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ARTÍCULOS DE INVESTIGACIÓN
ARTÍCULOS DE INVESTIGACIÓN DOI: 10.24844/EM3301.08
208 Educación Matemática, vol. 33, núm. 1, abril de 2021
Conocimientos geométricos como respuesta a un
problema espacial en el desarrollo de un recorrido
de estudio e investigación
Geometric knowledge as an answer to a spatial problem via a
study and research path
Carlos Rojas Suárez1
y Tomás Ángel Sierra Delgado2
Resumen: Con este trabajo pretendemos hacer frente al fenómeno didáctico
de la pérdida de las razones de ser de los saberes geométricos propuestos para
la Educación Secundaria Obligatoria. Así postulamos que los problemas espa-
ciales pueden constituirse en una posible razón de ser de dichos saberes. Para
ello, hemos implementado, en un grupo de 14 estudiantes de Secundaria, un
proceso de estudio conocido como recorrido de estudio e investigación, que se
inicia con una cuestión en torno al problema espacial de diseño y construcción
de un envase de litro. Analizamos mediante los indicadores del grado de
completitud de una organización matemática local, la actividad matemática
llevada a cabo por los estudiantes. Los resultados sugieren que con dicho
proceso de estudio: a) es posible abordar de modo funcional parte de los
conocimientos geométricos propuestos en el currículo de Secundaria, y b)
superar la rigidez de la actividad matemática escolar, habitual en las clases de
Secundaria, que, por un lado, limita la posibilidad de usar diferentes técnicas
para resolver una misma tarea y construir nuevas técnicas y, por otro, no ayu-
da a cuestionar el dominio de validez de las técnicas utilizadas en clase.
Fecha de recepción: 30 de abril de 2020. Fecha de aceptación: 29 de octubre de 2020.
1
Facultad de Educación de la Universidad Complutense de Madrid (UCM), Madrid, España, carlroja@
ucm.es, orcid.org/0000-0002-8689-8549
2
Departamento de Didáctica de Ciencias Experimentales, Sociales y Matemáticas, Facultad de Educación,
Universidad Complutense de Madrid (UCM), Madrid, España, tomass@ucm.es, orcid.org/0000-0003-2731-0028

Conocimientos geométricos como respuesta a un problema espacial en el desarrollo...
Educación Matemática, vol. 33, núm. 1, abril de 2021 209
Palabras clave: Enseñanza de la geometría. Conocimientos geométricos. Pro-
blemas espaciales. Recorrido de estudio e investigación. Teoría antropológica
de lo didáctico.
Abstract: In this work we intend to tackle the didactic phenomenon of the loss
of the raisons d’être of geometric knowledge proposed for Compulsory Second-
ary Education. Thus, we conjecture that spatial problems may become a possi-
ble reason d’être of such knowledge. In search of evidences for our conjecture,
we have implemented, in a group of 14 secondary students, a kind of study
process known as study and research path, which starts with a question about
the spatial problem of designing and constructing a one-litre container. Then,
by using the degree of completeness indicators of a local mathematical organ-
isation, we analyse the mathematical activity carried out by the students. Our
analysis suggests that: a) with this study process it is possible to address in a
functional way part of the geometric knowledge proposed in the Secondary
curriculum, and b) the rigidity of the school mathematical activity, usual in
Secondary classes, on the one hand, limits the possibility of using different
techniques to solve the same task and to construct new techniques; and, on
the other hand, does not help to question the validity domain of the techniques
used in class.
Keywords: Geometry teaching. Geometric knowledge. Spatial problems. Study
and research path. Anthropological theory of the didactic.
INTRODUCCIÓN
Una de las funciones de la institución escolar –en particular de la escuela obli-
gatoria– en la sociedad es conseguir que las nuevas generaciones de ciudada-
nos aprendan los conocimientos que forman parte de su legado cultural. En
general, la enseñanza de esos conocimientos tiene como objetivo que los miem-
bros de dicha sociedad puedan llegar a desenvolverse de modo eficaz en la
vida cotidiana.
Habitualmente una de las disciplinas que forma parte del legado cultural
incluido en el currículo son las matemáticas. De hecho, los conocimientos mate-
máticos son considerados como una parte importante de la enseñanza escolar,

Carlos Rojas Suárez, Tomás Ángel Sierra Delgado
lo que lleva a pensar que debe haber una especial articulación entre lo que se
propone para ser enseñado. Sin embargo, no es así ya que, por ejemplo, en la
estructura del currículo español de matemáticas (Ministerio de Educación, Cul-
tura y Deporte [MECD], 2015) para la Educación Secundaria Obligatoria (ESO)
(alumnos de 12 a 16 años) aparece un listado de contenidos separados por
bloques, cuyas temáticas se presentan de forma aislada. Ello se traduce en que
en la enseñanza de las matemáticas existe una cierta desarticulación que sugie-
re, por ejemplo, que estudiar geometría y estudiar funciones son asuntos com-
pletamente separados, pues aparecen en bloques aislados.
De este modo, a pesar de que en el currículo diseñado se suele indicar que
los contenidos propuestos para ser enseñados deben presentarse de manera
integrada y articulada, finalmente esta responsabilidad termina dejándose, implí-
citamente, solo en manos de los profesores. Esto, por supuesto, constituye un
encargo complejo que los profesores por sí solos difícilmente pueden abordar,
ya que se trata de un problema de investigación didáctica que desborda su
práctica profesional.
En la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD) se postula que para llevar
a cabo la enseñanza de un saber es importante considerar cuáles son algunas
de las cuestiones a las que responde dicho saber; es decir, cuáles son sus posi-
bles razones de ser, en una institución determinada. La búsqueda de las razones
a las que debería responder la enseñanza de la geometría en la enseñanza
secundaria, en particular la geometría bidimensional (2D) y la geometría tridi-
mensional (3D), nos llevó a diseñar e implementar un dispositivo didáctico, que,
dentro de la TAD, se denomina recorrido de estudio e investigación (REI), en
torno al diseño y construcción de envases. Pretendimos que dichas razones de
ser de la enseñanza de la geometría ayudaran no solo a dar sentido a varios
de los saberes propuestos en el currículo de la ESO, sino también a encontrar
la conexión y la articulación, tanto entre las geometrías 2D y 3D, como con otros
saberes matemáticos que propone este currículo.
En este artículo, analizamos la actividad matemática desarrollada por 14
estudiantes de secundaria al abordar uno de los tipos de tareas que formaron
parte del REI propuesto. Con lo cual, pretendemos establecer si efectivamente
las cuestiones que aparecen en dicho REI pueden constituirse en una posible
razón de ser de algunos de los saberes geométricos propuestos para la ESO y
qué conocimientos de la geometría 2D y 3D se ponen en juego durante su
abordaje. Para ello, usamos los indicadores del grado de completitud de una
organización matemática local (Bosch et al., 2004), que nos permiten

caracterizar la organización matemática (OM) realmente construida por los alum-
nos y dar cuenta de algunas de las restricciones que han dificultado la búsque-
da de respuestas a cuestiones sobre el diseño y elaboración de un envase en
cartulina, con capacidad para un litro.
El contraste entre estos indicadores y la actividad matemática desarrollada
por los estudiantes nos va a permitir determinar hasta qué punto, en qué medi-
da, las praxeologías matemáticas puestas en juego se han mostrado como
relativamente completas y, en consecuencia, si ha sido posible llevar a cabo una
actividad de modelización.
En lo que sigue, mostramos algunos antecedentes de la investigación de la
que forma parte este trabajo. Explicamos el marco teórico que fundamenta nues-
tra investigación. Describimos el REI que hemos implementado, centrándonos en
la actividad matemática desarrollada que queremos analizar. Presentamos algunos
resultados obtenidos al aplicar el instrumento de análisis y algunas de las restric-
ciones y limitaciones encontradas, y terminamos con nuestras conclusiones.
ALGUNOS ANTECEDENTES
Santaló (1985), trató la problemática en torno a la enseñanza de la geometría
en el ciclo secundario en España (alumnos de 12 a 16 años), mostrando que
tanto en el ciclo primario (alumnos hasta los 12 años) como al terminar la
secundaria había dos tendencias claramente diferenciadas, la geometría expe-
rimental e intuitiva y, la geometría axiomática. El problema se encontraba pues
en el ciclo de la enseñanza secundaria, específicamente en el ciclo básico de
tres años (alumnos de 12 a 14 años) que correspondía a la etapa obligatoria,
porque para ese momento primaban las presentaciones rigurosas y sistemáticas
que habían abandonado el carácter práctico de la geometría, elevándola al
mundo de las ideas. Así, Santaló afirmaba:
La máxima preocupación debe ser para el ciclo básico. Si el Estado impone su
obligatoriedad debe procurar que su enseñanza sea verdaderamente útil a los
alumnos, tanto en su aspecto formativo, cosa no fácil de evaluar, como en su aspec-
to informativo, más fácil de decidir a través de los contenidos. Estos contenidos, que
deben ser adaptados a las necesidades de la sociedad ambiente, deben revisarse
periódicamente y son rápidamente cambiantes, de manera que un primer obstácu-
lo a vencer es la inercia usual de los enseñantes, que quisieran enseñar siempre lo

