Trabajo grupal 1
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Este documento presenta soluciones a 12 ejercicios de ecuaciones diferenciales. Los ejercicios involucran encontrar funciones que hacen que las ecuaciones sean exactas y resolver las ecuaciones utilizando métodos de ecuaciones exactas. Algunas ecuaciones propuestas son lineales, cuadráticas o de orden superior.
Trabajo grupal 1
- 1. Universidad Regional Amazónica Ikiam Trabajo Grupal Grupo N|2 Mirian.lapo Kevin.Salazar Betsy. Chimbo Kevin.Castro Leidy.Rivadeneira 15 June 2020 1. Miscelánea de ejercicios 1.1. Ejercicio 7 Encuentre N(x,y) de tal forma que la siguiente ecuación sea exacta Solución N(x, y)dy+M x2 −y2 −2x3 y x2y3 dx = 0 ∂M ∂y = ∂N ∂x ∂M ∂y = (−2y − 2x3 )(x2 y) − (x2 − y2 − 2x3 y)x2 (x2y)2 = −2x2 y2 $$$$−2x5 y − x4 + x2 y2 $$$$+2x5 y x4y2 ∂M ∂y = −x4 − x2 y2 x4y2 = ¨¨−x2 (x4 + y2 ) x¡¡4 y2 = − x2 + y2 x2y2 ≡ ∂N ∂x N = ∂f ∂y = − x2 + y2 x2y2 dx = − 1 y2 dx + 1 x2 dx = − 1 y2 dx + x−2 dx N = ∂f ∂y = − x y2 − x−1 + g(y) = − x y2 − 1 x + g(x) = − x2 − y2 xy2 + g(y) N = ∂f ∂y = − x2 + y2 xy2 + g(y) = y2 − x2 xy2 + g(y) 1.2. Ejercicio 8 1 + x2 y y + xy2 = 0 Solución 1 + x2 y y + xy2 = 0 (1 + x2 y) dy dx + xy2 = 0 multiplicar dx : (1 + x2 y)dy + (xy2 )dx = 0 (xy2 )dx + (1 + x2 y)dy = 0 Verificar si es exacta M = xy2 y N = 1 + x2 y 1
- 2. ∂M ∂y = 2xy ≡ ∂N ∂x = 2xy 2xy ≡ 2xy Son iguales las ecuación → es exacta ∂f ∂x = xy2 f = (xy2 )dx + g(y) f = x2 y2 2 + g(y) Derivar con respecto y para obtener g(y) ∂f ∂y = ¡2x2 y ¡2 + g (y) & &x2 y + g (y) ≡ N = 1¨¨¨+x2 y g (y) = 1 g(y) = 1dy g(y) = y Reemplazar g(x) en la ecuación original: x2 y2 2 + g(y) x2 y2 2 + y = C 1.3. Ejercicio 9 1 1+9x2 − x3 y2 y − x2 y3 Solución 1 1 + 9x2 − x2 y3 = x3 x2 dy dx 1 1 + 9x2 − x2 x3 dx − x3 y2 dy = 0 Verficar si es exacta M = 1 1+9x2 − x2 y3 y N = −x3 y2 ∂M ∂y = −3x2 y2 ≡ ∂N ∂x = −3x2 y2 ⇒ es exacta ∂f ∂y = −x3 y2 f = − x3 y2 dy + h(x) f = − x3 y3 3 + h(x) Derivar con respecto x paa obtener h (x) ∂f ∂x = −¡3x2 y3 ¡3 + h (x) ∂f ∂x = $$$−x2 y3 + h (x) = M(x, y) = 1 1 + 9x2 $$$−x2 y3 h (x) = 1 1 + 9x2 h(x) = 1 1 + 9x2 dx = 1 9 1 1 9 + x2 = 1 9 1 1 3 2 + x2 h(x) = 1 9 1 2 arctan x 1 3 2
