2014 iii 07 cocientes notables

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS
Ciclo 2014-III

Tablilla
Babilónica

ÁLGEBRA

Semana Nº 07

“COCIENTES NOTABLES”
COCIENTES NOTABLES

CASOS DE COCIENTES NOTABLES

Son aquellas divisiones algebraicas en
las cuales el cociente y el residuo de la
división se obtienen sin mediar
algoritmo correspondiente, o sea sin
necesidad de efectuar la operación.
La división es exacta (esto es, el resto
es nulo).
Estos casos especiales son de la
forma general.

Existen cuatro casos de cocientes
notables,
que
se
determinan
combinando convenientemente los
signos; las cuales son:

xn  an
xa

;

xn  an
xa

;

xn  an
xa

;

xn  an
xa

PRIMER CASO:

x a
n

xn  an
xa

n

xa

A. Cálculo del Resto:
Por el
teorema del resto.
x-a = 0  x=a
R=an-an=0
 R=0
Esto indica que para cualquier
valor entero de “n”, será siempre
exacta por lo tanto es un cociente
notable.

Donde: x, a son las bases
nN  n2
Condiciones que deben cumplir
a) Deben tener las bases iguales.
b) Deben tener los exponentes
iguales.

B. Cálculo del cociente:
Así:

xn  an
xa

Numéricamente:

xn  an
 x n1  x n2 a  x n3 a 2  .....  xan2  a n1
xa

Donde “n” es par o impar
Ejemplo: Calcular el cociente en
forma directa de:

x10  a10
xa

x 4  a4
x a
Centro Preuniversitario de la UNS

1

S-07 Ingreso Directo

 x 3  x 2 a  xa 2  a 3

Lic. José Azañero – Lic. Walter Torres-Lic. Saul Barron-Lic. Alex Rios

SEGUNDO CASO:

x a
n

Si:n=# impar 
(cociente exacto):

n

x a

x a
xa

 x n1  x n2 a  x n3 a 2  ....  a n1 

Donde “n” es impar.
Ejemplo: Calcular el cociente en
forma directa de:

x 5  a5
x a

 x 4  x 3a  x 2a2  xa3  a 4

CUARTO CASO:

x a
2a
xa

A. Cálculo del resto.- Por el teorema
del resto.
x+a=0  x=-a
R=(-a)n-an
Si:n = # par =an-an=0 (cociente
exacto)
Si:n
=
#
imparR=-an-an=2an0(cociente completo)
B. Cálculo del cociente.-

xn  an
xa

xn  an
 x n1  x n2 a  x n3 a 2  ...  xa n2  a n1
xa
Donde “n” es par.

A. Cálculo del Resto: Por el teorema
del resto.
x+a=0  x=-a
R=(-a)n+an

Donde “n” es par.

Si:n=# par  R=an+an=2an0
(cociente completo)

x n  an

n

Donde “n” es par o impar.
Importante:
Excluiremos
el
presente caso debido a que la
división no es exacta, en
consecuencia no es un cociente
notable.

TERCER CASO:

-an+an=0

xn  an
 x n1  x n2 a  x n3 a 2  ...  xa n2  a n1
xa

B. Cálculo del cociente:
n

R=

B. Cálculo del cociente.-

A. Cálculo del resto: Por el teorema
del resto.
x-a=0  x=a
R=an+an
 R=2an0
Vemos que en éste caso para
cualquier valor de “n” el resto es
siempre diferente de cero por lo
cual el cociente que se obtiene
será siempre un cociente completo
y nunca un cociente exacto.

n

Álgebra.

2



FÓRMULA DEL TÉRMINO GENERAL
Es una fórmula que nos permite
encontrar un término cualquiera en el
desarrollo de los cocientes notables
sin necesidad de conocer los demás:

Ejemplo: En el cociente notable de:

x 60  y 60
xy
Hallar el término de lugar 15.
Resolución:
Recordando en

Sabemos que:
x  an
       ...  xa n  2  a n 1
x n 1 x n 2a x n 3a 2

xa
t
t
t
n

1

Donde:

2

xn  y n
xy

3

 t15 = x60-15 . y15-1
 t15=x45y14
LEYES DE UN COCIENTE
NOTABLE

n-69 68

a

I.

En General
tk=

x

n-k k-1

a

 tk=xn-kyk-1

En el problema n=60  k=15

t1=xn-1=xn-1a°
t2=xn-2a=xn-1a1
t3=xn-3a2=xn-3a2
t69=……..=x

Álgebra.

