áLgebra final

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y TECNOLGIA
CARRERA: GAS Y PETROLEO
SYLLABUS
Asignatura: Álgebra
Código: MAT – 111
Requisito: Ninguno
Carga Horaria: 100 horas
Horas Teóricas 70 horas
Horas Prácticas 30 horas
Créditos: 170
1.1. Álgebra
El algebra es una rama de las matemáticas cuya finalidad fundamental es simplificar y
generalizar las cuestiones referentes a los números o estudio de las funciones numéricas
En álgebra se usan fórmulas para representar relaciones numéricas. Al igual que en la
aritmética, las operaciones fundamentales del álgebra son adición, sustracción,
multiplicación, división y cálculo de raíces, generalmente en el cuerpo de los números
reales .
El algebra es una materia o instrumento deductivo riguroso, que es aplicable a múltiples
ramas de la ciencia y que actualmente, la única forma admisible de estudiar es partiendo
del entendimiento del numero real, lo que sigue la geometría, la trigonometría y el calculo
están basados en dicho estudio.
El álgebra clásica, se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza símbolos en vez de números
específicos y operaciones aritméticas para determinar cómo usar dichos símbolos. El
álgebra moderna ha evolucionado desde el álgebra clásica al poner más atención en las
estructuras matemáticas. Los matemáticos consideran al álgebra moderna como un
conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan. Así, en su forma más
general, se dice que el álgebra es el idioma de las matemáticas.
1.2. Propiedades de los números reales
1. La suma y la multiplicación son operaciones binarias dentro de los números reales .
2. La suma y la multiplicación son conmutativas.
3. La suma y la multiplicación son asociativas.
4. Los tienen un elemento neutro aditivo único, a saber, el cero.
5. Los tienen un elemento neutro multiplicativo único, a saber el uno.
6. Todo número real a tiene un opuesto o inverso aditivo único, -a.
7. Todo número real a tiene un opuesto o inverso multiplicativo único, 1/a.
8. Propiedad distributiva del producto sobre la suma: para cualesquiera números reales
a, b, c:
a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
9. La suma de dos reales positivos es positiva.
10. El producto de dos reales positivos es positiva.
11. Ley de la tricotomía: Para todo a є R es verdadera solamente una de las siguientes
proposiciones:
a) a es positivo

b) -a es positivo; esto es a es negativo.
c) a es cero.
Ley de exponentes.
Exponentes con la misma base: an
.am
= an+m
División con la misma base:
Exponente cero:
Exponente negativo:
Potencia de un producto:
Potencia de cociente:
Potencia de potencia: (an
)m
= an.m
Raiz de una potencia:
Raiz de un producto:
Raiz de un cociente:
Ley de signos en las operaciones algebraicas.
Para la suma:
Signos iguales se suman y al resultado se pone mismo signo.
Signos desiguales se restan, y al resultado se pone el signo del mayor (valor
absoluto).
Para la multiplicación:
+ * + = +
+ * - = -
- * + = -
- * - = +
Para la división:
+ / + = +
+ / - = -
- / + = -
- / - = +
Para la potenciación:
(+) par
= + (+)impar
= +
(-) par
= + (-)impar
= -
1.3. Expresión Algebraica: Una expresión algebraica es un conjunto e números y letras,
o variables unidos entre si por signos de las operaciones de adición, sustracción,
multiplicación, división, potenciación y radicación. Son expresiones algebraicas:
Las expresiones algebraicas se clasifican según su número de términos.
Monomio: Un solo término de la forma axn
. Por ejemplo
Binomio: Es una expresión algebraica que consta de dos términos. Ej
Polinomio. En general, un polinomio es una función de la forma:
dondex es una variable escalar, n es un
entero no negativo y los a0,...,an son
escalares fijos que reciben el nombre de coeficientes del polinomio P. La potencia más
alta de x (n si el coeficiente an es distinto de cero) se denomina grado de P.
0
0
1
1
2
2
1
1 ...)( xaxaxaxaxaxP n
n
n
n
n
nn

