1 mecfluidos

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA
ELÉCTRICA Y ENERGÉTICA
UNIVERSIDAD DE CANTABRIA
MECÁNICA DE FLUIDOS
Pedro Fernández Díez

I.- INTRODUCCIÓN A LOS FLUIDOS
I.1.- PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS
Los fluidos son agregaciones de moléculas, muy separadas en los gases y próximas en los líquidos,
siendo la distancia entre las moléculas mucho mayor que el diámetro molecular, no estando fijas en una
red, sino que se mueven libremente.
Un fluido se denomina medio continuo, cuando la variación de sus propiedades es tan suave que se
puede utilizar el calculo diferencial para analizarlo.
En Mecánica de Fluidos solo hay cuatro dimensiones primarias, de las que se derivan todas las
demás, a saber, masa, longitud, tiempo y temperatura.
Las propiedades de los fluidos más interesantes son:
a) La isotropía, por cuanto mantienen igualdad de propiedades en todas direcciones.
b) La movilidad, por cuanto carecen de forma propia, por lo que se amoldan a la del recipiente que los contiene;
a un esfuerzo infinitamente pequeño le corresponde una deformación infinitamente grande.
c) La viscosidad, que constituye una resistencia a la deformación, la cual no sigue las leyes del rozamiento entre
sólidos, siendo las tensiones proporcionales, en forma aproximada, a las velocidades de las deformaciones; esta Ley
fue formulada por Newton, que decía que, cuando las capas de un líquido deslizan entre sí, la resistencia al movi-
miento depende del gradiente de la velocidad dv/dx, y de la superficie:
F = η S dv
dx
siendo la constante de proporcionalidad; ahora bien, la velocidad va variando progresivamente de capa en capa, y
no bruscamente.
Si la velocidad relativa de desplazamiento es nula, la tensión también lo será.
d) La compresibilidad, según la cual, para cualquier esfuerzo a que se someta al fluido, su volumen práctica-
mente no varía. Así, para el caso del agua, por cada kg/cm2 que aumente su presión, se comprime 1/20.000 de su
volumen. Para los fluidos compresibles, el volumen especifico será función de la presión y de la temperatura, siendo
complicadas las expresiones que ligan estas variables.
I.-1

Fig I.1.- Isotaquias de velocidades
dv/dx
Fluidoideal
Fluido
new
toniano
Fluido
no
new
toniano
Sustancias tixotrópicas
Plástico
ideal
Tensión de cortadura τ
Fig I.2.- Comportamiento de algunos fluidos
La expresión general de la compresibilidad k es:
k = -
1
v
(
∂v
∂p
)T
Los fluidos perfectos tienen:
a) Isotropía perfecta
b) Movilidad perfecta
c) Fluidez perfecta, es decir, ausencia de viscosidad
d) Compresibilidad nula
De la ausencia de rozamiento en un fluido perfecto, resulta que:
a) Toda deformación se efectuaría sin trabajo
b) Todo elemento de un fluido, puede ejercer solamente esfuerzos normales sobre un elemento vecino, o sobre
una pared próxima
En la Fig I.2 se representan las gráficas cartesianas de algunos de los diferentes tipos de fluidos,
tomando como eje de ordenadas, dv/da, y como eje de abscisas el esfuerzo cortante.
I.2.- VISCOSIDAD DINÁMICA Y CINEMÁTICA
En la Ley de Newton enunciada anteriormente, η es la viscosidad absoluta o coeficiente de viscosi-
dad dinámica; despejando este valor en dicha ecuación se tiene:
η =
F
S
dx
dv
= τ
dx
dv
I.-2