; 1 k  n



signo

Si la división tiene la forma que origina un
cociente notable, el exponente que se repite en
el dividendo indica el número de términos del
cociente.
a)

Donde: K es el lugar pedido
N  es el exponente de las bases
en el numerador
El signo  se colocará de
acuerdo al caso que corresponda.

b)

x100  y100
# de tér min os 100
x y

x 200  y 300
x4  y 6



( x 4 )50  ( y 6 )50
x4  y 6

# de términos = 50
II.

REGLA PARA EL SIGNO
a) Cuando el divisor es de la forma
(x-a):

El cociente se caracteriza por ser completo y
ordenado respecto a sus bases; además de
ser homogéneo respecto a las mismas.

Todos son positivos (+)

III. El primer término del desarrollo se obtiene
dividiendo el primer término del dividendo entre
el primero del divisor.

b) Cuando el divisor es de la forma
(x+a) y si:

IV. A partir del segundo término los exponentes de
la primera base disminuyen de uno en uno,
mientras que los de la segunda van
aumentando de uno en uno.

K=# impar  (positivo +)
K=# par  (negativo -)


3



V.

Si el divisor es un binomio diferencia (x-a)
todos los términos del cociente serán positivos;
pero si es un binomio suma (x+a) los términos
del cociente serán alternados (los de lugar
impar positivos y los de lugar par negativos).

Álgebra.

Resolución


Como origina un cociente notable:

n 1
2

VI. Solo cuando “n” es impar, las bases del
término central tendrán igual exponente.

200



4

 n+1=(50)(2)
n=100-1
 n=99

Ejemplo:

PROBLEMAS RESUELTOS

x7  a7
 x 6  x 5 a  x 4 a 2  x 3 a 3  x 2 a 4  xa 5  a 6
xa

VII. Para calcular un término cualquiera contando
de derecha a izquierda, sólo basta con
intercambiar las bases tanto en el numerador
como en el denominador, para luego aplicar la
fórmula del término general.

1)

x 7  a7
xa

x121  a121

a121  x121

=

Solución:

ax

N° términos =

t35=a121-35x35-1=x34a86

x m  an
x p  aq

1000 2000

100
200

= 10

3) Halla “m” para que sea un cociente
notable:

origina un cociente notable

x 3m  2 51
x 3  23

m n

Entonces se cumple:
p q
m n
  número de términos
Además:
p q

Ejemplo: si

de

x 1000  y 2000
x 100  y 200

Resolución:
Intercambiando las bases:

Si:

luego

2) Calcula el número de términos en:

x a

VIII.

5,

Solución:
t5 = x7-5 a5-1
t5 = x2a4

Ejemplo: Calcular el término 35 contando a
partir de derecha a izquierda del desarrollo de:

Luego:

Halla el término
desarrollar:

x n 1  y 200
x2  y 4

Solución:
3m 51


3
3

m= 17

origina un

4) ¿Cuántos términos tiene el C.N?

cociente notable, calcular el valor de “n”.

x 4m  y5m
x 4  y5


17

4


; si T5 es de grado 32.


Solución:

3. Hallar el número de términos del

x   y 
4 m

Álgebra.

siguiente
cociente
notable:
78 6
72 8
.... x y  x y  .....
a) 15
b) 13 c) 30
d) 17 e) 34

5 m

x4  y5
T5 = (x 4 ) m - 5 (y 5) 4
Luego : 4(m – 5) + 5(4) = 32
4m - 20 + 20 = 32
m=8
Luego el C.N. tiene: 8 términos
5) Halla “n” y el número de términos del
C.N.

4. Calcular el valor numérico del
término de lugar 25 del cociente
notable
originado
al
dividir:
31
31
1
3x  2  3x 
Para: x  
3
6x  2
a) 64
b) -1 c) 1 d) 729 e) 4096

x30  y 45
2

n

x y

5. Si la división:

x
genera un cociente notable que tiene

30 45
Solución:
n=3

2
n
30
Luego :
= 15 términos
2



x15  y15
x y

“n”,
tal
que:
n 2  35n  300  0; si la división:
x n 1 y  x n 1   y  1n
genera un
xy  x   y  12
cociente notable. Donde: n  Z .
a) 20
b) 15 c) -15
d) 10 e) -20

