articles-140142_programa_feb_2021_final_s_disegno.pdf

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE Y
ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN.
ESTAS ACTIVIDADES ESTÁN
ORGANIZADAS EN 4 UNIDADES,
CADA UNIDAD TIENE CUATRO
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJES Y
UNA ACTIVIDAD DE EVALUACIÓN.

Querida comunidad educativa:
Me es grato saludarles y dirigirme a ustedes para poner en sus manos los Programas de Estudio
de las 46 asignaturas del currículum ajustado a las nuevas Bases Curriculares de 3° y 4° año de
enseñanza media (Decreto Supremo N°193 de 2019), que inició su vigencia el presente año
para 3° medio y el año 2021 para 4° medio, o simultáneamente en ambos niveles si el colegio
así lo decidió.
El presente año ha sido particularmente difícil por la situación mundial de pandemia por
Coronavirus y el Ministerio de Educación no ha descansado en su afán de entregar
herramientas de apoyo para que los estudiantes de Chile se conviertan en ciudadanos que
desarrollen la empatía y el respeto, la autonomía y la proactividad, la capacidad para
perseverar en torno a metas y, especialmente, la responsabilidad por las propias acciones y
decisiones con conciencia de las implicancias que estas tienen sobre uno mismo y los otros.
Estos Programas de Estudio han sido elaborados por la Unidad de Currículum y Evaluación del
Ministerio de Educación y presentan una propuesta pedagógica y didáctica que apoya el
proceso de gestión de los establecimientos educacionales, además de ser una invitación a las
comunidades educativas para enfrentar el desafío de preparación, estudio y compromiso con
la vocación formadora y con las expectativas de aprendizaje que pueden lograr nuestros
estudiantes.
Nos sentimos orgullosos de poner a disposición de los jóvenes de Chile un currículum acorde
a los tiempos actuales y que permitirá formar personas integrales y ciudadanos autónomos,
críticos y responsables, que desarrollen las habilidades necesarias para seguir aprendiendo a
lo largo de sus vidas y que estarán preparados para ser un aporte a la sociedad.
Les saluda cordialmente,

Programa de Estudio Matemática 4° Medio
Aprobado por Decreto Exento N°496 del 15 de junio de 2020.
Equipo de Desarrollo Curricular
Unidad de Currículum y Evaluación
Ministerio de Educación 2021
IMPORTANTE
En el presente documento, se utilizan de manera inclusiva términos como “el docente”, “el
estudiante”, “el profesor”, “el niño”, “el compañero” y sus respectivos plurales (así como
otras palabras equivalentes en el contexto educativo) para referirse a hombres y mujeres.
Esta opción obedece a que no existe acuerdo universal respecto de cómo aludir
conjuntamente a ambos sexos en el idioma español, salvo usando “o/a”, “los/las” y otras
similares, y ese tipo de fórmulas supone una saturación gráfica que puede dificultar la
comprensión de la lectura.

Programa de Estudio Matemática 4° Medio Formación General
Unidad de Currículum y Evaluación 3
Ministerio de Educación, febrero 2021
Índice
Presentación ............................................................................................................................................. 5
Nociones básicas....................................................................................................................................... 6
Consideraciones generales ..................................................................................................................... 11
Orientaciones para planificar.................................................................................................................. 16
Orientaciones para evaluar los aprendizajes......................................................................................... 17
Estructura del programa ......................................................................................................................... 19
Matemática 4° medio ............................................................................................................................. 21
Propósitos Formativos ........................................................................................................................ 21
Enfoque de la asignatura de Matemática........................................................................................... 21
Orientaciones para el docente............................................................................................................ 24
Organización Curricular....................................................................................................................... 27
Unidad 1: La toma de decisiones en situaciones de incerteza ............................................................... 32
Actividad 1: ¿Cómo se distribuyen el éxito y el fracaso?.................................................................... 33
Actividad 2: ¿Qué entendemos por estadísticamente normal?......................................................... 40
Actividad 3: Estandarización de distribuciones normales .................................................................. 46
Actividad 4: Comparación de la distribución binomial y la distribución normal................................ 53
Actividad de evaluación ...................................................................................................................... 60
Unidad 2: La toma de decisiones en situaciones financieras y económicas .......................................... 68
Actividad 1: Tomar decisiones en contexto de AFP y jubilación ........................................................ 69
Actividad 2: Tomar decisiones en contexto de crédito hipotecario................................................... 75
Actividad 3: El refinanciamiento de un crédito hipotecario............................................................... 79
Actividad 4: Tomar decisiones en el contexto de un crédito de consumo......................................... 84
Actividad de evaluación ...................................................................................................................... 88
Unidad 3: Modelamiento matemático para describir y predecir........................................................... 95
Actividad 1: Ley de gravitación universal............................................................................................ 96
Actividad 2: Funciones cúbicas para entender fenómenos de la naturaleza ................................... 101
Actividad 3: La rueda de la fortuna................................................................................................... 107
Actividad 4: Movimientos cíclicos y los modelos trigonométricos................................................... 114
Actividad de evaluación .................................................................................................................... 120
Unidad 4: Geometría con coordenadas................................................................................................ 129
Actividad 1: Costos operacionales e ingresos con rectas ................................................................. 130

Actividad 2: Puntos de encuentro en circunferencias ...................................................................... 134
Actividad 3: Rectas y circunferencias en el plano cartesiano........................................................... 139
Actividad 4: Seguridad en el trabajo................................................................................................. 143
Actividad de evaluación .................................................................................................................... 146
Proyectos Interdisciplinarios................................................................................................................. 149
Manual de orientación...................................................................................................................... 149
Proyecto STEM: Selección natural: Entendiendo la evolución a través del juego ........................... 153
Proyecto TP: Usando la estadística para prevenir accidentes de tránsito ....................................... 158
Proyecto TP: ¿De qué depende mejorar las jubilaciones en Chile? ................................................. 162
Proyecto TP: Optimizando el servicio de despacho de productos ................................................... 165
Bibliografía ............................................................................................................................................ 169
Anexos................................................................................................................................................... 171

Presentación
Las Bases Curriculares establecen Objetivos de Aprendizaje (OA) que definen los desempeños que se
espera que todos los estudiantes logren en cada asignatura, módulo y nivel de enseñanza. Estos objetivos
integran habilidades, conocimientos y actitudes que se consideran relevantes para que los jóvenes
alcancen un desarrollo armónico e integral que les permita enfrentar su futuro con las herramientas
necesarias y participar de manera activa y responsable en la sociedad.
Las Bases Curriculares son flexibles para adaptarse a las diversas realidades educativas que se derivan de
los distintos contextos sociales, económicos, territoriales y religiosos de nuestro país. Estas múltiples
realidades dan origen a diferentes aproximaciones curriculares, didácticas, metodológicas y
organizacionales, que se expresan en el desarrollo de distintos proyectos educativos, todos válidos
mientras permitan el logro de los Objetivos de Aprendizaje. En este contexto, las Bases Curriculares
constituyen el referente base para los establecimientos que deseen elaborar programas propios, y por lo
tanto, no corresponde que estas prescriban didácticas específicas que limiten la diversidad de enfoques
educacionales que pueden expresarse en los establecimientos de nuestro país.
Para aquellos establecimientos que no han optado por programas propios, el Ministerio de Educación
suministra estos Programas de Estudio con el fin de facilitar una óptima implementación de las Bases
Curriculares. Estos programas constituyen un complemento totalmente coherente yalineado con las Bases
Curriculares y una herramienta para apoyar a los docentes en el logro de los Objetivos de Aprendizaje.
Los Programas de Estudio proponen al profesor una organización de los Objetivos de Aprendizaje con
relación al tiempo disponible dentro del año escolar, y constituyen una orientación acerca de cómo
secuenciar los objetivos y cómo combinarlos para darles una comprensión profunda y transversal. Se trata
de una estimación aproximada y de carácter indicativo que puede ser adaptada por los docentes, de
acuerdo a la realidad de sus estudiantes y de su establecimiento.
Asimismo, para facilitar al profesor su quehacer en el aula, se sugiere un conjunto de indicadores de
evaluación que dan cuenta de los diversos desempeños de comprensión que demuestran que un alumno
ha aprendido en profundidad, transitando desde lo más elemental hasta lo más complejo, y que aluden a
los procesos cognitivos de orden superior, las comprensiones profundas o las habilidades que se busca
desarrollar transversalmente.
Junto con ello, se proporcionan orientaciones didácticas para cada disciplina y una gama amplia y flexible
de actividades de aprendizaje y de evaluación que pueden utilizarse como base para nuevas actividades
acordes con las diversas realidades de los establecimientos educacionales. Estas actividades se enmarcan
en un modelo pedagógico cuyo enfoque es el de la comprensión profunda y significativa, lo que implica
establecer posibles conexiones al interior de cada disciplina y también con otras áreas del conocimiento,
con el propósito de facilitar el aprendizaje.
Estas actividades de aprendizaje y de evaluación se enriquecen con sugerencias al docente,
recomendaciones de recursos didácticos complementarios y bibliografía para profesores y estudiantes.
En síntesis, se entregan estos Programas de Estudio a los establecimientos educacionales como un apoyo
para llevar a cabo su labor de enseñanza.

Nociones básicas
OBJETIVOS DE APRENDIZAJE COMO INTEGRACIÓN DE CONOCIMIENTOS,
HABILIDADES Y ACTITUDES
Los Objetivos de Aprendizaje definen para cada asignatura o módulo los aprendizajes terminales
esperables para cada semestre o año escolar. Se refieren a habilidades, actitudes y conocimientos que
han sido seleccionados considerando que entreguen a los estudiantes las herramientas necesarias para
su desarrollo integral, que les faciliten una comprensión profunda del mundo que habitan, y que
despierten en ellos el interés por continuar estudios superiores y desarrollar sus planes de vida y
proyectos personales.
En la formulación de los Objetivos de Aprendizaje se relacionan habilidades, conocimientos y actitudes
y, por medio de ellos, se pretende plasmar de manera clara y precisa cuáles son los aprendizajes
esenciales que el alumno debe lograr. Se conforma así un currículum centrado en el aprendizaje, que
declara explícitamente cuál es el foco del quehacer educativo. Se busca que los estudiantes pongan en
juego estos conocimientos, habilidades y actitudes para enfrentar diversos desafíos, tanto en el
contexto de la sala de clases como en la vida cotidiana.
CONOCIMIENTOS
Los conocimientos de las asignaturas y módulos corresponden a conceptos, redes de conceptos e
información sobre hechos, procesos, procedimientos y operaciones que enriquecen la comprensión de
los alumnos sobre los fenómenos que les toca enfrentar. Les permiten relacionarse con el entorno,
utilizando nociones complejas y profundas que complementan el saber que han generado por medio
del sentido común y la experiencia cotidiana. Se busca que sean esenciales, fundamentales para que los
estudiantes construyan nuevos aprendizajes y de alto interés para ellos. Se deben desarrollar de manera
integrada con las habilidades, porque son una condición para el progreso de estas y para lograr la
comprensión profunda.
HABILIDADES Y ACTITUDES PARA EL SIGLO XXI
La existencia y el uso de la tecnología en el mundo global, multicultural y en constante cambio, ha
determinado nuevos modos de acceso al conocimiento, de aplicación de los aprendizajes y de
participación en la sociedad. Estas necesidades exigen competencias particulares, identificadas
internacionalmente como Habilidades para el siglo XXI.1
Las habilidades para el siglo XXI presentan como foco formativo central la formación integral de los
estudiantes dando continuidad a los objetivos de aprendizaje transversales de 1° básico a 2° medio.
Como estos, son transversales a todas las asignaturas, y al ser transferibles a otros contextos, se
convierten en un aprendizaje para la vida. Se presentan organizadas en torno a cuatro ámbitos: maneras
de pensar, maneras de trabajar, herramientas para trabajar y herramientas para vivir en el mundo.
1
El conjunto de habilidades seleccionadas para integrar el currículum de 3° y 4° medio corresponden a una adaptación de distintos modelos (Binkley et al., 2012;
Fadel et al., 2016).

MANERAS DE PENSAR
Desarrollo de la creatividad y la innovación
Las personas que aprenden a ser creativas poseen habilidades de pensamiento divergente, producción
de ideas, fluidez, flexibilidad y originalidad. El pensamiento creativo implica abrirse a diferentes ideas,
perspectivas y puntos de vista, ya sea en la exploración personal o en el trabajo en equipo. La enseñanza
para la creatividad implica asumir que el pensamiento creativo puede desarrollarse en todas las
instancias de aprendizaje y en varios niveles: imitación, variación, combinación, transformación y
creación original. Por ello, es importante que los docentes consideren que, para lograr la creación
original, es necesario haber desarrollado varias habilidades y que la creatividad también puede
enseñarse mediante actividades más acotadas según los diferentes niveles (Fadel et al, 2016).
Desarrollo del pensamiento crítico
Cuando aprendemos a pensar críticamente, podemos discriminar entre informaciones, declaraciones o
argumentos, evaluando su contenido, pertinencia, validez y verosimilitud. El pensamiento crítico
permite cuestionar la información, tomar decisiones y emitir juicios, como asimismo reflexionar
críticamente acerca de diferentes puntos de vista, tanto de los propios como de los demás, ya sea para
defenderlos o contradecirlos sobre la base de evidencias. Contribuye así, además, a la autorreflexión y
corrección de errores, y favorece la capacidad de estar abierto a los cambios y de tomar decisiones
razonadas. El principal desafío en la enseñanza del pensamiento crítico es la aplicación exitosa de estas
habilidades en contextos diferentes de aquellos en que fueron aprendidas (Fadel et al, 2016).
Desarrollo de la metacognición
El pensamiento metacognitivo se relaciona al concepto de “aprender a aprender”. Se refiere a ser
consciente del propio aprendizaje y de los procesos para lograrlo, lo que permite autogestionarlo con
autonomía, adaptabilidad y flexibilidad. El proceso de pensar acerca del pensar involucra la reflexión
propia sobre la posición actual, fijar los objetivos a futuro, diseñar acciones y estrategias potenciales,
monitorear el proceso de aprendizaje y evaluar los resultados. Incluye tanto el conocimiento que se
tiene sobre uno mismo como estudiante o pensador, como los factores que influyen en el rendimiento.
La reflexión acerca del propio aprendizaje favorece su comunicación, por una parte, y la toma de
conciencia de las propias capacidades y debilidades, por otra. Desde esta perspectiva, desarrolla la
autoestima, la disciplina, la capacidad de perseverar y la tolerancia a la frustración.
Desarrollo de Actitudes
• Pensar con perseverancia y proactividad para encontrar soluciones innovadoras a los problemas.
• Pensar con apertura a distintas perspectivas y contextos, asumiendo riesgos y responsabilidades.
• Pensar con conciencia, reconociendo que los errores ofrecen oportunidades para el aprendizaje.
• Pensar con flexibilidad para reelaborar las propias ideas, puntos de vista y creencias.
• Pensar con reflexión propia y autonomía para gestionar el propio aprendizaje, identificando
capacidades, fortalezas y aspectos por mejorar.
• Pensar con conciencia de que los aprendizajes se desarrollan a lo largo de la vida y enriquecen la
experiencia.
• Pensar con apertura hacia otros para valorar la comunicación como una forma de relacionarse con
diversas personas y culturas, compartiendo ideas que favorezcan el desarrollo de la vida en sociedad.

MANERAS DE TRABAJAR
Desarrollo de la comunicación
Aprender a comunicarse ya sea de manera escrita, oral o multimodal, requiere generar estrategias y
herramientas que se adecuen a diversas situaciones, propósitos y contextos socioculturales, con el fin
de transmitir lo que se desea de manera clara yefectiva. La comunicación permite desarrollar la empatía,
la autoconfianza, la valoración de la interculturalidad, así como la adaptabilidad, la creatividad y el
rechazo a la discriminación.
Desarrollo de la colaboración
La colaboración entre personas con diferentes habilidades y perspectivas faculta al grupo para tomar
mejores decisiones que las que se tomarían individualmente, permite analizar la realidad desde más
ángulos y producir obras más complejas y más completas. Además, el trabajo colaborativo entre pares
determina nuevas formas de aprender y de evaluarse a sí mismo y a los demás, lo que permite visibilizar
los modos en que se aprende; esto conlleva nuevas maneras de relacionarse en torno al aprendizaje.
La colaboración implica, a su vez, actitudes clave para el aprendizaje en el siglo XXI, como la
responsabilidad, la perseverancia, la apertura de mente hacia lo distinto, la aceptación y valoración de
las diferencias, la autoestima, la tolerancia a la frustración, el liderazgo y la empatía.
• Trabajar colaborativamente en la generación, desarrollo y gestión de proyectos y la resolución de
problemas, integrando las diferentes ideas y puntos de vista.
• Trabajar con responsabilidad y liderazgo en la realización de las tareas colaborativas y en función del
logro de metas comunes.
• Trabajar con empatía y respeto en el contexto de la diversidad, eliminando toda expresión de
prejuicio y discriminación.
• Trabajar con autonomía y proactividad en trabajos colaborativos e individuales para llevar a cabo
eficazmente proyectos de diversa índole.
HERRAMIENTAS PARA TRABAJAR
Desarrollo de la alfabetización digital
Aprender a utilizar la tecnología como herramienta de trabajo implica dominar las posibilidades que
ofrece y darle un uso creativo e innovador. La alfabetización digital apunta a la resolución de problemas
en el marco de la cultura digital que caracteriza al siglo XXI, aprovechando las herramientas que nos dan
la programación, el pensamiento computacional, la robótica e internet, entre otros, para crear
contenidos digitales, informarnos y vincularnos con los demás. Promueve la autonomía y el trabajo en
equipo, la creatividad, la participación en redes de diversa índole, la motivación por ampliar los propios
intereses y horizontes culturales, e implica el uso responsable de la tecnología considerando la
ciberseguridad y el autocuidado.

Desarrollo del uso de la información
Usar bien la información se refiere a la eficacia y eficiencia en la búsqueda, el acceso, el procesamiento,
la evaluación crítica, el uso creativo y ético, así como la comunicación de la información por medio de
las Tecnologías de la Información y las Comunicaciones (TIC). Implica formular preguntas, indagar y
generar estrategias para seleccionar, organizar y comunicar la información. Tiene siempre en cuenta,
además, tanto los aspectos éticos y legales que la regulan como el respeto a los demás y a su privacidad.
• Aprovechar las herramientas disponibles para aprender y resolver problemas.
• Interesarse por las posibilidades que ofrece la tecnología para el desarrollo intelectual, personal y
social del individuo.
• Valorar las TIC como una oportunidad para informarse, investigar, socializar, comunicarse y participar
como ciudadano.
• Actuar responsablemente al gestionar el tiempo para llevar a cabo eficazmente los proyectos
personales, académicos y laborales.
• Actuar de acuerdo con los principios de la ética en el uso de la información y de la tecnología,
respetando la propiedad intelectual y la privacidad de las personas.
MANERAS DE VIVIR EN EL MUNDO
Desarrollo de la ciudadanía local y global
La ciudadanía se refiere a la participación activa del individuo en su contexto, desde una perspectiva
política, social, territorial, global, cultural, económica y medioambiental, entre otras dimensiones. La
conciencia de ser ciudadano promueve el sentido de pertenencia y la valoración y el ejercicio de los
principios democráticos, y también supone asumir sus responsabilidades como ciudadano local y global.
En este sentido, ejercitar el respeto a los demás, a su privacidad y a las diferencias valóricas, religiosas y
étnicas cobra gran relevancia; se relaciona directamente con una actitud empática, de mentalidad
abierta y de adaptabilidad.
Desarrollo de proyecto de vida y carrera
La construcción y consolidación de un proyecto de vida y de una carrera, oficio u ocupación, requiere
conocerse a sí mismo, establecer metas, crear estrategias para conseguirlas, desarrollar la autogestión,
actuar con iniciativa y compromiso, ser autónomo para ampliar los aprendizajes, reflexionar críticamente
y estar dispuesto a integrar las retroalimentaciones recibidas. Por otra parte, para alcanzar esas metas,
se requiere interactuar con los demás de manera flexible, con capacidad para trabajar en equipo,
negociar en busca de soluciones y adaptarse a los cambios para poder desenvolverse en distintos roles
y contextos. Esto permite el desarrollo de liderazgo, responsabilidad, ejercicio ético del poder y respeto
a las diferencias en ideas y valores.

Desarrollo de la responsabilidad personal y social
La responsabilidad personal consiste en ser conscientes de nuestras acciones y sus consecuencias,
cuidar de nosotros mismos de modo integral y respetar los compromisos que adquirimos con los demás,
generando confianza en los otros, comunicándonos de una manera asertiva y empática, que acepte los
distintos puntos de vista. Asumir la responsabilidad por el bien común participando activamente en el
cumplimiento de las necesidades sociales en distintos ámbitos: cultural, político, medioambiental, entre
otros.
• Perseverar en torno a metas con miras a la construcción de proyectos de vida y al aporte a la sociedad
y al país con autodeterminación, autoconfianza y respeto por sí mismo y por los demás.
• Participar asumiendo posturas razonadas en distintos ámbitos: cultural, social, político y
medioambiental, entre otros.
• Tomar decisiones democráticas, respetando los derechos humanos, la diversidad y la
multiculturalidad.
• Asumir responsabilidad por las propias acciones y decisiones con conciencia de las implicancias que
ellas tienen sobre sí mismo y los otros.

Consideraciones generales
Las consideraciones que se presentan a continuación son relevantes para una óptima implementación
de los Programas de Estudio, se vinculan estrechamente con los enfoques curriculares, y permiten
abordar de mejor manera los Objetivos de Aprendizaje de las Bases Curriculares.
EL ESTUDIANTE DE 3º y 4º MEDIO
La formación en los niveles de 3° y 4° Medio cumple un rol esencial en su carácter de etapa final del
ciclo escolar. Habilita al alumno para conducir su propia vida en forma autónoma, plena, libre y
responsable, de modo que pueda desarrollar planes de vida y proyectos personales, continuar su
proceso educativo formal mediante la educación superior, o incorporarse a la vida laboral.
El perfil de egreso que establece la ley en sus objetivos generales apunta a formar ciudadanos críticos,
creativos y reflexivos, activamente participativos, solidarios y responsables, con conciencia de sus
deberes y derechos, y respeto por la diversidad de ideas, formas de vida e intereses. También propicia
que estén conscientes de sus fortalezas y debilidades, que sean capaces de evaluar los méritos relativos
de distintos puntos de vista al enfrentarse a nuevos escenarios, y de fundamentar adecuadamente sus
decisiones y convicciones, basados en la ética y la integridad. Asimismo, aspira a que sean personas con
gran capacidad para trabajar en equipo e interactuar en contextos socioculturalmente heterogéneos,
relacionándose positivamente con otros, cooperando y resolviendo adecuadamente los conflictos.
De esta forma, tomarán buenas decisiones y establecerán compromisos en forma responsable y
solidaria, tanto de modo individual como colaborativo, integrando nuevas ideas y reconociendo que las
diferencias ayudan a concretar grandes proyectos.
Para lograr este desarrollo en los estudiantes, es necesario que los docentes conozcan los diversos
talentos, necesidades, intereses y preferencias de sus estudiantes y promuevan intencionadamente la
autonomía de los alumnos y la autorregulación necesaria para que las actividades de este Programa
sean instancias significativas para sus desafíos, intereses y proyectos personales.
APRENDIZAJE PARA LA COMPRENSIÓN
La propuesta metodológica de los Programas de Estudio tiene como propósito el aprendizaje para la
comprensión. Entendemos la comprensión como la capacidad de usar el conocimiento de manera
flexible, lo que permite a los estudiantes pensar y actuar a partir de lo que saben en distintas situaciones
y contextos. La comprensión se puede desarrollar generando oportunidades que permitan al alumno
ejercitar habilidades como analizar, explicar, resolver problemas, construir argumentos, justificar,
extrapolar, entre otras. La aplicación de estas habilidades y del conocimiento a lo largo del proceso de
aprendizaje faculta a los estudiantes a profundizar en el conocimiento, que se torna en evidencia de la
comprensión.

LaelaboracióndelosProgramasdeEstudioseharealizadoenelcontexto del paradigma constructivista y
bajo el fundamento de dos principios esenciales que regulan y miden la efectividad del aprendizaje: el
aprendizaje significativo y el aprendizaje profundo.
¿Qué entendemos por aprendizaje significativo y profundo?
Un aprendizaje se dice significativo cuando los nuevos conocimientos se incorporan en forma sustantiva
en la estructura cognitiva del estudiante. Esto se logra gracias a un esfuerzo deliberado del alumno por
relacionar los nuevos conocimientos con sus conocimientos previos y es producto de una implicación
afectiva del estudiante; es decir, él quiere aprender aquello que se le presenta, porque lo considera
valioso. Para la construcción de este tipo de aprendizaje, se requiere efectuar acciones de mediación en
el aula que permitan activar los conocimientos previos y, a su vez, facilitar que dicho aprendizaje
adquiera sentido precisamente en la medida en que se integra con otros previamente adquiridos o se
relaciona con alguna cuestión o problema que interesa al estudiante.
Un aprendizaje se dice profundo solo si, por un lado, el aprendiz logra dominar, transformar y utilizar
los conocimientos adquiridos en la solución de problemas reales y, por otro lado, permanece en el
tiempo y se puede transferir a distintos contextos de uso. Para mediar el desarrollo de un aprendizaje
de este tipo, es necesario generar escenarios flexibles y graduales que permitan al estudiante usar los
conocimientos aplicándolos en situaciones diversas.
¿Cómo debe guiar el profesor a sus alumnos para que usen el conocimiento?
El docente debe diseñar actividades de clase desafiantes que induzcan a los estudiantes a aplicar
habilidades cognitivas mediante las cuales profundicen en la comprensión de un nuevo conocimiento.
Este diseño debe permitir mediar simultáneamente ambos aspectos del aprendizaje, el significativo y el
profundo, y asignar al alumno un rol activo dentro del proceso de aprendizaje.
El principio pedagógico constructivista del estudiante activo permite que él desarrolle la capacidad de
aprender a aprender. Los alumnos deben llegar a adquirir la autonomía que les permita dirigir sus
propios procesos de aprendizaje y convertirse en sus propios mediadores. El concepto clave que surge
como herramienta y, a la vez, como propósito de todo proceso de enseñanza-aprendizaje corresponde
al pensamiento metacognitivo, entendido como un conjunto de disposiciones mentales de
autorregulación que permiten al aprendiz monitorear, planificar y evaluar su propio proceso de
aprendizaje.
En esta línea, la formulación de buenas preguntas es una de las herramientas esenciales de mediación
para construir un pensamiento profundo.
Cada pregunta hace posible una búsqueda que permite integrar conocimiento y pensamiento; el
pensamiento se despliega en sus distintos actos que posibilitan dominar, elaborar y transformar un
conocimiento.

