Alg(1) 4° 2 b

17 18COLEGIO DE CIENCIAS LORD KELVIN 4to. Año Secundaria ÁLGEBRA 4to.
Año Secundaria
I. OBJETIVOS ESPECÍFICOS
• Expresa un polinomio como una multiplicación
indicada de factores primos.
• Identifica un factor primo sobre un determinado
campo numérico.
• Comprende que la factorización es el proceso
contrario a la multiplicación
II) COMENTARIO PREVIO
Desde tiempos muy lejanos en todo argumento
matemático estuvo presente siempre, la teoría de
números los cuales se apoyan en la parte
algebraica, como una necesidad para facilitar la
resolución de las ecuaciones polinómicas surgen
los diversos procedimientos de transformación de
polinomios a los cuales se les denomina
FACTORIZACIÓN, en el cual se busca expresar
un polinomio como una multiplicación indicada de
otros polinomios de menor grado.
Recordemos que en la multiplicación algebraica se
aplica la propiedad distributiva, de la siguiente
manera.
xzxyx)zyx(x 2 ++=++
Por medio de la factorización podremos restituir los
factores de una expresión que se obtuvo de la
ejecución de una multiplicación, veamos:
)zyx(xxzxyx2 ++=++
De lo expuesto concluimos que la factorización es
el procedimiento recíproco al establecido por la
propiedad distributiva de la multiplicación con
respecto a la adición y/o sustracción.
En este capítulo desarrollamos el tema con algunos
conceptos de los números reales, polinomio
irreductible, factor primo, así como los criterios
para poder factorizar polinomios sobre
determinados conjuntos numéricos
III. CONTENIDO TEÓRICO
DEFINICIÓN
Es el proceso de transformaciones sucesivas de un
polinomio en una multiplicación indicada de
polinomios primos, denominados Factores primos,
dentro de un conjunto numérico.
FACTOR PRIMO
Es la mínima expresión algebraica en la que sus
elementos se encuentran ligados por las diferentes
operaciones aritméticas, excepto la adición y
sustracción.
Ejemplo:
49x)x(f 4
−=
a) Factorizando en el conjunto Q.
  
QenimosPr
22222
)7x)(7x(7)x()x(f −+=−=
∴Existen 2 factores primos en Q
b) Factorizando en el conjunto R
f(x) = (x2
+ 7) (x2
– 7)
  
RenimosPr
2
)7x)(7x)(7x()x(f −++=
∴Existen 3 factores primos en R
c) Factorizando en C, tendremos:
)7x)(7x()7x()x(f
2
−++= 
f(x) = [x2
– ( 7 i)2
] (x+ 7 ) (x – 7 )
  
CenimosPr
)7x)(7x()i7x)(i7x()x(f −++−=
∴Existen 4 factores primos en C
OBSERVACIONES:
Generalmente el conjunto numérico a utilizarse
será el de los racionales, salvo se indique lo
contrario.
NUMERO DE FACTORES PRIMOS
El número de factores primos depende del conjunto
numérico en el que se trabaje. En los racionales el
número de factores primos se calcula contando los
factores de la base.
Ejemplos:
a)
F(x) = (x+1) (x2
–x+1)
→ Tiene 2 factores primos
b)
P(x) = (x–12
) (x+2) (x+2)(x–5)3
→ Tiene 3 factores primos
NUMERO DE FACTORES DE UN POLINOMIO
Dado el polinomio “P” , el cual luego de ser
factorizado totalmente se expresa así:
cba
CBAP =
Siendo A, B y C sus factores primos; el número de
factores del polinomio P, se calcula de la manera
siguiente:
)1c)(1b)(1a(Fact# +++=
Ejemplo:
Sea P(x)= (x–1)2
(x+2) (x–5)3
N° factores = (2+1) (1+1)(3+1)
24FactoresN =°
NUMERO DE FACTORES COMPUESTOS
Las Factores compuestos resultan de la
combinación de los Factores primos:
Ejemplo:
P(x,y) = x2
y , tienen los sgtes, factores .











compuestoFactor:
2
x
2
primoFactor:y
polinomiocualquier
es,cerodogradePolinomio;1
2
compuestoFactor:yx
compuestoFactor:xy
primoFactor:x
yx
Por lo tanto;
x2
y: tiene 6 factores y 3 factores compuestos.
Cálculo de manera directa: P(x,y) = x2
y
N° factores = (2+1)(1+1) = 6
N° Fact. compuesto = 6 – 2 – 1= 3
FACTORES ALGEBRAICOS
Se denomina así, aquel que por lo menos tiene, o
presenta una variable.
Ejemplos explicativos:
01. F(x) = (x+1)2
(x–4)3
.
Hallar el número de Fact. algebraicos
Solución
* N° Fact = (2+1) (3+1) = 12
* N° Fact Algebraicos = 12– 1 = 11
P(x) =
primo.fact
2
primo.factprimo.factesNo
)2x()1x(6
↓↓↓
−−
Por tanto colocamos los factores primos del 6, de la
siguiente manera:
S4AL32B “El nuevo símbolo de una buena educación....” S4AL32B “El nuevo símbolo de una buena educación...."
FACTORIZA

Año Secundaria
P(x) = 2 . 3 (x – 1) (x – 2)
2
Existen 4 Factores Primos
Luego:
Totales
.FactdeN°
= (1+1) (1+1) (1+1) (2+1) =
24
Factores Primos del N° 6 = 2 . 3
N° de Divisores del 6 = (1+1) (1+1) = 4
Por lo tanto :
N° Fact. Algebraicos=N° Fact totales - N° Divisores
del número 6
Reemplazando:
N° Fact Algebraoicos = 24 - 4
20.lgA.FactN =°
MÉTODOS DE LA FACTORIZACIÓN
A) FACTOR COMÚN MONOMIO Y/O
POLINOMIO
Se utiliza cuando todos los términos del polinomio
tienen un factor que le es común. El factor común
puede ser un monomio o un polinomio.
Ejemplo:
– Factorizar:
91187510
yx25yx10yx5 −−
=
)yx5y2x(yx5
4433
monomio
comunFactor
57
−−
– Factorizar :
P(x,y,z)=(x – y + z) a + (y – x – z) b
= (x – y + z) a – (x – y + z) b
=
)ba()zyx(
polinomio
comunFactor
−+−
B) MÉTODO DE AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS.
Consiste en agrupar los términos del polinomio por
binomios, trinomios, que luego de descomponerlos
a su vez en dos factores, aparece algún factor
común a todas las agrupaciones realizadas.
1) Factorizar:
F(a,b,c)= abc+ab+ac+bc+a+b+c+1
Solución:
Agrupando en la forma indicada.
1cbabcacababcF +++++++=
••
F = ab (c+1) + ( aab + +b+1)
)1baab()1c(F ++++=
F = (c+1) [a(b+1)+(b+1)]
Extrayendo Factor común del corchete (b+1)
)1a)(1b)(1c(F +++=
2) Factorizar :
76
524334567
yxy
yxyxyxyxyxx)y,x(A
++
+++++=
Solución .
♦Agrupando convenientemente:
A(x,y) = x6
(x+y)+ x4
y2
(x+y)+ x2
y4
(x+y)+y6
(x+y)
♦Extrayendo Factor común:
A(x,y)=(x+y) (
642246
yyxyxx +++ )
A(x,y)=(x+y) [x4
(x2
+y2
)+ y4
(x2
+y2
)]
Extrayendo el Factor común: (x2
+ y2
) dentro del
corchete.
)yx)(yx)(yx()y,x(A 4422
+++=
Observe que:
(*)Existen 3 factores primos : (x,y) , (x2
+42
) y (x4
+y4
)
(*)Presenta 1 Factor Lineal : (x+y)
(*)Presenta 1 Factor cuadrática: (x2
+y2
)
C) MÉTODO DE LAS EQUIVALENCIAS
Consiste en aplicar las equivalencias o productos
notables de manera directa o inversa, es decir, del
producto pasar a los factores. Veamos algunos
1. Factorizar
N = x6
– x4
+ 2x2
– 1
Solución:
Agrupando los tres últimos términos y extrayendo
el signo(–).
N = x6
– ( 1x2x
24
+− )
N=x6
– 22
)1x( − ...... Diferencia de
cuadrados
∴ )1xx)(1xx( 2323
+−−+
2. Factorizar:
P(a,b,c,d) =
bc2ad2dacb
2222 ++−−+
Solución:
P(a,b,c,d)=
)ad2da()bc2cb( 2222
−+−++
P(a,b,c,d)= 22
)da()cb( −−+ Diferencia de
cuadrados .
)dacb)(dacb()d,c,b,a(P +−+−++=
D) MÉTODO DEL ASPA SIMPLE
Se utiliza para factorizar polinomios que adoptan la
siguiente forma general:
n2nnn2
cyybax ++
El método consiste en descomponer los términos
extremos, de tal manera que al multiplicar en aspa y
sumar los resultados y nos produzca el término
central, siendo los factores las sumas horizontales.
Ejemplo Explicativos
1. Factorizar : 8x2
– 22x + 15
Solución:
8x2
– 22x + 15
4x - 5 = - 10x +
2x - 3 = - 12x
-22x
∴ Los factores son: (4x - 5) (2x - 3)
2. Factorizar : abx2
+ (a2
+ b2
)x + ab

