2013p3
0 recomendaciones197 vistas
Este documento presenta 22 ejercicios sobre álgebra lineal relacionados con transformaciones lineales entre espacios vectoriales. Los ejercicios incluyen determinar si ciertas aplicaciones son transformaciones lineales, interpretar transformaciones geométricamente, calcular núcleos e imágenes, y encontrar bases y matrices de transformaciones lineales respecto a diferentes bases.
![Departamento de Matem´atica - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - UBA 1
ALGEBRA LINEAL - Pr´actica N◦
3 - Segundo cuatrimestre de 2013
Transformaciones lineales
Ejercicio 1. Determinar cu´ales de las siguientes aplicaciones son transformaciones lineales.
i) f : R3 → R2, f(x1, x2, x3) = (x2 − 3.x1 +
√
2.x3 , x1 − 1
2.x2)
ii) f : R2 → R2, f(x1, x2) = (x1 + x2 , |x1|)
iii) f : C → C , f(z) = z (considerando a C como R-espacio vectorial y como C-espacio vectorial)
iv) f : R2×2 → R2×3, f
a11 a12
a21 a22
=
a22 0 a12 + a21
0 a11 a22 − a11
v) f : R2[X] → R3, f(p) = (p(0), p (0), p (0))
Ejercicio 2. Interpretar geom´etricamente las siguientes aplicaciones lineales f : R2 → R2.
i) f(x, y) = (x, 0)
ii) f(x, y) = (x, −y)
iii) f(x, y) = (x. cos t − y. sen t , x. sen t + y. cos t)
Ejercicio 3. Encontrar una funci´on f : V → V (para un K-espacio vectorial V conveniente) que
cumpla f(v + w) = f(v) + f(w) para cualquier par de vectores v , w ∈ V pero que no sea una
transformaci´on lineal. An´alogamente, encontrar una funci´on g : V → V que cumpla g(k.v) = k.g(v)
para cualquier escalar k ∈ K y cualquier vector v ∈ V , pero que no sea una transformaci´on lineal.
Ejercicio 4.
i) Probar que existe una ´unica transformaci´on lineal f : R2 → R2 tal que f(1, 1) = (−5, 3) y
f(−1, 1) = (5, 2). Para dicha f, determinar f(5, 3) y f(−1, 2).
ii) ¿Existir´a una transformaci´on lineal f : R2 → R2 tal que f(1, 1) = (2, 6), f(−1, 1) = (2, 1) y
f(2, 7) = (5, 3)?
iii) Sean f, g : R3 → R3 transformaciones lineales tales que
f(1, 0, 1) = (1, 2, 1), f(2, 1, 0) = (2, 1, 0), f(−1, 0, 0) = (1, 2, 1),
g(1, 1, 1) = (1, 1, 0), g(3, 2, 1) = (0, 0, 1), g(2, 2, −1) = (3, −1, 2).
Determinar si f = g.
iv) Hallar todos los a ∈ R para los cuales exista una transformaci´on lineal f : R3 → R3 que
satisfaga que f(1, −1, 1) = (2, a, −1) , f(1, −1, 2) = (a2, −1, 1) y f(1, −1, −2) = (5, −1, −7).
v) Hallar una f´ormula para todas las tranformaciones lineales f : R2[X] → R2 que satisfacen
f(X2 + X − 1) = (1, 2), f(2X + 3) = (−1, 1) y f(X2 − X − 4) = (2, 1).
Ejercicio 5. Cuando sea posible, calcular bases del n´ucleo y de la imagen para cada tranfor-
maci´on lineal de los Ejercicios 1 y 4 y decidir, en cada caso, si f es epimorfismo, monomorfismo o
isomorfismo. Si f es un isomorfismo, calcular f−1.
Ejercicio 6. Sean f : R3 → R4, f(x1, x2, x3) = (x1 + x2, x1 + x3, 0, 0) y g : R4 → R2,
g(x1, x2, x3, x4) = (x1 − x2, 2x1 − x2). Calcular el n´ucleo y la imagen de f, de g y de g ◦ f.
Decidir si son monomorfismos, epimorfismos o isomorfismos.
