valor_absoluto dos.pdf
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Este documento explica el concepto de valor absoluto y proporciona ejemplos de cómo resolver ecuaciones y desigualdades que involucran valores absolutos. Define el valor absoluto de un número real x como |x| = x si x es positivo y |x| = -x si x es negativo. Luego, presenta ejemplos de cómo resolver ecuaciones y desigualdades que involucran valores absolutos, como |2x - 4| = 3 o |2x - 4| < 3. Finalmente, enumera algunas propiedades del valor absoluto, como |x| ≥ 0 para
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- 1. 34 UNIDAD I. A modo de repaso. Preliminares 5 Valor absoluto El valor absoluto de un número real x se escribe como |x| y se define como |x| = ( x si x es positivo, −x si x es negativo. Ası́, por ejemplo, |3/5| = 3/5 y | − 50 23| = −50 23. Ejemplo 5.1 Resuelve la ecuación |2x − 4| = 3. De la definición de valor absoluto caben las posibilidades: 2x − 4 = 3 o 2x − 4 = −3. Por tanto las soluciones son x = 7 2 y x = 1 2 . Veamos a continuación un ejemplo en el que se resuelve una desigualdad en la que aparece un valor absoluto. Ejemplo 5.2 ¿Para qué valores de x se tiene que |2x − 4| < 3? Es claro que para que |2x − 4| < 3 tiene que ser −3 < 2x − 4 < 3. Ahora, resolviendo la inecuación −3 < 2x − 4 se tiene que x < 7/2. Por otra parte, resolviendo la inecuación 2x − 4 < 3 se tiene que x > 1/2. En consecuencia, los valores de x para los que |2x − 4| < 3 son los puntos del intervalo (−∞, 7/2) ∩ (1/2, +∞) = (1/2, 7/2). El valor absoluto satisface las siguientes propiedades:
- 2. §5. Valor absoluto 35 (i) |x| ≥ 0 para todo x ∈ R. (ii) |x| = 0 si y sólo si x = 0. (iii) |x y| = |x||y| para cualesquiera x, y ∈ R. (iv) |x + y| ≤ |x| + |y| para cualesquiera x, y ∈ R. La desigualdad (iv) se conoce como desigualdad triangular. Por otra parte, observar que usando la tercera propiedad es fácil deducir que ¯ ¯ ¯ ¯ x y ¯ ¯ ¯ ¯ = |x| |y| para cualesquiera x, y ∈ R. Análogamente, usando la desigualdad triangular es fácil ver que |x − y| ≤ |x| + |y| para cualesquiera x, y ∈ R.
- 3. 36 UNIDAD I. A modo de repaso. Preliminares 5.1 Ejercicios propuestos Ejercicio 42. Resuelve las ecuaciones: (a) |3x − 7| = 5; (b) |2x − 1||x − 2| = 5. Ejercicio 43. Resuelve las inecuaciones: (a) |3x − 7| > 5; (b) |2x − 1||x − 2| ≤ 5.