Año Secundaria
Solución :
abx2 + (a2 + b2)x + ab
ax +b = b2 x +
bx +a = a2 x
x(a2 + b2)
∴ Los factores son: (ax + b) (bx + a)
E) MÉTODO DEL ASPA DOBLE
Se emplea para factorizar polinomios que tiene la
sgte. forma general
FEyDxCyBxyAx
22
+++++
Pasos:
1° Se trazan 2 aspas simples entre los términos:
( )22
CyAx ∧ , además ( )FCy
2
∧
2° Si faltaran términos se completarán con ceros
3° Se traza un aspa grande entre los extremos
4° Se verifican las aspas simples y el aspa
grande
5° Se forman factores como el método anterior
(horizontalmente)
Ejemplos explicativos
1) Factorizar :
A(x,y) = 3x2
+ 4xy + y2
+ 4x + 2y + 1
Solución :
A (x,y) = 3x 2
+ 4xy + y 2
+ 4x + 2y + 1
3x
x
+y
+y
+1
+1
(I) (II)(III)
Comprobaciones :
(I) : (3x) y + x (y) = 4xy
(II) : y (1) + y (1) = 2y
(III) : 3x (1) + x (1) = 4x
Finalmente :
∴ (3x + y + 1) (x + y + 1)
F. MÉTODO DEL ASPA DOBLE ESPECIAL
Se utiliza para factorizar polinomios de 4to.
grado de la forma general.
Ax4
+ Bx3
+ Cx2
+ Dx + E
Pasos :
1° Se aplica un aspa simple en los términos extremos :
(Ax4
∧ E)
2° El resultado se resta del término central : Cx2
3° Expresar las diferencias en dos factores y
colocarlos debajo del término central.
4° Luego se aplican dos aspas simples, y se toman
horizontalmente.
1) Factorizar : A(x) = x4
+ 5x3
+ 9x2
+ 11x + 6
Solución :
A(x) = x 4
+ 5x 3
+ 9x 2
+ 11x + 6
x2
x2
4x
x
(I)
+3
+2
(II) (III)
Se observa que :
(I) (2) (x2
+ x2
(3) = 5x2
. luego : 9x2
(término central) – 5x2
= 4x2
. se descompone 4x2
en 2 factores : (4x) (x)
(II) x2
(4x) + x2
(x) = 5x3
(III) 4x(2) + x(3) = 11x
Finalmente :
A(x) = (x2
+ 4x + 3) (x2
+ x + 2)
G. CRITERIO DE LOS DIVISORES BINOMIOS
Se utiliza para factorizar polinomios de cualquier
grado y de una sola variable que aceptan factores
binomios de la forma (ax ± b).
Cero de un Polinomios : Es el valor o conjunto de
valores que tienen la propiedad de anular (valor
numérico cero) a determinado polinomio.
Ejemplo:
Sea : F(x) = x3
+ 3x – 4
Para x = 1
F(1) = 13
+ 3(1) – 4 = 0
∴ 1 será un “cero” de F
Regla para calcular los posibles ceros de un
polinomio
Posibles ceros =
.Coef.er1delDivisores
.indep.TdelDivisores
±
1. Factorizar : P(x) = x3
– 11x2
+ 31x – 21
Solución :
P.C. = ± 1 , ± 3 , ± 7, ± 21
Para x = 1, se anula, luego tendrá un factor (x – 1)
determinando el otro factor por la Regla de Ruffini
1 -11 31 -21
1 1 -10 21
1 -10 21 0
P(x) = (x – 1) (x2
– 10x + 21)
P(x) = (x – 1) (x – 7) (x – 3)
2. Factorizar : Q(x) = x3
– x – 6
Solución :
P.C. = ± 1 , ± 3 , ± 6
Para x = 2, se anula, entonces tendrá un factor (x
– 2). Luego por la Regla de Ruffini
1 0 -1 -6
2 2 4 6
1 2 3 0
Q (x) = (x – 2) (x2
+ 2x +3)
PRACTICA DE CLASEPRACTICA DE CLASE
01. Factorizar. M(a; b) = a2
- 4 + 2ab + b2
e indicar un
factor primo.
a) a + b + 2 b) b - 2 c) a + b - 4
d) a + 2 e) b + 2
02. Señalar un factor primo, luego de factorizar:
P(x) = x2
+ (b + c + 2d)x + d2
+ (b + c)d + bc
a) x + b + d b) x + 2d c) x + d + b + c
d) x + c e) x - 2c
03. Señalar un factor primo de:
H(x) = (2x2
+ x - 1)2
- (x2
- 3x - 5)2
a) 3x2
+ 2x - 6 b) (x - 2)2
c) 3x2
- 2x - 6
d) (x + 2)2
e) x - 2c
04. Factorizar:
P(a; b; c) = a(b - c)2
+ b(c - a)2
+ c(a - b)2
+ 8 abc
a) (a2
+ b2
+ c2
) (a + b + c)
b) (ab + ac + bc) (a + b + c)

Año Secundaria
c) (a + b ) (b + c) (c + a)
d) (a - b) (b - c) (c - a)
e) (ab + ac + bc) (a - b + c)
05. Indicar el factor primo cuadrático de mayor suma
de coeficientes, después de factorizar:
M ( x) = x4
+ 4x2
+ 16
a) x2
+ x - 2 b) x2
+2 x - 4 c) x2
+ x - 8
d) x3
+ 8 e) x2
+ 2x + 4
06. ¿Cuántos divisores primos posee:
T (a; b) = (a2
+ b2
- 6ab)2
- 4ab (a + b)2
?
a) 2 b) 5 c) 4
d) 3 e) 6
07. Indicar el número de factores irreductibles de:
P(x; y; z)=x4
y2
z7
+ x y2
z7
+ 3x2
y2
z7
+ 3x3
y2
z7
a) 4 b) 3 z7
c) 2
d) 5 e) 1
08. Indicar un factor primo de:
P (x; y; z) = [(x - y + z) (x - y - z) + 1]2
- 4(x - y)2
a) x + y + z + 1 b) x - y + z + 1 c) x - y + z
d) x - y + z + 2 e) z + y - z + 2
09. ¿Cuál de las siguientes expresiones no es término
de un factor primo de:
F (x; y) = 1 + 2x2
- (6x2
y2
+ 4x3
y + y4
+ 4xy3
)
a) - x2
b) 2xy c) y2
d) 2x2
e) -y2
10. Obtener la suma de coeficientes de un factor primo
del polinomio.
H (x) = x3
- x2
- 17x + 33
a) -3 b) -6 c) -7
d) -5 e) -8
11. Factorizar:
M (z) = z2
(z8
+ 1) + z6
+ (z2
- 1) ( 1 + z2
+ z4
)
y dar como respuesta el número de factores primos
a) 2 b) 4 c) 5
d) 3 e) 6
12. Señalar el factor primo cuadrático de mayor suma
de coeficientes en:
P (x) = x4
- 4x3
+ 11x2
- 14x + 10
a) x2
+ 3x + 2 b) x2
- 2x + 5 c) x2
- 4x - 2
d) x2
+ 4x + 2 e) x2
- 2x + 2
13. Hallar la suma de coeficientes de un factor primo
de:
P(x) = (1 + x2
) (1 - x2
)2
+ (x - x2
)2
a) 2 b) 4 c) 1
d) 5 e) 3
14. Factorizar e indicar el factor primo cúbico de:
P (x) = x5
- x4
+ 2x2
- 2x + 1
a) x3
+ x + 1 b) x3
+ x2
+ 1
c) x3
+ x + x2
- 1 d) x3
- x + 1
e) x3
- x2
+ 1
15. Del polinomio
P (a; b) = a4
+ 5bc2
- a2
b - a2
c2
- 2b2
- 2c4
decir si es verdadero o falso con respecto a las
proposiciones siguientes:
I. Tiene 3 factores primos
II. Tiene 2 factores primos cuadráticos
III. La mayor suma de coeficientes de un factor
primo es 2 -2c2
; 0 < c < 1.
a) VVV b) VFF c) FVF
d) FVV e) VVF
16. Factorizar
F(a;b;c)=(a+b+c)2
+(a+b-c)2
+4c(a+b)+5(a+b+c)+ 2
e indicar el factor primo de mayor término
independiente.
a) 2a + 2b + 2c + 1 b) a + b + c - 2
c) 2a + 2b + c - 1 d) a + b + c + 2
e) 2a + 2b + 2c - 1
17. Factorizar y obtener la suma de factores primos del
polinomio.
P (x; y) = (x + 2y)2
- 2xy (3x - 4xy + 6y)
a) x2
+ 4y2
b) 2x2
+ 2xy + 8y2
c) x2
- 4y2
d) 2x + 4y - 6xy e) 2x2
- 2xy
+ 8y2
18. Factorizar y dar como respuesta la suma de
coeficientes de un factor primo de:
P (x; y) = 6x2n
- 4y2n
+ 7 + 5xn
yn
+3yn
- 17xn
a) 0 b) 2 c) 12
d) 1 e) 6
19. Con respecto al polinomio:
P(a;b;c)= b3
(a-c2
) + c3
(b-a2
) + a3
(c-b2
) + abc (abc-1).
Señalar el valor de verdad o falsedad de cada una
de las proposiciones siguientes:
I. Un factor primo es a2
- b
II. Un factor primo es a2
+ b
III. a - c2
no es un factor primo
a) VVF b) VFV c) VFF
d) VVV e) FFF
20. Mencionar un factor primo del polinomio:
3x)2222(2x)32(3x2Q(x) αβ+βα+β+βα+αβ+α=
a) α+βx b) αβ+α c) 2β+α
d) 2x α+β e) α+x
TAREA DOMICILIARIATAREA DOMICILIARIA
01. Indicar un factor de:
S(x) = (1 + x + x2
+ x3
+ x4
+ x5
)2
- x5
a) x4
+ x3
+ x2
+ x + 1
b) x9
+ 1
c) x5
+ 1
d) x3
+ x2
+ x + 1
e) x4
+ 1
02. Si x2
- 5x + 6 es un factor de:
P(x)=x4
- 9x2
+x+mx+n, hallar el valor de n / m
a) 1 b) -3 c) 10
d) -5 e) 3
03. Siendo b + 1 y a - 1 cuadrados perfectos, factorizar
M(x)=x6
-(a + b+1)x4
+(ab+2a-1)x2
- a +b - ab +1
y señale aquél que no es un factor de M(x).
a) 1bx ++ b) 1ax −− c)
1bx −−
d) x2
- 1 e) x2
+ 1 - a
04. Con respecto al polinomio
P(z) = z6
- 9z4
+ 16z3
- 9z2
+1
Indicar el valor de verdad de cada una de las
proposiciones:
I. Un factor primo es z2
+ 4z + 1
II. Un factor algebraico es (z - 1)3
III. Tiene sólo 2 factores primos mónicos
a) VVV b) FVF c) VVF
d) VFV e) FFF
05. Indicar aquel polinomio que no es factor de:
Q(x;y) = x3
+ 2x2
y - 4xy2
- 8y3
- x + 2y
a) x - 2y b) x + 2y + 1 c) x - 1 + 2y
d) x + 2y e) x2
-1 + 4y (x + y)
06. Luego de factorizar:
P(x) = x5
+ x4
+ x2
+ x + 2
Indique el valor de verdad o falsedad de cada una
de las proposiciones:
I. Un factor primo es x3
+ x + 1
II. Un factor primo es x2
- x + 1
III. La suma de coeficientes de un factor primo
mónico es 1.
a) VVV b) VFV c) FFV
d) VFF e) VFF
07. Señalar un factor de:
P(x) = 6x5
+ 41x4
+ 97x3
+ 97x2
+ 41x + 6
a) x-1 b) x-2 c) 2x -1