Ejercicio 7. Sean g : V → V y f : V → V transformaciones lineales. Probar:](https://image.slidesharecdn.com/2013p3-150802211852-lva1-app6891/85/2013p3-1-320.jpg)
![Departamento de Matem´atica - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - UBA 3
Ejercicio 12. Sea S = < (1, 1, 0, 1), (2, 1, 0, 1) > ⊆ R4.
i) Hallar una transformaci´on lineal f : R4 → R2 tal que Nu(f) = S.
ii) Hallar ecuaciones para S (usar i)).
iii) Hallar un sistema de ecuaciones lineales cuyo conjunto de soluciones sea
< (1, 1, 0, 1), (2, 1, 0, 1) > + (0, 1, 1, 2).
Ejercicio 13.
i) Sea S ⊆ Kn el conjunto de soluciones de un sistema lineal homog´eneo. Encontrar una
transformaci´on lineal f : Kn → Kn tal que Nu(f) = S.
ii) Sea T ⊆ Kn el conjunto de soluciones de un sistema lineal no homog´eneo. Encontrar una
transformaci´on lineal f : Kn → Kn y un vector y ∈ Kn tales que T = f−1(y).
Ejercicio 14. Sea f : V → V una tranformaci´on lineal y sean B, B bases de V . Calcular |f|BB
en cada uno de los siguientes casos:
i) V = R3, f(x1, x2, x3) = (3.x1 − 2.x2 + x3, 5.x1 + x2 − x3, x1 + 3.x2 + 4.x3),
B = {(1, 2, 1), (−1, 1, 3), (2, 1, 1)} y B = {(1, 1, 0), (1, 2, 3), (−1, 3, 1)}
ii) V = C2, f(x1, x2) = (2.x1 − i.x2, x1 + x2), B = B es la base can´onica de C2 como C-espacio
vectorial.
iii) V = C2, f(x1, x2) = (2.x1 − i.x2, x1 + x2), B = B = {(1, 0), (0, 1), (i, 0), (0, i)} considerando
a C2 como R-espacio vectorial.
iv) V = R4[X], f(P) = P , B = B = {X4, X3, X2, X, 1}
Ejercicio 15. Sean B = {v1, v2, v3} una base de R3 y B = {w1, w2, w3, w4} una base de R4. Sea
f : R3 → R4 la transformaci´on lineal tal que
|f|BB =
1 −2 1
−1 1 −1
2 1 4
3 −2 5
i) Hallar f(3.v1 + 2.v2 − v3). ¿Cu´ales son sus coordenadas en la base B ?
ii) Hallar una base de Nu(f) y una base de Im(f).
iii) Describir el conjunto f−1(w1 − 3.w3 − w4).
Ejercicio 16. Sea V un K-espacio vectorial y B = {v1, v2, v3, v4} una base de V . Sea f : V → V
la transformaci´on lineal tal que
|f|B =
1 1 1 1
1 1 1 0
1 1 0 0
1 0 0 0
Hallar |f−1|B y calcular f−1(v1 − 2.v2 + v4).
Ejercicio 17. Sea V un K-espacio vectorial de dimensi´on finita y sea B una base de V .](https://image.slidesharecdn.com/2013p3-150802211852-lva1-app6891/85/2013p3-3-320.jpg)
2013p3
- 1. Departamento de Matem´atica - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - UBA 1 ALGEBRA LINEAL - Pr´actica N◦ 3 - Segundo cuatrimestre de 2013 Transformaciones lineales Ejercicio 1. Determinar cu´ales de las siguientes aplicaciones son transformaciones lineales. i) f : R3 → R2, f(x1, x2, x3) = (x2 − 3.x1 + √ 2.x3 , x1 − 1 2.x2) ii) f : R2 → R2, f(x1, x2) = (x1 + x2 , |x1|) iii) f : C → C , f(z) = z (considerando a C como R-espacio vectorial y como C-espacio vectorial) iv) f : R2×2 → R2×3, f a11 a12 a21 a22 = a22 0 a12 + a21 0 a11 a22 − a11 v) f : R2[X] → R3, f(p) = (p(0), p (0), p (0)) Ejercicio 2. Interpretar geom´etricamente las siguientes