06 mecfluidos
- 1. VI.- SEMEJANZA HIDRODINÁMICA Y ANÁLISIS DIMENSIONAL pfernandezdiez.es VI.1.- NÚMEROS DE FROUDE, REYNOLDS, WEBER Y MACH En un fenómeno hidráulico, las variables que intervienen en el mismo se pueden reducir a ocho, y son: a) La fuerza F b) La longitud L c) La velocidad u d) La densidad ρ e) La viscosidad dinámica η f) La aceleración de la gravedad g g) La velocidad del sonido cs h) La tensión superficial s Las fuerzas que pueden actuar sobre un fenómeno hidráulico, son: 1) Las de inercia (gradiente de presiones) 2) Las de peso (gravedad) 3) Las de viscosidad (rozamiento) 4) Las de capilaridad (tensión superficial) 5) Las de elasticidad. La comparación de las cuatro últimas respecto a la primera, permite determinar los números adi- mensionales de Froude, Reynolds, Weber y Mach. El nº de Froude se define en la forma: € F = Fuerzas de inercia Volumen Fuerzas de peso Volumen = Fuerzas de inercia Volumen = m du dt V = ρ du dt = ρ du dL dL dt = ρ du dL u = ρ u2 L Fuerzas de gravedad Volumen = P V = γ = ρ g = u L g pfernandezdiez.es Semejanza hidrodinámica y Análisis dimensional.VI.-97
- 2. El nº de Reynolds se define en la forma: € Re = Fuerzas de inercia Volumen Fuerzas de rozamiento Volumen = Fuerzas de rozamiento Volumen = η Ω du dx V = η 1 L du dx = u η L2 = ρ u2/L uη /L2 = ρ u L η = u L ν Cuando el número de Reynolds es grande, las fuerzas de inercia predominan sobre las de rozamiento y si es bajo, sucede todo lo contrario. El nº de Weber se define en la forma: € W = Fuerzas de inercia Volumen Fuerzas de tensión superficial Volumen = Fuerzas de tensión superficial Volumen = F V = F L3 = F L L2 = σ L2 = ρ L σ u = u σ ρ L en la que σ es la tensión superficial. El nº de Mach se define en la forma: € M = Fuerzas de inercia Volumen Fuerzas elásticas Volumen = Fuerzas elásticas Volumen = F V = F L3 = F L2 L = E L = u E ρ = u cs en la que E es el módulo de elasticidad. Si el número de Mach es grande predominan las fuerzas de inercia sobre las elásticas, y al contrario, si es bajo. La velocidad del fluido € u lleva asociada una velocidad de onda (velocidad del sonido en el fluido), que se conoce como celeridad: - La celeridad de la onda de peso se define en la forma: a = L g = L γ ρ - La celeridad de la onda capilar se define como: a = σ ρ L - La celeridad de la onda elástica se define como: a = E ρ Si hacemos, F = 1, W = 1, M = 1, se tiene el caso en que la velocidad del fluido coincide con la celeridad de la onda, lo cual sirve para separar los régimenes cuya característica es la posibilidad de propagación de la onda en todas direcciones, o solo dentro de una porción limitada de fluido; esta velocidad se denomi- na velocidad crítica. No se puede tratar al número de Reynolds en la misma forma debido que la propagación de la onda de viscosidad es transversal; experimentalmente se determina el valor del número de Reynolds, que se- para el régimen laminar del turbulento, pudiéndose asegurar que para fluidos que circulan por el interior de una tubería: - Si Re < 2.000, el régimen es laminar - Por encima de Re > 8.000, el régimen es turbulento, aunque se han conseguido regímenes laminares por encima de este número, lo cual no es significativo a la hora de definir el régimen turbulento pfernandezdiez.es Semejanza hidrodinámica y Análisis dimensional.VI.-98