ENFOQUE INTERDISCIPLINARIO Y APRENDIZAJE BASADO EN PROYECTOS
La integración disciplinaria permite fortalecer conocimientos y habilidades de pensamiento complejo
que faculten la comprensión profunda de ellos. Para lograr esto, es necesario que los docentes
incorporen en su planificación instancias destinadas a trabajar en conjunto con otras disciplinas. Las
Bases Curriculares plantean el Aprendizaje Basado en Proyectos como metodología para favorecer el
trabajo colaborativo y el aprendizaje de resolución de problemas.
Un problema real es interdisciplinario. Por este motivo, en los Programas de Estudio de cada asignatura
se integra orientaciones concretas y modelos de proyectos, que facilitarán esta tarea a los docentes y
que fomentarán el trabajo y la planificación conjunta de algunas actividades entre profesores de
diferentes asignaturas.
Se espera que, en las asignaturas electivas de profundización, el docente destine un tiempo para el
trabajo en proyectos interdisciplinarios. Para ello, se incluye un modelo de proyecto interdisciplinario
por asignatura de profundización.
Existe una serie de elementos esenciales que son requisitos para que el diseño de un proyecto2
permita
maximizar el aprendizaje y la participación de los estudiantes, de manera que aprendan cómo aplicar el
conocimiento al mundo real, cómo utilizarlo para resolver problemas, responder preguntas complejas
y crear productos de alta calidad. Dichos elementos son:
• Conocimiento clave, comprensión y habilidades
El proyecto se enfoca en profundizar en la comprensión del conocimiento interdisciplinar, ya que
permite desarrollar a la vez los Objetivos de Aprendizaje y las habilidades del Siglo XXI que se
requieren para realizar el proyecto.
• Desafío, problema o pregunta
El proyecto se basa en un problema significativo para resolver o una pregunta para responder, en el
nivel adecuado de desafío para los alumnos, que se implementa mediante una pregunta de
conducción abierta y atractiva.
• Indagación sostenida
El proyecto implica un proceso activo y profundo a lo largo del tiempo, en el que los estudiantes
generan preguntas, encuentran y utilizan recursos, hacen preguntas adicionales y desarrollan sus
propias respuestas.
• Autenticidad
El proyecto tiene un contexto del mundo real, utiliza procesos, herramientas y estándares de calidad
del mundo real, tiene un impacto real, ya que creará algo que será utilizado o experimentado por
otros, y/o está conectado a las propias preocupaciones, intereses e identidades de los alumnos.
2
AdaptadodeJohn Larmer, John Mergendoller, Suzie Boss. SettingtheStandardforProjectBasedLearning:A ProvenApproachtoRigorousClassroomInstruction,
(ASCD 2015).

• Voz y elección del estudiante
El proyecto permite a los estudiantes tomar algunas decisiones sobre los productos que crean, cómo
funcionan y cómo usan su tiempo, guiados por el docente y dependiendo de su edad y experiencia
de Aprendizaje Basado en Proyectos (ABP).
• Reflexión
El proyecto brinda oportunidades para que los alumnos reflexionen sobre qué y cómo están
aprendiendo, y sobre el diseño y la implementación del proyecto.
• Crítica y revisión
El proyecto incluye procesos de retroalimentación para que los estudiantes den y reciban
comentarios sobre su trabajo, con el fin de revisar sus ideas y productos o realizar una investigación
adicional.
• Producto público
El proyecto requiere que los alumnos demuestren lo que aprenden, creando un producto que se
presenta u ofrece a personas que se encuentran más allá del aula.
CIUDADANÍA DIGITAL
Los avances de la automatización, así como el uso extensivo de las herramientas digitales y de la
inteligencia artificial, traerán como consecuencia grandes transformaciones y desafíos en el mundo del
trabajo, por lo cual los estudiantes deben contar con herramientas necesarias para enfrentarlos. Los
Programas de Estudio promueven que los alumnos empleen tecnologías de información para
comunicarse y desarrollar un pensamiento computacional, dando cuenta de sus aprendizajes o de sus
creaciones y proyectos, y brindan oportunidades para hacer un uso extensivo de ellas y desarrollar
capacidades digitales para que aprendan a desenvolverse de manera responsable, informada, segura,
ética, libre y participativa, comprendiendo el impacto de las TIC en la vida personal y el entorno.
CONTEXTUALIZACIÓN CURRICULAR
La contextualización curricular es el proceso de apropiación y desarrollo del currículum en una realidad
educativa concreta. Este se lleva a cabo considerando las características particulares del contexto
escolar (por ejemplo, el medio en que se sitúa el establecimiento educativo, la cultura, el proyecto
educativo institucional de las escuelas y la comunidad escolar, el tipo de formación diferenciada que se
imparte –Artística, Humanístico-Científica, Técnico Profesional–, entre otros), lo que posibilita que el
proceso educativo adquiera significado para los estudiantes desde sus propias realidades y facilita, así,
el logro de los Objetivos de Aprendizaje.
Los Programas de Estudio consideran una propuesta de diseño de clases, de actividades y de
evaluaciones que pueden modificarse, ajustarse y transferirse a diferentes realidades y contextos.

ATENCIÓN A LA DIVERSIDAD Y A LA INCLUSIÓN
Eneltrabajopedagógico,esimportantequelosdocentestomenencuenta la diversidad entre estudiantes
en términos culturales, sociales, étnicos, religiosos,degénero,deestilosdeaprendizajeydenivelesde
conocimiento. Esta diversidad enriquece los escenarios de aprendizaje y está asociada a los siguientes
desafíos para los profesores:
• Procurar que los aprendizajes se desarrollen de una manera significativa en relación con el contexto
y la realidad de los alumnos.
• Trabajar para que todos alcancen los Objetivos de Aprendizaje señalados en el currículum,
acogiendo la diversidad y la inclusión como una oportunidad para desarrollar más y mejores
aprendizajes.
• Favorecer y potenciar la diversidad y la inclusión, utilizando el aprendizaje basado en proyectos.
• En el caso de alumnos con necesidades educativas especiales, tanto el conocimiento de los
profesores como el apoyo y las recomendaciones de los especialistas que evalúan a dichos
estudiantes contribuirán a que todos desarrollen al máximo sus capacidades.
• Generar ambientes de aprendizaje inclusivos, lo que implica que cada estudiante debe sentir
seguridad para participar, experimentar y contribuir de forma significativa a la clase. Se recomienda
destacar positivamente las características particulares y rechazar toda forma de discriminación,
agresividad o violencia.
• Proveer igualdad de oportunidades, asegurando que los alumnos puedan participar por igual en
todas las actividades, evitando asociar el trabajo de aula con estereotipos asociados a género,
características físicas o cualquier otro tipo de sesgo que provoque discriminación.
• Utilizar materiales, aplicar estrategias didácticas y desarrollar actividades que se adecuen a las
singularidades culturales y étnicas de los estudiantes y a sus intereses.
• Promover un trabajo sistemático, con actividades variadas para diferentes estilos de aprendizaje y
con ejercitación abundante, procurando que todos tengan acceso a oportunidades de aprendizaje
enriquecidas.
Atender a la diversidad de estudiantes, con sus capacidades, contextos y conocimientos previos, no
implica tener expectativas más bajas para algunos de ellos. Por el contrario, hay que reconocer los
requerimientos personales de cada alumno para que todos alcancen los propósitos de aprendizaje
pretendidos. En este sentido, conviene que, al diseñar el trabajo de cada unidad, el docente considere
los tiempos, recursos y métodos necesarios para que cada estudiante logre un aprendizaje de calidad.
Mientras más experiencia y conocimientos tengan los profesores sobre su asignatura y las estrategias
que promueven un aprendizaje profundo, más herramientas tendrán para tomar decisiones
pertinentes y oportunas respecto de las necesidades de sus alumnos. Por esta razón, los Programas de
Estudio incluyen numerosos Indicadores de Evaluación, observaciones al docente, sugerencias de
actividades y de evaluación, entre otros elementos, para apoyar la gestión curricular y pedagógica
responsable de todos los estudiantes.

Orientaciones para planificar
Existen diversos métodos de planificación, caracterizados por énfasis específicos vinculados al enfoque
del que provienen. Como una manera de apoyar el trabajo de los docentes, se propone considerar el
diseño para la comprensión, relacionado con plantear cuestionamientos activos a los estudiantes, de
manera de motivarlos a poner en práctica sus ideas y nuevos conocimientos. En este sentido, y con el
propósito de promover el desarrollo de procesos educativos con foco claro y directo en los aprendizajes,
se sugiere utilizar la planificación en reversa (Wiggins y McTigue, 1998). Esta mantiene siempre al centro
lo que se espera que aprendan los alumnos durante el proceso educativo, en el marco de la
comprensión profunda y significativa. De esta manera, la atención se concentra en lo que se espera que
logren, tanto al final del proceso de enseñanza y aprendizaje, como durante su desarrollo.
Para la planificación de clases, se considera tres momentos:
1. Identificar el Objetivo de Aprendizaje que se quiere alcanzar
Dicho objetivo responde a la pregunta: ¿qué se espera que aprendan? Y se especifica a partir de los
Objetivos de Aprendizaje propuestos en las Bases Curriculares y en relación con los intereses,
necesidades y características particulares de los estudiantes.
2. Determinar evidencias
Teniendo claridad respecto de los aprendizajes que se quiere lograr, hay que preguntarse: ¿qué
evidencias permitirán verificar que el conjunto de Objetivos de Aprendizaje se logró? En este sentido,
los Indicadores presentados en el Programa resultan de gran ayuda, dado que orientan la toma de
decisiones con un sentido formativo.
3. Planificar experiencias de aprendizaje
Teniendo en mente los Objetivos de Aprendizajes y la evidencia que ayudará a verificar que se han
alcanzado, llega el momento de pensar en las actividades de aprendizaje más apropiadas.
¿Qué experiencias brindarán oportunidades para adquirir los conocimientos, habilidades y actitudes
que se necesita? Además de esta elección, es importante verificar que la secuencia de las actividades
y estrategias elegidas sean las adecuadas para el logro de los objetivos (Saphier, Haley- Speca y
Gower, 2008).

Orientaciones para evaluar
los aprendizajes
La evaluación, como un aspecto intrínseco del proceso de enseñanza-aprendizaje, se plantea en estos
programas con un foco pedagógico, al servicio del aprendizaje de los estudiantes. Para que esto ocurra,
se plantea recoger evidencias que permitan describir con precisión la diversidad existente en el aula
para tomar decisiones pedagógicas y retroalimentar a los alumnos. La evaluación desarrollada con foco
pedagógico favorece la motivación de los estudiantes a seguir aprendiendo; asimismo, el desarrollo de
la autonomía y la autorregulación potencia la reflexión de los docentes sobre su práctica y facilita la
toma de decisiones pedagógicas pertinentes y oportunas que permitan apoyar de mejor manera los
aprendizajes.
Para implementar una evaluación con un foco pedagógico, se requiere:
• Diseñar experiencias de evaluación que ayuden a los estudiantes a poner en práctica lo aprendido en
situaciones que muestren la relevancia o utilidad de ese aprendizaje.
• Evaluar solamente aquello que los alumnos efectivamente han tenido la oportunidad de aprender
mediante las experiencias de aprendizaje mediadas por el profesor.
• Procurar que se utilicen diversas formas de evaluar, que consideren las distintas características, ritmos
y formas de aprender, necesidades e intereses de los estudiantes, evitando posibles sesgos y
problemas de accesibilidad para ellos.
• Promover que los alumnos tengan una activa participación en los procesos de evaluación; por ejemplo:
al elegir temas sobre los cuales les interese realizar una actividad de evaluación o sugerir la forma en
que presentarán a otros un producto; participar en proponer los criterios de evaluación; generar
experiencias de auto- y coevaluación que les permitan desarrollar su capacidad para reflexionar sobre
sus procesos, progresos y logros de aprendizaje.
• Que las evaluaciones sean de la más alta calidad posible; es decir, deben representar de la forma más
precisa posible los aprendizajes que se busca evaluar. Además, las evidencias que se levantan y
fundamentan las interpretaciones respecto de los procesos, progresos o logros de aprendizajes de los
estudiantes, deben ser suficientes como para sostener de forma consistente esas interpretaciones
evaluativas.

EVALUACIÓN
Para certificar los aprendizajes logrados, el profesor puede utilizar diferentes métodos de evaluación
sumativa que reflejen los OA. Para esto, se sugiere emplear una variedad de medios y evidencias, como
portafolios, registros anecdóticos, proyectos de investigación grupales e individuales, informes,
presentaciones y pruebas orales y escritas, entre otros. Los Programas de Estudio proponen un ejemplo
de evaluación sumativa por unidad. La forma en que se diseñe este tipo de evaluaciones y el modo en
que se registre y comunique la información que se obtiene de ellas (que puede ser con calificaciones)
debe permitir que dichas evaluaciones también puedan usarse formativamente para retroalimentar
tanto la enseñanza como el aprendizaje.
El uso formativo de la evaluación debiera preponderar en las salas de clases, utilizándose de manera
sistemática para reflexionar sobre el aprendizaje y la enseñanza, y para tomar decisiones pedagógicas
pertinentes y oportunas que busquen promover el progreso del aprendizaje de todos los estudiantes,
considerando la diversidad como un aspecto inherente a todas las aulas.
El proceso de evaluación formativa que se propone implica articular el proceso de enseñanza-
aprendizaje en función de responder a las siguientes preguntas: ¿A dónde voy? (qué objetivo de
aprendizaje espero lograr), ¿Dónde estoy ahora? (cuán cerca o lejos me encuentro de lograr ese
aprendizaje) y ¿Qué estrategia o estrategias pueden ayudarme a llegar a donde tengo que ir? (qué pasos
tengo que dar para acercarme a ese aprendizaje). Este proceso continuo de establecer un objetivo de
aprendizaje, evaluar los niveles actuales y luego trabajar estratégicamente para reducir la distancia entre
los dos, es la esencia de la evaluación formativa. Una vez que se alcanza una meta de aprendizaje, se
establece una nueva meta y el proceso continúa.
Para promover la motivación para aprender, el nivel de desafío y el nivel de apoyo deben ser los
adecuados –en términos de Vygotsky (1978), estar en la zona de desarrollo próximo de los estudiantes–
, para lo cual se requiere que todas las decisiones que tomen los profesores y los propios alumnos se
basen en la información o evidencia sobre el aprendizaje recogidas continuamente (Griffin, 2014; Moss
& Brookhart, 2009).

Estructura del programa
Propósito de la unidad
Resume el objetivo formativo de la
unidad, actúa como una guía para el
conjunto de actividades y evaluaciones
que se diseñan en cada unidad. Se detalla
qué se espera que el estudiante
comprenda en la unidad, vinculando los
contenidos, las habilidadesylasactitudes
deforma integrada.
Objetivos de aprendizaje (OA)
Definen los aprendizajes terminales del
año para cada asignatura. En cada unidad
se explicitan los objetivos de aprendizaje
a trabajar.
Actividades de aprendizaje
El diseño de estas actividades se
caracteriza fundamentalmente por
movilizar conocimientos, habilidades y
actitudes de manera integrada que
permitan el desarrollo de una
comprensión significativa y profunda de
los Objetivos de Aprendizaje. Son una guía
para que el profesor o la profesora
diseñen sus propias actividades de
evaluación.

Indicadores de evaluación
Detallan uno o más desempeños
observables, medibles, específicos de los
estudiantes que permiten evaluar el
conjunto de Objetivos de Aprendizaje de
la unidad. Son de carácter sugerido, por lo
que el docente puede modificarlos o
complementarlos.
Orientaciones para el docente
Son sugerencias didácticas y disciplinares
respecto de cómo desarrollar una
actividad.
Recursos
Se especifican todos los recursos
necesarios para el desarrollo de la
actividad, incorporando vínculos web,
material de consulta y lecturas para el
docente.
Actividades de evaluación sumativa de la
unidad
Son propuestas de evaluaciones de cierre
de unidad que contemplan los
aprendizajes desarrollados a lo largo de
ellas. Mantienen una estructura similar a
las actividades de aprendizaje.

Matemática 4° medio
Propósitos Formativos
La asignatura de Matemática busca que los estudiantes continúen desarrollando sus habilidades de
modelar el mundo matemáticamente, resolver problemas en diferentes contextos, representar para
expresar ideas matemáticas, comunicar y argumentar, de modo de favorecer su tránsito al mundo
laboral y profesional y promover que contribuyan a la comunidad local, nacional y global. La asignatura
provee distintos espacios para que profundicen y permite hacer matemática para contribuir
positivamente a su autoestima y al concepto que se están formando acerca de sus propias capacidades.
Para ello, se espera que trabajen colaborativamente en el modelamiento matemático de situaciones
para tomar decisiones fundamentadas, tanto en problemas de la disciplina como de carácter
interdisciplinario y del ámbito social, medioambiental o económico. Así podrán integrar las habilidades
de representar, modelar, argumentar, comunicar y resolver problemas, con habilidades tecnológicas
como el uso pertinente de herramientas digitales. Por otra parte, podrán entender la matemática como
una actividad en desarrollo en la que se puede participar activamente y que es significativa para el
proyecto personal y la vida individual y ciudadana.
Enfoque de la asignatura de Matemática
Matemática contribuye a que los alumnos logren las metas generales del currículum de Enseñanza
Media, en términos de habilidades contemporáneas, formación de personas y virtudes ciudadanas. Su
propósito central es que desarrollen el pensamiento matemático, estadístico y computacional, distante
del retener información extensa en la memoria y de un exceso de rutinas de cálculo.
La asignatura procura focalizarse en la actividad matemática, en que los estudiantes desarrollen la
claridad conceptual, en fomentar la actividad colaborativa –que permite aprender de la propia
comunicación y del debate–, en que usen con frecuencia las tecnologías digitales (que liberan en alguna
medida de las rutinas de cálculo) y en que empleen múltiples representaciones, con o sin tecnologías
digitales.
A continuación, se presenta las principales definiciones conceptuales y didácticas en que se sustentan
tanto la asignatura del Plan de Común de Formación General, Matemática, como las asignaturas de
profundización del Plan Diferenciado Humanístico-Científico.

Proceso de aprendizaje
El conocimiento matemático, su rigurosidad y el incremento de la capacidad para usarlo tienen
profundas e importantes consecuencias en el desarrollo, el desempeño y la vida de las personas. Debido
a ello, el entorno social valora ese conocimiento y lo asocia a logros, beneficios y capacidades de orden
superior. El proceso de aprender matemática, por lo tanto, interviene en la capacidad de las personas
para percibirse como seres autónomos y valiosos en la sociedad. La calidad, pertinencia y amplitud de
dicho conocimiento incide en las posibilidades y la calidad de vida de las personas y en el potencial
desarrollo del país.
Aprender matemática es, primordialmente, participar en la actividad matemática, que los estudiantes
puedan plantearse ante problemas y tratar de resolverlos por sí mismos. El aprendizaje de la
matemática se genera de forma progresiva, relacionada y con un aumento creciente de complejidad
conceptual y procedimental, y no únicamente memorizando definiciones y algoritmos. En 3° y 4° medio,
esto exige aplicar simultáneamente conocimientos y procedimientos propios de aritmética, álgebra,
geometría, estadística o probabilidades, para resolver un problema o modelar un fenómeno de la
disciplina, de otra área del conocimiento o de la vida cotidiana.
Desarrollo del pensamiento racional
Entendida como construcción cultural, la matemática tiene importantes consecuencias en el
aprendizaje y la educación en general, que se originan en sus aportes indiscutibles al desarrollo del
pensamiento, y en las estrategias y razonamientos que ofrece para actuar en el entorno científico, social
y natural. La racionalidad de esta disciplina es inseparable de toda actividad que se relacione con ella,
como formular conjeturas, procedimientos, argumentos o alguna de las diversas formas de verificarlos,
o modelar matemáticamente situaciones y construir el lenguaje disciplinar. Por su parte, la estadística
provee maneras de pensar y de trabajar para tomar decisiones apropiadas en condiciones de incerteza,
lo que la hace necesaria para enfrentar múltiples situaciones del ámbito laboral, disciplinario y del diario
vivir.
Modelamiento matemático
El modelamiento matemático es el proceso que busca integrar la resolución de problemas, la
argumentación, el razonamiento matemático y estadístico, la representación y el estudio de fenómenos
cotidianos, y problemas propios de la disciplina o de otras áreas del conocimiento y la cultura. El
escenario natural para el modelamiento matemático implica que los alumnos colaboren entre sí, pues
juntos tienen mayores posibilidades de asir la complejidad de algunas situaciones que interesa
considerar. De esta manera, la discusión y la reflexión colectiva ayudan a construir conocimiento; cada
cual puede enriquecerse con las opiniones de sus pares, aprender a argumentar, a convencer con
argumentos fundados y a validar los avances. Todo ello incide en el aprendizaje de diversas disciplinas,
y también en el desarrollo de virtudes ciudadanas.

Problemas rutinarios y no rutinarios
Aprender matemática implica aplicar conocimientos y procedimientos, y elaborar estrategias para
abordar los problemas propios de la disciplina o de la vida cotidiana. En ese sentido, se busca
profundizar en la resolución de problemas rutinarios y no rutinarios como una oportunidad de
aprendizaje clave en esta disciplina. Se propone avanzar en el tipo de situaciones en las cuales los
estudiantes resuelven problemas, formulan posibles explicaciones o conjeturas, y en la habilidad de
argumentar. Un aprendizaje central de la matemática consiste en justificar en términos disciplinares;
por ende, se espera que –en esta etapa de su vida escolar– los alumnos experimenten cómo formular
conjeturas y justificarlas o refutarlas.
Metacognición
La metacognición juega un rol importante dentro de la matemática. La disciplina se aprende “haciendo
matemática”, reflexionando acerca de lo hecho y confrontando la actuación propia con el conocimiento
construido y sistematizado anteriormente. Por ello, están imbricadas en toda tarea matemática las
habilidades de razonar, representar, modelar matemáticamente, argumentar y comunicar, y resolver
problemas. Además, su desarrollo permite alcanzar niveles de abstracción y demostración cada vez más
complejos y que suelen requerir de una aplicación rigurosa del lenguaje matemático. El caso de la
estadística es muy similar, pero agrega una componente relativa a los datos con los cuales se trabaja,
los que son siempre contextualizados.
Aprendizaje Basado en Proyectos y Resolución de Problemas
Toda asignatura ofrece oportunidades para que los estudiantes aborden problemas vinculados a su vida
cotidiana. El Aprendizaje Basado en Proyectos promueve que se organicen durante un periodo
extendido de tiempo en torno a un objetivo basado en una pregunta compleja, problema, desafío o
necesidad –normalmente surgida desde sus propias inquietudes– que pueden abordar desde diferentes
perspectivas y áreas del conocimiento, fomentando la interdisciplinariedad. El proyecto culmina con la
elaboración de un producto o con la presentación pública de los resultados. En el Aprendizaje Basado
en Problemas, en cambio, se parte de la base de preguntas, problemas y necesidades cotidianas sobre
los cuales los estudiantes investigan y proponen soluciones.
En el caso de Matemática, estas metodologías permiten promover situaciones de aprendizaje
desafiantes, pues para desarrollarlos es necesario que se resuelva –de manera colaborativa e
incorporando las tecnologías digitales– problemas reales que exigen habilidades, conocimientos y
actitudes en sus distintas etapas de diseño, ejecución y comunicación.

Ciudadanía digital
Las habilidades de alfabetización digital y uso de tecnologías que promueven las Bases Curriculares de
3° y 4° medio –como parte de las Habilidades para el siglo XXI– son fundamentales para que los alumnos
trabajen en instancias de colaboración, comunicación, creación e innovación, mediante el uso de las
TIC. También contribuyen a desarrollar la capacidad de utilizarlas con criterio, prudencia y
responsabilidad.
Esta asignatura fomenta que los estudiantes usen las tecnologías digitales –por medio de software y
aplicaciones digitales– para alcanzar diferentes niveles de comprensión y aplicación de los
conocimientos y procedimientos, al modelar y resolver problemas propios de la disciplina o
relacionados con otras asignaturas, o bien de la vida cotidiana. Los software y las aplicaciones digitales
especialmente diseñados para aprender Matemática –como procesadores simbólicos o de geometría
dinámica, simuladores, apps, o aquellos especialmente diseñados para el análisis estadístico, algebraico
o geométrico (de los cuales hay versiones de uso libre y gratuito)– facilitan el análisis y la visualización
de los conceptos o procedimientos en estudio, agilizan el testeo de conjeturas por la vía de comprobar
una gran cantidad de casos particulares, y permiten desplazar la atención desde las rutinas de cálculo
hacia la comprensión y resolución de un problema que se quiere modelar y resolver.
Orientaciones para el docente
Orientaciones didácticas
Docentes e investigadores han desarrollado variados lineamientos didácticos y diversas metodologías
de enseñanza a fin de que la matemática se entienda de modo más profundo. La literatura indica que,
en general, el éxito es posible con cualquiera de estas formas metodológicas y que la clave está en
plantear situaciones de aprendizaje que generen un diálogo y una discusión en el ámbito de datos,
representaciones y variaciones de estos.
Desde esta perspectiva, el profesor debe promover que los alumnos den sentido a los contenidos
matemáticos y, sobre todo, a las respuestas según su propio contexto. Asimismo, se espera que
favorezca que los jóvenes interpreten los resultados más que repetir o mecanizar algoritmos, fórmulas
y definiciones. Para esto, se tiene que establecer conexiones entre la situación, los conceptos
matemáticos involucrados, las formas de representar, las variaciones posibles y sus significados en las
respuestas.
Diversas investigaciones muestran que hay que emplear varios tipos de representaciones, como la recta
numérica para expresar ideas sobre la operatoria, el plano cartesiano para expresar cambios y
movimientos, tablas para ordenar datos, figuras geométricas para expresar propiedades geométricas,
numéricas o algebraicas. Se las debe emplear de manera articulada, lo que demuestra que entienden
mejor lo que están aprendiendo y les permite explicar de manera visual el proceso para resolver un
problema. También se puede verificar si un estudiante conoce un concepto cuando transita de un tipo

de representación a otra, lo que incluye ir del lenguaje natural al simbólico o de un lenguaje pictórico a
uno simbólico y viceversa.
Aunque toda materia matemática debe presentarse de manera contextualizada, conviene insistir en
que hay que modelar las situaciones y, preferentemente, usar aquellas que son significativas para los
estudiantes. Para esto, ellos tienen que elegir las actividades y el docente debe ofrecer alternativas
como las que este Programa incluye. Para elegir o modificar alguna de las actividades, el profesor debe
centrarse en el interés que provoquen en cada contexto escolar, a fin de motivar al curso a trabajar en
dichas actividades.
Los jóvenes también tienen que poder elegir con qué herramientas trabajar, pues las habilidades
argumentativas y comunicativas se pueden apoyar en un entorno de tecnologías digitales; además, si
usan programas o aplicaciones se les hace más fácil comprender y desarrollan la comunicación entre
pares.
La asignatura de Matemática de la Formación General Común de 4° Medio pretende que sigan
desarrollando su capacidad de análisis, estudio y resolución presente y futura para favorecer su tránsito
al mundo laboral y profesional, y promover que ayuden a la comunidad local, nacional y global.
Orientaciones para la evaluación
Las tareas laborales y académicas tienen hoy un carácter colaborativo; además, si se requiere algún
cómputo que se puede hacer con ayuda digital, se recurre sin reparos a ella. En las actividades de
evaluación, se sugiere ofrecer a los alumnos que sean libres de usar calculadoras o programas que
faciliten los cálculos. También pueden trabajar en pares o grupos de hasta 4 integrantes, en cuyo caso
el profesor y los mismos jóvenes monitorean la distribución de tareas y fechas de entrega.
Las evaluaciones forman parte del proceso de aprendizaje y se debe dar alternativas al respecto según
el contexto de la clase. Dichas evaluaciones incluyen diversos ejercicios, tareas y actividades entre los
cuales los alumnos podrían elegir o se pueden emplear para armar una evaluación. Tienen un carácter
de orientación y apoyo al aprendizaje; no son medidas para determinar capacidades, pero permiten
obtener información sobre los progresos, la comprensión y el aprendizaje de los contenidos y las
habilidades. Es importante entregar pautas de evaluación y retroalimentar a los jóvenes para que
puedan mejorar su aprendizaje e incluso cambiar sus calificaciones.
Hay varias alternativas disponibles para evaluar:
- Proyectos (de grupos o individuales): De duración variable, sirven para resolver problemas
complejos, efectuar una investigación guiada o modelar un problema real. Requieren de
objetivos claros, acordados previamente, y de resultados abiertos. Es la forma ideal para
conectar diferentes áreas del conocimiento.
- Diario de vida matemático: Cuaderno o carpeta en que el estudiante desarrolla estrategias
personales, exploraciones, definiciones propias o descubrimientos. El profesor puede orientar
su elaboración y verificar si comprenden los conceptos que usan.