Año Secundaria
d) 3x2
-7x + 2 e) 3x + 1
08. Luego de factorizar
S(x; y; z) = (3x + y - 5z)5
+(2z - y - 2x)5
+ (3z - x)5
Indique el valor de verdad de cada una de las
siguientes proposiciones:
I. Un factor primo es 2x + y - 2z
II. La suma de 2 factores primos es 2x + y − 2z
III. Un factor primo es 3x + y + 5z
a) VVV b) VVF c) VFV
d) VFF e) FVF
09. Indicar el valor de verdad con respecto al
polinomio:
P(x) = x(x − 1) (x + 2) (x − 3) + 8
I. Tiene 2 ceros racionales.
II. Tiene 3 factores primos mónicos.
III. Tiene 2 factores cuadráticos.
a) VVV b) VVF c) VFV
d) VFF e) FVF
10. Luego de factorizar:
P(x) = (2x + 1)7
+ 4x(x + 1) + 2
Indicar un factor primo cuadrático.
a) 4x2
+ x + 1 b) x2
− 5x + 1 c) 4x2
+x+3
d) 2x2
+ x + 12 e) 4x2
+ 6x + 3
PRÁCTICA DE CLASE
01. Un polinomio lineal se relaciona mediante:
x 0 1
P(x) 4 9
Entonces el valor de 





−
5
3
P ; será:
a) - 1 b) 1 c) 0
d) – 3/5 e) 11/5
02. Dado un polinomio:
P(x)=x3
– 1000x2
– 1002x+999
Determine el valor de P(1001)
a) - 3 b) - 2 c) - 1
d) 0 e) 1
03. Sea el polinomio:
P(x)=(ax - 1)(a2
x - 1)(a3
x - 1)...(an-1
.x - 1)
Halle:
)x(P
)ax(P
a)
1ax
1xa n
−
− b)
1ax
1xa 1n
−
−−
c)
1ax
1xa 1n
−
−+
d) 1xa n
−
e)
1ax
1
−
04. Sabiendo que “P” es un polinomio cuyo término
independiente es cero.
Halle )1x(P + ; sabiendo que: )2x(P − = kx -
8
a) x+1 b) 2x+2 c) 4x+4
d) 8x+8 e) 16x+16
05. En la expresión matemática:
1x5x4x2P 78
1x
1x −+−=






−
+
Halle: )3(P
a) 11 b) 10 c) 9
d) 8 e) 7
06. Dada la expresión matemática:
f(x)=
x1
x1
−
+
; x ≠ 1
Halle: f(2) . f(4) . f(6) . ... . f(24)
a) - 25 b) - 24 c) 24
d) 25 e) 50
07. Sea el polinomio:
P(x)= ax2
+bx+c; donde:
P(1)= P(3)=0 y P(2)=2
Entonces: “a – b + c”, será:
a) - 20 b) - 16 c) - 12
d) - 8 e) - 4
08. Cuanto deberá suma a y b a fin de que para
cualquier valor de “x”, se establezca la relación:
15+2x = a(2x - 3) – b(3x - 5)
a) 91 b) 87 c) 75
d) 55 e) 36
09. Identifique el termino independiente del polinomio
“P”, si este es mónico y cumple con:
( ) 1nxn3x4nP 4242
)1x( −+−−=−
a) - 1 b) 2 c) 10
d) 15 e) 24
10. Si un polinomio se relaciona mediante:
x = 27x+26
mientras que otro con:
x = 2 x +3
Conozca el valor de:
2
a) 19 b) 15 c) 12
d) 10 e) 7
11. El polinomio:
P(x)=ax4
+bx3
+cx2
+dx+e; es tal que:
P(0)= 0; P(-1)=6 y P(x)=P(1-x)
Determine el valor de: 2c - b
a) 2a b) 3 - a c) 4
d) 5 e) 6
12. Dado el polinomio:
P(x)=3x – 2
¿Para que valor de “m”, se establecerá que:
[ ] 1P )1m2(P =− ?
a) - 2 b) - 1 c) 0
d) 1 e) 2
13. En la expresión
1x
1x
−
+
tal que x ≠ 1. Si cada “x”
es sustituido por:
1x
1x
−
+
, la expresión que se
logra obtener será:
a) x b) 1/x c)
1x
1x
−
+
d)
1x
1x
+
−
e) Se indefine
14. Si: P(x, y)= 1b3a
xy2yx)2a(
2
+
−+ es un
monomio halle ba10
+
a) 1 b) 2 c) 3
d) 0 e) - 3
15. Si el polinomio indicado:
Q(x)=x2x - 3
+mxm - 2
- m3
- x5 - m
Es completo. ¿Cuál es su estructura?
a) x2
+x – 6 b) x2
- x - 7
c) x3
- x2
+3x - 27 d) x3
- x2
+2x - 8
e) x3
+4x2
- x - 64
16. Sabiendo que:
x3
+2x2
- 1 ≡ (x+1)[Ax2
+B(x - 1))]
Calcule: A . B
a) 1 b) 2 c) 1/2
d) 3 e) – 1/4

Año Secundaria
17. Dada la expresión 3
)x( x1Q −= . Entonces:
( )( ))1x(Q1Q1 33Q +−−
a) - x b) x c) 1+x
d) 3 x1 − e) 3 x1 +
18. En un polinomio dependiente de dos variables,
homogéneo, ordenado y completo respecto a cada
una de ellas, se sabe la suma de los grados
absolutos de todos sus términos es 156. ¿Cuál será
su grado de homogeneidad?
a) 8 b) 9 c) 10
d) 11 e) 12
19. Si: ( ) xa136aax36a 224
+=+++ .
Se verifica para todo para todo “x”
Esto ocurrirá cuando “a” tome los valores de:
a) {- 2, 3} b) {2,- 3} c) {2, 3}
d) {- 2 , - 3} e) {- 3, - 2, 5, 3}
20. Dado:
1z
3z
P
2
2
1z
1
2 +
+
=






+
.
Calcular:
)100(P
2
1
)99(P
)1(
PP





 −−
+
Determine:
)1()1( QP +−
a) 5 b) - 2 c) 4
d) - 1 e) 0
PRACTICA N° 02
01. Efectúe :
2
63232 





+−++
a) 12 2 b) 24 c) 6 6
d) 48 3 e) N.A.
02. Si: a+b= 5 y ab = 3
entonces : (a - b)2
es :
a) 6 b) - 7 c) - 9
d) 12 e) 10
03. Deducir el producto xy a partir del sistema de
ecuaciones : x3
+ y3
= 56 ; x+y=2
a) - 8 b) 6 c) - 6
d) - 12 e) 8
04. Encuentre el valor de : 3 25x + si el valor
numérico de: J = (x + 1)(x2
+ x + 1)(x - 1) (x2
- x
+ 1) es 63.
a) 2 b) - 2 c) 3 23
d) 3 e) N.A.
05. Calcular :
b
a
+
a
b
Si : 223
a
b
b
a
=+
a) 13 b) 15 c) 18
d) 12 e) 55
06. Efectuar :
M = 8 436 9762
- 8 436 9752
a) 18 673 901 b) 16 738 591 c) 16 873 951
d) 14 863 951 e) 26 873 951
07. Calcular :
R = (176 446) (176 444) - (176 447) (176 443)
a) 1 b) 3 c) 4
d) 6 e) 7
08. Si: x + x-1
= 3. Calcular el valor de :
P = 3xx 33
22
2xx
−+ −
−
−+
a) 1 b) 2 c) 3
d) 1/2 e) 1/4
09. Si : x - x-1
= 1. Calcular : x4
+ x-4
a) 3 b) 9 c) 7
d) 12 e) 15
10. Si: x + x-1
= 5 . Halle : A = x5
+ x-5
a) 5 5 b) 5 c) 0
d) - 2 5 e) 5
11. Calcule el valor de :
λ =
2
15
x
xx −
+
Si x = 7 + 6
a) 50 7 b) 23 7 c) 50 6
d) 25 - 2 6 e) N.A.
12. Encuentre el valor de :
S = 1257x17x5x3 +
a) 256 b) 128 c) 64
d) 32 e) 18
13. Si : a + b + c = 3
222
cba ++ = 9
Calcular : E =
( ) ( ) ( )222
cbcaba +++++
a) 9 b) 12 c) 15
d) 18 e) 21
14. Si : a + b + c = 3
333
cba ++ = 9
Obtener : N = (a+b)(b+c)(a+c)
a) 3 b) 4 c) 5
d) 6 e) 7
15. Siendo : xy = 1, calcular el valor de “m” en:
( )2
yx + + ( )222
yx + ≡
2
x
1
x 





