Sólidos geométricos
- 1. GEOMETRÍA INTRODUCCIÓN Este material didáctico está dirigido a estudiantes de las carreras de ingeniería de la UTN. Su propósito es que el estudiante nivele los conocimientos básicos adquiridos en la secundaria y otros conocimientos necesarios relacionados con estas temáticas que son imprescindibles en cursos superiores de matemáticas y de la vida cotidiana. Mario Padilla Murillo
- 2. SOLIDOS GEOMETRICOS Un sólido o cuerpo es una porción cerrada de espacio, limitada por superficies planas o alabeadas. Los cinco sólidos o cuerpos que estudiaremos son los siguientes: Prismas Pirámides Cilindro Cono Esfera Poliedro Se llama poliedro a un cuerpo limitado exclusivamente por superficies planas. Las superficies que imitan un poliedro se llaman caras del mismo, las intersecciones de las caras se llaman aristas y los puntos donde estas se cortan, se llaman vértices. De los cinco sólidos o cuerpos citados, el prisma y la pirámide son poliedros. El cilindro, cono y esfera no lo son, ya que en parte o totalmente están limitados por superficies curvas.
- 3. Prisma Es un poliedro con polígonos congruentes en dos planos distintos y paralelos. Estos polígonos y su interior, forman dos de sus caras, las otras caras están formadas por segmentos paralelos que se forman al unir los correspondientes vértices de los polígonos. Elementos de un prisma: • Base: corresponde a la figura geométrica sobre la cual se apoya el prisma. • Cara lateral: son los rectángulos que forman los costados del prisma. • Vértice: son los puntos donde coinciden tres caras. • Arista lateral: corresponde a los segmentos que unen los vértices correspondientes. El polígono correspondiente a la base del prisma es el que determina su nombre. Por ejemplo: Base Nombre Triángulos Prisma triangular Rectángulos Prisma rectangular (Paralelepípedo) Cuadrados Prisma cuadrangular (Cubo) Pentágonos Prisma pentagonal Hexágonos Prisma hexagonal
- 4. Los prismas se clasifican en rectos (las aristas laterales son perpendiculares a los planos de las bases) y oblicuos (las aristas laterales no son perpendiculares a los planos de las bases). Prisma recto Prisma oblicuo Fórmulas para prismas regulares Área lateral: Se determinan las áreas de cada rectángulo que conforman las caras y luego se suman. Área basal: Se determinan las áreas que conforman las bases y luego se suman. Área total: 𝐴! = 𝐴" + 𝐴# Fórmulas para el cubo Diagonal: 𝑑 = 𝑎√3 Área lateral: 𝐴" = 4𝑎$ Área total: 𝐴! = 6𝑎$ Fórmulas para paralelepípedo Diagonal: 𝑑 = *ℓ$ + 𝑎$ + ℎ$ Área lateral: 𝐴" = 2(ℓ + 𝑎) ∙ ℎ Área basal: 𝐴% = 2 ∙ ℓ ∙ 𝑎 Área total: 𝐴! = 𝐴" + 𝐴#
- 5. Ejemplos 1. La base de un prisma recto es un triángulo equilátero. Si el área de la base es 𝟏𝟎√𝟐 𝒄𝒎𝟐 y la altura del prisma es 𝟕√𝟐 𝒄𝒎, entonces, ¿cuál es el área del prisma? 𝐴% = 2 ∙ Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝐴% = 2 ∙ 10√2 𝐴% = 20√2 𝑐𝑚$ Con el área de la base obtenemos la medida del lado: 𝐴 = 10√2 ℓ$ √3 4 = 10√2 ℓ$ = 4 ∙ 10√2 √3 ℓ = B 40√6 3 ℓ ≈ 5,71 Como la base es un triángulo equilátero, obtenemos el área de una cara y la multiplicamos por 3. 