- Portafolio: Selección periódica de evidencias (problemas resueltos, trabajos, apuntes, en un
dosier o una carpeta) recogidas en un período determinado, y que responde a uno o más
Objetivos de Aprendizaje. Permiten demostrar aprendizaje y deben incluir justificación y
reflexión. El estudiante tiene un rol activo en su evaluación.
- Presentación matemática de la resolución de un problema: Indica el proceso y los
procedimientos usados. Para evaluar, se aplica criterios o indicadores como dominio del tema,
uso de materiales de apoyo, uso del lenguaje. Los estudiantes deben conocer tales criterios y,
eventualmente, el docente puede acordarlos con ellos.
- Entrevista individual: Mientras el curso trabaja en una tarea, el profesor dialoga con uno o más
estudiantes de un mismo nivel de desempeño acerca de un concepto, un desafío o una pregunta
relacionada con el tema abordado en la clase.
- Actividad autoevaluable: Al finalizar un tema o unidad, el profesor da a sus estudiantes la
oportunidad de trabajar con un material que les permita autocorregirse (por ejemplo: hoja de
actividades con las respuestas al reverso). A partir de los resultados, pueden verificar su avance
o aquello que deben reforzar, corregir su tarea con ayuda de compañeros, completar su trabajo
con recursos que estén a su alcance –como cuaderno, libros, diccionarios–, anotar sus dudas y,
en última instancia, pedir ayuda al docente.
Orientaciones para contextualización
La asignatura de Matemática ofrece a los alumnos oportunidades de aprendizaje contextualizadas tanto
en la matemática misma como en diferentes contextos, significativos e interdisciplinarios que, a su vez,
les permiten sistematizar o aplicar los conocimientos y procedimientos aprendidos, y también idear y
poner en práctica sus propias maneras de abordar tales fenómenos y problemas.

Organización Curricular
Las Bases Curriculares de las asignaturas de profundización de Matemática presentan objetivos de
aprendizaje de dos naturalezas: unos de habilidades3
, comunes a todas las asignaturas científicas del
nivel, y otros de objetivos enfocados en el conocimiento y la comprensión. Ambos tipos de objetivo se
entrelazan en el proceso de enseñanza-aprendizaje, junto con las actitudes propuestas desde el marco
de Habilidades para el siglo XXI.
Objetivos de Aprendizaje para 4° medio
Se espera que los estudiantes sean capaces de:
Habilidades
Resolver problemas
a. Construir y evaluar estrategias de manera colaborativa al resolver problemas no rutinarios.
b. Resolver problemas que impliquen variar algunos parámetros en el modelo utilizado y observar
cómo eso influye en los resultados obtenidos.
Argumentar y Comunicar
c. Tomar decisiones fundamentadas en evidencia estadística y/o en la evaluación de resultados
obtenidos a partir de un modelo probabilístico.
d. Argumentar, utilizando lenguaje simbólico y diferentes representaciones para justificar la
veracidad o falsedad de una conjetura, y evaluar el alcance y los límites de los argumentos
utilizados.
Modelar
e. Construir modelos, realizando conexiones entre variables para predecir posibles escenarios de
solución a un problema, y tomar decisiones fundamentadas.
f. Evaluar modelos para estudiar un fenómeno, analizando críticamente las simplificaciones
requeridas y considerando las limitaciones de aquellos.
Representar
g. Elaborar representaciones, tanto en forma manual como digital, y justificar cómo una misma
información puede ser utilizada según el tipo de representación.
h. Evaluar diferentes representaciones, de acuerdo a su pertinencia con el problema a solucionar.
3 No es necesario seguir un orden lineal al trabajar con los Objetivos de Aprendizaje y cada uno de ellos puede ser trabajado de
manera relacionada o independiente.

Habilidades digitales
i. Buscar, seleccionar, manejar y producir información matemática/cuantitativa confiable a través
de la web.
j. Desarrollar un trabajo colaborativo en línea para discusión y resolución de tareas matemáticas,
usando herramientas electrónicas de productividad, entornos virtuales y redes sociales.
k. Analizar y evaluar el impacto de las tecnologías digitales en contextos sociales, económicos y
culturales.
l. Conocer tanto los derechos propios como los de los otros, y aplicar estrategias de protección
de la información en ambientes digitales.
Objetivos de Aprendizaje para 4° Medio
Se espera que los alumnos sean capaces de:
Conocimiento y comprensión
1. Fundamentar decisiones en el ámbito financiero y económico personal o comunitario, a partir de
modelos que consideren porcentajes, tasas de interés e índices económicos.
2. Fundamentar decisiones en situaciones de incerteza, a partir del análisis crítico de datos estadísticos
y con base en los modelos binomial y normal.
3. Construir modelos de situaciones o fenómenos de crecimiento, decrecimiento y periódicos que
involucren funciones potencias de exponente entero y trigonométricas sen(x) y cos(x), de forma
manuscrita, con uso de herramientas tecnológicas y promoviendo la búsqueda, selección,
contrastación y verificación de información en ambientes digitales y redes sociales.
4. Resolver problemas acerca de rectas y circunferencias en el plano, mediante su representación
analítica, de forma manuscrita y con uso de herramientas tecnológicas.

Visión global del año
UNIDAD 1 UNIDAD 2 UNIDAD 3 UNIDAD 4
La toma de decisiones
en situaciones de
incerteza
La toma de decisiones
en situaciones
financieras y
económicas
Modelamiento matemático
para describir y predecir
Geometría con
coordenadas
Objetivos de Aprendizaje Objetivos de Aprendizaje Objetivos de Aprendizaje Objetivos de Aprendizaje
OA 2: Fundamentar
decisiones en
situaciones de
incerteza, a partir del
análisis crítico de datos
estadísticos y con base
en los modelos
binomial y normal.
OA c. Tomar decisiones
fundamentadas en
evidencia estadística
y/o en la evaluación de
resultados obtenidos a
partir de un modelo
probabilístico.
OA f. Evaluar modelos
para estudiar un
fenómeno, analizando
críticamente las
simplificaciones
requeridas y realizando
conexiones entre
variables para predecir
posibles escenarios de
solución a un
problema, y tomar
decisiones
fundamentadas.
OA 1: Fundamentar
decisiones en el
ámbito financiero y
económico personal o
comunitario, a partir
de modelos que
consideren tasas de
interés e índices
económicos.
OA d. Argumentar,
utilizando lenguaje
simbólico y diferentes
representaciones, para
justificar la veracidad o
falsedad de una
conjetura, y evaluar el
alcance y los límites de
los argumentos
utilizados.
OA f. Evaluar modelos
para estudiar un
fenómeno, analizando
críticamente las
simplificaciones
requeridas y
considerando las
limitaciones de
aquellos.
OA 3: Construir modelos de
situaciones o fenómenos de
crecimiento, decrecimiento
y periódicos que involucren
funciones potencia de
exponente entero y
trigonométricas sen(x) y
cos(x), de forma
manuscrita, con uso de
herramientas tecnológicas y
promoviendo la búsqueda,
selección, contrastación y
verificación de información
en ambientes digitales y
redes sociales.
OA e. Construir modelos,
realizando conexiones entre
solución a un problema, y
tomar decisiones
fundamentadas.
OA f. Evaluar modelos para
estudiar un fenómeno,
analizando críticamente las
simplificaciones requeridas
y considerando las
limitaciones de aquellos.
OA 4: Resolver
problemas acerca de
rectas y
circunferencias en el
plano, mediante su
representación
analítica, de forma
manuscrita y con uso
de herramientas
tecnológicas.
OA d. Argumentar,
utilizando lenguaje
simbólico y diferentes
representaciones, para
justificar la veracidad o
falsedad de una
conjetura, y evaluar el
alcance y los límites de
los argumentos
utilizados.
OA e. Construir
modelos realizando
conexiones entre
solución a un
problema, y tomar
decisiones
fundamentadas.

Actitudes Actitudes Actitudes Actitudes
Pensar con
perseverancia y
proactividad para
encontrar soluciones
innovadoras a los
problemas.
Actuar de acuerdo con
los principios de la ética
en el uso de la
información y de la
tecnología, respetando
la propiedad intelectual
y la privacidad de las
personas.
Pensar con flexibilidad
para reelaborar las
propias ideas, puntos
de vista y creencias.
Responsabilidad por
las propias acciones y
decisiones con
consciencia de las
implicancias que estas
tienen sobre uno
mismo y los otros.
Pensar con conciencia,
reconociendo que los
errores ofrecen
oportunidades para el
aprendizaje.
Actuar responsablemente al
gestionar el tiempo para
llevar a cabo eficazmente
los proyectos personales,
académicos y laborales.
Aprovechar las
herramientas
disponibles para
aprender y resolver
problemas.
Interesarse por las
posibilidades que
ofrece la tecnología
para el desarrollo
intelectual, personal y
social del individuo.
Tiempo estimado:
12 semanas
Tiempo estimado:
10 semanas
Tiempo estimado:
9 semanas
Tiempo estimado:
7 semanas

Programa de Estudio Matemática 4° Medio Formación General Unidad 1
Unidad 1: La toma de decisiones en situaciones de
incerteza
Propósito
Los estudiantes valorarán el uso de estadísticas y modelos probabilísticos para tomar decisiones en
situaciones de incerteza. Identificarán dos modelos probabilísticos, la distribución binomial y normal, y
entenderán que son herramientas que permiten comprender cómo se distribuyen los datos en
situaciones dicotómicas o de pruebas estandarizadas. El foco se encuentra en las observaciones que se
puede hacer sobre estos modelos y cómo sacar conclusiones a partir de gráficos y datos dados. Las
preguntas que orientan la unidad son: ¿Cómo se puede tomar decisiones a partir de los modelos
probabilísticos? ¿Cómo explicar una toma de decisión según datos estadísticos?
Objetivos de Aprendizaje
OA 2. Fundamentar decisiones en situaciones de incerteza, a partir del análisis crítico de datos
estadísticos y con base en los modelos binomial y normal.
OA c. Tomar decisiones fundamentadas en evidencia estadística y/o en la evaluación de resultados
OA f. Evaluar modelos para estudiar un fenómeno, analizando críticamente las simplificaciones
requeridas y realizando conexiones entre variables para predecir posibles escenarios de solución a un
problema, y tomar decisiones fundamentadas.

Actividad 1: ¿Cómo se distribuyen el éxito y el fracaso?
PROPÓSITO
Los estudiantes establecen un modelo probabilístico binomial en dos situaciones y ven cómo, a partir
de casos particulares y mediante la experimentación, se puede avanzar hacia establecer un modelo que
permite hacer predicciones y tomar decisiones futuras con fundamentos estadísticos. Para esto, deben
organizar información y ser proactivos para buscar soluciones; asimismo, tienen que recordar y
profundizar temas como el aparato de Galton, que trabajaron en 1° medio.
OA 2. Fundamentar decisiones en situaciones de incerteza, a partir del análisis crítico de
datos estadísticos y con base en los modelos binomial y normal.
OA c. Tomar decisiones fundamentadas en evidencia estadística y/o en la evaluación de
resultados obtenidos a partir de un modelo probabilístico.
OA f. Evaluar modelos para estudiar un fenómeno, analizando críticamente las
simplificaciones requeridas y realizando conexiones entre variables para predecir posibles
escenarios de solución a un problema, y tomar decisiones fundamentadas.
Actitudes
• Pensar con perseverancia y proactividad para encontrar soluciones innovadoras a los
problemas.
Duración: 9 horas pedagógicas
DESARROLLO
TABLA DE GALTON
1. Construye un aparato de Galton o utiliza una versión digital para realizar el experimento aleatorio.
a. ¿Cuál es el camino recorrido por uno de los objetos?
b. ¿Cómo será la distribución de los datos en experimentos de este tipo?
c. ¿Cómo se relacionan los caminos con las respuestas de un experimento dicotómico?
d. ¿Qué relación tienen las divisiones del aparato y la cantidad de fichas que se deja caer con el
experimento?

2. Prueba con otros aparatos de Galton: se puede utilizar alfileres, un tablero en plumavit y cajas de
fósforos, o un geoplano o un recurso digital, como muestra la figura.
Fig. 1: Aparato de Galton en recurso digital.
Extraído de
https://www.curriculumnacional.cl/link/https://phet.colorado.edu/en/simulations/category/math
3. Configura el aparato de Galton con probabilidad 0,5 y 5 filas, realiza varias pruebas, observa dónde
caen las fichas y mira la distribución en las diferentes casillas.
a. ¿Todas las casillas se llenan con la misma cantidad de fichas?
b. ¿Cómo se distribuyen las fichas en las casillas?
4. Piensa en una ficha. Si toma el camino a tu izquierda, se considerará un fracaso
y si toma el camino a tu derecha, se considerará un éxito.
a. En un desvío cualquiera, ¿cuál es la probabilidad de obtener un éxito?
b. ¿Y cuál es la probabilidad de obtener un fracaso?
5. Si una ficha sigue siempre el camino de tu izquierda, en las 5 filas:
a. ¿Cuántos fracasos ocurren?
b. ¿Cuántos éxitos ocurren?
6. Por el contrario, si la ficha sigue solamente el camino de tu derecha:
a. ¿Cuántos éxitos ocurren?
b. ¿Cuántos fracasos ocurren?
7. Determina la cantidad de éxitos y fracasos cuando la ficha cae en algunas de las casillas intermedias.

8. Si numeras las casillas donde caen las fichas desde 𝑋 = 0, 1, 2, 3, 4 𝑦 5, de izquierda a derecha, con
5 filas:
a. ¿De cuántas maneras se puede llegar a 𝑋 = 0?
b. ¿De cuántas maneras se puede llegar a 𝑋 = 1?
c. Responde la pregunta anterior hasta 𝑋 = 5. Señala cómo la combinatoria puede aportar a
realizar los conteos pedidos. Relaciona estas respuestas con las obtenidas anteriormente.
d. ¿Cuántos caminos posibles se puede observar? Considera todos los caminos posibles.
9. ¿Cuál es la probabilidad de que una ficha siga un camino específico? Argumenta si los sucesos
asociados a seguir un camino son o no equiprobables.
10. ¿Cuál es la probabilidad de que una ficha llegue a una casilla en específico?
a. ¿Cuál es la probabilidad de que una ficha llegue a la casilla 0, 𝑃(𝑋 = 0)?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que una ficha llegue a la casilla 1, 𝑃(𝑋 = 1)?
c. Repite la pregunta anterior hasta llegar a la casilla 5, 𝑃(𝑋 = 5).
d. Si estás usando el recurso digital, simula el lanzamiento de la ficha al menos 500 veces y
compara la probabilidad experimental con la probabilidad teórica que obtuviste recién.
11. ¿Cuál es la distribución de las fichas en las distintas casillas? ¿Cómo es la distribución de probabilidad
de las fichas en este experimento aleatorio?
12. Expresa de forma general la probabilidad de que una ficha llegue a una de las posibles casillas.
13. Inventa una situación en contexto que pueda ser simulada por este experimento binomial.
UNA PRUEBA DE SELECCIÓN
Muchas pruebas estandarizadas son de selección múltiple. Por ejemplo, en una prueba de 80 preguntas
de 5 alternativas cada una, el azar puede estar presente si el estudiante no tiene certeza de cómo
responder correctamente cada pregunta. En este caso, al estudiante le debería interesar la pregunta
¿Qué tan probable es que un estudiante respondiese cierta cantidad de preguntas al azar y tuviese
varias correctas? Contesta las siguientes preguntas con un compañero y averigüen qué tan probable es
que una persona que no estudió lo suficiente y recurriera mucho al azar, obtuviese un buen puntaje en
esa prueba.
1. Supongan que responden una pregunta al azar.
a. ¿Cuál es la probabilidad de acertar? es decir, ¿de qué sea éxito?
b. Considerando que son 5 alternativas, ¿son todas igualmente probables?
c. ¿Cuál es la probabilidad de no acertar a la respuesta correcta? es decir, ¿de qué sea fracaso?

d. Completen el esquema, anotando los valores de las probabilidades correspondientes en los
recuadros.
2. Consideren el caso de responder una pregunta al azar. Se tienen entonces los sucesos:
A: Obtener 0 respuestas correctas (o un fracaso)
B: Obtener 1 respuesta correcta (o un éxito)
O bien: 𝐴 = {0}; 𝐵 = {1}
3. La variable aleatoria X representa el número de éxitos en el experimento. ¿Cuáles son las
probabilidades de P(X = 0); P(X=1)?
4. Ahora consideren el caso de responder al azar dos preguntas. Conjeturen: ¿será igualmente
probable obtener una respuesta correcta que en el caso anterior?
5. Completen el diagrama, luego definan los sucesos C, D y E y determinen qué probabilidades hay de
que ocurran ninguno, uno o dos aciertos en la prueba, respectivamente, si se responde dos
preguntas al azar:
𝐶 = {( , )}
𝐷 = {( , ), ( , )}
𝐸 = {( , )}
6. ¿Cuántas formas tienen de combinar los éxitos y los fracasos? Observen el diagrama y respondan:
a. ¿De cuántas maneras se puede combinar dos fracasos o cero éxitos?
b. ¿De cuántas maneras se puede combinar un éxito y un fracaso?
c. ¿De cuántas maneras se puede combinar dos éxitos?
Fracaso
Éxito

7. Usando las combinaciones anteriores y las probabilidades escritas como potencia, busquen un
modo de expresar la probabilidad de responder 𝑘 preguntas correctas 𝑃(𝑋 = 𝑘), si se responde 2
preguntas al azar.
8. Para poner a prueba su modelo anterior, consideren el caso de responder al azar 3 preguntas.
a. Háganlo paso a paso: diagrama de árbol, definiendo los sucesos con 0, 1, 2 y 3 aciertos, y
determinando las probabilidades.
b. Reemplacen datos en el modelo que determinaron y contrasten con los resultados anteriores.
c. Si es necesario, ajusten su modelo. Compárenlo con los de sus compañeros.
9. Si es necesario, hagan todo de nuevo con el caso de responder al azar 4 preguntas. Comprueben la
validez de su modelo, luego de hacerlo todo paso a paso.
10. ¿Qué aporta el modelo encontrado?
a. ¿Cómo pueden usarlo para predecir qué ocurre al responder cada vez más preguntas al azar?
b. ¿Da lo mismo responder al azar 30 preguntas y esperar tener 20 correctas, que responder 20
preguntas al azar y esperar tenerlas todas correctas?
11. Usen el modelo para estimar cuánto vale la pena responder al azar para confiar en tener buenos
resultados.
MUJER O VARÓN
Suponiendo que la probabilidad de que una pareja tenga un hijo varón sea la misma que tener una hija:
a. Simula en el aparato de Galton la situación de estar esperando un hijo y no conocer su sexo.
Designa como A el suceso de tener un hijo hombre y B el de tener una mujer. Considera 𝐴 =
{0}; 𝐵 = {1}
b. Completa el diagrama de árbol con las probabilidades frecuenciales, al repetir el experimento
500 veces.

c. Marca la opción que muestra la distribución ideal y compárala con la anterior. Completa el
diagrama de árbol con las probabilidades teóricas.
d. Calcula la probabilidad de que una familia con 6 hijos tenga 2 varones.
e. Ahora considera que la familia planifica tener dos hijos, ¿cuál es la probabilidad de que ambos
sean mujeres o que ambos sean hombres? ¿O que sea un hombre y una mujer (no importa el
orden)?
f. Sigue la estrategia de completar el diagrama de árbol; luego simula el experimento 500 veces
para contrastar la probabilidad frecuencial con la teórica.
g. Usa la expresión 𝑃(𝑋 = 𝑘) = (
𝑛
𝑘
)𝑝𝑘
∙ (1 − 𝑝)𝑛−𝑘
para determinar la probabilidad de:
- tener una hija al tener 1 hijo (𝑘 = 1; 𝑛 = 1; 𝑝 = 0,5)
- de tener 1 hija al tener 2 hijos (𝑘 = 1; 𝑛 = 2; 𝑝 = 0,5)
- de tener 2 hijas al tener 2 hijos (𝑘 = 2; 𝑛 = 2; 𝑝 = 0,5)
- Compara los resultados anteriores con los de usar la fórmula
𝑃(𝑋 = 𝑘) = (
𝑛
𝑘
) 𝑝𝑛
- Compara tus respuestas con tus compañeros y determinen qué parámetro marca la
diferencia entre usar una fórmula completa o una reducción de ella.

ORIENTACIONES PARA EL DOCENTE
1. La distribución de probabilidad binomial aporta con un nuevo modelo predictivo de probabilidad
que permite estudiar problemas que el modelo de Laplace no puede modelar; por este motivo, es
importante que los alumnos diferencien entre los sucesos elementales equiprobables y los que no
lo son.
2. Se sugiere iniciar modelando un experimento aleatorio, dicotómico, con probabilidad 0,5. Esto
permite comprender por qué, a medida que aumentan las repeticiones del experimento, no se
puede usar el modelo de Laplace; por ejemplo: notan que cada casilla en la que pueden caer las
fichas tendrá probabilidades distintas a medida que haya más filas. También es interesante que
perciban la simetría que hay en las probabilidades de las casillas.
3. Discutan la cantidad de caminos posibles y las probabilidades, a partir de una situación de 5 filas y
5 caminos posibles, de un total de 32, que la ficha puede seguir para llegar a la casilla 𝑋1. El 32 es
sin restricciones de éxitos, considera cualquier camino posible; eso significa que tuvo solo un éxito
en cada uno de esos 5 caminos y el resto fueron fracasos. Pero en cada desvío había dos opciones
igualmente probables. La probabilidad de caer en la casilla 𝑋1 es
5
32
; en cambio la probabilidad en
cada desvío es
1
2
.
4. Se sugiere usar el diagrama de árbol para determinar las probabilidades y para que definan los
sucesos de estudio. Utilícelo para analizar cómo el hecho de que los sucesos sean independientes
permite calcular sumas y productos de forma simple, usando las ramas del árbol.
5. Cabe notar que la fórmula 𝑃(𝑋 = 𝑘) = (
𝑛
𝑘
)𝑝𝑛
se aplica solamente para el caso especial de 𝑝 =
𝑞 = 0,5. Para el caso general, se utiliza 𝑃(𝑋 = 𝑘) = (
𝑛
𝑘
) 𝑝𝑘
(1 − 𝑝)𝑛−𝑘
.
6. Se sugiere los siguientes indicadores para evaluar formativamente los aprendizajes:
• Interpretan datos de un experimento aleatorio dicotómico como la base del modelo binomial.
• Comparan la probabilidad de una variable aleatoria y la frecuencia relativa de un suceso en un
experimento aleatorio.
• Evalúan las diferentes posibilidades en un experimento aleatorio y determinan su probabilidad.
• Elaboran diagramas de árboles para representar las probabilidades de los diferentes sucesos de
un experimento.
RECURSOS Y SITIOS WEB
Sitios web sugeridos para estudiantes y profesores:
- Simulación del aparato de Galton:
https://www.curriculumnacional.cl/link/https://phet.colorado.edu/sims/html/plinko-
probability/latest/plinko-probability_es.html

Actividad 2: ¿Qué entendemos por estadísticamente normal?
PROPÓSITO
Los estudiantes valoran la distribución normal como una herramienta que permite comprender cómo
distribuyen los datos y cómo esta distribución permite tomar decisiones fundamentadas. Comparan
modelos, calculan probabilidades y analizan críticamente los datos de la población o de una muestra,
para comprender fenómenos en el área de la física, la biología y la psicología. Enfrentan los temas
presentados (tallas de recién nacidos y coeficiente intelectual) desde la ética y el respeto por la
privacidad de las personas.
OA 2: Fundamentar decisiones en situaciones de incerteza, a partir del análisis crítico de
Actitudes
• Actuar de acuerdo con los principios de la ética en el uso de la información y de la
tecnología, respetando la propiedad intelectual y la privacidad de las personas.
DESARROLLO
TALLA DE RECIÉN NACIDOS
1. Observa el histograma de la Figura 1. Corresponde a la frecuencia de las
tallas de 1 000 recién nacidos y se generó de forma aleatoria, siguiendo
las normas de la OMS, una vez completadas las 40 semanas de gestación.
Conexión
interdisciplinaria:
Ciencias para la
Ciudadanía
OA c, 3° y 4° medio

Fig. 1: Histograma de frecuencias de tallas de 1 000 recién nacidos.
1. Describe la forma de la gráfica.
a. ¿Cómo dirías que se distribuyen aproximadamente los datos?
b. ¿Hay simetría en la distribución de los datos con respecto al centro?
c. ¿Hay simetría en la distribución de los datos con respecto a la barra más alta (clase de mayor
frecuencia)?
2. Describe una forma de comprobar la simetría y da algunos ejemplos específicos.
d. ¿En qué clases se distribuyen las tallas de menor frecuencia?
e. ¿En qué clases se distribuyen las tallas de mayor frecuencia?
3. En la Figura 2 se ha agregado el polígono de frecuencias al histograma anterior.
a. En la parte más alta de la curva, ¿qué información se puede extraer: las tallas mayores o las más
frecuentes?
b. ¿Qué forma tiene el polígono de frecuencias?

Fig. 2: Histograma y polígono de frecuencias de tallas de 1 000 recién nacidos.
4. Dada la manera en que se distribuyen los datos, cuyo gráfico se aproxima a la forma de una campana
(campana de Gauss), se puede afirmar que se aproximan a una distribución normal. La Figura 3
muestra la curva de la distribución normal de los datos obtenida teóricamente.
a. Compara la distribución teórica con la empírica. Señala semejanzas y diferencias.
b. Indica en qué casos la talla de un recién nacido se encuentra dentro de los parámetros normales
respecto de los demás recién nacidos y en qué casos se aleja.
Fig. 3: Distribución normal de tallas de 1 000 recién nacidos.

5. En la Figura 3, marca las medidas de tendencia central con líneas verticales de distintos colores.
a. ¿En qué intervalo crees que se encuentra la moda? ¿Por qué? ¿Necesitarías más información?
b. ¿En qué intervalo crees que se encuentra la mediana? ¿Por qué? Averigua si se puede
determinar la mediana solo con los datos del gráfico.
c. ¿En qué intervalo crees que se encuentra el promedio? ¿Qué harías para encontrarlo?
6. Sabiendo que el promedio 𝑥 es de 49,44 cm y la desviación estándar 𝜎 es de 1,73 cm, indica una
interpretación de estas medidas en este contexto. En el mismo gráfico, marca 𝑥 − 𝜎, 𝑥 + 𝜎, 𝑥 − 2𝜎,
𝑥 + 2𝜎 en el eje horizontal.
a. ¿Qué interpretación tiene el intervalo ( 𝑥 − 𝜎, 𝑥 + 𝜎) en el contexto?
b. Aproximadamente, ¿qué porcentaje de los datos se encuentra en este intervalo?
c. ¿Qué interpretación tiene el intervalo ( 𝑥 − 2𝜎, 𝑥 + 2𝜎) en el contexto?
d. Aproximadamente, ¿qué porcentaje de los datos se encuentra en este intervalo?
7. Supón que cada recién nacido puede ser elegido al azar desde una base de datos con sus nombres
o RUN.
a. Aproximadamente, ¿cuál es la probabilidad de que un recién nacido elegido al azar tenga una
talla entre 46,86 cm y 53,5 cm?
b. Aproximadamente, ¿cuál es la probabilidad de que tenga una talla entre 48,52 cm y 51,84 cm?
c. Aproximadamente, ¿cuál es la probabilidad de que tenga una talla de 50 cm?
PRUEBA DE CI
1. Observa el siguiente histograma:
Fig. 4: Histograma con el puntaje de CI de 1060 personas.
a. Describe la forma del gráfico. Indica si observas simetrías.
b. ¿En qué intervalos están las mayores frecuencias y en cuáles las menores?
c. ¿Cómo crees que sería la forma de un histograma con 1 millón de datos? Bosquéjalo.

