1º_sesión_2.ppt

POSTÍTULO DE EDUCACIÓN, MENCIÓN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
2021

Módulo:
Didáctica del álgebra
Sara Tarisfeño Vásquez

PATRONES
Un patrón es una sucesión de signos que se construyen siguiendo una regla o
algoritmo, ya sea de repetición o de recurrencia.

Patrones de repetición y recurrencia:
1. De repetición. En los que los distintos elementos son presentados en forma periódica.
Existen y se pueden crear diversos patrones de repetición, teniendo en cuenta su estructura
de base o núcleo.

Núcleo o Estructuras base de un patrón de repetición
 De la forma AB. Se repiten dos elementos alternadamente.
 De la forma ABC, Se repiten tres elementos.
 De la forma AABB, se repite dos veces un elemento y a continuación, dos veces otro.
 De la forma ABA. Se repiten dos elementos, pero el tercer elemento de ese núcleo,
es el primero de los dos elementos que se repiten, etc.

2. De recurrencia, donde el patrón cambia con regularidad. Cada término de la
sucesión puede ser expresado en función de los anteriores, de cuyo análisis, se infiere su
ley de formación.
En los ejercicios de regularidades numéricas se trata de encontrar cuál es la ley de
formación de la sucesión.

Seriación de distintos arbustos que
sigue un patrón (AB) y, se invita a los
alumnos a describir cómo están
colocados los arbustos
…con la mirada puesta en analizar
el patrón.
Se propone a los alumnos crear
seriaciones, siguiendo el patrón que
se indica en unas tarjetas: (AB),
(AAB) o (ABB).
Evidencias de algunos tipos de
representaciones obtenidas,
La representación de patrones en educación Infantil: una primera aproximación con alumnos de 4 años
(Acosta y Alsina 2019)
Se concluye que la exposición
a una variedad de patrones en
diferentes contextos, junto con
el papel del docente como guía
que anima a los alumnos a
justificar, transferir y
representar los patrones, son
componentes cruciales en la
acción de representar,
generalizar e iniciar el
pensamiento algebraico.
Patrones en Educación Parvularia
Tercer Nivel (Transición)
1 Crear patrones sonoros, visuales, gestuales,
corporales u otros, de dos o tres elementos.

Patrones en Educación Básica 5º básico
OA_14 Descubrir alguna regla que explique una
sucesión dada y que permita hacer predicciones.
(Texto escolar 5º básico
2018)
Tareas para el trabajo con patrones:
(a) continuar la sucesión;
(b) el número de elementos que componen las
figuras de términos lejanos;
(c) identificar la regla general;
(d) identificar la posición de una figura dado el
número de elementos.

Regularidades, sucesiones y sucesiones numéricas
Se llama sucesión a la secuencia de términos numéricos o geométricos, ordenados de
acuerdo a una Ley de Formación (regla, término general o fórmula).
Sucesiones de figurales (pictóricas)
Sucesión cuyos términos son figuras o gráficos cumplen cierta regularidad

Sucesiones aditivas
Son aquellas cuya regla de formación se obtiene por sumas de cantidades constantes
o variables. Se presenta los siguientes casos.
1. Por suma de cantidades constantes, por ejemplo:
a) 1, 5, 9, 13, 17, ___, ___, … b) 25, 22, 19, 16, 13, ___, ___, …
2. Por suma de cantidades variables que forman otra sucesión, por ejemplo:
a) 4, 5, 7, 10, 14, ___, ___, … a) 21, 20, 18, 15, 11, ___, ___, …

1. Por multiplicación de una cantidad constante, por ejemplo:
a) 2, 6, 18, 54, 162, ___, ___, … b) 48, 24, 12, 6, 3, ___, ___, …
2. Por multiplicación de cantidades variables que forman otra sucesión, por ejemplo:
a) 4, 8, 24, 96, 480, ___, ___, … b) 360, 72, 18, 6, 3, ___, ___, …
Sucesiones Multiplicativas
Son aquellas cuya regla de formación se obtiene por multiplicación de una cantidad
constante o variables. Se presentan los siguientes casos:

Definición: Una sucesión de números reales es una aplicación del conjunto de los
números naturales en los reales:
- A cada elemento de la sucesión lo denotamos por an término n-ésimo.
n 1 2 3 4 5 6 7 8 … 12 … n
an (Términos de la suseción) 1 3 5 7 9 11 13 15 … 23 … ?
Tenemos que buscar una regla que relacione el valor de cada término con el lugar que ocupa
en la sucesión.
El término general, permite calcular cualquier término de la sucesión.
Una sucesión asigna a cada número natural un
número real determinado de manera única.
n
a
n
IR
IN
:
a

 , con n ≥ 1

Una progresión aritmética es una sucesión recurrente en la que cada término, a excepción
del primero, se obtiene sumando al anterior un mismo número, d, que se llama diferencia
de la progresión.
Progresiones Aritméticas.
• Si d > 0 los números cada vez son mayores, se dice que la progresión es creciente.
• Si d < 0 los números cada vez son menores, se dice que la progresión es decreciente.
a1 = 2; a2 = 6; a3= 10 ; a4 = 14
Ejemplo 1: 2, 6, 10, 14, 18, … Ejemplo 2: 45, 42, 39, 36, 33, …

Término General De Una Progresión Aritmética
Determinar el término general del ejemplo anterior y de una progresión aritmética cualquiera:
Ejemplo 1: 2, 6, 10, 14, 18, …
……

a) 2, 9, 16, 23, 30,... b) 47, 44, 41, 38, 35, …
Calcular el término general de las siguientes sucesiones aritméticas

Una progresión geométrica es una sucesión recurrente en la que cada término, excepto el
primero, se obtiene multiplicando el anterior por un mismo número, r, llamado razón de la
progresión.
Progresiones Geométricas.
Ejemplo:
a) 2, 6, 18, 54, 162,… b) 5, 20, 80, 320, 1280, …

,...
81
16
,
27
8
,
9
4
,
3
2
a) 5, 20, 80, 320, 1280, … b)
Calcular el término general de las siguientes sucesiones aritméticas

Determinar el término general de las siguientes sucesiones figurales.
a)

Dada la siguiente sucesión
n an
1 4
2 7
3 10
4 13
5
6
7
…
n
Actividad 1

Generalización de patrones según su
estructura

Álgebra como generalización
Mason et al. (2005) resaltan que en la ruta hacia la generalización se necesitan
actos de “prestar cuidadosa atención” a detalles, especialmente a aquellos
aspectos que cambian y/o a los que se mantienen iguales. Esto se puede resumir
en la frase de Mason et al. (2005) “ver lo general a través de lo particular y ver lo
particular en lo general” (p. 310).
1. como un medio para resolver problemas;
2. el estudio de las funciones, es decir, de relaciones entre variables;
3. un lenguaje, considerando el álgebra como un medio de expresión de ideas
matemáticas, en otras palabras, como un sistema de representación.
4. la generalización de relaciones y el estudio de patrones y estructuras.
Se concibe como:

Encuentre el término general analizando en cada figura la estructura.
Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5
1. a)
1 + 1=2 2 + 2=4 3 + 3=6 4 + 4=8 5 + 5=10
El número de figura sumado dos veces n + n = 2•n
50+50=100
… Figura 50

1. b)
2 2 2 2 2
1 3
2 4 5
2•1 2•2 2•3 2•4 2•5
Dos por el número de figura 2•n = 2n
2•50=100
… Figura 50

2
2
1
1
3
3
4
4
5
5
1•1 2•2 3•3 4•4 5•5
12 22
32
42
30•30 =302
… Figura 30
2. a)
… Figura n
n•n=n2
52
el número de figura multiplicado por si mismo

