7. Pensamiento Estadístico

Pensamiento Estadístico y
Tecnologías Computacionales

Pensamiento Estadístico y
Tecnologías Computacionales

PROYECTO

Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo
de Matemáticas de la Educación Básica Secundaria y
Media de Colombia

Ministerio de Educación Nacional
Dirección de Calidad de la Educación Preescolar, Básica y Media.

PROYECTO

Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo de
Matemáticas de la Educación Básica Secundaria
y Media de Colombia

LUIS MORENO ARMELLA
ANA CELIA CASTIBLANCO PAIBA
Asesor Internacional
Coordinadora General del Proyecto
CINVESTAV – IPN, México

EDITOR

Ministerio de Educación Nacional
Dirección de Calidad de la Educación Preescolar, Básica y Media.

Elaborado por:

ANA CELIA CASTIBLANCO PAIBA.
Ministerio de Educación Nacional.
HENRY URQUINA LLANOS.
Ministerio de Educación Nacional.
MARTHA BONILLA E.
Profesora Universidad Distrital Francisco José de Caldas.
JAIME H. ROMERO C.
Profesora Universidad Distrital Francisco José de Caldas.

Con la colaboración de:

EDWIN CARRANZA.
Instituto Pedagógico Nacional.
HUGO MARTÍN CUELLAR GARCÍA
Instituto Técnico Industrial de Tocancipá.

Diseño, Diagramación, Preprensa digital, Impresión y terminados:
ENLACE EDITORES LTDA.

Primera edición: 1.500 ejemplares

ISBN: 958 - 97413 - 2 - 0

Prohibida su reproducción total o parcial sin autorización escrita del
Ministerio de Educación Nacional - MEN
Derechos reservados

DISTRIBUCIÓN GRATUITA - PROHIBIDA SU VENTA

Impreso en Colombia

Bogotá, D.C., Colombia
Abril 2004

INSTITUCIONES PARTICIPANTES

La implementación nacional del proyecto “Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currículo
de Matemáticas de la Educación Básica Secundaria y Media de Colombia”, y la construcción
del presente documento ha sido posible gracias a la participación de las siguientes instituciones
educativas que hacen parte integral de la red consolidada en este proceso.

UNIVERSIDADES

Universidad de Antioquia
Facultad de Educación.
Gilberto Obando Zapata. Coordinador Departamento de Antioquia.

Universidad del Norte
Departamento de Matemáticas.
Margarita Viñas de La Hoz. Coordinadora Departamento del Atlántico.

Universidad Distrital “Francisco José de Caldas”
Facultad de Ciencias y Educación.
Martha Bonilla Estévez. Coordinadora Departamento de Cundinamarca y Bogotá D.C.
Jaime Romero Cruz. Coordinador Departamento de Cundinamarca y Bogotá D.C.

Universidad Pedagógica Nacional
Facultad de Ciencia y Tecnología. Departamento de Matemáticas.
Leonor Camargo Uribe. Coordinadora Bogotá D.C.

Universidad Pedagógica y Tecnológica de Colombia
Facultad de Ciencias.
José Manuel Holguín. Coordinador Departamento de Boyacá.

Universidad de la Amazonía
Facultad de Ciencias de la Educación. Programa Lic. Matemáticas y Física.
Javier Martínez Plazas. Coordinador Departamento del Caquetá.

Universidad Popular del Cesar
Facultad de Educación. Departamento de Matemáticas.
Álvaro de Jesús Solano, Coordinador Departamento del Cesar.

Universidad de Caldas
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales.
Carlos Barco Gómez. Coordinador Departamento de Caldas.

XI

Universidad del Cauca
Yenny Rosero Rosero. Coordinadora Departamento del Cauca.
Alba Lorena Silva Silva. Coordinadora Departamento del Cauca.

Universidad de la Guajira
Facultad de Ciencias Básicas.
Ramón Bertel Palencia. Coordinador Departamento de la Guajira.

Universidad de los Llanos
Ivonne Amparo Londoño Agudelo. Coordinadora Departamento del Meta.

Universidad del Magdalena
Pablo Gonzáles. Coordinador Departamento del Magdalena.
Jesús Tinoco. Coordinador Departamento del Magdalena.

Universidad de Nariño
Oscar Fernando Soto. Coordinador Departamento de Nariño.
Oscar Alberto Narváez Guerrero. Coordinador Departamento de Nariño.

Universidad “Francisco de Paula Santander”
Facultad de Ciencias Básicas.
Paulina Gómez Agudelo. Coordinadora Departamento Norte de Santander.
Carlos Díaz. Coordinador Departamento Norte de Santander.

Universidad del Quindío
Julián Marín Gonzáles. Coordinador Departamento del Quindío.
Efraín Alberto Hoyos. Coordinador Departamento del Quindío.

Universidad Tecnológica de Pereira
Carlos Arturo Mora. Coordinador Departamento de Risaralda.

Universidad de Sucre
Félix Rozzo. Coordinador Departamento de Sucre.
Jesús Cepeda. Coordinador Departamento del Cesar.

Universidad Industrial de Santander
Facultad de Educación & Escuela de Matemáticas.
Jorge Enrique Fiallo Leal. Coordinador Departamento de Santander.

XII

Universidad Surcolombiana.
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales.
Gustavo Londoño Betancourt. Coordinador Departamento del Huila.
Jaime Polanía Perdomo. Coordinador Departamento del Huila.

Universidad del Tolima
Rubén Darío Guevara. Coordinador Departamento del Tolima.
Ivonne López. Coordinadora Departamento del Tolima.

Universidad del Valle
Instituto De Educación y Pedagogía.
Diego Garzón. Coordinador Departamento del Valle.
Octavio Augusto Pabón. Coordinador Departamento del Valle.

Universidad Nacional de Colombia.
Departamento de Matemáticas y Estadística.
Miryam Acevedo de Manrique. Coordinadora Departamento del Amazonas.

Universidad de Córdoba
Jhon Jairo Puerta. Coordinador Departamento de Córdoba.

Escuela Colombiana de Ingeniería Julio Garavito
Dirección de Ciencias Básicas.
Ernesto Acosta Gempeler

SECRETARÍAS DE EDUCACIÓN

Secretaría de Educación Departamento del Atlántico
Yolima Fernández Felízzola. Coordinadora Departamento del Atlántico.

Secretaría de Educación Departamento del Putumayo
Edgar Gilberto Palacios. Coordinador Departamento del Putumayo.

Secretaría de Educación Departamento del Huila
Rafael Blanco Fernández. Coordinador Departamento del Huila.

INSTITUCIONES EDUCATIVAS DE BÁSICA Y MEDIA

Departamento de Antioquia
Colegio Santa Teresa. Medellín.
Normal Superior. Envigado.
Liceo Comercial Pedro Luis Álvarez. Caldas.
Normal Superior María Auxiliadora. Copacabana.

XIII

Normal Superior Pedro Berrío. Santa Rosas de Osos.
Instituto Técnico Industrial Simona Duque. Marinilla.
Liceo Fé y Alegría la Cima. Medellín.
Instituto Técnico Industrial Jorge Eliécer Gaitán. Carmen de Viboral.

Departamento del Atlántico
Escuela Normal Superior Nuestra Señora de Fátima. Sabanagrande.
Instituto Pestalozzi. Barranquilla.
Normal Superior Santa Ana. Baranoa.
Normal Superior la Hacienda. Barranquilla.
Escuela normal Superior de Manatí. Manatí.
Colegio de Bachillerato Técnico. Santo Tomás.
Colegio de Bachillerato Masculino. Sabanalarga.

Departamento de Amazonas
Internado Indígena Femenino María Auxiliadora. Nazareth. Corregimiento de Leticia.
INEM “José Eustasio Rivera”. Leticia.

Bogotá D.C
Centro Educativo Distrital Rodrigo Lara Bonilla. (J.T).
Colegio Distrital Heladia Mejía.
Instituto Pedagógico Nacional.
Colegio Distrital de Educación Básica y Media General Santander.
Unidad Básica Rafael Uribe Uribe (J.M).
Colegio Distrital Benjamín Herrera (J.M).
Colegio República de Costa Rica.

Departamento de Boyacá
Instituto Técnico Rafael Reyes. Duitama.
Instituto Integrado Nalzado Silvino Rodríguez. Tunja.
Colegio Nacional Sugamuxi. Sogamoso.
Normal Superior Santiago de Tunja. Tunja.
Normal Superior Sor. Josefa del Castillo y Guevara. Chiquinquirá.
Colegio Julius Sierber. Tunja.

Departamento de Caldas
Normal Superior de Caldas. Manizales.
Colegio la Asunción. Manizales.
Normal Superior María Escolástica. Salamina.
Instituto Nacional Los Fundadores. Riosucio.

Departamento del Cesar
Normal Superior María Inmaculada. Manaure.
Colegio Manuel Germán Cuello. Anexo a la Universidad Popular del Cesar. Valledupar.
Colegio Nacional Loperena. Valledupar.
Instituto Técnico Industrial Pedro Castro Monsalve. Valledupar
Instituto Técnico Industrial La Esperanza. Valledupar.

XIV

Departamento del Caquetá
Colegio Juan Bautista la Salle. Florencia.
Colegio Nacional La Salle. Florencia.
Escuela Normal Superior. Florencia.
Colegio Cervantes. Morelia.

Departamento del Cauca
Liceo Nacional Alejandro Humboldt. Popayán.
Instituto Técnico Industrial. Popayán.
INEM Francisco José de Caldas. Popayán.
Instituto Nacional Mixto. Piendamó.

Departamento de Córdoba
Normal Superior. Montería.
Normal Superior Lácidez A. Iriarte. Sahagún.
Colegio Marceliano Polo. Cereté.

Departamento de Cundinamarca
Instituto Técnico Industrial. Tocancipá.
Instituto Técnico Industrial Capellanía. Fúquene.
Instituto Técnico Industrial. Zipaquirá.
Colegio Departamental San Juan de Rioseco.
Normal Superior Nuestra Señora de la Encarnación. Pasca.

Departamento de la Guajira
Colegio Helión Pinedo Ríos. Riohacha.
Colegio Livio Reginaldo Fishioni. Riohacha.
Colegio La Divina Pastora Riohacha.
Colegio Santa Catalina de Sena. Maicao.
Normal Superior San Juan del Cesar.

Departamento del Huila
INEM Julián Motta Salas. Neiva.
Liceo Santa Librada. Neiva.
Normal Superior. Neiva.
Normal Superior. Gigante.

Departamento del Meta
Normal Superior María Auxiliadora. Granada.
Colegio Enrique Olaya Herrera. Puerto López.
INEM Luis López de Mesa. Villavicencio.
Unidad Educativa de Cabuyaro. Cabuyaro.

Departamento del Magdalena
Normal Superior San pedro Alejandrino. Santa Marta.
Colegio de Bachillerato de Bonda. Bonda.
Liceo Antonio Nariño. Santa Marta.
Normal de Señoritas. Santa Marta.

XV

Departamento de Nariño
INEM Mariano Ospina Rodríguez. Pasto.
Colegio Ciudad de Pasto. Pasto.
Liceo Central Femenino. Pasto.
Colegio San Bartolomé de la Florida. La Florida.
Colegio Nacional Sucre. Ipiales.
Normal Superior. Pasto.
Colegio María Goretti. Pasto.

Departamento de Norte de Santander
Colegio Nacional de Bachillerato. Cúcuta.
Colegio Departamental Integrado Once de Noviembre. Los Patios.
Colegio Femenino Departamental de Bachillerato. Cúcuta.
Colegio Departamental Carlos Pérez Escalante. Cúcuta.
Normal Superior María Auxiliadora. Cúcuta.

Departamento del Putumayo
Colegio Alvernia. Puerto Asís.
Colegio Nacional Pío XII. Mocoa.
Colegio Agropecuario Guillermo Valencia. Villagarzón.
Colegio Fray Bartolomé de Igualada. Sibundoy.

Departamento del Quindío
Instituto Técnico Industrial. Armenia.
Normal Superior. Armenia.
Colegio los Fundadores. Montenegro.
Institución Educativa Ciudadela Henry Marín Granada.Circasia.
Instituto Tebaida. La Tebaida.
Colegio Teresita Montes. Armenia.

Departamento de Risaralda
Instituto Técnico Superior. Pereira.
Normal Superior de Risaralda. Pereira.
Instituto Técnico Industrial Nacional. Santa Rosa.
Colegio Pablo Sexto. Dosquebradas.

Departamento de Sucre
Liceo Carmelo Percy Vergara. Corozal.
Colegio Antonio Lenis. Sincelejo.
Normal Superior de Corozal. Corozal.

Departamento de Santander
INEM Custodio García Rovira. Bucaramanga.
Centro educativo Las Américas. Bucaramanga.
Escuela Normal Superior. Bucaramanga.
Instituto Santa María Goretti. Bucaramanga.
Colegio Vicente Azuero. Floridablanca.
Colegio Nacional Universitario. Socorro.

XVI

Departamento del Tolima
Instituto Técnico Industrial Jorge Eliécer Gaitán Ayala. Líbano.
Colegio Nuestra Señora de las Mercedes. Icononzo.
Colegio Nacional San Simón. Ibagué.
Normal Superior. Ibagué.
INEM Manuel Murillo. Ibagué.
Colegio de Bachillerato Comercial Camila Molano. Venadillo.
Institución Educativa Santa Teresa de Jesús. Ibagué.

Departamento del Valle
Colegio Joaquín Caicedo y Cuero. Cali.
Normal Superior de Señoritas. Cali.
Colegio Manuel María Mallarino. Cali.
Colegio Mayor. Yumbo.
Instituto Técnico Industrial Humberto Raffo Rivera. Palmira.
Escuela Normal Superior Santiago de Cali. Cali.

XVII

AGRADECIMIENTOS

La Dirección de Calidad de la Educación Prees- procesos de desarrollo, innovación e inves-
colar, Básica y Media del Ministerio de Educa- tigación en el uso de Nuevas Tecnologías en
ción Nacional agradece de manera especial: la Educación Matemática.

A los niños y niñas colombianas de las A las Secretarías de Educación Departa-
diversas regiones que sustentados en su inte- mentales, Distritales y Municipales que
ligencia, talento y capacidad creativa vienen han asumido el liderazgo y gestión de los
aprovechando las posibilidades que brindan procesos de incorporación de nuevas tecno-
las nuevas tecnologías para aprender unas logías informáticas en sus territorios.
matemáticas con sentido para sus vidas y que
nos han permitido construir e implementar A los Consejos Directivos y rectores de las
situaciones y propuestas para el estudio de Instituciones educativas de básica y media
la estadística en el contexto escolar. que han hecho posible la generación de
condiciones para la implementación y soste-
A los Coordinadores del proyecto que han nibilidad del proyecto en sus instituciones.
dinamizado el trabajo a nivel regional permi-
tiendo la construcción de situaciones para A los padres de familia que consientes de la
el trabajo de aula en estadística con tecno- necesidad de aproximar a las nuevas gene-
logía. raciones en conocimientos y experiencias en
punta, han apoyado y contribuido a la incor-
A los maestros y maestras del país que han poración de nuevas tecnologías en la educa-
asumido el compromiso y reto de avanzar en ción matemática.
el diseño, implementación y evaluación de
las situaciones de aula sobre estadística con A los investigadores e innovadores que
tecnología. vienen aportando en la generación de cono-
cimiento y experiencias significativas sobre
A las Universidades que han asumido el lide- el uso de nuevas tecnologías en la educación
razgo regional y el acompañamiento a los matemática.

XIX

CONTENIDO

INSTITUCIONES PARTICIPANTES. ..................................................................................................... XI
AGRADECIMIENTOS. ................................................................................................................... XIX
CONTENIDO. .............................................................................................................................. XXI
PRESENTACIÓN. ....................................................................................................................... XXIII
INTRODUCCIÓN. ........................................................................................................................ XXV

CAPÍTULO 1
UNA PERSPECTIVA HISTÓRICA DE LA ESTADÍSTICA. ..........................................................................1

CAPÍTULO 2
LA ESTADÍSTICA EN EL CURRÍCULO DE MATEMÁTICAS DE LA EDUCACIÓN BÁSICA
Y MEDIA DE COLOMBIA. ..................................................................................................................7
2.1 El Movimiento Internacional de transformación y reforma de la Educación
Matemática. .........................................................................................................................7
2.2 La Renovación Curricular de Matemáticas en Colombia: impulso al estudio
de los sistemas de datos.......................................................................................................7
2.3. Desarrollo del Pensamiento Aleatorio: uno de los Lineamientos Básicos
en el Currículo de Matemática de Colombia. ......................................................................9

CAPÍTULO 3
LA ESTADÍSTICA Y EL ANÁLISIS DE DATOS EN EL CONTEXTO ESCOLAR. ..........................................11
3.1 El currículo escolar vigente. .......................................................................................11
3.2 Opciones de transformación curricular . ....................................................................12
3.3 La propuesta curricular sugerida: El análisis exploratorio de datos
y la modelización.. ............................................................................................................14
3.3.1 La lectura crítica. ...........................................................................................14
3.3.2 El uso de diferentes sistemas de representación.. ..........................................14
3.3.3 Las regularidades y las variaciones. .............................................................15

CAPÍTULO 4
POTENCIAL PEDAGÓGICO Y DIDÁCTICO DE LAS TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES
EN EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO ESTADÍSTICO. ....................................................................17
4.1 La mediación instrumental con estas tecnologías. ......................................................18
4.2 La acción del profesor. ...............................................................................................18
4.2.1 Respecto del conocimiento, la apuesta es por la resolución de problemas. .19
4.2.2 Potenciar la Comunicación. ..........................................................................19
4.2.3 Del conocimiento estadístico propuesto. .......................................................19

XXI

PENSAMIENTO ESTADÍSTICO Y TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES

CAPÍTULO 5
ALGUNAS ACTIVIDADES QUE PROMUEVEN EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO ESTADÍSTICO
CON TECNOLOGÍA. .........................................................................................................................21
5.1 Actividades que promueven la amplificación curricular. ...........................................21
5.1.1.Superación de deficiencias de cálculo o de graficación. ...............................21
5.1.1.1 Peso Pesado. ...............................................................................................21
5.1.1.2 Temas Complementarios al Peso Pesado. ...................................................22
5.1.1.3 Datos Agrupados.........................................................................................24
5.1.2 Uso de Ciertas Técnicas de Modelación, sin requerir la comprensión
de los aspectos matemáticos complejos que involucra. ..........................................28
5.1.2.1 Área de un Triángulo ..................................................................................28
5.1.2.2 Planetas del Sistema Solar. .........................................................................32
5.1.2.3 Crecimiento de Ratas ..................................................................................33
5.2 Actividades que promueven aproximaciones a re-organizaciones curricular . ...........35
5.2.1 Introduciendo el análisis de datos. . ..............................................................35
5.2.1.1 ¿Qué es Estudiar?. ......................................................................................35
5.2.1.2 ¿El Mejor Avión?. .......................................................................................36
5.2.1.3 ¿Cuál Bombillo?. ........................................................................................38
5.2.2 Actividades en las que se promueve el uso de las representaciones
como medios de validación de las decisiones tomadas. .........................................38
5.2.2.1 ¿Qué tan alto?. ............................................................................................38
5.2.2.2 Temas complementarios a ¿Qué tan Alto?..................................................40
5.2.3. Actividades en las que se incorporan herramientas conceptuales al
alcance de los alumnos que les sirven para dar sentido a conceptos
stadísticos que de otro modo serían muy difíciles. .................................................43
5.2.3.1 Regresión Lineal .........................................................................................43
5.2.4. Actividades que promueven nuevas formas de evaluación, basada en la
interrelación de representaciones. ..........................................................................45
5.2.4.1 Haciendo Parejas. .......................................................................................45
5.2.4.2 Haciendo Ternas. ........................................................................................46
5.3 Actividades que promueven una re-organización cognitiva presentando nuevos
contenidos curriculares, o nuevos significados de un concepto. . .....................................47
5.3.1 La Mediana. ..................................................................................................47
5.3.2 Invente la Situación. .....................................................................................49
5.3.3 La Cuenta del Teléfono. ................................................................................49
5.4 Proyectos que promueven un trabajo integrado . ........................................................49
5.4.1 Licitación Pública. .........................................................................................49
5.4.2 El Mejor Avión. .............................................................................................51
5.5 Actividades con instrumentos que reorganizan el currículo.......................................51

BIBLIOGRAFIA. ...............................................................................................................................57
ANEXOS. ........................................................................................................................................59

XXII

PRESENTACIÓN

El Ministerio de Educación Nacional, compro- comprensión de lo que hacen, viene impulsando
metido con el mejoramiento de la calidad de la en el país una verdadera revolución educativa,
educación y respondiendo de manera efectiva a una oportunidad para acceder a la información
las necesidades, tendencias y retos actuales de la y al conocimiento universal y la transformación
educación matemática, viene adelantando desde de las escuelas desde las particularidades de las
el año 2000, la implementación del proyecto diferentes regiones que integran el país.
Incorporación de Nuevas Tecnologías al Currí-
culo de Matemáticas de la Educación Media Maestros más creativos y comprometidos con
de Colombia, con el cual se viene instaurando su ejercicio profesional; estudiantes activos e
una nueva cultura informática en el país apro- interactivos haciendo matemática y colocando
vechando el potencial formativo que brindan las en juego todo su talento en horarios de clase
tecnologías computacionales, específicamente y extra clase; comunidades educativas que en
los sistemas computacionales gráficos y alge- ejercicio de su autonomía se han cohesionado en
braicos. torno a la incorporación de tecnologías; articula-
ción entre los niveles educativos básico, medio
La columna vertebral del proyecto ha sido la y superior; en síntesis, una gama de opciones
formación permanente de los docentes, centrada alternativas que nos permite creer firmemente
en la reflexión sobre su propia práctica en el salón que la educación matemática será cada día de
de clase y en las posibilidades pedagógicas y mejor calidad.
didácticas del recurso tecnológico. La dinámica
lograda viene impulsando la conformación de Las reflexiones y propuestas sobre el estudio de
grupos de estudio regionales con profesores la estadística con mediación de nuevas tecno-
de matemáticas de la educación secundaria y logías computacionales gráficas y algebraicas
media, de las universidades y con profesionales
constituyen un aporte a la comunidad educa-
de las Secretarías de Educación, de manera tiva para fortalecer los procesos de formación
que se ha enriquecido la reflexión teórica y la
de docentes, especialmente en la construcción
experiencia práctica y se han creado condiciones
de ambientes de aprendizaje con tecnología, y
de sostenibilidad a largo plazo. en una herramienta de trabajo para promover la
discusión y construcción nacional sobre la dise-
Las posibilidades que brindan las tecnologías minación de la cultura informática en la educa-
computacionales (computadores y calculadoras ción matemática colombiana.
gráficas y algebraicas), como instrumentos
mediadores en el aprendizaje de los alumnos,
en la construcción de conocimientos y en la Los autores

XXIII

INTRODUCCIÓN

El texto que presentamos a continuación En el capítulo segundo, se reconoce el proceso
condensa algunas de las reflexiones que sobre el de incorporación de los sistemas de datos y del
desarrollo del pensamiento estadístico mediado pensamiento aleatorio en el currículo de mate-
por instrumentos tecnológicos, en particular máticas propuesto para la educación básica de
con el uso de la calculadora TI 92 Plus, hemos Colombia.
venido construyendo a los largo de estos años de
implementación del proyecto “Incorporación En el capítulo tercero, se presentan algunos de
de Nuevas Tecnologías al currículo de Matemá- los argumentos que sustentan la introducción en
ticas de la Educación Media de Colombia”. el currículo de matemáticas de la estadística y
el análisis de datos en el contexto escolar, en
Intenta producir en los lectores, sobre todo en un mundo que exige competencia en el reco-
los profesores, el interés por contribuir a que nocimiento y comprensión del azar, la incerti-
los temas estadísticos sean introducidos en las dumbre y el análisis de datos.
aulas de clase, de tal manera que se pueda incidir
en la formación de un ciudadano competente en En el capítulo cuarto, se reconoce el potencial
el tratamiento, análisis y uso de la cantidad de del uso de sistemas computacionales gráficos
información que hoy tenemos a disposición, y algebraicos y minitools, en la ampliación y
que es necesario comprender porque está escrita reorganización cognitiva y curricular a partir de
en un lenguaje gráfico, en tablas ó está presen- la resolución de problemas.
tada a través de medidas representativas de los
mismos. En el capítulo cinco, se presentan diversas acti-
vidades de aula construidas por los maestros
También es nuestro interés ilustrar cómo se en el proceso de implementación nacional del
pueden utilizar instrumentos tecnológicos, proyecto “Incorporación de Nuevas Tecno-
algunos de ellos especialmente diseñados para logías al Currículo de Matemáticas de la
el aprendizaje y la enseñanza, en el propósito de Educación Básica Secundaria y Media”, que
contribuir a la transformación de las prácticas promueven el desarrollo del pensamiento alea-
usuales de enseñanza arraigadas en nuestro torio con mediación de sistemas computacio-
sistema escolar. nales gráficos y algebraicos y minitools. Las
actividades presentadas se organizan en cinco
En el capítulo primero, se presenta una reseña grupos: las que promueven la amplificación
que ubica los momentos relevantes del origen curricular, las que promueven aproximaciones a
y consolidación de la estadística como saber y reorganizaciones curricular, las que promueven
disciplina científica. reorganización cognitiva presentando nuevos

XXV

contenidos curriculares o nuevos significados Los invitamos a aunar esfuerzos porque ésta sea
de un concepto, proyectos que promueven un un área de trabajo conjunto que en algunos años
trabajo integrado y actividades con instrumentos pueda ser incorporada de manera generalizada
que reorganizan el currículo. en los currículos de la educación básica y media
del país.

Los autores.

1 UNA PERSPECTIVA HISTÓRICA DE LA ESTADÍSTICA

Considerando que la perspectiva histórica posi- Desde los comienzos de la civilización han
bilita la ubicación del origen y la manera como existido formas sencillas de estadística, pues ya
se transforma cualquier saber o disciplina cien- se utilizaban representaciones gráficas y otros
tífica, en el presente capítulo, sin el ánimo de símbolos en pieles, rocas, palos de madera y
ser exhaustivos, se procura presentar una reseña paredes de cuevas para contar el número de
acerca de la manera como surgió y se fueron personas, animales o ciertas cosas (VALDEZ
transformando las ideas estadísticas hasta llegar F., 1998).
a constituirse en la disciplina científica actual.
Hacia el año 3000 a.C. los babilonios ya reco-
El surgimiento y consolidación de la estadística, pilaban datos que pueden considerarse como
como campo de conocimiento técnico, tecnoló- estadísticos. En la biblioteca de Nínive se
gico y científico, ha sido inherente a la organi- guardan tablillas de arcilla cocida de 25 por 16
zación y transformación de la sociedad humana. cm. con inscripciones cuneiformes en los que
Desde épocas prehistóricas y en la antigüedad se condensan datos sobre la producción agrícola
clásica, la necesidad social de dar cuenta de lo y los artículos vendidos o cambiados mediante
que se hace y se tiene, impulsó la generación trueque. En el antiguo Egipto, mucho antes de
de registros de información que gradualmente construir las pirámides hacia el año 3100 a.C.,
alcanzaron un grado de sofisticación y desa- los faraones lograron recopilar minuciosos
rrollo que dieron origen a métodos y técnicas datos relativos a la población y la riqueza del
para la obtención, la sistematización y análisis país con el objetivo de preparar la construcción
de datos, que sentaron las bases de lo que cono- de estos magníficos monumentos. Los egipcios
cemos en la actualidad como estadística. llevaban cuenta de los movimientos poblacio-
nales y continuamente hacían censos. Tal era su
Según L. CHAO (1996), son diversos los voca- dedicación por llevar constantemente una rela-
blos que se citan como antecedentes del término ción de todo, que la diosa Safnkit era conside-
estadística. Buscando reseñar los de mayor rada como la diosa de los libros y las cuentas
mención, podemos indicar los siguientes: (VALDEZ F., 1998; PERERO, M. 1994).

• Status (latin), que significa situación, posi- En el Egipto de los faraones, hacia el año 3050
ción, estado. a.C, se tienen datos mucho más exactos: listas
de familias, de soldados, de casas, de jefes de
• Statera (griego), que sugiere decir balanza, familia y de profesiones. Existen documentos
ya que la estadística mide o pesa hechos. del siglo VI a.C que muestran que todo indi-
viduo tenía la obligación de declarar, cada año,
• Staat (alemán), que se refiere a Estado como bajo pena de muerte, su profesión y sus fuentes
expresión de unidad política superior. de ingresos. De acuerdo al historiador griego

1


Heródoto, dicho registro de riqueza y población población y sus funcionarios públicos tenían la
se hizo con el objetivo de preparar la construc- obligación de anotar nacimientos, defunciones
ción de las pirámides. En el mismo Egipto, y matrimonios, sin olvidar los recuentos perió-
Ramsés II hizo un censo de las tierras con el dicos del ganado y de las riquezas contenidas en
objeto de verificar un nuevo reparto (PERERO, las tierras conquistadas (PERERO; VALDEZ;
M. 1994). CHAO; MARTE).

En el antiguo Israel, la Biblia da referencias, En esta reseña histórica, se destaca que el
en el libro de los Números y Crónicas, de los Imperio romano fue el primer gobierno que
datos estadísticos obtenidos en dos recuentos recopiló una gran cantidad de datos sobre
de la población hebrea. El rey David por otra la población, superficie y renta de todos los
parte, ordenó a Joab, general del ejército hacer territorios bajo su control. Cayo Julio César
un censo de Israel con la finalidad de conocer Octavio Augusto (63 a.C. – 14 d.C), primer
el número de la población (La Biblia, 1960). emperador de Roma (27 a.C. – 14 d.C), decretó
que todos los súbditos tenían que tributar y
En china, Confucio, en su libro “Shu-King” por tanto exigió a todas las personas que se
escrito hacia el año 550 a.C., narra como un rey presentaran al estadístico más cercano que era
llamado Yao, unos 3000 años a.C, hizo levantar entonces el recaudador de impuestos. Todo
un recuento agrícola, industrial y comercial del ciudadano debía declarar su fortuna, edad,
país (L. CHAO, 1996). nombre de la esposa, hijos, etc.; al final del
censo se realizaba una ceremonia religiosa, el
En la India se publicó, en el siglo IV a.C., un “lustrum conditum” (de donde vienen nuestra
verdadero tratado de ciencia política y econó- palabra lustro para indicar un término de cinco
mica : el Arthasàstra (de sàstra, ciencia y años (VALDEZ; CHAO; PERERO). Especial
artha, ganancia): su autor, Kautiya, hace suge- mención ameritan los estudios Renta Vitalicia,
rencias a su rey para aumentar su poder y su los cuales suponen el cálculo de la vida media
riqueza y recomienda un gobierno centralizado a distintas edades, y los documentos sobre los
que dirija y controle todo lo relacionado con el itinerarios en los que describen las distancias
reino (PERERO, 1994). entre las diversas localidades y el desarrollo de
las vías de comunicación.
En Grecia fueron famosos los métodos usados
por Jerjes para contar a sus soldados: los hacía En el continente americano, los incas desarro-
pasar a un recinto donde cabían 10.0000 soldados llaron un sistema de estadística muy perfec-
muy apretados. También se sabe que en el año cionado; todos los datos relacionados con las
310 a.C., un censo efectuado bajo el reinado actividades económicas y demográficas se
de Demetrio dio una población de 120.000 conservaban en los “quipus”, unas cuerdas
personas libres y 400.000 esclavos. Durante el gruesas de las cuales colgaban varios hilos de
apogeo de su cultura clásica realizaron censos distintos colores según el objeto que represen-
para calcular los impuestos, determinar los dere- taban, amarillos para las piezas de oro, rojo para
chos de voto y ponderar la potencia guerrera. los soldados, blanco para las construcciones,
Grandes hombres como Sócrates, Herodoto y etc. En los hilos se hacían nudos indicaban
Aristóteles incentivaron, a través de sus escritos, unidades, más arriba las decenas, centenas, así
la estadística por su importancia para el Estado. hasta las 10.000 unidades. El uso de los quipus
Cada cinco años realizaban un censo de la estaba reservado a los iniciados y todavía hoy

2

UNA PERSPECTIVA HISTÓRICA DE LA ESTADÍSTICA

no se han aclarado todas sus características esperar. El trabajo de Graunt, condensado en
(PERERO, 1994). su obra Natural and Political Observations...
Made upon the Bills of Mortality (Observa-
Durante los mil años siguientes a la caída del ciones Políticas y Naturales...) Hechas a partir
imperio romano se realizaron muy pocas opera- de las Cuentas de Mortalidad), fue un esfuerzo
ciones estadísticas con la excepción de las rela- innovador en el análisis estadístico (MARTE,
ciones de tierras pertenecientes a la Iglesia, Y. A.).
compiladas por Pipino el Breve en el 758 d.C.
y por Carlomagno en el 762 d.C. La Iglesia, La Estadística da un salto cualitativo a mediados
después del Concilio de Trento, viendo la impor- del siglo XVII. Por un lado, los datos estadís-
tancia de la estadística, estableció la obligación ticos empiezan a ser utilizados por los bancos
de la inscripción de nacimientos, matrimonios y y por las nacientes compañías de seguros; por
defunciones (MARTE, Y. A.). otro lado, se inventa en Inglaterra el concepto
de “aritmética política” y se empiezan a
En el siglo IX, se destaca en Francia la reali- “matematizar” otras disciplinas que eran, hasta
zación de algunos censos parciales de siervos. entonces, puramente descriptivas, tales como la
De igual manera, Guillermo el conquistador demografía, la economía y las ciencias sociales,
(1027- 1087), rey de Inglaterra (1066-1087) en que a su vez se transforman al contacto con la
el año 1086 ordenó un censo de las tierras de matemática. (PERERO, 1994).
Inglaterra con fines de tributación y del servicio
militar, que fue consolidado en el Documento La escuela de los “aritméticos políticos” tuvo
Domesday Book (Libro del Catastro) (CHAO, como propósito fijar en números aquellos
1996). fenómenos sociales y políticos buscados por
los empíricos. Tienen como hecho meritorio sus
La estadística progresa notoriamente a partir creadores, el intento de buscar leyes cuantitativas
del siglo XVI junto con las monarquías abso- que regularan los comportamientos sociales.
lutas y su poderosa estructura administrativa Uno de sus miembros fue Graunt (1620 – 1674),
centralizada. También empiezan a aparecer las quien realizó investigaciones estadísticas
primeras obras de estadística que son más bien sobe población y por ello se le señala como el
descriptivas; una de las más influyentes fue la iniciador de la tendencia conocida con el nombre
de Jean Bodin en Francia (1530 – 1595), que de estadística investigadora, la cual se oponía a
explica la importancia de los censos. la postura universitaria alemana que se conoce
con el nombre de estadística descriptiva.
A finales del siglo XVI, durante el brote de peste
que apareció en Inglaterra, el gobierno comenzó El primer empleo de los datos estadísticos para
a publicar estadísticas semanales de los decesos. fines ajenos a la política tuvo lugar en 1691 a
Esa costumbre continuó y en 1632 estas Bills cargo del profesor alemán Gaspar Neumann,
of Mortality (Cuentas de Mortalidad) conte- quien se propuso destruir la antigua creencia
nían los nacimientos y fallecimientos discrimi- popular de que en los años terminados en siete
nados por sexo. En 1662 el capitán John Graunt moría más gente que en los restantes y para
usó estos documentos y efectuó predicciones lograrlo hurgó pacientemente en los archivos
sobre el número de personas que morirían por parroquiales de su ciudad. Después de revisar
enfermedades y sobre las proporciones de naci- miles de partidas de defunción pudo demostrar
mientos de varones y mujeres que se podían que en tales años no fallecían más personas que

