5º álgebra

Índice

ÁLGEBRA – 5 to AÑO DE SECUNDARIA
Pág.

T E M A 1 Numeros Complejos........................................................................... 2

Clasificación.................................................................................................................................. 2

Representación de complejos......................................................................................................... 3

T E M A 2 Análisis Combinatorio....................................................................... 10

Factorial de un número.................................................................................................................. 10

Números combinatorios................................................................................................................. 18

Permutación, combinación y Variación............................................................................................ 18

Binomio de Newton....................................................................................................................... 22

T E M A 3 logaritmos......................................................................................... 27

T E M A 4 Funciones Exponenciales y logarítmicas.......................................... 37

Función Exponencial...................................................................................................................... 37

Función Logarítmica...................................................................................................................... 41

T E M A 5 Matrices y Determinantes................................................................. 43

Definición .................................................................................................................................... 43

Álgebra de Matrices....................................................................................................................... 47

Determinantes.............................................................................................................................. 53

T E M A 6 Calculo Diferencial............................................................................ 60

Funciones..................................................................................................................................... 60

Límites ...................................................................................................................................... 64

Derivadas..................................................................................................................................... 80

Álgebra  I.E.P. CORPUS CHRISTI

Tema nº 01: números complejos
Capacidades:
 Identificar el conjunto de los números complejos.
 Clasifica correctamente a los números complejos.
 Representa de diversas maneras a los números complejos.
 Opera con números complejos.
 Resuelve problemas con números complejos.

Desarrollo del Tema:
Cantidades Imaginarias
Ejemplo: i
47
= i 4(1 1 )+ 3 = i 3 = −i
Se obtienen al extraer raíz de índice par a
i −1 0 = i − 3(4)+ 2 = i 2 = −1
un número negativo.

−2 ; 4
−7 ; 6
−4
Ejemplo : ; ... etc. Observación: Es conveniente recordar las
siguientes propiedades aritméticas.
Unidad Imaginaria °
(a + r)n = a+ rn
Definición: La unidad imaginaria se
°
(a − r)n = a+ rn (n → p ar)
obtiene al extraer raíz cuadrada de -1, se
representa de la siguiente manera : °
(a − r)n = a− rn (n → im p ar )
−1 = i Ejemplo :

también se define como : 1112 1112 1112
91 0 (4 o +1 )1 0 4 o +1 1 0 o +1
i =i =i = i4 =i
i2 = −1

Números Complejos
Potencias de la Unidad Imaginaria Son aquellos números que tienen la forma :

i1 = i Z = a + b i = (a ; b ); a , b ε R
i = −1
2
donde :
i = −i
3
a = Re (Z ) s e lla m a , p a r te re a l d e Z
i4 = 1 b = Im (Z ) s e lla m a p a r te i m a g i n a r i a d e Z
Propiedades :
CLASIFICACIÓN DE LOS COMPLEJOS
i4 n = 1 ; n ε Z
1.
Complejos Conjugados
(Z)
Ejemplo : i 480
=i 4(1 20 )
=1 Son aquellos que sólo difieren en el signo
de la parte imaginaria.
+k Ejemplo :
i4 n = ik ; (n ; k ε Z )
2.
Z = 3 +4 i ; su conjugado es : Z = 3 − 4i

Ecuación Segundo Año

Z = a + bi
Complejos Opuestos (Zop)
Son aquellos que sólo difieren en los signos
Gráfica del Complejo
de la parte real e imaginaria,
Cada complejo es un punto en el plano,
respectivamente.
para ubicarlo se le representa en el
llamado plano complejo, Gaussiano o
Ejemplo :
de Argand, el cual está formado por un
Z = 5 - 2i ; su opuesto es : Zop = −5 + 2 i
eje vertical (eje imaginario) y un eje
horizontal (eje real).
Complejos Iguales:
Ejemplo :
Son aquellos que tienen partes reales e
Z1
imaginarias, respectivamente, iguales. Graficar : = 3 + 4i
Ejemplo : Z2
= 5 - 3i
De la igualdad : a + bi = 8 - 11i
En el plano Gaussiano :
tenemos : a = 8; b = -11
Im
Complejo Nulo:
E je i m a g i n a r i o
Son aquellos que tienen su parte real e
imaginaria, respectivamente, iguales a
4 Z 1 = (3 ; 4 )
cero.
Si : a + bi es nulo ⇒a + bi = 0
Luego : a = 0; b = 0
5
Re
Complejo Imaginario Puro O rig e n 3
Es aquel cuya parte real es igual a cero y su E je re a l
parte imaginaria distinta de cero. -3 Z 2 = (5 ; -3 )
Si : a + bi es imaginario puro ⇒ a=0

Observación : Cada complejo se
Complejo Real representa por un punto en el plano al
Si un complejo es real, entonces su parte cual se le llama afijo del complejo.
imaginaria igual a cero :
Si : a + bi es real ⇒b =0 II. Representación Polar o
Trigonométrica :
Representación de los Complejos En este caso, el complejo adopta la
I. Representación Cartesiana o forma :
Geométrica
En este caso, el complejo está
Z = ρ (C o s θ + i S e n θ )
representado de la forma: ρ→
Donde : módulo; r > 0

Prof.: Rodolfo Angel Carrillo Velásquez
3


θ → argumento; 0 ≤ θ < 2 π 
* ρ = a2 + b 2
* a = ρ C os θ

Gráfica del Complejo * b = ρ S en θ
En este caso, se utiliza el sistema de 
 b
coordenadas polares el cual está * θ = ArcT g
 a
formado por un punto fijo llamado polo
y una semirecta que parte del polo, a + bi = ρ C os θ + (ρ S en θ) i
llamado eje polar. El módulo ( ρ ) es la
a + b i = ρ (C o s θ + iS e n θ)
distancia del polo al punto que
representa el complejo y el argumento Para transformar de cartesiana a polar
se calcula y . En el caso inverso, se
(θ) el ángulo positivo medido en sentido
calcula el valor de la función
antihorario desde el eje polar hasta el
trigonométrica.
radio vector O Z .
Graficar : Z = 5(Cos40° + iSen40°)
Aplicación :
En el sistema de coordenadas polares :
1. Transformar : Z = 3 + 4i
Z (5 ; 4 0 º )

ρ = 5 *
ρ = 32 + 4 2 = 5
4
40º θ = ArcT g = 53°
O * 3
p o lo e je p o la r ⇒ 3 + 4i = 5 (C os 53 ° + i S en 53°)

Relación entre la Representación 2. Transformar : Z = 6 (Cos37°+ i
Cartesiana y Polar Sen37°)
Sea el complejo : Z = a+b i (a, b >0) Z = 6(Cos37°+ i Sen37°)
Im 4 3
Z = 6( + i )
Z 5 5
b
24 1 8
ρ Z= + i
O ri g e n E je re a l p o s i ti v o 5 5
θ
a Re
III. Representación de Euler
P o lo E je p o la r En este caso, se tiene :

En la figura sombreada : e x p re s a d o e n
ra d ia n e s
ρ (C o s θ + i S e n θ) = ρ e iθ
Se cumple :


iθ
C o s θ + iS e n θ = e
d) Radicación :
Siendo: e = 2,71828.... (base de los En general se asume que la raíz
logaritmos Naturales). adopta la forma (a+bi) ; luego a y b
Asimismo : se hallan por definición de

iθ radicación.
a + b i = ρ (C o s θ + iS e n θ) = ρ e
Ejemplo : 5 +1 2i

OPERACIONES CON COMPLEJOS 5 + 1 2 i = a + bi
I. Operaciones en forma cartesiana Elevando al cuadrado
a) Adición y multiplicación
5 + 1 2 i = a2 − b 2 + 2 abi
Se utilizan las mismas reglas
Igualando :
algebraicas.
Ejemplo : (3+i)(3+2i) - (5-4i) 5 = a2 − b 2 ; 1 2 = 2 ab
Resolución : Resolviendo :

9 + 6i + 3i + 2 i 2 − 5 + 4i
= 9 + 6i + 3i − 2 − 5 + 4i a = 3
 ⇒ 5 + 1 2 i = 3 + 2i
= 2 + 1 3i b = 2

a = −3
b) División  ⇒ 5 + 1 2 i = −3 − 2 i
b = −2 
Se multiplica el numerador y
denominador por el complejo
Observación :
conjugado de este último.
* (1 ± i) = 2i
2 + 3i
Z= 1 +i
Ejemplo : 3+i =i
* 1 −i
2 + 3i 3 − i 6 − 2 i + 9i − 3i 2
Z= . = 1 −i
3+i 3−i 9 − i2 = −i
* 1 +i
6 + 7i + 3 9 + 7i 9 7
Z= = = + i
9 − (−1 ) 10 10 10 Operaciones en forma polar
a) Multiplicación :

c) Potenciación : En este caso, los módulos se

Se utiliza el teorema del binomio. multiplican y los argumentos se

Ejemplo: suman.
Z1 = ρ1 (C os θ1 + i S en θ1 )
(2 i + 3)2 = 4i 2 + 1 2 i + 9
= −4 + 1 2 i + 9 Z 2 = ρ2 (C os θ2 + i S en θ2 )
= 5 + 1 2i
⇒ Z1 Z 2 = ρ 1 ρ 2 [C o s (θ1 + θ 2 ) + i S e n (θ1 + θ 2 )]

5


n
Nota : observa que z tiene "n"
b) División :
valores.
En este caso, los módulos se dividen
Ejemplo :
y los argumentos se restan.
Hallar las raíces cúbicas de la
Z1 = ρ1 (C os θ1 + i S en θ1 )
unidad.
Z 2 = ρ2 (C os θ2 + i S en θ2 ) 3
1 = 3 1 + 0i = 3 C os 0° + i S en 0°
Z ρ1  0° + 2 k π   2 kπ 
⇒ 1 = [ C o s (θ1 − θ 2 ) + i S e n (θ1 − θ 2 )] 3
1 = C os   + i S en  0° + 
Z 2 ρ2  3   3 

k = 0, 1, 2
c) Potenciación : 3
k=0 → 1 =1
En este caso, el exponente eleva al
módulo y multiplica al argumento. 1 3
3 − + i= w
[ρ (C os θ + i S en θ)]n = ρn [C os n θ + i S en n θ] k=1 → 1 = 2 2

1 3
3 − − i = w2
d) Radicación : k=2 → 1 = 2 2
En este caso, se aplica la fórmula de Raíces cúbicas de la unidad :
De Moivre.
Sea : Z = r(Cosq + iSenq) 1; w; w2 .
donde :
 θ + 2kπ θ + 2kπ 
n
Z = n ρ C o s ( )+ iSen( )
 n n  * w3 = 1

k = 0 , 1 , 2 , ..... , (n -1 )
* 1 + w + w2 = 0

ejercIcIos propUesTos

1) Calcular : 3) Simplificar :

−2 − 8 + −1 2 − 1 2 − − 3600 −1 i 28 + i 321 + i 49 + i 50 + i1 7
Z=
a) 76 b) -76 c) 44
i1 921 + i1 932 − i1 960 + i1 973 − i 2003
d) -44 e) 50 a) i b) -i c) 1
d) -1 e) 1 - 1

2) Reducir :
4) 04. Reducir :
i +i +i
4 9 16
V= −i J = i + i 2 + i 3 + i 4 + ... + i 2003
2−i +i 5 10
−i 15
a) 1 b) 2 c) -1
a) 1 b) 2 c) 3i
d) i e) 2i
d) 2i e) 4i


5) Hallar la suma "A" de números es un complejo real. Calcular : "n".
complejos : a) -3/8 b) 9/8 c) 9

A = (1 + i) + (2 + i 2 ) + (3 + i 3 ) + (4 + i 4 ) + ... + (4n + i 4 n ) d) 9/4 e) 3/4

a) n (2n+1) b) 2n (4n+1)
11)Hallar "n", si el número siguiente es
c) 0 d) n(4n+1) e) 2n(4n-1)
imaginario puro :

6) Calcular : 3 − 2 ni
4 − 3i
1112 15 16 1 9 20
91 0 1 31 4 1 71 8
V=i +i +i a) -1 b) -2 c) -3
a) 0 b) 1 c) 3 d) -4 e) -5
d) 3i e) -3i
12) Sabiendo que :

a + 2i
z=
7) 07. Si : b − 3i ; es un número real.

(ni 1 2 + i1 3 ) ( 2 i + n ) = a2 + bi ; { a ; b ; n } ⊂ R w=
b + (a + 8) i
a + bi ; es un número
b 2
(n − a2 ); (i = − 1 )
imaginario puro. Indique : a - b.
Calcular : n
a) -12 b) 10 c) 24
a) 2/3 b)3/2 c) 6
d) 8 e) -10
d) 1/3 e) 3

{ z1 ; z 2 } ⊂ C
13) Si : , calcular :
8) Si : a2 + bi = m + ni
5 z1 + z 2 2 z − 3z 2
Im ( ) − Im ( 1 )
{a; b; m; n} R; además : i = −1 3z1 + 4 z 2 3z1 + 4 z 2
2

m 2
b a) -3 b) -1 c) 1
+
Calcular : a + n
2 2 mn d) 3 e) 0

a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5 14) Si "i" es la unidad imaginaria, al
efectuar la siguiente operación :

9) Calcular "n", si se cumple : 2 (1 + i)1 6 − (1 − i)1 6
3 (n + i) + 5 (n + 3i) = 3 7 (a + 2 ai ) a) 0 b) 1 c) -256
d) 512 i e) 256
n ε R ∧ aε R
Si :
a) -3/8 b) 9/8 c) 9
15) Calcular el valor de : 2i
d) 9/4 e) 3/4
a) 1 + i b) 1 - i c) -1 - i
d) -1 + i e) a ó c
3 (n + i) + 5 (n + 3i)
n εR ∧z =
10) Si : 1 + 2i
16)Determinar el módulo de :

7


(7 + 3i)( 5 − 3i) z = (1 + i)2 + (1 + 2 i)2 + (1 + 3i)2 + ... + (1 + ni )2
Z=
(−5 + 2 i)( 6 − i)
n ε Z+
;
a) 1 b) 2 c) 2
n (n + 1 ) n (2 n + 5 )
d)
2 7 e) 14 a) 2 b) n c) 3

n (n + 1 ) n
(2 n + 5 )(1 − n )
Z1 = 2 + 5 i ∧ Z 2 = 1 − i d) 6 e) 6
17) Sea :

 Z 
58  2 2  zε C
| Z |  23) Si : , resolver :
Determinar :  1 
|z| - z = 3 + i
a) 3 + i b) 5 - i c) 4
d) 2 - 2i e) 4i Indique : z−1

2 (7 + 1 2 i)−1 6 (7 − 24 i)−1
a) b)

18)Determinar el módulo de : 7 (6 − 4i)−1 −1
c) d) − 3(4 + 3i)
Z = ((1 + i)4 + 4i)((1 − i)4 − 4i)( 3i + 1 ) 7 (6 − 28 i)−1
e)
a) 2 b) 8 c) 32
d) 64 e) 128
24)Sean : |z|= 2; |w| = 3.

K =| z + w | 2 + | z − w | 2
19)Hallar "n". Hallar :
a) 36 b) 26 c) 34
8 + (1 − i)6 = n (1 + i); n ε R ; i = − 1
d) 18 e) 22
a) 2 b) 4 c) 6
d) 8 e)10
25)Indique el módulo de :

20)Hallar el módulo del complejo "Z", si al (2 + 2 i)(1 + 3i)
W=
dividirlo entre 5+i y al cociente sumarle (1 − i)( 7 + 3i)
2, se obtuvo 3-i.
a) 1 b) 2 3 c) 2

a) 13 b) 2 13 c) 3 13
d) 2 2 e) 2
d) 4 13 e) 5 13

26)Sabiendo que : m, n, x, y R.
Z1 ; Z 2 ε C m + ni = x + yi
21) Sean : . Reducir : Además :
| z1 + z 2 | 2 − | z1 − z 2 | 2 Hallar el equivalente de :
R e (z1 . z 2 ) + R e (z1 . z 2 )
n2
a) 1 b) 1/2 c) 2 K=
m y 2 + y4
d) 3 e) 1/3
a) 6 b) 4 c) 8
d) 12 e) 10
22)Indique la parte real de :


3
a + bi = m + ni ; { a ; b ; m ; n } ⊂ R z3 = 4C os 5 ° + 4iS en 5 °
27) Si :
a) 4 i b) -1/2 c) 1/4
d) i/2 e) 1
además : . i = −1

(m 3 − a)(b + n 3 ) w 1 = − S en 20° − i C os 20°
34) Sea :

Calcular : m 3n 3 Arg (w 1 )
hallar :
a) 3 i b) 1 c) -3 a) 190° b) 250° c) 240°
d) 340° e) 200°
d) -3 i e) 3
35)Efectuar :
C : z2 + 2 | z | = 0 −4i
28) Resolver en :  1 +i 
 
Indique : Re(3z) - Im(z).  2 
 
a) -3 b) 9 c) 1
a) e
−π
b) e − π /2 c) e π /2
d) -2 e) 2
d) e
2π
e) eπ
2 i− i+5 i
29) Efectuar :
36) Un número real "x", que satisface la
a) 1 + i b) 1 - i c) i ecuación:
−1 + i
(S enx + i C osx )4 = S enx − iC osx es :
2i 2
d) e)
π π
30)Hallar "Z", si cumple : a) 1 0 b) − π c) 2
1 1
+ =
6
∧ | Z| = 5 π
Z Z 25
d) 5 e)
π
5
a) 3 - 4i b) 4 - 3i c) 3 + 4i
1 3
5 5 z=− + i
+i 37) Si : 2 2
d) 3 − 4i e) 3
Calcular : . z− 3 + z3
31)Llevar a su forma trigonométrica : 2 e πi 2 e 2 πi 2 e 2 πi
a) b) c)
z = -3 - 4i 2π
i
32)Llevar a su forma exponencial : −1 + 3 i e 3
d) e)
−4+4 3i
4π 2π 38)Reducir :
4π
i i i π π
16e 3 4e 3 4e 3 i − i
a) b) c) e4 +e 4
4π 2π
L = π π
i i i − i
d)
8e 3
e)
8e 3 e4 −e 4

33)Efectuar : a) 1 b) -1 c) i
d) -i e) e
z15 z3
K = 2
4
z3 39) Proporcionar un equivalente de : ii .

sabiendo que : a) e − π /4 b) e
− π /2
c) eπ
z1 = 2 (C os 1 0° + i S en 1 0°) d) e
3 π /2
e) Hay 2 correctas

z 2 = 8 C is20° 40)Hallar el módulo de "z" que verifica :

9


eπ
e =
z 4 (1 + i)
4

Análisis Combinatorio Quinto Año

Tema nº 02 : análIsIs combInaTorIo
Capacidades:
 Define correctamente el factorial de un número.
 Opera con factoriales.
 Opera con números combinatorias.
 Diferencia entre permutación, combinación y variación.
 Resuelve problemas con variación, permutación , combinación y binomio de Newton.