- 3. Para la celeridad de la onda de gravedad en ríos: - Si la velocidad u es menor que la celeridad, F < 1, el movimiento del líquido en el río será fluvial o lento - Si la velocidad u es mayor que la celeridad a, el movimiento es torrencial o rápido Para la velocidad de la onda elástica, la velocidad crítica se corresponde con la velocidad € cs del soni- do, M = 1: - Si la velocidad del fluido u < cs, el movimiento es subsónico y la perturbación se transmite en todas direcciones, remontando incluso la corriente - Si la velocidad u > cs el movimiento es supersónico y la perturbación sólo se propaga en la dirección de la corriente VI.2.- LEY GENERAL DE NEWTON La información obtenida cuando se ensaya un pequeño modelo, sirve para el diseño de un prototipo más grande, a escala real. Las fuerzas de inercia tienen gran interés, por cuanto aparecen en los núme- ros adimensionales de Froude, Reynolds, Weber y Mach, y de ahí el que sea preciso establecer una esca- la que ligue dichas fuerzas, entre el prototipo y el modelo. Si se representa dicha escala por x, tendremos: x = F Fm = M a Mmam = M = V ρ = L3 ρ M m= Vm ρm = Lm 3 ρm ⎫ ⎬ ⎭ ⇒ a = u2 L = ρ L2 u2 ρm Lm 2 um 2 = ρ Ω u 2 ρm Ωmum 2 es decir, dos fuerzas homólogas cualesquiera están relacionadas entre sí en la misma forma que: - Las densidades de las masas respectivas - Las secciones o superficies correspondientes - Los cuadrados de las velocidades homólogas Existen unos coeficientes, λ, µ, τ, que son relaciones constantes entre las magnitudes simples de am- bos sistemas, de la forma: λ = L Lm ; λ2 = Ω Ωm ; λ3 = V Vm ; µ = M Mm ; τ = t tm con los que se obtiene: x = M a Mmam = M Mm L t2 Lm tm 2 = µ λ τ -2 que es la ecuación general de Newton, y que se aplica cuando las fuerzas de inercia predominen sobre las demás, caso que se presenta en alas de aeroplano, palas de hélice, etc, cuyas superficies provocan unas fuerzas acelerativas en el fluido en el que están inmersas, muy importantes. Como es muy difícil conseguir una semejanza completa entre el prototipo y el modelo, en ingeniería suelen utilizarse tipos particulares de semejanza, siendo las más comunes la geométrica, la cinemática y la dinámica. La semejanza geométrica se refiere a la dimensión longitud L y hay que asegurarse que se cumple, pfernandezdiez.es Semejanza hidrodinámica y Análisis dimensional.VI.-99
- 4. antes de proceder a los ensayos con cualquier modelo; una definición de este tipo de semejanza podría ser la siguiente: Un modelo y un prototipo son geométricamente semejantes si, y solo si todas las dimensiones espacia- les en las tres coordenadas tienen la misma relación de escala lineal En la semejanza geométrica se conservan todos los ángulos, todas las direcciones de flujo, y la orien- tación del modelo y del prototipo con respecto a los objetos de los alrededores debe ser idéntica en la si- mulación. La semejanza cinemática exige que todas las relaciones entre longitudes homologas del modelo y del prototipo tengan el mismo valor, (escala de longitudes), y también que todas las relaciones entre tiem- pos homólogos tengan un valor común, (escala de tiempos); en consecuencia habrá una escala única de velocidades. Así se puede decir que: Los movimientos de dos sistemas son cinematicamente semejantes si partículas homólogas alcanzan puntos homólogos en instantes homólogos. La equivalencia de las escalas de longitud implica simplemente una semejanza geométrica, pero la equivalencia de las escalas de tiempo pueden exigir consideraciones de tipo dinámico tales, como la igualdad de los números de Reynolds y Mach La semejanza dinámica exige que, cuando el modelo y el prototipo tienen la misma relación de escala de longitudes, la misma relación de escala de tiempos y la misma relación de escala de fuerzas (o de masa), el modelo es dinamicamente semejante al prototipo, y los números de Froude, Reynolds, Weber y Mach, han de ser iguales en el modelo y en el prototipo. Veamos qué consideraciones hay que tener presentes en lo que respecta a la rugosidad. Sabemos que la fuerza total que se ejerce sobre un cuerpo en movimiento en el seno de un fluido es proporcional a la densidad del fluido, al cuadrado de la velocidad y a la superficie, por