3


en los demás. Los procedimientos de Neumann Cournout (1801 – 1877), tendiente a integrar las
fueron conocidos por el astrónomo inglés leyes de la teoría de la probabilidad al análisis
Edmund Halley, descubridor del cometa que estadístico; esto le dio prestancia a la estadística
lleva su nombre, quien los aplicó al estudio de al tiempo que la dotó de un rigorismo hasta
la vida humana. Sus cálculos sirvieron de base ese momento ausente en sus procedimientos
para las tablas de mortalidad que hoy en día (CHAO, 1996).
utilizan las compañías de seguros.
Un hecho que contribuyó más al desarrollo de la
Como se puede observar, en Alemania comenzó que pudiésemos llamar estadística moderna, es
a tomar fuerza una disciplina orientada a la el de la aparición de la distribución normal. La
descripción de las cosas notables del Estado, ecuación de la curva asociada a esta distribución
esta disciplina gozaba de una sistematización fue publicada por vez primera en 1733 por
orgánica y respondía a principios doctrinales. De Moivre, pero debido a su incapacidad
Ajustada a esta estructura, Hermann Conring para aplicar sus resultados a observaciones
(1719-1772), entra a considerarla como disci- experimentales su trabajo permaneció inédito
plina independiente y la introduce como una hasta cuando Karl Pearson lo encontró en una
asignatura universitaria con el nombre de biblioteca en 1924. Sin embargo Laplace (1749
Estadística encargada de la descripción de las – 1827) y Gauss (1777 – 1855), obtuvieron
cosas del Estado. Paralela y Contemporánea- cada uno por su lado el mismo resultado que
mente en Francia se desarrolla la escuela proba- había conseguido De Moivre.
bilística.
En el siglo XIX, con la generalización del
La escuela probabilística, conocida también método científico para estudiar todos los fenó-
como enciclopedicotemática, basó su desarrollo menos de las ciencias naturales y sociales, los
en el empleo de la matemática particularizada investigadores aceptaron la necesidad de reducir
en el cálculo de probabilidades como instru- la información a valores numéricos para evitar
mento de investigación. El cálculo de probabi- la ambigüedad de las descripciones verbales.
lidades nace con Blas Pascal (1623 – 1662) y
Pierre de Fermat (1601 – 1665), al tratar de dar En el período de 1800 a 1820 se desarrollaron
soluciones a problemas relacionados con juegos dos conceptos matemáticos fundamentales para
de azar propuestos por Antonio Gambaud, más la teoría estadística: la teoría de los errores de
conocido con el título nobiliario de Caballero observación, aportada por Laplace y Gauss y la
de Meré. A partir de Pascal fueron muchos los teoría de los mínimos cuadrados desarrollada
matemáticos insignes que al apoyarse en la por Laplace, Gauss y Legendre.
teoría de las probabilidades formularon la teoría
estadística y su aplicación práctica. Entre los contemporáneos de Quetelet y Gauss
que contribuyeron al avance de la estadística
Adolph Quetelet (1796 – 1874), fue el primero como ciencia estaban Florence Nightingale
en aplicar métodos modernos al estudio de un (1820 – 1901) y Francis Galton (1822 - 1911).
conjunto de datos. A Quetelet se le reconoce Nightingale afirmaba que los políticos y legis-
como el padre de la estadística moderna por ladores fracasaban a menudo porque sus cono-
su persistencia en recalcar la importancia de cimientos estadísticos eran deficientes. Galton,
aplicar métodos estadísticos. En este punto es como su primo Charles Darwin se dedicó al
justo reconocer la labor desarrollada por Antonio estudio de la herencia, a la cual aplicó métodos

4

UNA PERSPECTIVA HISTÓRICA DE LA ESTADÍSTICA

estadísticos. Entre sus aportes más importantes Finalmente, resulta pertinente destacar a
se cuenta el desarrollo de métodos básicos como Abraham Wald (1902 – 1950), quien en sus
la regresión y la correlación. libros Sequential Análisis y Statistical Deci-
sión Functions, presenta conquistas estadísticas
La obra de Galton estimuló a Karl Pearson (1857 orientadas en el campo de la genética.
– 1936) para que profundizara en sus investiga-
ciones y fundó así el periodo Biométrica, que En el último siglo la estadística se ha desarro-
ha influido profundamente en el desarrollo de la llado vertiginosamente, debido principalmente,
estadística. Muchos métodos que forman parte al poder determinante que para el desarrollo
del glosario del análisis estadístico son obra de económico, científico y cultural de los pueblos,
Pearson. Su obra cumbre es la creación de la representa el manejo adecuado de la informa-
distribución ji cuadrado. ción. La estadística ha cambiado sus métodos,
sus conceptos se han fortalecido y ha alcanzado
Debido a que Pearson se ocupó fundamental- tal grado de perfeccionamiento y especializa-
mente de muestras grandes, la correspondiente ción que, podría decirse, no existe disciplina
teoría no se ajustaba para el estudio basado científica en la cual no se apliquen los métodos
en muestras pequeñas. Entre los experimenta- estadísticos como herramienta imprescindible
dores que vivían este problema estaba William para iniciar cualquiera investigación. Actual-
Gosset (1876 – 1937), quien estudiaba con mente y gracias a que en casi todo lo que realiza
Pearson. Gosset, quien escribía con el seudó- el ser humano existen elementos de incerti-
nimo de “Student”, dedujo la distribución t y dumbre y dado que el manejo adecuado de la
con ello solucionó el problema para el estudio información está relacionado directamente
de pequeñas muestras. con el problema de la toma decisiones en estas
condiciones, la estadística se ha convertido en
Ronald Fisher (1890 – 1962), recibió influencia un campo efectivo para describir con exactitud
de Kart Pearson y de Student, e hizo numerosas valores de datos económicos, políticos, sociales,
e importantes contribuciones a la estadística, psicológicos, biológicos y físicos, y sirve como
sobre todo en su aplicación para el estudio de herramienta para relacionar y analizar dichos
situaciones propias de la agricultura, biología datos. Todo lo que tiene que ver con la recolec-
y genética. A Fisher se debe el hallazgo de la ción, procesamiento, análisis e interpretación
conocida distribución F. de datos numéricos pertenece al dominio de la
estadística pero los procesos que desarrolla han
J. Neyman, 1894 y E. S. Pearson, 1895, presen- pasado de centrar su interés en la recolección de
taron una teoría sobre la verificación o prueba datos y su presentación en tablas y gráficas, a la
de hipótesis estadística, entre 1936 y 1938. La interpretación y análisis de dicha información.
teoría estimuló la investigación y fueron varios
los resultados de uso práctico.

5

2 LA ESTADÍSTICA EN EL CURRÍCULO DE MATEMÁTICAS
DE LA EDUCACIÓN BÁSICA Y MEDIA DE COLOMBIA

2.1 El Movimiento Internacional de Uno de los movimientos surgidos como
transformación y reforma de la respuesta inmediata a las deficiencias que el
Educación Matemática movimiento de las matemáticas modernas deja
en los estudiantes, es el conocido, como el
La década de los años 60 se caracterizó por un regreso a lo básico. Dicho movimiento, le daba
gran movimiento internacional en el campo de mucha importancia al manejo de las opera-
la educación matemática preocupado por actua- ciones fundamentales y procedimientos algo-
lizar y reorientar lo enseñado tradicionalmente rítmicos. Sin embargo, el regreso a lo básico
en las escuelas e incorporar ciertos temas de tampoco mejoró el aprovechamiento de los
la denominada matemática moderna o nueva; estudiantes, ya que cuando algunos estudiantes,
estos temas estaban relacionados con la teoría eran capaces de resolver operaciones, muchas
de conjuntos, grupos, anillos, cuerpos, vectores, veces no entendían el significado o sentido de
espacios vectoriales, matrices, álgebra de Boole las respuestas. Había casos en que el estudiante
y otros, que al no ser presentados de manera unifi- encontraba “la respuesta” a problemas cuyos
cada o coherente, hicieron que los programas datos no tenían sentido o eran insuficientes.
de matemáticas elaborados atendiendo estos
énfasis, aparecieran demasiado recargados,
difíciles y abstractos. Como consecuencia de 2.2 La Renovación Curricular de
esto “en los países donde se adoptaron estas Matemáticas en Colombia:
medidas de manera precipitada, el número de impulso al estudio de los sistemas
estudiantes de matemáticas de los dos últimos de datos.
años de la escuela secundaria descendió seria-
mente”. (F. Fehr, Howard y otros; 1971) En el caso colombiano, a mediados de la década
de los años 70’s, como manera de avanzar en
Durante la década de los años 70, en reacción la construcción de un currículo que respondiera
al movimiento de la matemática moderna y su a las necesidades del país, en el marco del
énfasis en el carácter abstracto y formal de la “Programa Nacional de Mejoramiento Cualita-
matemática escolar, surgen movimientos de tivo de la Educación” (MEN, 2002), que tuvo
vanguardia que reivindican una enseñanza más como objetivo general “mejorar cualitativa y
real, con problemas de contenido real y reivin- cuantitativamente la educación sistematizando
dican el papel de los problemas frente a lo ruti- el empleo y generación de tecnología educa-
nario de los ejercicios. Renuncian a los modelos tiva para ampliar las condiciones de acceso
tradicionales, entre los que incluyen las mate- a la educación en forma equitativa, a toda la
máticas modernas, y se aproximan cada vez población colombiana fundamentalmente de
más a postulados pedagógicos y psicológicos las zonas rurales”, se cimentó la renovación
que validen su modelo de enseñanza. curricular de matemáticas.

7


En el contexto de la estrategia de renovación Métricos, de datos, Lógicos, de Conjuntos,
curricular, teniendo como sustento los funda- operaciones y relaciones y analíticos.
mentos Generales del Currículo que integraron
aspectos legales, filosóficos, epistemológicos, Los sistemas de datos, se incorporan de manera
sociológicos, psicológicos y pedagógicos que explícita dentro de los contenidos básicos
permitieron proponer en la educación: la idea propuestos para la educación básica (1° a 9°),
de hombre que se pretendía hacer real; se sustentados en el reconocimiento de la impor-
concibió el conocimiento como proceso y tancia, necesidad y pertinencia social que tiene
conjunto de experiencias durante toda la vida, el accesos a una cultura estadística en el contexto
transferibles a otras situaciones y presentes escolar. A este respecto en términos generales
en diferentes contextos; los conocimientos proponen:
y verdades se consideraron como proyectos
que deben revisarse y corregirse permanente- • El estudio de algunos conceptos fundamen-
mente; el alumno como el centro del proceso tales de estadística que sirve para interpretar
y el maestro su orientador y animador (MEN, algunos modelos de la realidad.
1977); se construyó el marco general de la
propuesta de programa curricular de matemá- • Iniciar con la recolección de datos, su orga-
ticas (MEN, 1990). nización en tablas de frecuencia y su presen-
tación en diagramas.
En el Marco General del Programa de Matemá-
ticas para la educación Básica, se: • Realizar algún análisis de los datos recogidos
y tabulados mostrando lo que puede dedu-
• Parte del reconocimiento e importancia cirse de ellos y cómo pueden compararse
del estudio de los diferentes aspectos de entre sí.
las matemáticas como forma de contribuir
decididamente a la educación integral del • Estudiar al final de la educación básica
individuo. primaria algunas medidas de tendencia
central y
• Acoge el enfoque de sistemas, que contrasta
con el enfoque por conjuntos de la llamada • Complementar al final de la Básica Secun-
“Nueva matemática” o “Matemática daria las medidas de tendencia central y se
Moderna” (New Math”), con el enfoque introducen las medidas de dispersión.
por habilidades algorítmicas básicas de la
corriente de “Volver a lo básico” (“Back Como contenidos por grado para el estudio de
to Basics”), y con el enfoque de resolu- los sistemas de datos, se proponen:
ción de problemas (“Problem Solving
Approach”). Para grado 1°:
♦ Iniciación a gráficas de barras.
• Asume un sistema como un conjunto de
objetos con sus relaciones y operaciones. Para Grado 2°:
♦ Gráficas de barras.
• Plantean como sistemas (interrelacionados),
que articulan los contenidos para la educa- Para Grado 3°:
ción básica: Los numéricos, Geométricos, ♦ Recolección de datos.

8

LA ESTADÍSTICA EN EL CURRÍCULO DE MATEMÁTICAS DE LA EDUCACIÓN BÁSICA Y MEDIA DE COLOMBIA

♦ Tabulación y representación de datos. 2.3. Desarrollo del Pensamiento
Aleatorio: uno de los
Para Grado 4°: Lineamientos Básicos en el
♦ Recolección de datos. Currículo de Matemática de
♦ Tabulación y representación de datos. Colombia
♦ Iniciación al análisis de datos.
♦ Frecuencias, moda. Hacia el año 1996, en el proceso de construc-
ción de lineamientos curriculares reconociendo
Para grado 5°: los aportes, avances y logros de la renovación
♦ Noción de promedio en un conjunto pequeño curricular, se incorporan nuevos elementos
de datos. provenientes de las investigaciones en el campo
de la educación o didáctica de la matemática,
Para grado 6°: nuevos enfoques y tendencias para la orienta-
♦ Frecuencias absolutas. ción de la matemática en contextos escolares
♦ Frecuencias relativas (Porcentuales, fraccio- y las nuevas perspectivas sobre la matemática
narias). escolar y sus propósitos formativos. Esto llevó
♦ Diagramas de barra y circular. a la construcción participativa de los Linea-
♦ Frecuencias ordinarias o puntuales. mientos curriculares de matemáticas (MEN,
♦ Frecuencias acumuladas. 1997), en los cuales se enriquece la perspectiva
respecto a la naturaleza e importancia de contri-
Para grado 7°: buir al desarrollo del pensamiento aleatorio.
♦ Medidas de tendencia central: moda, media
Fundamentalmente en los lineamientos curricu-
y mediana.
lares, se plantea como propósito central de la
educación matemática de los niveles de básica y
Para grado 8°:
media contribuir al desarrollo del pensamiento
♦ Medición.
matemático a partir del trabajo con situaciones
♦ Muestreo Disposición y representación de
problemáticas provenientes del contexto socio-
datos.
cultural, de otras ciencias o de las mismas mate-
♦ Escala. máticas. Dentro de los pensamientos se hace
alusión directa al “Pensamiento aleatorio y los
Para grado 9°: sistemas de datos”.
♦ Medidas de dispersión.
Se parte de reconocer (MEN, 1998), que una
Como se puede observar, desde la renova- tendencia actual en los currículos de matemá-
ción curricular, en lo relativo a los sistemas de ticas es la de favorecer el desarrollo del pensa-
datos, se plantea un énfasis, desde el currículo miento aleatorio, el cual ha estado presente a lo
propuesto, en la fundamentación estadística y largo de este siglo, en la ciencia, en la cultura y
el análisis de datos. aún en la forma de pensar cotidiana.

Durante la década de los 80 y mediados de los Siguiendo las investigaciones de Shanghnessy
90, se continuó impulsando y desarrollando en (1985), en los lineamientos se asume que en las
el país la propuesta programática para el área de matemáticas escolares el desarrollo del pensa-
matemáticas de la renovación curricular. miento aleatorio mediante contenidos de la

9


probabilidad y la estadística debe estar imbuido crea la necesidad de un mayor uso del pensa-
de un espíritu de exploración y de investiga- miento inductivo al permitir, sobre un conjunto
ción por parte de los estudiantes y los docentes. de datos, proponer diferentes inferencias, las
Debe integrar la construcción de modelos de cuales a su vez van a tener diferentes posibi-
fenómenos físicos y del desarrollo de estrate- lidades de ser ciertas. Este carácter no deter-
gias como las de simulación de experimentos minista de la probabilidad hace necesario que
y de conteos. También han de estar presentes su enseñanza se aborde en contextos signifi-
la comparación y evaluación de diferentes cativos, en donde la presencia de problemas
formas de aproximación a los problemas con abiertos con cierta carga de indeterminación
el objeto de monitorear posibles concepciones permitan exponer argumentos estadísticos,
y representaciones erradas. De esta manera el encontrar diferentes interpretaciones y tomar
desarrollo del pensamiento aleatorio significa decisiones. “Explorar e interpretar los datos,
resolución de problemas. relacionarlos con otros, conjeturar, buscar
configuraciones cualitativas, tendencias, osci-
Se considera que la búsqueda de respuestas a laciones, tipos de crecimiento, buscar corre-
preguntas que sobre el mundo físico se hacen laciones, distinguir correlación de causalidad,
los niños es una actividad rica y llena de sentido calcular correlaciones y su significación, hacer
si se hace a través de recolección y análisis de inferencias cualitativas, diseños, pruebas de
datos. Decidir la pertinencia de la información hipótesis, reinterpretar los datos, criticarlos,
necesaria, la forma de recogerla, de representarla leer entre líneas, hacer simulaciones, saber que
y de interpretarla para obtener las respuestas hay riesgos en las decisiones basadas en infe-
lleva a nuevas hipótesis y a exploraciones muy rencias” son logros importantes en el aprendi-
enriquecedoras para los estudiantes. Estas acti- zaje de la estadística.
vidades permiten además encontrar relaciones
con otras áreas del currículo y poner en práctica Orienta respecto a que debe tenerse especial
conocimientos sobre los números, las medi- cuidado para que la enseñanza de conceptos, de
ciones, la estimación y estrategias de resolución métodos, de representaciones del mundo esta-
de problemas. dístico y probabilístico como camino hacia la
construcción de una teoría matemática no cause
Se precisa que cuando se habla de datos, es la pérdida de su carácter aleatorio.
importante una reflexión sobre su naturaleza.
Ellos no serían comprensibles sin considerar Plantea como otro de los lineamientos que los
que tienen un mínimo de estructura, el formato docentes, además de considerar situaciones de
y seguramente un orden, por ejemplo el estar aplicación real para introducir los conceptos
unos a continuación de otros, el orden alfabé- aleatorios, deben preparar y utilizar situa-
tico si son palabras, el orden aditivo si se trata ciones de enseñanza abiertas, orientadas hacia
de números. En este sentido podría considerarse proyectos y experiencias en el marco aleatorio y
que no hay datos sino sistemas de datos. estadístico, susceptibles de cambios y de resul-
tados inesperados e imprevisibles. Los proyectos
Se indica que la enseñanza de las matemáticas y experiencias estadísticas que resultan inte-
convencionales ha enfatizado en la búsqueda resantes y motivadores para los estudiantes
de la respuesta correcta única y los métodos generalmente consideran temas externos a las
deductivos. La introducción de la estadística y matemáticas lo cual favorece procesos interdis-
la probabilidad en el currículo de matemáticas ciplinarios de gran riqueza.