2. En el caso del CI se puede considerar la siguiente información: el promedio es 𝜇 = 100 y la
desviación estándar de 𝜎 = 16. Además, se asume que los puntajes tienen una distribución normal.
a. Usando la Figura 5 de referente, determina los puntajes de corte en cada uno de los intervalos
(𝜇 − 𝜎, 𝜇 + 𝜎), ( 𝜇 − 2𝜎, 𝜇 + 2𝜎), ( 𝜇 − 3𝜎, 𝜇 + 3𝜎).
Fig. 5: Medición estándar. Distribución normal.
Extraído de
https://www.curriculumnacional.cl/link/https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_normal
b. Determina la probabilidad de que una persona elegida al azar rinda la prueba y se clasifique
entre 95 y 100.
c. Repite lo mismo para algunos intervalos de las clasificaciones de CI que te interesen.
1. La distribución normal se presenta en esta oportunidad de forma experimental, sin llegar al cálculo
de probabilidades de forma teórica; más bien, se estima los valores desde la gráfica. La intención es
que distingan cómo se distribuyen los datos y que le den sentido a la curva normal, con la forma de
la campana de Gauss.
2. Si es posible, acceda a una página web con datos confiables para que los alumnos generen en Excel
sus propios gráficos y usen las herramientas del programa para determinar las medidas de
tendencia central y desviación estándar.
3. Sabiendo que, al aumentar la cantidad de datos, la gráfica tomaría la forma estable conocida como
la curva que describe los datos de una distribución normal, permita que puedan concluir que se
puede llegar a esta forma, al comparar dos gráficos desde su bosquejo.
4. Se sugiere discutir sobre la posibilidad de determinar probabilidades puntuales para un valor
específico, en distribuciones normales. Dado que es imposible, tienen que concluir que solo se
puede calcular la probabilidad de intervalos.

Fig. 6: Distribución normal prueba CI.
• Interpretan datos de un experimento aleatorio dicotómico como la base del modelo binomial.
• Evalúan los alcances y límites de un argumento estadístico o probabilístico antes de tomar una
decisión.
- Cómo hacer un histograma y un polígono de frecuencias superpuesto en una planilla de cálculo
https://www.curriculumnacional.cl/link/https://www.youtube.com/watch?v=-LoRmA1ZBeA
- Cómo activar herramienta en una planilla de cálculo para análisis de datos y cómo hacer curva
normal
https://www.curriculumnacional.cl/link/https://www.youtube.com/watch?v=f6_sNK2jw_I

Actividad 3: Estandarización de distribuciones normales
PROPÓSITO
Los estudiantes reconocen el término “normal” desde una mirada estadística y admiten que sirve para
analizar conjuntos de datos y juzgar el comportamiento de uno o de un grupo de ellos, en comparación
con el resto. Se espera que comprendan el uso de la desviación estándar y cómo tomar decisiones a
partir de ella, que utilicen la tabla probabilística y eviten cálculos tediosos. Igual que en la actividad
anterior, se espera una actitud de respeto hacia la privacidad de los compañeros, sectores y culturas.
OA 2: Fundamentar decisiones en situaciones de incerteza, a partir del análisis crítico de datos
estadísticos y con base en los modelos binomial y normal.
OA c. Tomar decisiones fundamentadas en evidencia estadística y/o en la evaluación de resultados
requeridas y realizando conexiones entre variables para predecir posibles escenarios de solución a
un problema, y tomar decisiones fundamentadas.
Actitudes
• Actuar de acuerdo con los principios de la ética en el uso de la información y de la tecnología,
respetando la propiedad intelectual y la privacidad de las personas.
DESARROLLO
ESTATURA DE RECIÉN NACIDOS
1. En un Centro de Salud Familiar, se tiene registro de todos los niños a los
que se ha atendido durante el primer semestre. Los siguientes datos
corresponden al registro de la longitud (en centímetros) de todos los
bebés de 6 meses controlados en ese periodo.
59𝑐𝑚 ; 60𝑐𝑚 ;62𝑐𝑚 ; 63𝑐𝑚 ; 65𝑐𝑚 ; 65𝑐𝑚 ; 66𝑐𝑚 ;67𝑐𝑚; 67𝑐𝑚 ; 68 𝑐𝑚 ; 70𝑐𝑚 ; 72𝑐𝑚
Conexión
interdisciplinaria:
Ciencias para la
Ciudadanía

a. Completa la tabla y calcula el promedio y la desviación estándar de las 12 estaturas.
Tabla 1: Registro de estaturas y detalle del cálculo de la desviación estándar
𝑛 𝑥𝑛 𝑥𝑛 − 𝑥̅ (𝑥𝑛 − 𝑥̅)2
1 59
2 60
3 62
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Promedio
𝑆𝑥 ≈ __________
b. ¿Cómo se interpreta el promedio y la desviación estándar en este contexto?
c. Puedes usar la herramienta “Análisis de datos” de una planilla electrónica para calcular más
rápido.
2. Respecto de la Figura 1 a continuación, responde:
a. ¿Qué representan los puntos azules?
b. ¿Qué representa la línea vertical roja?
c. ¿Qué representa la línea vertical naranja?
d. ¿Qué representa las líneas horizontales verdes?
Fig. 1: Representación de las estaturas mediante diagrama de puntos.

3. Para interpretar el gráfico anterior, responde:
a. ¿Qué información se puede obtener calculando 65,33 + 3,9 = 69,23 y 65,33 − 3,9 = 61,43?
b. ¿Qué datos se encuentran en el intervalo (61,43; 69,23)? ¿Qué porcentaje del total de datos
representan?
c. ¿Es correcto afirmar que 8 de los 12 niños controlados tienen una estatura entre 61,43 cm y
69,23 cm?
d. ¿Qué puedes afirmar sobre la diferencia entre la estatura máxima y la mínima?
e. ¿Qué puedes afirmar sobre la cantidad de datos que se encuentran a dos desviaciones estándar
o menos del promedio?
f. ¿Qué distribución crees que responde a los datos graficados? Conjetura una respuesta, aunque
los datos sean pocos, y justifica.
¿CÓMO DESCRIBIMOS LA NORMALIDAD?
1. Visita la página web DataChile (https://www.curriculumnacional.cl/link/https://es.datachile.io/) y extrae
datos de algún tema que te interese: economía, educación, vivienda, demografía, salud, educación
cívica.
a. Haz un histograma para observar la distribución de los datos.
b. Marca el polígono de frecuencias en el mismo gráfico. Describe la forma de la curva.
2. Determina el promedio, la mediana y la desviación estándar para esos datos, utilizando una planilla
electrónica.
a. Interpreta cada estadístico en relación con el contexto estudiado.
b. Compara los valores de la media y la mediana y señala una interpretación posible.
c. Marca en el histograma, con distintos colores, el promedio, la mediana y los intervalos
(𝑥 − 𝜎, 𝑥 + 𝜎) 𝑦 (𝑥 − 2𝜎, 𝑥 + 2𝜎)
d. Argumenta si se puede asegurar o no que la distribución de estos datos corresponde a una
distribución normal o es asimétrica.
3. Determina la cantidad de datos que se encuentran en el intervalo (𝑥 − 𝜎, 𝑥 + 𝜎) y el porcentaje de
dichos datos respecto del total.
a. ¿Cómo se relaciona con el porcentaje de datos que se encuentran a una desviación estándar de
la media que se describe en una distribución de datos normal?
b. Determina la cantidad de datos que se encuentran en el intervalo (𝑥 − 2𝜎, 𝑥 + 2𝜎) y el
porcentaje de dichos datos respecto del total.
c. ¿Cómo se relaciona con el porcentaje de datos que se encuentran a una desviación estándar de
la media que se describe en una distribución de datos normal?

4. Sobre los aportes de la desviación estándar:
a. Señala al menos una interpretación que se puede dar de 𝜎 sobre un conjunto de datos.
b. Indica cómo se usa para determinar si un dato específico está dentro de los márgenes de
normalidad respecto de los demás datos de un mismo estudio (o experimento).
c. ¿Qué se considera normal en el contexto seleccionado?
UTILIZACIÓN DE LA TABLA PROBABILÍSTICA PARA Z
1. Observa la Figura 2. ¿Qué tipo de distribución tienen los datos de esta población?
a. ¿Cuál es la media? ¿Cuál es la desviación estándar?
b. ¿Puedes inferir el valor de la mediana y la moda? ¿Cuáles deberían ser?
c. ¿Cuál es el área total bajo la curva? ¿Cómo se relaciona con las probabilidades de los datos?
d. Porcentualmente, ¿cuántos datos se encuentran a 1, 2 o 3 desviaciones estándar de la media?
e. Relaciona la respuesta anterior con la probabilidad de que un dato de esta población tomado al
azar se encuentre entre (𝑥 − 𝜎, 𝑥 + 𝜎), entre (𝑥 − 2𝜎, 𝑥 + 2𝜎) y entre (𝑥 − 3𝜎, 𝑥 + 3𝜎).
Fig. 2: Distribución normal estándar.
2. En internet4 puedes encontrar una lista de las probabilidades asociadas con los intervalos desde la
media (𝑧 = 0,00) hasta un valor específico de z. Se puede hallar las probabilidades de otros
intervalos usando las entradas de la tabla y las operaciones de adición y sustracción, de acuerdo a
las propiedades de las probabilidades.
Por ejemplo:
𝑃(0 < 𝑧 < 1,52) = 0,4357
Esto quiere decir que la probabilidad de tomar al azar un dato de la población distribuida
normalmente que se encuentre entre 0 y 1,52, es 0,4357.
4
Por ejemplo: https://www.curriculumnacional.cl/link/https://es.slideshare.net/josejoaquinmunoz/tablas-de-
distribucion-normal-con-la-probabilidad-definitiva-con-todos-los-valores-de-z

La Figura 3 muestra cómo usar la tabla de probabilidades:
Fig. 3: Parte de la tabla de probabilidades de la distribución normal estándar.
a. Determina 𝑃(0 < 𝑧 < 0,91). ¿Qué interpretación tiene el resultado?
b. Determina 𝑃(−1 < 𝑧 < 0,91). ¿Cómo se debe usar la tabla en este caso? ¿Qué propiedades de
las probabilidades te permiten llegar a la respuesta?
c. Determina 𝑃(−2 < 𝑧 < −1,1). ¿Qué interpretación tiene el resultado?
d. Determina 𝑃(𝑧 < −1,1). ¿Qué interpretación tiene el resultado?
e. Determina 𝑃(−2 < 𝑧). ¿Qué interpretación tiene el resultado?
3. Volviendo al caso de las estaturas de los recién nacidos.
a. Recuerda cuál es el valor de 𝑥 y 𝜎.
b. Recuerda también que se podía obtener ciertas probabilidades aproximadas de valores 𝑥. Por
ejemplo:
𝑃(47,8 < 𝑥 < 51,2) y 𝑃(46 < 𝑥 < 53)

1. Se espera que analicen los aportes de la media y la desviación estándar para caracterizar una
población con distribución normal. Ya han estudiado antes estas medidas, de tendencia central y
de dispersión respectivamente, en distribuciones de datos no necesariamente normales.
2. Se propone un análisis con una cantidad muy limitada de datos, 12 estaturas, para que luego
analicen 650 estaturas. Con esto, se espera que perciban que, a mayor cantidad de datos, más
evidente es la aproximación a la curva normal y que, por ser datos empíricos, hay pequeñas
variantes respecto de la definición. Por ejemplo: en este caso la media se acerca mucho a la
mediana, pero no son iguales. Además, la cantidad de datos alejados una desviación estándar de la
media (cantidad de datos en el intervalo (𝑥 − 𝜎, 𝑥 + 𝜎)) no es exactamente 68%, sino una cantidad
próxima. Lo mismo ocurre con los 12 datos en el intervalo a dos desviaciones estándar de la media;
en ese caso, el 100% de los datos pertenece a ese intervalo, a diferencia del 95% esperado.
3. Se sugiere que examinen qué representa una distribución normal estándar, junto con el valor de su
media, moda, mediana, desviación estándar, y los intervalos a una o dos desviaciones estándar de
la media. Se profundiza en el cálculo de probabilidades de un dato z cualquiera, que cumpla con
una condición dada –por ejemplo: 𝑃(𝑎 < 𝑧 < 𝑏)–, usando el puntaje 𝑧 y la tabla de probabilidades.
• Utilizan la tabla de probabilidades para determinar la probabilidad de tomar, en forma aleatoria,
un dato de una población distribuida normalmente.
• Evalúan la pertinencia de usar modelos binomial o normal para interpretar situaciones de
incerteza.
• Evalúan los alcances y límites de un argumento estadístico o probabilístico antes de tomar una
decisión.

Sitios sugeridos para estudiantes y profesores:
− ¿Qué es la desviación estándar?
https://www.curriculumnacional.cl/link/https://support.minitab.com/es-mx/minitab/18/help-
and-how-to/statistics/basic-statistics/supporting-topics/data-concepts/what-is-the-standard-
deviation/
− Tabla de distribución normal Z
https://www.curriculumnacional.cl/link/http://matepedia-
estadistica.blogspot.com/2016/01/tabla-de-distribucion-normal.html
− Distribución normal: ¿Es tan frecuente como parece?
https://www.curriculumnacional.cl/link/http://www.scielo.cl/scielo.php?script=sci_arttext&pi
d=S0034-98872012000400021
− Normal, simetría o asimetría
https://www.curriculumnacional.cl/link/http://facilestadistica.wixsite.com/estadisticafacil/sin
gle-post/2014/08/24/Estad%C3%ADstica-Descriptiva-III-Medidas-de-Forma-y-Medidas-de-
Concentraci%C3%B3n
− Datos públicos de Chile
https://www.curriculumnacional.cl/link/https://es.datachile.io/

Actividad 4: Comparación de la distribución binomial y la distribución normal
PROPÓSITO
Los estudiantes comprenden cómo se desarrolla la distribución binomial a partir de una representación
esquemática como árbol de probabilidades, tabla de Galton y paseos al azar. Reconocen el significado
de cada parte de la fórmula de Bernoulli y las diferencias entre la distribución binomial y la normal.
Deben ser perseverantes y proactivos para encontrar explicaciones y fundamentar sus respuestas, ya
sea formulando nuevos esquemas o evaluando las representaciones dadas.
OA 2. Fundamentar decisiones en situaciones de incerteza, a partir del análisis crítico de
Actitudes
• Pensar con perseverancia y proactividad para encontrar soluciones innovadoras a los
problemas.

DESARROLLO
LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
1. Considera que la variable aleatoria es 𝑋 = 𝑘 (sellos). Las siguientes representaciones muestran que
hay solamente 1 camino para los extremos 𝑋 = 0 y 𝑋 = 4. Para 𝑋 = 1 y 𝑋 = 3 hay 4 caminos y
para 𝑋 = 2 hay 6 caminos.
Fig. 1: Representaciones de una situación binomial con paseo al azar, triángulo de Pascal y coeficientes binomiales.
En general, las situaciones que se representa son con 𝑛 repeticiones y se elige 𝑘, que puede ser caras -
sellos, derecha -izquierda, éxitos-fracasos, sí-no u otras posibilidades binomiales.
a. Determina el número de caminos en los tres casos.
b. Identifica similitudes y diferencias en la forma de escribir las representaciones.
c. Comenta las tres representaciones con un compañero y explica cada una de ellas.
d. Explica la forma de encontrar 𝑃(𝑋 = 3)
2. Dicta a tu compañero la fórmula de Bernouilli: Para 𝑛 repeticiones, con valor de la variable aleatoria
𝑋 = 𝑘 y 𝑞 = 1 − 𝑝, se determina como 𝑃(𝑋 = 𝑘) = (
𝑛
𝑘
) · 𝑝𝑘
· (1 − 𝑝)𝑛−𝑘
.
a. Explica cada parte de la fórmula: (
𝑛
𝑘
) (elección); 𝑝𝑘
(posición); (1 − 𝑝)𝑛−𝑘
(complemento).
b. ¿Qué pasa si consideras 𝑝 = 0,5? ¿En qué casos se recomienda utilizar este valor?
c. Con 𝑝 = 0,5, determina 𝑃(𝑋 = 𝑘) para valores de 𝑛 y 𝑘 que elijas, y explica tu elección y
experimento a tu compañero.

3. El siguiente esquema muestra cómo se puede aplicar la fórmula de Bernoulli en situaciones diarias
o del ámbito laboral mediante las distribuciones normales.
Fig. 2: Principio de situación de incerteza.
a. Explica a tu compañero lo que entiendes de este esquema.
b. Crea un ejemplo de pregunta que puedas responder utilizando este esquema, sin aplicar la
fórmula.
c. Si es posible, encuentra datos confiables en la web, sobre la situación que propusiste para
aplicar una vez la fórmula de Bernouilli y responder a una pregunta.

4. Discute con tus compañeros sobre las siguientes alternativas para la pregunta: ¿Cuál de los cinco
histogramas corresponde a una distribución binomial con 𝑛 = 5 y 𝑝 = 0,5?
Fig. 3: Histogramas de distribuciones binomiales.
5. La siguiente es una situación binomial creada para efectos educativos: En el tranque de un
piscicultor, el 40% de los peces no tiene la medida adecuada para venderlos. Con una red se puede
sacar 6 peces. Se define una variable aleatoria 𝑋 que representa el número de los peces que no
tienen la medida adecuada. El histograma muestra la distribución de la variable aleatoria 𝑋.
Fig. 4: Histograma del piscicultor
a. Explica cada uno de los siguientes cálculos:
− 𝐸(𝑋) = 𝑛 ∙ 𝑝 = 6 ∙ 0,4 = 2,4 = 𝜇
− 𝑉(𝑋) = 𝑛 ∙ 𝑝 ∙ 𝑞 = 6 ∙ 0,4 ∙ 0,6 = 1,44
− 𝜎 = √1,44 = 1,2

b. Ubica en la flecha verde el valor que corresponde, ¿te imaginas que es una balanza? ¿Qué
significa esa flecha/valor para los resultados?
c. Construye esquemas que te permitan responder las siguientes preguntas:
− ¿Cuál es la probabilidad de encontrar valores tales que 𝑋 = 4?
− ¿Cuál es la probabilidad de encontrar valores tales que 𝑋 ≤ 2?
− ¿Cómo te ayudó la fórmula de Bernouilli en este problema?
d. ¿Cómo interpretas estos resultados según el contexto del problema?
e. ¿Qué consejos le darías a un compañero para que pudiera comprender mejor tus soluciones?
6. Escribe un listado de las palabras clave que te permiten describir la distribución binomial.
DISTRIBUCIÓN NORMAL
1. Clasifica las siguientes situaciones en variables continuas y discretas: número de días nublados, peso
de recién nacidos, lluvia caída anualmente en una región, cantidad de portadores de daltonismo,
números formados por un programa, la temperatura de agua en un lago.
a. ¿Cómo identificas las variables continuas?
b. Explica qué es una variable discreta a tu compañero, con un ejemplo diferente a los mostrados
anteriormente.
c. Identifica si las situaciones binomiales vistas antes son discretas o continuas y explica por qué
lo son.
2. Observa las siguientes distribuciones binomiales.
Fig. 5: Secuencia de histogramas binomiales simétricos que muestran el traslado de 𝜇 y el cambio de las alturas.
a. ¿Qué sucede con el histograma cuando el 𝑛 crece? Anota tu explicación en tu cuaderno y
compara con lo que propone tu compañero.
b. ¿Puedes hacer una relación entre la variable aleatoria y la discreta? ¿De qué forma?
c. ¿Qué relación crees que hay entre el valor esperado, la desviación estándar y el promedio?
Argumenta.

3. La siguiente situación considera datos reales, pero se creó con fines educativos. La estatura de
párvulos de una generación está distribuida normalmente con el valor esperado 𝜇 = 90𝑐𝑚 y la
desviación estándar 𝜎 = 8 𝑐𝑚. Responde las siguientes preguntas: ¿Cuál es el porcentaje de los
párvulos que tienen una estatura de 87 cm como máximo? ¿Cuál es el porcentaje de los que tienen
una estatura de 86 cm como mínimo y 96 cm como máximo?
a. ¿Puedes responder estas preguntas con lo que aprendiste? Explica a tu compañero cómo se
pueden contestar.
b. ¿Qué conocimientos o fórmulas te sirven para responder?
c. Explica cómo proceder en estos casos.
d. ¿Por qué es tan importante hablar de máximos o mínimos?
4. Crea un listado con tus conocimientos sobre la distribución normal y compara con la distribución
binomial.
5. En grupos, creen un afiche con gráficos y situaciones que muestren las diferencias entre la
distribución normal y la binomial.
1. Imaginar que el valor esperado es justamente el valor que está en el centro de la balanza, permite
estructurar los datos y hacer una relación esquemática con la desviación estándar como la que se
muestra en la imagen:
Fig. 6: Representación de los intervalos simétricos alrededor de 𝜇 con 1𝜎, 2𝜎 y 3𝜎.
2. Se sugiere explicar el esquema de la Figura 2 junto con los jóvenes y mencionar que una situación
binomial en la cual se conocen los datos poblacionales, se puede reflejar en una muestra de 𝑛
individuos. Además, se puede saber cuál es la probabilidad de que 𝑘 individuos dentro de esa
muestra sean portadores del dato preguntado.
3. Se puede interpretar las representaciones de 𝑛 repeticiones de un experimento aleatorio del tipo
Bernoulli, como un paseo al azar con 𝑛 bifurcaciones.
4. Se sugiere el siguiente indicador para evaluar formativamente los aprendizajes:
• Evalúan la pertinencia de usar modelos binomial o normal para interpretar situaciones de
incerteza.

- Modelo de balanza para el valor esperado
https://www.curriculumnacional.cl/link/https://unamatematicaseltigre.blogspot.com/2012/10/qu
e-es-un-valor-esperado-y-como-se.html

Actividad de evaluación
Objetivos de Aprendizaje Indicadores de evaluación
OA 2. Fundamentar decisiones en situaciones de
incerteza, a partir del análisis crítico de datos
estadísticos y con base en los modelos binomial y
normal.
OA c. Tomar decisiones fundamentadas en
evidencia estadística y/o en la evaluación de
resultados obtenidos a partir de un modelo
probabilístico.
OA f. Evaluar modelos para estudiar un fenómeno,
analizando críticamente las simplificaciones
requeridas y realizando conexiones entre variables
para predecir posibles escenarios de solución a un
problema, y tomar decisiones fundamentadas.
• Evalúan las diferentes posibilidades en un
experimento aleatorio y determinan su
probabilidad.
• Evalúan los alcances y límites de un
argumento estadístico o probabilístico
antes de tomar una decisión.
• Evalúan la pertinencia de usar modelos
binomial o normal para interpretar
situaciones de incerteza.
Se puede usar las siguientes actividades o tareas para evaluaciones de la unidad 1, cada una por sí misma
o en conjunto. Se sugiere delimitar la evaluación según el contexto y el tiempo disponible.
1. Cierta máquina fabrica resistencias eléctricas que tienen una media de 40 ohm y una desviación
estándar de 2 ohm. Suponiendo que la medida de la resistencia sigue una distribución normal y que
se puede medir con cualquier grado de precisión, responde lo siguiente:
a. ¿Cuál es la probabilidad de que una resistencia tenga una medida que exceda 43 ohm?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga una medida inferior a 35 ohm?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que tenga una medida de entre 38 y 42 ohm?
d. ¿Qué porcentaje de resistencias tendrá más de 45 ohm?
e. ¿Qué porcentaje de resistencias tendrá menos de 30 ohm?
f. ¿Qué porcentaje de resistencias tendrá entre 30 y 50 ohm?
g. ¿Qué porcentaje de resistencias tendrá menos de 30 o más de 50 ohm?

2. En la Figura 1 se muestra una distribución de datos aproximadamente normal, en la que se destaca
los intervalos de 1, 2 y 3 desviaciones estándar.
Fig. 1: Regla empírica y su refinamiento.
a. Los porcentajes señalados no necesariamente son exactos, pues los datos son empíricos, pero
sí deben ser cercanos y será más evidente a medida que se incluya más datos de la muestra.
Determina la veracidad de la siguiente frase: Si la distribución es aproximadamente normal, será
casi simétrica y la media será muy cercana a la mediana.
b. Usando los puntajes de una prueba de 100 puntos de 50 estudiantes (Tabla 2), se desea saber
si están normalmente distribuidos.

Tabla 1: Puntajes de 50 estudiantes obtenidos en una prueba.
𝑛 Puntaje 𝑛 Puntaje n Puntaje n Puntaje n Puntaje
1 60 11 70 21 72 31 44 41 90
2 58 12 72 22 88 32 80 42 63
3 70 13 95 23 78 33 68 43 82
4 72 14 74 24 94 34 39 44 76
5 47 15 70 25 67 35 55 45 77
6 64 16 86 26 74 36 91 46 68
7 64 17 88 27 89 37 98 47 83
8 77 18 72 28 92 38 90 48 78
9 82 19 58 29 66 39 85 49 86
10 95 20 50 30 77 40 75 50 97
c. Construye un histograma de frecuencias, definiendo intervalos (clases) adecuados.
d. Encuentra 𝑥 y 𝜎 de los 50 datos.
e. Indica cuál es el intervalo que se encuentra a 1 desviación estándar de la media (𝑥 − 𝜎, 𝑥 + 𝜎).
(Una desviación estándar bajo la media y una desviación estándar sobre la media).
f. Indica cuántos puntajes de la prueba se encuentran en este intervalo.
g. Repite c. y d. para el intervalo que se encuentra a 2 desviaciones estándar de la media
(𝑥 − 2𝜎, 𝑥 + 2𝜎).
h. Los porcentajes encontrados, ¿están razonablemente cercanos a los establecidos en una
distribución normal, de acuerdo al refinamiento de la regla empírica?
i. Combina la respuesta de f. y el gráfico histograma para concluir sobre la normalidad de la
distribución de los puntajes de 50 estudiantes en una prueba.
3. Si un estudiante respondía una pregunta al azar en una prueba, tenía un 20% de probabilidades de
acertar, debido a que cada pregunta incluía cinco alternativas.
a. Si se asume que todas las preguntas efectivamente contestadas por un alumno fueron
correctas, omitiendo el resto, ¿cuántas respuestas correctas debería haber tenido para obtener
850, 700, 600, 500 o 450 puntos, respectivamente?
Puntaje Corregido Puntaje Estándar
75 850
62 701
36 601
12 503
6 450
Tabla 2: Puntajes Prueba

b. Considerando la tabla anterior, ¿es correcto afirmar que un estudiante debía responder
correctamente 36 de las 75 preguntas para obtener 600 puntos?
c. Considerando que el 50% del universo se ubicó por debajo de los 500 puntos, ¿es correcto
afirmar que el número de respuestas correctas necesarias para obtener 500 puntos era 12?
4. Finalmente, en la siguiente tabla se aprecia comparativamente el número de respuestas al azar que
debían estar correctas en la prueba del Proceso de Admisión 2015 para obtener el mismo puntaje
que en la prueba 2014. Para el cálculo, se consideró un 20% de probabilidades de acertar.
Proceso de
Admisión
Correctas Al azar
Al azar
correctas
Puntaje
sin respuestas al azar
Puntaje
con respuestas
al azar
2014 12 - - 503 503
2015 12 40 8 405 503
Tabla 3: Número de respuestas al azar que debían estar correctas en la prueba de Matemática del Proceso de Admisión
2015 para obtener el mismo puntaje que en la prueba 2014
a. ¿Por qué el puntaje de Matemática 2014 fue el mismo con respuestas al azar y sin respuestas
al azar? Justifica tu respuesta.
b. ¿Por qué responder 40 preguntas al azar el año 2015 implicaba obtener 8 preguntas correctas
adicionalmente? Justifica tu respuesta.
c. Considerando las conclusiones anteriores, ¿influyó el azar en el puntaje final? Justifica tu
respuesta.
5. Las instituciones relacionadas con el Servicio Meteorológico en Chile, al igual que en otras partes
del mundo, tienen registros históricos de variables como precipitaciones, temperaturas y radiación,
entre otras. Ello permite, por ejemplo, confirmar efectos climáticos debido a la presencia de las
corrientes de “El Niño” o “La Niña”, o identificar las consecuencias del cambio climático. Una de las
variables que se puede modelar es la temperatura media diaria, en uno o varios años.

