Abrahan jose
- 1. Instituto Universitario de Tecnología Antonio José de Sucre Extensión Barquisimeto Alumno: Abrahán Gamboa CI: 22.326.114
- 2. Ejercicio Nº 1 Un campo de béisbol, es un cuadrado de 90 pies de lado. Un jugador está corriendo de la primera base a la segunda con una velocidad de 17 pies/seg. Hallar la velocidad con que se acerca el jugador a la tercera base en el instante en que este se encuentra a 60 pies de la primera. Realice la figura que ilustre el problema. Sabemos que: X+Y= 90 Y=90-X R= Z+Y R=90+Y Aplicando Pitágoras R²= Z² + Y² R= Z² Y² R= 90² Y² R= 8100 Y ² Sustituye 1 en r R= 8100 (90 x)² Derivando r x dx dt dr dt 8100 (90 x) 2 (90 ) dx ahora si: Y=30 y X=60 y 17 dt
- 3. dr Sustituyendo en dt dr 30 .17= -5,37587 p/seg (8100 (30) 2 ) dt Ejercicio Nº 2 Un edificio de 60m. Proyecta su sombra sobre el piso horizontal. El ángulo que forman los rayos solares con el piso disminuye a razón de 15º por hora. En determinado instante del día la sombra del edificio es de 80m. Hallar la razón en que cambia la sombra en ese instante. Realice la figura que ilustre el problema. 푑휃 푑푡 = 15º Tan θ = 퐶표 퐶푎 Tan θ = 푦 푥 θ= tan−1 푦 푥 dθ dt = −푦 푥²+푦² . 푑푥 푑푡 dθ dt = −60 푥²+3.600 . 60 푑푥 푑푡 80
- 4. 15= −60 80²+3.600 . 푑푥 푑푡 15= −3 500 . 푑푥 푑푡 푑푥 푑푡 = 15 .500 −3 풅풙 풅풕 = -2.500 Ejercicio Nº 3. Un faro está situado a 2km. De una playa recta y su luz gira a Razón de 2 revoluciones por minuto. Hallar la rapidez con que se mueve el rayo de luz a lo largo de la playa en el momento en que este pasa por un punto situado a 1km del punto frente al faro. Realice la figura que ilustre el problema. 푑휃 푑푡 = 2 푟푒푣 푚푖푛 Tan θ= 퐶표 퐶푎 Tan θ= 푦 푥 θ= tan−1 푥 푦 푑휃 푑푡 = −푦 푥²+푦² . 1 km 푑푥 푑푡 2 km
- 5. 푑휃 푑푡 = −2 푥²+4 . 푑푥 푑푡 2= −2 1+4 . 푑푥 푑푡 2= −2 5 . 푑푥 푑푡 푑푥 푑푡 = 2 .5 −2 푑푥 푑푡 = -5 푟푒푣 푚푖푛 Ejercicio Nº 4 t v y t A volumen y área de la bola que se derrite a una razón proporcional a su superficie, significa que: V' t KAt 4 3 V' t r t 3 2 A(t) 4r(t) De donde ' ( ) 4 ( ) . ' ( ) 2 V t r t r t ahora V t ' ( ) 2 4 . ( ) ' ( ) r t r t 7 La bola se derrite a razón de cm/ horas 8
- 6. Ejercicio Nº 5 El gas escapa a razón de 360 pies 3 / min quiere decir que la razón de cambio de volumen del globo respecto al tiempo es de 360. La formula del volumen de la esfera es 3 4 r V 3 Al derivar respecto a “t” resulta dr dt dv dv 3( )( 2 )( ) 4 r 2 dt dr dt r dt 4 3 dv y r=3 a) 3 60 dt 2 dr 360 4.. 3 dt dr 360 O sea 4. 3 2 dt 3,181 pies dr Asi min dt rapidez con que disminuye el radio. b) Para hallar la rapidez con que disminuye el área de la superficie del globo se requiere la formula 2 A 4r dr dt r da dt 8 8..(3).(3,1831) da dt De modo que 2010,6200 /min 2 pies da dt Rapidez con la que se disminuye el área de la superficie del globo
- 7. Ejercicio Nº 6 Después de dos horas de nulo el barco Y ah recorrido = km 6 1 6 h km h Después de dos horas de nulo el barco X ah recorrido= km 8 (1 ) 8 h km h La distancia que separa los barcos después de una hora de navegación h x y h x y h (6) (8) h 36 64 h 64 h 8km 2 2 2 2 2 2 2 Derivando implícitamente si h km dy y 2 2 2 2 2 2 8 dt dx x dt dh h dt dy y dt h x y dx x dt dh h dt Se trata de derivar dh como la razón de cambio dt dx 6 8 km h dy dt km h dt Sustituyendo km km h km km km h km dh dh dt km h km h km dt km 8 36 . 64 . ) 8 ) 8 ( 6 8 6 ( Despejando 36 . 64 . km km h km km h km dh dt dh at 8 ; km h dh dt 12,5