FACTORIAL DE UN NÚMERO
Se denomina factorial de un número entero y positivo al producto indicado desde la unidad en forma
consecutiva, hasta el número dado. Al factorial de un número se puede representar por cualquiera de los
dos símbolos: ! ó

Si el factorial es “n”m su factorial se representa por:

n!
Se lee: Factorial del número “n” o “b” factorial.
n

Por definición:
n! = n = 1 x 2 x 3 x 4 x …. X n

n! = n = n x (n – 1) x (n – 2) – (n x 3) x … 2 x 1
Ejemplos:
2! = 2 = 1x2=2
3! = 3 = 1x2x3=6
4! = 4 = 1 x 2 x 3 x 4 = 24
5! = 5 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120
6! = 6 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720
7! = 7 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = 5040

OBSERVACIONES
1. Los factoriales sólo están definidos para cantidades enteras y positivas, así:
5! = 5 ¡ factorial de 5  (si existe)
(-3)! = -3 ¡ factorial de (-3)  (no existe)
-4! = - 4 ¡ factorial de 4  (si existe)
6! 6
= ¡ un medio de factorial de 6  (si existe)
2 2

11

1 1 1
 != ¡ factorial de  (no existe)
 3 3 3

( 2 ) != 2 ¡ factorial de 2  (no existe)
2. El factorial de un número puede expresarse en función del factorial de otro número menor.
Ejemplo:
Sea: 6! = 6 =1x2x3x4x5x6

6! = 6 = 5 x 6  6! = 6 = 6x 5

También: 6! = 6 =1x2x3x4x5x6

6! = 6 = 4  6! = 6 =5x6x 4

O también: 6! = 6 = 1x2x3x4x5x6

6! = 6 = 3  6! = 6 =4x5x6x 3

Noten que en los tres casos, todos ellos son iguales a 6! Y a su vez el número contenido en
el factorial y los que están fuera de él son sus consecutivos posteriores a él.
Ejemplo 1: Escribir 12! en función del Ejemplo 2: Escribir 20! en función del
factorial de 9 factorial de 16
Solución: Solución:
12! = 9! X 10 x 11 x 12 20! = 16! X 17 x 18 x 19 x 20

Ejemplo 3: Escribir (x+5)! en función Ejemplo 4: Escribir (x-2)! en función del
del factorial de (x+2) factorial de (x-4)
Solución: Solución:
(x+5)! = (x+2)! (x+3) (x+4) (x+5) (x-2)! = (x-4)! (x-3) (x-2)

3. Por Convención: 0 = 0! = 1 ; y por definición: 1 = 1! = 1
Lo que no implica que no podrá hacerse: 0 = 1  0 = 1 porque los dos conceptos
tienen diferente punto de partida en cuanto a su definición.
Demostrar que: 0! = 1
Demostración:
Se sabe que: n! = (n – 1)! n y que esta igualdad cumple para todo número entero
positivo a partir de la unidad.
n!
Acomodando la expresión, obtenemos: = ( n − 1)!
n
Reemplazando será:
1!
N=1  = (1 − 1)!  ∴ 1 = 0! l . q . q . d.
1


Demostrar que: 1! = 1
Demostración:
Se sabe que: n! = (n – 1)! n
n!
Es decir: = ( n−)!¡ damos a “n” valor de 2, obteniendo:
n
2! 2
= (2 − 1)! ⇒ = 1! ⇒ 1 = 1! l.q.q.d.
2 2

4. De lo anterior, si:
 a=0
a! = 1 ó
 a=1

Ejemplo:
Dar la suma de los posibles valores de “x” en: (x – 3)! = 1
Solución:
x–3=0  x=3
(x – 3)! = 1 ó
x–3=1  x=4

∴ La suma de los posibles valores de “x” será: 3 + 4 = 7

5. Si: a = b  a=b ∀ a, b ∈ N (∀ = para todo)

Ejemplo: Determina el valor de “x” si: x – 1 = 24
Solución:
Tal como se presenta la igualdad, no es posible el despeje directo de “x” para ello es
recomendable desdoblar el 24 en factores de forma consecutiva veamos:
x–1=1x2x3x4
x–1=4

RECOMENDACIONES
En factoriales las siguientes operaciones no se cumplen:
I) (n + m)! ≠ n! + m! III) (n x m)! ≠ n! x m!
Ejemplo: Ejemplo:
(3+2)! ≠ 3° + 2! (3 x 2)! ≠ 3! X 2!
5! ≠6+2 6! ≠ 6 x 2
⇓ ⇓ ⇓ ⇓
120 ≠ 8 720 ≠ 12

u n!
II) (n – m)! ≠ n! – m! IV)   !≠
m m!
Ejemplo: Ejemplo:

13

(4-2)! ≠ 4° - 2!

 6  6!
 ! ≠
 3  3!
720
2! ≠ 24 -2 2! ≠
6
⇓ ⇓ ⇓ ⇓
2 ≠ 22 2 ≠ 120

prácTIca De clase

1) Determina el valor de M, sabiendo que: 11) Resuelve la ecuación:
13! ( x − 3)!+( x − 2)!
M = = 120
9! x 4! ( x − 1)
2) Halla: 12. Simplifica:
6! x 4! ( n!!+1)!−nn!!!
S= R=
8! (n!!−1)!
3) Halla el valor de: 13. Halla el valor de.
10! x5! 12! 15! 11! x6!
E= a) b) c)
12! x3! 10! 13! x 2! 9!
4) Simplifica: 14. Calcula el valor de:
n!
R= + n( 2 − n)  5! x 4! 10 
(n − 2)! R= − !
 (4!) − (3!)
2 2
3
5) Calcula el valor de:
15. Resuelve:
 8! x 7! 25 
P= (2 x + 1)!
 (7!) 2 − (6!) 2 − 6 !
 = 72
  (2 x − 1)
6) Halla el valor de: 16. a) ¿Qué valor tiene “k”?
n! 1 (n + 1)! Si: k! x 7 x 8 x 9 x 10 = 10!
E= − +
(n + 1)! (n + 1) n! b) ¿Qué valor tiene “n”?
7) Reduce: Si: (n-3)! X 9 x 19 x 11 x 12 = 12!
n[ n!−1)!]
P= 11!
( n − 1)! 17. Determinar el valor de: M =
8) Halla el valor de:
( 7!)( 4!)
Q = (n+2)! – (n+1)!
R=
( 6!)( 4!)
18. CALCULAR:
9!
9) Resuelve la ecuación:
( x − 2)!( x + 1)! ( x + 2)! = 6
19. Calcular “X”:
( x − 1)! x! x!
10) Resuelve la ecuación:


(3x + 1!)!
= 42 R=
( n + 1)! − n!
20. Calcular:
(3x − 1)! ( n − 1)!

prácTIca DomIcIlIarIa

1. Reduce: E = (n+2)! – 2(n+1)! ( n + 1) − n!
a) (n-2)! b) (n+3)! c) n(n+1) 8. Reduce: R =
(n − 1)!
d) n(n+1) e) n! (n+1)
1
a) n b) n2 c) 2n d) e) n3
7!−2 + 5! n2
2. Reduce: M =
6!−10 x 4!
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 (n + 2)!
9. Calcula el valor de “n”: =6
n!
1 a) 1 b) 2 c) 3 d4 e) 5
3. El valor de: ; es:
4!+3!
1 4 1 1 1 (n + 3)!
10. Calcula el valor de “x” . = 10
a) b) c) d) e) 3 (n + 1)
7! 5! 4.3! 5!
N.A. a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

11. Indica la solución entera de la ecuación
1 1
4. Efectúa: − (x-1)! + (x! + (x+1)! = 5880
n! ( n + 1)! a) 5 b) 6 c) 4 d) 3 e) 2
n n +1 n −1
a) b) c)
n! n! (n + 1)! 12. Efectúa:

n 1 (13!) 2 13!
d) e) −
(n + 1)! n)(n + 1)! (12!) + 2(12!11!) + (11!)
2 2
10!+11!
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) -1
( x − 1)!( x + 2) 5
5. Resuelve: = 13. Calcula el valor de “x”:
x 3 (119!)x!! (5!)x!! = (5!!23!!)24
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
a) 2 b) 4 c) 3 d) 5 e) 6

m!(n + 1)! 14. El valor de:
6. Simplifica: E =
(m + 1)!n! 5
; es:
n −1 n +1 m +1 5!+4!+3!
a) b) c)
m +1 m +1 n +1 5 6 3
a) b) c)
m +1 m 12! 5! 4!
d) e)
n −1 n 4
d) e) N.A.
5!
11!+10!+9!
7. Simplifica: R =
121.8! ( x − 1)!( x + 2) = 5
15. Calcular:
a) 8 b) 9 c) 12 d) 24 e) 36 x! 3

PERMUTACIONES

15

Son los diferentes arreglos que se pueden formar con todos los elementos de un conjunto,
las permutaciones se diferencian entre sí sólo por el orden de sus elementos y lo
representamos de la siguiente manera:
n(n+1) (n+2) (n+3) … 3.2.1
Pn = n!

Ejemplo:
1. ¿Cuántas maneras diferentes pueden formar una fila de 5 soldados?
Pn = n!
P5 = 5!
P5 = 120

Ejemplo : Halla todas las permutaciones posibles de las cifras del número 437.
Solución.-
Las permutaciones se obtienen cambiando de lugar las cifras.
Así: 437; 473; 347; 374; 743; 734.
En total tenemos 6 permutaciones diferentes.
Si llamamos P3 al número total de permutaciones de 3 elementos, se comprende que:
P3 = 1 x 2 x 3 = 3! = 6

Ejemplo : ¿De cuántas maneras distintas pueden ubicarse Angel, Beto, Carlos y Daniel en
una fila de 4 asientos?
Solución.-
Sea P4 el número de maneras distintas en que pueden sentarse A, B C ∧ D. Como intervienen
todos los elementos se trata de una permutación. Luego: P4=4! = 1x2x3x4 = 24

En general: El total de permutaciones diferentes que se pueden obtener con “n” elementos
se designa por Pn y el igual a n!
Pn = n!

Ejemplo : 3 mujeres y 3 hombres desean sentarse en una fila de 6 asientos. ¿De cuántas
maneras diferentes pueden ordenarse si deben quedar sentados en forma alternada?
Las 6 personas pueden ordenarse empezando por una mujer (M) o empezando por un
hombre (H)
Así: M H M H M H ó HMHMHM
Permutaciones de los H : P3 = 3! Permutaciones de los H : P3 = 3!
Permutaciones de las M : P3 = 3! Permutaciones de las M : P3 = 3!

Como cada trío de mujeres se combinan con un trío de hombres para armar una fila de 6,
aplicamos el principio de multiplicación. 3! X 3!
Por lo tanto el total de formas de sentarse será: 3! X 3! + 3! X 3! = 72 maneras diferentes.


Ejemplo : Se tienen 7 libros de diferentes autores, siendo tres de ellos de matemática y el
resto de física. ¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar en un estante si
queremos que los de matemática siempre deben ir juntos?
Designamos por M1, M2 y M3 a los libros de matemática y por F1, F2 y F3 a los libros de
física. Las ordenaciones se pueden presentar de la siguiente forma:

i) M1 M2 M3 F1 F2 F3 F4  # de formas = 3! X 4!
ii) F1 M1 M2 M3 F2 F3 F4  # de formas = 3! X 4! Total:
iii) F1 F2 M1 M2 M3 F3 F4  # de formas = 3! X 4! = 4 (3! X 4!)
iv) F1 F2 M3 M1 M2 M3 F4  # de formas = 3! X 4! = 576 formas diferentes
v) F1 F2 F3 F4 M1 M2 M3  # de formas = 3! X 4!

PERMUTACIÓN CIRCULAR.- En este caso no hay primero ni último elemento por
encontrarse en línea cerrada para hallar el número de permutaciones de n elementos.
A
F B n-1

Pcn = (n − 1)!
E C
D
Ejemplo: ¿De cuántas maneras diferentes podrían sentarse Blancanieves y los 7 enanos
alrededor de una mesa circular?
PcN = (n − 1)!
Pc8 = (8 − 1)°!= 7° = 1.2.3.4.5.6.7 = 5040
Ejemplo: ¿de cuántas maneras distintas se pueden sentar alrededor de una mesa redonda
7 personas?
Solución: n = 7  Pc(7) = (7-1)!  Pc(7) = 6! = 720

PERMUTACIÓN POR REPITENCIA.- Consiste en efectuar permutaciones con elementos
repetidos, si el conjunto tiene “n” elementos, n, es de una clase, n2 son de 2° clase y nk
son de k clases. La permutación por repitencia se obtiene por la forma siguiente:
n!
Pkn =
n1!n 2 !...n k !
Ejemplo: ¿Cuántas palabras diferentes pueden formarse con las letras de la palabra
casacas?
Solución.-
Vemos que se tiene una permutación por repetición donde se repite las letras C(2 veces),
A(3 veces), S(2 veces).

17

Luego:n = 7 n1 = 2 n2 = 3 n3 = 2
7! 7 x 6 x 7 x 4 x3
Pkn = = Pkb = 210 palabras
2!3!2! 2 x3! x 2
Ejemplo : Calcula el total de palabras diferentes (con o sin sentido) que se pueden formar
permutando las letras de cada una de las siguientes palabras: i) manzana; ii) Alfalfa,
iii)catarata
Solución: i) MANZANA
MNAZANA
MZANAAN } Palabras diferentes
.
.
etc.
Total elementos: n=7
Elementos repetidos: A  3 veces
N  2 veces
7! 3! x 4 x5 x 6 x7
Total permutaciones: P3; 2 = = = 420
7

3! x 2! 3! x1.2

ii) ALFALFA
ALFAFAL
AFLAFLA } Palabras diferentes
.
.
Etc.
Total elementos: n = 7
Elementos repetidos: A3
L2
F2
Total permutaciones:
7! 5040
P372, 2 =
, = = 210
3! x 2! x 2! 6 x 2 x 2

Ejemplo : Se quiere confeccionar una bandera conformada por 5 franjas verticales. Si se
dispone de tres franjas de tela de color blanco y dos de color rojo. ¿Cuántas opciones
diferentes hay para escoger el modelo de la bandera?
Solución.- Diseño de la bandera

Total permutaciones:
5! 3! x 4 x5
2 franjas rojas P352 =
, = = 10
3! x 2! 3! x1
3 franjas blancas
Total elementos: n = 5


Elementos repetidos: B  3
R2

Ejemplo 3: ¿De cuántas maneras diferentes se pueden obtener en una fila 7 bolas de
billar (de igual forma y tamaño), si 2 son rojas, 4 amarillas y una blanca?
7! 4! x5 x6 x7
Solución: P2 , 4 = = = 105
7

2! x 4! 2 x4

n
VARIACIONES.- Vm , son los diferentes arreglos que se pueden formar con parte de los

elementos de un conjunto formado de 2 en 2, 3 en 3, las variaciones se diferencian entre sí
por el orden se sus elementos o por uno o más de sus elementos.
El número de variaciones que pueden obtenerse de n elementos tomados de m y n se
representa por:

Vm = n(n − 1)(n − 2)...n − m + 1
n

n!
Vm =
n

(n − m)!
Ejemplo: Halla el número de variaciones en:
9! 9! 9 x8 x7 x6 x5 x 4!
a) V5 = = = = 15120
9

(9 − 5) 4! 4!
7! 7! 7 x6 x5 x 4!
b) V3 = = = = 210
7

(7 − 3)! 4! 4!
m! m!
c) Vm = = = m!
n

)(m − n)! 1

COMBINACIONES
Son las diferentes variaciones que se puede hacer en todos o parte de los elementos de un
conjunto. Las combinaciones se calculan por la siguiente forma:
n!
Cm =
n

n!(n − m)!

NÚMERO COMBINATORIO
PROPIEDADES
1. Todo número combinatorio cuyo índice es 1, 2s igual al índice superior.
n! n(n − 1)!
C1n = = =n
1!(m − 1)! n(n − 1)!
2. Todo número combinatorio cuyos índices son iguales, es igual a 1.
n! n! n!
Cn =
n
= = =1
n!(n − n)! n!0! n!

19

3. La suma de 2 números combinatorios de igual índice superior, e índices inferiores
consecutivos es igual al número combinatorio, cuyo índice superior es igual al índice
superior común aumentado en 1 unidad y de índice inferior igual al mayor de estos.
n! n!
C m + C m +1 =
n n
+
m!(n − m)! (m + 1)![n − (m + 1)]!
n! n!
= +
m!(m − n − 1)!(n − m) (m + 1)m!(n − (m − 1)!
n!  1 1 
=  n − m + n + 1
m!(n − m − 1)  
n! m+2+n−m
=
m!(n − m − 1)  (n − m)(m + 1) 
 
n! (n + 1)
=
m!(n − m − 1) (n − m)(m + 1
n!(n + 1)
=
m!(m + 1)(n − m − 1)!(n − m)
(n + 1)!
=
(m + 1)!(n − m)!
= C m + C m +1
n n
= C m+1
n
+1

NÚMEROS COMBINATORIOS COMPLEMENTARIOS
Son 2 números combinatorios de igual índice superior y la suma de sus índices inferiores es
igual al índice superior común.

C kn ∧ C sn , donde k + 5 = n
n!
C kn =
k! ( n − k )
n! n!
C sn = C sn =  Ck = Cs
n n
s!(n − s) (n − k )!k!


ejercIcIos propUesTos
15! 13)Tres niños, ¿de cuántas formas
1) C 4 =
15

4!(15 − 4)! distintas pueden sentarse en 5
sillas?
20!
2) C17 =
20
14)5 viajeros llegan a una ciudad en la
17!(20 − 27)!
que hay 7 hoteles. ¿De cuántas
90!
3) C
90
86 = maneras podrían alojarse en hoteles
86!(90 − 86)!
diferentes?
4) ¿De cuántas maneras se pueden
15)¿De cuántas maneras podemos
elegir y disponer de un escaparate 3
formar en columna de a uno a 5
partes de calzado de un conjunto?
alumnos?
5) ¿Cuántas maneras diferentes de 4
16)¿Cuántos números de 4 cifras se
cifras se pueden formar con los
pueden formar con los dígitos del 1
nueves dígitos 1, 2, 3, ….. 9?
al 4?
6) ¿Cuántas ordenaciones diferentes
17)¿Cuántas permutaciones de 7
pueden formarse tomando 5 letras
elementos se pueden formar con las
de la palabra gástrico?
letras de la palabra NÁUTICO?
7) En una fiesta hay 5 chicas y 10
18)¿Cuántas palabras diferentes se
chicos. ¿De cuántas maneras
pueden formar con todas las letras
podrían bailar?
de la palabra POPA?
8) ¿De cuántas formas distintas se
19)¿De cuántas maneras pueden
pueden sacar 3 banderines de una
cambiar de posición los jugaror5es
caja que contiene 6 banderines?
de básquet, si uno de ellos no
9) En una empresa se necesitan un
cambia?
supervisor, un tornero, un carpintero
20)¿Cuántas palabras diferentes se
y con conserje, y previo concurso
pueden obtener con las letras de la
han quedado 9 personas. ¿De
palabra COCCIÓN?
cuántas maneras pueden escogerse
21)¿De cuántas maneras pueden
las personas requeridas.
sentarse 5 personas en una mesa
10)Vamos a colocar un “trébol de la
redonda contando de un solo
suerte” (4 hojas) con un color
sentido?
distinto para cada hoja. Si tenemos
22)Un entrenador tiene a su cargo 7
una caja con 6 colores distintos. ¿De
deportistas. ¿de cuántas maneras
cuántas formas podemos colorear al
pueden distribuir a los citados
trébol?
deportistas en dos competencias:
11)¿Cuántos equipos diferentes de
cinco en natación y dos en atletismo.
básquet podemos formar si
23)En un campeonato de bulbito han
contamos con 8 jugadores que
participado 7 equipos. ¿De cuántas
pueden jugar en cualquier lugar?
maneras pueden quedar ubicados?
12)Con 6 banderas de diferente color,
24)¿Cuántos conjuntos imitadores del
¿cuántas señales distintas de 2
famoso trío “Los panchos” se
banderas se pueden hacer?