lo que teniendo en cuenta modelo y prototipo se tiene: fr = ξ ρ u2 Ω ; frm= ξm ρm um 2 Ωm siendo ξ y ξm coeficientes de rozamiento; el valor de x será: x = fr fm = ξ ρ u2 Ω ξm ρm um 2 Ωm = ξ ξm µ λ-3 λ2 λ2 τ -2 = ξ ξm µ λ τ -2 por lo que se debe cumplir que ξ = ξm, lo que sucede cuando las rugosidades relativas de los dos sistemas sean iguales, es decir: d L = dm Lm ; d dm = L Lm = λ siendo d y dm el espesor de las rugosidades. De ésto se deduce que, por ejemplo, si el prototipo tiene las superficies pulimentadas, las del modelo deberán tener un pulimento especial, de forma que sus rugosidades dm= d λ tienen que ser mucho más pfernandezdiez.es Semejanza hidrodinámica y Análisis dimensional.VI.-100
- 5. pequeñas que las del prototipo, y conseguir ésto, en muchos casos es técnicamente imposible, por lo que las fuerzas de rozamiento producidas en el modelo serán mayores que en el prototipo. NUMERO DE EULER..- Se define en la forma: € E = Fuerzas de inercia Volumen Fuerzas de presión Volumen = 1 2 ρ u2 Δp = u 2 Δp ρ en la que Δp es la variación de la presión. El estudio de un fenómeno físico consistirá, generalmente, en la investigación experimental de la fun- ción: E = φ ( F , Re, W ,M , a b , a c , a d ) en la que a b , a c , a d son números que relacionan magnitudes de tipo geométrico que caracterizan el fenó- meno. Despejando la velocidad se tiene: u = E 2 Δp ρ = 2 Δp ρ φ ( F , Re, W , M, a b , a c , a d ) estableciéndose una proporcionalidad entre la velocidad u, y la variación de presión Δp. Para fluidos perfectos, únicamente intervendrán en la función φ los parámetros que caracterizan el contorno. Si representamos la ecuación anterior para el movimiento del fluido que simule el comportamiento de un modelo, se puede poner: u = 2 Δpm ρm φm ( F , Re,W ,M , am bm , am cm , am dm ) Elevando al cuadrado las expresiones de la velocidad en el modelo y en el prototipo: u2= 2 Δp ρ φ 2 ; u2= 2 Δpm ρm φm 2 dividiéndolas entre sí: ( u um )2 = 2 Δp ρ-1 2 Δpm ρm -1 ( φ φm )2 ⇒ ( λ τ -1 )2= F S-1 ρ-1 Fm Sm -1 ρm -1 ( φ φm )2 = x λ-2 ( µ-1 λ3 ) ( φ φm )2 y despejando x: x = λ µ τ-2 ( φm φ )2= x ( φm φ )2 resulta que para que se cumpla la semejanza dinámica debe ser φm = φ, y tiene que existir una igualdad entre las funciones real del prototipo y del modelo, exigiéndose la igualdad entre los números de F, Re, W pfernandezdiez.es Semejanza hidrodinámica y Análisis dimensional.VI.-101
- 6. y M. Si ésto se logra, se habrá conseguido la semejanza perfecta. Sin embargo, este tipo de semejanza no existe, pero se pueden obtener buenos resultados igualando tan sólo uno de los parámetros F, Re, W, M, consiguiéndose así una semejanza tanto más perfecta cuanto más pequeña sea la influencia de los restantes parámetros en el fenómeno físico que el ensayo pretende reproducir. LEY DE REECH-FROUDE.- Cuando se estudia un movimiento en el que la gravedad tiene una in- fluencia predominante, por ejemplo, el vertedero de una presa, el error que se comete es muy pequeño al suponer que la función φ solo depende del contorno y del número de Froude, con lo que se deberá cumplir ademas la ley general de Newton, x = λ µ τ-2, siendo φ de la forma: φ = φ ( F , a b , a c , a d ) La semejanza geométrica entre el prototipo y el modelo es condición necesaria, pero no suficiente para que, en puntos homólogos, los números de Euler sean iguales. La semejanza dinámica en los puntos homólogos requiere que: F = Fm, es decir: u L g = um Lm gm y como la aceleración de la gravedad suele ser la misma en el modelo y en el prototipo, al igualar F = Fm, se puede utilizar la relación: u L = um Lm que obviamente ya no es adimensional. De todo esto se obtienen unas relaciones que sirven para predecir, a partir de una serie de medidas de velocidades, caudales, etc, efectuadas