arboles-b

ÁRBOLES B+
1. INTRODUCCIÓN
Los árboles B+ constituyen otra mejora sobre los árboles B,pues conservan la propiedad de
acceso aleatorio rápido y permiten además un recorrido secuencial rápido.En un árbol B+
todas las claves se encuentran en hojas,duplicándose en la raíz y nodos interiores aquellas
que resulten necesarias para definir los caminos de búsqueda.Para facilitar el recorrido
secuencial rápido las hojas se pueden vincular,obteniéndose ,de esta forma,una trayectoria
secuencial para recorrer las claves del árbol.
Su principal característica es que todas las claves se encuentran en las hojas.Los árboles B+
ocupan algo más de espacio que los árboles B,pues existe duplicidad en algunas claves.En
los árboles B+ las claves de las páginas raíz e interiores se utilizan únicamente como
índices.
El orden de inserción de los diversos elementos fue: p v d e b c s a r f t q
2. BUSQUEDA EN UN ÁRBOL B+
En este caso,la búsqueda no debe detenerse cuando se encuentre la clave en la página raíz o
en una página interior,si no que debe proseguir en la página apuntada por la rama derecha
de dicha clave.
3. INSERCIÓN EN UN ÁRBOL B+
Su diferencia con el proceso de inserción en árboles B consiste en que cuando se inserta
una nueva clave en una página llena,ésta se divide también en otras dos,pero ahora la
primera contendrá con m/2 claves y la segunda 1+m/2, y lo que subirá a la página
antecesora será una copia de la clave central.

4. BORRADO EN UN ÁRBOL B+
La operación de borrado debe considerar:
 Si al eliminar la clave(siempre en una hoja)el número de claves es mayor o igual a
m/2 el proceso ha terminado. Las claves de las páginas raíz o internas no se
modifican aunque sean una copia de la eliminada,pues siguen constituyendo un
separador válido entre las claves de las páginas descendientes.
 Si al eliminar la clave el número de ellas en la página es menor que m/2 será
necesaria una fusión y redistribución de las mismas tanto en las páginas hojas como
en el índice
Los árboles-B+ se han convertido en la técnica mas utilizada para la organización de
archivos indizados. La principal característica de estos arboles es que todas las claves se
encuentran en las hojas y por lo tanto cualquier camino desde la raíz hasta alguna de las
claves tienen la misma longitud. En la figura 8.4 representamos un diagrama de un arbol-
B+ de orden 2.
Figura 8.4 Arbol-B+ de orden 2
Es de notar que los arboles-B+ ocupan un poco mas de espacio que los arboles-B, y esto
ocurre al existir duplicidad en algunas claves. Sin embargo, esto es aceptable si el archivo
se modifica frecuentemente, puesto que se evita la operación de reorganización del árbol
que es tan costosa en los arboles-B.
Formalmente se define un árbol-B+ de la siguiente manera:
1. Cada pagina, excepto la raíz, contiene entre d y 2d elementos.
2. Cada pagina, excepto la raíz, tiene entre d + 1 y 2d + 1 descendientes. Se utiliza m
para expresar el numero de elementos por pagina.
3. La pagina raíz tiene al menos dos descendientes.
4. Las paginas hojas están todas al mismo nivel.
5. Todas las claves se encuentran en las paginas hojas.
6. Las claves de las paginas raíz e interiores se utilizan como índices.
7. Búsqueda De Arboles-B+
La operación de búsqueda en árboles-B+ es similar a la operación de búsqueda en árboles-
B. El proceso es simple, sin embargo puede suceder que al buscar una determinada clave la

misma se encuentra en una pagina raíz o interior, en dicho caso no debe detenerse el
proceso, sino que debe continuarse la búsqueda con la pagina apuntada por la rama derecha
de dicha clave. Por ejemplo, al buscar la clave 55 en el árbol-B+ de la figura 8.4 se advierte
que esta se encuentra en la pagina raíz. En este caso, debe continuarse el proceso de
búsqueda en la pagina apuntada por la rama derecha de dicha clave.
8.5.2 Inserción en árboles B+
El proceso de inserción en árboles-B+ es relativamente simple, similar al proceso de
inserción en árboles-B. La dificultad se presenta cuando desea insertarse una clave en una
pagina que se encuentra llena ( m = 2d ). En este caso, la pagina afectada se divide en 2,
distribuyéndose las m + 1 claves de la siguiente forma: " las d primeras claves en la pagina
de la izquierda y las d + 1 restantes claves en la pagina derecha ". Una copia de la clave del
medio sube a la pagina antecesora. En la figura 8.5 hay dos diagramas que ilustran como
funciona este caso.
Figura 8.5 Inserción de la clave 13 en un árbol B+.
a) Antes de insertar la clave.b)Después de insertarla.
Puede suceder que la pagina antecesora se desborde nuevamente, entonces tendrá que
repetirse el proceso anterior. Es importante notar que el desbordamiento en una pagina que
no es hoja no produce duplicidad de claves. El proceso de propagación puede llegar hasta la
raíz, en cuyo caso la altura del árbol puede incrementarse en una unidad. En la figura 8.6 se
presentan dos diagramas que clarifican y resuelven este caso.