10

3 LA ESTADÍSTICA Y EL ANÁLISIS DE DATOS
EN EL CONTEXTO ESCOLAR

Como se observa en el capítulo anterior, desde lo incierto no significa comprenderlo; por
la propuesta elaborada por la renovación lo tanto, la comprensión del azar y la incer-
curricular (1986) con la introducción de los tidumbre es una función que la institución
sistemas de datos y luego con la incorporación escolar ha de asumir para dotar a sus apren-
del pensamiento aleatorio y el sistema de datos dices de instrumentos afectivos y cognitivos
en los lineamientos curriculares (1998) y en los que les permita intervenir y transformar un
estándares curriculares (2003), ha ingresado mundo así organizado.
a las propuestas curriculares éste ámbito de
formación con el propósito de brindar a los
alumnos de básica y media una formación en la 3.1 El currículo escolar vigente
cultura estadística.
Mientras el currículo propuesto desde los linea-
Desde nuestro punto de vista, la introducción mientos enfatiza en el desarrollo de procesos de
de este ámbito de formación se sustenta en tres pensamiento, el currículo realmente desarro-
cuestiones igualmente importantes: llado, es decir el dispuesto en los textos esco-
lares que influye fuertemente el dispuesto en las
• La necesidad social de formar ciudadanos aulas de clase, abordan la estadística descrip-
capaces de comprender información codifi- tiva y la probabilidad como dos aspectos poco
cada en lenguaje estadístico. relacionados, signados por el uso extendido de
métodos aritméticos y de cálculo, asumiendo
• El uso extendido de las nociones de probabi- la acepción de estadística, tal como lo describe
lidad, azar, aleatoriedad, etc, presentes tanto Batanero y Godino (2002):
en el conocimiento científico como en el
conocimiento humano en general. “Aunque es difícil dividir la estadística en
partes separadas, una división clásica hasta
• La responsabilidad de la institución escolar hace unos años ha sido distinguir entre esta-
en la formación de los ciudadanos, que se dística descriptiva y estadística inferencial.
desenvuelven en un mundo drásticamente
caracterizado por la presencia del azar y la La estadística descriptiva tiene como fin
incertidumbre, no sólo por la rapidez con presentar resúmenes de un conjunto de datos
la que se producen los cambios sino porque y poner de manifiesto sus características,
esos cambios se revelan dramáticamente en mediante representaciones gráficas. Los
efectos nuevos y difíciles de prever, llegando datos se usan para fines comparativos, y no
a trastocar experiencias en la vida cotidiana. se usan principios de probabilidad. El interés
Pero adaptarse, mecánicamente, a vivir en se centra en describir el conjunto de datos y

11


no se plantea el extender las conclusiones a de las distribuciones de probabilidad, y algunas
otros datos diferentes o a una población. técnicas de la inferencia estadística, como la
regresión lineal.
La inferencia estadística, por el contrario,
estudia los resúmenes de datos con refe- Las secuencias presentadas en los textos para
rencia a un modelo de tipo probabilístico. Se el abordaje de estas temáticas, llevan a la inco-
supone que el conjunto de datos analizados nexión y el énfasis en las técnicas de elabo-
es una muestra de una población y el interés ración de gráficas, de tablas y los cálculos de
principal es predecir el comportamiento de las medidas y las probabilidades, con lo que se
la población, a partir de los resultados de la separan radicalmente de las propuestas de desa-
muestra. (pág. 10) rrollo de razonamiento estadístico y formación
de ciudadanos competentes en la dominación
Y la de probabilidad signada por la visión clásica del azar, la incertidumbre y el análisis explora-
que según Ortiz (2001), se caracteriza por: torio de datos.

“la probabilidad de un suceso que puede
ocurrir solamente un número finito de moda- 3.2 Opciones de transformación
lidades como la proporción del número de curricular
casos favorables al número de casos posi-
bles, siempre que todos los casos sean igual- Varios son los autores que están proponiendo
mente “posibles”(pág. 85)”. transformaciones en los énfasis curriculares
guiados por el interés de propiciar razonamiento
Tal vez por ello, en el desarrollo curricular, para
estadístico en los estudiantes. En esa dirección
el caso de la estadística descriptiva, el énfasis se
Batanero y Godino (2002) proponen incluir en
centra en la obtención de datos para proceder a
los currículos una visión de la estadística que
realizar un proceso de resumen de los mismos,
dé cuenta de los razonamientos y sus usos y no
propósito para el que aparece la construcción de
sólo de los métodos, al respecto afirman, reto-
tablas y de gráficos, las medidas de tendencias
central y de dispersión. Enseguida, se procede al mando a Moore (1999):
análisis de la información basado en las frecuen-
cias relativas, las frecuencias acumuladas, en las “La estadística es la ciencia de los datos.
propiedades de la media, la mediana y la moda Con más precisión, el objeto de la estadís-
así como las diferenciaciones entre ellas y con tica es el razonamiento a partir de datos
las medidas de dispersión. empíricos. La estadística es una disciplina
científica autónoma, que tiene sus métodos
En cuanto al tratamiento de la probabilidad, éste específicos de razonamiento. Aunque es una
se basa en la presentación de las características ciencia matemática, no es un subcampo de la
de un experimento aleatorio, de los sucesos matemática. Aunque es una disciplina meto-
aleatorios y de la asignación de la probabilidad dológica, no es una colección de métodos”.
como la razón entre número de casos favorables (pág.9)
/ número de casos posibles, luego (dependiendo
de si el texto está o no en el currículo de la Por su parte Gal y Garfield (1997), realizan una
media), se ingresa a la operatoria del cálculo de diferenciación entre matemáticas y estadística
probabilidades y de allí se pasa a la presentación en el siguiente sentido:

12

LA ESTADÍSTICA Y EL ANÁLISIS DE DATOS EN EL CONTEXTO ESCOLAR

“1. En estadística los datos son vistos como • Comprensión de los propósitos y la lógica de
números en contexto. El contexto motiva el las investigaciones estadísticas.
procedimiento y es la fuente de significado y • Comprensión de los procesos de las investi-
base para la interpretación de resultados. gaciones estadísticas.
• Adquisición y experticia en habilidades
2. La indeterminación de los datos distingue procedimentales.
las investigaciones estadísticas de las más • Comprensión de las relaciones matemáticas.
precisas exploraciones matemáticas que se • Comprensión de las probabilidades y la
caracterizan por su naturaleza finita. incertidumbre.
• Desarrollo de habilidades de interpretación
3. Los conceptos matemáticos y sus procedi- de la literatura que presenta resultados esta-
mientos son usados como parte del intento dísticos.
para resolver los problemas estadísticos y se • Desarrollo de habilidades de comunicación
puede esperar cierta facilidad técnica con estadística.
las matemáticas de algunos cursos o niveles
educativos Sin embargo, la necesidad de Y proponiendo los siguientes tipos de razona-
aplicar cálculos exactos está siendo rápi- miento estadísticos, para que sean abordados a
damente reemplazada por la necesidad de lo largo del currículo escolar:
seleccionar de manera correcta programas
o software cada vez más sofisticados. • Razonamiento sobre los datos.
• Razonamiento sobre las representaciones de
4. La naturaleza fundamental de muchos de los datos.
los problemas estadísticos es que no tiene • Razonamiento sobre las medidas estadís-
una solución matemática sencilla. Más bien ticas.
• Razonamiento sobre la incertidumbre.
los problemas estadísticos reales comienzan
• Razonamiento sobre las muestras.
usualmente con una pregunta y culminan
con la presentación de ciertas opiniones
Por su parte Batanero (2001) sugiere la intro-
soportadas por ciertos resultados hallazgos
ducción en el ámbito escolar del análisis explo-
y suposiciones. Los juicios y las inferencias
ratorio de datos, propuesto por Tukey desde
que se espera de los estudiantes (por ejemplo
1977, entendido como lo afirma Ben-Zvi (2000),
las predicciones acerca de una población citado por Tauber (2001)
basadas en una muestra de datos recolec-
tados) muy a menudo no pueden ser caracte- “El análisis exploratorio de datos es la disci-
rizados como “correctas” o “erróneas” sino plina de organización, descripción, repre-
más bien deben ser evaluadas en términos sentación y análisis de datos, con una fuerte
de calidad de los razonamientos, adecuación confianza en las herramientas analíticas y
de los métodos empleados, naturaleza de los visuales. Su objetivo principal es dar sentido
datos y evidencias usadas. (pág.6) ” y buscar más allá de los datos para que, de
esta manera, junto a la inferencia, se puedan
Usan esta diferenciación para proponer trans- explorar nuevos datos. (pág. 130) ”.
formaciones en las propuestas curriculares
asumiendo como grandes propósitos de la Al considerar la conveniencia de esta nueva
educación estadística escolar las relativas a: temática como objeto de estudio escolar, la

13


sustenta en características tales como: la posi- 3.3 La propuesta curricular
bilidad de generar situaciones de aprendi- sugerida: El análisis exploratorio
zaje referidas a temas de interés al alumno, el de datos y la modelización.
fuerte apoyo en representaciones gráficas y el
hecho de no necesitar de una teoría matemática Al introducir en el currículo escolar el análisis
compleja. exploratorio de datos el énfasis estaría en la
conceptualización sobre aspectos tales como
Respecto a la probabilidad la apuesta es la lectura crítica de datos, el uso de diferentes
asumirla como modelización de fenómenos representaciones, el establecimiento de las simi-
aleatorios y no como un conjunto de axiomas o litudes (regularidades) y las variaciones, es decir,
teoremas. Siguiendo a Batanero (2001a, pág.1) establecer un procedimiento de análisis que use
tendremos que: los datos como el contexto de significado.

“Gran parte de la actividad matemática (y
particularmente la estadística) puede ser 3.3.1 La lectura crítica
descrita como proceso de modelización. En
términos de Henry (1997) “un modelo es En particular, la lectura crítica de las tablas y los
una interpretación abstracta, simplificada e gráficos estadísticos, puede ser entendida como
idealizada de un objeto del mundo real, de la posibilidad de propiciar el paso de “leer los
un sistema de relaciones o de un proceso datos, a leer dentro de los datos y a leer más
evolutivo que surge de una descripción de allá de los datos” (Batanero, 2001). Esto quiere
la realidad” (pg. 78). La construcción de decir, que si nuestra opción consiste en tomar
modelos, su comparación con la realidad, los datos para generar destrezas de lectura
su perfeccionamiento progresivo intervienen crítica, se hace necesario que a partir de situa-
ciones problemáticas (para nuestro caso pueden
en cada fase de la resolución de problemas
ser situaciones de la cotidianidad económica,
estadísticos, no sólo en el análisis de datos
educativa, etc del alumno), se posibilite el trán-
en situaciones prácticas, sino también en el
sito desde una lectura “literal” de los datos a una
trabajo de desarrollo teórico. Un ejemplo
lectura en la que se integren relaciones como la
notable de modelización estadística a partir
comparación, la clasificación, la asociación, etc
de un problema práctico son las distri-
entre las variables representadas en los datos y
buciones de probabilidad, que permiten
por último, el que se pueda generar, a partir de
describir en forma sintética el comporta- los mismos datos, predicciones e inferencias
miento de las distribuciones empíricas de que no se establecen directamente de las repre-
datos estadísticos y hacer predicciones sobre sentaciones sino que requieren un mayor grado
su comportamiento. ....” de elaboración conceptual.
Esta idea, de enseñar la probabilidad como
modelización, se constituye en un reto que debe 3.3.2 El uso de diferentes sistemas de repre-
producir transformación en el currículo en tanto sentación.
se requiere incursionar en el trabajo por reso-
lución de problemas y éste es un ámbito, en el Hoy es una propuesta ampliamente aceptada en
que curricularmente hablando, aun no tenemos educación matemática y por supuesto en educa-
suficientes experiencias indagadas. ción estadística, que la riqueza en la adquisición

14

LA ESTADÍSTICA Y EL ANÁLISIS DE DATOS EN EL CONTEXTO ESCOLAR

(comprensión) de conceptos está mediada por la Dantal (1997) citado por Batanero (2001a,
diversidad de sistemas de representación que un pág2):
estudiante pueda operar haciendo tratamientos
o conversiones. “... señala los siguientes pasos para la ense-
ñanza de la probabilidad en secundaria con
Por ello se propone trabajar no con cada una el enfoque recomendado en los nuevos currí-
de las representaciones aisladamente sino con culos franceses:
sus relaciones. Es decir, poder leer información
dispuesta por ejemplo en una caja y su correlato • Observación de la realidad
en un histograma. • Descripción simplificada de la realidad
• Construcción de un modelo
• Trabajo matemático con el modelo
3.3.3 Las regularidades y las variaciones • Interpretación de resultados en la realidad”

Un aspecto importante en el análisis de datos Es importante señalar que estos pasos no consti-
lo constituye la exploración de regularidades tuyen en absoluto una propuesta para ser seguida
y de las desviaciones. Entendemos que en un linealmente o que en ella exista una jerarquía u
conjunto de datos es necesario estudiar tanto orden de importancia, solo pretenden orientar
las regularidades como las diferencias, pues acciones escolares que tienen como propósito
siguiendo a Batanero et al (1991) el estudio de construir un modelo para comprender situa-
las primeras ciones y que como tal el modelo no se constituye
en la realidad pero tampoco debe ser evaluado
“indica la estructura simplificada de un en términos de verdad sino en términos de
conjunto de observaciones (en una nube de consistencia o concordancia con los datos.
puntos, por ejemplo, es la recta a la que se
ajusta)”.
A manera de conclusión
Mientras que
Como lo hemos venido argumentando, en este
“Por otro lado, las diferencias de los datos trabajo concebimos los propósitos de la forma-
con respecto a esta estructura (diferencia en ción estadística menos desde el uso fundamen-
nuestro caso respecto a la recta), representan tado en las reglas del cálculo, y más desde el
las desviaciones o residuos de los datos, que uso fundamentado en la comprensión de los
usualmente no tienen por qué presentar una datos y sus características. Esta concepción nos
estructura determinada”. permite sostener que un alumno que es capaz de
hacer inferencias, extrapolar en los datos o los
Con esto, se exige conceptualmente, una vez gráficos la información que está más allá de la
más, la integración de ciertos aspectos curricu- percepción, adquiere una mejor formación que
lares tradicionalmente separados. le permita tomar decisiones en presencia de la
incertidumbre con soporte en sus exploraciones
En cuanto a lo propuesta para la probabilidad el sobre los datos.
trabajo escolar ha de estar más centrado en acti-
vidades de resolución de problemas siguiendo Tomando en consideración las propuestas expli-
para ello las recomendaciones detalladas por citadas, nuestra propuesta de desarrollo de este

15


documento de trabajo, girará en torno a la utili- que posibilitan la transformación curricular
zación de tecnologías computaciones como la (amplificando y/o re-organizando), en el ánimo
Ti 92 Plus y las minitools como instrumentos de introducir el análisis exploratorio de datos.

16

POTENCIAL PEDAGÓGICO Y DIDÁCTICO DE LAS
4 TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES EN EL DESARROLLO
DEL PENSAMIENTO ESTADÍSTICO

Las investigaciones de Moreno y Waldegg también, existen tecnologías computacionales
(2002) acerca del uso y potencialidades de las cuya intencionalidad de origen es ser instru-
tecnologías computacionales (como la TI 92 mento, portadoras de gramáticas con las que
plus) en las aulas de matemáticas, así como la se puede dilucidar y enriquecer esa intencio-
documentación de la actividad matemática de nalidad, más o menos visible, de instrumentos
los estudiantes realizada en nuestro país en el dialogantes con los que se puede construir unos
marco del proyecto “Incorporación de nuevas ciertos conocimientos.
tecnologías al currículo de matemáticas de la
educación media de Colombia” (MEN, 2003), Al anterior tipo de tecnologías descrito lo
muestran dichas tecnologías como herramientas visualizamos como potenciales rediseñadoras
que ayudan a estudiantes y profesores a realizar: de la acción educativa al interior del aula. Aquí
cálculos numéricos o simbólicos, procesos algo- ubicamos a la TI-92 plus con sus aplicaciones,
rítmicos, gráficos, y procesamiento de distintos principalmente CABRI-GEOMÉTRÈ y todas
tipos de datos. Sin embargo, también las mues- las interconexiones dispuestas en esta calcula-
tran como instrumentos de indagación y/o siste- dora pero también la minitools construidas por
matización, convertidas en socias cognitivas de el profesor Cobb (2001)
estudiantes y profesores.
Dado que nuestra pretensión es contribuir a la
Al respecto de la diferenciación entre herra- construcción de razonamiento estadístico en los
mienta e instrumento conviene establecer una alumnos, le otorgamos a las tecnologías esta
relación con el hecho de poderlas mostrar como capacidad de rediseño en dos aspectos como lo
instrumentos con menor o mayor posibilidad afirma Moreno (2002, pág. 85):
dialógica y con dispositivos de intervención
presentes o no en el mismo contexto de explora- “…i. Entenderla como herramienta de
ción que el de los objetos ahí construidos. Toda amplificación
tecnología es depositaria de una intencionalidad
que le es constituyente. ii. Entenderla como herramienta de re-orga-
nización cognitiva.
Así, existen tecnologías computacionales
cuya intencionalidad de origen es ser herra- En realidad, como veremos más adelante,
mienta (dedicadas a permitir la realización de estas posibilidades constituyen las dos etapas
cómputos u ordenar datos, de donde provienen de un mismo proceso: Es inevitable que al
dos nombres para las máquinas que son herra- introducir las calculadoras en la actividad
mientas para estos fines); en el mercado hay una de los estudiantes, se termine produciendo
gran gama de paquetes enfocados a ello. Pero una nueva actividad matemática que, a su

17


vez, genere una re-organización del conoci- gías usadas, respecto de los objetos estadísticos,
miento de los estudiantes. Debemos apresu- el carácter de tales “imposiciones” se puede
rarnos a decir, que, sin embargo, el paso de desglosar en los siguientes aspectos:
(i) a (ii) no es automático y es más bien lento
y complejo. Por esto, tiene sentido desde una • Dinamicidad que facilita la interacción del
perspectiva curricular, examinar a fondo el alumno con un objeto de aprendizaje más
papel de la calculadora como instrumento cercano a una clase que a un objeto parti-
de amplificación dentro de un currículo cular. Por ejemplo, en la pantalla se repre-
establecido.... senta un objeto que se modifica ante los ojos
del aprendiz, las propiedades observadas
La reflexión en torno a los procesos de ampli- por el estudiante lo serán entonces no de un
ficación y reorganización también puede objeto singular sino de la clase total. Por otro
darse desde la perspectiva de la transición lado, las opciones de movimiento ingresan al
de herramienta a instrumento matemático campo de exploración que el alumno puede
que sufren las computadoras y calcula- utilizar, con lo que se facilita la constante inte-
doras… ”. racción entre las acciones del alumno y los
resultados que se muestran en la pantalla.
Ahora bien, puesto que las tecnologías modi-
fican los contextos escolares, en tanto enten- • Integración de diferentes representaciones
damos la amplificación como “hacer lo de antes que permite a la calculadora como un instru-
pero mejor” (Moreno 2002a, pág. 78) y la reor- mento mediador del conocimiento, presentar
ganización como “hacer nuevas cosas y reor- de manera simultánea diferentes registros
ganizar las anteriores en función de las nuevas de representación, con lo que el objeto de
posibilidades” (Moreno 2002a, pág. 78), habrá aprendizaje queda ligado, para el aprendiz, a
cambios, mediados por instrumentos, en las una variedad de clases de representación.
situaciones didácticas o relaciones didácticas,
establecidas entre los estudiantes (el aprendi- • Interrelación de los conocimientos concep-
zaje), el profesor (la enseñanza) y el conoci- tual y procedimental relativos a los objetos
miento seleccionado (saber a enseñar). Se debe tratados, tradicionalmente presentados
hablar entonces de ampliación y reorganización disjuntos. Cuando se exploran diferentes
cognitivas, pero también curriculares. cálculos o procedimientos el estudiante puede
manipular diversas expresiones simbólicas
y las interrelaciones, entre ellas y con las
4.1 La mediación instrumental con demás clases de representaciones (gráficas y
estas tecnologías numéricas), con lo que se le posibilita un
horizonte de elaboración conceptual de los
Como principio fundamental, el proyecto objetos involucrados en la situación estu-
“Incorporación de nuevas tecnologías al currí- diada más integrado e interrelacional.
culo de matemáticas de la educación media de
Colombia” asume que todo acto cognitivo está
mediado por un instrumento físico o simbó- 4.2 La acción del profesor
lico y que esta mediación impone al sujeto una
cierta forma de relación cognitiva con el objeto La importancia que le damos a la actividad del
de conocimiento. Para el caso de las tecnolo- alumno en la elaboración de su conocimiento,

