Analisiscircuitos

Universidad Autónoma de Madrid
Escuela Politécnica Superior

Introducción al Análisis de Circuitos
Eléctricos

TEMA 1
INTRODUCCIÓN. CONCEPTOS BÁSICOS.

Jesús Bescós Cano
Fabrizio Tiburzi Paramio

Madrid, 2007

1.1 INTRODUCCIÓN ....................................................................................................................................... 1
1.2 CORRIENTE ELÉCTRICA ......................................................................................................................... 3
1.2.1 VARIABLES FUNDAMENTALES .............................................................................................................. 3
Carga ........................................................................................................................................................... 3
Energía ........................................................................................................................................................ 3
1.2.2 VARIABLES PRÁCTICAS O DE SEÑAL ..................................................................................................... 3
Intensidad de corriente ................................................................................................................................ 3
Tensión ........................................................................................................................................................ 3
Potencia ....................................................................................................................................................... 4
1.3 DISPOSITIVOS CIRCUITALES. CARACTERÍSTICA I-V............................................................................. 5
1.3.1 DISPOSITIVOS PASIVOS: RESISTENCIA, CONDENSADOR, BOBINA. ......................................................... 5
Criterio de signos ........................................................................................................................................ 5
Resistencia................................................................................................................................................... 6
Condensador................................................................................................................................................ 7
Bobina ......................................................................................................................................................... 9
1.3.2 DISPOSITIVOS ACTIVOS: GENERADORES IDEALES ............................................................................... 10
Criterio de signos ...................................................................................................................................... 10
Tipos de generadores ideales y característica i-v. ..................................................................................... 11
Generadores dependientes o controlados .................................................................................................. 12
1.4 INTERCONEXIÓN DE DISPOSITIVOS. LEYES DE KIRCHHOFF. ............................................................. 13
1.4.1 CONCEPTOS BÁSICOS........................................................................................................................... 13
Nudo de referencia: masa o tierra.............................................................................................................. 14
1.4.2 PRIMERA LEY DE KIRCHHOFF ............................................................................................................. 14
1.4.3 SEGUNDA LEY DE KIRCHHOFF ............................................................................................................ 14
1.5 RESOLUCIÓN DE UNA RED .................................................................................................................... 16
1.5.1 CIRCUITOS SIN MEMORIA .................................................................................................................... 16
Circuitos resistivos excitados con generadores de corriente y tensión continuas ..................................... 16
Caso práctico 1: divisor de tensión............................................................................................................ 18
Caso práctico 2: divisor de corriente ......................................................................................................... 18
1.5.2 CIRCUITOS CON MEMORIA ................................................................................................................... 19
Análisis de un circuito RLC ...................................................................................................................... 19
Caso práctico: análisis del circuito de carga y descarga de un condensador............................................. 21
1.6 EQUIVALENCIA Y ASOCIACIÓN ............................................................................................................ 23
1.6.1 DISPOSITIVOS PASIVOS Y GENERADORES IDEALES ............................................................................. 23
Asociación serie de dispositivos pasivos................................................................................................... 23
Asociación paralelo de dispositivos pasivos ............................................................................................. 24
Asociación de generadores ideales............................................................................................................ 24
1.6.2 GENERADORES REALES ....................................................................................................................... 25
Modelo y equivalencias............................................................................................................................. 25
Asociación ................................................................................................................................................. 26
1.6.3 REDUCCIÓN DE CIRCUITOS .................................................................................................................. 27
1.7 ANÁLISIS DE CIRCUITOS DE CC EN RÉGIMEN PERMANENTE ............................................................. 30
1.7.1 CIRCUITOS DE POLARIZACIÓN ............................................................................................................. 30
1.7.2 COMPORTAMIENTO DE LOS DISPOSITIVOS PASIVOS EN RÉGIMEN PERMANENTE DE CC ..................... 30
Resistencia................................................................................................................................................. 30
Condensador.............................................................................................................................................. 30
Bobina ....................................................................................................................................................... 30
1.7.3 METODOLOGÍA DE ANÁLISIS ............................................................................................................... 31
APÉNDICE A: FENÓMENOS ELECTROMAGNÉTICOS ASOCIADOS A CONDENSADORES Y BOBINAS. ........... 32
A.1 RELACIÓN ENTRE LA CARGA QUE ACUMULA UN CONDENSADOR Y LA DIFERENCIA DE POTENCIAL ENTRE
SUS PLACAS ...................................................................................................................................................... 32
A.2 RELACIÓN ENTRE LA VARIACIÓN DE CORRIENTE EN UNA BOBINA Y LA FUERZA ELECTROMOTRIZ
INDUCIDA ENTRE SUS BORNES ......................................................................................................................... 35

Introducción. Conceptos básicos

1.1 Introducción1
El amplio uso y el desarrollo creciente que ha experimentado la electricidad en nuestra sociedad
puede explicarse atendiendo a dos razones fundamentales:
La electricidad constituye el medio más eficaz para transmitir otras formas de energía
(mecánica, química, térmica...) a grandes distancias y de forma casi instantánea.
La electricidad puede utilizarse en cantidades pequeñas muy controladas. De esta forma las
señales eléctricas nos sirven para codificar, intercambiar y procesar información. Esta es la
razón de interés primordial en la ingeniería eléctrica de nuestros días.
La historia de la electricidad es relativamente corta y, en realidad, las aplicaciones más
interesantes de los grandes descubrimientos eléctricos se han empezado a desarrollar tan solo desde
finales del siglo XIX. Estas aplicaciones, que han ido apareciendo conforme se han hecho
progresos en la ciencia eléctrica, pueden dividirse en dos grandes grupos: los sistemas de energía y
los sistemas de información.

Progresos en la ciencia eléctrica
Puede considerarse que el descubrimiento de la pila en 1800 por Alessandro Volta marcó el
inicio de la era eléctrica. Para ello Volta alternó discos de metales diferentes separados por papeles
humedecidos en un ácido. De este modo consiguió generar un flujo eléctrico continuo y repetible,
con lo que se abría la posibilidad de aplicar el método científico a la exploración de las propiedades
de la electricidad en un laboratorio.
Años más tarde, en 1820 Oesterd puso en evidencia que había una relación entre electricidad y
magnetismo al observar que una brújula resultaba influida por la circulación de la corriente en un
hilo. No obstante, sería Ampere (en 1825) el que formularía las relaciones cuantitativas
involucradas y el que establecería por primera vez, de forma clara, la diferencia entre tensión y
corriente.
Tras el experimento de Oesterd resultaba claro que las corrientes eléctricas producían campos
magnéticos. La gran preocupación de los científicos de la época era que, lamentablemente, los
campos magnéticos no parecían producir corrientes eléctricas. Por fin, Faraday descubrió en 1832 y
tras infructuosas experiencias con campos magnéticos constantes, que bastaba con un campo
magnético variable para generar una corriente eléctrica. Este fenómeno de “influencia mutua” entre
electricidad y magnetismo se vino a llamar de inducción electromagnética y fue el impulso
necesario para el desarrollo de los generadores y del telégrafo.
A mediados de aquel siglo, Kirchhoff formuló las sencillas leyes que rigen el comportamiento
de los circuitos eléctricos. Hoy en día estas leyes son la base de las técnicas de análisis o resolución
de circuitos.
En 1873 Maxwell concluyó que electricidad y magnetismo no pueden considerarse como
fenómenos separados y formuló esta dependencia mediante las que hoy en día conocemos como
“ecuaciones de Maxwell”. Uno de los ejemplos más claros de la interacción de campos eléctricos y
magnéticos lo constituyen las ondas electromagnéticas, que aunque fueron predichas por Maxwell,
no fueron descubiertas hasta 1887 (por Hertz).
Finalmente, con el descubrimiento de los rayos catódicos y del electrón, a finales del siglo XIX
ya se tenía a mano la mayor parte de los conocimientos fundamentales de electricidad.

1
Este apartado resume la breve historia que presenta el libro de R. E. Thomas, A. J. Rosa,
“Circuitos y Señales: Introducción a los circuitos lineales y de acoplamiento”, Ed. Reverté, 1992.

1


Sistemas de energía
Con el descubrimiento de la inducción electromagnética en 1832 se disponía de un método
sencillo para convertir energía mecánica en energía eléctrica, por lo que se comenzó la fabricación
“en serie” de generadores eléctricos o dinamos. Las primeras máquinas producían tan solo corriente
continua (CC) y en 1880 ya existían algunos sistemas que proporcionaban energía para iluminación
o tracción.
Poco después, en 1882, Edison patentó su lámpara de incandescencia, que fue muy aceptada por
el público. Por ello, junto a sus socios diseñó todos los aparatos necesarios para que un sistema de
potencia funcionara económicamente (líneas, fusibles, zócalos, interruptores...). Posteriores
mejoras de los generadores llevaron a una tecnología considerablemente avanzada en los sistemas
basados en CC ya en la última década del siglo XIX.
Por otro lado, el desarrollo del transformador (1882) y del motor de inducción de Nicola Tesla
(1887) permitió construir los sistemas de potencia de corriente alterna (CA), que combatieron
durante algunos años con los de corriente continua, hasta que la selección de los primeros para la
central eléctrica que se instalaría en las cataratas del Niágara marcó la tendencia que siguen la
mayor parte de los sistemas de CA interconectados hoy en día.