aplicaciones lineales f : R2 → R2. i) f(x, y) = (x, 0) ii) f(x, y) = (x, −y) iii) f(x, y) = (x. cos t − y. sen t , x. sen t + y. cos t) Ejercicio 3. Encontrar una funci´on f : V → V (para un K-espacio vectorial V conveniente) que cumpla f(v + w) = f(v) + f(w) para cualquier par de vectores v , w ∈ V pero que no sea una transformaci´on lineal. An´alogamente, encontrar una funci´on g : V → V que cumpla g(k.v) = k.g(v) para cualquier escalar k ∈ K y cualquier vector v ∈ V , pero que no sea una transformaci´on lineal. Ejercicio 4. i) Probar que existe una ´unica transformaci´on lineal f : R2 → R2 tal que f(1, 1) = (−5, 3) y f(−1, 1) = (5, 2). Para dicha f, determinar f(5, 3) y f(−1, 2). ii) ¿Existir´a una transformaci´on lineal f : R2 → R2 tal que f(1, 1) = (2, 6), f(−1, 1) = (2, 1) y f(2, 7) = (5, 3)? iii) Sean f, g : R3 → R3 transformaciones lineales tales que f(1, 0, 1) = (1, 2, 1), f(2, 1, 0) = (2, 1, 0), f(−1, 0, 0) = (1, 2, 1), g(1, 1, 1) = (1, 1, 0), g(3, 2, 1) = (0, 0, 1), g(2, 2, −1) = (3, −1, 2). Determinar si f = g. iv) Hallar todos los a ∈ R para los cuales exista una transformaci´on lineal f : R3 → R3 que satisfaga que f(1, −1, 1) = (2, a, −1) , f(1, −1, 2) = (a2, −1, 1) y f(1, −1, −2) = (5, −1, −7). v) Hallar una f´ormula para todas las tranformaciones lineales f : R2[X] → R2 que satisfacen f(X2 + X − 1) = (1, 2), f(2X + 3) = (−1, 1) y f(X2 − X − 4) = (2, 1). Ejercicio 5. Cuando sea posible, calcular bases del n´ucleo y de la imagen para cada tranfor- maci´on lineal de los Ejercicios 1 y 4 y decidir, en cada caso, si f es epimorfismo, monomorfismo o isomorfismo. Si f es un isomorfismo, calcular f−1. Ejercicio 6. Sean f : R3 → R4, f(x1, x2, x3) = (x1 + x2, x1 + x3, 0, 0) y g : R4 → R2, g(x1, x2, x3, x4) = (x1 − x2, 2x1 − x2). Calcular el n´ucleo y la imagen de f, de g y de g ◦ f. Decidir si son monomorfismos, epimorfismos o isomorfismos. Ejercicio 7. Sean g : V → V y f : V → V transformaciones lineales. Probar:
- 2. Departamento de Matem´atica - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - UBA 2 i) Nu(g) ⊆ Nu(f ◦ g). ii) Si Nu(f) ∩ Im(g) = {0}, entonces Nu(g) = Nu(f ◦ g). iii) Im(f ◦ g) ⊆ Im(f). iv) Si Im(g) = V , entonces Im(f ◦ g) = Im(f). Ejercicio 8. i) Sean S, T ⊂ R4 definidos por S = {(x1, x2, x3, x4)/ x1 + x2 + x3 = 0} y T = {(x1, x2, x3, x4) / 2.x1 + x4 = 0 , x2 − x3 = 0}. ¿Existir´a alg´un isomorfismo f : R4 → R4 tal que f(S) = T? ii) ¿Existir´a alg´un monomorfismo f : R3 → R2? iii) ¿Existir´a alg´un epimorfismo f : R2 → R3? iv) Sean v1 = (1, 0, 1, 0), v2 = (1, 1, 1, 0) y v3 = (1, 1, 1, 1). ¿Existir´a alguna transformaci´on lineal f : R2 → R4 tal que {v1, v2, v3} ⊂ Im(f)? Ejercicio 9. En cada uno de los siguientes casos encontrar una transformaci´on lineal f : R3 → R3 que verifique lo pedido: i) (1, 1, 0) ∈ Nu(f) y Nu(f) ∩ Im(f) = {0} ii) Nu(f) ∩ Im(f) = < (1, 1, 2) > iii) f = 0 