Elementos de un término algebraico:En un termino algebraico se consideran
como elementos fundamentales: el coeficiente y la parte literal (variable).
1.4. Términos Semejantes: Los términos semejantes que difieren únicamente en
su coeficiente o parte literal se llaman términos semejantes, o sea que son
semejantes aquellos términos algebraicos que tienen la misma parte literal
afectada por los mismos exponentes, los coeficientes numéricos pueden ser
iguales o diferentes.: Ej. y
1.5. Grado de una expresión algebraica:
1.5.1. Grado de un término o de un monomio. El grado de monomio es la suma de los
exponentes de sus factores literales.Por ejemplo, el grado del monomio 8x3
y2
es 5.
1.5.2. Grado relativo de un monomio: Esta dado por el exponente de la letra referida así
que:
Gx= 3 y Gy = 2
1.5.3. Grado de un polinomio:Esta dado por el grado de su termino mas elevado y el
grado relativo del polinomio esta dado por el mayor exponente de la letra referida.
El grado absoluto es: 12 y Ga= 4 , Gb= 4 , Gc= 5
1.6. Operaciones algebraicas
1.6.1. Suma o adición
Para sumar dos omas expresiones algebraicas basta escribirlas una a continuación de
otras separadas por un signo de suma, luego realizar la reducción de términos
semejantes.
Para sumar dos polinomios se escriben uno a continuación de otro, intercalando entre
ambos el signo de la adición, y se reducen términos semejantes.
Ejemplos:
Sean los polinomios: P(x) = -4 x4
+10 x3
– 6 x + 2
Q(x) = 6 x3
– 12 x2
– 10 x – 4
Sumar aplicando la regla
P(x) + Q(x) = -4 x4
+ (10 + 6) x3
– 12 x2
+ (-6 –10) x + (2 –4) = -4 x4
+16 x3
– 12 x2
– 16x
- 2
Disposición práctica
-4 x4
+10 x3
+ 0 x2
– 6 x + 2
6 x3
–12 x2
– 10 x – 4
--------------------------------------
-4 x4
+16 x3
- 12 x2
– 16 x – 2

1.6.2. Resta o sustracción
La sustracción de dos polinomios se realiza sumando al minuendo el opuesto del
sustraendo.
Ejemplos:
Para restar Q(x) de P(x) se debe sumar a P(x) el polinomio opuesto de Q(x).
P(x) - Q(x) = P(x) + [- Q(x)]
Sean los polinomios: P(x) = -4 x4
+10 x3
– 6 x + 2
Q(x) = 6 x3
– 12 x2
– 10 x – 4
Determinaremos el polinomio diferencia de dos formas diferentes.
Aplicando la regla
P(x) - Q(x) = -4 x4
+ 10 x3
- 6 x + 2 – (6 x3
- 12x2
- 10 x – 2) = -4 x4
+10 x3
-6x+2- 6 x3
+
12x2
+ 10 x + 2 = - 4 x4
+(10-6)x3
+12x2
+ (-6+10)x+(2+4)= -4x4
+4 x3
+ 12 x2
+ 4 x + 6
-4 x4
+10 x3
+ 0 x2
– 6 x + 2
-6 x3
+ 12 x2
+ 10 x + 4
------------------------------------
-4x4
+4 x3
+ 12 x2
+ 4 x + 6
1.6.2.1. Signos de Agrupación
Los signos de Agrupación se emplean para indicar que las cantidades encerradas en ellos
deben considerarse como un todo o sea una sola cantidad.
Regla General para suprimir signos de Agrupación:
a) Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo + se deja el mismo signo
que tengan a cada una de lascantidades que se hallan dentro de el.
b) Para suprimir signos de agrupación precedidos del signo – se cambia el signo a
cada una de lascantidades que se hallan dentro de el.
c) Para suprimir los signos de agrupación se empieza d adentro hacia afuera
1.6.3. Multiplicación
La multiplicación algebraica es la operación que consiste en obtener una expresión
llamada producto total, conociendo otras dos llamadas multiplicando y multiplicador.
Para la multiplicación se tienen que multiplicar los términos entre ellos.
Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada término de uno por cada uno de los
términos del otro y luego se suman los coeficientes de los términos semejantes.
Para operar se deben tener en cuenta la propiedad distributiva del producto sobre la suma
de números reales y la ley del producto de potencias de la misma base.
Sean nuevamente los polinomios:
P(x) = -2x4
+5x3
– 3x + 1
Q(x) = 3x2
– x + 2
determinar el polinomio producto P(x).Q(x)
Aplicando la regla
P(x).Q(x) = 3x2
P(x)+ (-x) P(x)+ 2 P(x)
= (-2x4
+5x3
– 3x + 1) 3x2
+ (-2x4 +5x3
– 3x + 1) (-x) + (-2x4
+5 x3
– 3x + 1) 2 =
= - 6x6
+ 15x5
- 9x3
+ 3x2
+ 2x5
– 5x4
+ 3x2
– x –4x4
+10x3
– 6x + 2 =
= - 6x6
+ 17x5
- 9x4
+ x3
+ 6x2
– 7x + 2