Sistemas de Información
El descubrimiento de Faraday en 1832 del fenómeno de la inducción electromagnética facilitó y
disparó el desarrollo del telégrafo eléctrico. Se tendieron cables tanto por tierra como bajo los
océanos y de hecho, en 1902, estos cables rodeaban por completo la tierra. Años más tarde los
experimentos de Hertz ayudarían a desarrollar la telegrafía sin hilos, puesta a punto por Marconi en
el 1895.
En 1875 Graham Bell patentó el primer transductor acústico práctico, que permitió instalar en
New Haven el primer sistema telefónico (8 líneas y 24 usuarios, con conmutación manual). Las
estaciones conmutadoras automáticas permitirían, en 1887, aumentar el número de usuarios y la
utilización de bobinas de pupinización (inductancias colocadas a intervalos regulares en los hilos
de cobre para disminuir la atenuación y la variación del retardo en la gama de las frecuencias
vocales) posibilitó extender las redes a distancias de hasta 2500 km. (para distancias mayores se
tuvo que esperar hasta la aparición del amplificador electrónico).
Cuando John Thomson descubrió el electrón en 1897 empezó lo que se vendría a llamar la “era
electrónica”. Nuevos dispositivos como diodos o triodos de vacío (con un comportamiento basado
en la dirección de circulación de los electrones en un conductor) o amplificadores, permitieron por
primera vez la manipulación y el control electrónico de las señales eléctricas.
El problema primordial entre los años 1920 y 1940 consistía en el desarrollo a gran escala del
servicio telefónico a larga distancia. Fue en esta época y por este motivo cuando se formuló gran
parte de la teoría fundamental y las técnicas de los sistemas de información y cuando se sentaron
las bases de lo que hoy llamamos teoría de circuitos y de filtros. Científicos como Campbell, Zobel,
Foster, Black o Nyquist realizaron importantísimas aportaciones durante estos años. Con todo, si
bien es cierto que la teoría y las técnicas de la industria telefónica se aplicaron extensamente en la
Segunda Guerra Mundial, hubo que esperar a su finalización para que los adelantos se hicieran
públicos.
Finalmente, la electrónica del estado sólido (que “ajusta” las propiedades conductoras de los
materiales mediante la manipulación de su estructura atómica) revolucionó el procesamiento de
señales al sustituir el transistor (inventado en 1947 por Bardeen, Brattain y Schckeley) a la válvula
de vacío en la mayoría de las aplicaciones. En 1970 ya se utilizaban circuitos a gran escala de
integración que contenían millones de transistores. El tamaño, coste y fiabilidad de estos circuitos
integrados constituyen ventajas tan atractivas que han hecho que esta tecnología sea la
predominante en todas las aplicaciones de proceso de señales.

2


1.2 Corriente eléctrica
Cuando se aplica una diferencia de potencial en los extremos de un material conductor, se
origina un campo eléctrico en su interior que “arranca” los electrones de valencia (cargas
negativas) de los átomos del material y los desplaza disminuyendo su energía potencial. Este flujo
de electrones es lo que se conoce como corriente eléctrica. Por convenio se define el sentido de la
corriente como el contrario al del movimiento de estos electrones, es decir, la corriente tendrá el
mismo sentido del campo eléctrico que origina la corriente (que también puede verse como el
sentido en el que se desplazan las “cargas positivas”, aunque no haya físicamente cargas positivas
que se desplacen sino átomos que quedan cargados positivamente al perder sus electrones más
externos).

1.2.1 Variables fundamentales

CARGA
En general, damos el nombre de carga a todo cuerpo que está electrizado y que, por lo tanto, es
capaz de interaccionar eléctricamente. Se representa por la letra q y en el SI se mide en culombios
(C). En vista de que, desde el descubrimiento de la electricidad, se observaron dos posibles
comportamientos eléctricos (atracción o repulsión), se fijaron arbitrariamente dos tipos de cargas:
la positiva (que se definió como la que adquiría el vidrio tras el frotamiento) y la negativa (la que
adquiría el ámbar). Cargas del mismo signo experimentan una fuerza de repulsión y cargas de signo
contrario una fuerza de atracción. El signo de las cargas es, por lo tanto, un modo de expresar el
sentido de las fuerzas entre éstas.
ENERGÍA
En un sentido amplio es la capacidad para realizar un trabajo. Se representa con la letra w y en
el SI se mide en Julios (J).

1.2.2 Variables prácticas o de señal

Dado que resulta engorroso medir directamente cargas que varían su energía, para analizar el
comportamiento de un circuito desde el punto de vista de sus aplicaciones en ingeniería, se definen
otras variables más prácticas, derivadas directamente de las variables fundamentales. Como estas
nuevas variables serán las encargadas de portar las señales de información procedentes de los
transceptores (elementos que ligan nuestro entorno sensorial con los circuitos electrónicos, como
por ejemplo micrófonos, cámaras, altavoces, pantallas, etc.), a estas variables también se las
denomina variables de señal.
INTENSIDAD DE CORRIENTE
Comúnmente llamada corriente, se representa con la letra, i. Es la cantidad de carga que pasa
por un punto dado en un instante de tiempo.
Analíticamente:
dq
i= , unidades: amperio (A) = culombio (C) / segundo (s)
dt
Para medir la intensidad se utilizan los amperímetros.
TENSIÓN
También llamada diferencia de potencial, se representa por la letra v y refleja la variación de
energía que experimentaría una unidad de carga al moverse entre dos puntos de un circuito (ver
Fig. 1.1).

3


Analíticamente:
dw
v= , unidades: voltio (V) = julio (J) /culombio (C)
dq

vAB
A B vAB = vAO - vBO

Fig. 1.1: Nomenclatura para la tensión entre dos puntos

Es importante observar que:
- Sea cual sea el camino que tome una carga al desplazarse entre dos puntos del circuito, A y
B, la variación de la energía resultante de dicho desplazamiento será siempre la misma (e
igual a la diferencia de potencial entre esos dos puntos).
- El concepto de que exista una diferencia de potencial entre dos puntos no implica que
necesariamente tengan que estar circulando cargas entre ellos. Así por ejemplo una pila
puede tener tensión entre sus bornes sin estar conectada.

Nota: La diferencia de potencial entre dos puntos es, en realidad, un concepto más general
subyacente en cualquier campo de fuerzas conservativo (aquél en el que el trabajo es
independiente del camino seguido), como es el caso del campo gravitatorio. La ventaja de
trabajar con campos conservativos es precisamente que, a pesar del carácter vectorial de
las fuerzas que los originan, siempre es posible asignar una magnitud escalar (potencial) en
cada posición del espacio de manera que el trabajo entre dos puntos cualesquiera podrá
calcularse a partir de la diferencia de potencial de estos dos puntos (lo cual resulta en una
aproximación bastante más sencilla que integrar directamente la fuerza sobre la trayectoria
en la que se realiza el trabajo).

Conviene tener claro que la intensidad de corriente tiene que ver con un caudal, con la cantidad de
“algo” (la carga) que pasa por “un sitio”, mientras que la tensión mide variación de “algo” (la
energía por unidad de carga) “entre dos” puntos.
POTENCIA
Se representa con la letra p y se define como la variación de la energía por unidad de tiempo.
Es, por lo tanto, una medida cuantitativa de lo rápido que se gana o pierde (cede) energía.
Analíticamente:

dw
p= , unidades: vatio (w) = Julio (J) /segundo (s)
dt
En electricidad resulta útil relacionarla con la intensidad y con la tensión:

dw dw dq dw dq
p= = ⋅ = ⋅ = v ⋅i
dt dt dq dq dt

4


1.3 Dispositivos circuitales. Característica i-v.
Son los elementos cuya interconexión da lugar a los circuitos eléctricos. El comportamiento
eléctrico de un dispositivo de dos terminales viene definido por su característica i-v, es decir, por la
relación que existe en todo momento entre la tensión que hay en sus bornes y la corriente que lo
atraviesa.

1.3.1 Dispositivos pasivos: resistencia, condensador, bobina.

Toman su nombre del hecho de que no son capaces de entregar potencia indefinidamente al
circuito en el que están conectados. Puede suceder, no obstante, que en un determinado instante o
intervalo de tiempo alguno de estos dispositivos suministre energía que previamente ha almacenado
(en cualquier caso, la potencia media “liberada” será siempre nula).
CRITERIO DE SIGNOS
Un criterio de signos especifica (arbitrariamente) el sentido en el que una magnitud se considera
positiva o negativa. En electrónica se dice que utilizamos el "criterio de signos pasivo" cuando el
incremento de potencial entre los bornes de un dispositivo se considera positivo si tiene sentido
contrario a la corriente que lo atraviesa y negativo en caso contrario. Como podemos deducir a
partir de su nombre, este es el criterio que se emplea más habitualmente para expresar las tensiones
y corrientes en los dispositivos pasivos (ver Fig. 1.2).
Si v(t ) e i (t ) son respectivamente la tensión que cae en los bornes y la corriente que atraviesa un
dispositivo pasivo, y ambas están expresadas utilizando el criterio de signos pasivo (que indica que
las cargas pierden energía, o tienen un potencial menor, al atravesar el dispositivo), la potencia
absorbida por este dispositivo se obtiene como p(t ) = v(t ) ⋅ i (t ) .

v (t ) > 0

i (t ) > 0

Fig. 1.2: Criterio de signos i-v para dispositivos pasivos.

Nota: Una de las ventajas de utilizar este convenio es que la ecuación de potencia absorbida
(la que normalmente nos va a interesar en el caso de los dispositivos pasivos) es
directamente el producto de v(t ) e i (t ) , sin ningún signo negativo que complique su cálculo
o interfiera en su interpretación. La potencia entregada por un dispositivo pasivo se
calcularía, según este criterio de signos, como p(t ) = −v(t ) ⋅ i (t ) .

Finalmente, debe tenerse en cuenta que los sentidos marcados para tensiones y corrientes a la
hora de analizar un circuito no tienen por qué indicar el sentido real de estas magnitudes (¡que
incluso puede variar miles de veces por segundo!). Lo que indican son las condiciones en las que
una u otra magnitud se considera positiva o negativa respecto da la otra.

5


RESISTENCIA

Característica i-v:
Cuando un material se somete a una determinada diferencia de potencial o tensión (v) se puede
observar cierta resistencia al paso de la corriente (i) a su través. La Ley de Ohm expresa
cuantitativamente esta relación entre tensión y corriente, relación que dentro de unos determinados
márgenes de potencia es lineal (ver Fig. 1.3).

iR (t ) v R (t ) > 0

1 iR (t ) > 0 R
R
v R (t )
1
p max iR (t ) = ⋅ v R (t ) = G ⋅ v R (t )
R

Fig. 1.3: Característica i-v de una resistencia.