que ellos aprendieron, y de los responsables de la enseñanza, casi siempre miso-
neístas y temerosos de introducir cambios con demasiada frecuencia, sin tener en
cuenta que la escuela no debe distanciarse demasiado del mundo exterior a ella.
Cuando lo que se enseña en el aula es muy distinto de lo que se aprende en la
calle, el sistema educativo se desequilibra. (Santaló, 1985, p. 14)
Dentro de las propuestas planteadas por Santaló (1985) para que la enseñanza
de la geometría resulte útil a los estudiantes, destacan; primero, no pensar que
se deba partir de cero en el aula, pues los estudiantes traen consigo varios
conocimientos provenientes de la escuela, y de la vida familiar y social; segundo,
“lo que sea intuitivamente evidente para el alumno debe aceptarse como tal,
para poder seguir adelante en la adquisición de conocimientos menos evidentes”
(p. 20); y tercero, mostrar cada vez que sea posible, la conexión entre las dife-
rentes partes de las matemáticas.
Esta problemática sobre la diferenciación que existe entre la enseñanza de
la geometría experimental y la geometría axiomática, que ha advertido Santaló,
guarda relación con el trabajo de tesis doctoral llevado a cabo por René Berthe-
lot y Marie-Hélène Salin (1992); quienes resaltan la importancia de un tipo de
conocimiento que sirve para operar directamente sobre el espacio sensible –
conocimiento espacial–, y de cómo los conocimientos geométricos aparecen
diluyendo este conocimiento en la medida en que se avanza en la vida escolar;
y porque proponen la necesidad de vincular estos dos tipos de conocimiento.
En un estudio exploratorio llevado a cabo por Pérez y Guillén (2007), en el
que se indagó sobre las creencias y las concepciones en torno a la enseñanza
de la geometría de un grupo de 19 profesores de secundaria, se encontró, entre
otras cosas, que los bloques que se privilegian en la enseñanza de las mate-
máticas en la ESO son los de aritmética y de álgebra y también, aunque algo
menos, el de análisis. Así, en el caso de que no hubiese tiempo suficiente para
abordar todo el currículo, la geometría no se abordaría. Estos autores señalaron
también que en el estudio que realizan los alumnos de la ESO, sobre la geome-
tría, se presta mucha atención a los problemas de operar o calcular áreas y
volúmenes, y se dedica mucho menos tiempo a los procesos de reproducción,
descripción, clasificación, representación, construcción, etcétera.
En lo referente a los poliedros, en Pérez y Guillén (2008), se encontró que su
estudio se limita a los prismas, pirámides, poliedros regulares, cilindros, conos y
esferas. Y, en Guillén, González y García (2009), donde se analizó la propuesta
que hacen los textos escolares sobre los cuerpos de revolución se afirma que:

“El cálculo de áreas y volúmenes en secundaria se basa fundamentalmente en
la aplicación de las fórmulas a partir de sus elementos” (p. 255). Por ejemplo, el
cálculo del área de una superficie rectangular dada la medida de sus lados, o
el del volumen de un paralelepípedo dada la medida de sus aristas. Esto des-
vela el fenómeno didáctico de reducir la enseñanza de las figuras geométricas
a su estudio aritmético y algorítmico, dejando de lado el análisis de su determi-
nación y construcción. Lo que conlleva también un uso exclusivamente aritmé-
tico de las fórmulas en geometría. Dicho fenómeno forma parte de un problema
más general de la situación actual de las matemáticas en la educación primaria
y secundaria, tal como se señala en las conclusiones del Libro Blanco de las
Matemáticas: “[…] es frecuente que la enseñanza de las matemáticas se reduzca
a procedimientos y rutinas” (RSME, 2020, p. 544).
También en la Educación Secundaria, pero en el contexto costarricense, se
ha estudiado la problemática que presenta la enseñanza de la geometría, porque
los contenidos en la educación formal son mostrados como productos acabados
(Gamboa y Ballestero, 2010). Es decir, como aquellos que no son susceptibles
de cambios y que aparecen como cristalizados, de modo que su enseñanza no
considera ninguna reflexión en torno a su construcción. Esta forma de concebir
y presentar los contenidos de una disciplina se sitúa dentro de lo que Chevallard
(2013, 2017) llama el paradigma de la visita de las obras.
Como alternativa al paradigma de la visita de las obras, Chevallard propone
el paradigma de cuestionamiento del mundo, en el que la lógica lineal domi-
nante del currículo se rompe mediante el estudio funcional de las matemáticas,
donde los conocimientos matemáticos surgen a partir de las cuestiones a las
que responden, proponiendo tipos de tareas o problemas en los que dichos
conocimientos sean una buena herramienta para resolverlos. De este modo, los
contenidos que son propuestos en el currículo aparecerán como necesarios para
el abordaje de dicho problema, y no como un listado a priori de contenidos que
apenas aparecen justificados.
Los estudios sobre la enseñanza-aprendizaje de la geometría realizados
dentro de la teoría de las situaciones didácticas (TSD) (Berthelot y Salin, 1992,
2001), permiten postular que una vía para recuperar algunas de las razones de
ser de algunos de los saberes geométricos propuestos en el currículo de la ESO,
se encuentra en torno a la resolución de un tipo de problemas que dichos
autores llaman problemas espaciales. Estos tratan sobre situaciones que tienen
lugar en el espacio sensible. Así, en el tipo de problema de diseño, que

consideramos en este trabajo, los conocimientos geométricos sirven como herra-
mienta eficaz para su solución.
En Perrin-Glorian et al., (2013), se afirma también que la problemática de
modelización o espacio-geométrica que proponen Berthelot y Salin, consistente
en partir de un problema del espacio sensible o problema espacial, pasar a
representarlo mediante un modelo geométrico, utlizar las propiedades geomé-
tricas correspondientes y terminar validándolo en el espacio sensible, resulta de
gran interés para llevarla a cabo en la enseñanza. Lo que ha de permitir consi-
derar la relación entre el espacio sensible y el espacio geométrico, y en particu-
lar realizar una enseñanza coherente de la geometría a lo largo de la
escolaridad obligatoria, que necesita tener en cuenta ambos espacios y ligarlos
con el desarrollo del alumno.
A continuación, describimos brevemente el marco teórico en el que nos
situamos, que dispone a su vez de un modelo metodológico, y esbozamos en
qué consisten los problemas espaciales y su relación con los conocimientos
espaciales y geométricos, ya que estos se encuentran estrechamente ligados con
nuestro postulado.
MARCO TEÓRICO
Para hacer frente al fenómeno didáctico general de la pérdida de las razones
de ser de la enseñanza de la geometría, utilizamos las herramientas que pro-
pone la TAD y nos apoyamos en diferentes estudios realizados dentro de la TSD
que han mostrado la interrelación entre algunos problemas espaciales y los
conocimientos geométricos.
La Teoría Antropológica de lo Didáctico y los recorridos
de estudio e investigación
La TAD puede entenderse como una evolución de la TSD, propuesta por Guy
Brousseau. Según Gascón (2013), la TSD constituye el germen del programa
epistemológico que surge frente a la “insuficiencia manifiesta de los modelos
epistemológicos dominantes en las instituciones escolares para formular y abor-
dar los problemas didáctico-matemáticos” (p. 79). Dicha insuficiencia proviene