-2 x4
+5x3
– 3x + 1
3x2
– x + 2
----------------------------------
-6x6
+ 15x5
+ 0x4
– 9x3
+ 3x2
2x5
– 5x4
+ 0x3
+ 3x2
– x
- 4x4
+ 10x3
+ 0x2
- 6x + 2
----------------------------------------------------
- 6x6
+ 17x5
– 9x4
+ x3
+ 6x2
– 7x + 2
1.6.4. División:
La división algebraica es la operación que consiste en obtener una expresión llamada
cociente, conocidas otras dos, llamadas dividendo y divisor.
Para dividir un polinomio entre otro polinomio se desarrolla dos métodos: el método
normal y el de Horner:
1.6.4.1. Procedimiento por el método normal o coeficientes separados:
a) Se ordenan los términos de ambos polinomios (dividendo y divisor) según las
potencias decrecientes o crecientes de una misma parte literal, si falta algún
término en dividendo se insertara un cero.
b) Se divide el primer termino del dividendo entre el primer termino del divisor para
obtener el primer termino del cociente.
c) Se multiplica todo el divisor por el primer término del cociente y se resta este
producto del dividendo.
d) El resultado obtenido en el paso “c” se toma como nuevo dividendo y se repite los
pasos “b” y “c” para obtener el segundo termino del cociente.
e) SE repite este proceso hasta obtener un residuo (resto) nulo o de grado inferior.
Si el resto es cero se dice que la división es exacta.
La reversión de los pasos efectuados en los cálculos muestra que:
P(x) = D(x) . Q(x) + R(x)
Ejemplo: dividir P(x) entre Q(x)
P(x) = 12x4
+ 14x3
+ 24x2
+ 20x +2
Q(x) = 4x2
+2x +8
12x4
+ 14x3
+ 24x2
+20x +2|4x2
+2x +8
–12x4
– 6x3
– 24x2
3x2
+2x -1
8x3
+ 0x2
+ 20x
–8x3
– 4x2
– 16x
-4x2
+ 4x +2
4x2
+ 2x+ 8
6x + 10
1.6.4.2. Método de Horner:
Este metodo es un caso particular del metodo de coeficientes separados y se emplea
para la división de dos polinomios de cualquier grado.
1) Se escriben los coeficientesdeldividendo en una fila con su propio signo
Residuo
Cociente

2) Se escriben los coeficientesdeldivisor en unacolumnadonde el primero de ellos con
su propio signo y los restantes con signosdistintoscontrarios.
3) Se hace una separación de columnas para el cociente y el residuo, teniendo en
cuenta que el grado del residuo es menor que el del divisor.
4) Se divide el primer coeficinte de la fila entre el primero de la columna, siendo este
el primer coeficientedelcociente.
5) Se mutiplica el primer coeficientedelcocientepor los coeficientes que cambiaron de
signo en el divisor y los resultados se escriben en fila a partir de la
segundacolumnadeldividendo
6) Se reduce la segundacolumna y se divide este resultado entre el primer
coeficientedeldivisor, obteniendo el segundocoeficientedelcociente.
7) Se continua este procedimientohastacompletar los coeficientesdelresiduo.
Dividirpor el método de Horner :
8x4
+24x2
+18x–36 ÷ 4x2
–6
4 |8 +0 +24 | +18 –36
−0 | −0 +12 |
+6 | +0 +36 |
| − 0 | + 0
| +36 | +18
| | − 0 +54
| |
| |
|2 +0 + 9 | +18 +18
C(x)= 2x2
+9
R(x)= 18x +18
1.6.4.3. Regla de Ruffini:
Se utiliza para dividir polinomios cuando el divisor es un binomio de primer grado.
Procedimiento por el método deRuffini:
a) Se escriben los coeficientes del dividendo en la horizontal.
b) Se escribe el termino independiente dl divisor con signo cambiado un lugar a la
izquierda y abajo del coeficiente del primer termino del dividendo.
c) Se divide como en el caso de Horner, teniendo presente que el primer coeficiente
del cociente es igual al primer coeficiente del dividendo.
d) Para obtener el cociente se separa la última columna que viene a ser el resto.
Dividir por el método de la Regla de Ruffini:
entre x+2