Al factor de proporcionalidad, R, y por extensión al dispositivo, se le denomina resistencia, y se
mide en ohmios (Ω). A su inverso, G, se le denomina conductancia y se mide en mhos (es decir,
ohm al revés y en plural). El valor de la resistencia depende de la composición del material y de su
geometría. En el caso de un hilo conductor:

L
R=ρ⋅ , donde ρ es su resistividad, L su longitud y S su sección.
S

Potencia y energía disipada:
Teniendo en cuenta que R es un valor positivo, la característica i-v de una resistencia indica que
su tensión y corriente tienen siempre el mismo signo; por lo tanto la potencia disipada por una
resistencia será siempre positiva (potencia disipada por efecto Joule). En cuanto a su valor,
teniendo en cuenta la característica i-v, se puede calcular:
2
vR
p R = iR ⋅ v R = iR ⋅ R =
2
>0
R
A partir de la potencia podemos calcular la energía disipada:

∫
dw
pR = ⇒ dw = p R dt = R ⋅ i R (t ) ⋅ dt ⇒ w = R ⋅ i R (t )dt
2 2

dt
Que, en el caso de considerar una corriente constate, puede simplificarse como:

w = R ⋅ IR ⋅ t
2

A partir de una resistencia es posible definir otros dos “dispositivos” circuitales: el
cortocircuito (R=0) y el circuito-abierto (R=∞).

6


v R (t ) = 0 v R (t ) > 0

R=0 R =∞
iR (t ) > 0 iR (t ) = 0

Fig. 1.4: Corto-circuito (izda), caracterizado porque su tensión es
nula con independencia de la corriente que lo atraviese. Circuito-
abierto (dcha), caracterizado porque su corriente es nula con
independencia de la tensión que haya entre sus bornes.

CONDENSADOR
Es un dispositivo formado por dos placas conductoras separadas por un material aislante
(dieléctrico). Su símbolo eléctrico es bastante intuitivo (ver Fig. 1.5).

Fig. 1.5: Representación gráfica de un condensador: símbolo
circuital.

Característica i-v
Cuando en un circuito aplicamos en bornes de un condensador una diferencia de potencial
constante, E, se establece una corriente de electrones variable, i(t), que va acumulando carga
negativa, q(t), en una de las placas e igual carga positiva en la otra hasta que la diferencia de
potencial entre las placas, vc(t), iguala a la diferencia de potencial aplicada (ver Fig. 1.6). El
condensador, por lo tanto, es capaz de almacenar energía eléctrica, la energía que ha sido necesaria
para cargar sus placas.

--
v c (t )
ic ( t )
+ + + +
E -- - -
v c (t )
q (t ) ic ( t )

--

Fig. 1.6: Análisis cualitativo del esquema de funcionamiento de un
condensador.

En electrostática se demuestra que la diferencia de potencial que hay en los bornes de un
condensador depende linealmente de la carga que éste tenga acumulada (ver Apéndice A). Al
factor de proporcionalidad se le denomina capacidad del condensador (C), y se mide en faradios
(F):

q (t )
=C , unidades: faradio (F) = culombio (C) /voltio (v)
vc (t )

, de donde:

dq (t ) 1
= C ⇒ dvc (t ) = ⋅ dq (t )
dvc (t ) C

7


Teniendo en cuenta que la corriente que transporta las cargas de una de las placas hasta la otra
(siempre por fuera del condensador, sin atravesar las placas) es ic (t ) = dq(t ) dt , la diferencia de
potencial entre las placas del condensador puede escribirse como:

1 1
dvc (t ) = ⋅ dq (t ) = ⋅ ic (t ) ⋅ dt
C C
, de donde obtenemos finalmente la característica i-v:
t
dv (t )
∫
1
vc (t ) = ⋅ ic (τ ) ⋅ dτ , o ic (t ) = C ⋅ c
C −∞ dt

Es importante observar, a partir de esta característica, que la tensión que hay en bornes de un
condensador en un instante dado no sólo depende de la corriente que lo atraviesa en ese mismo
instante sino de la suma (integral) de las corrientes que lo han atravesado con anterioridad, es decir,
de la carga que tiene acumulada (dicho de otro modo, el condensador es un dispositivo que tiene
memoria de corrientes). Si analizamos el comportamiento de un condensador a partir de un cierto
instante que consideramos como origen de tiempos:
0 t t

∫ ∫ ∫
1 1 1
vc (t ) = ⋅ ic (τ ) ⋅ dτ + ⋅ ic (τ ) ⋅ dτ = vC (0) + ⋅ ic (τ ) ⋅ dτ
C −∞ C 0 C 0

El término vC (0) es la tensión inicial que pudiera tener el condensador debido a la carga
acumulada antes del instante considerado. En esta asignatura consideraremos que esta tensión
inicial es nula..
Obsérvese asimismo que en el caso de este dispositivo no es posible representar la característica
i-v en una gráfica, ya que esta característica depende también del tiempo (o, mejor dicho, de la
variación de i o v con el tiempo).

Potencia y energía
Sustituyendo en la expresión general de potencia (absorbida) la característica i-v del
condensador se obtiene:

dvC (t )
pc (t ) = vC (t ) ⋅ iC (t ) = vC (t ) ⋅ C
dt
Obsérvese que la potencia puede ser positiva o negativa, pues la variación de la tensión en el
tiempo puede ser positiva o negativa independientemente del signo o sentido de la tensión. Según
el criterio de signos que se ha definido para los dispositivos pasivos, un valor de potencia
instantánea negativo indica que el dispositivo estará entregando potencia al circuito. El hecho de
que un condensador pueda suministrar potencia se deriva de su capacidad de almacenar energía
eléctrica.
La ecuación anterior puede escribirse también de la siguiente forma:

d ⎛1 ⎞
pc (t ) = ⎜ CvC (t ) ⎟
2

dt ⎝ 2 ⎠
Y, teniendo en cuenta la relación entre potencia y energía, la energía almacenada por el
condensador en un instante dado viene dada por la expresión:

1
wc (t ) =
2
CvC (t )
2

8


BOBINA
Es un dispositivo formado por un arrollamiento de hilo conductor en torno a un núcleo de
material magnético. Su símbolo eléctrico resulta también bastante intuitivo (ver Fig. 1.7).

Fig. 1.7: Representación gráfica de una bobina: símbolo circuital.

Característica i-v
En electromagnetismo se demuestra que la variación en la intensidad de la corriente iL que
atraviesa una bobina genera en sus bornes una tensión que tiende a oponerse a dicha variación. La
energía eléctrica que se invierte en evitar que la corriente sea contrarrestada por el efecto de
inducción de la bobina, queda almacenada en ésta en forma de energía magnética.
Tras un análisis básico de las relaciones que rigen la inducción magnética (ver Apéndice A) es
posible obtener la característica i-v de una bobina (ver Fig. 1.8):

diL (t )
v L (t ) = L ⋅
dt
, donde L es el coeficiente de autoinducción de la bobina, que se mide en henrios (H).

I
v L (t )

v L (t)
iL (t )

iL (t )

Fig. 1.8: Análisis cualitativo del esquema de funcionamiento de
una bobina.

Análogamente a lo que sucede en un condensador, la corriente que atraviesa una bobina en un
instante dado no sólo depende de la tensión que hay en sus bornes en ese mismo instante sino de las
tensiones inducidas hasta entonces por el campo magnético que acumula. La bobina, por lo tanto,
es un dispositivo que también tiene memoria (en este caso, de tensiones):
t

∫
1
iL (t ) = iL (0) + ⋅ vc (τ ) ⋅ dτ
L 0

Nota: el hecho de que tanto el condensador como la bobina sean dispositivos con memoria
(de corrientes el condensador, y de tensiones la bobina) indica que presentan una magnitud
(la tensión en bornes del condensador y la corriente que atraviesa la bobina) que no puede
variar instantáneamente o, dicho de otro modo, que presenta cierta inercia a su variación.

9


Potencia y energía
La expresión de la potencia instantánea en una bobina resulta:

diL (t )
pc (t ) = iL (t ) ⋅ vL (t ) = iL (t ) ⋅ L
dt
La potencia puede ser positiva o negativa lo cual, como se ha visto en el caso del condensador,
no es más que una indicación de que este dispositivo también puede almacenar y ceder energía.
La ecuación anterior puede escribirse también:

d ⎛1 2 ⎞
p L (t ) = ⎜ Li L (t ) ⎟
dt ⎝ 2 ⎠
De donde por la relación existente entre potencia y energía, la energía almacenada en un
instante dado por una bobina se obtiene como:

1 2
wL (t ) = Li L (t )
2

1.3.2 Dispositivos activos: generadores ideales

Para que en un circuito las cargas se pongan en movimiento es necesario transferirles energía,
energía que las resistencias consumen en forma de calor y los condensadores y bobinas almacenan
(y ceden) en forma de energía eléctrica y magnética respectivamente.
CRITERIO DE SIGNOS
En electrónica se dice que utilizamos el "criterio de signos activo" cuando el incremento de
potencial entre los bornes de un dispositivo se considera positivo si tiene el mismo sentido que la
corriente que lo atraviesa y negativo en caso contrario. Como podemos deducir a partir de su
nombre, este es el criterio que se emplea más habitualmente para expresar las tensiones y corrientes
en los dispositivos denominados activos (ver Fig. 1.9).

v (t ) > 0

i (t ) > 0

Fig. 1.9: Criterio de signos i-v para dispositivos activos.

Si v(t ) e i (t ) son respectivamente la tensión que cae en los bornes de un dispositivo activo y la
corriente que lo atraviesa, y ambas están expresadas utilizando el criterio de signos activo la
potencia suministrada por este dispositivo puede calcularse nuevamente como p(t ) = v(t ) ⋅ i (t ) .

Nota: Nuevamente, una de las ventajas de utilizar este convenio es que la ecuación de
potencia suministrada o entregada (la que normalmente nos va a interesar en el caso de los
dispositivos activos) es directamente el producto de v(t ) e i (t ) , sin ningún signo negativo
que complique su cálculo o interfiera en su interpretación. La potencia absorbida o disipada
por un dispositivo activo se calcularía, según este criterio de signos, como p(t ) = −v(t ) ⋅ i (t ) .