de cómo conciben la enseñanza-aprendizaje de las matemáticas, y las matemá-
ticas mismas, tales modelos. La diferencia con dichos modelos es que:
En el caso particular de la TSD se postula que un conocimiento matemático está
definido por las situaciones que lo determinan, esto es, por un conjunto de situacio-
nes para las que dicho conocimiento es idóneo porque proporciona la solución
óptima en el contexto de una institución determinada. Las situaciones contienen la
“razón de ser” del conocimiento que definen, esto es, las cuestiones que le dan
sentido, así como las restricciones que limitan su uso en una institución determina-
da y las aplicaciones potenciales del mismo. (Gascón 2013, p. 79)
Yves Chevallard propone, a principios de los ochenta, estudiar los fenómenos de
trasposición didáctica siguiendo, al igual que la TSD, los principios del programa
epistemológico. Es decir, cuestiona los diferentes modelos epistemológicos del
saber matemático que viven en cada una de la instituciones que intervienen en
la transposición didáctica y propone nuevos modelos alternativos que posibilitan;
de una parte, poner de relieve los fenómenos didácticos que se presentan en
dichas instituciones; y de otra, formular y abordar los problemas didácticos rela-
cionados con esos fenómenos (Gascón, 2014). A partir de allí, surge la TAD, que,
a diferencia de los otros enfoques en didáctica de las matemáticas, basados en
modelos cognitivos, precisa de “un modelo de las matemáticas institucionales
que incluya la matemática escolar como un caso particular y de un modelo de
las actividades matemáticas institucionales que incluya la enseñanza-aprendi-
zaje escolar de las matemáticas, como una actividad matemática institucional
particular” (Gascón, 1998, p. 20). Con lo cual, la TAD propone concebir el cono-
cimiento matemático en estructuras cuya unidad mínima es la organización o
praxeología matemática (OM). Estas estructuras se componen de:
[…] un bloque práctico o “saber-hacer” formado por los tipos de tareas y las técnicas
[Τ/τ] y por un bloque teórico o “saber” formado por el discurso tecnológico-teórico
[θ/Θ] que describe, explica y justifica la práctica. […] Las OM surgen como producto
de un proceso de estudio estructurado en seis dimensiones o momentos didácticos.
La forma concreta de llevar a cabo un proceso de estudio en una institución deter-
minada se describe a su vez en términos de organizaciones o praxeologías didác-
ticas [OD]. (Bosch et al., 2004, p. 7)

La TAD propone un modelo ideal de proceso de estudio para el aprendizaje
de las matemáticas a través de la modelización, los REI (Barquero, 2009; Fonse-
ca, Pereira, y Casas, 2011), caracterizado porque parte de una cuestión impor-
tante viva y rica, con fuerte poder generador. En ellos el objetivo del estudio no
viene definido como un conjunto de saberes designados de antemano, sino
como un conjunto de cuestiones cruciales –derivadas de dicha cuestión inicial–
a las que la comunidad de estudio se propone aportar una respuesta. Se recu-
pera así la relación natural entre cuestiones y respuestas de cualquier actividad
de formación.
Los REI pueden describirse mediante una estructura arborescente de cues-
tiones y respuestas, que surgen con la movilización de los medios, saberes y
respuestas disponibles. Son, por tanto, una herramienta muy apropiada tanto
para describir los procesos de estudio existentes o posibles como para imple-
mentar en el aula secuencias de enseñanza basadas en la actividad matemá-
tica de modelización (Rodríquez-Quintana, 2005).
En suma, los REI son un dispositivo didáctico concreto que permite el estudio
de las OM en la escuela e implican un cambio en la lógica tradicional que rige
las formas de hacer en la enseñanza de las matemáticas. Primero, porque los
conocimientos aparecen como necesarios para dar respuesta a las cuestiones que
se abordan; y segundo, porque las respuestas a dichas cuestiones y las propias
cuestiones no son responsabilidad exclusiva del profesor, sino también de los
estudiantes, quienes las construyen como fruto del trabajo grupal.
LOS PROBLEMAS ESPACIALES Y LOS CONOCIMIENTOS GEOMÉTRICOS
En estudios que parten de la tesis de René Berthelot y Marie-Hélène Salin (Ber-
thelot y Salin, 2001; Bloch y Salin, 2005), y en otros previos donde se cuestiona la
geometría y su enseñanza (Brousseau, 2000), se afirma que existe una interrela-
ción entre problemas espaciales y conocimientos geométricos. Dicha interrelación
pone de relieve que, durante la resolución de un problema espacial pueden
emerger –como necesarios– ciertos conocimientos geométricos. Esta resolución
del problema implica una relación de modelización espacio-geométrica (Bloch
y Salin, 2005), que viene caracterizada por “una relación con el espacio, [que
aparece] inscrito en situaciones donde las nociones geométricas intervienen
como medios de decisión, de acción o de previsión razonada sobre un espacio

sensible3
(p. 130). Berthelot y Salin consideran que una problemática de mode-
lización espacio-geométrica es aquella donde se trabaja con objetos físicos, la
validación se lleva a cabo en el espacio sensible, y en el proceso de resolución
se utilizan las propiedades geométricas.
En nuestra investigación tomamos la definición de problemas espaciales que
ha presentado Salin (2004), debido al amplio espectro de situaciones que abar-
ca. Estos, se caracterizan a nivel general porque:
Su finalidad concierne al espacio sensible [y] pueden tratar sobre la realización de:
acciones [como] fabricar, desplazarse, desplazar, dibujar, etc., [y sobre] comunicacio-
nes a propósito de acciones o de constataciones […] [Además, porque] el éxito o el
fracaso viene determinado para el individuo por la comparación entre el resultado
esperado y el resultado obtenido. (p. 39)
Esta definición de problema espacial nos lleva de manera implícita a la carac-
terización de los conocimientos espaciales. Según Berthelot y Salin (1992), dichos
conocimientos; de una parte, pueden ser descritos mediante la geometría; y de
otra, “permiten a cada uno controlar la anticipación de los efectos de sus accio-
nes sobre el espacio […], así como la comunicación de información espacial4
(p. 9).
Según Salin (2004), los conocimientos espaciales surgen de forma natural y
no es necesario ir a la escuela para su utilización. Sin embargo, los conocimien-
tos geométricos deben ser enseñados de manera explícita. Además, la geometría
constituye una buena herramienta para actuar de manera efectiva sobre el
espacio sensible, es decir, el espacio físico en el que todos nos encontramos.
Ahora bien, ¿por qué esto es importante en la enseñanza de la geometría? Para
responder a esta pregunta pensemos en un carpintero que debe construir un
marco para una ventana. Si un día le pidiesen construir un marco para una
ventana con forma de elipse, ¿qué estrategia debería de tomar? Una solución
práctica podría ser copiar la forma de la ventana con un trozo de papel lo sufi-
cientemente grande. Otra, implicaría conocer qué elementos definen una forma
elíptica y ello requeriría el estudio de la elipse. Así, en este ejemplo, algunos de
los conocimientos espaciales necesarios para construir el marco de la ventana,
copiando su forma, estarían vinculados con la orientación, con la estimación
tanto del tamaño del trozo de papel necesario para copiar su forma como de la
3
Traducción propia.
4
Traducción propia.