𝐴 = ℓ ∙ 𝑎 𝐴 ≈ 7√2 ∙ 5,71 𝐴 ≈ 56,53 𝐴" = 3 ∙ Á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎 𝐴" ≈ 3 ∙ 56,53 𝐴" ≈ 169,59 𝑐𝑚$ 𝐴! = 𝐴" + 𝐴% 𝐴! ≈ 169,59 + 20√2 𝑨𝑻 ≈ 𝟏𝟗𝟕, 𝟖𝟕 𝒄𝒎𝟐 2. Determine el área total de un prisma rectangular con dimensiones 𝒉 = 𝟗 𝒄𝒎, de la base 𝓵 = 𝟓 𝒄𝒎 y 𝒂 = 𝟑. Como es un prisma rectangular, calculamos el área lateral de la siguiente manera: Cara frontal y posterior 𝐴 = ℓ ∙ 𝑎 𝐴 = 9 ∙ 5 𝐴 = 45 𝐴 = 45 ∙ 2 (dos caras) 𝐴 = 90 Caras de costado 𝐴 = ℓ ∙ 𝑎 𝐴 = 9 ∙ 3 𝐴 = 18 𝐴 = 18 ∙ 2 (dos caras) 𝐴 = 36 𝐴" = 90 + 36 𝐴" = 126 𝑐𝑚$ Calculamos el área basal: 𝐴% = 2 ∙ ℓ ∙ 𝑎 𝐴% = 2 ∙ 5 ∙ 3 𝐴% = 30 𝑐𝑚$ 𝐴! = 𝐴" + 𝐴% 𝐴! = 126 + 30 𝑨𝑻 = 𝟏𝟓𝟔 𝒄𝒎𝟐
- 6. Pirámide Es un sólido geométrico en el cual una de sus caras es un polígono cualquiera llamado base y las otras son triángulos que tienen un vértice o cúspide de la pirámide. Elementos de un pirámide: • Caras: cada uno de los polígonos que conforman la pirámide. • Base: es la cara en que se apoya la pirámide. • Aristas: son los lados de las caras, dos caras tienen una arista en común. • Vértices: son los puntos en donde coinciden tres caras. • Cúspide o ápice: es el punto donde se unen las aristas laterales, también conocido como vértice de la pirámide. • Altura: es la distancia que hay entre la base y la cúspide de la pirámide. • Apotema: es la altura de la cara lateral (triángulo isósceles). Las pirámides se nombran de acuerdo al polígono de la base del prisma. Por ejemplo: Base Nombre Triángulo Pirámide triangular Rectángulo Pirámide rectangular Cuadrado Pirámide cuadrangular Pentágono Pirámide pentagonal Hexágono Pirámide hexagonal
- 7. Las pirámides se clasifican en regulares (la base es un polígono regular y las aristas laterales son congruentes) y no regulares (la base no es un polígono regular o las aristas laterales no son congruentes). Fórmulas para pirámide regular Teorema de Pitágoras ℎ$ = 𝑐$ + 𝑐$ Área lateral: 𝐴" = 𝑏 ∙ ℎ 2 Área basal: 𝐴% = Área del polígono regular de la base. Área total: 𝐴! = 𝐴" + 𝐴% Ejemplo Halle el área total de una pirámide triangular recta con aristas laterales de 6 cm y con base un triángulo equilátero de 4 cm de lado. Para calcular el área lateral, primero determinamos la apotema de la pirámide por medio de la formula Pitágoras: ℎ$ = 𝑐$ + 𝑐$ 6$ = 𝑎( $ + 2$ 36 − 4 = 𝑎( $ √32 = 𝑎( 4√2 = 𝑎(
- 8. Segundo, determinamos el perímetro de una cara lateral: 𝐴 = 𝑏 ∙ ℎ 2 = 4 ∙ 4√2 2 = 8√2 Son tres las caras laterales de una pirámide: 𝐴" = 3 ∙ 8√2 𝐴" = 24√2 Determinamos el área basal, cuya base es un triángulo equilátero: 𝐴% = ℓ$ ∙ √3 4 = 4$ ∙ √3 4 = 4√3 Por último, determinamos el área total de la pirámide triangular: 𝐴! = 𝐴" + 𝐴% 𝐴! = 24√2 + 4√3 𝑨𝑻 ≈ 𝟒𝟎, 𝟖𝟕𝒄𝒎𝟐 Cilindro A la porción de espacio limitada por la superficie engendrada por el giro de un segmento de recta alrededor de un eje y dos planos perpendiculares al eje que contienen los extremos del segmento, se llama cilindro circular recto o cilindro de revolución. Elementos de un cilindro:
- 9. La estructura del cilindro consiste en dos círculos y un rectángulo. Fórmulas para el cilindro circular recto Área lateral: 𝐴" = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟 ∙ ℎ Área basal: 𝐴% = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟$ Área total: 𝐴! = 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟 ∙ ℎ + 2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟$ Ejemplos 1. Determine el área lateral, área basal y área total de una lata cuyo radio mide 8 cm y su altura mide 13 cm. 𝐴" = 2𝜋𝑟ℎ 𝐴" = 2𝜋 ∙ 8 ∙ 13 𝐴" = 208𝜋 𝐴% = 2𝜋𝑟$ 𝐴% = 2𝜋 ∙ 8$ 𝐴% = 128𝜋 𝐴! = 𝐴" + 𝐴% 𝐴! = 208𝜋 + 128𝜋 𝑨𝑻 = 𝟑𝟑𝟔𝝅 𝒄𝒎𝟐 2. Halle el área total de un cilindro circular recto de 31 cm de altura y 10 cm de diámetro. 𝒓 = 𝒅 𝟐 → 𝒓 = 𝟏𝟎 𝟐 → 𝒓 = 𝟓 𝐴! = 2𝜋𝑟ℎ + 2𝜋𝑟$ 𝐴! = 2𝜋 ∙ 5 ∙ 31 + 2𝜋 ∙ 5$ 𝐴! = 310𝜋 + 50𝜋 𝑨𝑻 = 𝟑𝟔𝟎𝝅 𝒄𝒎𝟐
- 10. Cono La porción de espacio limitado por una superficie cónica circular y de un plano perpendicular al eje, se llama cono circular recto o cono de revolución. Elementos de un cono: • Eje: es el cateto fijo alrededor del cual gira el triángulo rectángulo. • Generatriz: es la distancia del vértice a un punto de la circunferencia. • Base: es el circulo que se forma con la rotación del otro cateto. Corresponde a la cara plana. • Altura: es la distancia del vértice al centro de la base en forma perpendicular. • Superficie lateral: corresponde a la superficie del sector circular.
- 11. Fórmulas para el cono circular recto Teorema de Pitágoras 𝑔$ = 𝑐$ + 𝑐$ Área lateral: 𝐴" = 𝜋 ∙ 𝑟 ∙ 𝑔 Área basal: 𝐴% = 𝜋 ∙ 𝑟$ Área total: 𝐴! = 𝐴" + 𝐴% Ejemplos 1. Un cono tiene una altura de 4 cm y 3 cm de radio. Calcule la medida de su generatriz. Utilizando el Teorema de Pitágoras: 𝑔$ = 𝑐$ + 𝑐$ 𝑔$ = 4$ + 3$ 𝑔$ = 25 𝑔 = √25 𝒈 = 𝟓 𝒄𝒎 2. Un cono circular recto posee 16 cm de diámetro de la base y su altura mide 25 cm. Calcule el área total. Encontramos la medida de la generatriz: 𝑔$ = 25$ + 8$ 𝑔 = √689 Determinamos el área lateral: 𝐴" = 𝜋 ∙ 𝑟 ∙ 𝑔 𝐴" = 𝜋 ∙ 8 ∙ √689 𝐴" ≈ 659,70 Determinamos el área basal: 𝐴% = 𝜋 ∙ 𝑟$ 𝐴% = 𝜋 ∙ 8$ 𝐴% ≈ 201,06 Determinamos el área total: 𝐴! ≈ 659,70 + 201,06 𝑨𝑻 ≈ 𝟖𝟔𝟎, 𝟕𝟔 𝒄𝒎𝟐
- 12. Esfera El conjunto de todos los puntos del espacio cuya distancia a un punto fijo O es un número real r, se llama superficie esférica de centro O y radio r. Elementos de un cono: Fórmulas para la esfera Área 𝐴 = 4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟$ Ejemplos 1. Determine el radio de una esfera cuya área corresponde a 𝟏𝟐𝟎𝝅 𝒄𝒎𝟐 . 𝐴 = 4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟$ 120𝜋 = 4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟$ 120𝜋 4𝜋 = 𝑟$ 30 = 𝑟$ √𝟑𝟎 𝒄𝒎 = 𝒓 2. Determine el área del planeta Tierra considerándolo esférico, si el radio es aproximadamente 6 370 km. 𝐴 = 4 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟$ 𝐴 = 4 ∙ 𝜋 ∙ 6370$ 𝐴 = 4 ∙ 𝜋 ∙ 6370$ 𝑨 = 𝟏𝟔𝟐 𝟑𝟎𝟕 𝟔𝟎𝟎𝝅 𝒌𝒎𝟐
- 13. Referencias bibliográficas Cambronero, F. (2017). Matemática 10. Un enfoque práctico. Jiménez, R. (2006). Geometría y Trigonometría. Publicaciones Porras y Gamboa. (2015). Matemática 10. Publicaciones Porras y Gamboa. (2015). Matemática 11. Rojas, C. (2017). Geometría para diseño gráfico. https://issuu.com/am12211049/docs/geometria_para_disen_o_grafico_carl os_javier_rojas