10


TIPOS DE GENERADORES IDEALES Y CARACTERÍSTICA I-V.
Hay dos tipos de generadores: generadores de tensión y generadores de intensidad o corriente
(ver Fig. 1.10). Un generador de tensión mantiene en sus bornes una determinada diferencia de
potencial (eg(t), fija o variable) y entrega toda la corriente que pida el circuito al que está
conectado. Un generador de intensidad hace circular a su través una determinada intensidad (ig(t),
fija o variable) y genera en sus bornes tanta tensión como le pida el circuito.

e g (t ) > 0
+

i (t ) > 0
Eg > 0 v (t ) > 0

i (t ) > 0 ig (t ) > 0
e g (t ) > 0 Ig > 0
+

i (t ) > 0

Fig. 1.10: de generadores de tensión (izda.) y corriente (dcha.).

En estos generadores no existe, por lo tanto, una dependencia entre la tensión y la corriente (ver
Fig. 1.11): una de las magnitudes depende del circuito, no del dispositivo. En la práctica
(generadores reales), ambos tipos de generadores están limitados por la potencia que pueden
entregar. Por ello, los generadores sin limitaciones que aquí se presentan se denominan ideales.

i (t ) i (t )

Ig

Eg v (t ) v (t )

Fig. 1.11: Característica i-v de un generador ideal de tensión
(izda.) y corriente (dcha.). Las partes de las características i-v en
que bien la tensión o bien la corriente son negativas, corresponden
a situaciones en que el generador absorbe potencia en vez de
entregarla.

11


GENERADORES DEPENDIENTES O CONTROLADOS
En este tipo de generadores la función de tensión o corriente que entregan (que en los
generadores vistos anteriormente dependía únicamente de la variable tiempo) pasa a depender
proporcionalmente de una variable (tensión o intensidad) del circuito concreto al que esté
conectado, motivo por el que se denominan generadores dependientes o gobernados (por la variable
de la que dependen).
Los generadores o fuentes dependientes son dispositivos irreales que se utilizan a menudo para
modelar dispositivos circuitales que tienen un comportamiento que no puede modelarse únicamente
con dispositivos pasivos o generadores independientes; no son, por lo tanto, dispositivos que
existan físicamente.
Estos generadores se suelen representar mediante un rombo. De acuerdo al tipo de generador
(de corriente o de tensión) y a la variable de la que dependan (corriente o tensión) pueden
distinguirse cuatro tipos de generadores dependientes. De izquierda a derecha en la Fig. 1.12, se
presentan los gráficos de un generador de tensión controlado por tensión, de corriente controlado
por tensión, de tensión controlado por corriente y de corriente controlado por corriente.

+ +

-
αv(t) βv(t) -
χi(t) λi(t)

Fig. 1.12: Representación gráfica de distintos tipos de generaros
dependientes

Obsérvese que este tipo de dispositivos, a pesar de denominarse generadores (y considerarse
dispositivos activos), no son capaces de entregar potencia por sí solos. Sólo generan potencia si la
variable de la que dependen no es nula, es decir, si en el circuito hay algún generador
independiente.

12


1.4 Interconexión de dispositivos. Leyes de Kirchhoff.

1.4.1 Conceptos básicos.

Un circuito eléctrico, también denominado red, es el resultado de la interconexión de un
conjunto de dispositivos circuitales. Se asumirá que estos dispositivos se interconectan mediante
conductores ideales, es decir, mediante cortocircuitos.
Según se ha visto, la característica i-v de un dispositivo define su comportamiento como
elemento aislado, es decir con independencia de cómo se encuentre conectado en un circuito.
Complementariamente, es posible enunciar ciertas leyes que aplican únicamente a la interconexión
de dispositivos, sean estos cuales sean, es decir a la forma del circuito. Para hacerlo resulta útil
definir antes una serie de conceptos relacionados con esta forma o topología del circuito:
Se denomina nudo al “punto” en que confluyen dos o más dispositivos, aunque a efectos de
análisis práctico, sólo se suele considerar como nudo el punto en que confluyen tres o más
dispositivos. Es importante observar que no se trata de un punto geométrico sino eléctrico (en
el circuito de la Fig. 1.13 hay tres nudos: A, B, O).
Se denomina rama al segmento de circuito que une dos nudos adyacentes (la Fig. 1.13 muestra
en negrita una de las ramas que une el nudo B con el O).
Se denomina malla a cualquier conjunto de ramas que formen un camino o bucle cerrado, es
decir, que comience y termine en el mismo nudo. De entre todas las posibles mallas de un
circuito, aquellas que coinciden con los huecos del circuito pueden considerarse mallas
independientes (la Fig. 1.13 muestra numeradas las cuatro mallas independientes del circuito
representado).
Se dice que dos dispositivos están conectados en serie cuando un terminal del primero está
unido a un terminal del segundo, y a ningún otro dispositivo más; es decir, cuando entre ellos
hay un nudo simple, confluencia de sólo estos dos dispositivos (en la Fig. 1.13 los únicos
dispositivos conectados en serie son los dos sombreados, que forman una rama que une el nudo
A con el O).
Se dice que dos dispositivos están conectados en paralelo cuando sus respectivos terminales
están conectados entre sí (en la Fig. 1.13 los únicos dispositivos conectados en paralelo son los
tres pintados a rallas).

A B

1 2 3 4

O

Fig. 1.13: Interconexión de dispositivos: malla, nudo, rama,
conexión en serie y conexión en paralelo.

13


NUDO DE REFERENCIA: MASA O TIERRA
La tensión es una variable que se mide entre dos puntos o nudos. Sin embargo, a menudo resulta
útil expresar la tensión de cualquier punto con respecto a una misma referencia (como ocurre con la
altura cuando se da referida al nivel del mar, o del suelo, o…). Este punto o nudo de referencia, que
se considerará con tensión cero, se representa con cualquiera de los símbolos de la Fig. 1.14. Una
vez identificada la referencia es posible hablar de la tensión de un punto o tensión de nudo, que
implícitamente indica la tensión entre ese nudo y el de referencia.
vAB
A B
vAB = vAO - vBO = vA - vB

O

Fig. 1.14: Símbolos de masa o tierra: el nudo de referencia

1.4.2 Primera Ley de Kirchhoff

La Primera Ley de Kirchhoff (1ª LK) resulta de aplicar el principio de conservación de la carga
en un nudo. Esta ley enuncia que en todo momento el “caudal de carga” que llega a un nudo ha de
ser igual al que sale de él. Teniendo en cuanta la definición de intensidad de corriente, esto
equivale a enunciar que la suma de corrientes que entran en un nudo ha de ser igual a la suma de
las corrientes que salen de él.

∑i
Nudo
entrantes = ∑i
Nudo
salientes

Esta ley es posible aplicarla a cada nudo del circuito, dando lugar en cada caso a una ecuación
de nudo. Es fácil comprobar que si un circuito presenta n nudos, sólo n-1 son independientes, es
decir, la enésima ecuación de nudo es una combinación lineal de las n-1 anteriores. Por ejemplo, en
la Fig. 1.15 es posible establecer relaciones del tipo:
Nudo A: i1 + i2 = i3

Nudo B: i3 + i4 + i5 + i6 = 0

Nudo O: i1 + i2 + i4 + i5 + i6 = 0
, donde efectivamente se observa que cualquiera de las tres ecuaciones se puede obtener
combinando las otras dos.
El resultado de aplicar esta ley a un nudo en el que confluyen sólo dos dispositivos es que
cuando dos o más dispositivos están conectados en serie, la corriente que los atraviesa es la misma.
A esta corriente se la denomina corriente de rama. En la citada figura, cada una de las corrientes
señaladas son corrientes de rama; por lo tanto, el circuito consta de 6 ramas.

1.4.3 Segunda Ley de Kirchhoff

La Segunda Ley de Kirchhoff (2ª LK) se deriva de aplicar el principio de conservación de la
energía en una malla. Ya que el campo eléctrico es un campo conservativo, la variación de energía
experimentada por una carga que se desplaza dentro de este campo depende únicamente de la
diferencia de potencial entre las posiciones inicial y final. Si las posiciones inicial y final son la

14


misma (como ocurre en cualquier trayectoria cerrada y, en particular, en una malla) la variación de
energía será siempre nula.
Teniendo en cuanta la definición de tensión, esta ley se traduce en que la suma de tensiones a lo
largo de una malla ha de ser nula en todo momento:

∑v = 0
Malla

Es posible aplicar esta ley a cada malla del circuito, dando lugar en cada caso a una ecuación de
malla. Además, es fácil comprobar que la ecuación resultante de una malla con varios huecos (que
a su vez son mallas) es una combinación lineal de las ecuaciones de malla de estas mallas hueco.
Es por ello que de entre las múltiples mallas que pueden identificarse en un circuito, un modo de
escoger un conjunto de ellas que dará lugar a un sistema de ecuaciones independientes es escoger
las mallas que forman los huecos del circuito. En el ejemplo de la Fig. 1.15, donde la malla 3 tiene
dos huecos, la malla 1 y la malla 2, es posible establecer:
Malla 3: v a + vb + v d − v e = 0

Malla 1: v a + vb − v c = 0

Malla 2: vc + vd − ve = 0
, donde efectivamente se observa que cualquiera de las tres ecuaciones se puede obtener
combinando las otras dos.
Obsérvese que el resultado de aplicar esta ley a una malla formada por sólo dos dispositivos es
que cuando dos o más dispositivos están conectados en paralelo, la tensión que cae en sus bornes es
la misma. _

A B
i1 i3 3
i3 i4 i5 i6 vb
i2 vd
va 1 vc ve
2

i2 i4 i5 i6
i1
O

Fig. 1.15: Ecuaciones de nudo (izda.) y ecuaciones de malla
(dcha.).

15


1.5 Resolución de una red
Resolver una red o circuito consiste en obtener las corrientes que atraviesan todos los
dispositivos y las tensiones que caen en sus bornes. Ya que de antemano se supone conocida la
característica i-v de cada dispositivo de la red, bastará con obtener una de ambas magnitudes en
todos ellos. Por lo tanto, en principio, la resolución de un circuito involucraría tantas incógnitas (i o
v) como dispositivos hubiera interconectados.
Sin embargo, si tenemos en cuenta las Leyes de Kirchhoff, el análisis puede simplificarse
sustancialmente. En efecto, cuando nos encontramos varios dispositivos en serie, basta con obtener
la corriente de rama; análogamente, si hay varios dispositivos en paralelo basta con calcular la
diferencia de potencial entre los bornes de cualquiera de ellos. La conclusión es que el número de
incógnitas no depende tanto del número de dispositivos, sino de cómo estén conectados, es
decir, de la topología del circuito.
En el capítulo 3 de este curso aprenderemos a deducir el número mínimo de ecuaciones
necesarias para resolver un circuito. De momento, se presenta una primera aproximación a los
problemas que plantea la resolución de un circuito cualquiera.

