2 capítulo2 estatica de partículas
- 1. Mecánica 1: Estática Capítulo 2: Estática de Partículas 29/12/2013 Grupo tutor-el por el desarrollo integral de el Ingeniero 1
- 2. Vectores, Partículas y Cuerpos • Vector: parámetro que tiene magnitud y dirección. Se suman según la Ley del Paralelogramo. • Escalar: parámetro con magnitud, pero no dirección. • Vectores iguales tienen la misma magnitud y dirección • Partícula: se usa este modelo cuando todas las fuerzas convergen al mismo punto. 29/12/2013 • Vector negativo de un vector dado es aquel que tiene misma magnitud pero dirección opuesta. • Cuerpo: se usa este modelo cuando no todas las fuerzas convergen al mismo punto. Grupo tutor-el por el desarrollo integral de elIngeniero 2
- 3. Suma de vectores • Ley del paralelogramo • Ley del triángulo • Ley de cosenos: C b B 2 a 2 c 2 2 a c cos B C • Ley de senos: sin A B sin B sin C a b c • La suma de vectores en conmutativa P Q Q P • Resta de vectores: usar el vector negativo 29/12/2013 Grupo tutor-el por el desarrollo integral de elIngeniero 3
- 4. Suma de vectores • La suma de 3 o más vectores se logra aplicando en forma repetida la Ley del Triángulo. • Ley del polígono: otra forma de efectuar la suma de 3 o más vectores. • La suma de vectores es asociativa: P Q S P Q S P Q S • Multiplicación de un vector por un escalar: afecta directamente la magnitud, y si el escalar es negativo, cambia la dirección 29/12/2013 Grupo tutor-el por el desarrollo integral de elIngeniero 4
- 5. Resultante de Fuerzas Concurrentes • Fuerzas concurrentes: grupo de fuerzas que pasan a un mismo punto. Al aplicarse a una partícula, también se pueden sustituir por una fuerza resultante, correspondiente al vector suma de las fuerzas aplicadas. • Componentes del vector Fuerza: se refiere a 2 o más vectores fuerza que al actuar juntos, tienen el mismo efecto que un vector fuerza. 29/12/2013 Grupo tutor-el por el desarrollo integral de elIngeniero 5
- 6. Problema resuelto 2.1 SOLUCION: • Solución gráfica – construir a escala un paralelogramo con lados en las mismas direcciones de P y Q. Gráficamente evaluar la resultante equivalente, la cual es equivalente en dirección y proporcional en magnitud, a la diagonal. Dos fuerzas actúan en el perno A. Determine su resultante. 29/12/2013 • Solución trigonométrica – Usar la regla del triángulo para sumar vectores, en conjunto con la Ley de Cosenos y Ley de Senos para encontrar la resultante. Grupo tutor-el por el desarrollo integral de elIngeniero 6
- 7. Problema resuelto 2.1 • Solución Trigonométrica – Aplicar la Ley del Triángulo. De la Ley de Cosenos: R 2 P 2 Q 40 N De la Ley de Senos, 2 29/12/2013 2 PQ cos B 60 N 2 2 40 N 60 N cos 155 R 97 . 73 N sin A sin B Q Es usual que al resolver problemas de 2 fuerzas y su resultante, se usen LEY DE SENOS y LEY DE COSENOS. Eso sí, es indispensable un adecuado planteamiento geométrico. 2 R sin A sin B Q R sin 155 60 N 97 . 73 N A 15 . 04 20 A Grupo tutor-el por el desarrollo integral de elIngeniero 35 . 04 7
- 8. Ejercicios 1. Calcular la magnitud de resultante FR , así como su medida en sentido contrario manecillas del reloj, desde positivo. 29/12/2013 la fuerza dirección, al de las el eje x Grupo tutor-el por el desarrollo integral de elIngeniero 8 8