A continuación, se muestra el registro de temperaturas medias diarias del año 2016 en Santiago5
.
Día Meses
Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic
1 20,9 21,2 21,6 17,3 14,5 11 10,4 8,5 8,2 14,6 13,2 20,3
2 20,2 19,5 21,5 17,2 16,9 9,5 7,6 10,3 7,2 16,5 16,8 21,3
3 19,7 21,1 19,7 14,2 16,9 9 9,1 9,4 8,9 15,5 20,4 19,3
4 21,9 20,8 20,9 16,8 15,6 10,1 7,3 9,9 9,2 16,5 22,6 16,8
5 22,9 20,9 19,3 15,2 14 7,9 7,4 9,5 10,3 17,2 21,2 19,1
6 22,5 20,8 17,8 15,6 12,3 6,6 7,2 9,3 12,5 16,6 20,6 19,9
7 20,8 19,6 16,4 14,9 13,2 6,6 8,1 11,6 14,6 16,3 21,8 18,4
8 19,8 20,8 18,8 14,4 13,9 8,3 6,2 10 16 16,8 20,4 18,1
9 21,5 22,3 21,3 13 13,6 7,6 9,1 11,5 16,9 16,7 20,8 14,1
10 20,8 20,6 20,1 13,8 13,2 8,8 8 11,2 14,8 16,7 21,2 19,1
11 18,4 20,2 19,6 15,2 12,9 8,8 9,8 12,8 13,3 17,3 20,3 21,9
12 18,8 19,5 17,9 14,4 11,2 11,9 8,1 11,8 11,5 15,9 18 22,3
13 21 21,1 19,8 12,9 13,5 11,4 9,7 14,6 11,7 16,8 17 24,1
14 19,7 22,7 21,2 15,1 12,7 9,5 9,1 13,2 11,5 15,8 17,5 24,7
15 21,9 22,5 21 15,2 12,3 9,3 6,9 16,1 12,8 14,3 19 21,6
16 23,7 18 19,5 16,9 14,5 9,2 8,4 13 14,2 11,9 20,2 20,1
17 25 19,7 17,1 13,3 14,2 9,8 8,2 12,4 13,5 11,3 23 18,9
18 23,3 20,5 18,5 13,5 11 8,9 8 8,6 15,3 10,2 21,2 21,9
19 22,2 22,8 17,9 13,2 12 7,2 8,8 8 17,3 11,4 19 23
20 23,6 22,8 17,8 13,6 13,6 8 11,2 7,8 18,4 14,5 16 19,6
21 21 21,8 18 14,8 11,9 9 10,8 10,2 17,3 17 16,8 20,6
22 22,2 22,6 19,7 13,7 10,1 8,4 11,7 12,5 17,8 13 17,4 20,8
23 20,2 22,9 16,9 13,5 13,6 8,1 11,5 9,8 17,1 14,1 16,4 20,6
24 18,7 23,2 17,2 9,9 10,9 7,6 10,4 11,1 15,4 14 20,4 19
25 18,6 21,8 19,4 8,3 10,7 7 10,3 11,5 14,2 16,2 16,5 17,1
26 19,2 19,6 16,6 10,1 9,6 7,3 8,7 11,2 15,3 19,8 17,6 16,9
27 20,6 21 17,3 13,3 12,4 9,3 12,9 10,8 15,7 20,4 17,6 21,3
28 22,4 21,5 16,4 14 10 11,1 11,3 11,9 13,5 15 21,6 22,5
29 20,1 21,2 14,8 15,3 12 7,6 10,9 11,4 13,5 18,8 23,1 19,1
30 22,8 15,9 14,9 12,1 8,8 9,4 12,9 14,4 17,2 19,8 19,7
31 22,4 18,3 11,4 11,2 11,2 14,3 19,4
Tabla 4: Registro de temperaturas medias diarias del año 2016 en Santiago.
a. Con la información de la tabla, construye un histograma con una planilla de cálculo. Usa la
herramienta “Análisis de datos” incluida y la opción “Histograma”. Considera como marcas de clase
o puntos medios de los intervalos: 5, 10, 18, 23, 25.
b. Conjetura sobre la tendencia de estos datos.
5Datos registrados por la estación meteorológica de Quinta Normal. Fuente: Dirección Meteorológica de Chile.
https://www.curriculumnacional.cl/link/http://www.meteochile.cl

c. Agrega una línea de tendencia a partir de las frecuencias relativas obtenidas. Explica qué forma
sigue esta tendencia, ¿coincide ella con tu conjetura?
d. Observa el siguiente gráfico, que muestra la distribución de temperaturas medias desde el año 2006
hasta 2016.
Fig. 2: Elaboración propia a partir de los datos registrados por la estación
meteorológica de Quinta Normal. Fuente: Dirección Meteorológica de Chile.
https://www.curriculumnacional.cl/link/http://www.meteochile.cl
e. Comparando el gráfico que hiciste con las temperaturas de 2016 y el gráfico anterior con
temperaturas medias de 10 años, ¿qué puedes decir al respecto? ¿Cómo es la nueva distribución?
f. ¿Qué sucederá con las temperaturas medias, considerando 20 o 30 años de registro? Concluye
respecto de la distribución de las temperaturas medias diarias.
0
100
200
300
400
500
600
700
0
100
200
300
400
500
600
700
Frecuencia Histograma
Frecuencia
Series2

PAUTA DE EVALUACIÓN
Niveles de logros
Criterios de evaluación Completamente
logrado
Se observa
aspectos
específicos que
pueden mejorar
No logrado por
ausencia o no se
puede entender
en absoluto
Determinan la probabilidad de intervalos
dentro de una distribución normal,
utilizando la tabla probabilística para Z.
Determinan porcentajes de situaciones,
basándose en el cálculo de las
probabilidades.
Evalúan la veracidad de proposiciones,
usando el concepto de distribución normal.
Determinan si los datos corresponden a
una distribución normal.
Determinan el promedio y la desviación
estándar.
Representan datos e información sobre el
contexto, utilizando histogramas.
Conjeturan sobre la tendencia de los datos,
empleando un histograma.
Describen la tendencia de los datos,
usando la distribución normal o
aproximaciones de ella.

Unidad 2: La toma de decisiones en situaciones
financieras y económicas
Propósitos
Los estudiantes podrán utilizar sus conocimientos del eje de números para tomar decisiones
fundamentadas en el ámbito de situaciones financieras y económicas. Las situaciones a las que se
verán enfrentados abarcan desde créditos hipotecarios, refinanciamiento de créditos hasta
pensiones y las administradoras de pensiones. La unidad ofrece estas situaciones para poner en
discusión y comentar la toma de decisiones en diferentes niveles, pero también para abrir
posibilidades de debatir otros temas que les interesen. Se los puede orientar a partir de las
siguientes preguntas: ¿Cómo tomar las mejores decisiones frente a un crédito? ¿Por qué un crédito
puede ser riesgoso? ¿Cómo entendemos los índices financieros?
OA 1. Fundamentar decisiones en el ámbito financiero y económico personal o comunitario, a
partir de modelos que consideren tasas de interés e índices económicos.
OA d. Argumentar, utilizando lenguaje simbólico y diferentes representaciones, para justificar la
veracidad o falsedad de una conjetura, y evaluar el alcance y los límites de los argumentos
utilizados.

Actividad 1: Tomar decisiones en contexto de AFP y jubilación
PROPÓSITO
Los estudiantes aplican los conocimientos matemáticos aprendidos hasta 2° medio en contextos del
ámbito financiero. Toman decisiones fundamentadas luego de interpretar los datos numéricos en
función del contexto; en este caso, las pensiones y las Administradoras de Fondos de Pensiones
(AFP). Para esto, el trabajo debe incluir, por un lado, lo que creen los jóvenes y situaciones
personales referentes al crédito y, por otro lado, una actitud responsable al tomar decisiones con
conciencia de las implicaciones que pueden tener para uno mismo o un grupo familiar.
OA 1. Fundamentar decisiones en el ámbito financiero y económico personal o
comunitario, a partir de modelos que consideren tasas de interés e índices económicos.
OA d. Argumentar, utilizando lenguaje simbólico y diferentes representaciones para
justificar la veracidad o falsedad de una conjetura, y evaluar el alcance y los límites de
los argumentos utilizados.
simplificaciones requeridas y considerando las limitaciones de aquellos.
Actitudes
• Pensar con flexibilidad para reelaborar las propias ideas, puntos de vista y
creencias.
• Responsabilidad por las propias acciones y decisiones con consciencia de las
implicancias que estas tienen sobre uno mismo y los otros.
DESARROLLO
LAS PENSIONES Y LA JUBILACIÓN
El sistema de pensiones administra y gestiona los fondos que se
transformarán en las jubilaciones. Una persona tiene derecho a pensión de
vejez si cumple los siguientes requisitos:
- Estar afiliado a alguna AFP
- Tener a lo menos 65 años, en el caso de los hombres, y 60 años en el
caso de las mujeres.
1. Las cotizaciones previsionales que recauda la AFP tienen por objeto financiar las pensiones de
vejez, invalidez y sobrevivencia del afiliado. Representan un porcentaje de la remuneración o
renta imponible que percibe el trabajador mensualmente, con un límite máximo de
remuneración de 78,3 UF (año 2018) y con el reajuste que se indica más adelante.
Conexión
interdisciplinaria:
Educación Ciudadana
OA b, 3° y 4° medio

a. ¿Cuál es el monto máximo (renta bruta) imponible para cotizar en una AFP?
b. Si el 10% del sueldo bruto se destina a financiar la futura pensión, ¿cuál es la cotización
mensual que realiza una persona cuyo sueldo es $288 000? ¿Cuál es la diferencia de salario
con la persona que cotiza 78,3 UF mensualmente?
c. Si el 1,53% del aporte mensual cubre la prima del Seguro de Invalidez y Sobrevivencia (SIS),
el descuento realizado, ¿es el mismo para cualquier persona?
d. Los trabajadores que desempeñen labores que aceleran el desgaste físico, intelectual o
psíquico deben efectuar una cotización adicional de un 2% y, a su vez, los empleadores
deben entregar un aporte de igual porcentaje. ¿En qué porcentaje aumenta la cotización
mensual para estas personas?
e. Si la comisión mensual que cobran las instituciones financiaras de pensiones varía del 0,77%
al 1,44% ¿entre qué valores varía la comisión?
f. Si Rayén trabaja como dependiente y está afiliado a la AFP “La mejor Pensión” que le
descuenta un 12,5% de su sueldo bruto mensual, ¿qué decisiones puede tomar para tener
un descuento menor de cotizaciones? ¿Puede decidir dejar de pertenecer a una AFP siendo
dependiente? ¿Puede decidir cotizar por un porcentaje menor; por ejemplo, un 7%?
2. Si una persona que trabaja de forma dependiente percibe una remuneración imponible de
$470 000:
a. ¿Es correcto decir que la comisión y el seguro de invalidez corresponde a $10 810?
b. ¿Es correcto decir que el descuento realizado mensualmente corresponde a $57 810?
c. Si la persona realiza labores que aceleran su desgaste físico o intelectual, ¿en cuánto
aumenta su cotización?
d. ¿Puede decidir si cancela o no el SIS mensualmente? Explica.
3. ¿Qué es el fondo de pensiones? Es un patrimonio constituido por todas las cotizaciones
obligatorias y voluntarias que efectúan los trabajadores, más los depósitos de ahorro voluntario,
el aporte adicional, las inversiones y sus rentabilidades, deducidas las comisiones de la AFP.
Fig. 1: Fondos de pensiones de una AFP
Los fondos más riesgosos presentan mayor rentabilidad y los conservadores, menor
rentabilidad, por ejemplo:
- Fondo A Más Riesgoso: 4,79%
- Fondo B Riesgoso: 4,62%
- Fondo C Intermedio: 4,60%

- Fondo D Conservador: 4,08%
- Fondo E Más Conservador: 3,57%
Averigua en una administradora de fondo de pensiones los tipos de fondos que tienen y
responde:
a. ¿Qué significa que los fondos riesgosos invierten mayor porcentaje en renta variable?
b. ¿Influye la edad de la persona para cotizar en un fondo u otro?
c. Una persona dependiente cuya renta imponible es de $870 000 recibiría una pensión líquida
aproximadamente de $360 000, después de cotizar 40 años aproximadamente. Si la persona
realiza, además, por el mismo tiempo, un APV (Ahorro Previsional Voluntario) mensual de
$20 000, la pensión líquida aumentaría aproximadamente a $512 000. Por ende, ¿en qué
porcentaje se ve incrementada la pensión líquida?
4. ¿En qué fondo conviene invertir el APV para tener mayor rentabilidad a corto y largo plazo? Si
la diferencia porcentual de rentabilidad entre el Fondo A y el Fondo E corresponde solamente
al 1,22%, ¿qué otros factores deben considerarse para tomar una buena decisión al invertir en
un fondo u otro?

Lean en grupos la siguiente tabla de indicadores previsionales o consigan una de una página
confiable o visiten una AFP para obtener esta información.
Fig. 2: Información extraída de https://www.curriculumnacional.cl/link/http:/www.previred.cl/
a. ¿Cuál es la renta mínima imponible que debe cotizar un trabajador dependiente de una
empresa? ¿Y la de una persona que realiza labores en una casa particular?
b. ¿Cuáles son los montos mínimo y máximo que puede ahorrar una persona en APV, mensual
y anualmente?
c. ¿Cuánto se descuenta a una persona que tiene un contrato de enero a diciembre del
presente año para el Seguro de Cesantía (AFC)? ¿Cuánto a una persona que tiene un
contrato indefinido?
d. ¿Cuánto percibe por asignación familiar una persona que tiene dos hijos y cuya renta
mensual es de $450 000? ¿Y una que tiene una renta mensual de $680 000? ¿Y una que
gana el sueldo mínimo?

1. Sugiera a los jóvenes que justifiquen sus respuestas y analicen las condiciones del sistema de
pensiones. Por ejemplo: pueden señalar que todos los años se revisa el tope imponible mensual
con relación a la variación positiva que experimente el Índice de Remuneraciones Reales
determinado por el INE (Instituto Nacional de Estadísticas). El tope imponible para el año 2018,
en el caso de la AFP, aumentó de UF 75,7 a UF 78,3. Este aporte se calcula como el 10% de la
renta imponible del trabajador, con un tope de UF 78,3 (valor que puede variar en el transcurso
del tiempo); es decir, aunque la renta sea superior a este monto, el ahorro obligatorio del
trabajador será como máximo de UF 7,83 mensuales.
2. Los estudiantes pueden concluir que el Seguro de Invalidez y Sobrevivencia es un porcentaje de
la renta imponible de un trabajador, cuyo objetivo es pagarle pensión en caso de invalidez o a
su familia en caso de fallecimiento (sobrevivencia). El porcentaje mensual del seguro es 1,53%
de la renta imponible. Si el trabajador es dependiente de un empleador, este debe financiar el
SIS del trabajador, con la excepción de los afiliados dependientes que se encuentren
percibiendo el subsidio previsional a los trabajadores jóvenes.
3. La actividad puede variar, calculando diferentes porcentajes correspondientes al 10%, 0,77%,
1,53%, 1,44%, etc. de un valor dado. También se les puede pedir que completen una tabla como
la siguiente con los descuentos que hacen las AFP a personas con contrato dependiente y a
personas que cotizan de forma independiente y con distintos ingresos.
IngresoAFP Tipo contrato Capital Cuprum Habitat Planvital Provida Modelo
$288 000 Dependiente
$480 000 Independiente
$800 000 Independiente
4. Se sugiere indicar que los multifondos se refieren al porcentaje del ahorro del trabajador que
está invertido en instrumentos de renta variable. Que sean de renta variable significa que
están más expuestos a los vaivenes del mercado, por lo que pueden experimentar pérdidas
mayores, como también ganancias más altas. El fondo A es el más riesgoso, porque es el que
más invierte en este tipo de instrumentos. En cambio, el E es el que menos proporción invierte
en mecanismos de renta variable.
5. Proporcione ejemplos concretos para que los estudiantes argumenten sobre la influencia de la
edad, ya que se recomienda, a quienes recién comienzan a trabajar, que apuesten por
los fondos más riesgosos, pues pueden optar a mayores ganancias y, de existir pérdidas,
cuentan con muchos años para recuperarse. Por el contrario, a una persona que está cercana a
pensionarse le conviene optar por los fondos menos riesgosos, que tiene ganancias más
pequeñas, pero seguras y con bajo riesgo de sufrir pérdidas.

6. Como alternativa de actividad, se puede pedir al curso que se informen sobre una serie de
condiciones de diferentes AFP y lo compartan. Los puede orientar con preguntas como: ¿Cómo
afiliarse a una AFP que resulte conveniente? ¿Qué condiciones hay que considerar para evitar
grandes pérdidas o asegurar ganancias al pertenecer a cierto fondo de pensión? ¿Existirá una
AFP más rentable que otras?, ¿cuál? Que una AFP sea la más rentable en el Fondo A, ¿significa
que también lo es en los otros fondos? ¿Cuándo se obtiene mayores beneficios al pertenecer a
un fondo con mayor rentabilidad y mayor riesgo? ¿Cuáles sería las opciones más convenientes
para las cotizaciones obligatorias y para el APV en estos momentos?
• Interpretan información del ámbito financiero y económico personal o comunitario, que
involucra porcentajes, tasas de interés o índices económicos.
• Evalúan diferentes posibilidades de cotizaciones, utilizando porcentajes, tasas de interés o
índices económicos para tomar una decisión fundamentada.
- Información sobre el impuesto de segunda categoría
https://www.curriculumnacional.cl/link/http://www.sii.cl/valores_y_fechas/impuesto_2da_cat
egoria/impuesto2018.htm
- Página con indicadores previsionales
https://www.curriculumnacional.cl/link/https://www.previred.com/web/previred/indicadores-
previsionales

Actividad 2: Tomar decisiones en contexto de crédito hipotecario
PROPÓSITO
Se espera que los estudiantes comprendan y apliquen los diferentes conocimientos matemáticos
involucrados en un crédito hipotecario. El foco está en analizar las condiciones propias de un crédito
hipotecario y tomar decisiones fundamentadas en el ámbito de situaciones financieras y
económicas. Para esto, las actitudes deben reflejar la flexibilidad de pensamiento para cambiar
puntos de vista y creencias relacionados con el ámbito financiero, y responsabilidad con el manejo
de los datos y su significado para las familias y las personas.
OA 1. Fundamentar decisiones en el ámbito financiero y económico personal o comunitario, a partir
de modelos que consideren tasas de interés e índices económicos.
veracidad o falsedad de una conjetura, y evaluar el alcance y los límites de los argumentos utilizados.
Actitudes
• Pensar con flexibilidad para reelaborar las propias ideas, puntos de vista y creencias.
• Responsabilidad por las propias acciones y decisiones con consciencia de las implicancias que
estas tienen sobre uno mismo y los otros.
DESARROLLO
CRÉDITO HIPOTECARIO
Todo crédito hipotecario es el producto financiero otorgado por bancos o
instituciones financieras que permite comprar, mediante un préstamo a
corto o largo plazo (de 10 a 30 años), un inmueble que se desea adquirir
(principalmente viviendas). El inmueble queda en garantía hipotecaria a
favor de la entidad financiera que otorga el préstamo hasta que se pague
o cancele.
1. Javier tiene una renta líquida de $825 000 pesos aproximadamente y desea postular a un crédito
hipotecario para optar a un departamento cuyo valor es UF 1 200. Ha ahorrado $2 650 000 para
pagar el 10% que se exige al postular a un crédito hipotecario.
Conexión
interdisciplinaria:

a. Si las instituciones financieras otorgan créditos de hasta un 90% del valor de la propiedad,
lo ahorrado por Javier, ¿es suficiente para cubrir el 10% restante del valor de la propiedad?
Justifica.
b. Considerando la información de la tabla siguiente, ¿debería solicitar el crédito hipotecario
a 20 años o tiene que tomar otra decisión? Justifica tu respuesta.
Tabla 1: Información sobre opciones de un crédito en una entidad financiera.
c. ¿Es correcto afirmar que la mejor decisión de Javier sería solicitar un crédito hipotecario por
25 años? Argumenta.
d. Asumiendo que logra reunir el dinero para pagar el 10% del valor de la propiedad, ¿es
correcto afirmar que el dividendo a pagar siempre será $206 250, independientemente de
la cantidad de años del crédito? Justifica tu respuesta.
2. Javier decidió analizar las condiciones de su crédito en otra institución financiera con un
dividendo de 7,69 UF.
Fig. 1: Simulador de crédito en una institución financiera.

Ingresó los datos al simulador y obtuvo la siguiente información:
Fig. 2: Simulación de crédito en una institución financiera.
a. ¿Qué información relevante entrega este simulador respecto de la tabla de la actividad
anterior?
b. Averigua que es el CAE.
c. Si el CAE corresponda al 5,89%, entonces, ¿la tasa de interés mensual del crédito es 0,49%?
Justifica.
d. ¿Es correcto afirmar que el dividendo mensual a pagar es $210 851 durante 20 años? ¿O
aumenta el dividendo a pagar mes a mes? Justifica tu respuesta.
e. ¿Cuál sería el beneficio de pagar los gastos operacionales al contado y no incluirlos en los 20
años solicitados por el crédito hipotecario?
f. ¿Es obligación incorporar el pago de los seguros en el crédito hipotecario o se los puede
pagar anualmente y, así, disminuir el dividendo a pagar?
1. Se sugiere orientarlos para que justifiquen sus respuestas y analicen las condiciones del
contexto financiero. Por ejemplo:
• Al calcular el 10% del valor de la propiedad, deberán investigar el valor de la UF ende ese
día y justificar las implicancias dicho valor aumente día a día.
• Al ingresar los datos al “simulador rápido”, deberían responder primero que Javier no puede
optar a un crédito hipotecario a 20 años plazo. Luego pueden plantear que podría solicitar
un crédito a 21 años plazo o más (máximo 30 años). Y también pueden reflexionar en torno
a que habría que calcular la diferencia de intereses que se paga respecto de un crédito
hipotecario según si es a 21, 25 o 30 años plazo.
• Sobre esa base, deberían justificar que Javier podría solicitar un crédito hipotecario a 21
años plazo, siempre y cuando la institución financiera lo permita, pues algunas instituciones
financieras tienen plazos establecidos para otorgar dichos préstamos.
• Deberían comprender que el dividendo a pagar aumenta mes a mes, dado que el valor de
la UF aumenta día a día.

2. Conviene guiarlos para que identifiquen las variables (seguros, remuneración, ahorro para el
10%, seguros, tasa interés, entre otros), cómo se relacionan para que una institución financiera
apruebe un crédito hipotecario y qué derechos posee todo consumidor al realizar este tipo de
trámites financieros. Específicamente, los alumnos deberían comprender que:
• Es importante evaluar los costos de un crédito hipotecario en dos o más instituciones
financieras y solicitar la mayor información posible para tomar una decisión informada,
fundamentada económicamente y en favor del bien personal y familiar.
• La tasa de interés del crédito hipotecario no se calcula dividiendo el CAE por 12 meses.
• El valor de la UF aumenta día a día; por ende, el dividendo a pagar aumentará mes a mes
mientras dure el crédito hipotecario.
• Los gastos operacionales y los seguros asociados a un crédito hipotecario pueden incluirse
o no en el crédito hipotecario. Si no se incorpora los gastos operacionales, hay que pagarlos
de una vez al momento de aprobarse el crédito, y se debe cancelar anualmente los seguros
asociados al crédito hipotecario para no perder la cobertura correspondiente.
• Conviene comparar el monto total que se terminará pagando por la propiedad una vez
cancelado el crédito (considerando el valor de UF actual o el valor del dividendo actual y el
plazo otorgado por la institución bancaria) versus la opción de comprarla al contado.
• Evalúan diferentes posibilidades de créditos, utilizando porcentajes, tasas de interés o
• Ajustan modelos que involucran porcentajes, tasas de interés o índices económicos para
determinar las mejores posibilidades de una situación del ámbito financiero y económico.
- Ministerio de Vivienda y Urbanismo
https://www.curriculumnacional.cl/link/http://www.minvu.cl/
- Servicio Nacional de Consumidor, Sernac
https://www.curriculumnacional.cl/link/https://www.sernac.cl/portal/617/w3-channel.html
- Servicio de Impuestos Internos, SII
https://www.curriculumnacional.cl/link/http://www.sii.cl/valores_y_fechas/uf/uf2018.htm

Actividad 3: El refinanciamiento de un crédito hipotecario
PROPÓSITO
Los estudiantes comprenden y aplican los diferentes conocimientos matemáticos involucrados en
un crédito hipotecario. El foco está en que analicen en qué condiciones financieras se puede
refinanciar un crédito hipotecario y tomar decisiones fundamentadas al respecto. Igual que en la
actividad anterior, se promueve la flexibilidad de pensamiento para cambiar puntos de vista y
creencias relacionados con el ámbito financiero, y la responsabilidad con el manejo de los datos y
el significado que tienen para las familias y las personas.
OA d. Argumentar, utilizando lenguaje simbólico y diferentes representaciones, para
Actitudes
creencias.
DESARROLLO
REFINANCIAMIENTO DE UN CRÉDITO HIPOTECARIO
1. Fernanda está analizando las diferentes características de un crédito
hipotecario y considera importante aclarar con el ejecutivo las siguientes
interrogantes:
a. Si el dividendo es “fijo y conocido”, ¿quiere decir que el monto del
dividendo es fijo o que el monto en UF es fijo?
b. Si la tasa de interés es fija por todo el crédito, ¿existe la tasa de interés variable? ¿Cuáles podrían
ser los beneficios?
c. Si el crédito otorga “meses de gracia”, ¿en cuánto aumentaría aproximadamente el costo total
del crédito hipotecario?
2. ¿Qué implica prepagar el crédito hipotecario? Fernanda ingresa información a un simulador
hipotecario y obtiene lo siguiente:
Conexión
interdisciplinaria:

Fig. 1: Simulador hipotecario.
Fig. 2: Simulación de un crédito hipotecario.
a. ¿Cuál es valor de la casa que desean comprar Fernanda y su familia?
b. ¿Cuánto es el monto aproximado a pagar por los gastos operacionales?
c. ¿Cuánto dinero tienen ahorrado aproximadamente Fernanda y su grupo familiar?
d. ¿A cuántos años solicitará el crédito hipotecario?
3. Fernanda y su grupo familiar pueden acreditar una renta líquida por $790 000; ¿sería
conveniente solicitar el crédito a 18 años plazo, pensando que pagará $223 515 mensuales
durante 5 años? Explica a tu compañero en qué te basas para justificar tu respuesta sobre si el
préstamo conviene o no.
a. ¿En cuánto aumentará el dividendo a pagar en el mes 61?
b. Suponiendo que, al cuarto año de transcurrido el préstamo, la tasa fija de interés es del 2,5%,
¿Fernanda y su grupo familiar deberían refinanciar el crédito hipotecario o no?

contexto financiero; por ejemplo: deben concluir que el monto del dividendo es fijo, pero que
el dividendo será variable dependiendo del valor de la UF. También pueden identificar la
cantidad de años o meses en que el dividendo es fijo (en este caso, 5 años o 60 meses) y tener
en cuenta que al mes 61 puede aumentar o disminuir, dependiendo de la evolución del mercado
en ese instante.
2. Conviene iniciar una discusión para que concluyan que la tasa variable es menor que la fija, pues
existe un mayor riesgo y solo es recomendable si el grupo familiar de Fernanda tiene la
expectativa razonable de que sus ingresos aumenten en el futuro para asumir un posible
incremento del dividendo. Podrían revisar la tendencia de las tasas durante los últimos cinco
años para que tengan una idea más aproximada de cómo será dicha tasa en los próximos años
y puedan decidir cuál sería la tasa más apropiada a considerar para el crédito, según el contexto
que están analizando.
3. Discutir sobre la conveniencia de contratar meses de gracia simplemente porque se los
ofrezcan, esta decisión debe hacerse en base a las necesidades reales. Puede ser una buena o
mala decisión, dependiendo de las necesidades de Fernanda y su familia (cliente) y la
información que manejen. Los meses de gracia permiten postergar el pago de cuotas por el
plazo que acuerden las partes, pero ello tiene un costo para el cliente.
4. Cabe hacer notar que, en cuanto se contrata un crédito, comienzan a correr los intereses; si no
se paga la primera cuota, estos intereses se suman al capital adeudado y sobre este nuevo
monto se cobrará los intereses del mes siguiente. Esto sucede tantas veces como meses de
gracia se haya contratado, y determina el total adeudado por el cliente. Cuando llegue el
momento de pagar la primera cuota, ya deberá un monto superior al contratado, por haber
acordado con la entidad meses de gracia.
5. Se sugiere hacer notar a los jóvenes que el cliente es la única persona que puede decidir si es
una buena o mala alternativa. Es una buena decisión cuando el cliente realmente lo necesita,
cuando la decisión es informada y se adapta a sus necesidades; pero si no tomó una decisión
informada y desconocía los costos de cada parte del contrato, enfrenta una situación que puede
no convenirle, porque no tiene certeza respecto de los costos que tiene la operación.
6. Puede solicitarles, por ejemplo, que calculen los costos que involucra contratar un crédito
hipotecario de 1200 UF a 20 años plazo, con 3, 6 y 12 meses de gracia y con una tasa anual del
4,02%. Ellos podrían crear una tabla como la siguiente y analizar los costos que conlleva tomar
meses de gracia. Cabe notar que en bancos se usa la coma para anotar cantidades de dinero.

