Algebra matricial determinantes
- 1. Republica Bolivariana de Venezuela Universidad Bicentenaria de Aragua Asociación Civil Estudios Superiores Gerenciales Corporativos Valles del Tuy Createc-Charallave Curso: Matemática Avanzada ALGEBRA MATRICIAL y DETERMINANTES Profesora; Alumna; Mayira Bravo Paola Montaña Charallave,27/07/2019
- 2. MATRIZ Una matriz es un objeto matemático. Informalmente, podemos decir que una matriz es como una tabla de números. Tiene filas y columnas y la posición de cada número es relevante. *La matriz A A tiene 3 columnas y 3 filas, así que su dimensión es 3x3. La fila 1 de la matriz es 1, 3, 5. La fila 3 de la matriz es 3, 7, 13. La columna 2 de la matriz es 3, 4, 7. La columna 3 de la matriz es 5, 8, 13. James Joseph Sylveste quien utilizó por primera vez el término «matriz» en 1848/1850. una matriz es un arreglo bidimensional de números
- 3. PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ En matemática, la multiplicación o producto de matrices es la operación de composición efectuada entre dos matrices, o bien la multiplicación entre una matriz y un escalar según unas determinadas reglas Al igual que la multiplicación aritmética, su definición es instrumental, es decir, viene dada por un algoritmo capaz de efectuarla. El algoritmo para la multiplicación matricial es diferente del que resuelve la multiplicación de dos números.
- 4. PROPIEDADES DEL PRODUCTO MATRICIAL No es, generalmente, conmutativo. Por ejemplo: Propiedad asociativa: Propiedad distributiva respecto de la suma (por la derecha y por la izquierda): La matriz identidad de dimensión correspondiente es el neutro del producto por uno u otro lado, Si A es dimensión MXN;
- 6. TIPOS DE MATRIZ Matriz fila Una matriz fila está constituida por una sola fila. Matriz columna La matriz columna tiene una sola columna Matriz nula: todos sus elementos valen cero Matriz triangular superior: todos los elementos por debajo de la diagonal principal son cero. Matriz triangular inferior: todos los elementos por encima de la diagonal principal son cero.
- 7. Matriz identidad o unidad: matriz cuadrada donde los elementos de la diagonal principal son unos y el resto ceros. Se representa por I_2 la matriz identidad de orden 2, I_3 la identidad de orden 3, I_4 la de orden 4, etc. Matriz escalar: matriz cuadrada donde los elementos que no están en la diagonal principal son cero y los elementos de la diagonal principal son iguales Matriz diagonal: matriz cuadrada donde los elementos que no están en la diagonal principal son cero.
- 8. DETERMINANTE DE UNA MATRIZ -es un escalar que sólo se puede calcular si se trata de una matriz cuadrada, es decir, aquella en que el número de filas y de columnas coincide. Para denotarlo se precede el nombre de la matriz por “det” o se incluye dicho nombre entre dos barra verticales “| |”. -Una regla general para calcular el determinante de cualquier matriz sea del orden que sea es a través del uso de sus cofactores. -La regla general para obtener el determinante de una matriz consiste en seleccionar una fila o una columna de dicha matriz y multiplicar cada uno de sus elementos por sus cofactores correspondientes y sumar los resultados.
- 9. PROPIEDADES Si se intercambian dos filas/columnas cualesquiera de una matriz, su determinante cambia de signo. Si se multiplican todos los elementos de una fila/columna de una matriz por un escalar, su determinante queda multiplicado por ese escalar. El valor del determinante queda inalterado si se suma a cualquier fila/columna, un múltiplo de cualquier otra fila/columna Si una matriz tiene dos filas/columnas iguales, su determinante es nulo. El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta. El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de sus determinantes: Cuando el determinante de una matriz es nulo, se dice que es una matriz singular y cuando su determinante es distinto de cero, se dice que es una matriz no singular. La función disponible en Shazam para calcular el determinante de una
- 10. DETERMINANTES Cada matriz cuadrada de orden n se le puede asociar un número real llamado determinante de la matriz. Si A es una matriz representaremos al determinante de A por |A|. Determinante de una matriz de orden 1 Si A=(a) es una matriz de orden 1 entonces |A| = a. Ejemplos de determinantes de matrices de orden1 Si A = (7), entonces |A| = 7 Si B = (27), entonces |B| = 27 Si C = (-37), entonces |C| = -3 Si D = ( e ), entonces |D| = e Si E = ( - π ), entonces |E|= - Determinante de una matriz de orden 2 El determinante de una matriz A de orden 2
- 11. EJERCICIOS Dada la siguiente matriz: se pide: a) Halla el determinante de A. b) Halla el rango de A usando uno cualquiera de los siguientes métodos: Gauss ó determinantes a) |A| = 0 El determinante vale cero. Se puede calcular por la Regla de Sarrus, por Adjuntos, o aplicando las propiedades de los determinantes, donde 2F_1 + F_2 = F_3 (donde F significa fila) b) Usaremos el método de los determinantes (ya que tenemos calculado el determinante de orden 3 en el apartado anterior). Al ser |A| = 0, el rango no puede ser 3. Veamos si el rango es 2