siendo la relación
F
S
, el rozamiento por unidad de superficie.
El rozamiento en los líquidos se corresponde con el esfuerzo cortante en los sólidos. Se sabe que, el
esfuerzo cortante en los sólidos, origina a veces otros esfuerzos como los de tracción y compresión; lo
equivalente en los líquidos es que originan variaciones de presión, de tal modo, que la presión media sobre
un elemento considerado, puede verse afectada por una pequeña variación en más o en menos.
A la relación entre la viscosidad dinámica y la densidad del fluido se la conoce como viscosidad
cinemática, ν =
η
ρ
Unidades.- El Poise es la viscosidad absoluta η o dinámica de un fluido en el cual, la fuerza de una
dina actuando sobre una capa de 1 cm2 de superficie, le imprime una velocidad de 1 cm/seg a otra capa
paralela a la misma superficie, situada a 1 cm de distancia.
En consecuencia se tiene,
Sistema cegesimal, 1 Poise =
dinas. seg
cm 2
Sistema técnico, 1 U.T.M. = 98 Poises ⇒ 1 Poise =
1
98
kg seg
m2
La viscosidad dinámica del agua a 20°C es igual a 0,01 Poises, 1 Centipoise.
La viscosidad cinemática se define en la forma, ν =
η
ρ
, siendo ρ la densidad.
El coeficiente de viscosidad cinemática ν del agua para 0°C y 760 mm de presión es,
νa = 0,0178 Stokes = 1,78.10-6 m 2
seg
mientras que a 20°C es de 0,01 Stokes o un Centistoke.
I.3.- MEDIDA DE LA VISCOSIDAD
VISCOSÍMETRO ABSOLUTO CALIBRADO.- Medianteun viscosímetro absoluto calibrado, se deter-
mina el tiempo de derrame del volumen constante de líquido cuya viscosidad se desea conocer.
Si el derrame es debido a la acción de su propio peso, se determina la viscosidad cinemática.
Si el derrame es debido a una diferencia de presión, se determina la viscosidad dinámica.
El fluido circula a temperatura constante, bajo una diferencia de presión también constante, a tra-
vés de dos tubos capilares calibrados, Fig I.3.a.
El capilar A se mantiene a temperatura constante; el líquido fluye a través del capilar, desde la
bureta graduada cilíndrica B al embudo E, por rebosamiento del tubo grueso C.
En el instante t, si la diferencia de nivel del líquido en los dos tubos comunicantes B y C es h, la dife-
rencia de presión que rige el flujo es: γ h = ρ g h.
El volumen de líquido dV que fluye durante el tiempo dt viene dado por la expresión:
dV = Q dt =
π (p0 - p1 ) R4
8 η l
dt =
π h ρ g R4
8 η l
dt
I.-3

siendo R el radio del capilar, l la longitud del mismo y Q el caudal de fluido que circula.
Llamando V al volumen que ha fluido entre los instantes t1 y t2 correspondientes a los niveles h1 y h2,
y dado que la bureta graduada es cilíndrica, se tiene:
-
dV
dh
=
V
h1 - h2
⇒ dV = -
V
h1 - h2
dh =
π h ρ g R4
8 η l
dt
V
h1 - h2
dh
h
=
π ρ g R4
8 η l
dt ⇒
V
h1 - h2
ln
h1
h2
=
π ρ g R4
8 η l
(t2 - t1 )
por lo que la viscosidad cinemática es:
ν =
η
ρ =
π g R4 (h1 - h2 ) (t2 - t1 )
8 l V ln
h1
h2
que permite hacer una medida absoluta de la viscosidad cinemática, lo cual comporta la determinación
de todas las magnitudes que intervienen en la expresión anterior.
También es fundamental definir la temperatura para determinar el estado del fluido.
VISCOSÍMETRO EMPÍRICO.- El viscosímetro empírico se basa en el derrame de líquidos por un
pequeño orificio calibrado, Fig I.3.b. Aplicando la ecuación de Poiseuille se puede medir la viscosidad del
líquido conociendo su densidad y el tiempo que tardaría en pasar entre dos graduaciones fijas del tubo
graduado A y B, conociendo la viscosidad de un líquido patrón ν' con el que se le compara, su densidad y
el tiempo que tardaría en pasar entre los mismos puntos.
A
B
h
h"
h'
M
Fig I.3.- Viscosímetros
Según la ecuación de Poiseuille:
Q =
π ∆p R4
8 η l
= 2 π
∆p
l
(
R
2
)4 1
η
=
Volumen
Tiempo
(
m
3
seg
)
El volumen del líquido a medir es:
V = 2 π
∆p
l
(R
2
)4 t
η
= ∆p = γ h = γ (h"- h') = ρ g h = 2 π
ρ g h
l
(R
2
)4 t
η
I.-4