Cociente = -3x3
+ 8x2
- 6x + 12
Resto: -29
1.6.4.4. Teorema del Resto o de Descartes:
Este teorema tiene por objeto determinar el resto en una división sin efectuar la división
Procedimiento por el método del Resto o de Descartes:
a) Se iguala el divisor a cero.
b) Se despeja “x”
c) Se reemplaza en el polinomio el valor de “x”
Dividir por el método del teorema del resto:
P(x) : Q(x)
P(x)= x4
− 3x2
+2 Q(x)= x − 3
Calculo el resto de la división por el teorema del resto
P(3) = 34
− 3 · 32
+ 2 = 81 − 27 + 2 = 56
Este teorema tiene por objeto determinar el resto en una división sin efectuar la división
CUESTIONARIO WORK PAPERS # 1
I. Resolver las siguientes operaciones algebraicas:
1) 9x +5 – {8x – 3 -[-2x +4- (3 – x)] – 2x }
2) -3x2
+3x – {2x – 9x2
-[-5x +3x2
- (5 – x)] – 2x2
}
3) xy +5 – {6x – 4 -[-9xy +2x- y(3 – 8x)] – 3x }
4) z3
{– 3x[-2y + 5x – ( 8x +3y )] – Z3
– 2(xy + 3)}
5) (3x +1) – [-4x + 5 - (2 – 8x)] – 5x
6) -9x2
+ 7x{2x – 7 -[-( 9x +1 )+( 8 – x )] – 9x2
}
7) 3xy - 2{3x – 4[-8xy +2x - 9y(3 – 5x)] – 7xy }
8) (6x - 1)[(-4x -2)*(2 – x)]
9) (-3x2
+ 4x –2)*(2x – 7x2
– 2)
10) (2y +5)(–6x – 4)*(5x – y)
11) (z3
– 6x2
+ 8x – 8)*(-3y – 2xy + 6)
12) )38( 32528475
babababa por )7578( 48644543
babababa
13) )38417( 765828443
babacbacba por )71375( 73324343
babacabcba
14) )211392( 9432827995
babacbacba por )538( 3523275284475
cbabacbabacba
15) x4
– x2
- 2x – 1 entre x2
+ x + 1
16) x5
+ Y5
entre x + Y
17) x6
+ 6x3
– 2x5
– 7x2
– 4x + 6 entre x4
– 3x2
+ 2

18) entre Horner
19) -3x2
+ 4x –2 entre 6x – 3 Resto
entre (x+1) Ruffini
1.7. Productos Notables.
Son aquellos productos cuyo desarrollo es clásico y por esto se le reconoce fácilmente, se
los denomina también “identidades algebraicas”
Se llama productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas cuyos resultado
puede ser escrito por simple inspección, es decir sin verificar la multiplicación. Entre estos
productos tenemos: binomio al cuadrado, diferencia de cuadrados, binomio al cubo y
producto de dos binomios.
Los más importantes son:
a) Cuadrados de una suma y de la diferencia de dos términos:Es el cuadrado
del primero más el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del
segundo.
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Es el cuadrado del primero más el doble producto del primero por el segundo
menos el cuadrado del segundo.
(a –b)² = a²– 2ab + b²
b) Producto de una suma por la diferencia
Llamada también Binomios Conjugados es el cuadrado del primero menos el
cuadrado del segundo.
(a + b) (a – b) = a² - b²
c) Cuadrado de un trinomio
Se desarrolla de la siguiente manera:
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
d) Cubo de una suma o de una diferencia
Esel cubo del primer término, más el triple producto del cuadrado del primer
término por el segundo termino más el triple producto del primer termino por el
cuadrado del segundo termino más el cubo del segundo termino.
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Esel cubo del primer término, menos el triple producto del cuadrado del primer
término por el segundo término más el triple producto del primer termino por el
cuadrado del segundo termino menos el cubo del segundo termino.
e) (a- b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
f) Producto de los términos que tienen un termino común
Es el cuadrado del primer término más el producto de la suma de los segundos
términos y el primer termino más el producto de los segundos términos
g) Producto de un binomio por un trinomio que da una suma o da una
diferencia de cubos