- 8. Una hora antes de que el barco B cruzara por el punto donde A cruzo la distancia de h separa ambos barcos tiene una razón de cambio de 12,5 km como el resultado es positivo esto significa que h la distancia es creciente. Ejercicio Nº 7 Un avión vuela horizontalmente a una altura constante de 900m. De altura y con velocidad constante. La trayectoria pasa sobre una estación de radar desde donde el operador observa el avión. Cuando el ángulo de inclinación de la línea de observación es de π/3, este ángulo está cambiando a razón de de 1/45 rad/seg. Hallar la velocidad del avión. Ө=n/3 푑휃 푑푡 = 1 45 푟푎푑 푠 Tan θ = 푥 푦 X = 푦 tan 휃 X= 900 tan 휋 3 = 300 √3 Tan θ= 퐶표 퐶푎 Tan θ= 푦 푥 900 m
- 9. θ = tan−1 푥 푦 푑휃 푑푡 = −푦 푥²+푦² . 푑푥 푑푡 푑휃 푑푡 = −900 푥²+810.000 . 푑푥 푑푡 1 45 푟푎푑 푠 = −900 (300√3)²+810.000 . 푑푥 푑푡 1 45 푟푎푑 푠 = −900 (300√3)²+810.000 . 푑푥 푑푡 1 45 푟푎푑 푠 = −1 1.200 . 푑푥 푑푡 푑푥 푑푡 = 1200 . 1 −1 .45 푑푥 푑푡 = 80 3 푚 푠푒푔 Ejercicio Nº 8 Las dimensione de un cilindro circular recto están variando. En un cierto instante el radio y la altura son de 8cm y 20cm, respectivamente. Si el volumen permanece constante y el radio aumenta a razón de 3cm/seg. Hallar la variación de la altura en ese instante. Para un cierto instante R(to)= 8 cm A(to)=20 cm r’(to) = 3cm/seg. Tenemos que: V(t) = π . r² (t) . a(t) (Que es constante)
- 10. Derivada de to. V’(to)= o= (π . r²(to) . a(to) = 2 . r(to) . π . r’(to) . a (to) + π . r²(to) . a’ (to) Despejando a’(to) tenemos: A’(to)= −ퟐ .풓 (풕풐) .흅 .풓′(풕풐).풂(풕풐 ) 흅 .풓²(풕풐 ) A’(to)= −ퟐ .ퟖ 풄풎 .ퟑ,ퟏퟒ . ퟑ풄풎 풔풆품 .ퟐퟎ풄풎 ퟑ,ퟏퟒ .(ퟖ 풄풎)² A’(to)= −ퟑퟎퟏퟒ,ퟒ 풄풎³/풔풆품 ퟐퟎퟎ,ퟗퟔ풄풎² A’(to)= -15,072cm/seg Ejercicio Nº 9. Graficar la siguiente función f(x)= x³- 6x² + 9x +1 Para ello de buscar: A) Dominio: Dom f(x)= R B) Simetría y Periodicidad. Para demostrar simetría en un polinomio impar F(-x)= -f(x) F(-x) = (-x)³-6 (-x)²+9 (-x)+1 = -x³-6x² -9x+1 = -(x³+6x²+9x+1) ≠ - F(x) NO HAY SIMATRÍA C) Intersección con los ejes. Para x= 0 F(0) = 0³ -6(o)² + 9(0)+1 = 1 → Y= 1 (0,1)
- 11. D) Continuidad y Asíntotas. Es continua. No tiene Asíntotas. E) Estudio de la primera derivada: Intervalo de monotonía, máximos y mínimos. F(x) = x³ - 6x² + 9x +1 F’(x) = 3x² - 12x +9 Resolviendo la ecuación de segundo grado dividimos ÷ 3 3x² - 12 x +9 = x² -4x +3 = (x-1) (x-3) De aquí se tiene que: X=1 y x=3 F’(1)=0 y F’(3) = 0 De esto obtenemos 3 intervalos de estudio para la monotonía. (-∞,1) (1,3) (3, +∞) Tomando un valor de cada intervalo y evaluando Para x= 0 F’(0) = 3(0)²-12(0)+9 =9 F’>0 Para x= 2 F’(2) = 3(2)² -12(2)+9 =-3 F’ < 0 Para x=4 F’(4) = 3(4)²-12(4) +9 =9 F’ > 0 Para x=1 F’(1) = 3(1)² -12(1) +9 =0 F’= 0
- 12. Para x= 3 F’(3) = 3(3)² - 12 (3) + 9 = 0 F’= 0 (-∞,1) X=1 (1,3) X=3 (3,∞) F’ > 0 F’= 0 F’= < 0 F’= 0 F’ > 0 La función Máximo La función crece decrece Mínimo La función crece F) Estudio de la segunda derivada: Concavidad y punto de inflexión. F’’(x) = 6x-12 Si F’’(x) > 0 hay convexidad y para F’’(x) < 0 hay concavidad. Calculemos sus raíces. 6x -12 = 0 → 6x= 12 → x=2 (-∞,2) tomamos x= 0 F’’ (0)= 6 (0) – 12 = -12 < 0 Cóncava (2, +∞) tomamos x=3 F’’(3) = 6 (3)-12 = 6> 0 Convexa Convexidad: (2, +∞) Concavidad: (-∞,2) G) Esbozar el grafico: 2