Meses de
gracia
Valor
Cuota
(Mensual)
Costo final del
crédito en UF
Costo final del
crédito en $
Costo meses
de gracia
Sin meses $186 094 1 615,34 UF 44 312 168,414 ----------
3 meses $187 896 1 631,67 UF 44 760 134,607 $447 966
6 meses $189 720 1 648,29 UF 45 216 056,109 $903 888
12 meses $193 416 1 682,00 UF 46 140 792,200 $1 828 624
Valor UF del día de la simulación: $27 432,10.
7. Los estudiantes pueden argumentar que el prepago de un crédito hipotecario es un derecho
que tiene Fernanda como cliente. Antes de hacerlo, conviene que lea detalladamente las
condiciones y el procedimiento de prepago al firmar la escritura. El crédito hipotecario podrá
prepagarse de forma anticipada parcial o totalmente antes de la fecha de vencimiento que se
pactó antes con el banco. Según lo pactado en la escritura, en el prepago parcial del crédito
hipotecario podrá decidir entre reducir el valor del dividendo o reducir el plazo (si la entidad le
ofrece esa alternativa).
8. Después del prepago, la entidad debe realizar las gestiones para alzar los gravámenes que están
constituidos sobre la propiedad, incluido el ingreso de la escritura de alzamiento en el
Conservador de Bienes Raíces. Los gastos generados por el otorgamiento de la escritura pública
de alzamiento y de ingreso para inscribirla en el Conservador de Bienes Raíces no son
responsabilidad de Fernanda y su grupo familiar, sino de cargo y costo de la entidad que otorgó
el crédito. Los estudiantes también pueden considerar que prepagar el crédito hipotecario
otorgará algunas ventajas a Fernanda, como: no tener que cubrir mensualmente el dividendo,
por lo que podrá disponer de esa parte de su salario mensual para otros gastos; ahorrar el pago
de intereses y aumentar su patrimonio; además, al eliminar la deuda, le será más sencillo
obtener otro préstamo si lo necesita. Conviene que Fernanda realice los pagos anticipados
durante los 5 o hasta 8 primeros años de la hipoteca, ya que es el período de tiempo en que se
paga más intereses y se aporta menos al capital.
9. Se sugiere orientarlos para que identifiquen por qué se necesitaría refinanciar un crédito
hipotecario; por ejemplo: querer mejorar la tasa del crédito hipotecario, necesitar más tiempo
para saldarlo, no tener suficientes ingresos para pagar la cuota acordada con el banco, entre
otras razones. Los alumnos podrían considerar que refinanciar un crédito hipotecario es mejor
para Fernanda, porque ella tomó un crédito con una tasa más alta (3,5%) que la que ofrece el
banco actualmente (2,5%) y le quedan por lo menos 15 años para saldar la deuda. Si la rebaja
de tasa es un punto porcentual, implicará que Fernanda pague un dividendo mensual más bajo.

10. El profesor podría preguntarles qué significa que la tasa sea más baja, para que concluyan que
ello implica que cada peso valga menos, que el precio del dinero en el tiempo es más bajo y, por
tanto, los créditos que otorgan las instituciones financieras deberían ser más baratos, y que la
rebaja en la tasa de interés está enfocada, principalmente, en darle dinamismo a la economía.
11. Los alumnos también podrían notar que, si se refinancia el crédito hipotecario, Fernanda
incurrirá en gastos como tasación y reinscripción en el Conservador de Bienes Raíces, aunque
ello es más barato que los impuestos que canceló al momento de acceder al crédito hipotecario,
porque el impuesto al crédito ya fue cancelado. Es importante señalar que se debe incurrir en
gastos operacionales asociados al refinanciamiento.
12. Es fundamental que comprendan que siempre es mejor evaluar los costos de refinanciar un
crédito hipotecario en dos o más instituciones financieras, y solicitar la mayor información
posible para tomar una decisión informada, fundamentada económicamente y en favor del bien
personal y familiar.
- Ministerio de Vivienda y Urbanismo
https://www.curriculumnacional.cl/link/http://www.minvu.cl/
- Servicio Nacional del Consumidor, Sernac
https://www.curriculumnacional.cl/link/https://www.sernac.cl/portal/617/w3-channel.html
- Servicio de Impuestos Internos, SII
https://www.curriculumnacional.cl/link/http://www.sii.cl/valores_y_fechas/uf/uf2018.htm
- Información sobre créditos hipotecarios
https://www.curriculumnacional.cl/link/https://www.clientebancario.cl/clientebancario/credi
to-hipotecario.html

Actividad 4: Tomar decisiones en el contexto de un crédito de consumo
PROPÓSITO
Se espera que los estudiantes comprendan y apliquen los diferentes conocimientos matemáticos
involucrados en adquirir un crédito de consumo. Deben modelar un crédito de consumo en el
contexto del hogar y el ahorro de energía térmica. El foco de la tarea está en que analicen las
condiciones propias de un crédito y tomen decisiones fundamentadas en el ámbito de situaciones
financieras y económicas. Todo lo anterior, con flexibilidad de pensamiento para cambiar puntos de
vista y creencias relacionados con el crédito de consumo, y responsabilidad con el manejo de los
datos y su significado para las familias y las personas.
OA d. Argumentar, utilizando lenguaje simbólico y diferentes representaciones, para
Actitudes
creencias.

DESARROLLO
CRÉDITO DE CONSUMO Y AHORRO DE ENERGÍA
Para ahorrar energía, una familia planifica comprar ventanales nuevos con
doble panel. El mejor presupuesto considera un gasto de $1 300 000. Para
financiar la inversión, se decidió aceptar un “crédito variable” que requiere
un pie de $100 000 y una deuda de $1 200 000 que se puede amortizar,
eligiendo la cantidad de cuotas dentro de un plazo de 12 meses.
Fig. 1: Imagen de ventana termopanel.
Se ofrece una tasa de intereses mensuales de 2%. En todos los sistemas de financiamiento se cobra
los intereses después de cada cuota para la deuda restante. El siguiente esquema muestra posibles
planes para amortizar la deuda.
Fig. 2: Posibles planes para amortizar una deuda.
vidrio
espacio
energía
solar
calor
interior
Inversión
Pie con 1
cuota
después de
12 meses
Pie con 2
cuotas
cada 6
meses
Pie con 3
cuotas
cada 4
meses
Pie con 4
cuotas
cada 3
meses
Pie con 6
cuotas
cada 2
meses
Pie con 12
cuotas
mensuales
Conexión
interdisciplinaria:

a. Conjetura, sin hacer un cálculo detallado, ¿cuál será el plan con el menor gasto en intereses?
b. En la tabla se muestra el plan de financiamiento de la inversión con la variante de amortizar
la deuda de $1 200 000 en 4 cuotas mensuales ¿cuál es el gasto total, incluyendo los
intereses?
Fig. 3: Plan de financiamiento de la inversión.
c. Elabora, como en el ejemplo, un plan de amortización de la deuda de $ 1 200 000 en la
variante de 6 cuotas.
d. Comparando las dos tablas de amortización, verifica o rechaza la conjetura realizada en el
punto a.
e. Explica tu decisión de crédito de consumo y comparte con tus compañeros tu postura sobre
este crédito y las conveniencias para el hogar.
f. Si fueras una persona que trabaja en el banco, ¿recomendarías este crédito de consumo?
Convence a tu compañero de sus ventajas. Advierte también si hubiera alguna desventaja.

contexto financiero. Pueden asumir posiciones a favor y en contra del crédito de consumo por
medio de un juego de roles y averiguar en bancos de la ciudad las tasas y condiciones para el
crédito de consumo.
2. Conviene que discutan sobre el acceso a los créditos de consumo y las formas de pago
disponibles en el mercado, en términos del porcentaje y de las variaciones que se pueda aplicar.
3. Se recomienda simular varias formas de pago y reflejar los gastos según la familia de cada
estudiante o inventarse ingresos y egresos de una familia ideal al inicio de la actividad – tanto
en forma manual como con calculadora sencilla– para que puedan observar lo que ocurre mes
a mes con la deuda y con los gastos que tendría una familia. Después se puede formular la
ecuación para cada familia y destacar que no todos los casos de la clase (que podrían ser
ficticios) son iguales y que la toma de decisión fundamentada dependerá de varios factores y
variables.
- Consejos para tomar el crédito de consumo, Sernac
https://www.curriculumnacional.cl/link/https://www.sernac.cl/portal/607/w3-article-
1546.html
- Definiciones del crédito de consumo, Sernac
https://www.curriculumnacional.cl/link/https://www.sernac.cl/portal/607/w3-
propertyvalue-15049.html
- Reportaje sobre los créditos de consumo en Chile
https://www.curriculumnacional.cl/link/https://ciperchile.cl/2019/10/28/maldita-tarjeta-
creditos-y-deudas-en-el-ojo-del-estallido-social-que-remece-a-chile/

OA 1. Fundamentar decisiones en el ámbito
financiero y económico personal o comunitario, a
partir de modelos que consideren tasas de interés e
índices económicos.
OA d. Argumentar, utilizando lenguaje simbólico y
diferentes representaciones, para justificar la
veracidad o falsedad de una conjetura, y evaluar el
alcance y los límites de los argumentos utilizados.
requeridas y considerando las limitaciones de
aquellos.
• Interpretan información del ámbito financiero y
económico personal o comunitario, que involucra
porcentajes, tasas de interés o índices económicos.
• Evalúan diferentes posibilidades de créditos,
utilizando porcentajes, tasas de interés o índices
económicos para tomar una decisión
fundamentada.
• Ajustan modelos que involucran porcentajes, tasas
de interés o índices económicos para determinar
las mejores posibilidades de una situación del
ámbito financiero y económico.
Se puede usar las siguientes actividades como ejemplos de evaluaciones para la unidad 2, cada una
por sí misma o en conjunto. Se sugiere delimitar la evaluación según el contexto y el tiempo
disponible.
1. Si la ejecutiva de cuentas señala a Francisca que una persona no debería endeudarse en más del
25% de su sueldo líquido, considera un sueldo líquido ideal para Francisca y determina el sueldo
bruto aproximado.
- Sueldo bruto – (Cotización Previsional en la AFP o INP + Cotización Voluntaria y Cuenta de
Ahorro AFP + Cotización Salud en Fonasa o Isapre + Otros Descuentos) = Sueldo líquido.
- Otros no imponibles: locomoción y alimentación.
- Otros imponibles: bonos, horas extra, gratificaciones, etc.
- Descuentos obligatorios AFP: ([10% + % comisión] AFP + Isapre) del sueldo imponible.
AFP Comisión
Capital 1,44
Cuprum 1,48
Habitat 1,27
Modelo 0,77
Planvital 0,41
Provida 1,45
Tabla 1: Comisión de AFP.
- Descuentos obligatorios Isapre o Fonasa: 7% del sueldo imponible.
- Otros descuentos: ahorro previsional voluntario, seguro de cesantía, etc.

Si Francisca toma el crédito y se endeuda por el máximo permitido, ¿con cuánto dinero vive al mes?
2. Francisca cumplió dos años en su trabajo y quiere comprar un auto. Logró ahorrar $3 350 000
y está cotizando un crédito de consumo a 4 años por $3 000 000. A continuación, se muestra 3
simulaciones entregadas por una institución bancaria, donde varían los tipos de seguros a
incorporar.
Simulación 1
Fig. 1: Simulación 1.
Simulación 2
Cubre el 100% del saldo de la deuda en caso de fallecimiento del
deudor.

Simulación 3
a. ¿Es correcto afirmar que, en este caso, el impuesto que recauda el fisco por solicitar el crédito
de consumo es aproximadamente el 0,008%? ¿Es correcto afirmar que el impuesto a pagar se
calcula respecto del costo total del crédito? Averigua cómo y cuánto recauda el fisco por estas
transacciones.
b. Considerando la información de las simulaciones de crédito vistas, ¿cuál sería el valor de la cuota
a pagar por un crédito de $3 000 000 en 48 cuotas, incluyendo solamente el seguro de cesantía?
c. Considerando las simulaciones del crédito de consumo por 3 millones de pesos en 48 cuotas,
¿cuál es la opción más conveniente si se tiene un sueldo bruto de $800 000, de $1 200 000 o de
$2 400 000? Justifica tu respuesta y elabora una tabla con tus propios cálculos de cada situación.

3. Luego de comprar el auto, Francisca piensa que asegurar su auto es proteger su inversión y
evalúa las siguientes propuestas de seguro automotriz:
Propuestas de seguro
Fig. 4: Simulaciones de seguro automotriz.
Considerando los deducibles, las coberturas y el monto mensual a pagar, ¿qué seguro podría
contratar Francisca? ¿Debería continuar cotizando otros seguros o no debería contratar un
seguro de autos? Justifica tu respuesta, utilizando tablas o graficas con los resultados.
4. Marcia y Mateo son ejecutivos de una empresa automotora y han decidido crear un archivo en
una planilla de cálculo que les permita calcular rápidamente los montos de un crédito,
considerando las siguientes variables:
- Acreditar renta líquida mensual
- Valor del auto o camioneta
- Monto del pie que entrega el comprador
- Tasa de interés del crédito y número de cuotas del crédito
CAE crédito a 24 meses: 17,83%
- Seguros asociados que desee adquirir el comprador
Seguro desgravamen: $102 500
Seguro de cesantía: $234 700
Seguro de vida: $317 500
- Permiso de circulación y patente del auto usado/nuevo
- Gastos operacionales de la compra del auto

Auto nuevo: no hay costo asociado a transferencia.
Auto usado: 1,5% del valor del vehículo.
Inscripción en el Registro Civil: $21 330.
Notaría: $7 000 - $15 000
5. Considerando los datos y resultados anteriores:
a. Crea una planilla electrónica de cálculo que permita a Marcia y Mateo obtener el valor cuota
de cualquier auto (usado o nuevo) a 24, 36 o 48 meses plazo, respectivamente.
b. Leonardo quiere adquirir un auto usado que vale $6 990 000, solicitando un crédito
automotriz en 36 cuotas. ¿Qué renta líquida debe acreditar para que Marcia y Mateo
puedan otorgar el crédito? Justifica tu respuesta.
c. Patricia logró ahorrar $1 500 000 para comprar un auto nuevo que vale $9 590 000. Si la
renta líquida de Patricia es de $677 568 pesos, ¿es más conveniente que pida un crédito en
36 o en 48 cuotas? Justifica tu respuesta.
d. Marcia y Mateo se enteran de que, por el mes de noviembre, la venta de autos nuevos tiene
un 5% de descuento en el valor comercial y un 10% de descuento en la tasa de interés en
créditos de 48 cuotas.
- ¿Cuál sería el valor cuota a pagar por un auto que vale $9 990 000 y se pagará con un crédito
en 48 cuotas?
- ¿Cuál es la renta mínima que debería acreditar una persona para acceder a dicho descuento
y obtener el crédito automotriz para comprar el auto?

Niveles de logros
logrado
Se observa
aspectos
específicos que
pueden mejorar
No logrado por
ausencia o no se
puede entender
en absoluto
Calculan porcentajes, cantidades asociadas
al porcentaje y totales en el contexto
financiero y económico.
Fundamentan decisiones según las
condiciones y cálculos numéricos.
Evalúan situaciones de crédito y comparan
para tomar decisiones.
Interpretan información bancaria
relacionada con créditos y simulaciones de
créditos.
Simulan situaciones de crédito y proponen
elegir un crédito, basándose en ventajas y
desventajas de la simulación.
Varían el contexto inicial de un crédito y las
condiciones para proyectar una situación
de pago.
Elaboran tablas o gráficos para organizar y
proyectar los gastos relacionados con un
crédito.

Unidad 3: Modelamiento matemático para describir y
predecir
Propósito
Los estudiantes inician un proceso de modelación, primero con situaciones descritas por funciones
potencias o funciones trigonométricas, y luego varían o ajustan el modelo según diferentes contextos.
El centro de esta esta unidad está en las nociones de crecimiento, decrecimiento y periodicidad. Las
preguntas orientadoras son: ¿Cómo identificar situaciones que son de crecimiento o decrecimiento?
¿Cómo identificar características clave de una situación periódica?
OA 3. Construir modelos de situaciones o fenómenos de crecimiento, decrecimiento y periódicos
que involucren funciones potencia de exponente entero y trigonométricas sen(x) y cos(x), de forma
OA e. Construir modelos, realizando conexiones entre variables para predecir posibles escenarios
de solución a un problema, y tomar decisiones fundamentadas.

Actividad 1: Ley de gravitación universal
PROPÓSITO
Se espera que los estudiantes identifiquen cómo una expresión proveniente de la Física responde a un
modelo matemático de función potencia con exponente negativo. Analizarán relaciones de
interdependencia, fijando algunos parámetros y variando otros, y también compararán la función afín
con la potencia de exponente -2.
OA 3. Construir modelos de situaciones o fenómenos de crecimiento, decrecimiento y
periódicos que involucren funciones potencia de exponente entero y trigonométricas 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
y 𝑐𝑜𝑠(𝑥), de forma manuscrita, con uso de herramientas tecnológicas y promoviendo la
búsqueda, selección, contrastación y verificación de información en ambientes digitales y
redes sociales.
OA e. Construir modelos realizando conexiones entre variables para predecir posibles
Actitudes
• Pensar con conciencia, reconociendo que los errores ofrecen oportunidades para el
aprendizaje.

DESARROLLO
UN MODELO PARA LA ATRACCIÓN UNIVERSAL
Piensa en el universo. ¿Sabías que todos los cuerpos en él, incluidos nosotros, se
atraen unos a otros? Esta atracción universal es la fuerza de gravitación universal,
formulada por Newton. La ley señala que todos los cuerpos del universo se atraen
con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas e
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. Se puede
expresar matemáticamente como:
𝑭 = 𝑮 ∙
𝑴 ∙ 𝒎
𝒓𝟐
donde 𝑴 y 𝒎 son las masas de los cuerpos que interactúan, r es la distancia de separación entre los
cuerpos y 𝑮 es la constante de gravitación universal, cuyo valor en unidades del Sistema Internacional
es:
𝑮 = 𝟔, 𝟔𝟕 ∙ 𝟏𝟎−𝟏𝟏
𝑵 ∙
𝒎𝟐
𝒌𝒈𝟐
La expresión enunciada sirve únicamente para masas puntuales y cuerpos esféricos, ya que se
comportan como si toda su masa se concentrara en su centro, por lo que la distancia se mide desde sus
centros.
Fig. 1: Imagen extraída de https://www.curriculumnacional.cl/link/https://www.fisicalab.com/apartado/fuerza-
gravitatoria#contenidos
1. Consideren la expresión que determina la fuerza de gravitación universal entre dos cuerpos:
𝑭 = 𝑮 ∙
𝑴 ∙ 𝒎
𝒓𝟐
a. ¿Cómo interpretarían la frase Todos los cuerpos del universo se atraen con una fuerza que es
directamente proporcional al producto de sus masas?
b. ¿En qué cantidades se ve reflejada esta relación de proporcionalidad directa?
c. Si aumenta el producto entre las masas, ¿cómo varía el valor de la fuerza de gravitación
universal?
Conexión
interdisciplinaria:
Ciencias para la
Ciudadanía
OA d, 3° y 4° medio

Formen grupos según la cantidad de computadores disponibles y, usando el recurso digital laboratorio
de fuerza de gravedad (https://www.curriculumnacional.cl/link/https://phet.colorado.edu/es/),
separen los cuerpos libremente y midan con la regla la distancia entre sus centros.
Fig. 2: Recurso digital: Laboratorio de fuerza de gravedad.
https://www.curriculumnacional.cl/link/https://phet.colorado.edu/es/
2. Dejando fija la distancia, varíen las masas y completen la tabla con la fuerza de gravitación universal
que se obtiene en cada caso.
Tabla 1: Relación entre el producto de las masas y la fuerza de gravitación universal
𝑀
𝑚
𝑀 ∙ 𝑚
𝐹
3. En un plano cartesiano, ingresen los puntos determinados por (𝑀 ∙ 𝑚 , 𝐹).
a. ¿Cómo varía F en función del producto de las masas?
b. ¿Cómo es la forma de la gráfica?
c. ¿Conocen alguna función que responda a esta relación de crecimiento?
d. ¿Cómo se vincula este modelo con lo dicho por Newton sobre la relación de proporcionalidad
directa?
4. Ahora presten atención a la última frase de la ley formulada por Newton: …se atraen con una fuerza
que es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. ¿Qué sentido le dan a
esta frase?
5. En el recurso digital Laboratorio de fuerza de gravedad, establezcan un valor fijo para las dos masas.
Determinen el producto de ellas, que ahora será constante.

a. Variando la distancia entre los cuerpos, medida desde sus centros, completen la tabla con
algunos valores y determinando a la vez la fuerza de gravitación universal.
Tabla 2: Relación entre la distancia al cuadrado de las masas y la fuerza de gravitación universal
𝑟
𝑟2
𝐹
b. En un plano cartesiano, ingresen los puntos determinados por (𝑟2
,𝐹). ¿Cómo varía
𝐹 en función de la distancia de los cuerpos al cuadrado?
c. ¿Cómo es la forma de la gráfica?
d. ¿Conocen alguna función que responda a esta relación de crecimiento?
6. Tracen una línea que mejor aproxime la relación entre los puntos marcados.
a. ¿Cómo se vincula este modelo con lo dicho por Newton sobre la relación de proporcionalidad
inversa?
b. Comparen su gráfica con otros grupos y señalen si hay diferencias al considerar otro producto
de las dos masas. Destaquen también las semejanzas entre los modelos obtenidos.
c. ¿Cómo varía la fuerza de atracción gravitatoria entre dos cuerpos a medida que crece o decrece
la distancia entre ellos?
d. ¿Qué ocurriría con 𝐹 en términos matemáticos si 𝑟 = 0?
e. ¿Cómo se interpreta en el contexto que 𝑟 = 0?
7. Comparen las restricciones de los valores que puede tomar la variable r sin contexto y considerando
el contexto del problema.
8. Comparen el modelo de la fuerza de atracción gravitacional cuando se fija el valor de la distancia
entre los cuerpos y varía el producto de las masas, respecto del modelo cuando se fija el producto
de las masas de los cuerpos y varía la distancia entre ellos.
a. ¿Cómo varía 𝐹 en cada caso?
b. ¿Cambian en cada caso los valores que puede tomar 𝐹? ¿Qué ocurre con el recorrido en cada
caso?
c. ¿Cómo son los modelos matemáticos de crecimiento descritos en cada caso?
d. ¿Qué relación hay entre el exponente de la variable usada en las situaciones de la Tabla 1 y la
Tabla 2, con el modelo obtenido?
1. La expresión matemática que permite determinar la fuerza de gravitación universal posee cuatro
cantidades variables: la fuerza de gravitación, la masa de un cuerpo, la masa de un segundo cuerpo
y la distancia entre ellos medida desde sus centros. Además, una constante, la constante de
gravitación universal. La variable dependiente es la fuerza. Para efectos de este estudio, se usará
pares de variables, fijando los valores de las otras.

2. Se sugiere analizar la expresión algebraica con el curso, considerando como variables la fuerza de
gravitación universal y el producto de las masas de dos cuerpos que interactúan. Es importante
saber que la variable será el producto de las dos masas, transformando estas dos cantidades
variables (𝑀y 𝑚) en solo una a estudiar: el producto de ellas.
3. El “laboratorio de gravedad” es un laboratorio ficticio, debido a la muy baja magnitud de las fuerzas
de gravedad que actúan entre las masas de cuerpos que están en consideración (en el ejemplo:
0,000000000275𝑁). La unidad de “1N (Newton)” representa aproximadamente la fuerza con la
cual la Tierra atrae una masa de 100g. Se recomienda expresar estas magnitudes con potencias de
10 (0,000 000 000 275𝑁 = 2,75 · 10−10
𝑁 ). El laboratorio de gravedad sirve para descubrir la
siguiente ley: la fuerza de gravedad es proporcional al producto de las masas que se atraen y, a la
vez, inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas.
4. Se recomienda comparar los dos casos obtenidos del modelo de gravitación: la función potencia de
exponente 1, cuando 𝑟 es constante, y la función potencia de exponente -2, cuando el producto de
las masas es constante. Se espera que los jóvenes entiendan que un mismo modelo de función
potencia es aplicable a diversos casos, en tanto el exponente cambia de valor.
• Interpretan información, utilizando modelos que involucran funciones potencia y
trigonométricas para deducir resultados.
• Varían parámetros de modelos existentes que involucran funciones potencia y trigonométricas
para comparar resultados.
- Laboratorio de fuerza de gravedad
https://www.curriculumnacional.cl/link/https://phet.colorado.edu/sims/html/gravity-force-
lab/latest/gravity-force-lab_es.html
- Orientaciones para el estudio inicial de la fuerza de gravitación universal
https://www.curriculumnacional.cl/link/https://www.fisicalab.com/apartado/fuerza-
gravitatoria#contenidos

Actividad 2: Funciones cúbicas para entender fenómenos de la naturaleza
PROPÓSITO
Se identifica dos contextos en los que la función cúbica es una herramienta modeladora que permite
aproximar valores experimentales a una expresión –primero gráfica y luego algebraica– que entrega los
elementos necesarios para predecir otros datos que no se obtuvieron mediante la experimentación. En
ambos casos, se usa recursos digitales para ayudar a los alumnos a descubrir las funciones a fin de
acceder a más datos.
OA 3. Construir modelos de situaciones o fenómenos de crecimiento, decrecimiento y periódicos que
involucren funciones potencia de exponente entero y trigonométricas sen(x) y cos(x), de forma
OA e. Construir modelos realizando conexiones entre variables para predecir posibles escenarios de
Actitudes
DESARROLLO
CULTIVO DE PAPAS
1. Lee con tus compañeros de grupo el siguiente texto: “En el territorio
nacional hay alrededor de 221 variedades de papas. ¿Cuántas conoces o
has probado? Su presencia en la mesa chilena es recurrente, dado que
son bajas en grasas y son una fuente de energía natural por ser ricas en
almidón. Además, contienen vitaminas B y C y minerales (calcio, potasio,
magnesio, hierro), que resultan esenciales.
Se las puede cultivar en gran parte del territorio, pero su producción se encuentra determinada por
la interacción de múltiples factores, como el clima, el suelo y la disponibilidad de los nutrientes,
entre otros factores. Dado que los nutrientes no necesariamente estarán disponibles ni en la
Conexión
interdisciplinaria:
Ciencias para la
Ciudadanía

cantidad ni en el momento en que más lo requieren los cultivos, la fertilización se vuelve
fundamental. El nutriente más deficiente siempre limitará la productividad. En ese contexto, un
nutriente que en muchas ocasiones no se aplica es el calcio, o se aplica en dosis y momentos no
óptimos para la papa.
Los alcances de la agroindustria en las mejoras de los cultivos son múltiples, en particular respecto
de la papa. Una investigación hecha en invernadero permitió determinar las curvas de absorción de
la cantidad de nutrientes acumulada en las hojas de la planta de papa, en cada fase de crecimiento.
Se trasplantó las semillas in vitro a los 14 días, y cada 7 días se realizaba el análisis de absorción. Se
usó 1 180 𝑔/1 000 𝑙 de nitrato de calcio para preparar la solución que se aplicó a lo largo de la
experimentación.
a. Anota en tu cuaderno la información que te parece importante conocer sobre la papa.
b. Clasifica esta información en datos específicos que te pueden servir para resolver un problema
en matemática y en datos que te pueden servir para la salud.
2. En cuanto al proceso de absorción del calcio, se recolectó la información presente en la tabla, desde
el periodo de trasplante hasta el día 70:
Tabla 1: Absorción de calcio por día en la hoja de la planta de papa
Días 14 21 28 35 42 49 56 63 70
Cantidad de
calcio
acumulado
(mg/planta)
1,7012 7,7418 12,6102 25,5825 46,9345 79,9423 110,8819 183,0291 222,66
3. En una planilla de cálculo, ingresa los datos anteriores y crea una tabla de dos columnas. La primera
serán los días y la segunda, la cantidad de calcio acumulado.
a. Inserta un “Gráfico de dispersión solo con marcadores” y describe su forma de manera general.
b. Intenta relacionarla con alguna forma gráfica de otras funciones que ya conozcas, ¿a qué
función crees que se aproxima más esta curva?
4. Para poner a prueba tu conjetura, haz clic en “Agregar línea de tendencia” sobre los puntos del
gráfico (con el botón derecho del mouse).
a. De las opciones listadas en la ventana emergente, elige la que tenga un dibujo más parecido a
la forma del gráfico anterior, luego cierra la ventana.
b. ¿Mantienes tu conjetura?
Fig. 1: Opciones disponibles de línea de tendencia en una planilla de cálculo.
c. Puedes probar con otras opciones hasta encontrar la mejor aproximación de la curva que pasa
por los puntos de la tabla.