18

POTENCIAL PEDAGÓGICO Y DIDÁCTICO DE LAS TECNOLOGÍAS COMPUTACIONALES EN EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO ESTADÍSTICO

nos conduce a preguntarnos por la acción del (regularidades) y las variaciones, es decir, esta-
profesor y por el tipo de conocimiento establecer un procedimiento de análisis que use los
dístico que ha de poner en juego en la clase de datos como el contexto de significado. Por ello
matemáticas. la propuesta curricular puede incorporar ahora
aspectos como: la lectura crítica de las tablas
y los gráficos estadísticos, puede ser entendida
4.2.1. Respecto del conocimiento, la apuesta como la posibilidad de propiciar el paso de “leer
es por la resolución de problemas los datos, a leer dentro de los datos y a leer más
allá de los datos” (Batanero, sin fecha). Esto
Respecto de ella, son diversos los enfoques para quiere decir, que si nuestra opción consiste en
su tratamiento, de entre varias concepciones tomar los datos para generar destrezas de lectura
que al respecto emergen, consideramos que en crítica, se hace necesario que a partir de situa-
términos de la formación de un ciudadano, es ciones problemáticas (para nuestro caso pueden
menester entenderla como la actividad de un ser situaciones de la cotidianidad económica,
sujeto a fin de estructurar mundo, recurriendo a educativa etc del alumno) se posibilite el trán-
herramientas estadísticas, dentro de un contexto sito desde una lectura “literal” de los datos a una
social compartido. lectura en la que se integren relaciones como
la comparación, la clasificación, la asociación,
etc entre las variables representadas en los datos
4.2.2 Potenciar la Comunicación y por último, el que se puedan generar predic-
ciones e inferencias a partir de los datos, que
Ahora bien la opción de la resolución de no se establecen directamente de las representa-
problemas, le coloca un reto al profesor en ciones sino que se requiere un mayor grado de
tanto no se trata solo de que los alumnos tengan elaboración conceptual.
ideas sino que sobre todo puedan comunicarlas.
Potenciar en el alumno la posibilidad de hacerse Por otro lado aspectos relativos a la proba-
preguntas, y buscar vías de solución y comu- bilidad como por ejemplo la realización de
nicación, puede parecer una tarea imposible, experimentos con un número elevado de repe-
sobre todo por nuestra formación anterior y las ticiones, la modelización de situaciones en las
prácticas pedagógicas actuales. que la aleatoriedad esté presente, la simulación
de juegos, son actividades posibles de realizar
solo porque se usan estas tecnologías, que nos
4.2.3 Del conocimiento estadístico propuesto permiten por su rapidez de cálculo y grafica-
ción obtener respuestas en tiempo real, es decir
Las tecnologías al ingresar al aula incorporan un realizar algo que con lápiz y papel se convierte
saber depositado anteriormente en el profesor en una tarea imposible en una clase.
o en los libros de texto. Este saber, ahora al
alcance del alumno desplaza el accionar sobre En síntesis, en ese propósito de transformación
los cálculos, las construcciones de las repre- (amplificando o reorganizando), el uso
sentaciones, las tablas etc. para enfatizar en de tecnologías como la calculadora puede
la acción sobre aspectos tales como la lectura posibilitar, siempre y cuando sea intencionado,
crítica de datos, el uso de diferentes represen- un cambio tanto en el papel del profesor como
taciones en términos de la fluidez representa- el del alumno y el saber en el salón de clase. En
cional, el establecimiento de las similitudes ese sentido, es de destacar que la calculadora

19


“posee un saber” que antes estaba depositado de la máquina y sus lógicas de uso hacen
en el profesor (o el texto) y que ahora está que el alumno se sienta más implicado en la
disponible cada vez que se prende un aparato de resolución de un problema con lo que trabajará
estos. Así mismo, el aprendizaje de la sintaxis emocionalmente más comprometido.

20

5 ALGUNAS ACTIVIDADES QUE PROMUEVEN EL DESARROLLO
DEL PENSAMIENTO ESTADÍSTICO CON TECNOLOGÍA

Las situaciones que se presentan a continuación 60 58 53 63 63 68 67 59
pretenden ejemplificar como es posible integrar
las potencialidades asignadas a las tecnologías, 65 71 68 51 50 68 73 76
en situaciones problemáticas que promueven en 60 59 63 80 77 73 69 70
los estudiantes la toma de decisiones, usando
como espacio de argumentación las herramientas 70 71 59 56 56 56 55 54
(gráficas, de cálculo, etc.) que incorpora la tecno- 52 48 57 53 59 51 68 65
logía utilizada, en este caso la TI 92 Plus.
Se desea seleccionar solamente a uno de los
El diseño de las mismas se ha dispuesto de tal estudiantes, de tal manera que su peso sea el
manera que permita el aprendizaje de la gramá- mejor representante de los pesos en este grupo.
tica del instrumento, puesto que es necesario que ¿Cuál se puede escoger? ¿Por qué?
el alumno se apropie de los diferentes esquemas
de uso para que pueda hacer de la tecnología un
medio de expresión de ideas estadísticas. Consideraciones

A. Variables estadísticas
5.1 Actividades que promueven la
amplificación curricular Luego de introducir los datos en la calculadora
y de ordenarlos se obtienen las variables esta-
5.1.1. Superación de deficiencias de cálculo
dísticas que ofrece la calculadora.
o de graficación

Desde el punto de vista de la acción del estu- 1. Con F5 (Calc) se accede al menú de cálculos
diante la calculadora le brinda posibilidades de estadísticos.
superar las deficiencias de cálculo o de grafica-
ción. Ello es lo que se promueve con las activi- 2. Luego se configura la pantalla de diálogo
dades que aparecen a continuación. con los datos que aparecen a continuación:
Calculation Type. OneVar!
5.1.1.1 Peso Pesado x................ c1
Use Freq and Categories? NO!
Diseñada por Hugo Martín Cuellar García. Y se oprime Enter dos veces.

La siguiente tabla muestra el peso en kilogramos 3. Los datos de las variables estadísticas que se
de 40 estudiantes. obtienen se observan en la pantalla.

21


Peso Frecuencia Peso Frecuencia
48 1 65
49 0 66
50 1 67
51 2 68
52 69
53 70
54 71
55 72
56 73
57 74
58 75
59 76
60 77
61 78
62 79
63 3 80 1
64

Este tipo de información se puede trabajar desde
la calculadora teniendo en cuenta que en la tabla
donde se guarden los datos se conserve la relación
¿Qué significa o representa cada uno de estos entre el respectivo peso y su frecuencia.
valores en relación con los datos de la tabla?
1. La tabla que se obtiene con esta información
¿Cuál, o cuáles, de los valores obtenidos en se observará como se muestra en el gráfico.
la pantalla anterior son los más significativos
para responder la inquietud sobre el peso que Cada peso específico dado en la columna 1 está
mejor representa el conjunto inicial de datos? acompañado de su frecuencia en la columna 2.
¿Por qué?

¿Es posible seleccionar algún un estudiante
con peso =62.35, o con peso medStat=61.5 para
representar el peso del grupo?

5.1.1.2 Temas Complementarios al Peso
Pesado

Diseñada por Hugo Martín Cuellar García

Temas complementarios 2. La configuración para observar el histograma
usando frecuencias es diferente:
A. Tabla de frecuencias Plot Type........ Histogram!
x................ c1
Observe el histograma anterior y con ayuda de Hist. Bucket Width 1
la herramienta F3 (Trace) complete la siguiente Use Freq and Categories? YES!
tabla de frecuencias: Frec............. c2

22

ALGUNAS ACTIVIDADES QUE PROMUEVEN EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO ESTADÍSTICO CON TECNOLOGÍA

¿Cómo será el histograma que ahora se genera Los valores de la ventana de graficación no se
al compararlo con el histograma realizado en han modificado respecto a la última gráfica.
la sección anterior? ¿Por qué?
¿Al observar un histograma y un polígono,
B. Polígono de frecuencias cuál de las dos representaciones le ayuda a
comprender mejor el comportamiento de los
La información que suministra el histograma datos? ¿Por qué?
también se puede observar mediante un polí-
gono de frecuencias. C. Frecuencias acumuladas (Ojiva)

3. La pantalla de diálogo del plot seleccionado Otro tipo de gráfico que también puede sumi-
se configura con los siguientes datos: nistrar información a la hora de tomar deci-
Plot Type........ xyline! siones sobre los datos iniciales es el polígono de
Mark............. Box! frecuencias acumuladas. Para esto es necesario
x................ c1 recurrir a otras herramientas de la calculadora.
y................ c2
Use Freq and Categories? NO! 5. En la tabla de anterior de datos se anexa una
nueva columna en la aparezca el acumulado
de las frecuencias.

4. Para observar el polígono de frecuencias se El recurso que permite obtener automática-
oprime ◊ R (Graph) mente las frecuencias acumuladas es cumSum.

23


Para el gráfico de frecuencias acumuladas se 5.1.1.3 Datos Agrupados
consideran los datos de las columnas c1 y c3.
Diseñado por: Edwing Carranza
6. Los parámetros para el plot que muestra esta Institución: Instituto Pedagógico Nacional
gráfica son:
Plot Type........ xyline! Tomaremos un conjunto numeroso de datos
Mark............. Box! para hacer un análisis estadístico, a partir de la
x................ c1 técnica de datos agrupados.
y................ c3
Use Freq and Categories? NO! • Introducción de los datos

Oprima la tecla APPS, seleccione 6: Data/Matrix
Editor y en el menú elija 3: New. Coloque
nombre a la variable, oprima ENTER para
aceptar el nombre de la variable y nuevamente
ENTER para obtener la pantalla del Editor que
se muestra a continuación:

Introduzca los datos en la columna cl. Cada vez
que introduzca un dato oprima ENTER.

7. Para observar la gráfica se oprime % (∞+R).

• Ordenamiento de los datos

En este caso se la ventana de graficación está - Es posible ordenar los datos de menor a
configurada así: mayor. Para ello, seleccione F6+3: Sort
46 < x < 84, con xscl=5 Column.
-1 < y < 45, con yscl=5 - ¿Cuál es el menor de los datos? ¿Cuál es el
mayor de los datos? ¿Cuál es la diferencia
¿Qué información adicional ofrece este polí- entre el mayor y el menor de los datos?
gono de frecuencias acumuladas para tomar la A la diferencia entre el menor y el mayor
decisión sobre el peso que mejor representa a de los datos se le conoce como el rango del
los del grupo inicial? conjunto.

24


• Cálculo de algunos valores representativos Para tal efecto, digite F2, borre por medio
del conjunto de F3 cada una de las gráficas (Plot) que
aparecen en el listado e inicie la defini-
- Al oprimir F5 se obtiene una pantalla como ción de la gráfica Plot1 por medio de F1,
la siguiente, a través de la cual es posible para lo cual aparece una pantalla como la
hallar diferentes medidas para el conjunto. siguiente.

- En el menú Calculation Type, seleccione 1: - En la opción Plot Type seleccione 4: Histo-
Onevar ya que vamos a hacer cálculos con una gram. Indique que los datos de la variable x
sola variable. Indique para la variable x que se introdujeron en la columna c1 y oprima
los datos han sido introducidos en la columna ENTER.
cl, oprima ENTER para aceptar. Como por
ahora no haremos cálculos con frecuencias, - Decida de cuántas barras construirá el histo-
a la pregunta Use Freq and Categories?, grama. Esto significa que se requiere el
responda NO. Ahora oprima ENTER. cálculo del ancho de la barra, teniendo en
cuenta el rango. Escriba este valor del ancho
- Observe los valores de la media, la desvia- en Hist. Bucket Width y oprima ENTER.
ción estándar de la muestra, los cuartiles
Q1 y Q3 y la mediana. Justifique por qué la - Puesto que por ahora no estamos traba-
mediana es el mismo cuartil Q2. Interprete jando con frecuencias predeterminadas,
los resultados obtenidos. a la pregunta Use Freq and Categories?,
responda NO y oprima ENTER.
- Compare la media y la desviación estándar
de la muestra con los valores obtenidos para - Para ver la gráfica, oprima ♦R (GRAPH).
otros conjuntos introducidos por los demás Si no observa la gráfica como la esperaba,
compañeros. oprima F2 y seleccione 9: ZoomData.
Realice los ajustes necesarios para los ejes
- Oprima ENTER para regresar al Editor. de la gráfica por medio de ♦E (WINDOW),
teniendo en cuenta el menor de los datos
• Histograma. para empezar el histograma y que las barras
se observen completas en la pantalla.
- A continuación representaremos gráfica- Observe nuevamente la gráfica con
mente los datos por medio de un histograma. ♦R (GRAPH).

25


• Distribución de frecuencias. - Puesto que por ahora no estamos traba-
jando con frecuencias predeterminadas,
- Por medio de F3 (Trace), determine para a la pregunta Use Freq and Categories?,
cada barra del histograma los límites inferior responda NO y oprima ENTER.
y superior y la frecuencia, esto es el número
de datos que son mayores o iguales que el - Con ♦R (GRAPH) observe el diagrama de
límite inferior y menores que el límite supe- cajas. Oprima F3 y con las flechas del cursor
rior. Es posible pasar de una barra hacia otra arriba - abajo ubíquese en el diagrama de
con las flechas derecha - izquierda del cursor. cajas. Con las flechas derecha - izquierda del
Llene una tabla como la siguiente: cursor puede observar los valores min, Q1,
med, Q3 y máx.
Intervalo Frecuencia
- Relacione el diagrama de cajas con el histo-
grama.

• Presentación de los datos agrupados en el
editor de datos.

- Regrese al editor de datos (APPS, 6: Data/
Matrix Editor 1: Current) ¡Elija Current y
• Diagrama de cajas. no New!

A continuación se muestra un diagrama de cajas.
Observe la información que se puede obtener a
partir de él.

Q1 Q2 Q3

||||||||||||||||||||||||||||||

Caja menor Caja mayor

- Digite los datos en las siguientes columnas.
- Para construir el diagrama de cajas de los A cada intervalo haga corresponder una fila.
datos con los que está trabajando, regrese al c2: Limite inferior de cada clase. c3: Limite
editor de datos (APPS, 6: Data/Matrix Editor, superior de cada clase. c4: Frecuencia de
1: Current) ¡Elija Current y no New! cada clase. c5: Frecuencia acumulada.

- Nuevamente seleccione F2 y defina Plot2 La frecuencia acumulada de cada clase indica
por medio de F1. Seleccione en Plot Type 3: el número de datos que son menores que el
Box Plot. Indique que los datos de la variable limite superior de la misma. Para encontrar la
x se introdujeron en la columna c1. Oprima frecuencia acumulada de cada clase ubíquese
ENTER. sobre la celda marcada con c5 y oprima

26


2nd +5 (MATH), seleccione 3:List y luego marca de clase de cada clase. ¿Cómo puede
7:cumSum( , y escriba c4. hallar la marca de clase a partir de los límites
de la misma?
• Ojiva.
b. Polígono de frecuencias. El polígono de
- La ojiva es una representación gráfica en la frecuencias es una representación gráfica que
cual se hace corresponder a los límites supe- hace corresponder a cada marca de clase la
riores de cada intervalo la respectiva frecuencia frecuencia de la respectiva clase. Construya
acumulada. Prediga la forma de la gráfica. la gráfica y compárela con el histograma.
Determine cuál es el valor del que se puede
- En el Editor de datos, seleccione F2, desac- afirmar que se repite con mayor frecuencia,
tive el diagrama de cajas con F4 y con F1 esto es, la moda del conjunto.
defina Plot 3. Seleccione en Plot Type, 2:
xyline. Para la variable x, indique los límites c. Frecuencia relativa. La frecuencia relativa
superiores (c3) y para la variable y las de cada clase es el porcentaje de datos con
frecuencias acumuladas (c5). Por ahora no respecto al total que corresponde a cada inter-
incluimos trabajo con el uso de frecuencias y valo. ¿Cómo podría calcularlo en la tabla del
categorías. Oprima ENTER dos veces conse- Editor? Hágalo en c7.
cutivas.
d. Frecuencia relativa acumulada. La
- Observe la gráfica con ♦R (GRAPH) y ajuste frecuencia relativa acumulada de un inter-
los valores con ♦E (WINDOW); asigne como valo es el porcentaje de datos que es menor
valor xmin el mismo que utilizó para el histo- que el respectivo límite superior. ¿Cómo
grama. podría calcular en la tabla del Editor dicha
frecuencia? Hágalo en c8.
- Relacione la ojiva con el histograma. Observe
cómo varia la ojiva cuando la barra es más e. Ojiva porcentual. Construya una gráfica que
alta y cuando la barra es más baja. haga corresponder a cada límite superior la
frecuencia relativa acumulada de la respec-
- A partir de la ojiva, moviendo el cursor, se tiva clase.
puede interpolar para determinar cuántos
datos del conjunto son menores que algún f. Percentiles. ¿Cómo podría determinar a
valor determinado. Si desea mayor precisión, partir de la ojiva porcentual, el porcentaje de
en F2, seleccione 1: ZoomBox, e indique el datos que supera al 70%? A esto se le llama
tramo de la ojiva al que le va a aumentar el el percentil 70, Pt,. Intente con otros percen-
tamaño. tiles, calcúlelos e interprételos.

• Alguna actividades específicas • Cálculo de algunos valores representativos
del conjunto con el uso de las frecuencias.
a. Marcas de clase. La marca de clase de cada
intervalo es el valor que se encuentra exac- - Como ya vimos, al oprimir F5 se obtiene una
tamente en la mitad entre el límite inferior y pantalla como la siguiente a través de la cual
el superior. Ubíquese sobre la celda marcada es posible hallar diferentes medidas para el
con c6 para que en dicha columna registre la conjunto.