cantidad de madera suficiente para construirla, con la manipulación de herra-
mientas de carpintería, etc. Sin embrago, si el carpintero quisiera resolver cual-
quiera de las situaciones en las que tuviese que construir muchos marcos
elípticos, le resultará más eficaz conocer las propiedades geométricas de la
elipse y utilizar dicho modelo para resolverlas.
A continuación, presentamos el problema de investigación que estamos
abordando y las hipótesis planteadas. Luego, explicamos la metodología emplea-
da en la experimentación del dispositivo didáctico con el que hemos sometido
a prueba dichas hipótesis.
PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
Tras el análisis de algunos de los libros de texto propuestos para la ESO (Rojas
y Sierra, 2017), encontramos que, en la enseñanza de la geometría se suelen
proponer tipos de tareas asociadas con un listado de temas poco relacionados
entre sí. Además, cuando se propone una tarea, por lo general se sugiere una
única vía de solución para esta, bien sea a través de un ejemplo o de una
secuencia de instrucciones. Dicho análisis nos condujo a concluir principalmen-
te que: (a) los manuales escolares son una extensión del currículo de matemá-
ticas porque reproducen las visiones segmentadas y segregadas que este
refleja del conocimiento, y (b) los tipos de tareas y técnicas propuestos en los
manuales escolares presentan una relación cíclica, es decir, que las tareas pro-
mueven la aplicación de las técnicas y estas se proponen para justificar la
presencia de las tareas. Esto ratificó la existencia del fenómeno didáctico, que
hemos explicitado así:
Actualmente, en el currículo de matemáticas para la ESO y en los manuales esco-
lares correspondientes, se proponen una serie de saberes geométricos a enseñar,
sin que aparezcan de modo explícito las cuestiones a las que responden, es decir,
no se explicitan las razones de ser de dichos saberes.
En correspondencia con este fenómeno, sumado al hecho de que tanto en
el currículo de la ESO como en los manuales escolares se presenta una sepa-
ración entre la geometría 2D y 3D, y permeados por los presupuestos epistemo-
lógicos de la TAD, la pregunta general de nuestra investigación puede
formularse brevemente como sigue:

¿Qué tipo de organizaciones matemático-didácticas (OMD) permitirían sacar a la luz
y situar en el centro del proceso de estudio las razones de ser de algunos de los
contenidos geométricos de la ESO, permitiendo articular su relación dentro de la
geometría en 2D y 3D?
Ahora bien, en este trabajo nos hemos centrado en la siguiente cuestión deri-
vada de este problema didáctico general:
Los problemas espaciales tal como fueron caracterizados en (Salin, 2004), ¿pueden constituirse
en una posible razón de ser de un ámbito significativo de los conocimientos de la geometría
elemental de la ESO? Más concretamente, ¿qué conocimientos de la geometría 2D y 3D requie-
ren las cuestiones y las tareas que se plantean cuando se pretende diseñar y construir un
envase de un litro? ¿Qué restricciones y limitaciones es previsible que surjan a lo largo del
desarrollo de un REI generado por el problema espacial asociado a dicha construcción?
METODOLOGÍA
La implementación de un REI supone tener en cuenta diferentes restricciones
(Rodríquez-Quintana, 2005), tales como la limitación de los tiempos para abordar
un problema en profundidad y poder indagar y discutir las posibles soluciones
con todo el grupo de estudio. Para disponer de más tiempo del que brindan las
clases de matemáticas, decidimos hacer una convocatoria abierta a estudiantes
de cuarto de la ESO y de primero de bachillerato5
de un instituto de Educación
Secundaria de Getafe, para conformar un grupo de estudio al que llamamos
Semillero matemático, que funcionaría una vez a la semana durante una hora
y media, en horario extraescolar. Catorce estudiantes acudieron tras la convoca-
toria, 10 de cuarto de la ESO y cuatro de primero de bachillerato. En el grupo de
alumnos, había 12 que obtenían buenos resultados en las evaluaciones de las
asignaturas de Matemáticas y 2 que no, según nos informó la profesora titular
5
La decisión de elegir dichos cursos obedeció a que el trabajo con estos estudiantes nos podía permi-
tir analizar hasta qué punto ellos podrían ser capaces de utilizar los conocimientos geométricos, que han
estudiando hasta entonces, en la resolucion de un problema espacial abierto. Es decir, hasta qué punto los
estudiantes han percibido los conocimientos geométricos con un caracter funcional.

del área de matemáticas. Estos dos alumnos mostraron una especial motivación
por el problema planteado a lo largo del estudio realizado.
En el REI, sobre el análisis, diseño y construcción de un envase, planteamos
cuestiones en torno a tres tipos de tareas que fueron abordadas en grupos de
3 o 4 estudiantes. En el primer tipo de tareas, instamos a los estudiantes a rea-
lizar un primer análisis de la forma, dimensiones y capacidad, de algunos de los
recipientes que actualmente se usan para envasar leche, zumo, vino y caldo de
pollo. En el segundo, les pedimos que construyeran un envase en cartulina con
capacidad para un litro. Y en el tercero, les propusimos diseñar el mejor envase
para un perfume. Al final, los estudiantes debieron entregar un informe argu-
mentando por qué el envase diseñado es el mejor. En el desarrollo del REI, se
pretendió que la responsabilidad del planteamiento de las cuestiones fuera
compartida por los alumnos y el profesor. El profesor asumió el papel de director
del estudio más que el de un enseñante tradicional que muestra a los alumnos
las respuestas a las cuestiones planteadas.
La estructura de trabajo seguida comportó tres fases: presentación de la
cuestión inicial por el profesor, trabajo grupal y puesta en común. La segunda
estuvo a cargo de los estudiantes y la tercera compartida por los estudiantes y
el profesor. El profesor, que hizo la función de investigador, pasaba por cada
grupo preguntando por las ideas, decisiones, procedimientos, etc., que emer-
gían durante el abordaje de cada tarea. En la puesta en común, el profesor
intervino planteando preguntas con el objetivo de intentar desvelar la mayor
cantidad de elementos que pudieran emerger durante la búsqueda de res-
puestas a cada tarea. Como los alumnos necesitaron más de una sesión para
responder a cada tarea, al inicio de cada sesión se hacía un breve recuerdo
de lo realizado en la anterior.
Los datos empíricos recogidos del desarrollo del estudio provienen de la
información proporcionada por tres fuentes: (a) registros audiovisuales, (b) el
diario de campo del investigador, y (c) el cuaderno que usan los estudiantes
para escribir los procedimientos empleados. En el trabajo que presentamos,
los datos provienen de algunas de las trascripciones de los diálogos entre los
estudiantes y el profesor de las sesiones tercera, cuarta y quinta de la experi-
mentación del REI en las que se propuso Q2 (Figura 1. Mapa de cuestiones que
han aparecido durante la implementación del REI.). Las trascripciones se obtu-
vieron del registro audiovisual de dichas sesiones, donde hemos extraído y
analizado las respuestas que dieron los estudiantes, utilizando para ello, lo
indicadores del grado de completitud de una OM.

DESARROLLO DE LA EXPERIMENTACIÓN
Durante la implementación del REI emergieron varias cuestiones derivadas de
la cuestión generatriz (QG). Dichas cuestiones, que hemos estructurado en un
mapa (Figura 1. Mapa de cuestiones que han aparecido durante la implemen-
tación del REI.), se corresponden con los tres tipos de tareas mencionados en la
sección de metodología.
Figura 1. Mapa de cuestiones que han aparecido durante la implementación del REI.
En este artículo nos limitamos solo a los datos que hacen referencia al modo
en que los alumnos intentaron buscar una respuesta a la cuestión Q2 = ¿Cómo
elegir la forma y luego diseñar y construir un envase en cartulina, con capacidad
para un litro? Específicamente, consideramos los que contienen información
sobre la manera en que los estudiantes calcularon las dimensiones del envase
que diseñaron.

Una vez propuesta Q2, los estudiantes desarrollaron su trabajo en tres grupos:

− El grupo 1 (G1), formado por los estudiantes E1, E2, E3 y E4, buscó respon-
der a Q2.1 = ¿Cómo diseñar y construir un envase en cartulina con forma
de cilindro, con capacidad para un litro? Y después a Q2.1.1 = ¿Cómo
calcular las dimensiones de un cilindro, una vez fijado su volumen?
(Figura 2. Cilindro construido por los integrantes del G1.)

