5 trigonometria
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1. El documento presenta 9 ejercicios de trigonometría que involucran el cálculo de funciones trigonométricas, identidades trigonométricas, ecuaciones trigonométricas, y la aplicación del teorema del seno y coseno. 2. Se piden resolver ejercicios que involucran ángulos agudos, obtener valores de funciones trigonométricas, demostrar identidades, resolver ecuaciones trigonométricas, y calcular distancias y ángulos usando el teorema del seno y coseno.
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3. Determine la longitud de la cuerda de una circunferencia de raio 20 cm susten-
dida por un ´angulo cnetral de 150◦
.
4. Una torre ubicada sobre el nivel del suelo se encuentra al norte de un punto A
y al oeste de otro punto B, el cual est´a a una distancia c de A. Si los ´angulos de
elevaci´on hacia la pared superior de la torre con α para A y β para B. Encontrar
la alura H de la torre.
5. Determine el per´ımetro exacto de un pol´ıgono ABCD, con m(∠ABC) = 150◦
,
m(∠BAD) = 60◦
, m(AD) = 3[m], AB ∼= BC y m(BC) = 1
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m(AD).](https://image.slidesharecdn.com/5trigonometria-140501103249-phpapp02/85/5-trigonometria-4-320.jpg)
5 trigonometria
- 1. 1 PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE VALPARA´ISO Instituto de Matem´aticas ´Algebra Mat 116 Gu´ıa Trigonometr´ıa 1 Iniciales 1. Sea α un ´angulo agudo para que el el sin α = 3 4 , obtenga los valores de las restantes funciones trigonom´etricas. 2. Expresar en t´erminos de un ´angulo comprendido entre 0◦ y 45◦ (a) sin 70◦ (b) cos 60◦ (c) tan 81◦ 3. Si tan θ = 1 2 2 − √ 2, determine tan 2θ. 4. Una escalera est´a apollada contra un edificio de tal forma que su extremo inferior dista 12mt del edificio. ¿A qu´e altura se encuentra su extremo superior y cu´al es su longitud, si forma un ´angulo de 60◦ con el suelo? 5. Un edificio de 100mt de altura est´a ubicado en un terreno horizontal, proyecta una sombra de 120mt de largo. Calcule al ´angulo de elevaci´on del sol. 6. En lo alto de una torre se ha instalado una antena transmisora de televisi´on. Una persona, ubicada a 80mt del pie de la torre ve las c´uspides de la torre y la antena bajo ´angulo de elevaci´on de 45◦ y 60◦ respectivamente. Calcule la altura dela torre y de la antena. 7. Desde el piso de 18 de un edificio se ve en frente y alineados una casa A y un edificio B. La casa es la m´as pr´oxima tiene dos pisos y su cima se ve bajo un
- 2. 2 ´angulo de depresi´on de 60◦ . El edificio B tiene 6 pisos y sus c´uspide se observa bajo un ´angulo de depresi´on de 30◦ . Calcule la distancia que separa A de B suponiendo que en promedio la altura por piso es de 3mt. 8. Una torre se ve desde una distancia de 55mt bajo una ´angulo de 43◦ , para que este ´angulo disminuya en 10%, ¿en que porcentaje debe aumentar la distancia? 9. La visual de una persona sentada a 2 millas de un sitio de lanzamiento de cohetes es de 20◦ en relaci´on con la parte m´as alta del cohete. ¿Cu´al es la altura del cohete? 2 Identidades trigonom´etricas Demuestre las siguientes identidades trigonom´etricas, utilizando las identidades demostradas en clases, y las definiciones estudiadas: 1. sin x + cos x sin x = 1 + 1 tan x 2. sin x csc x + cos x sec x = 1 3. sec y tan y + cot y = sin y 4. 1 − sin x cos x = cos x 1 + sin c 5. sec x · (1 − sin2 x) = cos x 3 Ecuaciones trigonom´etricas Resuelva las siguientes ecuaciones trigonom´etricas, indicando restricciones, soluci´on particular y general. 1. sin 2x + sin 4x = cos 2x + cos 4x 2. sin x + sin 2x + sin 3x = cos x + cos 2x + cos 3x
- 3. 3 3. cos 2x − cos 8x + cos 6x = 1 4. sin4 x + cos4 x = cos 4x 5. sin x + √ 3 cos x = 1 6. sin x sin 7x = sin 3x sin 5x 7. 2 cos2 x + 4 cos x = 3 sin2 x 8. tan x + tan 2x = tan 3x 9. (1 − tan x)(1 + sin 2x) = 1 + tan x 10. cos2 x − sin2 x 4 cos2 x = sin x + π 6 sin x − π 6 11. arcsin 2 3 √ x − arcsin √ 1 − x = arcsin 1 3 12. arctan a b − arctan a − b a + b = arctan x 13. 4 arcsin(2x + 1) − arccos(x − 1) = π 4 Teorema del Seno y Coseno 1. Un barco zarpa a las 12 horas del puerto de Valapara´ıso en direcci´on Norte 45◦ Este, otro barco zarpa a las 13 horas en direcci´on Norte 75◦ Oeste. Si el primero navega a una velocidad constante de 3 millas por hora y el segundo a 4 millas por hora. ¿Qu´e distancia los separa a las 16 horas? Realice un esquema que represente la situaci´on. 2. Una escalera se encuentra afirmada contra un muro formando un ´angulo de 75◦ con el suelo. Dos observadores ubicados a nivel del suelo a una distancia d uno del otro, ven el extremo de la escalera con un ´angulo de elevaci´on de 30◦ y 45◦ respectivamente. Determine la longitud de la escalera. Realice un esquema que represente la situaci´on.
- 4. 4 3. Determine la longitud de la cuerda de una circunferencia de raio 20 cm susten- dida por un ´angulo cnetral de 150◦ . 4. Una torre ubicada sobre el nivel del suelo se encuentra al norte de un punto A y al oeste de otro punto B, el cual est´a a una distancia c de A. Si los ´angulos de elevaci´on hacia la pared superior de la torre con α para A y β para B. Encontrar la alura H de la torre. 5. Determine el per´ımetro exacto de un pol´ıgono ABCD, con m(∠ABC) = 150◦ , m(∠BAD) = 60◦ , m(AD) = 3[m], AB ∼= BC y m(BC) = 1 3 m(AD).