21

podrían formar a partir de un grupo 34)¿De cuántas maneras se pueden
de 12 aficionados? distribuir 5 hombres y 3 mujeres en
25)¿Cuántos equipos de básquet una fila de 8 asientos, si las mujeres
podríamos formar a partir de un no deben sentarse juntos?
conjunto de 12 jugadores’ 35) De una ciudad A a otra B hay 6
26)Cerebrito debe contestar de 10 caminos diferentes y de la ciudad B
a C hay 4 caminos diferentes. ¿de
preguntas en un examen. ¿De cuantas maneras se puede hacer un
cuántas maneras puede cerebrito viaje redondo de A a C pasando por
B?
escoger las 7 preguntas?
36) Maria tiene 5 pantalones y 3 blusas.
27)En el problema anterior: ¿de cuantas maneras distintas
Si las 2 primeras fueron obligatorias, puede ponerse un pantalón y una
blusa?
¿de cuántas maneras podrían escoger 37) Determinar el valor de m en la
expresión: V2 = 20
m
las preguntas?
28)En la figura cada línea representa un 38) ¿De cuantas maneras pueden
sentarse en una banca de 6
camino. ¿De cuántas maneras
asientos, 4 personas?
distintas se puede ir de la ciudad A a 39) Una persona posee 3 anillos
la ciudad C? distintos. ¿De cuantas maneras
puede colocarse en sus dedos de la
mano derecha, colocando solo un
anillo por dedo, sin contar el pulgar?
40)Una señora tiene 10 amigas de
29) ¿Cuántos números pares de 3 dígitos
confianza. ¿De cuantas maneras
se pueden formar con los dígitos: puede invitar a 6 de ellas a cenar?
41) Resolver : C 2 + C 6 = 28
x x
1;2;5;6;7;8∧9; si:
a) Los dígitos del número pueden 42)¿De cuantas maneras distintas se
pueden sentar 5 alumnos en 5
repetirse. asientos unipersonales?
b) Los dígitos del número no se 43)¿De cuantas maneras distintas se
repiten. pueden sentar 5 alumnos en 5
asientos unipersonales ubicados
30)En una carreta participan 7 atletas. alrededor de una mesa?
¿De cuántas maneras distintas 44) ¿Cuantos números mayores de 6000
se podrán formar con las siguientes
pueden llegar a la meta, si llegan
cifras: 2;5;6;3?
uno a continuación del otro? 45)¿Cuantas banderas tricolores
31)En una fila de sillas se sientan 5 diferentes de franjas horizontales se
pueden confeccionar si se disponen
mujeres y 3 hombres. ¿De cuántas 7 colores distintos?
maneras se pueden ordenar si las 46)¿Cuantas palabras se pueden formar
con las letras de la palabra LIBRO?
mujeres deben estar juntos y los
47) La primera división de la liga de
hombres también? fútbol de huacho consta de 25
32)¿De cuántas maneras diferentes se equipos.¿cuanto partidos se deben
jugar para completar la primera
pueden ubicar 9 damas en una fila
rueda?
de 9 asientos, si Mirian y Andrea 48)¿De cuantas maneras se pueden
siempre deben estar juntas? ubicar 6 personas en un auto si solo
una de ellas sabe manejar?
33)¿Cuántas permutaciones diferentes 49) De un total de x personas se pueden
se pueden realizar con las letras de formar 21 grupos de 5. Determinar
la palabra BANANA? el valor de “x”


BINOMIO DE NEWTON
FORMA GENERAL DEL BINOMIO DE NEWTON
Deducción del Binomio de Newton
BINOMIO DESARROLLO SUMA DE COEIFC.
(x+1) = x + a 21
(x+1)2 = x2 + 2ax + a2 22
(x+a)3 = x3 + 3x2a + 3xa2 + a3 23
(x+2)4 = x4 + 4x3a + 6x2a2 + 4xa3 + a4 24
(x+a)5 = x5 + 5x4a + 10x3a + 10x2a3 + 5xa4 + a5 25
…………………………. ..
…………………………. ..
2n
Generalizamos y podemos llegar a:
n(n − 1) n − 2 2 n(n − 1)(n − 2) n −3 3
(x+a)n = xn + nxn-1 a + n a + x a
1 .2 1 .2 .3
n(n − 1)(n − 2)(n − 3) n − 4 4
+ x a + ... + a n (I)
1.2.3.4
Observamos lo siguiente:
Bases del binomio: x ∧ a
Exponentes del binomio: n
El desarrollo del binomio: El segundo miembro
Luego:
a) El desarrollo es un polinomio homogéneo con respecto a x, a, donde el grado de
homogeneidad corresponde al exponente n.
b) Siempre el desarrollo contiene un término más que el exponente n.
c) El primer término del desarrollo contiene a x elevado al exponente n; disminuyendo los
exponentes de x de uno en uno hasta cero.
d) El segundo término contiene a la base a elevado a la unidad, aumentado el valor de su
exponente en cada exponente n.
e) Los coeficientes de los términos equidistantes de los extremos son iguales.
f) El coeficiente de un término cualquiera se obtiene a partir del término anterior
multiplicando el coeficiente del término anterior por el exponente de la primera base y
dividiendo este producto por el exponente de la segunda base aumentado en uno.
g) La suma de los coeficientes de un binomio (x+a) se da por 2n.

EL BINOMIO DE NEWTON USANDO NÚMEROS COMBINATORIOS
En la forma general (I) vemos que los coeficientes de cada término se dan como:
n n −1 n(n − 1) n − 2 2 n(n − 1)(n − 2) 4−3 3
(x+a)n = 1.xn + .x a + .x a + x .a
1 1.2 1.2.3
…. 1.an

23

n( n − 1) 4 n(n − 1)(−2)
Donde: C o = 1; C1 ; C 2 = ; C3 = … Cn = 1
n n n n

1.2 1.2.3
Sustituyendo estos valores en la forma general, tendremos el desarrollo del binomio de
Newton con números combinatorios.
( x + 1) n = C on x n * C1n x n −2 a 2 + C 3n x n −3 a 3 + ...C n = a n
n

Ejemplo:

1) (m+n)7 = C 0 = m + C1 m n + C 2 m n + C 3 m n + C 4 m n + C 5 m n + C 6 mn + C 7 n
7 7 7 6 7 5 2 7 5 3 7 5 4 7 2 5 7 6 7 7

Así (m+n)7 = m7 +7m6n + 21m5n2 + 35m4n3 + 21m3n5 + 7mn6 + n7

FÓRMULA DEL TÉRMINO DE LUGAR GENERAL K
n − k +1
n
TK = C k −1 . X .a k −1
Ejemplo 1: Halla el término quinto de (2a + b2)11
Solución.-
n = 11; k = 5; x = 2a ; a = b2
11− 5+1
Luego:
11
T5 = C 5−1 .( 2a ) .(b 2 ) 5−1
T5 = 330 . 128ª7b2  T5 = 42240ª7b8

Ejemplo 2: Encuentra el 6° término de (x-3y)10
10 − 6 +1
10
T6 = C 6 −1 .( x) .(3 y ) 6− 2
T6 = 252x5 – 243y5  T6 = -61236x5y5

Ejemplo 3: Halla el término que contiene x6 en el desarrollo de (x-3)14.
Solución.- Por fórmula del término general.
14 − k +1
14
Tk = C x −1 .x .( −3) k −1 = C k −1 .(−3) k −1
14

Como el exponente de x debe ser 6.
15 – k = 6  k = 9 (el término buscado es el de lugar 9).
15− 9
Luego: T9 = C 9 −1 .x
14
.(−3) 9−1
14! 6 14 x13 x12 x11x9 x8 6 8
T9 = .x .( −3) 8 ⇒ T9 = .x .3
8!6! 8 x! x 2 x3 x 4 x5 x6
T9 = 39 . 7 . 11 . 13 . x6

prácTIca De clase

1. Halla el desarrollo de: (2x + 3y)5 2) resuelve: ( x + 3) 6

3. Calcula el tercer término del desarrollo 4) Calcula el sétimo término del desarrollo de:
de: (2x + 3)5 (x + 1/x)9

5. Calcula el término central del desarrollo 6) Calcula el término central del desarrollo de:
de: (a + 2b)8 (x + 1/x2)10


7. Halla el término que contiene a “x8” en 8) Halla el valor de “x” de tal manera que la
el desarrollo de: (x+y)13 suma del 3° y 5° términos en el desarrollo de
(x+1)4 sea igual a 25.
9. Obtén los siguientes desarrollos:
a) (x-2y)5 b) (1+3a)7 c) (1-b)11 10) Determina el término indicado en el desarrollo
Correspondiente:

11) Determina el coeficiente numérico del a) 7° término en: (x-y)11
Término indicado: b) 5° término en: (a+b)21
10
1 1
a) 2° término en (2x-y) 4
c) 10° término en:  − 
a b
b) 3° término en (3a+4b)6
10 5
 x2 y2   2 1
c) 9° término en:  −
 y  12) En el desarrollo de  3x −  , determine:
 x   x

a) El coeficiente numérico del cuarto término.
b) El término que contiene x4.
c) El término independiente de x.

13) Encuentra los 3 primeros términos en el
desarrollo de: ( 2x + 3 ) 10 17) Hallar el valor de x de tal manera que
la suma del 3ro y 5to término en el
desarrollo de ( x+1 ) 4 sea igual a 25
14) Calcula el producto de los coeficientes
numéricos del primero y del último término A) ±1 B) ±2
del desarrollo de: (1+3x2)6. C) ±3 D) ±4 E) 5
15) Calcular el término central del
desarrollo de: 18) El último término en el desarrollo de:

 1 
10 ( x − 3y ) 5
x+ 2  A) − 15 y
5
B) − 15 y
5
 x 
C) − 15 y D) − 15 y E) − 15 y
5 5 5
252
A) 252 x 5 B)
x5
252 19) Cual es el coeficiente de x14 en el
C) D) 252 x 8
desarrollo de:
x3 ( x2+x3 ) 6
E) 252 x A) 12 B) 18
C) 15 D) 21 E) 24
16) Hallar el término que contiene a x8 en
el desarrollo de: 20) El 5to término del desarrollo de:
(x + y) 13 7
 1 1 
A) 1287 x y
8 3
B) 1287 x y
8 8
 2 + 2
x
8 5 8 6 8 10  y 
C) 1287 x y D) 1287 x y E) 1287 x y

1. El último término en el desarrollo de: 3. El coeficiente numérico del 2° término
(x-3y)5 es: en el desarrollo de (2a+b)5 es:
a) -15y5 b) 15y5 c) 243y5 a) 16 b) 32 c) 80
d) -243y5 e) -243xy5 d) 10 e) 50
4. El término central en el desarrollo de:
2. El coeficiente numérico del 8° término 7
 y
 3x −  , es:
11
del desarrollo de (2-x) es:
a) 330 b) -330 c) 5280  2
d) -5280 e) Otro valor

25

2835 4 3 − 2835 4 3 10. ¿Qué lugar ocupa el término del
a) x y b) x y 120
8 8  1
desarrollo binomial de:  x +  que es
945 3 4 − 945 3 4  x
c) x y d) x y
16 16 de grado 100.
e) no hay término central. a) 15 b) 14 c) 13
d) 12 e) 11
5. El término independiente de “x” en el
4 11)Hallar el 4to término de:
 1 
desarrollo de  x − 2  es el: ( 2 x 2 + 3y 4 ) 5
 x  4 4
a) 2° término b) 3° término A) 1080 x y 1080x 4 y10
B)
4 12 4 12
c) 4° término d) último término C) 1080x y D) x y E) 1080 x y
e) No hay término independiente de “x”
12) Hallar el 6to término de: (3x 2 + 2 y 3 ) 7
6. Halla el valor de “x” de tal manera que Ver cual es el grado absoluto.
el coeficiente del 3° y 5° términos en el A) 20 B) 21
desarrollo de: (2x-1)5 sea igual a 72. C) 23 D) 22 E) 10
a) x=±2 b) x=±4 c)
x=±3 13) Hallar el tercer término del desarrollo
d) x=±5 e) x=±6 de: ( x 4 + 3 y 5 )10
A) 405x 2 y 32 B) 405x 16 y 32
7. ¿Qué valor debe tener “n” para que el
32 2 16 16
cuarto término del desarrollo de: C) 405x y D) 405x y
n 4 4
2 x  E) 405x y
 +  , sea el término
x 2 14) Hallar el término central de:
independiente. Cita el coeficiente del
término que sigue al término de grado
(x 2 − y 3 )8
cero. A) 70 x 4 y 8 B) 70 x 8 y 8
25 15 15 8 12
C) 70 x y
12 8
D) 70 x y
a) b) c)
4 2 4 3 4
E) 70 x y
24 25
d) e)
5 2 15) Hallar el término central de: (a 3 − b 3 ) 4
8. El término central en el desarrollo de: A) 6a 6 b 6 B) 6a 4 b 4
(2x-y)6 es: C) 6a 3 b 3 D) 6a 4 b 5 E) 6a 5 b 4
a) -60x2y4 b) 60x2y4
3 3
c) 160x y d) -160x3y3 16) Hallar el término central de: (3a − b ) 6
e) No hay término central
A) − 540a 3 b 3 B) − 540a 4 b 4
9. Halla el término anterior al C) − 540b 2 D) − 540a 2 E) − 540b 6
independiente de “x” en el desarrollo del
siguiente binomio de Newton: 17) Hallar el término de lugar 5 en:
13
 x
3 2
1  (x 2 + y 3 ) 6
 +2 
 2 x A) 15x y
2 3
B) 15x y
4 12
  12 3 12 12
715 15
13 453 1513 C) 15x y D) x y E) 15x y
a) x b) x
16 15
18)Hallar el término de lugar 10 en:
c) 720x1/2 d) 360x1/4 e)
485x3 ( x 2 − y 3 )10
10 4 10 6
A) x y B) 85x y
10 16 12
C) 48x y D) 56 x y E) N.A.


19)Calcular el término central del desarrollo 20)Calcular el tercer término del desarrollo
de: de:
(a + 2b ) 8 (2 x + 3) 5
A) 1120a 2 b 2 B) 1120a 4 b 4 A) 720 x 2 B) 720 x 31
C) 1120a 3 b 3 D) 1120a 8 b 8 E) N.A. C) 720 x 3 D) 720 x 9 E) 720 x

27

Tema nº 03: l o G a r I T m o s
Capacidades:
 Define logaritmo.
 Aplica propiedades de logaritmos.
 Resuelve ecuaciones con logaritmos
 Resuelve problemas con logaritmos, aplicando su definición y propiedades.

Exploración y Desequilibrio:
 ¿Qué es un logaritmo?

 ¿En que se diferencia un logaritmo decimal, de un logaritmo neperiano?

 ¿Qué es un antilogaritmo y un cologaritmo?

 De acuerdo a la definición de logaritmo calcula los siguientes ejercicios:
 1 
• Logaritmo de 9 4
  en base

3
3
 27 

• Si se sabe que: log 2 = a ; log 3 = b , calcular el log 24 4 .
log (28 x )
• 2 = 4x 2
1.-DEFINICIÓN DE LOGARITMO
El logaritmo de una cantidad real positiva es una determinada base (b) positiva y diferente
de la unidad, es el exponente al cual debemos elevar dicha base (b) de manera que
resulte dicha cantidad.

Traduzcamos a lenguaje matemático lo anterior:
log b N =x ⇔ x =N
b donde N>0
b > 0∧b ≠1

Por ejemplo:
• log 2 8 = 3; porque : 23 = 8
• log 3 243 = 5; porque : 35 = 243
1
• log 4 2 = ; porque : 4 4 = 4 = 2
2

Otro ejemplo:
• Si log 4 x = 3 , cuanto vale x.
→ 4 3 = x, luego : x = 64

2.- PROPIEDADES DE LOGARITMOS
A continuación se presentan una serie de propiedades, las cuales son fundamentales para
el buen desenvolvimiento del tema; del nivel de manejo que se tengan de ellas,
dependerán los resultados a obtener.

Logaritmos Segundo Año

(I) Relación fundamental
A log a N =N

(II) Logaritmo de una multiplicación y una división.
log a ( MN ) =log a M +log a N

M
log a ( ) = log a M − log a N
N

(III) Logaritmo de una potencia
log a N n =n log a N

1
log a a N = log a N
N

(IV) Cambio de base
log b N
log a N =
log b a

1
log a N =
log N a

(V) Cologaritmo y antilogaritmo
co log a N = log a N
−

anti log a N =a N

3.- TEOREMAS PARA RESOLVER ECUACIONES LOGARÍTMICAS

(I) Si: log a N = log a M → N = M

Si: log a N = x → N = a
x
(II)

R
RECUERDA QUE:
¡
¡CUIDADO!

E
El número debe ser (+)

L
La base debe ser
T
También:
La base debe ser (+)
(Regla de la cadena)

4.- ECUACIÓN LOGARÍTMICA
Se denomina ecuación logarítmica a toda aquella que contiene una o más funciones
logarítmicas de la variable.
Ejemplos:
 Log 5 x = 2
 log 2 (2 x − 1) − log 2 ( x + 1) = 0

 (log 3 x) 2 − log 3 x − 2 = 0

Las raíces de una ecuación logarítmica puede hallarse:
I. Aplicando la definición de logaritmo.
II. Aplicando la propiedad Si: log b m =log b n, entonces m =n

III. Introduciendo una nueva variable.

ejercIcIos De aplIcacIón

1) Encontrar el valor de “x” a partir de: (log x a + log x x 2 ) (log a a 2 + log a x ) = log a a10

Considere: a > 0 ∧ a≠1

Solución:

Sabemos: logab = 1 ∧ logbbn = n logbb = n (1) = n

Según el enunciado:

(logx a + 2) (2 + loga x ) = 10

Además: loga b ⋅ logb a = 1
1
Llamaremos: loga x = m ∧ log x a =
m
 1
Poniendo en (I):  2 +  (2 + m) = 10
 m

(2m + 1) (2 + m) = 10m
Resolviendo: ⇒ m = 1 / 2 ∧ m = 2
m = 1 / 2
 → log a x = 1 / 2 ↔ x = a1/ 2 = a
Como m = logax 
m = 2
 → log a x = 2 ↔ x = a2

∴x = a ∧ x = a 2

1 + log5 7 1 + log7 5
2) Reducir: + =?
1 − log5 7 1 − log7 5

Sabemos: loga b ⋅ logb a = 1 por lo tanto según el problema.

1
log5 7 ⋅ log7 5 = 1 → log5 7 = , reemplazando en el enunciado.
log7 5
1
1+
log 7 5 1 + log 7 5 log 7 5 + 1 1 + log 7 5
⇒ + = + =?
1 1 − log 7 5 log 7 5 − 1 1 − log 7 5
1−
log 7 5
 log 7 5 + 1  1 + log 7 5
∴−
 1 − log 5  + 1 − log 5 = 0

 7  7

3) Resolver: Sabemos: log a + log b = log a ⋅ b , además
log a − log b = log a / b
En el problema: log x + 14 + log x + 7 = log( x + 14) ( x + 7)


log x + 14 + log x + 7 = 1 + log 1,2 ...... (I)
Como:
1 = log 10

En (I) tenemos: log( x + 14 ) ( x + 7 ) = log(10) (1,2)
log( x + 14 ) ( x + 7 ) = log 12

⇒ ( x + 14 ) ( x + 7 ) = 12 (Para que cumpla)
x+7≥0 ∧ x + 14 ≥ 0

Resolviendo:

x 2 + 21x + 98 = 144 ⇒ x 2 + 21x = 46

∴ x 2 + 21x − 46 = 0

x + 23 x = −23 (no cumple )

x − 2  x = −2 (si cumple )
Rpta: x = 2

4) Resolver la ecuación: log 3 + log1/ 3 x + log 3 x + log 9 x = 10
n
Sabemos: log bn N = log b N

Primeramente hacer que todos tengan una misma base.

• log1/ 3 x = log (1/ 3)−1 x −1 = log 3 x − 1 = log 3 1 / x ... (I)

• log 3
x = log x 2 = log 3 x 2 = log 3 x 2 ... (II)
32

• log 9 x = log 3 x = log 3 x = log 3 x ...... ( III)
• (de I, II, III); reemplazando en el problema:

log 3 x = log 3 1 / x + log 3 x 2 + log 3 x = 10 ⇒ 10 = log 3 310

2
log 3 ( x ) (1/ x ) x x
= log 3 310
5/2
log 3 x = log 3 310 = x 5 / 2 = 310
x = 3 4 = 81

5) Calcular: E = log 2 3 + log 3 2 ⋅ log 3 2 ⋅ log 3 6

log a b + log a c = log a b ⋅ c 
Sabemos: a > 0 ∧ a ≠ 1
log a b ⋅ c = log a b + log a c 

E = log 2 3 + log 3 2 − log 2 6 ⋅ log 3 6
En el problema:  
 
(I)

I. log 2 6 ⋅ log 3 6 ⇒ (log 2 6) (log 3 6) ; 6 = 2x3 ← ojo

• log 2 6 = log 2 (2x3) = log 2 2 + log 2 3 ; igualmente.
• log 3 6 = log 3 (2x3) = log 3 2 + log 3 3 ; ademas sabemos log b b = 1

Reemplazamos:

E = log2 3 + log3 2 − (1 + log2 3) (1 + log3 2)
E = log2 3 + log3 2 − [ 1 + log3 2 + log2 3 + log2 3 + log3 2 ]
E = − (1 + log2 3 ⋅ log3 2)
 
 
Sabemos :

loga b ⋅ logb a = 1

E = −(1 + 1) = −2
Por lo tanto:
E = −2

log 27 = a
6) Si: 12 . Calcular: log 16

Recordar: log a b n =n log a b

∴ log12 27 = log12 3 3 = 3 log12 3 ....... (I)

Por lo tanto: a = 3 log12 3; nos piden : log 6 16.