d. ¿Por qué crees que la curva no pasa exactamente por cada uno de los puntos? ¿Influye esto en
la curva que elegiste para representar adecuadamente la relación entre las variables del
problema?
5. ¿Qué significado le atribuyes a los puntos que ahora han aparecido (sobre la curva) que no estaban
inicialmente en la tabla? ¿Hay vacíos en la curva?
6. La mejor aproximación es la línea de tendencia potencial; sin embargo, no queda claro a qué función
potencia se refiere.
a. Haz clic sobre la curva (con el botón derecho del mouse) y elige la opción “Formato de línea de
tendencia”.
b. Casi al pie de la ventana aparece la opción “Presentar ecuación en el gráfico”. Márcala y cierra
la ventana. ¿Qué función apareció?
Fig. 2: Gráfico en una planilla de cálculo con línea de tendencia y ecuación.
7. Dada la forma algebraica de la función que mejor modela los datos de la tabla:
a. ¿Cuál podría ser una mejor aproximación de esta función, usando una función
potencia?; ¿cuál sería el exponente?
b. Describe una ventaja que implique aproximar el modelo dado en una planilla
de cálculo, a un modelo de función potencia cúbica.
8. Para esta función, ¿cuáles son las restricciones en relación con el contexto estudiado?
a. ¿Pueden 𝑥 y 𝑓(𝑥) tomar cualquier valor? ¿De qué depende?
b. Utiliza la forma algebraica o la forma gráfica de esta función para predecir
algunos valores de absorción de calcio en los días en que no se tomó muestras.
9. ¿Entre qué periodos (días) es más rápida la absorción de calcio? ¿En qué periodos es más lenta?
10. ¿Qué representación de la función –tabla de datos, gráfico o expresión algebraica– te permite
responder de forma más simple o directa la pregunta anterior?
NUEVAS FUENTES DE ENERGÍA
Lean en grupo la siguiente información y trabajen en conjunto las preguntas asociadas al tema: “Una
vez aceptada en la comunidad científica la teoría de la curva de Hubbert, es indispensable esforzarse
aún más por establecer nuevas fuentes de energía o aprovechar de forma óptima las ya existentes. En

este contexto, la energía eólica tiene un rol fundamental, pues es una fuente de energía renovable que
utiliza la fuerza del viento para generar electricidad. El principal medio para obtenerla son los
aerogeneradores (molinos de viento) que transforman la energía cinética del viento
en energía mecánica cuando sus aspan giran”.
1. En la Figura 3 se muestra un molino de viento, considerando que la altura del molino es fija:
a. ¿Cómo describirían la relación entre el movimiento de las aspas y la velocidad del viento?
Fig. 3: Applet Aerogenerador.
2. La potencia medida en KWatt que produce un aerogenerador depende de la velocidad del viento
que se mide en Km/h). En la tabla se muestran algunos valores.
a. ¿Cómo se podría modelar esta situación?
Fig. 4: Relación entre variables potencia del aerogenerador y velocidad del viento.
3. Marquen los puntos de la tabla en un plano cartesiano.
a. ¿Qué valores irán en el eje 𝑋 y qué valores en el eje 𝑌? ¿En qué se basan para tomar esta
decisión?
b. ¿Se puede describir la relación entre las variables mediante alguna función que hayan
estudiado antes, como una función lineal, una función logarítmica u otras?
c. Descarten algunas funciones que saben que no describen esta relación, indicando por qué
sucede esto.

4. A mano alzada, tracen una curva que pueda aproximar la relación entre los valores de las variables
potencia del aerogenerador y velocidad del viento.
a. Describan la forma de la curva.
b. Desde la forma gráfica, ¿pueden relacionar esta curva con alguna otra que ya hayan estudiado?
c. ¿En qué se basan para descartar otras funciones que ya conocen?
5. Una posible forma algebraica que modela la relación entre la potencia del aerogenerador y la
velocidad del viento es:
𝑃(𝑣) = 0,61 𝑣3
a. ¿Qué representa 0,61 en la expresión general?
b. ¿Cómo pueden determinar el valor de A? ¿Cuál es?
c. Describan con sus palabras la relación que existe entre 𝑃(𝑣) y 𝑣.
d. ¿Qué creen que pueda significar el valor 0,61 en la expresión anterior?
6. ¿Por qué se puede afirmar que 𝑃(𝑣) es una función? ¿Qué condiciones cumple?
7. ¿Cuáles son las restricciones de esta función para que modele efectivamente la situación descrita
sobre la potencia de un aerogenerador?
8. Consideren que la forma general de una función que modela la relación de interdependencia entre
la potencia de un aerogenerador y la velocidad del viento, viene dada por:
𝑃(𝑣) =
1
2
𝐴 𝜌 𝑣3
donde 𝐴 es el área de las hélices del aerogenerador (en 𝑚2
) y 𝜌 = 1,225
𝑘𝑔
𝑚3 es la densidad del aire
a nivel del mar a 15°C.
9. ¿En qué se diferencia esta expresión con la usada en la simulación del applet?
a. ¿Qué representa 0,61 en la expresión general en la simulación del applet?
b. ¿Cómo pueden determinar el valor de 𝐴? ¿Cuál es?
10. ¿Cómo podrían ahora, formalmente, describir la relación entre la potencia de un aerogenerador y
la rapidez del viento?
a. ¿Entre que rangos de rapidez del viento aumenta más rápido la potencia del aerogenerador?
b. ¿Cuándo ocurre lo contrario?
c. ¿Cómo podrían utilizar esta expresión, por ejemplo, para determinar la velocidad del viento
para obtener 3 kW?
d. Investiguen qué artefactos de su hogar podrían encender al mismo tiempo con esta potencia.
1. Antes de este nivel, los alumnos ya trabajaron con la función potencia de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥𝑛
, con
𝑎 ∈ ℝ, 𝑛 ∈ ℤ 𝑦 𝑓: ℝ → ℝ, solo que con casos particulares, para exponente 1 y 2. En esta
oportunidad, se presenta el estudio de dos funciones cúbicas, en las que la experimentación es
fundamental.

2. La actividad modela la curva de absorción de calcio de la hoja de la planta de una variedad de papa,
en relación con el tiempo transcurrido de plantación. Se simplificó el contexto agronómico de la
investigación real para que pueda estudiarse en este nivel, pues el modelo real corresponde a una
función polinómica de grado 3.
3. Se sugiere mostrar la relación entre dos variables, potencia de un aerogenerador y velocidad del
viento, que se describe con una función potencia de la forma 𝑃(𝑣) = 0,61 𝑣3
, donde 𝑃: ℝ+
→ ℝ+
.
Mediante el uso de un applet de GeoGebra, simularán la interacción entre el aerogenerador y el
viento. Asimismo, contarán con una tabla con algunos puntos específicos que relacionan ambas
variables. Deben graficar los valores de la tabla y conjeturar una función que describa su relación,
la que corroborarán mediante el mismo applet.
4. Apóyelos para que encuentren la mejor aproximación, que debería ser similar a:
𝑓(𝑥) = 0,0007𝑥3
5. Es importante que analicen el crecimiento de una variable a medida de la otra también crece, y
viceversa. Tienen que notar cómo, en ciertos tramos de la función, el crecimiento ocurre a una tasa
o razón (dependiendo de la actividad) distinta de la que ocurre en otros tramos de la misma función.
Para ello, tienen que indicar la forma gráfica como la mejor representación de la función.
6. Solo desde la gráfica y sin mayor análisis, pueden cometer el error de considerar la función como
exponencial o cuadrática. Para subsanarlo en parte, cabe pedirles que prueben con algunos puntos
de la tabla para que corroboren el error cometido con casos concretos.
• Describen modelos existentes que involucran funciones potencia y trigonométricas para
relacionar partes y características de la situación.
- Investigación completa para determinar curvas de absorción de nutrientes
https://www.curriculumnacional.cl/link/http://www.scielo.org.ve/scielo.php?script=sci_arttext&p
id=S0378-18442009000100011#f1
- Calculadora algebraica Wiris Cas
https://www.curriculumnacional.cl/link/http://www.wiris.net/demo/wiris/es/cas.html
- Explorador de energía eólica
https://www.curriculumnacional.cl/link/http://walker.dgf.uchile.cl/Explorador/Eolico2/
- Calculadora gráfica
https://www.curriculumnacional.cl/link/https://www.desmos.com/calculator

Actividad 3: La rueda de la fortuna
PROPÓSITO
Los estudiantes identifican el modelo que describe la relación entre las variables altura y tiempo de una
cabina en una rueda de la fortuna en movimiento. A partir de ello, reconocen las restricciones dadas
por el contexto y lo utilizan para predecir valores que puedan aportar a que comprendan mejor la
situación descrita. Asimismo, identifican la relación entre la función seno y coseno a partir de la rueda
de la fortuna.
OA 3. Construir modelos de situaciones o fenómenos de crecimiento, decrecimiento y periódicos que
involucren funciones potencia de exponente entero y trigonométricas sen(x) y cos(x), de forma
Actitudes
DESARROLLO
LA RUEDA DE LA FORTUNA
Una de las ruedas de la fortuna más grandes del mundo se encuentra en la ciudad de Las Vegas, en
Estados Unidos. Su altura máxima desde el suelo es de 167,6 m y su diámetro es de 158,5 m. Las 28
cápsulas que posee albergan a cerca de 40 personas cada una, con múltiples actividades en ellas. Una
cápsula tarda 30 minutos en dar una vuelta completa y quienes la han visitado comentan que adentro
el movimiento es casi imperceptible.
Otra particularidad es que, una vez que comienza a girar, no se detiene en todo un día, ni siquiera para
abordarla. Para conocer la altura de cualquier cápsula en un tiempo determinado, se puede contar con
un modelo matemático, exacto y confiable, que describe segundo a segundo la trayectoria de dicha
cápsula.
1. A partir del esquema simplificado de la rueda de la fortuna (Figura 1), completa la tabla con la altura
de la cápsula A en distintos momentos de tiempo, teniendo presente que el recorrido de la cápsula
A comienza en el punto más cercano a la tierra.

a. Observa que se ha marcado algunos ángulos en radianes, úsalos como referente para medir el
tiempo en esos puntos.
b. También puedes usar el applet de GeoGebra y ver una animación de la rueda de la fortuna en
movimiento.
Tabla 1: Relación entre altura y tiempo de la cápsula A.
Ángulo en una
vuelta
0 𝑟𝑎𝑑
𝜋
4
rad
𝜋
2
rad
3𝜋
4
rad 𝜋 rad
5𝜋
4
rad
3𝜋
2
rad
7𝜋
4
rad 2𝜋 rad
Tiempo en
una vuelta
0 min 7,5 min 22,5 min
Altura de la
cápsula A en
una vuelta
0 m 79,25 m 158,5 m
Fig. 1: Imagen simplificada de la rueda de la fortuna con 28 cápsulas, destacando la cápsula A.
2. A partir de la tabla, ¿cuál es la relación entre las variables altura de la cápsula A (ℎ𝐴) y tiempo (𝑡)?
¿Cómo la describirías? Da algunos ejemplos.
3. En el plano cartesiano, marca los puntos que relacionan las variables ℎ𝐴 y 𝑡.
a. ¿Qué variable irá en cada eje?
b. ¿Qué criterio usarás?
c. Describe la forma del gráfico que observas.
d. ¿Crees que se pueda completar con una línea continua?
e. ¿Qué interpretación tendrían esos puntos en el contexto de la rueda de la fortuna?
4. Usando el deslizador Densidad, completa la gráfica:
a. ¿Qué forma tiene?

b. ¿Cómo se relaciona con el movimiento oscilatorio de la cápsula de la rueda de la fortuna?
Puedes usar el applet para apoyar tu respuesta.
Fig. 2: Applet GeoGebra de Modelo Rueda de la fortuna
5. ¿Qué significa que la gráfica pase por el punto (63,75; 39,625)? ¿Cuántas vueltas completas ha dado
la cápsula A?
6. ¿En qué tiempos llega la cápsula A a su máxima altura en 2 vueltas completas? ¿En qué tiempos
pasa por la mínima altura posible?
7. Según el contexto de la rueda de la fortuna, considera:
a. ¿Cuáles son los valores que puede tomar la variable ℎ𝐴?
b. ¿Cuáles son los valores que puede tomar la variable t?
PARÁMETROS DE UNA FUNCIÓN
1. En la Figura 3, observen cuáles son los parámetros que se puede analizar de una función
trigonométrica.
a. Para su modelo anterior, marquen la línea base de la función graficada.
b. Determinen el valor de la amplitud (𝐴), el desplazamiento vertical (𝐶), el periodo (𝑇) y el
desplazamiento de fase (𝛼).
c. Determinen también la frecuencia angular, considerando que 𝑤 =
2𝜋
𝑇
.
d. Expresen algebraicamente la función seno, que describe la relación entre las variables hA y t,
según el contexto de la rueda de la fortuna.

Fig. 3: Forma general de la función seno.
2. En el applet, elijan la opción Mostrar modelo algebraico y compárenlo con la representación
algebraica que obtuvieron.
3. ¿Cómo se relaciona la forma algebraica con la forma gráfica de la función que modela la relación
entre ℎ𝐴 y 𝑡?
4. Observen las dos representaciones del modelo que describe la relación entre ℎ𝐴 y 𝑡:
a. ¿Cuál de ellas les parece más adecuada para describir cómo varía la altura cuando avanza el
tiempo?
b. ¿Cuál de ellas usarían para encontrar la altura de la cápsula A cuando han pasado 150 minutos
desde que comenzó a funcionar la rueda?
Fig. 4: Applet GeoGebra de modelo rueda de la fortuna, representación gráfica y algebraica.
5. Completen la tabla con los valores que corresponden a la altura y el tiempo de la cápsula B.
Consideren que el tiempo comienza a avanzar estando la cápsula B en altura, como muestra la
Figura 5.

Tabla 2: Relación entre altura y tiempo de la cápsula B.
Tiempo en una
vuelta
0 min 3,75 min 7,5 min 11,25 min 15 min 18,75 min 22,5 min 26,25 min 30 min
Altura de la
cápsula B en una
vuelta
158,5 m 0 m
Fig. 5: Imagen simplificada de la rueda de la fortuna con 28 cápsulas, destacando las cápsulas A y B.
6. Grafiquen en el plano cartesiano anterior, la relación entre la altura de la cápsula B (hB) y el tiempo
transcurrido (t) en dar algunas vueltas. Desde la gráfica determinen:
a. La línea base de la función graficada.
b. El valor de la amplitud (A), el desplazamiento vertical (C), el periodo (P) y el desplazamiento de
fase (𝛼).
c. La frecuencia angular.
d. Expresen algebraicamente la función seno que describe la relación entre las variables ℎ𝐵 y 𝑡,
según el contexto de la rueda de la fortuna.

7. Grafiquen ahora una función de la forma ℎ′
𝐵(𝑡) = 𝐴 cos(𝑤𝑡 − 𝛼) + 𝐶.
a. Tengan presente que, en este caso, se considera el desplazamiento de fase como en la Figura
6.
Fig. 6: Forma general de la función coseno.
8. Comparen las dos funciones hB y h’B, desde las gráficas y desde las representaciones algebraicas.
a. ¿Cómo son las gráficas de ambas funciones? ¿Se puede afirmar que describen la misma
situación?
b. ¿Cómo son las expresiones algebraicas de ambas funciones? ¿En qué se diferencian?
c. ¿Qué relación se puede establecer entre la función seno y la función coseno?
9. Escojan una de las representaciones obtenidas para la cápsula B y respondan:
a. ¿Qué significa que la gráfica pase por el punto (37,5; 79,25)? ¿Cuántas vueltas completas ha
dado la cápsula B? ¿En qué vuelta va?
b. ¿En qué tiempos la cápsula B llega a su máxima altura en 2 vueltas completas? ¿En qué tiempos
pasa por la mínima altura posible?
10. En las gráficas de la cápsula A y la cápsula B hay intersecciones. Expliquen qué significan estos
puntos de intersección, según el contexto de la rueda de la fortuna.
1. El movimiento de las cápsulas de la rueda de la fortuna es periódico; por lo tanto, se lo puede
modelar mediante una función trigonométrica. En primera instancia, se propone usar la función
seno, pero en la segunda actividad se compara las funciones seno y coseno y se establece la relación
entre ellas.
2. Se sugiere modelar las situaciones en ambas actividades, iniciando por los datos en una tabla y luego
graficando dichos datos como puntos en el plano cartesiano. A partir de ese primer acercamiento
al modelo, se completa la forma gráfica y desde ahí se avanza hacia la representación algebraica.
3. Al establecer los modelos algebraicos, se sugiere identificar el desplazamiento de fase –que varía
entre la función seno y la función coseno– y la frecuencia angular. En este último parámetro se
conjuga 2𝜋 y el tiempo en minutos. Se recomienda registrar en todo momento las unidades de
medida, de modo que los jóvenes no pierdan de vista que el seno se calcula para un ángulo.

4. Se sugiere mediar el descubrimiento de la igualdad. Para esto, se puede calcular prestando atención
solo al argumento del seno, de modo de establecer que
2𝜋(𝑥−22,5)
30
=
2𝜋𝑥
30
+
𝜋
2
. Por otro lado, usando
algunos ejemplos específicos, cabe notar la paridad de la función.
• Construyen modelos de situaciones que involucran funciones potencias y trigonométricas para
inferir resultados en diferentes momentos.
- Ejemplo de una noria en funcionamiento
https://www.curriculumnacional.cl/link/http://proyectodescartes.org/EDAD/materiales_didacti
cos/EDAD_4eso_funciones1-JS-LOMCE/noria.htm
- Información de la rueda de la fortuna usada para las actividades
https://www.curriculumnacional.cl/link/https://elsouvenir.com/rueda-fortuna-las-vegas/
- Calculadora gráfica
https://www.curriculumnacional.cl/link/https://www.desmos.com/calculator

Actividad 4: Movimientos cíclicos y los modelos trigonométricos
PROPÓSITO
Los estudiantes modelan el movimiento cíclico de las mareas por medio de la función seno, bajo algunos
supuestos de aproximación. Además, comparan y ajustan este modelo trigonométrico con un modelo
tipo “diente de sierra”. Pueden pensar y probar sin restricciones, considerando que el error es una
oportunidad para aprender y se puede mejorar, en este caso, variando la representación del modelo,
ajustando según el contexto y utilizando las herramientas digitales que estén a su disposición.
OA 3. Construir modelos de situaciones o fenómenos de crecimiento, decrecimiento y
periódicos que involucren funciones potencia de exponente entero y trigonométricas sen(x)
y cos(x), de forma manuscrita, con uso de herramientas tecnológicas y promoviendo la
búsqueda, selección, contrastación y verificación de información en ambientes digitales y
redes sociales.
OA e. Construir modelos realizando conexiones entre variables para predecir posibles
Actitudes
• Pensar con conciencia, reconociendo que los errores ofrecen oportunidades para el
aprendizaje.
DESARROLLO
LAS MAREAS
1. Lee con tu compañero el siguiente texto: “Las mareas tienen su origen en la
fuerza universal de gravedad que ejercen cuerpos mutuamente entre ellos.
Así, la Luna, en su recorrido alrededor de la Tierra, está ejerciendo una fuerza
de gravedad a ella. Como el agua es un cuerpo líquido, el mar se deforma bajo
la influencia de esta fuerza, generando una ‘barriga de agua’ que tiene su
parte más alta en la posición más cercana a la Luna. En este lugar hay marea
alta ‘pleamar’.
Conexión
interdisciplinaria:
Ciencias para la
Ciudadanía
OA d y f
3° y 4° medio

En la posición directamente opuesta, la más lejana de la Luna, también hay una ‘barriga de agua’.
Esta se origina porque las masas de agua en la parte opuesta de la Tierra, menos distantes de la
Luna, están más atraídas por ella, dejando también una ‘barriga de agua’ relativa, que tiene una
altura más baja (con una disminución de aproximadamente 7%). Mirando atentamente el dibujo
esquemático, se nota que la ‘barriga del agua’ opuesta tiene menor altura que la ‘barriga de agua’
más cercana a la Luna.
a. Anota 6 palabras que consideres las más importantes del texto.
b. Compártelas con tu compañero e indica por qué las elegiste.
c. Complementa tus palabras con las que eligió tu compañero y arma una frase.
2. Lee ahora el siguiente texto: “Debido a su rotación propia, la Tierra gira dentro de las dos barrigas,
acercándose y alejándose de las barrigas de agua y causando marea baja y pleamar en el mar, lo
cual se nota en las playas, islas y costas de continentes. Si la Luna tuviera una posición fija frente a
la Tierra, el fenómeno de marea baja y marea alta se originaría dentro de 24 horas con el siguiente
ritmo: empezando de bajamar a 00:00 horas, subiendo 6 horas hasta pleamar a las 06:00 horas,
bajando por 6 horas a bajamar a las 12:00 horas, subiendo otra vez por 6 horas hasta pleamar (7%
menor) a las 18:00 horas y finalmente bajando por 6 horas a baja mar a las 24:00 horas.
Debida a la rotación de la Luna alrededor de la Tierra, en un período de marea baja-pleamar-marea
baja de 12 horas, el próximo período de 12 horas empieza 23 minutos más tarde, siguiendo el ritmo
de 12 horas, siempre con un retraso de 23 min. Las alturas de pleamar sobre la marea baja
dependen del lugar geográfico y, sobre todo, de la forma de la costa. En desembocaduras de ríos al
mar o en fiordos, la altura de la marea es más grande que en costas estrechas. Por ejemplo, en la
costa de Limón (Costa Rica), las alturas están alrededor de 0,7m; en la bahía de Fundy (Canadá)
alrededor de 15m y en Castro, las alturas oscilan alrededor de 5,80m”.
a. ¿De qué trata el texto? Piensa tu respuesta y habla con tu compañero.
b. ¿Qué ocurre con la marea?
c. Igual que en el caso anterior, selecciona las 6 palabras que te parezcan más importantes para
describir el texto.
d. Forma con ellas una frase y compártela con tu compañero. Complementen sus respectivas
frases.

e. Prueben juntos hacer un primer modelo de la situación, utilizando conocimientos previos, como
ordenar la información en tablas, hacer proyecciones para otras situaciones (dar valores para x,
ver lo que ocurre con y), graficar y probar de generalizar con una función conocida.
3. Anoten los datos que consideran importantes sobre la Figura 1.
Figura 1.
a. ¿De qué lugar es la información?
b. Averigua sobre qué son los datos: tiempo, altura de las olas, trayectoria de las olas u otro.
c. Describe el gráfico y sus componentes a tu compañero.
4. Anoten los datos que consideran importantes sobre la figura 2.
Figura 2.
a. ¿De qué lugar es la información?
b. Averigua sobre qué son los datos: tiempo, altura de las olas, trayectoria de las olas u otro.
c. Describe el gráfico y sus componentes a tu compañero.

5. Compara los modelos de las figuras 1 y 2.
a. ¿Qué informaciones del contexto coinciden con las representaciones gráficas y los datos en
ambas figuras? Explica verbalmente a tu compañero.
b. ¿Qué formas aproximadas tienen las curvas que representan las mareas en las figuras 1 y 2, en
el período de tiempo de 24h (marcado entre las líneas verticales punteadas de color negro)?
c. Considerando que las mareas con la amplitud de pleamar oscilan entre bajamar (nivel 0) y
pleamar, ¿se puede modelar el fenómeno mediante una función de seno sobre el período de
24h? Argumenta con tu compañero sobre las posibilidades de modelar esta situación con la
función seno.
6. En la figura 2 se muestra una marea de Castro con dos pleamares y dos bajamares. Las líneas
punteadas marcan los períodos de aproximadamente 12 h.
a. Modelen el fenómeno según los datos de la figura 2, separándolo en dos períodos de 12
horas. Elaboren la tabla utilizando la función:
𝑓(𝑡) = 𝑎 · 𝑠𝑒𝑛(𝑘 · 𝑡)
donde la variable 𝑎 representa la amplitud del seno y la variable 𝑡 representa el tiempo en
horas.
b. ¿Qué ocurre si consideras el factor 𝑘 =
𝜋
12ℎ
en el argumento del seno? Utiliza alguna
herramienta digital para responder.
c. Con los datos aproximados de la tabla, elabora la ecuación de la marea utilizando la función
del seno sobre el período de las primeras 12h (𝑡 = 3, 4, 6, 8, 12 h).
d. Con los datos aproximados de la tabla, elabora la ecuación de la marea utilizando la función
del seno sobre el período de las segundas 12h (𝑡 = 3, 4, 6, 8, 12 h).
7. La figura 3 representa otro modelo con el cual se puede modelar aproximadamente las mareas en
Castro mediante el gráfico “sierra dentada”. Determinan mediante este gráfico el nivel de la marea
para las 23:00, 01:00, 02:00 y 07:00 horas, empezando con la primera línea punteada.
a. Contrasta los niveles de la marea con el modelo con la función seno elaborado anteriormente.

b. Considera la pleamar de 6,09m y determina el nivel de la marea para las horas
correspondientes.
8. Utilizando el modelo del seno para las mareas de 𝑓(𝑡) = 𝑎 · 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
12ℎ
· 𝑡), ¿cómo se puede
incorporar algebraicamente en el modelo el retraso de aproximadamente 20min en cada período
de 12h?
1. En las actividades asociadas a las mareas y las figuras 1 y 2, no se considera el retraso de pleamar
de 23 minutos que ocurre cada 12 horas; en el modelo asociado a la figura 3 sí se considera ese
retraso. Se sugiere pedir a los estudiantes más avanzados que incorporen el hecho de que siempre
ocurre un retraso de 23 minutos hasta la próxima pleamar y que comparen con el modelo dado en
la figura 3. Deben darse cuenta de que se requiere suposiciones y simplificaciones en los modelos
que describen el fenómeno de las mareas y que se puede ajustar los modelos según estas
suposiciones.
2. La ocurrencia de las mareas es un fenómeno periódico. Con las funciones del seno o del coseno, los
alumnos conocen por primera vez una función que puede modelar fenómenos periódicos, que se
articulan con oscilaciones u ondas armónicas. No todos los fenómenos periódicos son modelables
con estas funciones trigonométricas. La “naturaleza matemática” de la función del seno o del
coseno tiene la propiedad de que sus valores “oscilan” alrededor del valor “0” (“nivel 0”) y toman
simétricamente valores positivos y negativos.
3. Se sugiere incluir otras zonas costeras de Chile; por ejemplo, San Antonio. El gráfico muestra el
cambio de las mareas en un día completo.
Fig. 2: Gráfico de mareas en un día en San Antonio,
Se puede describir este modelo gráfico mediante la expresión algebraica aproximada ℎ(𝑡) =
0,6 𝑠𝑒𝑛 (
𝜋
6
𝑡 + 1) + 0,8 , donde ℎ(𝑡) se expresa en metros. Los jóvenes pueden comparar con los
modelos anteriores y evaluar la pertinencia de los diferentes modelos según el contexto y lo que
quieren expresar.