27


- En el menú Calculation Type seleccione 5.1.2.1 Área de un Triángulo1
1: Onevar, ya que vamos a hacer cálculos con
una sola variable. Indique para la variable Diseñado por Hugo Martín Cuellar García.
x que los datos, en este caso las marcas de
clase que son los representantes de cada Se quieren examinar las relaciones que existen
clase, han sido introducidos en la columna entre las medidas de un rectángulo (largo y
c6. Oprima ENTER para aceptar. Como ancho) y de estas con su área, cuando el perí-
ahora tendremos en cuenta las frecuencias metro es constante.
de las clases, a la pregunta Use Freq and
Categories?, responda SI e indique que las Complete los datos de la siguiente tabla.
frecuencias se han ingresado en la columna
c4. Ahora oprima ENTER. Largo Ancho Área Perímetro
1 14 14 30
- Observe los valores de la media, la desvia-
ción estándar de la muestra, los cuartiles 2 13 26 30
Q1 y Q3 y la mediana. Justifique por qué la
mediana es el mismo cuartil Q2. Interprete
los resultados obtenidos. Compare la media
y la desviación estándar de la muestra con
los valores obtenidos para otros conjuntos
por los demás compañeros.
7
Compare los valores obtenidos de la muestra con 8
los valores obtenidos para el mismo conjunto
cuando no se utilizaron datos agrupados. ¿Qué
ventajas y qué desventajas tiene trabajar con
datos agrupados?

5.1.2 Uso de Ciertas Técnicas de Modela-
ción, sin requerir la comprensión de 14 1 14 30
los aspectos matemáticos complejos
que involucra ¿Qué relaciones matemáticas se establecen entre
el ancho y el largo de un rectángulo cuándo el
Posibilitándole al alumno el uso de ciertas perímetro es constante?
técnicas de modelación, como la regresión, sin
requerir de él la comprensión de los aspectos ¿Qué relaciones matemáticas se establecen
matemáticos complejos que involucra. Esto se entre el largo y el área de un rectángulo cuándo
muestra en las actividades 4, 5 y 6. el perímetro es constante?

1
Adaptado de la página oficial de Texas Instruments Incorporated. Copyright 1997 by Marcus Anglin.

28


Consideraciones Observando la tabla:

A. Tabla de datos ¿cómo relaciona el cambio de los valores en la
columna largo con el cambio de los valores en
Los datos de la tabla anterior se pueden repro- la columna ancho?
ducir en la calculadora desde el editor de datos
y matrices (F6). ¿cómo relaciona el cambio de los valores en la
columna largo con el cambio de los valores en
1. Algunas instrucciones ayudan a agilizar la la columna área?
entrada se los datos.
Por ejemplo con la instrucción seq(x,x,1,14,1) B. Gráficos estadísticos
en la primera columna se obtienen la secuencia
de los números naturales desde 1 hasta 14. Para establecer las relaciones matemáticas
entre las variables del problema se recurre a los
gráficos estadísticos.

3. Primero se observa la gráfica de puntos que
relaciona el largo con el ancho.
Para esto se configura el plot de la siguiente
manera:
Plot Type........ Scatter!
x................ c1
y................ c2
De igual manera se puede acudir a las instruc-
ciones propias de la calculadora para agilizar la
introducción de los demás datos de la tabla.

2. En la tercera columna puede ir la instrucción
c1*c2.

Para la segunda columna la instrucción
sería seq(14-x,x,0,13,1)
Para la cuarta columna sería 2*(c1+c2)

4. La gráfica que se genera se observa a conti-
nuación.

La ventana de graficación para esta gráfica
está definida por:
-1 < x < 16, con xscl=1
-1 < y < 16, con yscl=1

29


C. Cálculos de regresión

Es posible establecer las relaciones entre las
medidas del rectángulo y su área con ayuda de
los procesos de cálculos de regresión.

La gráfica que relaciona el largo con el ancho
sugiere una ecuación lineal y la gráfica que
relaciona el largo con el área sugiere una ecua-
ción cuadrática.
Observando la gráfica, ¿cómo relaciona el
cambio de los valores del largo (eje x) con el
cambio de los valores en el ancho (eje y)? Para establecer los cálculos de regresión se
Describa esta relación. emplean las herramientas del menú F5 (Calc)
Si se unieran los puntos de la gráfica ¿qué tipo sobre la tabla de datos.
de gráfica sería?
6. La configuración del cuadro de diálogo
5. Ahora se observa la gráfica de puntos que para relacionar el largo con el ancho es la
relaciona el largo con el área. La configura- siguiente:
ción del plot, en este caso, debe considerar
las columnas c1 y c3. Calculation Type........ LinReg!
x................ c1
La ventana de graficación para esta gráfica y................ c2
está definida por:
Store RegEQ to... y1(x) !
-1 < x < 16, con xscl=1
-1 < y < 65, con yscl=5

Observando la gráfica, ¿cómo relaciona el
cambio de los valores del largo (eje x) con el
cambio de los valores en el área (eje y)?
Describa esta relación. 7. Al oprimir ENTER se obtiene la siguiente
Si se unieran los puntos de la gráfica ¿qué tipo información, que se guarda en la y1(x) (Y
de gráfica sería? editor: ♦ W

30


¿Contiene la ecuación de regresión obtenida
¿Qué información suministra esta pantalla? (línea continua) todos los puntos de la gráfica
que relaciona el largo con el ancho del rectán-
¿Cómo se entienden los valores a=-1 y b=15 gulo?
obtenidos en esta regresión lineal?
¿Qué puede concluir?
8. La configuración del cuadro de diálogo
para relacionar el largo con el ancho es la De igual manera se calcula la ecuación de regre-
sión para la gráfica que relaciona el largo con el
siguiente:
área.
Calculation Type........ LinReg! 10.La configuración del cuadro de diálogo para
x................ c1 relacionar el largo con área es la siguiente:
y................ c2
Store RegEQ to... y1(x) ! Calculation Type....QuadReg!
Use Freq and Categories? NO! x................ c1
y................ c3
Store RegEQ to... y2(x) !

9. Al observar las dos gráficas simultáneamente
(el plot que contiene los valores del largo y
ancho, y la ecuación de regresión obtenida 11.Al oprimir ENTER se obtiene la información
en el paso anterior) se tiene: mostrada sobre el cálculo de regresión.

31


5.1.2.2 Planetas del Sistema Solar

Diseñada por Hugo Martín Cuellar García.

La siguiente tabla contiene la distancia promedio
al sol (en millones de kilómetros) y la duración
de la órbita de cada planeta del sistema solar.

Planeta Distancia al sol Duración de
(millones de Km.) la órbita
¿Qué información suministra esta pantalla?
¿Cómo se entienden los valores a=-1, b=15 y c=1. Mercurio 57.9 88
E-12 obtenidos en esta regresión cuadrática? Venus 108.2 225
Tierra 149.6 365
12.Al observar las dos gráficas simultáneas (el Marte 228 687
plot que contiene los valores del largo y el
Júpiter 778.6 4333
área, y la ecuación de regresión obtenida en
el paso anterior) se tiene: Saturno 1427.4 10760
Urano 2838.2 30686
Neptuno 4497.8 60191
Plutón 5913.5 90379

Si existiera un planeta que estuviera a una
distancia de 500 millones de kilómetros del sol,
¿cuál sería la duración de su órbita?

Si existiera un planeta cuya órbita alrededor del
sol fuera de 2000 días, ¿cuál sería su distancia
¿Contiene la ecuación de regresión obtenida al sol?
(línea continua) todos los puntos de la gráfica que
relaciona el largo con el área del rectángulo? Consideraciones
¿Qué puede concluir?
A. Gráficas Estadísticas
Describa las relaciones encontradas entre
el largo y el ancho de un rectángulo cuándo Los datos de la tabla anterior se introducen en
el perímetro es constante. un archivo en dos columnas y a partir de ellos
se obtiene la gráfica de puntos que relaciona
Describa las relaciones encontradas entre la distancia al sol (eje x) con la duración de la
el largo y el área de un rectángulo cuándo órbita (eje y).
el perímetro es constante.
1. Se observa la siguiente gráfica.
Prepare una exposición de los resultados
encontrados ser socializada con el grupo. Debe adecuar la ventana de graficación para
obtener un gráfico como el presentado.

32


B. Cálculos de regresión ¿Esta regresión si es una buena aproxima-
ción del conjunto de puntos?
Atendiendo a la pantalla anterior, se observa
que los puntos de la gráfica están más o menos Si se considera esta regresión, ¿cuáles
alineados, y por lo tanto una buena aproxi- serían sus respuestas a las preguntas de la
mación de este conjunto de puntos se realiza actividad?
mediante una regresión lineal.
4. Explore otros tipos de regresión y elija
2. La ecuación generada por esta regresión es la aquella que mejor ajuste el conjunto de
que se observa en la pantalla. datos. A partir de su elección responda las
preguntas planteadas.

Prepare una exposición, que se apoye en
los cálculos de regresión y en las gráficas
correspondientes, para dar respuesta a
los interrogantes planteados.

5.1.2.3 Crecimiento de Ratas2

¿Qué significan los valores obtenidos en Un investigador llevó a cabo un experimento
sobre el crecimiento de los huesos en ratas al
estos cálculos?
aplicar diferentes dosis de vitamina D.
3. Si los datos de la regresión fueron almace- Con un total de 38 ratas formó cuatro grupos: el
nados, al observar la gráfica de los puntos grupo A con 11, el grupo B con 11, el C con 7
junto con la ecuación de regresión se obtiene y el D con 9. Cada uno de estos grupos recibió
la gráfica mostrada. diferente dosis de vitamina D así: cada rata del

2
Adaptado del artículo “Modelación Matemática con apoyo de la calculadora graficadora TI92” de Fernando Hitt
Espinosa, en las Memorias del VII Seminario Nacional de Educación Matemática. México.

33


grupo A recibió 0.64 unidades de vitamina, cada Consideraciones
rata del grupo B recibió 1.28 unidades, cada rata
del grupo C recibió 2.15 unidades y cada rata A. Tabla de datos
del grupo D recibió 4.3 unidades.
Como puede observarse el crecimiento no es el
Al observar el crecimiento de las ratas y sobre mismo en cada grupo y por lo tanto es conve-
una escala de 0 a 24 unidades, obtuvo los niente calcular la media de crecimiento en
siguientes resultados: cada uno de ellos. De esta manera se obtiene la
siguiente tabla:
Grupo A Grupo B Grupo C Grupo D
0.64 u. 1.28 u. 2.15 u. 4.30 u. Grupo Grupo Grupo Grupo
2 4 8 14 A B C D
0 9 17 14 0.64 u 1.28 u 2.15 u 4.30 u
2 4 6 13 Promedio de
crecimiento 2.64 7.36 12.28 16.55
4 13 14 19 por grupo
0 3 17 17
5 7 16 17 B. Gráficas Estadísticas
3 4 8 20
La gráfica que relaciona la dosis aplicada a
4 4 17 cada grupo y el promedio de crecimiento ofrece
2 10 18 algunos indicios para responder los interro-
6 12 gantes planteados.
1 11
1. Sobre el eje x se toman los valores corres-
pondientes a las dosis y sobre el eje y los
1. Si se toman cuatro ratas a las que no se les valores correspondientes al promedio de
ha inyectado vitamina D y a la primera se le crecimiento.
inyecta 1 unidad, a la segunda 2 unidades, a
la tercera 3 unidades y a la cuarta 4 unidades,
¿qué crecimiento aproximado de los huesos
se observará en cada rata?

2. ¿Podría dar una ley general para calcular
el crecimiento aproximado de los huesos de
cualquier rata, suponiendo que se suministre
una cantidad de vitamina D comprendida
entre 0.64 y 4.30 unidades?

3. ¿Se puede predecir, con los datos obtenidos
por el investigador, el crecimiento de los ¿Cuál es la curva que mejor aproxima el
huesos de cualquier rata cuya dosis de vita- conjunto de datos que se observan en la
mina D sea igual a 100 unidades? gráfica anterior?

34


C. Cálculo de Regresión ajustados están los datos a la ecuación de
regresión obtenida.
Aparentemente los datos de la gráfica corres-
ponden a una función logarítmica.

2. Para realizar la regresión logarítmica se
configura la pantalla correspondiente con los
siguientes valores:

Calculation Type....LnReg!
x................ c1
y................ c2
Store RegEQ...... y1(x)
Use Freq and Categories? NO! Debe configurar adecuadamente los pará-
metros de la ventana de graficación.

Presente por escrito las conclusiones
obtenidas y prepare una exposición, que
se apoye en los cálculos de regresión y en
las gráficas correspondientes, en la que
justifique sus respuestas.

3. Los datos de la ecuación de regresión obte- 5.2 Actividades que promueven
nida se observan en la pantalla. aproximaciones a
re-organizaciones curricular

5.2.1 Introduciendo el análisis de datos.

El profesor usa las posibilidades de presentar
representaciones simultáneas para proponer
actividades de lectura de los datos y desde allí
incursionar en la toma de decisiones. Ello se
muestra en las actividades siguientes:

5.2.1.1 ¿Qué es Estudiar?

¿Qué información suministra esta pantalla? Diseñada por: Martha Bonilla Estevez

4. Si se observan simultáneamente la gráfica de Los estudiantes tienen muchas preferencias a la
puntos que relaciona la dosis con el promedio hora de elegir su futura ocupación u oficio. A
de crecimiento se puede visualizar que tan un grupo de estudiantes de grado 9° se les pidió

35


que respondieran una encuesta. Las respuestas 5.2.1.2 ¿El Mejor Avión?
están presentadas en la siguiente tabla.
Diseñada por: Edwing Carranza, Martha Bonilla
En el eje x se encuentran las diferentes profe- Estevez y Jaime Romero
siones selecciones así:
Se lanzan tres aviones de papel 10 veces, regis-
Profesor, científico, trabajador social, perio- trando los tiempos de vuelo. Se trata de selec-
dista, médico, ingeniero. cionar el mejor modelo de avión de tal manera
que “garantice mantenerse más tiempo en el
Como se muestra en la gráfica, dos estudiantes aire”
seleccionaron la profesión de trabajadores
sociales: Si se sabe además que la profesión A continuación, se muestran los compor-
más seleccionada tuvo cinco alumnos y la tamientos de cada avión, por diagramas de
menor una preferencia de 1. dispersión, cuyas parejas ordenadas relacionan
tiempo _ lanzada.

a. ¿Cuántos alumnos hay en la clase?
b. ¿Qué parte de la clase quiere ser médico?
c. ¿Qué parte de la clase quiere ser ingeniero ó
profesor?
d. ¿Son más los que quieren se profesores o los
que quieren ser científicos?

36


Tomando como base la información de las
gráficas, presente argumentos para decidir ¿cual
es el mejor avión?

(Inicie dando algunos de los datos posibles,
diga: ¿qué se representa en el eje vertical?, ¿qué
en el eje horizontal?)

¿Ahora como puede describir los datos que
están en el diagrama?

Apóyese en la información, presentada a conti-
nuación, de los respectivos diagramas de cajas
para apoyar o refutar su decisión.

Si mostramos una gráfica simultánea con las
tres situaciones, qué tanto le ayuda la informa-
ción allí representada para tomar la decisión?

Analice ahora la situación con la información
que se muestra en los histogramas:

37


una de las tres marcas que un almacén expende.
Las bombillas fueron encendidas y se registró el
tiempo de duración en horas, desde el momento
en que se prendían hasta cuando se fundían. En
los tres diagramas de caja que sigue se presenta
los resultados de la experiencia. Basándose en
la información de las gráficas argumente su
decisión de comprar o no alguna de las tres
marcas, en el supuesto de que los precios no
varíen demasiado.

5.2.2 Actividades en las que se promueve
el uso de las representaciones como
medios de validación de las decisiones
tomadas

5.2.2.1 ¿Qué tan alto?

Diseñada por: Hugo Martín Cuellar García

Realice un escrito en el que usted dé el mayor La oficina de planeación desea establecer
número de argumentos para sustentar su deci- criterios para la construcción de nuevos edifi-
sión. Trate de usar una a una la información que cios en Ciudad Esperanza, de tal forma que se
cada tipo de gráfico le proporciona. establezcan parámetros para la altura dentro de
los cuales se deban realizar las futuras cons-
5.2.1.3 ¿Cuál Bombillo? trucciones, atendiendo a principios de unifor-
midad.
Diseñada por: Edwing Carranza; Martha
Bonill Estevez y Jaime Romero Como ayuda para establecer estos criterios se
cuenta con los datos de la tabla que muestra la
Para realizar una experiencia de control de altura, en metros, de 28 edificios actuales de la
calidad se seleccionaron 20 bombillas de cada ciudad.

38


70 48 45 48 57 54 49 Plot Type........ Histogram!
x................ c1
45 43 59 57 46 58 59
Hist. Bucket Width 2
58 52 46 60 48 58 113
52 101 95 84 68 88 68

Formule una propuesta para los criterios de
altura que deben tener las construcciones de
nuevos edificios en Ciudad Esperanza.
Justifique su propuesta.

Consideraciones
A. Variables estadísticas

1. Luego de introducir los datos en el editor
de datos y matrices (F5) se piden las varia-
bles estadísticas. Estas se observan en la
pantalla. 3. Para observar el histograma se oprime ◊ R
(Graph)

El valor de la desviación estándar
Sx=18.355794 es alta en comparación con
el número de datos nStat=28.

¿Qué conclusión se puede establecer al comparar La ventana de graficación está configurada
la desviación estándar, la media y el número de así:
datos?
¿Qué otra información significativa se puede
38 < x < 118, con xscl=4
obtener de estos datos?
-1 < y < 6, con yscl=1
B. Histogramas
4. Al modificar el ancho de las barras del histo-
2. La configuración del plot correspondiente a grama (Hist. Bucket Width) la presentación del
estos datos se establece con los siguientes cambia. Por ejemplo con ancho 5 se tiene la
parámetros: gráfica que se observa.