El volumen del líquido patrón es:
V = 2 π
∆p'
l
(R
2
)4 t'
η
= ∆p'= γ'h = ρ'g h = 2 π
ρ'g h
l
(R
2
)4 t'
η'
Dividiéndolas miembro a miembro resulta:
1 =
ρ t η'
ρ't' η
⇒
η
η'
=
ρ t
ρ't'
⇒
ν
ν'
=
t
t'
La cubeta M tiene que ser lo suficientemente grande como para que el aumento de nivel en la
misma sea despreciable; ademas, acelera el paso del líquido por la pipeta, evitando la formación de gotas
a la salida por tensión superficial. Para calcular la variación de la presión se toma un valor medio en
alturas. Las viscosidades medidas con estos aparatos oscilan entre 0,01 y 15 Poises, oscilando el
tiempo de paso entre 70 y 700 segundos.
VISCOSÍMETRO DE CILINDROS COAXIALES.- Para dar una primera definición de la viscosidad
basta con medir la fuerza necesaria para desplazar, en su plano, una placa plana paralelamente a otra,
pero las dificultades prácticas que comportaría la realización de dicha medida, hace que, en la práctica,
se reemplacen las dos placas por dos cilindros coaxiales, de radios r1 y r2, dejando entre ellos un ligero
espacio (r1 - r2 = e) que contiene el fluido a estudiar, Fig I.4.
Si se hace girar el cilindro exterior alrededor de su eje a velocidad constante, el cilindro interior tiende
a girar en el mismo sentido, por lo que si se desea mantenerlo inmóvil, es necesario ejercer sobre él un
par M en sentido inverso al del movimiento del cilindro exterior.
Fig I.4.- Viscosímetro de cilindros coaxiales
En régimen permanente, este par resistente C debe equilibrar el par motor que provoca la rotación
del cilindro exterior, ya que no existe ninguna aceleración de la masa del fluido a la cual se apliquen los
dos pares; la determinación del par C permite determinar la medida absoluta de la viscosidad del fluido.
En el fluido, la velocidad angular varía progresivamente de, 0 → 2 π n, a lo largo de los radios de los
cilindros, siendo n el número de revoluciones por minuto del cilindro exterior.
Si se consideran dos circunferencias concéntricas, de radios r y, r + dr, en las que el fluido se mueve
con velocidades angulares respectivas, w y w + dw, y si se toman dos partículas de fluido cuyos centros
respectivos están sobre estas dos circunferencias, en el instante t, puntos A y B sobre el mismo radio;
durante el tiempo dt, si la partícula que estaba en A pasa a A', la partícula que estaba en B pasará a B'.
La partícula cuya velocidad angular sea mayor, está mas lejos que el punto B'', situado sobre el radio
que pasa por A; el deslizamiento durante el tiempo dt de la partícula exterior, en relación a la partícula
I.-5