− +
2
2
2
x
1
x 







− +4m
a) 2 b) 4 c) 6
d) 1/2 e) 1/4
16. Conociendo que:
ax+by=8; ay - bx = 6; a2
+b2
=5
Calcular : x2
+y2
a) 16 b) 18 c) 20
d) 24 e) 25
17. Hallar el valor de :
M =
( )( )( )1aa1aa1aaa 24224
+−+−+++
a) a+1 b) a2
+1 c) a4
+1
d) a8
+1 e) a4
- 1
18. Si : bc2a + + bc2a − =8bc
Calcular : bc2a + - bc2a −
a) 1 b) 2 c) 1/2
d) ab e) 1/4
19. Reducir :

Año Secundaria
N = (a + b + c)2
+ (a + b - c)2
- 4(a - b)2
+ 2(a + b +
c) (a + b - c)
a) 0 b) 4ab c) 8ab
d) -1 e) 18ab
20. Reducir :
(a+b+c)3
-(a+b)3
-3(a+b)(a+b+c)c
a) a3
b) b3
c) c3
d) 2a3
e) 2b3
PRACTICA N° 03
01. Proporcionar el residuo de dividir :
5x4x
7)2x(3)2x(5)2x(4)2x(
2
3646382
++
−+++++−+
Rpta : ..........................
5x
210)3x()5x(3)5x()5x( 1616182230
−
−+−+−+−+−
Rpta : ..........................
03. Halle el resto de dividir :
[ ])ax()ax( 555
−−+ entre (x+a)
Rpta : ..........................
04. Encontrar el residuo de la siguiente división:
2x
1x4x3x2xx
2
45678
−
−++−−
Rpta : ..........................
05. Proporcionar el residuo de la división mostrada:
2x7x
)6x)(5x)(4x)(3x)(2x)(1x(
2
++
++++++
Rpta : ..........................
06. Hállese el residuo de la siguiente división:
1x
2x
n
n3
4
4
+
+
; n ∈ N*
Rpta : ..........................
07. ¿Cuál es el residuo que se obtiene al efectuar la
siguiente división:
)1x)(2x(
7)1x()2x(
45
−−
+−+−
Rpta : ..........................
08. Proporcionar el residuo de la siguiente división :
30x11x
1)6x()5x(
2
19992000
+−
−−+−
Rpta : ..........................
1xx
7x2x3
2
1045
+−
+−
Rpta : ..........................
10. Encontrar el residuo de dividir 18
x entre
1xx2
++
Rpta : ..........................
11. Encontrar un polinomio P(x) de tercer grado
sabiendo que al dividirlo separadamente por (x+3),
(x+2) y (x+1) se obtiene el mismo resto8 y al
dividirlo por (x+4) se obtiene como resto 20.
Rpta : ..........................
12. Encontrar un polinomio P(x) de 2do grado, que sea
divisible en forma separada por (x-2) (x+1) cuya
suma de coeficientes sea de -6.
Rpta : ..........................
13. Encontrar un polinomio de 3er grado que sea
divisible en forma separada por (x+2) y (x+1)
sabiendo además que la suma de sus coeficientes es
24 y que su término independiente es 2.
Rpta : ..........................
14. Encontrar el resto de dividir un polinomio P(x)
entre (2x-1), si se sabe que el término
independiente del cociente es 5 y además P
(0) = 18.
Rpta : ..........................
15. Si un polinomio P(x) se divide entre 4
)1x( − ,
se obtiene como resto un polinomio de tercer grado
cuya suma de coeficientes es 3. Hallar el residuo de
dividir el polinomio original por (x – 1).
Rpta : ..........................
16. Un polinomio entero en “x” al ser dividido por (x-
1) y por (x-2) separadamente proporcionan residuos
6 y 8 respectivamente. ¿Qué expresión se debe
restar al polinomio para que al dividirlo entre [(x-1)
(x-2)] el cociente resulte exacto.
Rpta : ..........................
17. Si :
1313
22
yx
yx
−− θθ
αα
+
−
origina un cociente
notable cuyo segundo término es 816
yx− .
Calcular “α-θ”
Rpta : ..........................
18. Calcular el valor de “α” para que la división
notable:
321
544
yx
yx
−α+α
α+α
−
−
origine un cociente
notable.
Rpta : ..........................
19. Simplificar :
T =








+++
++++








++++
++++
1x...xx
1x...xx
1xxxx
1xxxx
54550
910
234
11223344
Rpta : ..........................
20. Si el tercer término del cociente de:








+
−+ αα
1x
x)2x(
2
1
tiene como valor numérico 12
2 para x=2.
Calcular el valor de “α”
Rpta : ..........................
PRACTICA N° 04
01. Determine al dividir:
1x2x
6x6x9x7x
2
3456
++
++−−
Determine la suma de los coeficientes del cociente
obtenido
a) 0 b) – 7 c) 2
d) – 1 e) 5
02. Si dividimos:
1bxax
1bxx)7a(x6x2
2
234
++
++−++
; {a; b}
⊂ Z
obtendremos como cociente y residuo polinomios
no constantes mónicos de coeficientes reales;
además se sabe que el residuo es un monomio halle:
a + b
a) 13 b) 11 c) 15
d) 9 e) 10

Año Secundaria
03. El resto de la división:
3xx2
9x8AxBxAx
2
234
−+
−+++−
Es el polinomio R(x) = 3x - 3. Calcule
3 B
3
A
+
a) - 1 b) 0 c) - 2
d) 3 e) N.A
04. En la siguiente división:
3x
2xx3 1n
−
+++
La suma de coeficientes del cociente es 1093,
calcular “n”
a) 3 b) 6 c) 7
d) 8 e) 5
05. Halle el resto de la siguiente división:
5xx
)3x()1x()2x()3x()2x(
2
2233
−−
+++−+−+
a) 30x+77 b) 31x+77 c) - 31x+77
d) x+11 e) - 31x -77
06. Halle el resto:
)2x)(1x(x
1x10
−−
−
a) 611 2x - 610x+1 b) 610 2x - 611x - 1
c) 610 2x +611x+1 d) 511 2x - 510x - 1
e) 611 2x - 1
07. Halle el resto en:
)1x)(1x(
)1x....()1x()1x()1x( n21n243322
+−
−+−+−+− −
Siendo n ∈ N
a) 1 - x b) 1 + x c)
)x1)(14(
3
2 n −−
d) )1x)(14(
2
3 n ++ e) 0
08. Halle el resto en la siguiente división:
)x1)(x1(
x....xxx1
2
1n432
++
++++ −
a) 0 b) 1 - x c) 1 + x
d) 1 + 2x e) 2x - 1
09. Al dividir el polinomio p(x) entre (x - 1) y luego
entre (x - 2) se obtiene el mismo resto 4, además
p(x) es divisible entre (x - 3). Calcular el término
independiente p(x) si es de 3º y además cp es 2.
a) - 1 b) - 3 c) - 12
d) - 7 e) - 8
10. Sea p(x) un polinomio mónico de 3º si p(x) es
divisible entre (x+2) y también entre (x+3) y
además al dividir p(x) entre ( 2x - 1) el resto es
17x+19. Calcular p(0)
a) 10 b) 17 c) 2
d) 12 e) 6
11. Calcule “m” para que la división:
1xx
2m2nxx
2
5
−+
−+−
a) 5 b) 6 c)
2
5
d) 10 e) 8
12. Al dividir:
1x2
1x2x16 4
−−
++ se obtiene como
cociente :
dx3
5
c
x2
4
b
x1
3
a
)x(q 23 +