y Nu(f) ⊆ Im(f) iv) f = 0 y f ◦ f = 0 vi) Nu(f) = {0}, Im(f) = {0} y Nu(f) ∩ Im(f) = {0} Ejercicio 10. En cada uno de los siguientes casos construir un proyector f : R3 → R3 que cumpla: i) Im(f) = {(x1, x2, x3)/x1 + x2 + x3 = 0} ii) Nu(f) = {(x1, x2, x3)/x1 + x2 + x3 = 0} iii) Nu(f) = {(x1, x2, x3)/3.x1 − x3 = 0} e Im(f) = < (1, 1, 1) > Ejercicio 11. Sea V un K-espacio vectorial y sea f : V → V una transformaci´on lineal. Se dice que f es nilpotente si ∃ s ∈ N / fs = 0. i) Probar que si f es nilpotente, entonces f no es ni monomorfismo ni epimorfismo. ii) Si V es de dimensi´on n probar que f es nilpotente ⇐⇒ fn = 0. (Sugerencia: considerar si las inclusiones Nu(fi) ⊆ Nu(fi+1) son estrictas o no). iii) Sea B = {v1, . . . , vn} una base de V . Se define la transformaci´on lineal f : V → V de la siguiente forma: f(vi) = vi+1 si 1 ≤ i ≤ n − 1 0 si i = n Probar que fn = 0 y fn−1 = 0.
- 3. Departamento de Matem´atica - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - UBA 3 Ejercicio 12. Sea S = < (1, 1, 0, 1), (2, 1, 0, 1) > ⊆ R4. i) Hallar una transformaci´on lineal f : R4 → R2 tal que Nu(f) = S. ii) Hallar ecuaciones para S (usar i)). iii) Hallar un sistema de ecuaciones lineales cuyo conjunto de soluciones sea < (1, 1, 0, 1), (2, 1, 0, 1) > + (0, 1, 1, 2). Ejercicio 13. i) Sea S ⊆ Kn el conjunto de soluciones de un sistema lineal homog´eneo. Encontrar una transformaci´on lineal f : Kn → Kn tal que Nu(f) = S. ii) Sea T ⊆ Kn el conjunto de soluciones de un sistema lineal no homog´eneo. Encontrar una transformaci´on lineal f : Kn → Kn y un vector y ∈ Kn tales que T = f−1(y). Ejercicio 14. Sea f : V → V una tranformaci´on lineal y sean B, B bases de V . Calcular |f|BB en cada uno de los siguientes casos: i) V = R3, f(x1, x2, x3) = (3.x1 − 2.x2 + x3, 5.x1 + x2 − x3, x1 + 3.x2 + 4.x3), B = {(1, 2, 1), (−1, 1, 3), (2, 1, 1)} y B = {(1, 1, 0), (1, 2, 3), (−1, 3, 1)} ii) V = C2, f(x1, x2) = (2.x1 − i.x2, x1 + x2), B = B es la base can´onica de C2 como C-espacio vectorial. iii) V = C2, f(x1, x2) = (2.x1 − i.x2, x1 + x2), B = B = {(1, 0), (0, 1), (i, 0), (0, i)} considerando a C2 como R-espacio vectorial. iv) V = R4[X], f(P) = P , B = B = {X4, X3, X2, X, 1} Ejercicio 15. Sean B = {v1, v2, v3} una base de R3 y B = {w1, w2, w3, w4} una base de R4. Sea f : R3 → R4 la transformaci´on lineal tal que |f|BB = 1 −2 1 −1 1 −1 2 1 4 3 −2 5 i) Hallar f(3.v1 + 2.v2 − v3). ¿Cu´ales son sus coordenadas en la base B ? ii) Hallar una base de Nu(f) y una base de Im(f). iii) Describir el conjunto f−1(w1 − 3.w3 − w4). Ejercicio 16. Sea V un K-espacio vectorial y B = {v1, v2, v3, v4} una base de V . Sea f : V → V la transformaci´on lineal tal que |f|B = 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 Hallar |f−1|B y calcular f−1(v1 − 2.v2 + v4). Ejercicio 17. Sea V un K-espacio vectorial de dimensi´on finita y sea B una base de V .