1 1+3=4 4+5=9 9+7=16 16 + 9= 25
(n – 1)2 + (2n – 1)
2. b)
0+1= 1 12+3=4 22+5=9 32+7=16 42 + 9= 25
= n2 – 2n +1+ 2n – 1
= n2 – 2n + 2n +1– 1
= n2
= [n2 – 2n +1] + (2n – 1)
292+59=900
… Figura 30
el cuadrado del antecesor del número de
figura más el doble de la figura menos 1
… Figura n

figura 1 figura 2 figura 3
…
figura 4
3. a)
1•2 +1 2•3 +2 3•4 + 3 4•5 +4
el número de figura multiplicado su sucesor,
más el número de figura.
100•101+100
… Figura 100
n•(n + 1) + n
… Figura n
= n2 + 2n

3. b)
…
figura 4
12 +1 +1 22 +2 +2
32 + 3 + 3 42 +4+4
… Figura 100
1002 +100+100
… Figura n
n•n + n + n
el número de figura al cuadrado más el doble
del número de la figura
=n2 + 2n

3. c)
…
figura 4
22-1 32-1 42-1 52-1
(1 + 1)2 – 1 (2 + 1)2 – 1 (3 + 1)2 – 1 (4 + 1)2-1
(100+ 1)2-1
(n + 1)2 – 1 = n2. +2n +1 – 1
= n2. + 2n

El desarrollo progresivo del pensamiento algebraico
2º grado
3º grado
4º grado
La historia de Carlitos
(Radford 2014)
Carlos siempre contaba los rectángulos de forma ordenada
espacialmente. La estructura geométrica, sin embargo, no llega a
relacionarse con la numérica de manera significativa y eficiente.
Entonces, debemos dibujar 5 así (mediante un gesto vertical indica el
lugar donde se debe dibujar la parte vertical) y (haciendo un gesto
horizontal) 5 así ”
Carlos percibió los términos divididos en dos “filas”
Debían explicar a un estudiante imaginario cómo construir un “gran
término” de la secuencia
"Necesita [poner tantos cuadrados blancos como] el número del
término en la parte superior e inferior, más un cuadrado oscuro en la
parte superior".
La percepción, lenguaje y
simbolización se desarrollan
paulatinamente. Las relaciones que
no estaba presente en el segundo
grado y no se desarrolló
completamente en el tercer grado,
evolucionan en cuarto grado.

Observe la siguiente figura
1. ¿Cómo calcularías el número de círculos de la figura 150? Y ¿de una figura cualquiera?
2. Si la figura tiene 97 círculos, ¿qué número de figura es?
ACTIVIDAD

1. Calcular el término general de las siguientes sucesiones geométricas, con respecto a:
a) nº de círculos
b) nº de cuadrado verdes
c) nº de segmentos
Actividades adicionales
d) nº de hexágonos

a) 2, 9, 16, 23, 30,...
2. Calcular el término general de las siguientes sucesiones aritméticas
,...
29
5
,
23
4
,
17
3
,
11
2
,
5
1
c)
,...
81
16
,
27
8
,
9
4
,
3
2
d)
b) 7, 11, 15, 19,...

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4
Análisis de la estructura del patrón
Figura 5 Figura 6
n 1 2 3 4 5 6 … 30 … n n +1
Nº de figura 
Nº de círculos 
an=2•n+1
an
a1 a3
a2 a4 a6
a5 a30 an

1. ¿En qué nivel escolar es posible tratar este problema?, ¿por qué?,
2. ¿Qué dificultades podría tener un niño en la resolución del problema?
3. Si el problema de la actividad se presentara con la siguiente estructura
espacial.
Figura 1 Figura 2 Figura 3
¿Qué dificultades podría tener un niño en la resolución del problema?
Reflexión
2 + 1. 3 + 2 4 + 3 5 + 4 …. 11+ 10 (n + 1 +n) =2n +1

Referencias
Mason, J. (1996). Expressing generality and roots of algebra. En N. Bednarz, C. Kieran y
L. Lee (Eds.), Approaches to algebra. Perspectives for research and teaching (pp. 65-86).
Dordrecht/Boston/London: Kluwer.

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