Upn moo s02

Facultad de Ingeniería y Arquitectura
Movimiento en una dimensión
Movimiento en una dimensión: Definiciones generales.
MECÁNICA, OSCILACIONES Y ONDAS
Yuri Alexis Milachay Vicente
yur@upnorte.edu.pe

29/05/2013 Mg. Yuri Milachay 2
La física comenzó con el estudio del movimiento

Preguntas
1. ¿Qué objetos celestes fueron importantes en la antigüedad y por
qué?
2. ¿Qué clase de movimiento interesaba conocer a los antiguos?
3. ¿Cómo, según usted debía comenzar el estudio del movimiento?

Objetivo
1. Describe matemáticamente el movimiento rectilíneo y deduce sus
ecuaciones.
2. Describe matemáticamente el movimiento parabólico y deduce
sus ecuaciones.
3. matemáticamente el movimiento circular y deduce sus
ecuaciones.
4. Aplica lo aprendido en la resolución de problemas prácticos.

La cinemática y el movimiento
La cinemática es la parte de la física que se encarga del estudio del
movimiento. Es decir, de la determinación de la posición, velocidad y
aceleración de un cuerpo.
Como todo movimiento implica un cambio de posición del móvil en
un determinado intervalo de tiempo, nuestro estudio del movimiento
comienza con la definición de posición.
1x 2x
La partícula pasa de la posición x1 a la posición x2

Movimiento de una partícula en una dimensión
Se denomina movimiento rectilíneo a aquel movimiento cuya trayectoria
es una línea recta.
El desplazamiento 6Δx en este movimiento está dado por el cambio en la
coordenada x en un intervalo de tiempo transcurrido Δt.
Desplazamiento x = x2 – x1

La posición como función del tiempo
x(t) x(t1) x(t2) x(t3)
Gráfica x-t
p1 p2

Velocidad media
oLa velocidad media es una
magnitud vectorial que se define
como la razón del desplazamiento
por unidad de tiempo
2 1
med
2 1
x x x m
v
t t t s
 
 
 
0 5 107
  

x 2,0 m
med
2,0m m
v 0,20
10,0 s s
 
t 10,0 s
x (m)

Velocidad instantánea
o La velocidad instantánea permite se
define como el límite de la velocidad
media.
o Que a su vez, matemáticamente, es
la derivada de la posición respecto
del tiempo.
o Ejercicio. Con ayuda del gráfico x-t
(a) determine la velocidad media
entre 0 s y 2 s. (b) Determine la
velocidad instantánea en el t = 0 s.
(c) ¿En qué instante la velocidad es
cero?
t 0
x
v lim
t 



dx
v
dt


Ejercicio
• Un Honda Civic viaja en línea recta en carretera. Su distancia x de un
letrero de alto está dada en función de t por:
• Donde a =1,50 m/s2 y b=0,0500 m/s3.
• Calcule la velocidad media del auto para los intervalos a) 0 a 2,00 s; b) 0
a 4,00 s; c) 2,00 s a 4,00 s.
2 3
x(t) t t  

Aceleración media
La aceleración media es la tasa
media de cambio de la velocidad en
un intervalo de tiempo t.
v2– velocidad final
v1 – velocidad inicial
t – intervalo de tiempo
Se halla su valor calculando de la
pendiente de la gráfica velocidad-
tiempo del móvil.
2x 1x
med x
2 1
v v
a
t t





Aceleración instantánea
• Es el límite de la aceleración media cuando el intervalo de tiempo
se acerca a cero.
x x
x
t 0
v dv
a lim
t dt 

 


Ejercicios
De los gráficos v en función de t representados en la figura ¿Cuál describe
mejor el movimiento de una partícula con velocidad positiva y aceleración
negativa?.

Preguntas
En un intervalo de tiempo dado, un auto acelera de 15 m/s a 20 m/s
mientras que un camión acelera de 36 m/s a 40 m/s. ¿Cuál vehículo
tiene mayor aceleración media?
Solución
auto
20 15 5
a
t t

 
 
camión
40 36 4
a
t t

 
 

Preguntas
La figura muestra la velocidad de un
auto en función del tiempo. El
conductor acelera desde el letrero
de alto, viaja 20 s con rapidez
constante de 60 km/h y frena hasta
detenerse 40 s después de partir del
letrero. Calcule la aceleración media
para estos intervalos: de 0 s a 10 s;
de 30 s a 40 s; de 10 s a 30 s; d) de 0
s a 40 s.