Estos productos equivalen al cubo del primer término más o menos el cubo del
segundo término
1.8. Cocientes Notables.
Se denomina cocientes notables a ciertos cocientes de tal forma que sin efectuar la
división se puede escribir su resultado, se caracterizan por ser cocientes exactos
Se llama cocientes notables a ciertos cocientes que obedecen a reglas fijas y que pueden
ser escritos por simple inspección.
Cociente de ladiferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la
diferencia de dos cantidades:
ba
ba
ba 22
ba
ba
ba 22
Cociente de lasuma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o
diferencia de dos cantidades:
22
33
baba
ba
ba
22
33
baba
ba
ba
Cociente de lasuma o diferencia de potencias iguales de dos cantidades entre la suma
o diferencia de dos cantidades:
Ejemplos:
3223
44
babbaa
ba
ba 3223
44
babbaa
ba
ba
432234
55
babbabaa
ba
ba 432234
55
babbabaa
ba
ba
Recordando
1.9. Factorización
Es la operación que tiene por finalidad transformar una expresión algebraica
racional y entera en otra equivalente que sea igual al producto de sus factores
primos, significa convertir una suma algebraica en producto de factores primos.
A continuación resumimos los diez casos más comunes de Factorización:
CASO I
CUANDO TODOS LOS TÉRMINOS DE UN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR COMÚN
1. an
– bn
es siempre divisible por a – b, siendo n
cualquier numero par o impar.( –/– siempre + )
2. an
– bn
es solo divisible por a + b, cuando n es
un numero par. (–/+ n par)
3. an
+ bn
es solo divisible por a + b, cuando n es
un numero impar. (+/+ n impar)
4. an
+ bn
nunca es divisible por a – b ni por a + b,
siendo n un numero par. (+/– nunca)

Se trata de encontrar un o más factores comunes de tipo monomio o polinomio dentro de
una expresión.
a2
+ 2 a = a(a + 2 a)
60b – 30 ab2
= 30b(2 – 1ab)
CASO II
FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS
Consiste en encontrar grupos de términos que contengan factores comunes, que a su vez
volverán a ser factores comunes.
ax + bx + ay + by = (ax + bx) + (ay + by)
= x(a + b) + y(a + b)
= (a + b) (x + y)
CASO III
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Consiste en encontrar en un trinomio, raíces cuadradas exactas de dos de sus términos,
de modo que su producto multiplicado por 2 sea igual al término restante.
25 + 10b + b2
La raiz cuadrada de 25 es 5
La raiz cuadrada de b2
es b
El doble producto de ambos es 2*5*b es 10b
Por tanto se trata de untrinomiocuadradoperfecto. 22
b)(ab10b25
CASO IV
DIFERENCIAS DE CUADRADOS PERFECTOS
Se determinan las raíces cuadradas de cada uno de los términos
Con las raíces obtenidas en el paso anterior se forma un producto de binomios
conjugados
1 – a2
= (1 + a) (1 – a)
16 x2
– 25 y2
= (4x + 5 y2
) (4x – 5 y2
)
CASO V
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
x4
+ x2
y2
+ y4
no es un cuadrado perfecto ya que falta en el 2do. Término 2x2
y2
, por lo
tanto es necesario adicionarle x2
y2
pero para que el trinomio no varíe hay que restarle la
misma cantidad:
x4
+ x2
y2
+ y4
+ x2
y2
- x2
y2
x4
+ 2 x2
y2
+ y4
– x2
y2
= (x4
+ 2 x2
y2
+ y4
) – x2
y2
= (x2
+ y2
)2
– x2
y2
= (x2
+ y2
+ xy) (x2
+ y2
– xy)
= (x2
+ xy + y2
) (x2
– xy +y2
)
CASO VI
TRINOMIO DE LA FORMA x2
+ bx + c
x2
+ 5x + 6
El trinomio se descompone en dos binomios cuyo primer término es la raíz cuadrada de x2
o sea x:
x2
+ 5x + 6 (x ) (x )