1.5.1 Circuitos sin memoria

Es el caso de circuitos formados únicamente a base de resistencias y generadores. Su análisis da
lugar a sistemas de ecuaciones lineales algebraicos.
CIRCUITOS RESISTIVOS EXCITADOS CON GENERADORES DE CORRIENTE Y TENSIÓN
CONTINUAS

Sea el circuito de la Fig. 1.16, del que se nos pide obtener las tensiones y corrientes en todos sus
dispositivos (que serán representadas con letras mayúsculas siempre que se trate de corrientes y
tensiones continuas). Un modo de proceder consiste en identificar primero cuáles van a ser las
incógnitas del problema. Tomemos, por ejemplo, las corrientes de todas las ramas.

E1 R3
E 1= 1 R 1= 1
R2 E 2= 2 R 2= 2
E2 E 3= 3 R 3= 3
R1 R4
E6 E5 E 4= 4 R 4= 4
E 5= 4
E 6= 3
E3 E4

Fig. 1.16: Circuito con resistencias y generadores de CC.

16


E1 V R3
A B C
I1 I7
I3 2 V R2 3
I2 E2
V R1
I5 V R4
I4 1 E5
E3 E6 E4 4

I6

Fig. 1.17: Etapas en la resolución de un circuito.

Los pasos que se deben seguir, esquematizados en la Fig. 1.17, son:
Identificar todas las incógnitas, es decir las corrientes de todas las ramas, dándoles un sentido
arbitrario (es decir, sin pararse a pensar en cuál puede ser su sentido real). En el circuito de la
izquierda de la citada figura están representadas por las corrientes I1 a I7 .
Una vez fijadas las corrientes, representar las tensiones en los bornes de todos los dispositivos
según su característica i-v: en los dispositivos pasivos con sentido contrario a la corriente que
los atraviese (la corriente que hayamos asignado en el paso anterior), en los generadores de
tensión en el sentido que apunte a su polo positivo y en los generadores de corriente en
cualquier sentido. En el circuito de la derecha de la citada figura están representadas por las
tensiones E1 a E4 y VR1 a VR4.
Plantear la 1ª LK en todos los nudos independientes, es decir, en todos menos en uno. En el
circuito de la figura esto daría lugar a tres ecuaciones de nudo:
Nudo A: I1 + I 2 + I 3 = 0

Nudo B: I 5 + I 7 = I1

Nudo C: I4 = I6 + I7

Plantear la 2ª LK en todas las mallas independientes, es decir, en todos los huecos del circuito.
Utilizar la característica i-v de cada dispositivo para relacionar las tensiones de estas
ecuaciones de malla con las incógnitas. En el circuito de la figura esto daría lugar a cuatro
ecuaciones de malla:
Malla 1: E 2 − E 3 + V R1 = 0 ⇒ E 2 − E3 + R1 ⋅ I 3 = 0

Malla 2: E1 − VR 2 + E6 − E 2 = 0 ⇒ E1 − R2 I 5 + E6 − E2 = 0

Malla 3: E 5 − E 6 + VR 2 − VR 3 = 0 ⇒ E5 − E6 + R2 ⋅ I 5 − R3 ⋅ I 7 = 0

Malla 4: VR 4 − E 4 − E5 = 0 ⇒ R4 ⋅ I 6 − E 4 − E 5 = 0

Resolver el sistema de ecuaciones lineales, en este caso 7 ecuaciones cuyas incógnitas son las 7
corrientes de rama. La solución al ejemplo de la Fig. 1.16 es:

I 1 = 2, I 2 = −3, I 3 = 1, I 4 = 3, I 5 = 1, I 6 = 2, I 7 = 1

En este tipo de circuitos, la potencia puesta en juego por los generadores (ya sea entregada o
absorbida) y la disipada en las resistencias es constante a lo largo del tiempo. El balance de
potencias da lugar en este caso a una nueva ecuación que puede utilizarse para validar el resultado
del análisis previo:

∑P activos = ∑ Ppasivos ⇒ E1 I1 + E2 I 2 + E3 I 3 + E4 I 4 + E5 I 4 + E6 I 5 = R1 I 32 + R2 I 52 + R3 I 72 + R4 I 62

17


Nota: El balance de potencias también puede utilizarse como un criterio básico de análisis
para circuitos muy sencillos (de una sola malla o un solo nudo). Se deriva del principio de
conservación de la energía: en todo instante se ha de verificar que la potencia puesta en
juego por los dispositivos activos iguala a la disipada por los pasivos

CASO PRÁCTICO 1: DIVISOR DE TENSIÓN
Se trata de un circuito práctico de amplia utilización que permite obtener a partir de un
generador de tensión de un valor dado, otro ‘generador’ con una fracción de tensión cualquiera. En
el circuito de la Fig. 1.18, la ecuación de la malla del generador nos permite calcular el valor de la
corriente que circula por ella:

Eg
Malla: Eg − VR1 − VR 2 Eg − R1 ⋅ I − R2 ⋅ I = 0 ⇒ I =
R1 + R2

Una vez obtenida, la tensión en bornes de R2, es decir, la tensión de salida resulta una fracción
de la de entrada, fracción controlable mediante la selección de los valores de las resistencias:

R2
VR 2 = E g ⋅
R1 + R2

Análogamente, la tensión en bornes de R1 resulta la fracción restante de la tensión de entrada:

R1
VR1 = Eg ⋅
R1 + R2

Nota: Obsérvese que la aproximación hecha en el cálculo de VR 2 sólo es válida si se
considera que I’ es despreciable respecto a I, es decir, si el circuito que carga los bornes de
R2 presenta una resistencia mucho mayor que R2 , o si no existe tal carga en bornes de R2.

I R1 V R1 I
Eg R1 V R1
Eg
I'
R2 V R2 R2 V R2

Fig. 1.18: Circuitos sin memoria. Circuito divisor de tensión
cargado (izda.) y sin cargar (dcha.).

CASO PRÁCTICO 2: DIVISOR DE CORRIENTE
Se trata de un circuito práctico de amplia utilización que permite obtener a partir de un
generador de corriente de un valor dado, un ‘generador’ con una fracción de corriente cualquiera.
En el circuito de la Fig. 1.19, la ecuación del nudo del generador nos permite calcular el valor de la
tensión de este nudo:

V V R ⋅R
Nudo: I g = I1 + I 2 + ⇒ V = Ig ⋅ 1 2
R1 R2 R1 + R2

Una vez obtenida, la corriente que atraviesa R2, es decir, la corriente de salida, resulta una
fracción de la de entrada, fracción controlable mediante la selección de los valores de las
resistencias:

18


R1
I2 = Ig ⋅
R1 + R2

Análogamente, la corriente que atraviesa R1 resulta la fracción restante de la corriente de
entrada:

R2
I2 = Ig ⋅
R1 + R2

Nota: Obsérvese de nuevo que este análisis únicamente es válido si se considera que V’ es
despreciable respecto a V, es decir, si el circuito que carga R2 presenta una resistencia
mucho menor que R2 , o si no existe tal carga en serie con R2 .

I1 I2 I1 I2

Ig V R1 R2 Ig V R1 R2

V'

Fig. 1.19: Circuitos sin memoria. Circuito divisor de corriente
cargado (izda.) y sin cargar (dcha.).

1.5.2 Circuitos con memoria

Es el caso de circuitos que contienen dispositivos con memoria, es decir, bobinas y/o
condensadores. Las mismas técnicas generales de análisis dan ahora lugar a sistemas de ecuaciones
diferenciales lineales de coeficientes reales y constantes por lo que su estudio completo resulta más
difícil de abordar.
ANÁLISIS DE UN CIRCUITO RLC
Sea el circuito de la Fig. 1.20, del que se nos pide obtener las tensiones y corrientes en todos sus
dispositivos. Sean de nuevo las corrientes de rama, esta vez variables, las incógnitas del problema.
vL1 (t)
A + i2 (t)

i1 (t) L1 e2(t)
i1 (t)-i2 (t)
vR1 (t) R1 1 2 R2 vR2 (t)
vC (t) C

e1(t) L2
+

vL2 (t)

Fig. 1.20: Análisis de un circuito con memoria: circuito RLC.