Problemas
3
0
3
1
x x t 4,40 t
6
1
x 1,40 4,40t 1,2 t
6
    
    
La aceleración de un camión está dada por ax(t)=at, donde a =1,2 m/s3. a)
Si la rapidez del camión en 1,0 s es 5,0 m/s, ¿cuál será en t=2,0 s? b) Si la
posición del camión en 1,0 s es 6,0 m, ¿cuál será en 2,0 s? Dibuje todas
las gráficas para este movimiento.
Solución
1 2 3 4
5
10
15
20
25
30
x
t
2 2
x x
1 1
v t C v 4,40 1,2 t
2 2
      
x(2) 10,4m
2 4 6 8 10
20
40
60
80
100
120
v
t

Movimiento rectilíneo uniforme
o Es aquel movimiento en el que la
velocidad del móvil en cualquier
instante permanece constante.
o Es decir, el móvil se mueve en
línea recta, en una sola dirección
y con desplazamientos iguales en
intervalos de tiempo iguales.
o Debido a que la velocidad no
cambia, la aceleración en este
tipo de movimiento es nula.
x
dx
v
dt

xx v dt 
0 xx x v t 

Ejercicios
• Ejercicio. Un vehículo parte de la posición -25,0 metros. Al cabo de 70,0
s se encuentra en la posición 245,0 metros. ¿Cuál ha sido el valor de su
velocidad si se sabe que realizó un MRU?
• Solución
• x1 = -25,0 m
• x2 = 245,0 m
• t = 70,0 s
245,0 ( 25,0)m
v
70,0 s
 

m
v 3,86
s


Gráfico posición-tiempo
fx 2,0 5,0 t  
t (s) x(m)
0 2,0
1,0 7,0
2,0 12,0
3,0 17,0
o El gráfico posición-tiempo (x vs t)
se obtiene de tabular las
posiciones para instantes
determinados.
o La gráfica x vs t tiene el siguiente
aspecto:
x (m)
t (s)
2,0
7,0
12,0
17,0
1,0 2,0 3,0

Preguntas
o Del gráfico mostrado, ¿cuál es la
posición inicial del móvil?, ¿en
qué instante se encuentra en el
origen de coordenadas? ¿cuál es
su velocidad?
x (m)
t (s)
-
8,0
8,0
16,0
1,0 2,0 3,0

Gráfico velocidad-tiempo
o Como en el MRU la velocidad es
constante, la gráfica velocidad-
tiempo será una recta
horizontal, paralela al eje del
tiempo.
o De este tipo de gráfico puedes
obtener directamente el valor de
la velocidad, v = +5,0 m/s .
o También puedes obtener el
desplazamiento total del
móvil, calculando el “área”
comprendida entre el gráfico de
la velocidad y el eje del tiempo.
x =vt = +15,0 m
v (m/s)
t (s)
5,0
1,0 2,0 3,0
fx 2,0 t5,0  

Preguntas
• Para un móvil que realiza MRU: ¿en qué casos la velocidad es negativa?,
¿en qué casos la posición inicial es positiva?, y ¿cuándo el móvil se
desplaza en el sentido del semieje positivo?
x
t
vx
t
t
xvx
t

Movimiento con aceleración constante
o En el movimiento rectilíneo
uniformemente variado se
cumple que la aceleración es
constante.
o Integrando la aceleración se
obtiene la expresión de la
velocidad.
o Antiderivando la velocidad del
paso anterior se obtiene la
expresión de la posición
instantánea del móvil.
0v v at 
0x (v at)dt 
2
0 0
1
x x v t at
2
  
0Si t 0, v v 
0Si t 0, x x 

3º ecuación del mrua
f ov v a t  
2
f o o
1
x x v t a t
2
    
o Se obtiene despejando el tiempo
de la primera ecuación del mrua y
reemplazando lo que resulta en la
segunda ecuación del mrua.
o Es una ecuación escalar y se debe
tener cuidado al utilizarla en el
cálculo de las velocidades, por
cuanto resultarán dos valores
siempre que exista solución; por lo
que deberá seleccionar el signo de
acuerdo con el movimiento que se
describe en el problema. 2 2
f o f iv v 2a (x x )   