En el primer binomio después de x se pone el signo + porque el segundo término del
trinomio + 5x tiene signo +. En el segundo binomio, después de x, se escribe el signo que
resulta de multiplicar el signo de + 5x por el signo de +6 y se tiene que + por + da +, o
sea:
x2
+ 5x +6 (x + ) (x + )
Ahora, como en estos binomios tenemos signos iguales buscamos dos números que cuya
suma sea 5 y cuyo producto sea 6. Esos números son 2 y 3, luego:
x2
+ 5x + 6 = (x +2) (x + 3)
CASO VII
TRINOMIO DE LA FORMA ax2
+ bx + c
6 x2
– 7x – 3
Multipliquemos el trinomio por el coeficiente de x2
que es 6 y dejando indicado el producto
de 6 por 7x se tiene:
36 x2
– 6(7x) – 18,
pero 36x2
= (6x)2
y 6(7x) = 7(6x),
luego podemos escribir:
(6x)2
– 7(6x) – 18
descomponiendo el nuevo trinomio:
(6x - ) (6x + ),
Buscamos dos números cuya diferencia sea 7 y cuyo producto sea 18. Estos son 9 y 2.
Tendremos entonces: (6x – 9) (6x + 2)
Como habíamos multiplicado el trinomio por 6 al comienzo debemos dividirlo por la misma
cantidad para que no varíe, tendremos:
(6x – 9) (6x+2) = (6x – 9) (6x + 2)=(2x – 3) (3x+ 1)
6 3 x 2
por lo tanto: 6x2
– 7x – 3 = (2x – 3)(3x + 1)
CASO VIII
CUBO PERFECTO DE BINOMIOS
Para que una expresión algebraica ordenada con respecto a una letra sea el cubo de un
binomio, tiene que cumplir las siguientes condiciones:
I. Tener cuatro términos (ordenados)
II. Que el primero y el último término sea cubos perfectos.
III. Que el 2do. término sea más o menos el triplo del cuadrado de la raíz cúbica del
primer término multiplicado por la raíz cúbica del último término.
IV. Que el 3er. Término sea más o menos el triplo de la raíz cúbica del primer término
por el cuadrado de la raíz cúbica del último.
Ej. Halla si 8x3
+ 12x2
+ 6x + 1 es el cubo de un binomio
Veamos si cumple las condiciones expuestas anteriormente:
- Tiene cuatro términos
- La raíz cúbica de 8 x3
es 2x
La raíz cúbica de 1 es 1
- 3(2x)2
(1) = 12 x2
, segundo término
- 3(2x) (1)2
= 6x, tercer término
Cumple las condiciones, y como todos sus términos son positivos, la expresión es el cubo
de (2x + 1), es decir, de otro modo la expresión es equivalente a (2x + 1)3
CASO IX
SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

Regla 1: La suma de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:
i.La suma de sus raíces cúbicas
ii.El cuadrado de la primera raíz, menos el producto de las dos raíces, más el cuadrado de
la segunda raíz.
Ej: x3
+ 1
La raíz cúbica de x3
es x; la raíz cúbica de 1 es 1. Según la regla i: x3
+ 1 = (x + 1) [x2
–
x(1) + 12
] = (x + 1) (x2
– x + 1)
Regla 2: La diferencia de dos cubos perfectos se descompone en dos factores:
i.La diferencia de sus raíces cúbicas.
ii.El cuadrado de la primera raíz, más el producto de las dos raíces, más el cuadrado de la
segunda raíz.
Ej: x3
– 8
La raíz cúbica de x3
es x; la raíz cúbica de 8 es 2.
Según la regla i: x3
– 8 = (x – 2) [x2
+ x(2) + 22
] = (x – 2) (x2
+ 2x + 4)
CASO X
SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES
Por ejemplo:
m5
+ n5
Dividiendo entre m + n los signos del cociente son alternativamente + y - :
m5
+ n5
= m4
– m3
n + m2
n2
– mn3
+ n4
,
m + n
luego:
m5
+ n5
= (m + n) ( m4
– m3
n + m2
n2
– nm3
+ n4
)
La diferencia se realiza con las mismas reglas, excepto que los signos del cociente son
todos +.
CASOS ESPECIALES
Factorización de polinomios: Para factorizar un polinomio se utiliza el método de Rufini
el cual consiste en expresar un polinomio en producto de binomios.
Método de Ruffini
Se aplica a polinomios de grado n. Consiste en buscar un valor “x=a”; tal que este valor
reemplazado al polinomio da como resultado cero (Recuerde el teorema del resto). Luego
el término (x - a) será un factor del polinomio original.
En un polinomio P(x) existirán “n” valores de “x” según sea el grado del polinomio. Para
factorizar el polinomio utilizando el método de Rufini se sigue los siguientes pasos:
1. Ordenar el polinomio en forma descendente.
2. Copiar los coeficientes del polinomio y si falta un término asignarle coeficiente cero.
3. Buscar un valor tal que al realizar la operación se elimine el último término. Se pueden
probar con factores del termino independiente.
Una vez encontrado los valores de “x” copiarlos como productos de binomios.
Ejemplo
4434 234
xxxx
Los factores de -4 son 1, -1, 2, -2, 4, -4
1 -4 3 4 -4
x=1 . 1 -3 0 4
1 -3 0 4 0
x=2 . 2 -2 -4