en el modelo, los valores correspondientes que son de interés en el prototipo; así se tiene: Velocidades: um Lm = u L ; u2 um 2 = L Lm ⇒ u = um λ Caudales: Q Qm = Ω u Ωmum = λ2 λ ⇒ Q = Qm λ5 Tiempos: t tm = L Lm um u = λ ⇒ t = tm λ Fuerzas: x = µ λ τ-2 = λ3 ρ ρm λ 1 λ g gm = λ3 γ γ m ⇒ f = fm λ3 γ γ m y suponiendo: ρ = ρm , resulta: f = fm λ3, que es igual a la relación entre masas, m = mm λ3 € Trabajo: T Tm = Fuerza . espacio Fuerzam. espaciom = Masa . aceleración . espacio Masam. aceleraciónm. espaciom = m L t-2 L (m L t-2 L )m = = m mm L2 Lm 2 tm -2 t2 = λ3 λ2 λ−1 = λ4 ; T = Tm λ4 Presiones: p pm = f Ωm fmΩ = λ3 λ-2 = λ ; p = pm λ pfernandezdiez.es Semejanza hidrodinámica y Análisis dimensional.VI.-102
- 7. Este caso se puede presentar en orificios, compuertas, ondas de oscilación, cauces fluviales, etc; hay que asegurarse de que no intervengan de modo apreciable ni la tensión superficial, ni la viscosidad. VI.3.- SEMEJANZA DINÁMICA CON PREDOMINIO DE LA VISCOSIDAD De la ecuación de Newton: F = η Ω du dx , se deduce que la fuerza debida a la viscosidad es proporcio- nal a η, u, L; la relación entre las fuerzas de inercia y de viscosidad permite obtener el número de Re. Para que el modelo y el prototipo sean dinámicamente semejantes es necesario que el número de Reynolds sea idéntico en ambos. Cuanto mayor sea el número de Reynolds, menos importancia tiene la viscosidad en el fenómeno, y viceversa. Si se utiliza el mismo fluido en el prototipo y en el modelo ( € ν = νm), la relación entre velocidades es: Re = Rem ; u L = um Lm ; u um = Lm L = λ-1 ; u = λ-1 um y como según Froude: € u = um λ , se comprende es imposible se cumplan ambas relaciones al tiempo, excepto en el caso particular en que λ = 1, es decir, cuando el modelo sea geométricamente igual al pro- totipo. Cuando se ensaya con aire, como su densidad es mucho menor que la del agua, las fuerzas de inercia serán más débiles por lo que las fuerzas de viscosidad se harán relativamente más importantes, com- portándose de esta forma el aire como un fluido más viscoso que el agua. En los túneles de viento, los ensayos se hacen según la ley de Reynolds, siendo sus aplicaciones más importantes el estudio del movimiento laminar de fluidos por tuberías, objetos sumergidos en corrientes fluidas, etc. Las escalas correspondientes se obtienen en forma análoga al caso anterior, que resumimos en la Tabla VI.1. Tabla VI.1.- Resumen de escalas Froude Reynolds Weber Mach Longitud λ λ λ λ Tiempo λ Velocidad 1 Aceleración 1 Caudal λ Presión λ 1 Energía λ Fuerza 1 λ € λ € λ € λ2 € λ2 € λ2 € λ3 € λ3 € λ3 € 1/λ € 1/λ € 1/λ € λ3 € 1/ λ € 1/λ2 € 1/λ2 € 1/λ3 € λ3 € λ5 € λ4 VI.4.- SEMEJANZA DINÁMICA CON PREDOMINIO DE LA ELASTICIDAD Sabemos que, dimensionalmente, la fuerza de elasticidad es proporcional al módulo de elasticidad y al área sobre la cual actúa dicha fuerza, es decir, proporcional a E L2; la relación entre la fuerza de iner- cia y la fuerza de elasticidad, por unidad de volumen, es el cuadrado del número de Mach, de la forma: M = u E ρ = u cs en la que € cs es la velocidad del sonido. pfernandezdiez.es Semejanza hidrodinámica y Análisis dimensional.VI.-103
- 8. En los líquidos, la velocidad del sonido varía sólo ligeramente con la temperatura y la presión, mien- tras que en los gases sucede lo contrario. Cuanto mayor sea el número de Mach, tanto mayor es la im- portancia de la elasticidad, y viceversa. Si los números de Mach son iguales, los números de Euler tam- bién lo serán. El número de Mach sólo tiene importancia en aquellos problemas en los que la compresibi- lidad tenga una cierta influencia. VI.5.- ANÁLISIS DIMENSIONAL TEOREMA DE BUCKINGHAN.