- 4. Departamento de Matem´atica - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - UBA 4 i) Sea tr : Hom(V, V ) → K la aplicaci´on definida por tr(f) = tr(|f|B). Probar que tr(f) no depende de la base B elegida. tr(f) se llama la traza del endomorfismo f. ii) Probar que tr : Hom(V, V ) → K es una transformaci´on lineal. Ejercicio 18. Sean B = {v1, v2, v3}, U = {v1 + v3, v1 + 2.v2 + v3, v2 + v3} y U = {w1, w2, w3} bases de R3, y sea E la base can´onica de R3. Sea f : R3 → R3 la transformaci´on lineal tal que |f|BE = 1 −1 3 2 1 1 3 2 1 y |f|UU = 1 1 0 0 1 1 0 0 1 Determinar U . Ejercicio 19. i) Sea f : R4 → R4 la trasformaci´on lineal definida por f(x1, x2, x3, x4) = (0, x1, x1 + x2, x1 + x2 + x3) y sea v = (1, 0, 0, 0). Probar que B = {v, f(v), f2(v), f3(v)} es una base de R4. Calcular |f|B. ii) Sea V un K-espacio vectorial de dimensi´on n y sea f : V → V una tranformaci´on lineal tal que fn = 0 y fn−1 = 0. Probar que existe una base B de V tal que (|f|B)ij = 1 si i = j + 1 0 si no (Sugerencia: elegir v1 /∈ Nu(fn−1)). Ejercicio 20. Sea V un K-espacio vectorial de dimensi´on n y sea f : V → V un proyector. Probar que existe una base B de V tal que (|f|B)ij = 1 si i = j ; i ≤ dim(Im(f)) 0 si no Ejercicio 21. Sea f : R3 → R3 definida por f(x1, x2, x3) = (x1 + x2 − x3, 2.x1 − 3.x2 + 2.x3, 3.x1 − 2.x2 + x3) i) Determinar bases B y B de R3 tales que |f|BB = 1 0 0 0 1 0 0 0 0 . ii) Si A es la matriz de f en la base can´onica, encontrar matrices C, D ∈ GL(3, R) tales que C.A.D = 1 0 0 0 1 0 0 0 0 .
- 5. Departamento de Matem´atica - Facultad de Ciencias Exactas y Naturales - UBA 5 Ejercicio 22. Sean A ∈ Km×n, b ∈ Km. Se considera el sistema A.x = b y sea (A | b) su matriz ampliada. Probar que A.x = b tiene soluci´on ⇐⇒ rg(A) = rg(A | b). Ejercicio 23. Sea A ∈ Km×n, rg(A) = s y sea T = {X ∈ Kn×r/ A.X = 0}. Calcular dim T. Ejercicio 24. Sean A ∈ Km×n y B ∈ Kn×r. Probar que rg(A.B) ≤ rg(A) y rg(A.B) ≤ rg(B). Ejercicio 25. Sean A, D ∈ R3×3, A = 1 1 −1 2 −3 2 3 −2 1 y D = 1 1 0 0 1 1 −1 0 1 i) Determinar C1 , C2 , C3 y C4 ∈ GL(3, R) tales que C1.A.C2 = C3.D.C4 = 1 0 0 0 1 0 0 0 0 ii) Determinar f ∈ Hom(R3, R3) y bases B, B , B1 y B1 de R3 tales que |f|BB = A y |f|B1B1 = D. Ejercicio 26. Dadas A, B ∈ Rn×n, decidir si existen matrices P, Q ∈ GL(n, R) tales que A = P.B.Q. i) n = 2, A = 2 3 4 6 , B = 5 8 1 2 ii) n = 3, A = 1 0 5 2 1 0 0 1 0 , B = 3 8 5 2 2 0 0 7 0 Ejercicio 27. Sean A, B ∈ Kn×n. Recordamos que se dice que A es semejante a B (y se nota A ∼ B) si existe C ∈ GL(n, K) tal que A = C.B.C−1. i) Sean A, A ∈ Kn×n tales que A ∼ A . Probar que tr(A) = tr(A ). ii) Sean A = 1 −1 1 2 3 −5 4 1 3 y A = 1 1 0 0 1 1 1 0 1 en R3×3. ¿Existen f ∈ Hom(R3, R3) y bases B y B de R3 tales que |f|B = A y |f|B = A ?