Luego: log 6 16 = log 6 4 2 = 2 log 6 4 → nos piden log 6 16 ó 4 log 6 2

Pero como: a = 3 log12 3 ; llamaremos log 6 16 = x = 4 log 6 2

1 3 3 
log12 3 = →a= =  log3 12 = log3 4 + log3 3
log3 12 log3 12 2 log3 2 + 1

1 4 4 
log 6 12 = →x= =  log 2 6 = log 2 2 + log 3 3
log 2 6 log 2 6 log 2 3 + 1
3 1
∴a = ; ademas : log 3 2 = ;.
2 log 3 2 + 1 log 2 3
3 3 log 2 3 reemplazando
4
a= = ; ademas x =
2 2 + log 2 3 log 2 3 + 1
+1
2 log 2 3
3 3 4
⇒x= log 2 3 + 1 = → log 2 3 = − 1 ......... (I)
log 2 3 + 1 x x

Reemplazando en “a”

Por lo tanto :
4  12 12 − 3 x
3  − 1 −3
x  x x
a = = =
4  4 4+x
2 +  − 1 +1
x  x x

12 − 3 x
a = a = (sacando x )
4+x

∴ 4a + ax = 12 − 3 x 
 utilizando la ecuación de
(a + 3)x = 12 − 4a
primer grado
12 − 4a 
x= 
3+a 


12 − 4a
Por lo tanto: log 6 16 = ; siendo a = log12 27
3+a

prácTIca De clase

1. Simplificar la expresión: log 2 3 log3 4 log 4 5
3+ 4+ 5
(log 6 4 + log 6 9) log3 ( 5+ log 2 16 ) a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 15
a) 2 b) 3 c) 5 d) 4 e) 16
11. Halla el valor de ”x” en:
2. Reducir: antilog x antilog x x =16
S = log16 log 6
log 2
8 a) 1 b) ½ c) 3/2 d) 2

1 1 12. Halla el valor de ”x” en:
a) 4 b) c) 2 d) e) 1
4 2 log 7 (x-2) + log 7 (x-5) = 2 log7 2
a) 1 b) 3 c) 4 d) 6
3. Simplificar la expresión:
anti log 2 6 + anti log 3 [ anti log 2 3 − log 3 729] 13. log 3 (5x-1) + colog 3 (3x-5) = 2
a) 9 b) 12 c) 18 d) 64 e) 73 a) 5 b) 4 c) 3 d) 2

4. Simplificar la siguiente expresión: log( 35 − x 3 )
14. Resuelve: =3
anti log 4 (log 4 3 + 1) + log 3 (anti log 2 5 − 5) log(5 − x )
a) 15 b) 10 c) 9 d) 16 e) 41 a) 2 b) 3 c) 4 d) a y b

5. Reducir la expresión 15. ¿Que valor resuelve la ecuación?
log 16 + log x + log (x - 1) + log 100 = 1
 a 2b 3   b 3c 4   c4 
3 log 4  + 2 log 2  + log 2 15 
 c   a  a b  log (x2 - 4 ) + log 15 + log 2 4
      a) 8 b) 9 c) 10 d ) 11
a) a b) b c) c d) 1 e) 0
16. Calcular el valor de “x” en:
6. Indicar el equivalente de: Log x
S = 31+log3 2 + 21+log2 3 -2
x
-√ 2
= 100
a) 10 b) 10 c) 10-3
a) 12 b) 4 c) 6 d) 42 e) 1

17. El cuádruplo del logaritmo de un cierto
7. Reducir la expresión
número excede en 4 al duplo del
A = 21+ log 2 5.51+ log5 3 logaritmo del mismo número. ¿Cual es
a) 220 b)150 c)100 d)12 e) 42 este número?
a) 10 b) 102 c) 10-2 d) 10-1
8. Simplificar
[
R = co log 3 9 + co log 2 5 2+log5 3 + 53 ] 18. Si log 2 = 0,30103
y log3 = 0,47712.
a) -1 b) 4 c) -6 d) -9 e) 0
Hallar el valor de log 48
a)1,80618 b) 0,60206
9. Indicar el equivalente de:
c) 1,68124
2 2+ log6 5.31+ log6 5
a) 60 b) 30 c) 15 d) 7.5 e) 3.75 19. Calcular el valor de:
M = log 6 216 + log 8 64 + log13 169
10. Marcar el resultado de efectuar: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

27. Luego de resolver:
20. Si: log 2 3 = a, indicar el equivalente de: log( x − 2) + log( x + 1) + 1 = log 40
Indique la suma de raíces
log 24 64 a)1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
5 6 5
a) b) c)
1+ a 3+ a 3+ a 28. Calcular el valor de “x” en:
6 3 (log x 9) 2 − 4(log x 9) + 4 = 0
d) e)
a+4 a+2 a)2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 9

29. Calcular el valor de “P”, si:
log3 ( x + 2 ) = x 2 +12
21. Resolver: 9 P=
anti log x 3 + anti log y 3

a) 9 b) 6 c) d) 5 e)
anti log x 2 − xy + anti log y 2
3
a)x-y b) x+y c) 2x d) 2y e) 1
2

30. Resolver:
22. Resolver: co log( anti log x )

1
[ log 9 + log 3 − 2 log 8]
log x = 1 +
(log x) anti log(log x )
= log 2 10
3 a)1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
15 15 5
a) b) c) 31. Resolver:
9 2 4
2 log log x = log(7 − 2 log x) − log 5
25 15
d) e) 7
2 4 a)1 b) 10 c) −
d) 10 −2 e) 10 2
10 5

23. Calcular: log(180) 32. Verificar la veracidad de las siguientes
Si además: log 2 = a ; log 3 = b
2 3 expresiones:
 ( ) El logaritmo de una
a) a 2 + b 3 b) a + b c) 2a 2 + b 3 multiplicación es equivalente a la
d) a 2 + 2b 3 + 1 e) N.A suma de los logaritmos de cada uno
de sus factores
 ( ) El logaritmo de una división
24. Calcular el valor de “y” en:
es equivalente a la diferencia del
(log 3 x)(log x 2 x)(log 2 x y ) = 2 logaritmo del numerador menos el
y dar como respuesta el mayor valor logaritmo del denominador
de “x”  ( ) La función logaritmo es toda
9 aquella cuya regla de
a) b) 9 c) 18 correspondencia viene expresado
2 por: f(x) = log x; donde x > 0
d) 27 e) 81
33. Indicar cual frase es verdadera respecto
25. Resolver: a cualquier sistema de logaritmos.
log 6 ( x 3 − 1) − log 6 ( x − 1) = log 6 ( x 2 + 4) a) Los números positivos menores que
a)1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 uno tienen logaritmos negativos

26. Resolver: log 2 ( x 2 − 3x + 6) − log 2 ( x − 1) = 2
b) El logaritmo de la base siempre es
cero
y dar como respuesta el mayor valor
de “x” c) El logaritmo de uno es siempre uno
a)3 b) 4 c) 5 d) 8 e) 10 d) La base de un sistema de logaritmos
puede ser cero.


34. Resolver: ( logx )1/2 = log (x )1/2 36. log 6x . log x 2x . log 2x 3x = log x x2
a) 1 b) 102 c) 104 d) a y c a) 2 b) 3 c) 6 d) 12

35. Calcular: 2 + log x = 3 log 24 - 8 log 37. Determinar la suma de los valores
2 + 6 log enteros de “n” para que: x2- 2 x+log n=
3
3 - log 243
0, admite raíces reales.
a) 32 b) 3,2 c) 0,32 d) 0,16
a) 6 b) 7 c) 8 d) 5

prácTIca De clase

1. Resolver la ecuación: log(7x-5) = 2 log( x + 2) + log( x − 4)
= log 3 (2 log 4 16 + 5)
Indicar como respuestas: log( x − 2)
S = log( x − 5) + log 2 ( x + 1) a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

a) 2 b) 5 c) 4 d) 9 e) 7
7. Para qué valor de “x” se verifica la
relación:
2. Calcular el logaritmo de 3/ 5 en
base 125/27 log 9 x + log 3 x + log 27 x + log1 / 3 x = 2.5
a) 1/3 b) ½ c) 1/6 d) -1/6 a) 27 b) 9 c) 4 d) 16 e) 3

3. Luego de resolver la ecuación: 8. Resolver: log 2 log 3 (x+2) = 2

3 log 3 x − 1 = 5 log 3 x − 7 a) 81 b) 85 c) 79 d) 72

Indicar como respuestas:
9. Analiza los logaritmos neperianos y
log 5 x − 2
evalúa los problemas que se
1 1 presentan en la solución de los
a) 1 b) 2 c) d) e) 3
2 3 ejercicios.

4. Resolver la ecuación: 10. Elabora un listado de problemas para
log 4 3 + log 4 ( x + 1) = log 2 6 + log 4 ( x − 9) ver en que se usan los problemas y
Marca luego el valor de 11x relaciónalo con la vida cotidiana.
a) 109 b) 201 c) 340 d) 100 e) 421
11. ¿Cual es la base de log 8 si éste es
5. Después de resolver la ecuación: igual a -1,5 ?

1 a) 1 b) 0,5 c) 0,25 d)
log( x − 3) = log(3 − x )
2 0,125

Calcule el valor de: log 3 2 + log 2 x
12. Reduciendo la expresión:
a) 2.2 b) 1.2 c) 0.5 d) 1.5 e) 2.5
6. Calcular el valor de “x” en la log 2 [ anti log 4 (log 2 3 + 1) − log 3 81]
ecuación: Se obtiene:
a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

13. Simplifique la expresión: a) 0,5 b) 0,25 c) 0,125 d) 0,75
1 22. ¿Cuál de los siguientes valores es el
anti log 3 (log 3 [ anti log 2 (log 4 3 + 2)] + )
2 mayor?

a) 5 3 b) 6 c) 4 d) 3 e) 2 a) log 1/0,25 b) log 0,2
4 5
c) log 1/27 d) log 8
14. Reducir:

{log [anti log ] }
3 2
anti log 3 10 2
( log 2 5 + 3) − 10 + log 3 12

a)6 b) 6 c) 3 d) 3 e) 2 23. Indicar lo falso:
a) log 7 (-7) = no existe
15. Reducir la expresión: b) log 1 5 = no existe
A = anti log log 2 anti log 9 log 3 5 c) log (-2) 8 = no existe
2

a)25 b)5 c) 4 d)2 e) 1 d) log 1 1 = no existe
e) Todas no son falsas

16. Simplificar la expresión
24. Averigua que condiciones debe
3 log b (a 2 b 3 ) − 2 log b ( a 3b 4 )
cumplir una función logarítmica para
a) 1 b) b c) 2 d) 2b e) 0
graficarlas, además cuales son las
diferencias con otras funciones.
17. Reducir la expresión

4 log a (a 2 b 3 ) − 5 log a (a 2 b 3 ) + 3 log a (a 5b) 25. Efectuar la expresión

( )
a) 4 b) 5 c) 6 d) 12 e) log3 3
log 2 3 log3 2 log 2 5
13 9. 4. 25
a) 30 b) 42 c) 12 d) 10 e)
18. Señale el equivalente de: 15

 a3   b5  26. El equivalente de la expresión
5 log a  2  + 2 log a  4 
b  a 
    1+ log a b
( ab ) anti log ( 2−log 3) , es :
2 2

a) 7 b) 6 c) 4 d) 2 e) 1 3
a) a 3 a b) 4
ab c) ab 3

d) ( ab )
3
19. Simplificar la expresión e) ab

 a2   a4   a4 
4 log b  3  − 5 log b  2  + 3 log b  3 
b  b  b  27. Reducir la expresión
     
a) 9 b) 0 c) -11 d) 6 e) 3 log b ax log a cx log c dx log d b 2
a) 2 b) 3 c) 6
20. Hallar: log de 125 en base 625
d) log 7 9 e) log 2
a) 0,5 b) 0,65 c) 0,75 d) 0,25

28. Señale el equivalente de:
21. Hallar el número cuyo log de base 21/2
es igual a -6
(1 + log ab a ) (1 + log a b ab )(1 + log a b
2 2 2 ab 2 )


a) 1 b) 2 c) 4 d) a e) b E = log 4 9. log 5 2. log 3 125. log 27 8
a) log 8 3 b) log 3 2 c) log 3 8
29. Hallar el valor de “x” en:
d) log 2 3 e) log 2 9
log x 243 = −5
1 1 1
a) 3 b) c) 2 d) e) 35. Resolver:
3 2 5
22
log125 x + log 25 x + log 5 x =
3
30. Hallar el valor de “x” en:
a) 5 b) 25 c) 125 d) 625 e) 45
log x 3 16 = 2
a) b) 3 c) d) 6 e) 3 36. Si: log b a + log c b = log c a Calcular el
3 3 3
2 4

valor de: log a b + log b c
31. Calcular el logaritmo de 3
25 en
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

base 6 5 37. Resolver: 6 (102x) -4 = 10 x+1

2 1 9 a) 1 b) 1/3 c) - 1/3 d) log 2
a) b) c) 4 d)2 e)
3 2 20
38. Calcular “x” si:
32. Hallar el de “x” en: Log N = 0,146 135 …..……( 1 )
(x+1)

1 1 log N = 0,292 270 ………... ( 2 )
log (1−2 x )   = − (x-1)

2 2 b) 2 b)3 c) 4 d) 5

3 3 5
a) b) − c) − d)-4 e) -2
2 2 2 39. Calcular el valor de E = 10r, si:
33. Si: log( 5 − 2) = m ; Calcular el valor r = 0,5 - log 0,375 10
a) 5/3 b) 8/3 c) 0 d) 10/7
de: log( 5 + 2)

1
a) b)m c)-m d) m 2 e) 2m 40. Indicar la diferencia de raíces:
m
log2 (9 x+1 +7) = 2 + log2 (3x+1 + 1)
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3
34. Reducir la expresión “E”

Tema nº 04: fUncIones exponencIales y loGaríTmIcas
Capacidades:
 Saber identificar una expresión algebráica y su clasificación, lo cual nos va a permitir reconocer un
polinomio y en forma directa calcular su valor numérico cuando en ciertos ejercicios así lo requieran.


fUncIón exponencIal:

Antes de tocar este tema es conveniente recordar la teoría de exponentes, restringir números
reales positivos y los exponentes a números racionales.
1) a x ⋅ a y = a x + y 7) (a x ) y = a xy
ax
2) = a x−y 8) n ab = n a ⋅ n b
ay
a na
3) (ab) x = a x − y 9) n =
nb
,b ≠ 0
b
x
 a ax n
4)   = x
, ∀b ≠ 0 10) am = am / n
b b
0
5) a = 1 ∀ a ≠ 0 11) mn
a = mn a
−x 1
6) a = ,∀ a ≠ 0 12) m n
a b =
mn
anb
ax

Definición: La función exponencial de base a, se define de la siguiente manera:
f ( x ) = a x , ∀ a ∈ R + − {1}; D f = R
Observación:
¿Por qué se excluye a, a = 1?
También debemos excluir las bases negativas, ya que lo contrario tendríamos que excluir
muchos valores de x del dominio, como x = 1/2; x = 3/8, etc. Recuerda que (-2) 1/2, (-1) 3/8,
etc., no están definidas en el sistema de números reales.

Grafica de Funciones Exponenciales.
a) Cuando la base a ∈ < 0,1>:
y
⇒ En el grafico se observa:
f( x 1 ) x x
x •a > a
1 2
f( x ) = a
• f ( x1 + x 2 ) = f (x1 ) ⋅ f (x 2 )
(0 , 1 )
f( x 2 ) • D f = R ∧ R f =< 0, ∞ >

x1 x 2 x

b) Cuando la base a ∈ < 1, ∝ >:

y
f( x ) = a x ⇒ En el grafico se observa:
f( x 2 )
x1 x2
• a < a
(0 , 1 )
f( x 1 )
x1 x 2 x

Función Exponencial Quinto Año

• f ( x1 + x 2 ) = f (x1 ) ⋅ f (x 2 )
• D f = R ∧ R f =< 0, ∞ >

Grafica de la función exponencial natural, f(x) = ex:

• Sus propiedades son las mismas que las de la función f(x) = ax
y
x
3
x
f(x ) = e

x
2
x = 0

x

Problemas:
x
x  1
• Graficar: f ( x ) = ( 4) ∧ f ( x ) =  
3

Caso I: f(x)=4x a>1

Localizamos los puntos:

x f (x) y x
f( x ) = 4
− 3 1 / 64 64
• Para : x < 0
− 2 1 / 16
0 < f (x) < 1 16
− 1 1/ 4
0 1 4
• Para : x > 0
1 4 1
f ( x) > 1
2 16
-3 -2 -1 1 2 3 x
3 64

Senota que f(x) > 0 para todo valor de x.

Caso II:

Localizamos puntos:

x f ( x) y
−3 27 27
• Para : x < 0
−2 9 f( x ) = ( γ 3 ) x
f ( x) > 1 9
−1 3
0 1 3
• Para : x > 0
1 1/ 3 1
0 < f ( x) < 1
2 1/ 9
-3 -2 -1 1 2 3 x
3 1 / 27

Se nota que f(x) > 0 para todo valor de x.

• Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I) Si 0< a < b< 1 entonces ax < bx , ∀ x > 0

II) Si 1 < a < b entonces ax < bx , ∀ x < 0
x
a
III)Si 0 < a < 1 entonces ax <   ,∀ x ∈ R
b
Sol:
1) Mediante la exponencial decreciente:
Como: 0 < a < b < 1
0x< ax < bx <1x solo si x es y
positivo, como veremos la
siguiente grafica: ax
x x
⇒ a < b ∀x < 0;
bx
La propoción es x
b x
Falsa a

x

2) Mediante la exponencial creciente:

Como: 1 < a < b
1 < ax < bx ∀ todo x positivo, como veremos en la siguiente grafica:

y
x x
⇒a <b ∀x < 0; b x
x
a
Como habíamos visto anteriormente:
x
x
a
b x
f( x ) = m
1 < ax < bx
x
∴ Cuando x < 0, caso contrario. a x > bx
∴ La proposición es verdadera

x
( )
3) Graficando a x ; 1a , 0 < a < 1 : a x y

( 1 )x
x a
 1
ax <   ; ∀ x ∈ R+
a
x > 0
x
∴ La proposición esFalsa

problemas para la clase

1. Reconoce del sgte grupo de ejercicios, f. f ( x ) = 4 x −1 + 3
cuales son funciones exponenciales y
cuales no lo son ; escribiéndolo y f( x) = 2x − 4
g.
mencionando si son crecientes o
decrecientes:
h. f( x) = x 2 − 2
a. f ( x ) = (0;3) x
i. f( x) = x 2 + 4
b. f ( x ) = (1 / 3) x

j. f( x) = x 2 + 7
c. f ( x ) = (−2) x
k. f( x) = x2 − 8
d. f( x) = x 4

e. f ( x ) = 1x


2. Teniendo en cuenta la base de las sgtes. b. f ( x ) = 2 x +1 - 1
Funciones; indica si son crecientes o
x−2
decrecientes. 1
c. f ( x) =  +1
a. f( x) = ( 3 ) x 2
d. f( x) = 4− x - 5
b. f ( x ) = (2π ) x
e. f ( x ) = (0,3) − X + 2
c. f ( x ) = (3 / π ) x
f. f ( x ) = −2 x − 2
d. f ( x ) = 12 x g. f ( x ) = 3− x - 1

e. f ( x ) = 1 / 3x h. f ( x ) = 3x − 3

f. f ( x ) = (1 / 2) x − 2 4. Dada las sgtes funciones construir su
gráfica ; hallar dominio y rango:
g. f ( x ) = 5− x a. f ( x ) = −3 x +1 - 1 ; x ∈ [ 2;16]
x −2
1
b. f ( x ) =   + 1 ; x ∈ ] 2; ∞[
2
c. f ( x ) = 4− x - 5 ; x ∈ ] − ∞ : 3[
d. f ( x ) = 2 x − 2 ; x ∈ ] − ∞ : 3[
3. Dada las sgtes funciones construir su
gráfica ; hallar dominio y rango: e. f ( x ) = 3− x - 1 ; x ∈ ] − ∞ : 3[
2x
1
a. f ( x) =   + 3
4

problemas para la casa

1. Reconoce del sgte grupo de ejercicios, a. f ( x) = ( 5 ) x
cuales son funciones exponenciales y
cuales no lo son ; escribiéndolo y b. f ( x ) = (π ) x
mencionando si son crecientes o
decrecientes: c. f ( x ) = (3 / π ) x +1
a. f ( x ) = (0;5) x d. f ( x ) = 12 x -2
b. f ( x ) = (3) x + 2 e. f ( x ) = 1 / 3x - 4
c. f ( x ) = (−5) x f. f ( x ) = (1 / 2) x − 2 1
d. f ( x) = x 4 + 2 g. f ( x ) = 5− x - 5
e. f ( x) = 1x+ 2
f. f ( x ) = 4 x −1 − 3 gráfica ; hallar dominio y rango:
2x
g. f ( x ) = 21 x − 4 1
a. f ( x) =  +3
h. f ( x) = 2 2 − 2 4
f ( x) = 2x + 4 b. f ( x) = 2 x +1 + 1
i.
x−2
j. f ( x) = x 4 + 7 1
c. f ( x) =   -5
k. f ( x) = x + 5
2 2
d. f( x) = 4− x - 5
2. Teniendo en cuenta la base de las sgtes. e. f ( x ) = (0.3) − X +5
Funciones; indica si son crecientes o
decrecientes. f. f ( x ) = −2 x + 5 + 2

g. f ( x ) = 3− x + 1 1
x−2

b. f ( x) = −  + 1 ; x ∈ [ 2;16]
h. f ( x ) = −3 x − 3 2
c. f ( x) = −4 − x - 5 ; x ∈ ] − 1 / 5;5[
gráfica ; hallar dominio y rango: d. f ( x ) = 2 x − 5 ; ; x ∈ ] 2; ∞[
1  e. f ( x ) = 3− x + 1 ; x ∈ ] − ∞ : 3[
a. f ( x ) = 3 x +1 - 1 ; x ∈  ;27 
3 


fUncIón loGaríTmIca

Definición: Puesto que la función exponencial f(x) = ax, tal que f: R → R+ es una función invectiva.