Preguntas
• ¿En qué casos la aceleración es positiva? ¿En qué casos el móvil se
detiene en algún instante? ¿Es posible conocer la posición inicial del
móvil a partir de la información que proporciona el gráfico velocidad-
tiempo?
vx
t
vx
t
t
axvx
t

Ejercicio
o La gráfica de la figura muestra la
velocidad de un policía en
motocicleta en función del
tiempo. A) Calcule la aceleración
instantánea en: t =3 s, t = 7 s y t =
11 s. ¿Qué distancia cubre el
policía los primeros 6 s? ¿Los
primeros 9 s? ¿Cuál es el
desplazamiento del policía a los
13 s?

Caída libre
g g j
 
 
oEn el caso de la caída libre (caída
de un cuerpo cerca de la superficie
terrestre), se considera que
g = 9,8 m/s2
oEso significa que TODOS los
cuerpos, cerca de la superficie
terrestre, caen con la misma
aceleración.
0v v at 
2
0
1
x x vt at
2
  
0v v gt 
2
0
1
y y vt gt
2
  

Ejercicios
• Se deja caer un tabique (rapidez inicial cero) desde la azotea de
un edificio. El tabique choca con el piso 2,50 s después. Se puede
despreciar la resistencia del aire, así que el tabique está en caída
libre. a) ¿Qué altura tiene el edificio? b) ¿Qué magnitud tiene la
velocidad del tabique justo antes de tocar el suelo? c) dibuje las
gráficas ay-t, vy-t y y-t para el movimiento.
2( 9,81)
0 H 0(2,50) (2,50)
2

  
y 2
o oy
a
y(t) y v t t
2
   H 30,7m

Posición de una partícula en el espacio
r x i y j z k
   
  

Desplazamiento en el espacio
2r

1r

2 1r r r
 
  

Velocidad media de la partícula
med
r
v
t

 


r



Vector velocidad instantánea
2v

1v

t 0
r
v lim
t


 



1v

2v


Aceleración media y aceleración instantánea
o La aceleración media se define
como el cambio de la velocidad
en la unidad de tiempo.
o La aceleración instantánea se
define como el límite de la
aceleración media cuando el
intervalo de tiempo tiende a
cero.
med
v
a
t

 


t 0
v
a lim
t


 




Movimiento en dos dimensiones
x yr r i r j
  
 
x yv v i v j
  
 
o Las magnitudes relevantes de un movimiento en dos dimensiones se
expresan de manera general a través de dos componentes: x y y; como
se muestra en la figura.

Movimiento en dos dimensiones
a 0 i 9,81 j
  
 
o En el movimiento parabólico (sin tomar en cuenta la fricción del
aire), la aceleración que sufre el cuerpo, es debida exclusivamente a
la aceleración de la gravedad actuando sobre el eje y, siendo nula en
el eje x.
x
y
0v


Ecuaciones del movimiento parabólico
o Como las componentes pueden integrarse por separado, es
posible hallar expresiones para la velocidad y posición para las
proyecciones de la trayectoria de la partículas a los ejes x y y.
Movimiento
Horizontal (eje x)
Movimiento
Vertical (eje y)
Velocidad
Inicial
v0 x = v0 cos θ v 0y = v0 sen θ
Aceleración a x = 0 a y = -g
Velocidad v x = v0 cos θ v y = v0 sen θ – g t
Posición x = x0 + v0 cos θ t y = y0 + v0 sen θ t– g t2/2

Escriba las ecuaciones de movimiento
o Lanzamiento de proyectil desde el
suelo.
o Lanzamiento de un proyectil con
proyección horizontal.
o Lanzamiento de un proyectil con
proyección oblicua
2
0
1
y v sen t gt
2
  0x v cos t 
0x v t  2
0
1
y y gt
2
 
0x v cos t 
2
0 0
1
y y v sen t gt
2
   

Ejemplo
x 9,0 t 
Un acróbata en motocicleta se lanza del borde de un risco. Justo en el
borde, su velocidad es horizontal con magnitud 9,0 m/s. Obtenga la
posición, distancia del borde y velocidad de la moto después de 0,50 s.
xv 9,0
0x v t  21
y gt
2
 
yv 9,81 t  
x 9,0 0,50 4,50m  
21
y 9,81 0,50 1,23m
2
    
xv 9,0m/s
yv 4,95m/s 
Respuestas
Dato de la
velocidad
Ecuaciones del movimiento parabólico del
motociclista

