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Problema nº1
¿Cuántos números de tres cifras distintas se pueden formar con los nueve dígitos no nulos
del sistema decimal? ¿Cuántos números se podrían formar, si los dígitos pueden repetirse?

Solución
• Se trata de hacer ordenaciones de tres dígitos tomados entre los nueve del conjunto: 1;
2; ...; 9. En total:
V9 ,3 = 9 ⋅ 8 ⋅ 7 = 504 números

- Si los dígitos pueden repetirse, el total de números de tres cifras que podemos formar es:
VR 9,3 = 9 3 = 729 números

Problema nº2
Se escriben en orden creciente las variaciones de cuarto orden sin repetición que se pueden
formar con los nueve dígitos significativos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, ¿qué lugar ocupa la
variación 3254?

Solución
En total se pueden formar V9, 4 = 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 3024 variaciones ordinarias.

Para ver la posición que ocupa la variación 3254, contaremos:
- Las que empiezan por 1: V8,3 = 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 336

- Las que empiezan por 2: V8,3 = 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 336

- Las que empiezan por 31: V7 , 2 = 7 ⋅ 6 = 42

- Las que empiezan por 321: V6 ,1 = 6

- Las que empiezan por 325: V6 ,1 = 6

• La variación 3251: sólo hay 1
• La variación 3252: sólo hay 1
Por tanto el lugar que ocupa la variación 3254 es la suma: 336 + 336 + 42 + 6 + 6 + 1 +
1 = 728
El lugar que ocupa es el 728.

Problema nº3
Halla el número de capicúas de 8 cifras. ¿Cuántos capicúas hay de 9 cifras?

Solución
• Capicúas de ocho cifras: Son de la forma: abcddcba.
Hay tantos como ordenaciones se pueden formar tomando cuatro dígitos (repetidos o no)
de entre los diez que hay en nuestro sistema decimal, por tanto:
VR 10, 4 = 10 4 = 10000
.
De estos 10000, la décima parte empiezan por 0, y hay que descontarlos, por lo tanto:
Capicúas de ocho cifras hay tantos como: 10000 - 1000 = 9000 capicúas.
• Capicúas de nueve cifras: Son de la forma: abcdedcba.
Hay tantos como ordenaciones se pueden formar tomando cinco dígitos (repetidos o no)
de entre los diez que hay en nuestro sistema decimal, por tanto:
VR 10,5 = 10 5 = 100000
.
De estos 100000, la décima parte empiezan por 0, y hay que descontarlos, por lo tanto:
Capicúas de nueve cifras hay tantos como: 100000 - 10000 = 90000 capicúas.

Ejercicio nº4
¿De cuantas formas se pueden colocar 10 cantores de un coro, si dos de ellos tienen que
estar siempre en los extremos? ¿Y si los tres barítonos, los tres tenores y las cuatro
sopranos, han de estar en tres filas, la primera formada por las sopranos, la segunda
formada por los barítonos y la tercera formada por los tenores?

Solución

- Cuando el coro se distribuye en una sola fila, con dos componentes en los extremos:
2 ⋅ P8 = 2 ⋅ 8!= 80640 formas de colocarse, debido a que los dos componentes situados en
los extremos de la fila, se pueden colocar (permutando) de dos formas, y los 8 restantes,
permutándose entre sí.
- Maneras de colocarse las 4 sopranos en una fila: P4 = 24 formas.

Maneras de colocarse los 3 tenores en una fila: P3 = 6 formas.

Maneras de colocarse los 3 barítonos en una fila: P3 = 6 formas.

Maneras de colocarse el coro: P4 ⋅ P3 ⋅ P3 = 24 ⋅ 6 ⋅ 6 = 864 maneras.

Problema nº5
¿De cuántas maneras se pueden colocar en una estantería 3 libros de Matemáticas, 4 de
Filosofía y 5 de Historia, todos ellos distintos? ¿De cuántas maneras se podrían colocar
esos libros, sabiendo que los de la misma materia han de estar todos juntos?

Solución
- Se trata de ordenar 3 + 4 + 5 = 12 volúmenes distintos en la estantería, por tanto
se pueden colocar de:
P12 = 12!= 479001600 maneras diferentes.
- En este segundo caso, se tienen que ordenar los siguientes conceptos:
Las materias, que hay 3: Matemáticas, Filosofía e Historia: P3 = 3!= 6 formas

Los libros de Matemáticas, hay 3: P3 = 3!= 6 formas

Los libros de Filosofía, hay 4: P4 = 4!= 24 formas

Los libros de Historia, haY 5: P5 = 5!= 120 formas
Combinando las posibilidades de materias, Matemáticas, Filosofía e Historia, se
tienen:
P3 ⋅ P3 ⋅ P4 ⋅ P5 = 6 ⋅ 6 ⋅ 24 ⋅ 120 = 103680 maneras diferentes.