EJERCICIOS PROPUESTOS

7. En el desarrollo del siguiente cociente

1. Hallar el número de términos que



el

siguiente

producto:



notable:

a) 25

34n



 x 33n  x 32n  ... x n  1
b) 40 c) 35
d) 30 e) 45

8. Si el desarrollo del cociente notable:

2. Hallar el valor numérico del término

x9  y a

central en el desarrollo de:
x 7 m 3  y 7 m 12
Siendo: x  1  y  1
x m 3  y m  4
a) 4096 b) 2048 c) 1024 d) 256 e) 1


x 51  x 34

el número de
x 3  x 2
términos fraccionarios es:
a) 9
b) 6
c) 5
d) 8
e) 7

P  x 34n  x 33n  x 32n  ......... 1


x

b

6. Halle

x15-7 y7-1
x8 y 6

tendrá



2
un término de la forma: a x  1 .
2
2
Halle: a  b
a) 13
b) 25 c) 37 d) 29 e) 41

6) Halla el 7° término del cociente:

Solución:
t7 =
t7 =

x  111  x  111

x  yb

xy r

posee un término de la forma

con b  N , entonces el máximo
valor que puede admitir “ a ” es:
a) 45
b) 18
c) 63
d) 27 e) 36

5



14. ¿Qué relación debe cumplir k  n

9. Calcular el término de lugar 32 en el
siguiente

cociente

notable:

para que la expresión sea un cociente

8 x  x  15
2

notable?

1  31 x  4
a) x-4
b) x-3

c) x-2

10. Si la división:

d) x+4 e) x-8

x  y 

44



 x  y 

Álgebra.

x k  n y kn  y k

3

 n 3  kn

xy kn  y k n
2

2

a) k/n =1 b) k/n = 2 c) kn=1 d) kn=2 e) 0

44



8 xy x 2  y 2
genera un cociente notable, calcular el
valor numérico del término central.
Para x  2  y  1
20
a) 6
b) 340
c) 320 d) 420 e) 820

15. Si un término del cociente notable que

11. Si el término “k” contando a partir del

16. Si:

x m  y m n
resulta de dividir: 3 m
x y  y m 2 es
x12 . Hallar el valor de (m+n)
a) 51
b) 52
c) 53
d) 54 e) 55

extremo

final del desarrollo del
x 150  y 60
cociente notable:
tiene
x5  y 2
como grado absoluto 91. Calcular el
grado absoluto del Tk  2 contando a
partir del primero.
a) 114
b) 118 c) 116 d) 106 e) 126

E ( x) 

x 20  x18  ...  x 2  1
x11  1

x10  x9  x8  ...  x  1 x  1

Hallar: E (-1/3).
a) -1/9 b) -1/3

x78  x76  x74  ...  x 2  1 40
x
x38  x36  x34  ...  x 2  1
36
41
42
a) 0
b) 1 c) x c) x e) x
E

18. Calcular el residuo de la división:
1998 1997  1

desarrollado como término central a

x y . Evaluar J  p  3m  20
a) 1

70

b) 2

c) 3

d) 4

1997

a) 1

e) 5

x   y

manera que en el cociente notable:

x3  y4

am  bm
; para (m = impar) el
am  b
m

a) 20

grado absoluto del término que ocupa
el lugar “k” exceda en (4m-4) al grado
absoluto del término que ocupa el
lugar “k” contando desde la derecha.
a) 9
b) 10
c) 12
d) 11 e) 13


b) 0

c) 1996

d) - 1 e) N.A.

19. Hallar  +  en el cociente notable:

13. Calcular el mínimo valor de “k” de
m 1

d) 3 e) 9

17. Simplificar:

12. Sabiendo que e siguiente cociente
xm  y p
notable:
admite ser
x2  y7
a

c) 1

Si:

t6 . t9
t7

b) 84 c) 48

20. El cociente de:

 x 12 y 28

d) 36

e) N.A.

x 8  x 16
1
x 
x

Al ser expresado en forma de un cociente
notable tiene en su desarrollo un término
que no contiene a x. ¿Cuál es su posición?
a) 6 to b) 5 to c) 16 avo d) 3 ero e) N.A.
6



a15 x 26  a 25 x 22
términos
pertenecen a un cociente notable; el
segundo está a dos lugares del
primero. El término central en dicho
cociente notable, es:
a) a 40 x16
b) a 20 x 24 c) a 20 x 28
d) a 50 x 20
e) a 50 x 30

SUMATIVO 2011 III
21. En el cociente notable que se obtiene
de:

26. Los

x 4 m  x 4b
, el décimo término
x 2  x 3

contando a partir del final es
independiente de “x”. El número de
términos racionales enteros que
contiene dicho cociente notable, es:
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10