− El grupo 2 (G2) (constituido por E5, E6, E7, y E8), trató de encontrar la
respuesta a Q2.2 = ¿Cómo diseñar y construir un envase en cartulina con
forma de tetraedro regular, con capacidad para un litro? Y después a Q2.2.1
= ¿Cómo calcular las dimensiones de un tetraedro regular, una vez
fijado su volumen? (Figura 3. Tetraedro regular construido por los inte-
grantes del G2.)

− El grupo 3 (G3) (integrado por E9, E10 y E11), se propuso responder a
Q2.3 = ¿Cómo diseñar y construir un envase en cartulina con forma de
octaedro regular, con capacidad para un litro? Y después a Q2.3.1 =
¿Cómo calcular las dimensiones de un octaedro regular, una vez
fijado su volumen? (Figura 4. Octaedro regular construido por los inte-
grantes del G2.)
El tiempo dedicado a responder a Q2 fue de tres semanas, a partir de la tercera
sesión del semillero, con una sesión de hora y media por semana.
Durante la puesta en común, los estudiantes arguyeron en relación con el
envase construido: (a) sobre la forma elegida, (b) sobre el porqué de dicha elec-
ción, y (c) sobre la manera en que calcularon las dimensiones del envase. Por
tanto, hemos transcrito los diálogos en los que los estudiantes presentaron
dichos argumentos al profesor (P) y a los demás compañeros, y los hemos toma-
do como objeto de análisis y de discusión para rastrear el tipo de conocimientos
geométricos que han emergido en repuesta a Q2.

Puesta en común de G1
E1: […] hemos optado por el cilindro (Figura 2. Cilindro construido por los integrantes del G1),
porque tiene una forma cómoda y porque nos supone menos trabajo realizar uno […] la
altura treinta centímetros, porque, más o menos, hemos semejado –creo– a una lata de
Pringles…
E2: […] también hemos optado por un cilindro… por la comodidad a la hora de cogerlo.
Figura 2. Cilindro construido por los integrantes del G1.
Cuando les preguntamos qué debieron tener en cuenta para hacer los trazos
del desarrollo del cilindro sobre la cartulina, respondieron:
E3: Las medidas del cilindro. La altura, el diámetro de las bases, y el ancho que va a tener
el cilindro.
P: […] el desarrollo de ese cilindro en particular, ¿qué figuras implicó trazar [sobre la cartulina]?
E3: Un círculo y un rectángulo. ¡Dos círculos!
E2: Dos círculos que eran las dos bases, y el rectángulo, que sería el cuerpo del cilindro.
P: ¿Qué medidas debieron tener esas figuras?
E2: Bueno, pues realmente la altura la hicimos un poco así a ojo. Treinta, pues por hacer
una altura medianamente decente. Y luego, por la fórmula para hallar el área… averigua-
mos el radio […].
E4: Pensamos que el volumen [del cilindro] que es la altura, por pi [π], por el radio al cua-
drado, tenía que ser mil centímetros cúbicos. Entonces, sustituimos la altura por treinta,
el pi por […] la tecla de la calculadora, y luego tuvimos que calcular el radio, que nos
salió 3,25. Y de ahí […] el diámetro.
P: ¿Por qué es necesario calcular el diámetro de la circunferencia?
E4: Pues calculamos el diámetro, para poder calcular el perímetro [de la circunferencia], […]
esto es una medida del rectángulo.

Minutos después, preguntamos:
P: […] para poder hacer los trazos […] y poder construir ese recipiente, las medidas que tu-
vieron en cuenta sobre la cartulina, ¿fueron exactamente aquellas que calcularon […] o
tuvieron algunas tolerancias?
E2: […] la verdad es que hubo muchos decimales, entonces, fuimos redondeándolo lo más
posible […].
Cuando sometieron a prueba la fórmula usada por ellos (i.e., 𝑉 = 𝘩π𝑟², siendo
𝑟 el radio, 𝘩 la altura del cilindro, y 𝑉 el volumen buscado), encontraron que el
cilindro diseñado tenía un volumen de 995,492 cm3
.
E2: […] da así… porque hemos cogido aproximaciones. En realidad, no son 3,25 el radio, es
3,257… Si no, al coger más decimales, sí que nos da… no nos da el mil, pero nos da 999,9.
Entonces… aquí … lo hemos redondeado, lo hemos aproximado, pero realmente es por
un milímetro […].
E5: […] nosotros lo primero que hicimos fue decidir qué forma iba a tener nuestra figura, para
poder después hacer todas las fórmulas […] Hemos decidido hacer un tetraedro regular
(Figura 3. Tetraedro regular construido por los integrantes del G2), […] y lo primero que
hicimos fue la fórmula de volumen. Y a partir de allí, pues hicimos la fórmula de equis
elevado a tres por raíz de dos…
E6: Bueno, al principio intentamos averiguar la medida de un lado,…
E5: ¡Exacto! Lo hicimos por estándar, o sea por tanteo de… a base de prueba y error de…
Hicimos 21, vimos que nos pasamos mucho, luego hicimos 20,1, 20,2, hasta llegar más
o menos. Y luego nos dimos cuenta de que obviamente se podría hacer con la equis, y
lo hicimos ya por exactitud. Y cuando ya tuvimos el lado, pues decidimos […] planificar
en el papel cómo haríamos la forma para después empezar a doblarla […] cuando qui-
simos plasmarlo en el papel, pues… nos costaba mucho, entonces decidimos […] romper
en triángulos rectángulos, cada uno de los triángulos que no eran rectángulos. Pues
necesitábamos hallar la hipotenusa, y para eso hicimos el teorema de Pitágoras…
E6: Necesitábamos saber la altura […] de un triángulo equilátero.
P: ¿Por qué surgió la necesidad de hallar esa altura?

E5: ¡Porque no teníamos compás!
P: ¿Para qué necesitaban el compás?
E5: Para poder hallar a partir de esta base [señalando la base de uno de los triángulos
equiláteros que constituyen el desarrollo del tetraedro], directamente pincha aquí y hacer
así, pinchar aquí y hacer así [haciendo un gesto con sus manos sobre la pizarra, para
simular el trazado e intersección de dos arcos], y ya nos daba el punto exacto. Como no
lo teníamos, pues…
Figura 3. Tetraedro regular construido por los integrantes del G2.
Luego preguntamos por el proceso que siguieron para calcular el valor de x que
aparece en la fórmula usada (i.e., V = [(x3
√2)/12], donde x es la longitud de la
arista del tetraedro regular y V el volumen buscado).
P: […] Han dicho al principio, que comenzaron a probar con varios números […], pero des-
pués dijeron: entonces tomamos la decisión de trabajarlo con equis, porque es más
preciso. Y, ¿cómo fue ese trabajo con equis?
E6: Pues, al tener la fórmula general de un tetraedro […] la hemos igualado a mil. […] Y nos
da básicamente, […] 23,9, y muchísimos decimales, por lo que optamos por el redondeo.
Porque precisar tantos decimales en una regla, pues, no podemos.
Con relación a la elección de la forma tetraédrica, los estudiantes indicaron:
E5: No tuvimos en cuenta, ni la comodidad, ni la capacidad de… vacío de él [refiriéndose al
orificio de entrada y salida del contenido].
E6: Por lo que hemos hecho esta figura, no es más para… un motivo comercial, sino para
demostrar que hay muchísima variedad de figuras…

E9: […] Nosotros para este proyecto, quisimos innovar un poco, y pues pensamos en hacer
un octaedro regular (Figura 4. Octaedro regular construido por los integrantes del G3).
Al principio pensamos en hacer… un cono o una pirámide, pero… quisimos probar otro.
Es cierto que… nos ha costado bastante […]. Como podéis ver aquí en esta fórmula [𝑉
= [(𝑙³√2)/3], donde 𝑙 es la longitud de la arista del octaedro regular y 𝑉 el volumen
buscado] da exactamente… un litro, pero se pasa, a lo mejor unas centésimas o un
poco más.
P: Si se trata de innovar […], ¿por qué esa forma en particular?
E10: […] porque es la que nos salían los cálculos mejor.
E9: […] Justo los cálculos los hicimos así: primero pensamos en números enteros y cuando
vimos que se nos aproximaba un poco, empezamos con decimales, y exactamente
cada lado equilátero mide 12,85 centímetros […].
Figura 4. Octaedro regular construido por los integrantes del G3.
Cuando preguntamos por la manera como calcularon la medida del lado de los
triángulos que constituyen el desarrollo del octaedro, los estudiantes respondieron:
E9: […] Primero, para aproximarnos… a un litro, lo que pensamos en hacer es por tanteo, y pri-
mero pusimos 13 y vimos que se acercaba un poco, y luego bajamos a 12,5, y ya veíamos
que se bajaba un poco. Entonces, ahí fuimos aproximando hasta que nos dio eso.
P: Y les dio en este caso 1000,23 centímetros cúbicos. Ciertamente un poco más que el
litro…
E10: ¡Claro, un poquito! ¡Hombre, no se va a notar!, digo yo.