19


Aplicando el mismo procedimiento seguido para el circuito de la Fig. 1.16 obtendríamos un
sistema de ecuaciones formado por una ecuación de nudo (nudo A) y dos ecuaciones de malla
(mallas 1 y 2), sistema cuya solución serían las corrientes de las tres ramas del circuito.
Dada la relativa sencillez de plantear las ecuaciones de nudo, es práctica habitual hacerlo
directamente sobre el circuito conforme se identifican las corrientes de rama (obsérvese que en
lugar de identificar una nueva corriente i3 (t ) saliendo del nudo A, directamente se ha puesto
i1 (t ) − i2 (t ) ), de modo que tras este paso el número de incógnitas iguala al de mallas independientes.
En el circuito de la figura:
Malla 1: e1 (t ) + vR1 (t ) + vL1 (t ) + vC (t ) = 0

Malla 2: vR 2 (t ) + vL 2 (t ) − vC (t ) − e2 (t ) = 0

Utilizando a continuación la característica i-v de cada dispositivo, obtenemos el sistema de dos
ecuaciones con dos incógnitas que se ha de resolver:
t
di1 (t ) 1
Malla 1: e1 (t ) + R1i1 (t ) + L1 (t ) + ∫ [i1 (τ ) − i2 (τ )] ⋅ dτ = 0
dt C0
t
di2 (t ) 1
Malla 2: R2i2 (t ) + L2 − ∫ [i1 (τ ) − i2 (τ ) ] ⋅ dτ − e2 (t ) = 0
dt C0

Que tras derivar y reordenar pueden escribirse como:
−de1 (t ) d 2 i (t ) di (t ) 1
Malla 1: = L1 1 + R1 1 + (i1 (t ) − i2 (t ))
dt dt dt C

de2 (t ) d 2 i2 (t ) di (t ) 1
Malla 2: = L2 2
+ R2 2 − (i1 (t ) − i2 (t ))
dt dt dt C

Nota: para la derivación de los términos que involucran el cálculo de una integral, se utiliza
una de las versiones del Teorema Fundamental del Cálculo:

Si F (t ) es la función primitiva de f (t ) (es decir, F (t ) = ∫ f (t ) ⋅ dt ), y definimos la
t t
función I (t ) como I (t ) = ∫ f (τ ) ⋅ dτ entonces I (t ) = ∫ f (τ ) ⋅ dτ =F (t ) − F (a) , de donde se sigue
a a
t

∫ f (τ )dτ = dt (F (t ) − F (a)) = f (t )
d d
que:
dt a

El sistema obtenido es un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes reales y
constantes (que corresponden a los valores de Rs, Ls y Cs) cuya solución general no es trivial. Sin
embargo, a partir de la interpretación del tipo de solución que cabe esperar es posible extraer
algunas conclusiones sobre el funcionamiento de cualquier circuito RLC.
La solución del sistema de ecuaciones, en este caso cada una de las dos corrientes de rama, es
suma de dos componentes: la solución del sistema homogéneo y la solución particular del sistema
completo.
La solución homogénea resulta de anular las funciones de excitación (es decir, los
generadores); por lo tanto, no depende de éstas. En el caso de los circuitos (que dan lugar a
coeficientes positivos) se trata además de una función temporal decreciente con el tiempo. Es
lo que se denomina solución en régimen libre (de generadores) o régimen no forzado (por los
generadores).

20


La solución particular tiene la misma forma que la excitación, y por lo tanto se mantiene
durante el tiempo que dure ésta. Es lo que se denomina solución en régimen forzado.
Como resultado de ambos regímenes, cualquier magnitud del circuito presenta primero un
régimen transitorio, suma en cada instante del régimen libre y del forzado, y conforme avanza en el
tiempo, un régimen permanente en el que la influencia del régimen libre, cada vez menor, es
despreciable. La existencia del régimen transitorio se debe a la presencia en el circuito de
dispositivos con memoria, dispositivos que como se ha visto presentan cierta inercia a variar sus
condiciones (régimen transitorio) hasta que el generador impone su ley (régimen permanente).
CASO PRÁCTICO: ANÁLISIS DEL CIRCUITO DE CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR
Se trata de un circuito de una malla, cuya solución general es fácilmente abordable, que ilustra
los conceptos de régimen transitorio y régimen permanente.

i(t) R

vR (t)
t1 t2
vC (t)
C
Eg

Fig. 1.21: Circuito de carga y descarga de un condensador.

El circuito representado en la Fig. 1.21 contiene un interruptor situado en una determinada
posición desde el instante t = t1 (supondremos t1 = 0 , por simplicidad) y que posteriormente pasa a
otra posición en el instante t = t2 >> t1 . El objetivo es analizar cómo varían con el tiempo las
magnitudes asociadas al condensador, es decir i (t ) y vC (t ) , que se supone inicialmente descargado
( vC (0) = 0 ).
La primera posición del interruptor corresponde al llamado circuito de carga, situación en la
cual un condensador inicialmente descargado se somete a la acción de un generador de tensión
continua. De acuerdo con lo visto hasta el momento, es de esperar que las magnitudes bajo estudio
presenten un régimen transitorio y posteriormente un régimen permanente caracterizado por un
valor constante (es decir, del tipo que impone el generador). Analizando el circuito:
t
1 di (t ) 1
C∫
Malla: Eg = R ⋅ i (t ) + i (τ ) ⋅ dτ ⇒ R + i (t ) = 0 , donde vC (0) = 0
0
dt C

Eg −t
, cuya solución es: i (t ) = e RC

R

−t

Nota: La solución general de la ecuación homogénea es: i (t ) = Ae RC

Eg Eg
Si vC (0) = 0 , entonces Eg = R ⋅ i(0) ⇒ i (0) = , de donde se obtiene el valor A = .
R R

A partir de esta expresión de corriente, la tensión resulta:
t
1 −t

C∫
vc (t ) = i (τ ) ⋅ dτ = Eg (1 − e RC )
0

21


La segunda posición del interruptor corresponde al llamado circuito de descarga, situación en la
cual un condensador inicialmente cargado a una tensión vC (t ) = V0 se somete a la acción de un
cortocircuito. Si analizamos este segundo circuito obtenemos:
t
1 di (t ) 1
Malla: 0 = R ⋅ i (t ) +
C0∫ i(τ ) ⋅ dτ ⇒ R dt + C i(t ) = 0 , donde vC (0) = V0
−V0 − t RC
, cuya solución es: i (t ) = e
R
A partir de esta expresión de corriente, la tensión resulta:
t
1 −t
vC (t ) =
C0∫ i(τ ) ⋅ dτ = V0 e RC
La Fig. 1.22 muestra la variación con el tiempo de las magnitudes involucradas. A partir del
instante t = t1 el condensador comienza a cargarse, a una velocidad que depende de su propia
capacidad C y del valor de R, hasta que la tensión en sus bornes iguala a la del generador,
alcanzándose así una situación estable o régimen permanente, situación en la cual la corriente que
atraviesa el circuito es nula. Al cambiar el interruptor de posición cambia la excitación (se somete
al condensador a una tensión nula) y por lo tanto se inicia un nuevo régimen transitorio durante el
cual el condensador pierde su carga hasta que se estabiliza de nuevo.

i(t) vC (t)

E g /R Eg

carga descarga carga descarga

t1 t2 t t1 t2 t

Fig. 1.22: Evolución de la tensión (dcha.) y corriente (izda.) en el
condensador durante los procesos de carga y descarga.

Nota: El producto RC que aparece en el denominador del argumento de las exponenciales
es una constante característica de este tipo de circuitos que recibe el nombre de constante
de tiempo (se denota normalmente con la letra griega τ ), pues ofrece una indicación del
tiempo que tarda el circuito en alcanzar el régimen permanente. En efecto, sustituyendo t
por τ en las expresiones vemos que τ representa el tiempo que tarda el condensador en
adquirir el 63% de su carga máxima o bien, en descargarse un 63%.

En las expresiones de carga y descarga puede observarse que, en realidad, el condensador
sólo se carga o descarga por completo transcurrido un tiempo infinito. No obstante, en la
práctica suele bastar con suponer que se ha cargado o descargado en un porcentaje
relativamente alto. Se puede comprobar que para t = 4τ este porcentaje es del 98 %, lo cual
puede considerarse definitivo en la mayor parte de los casos.

22


1.6 Equivalencia y asociación
Se dice que dos circuitos son equivalentes cuando sus características i-v son coincidentes Fig.
1.23. El análisis de circuitos se puede simplificar sustancialmente sustituyendo una parte de un
circuito por otro circuito equivalente más sencillo de analizar.

i(t) i(t)

v(t) circuito <
> v(t) circuito
1 2

v(t ) = f1 (i(t )) = f 2 (i(t )) ∀t

Fig. 1.23: Equivalencia entre circuitos.

Las conexiones o asociaciones serie o paralelo de dispositivos de un mismo tipo son casos
sencillos de equivalencia.

1.6.1 Dispositivos pasivos y generadores ideales

ASOCIACIÓN SERIE DE DISPOSITIVOS PASIVOS
Sea, por ejemplo, el caso de una asociación serie de n resistencias (ver Fig. 1.24). Si planteamos
la ecuación de la única malla que genera dicha asociación obtendremos la característica i-v de la
asociación:

⎛ ⎞
Malla: v(t ) = R1i (t ) + R2 i (t ) + ... + Rn i (t ) = ⎜
⎜
⎝
∑ R ⎟ ⋅ i(t )
n
⎟
⎠
i

i(t) R1 R2 Rn i(t)
<
>
v(t) v(t) Rs

Fig. 1.24: Equivalencia de la asociación serie de dispositivos
pasivos.

Esta característica i-v coincide con la de una resistencia equivalente, Rs, cuyo valor sea la suma
de los valores de las resistencias asociadas, por lo que es posible concluir:
Asociación serie de resistencias: Rs = ∑R n
i

Efectuando el mismo análisis con el resto de los dispositivos pasivos presentados (bobinas y
condensadores) es inmediato llegar a correspondientes conclusiones:
Asociación serie de bobinas: Ls = ∑L n
i

∑C
1 1
Asociación serie de condensadores: =
Cs n i

23


ASOCIACIÓN PARALELO DE DISPOSITIVOS PASIVOS
Sea el caso de una asociación paralelo de n resistencias (ver Fig. 1.25). Si planteamos la
ecuación del único nudo que genera dicha asociación obtendremos la característica i-v de la
asociación:

⎛ 1 ⎞
∑ R ⎟ ⋅ v(t )
1 1 1
Nudo: i (t ) = v(t ) + v(t ) + ... + v(t ) = ⎜
⎜ ⎟
R1 R2 Rn ⎝ n ⎠ 1

i(t) i(t)

v(t) R1 R1 Rn <
> v(t) Rp

Fig. 1.25: Equivalencia de la asociación paralelo de dispositivos
pasivos.

Esta característica i-v coincide con la de una resistencia equivalente, Rp, cuyo inverso sea la
suma de los inversos de las resistencias asociadas, por lo que es posible concluir:

∑R
1 1
Asociación paralelo de resistencias: =
Rp n p

Efectuando el mismo análisis con el resto de los dispositivos pasivos presentados (bobinas y
condensadores) es inmediato llegar a correspondientes conclusiones:

∑L
1 1
Asociación paralelo de bobinas: =
Lp n p

Asociación paralelo de condensadores: C p = ∑C n
p

ASOCIACIÓN DE GENERADORES IDEALES
Los generadores ideales son un caso especial de dispositivo que no admite cualquier tipo de
asociación. La Fig. 1.26 ilustra las asociaciones posibles, en particular la asociación en serie de
generadores de tensión y la asociación paralelo de generadores de corriente. Mediante un análisis
similar al visto para los dispositivos pasivos, en dichas asociaciones resulta inmediato demostrar las
equivalencias que indica la figura.

e1(t) e2(t) e1(t) - e2(t)
+ <
> +

i1 (t) i2 (t) <
> i1 (t) - i2(t)

Fig. 1.26: Equivalencias en la asociación de generadores ideales.