SUMATIVO

p

2p

p

2p

1x x

x

3p

x

3p

a) x 3 np - 1
d) x p  1

 ...  x

(2 n 1)p

 ...  x

(n 1)p

b) x 3 np + 1
e) 1

es un
x n 1  y n  2
cociente notable, entonces el valor de
“n” es:
a) 3
b) 5
c) 6
d) 9 e) 10

.(1  x

np

x

2 np

)

c) x 2 p  1

SUMATIVO
28. Dado el siguiente cociente notable:

x 3n  2  y 5n 1
, entonces el grado
x2  y3

SUMATIVO 2013 I

23. ¿ Qué lugar ocupa en el desarrollo del
x160  y 280
cociente notable:
el
x4  y7

absoluto del décimo primer término
en el cociente notable, es:
a) 28
b) 31
c) 34 d) 37 e) 39

término que tiene 252 como grado
absoluto.
a) 31
b) 32 c) 33 d) 34
e) 35

29. Si el desarrollo de la fracción
irracional:

SUMATIVO 2013 III

24. El término t 21 en el siguiente
2a  a 2
, es
cociente notable:
1  20 a  1
a) a-2

b) a-1 c) a2-1

x 5 n  3  y 5 n  6 

27. Si la división:

SUMATIVO 2012 I
22. Simplificar:
1x x

Álgebra.

170
3344

de un CN muestre el noveno término
del mismo.
a) 413 b) 316 c) 414
d) 442 e) 480

d) a2+3 e) a2-5

30. Hallar el coeficiente del tercer término

SUMATIVO 2014 I

del desarrollo de

25. El grado absoluto del décimo primer
a) 6

término en el cociente que se obtiene
x 3n  2  y 5n 1
es
al dividir:
x 2  y n 5
a) 25
b) 28 c) 30
d) 32 e) 34

b) 4

x12  16
2x3  4

c) 2

31. Hallar

d) 1

el número
fraccionarios
del
45
30
x x

x 3  x 2
a) 15
b) 9

SUMATIVO 2014 II


adopta la forma

7


c) 8

de

d) 7

e) -1
términos
desarrollo:

e) 6


32. Hallar el número de términos que

37. Reducir:

x 22  x 20  x18  ...  x 2  1 18
x
( x 2  x  1)( x 2  x  1)
6
3
12
6
a) x  x  1
b) x  x  1
6
3
10
5
c) x  x  1
d) x  x  1
12
6
e) x  x  1

tiene el siguiente cociente notable:

x  a 

E

 2ax 
x  a2

2 n  21

n

2

a) 3

b) 7

c) 11

d) 17

e) 21

33. Determinar el término central en el
cociente notable:

x  a 14  a14

38. Si:

x 2  2a 2  2ax

 x12  x10  x8  x 6  ...  1) 
F ( x)  

24
20
16
 x  x  x  ...  1 

a)  a 6 x  a 6 b) a 6 x  a 6 c) 1
d)  a 7 x  a 7

e) a 7 x  a 7

Hallar:

34. Luego

de

a  b  a  b
n

expresar:
Como

a) 1
d) 4

e) 20

respecto

x y
44 56
d) x y
a)

x y c) x y
5 66
e) x y
b)

c) 3

a

“x”

( x  y)n  y n
x

contado a partir del extremo final.
55

b) 2
e) 8

40. Hallar el término

x p  yq
Indicar el término de lugar 5
x11  y r
42

sea 64.

x 3  mx 1

del desarrollo del C.N.:

66

c) 25

x 15  m 5 x 5

35. Si: x66 y 7 5r es el séptimo término

49

b) 511
e) 510

m para que el término
independiente del cociente notable

5

55

 2

39. Calcular

2  a 2  b 2  . Calcular el valor de
d) 18

1

una

división notable y siendo uno de los
términos de su cociente notable
“n”.
a) 12 b) 16 c) 17

F

a) 257
d) 127

n

ab  b 2

Álgebra.

a) y 4

si : T10  n  y 9  n

b) 2 y 4

d) 4 y 4

35

independiente
en el C.N.

c) 3 y 4

e) 5 y 4

41. En el cociente notable de:
36. Si

p 28

(a  b ) 50  (a  b ) 50

16 2( p 6)

; x y
son términos
equidistantes de los extremos en el
x y

cociente notable de
“m + n + p”
a) 225
b) 235
d) 257
e) 322

2a 2  2 b 2

¿Qué valor adquiere el término central para:

xm  y n
, calcular
x4  y7

c) 245

a) 2
d)


x  48 2
2

a=

8

24

;

b) 1/2
2


e)

48

x  48 2
2

b=

2

c)

2

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