interior, está representado por B”B’ y la diferencia de velocidades en el deslizamiento del espesor de la
capa fluida que contiene las partículas es:
BB'
dt
= (r + dr) dw
El gradiente de esta velocidad relativa siguiendo el radio es, despreciando los términos de segun-
do orden, r
dw
dr
.
La tensión tangencial en el líquido es:
τ = Froz
S
= η dv
dr
= η r dw
dr
El par M es el mismo a lo largo del radio r, ya que debe también equilibrar, en régimen permanente,
el par motor C, por lo que, M = C.
Si la longitud vertical de los dos cilindros en contacto con el líquido es L, el momento de las fuerzas de
viscosidad respecto al eje es:
M = F r = (2 π r L τ) r = 2 π r3L η
dw
dr ; M = C ; dw =
C dr
2 π r3L η
La integración de la ecuación anterior, permite obtener la velocidad angular, que queda en la forma:
w = - C
4 π r2
L η
+ Cte =
Para: r = ri ; w = 0
Cte =
C
4 π ri
2L η
= - C
4 π r2
L η
+ C
4 π ri
2
L η
= C
4 πL η
( 1
r1
2 - 1
r2 )
Para, r = r2 , w = π n
30
, siendo n el número de rpm del cilindro exterior por lo que despejando la viscosi -
dad η se obtiene:
η = C
4 π L w
( 1
r1
2 - 1
r2
2 ) = 15 C
2 π2
L n
( 1
r1
2 - 1
r2
2 )
El cálculo precedente no tiene en cuenta la existencia de las secciones rectas inferiores de los cilin-
dros, por lo que suele introducirse un término correctivo que introduce el fondo circular, de forma que,
aproximadamente, se pueda considerar que el fondo se comporta como una altura suplementaria h,
quedando la expresión de la viscosidad en la forma:
η = 15 C
2 π2
(L + h) n
( 1
r1
2 - 1
r2
2 )
En este método, la determinación de η se limita a realizar una serie de medidas geométricas (r1, r2,
L), cinemáticas n y mecánicas C. Es evidente que además, la temperatura y la presión del fluido tienen
que ser conocidas y medidas.
El aparato debe estar situado en un recinto a temperatura regulable, de forma que se pueda mante-
ner fija en el transcurso de la medida.
Por convenio internacional, existen unidades basadas en el tiempo que tarda el líquido en pasar a
I.-6

través de un orificio perfectamente calibrado.
En Europa se utilizan los grados Engler.
En USA se utilizan los segundos Saybold.
En Inglaterra se utilizan los segundos Reedwood.
Los grados Englerse obtienen dividiendo el tiempo de vaciado del líquido problema a través del orificio
calibrado y el tiempo que tardaría por el mismo orificio un líquido patrón, agua destilada, efectuando
ambas mediciones a la misma temperatura; en consecuencia:
Et
°
= t
tagua
siendo las temperaturas más usuales para realizar estas mediciones de 20°C, 50°C 100°C.
Los segundos Saybold se obtienen midiendo el tiempo que 60 cm3 de fluido tardaran en circular por un
orificio calibrado siendo las temperaturas más usuales de 70°F, 100°F, 130°F y 210°F.
Los segundosReedwood se obtienen midiendo el tiempo que 50 cm3 de líquido tardarían en circular por
un orificio calibrado, siendo las temperaturas mas usuales de 70°F, 100°F, 140°F y 200°F.
Los coeficientes de viscosidad de los aceites lubricantes se expresan en unidades arbitrarias; en
USA se utiliza el número S.A.E., iniciales de Society of Automotive Engineers.
A 130°F, la viscosidad de algunos aceites es:
SAE 10, esta comprendida entre 160 y 220 centipoises
SAE 20, “ “ 230 y 330 “
SAE 30, “ “ 360 y 430 “
I.4.- INFLUENCIA DE LA PRESIÓN Y TEMPERATURA EN LA VISCOSIDAD
Para temperaturas elevadas, la viscosidad de los líquidos es muy pequeña; para un valor de tempe-
ratura tendiendo a infinito, se corresponde con un valor cero de la viscosidad. La ecuación que liga la
temperatura con la viscosidad es de la forma, Fig I.5:
log
ηt
η0
= C
T - T0
⇒ ηt = η0 10
C
T - T0
siendo η0, C y T0 valores característicos para cada líquido.
Para líquidos, la variación de la viscosidad con la presión viene dada por:
ηp = η0 ap
con η0 y a parámetros característicos para cada líquido.
Para los gases, la ley de dependencia entre la viscosidad y la temperatura se puede expresar bas-
tante bien por la formula de Sutherland, de la forma:
ηT = η0
(1 +
C
273
)
T
273
1 + C
T
I.-7