Sobre el proceso seguido para trazar el desarrollo del octaedro regular, los
estudiantes indicaron:
E9: Hicimos un triángulo [equilátero], y utilizamos ese triángulo y lo cortamos de base
[como una plantilla], y de ahí hicimos cada uno.
PRESENTACIÓN DEL INSTRUMENTO DE ANÁLISIS DE LA OM ELABORADA
Y DE SUS RESULTADOS
Dentro de la TAD “toda actividad matemática puede ser interpretada como una
actividad de modelización” (Fonseca, Gascón, y Lucas, 2014, p. 294). Queremos
analizar hasta qué punto ha sido posible llevar a cabo una actividad de mode-
lización espacio-geométrica en el REI experimentado. Uno de los instrumentos
que nos proporciona la TAD para analizar las OMD, que tomaremos aquí como
herramienta de análisis, lo constituye los indicadores del grado de completitud
de una OM local relativamente completa. A propósito de ello:
Parece evidente que una OM local que permita abordar –y, por tanto, integre en
cierta medida– este tipo de cuestiones [de modelización matemática] también cum-
plirá los indicadores anteriores relativos a la flexibilidad de las técnicas, el desarrollo
de los tipos de tareas y la existencia de un cuestionamiento tecnológico funcional.
(Bosch, Fonseca y Gascón, 2004, p. 219)
En Bosch et al., (2004), se definen siete indicadores del “grado de completitud”
de una OM, que nos van a servir para analizar la OM elaborada durante el REI
implementado. A continuación, mostramos y analizamos hasta qué punto se
cumplen cada uno de los indicadores, porque ello nos servirá; de una parte, para
identificar las limitaciones y restricciones encontradas durante el desarrollo
de la tarea propuesta; y de otra, para desvelar los conocimientos geométricos
que se pusieron en juego durante la búsqueda de respuestas a Q2.

− El primer indicador pretende analizar en qué medida se ha producido una
integración de los tipos de tareas.

Todos los tipos de tareas tienen un nexo común que es responder a Q2. Cada
grupo de estudiantes debió llevar a cabo una tarea del tipo T2: Diseñar y construir
un envase en cartulina, con capacidad para un litro, que dentro de cada grupo
se tradujo en una tarea:

− En G1, t21: Diseñar y construir un envase con forma de cilindro con capacidad
para un litro; y una vez elegida la forma del envase resolvieron: t211 = Calcular
las dimensiones de un cilindro, sabiendo que su volumen es de un litro.
Esta tarea requiere una técnica compleja de resolución que consiste en bus-
car la solución de una ecuación con dos incógnitas, por lo que la ecuación
tiene infinitas soluciones. Los alumnos de este grupo simplificaron la tarea
dando un valor concreto (30 cm) a la altura y la técnica utilizada se redujo
a resolver una ecuación con una incógnita. Después construyeron un círculo
con el radio obtenido y un rectángulo de lados la longitud del círculo y la
altura del cilindro.

− En G2, t22: Diseñar y construir un envase con forma de tetraedro, con capaci-
dad para un litro; y una vez elegida la forma del envase resolvieron: t221:
Calcular las dimensiones de un tetraedro regular, con un volumen de un
litro. Aquí la técnica se reduce a “resolver una ecuación con una incógnita”,
que es la utilizada por los alumnos del grupo. Después construyeron cuatro
triángulos equiláteros iguales con la longitud de lado obtenida.

− En G3: t23: Diseñar y construir un envase con forma de octaedro, con capacidad
para un litro; y una vez elegida la forma del envase resolvieron: t231: Calcular
las dimensiones de un tetraedro regular, con un volumen de un litro. Aquí
la técnica también consiste en resolver una ecuación con una incógnita. Sin
embargo, aquí los alumnos utilizaron la técnica de ir probando valores en la
fórmula hasta acercarse al valor del volumen. Luego construyeron 8 triángu-
los equiláteros iguales con la longitud del lado obtenida.
Para elegir las formas de los envases, buscaron en su libro de texto y eligieron
la forma de dos poliedros regulares y del cilindro, porque allí tenían disponible la
fórmula de su volumen. Tomaron dichas fórmulas sin ningún cuestionamiento
sobre su validez. Así, podemos concluir que los tipos de tareas propuestos ante-
riormente aparecen integradas, porque todas pretenden responder a Q2, pero
apenas existe un cuestionamiento tecnológico de las técnicas utilizadas. Para

existir dicho cuestionamiento debería haberlo provocado el profesor, pues los
propios alumnos no tienen por costumbre hacerlo por propia iniciativa.

− Con el segundo indicador se pretende estudiar si existen diferentes técnicas
y criterios para elegir entre ellas.
En el desarrollo de T2, las técnicas empleadas en cada grupo para calcular las
medidas del envase fueron:

− En G1, han utilizado primero τ21: elegir una forma cómoda y fácil de manejar
y que suponga poco trabajo realizarla. Así han elegido el cilindro. Para resol-
ver t211, han utilizado:

• τ211: Usar la fórmula 𝑉 = 𝘩π𝑟² (donde V representa el volumen del
cilindro, h, la altura del cilindro y r el radio de las circunferencias de las
bases) y asignar valores a h parecidos a algún objeto real conocido y
después obtener r en la ecuación 𝑉 = 𝘩π𝑟² utilizando las propiedades
de simplificación.
Han decidido asignar a la altura h el valor de 30, porque han encon-
trado que en el mercado hay un envase de parecida altura y han
obtenido que r es 3,2576…, donde 𝑉 viene dado en cm3
y h y r en cm.
Aquí se observa que los alumnos han hecho un uso de la fórmula del
volumen del cilindro, primero aritmético y después algebraico, pero no
han sido capaces de utilizarla como una función, donde h y r jueguen
el papel intercambiable de variables dependiente e independiente.

− En G2, han utilizado primero τ22: elegir una forma genérica cualquiera de la
que dispongamos de la fórmula de su volumen. Y han elegido un tetraedro.
Para resolver t221, han empleado las dos técnicas siguientes:

• τ2211: Utilizar la fórmula 𝑉 = [(𝑥³√2)/12] (donde 𝑉 representa el
volumen del tetraedro regular y 𝑥 representa la arista del tetraedro) y
hallar el valor de 𝑥, por tanteo, dando valores hasta acercarse lo más
posible a 𝑉 = 1000.

• τ2212: Utilizar la fórmula 𝑉 = [(𝑥³√2)/12] (donde 𝑉 representa el
volumen del tetraedro regular y 𝑥 representa la arista del tetraedro) y

hallar el valor de 𝑥 utilizando las propiedades de simplificación en la
ecuación que proporciona la fórmula.
En ambos casos, 𝑉 viene dado en cm3
y 𝑥 en cm.
Posteriormente para la elaboración del desarrollo del envase utilizaron diver-
sas técnicas para construir el triángulo equilátero que ya han sido explicadas y
analizadas en Rojas y Sierra (2018).