Y su función inversa es: (Función Logaritmo)

Sea: a > 0 a ≠ 1, siendo “a” la base, denotada por:

Y = f ( x ) = loga x , ∀x > 0
 ay = x

• Don f = R+ = < 0, ∞ > Ran f = R = <-∞, ∞ >

Ahora veremos las siguientes graficas:
y
• Caso I: Si 0<a<1 ∧ y = lo g x 0<b<1
a
y = lo g b x
• Observamos:

• 0<b <a<1
(1 , 0 ) x
• ∀ x ∈ < 0,1> ; logax > logbx
• ∀ x ∈ < 1,∞> ; logax < logbx
• Si x = 1 → logax = logbx = 0

y
y = lo g b x
• Caso II: Si a >1 , b>1

• Observamos: y = lo g a x

(1 , 0 )
• 1<a <1 a ∧ b son x positivos.
• ∀ x ∈ < 0,1> ; logax > logbx
• ∀ x ∈ < 1,∞> ; logax < logbx

Ejemplos

f ( x) = log 3 x
1) Graficar la función: ; Hallar su dominio y su rango.
2

g ( x) = 1 + log 1 x
2) Graficar la función: ; Hallar su dominio y su rango.
2

3) Graficar la función: f ( x) = log 5 ( x + 2 ) ; Hallar su dominio y su rango.
4) Graficar la función: f ( x) = log 3 ( x − 2) − 2; x ∈ [ 4;27 ) ; Hallar su dominio y su rango.
5) Graficar la función: g ( x) = 1 + log 2 ( x − 4 ) ; Hallar su dominio y su rango.
6) Graficar: y = Lg 3 ( x − 1) , x ∈ [ 2,5)

problemas propUesTos

1. Para cada función sgte. Graficar y hallar f ( x ) = log 2 x − 5
dominio y rango: 
 f ( x ) = log 5 ( x − 5)

f ( x ) = log 3 ( x + 3) f ( x ) = log 1 / 2 x − 5
 

f ( x ) = log 5 ( x − 5) + 5 f ( x ) = log 1 / 3 ( x + 3)
 

f ( x ) = log 2 ( x + 2) − 2  f ( x ) = log( x − 5)


f ( x ) = log( x − 3)  f ( x ) = log 1 / 2 ( x + 2) − 6


f ( x ) = log x + 3  f ( x ) = log 1 / 3 ( x − 3) + 3


f ( x ) = log 2 x − 5  f ( x ) = log 2 x − 3

f ( x ) = log 2 x − 5
f ( x ) = log 3 ( x − 3) 

f ( x ) = log 3 ( x − 3)
f ( x ) = log 3 ( x − 5) + 3 

 f ( x ) = log 3 ( x − 5)
f ( x ) = log 2 ( x + 2 ) + 2

 f ( x ) = log 2 ( x + 2)
f ( x ) = log 5 ( x − 1) + 2

 f ( x ) = log 2 ( x − 5) − 5
f ( x ) = log 2 x − 1

f ( x ) = log 2 x − 5

 f ( x ) = log 3 ( x + 3) + 1
f ( x ) = log 3 ( x + 3)

f ( x ) = log 5 ( x − 5) + 5

 f ( x ) = log 5 ( x − 5) + 25
f ( x ) = log 2 ( x + 2 ) + 3

f ( x ) = log 2 ( x + 2) − 2

f ( x ) = log 2 ( x − 3)

 f ( x ) = log 1 / 2 ( x − 3)
f ( x ) = log 5 x + 5

 f ( x ) = log 3 x − 1
f ( x ) = log 2 x

 f ( x ) = log 2 x − 4
f ( x ) = log 3 ( x − 3)
  f ( x ) = log 3 ( x − 3) + 4
f ( x ) = log 3 ( x − 5) + 3
  f ( x ) = log 3 ( x − 1) − 3

f ( x ) = log 2 ( x + 2 ) + 2
  f ( x ) = log 2 ( x + 2) − 3

f ( x ) = log 1 / 5 ( x − 5)


Tema nº 05: maTrIces y DeTermInanTes
Capacidades:
 Define matrices y determinantes
 Opera con matrices.
 Clasifica matrices.
 Resuelve sistemas de ecuaciones aplicando matrices .
 Resuelve problemas con matrices y determinantes, aplicando definiciones y propiedades.


InTroDUccIón a las maTrIces

GENERALIDADES.- La solución de un sistema de ecuaciones lineales, no depende de los
símbolos que se usan como variable, sino de los coeficientes y constantes del sistema. Así:

3 x + y = 9 3s + r = 9
 y  , tienen la misma solución (2; 3)
5 x − y = 7 5s − r = 7

3 x − 3 y − 2 z = −18 3 p − 3q − 2r = −18
 
6 x + 2 y + 3z = −10 y 6 p + 2q + 3r = −10 tienen la misma solución (-4; -2; 6)
3 x − 3 y + x = 0 3 p − 3q + r = 0
 

Si con los coeficientes y constantes del sistema escribimos un arreglo rectangular de números
como aparecen a continuación, dicho arreglo se llama matriz.

A= 3 1 9 3 -3 -2 -18
5 -1 7 y B= 6 2 3 -10
3 -3 1 0
Los números de una matriz se llaman elementos.

DEFINICIÓN.- Una matriz “A” se m filas o renglones (horizontales) y n columnas (verticales)
se define tal como aparece en el arreglo de abajo y decimos que el orden de la matriz es m . n
o “matriz m . n” o simplemente matriz rectangular. Una matriz n . n se llama matriz cuadrad
de orden n.
a11 a12 a13 …a1n
a21 a22 a23 …a2n
A= a31 a32 a33 …23n
. . . .

. . . .

am am2 am3 …amn


Cada elemento de la matriz se representa con doble subíndice aij, donde un elemento de la
matriz está en el í-enésima fila y j-ésima columna. Así, a22 está en la segunda fila y segunda
columna; a23 está en la fila 2 y columna 3, etc.

IGUALDAD DE MATRICES. Sean las matrices:

A= 3 -2 -1 B= √9 -2 -1

4 1 2 22 10° 3
8

Observamos:
• Las matrices A y B son del mismo orden 2 x 3.
• Los elementos de A son igual a los correspondientes elementos de B.

Entonces A = B

De manera que: 2 3 4 ≠ 2 3 4 y 2 2 ≠ 2 2 2
1 0 2 2 0 1 2 2 2 2 2
¿Por qué?

Matriz fila: Si m = 1. Así: A =[2 -2 4 0]
Matriz columna: Si n = 1. Así: 3
A= -2
0

Matriz cuadrada: Si M = n. Así: 2 4 -1
A= 1 3 3
0 1 -5 ← Diagonal principal.

Matriz transpuesta.- Sea la matriz A de orden 2 x 3: A= 4 0 2
Si se intercambian las filas por las columnas, -1 3 5
t
se tiene la matriz transpuesta A de orden 3 x 2, o sea:
4 -1
At = 0 3
2 5

Matriz simétrica: Si At = A, las matrices, son simétricas, tales como:
A= -3 2 y At= -3 2
2 1 2 1

Matriz antisimétrica: Si At = -A, las matrices son antisimétricas. Así:
0 3 -4 0 -3 4
t
A= -3 0 -2 yA = 3 0 2
4 2 0 -4 -2 0

Matriz diagonal: una matriz cuadrada es matriz diagonal, si todos los elementos que no
pertenecen a la diagonal principal son ceros, tales como A y B.

A= 3 0 5 0 0
0 4 y B= 0 -2 0
0 0 4

Matriz escalar: Una matriz diagonal es escalar K, si todos los lados de la diagonal principal
son iguales, tales como C y D.

A= 2 0 -3 0 0
0 2 y D= 0 -3 0
0 0 -3
Matriz identidad: Es una matriz escalar, donde K = 1, tales como E y F.

E= 1 0 1 0 0
0 1 y F= 0 1 0
0 0 1
Matriz nula: Es una matriz en la cual todos sus elementos son 0. Se denota por

0 0 0
= 0 = [0 0] = 0 0

prácTIca De clase

1. Si: x+1 1 4 2 y-3 y
=
y-x -1 2 3 -(x+y) 2 5. Halla: a22 + a41 + a34 – 3a12.
Halla: 2y + x
6. Resuelve: a21 + a14 . a45.
2. Si: 4 2
1 3 , halla At 7. Halla la traza de la matriz A = [aij] de
-2 3 orden 3 y tal que:
aij= i+j , si i≤j
3. Si 4 2x+y x+y i-j , si i>j
2
A = 3y-2 5 x -1 ,
3y-2x 3 3 8. Escribir explícitamente la matriz "A".
2
es simétrica, halla el valor de: x -5y aij = ij; i = j
A = [ Aij]2×3 / aij = i + j; i = j
/
1 4 3 1 3 4  1 3 4 
4. La traza de: a 2a 3      
a) 5 1 3
b) 3 4 5  c) 3 4 2 
A = 2a 5 b+1 1 4 3 1 3 4 
   
3 2 b d) 5 1 2
e) 3 4 6 

vale 8, 5. Si A=A , halle: a +b2- ¼
t 2


9. Dada la matriz: −2 1   −2 5 
x = 
 2 1   − 4 0
4 x + 9 y 5x 
A=  a) -2 b) 0 c) 1
 18 x − 2 y
d) 3 e) 5
Donde se cumple:
a1 2 = 2 + a21 12. Construir la matriz:
a22 = 0 A = [aij]3× 2 /aij = i + 3 j
Calcular: x + y. 3 4  4 7  4 7 
a) 5 b) 9 c) 8      
2 1  5 1  5 8
d) 7 e) 6 6 7  6 7  6 9
a)   b)   c)  
3 4 4 5 
10. Si:    
4 5  6 7 
m + n 2 p + q  3 5  5 6  8 9 
 = 
d)   e)  
m − n p − q  1 4 
13. Sean las matrices :
Hallar: (m - p) + (2n - q).
x − 2 y x   2 y + 4
A=  B = 
a) 4 b) -3 c) 2  x − y 3 4 
3
;
d) 3 e) -2 Hallar : "x.y", si : A = B.
a) 6 b) 10 c) 8
11. Hallar la suma de los elementos de "x", d) 12 e) 14
tal que:


1. Dado:
1 4 2 8 6. Si A = [aij] es de orden 3 y aiji2-j, el
2 3 1 4 valor de tres (A) es:
A= 3 1 -3 -2 a) 8 b) 10 c) 6 d) 2 e) 0
4 0 5 -1
5 -1 6 0 7. Si: a 8 -1
A = b+3 3 2 , traz (A) = 12
2
2. a22.a32+a42:a51- a 11 , es igual a: -1 k b

a) 0 b) 4 c) 3 d) 1 e) 2 y A=At, el valor de b 2 − a 2 es:
a) 5 b) 4 c) 9 d) 1 e) 3
3. La matriz A es de orden:
a) 5x3 b) 4x5 c) 5x4 8. La suma de todos los elementos de la
d) 5 e) 4 primera fila menos la suma de todos los
elementos de la primera columna es:
4. Al resolver: a23x 2-a
41 x-(a14+a24)=0, se a) 1 b) 2 c) 3 d) 0 e) -1
obtiene:
a) {-6; 2} b) {-6; -2} c) {2; 6} 9. La suma de todos los elementos de la
d) {(6; -2)} e) {-2; 6} matriz: A = [aij]2x3, donde:
aij = i + j, es:
5. x -y , es:
2 2
a) 21 b) 13 c) 18 d) 20 e) 25
a) 27 b) 29 c) 21 d) 26 e) 24

10. Si A es una matriz de orden 4 x 3 At es
de orden: 12. A es una matriz de orden 3. Si A es
a) 4x3 b) 3x4 c) 4 escalar y traz(A)=21, el valor de aii es:
d) 3 e) 12 a) 7 b) 6 c) 5 d) a e) 21

11. La ecuación cuadrática cuyas raíces son 13. A es una matriz diagonal, ¿es A=At?
½ y 1/3, es: a) Si b) No
2 2
a) 6x +5x+1=0 b) x +5x+6=0
2
c) 6x -5x+1=0 d) 6x2+5x+1=0 14. a + 2y + x, es:
e) 6x2-5x-1=0 a) 0 b) 1 c) 2 d) 10 e) -10

álGebra De maTrIces
Cualquier par de números reales puede sumarse, restarse y multiplicarse; sin embargo, dos
matrices pueden sumarse, restarse y multiplicarse si cumple ciertas condiciones.

ADICIÓN DE MATRICES
Dos matrices A y B pueden sumarse si tienen el mismo orden m x n. La suma es la matriz m x
n que resulta de sumar cada elemento de A con su correspondiente elemento de B, así;

Halla A + B, si A = 3 1 -1 yB= 3 2 -5
3 -4 0 1 0 -1
Solución:

A+B= 3+2 1+2 -1 +(-5) = 5 3 -6
3+1 -4+0 0+(-1) 4 -4 -1

Luego: Si A = [aij]mxn y B = [bij]mxn , se tiene: A + B = [aij + bij]mxn

De donde se reduce, la operación de adición en el conjunto de matrices m x n satisface las
propiedades siguientes:
Conmutativa : A + (B+C) = (A+B) + C
Elemento Neutro :A+0=0+A=A
Inverso Aditivo : A + (-A) = 0 = (-a) + (A)

SUSTRACCIÓN DE MATRICES
Para restar dos matrices A y B de orden m x n aplicamos el inverso aditivo: A – B = A + (-B)
Por ejemplo:
Halla: A – B, si: A= 3 2 y B= 2 -4
5 4 3 5

Solución:
-2 4 De donde: 3 2 -2 4 1 6
-B= A-B=A+(-B)= + =
-3 -5 5 4 -3 -5 2 1


Luego:
Dadas las matrices: A = [aij]mxn , B = [bij]mxn , se tiene: A – B = A + (-B)

PRODUCTO ESCALAR
Para multiplicar un número real “K” por una matriz A, se multiplica dicho número por cada
elemento de la matriz A.
Por ejemplo: Si K = 2 y A = -2 3 , halla: KA
5 -1
Solución:

KA=2A = 2 -2 3 = 2(-2) 2(3) = -4 6
5 -1 2(5) 2(-1) 10 -2

Luego: Dado K un número real y A=(aij)mxn, el producto KA=K[aij]mxn =[kaij]mxn

prácTIca De clase

Sea: 3 1 1 3 1 0 8. Si: A + 2B + X = ⊗, donde:
A= B= y I=
3 4 -1 1 0 1 1 -2 -½ 1
A= B=
Hallar: -1 2 ½ -1
1. A + B y ⊗ es la matriz nula m, halla X
2. 4A + 5B
3. 2A – B – 3I 3 9  4 7
4. Resuelve A + X = I, si X es una matriz.  13 + 3− 5 31  ; calcular
9. Efectuar:  4   
5. Si: 2  
21  12 
29 

1 3 3 9
8x+4 x- =2 la suma de los elementos de la matriz
2 4 6 12
resultante.

Hallar el valor de traz(X) 10. Al efectuar:

6. Si: A= -1 0 , calcular la suma de  5 9 11 9   3 9
 
2 -1 4 7 2 1 − 5 3 5   + 13 4
     13 ; Calcular

 4 6 10 13  2 21
todos los elementos de la matriz.       
E= A+2A+3A + … +nA la suma de los elementos de la matriz
resultante.
7. Si: 2x – y = B, donde: A = -1 2
x +y=A 0 11. Calcular la transpuesta de la matriz
1
 3 1   5 1  9 1
B= 2 3 , halla la suma de todos resultante: 2  + 3  + 4 
 2 4  6 5  3 5
-1 -1
los elementos de “X”

12. Calcular “a + b + c + d” de modo que la 13. Calcular:”a + b + c + d ”
matriz resultante sea nula:
1 3  1 3  1 0  a c 
2 −4 +3 =
 8 1 5 1  a c  5 3  5 3  0 1  b d 
13  − 19 2 10 +  b d 
 5 6    


pracTIca DomIcIlIarIa

La suma de todos los elementos de la 3 4 10
matriz resultante de: a) 12 b) 44 c) -16 d) -12 e) -44
1 4 -1 -3 -1 1
1. 2 5 + 4 1 - 6 5 , es 15. Si: a d 1 3 0 1
3 6 2 2 5 7 b e +2 1 5 -3 -1 0 =⊗
a) 0 b) 1 c) 2 c f 1 -2 3 -2
d) 3 e) 4 El valor de: a+b+c-(d+e+f), es
a) 0 b) -5 c) 15 d) 5 e) 24
2. 2 1 - 6 9 + 5 8
3 4 10 12 7 9 es: 16. Si: -2 3 4 2 -3 4
a) 0 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2 A= 0 1 -2 y B = -3 5 2
0 0 0 4 2 8
3. Si: 4 -8 5 10 9 7 Halla: A + b t
3 + 2 -4
-12 13 7 8 11 -6 0 0 8 0 -3 -4
la suma de todos los elementos de la a) -3 6 0 b) 0 6 2
matriz resultante es. 4 2 8 8 0 8
a) 39 b) -39 c) 40 d) -131 e) 131 0 -3 4 0 -3 4
c) 0 6 2 d) 0 6 2
4. Si: 8 0 8 -8 0 8

3 4 -8 +2 5 10 -4 9 7 0 3 4
12 13 7 8 11 -6 e) 0 -6 2
la traza de la matriz resultante es: 8 0 8
a) 19 b) 65 c) 111 d) 93 e) -26
17. Sean las matrices:
5. Si:  4 2 3 7 
A=  yB = 
-8 13 + a c= 1 0 − 3 1  1 2 
Hallar: 3A - 4B.
4 7 b d 0 1
 24 −32   4 −1 6 
el valor de ad – bc, es    
a) − 8 1 2  b)  5 1 2 
a) 106 b) -106 c) -3 d) 2 e) -10  0 −1 4   4 −6 
   
c) − 8 − 24  d) − 9 1 0 
6. Si:  0 −22 
 
e) − 1 3 − 5 
1 4 7 -1 4 -7
B= 2 5 8 -2 -2 5 -8
3 6 9 -3 6 -9
18. Dados:
Traz(B) es:
 3 −1  9 2 
a) 35 b) -25 c) 29 d) 25 e) -35 A=  B= 
y 1 3  0 1 
14. Si: Si: P(x;y) = 3x - 2y + 2
4 5 -3 Hallar: P(A; B).
t
B = -2 -8 7 , traz (B+Bt) es:

7 0 9 2  2 7 −7 −7  9 1 
         
0 −1 
a) 1 1  b) 3 3 c)  d)  3 9 e) 0 2 

mUlTIplIcacIón De maTrIces

Dadas las matrices A y B, el producto de matrices AB está definido si y solo si el número de
columnas de A es igual al número de filas de B, tales como:

1 3 4 2 -2 1 4 3 -2 4
A= y B= A=
-2 4 1 3 3 2 0 y B= 0 5 -1
1 2 6

Para multiplicar dos matrices cada elemento de la fila “i” de la matriz A por el elemento
correspondiente de la columna “j” de la matriz B, luego se suman los productos.
Por ejemplo:
Sean:

-2 1 4 3 -2 4
A=
3 2 0 yB= 0 5 -1 Halla: AB
1 2 6

Solución:
(-2)(3) + (1)(0) + (4)(1) (-2)(-2) + (1)(5) + (4)(2) (-2)(4) + (1)(-1) + (4)(6)
AB=
(3)(3) - (2)(0) + (0)(1) (3)(-2) + (2)(5) + (0)(2) (3)(4) + (2)(-1) + (0)(6)

AB= -6 + 0 + 4 4+5+8 -8 -1 + 24 = -2 17 15
9+0+0 -6 + 10 – 0 12 – 2 + 0 9 4 10

Observa que A es una matriz de orden 2 x 3 es de orden 3 x 3 y Ab es una matriz de orden 2 x
3. AB está definido, porque: 3 = 3. En general, el producto de una matriz A de orden m x n
con otra matriz B de orden m x p es la matriz C de orden m x p. C está definida, porque: m=n

Luego:
Si: A = [aij]mxn y B = [bij]mxp , entonces AB es la matriz.
C = [cij]mxp , donde cij = aijbij + ai2b2j + … + ain bnj

prácTIca De clase


Efectúa:
4 11. Si A = 1 -1 x 1 -1
1. [1 3 4]1x3 x -2 0 -1 0 -1
2 3x1

12. Si A = 1 1 , halla el valor de:
4 -1 0
15 19
2. -2 x [1 3 4]1x3 A +A
2 3x1

13. Si A = a c , halla: I x A
3. 4 3 2 b d
1 5 2x2 3 2x1 donde I es la matriz identidad.

4. 2 1 14. Calcular El Producto DE : M.Mt ; sabiendo
-1
3 3 x -2 1 2 0
-1 4 que: M =  
3 − 1 4

5. 2 4 x 1 3 3 5  8 a 
15. Calcular a + b:  .  =  
3 5 5 2 4 − 2 1 b 

1 0 1 4 2  5 − 2  − 7   m 
16. Calcular “m + n”  .  =  
6. 2 2 x -1 0 2 − 4 3   4   n 
4 3
17. Calcular la suma de de los elementos de
la diagonal principal de la resultante de la
7. Si: A= 1 1 , halla traz(A2)
1 
-1 -1  2 1   6 − 4
matriz:   
3
 2 − 2 8 
8. Si: A= 2 -1 , halla A2 2 
-1 2
18. Calcular la suma siguiente:

9. Si: A= 1 0 , halla A3  2 7  9
5 + [ 5 2 8] 2 + [ 3 4 11]  8 
[ 2 7 9]  
0 1    
 3
   4
  11
 
10. Si A= a 2 B= 1 2 ,
b -1 3 4 6 8
11 14 13  
19. Efectuar:  5 12 7   9 4  ;
  16 10
A x B = B x A, halla: a + b  
Calcular la suma de los elementos de la
matriz resultante.