La Fig. 1.27 muestra asociaciones imposibles de generadores. En ambas puede comprobarse que
las características i-v de los generadores que se asocian provocan la violación de las Leyes de

24


Kirchhoff. Esta situación no se da en la práctica; el motivo de esta inconsistencia es que el modelo
escogido hasta ahora para representar un generador es demasiado sencillo, demasiado irreal.

+

+
e1(t) e2(t) <
> ¿?

i1 (t) i2 (t)
<
> ¿?
Fig. 1.27: Asociaciones imposibles de generadores ideales.

1.6.2 Generadores reales

La característica i-v de un generador ideal asume que éste es capaz de entregar toda la potencia
que pida el circuito. Un generador de tensión ideal crea entre sus bornes una función de tensión
fija, se le pida la intensidad que se le pida. Asimismo un generador de corriente ideal hace pasar
entre sus bornes una función de corriente fija, independientemente de la diferencia de potencial a la
que esté sometido. En la práctica los generadores no pueden comportarse de esta forma debido a
limitaciones de potencia, efecto que en una primera aproximación se puede modelar con sencillez.

Re i(t) vR (t)
i(t)

vR(t)
+

eg(t) v(t)
eg(t)
v(t)

i(t) i(t)
ig(t)
iR(t)
iR(t)
ig (t) Ri v(t)
v(t)

Fig. 1.28: Generadores reales de tensión y corriente, junto con sus
características i-v.

MODELO Y EQUIVALENCIAS
La Fig. 1.28 muestra modelos de un generador real de tensión y de uno de corriente, así como
sus respectivas características i-v resultantes de un análisis básico de la malla y el nudo que
respectivamente forman.
La resistencia asociada a cada generador, denominada resistencia interna, permite modelar
linealmente el efecto de pérdida de tensión conforme se solicita corriente en el generador de
tensión (cuanto menor es su resistencia interna, menos tensión cae y más idealmente se comporta el
generador), y el de pérdida de corriente conforme se solicita tensión en el generador de corriente

25


(cuanto mayor es su resistencia interna menos corriente se desvía por ella y más idealmente se
comporta el generador).
Si expresamos analíticamente la relación entre la tensión y la corriente que entregan ambos
generadores obtenemos:
eg (t ) v(t )
Generador de tensión: v(t ) = eg (t ) − Re ⋅ i (t ) ⇒ i (t ) = −
Re Re

v(t )
Generador de corriente: i (t ) = i g (t ) − ⇒ v(t ) = Ri ⋅ ig (t ) − Ri ⋅ i (t )
Ri

Es fácil observar que ambas características i-v resultarían coincidentes si se verificara:

Re = Ri = R y eg (t ) = R ⋅ ig (t )

Por lo tanto, en estas condiciones ambos circuitos serían equivalentes. El que el circuito se
comporte como generador de corriente o de tensión dependerá de en qué punto de su característica
i-v se esté trabajando, es decir, de cuál sea la relación entre la resistencia interna y la resistencia
equivalente del circuito al que esté alimentando. La Fig. 1.29 resume la equivalencias encontradas.

Re i(t) i(t)

eg (t)
+

eg(t) v(t) <
> Re v(t) i(t)
Re
eg(t) ig (t)
Re

i(t) Ri i(t)
eg (t)
v(t)
+

ig (t) R i ig (t)
Ri v(t) <
> R i ig (t) v(t)

Fig. 1.29: Equivalencia entre generadores reales de tensión y de
corriente.

ASOCIACIÓN
Las asociaciones de generadores reales, que son siempre posibles, se resuelven aplicando las
equivalencias vistas hasta el momento para asociaciones de generadores ideales y resistencias, y las
equivalencias entre generadores reales de tensión y corriente (ver Fig. 1.30).

26


e1(t) R1 e2 (t) R2 e1(t) - e2(t) R 1+ R 2
+ + <
> +

i1(t) i2 (t) i1 (t) - i2 (t)
R1 R2 R1 R2
<
>

R1 R2
e1(t) e2(t)
<
> R1 R2
R1 R2
+

e1(t) e2(t)
+

i1 (t) i2(t)
R 1 i1 (t) R1 R 2 i2 (t) R2
+ +
R1 R2 <
>

Fig. 1.30: Equivalencias en la asociación de generadores reales de
tensión y de corriente.

1.6.3 Reducción de circuitos

Los conceptos de equivalencia y asociación entre dispositivos pueden aplicarse sucesivamente
sobre un circuito para llegar a versiones equivalentes pero más sencillas de analizar. Esto da lugar a
una estrategia de análisis que consiste en la reducción de un circuito a otro más simple en el que los
datos buscados se encuentren fácilmente por división de tensión o intensidad, o incluso mediante la
aplicación directa de la ley de Ohm. No existen normas fijas para abordar el proceso de reducción;
éste depende en gran medida de la habilidad y experiencia del analista.
Este método es especialmente adecuado para situaciones en las que únicamente se desea obtener
el valor de una magnitud circuital, en vez de resolver el circuito completo.
A continuación se muestra un ejemplo de aplicación de este sistema de análisis. Sea el circuito
de la Fig. 1.31, en el que se desea obtener la corriente que atraviesa la resistencia R1.

R1 R3 R4
+

R6
R2 R5
e1(t)
i1(t)
e2(t)
+

Fig. 1.31: Circuito original para resolver por reducciones
sucesivas.

27


Para empezar, aplicando la equivalencia serie entre R4 y R5 y se puede transformar el generador de
tensión real ( e2(t), R6 ) en un generador de corriente, siguiendo el procedimiento indicado en los
apartados anteriores:

R1 R3
+ e2(t)/R6
R6
R2 R4+R5
e1(t)
i1(t)

Fig. 1.32: Simplificación del circuito original por asociación de
resistencias en serie.

A continuación se puede asociar en paralelo (R4 + R5) y R6 y los dos generadores de corriente. Por
claridad en la notación se ha definido a esta resistencia equivalente R7 = R6 ||( R4 + R5):

R1 R3
+

i1(t)-e2(t)/R6
R2 R6 || (R4+R5)
e1(t)
R7

Fig. 1.33: Simplificación del circuito simplificado por asociación
de resistencias en paralelo.

Seguidamente se puede convertir el generador de corriente así obtenido en un generador de tensión,
de forma que a continuación R3 y R7 pueden asociarse en serie:

R1 R3+R7
+

R2
+

e1(t) (i1(t)-e2(t)/R6)R7

Fig. 1.34: Simplificación del circuito simplificado por
equivalencia entre generador de corriente y generador de tensión, y
asociación de resistencias en serie.

En el paso siguiente consiste en transformar el generador de tensión en uno de corriente para que
R3 + R7 puedan asociarse en paralelo con R2.

28


R1

+
R2 || (R3+R7) R7(i1(t)-e2(t)/R6)/(R3+R7)
e1(t)

equivalencia entre generador de tensión y generador de corriente, y
asociación de resistencias en paralelo.

Seguidamente, es posible transformar el nuevo generador de corriente en un generador de tensión
que, por claridad notacional se ha definido como e3(t).

R1
R2 || (R3+R7)
+

+

e1(t) R7(i1(t)-e2(t)/R6)(R2 || (R3+R7))/(R3+R7)

e3(t)

equivalencia entre generador de corriente y generador de tensión.

Finalmente se puede asociar los dos generadores de tensión para llegar a un circuito de una sola
malla con un generador y una resistencia, circuito cuya corriente es inmediato obtener mediante la
aplicación directa de la ley de Ohm.
R1+(R2 || (R3+R7))
+

e1(t)-e3(t)

Fig. 1.37: Simplificación final del circuito original en un circuito
de una única malla cuya corriente es la corriente incógnita.

Obsérvese que siguiendo esta estrategia de equivalencias sucesivas para reducir la complejidad
del circuito en torno a un elemento dado (en este caso, R1), la corriente de la única malla del
circuito de la Fig. 1.36 o del circuito de la Fig. 1.35 , ambos de mínima complejidad, resulta ser la
misma que atraviesa la resistencia R1 en el circuito original, que era el objetivo de análisis. De este
modo, se ha podido resolver el problema sin plantear ningún sistema de ecuaciones. Este
procedimiento sólo resulta razonable para circuitos estructuralmente simples, y para obtener
valores de magnitudes aisladas; sin embargo, es frecuente utilizarlo en combinación con el método
general de análisis, para reducir zonas de un circuito cuyas magnitudes no interesa obtener.

29


1.7 Análisis de circuitos de CC en régimen permanente

1.7.1 Circuitos de polarización

Los circuitos eléctricos son hoy por hoy el modo más eficaz de procesar señales. Para llevar a
cabo operaciones como la amplificación, el filtrado, la modulación, etc., de dichas señales se acude
a dispositivos electrónicos, esencialmente diodos y transistores. El comportamiento de estos
dispositivos varía sustancialmente en función de la relación entre las tensiones y corrientes
presentes en sus terminales. Los valores medios de ambas magnitudes se fijan a través de circuitos
de corriente continua, circuitos que cuando se usan con esta finalidad se denominan circuitos de
polarización. Por ello, el análisis de circuitos de corriente continua en régimen permanente resulta
de especial importancia en el ámbito del proceso de señal.