- 9. Ejercicios 2. El poste será extraído del terreno por medio de las cuerdas A y B. Si en A se aplica la fuerza de 600 lb indicada en un ángulo de 60 con la horizontal, calcule la fuerza T en la cuerda B y el correspondiente ángulo . Considere que la fuerza resultante que actuará sobre el poste va será de 1200 lb vertical hacia arriba. 29/12/2013 Grupo tutor-el por el desarrollo integral de elIngeniero 9 9
- 10. Ejercicios 29/12/2013 3. El camión es jalado usando dos cuerdas. Calcule la magnitud de las fuerzas en ambas, de forma que la resultante de 950 N esté dirigida a lo largo del eje x positivo. Tome en cuanto que = 50 . Grupo tutor-el por el desarrollo integral de elIngeniero 10 10
- 11. Componentes rectangulares de una Fuerza: Vectores unitarios • Un vector fuerza se puede descomponer en sus componentes perpendiculares,tal que el paralelogramo resultante sea un rectángulo. F x y F y son conocidos como componentes rectangulares del vector. F • Fx Los vectores unitarios i y Fy j tienen la dirección de los ejes x y y, y tienen magnitud 1. • Los componentes vectoriales pueden expresarse como el producto de los vectores unitarios por las magnitudes escalares de dichas componentes: F 29/12/2013 Fx i Fy j Grupo tutor-el por el desarrollo Fx y Fy son los componentes integral de elIngeniero F escalares de 11
- 12. Suma de Fuerzas por Suma de Componentes. • Para encontrar la resultante de 3 o más fuerzas concurrentes: R P Q S • Descomponer cada fuerza en componentes rectangulares Rxi Ry j Px i Px Py j Qx Qxi Sx i Qy j Py S xi Qy Sy j Sy j • Las componentes escalares de la resultante son iguales a la suma de las correspondientes componentes escalares de las fuerzas dadas. Rx Px Qx Sx Ry Py Fx Qy Fy • Para encontrar la magnitud y dirección 2 2 R Rx Ry Grupo tutor-el por el desarrollo 29/12/2013 integral de elIngeniero tan 1 Ry Rx 12 Sy
- 13. Problema resuelto 2.3 SOLUCION: • Descomponer cada fuerza en sus componentes rectangulares. • Calcular las componentes de la resultante, sumando las componentes de las fuerzas. Cuatro fuerzas actúan en el perno A. Calcule la resultante de la fuerza ejercida en dicho perno. 29/12/2013 • Calcular la magnitud y dirección de la resultante. Grupo tutor-el por el desarrollo integral de elIngeniero 13
- 14. Problema resuelto 2.3 SOLUCION: • Descomponer fuerzas en componentes rectang. • Calcular los componentes de la resultante sumando las componentes de las fuerzas. fuerza F1 F2 F3 F4 mag x y comp 150 129 . 9 75 . 0 80 27 . 4 75 . 2 110 0 110 . 0 100 96 . 6 25 . 9 Rx 199 . 1 Ry 14 . 3 • Calcular la magnitud y dirección. R tan 2 199 . 1 14 . 3 14 . 3 N 199 . 1 N 29/12/2013 comp Grupo tutor-el por el desarrollo integral de elIngeniero 2 R 199 . 6 N 4 .1 14
- 15. Equilibrio de una Partícula • Cuando la resultante de las fuerzas que actúan en una partícula es CERO, se dice que la partícula están en equilibro. • Primera Ley de Newton: Si la resultante de fuerzas en una partícula es CERO, ella permanecerá en reposo, o a velocidad constante en línea recta. • Partícula afectada por 3 o más fuerzas: • Partícula afectada por 2 fuerzas: - La solución gráfica crea polígono cerrado - Igual magnitud - La solución algebraica - Misma línea de acción R F 0 - Sentido opuesto 29/12/2013 Fx 0 Grupo tutor-el por el desarrollo integral de elIngeniero Fy 0 15
- 16. Diagramas de cuerpo libre Diagrama Espacial: dibujo o croquis mostrando las condiciones físicas del problema. 29/12/2013 Diagrama de cuerpo libre (DCL): es un esquema mostrando únicamente las fuerzas actuando en una partícula de nuestro interés. Grupo tutor-el por el desarrollo integral de elIngeniero 16