El resultado de:

1. [-2 4] x 2 es: 3. Si: 3 -2 x a b = 17 1
3 1 4 -1 5 1 23
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 el valor de a + b es:
a) -8 b) -2 c) 10 d) 8 e) 2
2. 2
[1 5 7] x 4 es 4. Si: 1 -1 3 a 5
6 2 -3 4 x b = 8 , el
3 -2 0 c 6
a) 64 b) 12 c) 25 d) 16 e) 24 valor de a+b – 2c es:
a) -1 b) 0 c) 4 d) 5 e) -2
5. Si: 4 8 x -1 = a 6. La suma de todos los elementos de la
-2 9 4 b resultante de:
el valor de: a + b, es: 2 -4 2 0 4
a) 65 b) 66 c) 67 d) 70 e) 16 3 0 x -3 1 2 , es:
-1 1
3
7. Si A = -1 1 , el valor de traz(A ), es a) 45 b) 46 c) 24 d) 28 e) 25
0 -1
a) 1 b) -3 c) -2 d) 3 e) -1 8. Si: a2 a x 1 = 8 ,
b2 -3b 2 -9
3 3
9. Si: 2 -1 x 1 2 = m 5 el valor de el valor de a +b , si a > 0 , b > 0, es:
3 4 5 -3 n x
(m+n) – (r+s), es: 10. 2 0 4 2 -4
a) 19 b) 13 c) 7 d) 21 e) 33 -3 1 2 x 3 0 , es:
-1 1
3
11. Si: A = -1 -1 , el valor de A , es a) 3 b) 5 c) 7 d) 14 e) -9
0 1 12. Si M = 1 1 , el valor de 3M5-2M24 es
a) –A bI c) –I d) A+I e) A -1 0
a) A b) 2A c) I d) –A e) –I

13. Sean las matrices : − 1 − 2 − 2
 
 2 3 A= 1 2 1
A=  − 1 0
1 2   1 
1 −2 3 Hallar la traza de A2
B= 
4 1 2 
a) 7 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
Hallar: A.B.
1 4 −1 1 2  1 1 0 1 2 
    15. Dados :
a)  9 0 7  b)  9 0 7 1 1 
 
1 4 −1 1 0  1 4 −1 1 2  2
A=
1 −3 B =  2 3
   1 2 
  3 − 2 4   
c) 
9 0 1 
d) 
9 0 8
Hallar : A×B.
e) N.A.
0 1   1 −1   1 −1 
     
a) 2 4 b) 3 6  c) 3 5 
1 −1  2 −2 
   
d) 5 6
e) 1 5

14. Dada la matriz:


16. Dada la matriz:
4 0 2 1 
A=  A=
 1 2 
18. Dada la matriz: 0 1 

Además: P (x ) = x − 5 x + 2 I
2
Calcular: A2 − A
 6 0 0 1 2  3 4  Dar la suma de elementos de P(A):
     
a) 4 2  b) 0 5  c) 1 0  a) 8 b) -6 c) -4
1 2 0 5 0 d) 6 e) -8
   
d)  5 2 e) 0 1 
19. Dada la matriz:
α β" 4 1 
17. " "y" son las raíces de la ecuación: B= 
5 2 
x 2 − 4 x + 31 = 0
Calcular el determinante de:
Calcular: 3B T + I
α + β α + β
 
 −β α  1 3 0 1 5 1 3  1 3 1 5 
     
a)  4 7 b) 9 6 c) 3 7
a) 4 b) 9 c) 16 1 6 5  1 8 1 5 
   
d) 25 e) 36 d)  9 2 e) 9 6

DeTermInanTes

Hemos visto que una matriz es un arreglo rectangular de números. Si la matriz es cuadrada,
se le puede asignar un número al que se llama determinantes de la matriz. Si la matriz
cuadrada es A, el determinante es el número que se denota por |A| (no confundir con la
notación de valor absoluto).
Por ejemplo:
Si la matriz es A = 3 5 , su determinante es |A| = 3 5
2 -1 2 -1

De acuerdo al número de filas y columnas en una matriz cuadrada, el determinante puede ser
de: 2do. orden, 3er. orden, orden superior; nosotros nos referimos solamente de los
determinantes de segundo y tercer orden.

DETERMINANTE DE SEGUNDO ORDEN
De la matriz cuadrada: A = a11 a12
a21 a22
El determinantes |A| es de segundo orden y se define como sigue:

a11 a12
|A| = a11 a22 – a12a21
a21 a22

Así:
3 5

|A| = = (3)(-1) – (5)(2) = -3-10 = -13. Rpta.
2 1

De manera que si las flechas indican la diagonal principal Diagonal secundaria
y diagonal secundaria, el determinante de segundo orden
es igual al producto de los elementos de la diagonal
principal menos el producto de los elementos de la Diagonal principal
diagonal secundaria.

DETERMINANTE DE TERCER ORDEN
Si la matriz cuadrada: a11 a12 a13
A= a21 a22 a23
a31 a32 a33
El determinante de A es de tercer orden y se define como sigue:
a22 a23 a21 a23 a21 a22
|A| = a11 -a32 +a13
a32 a33 a31 a33 a31 a32

Este método de hallar una determinante de tercer orden se llama método de cofactores, donde
se observa:
• Se toma cualquier elemento como un factor y el otro factor es el determinante de segundo,
donde no intervienen los elementos de su fila ni de su columna.
• El primer y tercer factor son positivos y el segundo factor es negativo.
Por ejemplo:
2 1 1 -1 3 1 3 1 -1
|A| = 1 -1 3 =2 2 2 -1 3 2 +1 3 2
3 2 2

= 2(-2-6) – 1 (2-9) + 1 (2+3)
= -16 + 7 + 5 = -4 Rpta.

MÉTODO DE SARRUS
Para hallar una determinante de tercer orden por el método de Sarrus, se escribe a la derecha
de la matriz las dos primera columnas, luego se multiplican siguiendo el sentido de las flechas
y teniendo en cuenta el signo. Así:

FORMA GENERAL:
a11 a12 a13 a11 a12 |


|A| = a21 a22 a23 a21 a22 |

a31 a32 a33 a31 a32 |
- - - + + +
Ejemplo:
2 1 1 2 1

|A| = 1 -1 3 2 -1 |A| = (-4+9+2) – (-3+12+2)

3 2 2 3 2 = 7 – 11
= 4 Rpta.
- - - + + +
Advertimos que este método no funciona para determinantes de orden superior.

prácTIca De clase

Sean: A = 4 5 , B= -5 -1 C= 1 0 1 y D= 2 3 -1
-2 -3 3 2 1 2 2 0 4 2
4 1 3 1 -5 -3
Halla:
1. |A| + |B| 2. |A + b| 3. |A| x |B| 4. |A x B|

5. |C| - |D| 6. |C + D| - |C x D| 7. Si X ∈ Z, resuelve: x2 x = 10
1 3


1. Si. A= 2 3 , B= -3 10 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
1 5 4 -2
4. |C|, es:
1 4 7 3 4 5 a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
C= 2 5 8 D= 7 8 9
3 6 9 11 12 13 5. |D|, es:
el valor de: a) -1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3

2. |A| - 3|B|, es: 6. |A+B|, es:
a) 109 b) 115 c) -131 d) 131 e) -27 a) 68 b) -27 c) 62 d) -68 e) 27

1− | B | 7. |A+B|, es:
3. , es:
| A| a) 2 b) 3 c) 4 d) 0 e) 5

8. a b c Indicar la suma de cuadrados de las
a b c es: soluciones.
a) 1 b) 2 c) 3
1 2 3 d) 4 e) 5
a) -1 b) 0 c) a d) b e) c
15. Luego de resolver la siguiente ecuación:
9. m n p 5 −1 8 1
m 2
mn mp , es: +3 = 28
2 x 1 x
m2 n2 p2
a) m b) 0 c) n d) p e) mnp Indicar su solución:
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
10. 3√7 -2√3
-2√7 -√3 , es: 16. Se define la siguiente regla:

a) 147 b) -147 c) -7√21 a b c
d) 7√21 e) -√21 P (a, b , c) = 2 0 1
3 4 1
11. 3 0 1 A partir de ella, calcular : P(-2, 0, 1).
a) 16 b) 19 c) 20
2 x 2 = 28, es d) 21 e) 22
4 -2 3
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 a b
=2
c d
17. Si :
12. Se define la siguiente función :
2+a b 1 d
+2
x 0 0 x 0 0 x 5 7 2+c d 1 b
Hallar el valor de:
F(x ,y,z) = 0 y 0 + 4 y 0 + 0 y 5 a) -2 b) -1 c) 0
0 0 z 8 9 z 0 0 z d) 1 e) 2
A partir de ella, calcular: F (1, 2, 4).
18. Dada la ecuación:
a) 16 b) 18 c) 24
d) 15 e) 23 x 2 1 x 1 2
3 y −1 − 0 y 3
0 2 z 0 0 z
13. Sabiendo que : =0
se pide calcular el valor numérico de :
x
a −b a b z −1
− = 32 a) 2 b) 4 c) 3
2 3 6 −5
d) 5 e) 11
4a b 19. Dadas las matrices:
−4 1 3 1 
A=
4 2 
B =
Calcular el valor de:  
1 1  y  0 3

a) 8 b) 16 c) 32 | A.B |
d) 64 e)128 | B|
14. Luego de resolver la siguiente ecuación: | A|
Hallar:
x −1 a) 1 b) 2 c) 3
x d) 4 e) 5
2 x =0
20. Hallar el valor de:
3 1


a b a 22. Luego de resolver la siguiente ecuación:
E = 1 1 1 x 0 0
3 3
b 0 a 5 x −1 + =0
−2 x
a) a + b b) a - b c) ab 8 2 1

e) a + b
2 2
d) ab - 1 Indicar el producto de soluciones.
a) 5 b) -5 c) 6
21. Si se sabe: d) 3 e) -7
1 2 3
a b c =0 23. Si: α ; β y θ son las raíces de la ecuación:
4 5 6
x 3 + 5x + 3 = 0 ; Calcular el
Además: a + b + c = 18. determinante de:
Calcular:
α β θ 
a+c b  
β θ α
3 1 θ α β
 
a) 6 b) 13 c) -6 a) 0 b) 1 c) -1
d) 12 e) 18 d) 4 e) 7

reGla De cramer para resolVer Un sIsTema De Dos ecUacIones
lIneales

GENERALIDADES.- La solución de un sistema de ecuaciones lineales, no depende de los
símbolos que se usan como variable, sino de los coeficientes y constantes del sistema. Así:

a1 x + b1 y = c1
Sea un sistema de ecuaciones lineales: = 
a 2 x + b2 y = c 2
Multiplicando la primera ecuación por b2 y la segunda ecuación por –b1:

a1b2 x + b1b2 y = c1b2

− b1 a 2 x − b1b2 y = −b1c 2

De donde: aab2x – b1a2x = c1b1 – b1c2

Factorizando: x(a1b2 – b1a2) = c1 b2 – b1 c2 De donde:
c1b2 − b1c 2
x= (1)
a1b2 − b1 a 2
De manera semejante hallamos “y” multiplicando la primera ecuación por a2 y la segunda
ecuación por –a1.
a1c 2 − c1 a 2
y= (2)
a1b2 − b1 a 2

Observando cuidadosamente cada numerador y el denominador común, se deduce que se
pueden escribir como determinantes, así:

c1b2 – b1c2 = c1 b1
c2 b2 ; a1b2 – b1a2 = a1 b1
a2 b2

a1c2 – c1a2 = a1 c1
a2 c2 ;

Luego: Si: a1 b1 ≠ 0, entonces:
a2 b2
c1 b1 a1 c1
c1 b2 a2 c2
X= ; y=
a1 b1 a1 b1
a2 b2 a2 b2

Ejemplo:

x − 3 y = 1
Resuelve: 
 x − 5 y = −1
Solución:

1 3 1 1
-1 -5 -5 -3 1 -1 -1 - 1
X= : =4; y= = = -1
1 -3 -5 + 3 1 -3 -5 + 3
1 -5 1 -5

prácTIca De clase

Resuelve empleando determinantes o regla.

5 x − 3 y = −25 5 x + 11y = 122
1.  5. 
x + 2 y = 8 7 x − 3 y = 42

48 x + 72 y = 77 − 8 x + 15 y = 13
2.  6. 
3 x − 8 y = −3 12 x − 17 y = −3


5x 6 y − 2 x 2y
2 − 5 =2
  2 + 3 = 12

3.  7. 
x − y = 1  5 x − 2 y = −3
 4 14 2
 4

 4x
2( x − 3 y ) = 2  3 − 5 y = 28

4.  8. 
3( x + 1) = 15 y  x + 3 y = −3
2 2


Resuelve la regla de Cramer: d) -198 e) -388

4 x + 3 y = 2
1. 
Resuelve la regla de Cramer:
− 20 x − 15 y = −10
7. Resolver:
7 x − 9 y = 2
 3 4
x + y = 1
2.  7 x 
− 3 + 3 y = 5


 21 − 2 = 2
x y

Al resolver por la regla de Cramer:

5( x − 2) + 2 y = y − 11 8. Resolver
3. 
3( x + y ) − 8 = 2( y − 2) − 2 x 
x −
y−2
=0
 3
el valor de ∆ es: 0,2x + 0,3 y = 5

a) 1 b) 0 c) 2 d) 3 e) 4
9. Resolver:
x + 1
4 + 5( y − 1) = y − 8 x  3 =y

4.  
4( x − 2) − y = 5( x + y ) y −1 = x − 7
 2

el valor de ∆ x es:

10. Resolver:
 6 37 x + 3
10 x − 7 y = 7

 y =2


5.  el valor de ∆y es:  y + 6 = −1
 4 x − 15 y = − 33  x

7
 y
a) 2458 c) 3687 c) 7374 11. Resolver:
d) -7374 e) -2458 x − 8 y = 0

3 x + 2y = 13

4 x + 12 y = 13 12. Resolver:
6.  , el valor de ∆+∆x+∆y, es
7 x − 13 y = −1  x = 2y + 3

x + y ; hallar “x + 2y”
a) 388 b) -401 c) 401  2 = −3


Tema nº 06: cálcUlo DIferencIal
Capacidad
es:
 Reconoce y aplica los conceptos básicos de funciones.
 Calcula el límite de funciones aplicando su definición.
 Calcula el límite de una función aplicando propiedades.
 Calcula la derivada de una función.


VarIables, fUncIones y límITes

1. VARIABLES Y CONSTANTES
Una variable es una cantidad a la que se le puede asignar, durante el curso de un proceso
de análisis, un número ilimitado de valores. Las variables se designan usualmente por las
últimas letras del alfabeto.

Una cantidad que durante el curso de un proceso tiene un valor fijo se llama constante.

Constantes numéricas o absolutas son las que conservan los mismos valores en todos los
problemas, como 2, 5 √7, π, etc.

Constantes arbitrarias o parámetros, son aquellas a las que se pueden asignar valores
numéricos, y que durante todo el proceso conservan esos valores asignados. Usualmente
se representan por las primeras letras del alfabeto.

x y
Así, en la ecuación de la recta: + = 1,
a b

x y y son las coordenadas variables de un punto que se mueve sobre la línea, mientras que
a y b son las constantes arbitrarias que representan la abscisa en el origen y la ordenada
en el origen, las cuales se supone que son los valores definidos para cada recta.

El valor numérico (o absoluto) de una constante a, para diferenciarlo de su valor
algebraico, se representa por |a|. Así, |-2|=2=|2|. El símbolo |a| se lee “valor numérico de
a” o “valor absoluto de a”.

2. INTERVALO DE UNA VARIABLE
A menudo nos limitamos solamente a una porción del sistema de números. Por ejemplo,
podemos restringir nuestra variable de manera que tome únicamente valores
comprendidos entre a y b. También puede ser que a y b sean incluidos o que uno o ambos

Cálculo Diferencial Quinto Año

sean incluidos. Emplearemos el símbolo [a, b], siendo a menor que b, para representar los
números a y b y todos los números comprendidos entre ellos, a menos que se diga
explícitamente otra cosa. Este símbolo [a, b] se lee “intervalo de a y b”.
3. VARIACIÓN CONTINUA
Se dice que una variable a varía de una manera continua en un intervalo (a, b) cuando x
aumenta desde el valor a hasta el valor b, de tal manera que toma todos los valores
intermedios entre a y b en el orden de sus magnitudes; o cuando x disminuye desde x=n
hasta x=a, tomando sucesivamente todos los valores intermedios. Esta idea se ilustra
geométricamente mediante el diagrama siguiente.

a x b

0 A P B

Tomando el punto 0 como origen, marquemos sobre la recta los puntos A y B
correspondientes a los números a y b. Además, hagamos corresponde el punto P a un valor
particular de la variable x. Evidentemente, el intervalo [a, b] estará representado por el
segmento AB. Al variar x de una manera continua en el intervalo [a, b], el punto P
engendrará el segmento AB si x aumenta o el segmento BA si x disminuye.

4. FUNCIONES
Cuando dos variables están relacionadas de tal manera que el valor de la primera queda
determinado si se da un valor a la segunda, entonces se dice que la primera es función de
la segunda.

Casi todos los problemas científicos tratan con cantidades y relaciones de esta naturaleza,
y en la experiencia de la vida diaria nos encontramos constantemente con situaciones en
las que intervienen magnitudes dependientes unas de otras. Así, por ejemplo, el peso que
un hombre puede levantar depende directamente, a igualdad de otras circunstancias, de su
fuerza. Análogamente, se puede considerar que la distancia que un muchacho puede
recorrer depende del tiempo. O también podemos decir que el área de un cuadrado es una
función de la longitud de su lado, y que el volumen de una esfera es una función de su
diámetro.

5. VARIABLE INDEPENDIENTE Y DEPENDIENTE
La segunda variable, a la cual se pueden asignar valores a voluntad dentro de límites que
dependen del problema particular, se llama la variable independiente o el argumento. La
primera variable, cuyo valor queda fijado cuando se asigna un valor a la variable
independiente, se llama la variable dependiente o la función.

Frecuentemente, cuando se consideran dos variables ligadas entre sí, queda a nuestro
arbitrio el elegir a una de ellas como variable independiente; pero una vez hecha esta
elección, no es permitido cambiar de variable independiente sin tomar ciertas precauciones

y hacer las transformaciones pertinentes. El área de un cuadrado, por ejemplo, es una
función de la longitud del lado, y, recíprocamente, la longitud del lado es una función del
área.
6. NOTACIÓN DE FUNCIONES
El símbolo f(x) se emplea para designar una función de x, y se lee f de x. Con objeto de
distinguir entre diferentes funciones se cambia la letra inicial, como en F(x), ∅(x), f’(x),
etc.

