Clasificacion matrices

Instituto Tecnológico Superior de Libres
Clasificación de las matrices
Triangular superior
Una matriz se conoce como triangular superior si todos sus elementos por debajo de la diagonal
principal son cero.
𝐴 = (
2 1 −1
0 3 4
0 0 5
)
Triangular inferior
Una matriz cuadrada se conoce como triangular inferior si todos sus elementos por arriba de la
diagonal principal son cero.
𝐴 = (
1 0 0
−2 0 0
4 6 1
)
Diagonal
Una matriz cuadrada A=(aij) se conoce como diagonal si todos sus elementos que no están en la
diagonal principal son cero. Esto es, aij=0 si i≠j.
𝐴 = (
2 0 0
0 3 0
0 0 5
) B=(
2 ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮
0 ⋯ 6
)
Escalar
Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son
iguales.
𝐴 = (
2 0 0
0 2 0
0 0 2
) 2𝐴 = (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
)
Identidad
La matriz identidad de n x n es la matriz de n x n en la que las componentes de la diagonal
principal son 1 y 0 en todas las demás posiciones.
𝐼3 = (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
) 𝐼4 = (
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
)

Potencia de una matriz
Sea A una matriz cuadrada, se define:
𝐴0 = 𝐼, 𝐴1 = 𝐴, 𝐴2 = 𝐴 ∙ 𝐴, 𝐴3 = 𝐴 ∙ 𝐴 ∙ 𝐴 … 𝐴 𝑛 ∙ 𝐴 𝑚 = 𝐴 𝑚+𝑛 …
Periódica
Seauna matrizA de nxn,si para un númeroenteroypositivop, ocurre que 𝐴 𝑃+1 = 𝐴, se dice que
A es una matriz de periodo “p”. Ejemplo:
𝐵 = (
−1 −1 −1
0 0 0
0 0 0
) Ya que 𝐵2+1 = 𝐵 B es una matriz de periodo 2.
Nulipotente
Si A es una matriz cuadrada y Ak
=0 para algún número natural k, se dice que A es nulipotente.
𝐴 = (
0 −8 0
0 0 0
0 5 0
) 𝐴2 = (
0 0 0
0 0 0
0 0 0
)
Idempotente
La matriz A se dice idempotente si A2
=A.
𝐴 = (
1 0
−1 0
)
Involutiva
Una matriz involutiva es una matriz cuadrada tal que su cuadrado es igual a la matriz unidad
A A=A2
=I
𝐴 = (
1 0
0 1
) 𝐵 = (
1 1
0 −1
)
Transpuesta
Sea A=(aij) una matriz de m x n. entonces la transpuesta de A, escrita At
, es la matriz n x m
obtenida intercambiando los renglones y columnas de A. Se pude escribir At
=(aji)
𝐴 = (
2 3
1 4
) 𝐴 𝑡 = (
2 1
3 4
) 𝐵 = (
2 3 1
−1 4 6
) 𝐵 𝑡 = (
2 −1
3 4
1 6
)

Simétrica
Una matriz cuadrada es simétrica si At
=A.
𝐴 = (
1 2
2 3
) 𝐵 = (
1 −4 2
−4 7 5
2 5 0
) 𝐶 = (
−1 2 4 6
2 7 3 5
4 3 8 0
6 5 0 −4
)
Antisimétrica
Una matriz cuadrada es antisimétrica si At
=-A
𝐴 = (
0 1 −1
−1 0 2
1 −2 0
) 𝐵 = (
0 −6
6 0
)
Compleja
Es una matriz cuadrada, que contiene en sus elementos, números complejos.
𝐴 = (
1 + 𝑖 −4 + 2𝑖
3 6 − 3𝑖
)
Conjugada
Sea A una matriz cuadrada con componentes complejos. Entonces el conjugado de A, denotado
A*, se define como (A*)ij=𝑎𝑗𝑖.
𝐴 = (
1 + 𝑖 −4 + 2𝑖
3 6 − 3𝑖
) 𝐴 ∗= (
1 − 𝑖 3
−4 − 2𝑖 6 + 3𝑖
)
Hermitiana
La matriz compleja A cuadrada se llama hermitiana si A*=A. si A es hermitiana, las componentes
diagonales de A son reales.
𝐴 = (
4 3 − 2𝑖
3 + 2𝑖 6
) 𝐴 ∗= (
4 3 − 2𝑖
3 + 2𝑖 6
)
Antihermitiana
Es una matriz cuadrada cuya transpuesta conjugada es menos la matriz A*=-A
𝐴 = (
𝑖 2 + 𝑖
−2 + 𝑖 3𝑖
)
Ortogonal
Se dice que una matriz es ortogonal si 𝐴 ∙ 𝐴 𝑇 = 𝐼, ejemplo:

𝐴 = (
0 1
1 0
) 𝐵 = (
𝑎 𝑏
−b 𝑎
) Si 𝑎2 + 𝑏2 = 1
[1] Cristina Steegmann Pascual, Juan Alberto Rodríguez Velázquez, Ángel Alejandro Juan Pérez.
Disponible en: http://www.uoc.edu/in3/emath/docs/Algebra_Matrices.pdf
[2]Ing. Carlos Vega. Disponible en: www.cvega.net/acrobat/MB2-clase-3.pdf
[3] Stanley I Grossman, Álgebra Lineal, 5ta edición, Editorial McGraw-Hill, 2005.
[4] Wikipedia, la encyclopedia libre. Disponible en: http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_antihermitiana

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