una relación proporcional directa, ingrese el
cuadrado del mismo ancho y espesor y aplique cálculos infinitesimales, tales como
cálculos de máximo y mínimo. Primera derivada.
También tiene un fuerte componente organizacional que puede realizar su aplicación. En
gestión medioambiental urbana Rural; no solo en términos de arquitectura sino también
Mantener, controlar y operar el contenido construido y Diseñe el plan del entorno de vida
humana a partir de él.
2.4.2 Resistencia de Vigas
Ronaldo (2016). hace mención que la tensión de flexión producirá tensión de tracción y
tensión de compresión, Producir valor máximo en acorde inferior y superior
Respectivamente combinando el momento flector y El segundo momento de inercia. En
la zona cercana al soporte, Producir esfuerzo cortante u operación. También pueden
8

Generar tensión torsional, especialmente en la viga que forma la viga. La periferia de la
tableta.
Ilustración 3 Resistencia de vigas.
La teoría de la viga es parte de la resistencia del material y puede hacer Cálculo de la
fuerza y deformación de la viga. Y el rayo real, es un sólido deformable, que se puede
determinar en la teoría de la viga. Simplificado, por lo que se puede calcular
aproximadamente Tensiones, desplazamientos y tensiones en la viga Elemento
unidimensional.
2.4.3 Ecuaciones de equilibrio
La ecuación de equilibrio de la viga es Las ecuaciones estáticas del tramo de la viga en
equilibrio. el poder de El tramo de intervención será la carga externa aplicada a la viga,
La fuerza cortante actúa en la parte extrema del límite definido tramo. Si la sección está
en equilibrio, significa la suma de las fuerzas La dirección vertical debe ser cero y la
suma de los momentos en la dirección vertical La fibra neutra debe ser cero en la
dirección tangente a la fibra neutra. Estas Ambas condiciones solo se pueden cumplir
cuando cambia el esfuerzo cortante Y el momento flector está relacionado con la carga
vertical por unidad de longitud.
Cuando las edificaciones que se propongan necesiten de cálculos especiales, es donde se
aplican las derivadas ya que no es posible resolver algunas incógnitas por fórmulas
9

geométricas sencillas, por ejemplo, cuando se requiera calcular superficies orgánicas
irregulares o superficies paraboloides. (Martínez, 2014, pg,18).
2.4.4 Aplicación en canal de Regadío
En este trabajo, los conocimientos de optimización obtenidos en el proceso de cálculo I
se utilizan para calcular el área máxima del tramo del canal de riego que nos permite
obtener la máxima cantidad de agua, Los conceptos de la primera y segunda derivadas se
utilizan para encontrar el punto crítico. Los conceptos hidráulicos posteriores utilizan la
fórmula de Manning para determinar el caudal (Q). Las variables son área (A), rugosidad
(n) Pendiente del eje del Canal (S). • Finalmente, el tiempo de riego requerido
2.4.5 Canal
Al estar la superficie del líquido en contacto con la atmósfera, el canal es un acueducto en
el que circula agua sin presión bajo el efecto de la gravedad.
Dicho trabajo permitiera satisfacer las necesidades de riego de las parcelas de cultivo,
través de un canal de máxima eficiencia hidráulica ello a su ves a los agricultores
mejorando la calidad en la cosecha de sus productos.
 Elementos geométricos
Estos elementos son muy importantes y se utilizan con amplitud en el cálculo de flujo del
canal.
Yhosmil. (2012) hace referencia la sección del canal se pueden definir completamente
por la geometría y profundidad del flujo de la sección. Estos elementos son muy
importantes y se utilizan ampliamente en los cálculos de flujo. Para secciones de canal
simples y regulares, los elementos geométricos se pueden expresar matemáticamente de
acuerdo con el flujo profundo y otras dimensiones de la sección.
10

Ilustración 4 canal de regadío.
Donde:
Y = tirante de agua, altura que el agua adquiere en la sección transversal
B = base del canal o ancho de solera
T = espejo de agua o superficie libre de agua
H = profundidad total del canal
H -y = borde libre
C = ancho de corona
Θ = ángulo de inclinación de las paredes laterales con la horizontal
11