η η
LIQUIDOS
GASES
T T
Fig I.5.- Influencia de la presión y la temperatura en la viscosidad
en la que los valores de η0 y C vienen dados en la Tabla I.1 y sirven para valores de T comprendidos
entre 100°K y 1500°K.
Por lo que respecta a las presiones, la viscosidad depende de ellas según la expresión:
ηp = η0 (1 + β p)
conociéndose pocas experiencias que permitan calcular β.
Algunos valores de β son:
Para el CO 2 a 25ºC... β = 7470.10-6
Para el benzol a 20ºC β = 930.10-6
Para el agua.............. β = 17.10-6




Tabla I.1.- Valores de C y η0 de la fórmula de Sutherland
Fluido C
Aire 114 0,166
Oxígeno 128 0,18
Hidrógeno 74 0,083
Nitrógeno 110 0,16
Anhidrido carbónico 260 0,137
Monóxido de Carbono --- 0,16
Vapor de agua 673 0,087
Kg.seg/m2
η0
Se observa que cuando la temperatura del fluido aumenta, la influencia de la presión disminuye.
I.5.- INDICE DE VISCOSIDAD
Para definir el índice de viscosidad se parte de dos tipos de aceite patrón:
a) Un aceite parafínico al que se asigna el índice 100 (Pensilvania)
b) Un aceite asfáltico al que se asigna índice 0 (Gulf Coast)
Mezclando estos aceites patrones en diferentes porcentajes, se obtienen otros índices comprendidos
entre 0 y 100; el líquido problema se compara con el más próximo a uno de estos indices, obteniéndose
de esta forma el indice del líquido problema.
V.I. (Viscosity index) = 100 AB
AC
= 100 L - ν
L - H
, si:
ν→ L ; V.I. = 0
ν→ H ; V.I. = 100



I.-8

Fig I.6.- Indice de viscosidad
Fig I.7.- Viscosidad del agua y de algunos líquidos derivados del petróleo
Tabla I.2.- Valores de H y L para v a 100ºC
VISCOSIDAD CINEMÁTICA A 100ºVISCOSIDAD CINEMÁTICA A 100ºVISCOSIDAD CINEMÁTICA A 100ºVISCOSIDAD CINEMÁTICA A 100º
H L H L H L H L
8,00........63,72...108,868,00........63,72...108,86 9,00........76,35...135,179,00........76,35...135,17 10,00.......89,18...162,4910,00.......89,18...162,49 11,00......102,54...191,8511,00......102,54...191,85
8,90........75,09...132,518,90........75,09...132,51 9,90........87,85...159,729,90........87,85...159,72 10,90......101,20...188,8710,90......101,20...188,87 11,90......115,11...219,9811,90......115,11...219,98
I.6.- TENSIÓN SUPERFICIAL Y CAPILARIDAD
La diferencia entre las moléculas que están dentro de un líquido y las que están en la superficie es
I.-9