Figura 8.6 Inserción de la clave 66 en un árbol-B+
a) Antes de insertar la clave b) Después de insertarla.
Ejemplo 8.5.1
Supóngase que se desea insertar las siguientes claves en un árbol-B+ de orden 2 que se
encuentra vacío:
claves: 10-27-29-17-25-21-15-31-13-51-20-24-48-19-60-35-66
Los resultados parciales que ilustran el crecimiento del árbol se presentan en los siguientes
diagramas correspondientes a la figura 8.7

Figura 8.7 Inserciones en un árbol-B+ de orden2
(primera parte)

Figura 8.7 Inserción de un árbol-B+ de orden 2
(Segunda parte)
Ejemplo 8.5.2
Dado el árbol-B+ de orden 2 de la figura 8.8a), verifique si el mismo queda igual al de la
figura 8.8b), luego de insertar las siguientes claves:
claves: 43-21-77-58-63-15-37-41-72-39-95-70

Figura 8.8 Inserciones en un árbol-B+ de orden 2
a) Antes de insertar las claves. b) Después de insertarlas.
8.5.3 Borrado En Arboles-B+
La operación de borrado en árboles-B+ es mas simple que la operación de borrado en
árboles-B. Esto ocurre porque las claves a eliminar siempre se encuentran en las paginas
hojas. En general deben distinguirse los siguientes casos:
1. Si al eliminar una clave, m queda mayor o igual a d entonces termina la operación de
borrado. Las claves de las paginas raíz o internas no se modifican por mas que sean una
copia de la clave eliminada en las hojas. ( Se presenta un ejemplo de este caso en la figura
8.9 ).
Figura 8.9 Eliminación de la clave 25
a) Antes de eliminar la clave. b) Después de eliminarla.
2. Si al eliminar una clave, m queda menor a d entonces debe realizarse una redistribución
de claves, tanto en el índice como en las paginas hojas. ( Hay dos ejemplos que ilustran
como funciona este caso en la figura 8.10 ).

a) Antes de eliminar la clave. b) Después de eliminarla.
Nota: Al eliminar la clave 27 de la página A, m queda menor a d por lo que debe realizarse
una redistribución de las claves. Se toma la clave que se encuentra más a la derecha en la
rama izquierda de 25 (21 de la página B). Se coloca dicha clave en la página A y una copia
de la misma, como índice, en la página C.
b) Antes de eliminar la clave. d) Después de eliminarla.
una redistribución de claves. Como no se puede tomar una clave de la página B puesto que
m quedaría menor a d, entonces se realiza una fusión de las páginas A y B.
Puede suceder que al eliminar una clave y al realizar una redistribución de las mismas, la
altura del árbol disminuya en una unidad. ( En la figura 8.11 se presentan dos diagramas
que clarifican y resuelven este caso).

a) Antes de eliminarla. b) Después de eliminarla.
una redistribución de claves. Como no puede tomarse una clave de la página B puesto que
m quedaría menor a d, entonces se realiza una fusión de las páginas A y B. Sin embargo,
luego de está fusión m queda menor a d en la página C, por lo que debe bajarse la clave 29
de la página E y realizarse una nueva fusión, ahora de las páginas C y E. La altura del árbol
disminuye en una unidad.
Ejemplo 8.5.3
Suponga que desea eliminar las siguientes claves del árbol-B+ de orden 2 de la figura 8.12:
claves: 15-51-48-60-31-20-10-25-17-24

Los resultados parciales que ilustran como funciona el procedimiento se presentan en los
diagramas de la figura 8.13.

Figura 8.13
Eliminaciones en un árbol-B+ de orden 2
(Primera parte)

Figura 8.13
Eliminaciones en un árbol-B+ de orden 2
(Segunda parte)
Ejemplo 8.5.4
Verifique si el árbol-B+ de orden 2 de la figura 8.12 queda igual al de la figura 8.14, luego
de eliminar las siguientes claves:
claves: 51-20-15-21-25-17
luego de eliminar las claves
51, 20, 15, 21, 25, y 17

arboles-b

Más contenido relacionado

La actualidad más candente (20)

Similar a arboles-b (20)

Último (20)

arboles-b