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Este documento presenta 10 problemas matemáticos para participantes en la Olimpiada Nacional Escolar de Matemática de Perú. Los participantes tienen 120 minutos para resolver los problemas, los cuales deben escribir sus respuestas en una hoja de respuestas. No se permite el uso de calculadoras u otros recursos. Las respuestas correctas reciben 10 puntos y las incorrectas o sin responder reciben 0 puntos.
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- 1. Sociedad Matem´atica Peruana XIV Olimpiada Nacional Escolar de Matem´atica (ONEM 2017) Tercera Fase - Nivel 1 29 de setiembre de 2017 Estimado estudiante, recibe por parte del equipo encargado de la organizaci´on las felicitaciones por estar participando en esta etapa de la Olimpiada Nacional Escolar de Matem´atica. Te recomendamos tener en consideraci´on lo siguiente: - Tienes un tiempo m´aximo de 2 horas (120 minutos) para resolver estos retos matem´aticos que te planteamos. Te recomendamos que revises bien tus respuestas. - Ten en cuenta que no est´a permitido el uso de calculadoras y otros recursos de consulta como apuntes o libros. - Recuerda que las respuestas correctas se calificar´an con diez (10) puntos; y las no respondidas o mal respondidas se calificar´an con cero (0) puntos. - Al momento que consideres que has culminado tu participaci´on, haz entrega de estas hojas y aseg´urate de que hayas guardado tus respuestas en el sistema. En caso de ocurrir un empate se tomar´a en cuenta la hora de entrega, registrada en el sistema. ESCRIBE EL RESULTADO DE CADA PROBLEMA EN LA HOJA DE RESPUESTAS. EN TODOS LOS CASOS EL RESULTADO ES UN N´UMERO ENTERO POSITIVO. 1. Todos los enteros positivos se ordenan en un tablero de 3 columnas, de la siguiente forma: 1 2 3 6 5 4 7 8 9 12 11 10 13 14 15 ... ... ... Si seguimos el patr´on, ¿qu´e n´umero estar´a inmediatamente arriba del n´umero 240 ? 1
- 2. Sociedad Matem´atica Peruana Tercera Fase - Nivel 1 2. ¿Cu´al es el menor entero positivo tal que la suma de los cuadrados de sus d´ıgitos es 24 ? 3. En la recta L estaban marcados con l´apiz los tres puntos A, B y C (no necesariamente en ese orden). Pedro marc´o el punto medio P del segmento AC, Tatiana marc´o el punto medio T del segmento AB y Rosa marc´o el punto medio R del segmento BC. Despu´es se borraron los puntos A, B y C, y qued´o lo siguiente: P T R L 2 cm 5 cm Donde se indica que la distancia entre los puntos P y T es 2 cm, y la distancia entre los puntos T y R es 5 cm. ¿Cu´al era la distancia de los puntos A y B, en cm? 4. Rodrigo, Josu´e y El´ıas van a viajar en bus. Cada pasajero tiene permitido llevar hasta cierta cantidad de kilos de equipaje y tiene que realizar un pago fijo por cada kilo adicional. El equipaje de Rodrigo pesa 60 kilos, y los equipajes de Josu´e y El´ıas pesan juntos 65 kilos. Si Rodrigo, Josu´e y El´ıas pagaron S/ 77, S/ 11 y S/ 22, respectivamente, por el exceso de equipaje, determine cu´antos kilos pes´o el equipaje de El´ıas. 5. Determine el menor entero positivo N que tiene la siguiente propiedad: Al multiplicar N por 45 obtenemos un n´umero tal que cada uno de sus d´ıgitos est´a en el conjunto {5, 7}. 6. ¿Cu´antos enteros positivos de 8 d´ıgitos o menos cumplen las siguientes condiciones: el d´ıgito 1 aparece exactamente dos veces, el d´ıgito 3 aparece exactamente dos veces y adem´as, cada d´ıgito es menor que 4? Ejemplos: Algunos n´umeros que cumplen las condiciones requeridas son 10313, 212133 y 13132200. 7. El m´aximo com´un divisor de los n´umeros a y b es 12. Calcule la suma de todos los valores que puede tomar el m´aximo com´un divisor de los n´umeros a2 y b3. 2
- 3. Sociedad Matem´atica Peruana Tercera Fase - Nivel 1 8. Sea ABCD un cuadrado, E es el punto medio de AD, F es el punto medio de EC y G es el punto medio de AF. A B C DE F G Si el ´area del cuadril´atero sombreado es 112 cm2, determine cu´antos cm mide el segmento AD. 9. Definimos la sucesi´on x1, x2, x3, . . . de la siguiente manera: x1 = 27, x2 = 37 y xn+2 = xn·xn+1, para todo entero positivo n. Determine el resto de dividir x1000 entre 49. 10. En un tablero de 5 × 5, tres casillas distintas forman una terna compatible si desde cada una de ellas se puede llegar a cualquiera de las otras dos mediante uno o dos movimientos del caballo (de ajedrez). Por ejemplo, las casillas etiquetadas con las letras X, Y , Z forman una terna compatible porque desde X podemos ir a Y mediante un movimiento del caballo, desde Y podemos ir a Z mediante un movimiento del caballo, y desde Z podemos ir a X mediante dos movimientos del caballo. X Y Z Cada una de las 25 casillas debe ser pintada con uno de k colores disponibles, de manera que cualesquiera tres casillas distintas que formen una terna compatible est´en pintadas con tres colores distintos. ¿Cu´al es el menor valor de k para el cual esto es posible? GRACIAS POR TU PARTICIPACI´ON 3