−+





−+





−=
Halle: a + b + c + d
a) 34 b) 30 c) 21
d) 8 e) 50
13. Luego de dividir:
4)x7x(
)12x7x)(6x7x)(6x)(3x)(1x)(4x(
22
22
−−
−−−−−−−−
Calcule la suma de los coeficientes del cociente
obtenido
a) - 140 b) - 156 c) - 175
d) - 144 e) - 136
14. Calcular a+b+c, si el resto de dividir:
3x5cxbxax 245 −−++ entre
2xxx2 23 −−+ es :
a) 18 b) 20 c) 15
d) 19 e) 92
15. Halle el resto en la siguiente división:
2x2x
4xx)1x(
2
4n
++
++++
donde n = 4º
a) x+2 b) - x + 1 c) - x - 1
d) x+1 e) x - 1
PRACTICA N° 05
01. Con respecto al polinomio:
a(x – 1) – b(1 – x) + cx – c
señale verdadero o falso:
I) a + b + c es un factor
II) x + 1 es un factor
III) solo tiene 2 factores primos
a) VVF b) VFV c) FVV
d) FFF e) VVV
02. Al descomponer en dos factores la expresión:
(a – 5) (a – 6) (a – 7) + (a – 5) (a – 6) – (a – 5)
El resultado del producto de los valores absolutos de
los términos no literales es:
a) 157 b) 165 c) 156
d) 175 e) 105
03. Factorizar: (n2
+ n-1)2
+ (2n + 1)2
, e indicar la suma
de los términos independientes de sus factores
primos.
a) 3 b) – 1 c) 4
d) 2 e) – 2
04. Factorizar:
(a – b)2
(x – y)2
+ 2ab(x – y)2
+ 2xy (a2
+ b2
)
indicando la suma de sus factores primos:
a) a2
+ b2
+ x2
+ y2
b) a2
+ 2b + 2x2
+ y2
c) 2a2
+ b2
+ x2
+ 3y2
d) a2
+ b2
+ 3x2
+ y3
e) a2
+ b2
+ x3
+ 3y2
05. Indicar la suma de los factores primos de:
C = a2
+ a – b2
+ b – c2
– c + 2b
a) 2a + 1 b) a + b + c c) a + 2b + c
d) a –b + c e) a
06. Factorizar:
a4
– a3
– 7a2
+ a + 6, indicando uno de sus factores:
a) a +3 b) a-2 c) a+1
d) a2
+1 e) a2
+2
07. ¿Cuál no es un factor de (1 + mx)2
– (m+x)2
a) 1 + m b) 1 + x c) 1 – x
d) 1 – m e) m + x
08. El polinomio: 3x3
– 21x + 18, al factorizar tiene la
forma: a(x –b) (x – c) (x – d), donde b < c < d.
Calcular: a – b + c – d
a) 7 b) – 7 c) 9
d) 5 e) 6
09. El número de factores primos de:
x3
y2
+ y3
z2
– x3
z2
– y5
, es:
a) 5 b) 4 c) 3
d) 2 e) 1
10. Hallar el número de factores primos de:
64a7
b – ab7
a) 3 b) 4 c) 6
d) 5 e) 7
11. Indicar el término independiente de uno de los
factores primos del trinomio.
P(x,y) ≡ (x + y + 3)2
+ 7x + 7y + 31
a) 2 b) 7 c) 8
d) 3 e) 39

Año Secundaria
12. Reconocer un factor del polinomio:
6a2
– 11ab + 4b2
– 8ª + 14b – 8
a) 3a + 4b – 2 b) 3a - 2b + 4
c) 2a - 2b + 1 d) 2a + 4b – 1
e) 3a - 4b + 2
13. Un factor de: a(a – 1) + a3
– 1 es:
a) 1 – a b) a+1 c) a + 2
d) a - 2 e) a
14. Dar la suma de los factores primos de:
P(x) = x4
– 5x2
+ 4
a) x2
+ 2 b) x2
+ 5x c) 4x
d) 3x+7 e) N.a.
15. Luego de factorizar: R(x) = x3
+ x2
+ x + 1
Se obtiene un factor de la suma (ax2
+ b)
Halle Ud. “a + b”
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
16. Hallar la suma de los factores primos de:
x3
+ (a + b + c)x2
+ (ab + ac + bc) x + abc
a) x + a + 2b + c b) 2x + 2a + 2b
c) 3x + a + b + c d) 2x + 2ª + 2b + 2c
e) x + 3a + 2b + c
17. Si (x + 1) es un factor de x2
+ cx – 2 y (2x – 1) es un
factor de dx2
+ 5x – 4, entonces el valor de d/c es:
a) 1/2 b) 4 c) –1/2
d) – 6 e) 6
18. Los trinomios: 2x2
+ ax + b y 2x2
+ bx + 3 admiten
un factor común de la forma: 2x + c.
Calcular el valor de (a – b)c
a) – 3 b) 2 c) 6
d) – 2 e) 3
19. Factorizar en “z” al polinomio:
P(x) = x6
+ 4x5
– 21 x4
– 20x2
– 4
a) (x3
+ 7x2
– 2) (x3
– 3x2
+ 2)
b) (x4
+ 2) (x3
– 3x – 2)
c) (x3
+ 7x – 2) (x3
– x – 2)
d) (x3
+ 7x2
+ 2) (x4
– 2)
e) (x3
+ 7x2
+ 2) (x3
– 3x2
– 2)
20. El coeficiente de un término lineal de uno de los
factores primos de:
P(x) = x4
+ 2x3
+ 5x + 2 es:
a) 2 b) – 2 c) 1
d) – 1 e) - 3
OBJETIVOS ESPECÍFICOSOBJETIVOS ESPECÍFICOS:
• Conoce una nueva operación matemática.
• Determina el factorial de un número natural.
• Resuelve ejercicios referidos a factoriales
haciendo uso de las propiedades estudiadas.
COMENTARIO PREVIO:COMENTARIO PREVIO:
El presente módulo comprende el estudio de una
nueva operación matemática denominada
factorial, el cual se refiere a determinar el
resultado del producto de los números naturales
consecutivos desde el 1 hasta el número
indicado. Pero ¿ Para que nos va a servir esta
nueva operación matemática? Pues bien esta
operación se va a utilizar como un apoyo en la
potenciación de polinomios.
CONTENIDO TEÓRICOCONTENIDO TEÓRICO
1. Factorial de un número
El factorial de un número natural “n” es el
producto de todos los números naturales
consecutivos desde 1 hasta “n”.
La simbología a utilizar será: n! = n
= 1 x 3 x ... x (n - 1) x nn! = n
∀ n N∈ n 1≥
2. Propiedades del factorial de un número
1. Los factoriales sólo están definidos para los
números naturales. Así:
0! ....
3! ....
7
4
! ....
2
1/2
....
(- 6 )! ....
( 2/5 )! ....
El factorial de un número natural puede
expresarse en función del factorial de otro
número natural menor.
7! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7
7! = 6! x 7
Luego:
De la relación anterior, se concluye:
Para n = 1 ⇒ 1! = 0! x 1 ⇒ 1! = 0! = 1
Observación:
Sí n! = 1, cabe dos posibilidades para n:
n = 0 ó n = 1
Asimismo: 7! = 4! x 5 x 6 x 7
Luego se concluye:
n! = (n – 3)! . (n – 2) . (n – 1) . n
3. Si: a! = b! ⇒ a = b
4. En factoriales se debe recordar
lo siguiente:
(a ± b)! ≠ a! ± b!
(a . b)! ≠ a! . b!
(a/b)! ≠ a! / b!
3. Cofactorial o semifactorial
Sea “n” un número entero positivo, el cofactorial o
semifactorial de”n” se denota por n!! ó n y
se define:
a. Para “n” par:
8!! = 2 x 4 x 6 x 8
20!! = …………………
b. Para “n” impar:
7!! = 1 x 3 x 5 x7
19!! = …………………
Luego:
n!! = n =
1 x 3 x 5 x .... x n
2 x 4 x 6 x .... x n
Si "n" es impar
Si "n" es par
4. Relación entre el cofactorial y el factorial de
un número.
• Si el número es par:
( 2n ) !! = 2n = 2n n
• Si el número es impar:
n! = (n – 1)! . n
FACTORIAL DE

Año Secundaria
( 2n ) !! = 2n - 1 =
2n
2 n
n
Observaciones:
• 3! = 6  factorial de 3
• 3!! = 3  cofactorial de 3
• 3 !!!  no existe definición
• (3!)! = 6! =720 factorial del factorial de 3
• ((3!)!)! = ( 6!)! = 720!
• 3 !!! ≠ (( 3! )!)!
Ejemplo:
Si
!7!6
!8!7!6
+
++
=A ;
!70!69
!71
+
=B
!36
!35!34 +
=C Calcula: A x B x C
Resolución
Aplicando las propiedades estudiadas y reduciendo
términos tendremos:
)71(!6
)5671(!6
7!6!6
87!67!6!6
+
++
=
+
++
=
x
xxx
A
A = 64/8 = 8
70
71
7170
)701(!69
7170!69
==
+
=
xxx
B
35
1
3635
36
3635!34
)351(!34
==
+
=
xxx
C
Luego: A x B x C = 8 x 70 x 1/35 = 16
01. Hallar el equivalente de:
!201
!199!2000 +
=R
a) 0,01 b) 0,001 c) 0,005
d) 0,05 e) N.A.
02. Calcula el valor de n en:
24
)!4()!3(
)!3.()!5(
=
+++
++
nn
nn
a) 0 b) 3 c) 2
d) 1 e) N.A.
03. Para qué valor de “n” se cumple:
12n! + 5(n + 1)! = (n + 2)!
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
04. Sí:(x +1)! – x! = 18; el valor de (x + 1)! + x! es:
a) 24 b) 36 c) 30
d) 54 e) 60
05. Reduce:
( )
nfactores
nfactores
x
)...!4!3)(!3!2)(!2!1(
)...!5!4!3)(!4!3!2(!3!2!1
+++
++++++
=
06. Simplifica:
500
1500...12963
1000....8642
xxxxx
xxxxx
07. Halla “x” en:
1(1!) + 2(2!) + 3(3!) +.... + x(x!) = 19! – 1
08. En qué cifra termina N?
N = 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + ......+ 50!
09. Calcula el valor de E:
!3!2!1
!27!26!25
!25++
++
10. Halla “n” en:
48
)!7()!6(
)!8()!7()!6(
=
+++
+++++
nn
nnn
01. Reduce la siguiente expresión:
E = 2 x 4 x 6 x 8 x. . .x 2n
a) n! . nn
b) (2n). n! c) 2n
. n!
d) 2n
e) N.A.
02. Simplifica:
60........22.21.20
60.............14.13
a) 19/12 b) 19!/12! c) 19!
d) 12! e) 19! - 12!
03. Simplifica:
80.......525150
80.......222120
xxxx
xxxx
W =
a) 50!–20! b) 80!–40! c) 49! ∕ 19!
d) 42! ⁄ 20! e) F.D.
04. Simplifica:
!52!53
!52!53!54
+
++
=R
a) 54! b) 54 c) 27!
d) 27 e) 53
05. Simplifica:
)!4()!5(
)!6()!5()!4(
+++
+++++
=
xx
xxx
T
a) x b) x + 4 c) x + 6
d) x + 5 e) x + 3
06. Reduce:
)!1(!
)!2()!1(!
++
++++
=
xx
xxx
T
a) x + 4 b) x + 3 c) x + 2
d) x + 1 e) x
07. Hallar n Sí: [(n! + 2)! – 4] ! = 20!
08. Sabiendo que:
!15
)!5()!6(
)!5()!7(
=
+++
++
xx
xx
, el valor de “x” es
:
09. Calcula “n” en:
!108
)!43()!53(
)!43()!53)(8103(3 2
=
+−+
++++
nn
nnnn
10. Hallar el equivalente de:
E = 2(2!) + 4(2!) + 6(3!) + 8(4!) + ... + 2n(n!)