Durante todo el curso de un proceso, un mismo símbolo de funcionalidad indicará una
misma ley de dependencia entre una función y su variable. En los casos más simples, esta
ley expresa la ejecución de un conjunto de operaciones analíticas con la variable. Por
consiguiente, en un caso de esta clase el mismo símbolo de función indicará la misma
operación, o conjunto de operaciones, aplicadas a diferentes valores de la variable. Así, por
ejemplo, si
f(x) = x2 – 9x + 14,
entonces,
f(y) = y2 – 9y + 14;
f(b+1) = (b+1)2 – 9(b+1) + 14 = b2 – 7b + 6
f(0) = 02 – 9.0 + 14 = 14
f(-1) = (-1)2 – 9(-1) + 14 = 24
f(3) + 32 – 9.3 + 14 = - 4

7. LA DIVISIÓN POR CERO, EXCLUIDA
El cociente de dos números a y b es un números tal que a = bx. Evidentemente, con esta
definición la división por cero queda excluida. En efecto, si b = 0, y recordando que cero
tomado cualquier número de veces como sumando es siempre igual a cero, se ve que x no
existe, a menor que a = 0. Si a = 0, entonces x puede ser cualquier número. Por lo tanto,
las expresiones que se presentan en una de las formas
a 0
, ,
0 0
carecen de sentido por no ser posible la división por cero.

Debe tenerse cuidado de no dividir inadvertidamente por cero. La siguiente paradoja es un
ejemplo.

Supongamos que a=b
2
Entonces, evidentemente ab = a
2
Restando b , ab – b2 = a2 – b2
Descomponiendo en factores, b(a – b) = (a + b) (a – b)
Dividiendo por a – b b=a+b
Pero, a = b;
luego, b = 2 b,


o sea que 1=2
El resultado absurdo proviene de haber dividido por a b = 0

ejercIcIos De clase

1. Dado f(x) = x3 – 5x2 – 4x + 20, demostrar que f(1)=12, f(5)=0, f(0)=-2f(3), f(7)=5 f(-1).
2. Si f(x)=4-2x2+x4, calcular f(0), f(1), f(-1), f(2), f(-2).
3. Si F(θ)=sen 2θ+cos θ, hallar F(0), F(1/2 π) . F(π).
4. Dado f(x)=x3 – 5x2 – 4x + 20, demostrar que f(t + 1)=t3 – 2t2 – 11t+12.
5. Dado f(y) = y2 – 2y+6, demostrar que f(y + h)=y2 2y+6+2(y-1)h + h2.
6. Dado f(x) = x3 + 3x, demostrar que f(x + h) – f(x) = 3(x2+1)h + 3xh2 + h3.
1 h
7. Dado f(x) = , demostrar que f(x+h) – f(x) = − 2 .
x x + xh
8. Dado φ(z)=4, demostrar que φ(z+1) - φ(z) = 3 φ(z).
9. Si φ(x) = ar, demostrar que φ(y) . φ(z) = φ(y + z).

1− x  y+z
10. Dado φ(x) = log , demostrar que φ(y) + φ(z) = φ 
 1 + yz  .

1+ x  
11. Dado f(x)=senx, demostrar que f(x+2h) – f(x) = 2 os (x+h) senh.

8. GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN; CONTINUIDAD
Consideremos la función x2 y hagamos
(1) y = x2
Esta relación da un valor de y para cada valor de x; es decir, (1) define unívocamente a y
para los valores de la variable independiente. El lugar geométrico de (1) es una parábola
(Fig. 1) y se llama la gráfica de la función x2. Si x varía continuamente (Art. 4) y se llama
la gráfica de la función x2. Si x varía continuamente (Art. 8) desde x=a hasta x=b,
entonces y variará continuamente desde y=a2 hasta y=b2, y el punto P(x, y) se moverá
continuamente, a lo largo de la curva, desde el punto (a, a2) hasta (b, b2). Además, a y b
pueden admitir todos los valores. En este caso decimos que ´´ la función x2 es continua
para todos los valores de x´´.

1
Consideremos ahora la función . Hagamos.
x
1
(2) y=
x
Esta ecuación da un valor de y para cada valor de x, con excepción de x=0 (Art. 12); para
x=0 la función no está definida. La gráfica (Fig. 2), que es el lugar geométrico de (2), es
una hipérbola equilátera. Si x aumenta continuamente en cualquier intervalo [a, b] que no

1 1
incluya x=0, entonces y decrecerá continuamente desde hasta , y el punto P(x, y)
a b

 1  1
describirá la curva entre los puntos correspondientes  a,  ,  b,  . En este caso
 a  b

1
decimos que ´´la función es continua para todos los valores de x con excepción de x=0
x
´´. No existe en la gráfica un punto correspondiente a x=0.

Estos ejemplos ilustran el concepto de continuidad de una función. Una definición se dará
en el Artículo 17.

9. LÍMITE DE UNA VARIABLE
La noción de una variable que se aproxima a un límite se encuentra en la Geometría
Semental, al establecer o deducir la fórmula que da el área del círculo. Se considera el área
de un polígono regular inscrito con un número n cualquiera de lados, y se supone, después,
que n crece infinitamente. El área variable tiende así hacia un límite, y este límite se define
como área del círculo. En este caso, la variable v (área) aumenta indefinidamente, y la
diferencia a-v (siendo a el área del círculo) va disminuyendo hasta que, finalmente, llega a
ser menor que cualquier número positivo escogido de antemano, sin importar lo pequeño
que éste se haya elegido.

El concepto de límite se precisa mediante la siguiente definición: Se dice que la variable v
tiende a la constante l como límite, cuando los valores sucesivos de v son tales que el valor
numérico de la diferencia v-l puede llegar a ser, finalmente, menor que cualquier número
positivo predeterminado tan pequeño como se quiera.

La relación así definida se escribe lím v=l. Por conveniencia, nos serviremos de la notación
v  l, que se leerá ´´v tiende hacia el límite l´´ o, más brevemente, ´´v tiende a l´´
(Algunos autores usan la notación v ∇ l).

Ejemplo: Si v toma la sucesión infinita de valores.
1 1 1
2 + 1, 2 + , 2 + ,.....,2 + n ,....
2 4 2


Es evidente que v  2 al crecer n, es decir, lím v = 2.

Si sobre una línea recta, como en el Artículo 8, se señala el punto L que corresponde al
límite l, y se coloca a ambos lados de L la longitud 8, sin importar lo pequeño que éste sea,
entonces se observará que los puntos determinados por v caerán todos, finalmente, dentro
del segmento que corresponde al intervalo [l-8, l+8]

10.LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
En las aplicaciones de la definición de límite, se presentan usualmente casos como el
siguiente: se tiene una variable v y una función dada z de v, y se supone que la variable v
recibe valores tales que v  l. Tenemos que examinar entonces los valores de la variable
dependiente z e investigar, particularmente, si z tiende también a un límite. Si
efectivamente existe una constante a tal que lím z = a, entonces se expresa esta relación
escribiendo
lím
z = a,
v →l
y se leerá: ´´el límite de z, cuando v tiende a l, es a.´´

11.TEOREMAS SOBRE LÍMITES
En el cálculo del límite de una función tienen aplicación los teoremas siguientes. Las
demostraciones se darán en el Artículo 20.

Supongamos que u, y y w sean funciones de una variable x y que
límu = A, lím v = B, Lím w = C
z→a x→a z→a
Entonces son ciertas las siguientes relaciones:
lím(u + b - w) = A + B- C
(1)
z→a
lím(uvw) =ABC
(2)
z→a
u A
(3) lím = , si B no es cero.
x →a v B

En breves palabras: el límite de una suma algebraica, de un producto o de un cociente es
igual, respectivamente, a la suma algebraica, al producto o al cociente de los límites
respectivos, con tal de que, en el último caso, el límite del divisor no sea cero.

Si c es una constante (independiente de x) y B no es cero, de lo anterior se deduce:
c c
(4) lím (u + c) =A + c, lím cu = cA , lím =
x →a x →a x →a v B

Consideremos otros ejemplos:

lím (x 2 + 4x) = 12
1. Demostrar que
x→2
Demostración: La función dada es la suma de x2 y 4x. En primer lugar hallaremos los
límites de estas dos funciones.

lím x 2 = 4. puesto que x 2 = x.x
Según (2)
x→2
lím 4x = 4 lím x = 8
Según (4)
x→2 z→2
Luego, según (1), el límite buscado es 4 + 8 = 12.

z2 − 9 5
2. Demostrar que lím =− .
x →2 z+2 4

lím (z 2 − 9) = −5
Demostración: Considerando el numerador, , según (2) y (4). En
z→2

lím (z + 2) = 4
cuanto al denominador, . Luego, de (3), tenemos el resultado buscado.
z→2

12.FUNCIONES CONTINUNAS Y DISCONTINUAS
En el ejemplo 1 del Artículo 16, donde se demostró que

lím (x 2 + 4 x) = 12
x→2
observamos que la solución es el valor de la función para x=2; es decir, el valor límite de la
función cuando x tiende a 2 es igual al valor de la función para x=2. En este caso decimos
que la función es continua para x=2. La definición general es la siguiente:

DEFINICIÓN: Se dice que una función f(x) es continua para x=a si el límite de la función,
cuando x tiende a a, es igual al valor de la función para x=a. En símbolos, si
lím f(x) = f(a)
z→a
entonces f(x) es continua para x=a.

Se dice que la función es discontinua para x=a si no se satisface esta condición.
Llamamos la atención de los dos casos siguientes, que se presentan frecuentemente.

CASO I.- Como ejemplo sencillo de una función que es continua para un valor particular de
la variable, consideremos la función

x2 − 4
f ( x) =
x−2


Para x = 1, f(x)=f(1)=3. Además, si x tiende a 1, la función f(x) tiende a 3 como límite
(Art.16). Luego la función es continua para x=1.

CASO II.- La definición continua supone que la función está definida para x=a. Sin
embargo, si este no es el caso, a veces es posible asignar a la función tal valor para x=a
que la condición de continuidad se satisfaga. En estos casos se aplica el siguiente
teorema:
Teorema: si f(x) no está definida para x=a, pero
lím f(x) =B,
z→a
entonces f(x) será continua para x=a, si se toma como valor de f(x) para x=a el valor B.
Así, por ejemplo, la función

x2 − 4
x−2
no está definida para x=2 (puesto que entonces habría división por cero). Pero para todo
otro valor de x.

x2 − 4
= x + 2;
x−2
lím( x + 2)= 4;
y
z→2
x2 − 4
luego, lím =4
z →2x − 2

Aunque la función no está definida para x=2, si arbitrariamente asignamos a ella para x=2
el valor 4, se hace continua para este valor.

Se dice que una función f(x) es continua en un intervalo cuando es continua para todos los
valores de x dentro de este intervalo.

En el cálculo e integral, es frecuente tener que calcular el límite de una función de la
variable v, cuando v tiende a un valor a situado en un intervalo en un intervalo donde la
función es continua. En este caso el límite de la función es el valor de la función para v=a.

13. INFINITO (∞)
Es el valor numérico de una variable v llega a ser y permanece mayor que cualquier
número positivo asignado de antemano, por grande que éste sea, decimos que v se vuelve
infinita. Si v toma solamente valores positivos, se hace infinita positivamente; si solamente
toma valores negativos, se hace infinita negativamente. La notación que se emplea para
los tres casos es
límv = ∞ , límv = +∞, límv = −∞

En estos casos v no se aproxima a un límite, según la definición del Artículo 14. La notación
lím v = ∞, o v∞, debe leerse ´´v se vuelve infinita´´ y no ´´v se aproxima al infinito
´´**
Con esta notación podemos escribir, por ejemplo,

1
lím = ∞
z →0 x
Significando que 1/x se hace infinito cuando x tiende a cero.
Según el Artículo 17, es evidente que si
lím f(x) = ∞,
x→a
es decir, si f(x) se hace infinita cuando x tiende a a, entonces f(x) es discontinua para x=a.
Una función puede tender hacia un límite cuando la variable independiente se hace infinita.
Por ejemplo:
1
lím = 0.
x →x x

En general, si f(x) tiende al valor constante A como límite cuando x∞, empleamos la
notación del Artículo 17 y escribimos
lím f(x) =A.
x→x
Ciertos límites particulares que se presentan frecuentemente se dan a continuación. La
constante c no es cero.
Escrito en forma de interés Forma abreviada , frecuentemente
usada
c c
(1) lím =∞ =∞
x →0 v 0
lím cv = ∞
(2) c.∞=∞
r→x
c ∞
(3) lím =∞ =∞
x →∞ v c
c c
(4) lím =0 =0
r →∞ v ∞

Estos límites particulares son útiles para hallar el límite del cociente de dos polinomios
cuando la variable se hace infinita. El siguiente ejemplo ilustrará el método.

lím 2 x 3 − 3x 2 + 4 2
EJEMPLO ILUSTRATIVO.- Demostrar que =− .
x → ∞ 5x − x − 7 x
2 3
7

DEMOSTRACIÓN: Divídanse el numerador y el denominador por x3, que es la mayor
potencia de x que entra en la fracción. Entonces tenemos:


3 4
+ 2−
lím 2 x − 3x + 4
3 2
lím x x3
=
x → ∞ 5x − x 2 − 7 x 3 x→∞ 5 − 1 −7
x2 x

El límite de cada término que contiene a x, tanto en el numerador como en el denominador
del segundo miembro, es cero, de acuerdo con (4). Por consiguiente, se obtiene la solución
aplicando las fórmulas (1) y (3) del Artículo 16.
En cualquier caso análogo se procede, por lo tanto, como sigue:
Se dividen numerador y denominador por la mayor potencia de la variable que entre en la
fracción.

lím u = A , lím v = 0,
Si u y v son funciones de x, y
x→a x→a
u
Y A no es igual a cero, entonces lím
x →a = ∞
v

Esta fórmula resuelve el caso excepcional de (3), del Artículo 16, cuando B = 0 y A no es
cero. Véase también el Artículo 20.

prácTIca De clase

Demostrar cada una de las siguientes igualdades:
lím 5 − 2x 2 2 lím 4x + 5
1. =− 2. =2
x → ∞ 3x + 5x 2
5 x → ∞ 2x + 3

lím 4t 2 + 3t + 2 1 lím x 2 h + 3 xh 2 + h 3 x
3. =− 4. =
t → 0 t + 2t − 6
3
3 h→0 2 xh + 5h 2 2

lím 6 x 3 − 5x 2 + 3 lím (2 z + 3k ) 3 − 4k 2 z
5. =3 6. =1
x → ∞ 2x 3 + 4x − 7 k →0 2 z (2 z − k ) 2

lím ax 4 + bx 2 + c lím ax 4 + bx 2 + c
7. =0 8. =∞
x → ∞ dx 5 + ex 3 + fx x → ∞ dx 3 + ex 2 + fx + g

lím s4a4 lím x2 + x − 6 5
9. = 2a 2 10. =
s→a s −a
2 2
x→2 x2 − 4 4


Demostrar cada una de las siguientes igualdades:

lím 4y2 − 3 lím 3h + 2 xh 2 + x 2 h 3 1
1. =0 2. =−
→α y 3 + 3y 2 h → ∞ 4 − 3 xh − 2 x h
3 3
2x

lím a 0 x n + a1 x n − 1 + ... + an a 0 lím a 0 x n + a1 x n −1 + ... + an an
3. = 4. =
x → ∞ bo x n + b1 x n − 1 + ... + bn b0 x → 0 b0 x n + b1 x n −1 + ... + bn bn
lím ( x + h) n − x n lím x+h − x 1
5. = nx n −1 6. =
h→0 h h→0 h 2 x

lím f ( x + h) − f ( x )
7. Dado f(x)= x2, demostrar que = 2x
h→0 h

lím f ( x + h) − f ( x )
8. Dado f(x) = ax2 + bx + c, demostrar que = 2ax + b
h→0 h

1 lím f ( x + h) − f ( x ) 1
9. Dado f(x) = , demostrar que =− 2
x h→0 h x

lím f ( x + h) − f ( x )
10. Si f(x) = x3, hallar
h→0 h

prácTIca

Hallar el valor de los siguientes límites:

 x 2 − 49  x 2 − 4x + 3
1) lim   5) lim
 x−7 
x →7
  x →1 x 2 + 6x − 7
a) 13 b) 14 c) 15 d) 19 e) 20 a) -1/4 b) 2/7 c) 1/8 d) -1/2 e)
N.A.

2) lim ( x 2 − 3 x + 5)
x → −2 x 2 + 5x + 6
a) 9 b) 12 c) 13 d) 15 e) 10
6) lim
x → −2 x2 + x − 2
a) 1/3 b) 1/2 c) -1/6 d) 1/7
 x+3  e) 1
3) lim 
 

x → −3  9 − x2 
a) 1/6 b) ½ c) 1/3d) 1/8 e) 1/7 x−3
7) lim
x →3 x 2 − 4x + 3
x3 + 8 a) 1/3 b) 1/2 c) 1/8d) 1/7 e) -1/2
4) lim
x → −2 x+2
a) 13 b) 11 c) 12 d) 10 e) N.A. x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8
8) lim
x →3 ( x − 2)
a) -3 b) -2 c) -1 d) 0 e) 1


2 − 1 + x + x2 + x3 x3 − 3x 2
9) lim 22) lim
x →1 1− x x →0x4 + x2
a) 3 b) 3/2 c) 2/3d) 3/7 e) 7 a) -1 b) -2 c) -3
d) -4 e) -5
x −8
10) lim
x → 64 3
x −4 x3 + 8
23) lim
a) 2 b) 1 c) 0 d) 3 e) 4 x → −2 x + 2
a) 9 b) 10 c) 11
11) siendo “f” una función definida por: d) 12 e) 13
a− 5+x
f(x) = sabiendo que existe:
1− 5 − x
a x 3 − 15 x − 4
lim f( x ) = b . Hallar 24) lim
x→4 b x→4 x−3
a) -9 b) -8 c) -7 d) -6 e) -5 a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
 x 3 + 5 x 2 − 49 x − 245 
12) lim  
x →7 
 x−3 −2 
 x2 + x − 6
25) lim
a) 672 b) 600 c) 172 x →2x2 − 4
d) 345 e) 729 a) 5 b) 25 c) 125
d) 625 e) N.A.
 1 1
 − 
13) lim 5 − h 5 4
16 + x − 2
h→0 

h 

26) lim
  x →0 x
a) 1/12 b) 1/15 c) 1/25 1 1 1
d) 1/16 e) N.A. a) b) c)
16 32 4
1 1
6x 2 + 7 x − 3 d) e)
14) Calcular: lim 8 2
3 x→ 2 2x 2 + 11 + 12
x3 − 9x
27) lim
x − 3x + 4
3 2
x3 + x 2 − 9x − 9
x →3
15) Calcular: lim
x →2 x − 7 x 2 + 16 x − 12
3
3 3 3
a) b) c)
2 6 5
3x − 6 3 3
16) Calcular: lim d) e)
x →2 1 − 4x − 7 4 7

3− 5+x x 4 + 2x 2
17) Calcular: lim 28) lim
x →4 1 − 5 − x x3 − 7x 2
x →0
−2 −1 1
a) b) c)
 12 1  7 7 7
18) Calcular: lim  − 
x →2  8 − x 3
 2−x
 2
d) e) N.A.
7
1 1
−
19) lim 5 − h 5 x2 + x
x →0 h 29) lim
x →0 x3 + 4x
a) 0 b) 1 c) 2
x3 + 3x 2 − 4 1 3
20) lim d) e)
x → −2 2x 3 + 11x 2 + 20 x + 12 4 4

x 3 + 6 x 2 + 5 x − 12 x3 + x 2 − x − 1
21) lim 30) lim
x →1 x 3 2
+ 8 x + 11x − 20 x →1 x3 − x

a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4

40)
2 3
31) lim 2 − 1 + x + x + x
x →1 1− x 2x3 + x 2 +5
1 2 lim
41) x →∞
a) b) 1 c) x2 +6
2 3
3 3
d) e) 4x3 + 2x +5
2 4 42) lim
x → 7 x 5 + 6 x 2 −1
∞

3 x 3 + 6 x −1
x −2 lim
43) x →∞ 2 x 3 + x 2 + 8
32) lim
x→4 ( 2 x )1 / 3 − 2
4 x 5 + 3 x 3 +1
3 2 4 lim
44) x →∞ x + x +1
2
a) b) c)
2 3 3
3
d) e) N.A.
4
3 x 2 − 2 x +1
45) lim
x→∞ x6 + x3 +3
33) xlim2 (5 x − 6)
→
7 x 5 + 3x 2 + 4
46) lim
 x3 − 1 x→ ∞ 5 x 5 + 3 x −1
34) lim  
2x3 + x 2 −6
x →1  x − 1 
  lim
47) x →∞ x 2 + x +1

 x+5 
35) lim
 

x2 + x +2
x → −5  25 − x 2  48) lim 3
x → x + x +1
∞

2 x 4 + 3x 2 + 6
x 2 + 2x − 3 49) lim
36) lim x→ 3x 4 − 5 x 2 + 3
∞
x → −3 x 2 + 7 x + 12
x3 − 8 2x3 + x 2 +5
37) lim lim
50) x →∞
x → −2 x2 − 4 x2 +6
4x3 + 2x +5
2
x − 7 x + 10 51) lim
38) lim x → 7 x 5 + 6 x 2 −1
∞
x → −1 x 2 − 25
52) lim 3 x + 6 x −1
3

x + x +2
2
x→∞ 3
2x + x +8
2
39) lim
x→∞ x 3 + x +1
4 x 5 + 3 x 3 +1
2 x 4 + 3x 2 + 6 53) lim
lim x→∞ x 2 + x +1
x→ 3x 4 − 5 x 2 + 3
∞

DerIVacIón
1. INTRODUCCIÓN
En este capítulo vamos a investigar cómo varía el valor de una función al variar la variable
independiente. El problema fundamental del Cálculo Diferencial es el de establecer con toda
precisión una medida de esta variación. La investigación de problemas de esta índole,
problemas que trataban de magnitudes que variaban de una manera continua, llevó a
Newton * al descubrimiento de los principios fundamentales del Cálculo Infinitesimal, el
instrumento científico más poderoso del matemático moderno.