39


70 48 45 48 57 54 49
45 43 59 57 46 58 59
58 52 46 60 48 58 113
52 101 95 84 68 88 68

Puesto que los valores de esta tabla oscilan entre
43 y 113, se pueden considerar como tallos los
En este caso también se debe modificar la valores de las decenas y como hojas los valores
ventana de graficación para tener una buena de las unidades y así construir un diagrama a
imagen del histograma. dos columnas en el cual los tallos se representan
en una de ellas y las hojas en la otra, como se
A partir de estos histogramas, ¿qué otra infor- observa a continuación:
mación se obtiene para establecer los criterios
solicitados sobre la altura de los edificios? Tallos Hojas
5. Explore las diferentes representaciones que 4 355668889
se obtienen al variar el ancho (Hist. Bucket 5 2247788899
Width). Seleccione la que crea más conve-
niente para justificar su propuesta. 6 088
7 0
Formule por escrito una propuesta sobre los 8 48
criterios de construcción de edificios en Ciudad
9 5
Esperanza y justifíquela teniendo en cuenta la
exploración realizada con la calculadora. 10 1
11 1
Prepare una exposición de su propuesta
para ser socializada con el grupo.
Este diagrama, que es en realidad un histograma,
informa sobre la distribución de los datos. En
5.2.2.2 Temas complementarios a ¿Qué tan este caso se observa que hay aglomeración de
Alto? datos hacia la parte inicial de la tabla.

Diseñada por: Hugo Martín Cuellar García ¿Qué significa esta información frente al
problema de discusión de esta actividad?
Temas complementarios
B. Intervalos y Marcas de Clase
A. Diagrama de tallos y hojas
La información de la tabla anterior se puede
A partir de la tabla inicial sobre las alturas de 28 presentar mediante intervalos considerando el
de los edificios de Ciudad Esperanza se confi- número de datos correspondiente a cada uno de
gura un diagrama de Tallos y Hojas. los “tallos”, así:

40


Entre 40 y 49 hay 9 datos El histograma que se genera con estos datos
Entre 50 y 59 hay 10 datos (columnas c3 y c4) ofrece información en torno
Entre 60 y 69 hay 3 datos a la situación propuesta.
Entre 70 y 79 hay 1 dato
Entre 80 y 89 hay 2 datos 3. Para observar el histograma se configuran
Entre 90 y 99 hay 1 dato los datos que aparecen a continuación:
Entre 100 y 110 hay 1 dato Plot Type........ Histogram!
Entre 110 y 120 hay 1 dato x................ c3
Hist. Bucket Width 10
Con esta información se puede crear una tabla Use Freq and Categories? YES!
en la calculadora que inicialmente cuente con Frec............. c4
dos columnas, la primera para el límite inferior
de cada intervalo y la segunda para el corres- Y para confirmar se oprime ENTER dos veces.
pondiente límite superior.

1. Una vez estén introducidos los datos corres-
pondientes a los límites inferior y superior
de cada intervalo se escribe la instrucción
para hallar el valor medio (marca de clase)
de cada uno de ellos (c1+c2)/2.

4. El histograma que se genera se observa en la
gráfica.

En este caso los parámetros de la ventana de
graficación son:
30 < x < 130, con xscl=5
-1 < y < 12, con yscl=1

2. Para completar la información se ubican las
frecuencias de cada intervalo.

De igual manera se puede observar el polígono
de frecuencias y la ojiva de frecuencias acumu-
ladas.

41


5. Para el polígono de frecuencias se configuran 37 < x < 122, con xscl=5
los siguientes datos: 0 < y < 30, con yscl=1
Plot Type........ xyline!
Mark............. Box!
x................ c3
y................ c4
Y para confirmar se oprime ENTER dos veces

C. Gráficas simultáneas

La calculadora permite observar simultánea-
mente dos o más gráficas estadísticas, de tal
manera que se puedan establecer comparaciones
entre una y otra. Un ejemplo de esta compara-
6. El polígono de frecuencias se observa como
ción puede establecerse entre el histograma y
aparece en la gráfica.
el diagrama de frecuencias acumuladas tratados
en esta sección.

8. Para observar las gráficas simultáneamente
se activan los plots que se quieran observar.
En este caso se configura un plot 1 para
obtener la gráfica del en el numeral 4, y otro
plot diferente para obtener la gráfica del
numeral 7.

Se utiliza los mismos parámetros para la
ventana de graficación.

Recuerde que para realizar el polígono de
frecuencias acumuladas debe crear en la tabla
una nueva columna (c5) con los valores acumu-
lados de la columna c4. Para el diagrama se
utilizan, en este caso, las columnas c3 y c5.

7. Esta gráfica se obtiene con los valores de la
ventana de graficación especificados a conti- 9. El histograma y la ojiva juntos se observan
nuación: como en la gráfica.

42


Encienda la calculadora y en la pantalla prin-
cipal (HOME) borre el área de registro con F1+8.
Borre la línea de comandos con CLEAR.

• Creación de las listas.

Las listas se escriben en la línea de comandos
entre corchetes { }. Para crear la lista de las
abscisas teclee 2nd(l,2,3,4,5 2nd)STO ListaX
ENTER. Repita el procedimiento para la lista de
Los parámetros de la ventana no se han modi- las ordenadas y almacénela en ListaY.
ficado en relación con la última gráfica
Graficación.
¿Qué relaciones puede establecer entre las dos
gráficas? Para graficar los datos presione ♦W y así
entrar al editor de funciones. Si ya hay algún
¿De qué manera utiliza la información de estas gráfico estadístico (Plot) definido, presione
dos gráficas para apoyar su propuesta sobre los F5+1 y seleccione All off para des-seleccio-
criterios de construcción de nuevos edificios en narlos todos. Presione la tecla del cursor hacia
Ciudad Esperanza? arriba para seleccionar el primer gráfico (Plot)
libre y presione ENTER. Aparecerá la siguiente
5.2.3. Actividades en las que se incorporan pantalla:
herramientas conceptuales al alcance
de los alumnos que les sirven para dar
sentido a conceptos estadísticos que
de otro modo serían muy difíciles.

5.2.3.1 Regresión Lineal3

Diseñada por: Hugo Martín Cuellar García

Una regresión es un intento de modelar con una
ecuación datos obtenidos experimentalmente.
En este taller vamos a crear unas listas de datos Escriba listax y listay en las casillas respectivas.
e intentaremos determinar la ecuación lineal Luego oprima dos veces ENTER
que mejor se ajuste a dichos datos.
Para dividir la pantalla en dos regrese a la
Problema. pantalla principal oprimiendo ♦HOME. Luego
oprima MODE F2 y con el cursor seleccione
Encuentre la ecuación lineal que mejor se Split Screen y 3: Left-Right. Oprima ENTER para
ajusta a los datos (1 ,6), (2, 10), (3, 13), (4, confirmar. La pantalla aparecerá dividida, con
12), (5, 17). la gráfica a la derecha.

3
Adaptación de un taller de DISCOVERING MATH ON THE TI-92

43


Oprima ♦R (GRAPH) para mostrar la gráfica de como la diferencia entre la abscisa del punto
los datos. Para ajustar los datos a la pantalla dado y la abscisa de ese punto en la línea; pero,
presione F2 (Zoom) y seleccione 9: ZoomData. para evitar que las diferencias positivas (de los
Debe obtener una pantalla como la siguiente: puntos que están encima de la línea) se anulen
con las diferencias negativas (de los puntos que
están debajo de la línea), se toma el cuadrado de
la diferencia. Por eso este es el método de los
mínimos cuadrados.

Sumamos entonces los cuadrados de las dife-
rencias suponiendo que la línea que mejor se
ajusta a los datos será aquella tal que suma
de los cuadrados de sus distancias sea la más
pequeña. Para ello:

Fíjese que la parte derecha tiene un borde - presione F4+1 y seleccione Define
grueso. Esto significa que es la parte de la - escriba ss=sum((listay-yl (listax))^2) y
pantalla activa. Para activar la otra parte de la oprima ENTER
nd
pantalla oprima 2 APPS. - verifique la exactitud de la fórmula tecleando
ss y oprimiendo ENTER
• Búsqueda de la ecuación que modela los - debe obtener
datos. 5 k2 + k (30 m - l 16) + 55 m2 - 396 m + 738
- si no obtiene este valor, revise su ecuación.
Ahora se quiere definir una ecuación que
modele los datos. Como en la gráfica parece Llegó el momento de ensayar los valores de m y
que la mayoría de los puntos están en una recta, k para ajustar la línea a los datos. Para comenzar
buscaremos una ecuación lineal de la forma tomemos m = 2, k = 2. Presione ENTER y
y = m x + k. Podría hacerse en el editor de datos CLEAR.
Data/Matrix Editor, si los datos se hubiesen
capturado en una tabla. En este caso vamos a - 2 STO m ENTER
hacerlo desde la pantalla HOME. Para hacerlo: - 2 STO k ENTER
- ♦GRAPH
Escriba m x + k STO y1(x) y oprima ENTER. Veri-
fique la exactitud de su ecuación escribiendo Debe obtener una pantalla como la siguiente:
y1(x) ENTER. Si ve expresiones numéricas en
lugar de m x + k es porque tiene almacenado
algún valor para las variables. En ese caso
oprima F6+1 y repita este procedimiento.

Ahora necesitamos definir un criterio numérico
para saber qué tan ajustada está la ecuación con
relación a los datos. Si la línea está bien ajus-
tada, la distancia de cada uno de los puntos a la
línea debe ser mínima. Esta distancia se toma

44


Esta no es una buena aproximación. Presione
2nd APPS para activar la pantalla HOME y escriba
ss para ver el coeficiente de ajuste.

Con m = 2 y k = 2, la línea y = 2 x + 2 tiene una
suma de cuadrados de 74.

Intente encontrar una buena aproximación con
valores diferentes para m y k. Verifique mirando
la gráfica y calculando el coeficiente ss.

La TI-92 utiliza el método de los mínimos
cuadrados para calcular la ecuación que mejor
se ajusta a los datos. Desde la pantalla HOME
presione 2nd MATH y seleccione 6: Statistics, 3:
Regression y 1: LinReg. Luego escriba listax,
listay ENTER. Para ver los resultados escriba
showstat y oprima ENTER.

5.2.4. Actividades que promueven nuevas
formas de evaluación, basada en la
interrelación de representaciones.

5.2.4.1 Haciendo Parejas

Diseñada por: Edwing Carranza

Encuentre parejas de gráficas: histograma y
ojiva de frecuencias acumuladas, que corres-
pondan al mismo conjunto de datos. Justifique
su respuesta.

45


5.2.4.2 Haciendo Ternas

Diseñada por: Edwin Carranza

Encuentre ternas de gráficas: histograma, ojiva
y diagrama de cajas, que correspondan al mismo
conjunto de datos. Justifique sus respuestas.

46


5.3 Actividades que promueven
una re-organización cognitiva
presentando nuevos contenidos
curriculares, o nuevos
significados de un concepto.

5.3.1 La Mediana

Diseñada por: Martha Bonilla Estevez y Jaime
Romero

Dos aviones de diferente modelo son lanzados
10 veces al aire y tomados los tiempos de vuelo.
Los datos se muestran en la tabla siguiente.

47


TRANSFORMANDO LA CAJA.

Las cajas muestran la información obtenida,

¿Cómo puede ser la caja si introduzco los
siguientes datos: 1.53, 1.64 y 1.84?
¿Por qué obtenemos ese resultado?
Haga un recuento de los datos y elabore la
siguiente tabla:

C1 C2
Datos entre 1.45 y 1.53
Para cada una realice lo siguiente: Datos entre 1.84 y 1.94

Ubicar los valores Min, y Máx en las ¿Por qué razón las cajas son las mismas?
gráficas.
Ubicar los valores q1, q3 y Mediana en las Introduciendo datos a la tabla inicial realice
gráficas. las siguientes construcciones:
Haga un recuento, en la tabla de valores
ordenados para saber ¿cuántos datos quedan Cajas cuya diferencia sea la Mediana
antes de q1 , q3 y Mediana? Cajas cuya diferencia sea el q1
¿Cuántos entre q1 y Mediana? , ¿cuántos entre Cajas cuya diferencia sea el q3
y q3 y Mediana?. ¿Qué puede deducir? Cajas cuya diferencia sea el q1, Me y q3.

48


En la actividad anterior se tomaron 15 datos.
Encontramos que los cuartiles y la Mediana son
valores que están en los datos iniciales. Ahora,
realice lo mismo pero con un número par de
datos (n=16).

¿Qué condiciones deben tener los datos para
que q1, Me y q3, sean valores de los datos? Y
para que ¿ no sean valores de los datos?
Pagar lo correspondiente a 891 marcaciones,
Con base en la actividad realizada esta-
con lo cual a usted no se le aumentaría el valor
blezca algunas propiedades generales de los
del servicio por los siete meses siguientes.
cuartiles y la mediana.
Como usted se puede presentar una contrapro-
puesta, después de analizar los datos presentados
5.3.2 Invente la Situación en la gráfica, usted le ofrece a la empresa un pago
correspondiente a 887 pulsaciones argumentando
Diseñada por Edwing Carranza que es una propuesta equitativa puesto que ese es
el valor por encima del cual están tres consumos
Con la información que se dispone en la gráfica y por debajo de él los otros tres.
siguiente, reconstruya los datos e invente una
situación. La empresa le responde con un NO, argumentando
que eso significa para ellos pérdida de dinero.

Dé argumentos para demostrar con cuál de las
dos propuestas ni usted ni la empresa pierden
dinero. Apóyese en gráficos y tablas.

5.4 Proyectos que promueven un
trabajo integrado
Articulan no sólo el ámbito de la estadística y
la probabilidad sino también con otros ámbitos
5.3.3 La Cuenta del Teléfono de la matemática escolar como: el pensamiento
numérico y el variacional.
Diseñada por: Martha Bonilla Estevez y Jaime
Romero
5.4.1 Licitación Pública
La empresa de teléfonos de la ciudad, debido al
cambio de tecnologías para registrar las marca- Diseñada por: Martha Bonilla Estevez y Jaime
ciones realizadas por usted en un mes, decidió Romero con los practicantes de la Licencia-
presentarle la siguiente propuesta de pago para tura en Matemáticas de la Universidad Distrital
los siguientes siete meses: “Francisco José de Caldas”

49


OBJETO 4. Una ejemplificación del movimiento de
la cafetería durante una semana en la
En el marco del proyecto Incorporación de que ocurre que:
Nuevas Tecnologías al Currículo de Matemá-
ticas de la Educación Media de Colombia el ♠ El lunes es festivo.
colegio está interesado en recibir propuestas ♠ El miércoles tres cursos del colegio tienen
factibles para la creación de una cafetería salida pedagógica durante toda la jornada.
escolar.
• El colegio se compromete a estudiar la
PARTICIPANTES posibilidad de destinar el dinero que el
grupo licitante solicite, siempre y cuando
Podrán presentar las propuestas estudiantes de demuestre que ha de usarlo en la ejecución
los cursos de esta institución, conformados en de la propuesta. Este dinero sería entregado
grupos de 4, pues la intención es ver la posibi- en calidad de préstamo, sin intereses, a un
lidad de que estos establecimientos puedan ser plazo máximo de seis meses para su resti-
administrados ellos mismos. tución total; luego de ese tiempo se cobrará
el interés correspondiente a la taza bancaria
CONTENIDO MÍNIMO DE LA PROPUESTA existente para cada mes.

Cada grupo licitante deberá presentar su CRITERIOS DE SELECCIÓN
propuesta especificando como MÍNIMO:
• Las propuestas completas se recibirán a más
1. Necesidades locativas (tipo, costo de adecua- tardar el día fijado por el comité organi-
ción y valor del arrendamiento). zador de la licitación. Los avances de cada
2. Necesidades de muebles y enseres (tipos, propuesta se irán solicitando semanalmente
cantidades, costos). a partir de la fecha de entrega de esta convo-
3. Necesidad de personal para el funciona- catoria.
miento del negocio (cantidad, funciones,
tiempo de trabajo por persona, salario). • Para la asignación del puntaje, el jurado
4. Artículos para la venta (cuáles, cuántos, valor calificador tendrá en cuenta lo siguiente:
de compra, valor de venta,...).
5. Número de usuarios del negocio. 1. Cumplimiento del contenido mínimo de
la propuesta.
CONDICIONES
2. Cumplimiento de cada una de las condi-
• La propuesta deberá estar respaldada por ciones.
estudios que muestren:
3. Presentación de la propuesta mediante
1. Que se ha tenido en cuenta la opinión de gráficos y tablas numéricas.
los clientes potenciales.
2. Los criterios para tomar decisiones. 4. Sustentación pública de la propuesta
3. La viabilidad económica de la usando los recursos tecnológicos con los
propuesta. que cuenta la institución.

50


5.4.2 El Mejor Avión CONDICIONES DEL TRABAJO

Diseñada por: Martha Bonilla Estevez y Jaime • Los alumnos de cada curso se organizarán en
Romero con los practicantes de la Licencia- grupos de a tres.
tura en Matemáticas de la Universidad Distrital • Cada grupo tiene la posibilidad de selec-
“Francisco José de Caldas” cionar el "mejor avión” entre tres que diseñe,
construya y, por supuesto, pruebe
En su libro “Aviones de Papel. Records • Cada grupo tomará como mínimo 20 medi-
Mundiales para Reconstruir”, Ken Blackburn4 ciones de cada modelo, en recinto cerrado, y
y Jeff Lammers describen algunos diseños para con base en esa información tomará la deci-
la construcción de aviones y esbozan algunos sión sobre la elección.
principios técnicos de vuelo tales como fuerza • Todos los grupos presentarán sus resultados
ascensional y resistencia que se pueden tener en usando los recursos tecnológicos con los que
cuenta a la hora de experimentar la emoción y cuente la institución
diversión que produce “hacer volar un pedazo
de papel”. Notas para tener en cuenta:

Los niños por naturaleza se divierten jugando El record mundial de tiempo de vuelo, en recinto
con papel, construyen barcos y aviones y cerrado, está en 18.8 segundos.
dejando volar su imaginación a un mundo sin El record mundial de distancia para vuelo, en
restricciones; muchos de ellos son “expertos” recinto cerrado, está en 60 metros.
constructores y sus diseños compiten en belleza
y fortaleza con cualquiera otro que se ponga en
juego. 5.5 Actividades con instrumentos
que reorganizan el currículo

El colegio realizará una competencia de Presentación General:
vuelo con aviones de papel. Cada curso
debe seleccionar el mejor modelo de avión Las herramientas estadísticas que en adelante
con su respectivo piloto de tal forma que referimos como ‘minitools’ fueron desarrolladas
les permita: por Paul Cobb, Koeno Gravemeijer y Janet
Bowers de la Universidad de Vanderbilt en
a) mantenerlo más tiempo en el aire y/o Estados Unidos, aunque la programación reque-
b) lanzarlo a una mayor distancia. rida fue realizada por Michiel Doorman, Marco
van Eck, Bastiaan Heeren, y Dick Wesseling
La selección del modelo debe basarse en en el Instituto Freudenthal de Holanda, con el
diferentes pruebas que sustenten su elec- apoyo de la National Science Foundation (Grant
ción dentro de las opciones presentadas No. REC 9814898), y creadas con la intención
por el curso. de servir de instrumentos en el aprendizaje y

4
Según el Libro de los Records Guinness, Ken Blackburn obtuvo el actual record mundial de vuelo de un avión de papel el 17
de febrero de 1994 en el hangar n° 10 de American Airlines, Aeropuerto JFK, Queen, NY.