- 3. h(x) = 1 18 arctan(3x) Entonces: − x3 y3 3 + 1 18 arctan(3x) = C 1.4. Ejercicio 10 Solución x 3xdx − 3y4 dx − y2 (6x2 ydy − dy) = 0 xdx 3x − 3y4 − y2 dy 6x2 y − 1 = 0 3x2 − 3xy4 dx + −6x2 y3 + y2 dy = 0 Verificar si es exacta M = 3x2 − 3xy4 y N = −6x2 y3 + y2 ∂M ∂y = −12xy3 ≡ ∂N ∂x = −12xy3 −12xy3 ≡ −12xy3 Son iguales las ecuaciones → es exacta ∂f ∂x = 3x2 − 3xy4 f = 3x2 − 3xy4 dx + g(y) f = 3x2 dx − 3xy4 dx + g(y) f = ¡3x3 ¡3 − 3x2 y4 2 + g(y) f = x3 − 3x2 y4 2 + g(y) Derivar con respecto y para obtener g(y) ∂f ∂y = − &&b 6 12x2 y3 ¡2 + g (y) ∂f ∂y = $$$$ −6x2 y3 + g (y) ≡ N = $$$$ −6x2 y3 − y2 g (y) = −y2 g(y) = − y2 dy → g(y) = −y3 3 Reemplazar g(y) en la ecuacion original; x3 − 3x2 y4 2 + g(y) = C x3 − 3x2 y4 2 − y3 3 = C 1.5. Ejercicio 11 (x2 + y)dx − xdy = 0 Solución 3
- 4. (x2 + y) − xdx dy = 0 (x2 + y) − xdx dy = 0 y la variable independiente dividir entre dx x2 + y − xdx dy = 0 Sustituircon y x2 + y − xy = 0 Normaliza EDO y + p(x)y = q(x) (−1) −xy + y = −x2 (−1) p(x) = −1 x y xy’-y=-x2 q(x) = x xy x − 1 x y = x2 x y − 1 x y = x Calcular factor integrante u(x) = e f(x)dx e− 1 x dx = e−In|x| eInx− 1 = x−1 = 1 x ; u(x) = 1 x ;u(x)=u(x)=1x y = 1 u(x) q(x)u(x)dx 1 1 x · 1 1 1 x = x y = x x · 1 x dx = x dx y = x(x + C) = x2 + Cx y = x2 + Cx 1.6. Ejercicio 12 y x dx + y3 − ln(x) dy = 0 M y x dx + N y3 − ln(x) dy = 0 ∂M ∂(y) = 1 x ≡ ∂N ∂(x) = −1 x ⇒ No es exacta 4
- 5. •K(y) = 1 M(x, y) ∂N(x, y) ∂x − ∂M(x, y) ∂y ⇒ x y − 1 x − 1 x ⇒ − x y − 2 x ⇒ K(y) = − 2 x y x = − 2 y •U(y) = e− 2 y dx ⇒ e−2 ln y ⇒ eln y−2 ⇒ y−2 ⇒ factor de itegracion Multiplicamos el factor integracion por la ecuacion general 1 y2 y x dx + 1 y2 y3 − ln x dy = 0) ⇒ 1 yx dx + y − ln x y2 dy = 0 Comprobamos su exactitud • ∂M ∂(y) = − x y2x2 ⇒ 1 xy2 ; ∂N ∂(x) = − 1 x y2 y4 ⇒ 1 xy2 Resolverlo con el método de ecuaciones exactas •f = 1 xy dx + g(y) ⇒ 1 y ln(x) + g(y) ⇒ ∂f ∂y = − ln x y2 + g (y) ⇒ − ln x y2 + g (y) = − ln x y2 • g (y) = ln x y2 + y − ln(x) y2 ⇒ g (y) = y dy ⇒ g(y) = y2 2 + c Reemplazo ln x y + y2 2 + c = f(x) 5