Año Secundaria
• Define, conoce y aplica las propiedades del
coeficiente binomial o número combinatorio para
su posterior aplicación en la solución de problemas.
Newton que no es un matemático puro, sino un
físico que aplicaba la matemática a los fenómenos
de la naturaleza, su contribución más importante es
su método de fluxiones que fue escrito en 1671,
pero publicado en 1736, cuya esencia y notación,
no es sino una forma de tratar los problemas del
actual análisis infinitesimal.
Newton es considerado como una de las brillantes
mentes de todos los tiempos, investigador profundo
de la filosofía natural, no solo se limita a cuestiones
infinitesimales sino a zonas del álgebra en donde
uno de sus aportes es generalizar el desarrollo del
binomio (x + y)n
para exponente no natural cuya
aplicación se manifiesta en matemática financiera.
En la sesión anterior estudiamos el factorial de un
número natural, ahora nos asiste estudiar el
coeficiente binomial que se verá reforzado con los
conocimientos previos de la sesión anterior.
Coeficiente binomial
Esta importante notación conocida como
coeficiente binomial, se define de la siguiente
manera: Si “n” es un número real y “r” un número
natural, la notación coeficiente binomial denotado
por






r
n
. Se lee: “coeficiente n, r” y está
definida por:
   factoresr
rxxxx
rnnnn
r
n
""
....321
)1)....(2)(1( +−−−
=





Puede comprobarse que el número de factores que
hay en el numerador de ésta relación, coincide con
“r”.






r
n
Propiedad:
1=





n
n
∧
1
0
=




n
Teorema del coeficiente binomial
El siguiente teorema, permite evaluar






r
n
de
otra manera: Si “n” es un entero positivo, “r” es un
entero no negativo y 0 ≤ r ≤ n, se verifica que:
)!(!
!
....321
)1)....(2)(1(
""
rnr
n
rxxxx
rnnnn
r
n
factoresr
−
=
+−−−
=






La expresión propuesta es semejante al cálculo
del número de combinaciones de “n” objetos
tomados de “r” en “r”, por lo que a este
coeficiente binomial n, r también se le llama
número combinatorio n, r.
Una notación equivalente a la ya establecida es:
n
rC , Donde “n” recibe el nombre de la base y
“r” el de orden.
=





r
n
Basen
ordenrC ←
←
Propiedad de los números combinatorios
1º Los números combinatorios complementarios, son
aquellos que tienen igual base y la suma de las
órdenes coincide con dicha base.
Se verifica que los números combinatorios
complementarios son iguales.
m
nm
m
n CC −=
Ejemplo:
4950
21
99100100
2
100
98 ===
x
x
CC
2º La suma de dos números combinatorios de igual
base, cuyas órdenes difieren en una unidad, es igual
a otro número combinatorio cuya base es la de los
sumandos aumentado en una unidad y cuyo orden
es el mayor de los órdenes:
1
1
+
− =+ m
n
m
n
m
n CCC
Ejemplo:
20
321
4566
3
5
3
5
2 ===+
xx
xx
CCC
3º La suma de todos los números combinatorios de
igual índice, cuyos órdenes varían desde cero hasta
la propia base, vale 2 elevado a dicha base:
COEFICIENTE
índice superior
índice inferior

Año Secundaria
mm
m
mm
CCC 2...10 =+++
Ejemplo:
16244
4
4
3
4
2
4
1
4
0 ==++++ CCCCC
4º Degradación de índice: Consiste en descomponer
un número combinatorio en otro que tenga como
índice superior e inferior el inmediato anterior. Es
decir:
1
1
−
−= n
r
n
r C
r
n
C
1−
−
= n
r
n
r C
rn
n
C
n
r
n
r C
r
rn
C 1
1
−=
+−
=
PRÁCTICA DE CLASEPRÁCTICA DE CLASE
01. Halla (m + n) en:
21
15
10
4
9
3
8
2
8
1 .... CCCCCC n
m =+++++
a) 30 b) 34 c) 22
d) 35 e) N.A.
6561243614 4321 =+++ nnnn
CCCC
a) 20 b) 24 c) 22
d) 25 e) 19.
03. Si x e y son primos entre sí. Calcula (x + y) en:
12
4
16
7
12
4
13
5
14
6
15
7 C
y
x
CCCCC −=+++
a) 13 b) 14 c) 15
d) 25 e) 16.
04. Calcular xy, si se cumple:
7
432 2 y
xxx
CCCC =++
a) 15 b) 18 c) 21
d) 20 e) a y d
05. Calcula (x + y) si se cumple:
5
4
1 ++
= yx
y CC
a) 15 b) 12 c) 13
d) 14 e) 16
06. Efectuar:
∑=
+
10
1
3
k
k
kC
a) 105 b) 108 c) 101
d) 120 e) 100
5
7
2
4
1
32
=
+
+
+
n
nn
C
CC
a) -22/7 b) 7 c) 22
d) 3 e) N.A.
08. Calcula “n” y “p” en la siguiente igualdad:
n
p
n
p CC 2
10
2
2 −− =
a) 4,6 b) 6,4 c) 8,10
d) 5,5 e) 3,6
09. Calcula “x” en:
212
21
212
2221
2
21
1
22
2
20
−−−−−
=−+++ xxxxxx
CCCCCC
a) 18 b) 19 c) 20
d) 22 e) 21
10. Un valor equivalente a
13
6C es:
a)
14
7C b)
13
5C c)
13
7C
d)
12
7C e)
13
8C
PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS
01. Simplificar:
19
10
25
6
19
9
25
5
26
6
20
9
26
20
20
10
CCCC
CCCC
+
+
a) 42/13 b) 42/15 c) 42/11
d) 42/7 e) N.A.
02. Sumar:
m
m
mmmmxm
CCCCC 3...333 3
3
2
21
10 ++−+− −
a) -2 b) -22n
c) -2n
d) 22n
e) N.A.
03. Halle n + p en la ecuación:
451
1516
1
17 p
nnn
CCCC =−+ −−
a) 52 b) 62 c) 60
d) 56 e) N.a.
04. Sí:
n
C2
= 10;
Hallar: 2n-1
a) 5 b) 15 c) 13
d) 9 e) 7
05. Sí:
18
xC =
18
2+xC , el valor de “x” es:
a) 4 b) 6 c) 2
d) 10 e) 8
06. Simplifica:
15
7
C2
15
7
C815
8
C2 +
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
07. Resuelve:
168
4
5
7
=−
−
n
n
C
C
a) 16 b) 18 c) 21
d) 19 e) 20
08.
15=





b
a
∧
( )
360
!
!
=
−ba
a
Entonces a.b es igual a:
a) 24 b) 96 c) 216
d) 864 e) N.A.
09. Reduce:
16
1
16
2
18
15
17
15





 +











 −






a) 1/3 b) 1/5 c) 3/5
d) 5/3 e) 1/15
10. ¿ Para qué valor de “n” se cumple:

Año Secundaria
4
2
33
1
3
++
++ nnn
CCC = 1331
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
01. Sí n! = 720 y .56C 2n
k =+
Halle la suma de (n + k) si k es el menor valor.
a) 10 b) 11 c) 12
d) 13 e) 14
02. Resolver:
5
7
2
4
1
32
=
+
+
+
n
nn
C
CC
a) 1 b) 5 c) 2
d) 3 e) 4
03. Reducir:
99
96
6
3
5
2
4
1 .... CCCC ++++
04. Reduce: (r ≤ n – 1)





 −
+





−
+





−
−
+





+
+
r
n
r
n
r
n
r
n 1
11
1
1
1
a) 





+
+
1
2
r
n
b) 




 +
r
n 2
c)






+
+
2
2
r
n
d) 





+
+
2
3
r
n
e) N.a.
05. Calcula: “n + k” de:






−
=





12
21
11
2
22
7
kk
∧






=





2
2
28
3
4
3
nn
a) 15 b) 8 c) 12
d) 9 e) 17
06. Halla el valor de “n” en la siguiente igualdad:
2
n
C4
= 5
1
3
−n
C
a) 6 b) 8 c) 10
d) 12 e) 5
07. Calcula el valor de “x” en:
( )
( )
12x2
C.CC
CCC
m
1x
2m
1x
21m
x
m
1x
1m
x
2m
1x
−=
−
−
−
+
+
+
−
++
+
a) 12 b) 10 c) 8
d) 6 e) 5
• Desarrolla correctamente la potenciación de un
binomio, haciendo uso de los coeficientes
binomiales.
• Determina el término que ocupa un determinado
lugar en el desarrollo de dicha potencia.
• Resuelve ejercicios y problemas referidos al
binomio de Newton.
El Binomio de Newton recibe el nombre de Isaac
Newton (1642 – 1727), que ha sido el más grande
los matemáticos ingleses y uno de los mayores
científicos de la humanidad.
En este módulo introducimos las combinaciones de
“n“ elementos tomados de “r” en “r“ para denotar
los coeficientes de los términos del desarrollo del
binomio.
Estos valores funcionando como coeficientes del
desarrollo del binomio, son llamados números
combinatorios.
Cabe mencionar que un ilustre peruano Federico
Villarreal (1850-1923) nacido en Túcume,
Lambayeque quién a la edad de 23 años descubrió
el método para elevar ya no solo un binomio sino
un polinomio cualquiera a una potencia compleja
inclusive, otro matemático peruano Cristóbal de
Losada y Puga, le dedico profundos estudios a este
descubrimiento e incluso lo llamó “polinomio de
Villarreal” donde aquí el binomio de Newton viene
a ser un caso particular. n ∈ Ζ+
1. POTENCIACIÓN: BINOMIO DE NEWTON
La potencia de un binomio es un polinomio que se
denomina desarrollo binomial o de Newton.
Así tenemos:
(x + a)1
= x + a
(x + a)2
= x2
+ 2xa + a2
(x + a)3
= x3
+ 3x2
a + 3xa2
+a3
(x + a)4
= x4
+ 4x3
a + 6x2
a2
+4xa3
+a4
: :
: :
Veamos a continuación el desarrollo de los diversos
tipos de exponentes que pueden afectar al binomio.
DESARROLLO DE LA POTENCIA DE UN BINOMIO
CON EXPONENTE NATURAL (n ∈ IN):
BINOMIO DE NEWTON
nnnnn
aax
nn
anxxax ++
−
++=+ −−
...
2.1
)1(
)( 221
o también:
n
n
nnnnnn
CaxCaxCxCax ......)( 22
2
1
10 ++++=+ −−
Como ( ) n
k
n
k C= ; entonces también se podría
expresar haciendo uso de los coeficientes binomiales:
+





+





+





=+ −− 22
2
1
10
...)( axaxxax n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
axaax ........ 1
1
33
3






+





++




 −
−
−
FORMAS PRÁCTICAS DE DEDUCIR DIRECTAMENTE
EL DESARROLLO DEL BINOMIO
Veamos los siguientes ejemplos:
MÉTODO “1”
( ) kkn
n
k
n
k
n
yxyx −
=
∑ 





=+
0
POTENCIACIÓN DE

Año Secundaria
Desarrollar : (x + a)4
432234 axa4ax6ax4x ++++Solución :
Nótese que cualquier coeficiente es igual al
producto del coeficiente anterior por el exponente
de “x”, dividido entre el exponente de “a”
previamente aumentado en 1.
Así: El 3er coeficiente: 6
11
3.4
=
+
El 4to coeficiente: 4
12
2.6
=
+
Generalizando:
Coeficiente
de un término
Coeficiente del
término anterior
Exponente de la 2da
base del término anterior
Exponente de la
1ra base del
+1
=
término anterior
cualquiera
MÉTODO “2”
TRIÁNGULO DE PASCAL
Si distribuimos en línea los coeficientes del
desarrollo del binomio para sus potencias
consecutivas, toma la forma geométrica de un
triángulo de Pascal o de Tartaglia en honor a sus
descubridores.
Veamos
(x + a)0
⇒ 1
(x + a)1
⇒ 1 1
(x + a)2
⇒ 1 2 1
(x + a)3
⇒ 1 3 3 1
(x + a)4
⇒ 1 4 6 4 1
(x + a)5
⇒ 1 5 10 10 5 1
(x + a)6
⇒ 1 6 15 20 15 6 1
(x + a)7
⇒ 1 7 21 35 35 21 7 1
: : : : :
También:
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
En donde un coeficiente cualquiera es igual a la
suma de los dos que están encima de él en la fila
anterior.
Ejemplo. Halla el desarrollo de (x + y)5
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
Luego:
(x + y)5
= x5
+ 5x4
y + 10x3
y2
+ 10x2
y3
+ 5xy4
+
y5
Además obsérvese estos detalles del triángulo:
4 6
4
1C 4
2C
10
5
2C
Que en realidad comprueban que:
5
2
4
2
4
1 CCC =+
Es un caso particular de:
ccc
n
r
n
r
n
r
=+
−−
−
11
1
Además: 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 25
ó
55
5
5
4
5
3
5
2
5
1
5
0
2=+++++ cccccc
Son una prueba de que la suma de los coeficientes
de la fila n, es igual a 2n
.
OBSERVACIÓN:
• Tanto el método (1) como el método (2) son
viables o factibles de emplear para potencias con
exponentes pequeños, caso contrario habría que
emplear la forma general.
• Si los términos del binomio están ligados con el
signo "−", los términos del desarrollo estarán
ligados en forma alternada con los signos + , −.
nnnnn
aax
nn
anxxax ±−
−
+−=− −−
...
2.1
)1(
)( 221
o también:
nn
n
nnnnnnn
aCaxCaxCxCax .......)( 22
2
1
10 ±−+−=− −−
Siendo los de lugar: IMPAR ⇒ positivo
lugar: PAR ⇒ negativo
TÉRMINO GENERAL DEL DESARROLLO DE LA
POTENCIA DE UN BINOMIO
Para: (x ± a)n
, se tiene que:
( ) kknn
kk axt −
+ ±=1
Donde :
(k + 1) → lugar que ocupa el término





 n
k
→ combinación de “n” elementos tomados de
“k” en “k”
n → exponente del binomio
x → primer término del binomio
a → segundo término del binomio
k → lugar del término buscado menos 1
Ejemplo: Halla el séptimo término del desarrollo de:
10
43
4
1
2 





− yx
Resolución
Tk + 1; entonces k = 6, luego de la fórmula se obtiene:
( )
6
46103
10
6
7
4
1
.2 











=
−
yxT
2412124
7 2)2.(
6.5.4.3.2.1
5.6.7.8.9.10
yxT −
=
2412
7 .
128
105
yxT =
TÉRMINO GENERAL DEL DESARROLLO DE LA
POTENCIA DE UN BINOMIO CONTADO A
PARTIR DEL EXTREMO FINAL
Es necesario y suficiente intercambiar simultáneamente
las bases y aplicar la fórmula conocida del término
general.

Año Secundaria
Ejemplo: Calcular el t10 a partir del extremo final de: (x
+ y)40
Resolución
Solamente intercambiamos las bases (y + x)40
y
aplicamos la fórmula del término general.
93140
9
94040
9
40
1910 .. xyCyctt final === −
+
Observación:
 La suma de los coeficientes de (x + a)n
es:
n
n
nnnn
CCCC ++++= ....2 210
 La suma de los coeficientes de (x – a)n
es cero.
 En general la suma de los coeficientes del
desarrollo de la potencia de un binomio se obtiene
reemplazando a las variables que aparecen en la
base por la unidad.
P(x ; a) = (px ± qa)n
⇒ P(1;1) = (p ± q)n
2. DESARROLLO DE LA POTENCIA DE UN
BINOMIO CON EXPONENTE NEGATIVO Y/O
FRACCIONARIO.
En la primera parte del módulo se estudió el Teorema
del binomio cuando el exponente es un número
entero y positivo cualquiera, ahora se trata de hallar
la fórmula para exponente negativo y/o
fraccionario.
...
2.1
)1(
1
)( 221
+
−
++=+ −−
ax
nn
ax
n
xax nnnn
( ) ( ) ( ) +++=+ −− 22
2
1
10 .....)( axaxxax nnnnnnn
( ) .....a.x. 33nn
3
++ −
Su desarrollo admite infinitos términos pudiéndosele
llamar Serie binomial..
Ejemplo.
Hállese los tres primeros términos de la expansión de:
( ) 3/1
1
−
−x
Resolución
De acuerdo con lo expuesto en la teoría se deberá
plantear:
...)1()1()1(
1
3
13/1
1
3/1
3/1
0
3
1
+





+





=−
−−−
−
−−
xx
Y según las propiedades antes vistas, se tendrá:
....
2.1
1
3
1
3
1
3
1
1)1( 23/1
+






−
−





 −
+





−+=− −
xxx
Finalmente efectuando las operaciones indicadas
conseguimos:
  
términosprimerostres
2
3/1
.....
9
x2
3
x
1)xI( −+−=− −
PROPIEDADES DEL DESARROLLO DEL BINOMIO
01. El número de términos es infinito, y al desarrollo se
le reconoce con el nombre de serie binómica de
Newton.
02. Para determinar el desarrollo de (x + a)n
para un
número fraccionario y / o negativo el valor de x
debe ser uno y además x > a. Los valores de a
deben ser 0 < a < 1.
03. Los términos del desarrollo con respecto a sus
signos, no tienen ninguna relación.
04. Para determinar el término general en el desarrollo
se utiliza la siguiente fórmula.
kkn
n
k
k axt −
+ 