− En G3, han utilizado primero τ23: elegir una forma innovadora de la que se
disponga de la fórmula de su volumen y para la que sea posible realizar los
cálculos de forma más ajustada. Y han elegido un octaedro. Luego, para
resolver t231, han usado la técnica:

• τ23: Emplear la fórmula 𝑉 = [(𝑙³√2)/3] (donde 𝑉 representa el volu-
men del octaedro regular y 𝑙, la arista del octaedro) y hallar el valor de
𝑙, probando y dando valores hasta acercarse lo más posible a 𝑉 = 1000.
Donde 𝑉 viene dado en cm3
y 𝑙 en cm.
Por tanto, en la búsqueda de respuestas a T2 se han utilizado diferentes técnicas.
Los criterios empleados se basan principalmente en que exista un fácil acceso
a una fórmula para calcular el volumen del sólido elegido y en que resulte fácil
y cómodo tanto calcular las dimensiones del sólido como elaborar su desarrollo
plano en cartulina. También se propusieron otros criterios menos claros como
el de innovar y el de escoger un sólido cualquiera, para dar la idea de que hay
muchos posibles. Las técnicas utilizadas muestran que los alumnos manejan
las fórmulas, en primer lugar, como programas de cálculo aritmético y solo
algunos, en segundo lugar, son capaces de usarlas como ecuaciones. En ningún
caso, los alumnos son capaces de considerar las fórmulas como modelos fun-
cionales. En general, los criterios tienden a intentar simplificar y cerrar la tarea
a resolver.

− El tercer indicador, analizar si existe independencia de los ostensivos que
integran las técnicas.
Hemos visto, en el indicador anterior, que los estudiantes han utilizado la nota-
ción que aparecía en el libro de texto o en el documento resumen donde venían
las diferentes fórmulas del volumen de sólidos. Así, las fórmulas del volumen

del tetraedro y del octaedro que venían en dichos textos eran 𝑉 = [(𝑙³√2)/12]
y 𝑉 = [(𝑙³√2)/3] respectivamente. Pero en el caso del tetraedro, como los
alumnos decidieron considerar la fórmula como una ecuación donde la incóg-
nita era el valor del lado, cambiaron la 𝑙 por la 𝑥, ya que para ellos la incógnita
de una ecuación siempre debe venir representada por la letra 𝑥.
Por tanto, se observa que existe rigidez en el uso de ostensivos en la activi-
dad matemática desarrollada por los alumnos.

− El cuarto indicador tiene como objetivo estudiar si existen tareas y técnicas
“inversas”.
El tipo de tareas T2 propuesto hace referencia a un tipo de tareas inversas de las
que se suelen proponer en las clases de Secundaria que son del tipo T2
inv
: “Ele-
gir la forma de un envase y, conocidas sus dimensiones, calcular su volumen”.
Además, T2 resulta de una mayor dificultad, pues tiene un carácter abierto; los
estudiantes primero, deben elegir la forma del envase que pretenden diseñar; y
luego, decidir la manera en que calcularán sus medidas. Los alumnos de G1 y
G3 al principio intentan resolver las tareas del tipo T2, utilizando la técnica direc-
ta que consiste en asignar valores a las dimensiones del envase probando
hasta conseguir que el volumen sea aproximadamente un litro. Sin embargo, G1
y G2 acaban usando la técnica inversa que consiste en considerar la fórmula
como un modelo algebraico. En general, los alumnos tienden a forzar y modifi-
car la tarea para evitar usar una técnica no habitual y así poder aplicar una
técnica escolar estándar.

− El quinto indicador estudia si existe interpretación del resultado de aplicar las
técnicas.
Los estudiantes no se cuestionaron sobre la validez de las fórmulas utilizadas
y las aceptaron sin que anteriormente hubieran sido justificadas en clase o en
el libro de texto.
Ninguno de los estudiantes se cuestionó sobre la relación existente entre la
capacidad de un objeto y su volumen. Asimismo, ninguno consideró que el
envase a elaborar debería tener un determinado grosor.
En general, no hubo interpretación del funcionamiento de las técnicas.


− Con el sexto indicador se analiza si ha habido necesidad de construir técni-
cas nuevas capaces de ampliar los tipos de tareas inicialmente considerados.
En este caso, hemos visto que la elección del tipo de tareas T2 estuvo fuertemente
condicionada por las ventajas que ofrecen las técnicas empleadas para calcular las
medidas del envase. Esto se puede evidenciar en los argumentos presentados por
los estudiantes, cuando indagamos por los motivos que les condujeron a la elección
de la forma del envase diseñado y construido. Así, en G1, fue la comodidad a la
hora de manipularlo y la presunción de menos trabajo en la construcción. En G2,
dicen que hay muchísimas figuras con capacidad de un litro, pero eligen el tetraedro
porque disponen de una fórmula sencilla para calcular el volumen. En G3, primero
pretenden innovar, pero después optan por el octaedro porque es el sólido para el
que les resulta más fácil realizar los cálculos.
En la actividad matemática llevada a cabo, creemos que sí se construyó, por
algunos alumnos, la técnica que consiste en utilizar la fórmula del volumen como
un modelo algebraico. Además, pensamos que se puede crear la necesidad de
construir otra técnica nueva donde se considere la fórmula del volumen del envase
elegido como un modelo funcional. Así, en una etapa posterior del desarrollo del REI
hemos propuesto el uso de GeoGebra para facilitar la elaboración de dicha técnica.

− El séptimo indicador propone estudiar la existencia de tareas matemáticas
“abiertas”.
Este indicador contiene en cierta forma los otros seis indicadores, en la medida
que estos caracterizan al tipo de tareas abiertas y, en particular, las tareas de
modelización matemática. Para que estas existan con normalidad en una insti-
tución escolar se requiere que las OM con las que se trabaja sean relativamen-
te completas, esto es, OM que cumplan en una medida apreciable los
indicadores en cuestión. Dado que las OM escolares no cumplen en general
estas condiciones, era previsible que, ante una tarea abierta como la propuesta,
los estudiantes encontraran muchas dificultades. En efecto, las tareas propuestas
son abiertas porque no se conoce de antemano qué técnica o técnicas permi-
tirán resolverlas. Así, para llevar a cabo T2, los alumnos necesitaron elegir la
técnica de resolución, y esto les llevó a elegir de entre las disponibles, que
aparecían en su libro de texto o en sus apuntes de clase, aquellas más fáciles
de aplicar. Al final, hemos visto que los alumnos tienen tendencia a cerrar las
tareas propuestas y apenas optan por crear técnicas nuevas.

RESTRICCIONES Y LIMITACIONES ENCONTRADAS
En la escuela secundaria existen ciertas restricciones, es decir, condiciones inmo-
dificables por el profesor y, limitaciones, que se derivan de sus propias normas y
estructura, para poder implementar nuevos dispositivos didácticos. De este modo,
[…] para la TAD, no es posible modificar las praxeologías matemáticas y didácticas
que viven en una institución determinada como consecuencia exclusiva de la volun-
tad de los agentes de las instituciones en cuestión, sean estos profesores, autores
de cualquier tipo de materiales escolares o autoridades educativas. (Fonseca et al.,
2014, p. 314).
Así, los profesores y estudiantes están sujetos a un currículo –sobre el que no
pueden intervenir– que supone la segmentación de la enseñanza en un con-
junto de temas separados, que se deben tratar en un horario de clases de 50 a
55 minutos. Esto, aunque ha generado las condiciones necesarias para que el
modelo de enseñanza actual se lleve a cabo, también genera importantes res-
tricciones para abordar, en profundidad, cuestiones que podrían dar sentido a
varios de los saberes propuestos en el currículo actual.
En nuestro caso, algunas de las restricciones y limitaciones encontradas,
durante el desarrollo del tipo de tareas propuesto (i.e., T2), están íntimamente
relacionadas con los indicadores del grado de completitud discutidos anterior-
mente. Los cuales, recíprocamente, son condiciones necesarias para llevar a cabo
una actividad abierta de modelización. Con lo cual, dichas restricciones y limi-
taciones se reflejaron, por ejemplo, en:

− la ausencia de una interpretación algebraico-funcional de T2, ya que los
estudiantes buscaron una solución particular para el cálculo de las medi-
das del envase, sin detenerse a cuestionarse sobre el hecho de que dicha
solución forma parte de un conjunto infinito de soluciones que, está
asociado a la posible variación del conjunto de dimensiones de dicho
envase que, hacen que su volumen pudiera ser de 1000 cm3
;

− el uso casi excluido de las fórmulas empleadas como programas de cálculo
aritmético, porque la tendencia fue a introducir valores en las fórmulas a fin
de que el volumen de los envases se aproximase al solicitado;


− la dependencia de ostensivos empleados habitualmente en el cálculo de
volúmenes, vinculada con el uso de un listado-resumen de fórmulas que
habitualmente usan los estudiantes en la clase de geometría, y con la
necesidad de incluir la letra x en el planteamiento y solución de ecuacio-
nes, como fue el caso del grupo que diseñó el envase con forma de
tetraedro regular;

− la falta de planteamiento de tareas inversas en el currículo habitual gene-
ra en los estudiantes la necesidad de transformar T2, de naturaleza inver-
sa, en un tipo de tarea directa. Muestra de ello es que los estudiantes
tendieron al diseño de un envase cuyo volumen pudiese calcularse, pre-
feriblemente, con una fórmula que incluyese una sola variable, incluso,
reduciendo T2 al cálculo del volumen de un sólido a partir de la medida
de uno de sus elementos;

− la ausencia del cuestionamiento de la validez de las fórmulas empleadas
y de la construcción de nuevas técnicas. Principalmente, porque los estu-
diantes están habituados a usar las fórmulas sin que previamente se
discuta su significado y su validez, y porque no se acostumbra a proponer
que sean ellos quienes construyan dichas fórmulas.
Esto significa que, tanto en el currículo como en la actividad matemática escolar
que siguen habitualmente los estudiantes, las tareas abiertas de modelización
no suelen estar presentes.
CONCLUSIONES
El análisis de los resultados obtenidos y las hipótesis que pretendíamos validar
nos permiten concluir que, durante la resolución del problema espacial sobre el
diseño y construcción de un envase con capacidad para un litro, pueden emer-
ger algunos de los saberes geométricos propuestos en el currículo escolar para
ser enseñados. Por ejemplo, los contenidos de geometría tridimensional en 3o
ESO (alumnos de 14/15 años), y de conocimientos geométricos para la resolu-
ción de problemas del mundo físico: medida de longitudes, áreas y volúmenes
en 4o
ESO (alumnos de 15/16 años), tanto en enseñanzas académicas como en
aplicadas (MECD, 2015). Al construir el desarrollo de los envases aparece la

necesidad de representar y estudiar las características y propiedades de las
figuras planas, por ejemplo, en nuestro caso, triángulos equiláteros, triángulos
rectángulos, rectángulos, círculos. Aquí ha surgido la necesidad de relacionar
las geometrías 2D y 3D, lo que ha ayudado a articular ambos tipos de conoci-
mientos geométricos. Los tipos de conocimientos geométricos van a estar muy
relacionados con el tipo de envase que deseen diseñar y construir cada grupo
de alumnos. Por ello, será muy útil que el profesor haga una buena gestión de
las sesiones de clase, con el objetivo de que sea necesario elaborar una variedad
de tipos de envase, que permita abordar la mayor parte de los conocimientos
geométricos que propone el currículo.
Las cuestiones que han surgido en el desarrollo del REI al resolver los pro-
blemas espaciales de diseño y construcción de un envase, se han constituido
en algunas de las razones de ser de los saberes geométricos mencionados en
el apartado anterior, que forman parte del currículo de la ESO. Por tanto, consi-
deramos relevante incluir dichos problemas en las OMD para enseñar geometría.
Llevar a cabo procesos de estudio parecidos al experimentado, implicaría cam-
bios importantes en la lógica de enseñanza habitual, porque les otorgaría mayor
responsabilidad a los estudiantes en su formación académica y obligaría a hacer
frente a ciertas limitaciones y restricciones que el sistema escolar impone, supe-
rando la obligación de un horario escolar compartimentado en clases de 50
minutos. Se necesita al menos un tiempo de 90 minutos para poder realizar una
actividad matemática que permita reflexionar, cuestionar y contrastar en equipo
las posibles respuestas al tipo de tareas planteado.
Consideramos necesario proponer procesos de estudio en secundaria como
el implementado, para que los estudiantes se vean abocados a elaborar téc-
nicas para resolver las tareas propuestas. Es importante crear la necesidad de
que describan, expliquen y justifiquen dichas técnicas. Se deben plantear
tareas donde las técnicas, ya conocidas, fracasen y los alumnos sientan la
necesidad de construir técnicas nuevas que permitan su resolución.
En la actividad matemática efectivamente desarrollada hemos podido cons-
tatar que los estudiantes intentan afrontar el tipo de problemas planteado con
técnicas que proporciona el libro de texto o los apuntes y documentos aportados
por los profesores. La tendencia de los alumnos es resolver las tareas propuestas
con técnicas ya construidas o proporcionadas por otros sin cuestionarse si dichas
técnicas son válidas o no. En general, renuncian a construir técnicas nuevas.
Hemos constatado que durante el desarrollo del REI los propios estudiantes

construyeron alguna de las técnicas necesarias para la resolución del tipo de
tareas propuesto, como se documenta en (Rojas y Sierra, 2018).
En la búsqueda de respuestas al tipo de problema planteado, los alumnos
han utilizado las propiedades geométricas de las figuras planas como el trián-
gulo equilátero y rectángulo, el círculo y el rectángulo para construir los dife-
rentes envases. Así, han utilizado la modelización espacio-geométrica (aunque
no de manera explícita), y algunos han sido capaces de utilizar las fórmulas
del volumen como modelos algebraicos, pero ninguno ha considerado las
fórmulas como posibles modelos funcionales. Por todo ello, hemos pensado
continuar este trabajo diseñando y experimentando, con la ayuda de GeoGe-
bra, un proceso de estudio donde la necesidad de considerar las fórmulas
geométricas como modelos algebraico-funcionales surja como respuesta a un
problema espacial.
Finalmente, consideramos que el REI implementado se ha llevado a cabo
de una forma abierta y libre, dejando que los estudiantes tomasen decisiones
sin apenas influencia y dirección por parte del profesor. Sin embargo, pensa-
mos que si nuestro objetivo es conseguir que los estudiantes construyan
nuevas técnicas geométricas, sean capaces de cuestionar su validez, interpre-
ten las fórmulas geométricas como modelos algebraico-funcionales y, en defi-
nitiva, lleven a cabo una genuina actividad de modelización, se necesita una
gestión del REI donde el profesor oriente el estudio favoreciendo cuestiones
fructíferas en la dirección de potenciar, provocar y posibilitar dichos resultados.
Dicha estrategia didáctica vendrá justificada y fundamentada por la construc-
ción de un modelo epistemológico de referencia de los conocimientos en
juego al querer resolver el tipo de tareas de elaboración de un envase, que
estamos desarrollando en estos momentos.
AGRADECIMIENTOS
Esta investigación se ha desarrollado en el marco del proyecto I+D+i “Propuestas
para una enseñanza basada en el paradigma del cuestionamiento del mundo”
(Q-mundo): RTI2018-101153-A-C22 del Programa Estatal de I+D+i Orientada a
los Retos de la Sociedad. Agradecemos al profesor Josep Gascón los comentarios
y sugerencias realizadas después de la lectura de este trabajo.

REFERENCIAS
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taria de las Matemáticas (Tesis doctoral no publicada), Universidad Autónoma de
Barcelona. http://hdl.handle.net/10803/3110
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- Bordeaux I. https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00414065
Berthelot, R., y Salin, M. H. (2001). L’enseignement de la géométrie au début du collège.
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Petit x, 56, 5-34.
Bloch, I., y Salin, M. H. (2005). Vers une problématique de modélisation dans l’enseigne-
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Carlos Rojas Suárez
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Facultad de Educación. Universidad de Antioquia.
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