2.4.6
Aplicación de
en el diseño
de carreteras
El cálculo vectorial se puede encontrar en los ramales de carreteras y diseños viales y,
más concretamente, en la curvatura de estas estructuras. Primero, debe saber que cada
camino consta de tres tipos de curvas, aquí están: líneas rectas, curvas de transición y las
curvas como tal. (Shelly, 2018)
En línea recta, la curvatura es igual a cero; en una curva de transición, la curvatura es
variable, en la propia curva, la curvatura es constante.
Ilustración 5 geométrica de un canal transversal.
12

2.4.6.1 Función
El propósito principal de la curva de transición es evitar varias discontinuidades en la
curvatura de la carretera. Teniendo esto en cuenta, la curva de transición debe cumplir
siempre los mismos requisitos estéticos y de seguridad.
2.4.6.2 Forma y características
En la mayoría de los casos, la curva más aceptable para el diseño de carreteras es una
espiral. Esta curva está representada por la siguiente ecuación:
aplicaciones de la curvatura en la vida real.
Ilustración 6 curvatura de la Carretera
13

2.4.7 Aplicaciones de la Derivada Maximos y minimos
Los máximos y mínimos tienen gran participación en otras profesiones. A continuación,
mostraré uno de sus diversos usos en la Vida Cotidiana.
Cuando miramos edificios, monumentos y observatorios, pensamos que crearlos implica
simplemente dibujar algunos planos de planta, construir y sentarse para ver el producto
terminado, pero no creemos que haya más posibilidades detrás de los planos de planta,
vigas y hormigón de lo que esos procesos atraviesan actualmente. Los puntos altos y
bajos son muy útiles a la hora de preparar la construcción de cualquier edificio.
Por ejemplo: en la estructura de un observatorio en forma de cilindro recto con una
cúpula hemisférica, si el costo por pie cuadrado de la cúpula es el doble que el de la pared
del cilindro, ¿cuál es la relación más económica para cualquier volumen? Aquí utiliza
"mínimo" para comprender la cantidad de materiales que se utilizarán, reduciendo así los
costos de construcción. (Naibis, Issuu, 2014, pág.6)
Ilustración 7 maximos y minimos
14

2.4.8 Aplicación de derivadas en puentes.
La aplicación del cálculo diferencial es ocupada tanto en los diversos trabajos de
ingeniería civil, al igual que en diversas ramas. Teniendo en cuenta que la madera ha sido
uno de los materiales más importantes para la construcción, no solo como un material
decorativo o representativo. Sino como un material sustitutorio al hormigón o a las barras
de acero, un ejemplo sería el cálculo a la resistencia máxima de una cierta viga en
función de sus magnitudes. “Lo cual es muy útil al momento de cortar una barra a
partir de un tronco, aprovechando completamente su espesor y su anchura. Una
demostración muy sencilla, pero ventajosa al momento de decidir las medidas de la
viga que será extraída” (Leonardo, 2019, p. 3).
Un problema fácil, pero que, sin tener un conocimiento en el cálculo de máximos y
mínimos a través de la derivada, resultaría un tanto complicada de resolver. Por lo tanto,
las derivadas de puntos máximos y mínimos son de mucha importancia, porque nos
ayudará a conocer la flexibilidad que posee una viga dependiendo de su calidad, como
ingenieros tenemos que tener conocimiento y un dominio de esta. Ya que la viga se puede
decir que es un componente estructural de forma lineal la cual trabaja a flexión y este
esfuerzo tiene como consecuencia tensiones de tracción y compresión.
Jiménez (2016). Nos menciona que, gran parte de las construcciones están realizadas a
base de vigas y estas al flexionarse ya sean por su propio peso o por una fuerza externa se
llegan a distorsionar, y mencionada flexión se encuentra determinada por una ecuación
diferencial lineal de cuarto grado.
15

Ilustración 8 Puente estructural
En la ingeniería Civil la aplicación de la derivada son de enorme relevancia puesto que
nos contribuyen a identificar y calcular velocidad, no solo de un cuerpo, también de
velocidades de crecimiento, decrecimiento, enfriamiento, separación, divergentes de
fluidos como también para relacionar las ecuaciones de cargas estáticas con las
ecuaciones de momentos flexionantes. Los futuros ingenieros civiles debemos
comprender y tener dominio de estos conceptos que sustentan los sistemas de la ciencia y
usar correctamente los modelos matemáticos para analizar y precisar el comportamiento
de dichos sistemas en la carrera profesional. (Prado, 2015, pág. 28)
16