=1 ; ó también:
kkn
factoresk
k ax
k
knnnn
t −
+
+−−−
=
!
)1)...(2)(1(
1
  
3. FÓRMULA DE LEIBNITZ
Así como se puede hallar el término que uno desee
en la potencia de un binomio, se puede hallar un
término cualquiera en la potencia de un polinomio,
aplicando la llamada fórmula de Leibnitz. Por
razones puramente pedagógicas estableceremos las
reglas para el desarrollo de (a + b + c + d)m
, en
donde el término que contiene a: aα
. bβ
. cγ
. dδ
es:
δγβα
δγβα
dcba
m
....
!!!!
!
Donde: m=+++ δγβα
El desarrollo de toda la potencia se expresa así:
δγβα
δγβα
dcba
m
dcba m
...
!!!!
!
)( ∑=+++
Donde m se descompone en todos los modos posibles
tales que: α + β + γ + δ pertenecen al conjunto {0;
1; 2; ... m}.
Ejemplo:
Halla el coeficiente de x6
en el desarrollo de
(1 + 2x – x2
)5
.
Resolución
El coeficiente estará expresado por:
γβα
γβα
)()2()1(
!!!
!5 2
xx −∑ ......
....... (I)
Donde : β + 2γ = 6 (exponente de x6
)
Además : α + β + γ = 5, donde los valores posibles que
pueden asumir son:
α = 0 ; β = 4 ; γ = 1
α = 1 ; β = 2 ; γ = 2
α = 2 ; β = 0 ; γ = 3
Reemplazando en (I):
211240
)2()1(
!2!2!1
!5
)()2()1(
!1!4!0
!5
xxx +−
663202
812010)()2()1(
!3!0!2
!5
xxxx −+−=−+
¡Importante!
Dado el polinomio
n
ostérk
kcba )...(
min""
  
++++
El número de términos de su desarrollo se calcula de la
siguiente manera:
n° términos = 




 −+
−
1
1
kn
k
Ejemplo:
El número de términos de (1 + x + y + z)6
es:
84
3.2.1
7.8.99
3
146
14 ===−+
− CC

Año Secundaria
01. Para que valores de “n” los coeficientes del término
5, término 6, término 7 del desarrollo de (1 + x)n
forman una progresión aritmética.
a) 7 y 14 b) 7 y 12 c) 7 y 11
d) 6 y 14 e) 7 y 13
02. Si los coeficientes de tres términos consecutivos en
la expansión de (x + y)n
son proporcionales a 3, 12
y 28. Hallar “n” sí n < 10.
a) 7 b) 8 c) 9
d) 10 e) 6
03. Determina el número de términos irracionales en el
desarrollo de:
48
3
1
4
1








+xx
a) 14 b) 43 c) 42
d) 45 e) 44
04. En el binomio: ( ) 1234 −−
+
n
xx ,el coeficiente
del término 6 es
9
5C .Halle el número de
términos.
a) 20 b) 10 c) 11
d) 14 e) 12
05. El coeficiente de x45
en la expansión:
( )782−
+ xx es 




78
a
; a < 20. Halle el
coeficiente de x4a -8
a)
68
14C b)
78
14C c)
88
14C
d)
68
16C e) N.A.
06. ¿Cuál de las siguientes expresiones es falsa en
relación con el desarrollo de (x2
– 3y5
)6
?
a) El desarrollo consta de 7 términos.
b) Los términos son alternadamente positivos y
negativos.
c) La suma de los exponentes que afectan a “x” é “y”
en cada término es constante.
d) El coeficiente del segundo término es –18
e) El coeficiente del cuarto término no es 540
07. El quinto término de (2x2
+ y)20
tiene por
coeficiente:
a) 170. 28
b) 570. 24
c) 570. 216
d) 340 . 25
e) 4845. 216
08. El término de segundo grado en el desarrollo de:
4
2 2




−
x
x es :
a) -32x2
b) 24x2
c) -12x2
d) 4x2
e) -16x2
09. Halla el coeficiente del término independiente de
“x” en el desarrollo de ( )1248 −
−xx
a) 490 b) 492 c) 497
d) 493 e) 425
10. Hallar n + k si se sabe que el cuarto término del
desarrollo de (x + 2)n
es 80xk
a) 5 b) 6 c) 7
d) 8 e) 9
11. En el desarrollo de:
120
3
5 1






+
x
x .
Determinar el número de términos irracionales.
a) 9 b) 150 c) 118
d) 112 e) Imposible
12. Al desarrollar la expresión:
nn
n
m
x
x
y
x






+
+
−
20
10
Observamos que ésta admite un término central
cuya parte literal es:
60060
yx .Calcula “m + n”
a) 41 b) 42 c) 43
d) 44 e) 45
13. Hallar el coeficiente que contiene a x2
en el
desarrollo de:
2/1
)41( −
− x .
a) 12 b) 6 c) 4
d) 18 e) 1
14. Calcular el coeficiente cuya parte literal es x9
en la
expresión:
53
)21( xx ++
a) 70 b) -70 c) 80
d) -80 e) 90
15. El número de términos que se obtiene al
desarrollar:
n
zyx )5432( 22
+++ es 84.
Calcula n.
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS
01. ¿Cuáles son los dos primeros términos del
desarrollo de:
102
10
1 





−
a
?
a) 1– a2
b)10 – a20
c) 1 – 10a8
d) 10 – a2
e) 1+ a2
5
2
2
11






+
xx
.El término
que contiene a x–8
es:
a) El 2do b) El 3ro c) El 4to
d) El 5to e) El 6to
03. En el desarrollo de
m
x
a
x 





+2
los coeficientes
de los términos cuarto y décimo son iguales. Hallar
el término que no contiene a “x”:
a) 120 b) 612 a4
c) 870 a6
d) 3003 a10
e) 1020 a9
04. Por el teorema del binomio. ¿Cuántos términos de
la expansión de: ( )123
23 + son números
naturales?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
05. Si el término de lugar “n” contando a partir del
último en la expansión del binomio.
B(x ; y) =
m
y
x 





+ 2
3 1
. Es px18
y–6
.Halle m + n + p
a) 82 b) 84 c) 86
d) 88 e) 90
06. Calcular el valor que toma el quinto término del
desarrollo de:
1
1
−x
; para x = 0,4
a) 0,001 b) 0,003 c) 0,005
d) 0,007 e) 0,009
07. La suma de coeficientes de los 4 primeros términos
del siguiente desarrollo:
32
331
1
xxx +++
; es:
a) 0 b) 5 c) 6
d) –5 e) – 6
08. Determinar el lugar que ocupa el término de mayor
valor numérico que se obtiene al desarrollar: (3 +
2x)15
; para x = 7/ 2

Año Secundaria
a) 12 b) 13 c) 14
d) 15 e) 16
09. El valor de “x” es tan pequeño de tal manera que su
cuadrado y demás potencias superiores pueden
despreciarse. De acuerdo a esto, el equivalente de:
x
x
T
+
+
=
1
9
, es:
a)
6
x
3 + b)
6
x
3 − c)
6
x17
2 +
d)
6
x17
3 − e)
17
x6
3 −
10. La suma de los coeficientes numéricos del
desarrollo completo de ( x2
– 2xy + y2
)7
, es:
a) 0 b) 7 c) 14
d) 128 e) 1282
11. Si el número de términos que se obtiene al
desarrollar: ( 2 + 3x2
+ 4y + 5z2
)n
es 84. Calcula “n”
a) 6 b) 7 c) 8
d) 9 e) 10
12. Al desarrollar: ( x + y + z + w )8
, se obtienen “n”
términos en el cual uno de ellos toma la forma: λ x2
y2
zw3
. De acuerdo a lo anterior, calcular el valor
de: “x + n”
a) 1805 b) 1584 c) 1845
d) 1854 e) 1580
13. Hallar el término que contenga la cuarta potencia
de “a” en el desarrollo de: ( )10
2 a−
a) 1280 a4
b) 1380 a4
c) 1480 a4
d) 1580 a4
e) 1680 a4
14. En el desarrollo de
7
1






−
a
a , el coeficiente
de a-1/2
es:
a) - 7 b) 7 c) - 21
d) 221 e) 35
15. La suma de los coeficientes numéricos de todos los
términos del desarrollo de: (x - 2y)18
es:
a) 0 b) 1 c) 2
d) - 19 e) 19
TAREA DOMICILIARIA
01. Determinar el valor de “n” si se sabe que el término
central del desarrollo de:
4n
)1x( −
+ es
6
2
76n172n
x
+−
a) 8 b) 9 c) 10
d) 7 e) N.A.
02. Calcular el lugar del término que contiene a x2
en el
desarrollo de:
14
x
1
x








−
a) 6 b) 7 c) 9
d) 8 e) N.A.
03. Indicar el lugar que ocupa el término independiente
de “x” en la expansión de:
x
x
23
4
154
1
+








a) 57 b) 63 c) 97
d) 112 e) 113
04. En la expansión de: (3x3
+ x-1
)n
existe un término en
la cual su grado es numéricamente igual a la
posición que ocupa. Indica dicha posición si la
suma de los coeficientes de todos los términos del
desarrollo es igual a 234
a) 8 b) 11 c) 10
d) 12 e) 9
120
3
5 1






+
x
x . Determina el
número de términos racionales e irracionales.
a) 9 y 12 b) 15 y 104 c) 17 y 104
d) 20 y 101 e) N.A.

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