- El Teorema establece que en un problema físico en el que inter- vienen n variables linealmente independientes, que incluyen m dimensiones, las variables se pueden agrupar en (n-m) parámetros π adimensionales, linealmente independientes. Algunas de las variables que pueden intervenir en un determinado fenómeno son: F, fuerza ; L, longitud ; u, velocidad ; ρ densidad ; η viscosidad dinámica ; g gravedad ; cs velocidad del sonido ; σ tensión superficial ; kF conductividad térmica del fluido ; cF calor específico a presión cons- tante ; hC coeficiente de convección. Las dimensiones son: Longitud L, masa M, tiempo t y temperatura T Las fuerzas F que pueden intervenir en un fenómeno son: Finercia (debida a un gradiente de presiones) Felástica Fgravedad Fviscosidad (rozamiento) Fcapilaridad (tensión superficial). Si A1, A2,..., An son las variables consideradas, como presión, velocidad, viscosidad, etc., que se supo- ne son esenciales a la hora de resolver un problema, podemos suponer vienen relacionadas mediante una expresión funcional de la forma: F( A1 , A2 ,... , An ) = 0 y si, π1, π2,..., πn-m, representan los parámetros adimensionales que agrupan a las variables, A1,A2,...,An, que incluyen, entre todas ellas, las m dimensiones, el Teorema de Buckinghan establece la existencia de una ecuación, función de estos parámetros, de la forma: f (π1 , π 2 , ... , πn−m ) = 0 El método que permite obtener los parámetros π consiste en seleccionar m de las n variables Ai, las cuales pueden tener diferentes dimensiones, pero deben ser linealmente independientes, de forma que contengan entre todas ellas las m dimensiones, pudiéndose emplear como variables repetitivas al com- binarlas con las variables A restantes, formándose así cada parámetro adimensional π. Por ejemplo se puede suponer que A1, A2 y A3 contienen las dimensiones (M, L, t), masa, longitud y tiempo, no necesa- riamente en cada una de ellas, pero sí en forma colectiva. pfernandezdiez.es Semejanza hidrodinámica y Análisis dimensional.VI.-104
- 9. € El primer parámetro π adimensional es: π1 = A1 x1 A2 x2 A3 x3 A4 El segundo parámetro π adimensional es: π 2 = A1 y1 A2 y2 A3 y3 A5 € y así sucesivamente hasta el parámetro: π n−m = A1 z1 A2 z2 A3 z3 An Los exponentes de estas ecuaciones se tienen que examinar de tal manera que cada parámetro π re- sulte adimensional; se sustituyen las dimensiones de las variables Ai y los exponentes de M, L, t,... se igualan a cero por separado, formándose un sistema de ecuaciones (tres para el ejemplo propuesto), con tres incógnitas para cada parámetro π, pudiéndose determinar los exponentes x, y, z, y por lo tanto, los parámetros π correspondientes. Ecuación general de resistencia.- Las variables que intervienen en el movimiento de un sólido in- merso en una corriente fluida se pueden relacionar mediante la ecuación: F AL = f ( V0 ,L, ρ, η) siendo la matriz correspondiente de la forma L ρ η M 1 0 0 1 1 L -1 1 1 -3 -1 t -2 -1 0 0 -1 F/AL V0 Si por ejemplo se eligen como variables linealmente independientes, V0, L, ρ, resulta: 0 0 1 1 1 -3 -1 0 0 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = 1 y como el número de variables n que intervienen en el fenómeno es 5 y el número de dimensiones m es 3, el número de parámetros π adimensionales que se pueden formar son 2, π1 y π2: π1= ( V0 )x1 ( L)x2 ( ρ )x3 η = ( L t -1 )x1 ( L )x2 ( M L-3 )x3 ( M L-1 t-1 ) = = ( L )x1 +x2 -3x3 -1 ( M )x3 +1 ( t)-x1-1 = ( L )0 ( M )0 ( t)0 π2 = ( V0 )y1 ( L )y2 ( ρ ) y3 F AL = ( L t -1 )y1 ( L) y2 ( M L-3 ) y3 ( M L-1 t-2 ) = = ( L )y1 +y2-3y3-1 ( M )y3 +1 ( t)-y1-2 = ( L )0 ( M )0 ( t)0 Los parámetros π1 y π2 son: x3 + 1 = 0 x1+ 1 = 0 x1+ x2 - 3 x3- 1 = 0 ⎫ ⎬ ⎭ ⇒ x1= -1 ; x2= -1 ; x3= -1 ; π1 = V0 -1 L-1 ρ−1 η = Re-1 y3+ 1 = 0 y1+ y2- 3 y3- 1 = 0 y1+ 2 = 0 ⎫ ⎬ ⎭ ⇒ y1 = -2 ; y2= 0 ; y3 = -1 ; π 2= V0 -2 ρ−1 F AL F AL = π 2 ρ V0 2 = 1 2 ( 2 π 2 ) ρ V0 2 = 1 2 Cw ρ V0 2 que es la forma que toma la ecuación de resistencia, ya demostrada anteriormente. Ecuación general de la pérdida de carga en una conducción cilíndrica.- En un conducto de sección circular la pérdida de presión debida a la fricción se conoce como pérdida de carga P, que multi- pfernandezdiez.es Semejanza hidrodinámica y Análisis dimensional.VI.-105