que, en las primeras, las fuerzas atractivas que actúan en el pequeño espacio en que se manifiestan, se
contrarrestan, mientras que en las segundas no sucede lo mismo, por cuanto existirá una resultante R
que se dirige hacia el seno del líquido, Fig I.8.
Por lo tanto, si se quiere aumentar la superficie libre del líquido, será a expensas de llevar moléculas
del mismo, a dicha superficie, tomándolas del interior del líquido, lo cual requiere un consumo de energía.
para poder evaluar el consumo de energía por unidad de superficie aumentada, que se conoce como ten-
sión superficial, se forma una laminilla jabonosa que al aplicarla un esfuerzo F avanzará una cierta lon-
gitudl, Fig I.9, obteniéndose así un trabajo equivalente al necesario para llevar moléculas a la superfi-
cie; cualquiera que sea el grado de estiramiento la fuerza aplicada F sera siempre constante, en contra
de lo que ocurre con una membrana, que sigue la ley de Hooke.
El trabajo realizado es proporcional a ∆S, siendo la constante de proporcionalidad la tensión superfi-
cial σ:
Trabajo: F l = σ =
F
2 a
⇒ F = 2 a σ = 2 a σ l = ∆S σ
siendo σ la tensión superficial, que es una fuerza por unidad de longitud perpendicular a la fuerza F, ó
también, el trabajo realizado por unidad de superficie, al aumentar la superficie.
Fig I.8.- Fuerzas de tensión superficial Fig I.9.- Esquema para la determinación del trabajo
El aumento de superficie se consigue al aplicar la fuerza F, ya que la lámina al estar formada por un
volumen de líquido limitado por dos capas superficiales cuyo espesor es de algunas moléculas, al aplicar
la fuerza F habrá moléculas de este volumen de líquido que se desplazaran hacia las capas superficiales.
El conjunto de fenómenos que vienen ligados a la tensión superficial se conocen como efectos de
superficie. Ampliando los efectos de superficie a láminas que separan una pared sólida y un líquido, o
una pared solida y un gas, tendremos los fenómenos de capilaridad.
Si llamamos:
1, tensión superficial entre sólido y líquido
2, tensión superficial entre líquido y vapor
3, tensión superficial entre vapor y sólido
, el ángulo de contacto o ángulo de capilaridad
fa, la fuerza adherente o fuerza de atracción entre la porción aislada y la pared
resulta, Fig I.10:
fa = σ2 sen α
σ3 - σ1 = σ2 cos α



⇒ tg α =
fa
σ3 - σ1
I.-10

sen α =
fa
σ2
cos α =
σ3 - σ1
σ2




⇒ (
fa
σ2
)2
+ (
σ3 - σ1
σ2
)2
= 1 ⇒ σ2
2
= fa
2
+ (σ3 - σ1 )2
= σ3 - σ1 =
fa
tg α
=
= fa
2
+ (
fa
tg α
)2
= fa
2
(1 + 1
tg2
α
) =
fa
2
sen2
α
Fig I.10.- Parámetros de capilaridad
Fig I.11.- Altura alcanzada en un capilar
por tensión superficial
Como conclusión se puede decir que, cuando:
(σ3
- σ1
) > 0, σ3
> σ1
⇒ tg α es (+), el líquido moja
(σ3 - σ1 ) < 0, σ3 < σ1 ⇒ tg α es (-), el líquido no moja
I.7.- ALTURA ALCANZADA POR UN LIQUIDO EN EL INTERIOR DE UN TUBO DE
PEQUEÑO DIÁMETRO
La columna líquida (ABCD) estará en equilibrio bajo la acción de su propio peso y de la componente
vertical de la fuerza de tensión superficial, que actúa sobre la circunferencia de intersección de la
columna líquida con el tubo, Fig I.11.
A partir de la componente vertical F se obtiene el de h:
F = 2 π r σ cos α = π r2 γ h ⇒ h =
2 σ cos α
r γ
siendoσ el coeficiente de tensión superficial, h la altura alcanzada por el líquido en el interior del capilar,
que es directamente proporcional al coeficiente de tensión superficial, y está en razón inversa de la den-
sidad del líquido ρ y del radio del tubo r.
Si α está muy próximo a 0, Fig I.11, la expresión anterior permite medir el coeficiente de tensión
superficial σ:
σ =
h r ρ g
2
Si admitimos que el menisco tiene forma esférica de radio R, el valor de la presión interior será:
h γ = p =
2 σ cos α
r =
2 σ
R
que es una depresión, para cuando el menisco tenga forma cóncava, y una sobrepresión para cuando
I.-11

tenga forma convexa.
Tabla I.3.- Valores del coeficiente de tensión superficial σ, dinas/cm
Líquido Tensión superficial Líquido Tensión superficial
dinas/cm dinas/cm
Mercurio en aire 523 Aceite lubricante 35,7-38,7
Mercurio en agua 401 Aceite crudo 23,8-38,7
Mercurio en vacío 495 Benzol 29,4
Agua 72,5 Petróleo 26
Glicerina 30 Alcohol etílico 22
Aceite de ricino 36,4 Tetracloruro de carbono 27,2
I.-12

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