Ejemplo 3.9 página 63
oUn helicóptero deja caer un
paquete con suministros a las
victimas de una inundación que se
encuentran en una balsa. Cuando el
paquete se lanza, el helicóptero se
encuentra a 100 m por encima de la
balsa, volando a 25,0 m/s y
formando un ángulo de 36,9º sobre
la horizontal. a) ¿Durante cuanto
tiempo estará el paquete en el aire?
b) ¿Dónde caerá el paquete?
Solución. Ecuaciones en el eje x
o Ecuaciones en el eje y
o El movimiento termina cuando y
= 0
o Cuando el paquete llega al piso,
hallamos el valor de la
coordenada x
x(t) 0 25cos(36,9 )t  
xv (t) 25cos(36,9 )  
2
y(t) 100 25sen(36,9 )t 4,905t   
yv (t) 25sen(36,9 ) 9,81t   
2
0 100 25sen(36,9 )t 4,905t   
t 6,30s
x 25cos(36,9º) 6,30 
x 126 m

Cinemática Circular
Cada punto de un cuerpo que gira
respecto de un eje fijo se mueve en
una circunferencia cuyo centro está en
el eje de rotación, y cuyo radio es la
distancia de un punto de la trayectoria
al eje de rotación.
Desplazamiento angular
Cuando el disco se mueve una
longitud de arco S, comprende un
ángulo barrido llamado
desplazamiento angular θ medido
en radianes.
El tiempo que tarda el móvil en dar
una vuelta se llama periodo, T [s] .
o El número de vueltas por unidad de
tiempo se denomina frecuencia, f [Hz]
1
f
T
ds rd 

Cinemática Circular
Velocidad Angular
La variación del desplazamiento
angular respecto del tiempo se
denomina rapidez angular (ω).
Rapidez angular media
En una revolución, un punto barre
un desplazamiento angular de 2π en
un tiempo llamado periodo T
oAdemás, la rapidez tangencial y
rapidez angular están relacionadas
por:
Rapidez angular instantánea
•La rapidez angular instantánea se
define como el límite de la rapidez
angular media.
t



2
2 f
T

   
t 0
d
lim
t dt 
 
 

s
v r r
t t
 
   
 

Movimiento Circular Uniforme (MCU)
Movimiento circular uniforme (MCU)
En el movimiento circular uniforme la
partícula se mueve con rapidez
angular constante. Es decir, la
partícula barre ángulos iguales en
tiempos iguales
De la definición de rapidez angular
Integrando finalmente obtenemos la
posición angular en función del
tiempo.
t
t

    
0(t) t    
cte 
s
s
t
t


Barre desplazamientos
angulares iguales en tiempos
iguales

Problemas
oEjemplo 1
Los puntos periféricos de un disco que
rota uniformemente, se mueven a
40,0 cm/s. Si los puntos que se
encuentran a 2,00 cm de la periferia
giran a 30,0 cm/s, ¿qué diámetro tiene
el disco?
Solución
oEjemplo 2
Considerando que el período de la
Luna alrededor de la Tierra es 28 días.
Determinar la rapidez angular de la
Luna respecto de la Tierra en rad/h.
Solución
v r 
r
r 2
v r 40,0 r
v r 2 30,0 r 2
  
 
r 8,00 cm y D 16,0 cm 
r 2v (r 2)   
Luna
24h
T 28 días 672h
1día
 
3
Luna
2
9,35 10 rad/h
T

   

Velocidad media e instantánea en el movimiento
circular
t 0
r dr
v lim
t dt
 

 

 

La rapidez (módulo de la
velocidad) y la rapidez angular

2r

1r
  
  2 1r r r
med
r
v
t

 


 d R
v
dt


v R 
Velocidad
media
Velocidad
instantánea

Aceleración media e intantánea en el movimiento
circular
t 0
v dv
a lim
t dt
 

 

 

1v

2v

1v

2v

2 1v v v
  
  
med
v
a
t

 


El valor de la aceleración
y la aceleración angular
d
a R R
dt

  

Bibliografía
• Física, Conceptos y Aplicaciones. Tippens P. Ed. McGraw Hill. 7
ed, 2011. Páginas 111-150.

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