51


la enseñanza en la estadística de la educación Presentación inicial de los datos
media. Los interesados pueden usarlas gratui-
tamente, accediendo a una de las siguientes En la gráfica cada punto representa el tiempo
páginas: de respuesta en minutos. Los puntos verdes
corresponden a los tiempos de respuesta de las
• http://peabody.vanderbilt.edu/depts/tandl/ ambulancias Acme y los rosados a los de las
mted/minitools/minitools.html
ambulancias Linelife.
• http://www.fi.uu.nl/~arthur/

Las tres clases de minitools, se asocian cada
una a una situación en la que se requiere tomar
una decisión en condiciones de incertidumbre
aunque contando con una muestra de datos
reales. Las minitools 1 y 2 permiten realizar
análisis exploratorio de datos describibles
mediante una variable, la minitools 3 está enfo-
cada al análisis exploratorio de datos describi-
bles en dos variables.

Presentamos a manera de ejemplo, una de las acti- Ahora bien como apoyo a la actividad cognitiva
vidades propuestas y las posibilidades que Mini- del estudiante la minitools le permite tomar los
tool 2 le brinda al alumno para que ‘la resuelva’. conjuntos de datos y agruparlos de tal manera
que resulten grupos iguales de determinado
Ambulancias tamaño, realizando el conteo del número de
datos que queda en cada intervalo. Con este
Los datos tomados corresponden a los tiempos procedimiento se obtiene la gráfica de un histo-
empleados para atender las llamadas de emer- grama y por último de una caja, al tiempo que
gencia efectuadas en un mismo distrito escolar a mantienen en el mismo campo visual el conjunto
las compañías de ambulancias Acme y Linelife de datos que es examinado.
en los últimos 12 meses. El tiempo empleado
por las ambulancias, medido en minutos, es
la duración desde el recibido de una llamada
hasta su llegada al lugar donde debe atender la
emergencia. En estos meses hubo 162 llamadas
de emergencia a la compañía Acme y 205 a la
Linelife.

El propósito de la actividad es ayudar al distrito
escolar a decidir cuál de las dos compañías debe
ser contratada para atender todas las llamadas
de emergencia en el distrito si la prioridad a
considerar es la rapidez de la respuesta.

52


¿En qué se puede apoyar la decisión del alumno?
Un posible camino puede ser el siguiente:

Los tiempos máximo y mínimo de respuesta
de las dos compañías de ambulancias son los
mismos. Al hacer uso de lo encontrado en el
histograma vemos que las ambulancias de la
compañía Acme llegan con mayor frecuencia
en los intervalos de menor tiempo entre 6 y 10
minutos y con menor frecuencia en los inter-
valos de mayor duración entre 18 y 20. Mientras
También la herramienta le permite estudiante tanto las ambulancias de la compañía Linelife
“esconder los datos” con lo que inicia un proceso tienden a llegar casi con la misma frecuencia
de abstracción en términos de considerar los entre 10 y 18 minutos. De allí podemos afirmar
gráficos como representantes de las caracter- que debemos seleccionar a Acme.
ísticas de los datos sin que ellos necesariamente
estén presentes. Ahora bien observando el gráfico en el que
se muestra los datos divididos en dos grupos
Mostramos a continuación el caso de dividir en iguales, se deduce que la mitad de las veces
dos grupos iguales y en cuatro. Acme llega por debajo de 10,5 minutos mien-
tras Linelife lo hace por debajo de 12 minutos.
ACME Por lo tanto se debe seleccionar a Acme.

Si observamos el gráfico de cajas, vemos que
la cuarta parte de las veces las ambulancias
de Acme llegan con un tiempo inferior a 8,5
minutos mientras que también otra cuarta parte
de las veces llegan con un tiempo superior
a 14 minutos; en tanto las ambulancias de la
compañía Linelife, la cuarta parte de las veces
llegan antes de 9,5 minutos o arriban después de
15,5 minutos.

Por lo tanto, se habrá de seleccionar a Acme.
LINELIFE Pero es posible aun construir otros argumentos
para tomar la decisión.

53


A manera de epílogo
En (Mockus, 1988, pp. 29-44), el autor defiende, cable retornándolo al flujo del lenguaje, de la
entre otras, la tesis de que la comprensión actual vida y al embate de la razón para seguir siendo.
del conocimiento posiblemente no pueda catalo-
garse de mejor que las comprensiones anterior- Así pues, aunque el azar y la incertidumbre
mente logradas, sino que esta nueva comprensión han estado presentes como vocablos desde
obedece a una transformación histórica del cono- siglos (es posible encontrarlos en los diálogos
cimiento. Propone también que esta compren- de Platón, también allí aparecen como no
sión sobre el conocimiento es compatible con las deseables, en tanto imposibles de ser pensados
dos comprensiones caracterizadoras de nuestra como miembros de una estructura coherente y
época: el ser como lo disponible para ser inter- digna de la verdad) es con Fermat y Laplace
venido y la verdad como certeza que se erige y que a partir de vincular la parte formada por las
permanece al embate de la razón. posibilidades de obtener un resultado específico
con relación al total de formas posibles de
En nuestra época culmina un desplazamiento obtener todos los posibles resultados, con la
del eje de la autocomprensión del conoci- frecuencia con la que éste aparece en diversas
miento. En vez de entenderse por referencia prácticas de un mismo juego, matematizan
a la percepción o a un esquema que la reitera ciertas situaciones específicas de juego. El
desplazándola a otros terrenos, el conoci- azar en algunas de sus manifestaciones ha sido
miento se autocomprende por referencia a intervenido quedando disponibles métodos para
la acción y el lenguaje. Es posible que este ello; el azar ha ganado estatus de ser.
giro corresponda más a una transformación
histórica del conocimiento mismo que a una Hoy constituido en principio regulador de rela-
rectificación tardía o a un desvío arbitrario – ciones atómicas (principio de incertidumbre de
pretérito o actual- de la tradición filosófica. Heisemberg) y de relaciones genéticas (leyes
de Mendelson), tal el nivel de injerencia que lo
Tal nueva concepción del conocimiento emerge asiste. Sin embargo, para el proceder de nuestra
explícita con los trabajos de Heidegger y se escuela y de parte de la sociedad orientados aún
diversifica con la diversificación de la compren- por concepciones deterministas de las ciencias,
sión de la representación con Pierce, Marx, que estiman aún la existencia de verdades únicas
Dewey, Piaget, Vigotsky… pero, se funda en y absolutas rechazan el azar y la incertidumbre
las ideas desarrolladas por Descartes acerca de en las explicaciones, recuérdese que Einstein
la representación y el álgebra. los rechazó como explicación satisfactoria de
la estructura del universo, que enfatizó cuando
Conocer es, cada vez más radicalmente, una acti- dijo “Dios no juega a los dados”.
vidad humana caracterizada por la presencia de
un diseño -que explícitamente expresa tanto la Por otra parte, dada la fuerte presencia de
manera en que se obtendrá el logro de unos resul- acciones y relaciones basadas en el azar, juegos,
tados previamente escogidos como porqué esta loterías, predicciones climáticas, literalmente
manera es garante de la validez de los mismos- todos los días aparecen expresiones asignando
que recae sobre el ser dispuesto en sus repre- medidas a la ocurrencia o no de resultados de
sentaciones para ser intervenido y modificado esas acciones y de esas relaciones, esto va cons-
tornándolo más accesible pero también verifi- truyendo eso que Fischbein (1975) llama intui-

54


ciones primarias lejos aún de las intuiciones la de provocar en los aprendices ampliación o
secundarias provenientes de una conceptua- reorganización cognitiva y si pretende generar
lización científica que debe ser producida en elementos hacia una ampliación o una transfor-
el ámbito escolar. Según lo dicho, con el azar mación del currículo en estadística.
y con la incertidumbre ocurre un fenómeno
compuesto por dos aspectos contradictorios que La tecnología básica dispuesta en la TI-92 plus
le impone a la escuela formas de intervención está dirigida en estadística más hacia la amplia-
para promover su comprensión. ción. Pero acudiendo a los sensores y al uso
intensivo de la interfase con el computador,
Como hemos visto, las tecnologías compu- esta tecnología se ubica con mucha bondad en
tacionales son instrumentos privilegiados de la reorganización cognitiva y genera elementos
intervención y exploración del azar y la incer- iniciales para la transformación curricular.
tidumbre gracias a su posibilidad de producir
representaciones ejecutables, pero sobre todo Cabe anotar que aunque el uso de las tecnolo-
gracias a la gran posibilidad de producir herra- gías pueden rediseñar la actividad del profesor
mientas para intervenir los elementos, consti- (Romero y Bonilla 2003), una transformación
tuyentes de las situaciones que les dan sentido curricular rebasa con mucho la voluntad de
(datos), disponiéndolos en distintos dispositivos un profesor, más aún, de un grupo de profe-
gráficos y simbólicos a su vez manipulables sores. Una transformación curricular involucra
mediante herramientas dispuestas para ello. esferas de decisión institucional que, en nuestro
actual sistema educativo, llega a tener carácter
La cantidad de estas herramientas de explo- nacional puesto que afecta propósitos y formas
ración e intervención y su calidad medida en de evaluarlos, piénsese no más de qué manera se
términos de menor requerimiento cognitivo y puede evaluar, con pruebas masivas, el tipo de
accesibilidad para su uso que el requerimiento resolución propuesto por Gal y Garfield (1997) y
cognitivo para comprender y conceptuar sobre sin embargo en su propuesta la contribución a la
el azar y la incertidumbre son indicador muy experticia de los estudiantes en este tipo de reso-
fuerte acerca de si la intención dispuesta en lución es un hecho fundamental para la adquisi-
una determinada tecnología computacional es ción de un buen razonamiento estadístico.

55

BIBLIOGRAFIA

Batanero, C., Estepa A.,Godino, D. (1991) Análisis exploratorio de datos: sus posibilidades en la
enseñanza secundaria. Suma No 9: 25-31.

Batanero C. (2001a) Aleatoriedad, Modelización, Simulación Departamento de Didáctica de la
Matemática, Universidad de Granada Presentado en la X Jornadas sobre el Aprendizaje y la Ense-
ñanza de las Matemáticas, Zaragoza.

Batanero C. (2001) Didáctica de la Estadística. Universidad de Granada.

Batanero, C., Godino, D. Green R., Holmes, P. y Vallecillos, A. (sin fecha) Errores y dificultades
en la comprensión de los conceptos estadísticos elementales. International Journal of mathematics
Education in Science and Tecnology, 25(4), 527 -547.

Batanero, C. Godino, J. (2002) Estocástica y su didáctica para maestros. Universidad de
Granada.

Cobb (2001). Minitools CD Universidad de Vanderbilt.

Cobb P. y McClain K. (Sin fecha) Learning About Statistical Covariation Vanderbilt University
Koeno Gravemeijer Freudenthal Institute, University of Utrecht and Vanderbilt University

Fischbein,E. (1987) Intuition in science and mathematics. Durdrecht: Reidel Publishing
Company.

Gal I.y Garfield, J. eds. (1997) The Assesment Challenge in Statistics Education. Amsterdam: IOS
Press.

L., CHAO, Lincoln. (1996) Estadística para las Ciencias Administrativas. Tercera Edición. Edito-
rial McGrawHill. Bogotá D.C. 464 P.

MARTE, Yoryi Alexander. Historia de la Estadística. Documento en línea http://www.geocities.
com/ymarte/trab/esthistor.html

Ministerio de Educación Nacional (1998) Lineamientos curriculares. Santa Fe de Bogotá.

Ministerio de Educación Nacional (2003) Tecnologías computacionales en el currículo de mate-
máticas. Enlace Editores Ltda.. Bogotá.

57


____________________________. (1988) Propuesta de Programa Curricular. Marco General.
Educación Básica Secundaria Grados 6, 7, 8, 9. Editorial CASE. Bogotá. 1988.

Moreno, L. (2002). Instrumentos matemáticos computacionales. En: Memorias Seminario Nacional
de Formación de Docentes: Uso de nuevas tecnologías en el aula de matemáticas. Bogotá: MEN,
Enlace Editores Ltda Pág. 81-86

Moreno, L. (2002a). Evolución y tecnología. En: Memorias Seminario Nacional de Formación de
docentes: Uso de nuevas tecnologías en el aula de matemáticas. Bogotá: MEN, Enlace Editores
Ltda. Págs. 67 – 80.

Moreno, L. y Waldegg, G. (2002) Fundamentación cognitiva del currículo de matemáticas. En:
Memorias Seminario Nacional de Formación de Docentes. Uso de Nuevas tecnologías en el Aula
de Matemáticas. Bogotá: Ministerio de Educación Nacional.

Ortiz de Haro, J. (2002) La probabilidad en los libros de texto. Tesis doctoral. Grupo de Inves-
tigación en Educación Estadística. Departamento de Didáctica de la Matemática Universidad de
Granada.

PERERO, Mariano. (1994) Historia e Historias de Matemáticas. Grupo Editorial Iberoamérica.
México D.F. 193 P.

Romero, J. y Bonilla M. (2003) La calculadora como re-diseñadora de la finalidad del trabajo
del profesor En: Ministerio de Educación Nacional (2003) Tecnologías computacionales en el
currículo de matemáticas. Enlace Editores Ltda.. Bogotá. Págs. 7-15

SOCIEDADES BIBLICAS UNIDAS. (1960) La Biblia. Libro II. de Samuel, Capítulo 24; Libro
Evangelio de San Lucas, Capítulo 2.

Tauber, M. (2001) La construcción del significado de la distribución normal a partir de activi-
dades de análisis de datos. Tesis doctoral. Universidad de Sevilla: Departamento de didáctica de
las matemáticas.

VALDES, Fernando (1998). Comprensión y uso de la estadística. Universidad Rómulo Gallegos.
Documento en línea http://www.cortland.edu/flteach/stats/stat-sp.html .

______. ¿Qué es la estadística? Historia de la estadística. Documento en línea http://www.lafacu.
com/apuntes/matematica/Estadisticas/default.htm

58

ANEXOS

ANEXO 1: Cálculo y representación de datos estadísticos4

El siguiente esquema describe, en forma general, los pasos empleados para realizar cálculos esta-
dísticos o representaciones gráficas.

Ajuste el modo Graph (3) en FUNCTION

Introduzca los datos estadísticos en
Data/Matrix Editor (O 6)

Realice cálculos estadísticos para
hallar variables estadísticas o para
ajustar datos a un modelo (□)

Defina y seleccione gráficos
estadísticos
(□ y, a continuación, □)

Defina la ventana de visualización (∞ ∃)

Cambie el formato gráfico (∞ F), en
caso de ser necesario.

Represente los gráficos estadísticos y
funciones seleccionadas (∞ %).

4
Adaptado de Texas Instruments Incorporated, Manual del usuario TI-92, p. 192, 1996

59


ANEXO 2: Enunciados para otras actividades

1. Estatura y número de calzado AÑO NOMBRE TIEMPO (seg)
¿Existe alguna regla general que permita
1960 Armin Hary 10.2
determinar, con algún grado de aproxima-
ción, el número de calzado de una persona 1964 Bob Hayes 10.0
cuando se conoce su estatura? 1968 James Hines 9.95
1988 Carl Lewis 9.92
2. Comprobando intuiciones sobre el azar5 1996 Donovan Bailey 9.84
¿Cómo piensa que deberían ser los resultados
de lanzar una moneda 20 veces seguidas? Con esta información ¿es posible predecir cuáles
¿Sería capaz de escribir 20 resultados de serán las marcas esperadas en las próximas
lanzar una moneda, sin lanzarla realmente, olimpiadas (2004 y 2008)?
sino como usted piensa que debería salir,
de forma que otra persona piense que en 5. Carbono 146
realidad se ha lanzado la moneda? ¿podría La cantidad de carbono 14 contenida en algún
otra persona adivinar si se ha hecho trampa? objeto puede indicar aproximadamente la
antigüedad de dicho objeto. Los científicos
3. ¿Cómo son los alumnos de la clase? han determinado esta variación, del carbono
Se trata de elaborar un perfil de los estu- 14 según la antigüedad, como aparece en la
diantes, identificando el estudiante típico y información de la siguiente tabla:
analizando si hay diferencias entre el niño
típico y niña típica. Además de deben identi- Antigüedad Cantidad de C14
ficar las relaciones entre las variables identi- (años) (dmg)
ficadas. 1000 13.56
4000 9.43
4. Marcas olímpicas en 100 metros planos 6000 7.4
La siguiente tabla muestra algunas las marcas 9000 5.15
olímpicas obtenidas a través de la historia. 11000 4.04
14000 2.81
AÑO NOMBRE TIEMPO (seg) 16000 2.21
1896 Thomas Burke 12 17000 1.95
1904 Archie Hahn 11
• Se han encontrado tres objetos que contienen
1920 Charles Paddock 10.8 respectivamente 10 dmg, 8.03 dmg y 3.09
1924 Harold Abrahams 10.6 dmg de C14, ¿cuál es la antigüedad aproxi-
1936 Jesse Owens 10.3 mada de cada uno de ellos?

5
Esta actividad, junto con la siguiente, se han adaptado del libro de Carmen Batanero “Didáctica de la Educación Estadística”.
Departamento de Didáctica de la Matemática. Universidad de Granada. 2001
6
Esta actividad, junto con la siguiente, se han adaptado del artículo de Adatado del artículo de Fernando Hitt Espinosa “Mode-
lación Matemática con apoyo de la calculadora graficadora TI92”

60

ANEXOS

• ¿Cuál será la concentración de C14 de un • ¿Cuál es la distancia mínima que necesita un
objeto cuya antigüedad se estima en 25000 auto que viaja a 100 km/h para poder frenar
años? con seguridad?

6. Distancia de frenado • Un auto viaja a 60 km/h cuando repentina-
La distancia de frenado de un auto depende mente una vaca se pone en su camino a 34
de la velocidad con la que se desplace. La metros de distancia. ¿Es posible predecir,
siguiente tabla muestra la distancia aproxi- con los datos de la tabla, si el auto alcanzará
mada que se requiere para frenar según la a frenar antes de atropellar al animal?
velocidad:

Velocidad en 30 50 70 80 110
Km/h

Distancia de
frenado en 11 24 42 64.5 92
metros

61

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