- 10. plicada por la sección transversal AT tiene que ser igual a la pérdida por fricción € F , o fuerza de arrastre, en la forma: F = P π d2 4 = 1 2 ( 2 π2 ) ρ V0 2 AL = 1 2 Cw ρ V0 2 π d L P = 1 2 d ( 8 π 2 ) ρ V0 2 L = λ ρ V0 2 L 2 d = 8 ρ Cw V0 2 L 2 d en la que el valor de λ se determina mediante formulación empírica o ábacos y diagramas, de entre los que destaca el diagrama de Moody. MÉTODO BÁSICO DE ANÁLISIS DIMENSIONAL.- Consiste en reducir al mínimo el número de variables que pueden intervenir en un problema, formando con las mismas una serie de grupos adimen- sionales independientes. En este método todas las ecuaciones racionales se pueden hacer adimensiona- les con un cierto número de términos independientes; las variables se acomodan en una ecuación dimen- sional única, de forma que la combinación de variables para formar grupos o términos adimensionales, proporciona un número de grupos independientes siempre menor que el de variables originales. El proceso se puede iniciar identificando sólo aquellas variables que son significativas del problema; después se agrupan en una ecuación funcional y se determinan sus dimensiones. Como aplicación directa del método, vamos a hacer un estudio inicial de la transmisión de calor desde un tubo cilíndrico a un fluido que circula por su interior en régimen turbulento. Si se considera un flujo en convección forzada, y que el tubo está limpio y sin incrustaciones, los coe- ficientes de película hC se determinan experimentalmente como función de un cierto número de factores que representan las características dinámicas del flujo y las propiedades físicas del fluido. El rozamiento del fluido supone un intercambio de energía entre él y la superficie interna del tubo, mientras que la transmisión de calor por convección forzada supone un intercambio de energía térmica entre la superficie del tubo y el fluido; ambos fenómenos dependen del grado de turbulencia del fluido. En general el rozamiento de un fluido en circulación forzada depende de los siguientes factores: a) Diámetro interior del tubo di ; b) Longitud del tubo L ; c) Velocidad media del fluido uF en el inter- valo correspondiente a la longitud L; d) Densidad del fluido ρ ; e) Viscosidad dinámica del fluido η ; f) Ru- gosidad relativa del tubo ε/di La transmisión de calor depende de la conductividad kF del fluido y de su calor específico a presión constante cF; la determinación del coeficiente hC de la transmisión de calor por convección forzada, se puede iniciar a partir de la ecuación: Q AL ΔT = hC = φ ( di ,uF , ρ, η,L, kF ,cF , ε di ) ; F ( di ,uF , ρ, η,L, kF ,cF , ε di ) = 0 y que adimensionalmente se puede expresar mediante la siguiente matriz: ρ η L Masa M 0 0 1 1 0 1 0 1 Longitud L 1 1 -3 -1 1 1 2 0 Tiempo t 0 -1 0 -1 0 -3 -2 -3 Temperatura T 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 € di € uF € kF € cF € hc pfernandezdiez.es Semejanza hidrodinámica y Análisis dimensional.VI.-106