1 -1 -2
x=-1 . -1 2
1 -2 0
Por tanto:
)2)(1)(2)(1(4434 234
xxxxxxxx
1.10. Máximo Común Divisor (M.C.D.)
De dos o mas expresiones algebraicas es la expresión de mayor grado posible
que esta contenida como factor, un numero entero de veces en dichas
expresiones, para determinar el Máximo Común Divisor se factorizan las
expresiones y se forma EL PRODUCTO DE LOS FACTORES COMUNES CON
SU MENOR EXPONENTE.
Encontrar el máximo común divisor de las siguientes expresiones:
zyx 32
12 ; zyx 2
18 ; zyx 23
24
zyxzyx 32232
)3()2(12
zyxzyx 222
)3)(2(18
zyxzyx 23323
)3()2(24
xyzxyzDCM 6)3)(2(...
MínimoComúnMúltiplo (m.c.m.)
De dos o más expresiones algebraicas es la expresión de menor grado posible
quecontenga un número entero de veces como factor a dichas expresiones. Para
determinar el MínimoComúnMúltiplo se factorizan las expresiones y se forma el
PRODUCTO DE LOS FACTORES COMUNES Y NO COMUNES CON SU
MAYOR EXPONENTE
Encontrar el mínimo común múltiplo de los siguientes polinomios:
yaaxyxa 22
484 y ybxb 22
66
xyyxyyxx
yxyx
yxyxayaaxyxa
2))((2,,
)2(
)2(4484
22
22
2222
)2(4 22
yxyxadondede )(22 2
yxa
Por otra parte:
ybxb 22
66
)(6 2
yxb )(3.2 2
yxb
Por tanto, el M.C.M. entre ambos polinomios será:
22
)(12 yxab
1.11. Fracciones Algebraicas
Es fracción algebraica toda aquella expresión que tiene por lo menos una letra en el
denominador.
1.11.1. Operaciones con fracciones algebraicas

a) Suma y Resta:Para sumar o restar fracciones algebraicas se debe tener en
cuenta los siguientes pasos:
Se simplifican las fracciones si es necesario y visible.
Se determina el Mínimo Común Múltiplo determinando el mínimo común
denominador de los denominadores.
Se divide el mínimo común denominador y se multiplica por el numerador
respectivo.
Se simplifica la fracción obtenida.
b) Multiplicación y División: Para multiplicar fracciones se recomienda factorizar
numeradores y denominadores, luego multiplicar estos entre si.
Para dividir una fracción entre otra se invierte la fracción que actúa como divisor
y se procede como en el caso de la multiplicación.
ECUACIONES
IGUALDAD: Es la expresión que indica la equivalencia de dos cantidades.
Clases de Igualdad
a) Igualdad Absoluta: Llamada también identidad, o igualdad incondicional,
es aquella que se verifica para cualquier valor numérico de sus letras.
b) Igualdad Relativa o Ecuación: Llamada también Igualdad condicional, es
aquella que se verifica solo para algunos valores particulares atribuidas a
sus letras llamadas incógnitas.
ECUACION: Una ecuación es una igualdad condicional o absoluta entre dos
expresiones algebraicas que se denominan miembros de la misma, una ecuación
que solo se verifique para ciertos valores que asume las letras o incógnitas se
llama ecuación condicional o simplemente ecuación, mientras una ecuación que
se verifica para todos los valores permitidos de sus leras o incógnitas se llama
identidad, estos valores de las incógnitas que verifican la ecuación se conoce
como la raíz de la ecuación.
Transposición de términos
Consiste en cambiar los términos de una ecuación de un miembro a otro, para realizar
estos cambios se deben cumplir las siguientes reglas:
1. Toda expresión que este sumando en un miembro; pasa a restar al otro miembro.
2. Toda expresión que este restando en un miembro; pasa a sumar al otro miembro.
3. Toda expresión que este multiplicando en un miembro, pasa al otro miembro a dividir.
4. toda expresión que este dividiendo en un miembro, pasa al otro miembro a multiplicar.
Raíces o solución de una ecuación: Las raíces de una ecuación son valores que
reemplazados en las incógnitas o variables satisfacen la igualdad de la ecuación. Una
ecuación tiene uno, dos o mas soluciones esto dependerá del grado de la ecuación.
Grado de una ecuación: Las ecuación pueden ser lineales o de primer grado,
Cuadráticas o de segundo grado y polinómicas de grado mayores o iguales a 3. El grado
de la ecuación es el mayor exponente que tienen la variable o exponente.
Ejemplo:
Indicar el grado de las siguientes ecuaciones
435x ecuación de 1er
grado
3632 2
xx ecuación de 2do
grado