Las derivadas nos ayudan con la resistencia de vigas. “El esfuerzo de flexión provoca
tensiones de tracción y compresión, produciéndose las máximas en el cordón inferior y en
el cordón superior respectivamente, las cuales se calculan relacionando el momento
flector y el segundo momento de inercia” (prado 2014, pg. 8).
Otra manera en las que nos beneficia la derivada en la ingeniería civil es con las
ecuaciones de equilibrio. “Las ecuaciones de equilibrio para una viga son las aplicaciones
de las ecuaciones de la estática a un tramo de viga en equilibrio, Las fuerzas que
17

Ilustración 10 derivada parcial
intervienen sobre el tramo serian la carga exterior aplicada sobre la viga” (Prado 2014,
pag,8).
2.4.9 Aplicación de derivadas parciales.
En el transcurso del curso de Matemáticas aprendimos que, las derivadas nos ayudan a
conocer los cambios, y las derivadas parciales representa justo eso, la diferencia entre las
derivadas parciales es que, ya que se involucra más de una variable independiente, las
derivadas parciales se deben hacer respecto de una variable y las demás se deben
considerar como constantes, de modo que podremos identificar los cambios parciales de
acuerdo a cada variable involucrada.[ CITATION Wri11 l 22538 ]
18

Ilustración 11 Análisis SAP2000
Viendo que el movimiento de las estructuras es dependiente por varias variables,
entonces la deformación que sufren las mismas no es diversa. Por ello que las derivadas
parciales nos ayudan para identificar las deformaciones que sufrirá o sufrió una
estructura, o el poder identificar la forma en que se comportará la estructura para poder
evitar futuras deformaciones. Actualmente existen programas como SAP que nos son de
gran utilidad para llevar a cabo este diseño, e identificar todas las variables que actúen en
cada una de nuestras estructuras. (Wright, 2011)
19

Otra manera en las que nos beneficia la derivada en la ingeniería civil es con las
ecuaciones de equilibrio. “Las ecuaciones de equilibrio para una viga son las aplicaciones
de las ecuaciones de la estática a un tramo de viga en equilibrio, Las fuerzas que
intervienen sobre el tramo serian la carga exterior aplicada sobre la viga” (Wright 2014,
pag,8).
Capítulo 3
3.1 Conclusión
Podemos concluir que las derivadas en la ingeniería civil pueden ayudarnos a resolver
rápida y fácilmente. Cuando estudiamos funciones reales, la derivada se considera una de
las operaciones más importantes, porque a través de ella podemos conocer los cambios y
20

valores específicos de estas funciones. Así mismo Determinamos el valor de la escala,
que afectará el tamaño de la viga bajo mayor resistencia
Para obtener la máxima cantidad de agua en una cierta longitud de canal trapezoidal, se
debe maximizar el área de la sección transversal. El ángulo de la mejor sección
transversal del canal trapezoidal está determinado por la superficie del fondo y la
pendiente del mismo tamaño. De tal manera el caudal es proporcional al área de la
sección transversal, el radio hidráulico y la pendiente del eje del canal. En cuanto en las
vías de acceso el propósito principal de la curva de transición es evitar varias
discontinuidades en la curvatura de la carretera. Teniendo esto en cuenta, la curva de
transición que debe cumplir siempre los mismos requisitos estéticos y de seguridad.
La derivada es un método muy útil debido debido a su aplicación en el campo laboral
gracia ello podemos decir que nos ayuda a tener menos margen de error en la
construcción.
Referencias:
21

CITATION Wri11 l 22538 : , (Wright, 2011),
Ronaldo,(2016). CALCULO DE UNA VIGA A TRAVEZ DE DERIVADAS. Obtenido de
https://toaz.info/doc-viewer
Jiménez, V. (13 de noviembre de 2016). Aplicación De Las Derivadas.
https://bit.ly/2K9RgZ7
Leonardo, C. (11 de enero de 2019). Aplicación De Derivada En Calculo De Vigas.
https://bit.ly/2GZeHTD
Leonardo, C. (2019). Aplicación De Derivada En Calculo De Vigas [imagen de archivo].
KUPDF. https://bit.ly/2GZeHTD
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