1.7.2 Comportamiento de los dispositivos pasivos en régimen permanente de CC

RESISTENCIA
La característica i-v de una resistencia establece entre ambas magnitudes una relación de
proporcionalidad que se verifica seas cuales sean sus expresiones de variación temporal. Por lo
tanto, el hecho de que estas magnitudes sean continuas en el tiempo no supone un caso particular
que requiera ser tratado aisladamente. En conclusión, las propiedades generales vistas para estos
dispositivos son de directa aplicación en el análisis de circuitos de CC.
CONDENSADOR
Según se ha visto, cuando se somete un condensador a la acción de un generador de tensión
continua se carga hasta que adquiere dicha tensión, instante a partir del cual la corriente que circula
a su través es nula. Por ello es posible asumir que transcurrido un cierto tiempo, toda rama que
incluya un condensador se comportará como un circuito abierto. En conclusión, en régimen
permanente de CC un condensador es equivalente a un circuito abierto.
BOBINA
Análogamente a como se presentó para el caso de un condensador, sea un circuito como el
representado en la Fig. 1.38.
i(t) R

t1
vR (t)
vL (t)
L
Eg

Fig. 1.38: Circuito básico de CC con una malla con bobina.

El objetivo es analizar cómo varían con el tiempo las magnitudes asociadas a la bobina, es
decir, i(t) y vL (t ) . Analizando el circuito:

di (t )
Malla: E g = R ⋅ i (t ) + L , donde i (0) = 0
dt
Eg −tR
, ecuación diferencial cuya solución es: i (t ) = (1 − e L
)
R

30


di (t ) −tR
A partir de ella, la tensión resulta: vL (t ) = L = Eg e L
dt
La Fig. 1.39 muestra la variación con el tiempo de las magnitudes involucradas. Se puede
observar que cuando se somete una bobina a la acción de un generador de tensión continua llega
un momento en que la tensión que cae en sus bornes es nula y deja pasar toda la corriente que
imponga el resto del circuito. Por ello es posible asumir que transcurrido un cierto tiempo una
bobina se comportará como un cortocircuito; dicho de otro modo, en régimen permanente de CC
una bobina es equivalente a un cortocircuito.
i(t)
Eg E g /R

vL (t)

t1 t

Fig. 1.39: Evolución de la tensión y corriente en la bobina.

1.7.3 Metodología de análisis

Según lo expuesto hasta el momento, para analizar un circuito de corriente continua transcurrido
un cierto tiempo (es decir, en régimen permanente), el primer paso es sustituir condensadores y
bobinas por sus circuitos equivalentes, es decir, por circuitos abiertos y cortocircuitos
respectivamente. Como resultado de esta operación se obtendrá un circuito resistivo con
generadores de corriente y tensión continua, circuito cuyo análisis ya se ha abordado con
anterioridad.

31


Apéndice A: Fenómenos electromagnéticos asociados a
condensadores y bobinas.

A.1 Relación entre la carga que acumula un condensador y la diferencia de potencial
entre sus placas

En primer lugar, calculemos el campo eléctrico E creado por una superficie de área A situada en
el vacío y cargada uniformemente con una carga Q (ver Fig. A.1.1).

Fig. A.1.1 Campo eléctrico creado por una superficie cargada
uniformemente. Las líneas de campo indican la dirección de la
fuerza ejercida por el campo eléctrico sobre una carga positiva de
prueba.

Cuando en electrostática se tienen distribuciones continuas de carga no es posible utilizar el
principio de superposición y se recurre al teorema de Gauss, que permite relacionar el flujo
eléctrico, φ ,de un campo (es decir, el número de líneas del campo que atraviesan una superficie),
con la carga total que origina este campo (carga que está encerrada por dicha superficie). Según el
citado teorema:
ur u
r Q
φ = ∫ Ed S =
S
ε0

donde ε 0 es la constante dieléctrica del vacío y S es cualquier superficie cerrada que envuelva la
carga Q. Por simplicidad operativa, tomamos una superficie en la que E tenga un valor constante
(bien en toda ella o bien en subzonas en las que pueda descomponerse fácilmente) para así poder
sacarlo de la integral. En nuestro caso tomamos un paralelepípedo cuyas bases tienen área A y son
paralelas a la superficie cargada (ver Fig. A.1.2).

32


Fig. A.1.2. Paralelepípedo escogido para envolver la carga de la
superficie.

El flujo eléctrico en este paralelepípedo sólo será no nulo en las bases (en cualquier otra cara el
producto escalar de E y S es nulo por ser perpendiculares), regiones en las que el campo eléctrico
tomará un valor constante. Por lo tanto:
ur u
r ur u
r u
r
φ = ∫ Ed S = 2 ∫ Ed S =2 E ∫ d S = 2 EA
S SBase SBase

Y por el teorema de Gauss:

Q Q
2 EA = ⇒E =
ε0 2ε 0 A

Si ahora, como ocurre en un condensador, enfrentamos dos superficies planas o placas de área A
que contengan cargas iguales y opuestas (ver Fig. A.1.3), puede comprobarse que en la región
exterior a ambas superficies (es decir, a la izquierda de Q y a la derecha de –Q) los dos campos
eléctricos generados por las dos placas son de sentido contrario y se anulan. Sin embargo, entre
estas dos superficies los citados campos tienen el mismo sentido y el campo resultante (dirigido de
Q a –Q) valdrá el doble que el generado por una sola placa:

Q
E =
ε0 A
Q -Q

Fig. A.1.3. Campo eléctrico creado por dos placas cargadas
con la misma carga pero de signo contrario.

Como este campo eléctrico es constante, puede expresarse en función de la diferencia de
potencial entre las dos superficies, de modo que:

V V Q ε A
E = ⇒ = ⇒Q= 0 V
d d ε0 A d

33


La magnitud ε 0 A d , que relaciona la tensión que aparece entre las placas con la carga que
almacenan, depende únicamente de características constructivas del condensador (es decir, del área
de sus placas, de la separación entre ambas, y de la constante dieléctrica del material que las
separa1). A esta magnitud, constante para un condensador dado se le denomina capacidad del
condensador y se denota con la letra C. Por lo tanto, la relación que buscábamos resulta:

Q = C ⋅V

1
Es posible insertar entre las placas un material aislante distinto del vacío, en cuyo caso el valor de ε0 se
sustituiría por la constante dieléctrica de dicho material.

34


A.2 Relación entre la variación de corriente en una bobina y la fuerza electromotriz
inducida entre sus bornes

En general, toda carga en movimiento origina un campo magnético y, por lo tanto, cualquier
conductor que transporta una corriente eléctrica provoca un campo magnético en sus proximidades.
Aunque en la mayor parte de los casos este efecto puede considerarse despreciable, si enrollamos
un conductor formando un solenoide (es decir una sucesión de espiras colocadas paralelamente
unas a otras; lo que es una bobina a efectos prácticos), el campo magnético en su interior puede
exhibir una intensidad significativa (de hecho un solenoide recorrido por una corriente eléctrica se
comporta a todos los efectos como un imán). Para calcular la magnitud de este campo magnético
utilizaremos la ley de Ampère.
La ley de Ampère para el campo magnético es análoga a la de Gauss para el eléctrico. Establece
que la integral de línea1 del campo magnético (B) a lo largo de un camino cerrado depende
únicamente de la corriente encerrada por este camino y de la constante de permeabilidad del medio,
según la expresión:
r r
∫ B ⋅ dl = µ0 ⋅ i

Para hallar el campo magnético en el interior de un solenoide de N espiras y de longitud D
asumimos primero que este campo está dirigido a lo largo del eje del solenoide y segundo que el
campo magnético en el exterior del solenoide es despreciable frente al interior. En estas
condiciones escogemos un camino cerrado rectangular de la forma que se indica en la Fig. A.2.1,
con una base que abarque toda la longitud del solenoide y con una altura que nos permita que una
base del rectángulo quede fuera del solenoide y la otra dentro.

D C

A B
B

Fig. A.2.1 Cálculo del campo magnético en un solenoide. Sección
transversal.

El camino puede descomponerse en cuatro segmentos: AB, BC, CD y DA. BC y DA son
perpendiculares al campo magnético, por lo que en estos segmentos el producto escalar del campo
magnético con el vector de dirección se anula. La integral a lo largo del segmento CD la
consideramos despreciable porque fuera del solenoide el campo magnético es relativamente
despreciable. De este modo, sólo queda el segmento AB, de longitud igual a la del solenoide y
paralelo al campo magnético:
r r r r
∫
ABCD
B ⋅ dl = ∫ B ⋅ dl
AB
= B⋅ ∫ dl = B ⋅ D
AB

1
En realidad la integral de línea considera las proyecciones del campo magnético sobre el camino que
nos interesa, de la misma forma que el flujo eléctrico proyectaba las líneas de campo del campo eléctrico
sobre una superficie. Como se trabaja con campos vectoriales estas proyecciones nos dan la componente que
tienen estos campos en la dirección que nos interesa.

35


Como el camino escogido está atravesado por N espiras, la intensidad de corriente que lo
atraviesa es N veces la que recorre el solenoide. Por lo tanto, la aplicación de la ley de Ampère
resulta en:

µ0 Ni
B ⋅ D = µ0 Ni ⇒ B =
D
Análogamente al concepto de flujo eléctrico, también es posible definir el concepto de flujo
magnético a través de una superficie como el número de líneas de campo magnético que atraviesan
dicha superficie:
ur u
r
φ = ∫ B ⋅ dS
S

Si escogemos una superficie perpendicular al campo magnético (paralela a las espiras del
solenoide), el flujo que atraviesa las espiras puede expresarse:

φ = B⋅S
Por otra parte, la ley de Faraday nos permite obtener la fuerza electromotriz o tensión inducida
en una espira a causa de la variación del flujo magnético que la atraviesa:

dφ
v=−
dt

Y generalizando para N espiras:

dφ
v = −N
dt

En el caso que nos ocupa es la variación de la corriente eléctrica la que genera una variación del
flujo magnético a ella debido. Por lo tanto expresaremos la variación del flujo magnético en la
ecuación de Faraday en función de la variación de la corriente que circula por el solenoide:

dφ d d µ0 Ni N 2 S µ0 di
v = −N = − N B ⋅ S = − NS =−
dt dt dt D D dt

La magnitud N 2 S µ0 D , que relaciona la tensión inducida en la bobina con la variación de la
corriente que la atraviesa, depende únicamente de características constructivas de la bobina (es
decir, de su área transversal, de su longitud, del número de espiras, y de la constante dieléctrica del
material interior). A esta magnitud, constante para una bobina dada se le denomina coeficiente de
autoinducción y se denota con la letra L. Por lo tanto, la relación que buscábamos resulta
finalmente:

di
v = −L
dt

36

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