6237 23
xxx ecuación de 3er
grado
3401114 25
xxx ecuación de 5º grado
Solución de las ecuaciones
Existe un teorema que indica que el grado de una ecuación determina el número de
soluciones que tiene la ecuación. En estas soluciones se incluyen las soluciones
complejas.
Ecuaciones lineales de primer grado con una incógnita: Son aquellas ecuaciones que
tienen grado uno; para resolver este tipo de ecuación solo se debe despejar la variable o
incógnita.
Ejemplo:
a) Resolver:
933x
933x
393x
3
12
x 4x
Sistema de ecuaciones lineales: Para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos
incógnitas se los realiza utilizando los siguientes métodos: Sustitución, Igualación y
Reducción.
Método de sustitución: Este método consiste en despejar una incógnita en una ecuación
y se sustituye en la otra ecuación para obtener una de las variables; una vez obtenida una
de las variables esta se reemplaza en una de las ecuaciones para obtener la otra variable.
Ejemplo:
a) Determinar los valores de las variables en el siguiente sistema de ecuación :
1938
2452
yx
yx
Despejamos la variable “x” de la primera ecuación:
2452 yx
yx 5242
2
524 y
x
Reemplazo la “x” en la segunda ecuación:
1938 yx
193
2
524
8 y
y
193)524(4 yy
1932096 yy
961923y

23
115
y 5y
y = -5; reemplazo en la ecuación 1
2
524 y
x
2
2524
x
2
1
x
Por lo tanto la solución del sistema de ecuación es
2
1
x ; 5y
Método de reducción: Este consiste en prepararan las dos ecuaciones (multiplicando por
los números convenientes) para que una de las incógnitas tenga el mismo coeficiente en
ambas, una vez multiplicadas se suman ambas ecuaciones y desaparece una incógnita
de donde se despeja una de las variables; una vez obtenida una de las variables esta se
reemplaza en una de las ecuaciones para obtener la otra variable.
Ejemplo:
a) Determinar los valores de las variables en el siguiente sistema de ecuaciones:
36
624
yx
yx
Para eliminar la variable “y” multiplicamos por -2 a la segunda ecuación:
624 yx
6212 yx
1208x
8
12
x
2
3
x
x = 5; reemplazo en la ecuación 1
624 yx
62
2
3
4 y ; 626 y
662y
2
12
y 6y
Ecuaciones cuadráticas
Son aquellas ecuaciones que tienen grado dos, las ecuaciones cuadráticas tienen la
siguiente forma:
ax2
+ bx + c = 0 ; a 0
Esta ecuación se resuelve de la siguiente manera:
0)()( 2
acaxbax
2
)5(524
x

acaxbax )()( 2
44
)()(
22
2 b
ac
b
axbax
42
22
b
ac
b
ax
42
22
b
ac
b
ax
4
4
2
2
acbb
ax
2
4
2
2
acbb
ax
En consecuencia:
a
acbb
x
2
42
Esta expresión encierra dos fórmulas, que se pueden expresar en la siguiente forma:

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