Ejemplo matricial
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Este documento resume el proceso de cálculo de un pórtico mediante el método matricial de rigidez en 10 pasos. Se describe el pórtico y las cargas aplicadas. Luego, se ordenan los nudos y barras, se calculan las cargas y reacciones, y se pasan las matrices de rigidez y cargas a coordenadas globales. Finalmente, se resuelve el sistema matricial para obtener los desplazamientos y se calculan los esfuerzos internos en cada barra.
Ejemplo matricial
- 1. Ejemplo de cálculo de un portico por el método matricial de la rigidez Autor: J.PAJÓN PERMUY EJEMPLO DE CÁLCULO POR EL MÉTODO DE LA RIGIDEZ Con el fin de resumir en un ejemplo el proceso a seguir vamos a resolver el pórtico de la figura. Las acciones que tiene que soportar se deben evaluar según la normativa de “acciones en la edificación” y resolver cada hipótesis de carga; sobrecargas de uso, peso propio, viento, nieve, seísmo, otras..., por separado. Para después combinarlas aplicando los respectivos coeficientes de mayoración según también la normativa al caso. Evaluaremos tan solo una hipótesis de carga, suponiendo para tal caso una carga uniforme de 100 kp/m. en proyección horizontal en cubierta. Fig. 1 Punto 1. Analizar bien la estructura. Predimensionar. Fijar modo físico de trabajo (articulado, empotrado, torsión, plana o espacial, etc.). Analizaremos la estructura en el plano, con barras extensibles, suponiendo los nudos libres rígidos (giros de extremos de barra solidarios) y los apoyos en el terreno perfectamente empotrados (desplazamientos y giros impedidos). Las barras serán de acero A-42.b, de Módulo de Elasticidad; E = 2,1$106 kp/cm2 de las siguientes características mecánicas. Momentos de Inercia; Ia = Ib = Ic = 2000 cm4. Secciones; Aa=Ab=Ac=20 cm2.
- 2. Ejemplo de cálculo de un portico por el método matricial de la rigidez Autor: J.PAJÓN PERMUY Punto 2.- Ordenar nudos y barras, fijar coordenadas locales y globales. Fig. 2 Punto 3.- Calcular cargas y reacciones en nudos extremos de cada barra. Pasar cargas a nudos y anotar para su utilización posterior las reacciones hiperestáticas. Vector de cargas. P= - P . nudos hiperestáticasEn este caso solo esta cargada la barra (b), calculando por las fórmulas clásicas de viga empotrada en ambos extremos las reacciones hiperestáticas. Barra (b): = +
- 3. Ejemplo de cálculo de un portico por el método matricial de la rigidez Autor: J.PAJÓN PERMUY Las matrices de acciones hiperetáticas (vectores de carga), en locales de la T = -0,259 0,966 0 Pnudos = L $ P nudos barra (b) serán: -129 -129 P 2b -483 P 3b = -483 -83333 83333 Punto 4.- Paso de locales a globales de los vectores de carga, previo cálculo de las matrices de transformación y su traspuesta de cada barra. Las matrices de transformación y traspuesta de cada barra serán, atendiendo al ángulo girado del sistema de refencia local respecto al global, en sentido contrario a las agujas del reloj, o, tambien, en el sentido de actuación del momento positivo de referencia, siendo: a = 90º, b = 15º, c = 270º = -90º. 0,966 -0,259 0 0,966 0,259 0 Lb = 0,259 0,966 0 Lb 0 0 1 0 0 1 0 -1 0 0 1 0 = Lc La T = 1 0 0 La T = Lc = -1 0 0 0 0 1 0 0 1 Paso de locales a globales de las acciones hiperestáticas. 0,966 -0,259 0 -129 0 P2b = 0,259 0,966 0 $ -483 = -500 0 0 1 -83333 -83333 0,966 -0,259 0 -129 0 P3b = 0,259 0,966 0 $ -483 = -500 0 0 1 83333 83333
- 4. Ejemplo de cálculo de un portico por el método matricial de la rigidez Autor: J.PAJÓN PERMUY Punto 5.- Paso de locales a globales de cada matriz de rigidez de las barras, previo calculo en locales de las mismas. k barras $ LT barras kbarras = L $ k Barra A I L E AE/L 12EI/L3 6EI/L2 4EI/L 2EI/L a 20 2000 500 2100000 84000 403 100600 33600000 16800000 b 20 2000 1035 2100000 40589 45 23512 16227554 8113777 c 20 2000 768 2100000 54691 111 42730 21876447 10938224 Solo pasaremos a globales las necesarias. Barra a. 84000 0 0 k a = 11 0 403 100800 0 100800 33600000 -84000 0 0 k a = 12 0 -403 100800 0 -100800 16800000 -84000 0 0 k a = 21 0 -403 -100800 0 100800 16800000 84000 0 0 403 0 100800 k a = 22 0 403 -100800 k22 a = 0 84000 0 0 -100800 33600000 100800 0 33600000 Barra b. 40569 0 0 37860 10139 -6090 k b = 22 0 45 23512 k22 b = 10139 2764 22713 0 23512 16227554 -6090 22713 16227554 -40569 0 0 -37860 -10139 -6090 k b = 23 0 -45 23512 k23 b = -10139 -2764 22713 0 -23512 8113777 6090 -22713 8113777 -40569 0 0 -37860 -10139 6090 k b = 32 0 -45 -23512 k32 b = -10139 -2764 -22713 0 23512 8113777 -6090 22713 8113777 40569 0 0 37860 10139 6090 k b = 33 0 45 -23512 k33 b = 10139 2764 -22713 0 -23512 16227554 6090 -22713 16227554 Barra c. 54691 0 0 111 0 42730 k c = 33 0 111 42730 k33 c = 0 54691 0 0 42730 21876447 42730 0 21876447 -54691 0 0 k c = 0 -111 42730 34 0 -42730 10938224 -54691 0 0 k c = 0 -111 -42730 43 0 42730 10938224 54691 0 0 k c = 0 111 -42730 44 0 -42730 21876447