Problema nº6
Una secretaria ha escrito 12 cartas dirigidas a 12 personas distintas, y sus correspondientes
sobres. A la hora de meter las cartas en los sobres la llaman por teléfono, y sin fijarse, va
introduciendo, al azar, las cartas en los sobres. ¿De cuántas formas distintas podrá rellenar

los sobres? ¿En cuántas de las formas anteriores ocurrirá que la dirigida a Don Armando
Guerra esté en su correspondiente sobre?

Solución
• Hay:
P12 = 12!= 479001600
formas distintas de rellenar los sobres.
• Si la de Don Armando Guerra está correcta, quedan 11 sobres por rellenar, lo cual
podrá hacerse de:
P11 = 11!= 39916800
formas distintas de rellenarlos.

Ejercicio nº7
Si disponemos de 7 botes de pintura de colores diferentes:
a) ¿Cuántas mezclas de 3 colores distintos podemos formar?
b) ¿Cuántas banderas tricolores podremos dibujar?

Solución
a) El resultado de la mezcla depende sólo de los colores que se mezclen, y no del orden en
el que intervengan.
Se trata por tanto, de un problema de combinaciones:
El número de mezclas posibles es:
7! 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4!
C 7,3 = = = 35
3!⋅4! 6 ⋅ 4!
b) En una bandera tricolor, el orden de colocación de los colores la diferencia de otra.
Se trata por tanto, de un problema de variaciones sin repetición:
V7 ,3 = 7 ⋅ 6 ⋅ 5 = 210
El número de banderas posibles es:

Problema nº8
Un número consta de cifras diferentes. Con ellas se pueden formar tantos números de dos
cifras distintas, como productos distintos se puedan hacer empleando tres cifras distintas.
¿Cuántas cifras tiene el número?

Solución
Si el número inicial consta de x dígitos distintos, se tiene:
• La cantidad de números que se pueden formar tomando dos dígitos de entre los x, es:
Vx , 2

• La cantidad de productos que pueden formarse empleando como factores tres de los x
dígitos es:
C x ,3

Por tanto, se tiene que verificar:
Vx , 2 = C x , 3

así que desarrollando, tenemos:
x ( x − 1)( x − 2)
x ( x − 1) = 6x ( x − 1) = x ( x − 1)( x − 2) x−2=6 x =8
3!
Por tanto el número está formado por 8 dígitos.

Problema nº9
En una finca rústica hay dispersas varias casetas de guardas, cada una de las cuales está
unida a cada una de las restantes por un camino. Calcula el número de casetas que hay,
sabiendo que el número de caminos es 36, y que no hay más de dos casetas que estén
situadas en el mismo camino.
Si por motivos de seguridad, el dueño de la finca decide añadir otras dos casetas a la finca
de las mismas características que las existentes, ¿cuántos caminos más tendrá que
construir?

Solución
• Si x es el número de casetas de la finca, se tiene:
x ( x − 1)
C x , 2 = 36 = 36 x 2 − x − 72 = 0 x = −8; x = 9
2!

Por tanto la finca tiene 9 casetas para guardas.
• Si el dueño coloca 2 casetas más, el número de casetas es 11, por tanto deberá construir:
11 ⋅ 10
C11, 2 − C 9, 2 = − 36 = 55 − 36 = 19
2!
caminos más

Problema nº10
¿Cuántos números de tres cifras se pueden formar con los dígitos pares 0, 2, 4, 6 y 8?
Calcula la suma de todos los números así formados.

Solución
• Los números de tres cifras significativas son de la forma abc con a ¹ 0.
Para calcular cuántos hay, restamos a las ordenaciones de tres dígitos, aquellas que
comienzan por 0, se tiene:
V5,3 − V4, 2 = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 − 4 ⋅ 3 = 60 − 12 = 48

números de tres cifras significativas.
• Sea S la suma de ésos 48 números, dicha suma es la diferencia entre la suma de las 60
ordenaciones primeras (N) y la suma (No) de los 12 números que empiezan por cero.
Cálculo de N:
Sea Su la suma de las unidades: en las unidades cada dígito (0, 2, 4, 6, 8) aparece 60:12
= 5 veces, por tanto, se tiene:
Su = 5×(0 + 2 + 4 + 6 + 8) = 100, siendo Sd y Sc la suma de las cifras de las decenas y
centenas respectivamente, se tiene:
Sd = 10× Su y Sc = 100× Su Por tanto: N = Su + Sd + Sc = 100 + 1000 + 10000 =
11100
Cálculo de No:
Sea Suo la suma de las unidades: en las unidades cada dígito (2, 4, 6, 8) aparece 12:4 = 3
veces, por tanto, se tiene:
Suo = 3×(2 + 4 + 6 + 8) = 60, siendo Sd la suma de las cifras de las decenas, se tiene: Sd
= 10× Su.
Por tanto: No = Su + Sd = 60 + 600 = 660

Siendo S = N - No = 11100 - 660 = 10440 es la suma pedida.

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