- 17. Diagramas de cuerpo libre: una pequeña muestra 29/12/2013 Grupo tutor-el por el desarrollo integral de elIngeniero 17 17
- 18. Diagramas de Cuerpo Libre(DCL) una pequeña muestra RECUERDE En POLEAS SIN FRICCION, la magnitud de la fuerza de tensión es igual a ambos lados de la cuerda y la dirección de estas fuerzas, es igual a la dirección que lleva la cuerda. 29/12/2013 Grupo tutor-el por el desarrollo integral de elIngeniero 18 18
- 19. Problema resuelto 2.6 SOLUCION: • Escogiendo la proa como cuerpo libre, dibuje el DCL respectivo. Se quiere calcular la fuerza de arrastre, • Exprese la condición de equilibrio para a una velocidad. dada, en el prototipo la proa, indicando que la suma de del casco de un velero. Un modelo se todas las fuerzas debe ser cero. coloca en el canal de prueba y 3 cables • Descomponga la ecuación del vector alinean la proa en la línea central del equilibrio en 2 ecuaciones de canal. Para cierta velocidad, la tensión componentes. Resuelva para las 2 en el cable AB es 40 lb y en el cable AE tensiones desconocidas de los cables. es 60 lb. Calcule la fuerza de arrastre ejercida en la proa y la tensión en el cable AC. 29/12/2013 Grupo tutor-el por el desarrollo integral de elIngeniero 19
- 20. Problema resuelto 2.6 SOLUCION: • Se dibuja el DCL para la proa. 7 ft tan 1 . 75 tan 1.5 ft 0 . 375 4 ft 4 ft 20 . 56 60 . 25 • Expresando la condición de equilibrio para la proa, se plantea la suma de todas las fuerzas igual a cero. R 29/12/2013 T AB T AC Grupo tutor-el por el desarrollo integral de elIngeniero T AE FD 0 20
- 21. Problema resuelto 2.6 • Al descomponer la ecuación de equilibrio en componentes, se resuelve para las 2 tensiones desconocidas. T AB T AC T AE FD R 40 lb sin 60 . 26 i 40 lb cos 60 . 26 j 34 . 73 lb i 19 . 84 lb j T AC sin 20 . 56 i T AC cos 20 . 56 j 0 . 3512 T AC i 0 . 9363 T AC j 6 0 lb j FD i 0 34 . 73 19 . 84 29/12/2013 0 . 3512 T AC 0 . 9363 T AC Grupo tutor-el por el desarrollo integral de elIngeniero FD i 60 j 21
- 22. Problema resuelto 2.6 R 0 34 . 73 0 . 3512 T AC 19 . 84 0 . 9363 T AC FD i 60 j Esta ecuación se satisface sólo si cada componente de la resultante es igual a cero. Fx 0 0 Fy 0 0 T AC 29/12/2013 19 . 84 0 . 3512 T AC 0 . 9363 T AC FD 60 42 . 9 lb FD 34 . 73 19 . 66 lb Grupo tutor-el por el desarrollo integral de elIngeniero 22 22
- 23. Equilibrio de una Partícula Note la conveniencia de trabajar según la cantidad de fuerzas involucradas:. NOTE QUE: Cuando hay 3 fuerzas en equilibrio, suele ser más útil utilizar •LEY DE SENOS •LEY DE COSENOS NOTE QUE: Cuando hay 4 o más fuerzas en equilibrio, únicamente se puede utilizar: •COMPONENTES RECTANG. •ANÁLISIS VECTORIAL •Triángulo de fuerzas NO! 29/12/2013 Grupo tutor-el por el desarrollo integral de elIngeniero 23
- 24. Ejercicios 4. Determine las componentes x y y de cada fuerza que actúa sobre la placa de nudo de la armadura de puente. Muestre que la fuerza resultante es cero. 29/12/2013 Grupo tutor-el por el desarrollo integral de elIngeniero 24 24
- 25. Ejercicios 5. Determine la magnitud de la fuerza resultante así como su dirección, medida en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el eje x positivo. 29/12/2013 Grupo tutor-el por el desarrollo integral de elIngeniero 25 25
- 26. Ejercicios 6. El tubo de 30 kg está soportado en A por un sistema de cinco cuerdas. Determine la fuerza necesaria en cada cuerda para obtener el equilibrio. 29/12/2013 Grupo tutor-el por el desarrollo integral de elIngeniero 26 26