- 11. de 7 variables y cuyo discriminante es de razón 4, por lo que habrá que especificar de antemano el valor de 3 variables cualesquiera. El valor de hC se puede expresar en la forma adimensional siguiente: hc = di a uF b ρc ηd Le kF f cF i ( M t-3 T -1 ) = ( L )a ( L t-1 )b ( M L-3 )c ( M L-1 t-1 )d ( L )e ( M L t-3 T-1 ) f ( L2 t -2 T -1 )i = = M c+d+f La+b-3c-d+e+f +2i t -b-d-3 f-2i T -f -i Identificando coeficientes se obtiene el sistema de ecuaciones: c + d + f = 1 a + b - 3 c - d + e + f + 2 = 0 b + d + 3 f + 2 i = 3 f + i = 1 ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ que es un sistema de 4 ecuaciones linealmente independientes, con 7 incógnitas, pudiéndose fijar 3 incóg- nitas, por ejemplo (i, b, e) y poner las otras 4 en función de ellas, quedando: f = 1 - i d = 1 - c - f = i - c = 3 - b - 3 f - 2 i = 3 - b - 3 + 3 i - 2 i = - b + i c = b a = - b + 3 c + d - e - f - 2 i = - 1 + b - e ⎫ ⎬ ⎪ ⎭ ⎪ por lo que: hC = di -1+b-e uF b ρb η-b+i Le kF 1-i cF i = ( di kF )-1( diuFρ η )b( di L )-e( η cF kF )i que a su vez se puede poner en la forma: hC di kF = ϕ( di uF ρ η , di L , η cF kF ) y que para la transmisión de calor por convección forzada, indica que si se efectúan una serie de pruebas que difieran solamente en el valor de la velocidad uF, con los valores que así se obtengan, junto con los de hC medidos experimentalmente, se pueden determinar la función o funciones que ligan a los grupos adi- mensionales Re = di uF ρ η = di uF ν ; Nu = hC di kF ; Pr = cF η kF que sólo serán válidas para valores particulares de los demás grupos adimensionales; por lo tanto: Nu = ϕ ( Re, Pr , di L ) modelo que no admite cambios de estado en el fluido que circula; la formulación desarrollada es muy ade- cuada para estudiar la influencia de la velocidad uF sobre el coeficiente de transmisión de calor por con- vección forzada hC de un sistema cualquiera, pues estas dos variables aparecen una sola vez. El procedimiento normal para determinar los exponentes (b,e,i) a partir de datos experimentales consiste en igualar el calor transmitido al fluido por convección, con la variación de entalpía que experi- menta por esta causa. pfernandezdiez.es Semejanza hidrodinámica y Análisis dimensional.VI.-107
- 12. Calor transmitido al fluido por convección: Q = hC AL (TpF - TF ) Variación de entalpía del fluido: Q = m cF (Tsal - Tent ) = AT uF ρ cF ( Tsal - Tent ) = G AT cF ( Tsal - Tent ) = G AT ( isal - ient ) en la que: € G es la velocidad másica = 3600 uFρ, kg/m 2 hora, viniendo uF en m/ seg AT es el área de la sec ción transversal del tubo correspondiente al diámetro int erior AL es el área de la superficie de la pared en contacto con el fluido ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ Igualándolas se obtiene: hC cFG = AT ( Tsal - Tent ) AL ( TpF - TF ) = St = Nu Re Pr El número de Stanton St se calcula a partir de datos de Laboratorio. Para fluidos que se calientan en el interior de tubos, se aplica satisfactoriamente la ecuación de Di- ttus-Boelter, función de los números de Nusselt, Reynolds y Prandtl, de la forma: Nu = 0,023 Re0,8 Pr 0,4, siendo: Pr = ν α = cF η kF Nu = hC ΔT kF ΔT L = hC L kF ⎧ ⎨ ⎪ ⎩ ⎪ en la que: - El coeficiente de convección hC ( Kcal/hora m2°C) - La conductividad térmica kF del fluido ( Kcal/m°C) - La velocidad másica G ( kg/m2 hora) El número de Nusselt es la relación entre el calor transmitido por convección y el calor transmitido por conducción, en la longitud característica L. VI.6.- APLICACIÓN DEL ANÁLISIS DIMENSIONAL A LAS BOMBAS CENTRIFUGAS Las variables que intervienen en el movimiento de un líquido, a través de los álabes de una bomba centrífuga, pueden relacionarse mediante la siguiente ecuación: f ( E, D, q, ρ, η, n ) = 0 en la que: E= g Hm es la energía específica D el diámetro q el caudal bombeado ρ la densidad del líquido utilizado η la viscosidad dinámica del líquido n el número de revoluciones por minuto de la bomba Como estas seis variables dependen total o parcialmente de las dimensiones (M, L, t), se pueden ob- pfernandezdiez.es Semejanza hidrodinámica y Análisis dimensional.VI.-108