- 5. Ejemplo de cálculo de un portico por el método matricial de la rigidez Autor: J.PAJÓN PERMUY P = K $ Punto 6.- Ecuación matricial global. Es interesante escribir primero la ecuación y calcular los términos posteriormente, cuando se hallan tenido en cuenta las condiciones de contorno, punto 7. a K12 R1 K11 a K22 = K-1 $ P a 0 0 1 u1 = 0 v1 = 0 1 = 0 P2 K21 a +K22 b K23 b 0 2 P3 = 0 K32 b K33 b +K33 c K34 c $ 3 c K44 R4 0 0 K43 c 4 u4 = 0 v4 = 0 4 = 0 Punto 7.- Separar acciones con restricciones (filas y columnas). Como se puede observar en la ecuación general escrita en el punto 6, se han sombreado las filas y columnas que se ven afectadas por las restricciones que imponen los empotramientos en la base, anulandose por tanto, permitiendonos escribir la ecuación general, tan solo, con las ecuaciones implicadas en los movimientos de los nudos libres. a +K22 P2 K22 b K23 b 2 P3 = K32 b K33 b +K33 c $ 3 La ecuación general resumida será: 0 38263 10139 94710 -37860 -10139 -6090 u2 -500 10139 86764 22713 -10139 -2764 22713 v2 -83333 94710 22713 49827554 6090 -22713 8115777 2 0 = -37860 -10139 6090 37971 10139 48820 $ u3 -500 -10139 -2764 -22713 10139 57455 -22713 v3 83333 -6090 22713 8115777 48820 -22713 38104001 3 Punto 8.- Resolución del sistema, calculando los movimientos incógnita en globales. Multiplicando ambos terminos por la inversa de la matriz rigidez, se deducen los movimientos: u2 0,341349 v2 -0,006295 2 = -0,002753 u3 0,338333 v3 -0,008616 3 0,002393
- 6. Ejemplo de cálculo de un portico por el método matricial de la rigidez Autor: J.PAJÓN PERMUY = LT $ P = K $ + P hiperestáticas FR = KRL $ L Pasamos los movimientos a locales. Nudos Barra a. Nudos Barra b. Nudos Barra c. u 1 0 u 2 0,328112 u 3 0,008616 v 1 = 0 v 2 = -0,094491 v 3 = 0,338333 1 0 2 -0,002753 3 0,002393 u 2 -0,006295 u 3 0,324598 u 4 0 v 2 = -0,341349 v 3 = -0,095951 v 4 = 0 2 -0,002753 3 0,002393 4 0 Punto 9.- Cálculo de esfuerzos en cada barra en locales y comprobación de la solución estudiada. Barra a. N84000 0 0 -84000 0 0 0 0 529 1 V0 403 100800 0 -403 100800 0 0 -140 1 M0 100800 33600000 0 -100800 16800000 0 0 -11848 1 N= -84000 0 0 84000 0 0 $ -0,006295 + 0 = -529 2 V2 0 -403 100800 0 403 -100800 -0,341349 0 140 M2 0 100800 16800000 0 -100800 33600000 -0,002753 0 -58104 Barra b. N40569 0 0 -40569 0 0 0,328112 129 272 2 V0 45 23512 0 -45 23521 -0,094491 483 475 2 M0 23512 16227554 0 -23512 8113777 -0,002753 83333 58104 2 N= -40569 0 0 40569 0 0 $ 0,324598 + 129 = -14 3 V3 0 -45 -23512 0 45 -23512 -0,095951 483 491 M3 0 23512 8113777 0 -23512 16227554 0,002393 -83333 -68807 Barra c. N54691 0 0 -54691 0 0 0,008616 0 471 3 V0 111 42730 0 -111 42730 0,338333 0 140 3 M0 42730 21876447 0 -42730 10938224 0,332393 0 68807 3 N= -54691 0 0 54691 0 0 $ 0 + 0 = 471 4 V4 0 -111 -42730 0 111 -42730 0 0 -140 M4 0 42730 10938224 0 -42730 21876447 0 0 40632 Punto 10.- Cálculo de reacciones, bien a través de los esfuerzos calculados en barras o bien en la forma. Se deducen fácilmente de los valores ya cálculados para los extremos 1 y 4 de las barras (a) y (c), lógicamente.
- 7. Ejemplo de cálculo de un portico por el método matricial de la rigidez Autor: J.PAJÓN PERMUY Para completar el ejemplo dibujamos las gráficas de esfuerzos tal como suele Fig. 6 Fig. 8 Fig. 7 Fig. 9 representarse en la actualidad. A efectos de representación. - Los momentos cambian de signo a la izquierda de la barra. Recordando que para conocer su valor en cada sección tendremos que sumarle la gráfica de momentos isostáticos, pues solo se han deducido los valores extremos. - Los cortantes cambian de signo a la derecha. - Los axiles (compresión con signo negativo) cambian de signo a la izquierda. Gráfico de Axiles Gráfico de Cortantes Gráfico de Momentos Flectores y Deformada