- 27. Fuerzas en el Espacio: componentes rectangulares • El vector F está contenido en el plano OBAC. • Dividir F en sus componentes vertical y horizontal. Fy Fh 29/12/2013 F cos F sin • Dividir F h en sus componentes rectang. Fx F sin y y Grupo tutor-el por el desarrollo integral de elIngeniero F h cos Fz y cos y sin F h sin F sin 27
- 28. Componentes Rectangulares en el Espacio • Con los ángulos entre F y los ejes, Fx F • F cos x F y F cos y F z Fx i F y j Fz k F cos x i cos y j cos z k cos x i cos y j cos z k z F es un vector unitario a lo largo de la línea de acción de F y cos , cos , y cos son los cosenos directores para Grupo tutor-el por el desarrollo F x 29/12/2013 F cos integral de elIngeniero y z 28
- 29. Componentes rectangulares en el Espacio La dirección de la fuerza está definida por la localización de 2 puntos, M x1 , y1 , z1 y N x 2 , y 2 , z 2 d vector que une M y N d xi d y j d zk dx F x2 F 1 dy Fd x d y2 dy j d xi d Fx x1 d zk Fy rM N NOTE QUE: r Grupo tutor-el por el desarrollo 29/12/2013 N /M integral de elIngeniero Fd y1 y Fz d rN rN dz z2 Fd z d rM rM 29 z1
- 30. Problema resuelto 2.7 SOLUCION: • Partiendo de la ubicación relativa de los puntos A y B, determine el vector unitario partiendo de A hacia B. La tensión en el cable de anclaje es de 2500 N. Determine: a) componentes Fx, Fy, Fz de la fuerza que actúa en el perno A, • Usando el vector unitario, se calculan los componentes de la fuerza resultante en el perno A. • Como las componentes del vector unitario equivalen al valor de los cosenos directores del vector fuerza, calcule los ángulos en cuestión. b) Los ángulos x, y, z que definen la dirección de la fuerza Grupo tutor-el por el desarrollo 29/12/2013 integral de elIngeniero 30
- 31. Problema resuelto 2.7 SOLUCION: • Calcular el vector unitario que va desde A hacia B. AB 40 m i AB 40 m 30 m k 80 m j 2 80 m 2 30 m 2 94 . 3 m 40 i 94 . 3 0 . 424 i j 80 94 . 3 0 . 848 j 30 k 94 . 3 0 . 318 k • Determine los componentes de la fuerza. F F 2500 N 1060 N i 29/12/2013 0 . 848 j 0 . 318 k 2120 N j 795 N k 0 . 424 i Grupo tutor-el por el desarrollo integral de elIngeniero 31
- 32. Problema resuelto 2.7 • Como los componentes del vector unitario equivalen al valor de los cosenos directores para el vector fuerza, se pueden entonces calcular estos ángulos, tal que: cos x i cos y 0 . 424 i 0 . 848 j j x y 32 . 0 z 29/12/2013 115 . 1 71 . 5 Grupo tutor-el por el desarrollo integral de elIngeniero cos z k 0 . 318 k 32
- 33. Ejercicios 7. El poste está sometido a la fuerza F que tiene componentes Fx = 1.5 kN y Fz = 1.25 kN. Si = 75 , determine las magnitudes de F y Fy 29/12/2013 Grupo tutor-el por el desarrollo integral de elIngeniero 33 33
- 34. Ejercicios 8. 29/12/2013 Calcule las componentes rectangulares de la fuerza de 350 N. También calcule los ángulos directores (es decir, ángulos entre el vector fuerza y los ejes rectangulares). Grupo tutor-el por el desarrollo integral de elIngeniero 34 34
- 35. Ejercicios 8. Las retenidas de cable de acero se usan para dar soporte al poste telefónico. Represente la fuerza en cada alambre en forma vectorial cartesiana. 29/12/2013 Grupo tutor-el por el desarrollo integral de elIngeniero 35 35
- 36. Ejercicios 9. Tres cables sostienen un anillo de 900 libras de peso. Calcule la tensión en cada cable para mantener la posición de equilibrio. 29/12/2013 Grupo tutor-el por el desarrollo integral de elIngeniero 36 36