- 13. tener, 6 - 3 = 3, parámetros π adimensionales. La matriz correspondiente a estas variables es: E D q ρ η n M 0 0 0 1 1 0 L 2 1 3 -3 -1 0 t -2 0 -1 0 -1 -1 Podemos tomar, por ejemplo, E, D y ρ, como variables independientes por cuanto su determinante es distinto de cero: 0 0 1 2 1 −3 −2 0 0 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = 2 pudiéndose poner que: π1= Ex1 Dy1 ρz1 q = L( 2 x1 + y1- 3 z1+ 3 ) t(-2 x1- 1) M z1 π 2 = E x2 D y2 ρz2 n = L( 2 x2 + y2 - 3 z2 ) t(-2 x2 - 1) M z2 π3 = Ex3 D y3 ρ z3 η = L( 2 x3 + y3 - 3 z3 - 1) t(-2 x3 - 1) M ( z3 + 1) ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ de las que se deducen los siguientes sistemas de ecuaciones: 2 x1 + y1 - 3 z1 + 3 = 0 - 2 x1 - 1 = 0 z1 = 0 ⎫ ⎬ ⎭ ⇒ x1= - 1 2 ; y1 = -2 ⇒ π1= q E D2 = q g Hm D2 2 x2 + y2 - 3 z2 = 0 - 2 x2 - 1 = 0 z2 = 0 ⎫ ⎬ ⎭ ⇒ x2 = - 1 2 ; y2= 1 ⇒ π 2 = n D E = n D g Hm 2 x3+ y3 - 3 z3 - 1 = 0 - 2 x3 - 1 = 0 z3+ 1 = 0 ⎫ ⎬ ⎭ ⇒ x3= - 1 2 ; y3 = -1 ; z3 = -1 ⇒ π 3 = η ρ D E = η ρ D g Hm = ν D g Hm Los parámetros adimensionales π1, π2 y π3 permanecen constantes para cada serie de bombas se- mejantes, funcionando en condiciones dinámicas semejantes (igual rendimiento). A partir de ellos, se pueden obtener otros parámetros adimensionales combinándolos adecuadamente, obteniéndose: π4 = π1 π 3 = q D2 q Hm D q Hm ν = q ν D (Nº de Re para bombas) π5 = π 2 π1 = q D g Hm 4 n D g Hm = n q ( g Hm )3/4 (Velocidad específica) π6 = π1 π 2 = q D2 q Hm q Hm n D = q n D 3 = qs (Caudal específico) π7 = 1 π 2 2 = q Hm n2 D 2 = π6 2/3 π 5 4/3 De todas las combinaciones que se puedan obtener, sólo 3 son linealmente independientes. VI.7.- APLICACIÓN DEL ANÁLISIS DIMENSIONAL A VERTEDEROS EN PARED DELGADA Las variables que intervienen en el movimiento de un líquido a través de un vertedero, se pueden re- lacionar mediante la ecuación: pfernandezdiez.es Semejanza hidrodinámica y Análisis dimensional.VI.-109
- 14. v = f ( h, ρ, g , η, σ ) en la que σ = F L es la tensión superficial, € v la velocidad del líquido que pasa por el vertedero, ρ y η la den- sidad y viscosidad dinámica del líquido utilizado, respectivamente, y h la carga en la corona del vertede- ro; las seis variables dependen total o parcialmente de las dimensiones (M, L, t), por lo que se pueden ob- tener, 6 - 3 = 3, parámetros π adimensionales. La matriz correspondiente a estas variables es de la forma: v h ρ g η σ M 0 0 1 0 1 1 L 1 1 -3 1 -1 0 t -1 0 0 -2 -1 -2 Podemos tomar, por ejemplo, v, h y ρ, como variables independientes por cuanto su determinante es distinto de cero: 0 0 1 1 1 -3 -1 0 0 ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = 1 , pudiéndose poner que: π1= qx1 h y1 ρ z1 g = L( x1+ y1- 3 z1+ 1) t(-x1 - 2) M z1 π 2 = qx2 h y2 ρ z2 η = L( x2 + y2 - 3 z2 - 1) t(-x2 - 1) M z2 + 1 π 3= qx3 h y3 ρz3 σ = L( x3 + y3- z3 ) t(-x3 - 2) M( z3+ 1) ⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ de las que se deducen los siguientes sistemas de ecuaciones: x1 + y1 - 3 z1 + 1 = 0 x1 + 2 = 0 z1 = 0 ⎫ ⎬ ⎭ ⇒ x1= -2 ; y1= 1 ⇒ π1= v-2h g ; v = g h π1 x2 + y2 - 3 z2 - 1 = 0 x2 + 1 = 0 z2 + 1 = 0 ⎫ ⎬ ⎭ ⇒ x2 = -1 ; y2 = -1 ; z2 = -1 ⇒ π 2 = v-1h-1ρ−1η = v-1h-1ν = 1 Re x3 + y3 - z3 = 0 x3 + 2 = 0 z3 + 1 = 0 ⎫ ⎬ ⎭ ⇒ x3 = -2 ; y3 = 1 ; z3 = -1 ⇒ π3 = v-2 h ρ-1σ = h σ v2 ρ = Nº Weber: W = v ρ h σ = h 2 W 2 Los parámetros adimensionales π1, π2 y π3 permanecen constantes para cada vertedero. Si se hace la combinación: π4 = π1 π3 π 2 = h g v2 h2 W 2 1 Re = h3 g Re W -2 v2 ⇒ v2 = π4 −1h3 g Re W -2 resulta la expresión del caudal: q = Ω v = Ω π4 −1/2 h3/2 Re1/2 W -1= h3/2 g1/2ψ ( Re, W , π4 ) = C h g h que es la ecuación general del vertedero, siendo C un coeficiente que comprende sus características; el caudal en cualquier vertedero es proporcional a h3/2, siendo h la carga del mismo. pfernandezdiez.es Semejanza hidrodinámica y Análisis dimensional.VI.-110