2. INCREMENTOS
El incremento de una variable que pasa de un valor numérico a otro es la diferencia que se
obtiene restando el valor inicial del valor final. Un incremento de x se representa por el
símbolo ∆x, que se lee ´´delta x´´. El estudiante no debe leer este símbolo ´´delta veces
x´´

Es evidente que el incremento puede ser positivo o negativo ** según que la variable
aumente o disminuya al cambiar de valor. Asimismo,
∆y significa incremento de y,
∆φ significa incremento de φ,
∆f(x) significa incremento de f(x), etc

Si en y=f(x) la variable independiente x toma un incremento ∆x, entonces ∆y indicará el
incremento correspondiente de la función f(x) (o sea, de la variable dependiente y).

El incremento ∆y siempre ha de contarse desde el valor inicial definido de y, que
corresponde al valor inicial arbitrariamente fijado de x desde el cual se cuenta el
incremento ∆x. Por ejemplo, consideremos la función.
y = x2
Si tomamos x=10 como valor inicial de x, esto fija y=100 como valor inicial de y.

Supongamos que x aumenta hasta x=12, es decir, ∆x = 2;
entonces y aumenta hasta y=144, y ∆y = 44.

Si se supone que x decrece hasta x=9, es decir, ∆x=.1;
entonces y decrece hasta y=81, y ∆y = . 19.

En este ejemplo, y aumenta cuando x aumenta, y y decrece cuando x decrece. Los valores
correspondientes de ∆x y ∆y tienen un mismo signo. Puede acontecer que y decrezca
cuando x aumenta, o viceversa; ∆x y ∆y tendrán entonces signos contrarios.

3. COMPARACIÓN DE INCREMENTOS
Consideremos la función
(1) y = x2
Supongamos que x tiene un valor inicial fijo y le damos después un incremento ∆x.
Entonces y tomará un incremento correspondiente ∆y, y tendremos:
y + ∆y = (x + ∆x)2 ,
o sea, y + ∆y = x2 + 2 π . ∆x + (∆x)2
Restando (1) , y = x2
(2) ∆y = 2 x . ∆x + (∆x)2
obtenemos el incremento ∆y en función de x y ∆x.

Para hallar la razón de los incrementos, basta dividir los dos miembros de (2) por ∆x, y
resulta.
∆y
= 2 x + ∆x
∆x
Si el valor de x es 4, es claro (Art. 16) que
lím ∆y
=8
∆x → o ∆x

Observemos ahora con cuidado, mediante una tabla, cómo se comporta la razón de los
incrementos de x y de y cuando el incremento de x decrece.
Valor Valor Incremento Valor Valor Incremento ∆y
Inicial de x Final de x ∆x Inicial de y Final de y ∆y ∆x
4 5,0 1,0 16 24 9 9
4 4,8 0,8 16 23,04 7,04 8,8
4 4,6 0,6 16 21,16 5,16 8,6
4 4,4 0,4 16 19,36 3,36 8,4
4 4,2 0,2 16 17,64 1,64 8,2
4 4,1 0,1 16 16,81 0,81 8,1
4 4,01 0,01 16 16,0801 0,0801 8,01

Esta tabla pone de manifiesto que al decrecer ∆x también disminuye ∆y, mientras que la
razón de los dos incrementos toma los valores sucesivos 9, 8,8, 8,6, 8,4, 8,2, 8,1, 8,01.

∆y
Esta sucesión de valores nos dice que podemos hacer que el valor de la razón sea tan
∆x
próximo a 8 como deseemos con sólo tomar a ∆x suficientemente pequeño. Luego,
lím ∆y
=8
∆x → o ∆x

4. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN DE UNA VARIABLE
La definición fundamental del Cálculo Diferencial es la siguiente:

La derivada * de una función es el límite de la razón del incremento de la función al
incremento de la variable independiente cuando éste tiende a cero.

Cuando el límite de esta razón existe, se dice que la función es derivable o que tiene
derivaba.
La definición puede darse mediante símbolos, en la forma siguiente: Dada la función:
(1) y = f(x)
consideremos un valor inicial fijo de x.

Demos a x un incremento ∆x; entonces obtenemos para la función y un incremento ∆y,
siendo el valor final de la función.


(2) y + ∆y = f(x+∆x)

Para hallar el incremento de la función, restamos (1) de (2); se obtiene
(3) ∆y = f(x + ∆x) – f(x)

Dividiendo los dos miembros por ∆x, incremento de la variable independiente, resulta:
∆y f ( x + ∆x) − f ( x)
(4) =
∆x ∆x

El límite del segundo miembro cuando ∆x0 es, por definición, la derivada de f(x), o sea,

dy
según (a), de y, y se representa por el símbolo . Luego, la igualdad
dx
dy lím f ( x + ∆x ) − f ( x)
(A) =
dx ∆x → 0 ∆x
define la derivada de y [o de f(x)] con respecto a x.
De (4) obtenemos también
dy lím ∆y
=
dx ∆x → 0 ∆x
Asimismo, si u es función de t, entonces,
du lím ∆u
= = derivada de u con respecto a t.
dt ∆t → 0 ∆t

La operación de hallar la derivada de una función se llama derivación.

5. SÍMBOLOS PARA REPRESENTAR LAS DERIVADAS
Puesto que ∆y y ∆x son siempre cantidades finitas y tienen valores definidos, la expresión

∆y dy
es una verdadera fracción. Pero el símbolo ha de mirarse no como una fracción,
∆x dx
sino como el valor límite de una fracción. En muchos casos veremos que este símbolo sí
tiene propiedades de fracción, y más adelante demostraremos el significado que puede

dy
atribuirse a dy y dx, pero, por ahora, el símbolo ha de considerarse como conjunto.
dx

Puesto que, en general, la derivada de una función de x es también función de x, se
emplea también el símbolo f’(x) para representar la derivada de f(x). Luego, si y = f(x)

dy
podemos escribir la igualdad = f ' ( x ) , que se lee ´´la derivada de y con respecto a x es
dx

d
igual a f prima de x´´ El símbolo , considerado por sí mismo, se llama operador
dc

derivada; indica que toda función que se escriba después de él ha de derivarse con
respecto a x. Así.

dy d
o y indica la derivada de y con respecto a x;
dx dx
d
f (x) indica la derivada de f(x) con respecto a x;
dx
d
(2 x 2 + 5) indica la derivada de 2x2+5 con respecto a x
dx

dy
El símbolo y es una forma abreviada de .
dx
d
El símbolo Dx se emplea por algunos autores en lugar de . Luego, si y = f(x), podemos
dx
escribir las identidades.

dy d d
y' = = y= f ( x) = D x f ( x) = f ' /( x )
dx dx dx

Debe hacerse hincapié en esto: en el paso esencial de hacer que ∆x0, la variable es ∆x. El
valor de x se supone fijo desde el principio. Para hacer resaltar que x=x0 desde el principio
hasta el fin, podemos escribir:

f ' ( x0) = lím f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 )
∆x → 0 ∆x

6. FUNCIONES DERIVABLES
De la teoría de los límites se deduce que si existe la derivada de una función para cierto
valor de la variable independiente, la función misma debe ser continua para aquel valor de
la variable.

Sin embargo, la recíproca no es siempre cierta: se han descubierto funciones que son
continuas y, a pesar de eso, no tienen derivada. Pero tales funciones no son frecuentes en
las matemáticas aplicadas, y en este libro se consideran solamente las funciones
derivables, es decir, las funciones que tienen derivada para todos los valores de la variable
independiente, con excepción, a lo más, de valores aislados.

7. REGLA GENERAL PARA LA DERIVACIÓN
Según la definición de derivada se puede ver que el procedimiento para derivar una función
y=f(x) comprende los siguientes pasos:


REGLA GENERAL PARA LA DERIVACIÓN
PRIMER PASO.- Se sustituye en la función x por x + ∆x, y se calcular el nuevo valor de la
función y + ∆y.

SEGUNDO PASO.- Se resta el valor dado de la función del nuevo valor y se obtiene ∆y
(incremento de la función).

TERCER PASO.- Se divide ∆y (incremento de la función) por ∆x (incremento de la variable
independiente).

CUARTO PASO.- Se calcula el límite de este cociente cuando ∆x (incremento de la variable
independiente) tiende a cero. El límite así hallado es la derivada buscada.

El estudiante debe familiarizarse con esta regla, aplicando el procedimiento a muchos
ejemplos. La resolución detallada de tres de estos ejemplos se da a continuación. Nótese
que los teoremas del Artículo 16 se emplean en el cuarto piso, manteniéndose x constante.

Ejemplo 1.- Hallar la derivada de la función 3x2 + 5
Resolución: Aplicando los pasos sucesivos de la regla general, obtenemos, después de
hacer y = 3x2 + 5.
Primer Paso y + ∆y = 3(x + ∆x)2 +5
= 3x2 + 6x . ∆x + 3 (∆x)2 + 5

Segundo Paso y + ∆y = 3x2 + 6x . ∆x + 3 (∆x)2 + 5
y = 3x2 +5
------------------------------------------
∆y = 6x . ∆x + 3 (∆x)2
∆y
Tercer Paso = 6 x + 3.∆x
∆x

Cuarto Paso En el segundo miembro hagamos ∆x0. Según (A) resulta:
dy
= 6x
dx
d 2
O bien y' = ( x + 5) = 6 x
dx

Ejemplo 2.- Hallar la derivada de x3 – 2x + 7
Resolución: Hagamos y=x3 – 2x + 7
Primer Paso y + ∆y = (x + ∆x)3 – 2(x + ∆x) + 7
= x3 + 3x2 . ∆x + 3x . (∆x)2 + (∆x)3 – 2x – 2 . ∆x + 7

Segundo Paso y + ∆y = x3 + 3x2 . ∆x + 3x . (∆x)2 + (∆x)3 – 2x – 2 . ∆x + 7
Y = x3 - 2x +7

--------------------------------------------------------------------
∆y = 3x2 . ∆x + 3x . (∆x)2 + (∆x)3 - 2 . ∆x

∆y
Tercer Paso = 3 x 2 + 3x.∆x + (∆x) 2 − 2
∆x

Cuarto Paso En el segundo miembro hagamos ∆x0. Según (A) tendremos:
dy
= 3x 2 − 2
dx
d 3
O bien y' = ( x − 2 x + 7) = 3 x 2 − 2
dx

c
Ejemplo 3.- Hallar la derivada de la función
x2
c
Resolución: Hagamos y =
x2
c
Primer Paso y + ∆y =
( x + ∆x ) 2

c
Segundo Paso y + ∆y =
( x + ∆x ) 2
c
Y =
x2
------------------------
c c − c.∆x(2 x + ∆x)
∆x = − 2 =
( x + ∆x) 2
x x 2 ( x + ∆x ) 2
∆y 2 x + ∆x
Tercer Paso = −c. 2
∆x x ( x + ∆x) 2

Cuarto Paso En el segundo miembro hagamos ∆x0. Según (A) tendremos:

dy 2x 2c  d  c  2c 
= c. 2 2 = − 3 . y ' =  2 =− 3
dx x ( x) x  dx  x  x 

prácTIca De clase

Calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones usando la regla general.

1. y = 2 – 3x Sol. Y’ = -3 2. y = mx + b y’ = m

3. y = ax2 y’ = 2 ax 4. s = 2t-t2 s’ = 2-2t


5. y = cx3 y’ = 3cx2 6. y = 3x – x3 y’ = 3 – 3x2

7. u = 4v2 + 2v3 u’ = 8v + 6v2 8. y = x4 y’ = 4x3

2 qQ 2 3 dy 6x
9. Q = =− 10. y = =− 2
θ +1 dθ (θ + 1) 2 x +2
2 dx ( x + 2) 2

t+4 ds 4 1 dy 2
11. s = =− 2 12. y = =
t dt t 1 − 2x dx (1 − 2 x) 2

θ dQ 2 At + B ds AD − BC
13. Q = = 14. s = =
θ +2 dθ (θ + 2) 2 Ct + D dt (Ct + D) 2


Calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones usando la regla general.

x3 + 1 dy 1 1 dy 2x
1. y = = 2x − 2 2. y = =− 2
x dx x x + a2
2 dx (x + a 2 )2

x dy 1− x2 x2 dy 8x
3. y = = 2 4. y = =
x +1
2
dx ( x + 1) 2 4 − x2 dx (4 − x 2 ) 2

5. y = 3 x − 4 x − 5
2
6. S = at2 + bt + c

7. v = 2v3 – 3v2 8. y = ax3 + bx2 + cx + d

9. Q = (a - b θ)2 10. y = (2 – x) (1 – 2x)

11. y = (Ax + B) (Cx + D) 12. s = (a + bt)3

x a + bx 2
13. y = 14. y =
a + bx 2 x2

reGlas prácTIcas De DerIVacIón

1. Derivada de una potencia
Sea f(x) una función y n ∈ R

D[ f ( x ) ]
n
= n.[ f ( x)] . f ' ( x )
n−1

dx

Caso particular:
f ( x) = x n → f ' ( x) = n.x n −1

NOTA:
Df ( x) Se lee: “Derivada de f(x) con respecto a x”

dx
2. Derivada de una constante:
Dc
=0
dx

3. Derivada de una constante por una potencia.
¡Es similar al a 1ª regla!
Da ( f ( x )) n
= n.a.( f ( x )) n −1 . f ' ( x )
dx

Caso particular:
Dax n
= na.x n−1
dx

4. Derivada de una suma
D[ f ( x ) + g ( x )] Df ( x ) Dg ( x)
= +
dx dx dx
También:
[ f ( x) + g ( x)]' = f ' ( x) + g ' ( x)
NOTA:
Se sabe que:
f ( x) = x n → f ' ( x) = nx n −1
Si la base es una función así como:
f ( x) = (2 x 3 + 3x 2 ) 3

Aplicamos la regla y lo multiplicamos por la derivada de ( 2 x + 3 x )
3 2

f ' ( x ) = (2 x 3 + 3x 2 ) 3−1 .(2 x 3 + 3x 2 )'
f ' ( x ) = (2 x 3 + 3 x 2 ) 2 .(6 x 2 + 6 x )

5. Derivada de una diferencia
D[ f ( x ) + g ( x )] Df ( x ) Dg ( x)
= −
dx dx dx
También:
[ f ( x) − g ( x)] ' = f ' ( x ) − g ' ( x)

DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

f ( x ) → Función f ' ( x ) → Su


derivada
sen x Cos x
cos x - sen x
tg x Sec2x
ctg x -csc2x
sec x Secx . tgx
csc x -cscx . ctg x

6. Derivada de un producto

D[ f ( x).g ( x ) ] Dg ( x ) Df ( x )
= f ( x ). + g ( x ).
dx dx dx

También :
[ u.v]' = u.v'+v.u '
siendo U y V dos funciones.

7. Derivada de un cociente
 f ( x)  Df ( x) Dg ( x )
D
 g ( x )  g ( x). dx − f ( x). dx
=
dx [ g ( x )] 2

También:
 u  v.u '−u.v
2

 ' =
v v2
donde: u y v son funciones.

8. Derivada de una función exponencial
Caso (I):
Dx a u = a u . ln a.Dx u
Donde: u = f(x), a = constante

Caso (II):
Dx a x = a x . ln a
¡es el mismo que el caso 1!

Caso (III):
Dx e u = e u .Dx u
Donde : e = base de log. Neperianos
u = f(x)

9. Derivada de la función logaritmo
Si: u = f(x)
1
Dx ln u = .Dx u
u
NOTA:
Dx (ax + b) ⇒ Dx ax + Dx b
Dx (ax + b) = a + 0
Dx (ax + b) = a

10.Valores máximo y mínimo de una función

Hallar los puntos críticos de:
f ( x) = x 3 + 7 x 2 − 5 x
Solución:
Derivando la función:
f ' ( x ) = 3 x 2 + 14 x − 5
Se hace que: f’(x)=0
Luego: 3 x 2 + 14 x − 5 = 0

3 x → −1 x = 1 / 3

x → +5  x = −5

pracTIca De clase

D( x 2 − 8 x − 6)
1. Hallar:  2 x 2 − 3x 
dx D 
11. Hallar:  3 x + 1 
 
dx
2. Si: f ( x ) = 10 x − 8 x + 7
3/5 1/ 2

Hallar: f’(x)

D(3x − 1) 5 12. Hallar: f’(x) en:
3. Hallar
dx 4x − 3
f ( x) =
x
(
4. Si f ( x) = 2 x 8 + 4 x 4 − 3 x 2 ) 3

x
Hallar: f’(x) 13. Si f ( x ) = hallar f’(x)
x −1
5. Si f ( x ) = ( 3x 4 − 2 ) 4

14. Dx 3 x
Hallar: f(x)

6. Si f ( x) = x ( 3 x − 1)
2
15. Dx 8 x
Hallar f’(x)

Dsenx. cos x 16. Dx 8 x
7. Hallar:
dx
17. (
Dx 2 2 ) x

8. si f ( x) = x 2 .tgx
Hallar f’(x) 18. Dx e 2 x

Dx 6 cos x 19. Dx e x
9. Hallar:
dx
20. Dx ln(5 x + 3)
10. Si: f ( x ) = ( x − 4) 2 .( x + 2) 3
Hallar: f’(x)


21. f ( x) = x 4 − 8 x 2 + 16 24. ( 3x 2
)(
− 7 x 5x 4 + 2 x3 )
22. f ( x) = x 3 + 3 x 2 − 9 x 2x − 4
25.
3x − 2
23. 5 x 3 − 3x 7 26. f ( x) = 5 x 6 − 8 x 2
Tarea DomIcIlIarIa

1. Hallar la derivada de:
f ( x) = x + 5x
2
por definición. D7
12.

2. Hallar la derivada por definición:
dx
f ( x) = 3x 2 − 2 x
13. f ( x) = 92
x2
3. f ( x) = , por definición 14. f ( x ) = 8x 6
5x + 3

f ( x ) = 2x 2 , por definición. 3 13
4. 15. f ( x) = x
4
5. f ( x ) = 4 x 2 − 3x + 5
D ( −6 x 7 )
16.
APLICANDO LAS REGLAS: dx

6. f ( x) = x 17. f ( x) = x 3 + 4 x + 7

7. f ( x ) = 4x 6 18. f ( x) = 4 x 6 + 5 x 3 + 3x 2

8. f ( x) = x3 / 2 19. f ( x) = 3 / 5x 5 + 4 x 5 − 1

9. f ( x ) = 5x 7 / 3 D (6 x 3 + 5 x 2 + 7 )
20. Hallar
dx
10. f ( x) = 9 x 2
21. Averigua para que sirven las
derivadas y cual es su aplicación en
11. f ( x) = 8 el cálculo superior de las
matemáticas.

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