4. En el fenómeno de las mareas, las alturas del mar oscilan sobre el “nivel 0” y toman solamente
valores positivos hasta “pleamar” para bajar después al “nivel 0” (“mares baja”). Debido a esto, en
vez de 24 horas, se considera dos semiperíodos de aproximadamente 12h, lo que se puede modelar
con el seno “positivo”. Además, se debe respetar que la segunda pleamar tiene una altura que está
7% debajo la primera.
• Comparan modelos que involucran funciones potencia o trigonométricas con otros modelos
que también describen la situación, para determinar sus fortalezas y debilidades.
- SHOA Pronóstico de mareas
https://www.curriculumnacional.cl/link/http://www.shoa.cl/php/mareas.php
- Tabla para las mareas
https://www.curriculumnacional.cl/link/https://tablademareas.com/cl
- Applet seno Geogebra
https://www.curriculumnacional.cl/link/https://www.youtube.com/watch?v=SCIkI3ZijGc
- Estudio teórico inicial
https://www.curriculumnacional.cl/link/https://www.zweigmedia.com/MundoReal/trig/trig1.ht
ml

OA 3. Construir modelos de situaciones o
fenómenos de crecimiento, decrecimiento y
periódicos que involucren funciones potencia de
exponente entero y trigonométricas sen(x) y
cos(x), de forma manuscrita, con uso de
herramientas tecnológicas y promoviendo la
búsqueda, selección, contrastación y verificación
de información en ambientes digitales y redes
sociales.
OA e. Construir modelos realizando conexiones
entre variables para predecir posibles escenarios
de solución a un problema, y tomar decisiones
fundamentadas.
requeridas y considerando las limitaciones de
aquellos.
• Interpretan información, utilizando modelos que
involucran funciones potencia y trigonométricas
para deducir resultados.
• Varían parámetros de modelos existentes que
involucran funciones potencia y trigonométricas
• Describen modelos existentes que involucran
funciones potencia y trigonométricas para
relacionar partes y características de la situación.
• Construyen modelos de situaciones que
involucran funciones potencias y trigonométricas
para inferir resultados en diferentes momentos.
• Comparan modelos que involucran funciones
potencia o trigonométricas con otros modelos
que también describen la situación, para
determinar fortalezas y debilidades de estos.
Se puede usar las siguientes actividades como ejemplos de evaluaciones para la unidad 3, cada una por
sí misma o en conjunto. Se sugiere delimitar la evaluación según el contexto y el tiempo disponible.

LA LEY DE POISEUILLE
1. La ley de Poiseuille se utiliza para determinar el flujo (caudal o gasto) de un fluido viscoso que circula
por una tubería de radio r y longitud l, bajo una diferencia de presión existente entre los extremos
de la tubería. Dicha ley señala que:
𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜 =
∆𝑃 ∙ 𝜋 ∙ 𝑟4
8 ∙ 𝜂 ∙ 𝑙
=
𝜋
8 ∙ 𝜂
∙ ∆𝑃 ∙
𝑟4
𝑙
Fig. 1: Tubería de radio 𝑟.
𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜: Corresponde al flujo o caudal (
𝑚3
𝑠
).
∆𝑃: Diferencia de presión del fluido entre dos puntos de la tubería (
𝑘𝑔
𝑚∙𝑠2).
𝑟: Radio interior del tubo (𝑚).
8: El factor que resulta de integrar la velocidad.
𝜂: Viscosidad del fluido (
𝑘𝑔
𝑚∙𝑠
).
𝑙: Longitud entre dos puntos de la tubería (𝑚).
a. ¿Cuál es la interdependencia entre las variables flujo y radio?
b. ¿Qué tan rápido crece la variable flujo cuando crece la variable radio?
c. ¿Conoces alguna función que responda a esta relación de crecimiento?
2. Considera cierto fluido que transita por un tubo de 1m de largo. La diferencia de presión en los
extremos del tubo corresponde a 16 000 (
𝑘𝑔
𝑚∙𝑠2
) (lo que equivale a 120 mmHg). Además, se sabe
que la viscosidad del fluido es de 0,096 (
𝑘𝑔
𝑚∙𝑠
) y que el radio del tubo es 0,0001 (m).
a. ¿Cuál es el flujo del fluido bajo estas condiciones?
b. ¿Qué ocurre con el flujo si el radio del tubo aumenta al doble?
c. ¿Qué ocurre si el radio del tubo aumenta al triple de la medida inicial?
d. ¿Qué ocurre si el radio del tubo disminuye a la mitad?

3. Completa la tabla que muestra la relación entre el radio del tubo y el flujo del fluido, manteniendo
constantes todos los demás valores.
a. Tabla 1: Relación entre el flujo de un fluido y el radio de la tubería por la que pasa.
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜
𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜
a. Grafica los puntos de la tabla anterior y describe la forma de la gráfica.
b. Relaciona la forma de la gráfica con otras funciones que conozcas.
c. Indica cuál es la diferencia con otras funciones que tienen relaciones de crecimiento similares.
LAS ARTERIAS
1. Las arterias cumplen un rol vital en nuestro organismo, por lo que es
primordial que funcionen en óptimas condiciones. Una oclusión arterial
implica que se reduce el radio arterial (en un tramo); puede ser leve o
grave, dependiendo del porcentaje de obstrucción de la arteria, que
puede llegar a cerca del 100% e impedir el flujo sanguíneo. ¿Qué
consecuencias crees que puede traer a la salud una situación tan
extrema?
Considerando la ley de Poiseuille para este caso, se tiene que la resistencia y el flujo vienen dados
por los modelos:
𝑅 = 𝑘 ∙ 𝑙 ∙ 𝑟−4
𝐹 = 16 000 (
𝑘𝑔
𝑚 ∙ 𝑠2
) ∙ 𝑘 ∙ 𝑟4
a. Explica qué representa cada término de la expresión anterior, simplificada. (Nota: la resistencia
es proporcional al largo del tubo e inversamente proporcional a la cuarta potencia del radio).
b. ¿Cuál es la relación de interdependencia entre el flujo sanguíneo y el radio de la arteria?
2. Considera la Figura 3, que muestra distintos niveles de oclusión de una arteria. El porcentaje
corresponde a la disminución del radio de la arteria.
Fig. 3: Esquema de oclusión arterial creciente.
Extraído de https://www.curriculumnacional.cl/link/http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/ppois2.html
Fig. 2: Flujo arterial.

a. Describe lo que entiendes de estas frases: Un porcentaje de oclusión de 20% implica que el
radio de la arteria se redujo en un 20%. Esto significa que el nuevo radio de la arteria es 0,8
veces el valor inicial o 0,8r. Asimismo, cuando el porcentaje de oclusión es del 80%, la arteria
tiene un radio 0,2 veces el valor original o 0,2r.
b. Completa la tabla con algunos valores del flujo sanguíneo a medida que aumenta el porcentaje
de oclusión.
b.
c. Tabla 2: Relación entre el flujo sanguíneo y el radio de una arteria, con aumento de oclusión.
% 𝑂𝑐𝑙𝑢𝑠𝑖ó𝑛 0% 20% 50% 80%
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑟 0,8 𝑟
𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 16 000 (
𝑘𝑔
𝑚𝑠2
)∙ 𝑘 ∙ 𝑟4
16 000 (
𝑘𝑔
𝑚𝑠2
)∙ 𝑘 ∙ (0,8 𝑟)4
¿Cómo varía el flujo sanguíneo en función de la disminución porcentual del radio de la arteria?
FUNCIONAMIENTO MUSCULAR
1. Supón que se desea determinar el flujo sanguíneo en una arteria muscular y se sabe que 𝑘 =
0,41 (
𝑠
𝑘𝑔
).
a. Reemplaza el valor de k en la tabla 2.
b. Considera el radio de la arteria de 4 mm.
c. Luego estudia cómo varía el flujo sanguíneo si la arteria se va ocluyendo porcentualmente,
como en la tabla 2.
2. Grafica la relación entre el radio de la arteria muscular y el flujo sanguíneo a medida que aumenta
la oclusión.
a. Traza la línea que, a tu juicio, aproxime mejor la relación entre los puntos marcados.
b. ¿Qué sentido podrías darles a todos los puntos sobre la línea marcada?
c. ¿Es denso el conjunto solución que corresponde al dominio de la función?
d. ¿Qué implica esto en la gráfica de la función?
3. Si el radio de la arteria disminuye a la mitad, ¿cuánto ha disminuido el flujo sanguíneo?
a. Aproximadamente, ¿con qué reducción del radio de la arteria el flujo disminuye a cerca de la
mitad?
b. ¿Cuál dirías que es la diferencia entre una función entre variables con y sin contexto?
c. ¿Cuándo podemos hablar de un modelamiento matemático?

COMPORTAMIENTO SINUSOIDAL
1. El siguiente sistema de coordenadas muestra los gráficos de dos funciones trigonométricas 𝑓 y 𝑔
(de color anaranjado y verde respectivamente).
d. Determina la ecuación de las funciones 𝑓 y 𝑔. Ayúdate con la tabla y considera 𝑦 = 5 · 𝑠𝑒𝑛(𝑥)
con 𝑥 =
2π
T
· 𝑡; 𝑇 es un tiempo cualquiera, pero fijo.
𝑡 0
T
12
T
4
T
2
7T
12
3T
4
11T
12
T
𝑥 0
𝜋
6
𝑦 = 5 · 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 0 2,5
e. ¿Qué relación hay entre t = 0, t =
1
4
𝑇, t =
1
2
𝑇, t =
3
4
𝑇 y t = 𝑇 y un ciclo de la función g (color
verde)?
f. ¿Cuál es la amplitud de ambas funciones?
g. ¿Cuáles son las características en común de las gráficas 𝑓 y 𝑔?
2. Compara los gráficos de 𝑓 y 𝑔, mirando los vértices y los puntos de intersección con el eje 𝑂𝑋.
a. ¿Qué relación se puede observar entre ellos?
b. Expresa la función 𝑓 (color anaranjado) en términos de la función 𝑔 (color verde).

EL RESORTE
1. Consideremos la oscilación armónica de un péndulo de resorte elástico6
como se muestra en la
figura siguiente. El eje 𝑂𝑋 representa la línea de equilibrio del sistema.
a. Usa una función trigonométrica para elaborar la ecuación funcional de la oscilación del resorte
que tiene una amplitud 𝑦0 cualquiera.
b. Considerando que las oscilaciones dependen del tiempo 𝑡, determina las elongaciones de un
resorte de período de 𝑇 = 4 (s) con amplitud de 𝑦0 = 4 cm para los siguientes valores de 𝑡:
0,
𝑇
4
,
𝑇
2
,
3𝑇
4
y 𝑇, con 𝑥 =
2π
T
· 𝑡.
c. Considera una oscilación armónica con los siguientes parámetros: la amplitud es la mitad y el
período es el doble de los usados en la actividad b. Conjetura acerca del cambio que se produce
en la forma del gráfico de la actividad b.
d. Con herramientas digitales, elabora el gráfico con los parámetros de la actividad b. y verifica o
rechaza las conjeturas que formulaste en c.
2. Observa la figura y según las posibilidades, elabora ya sea de forma manual o utilizando un
programa computacional, el movimiento de una varilla gruesa alrededor de un círculo. Para esto
necesitas una varilla de una unidad de largo, la cual se ve en la imagen de color café, esta debe
estar fija en uno de sus extremos y que permita girarla en sentido antihorario. Requieres de una
fuente de luz con rayos lumínicos paralelos en la dirección que indican las flechas amarillas (hacia
la derecha) y durante la rotación de la varilla, esta proyecta su sombra (segmento rosado) a una
pared (eje vertical azul), utiliza una linterna para ver el efecto del movimiento de la varilla
reflejado en un plano cartesiano que se ubica al lado derecho del circulo. En esta representación,
consideraremos el origen del sistema cartesiano ubicado a la altura del extremo fijo de la varilla.
6 Se denomina resorte elástico a un objeto que es capaz de almacenar energía y desprenderse de ella sin sufrir
deformación permanente cuando cesan las fuerzas a las que es sometido (adaptado desde
https://www.curriculumnacional.cl/link/https://es.wikipedia.org/wiki/Resorte).

a. Cuando la varilla rota circularmente, proyecta una sombra en la pared azul. ¿Qué movimiento
describe la sombra?
b. ¿Para cuáles ángulos el largo de la sombra proyectada es mínima, es máxima o tiene la mitad
del largo de la varilla? Considera los ángulos que muestra en la figura.
c. Si consideramos que el extremo de la varilla realiza la rotación por los cuadrantes de ordenada
negativa (3° y 4° cuadrantes), este valor se debe interpretar como la longitud de la sombra
proyectada, pero en sentido contrario a la sombra proyectada en el primer y segundo
cuadrantes.
Segundo cuadrante Tercer cuadrante Cuarto cuadrante
d. Entonces, ¿qué función trigonométrica permite modelar todos los valores de la longitud de la
sombra?
e. Si se considera el ángulo de rotación en radianes y se lo denota por 𝑥, elabora la expresión de
la función 𝑔(𝑥) y grafica la función para 𝑥 ∈ [−2𝜋, 4𝜋], considerando el largo de la sombra 𝑙
de la varilla proyectada en la pared con 𝑙0 = 1.

Niveles de logros
logrado
Se observa
aspectos
específicos que
pueden mejorar
No logrado por
ausencia o no se
puede entender
en absoluto
Describen las variables y constantes de un
modelo.
Completan tablas, valorando el modelo
según parámetros dados.
Ajustan dominio y recorrido según el
contexto de la situación.
Representan datos de una situación dada
para ajustar y obtener un modelo
aproximado.
Varían las condiciones iniciales para
predecir el comportamiento del modelo.
Identifican funciones trigonométricas a
partir de gráficos dados.
Describen características de funciones
trigonométricas, utilizando términos como
ciclo, amplitud y frecuencia.
Elaboran modelos, utilizando las funciones
trigonométricas.
Relacionan el movimiento circular y la
sombra producida por una función
trigonométrica.

Unidad 4: Geometría con coordenadas
Propósito
Los estudiantes resuelven problemas, utilizando objetos geométricos como rectas y circunferencias en
el plano. Podrán representar las rectas y circunferencias de diferentes modos, apoyados en
conocimientos anteriores. La pregunta orientadora de esta unidad es: ¿Cómo me ayudan las
representaciones de objetos y relaciones para resolver problemas?
OA 4. Resolver problemas acerca de rectas y circunferencias en el plano, mediante su representación

Actividad 1: Costos operacionales e ingresos con rectas
PROPÓSITO
Los estudiantes exploran situaciones que se puede modelar mediante ecuaciones de la recta de ingreso
y costo, en un solo gráfico, atendiendo a la noción de punto de equilibro en el ámbito de pérdidas o
ganancias, tanto en forma manual como utilizando herramientas digitales.
Actitudes
DESARROLLO
LA MAQUINA RETROEXCAVADORA
Es usual que la maquinaria para la construcción (retroexcavadoras, cargadores, motoniveladoras, entre
otras) se arriende por montos diarios, semanales o mensuales. Quien ofrece el servicio tiene costos
operacionales por los gastos de mantención de la máquina. Además, la maquinaria se deprecia a medida
que pasan los años y eso se puede analizar. La siguiente tabla muestra costos horario y margen de
contribución por hora de arriendo de una retroexcavadora:
Tabla 1: Precio de arriendo de retroexcavadora7.
(+) Arriendo/hora UF 0,6878 $16 002
Operación Rend lt/hr Precio
(−) Combustibles sin IVA 3 $564 $1 692
(−) Aceites y lubricantes 0,040 $3 780 $151
(−) Torque e hidráulica 0,092 $5 040 $461
Desg/hr Precio
7https://www.curriculumnacional.cl/link/http://repositorio.uchile.cl/bitstream/handle/2250/132849/Plan-de-negocio-de-una-empresa-de-arriendo-de-
maquinaria-para-.pdf?sequence=1

(−) Neumáticos 0,00025 $1 890 000 $473
(−) Repuestos/hr $320
(=) Costo operación $3 097
Margen/hora UF 0,555 $12 905
1. Según la información del contexto para una retroexcavadora, si 𝑥 corresponde al número de horas:
a. ¿Cuál es la ecuación de la recta que permite determinar los costos operacionales de la
retroexcavadora según la cantidad de horas que se use?
b. ¿Pertenece el punto (0,0) a la recta según el contexto descrito?
c. Grafica la situación anterior en el plano cartesiano.
d. ¿En qué cuadrante del plano se grafica la recta? ¿Por qué?
e. ¿Cómo es la pendiente de la recta en este caso? ¿Por qué debe ser así?
2. Según la información del contexto para una retroexcavadora, si 𝑥 corresponde al número de horas,
¿cuál es la ecuación que permite determinar los ingresos por arriendarla según la cantidad de horas
que se use?
a. Grafica la situación anterior en el plano cartesiano.
b. ¿En qué cuadrante del plano se grafica la recta? ¿Por qué?
c. ¿Cómo es la pendiente de la recta en este caso? ¿Por qué es así?
3. Las máquinas se van desvalorizando por el uso al pasar el tiempo. Una máquina nueva que costó
aproximadamente $19 980 000, al pasar los años ya no vale lo mismo. Imagina que la maquinaria
en cuestión se desvaloriza $400 000 cada año desde su valor original nuevo.
a. ¿Cuál sería la ecuación que permite obtener la depreciación?
b. Grafica esa situación en el plano cartesiano.
c. ¿En qué cuadrante del plano se grafica la recta? ¿Por qué?
d. ¿Cómo es la pendiente de la recta en este caso? ¿Por qué debe ser así?
e. ¿Cómo se interpreta el coeficiente de posición en este caso?
4. Vuelve al punto 1) y 2) y grafica ambas ecuaciones con alguna herramienta digital.
a. ¿Qué sucede con las rectas? ¿Cómo se despliegan en el gráfico? Describe.
b. Si la retroexcavadora se arrienda por 6 horas, ¿cuánto dinero se recibe? ¿Cuál es la ganancia
efectiva considerando los costos?
c. Si se necesita obtener una ganancia efectiva de $156 923, ¿por cuántas horas debería arrendarse
la máquina?
d. ¿Tienen algún punto en común? ¿Cómo se puede interpretar esto?
e. ¿Cómo se puede interpretar la situación en términos de pérdidas o ganancias?
f. ¿Se puede hablar de un punto de equilibrio en este caso?

5. Considera ahora una nueva situación en la que se agrega algunos gastos operacionales fijos de $6
000. Además, por una estrategia de mercado, el dueño decide bajar el costo de arriendo a $5 000
la hora. Grafica la nueva situación con alguna herramienta digital.
a. ¿Qué sucede con las rectas ahora? ¿Cómo se despliegan en el gráfico?
b. Si la retroexcavadora se arrienda por 6 horas, ¿cuánto dinero se recibe? ¿Cuál es la ganancia
efectiva, considerando los costos?
c. Si se necesita obtener una ganancia efectiva de $32 060, ¿por cuántas horas debería
arrendarse la máquina?
d. ¿Tienen las rectas algún punto en común? ¿Cómo se puede interpretar esto?
e. ¿Cuál es el punto de equilibrio?
f. ¿Cómo se puede interpretar la situación en términos de pérdidas o ganancias?
g. Si comparas esta situación de arriendo con la primera (punto 1), ¿qué ventajas o
desventajas se puede observar? ¿Cuál es una mejor estrategia?
6. En el contexto de arriendo de una maquinaria, ¿cómo se interpreta lo que sucede en cada uno de
los siguientes gráficos (horas versus dinero) presentados?
Caso A Caso B Caso C
1. Es importante que comprendan que se puede modelar los costos operacionales (punto 1) con una
recta que pasa por los puntos (0, 0) y (1, 3 097). Así, la pendiente es el valor 3 097 y, dado que es
positiva, implica una orientación con ángulo menor a 90° respecto del eje X. En este caso, la recta
𝑦𝑐 = 3 097𝑥 pasa por el origen.
2. Aunque se da énfasis a la ecuación de la recta como objeto matemático, es relevante preguntarse
por cuáles valores de 𝑥 son pertinentes; los alumnos deben inferir que, de acuerdo con el contexto,
no tiene sentido hablar de horas “negativas”.
3. Se puede agregar otras preguntas para obtener los costos de la operación según diferentes horas
de arriendo de la retroexcavadora. Así se refuerza la comprensión de la situación propuesta.

4. En la actividad relacionada con la retroexcavadora, se propone que busquen la ecuación de la recta
para los ingresos de la operación acorde al número de horas de arriendo de la misma. Aquí la recta
pasa por los puntos (0, 0) y (1, 16 002) y la pendiente ahora es 16 002, también positiva, pero con
una inclinación mayor que la recta de los costos. En este caso, la recta 𝑦𝑖 = 16 002𝑥 pasa por el
origen.
5. Luego, se propone una situación algo diferente: el concepto de devaluación del precio de una
retroexcavadora. Por ello, la recta que representa la situación tiene pendiente negativa y corta el
eje Y en el valor correspondiente al precio original de la máquina cuando se compra. En este caso,
la recta es 𝑦 = −400 000𝑥 + 19 980 000.
6. Proponga que usen herramientas digitales para graficar las ecuaciones de los costos operacionales
y de los ingresos por concepto de arriendo. Lo primero que se puede observar es que la ecuación
de los costos va por “debajo” de la ecuación de los ingresos, lo que es un buen indicador de que el
negocio debería funcionar; es lo que produce la ganancia o margen de la operación.
7. Una pregunta clave es que comparen situaciones y vean cuál es más conveniente. Se propone que
los jóvenes discutan al respecto, ya que en el primer modelo se produce ganancia desde el principio,
pero en el segundo modelo existe un costo relacionado con ahorro como resguardo en caso de que
la máquina sufra un desperfecto; no obstante, el arriendo por hora es considerablemente menor.
• Explican las respuestas relacionadas con problemas sobre rectas y circunferencias.
• Describen situaciones mediante ecuaciones analíticas de rectas o circunferencias.
• Elaboran ecuaciones de rectas a partir de la pendiente y las coordenadas de un punto dado.
- Punto de equilibrio
https://www.curriculumnacional.cl/link/https://es.slideshare.net/licmata/punto-de-equlibrio-2-
ecuaciones-2-incgnitas
- Crecimiento lineal y ecuación de la recta
https://www.curriculumnacional.cl/link/https://es.khanacademy.org/math/algebra-basics/alg-
basics-graphing-lines-and-slope/alg-basics-writing-slope-intercept/v/graphs-using-slope-intercept-
form
- Ecuaciones lineales y punto de equilibrio
https://www.curriculumnacional.cl/link/https://www.youtube.com/watch?v=zWr64MoJri0
- Crecimiento lineal y ecuación de la recta
https://www.curriculumnacional.cl/link/https://es.khanacademy.org/math/algebra-basics/alg-
basics-graphing-lines-and-slope/alg-basics-writing-slope-intercept/v/graphs-using-slope-intercept-
form

Actividad 2: Puntos de encuentro en circunferencias
PROPÓSITO
Se espera que los estudiantes identifiquen los puntos de intersección de dos circunferencias ubicadas
en un plano cartesiano, usando la geometría analítica para contar con las coordenadas exactas desde
un punto de referencia dado. Se propone un trabajo con un sentido cotidiano para que contextualicen
la geometría y valoren el álgebra en problemas de esta naturaleza, más allá del uso habitual de fórmulas.
Actitudes
• Interesarse por las posibilidades que ofrece la tecnología para el desarrollo intelectual, personal
y social del individuo.
DESARROLLO
REUNIÓN DE AMIGOS
Discutan la siguiente situación y resuelvan los diferentes problemas planteados: Dos amigos, Clara y
Fabricio, desean reunirse para almorzar. Ambos trabajan en Temuco, pero la congestión vehicular a la
hora del almuerzo los obliga a elegir un lugar cercano a ambos trabajos y así no destinar tanto tiempo
a trasladarse.
Clara trabaja cerca del Hospital Regional y estima que puede trasladarse hasta 300 m caminando desde
su trabajo.
Fabricio se siente más cansado y dice que puede desplazarse hasta 200 m caminando desde su trabajo,
que queda muy cerca del Servicio de Registro Civil.

Como referente, hay aproximadamente 210m desde el Hospital Regional hasta la Avenida Caupolicán
en línea recta, mientras que desde el Servicio de Registro Civil hay cerca de 130m en línea recta hasta
la avenida Caupolicán.
Fig. 1: Mapa de un sector de Temuco, adaptado de Google Maps.
1. Escojan una escala adecuada y marquen en la Figura 1 el sector por el que Clara está dispuesta a
trasladarse.
a. ¿Qué forma tiene ese sector?
b. ¿Cuál es el centro?
c. Describan la distancia desde el trabajo de Clara hasta cualquier punto del sector marcado.
d. Remarquen la distancia máxima a la que Clara se podría trasladar. ¿Qué forma tiene?
2. Marquen en la Figura 1 el sector por el que Fabricio está dispuesto a trasladarse.
a. Respondan las mismas preguntas anteriores para este caso.
3. En la Figura 1, marquen el sector en el que podrían juntarse Clara y Fabricio, considerando sus
restricciones para trasladarse desde sus trabajos.
4. Analizando los restoranes disponibles en la zona, solo encuentran opciones si ambos se trasladan
lo máximo posible deseado.
a. Marquen en la Figura 1 todas las opciones posibles, considerando los traslados máximos de
cada uno.
b. ¿Cuántos puntos posibles de encuentro hay entre ambos?
c. Geométricamente, ¿cómo se interpretan estos puntos?
5. ¿Qué ecuación describe todos los puntos que se encuentran a una distancia de 300 m del trabajo
de Clara?
a. Ubiquen el centro de un plano cartesiano en el trabajo de Clara, ese será el referente.
b. Elijan un punto cualquiera (𝑥, 𝑦) a 300m del trabajo de Clara.

c. Determinen la distancia entre el trabajo de Clara y el punto seleccionado. Expresen la distancia
de forma algebraica.
d. La expresión algebraica obtenida, ¿sirve para describir la distancia de cualquier punto ubicado
a 300m del trabajo de Clara?
6. Escriban la ecuación que describe todos los puntos que se encuentran a una distancia de 200m del
trabajo de Fabricio. Esta vez, consideren el trabajo de Fabricio en el centro del plano cartesiano.
7. ¿Qué ajuste podrían hacer a las ecuaciones anteriores si quisieran usar un único plano cartesiano?
a. Consideren el plano cartesiano ubicado, como se muestra en la Figura 2.
b. Aproximadamente, ¿cuáles son las coordenadas del trabajo de Clara y de Fabricio, según este
referente?
Fig. 2: Mapa de un sector de Temuco, con un sistema de referencias dado.
8. Consideren el plano cartesiano que se muestra en la Figura 2, ¿qué ecuación describe todos los
puntos que se encuentran a una distancia de 300m del trabajo de Clara?
a. Elijan un punto cualquiera (𝑥, 𝑦) a 300m del trabajo de Clara.
b. Determinen la distancia entre el trabajo de Clara y el punto seleccionado. Expresen la distancia
de forma algebraica.
c. La expresión algebraica obtenida, ¿sirve para describir la distancia de cualquier punto ubicado
a 300 m del trabajo de Clara, con relación al plano cartesiano señalado?
d. Compara tus resultados con uno de tus compañeros y anota las diferencias en un color
diferente.
9. Usando el plano cartesiano ubicado, como en el punto anterior, ¿qué ecuación describe todos los
puntos que se encuentran a una distancia de 200m del trabajo de Fabricio?
a. Elijan un punto cualquiera (𝑥, 𝑦) a 200 m del trabajo de Fabricio.
b. Determinen la distancia entre el trabajo de Fabricio y el punto seleccionado. Expresen la
distancia de forma algebraica.

c. La expresión algebraica obtenida, ¿sirve para describir la distancia de cualquier punto ubicado
a 200 m del trabajo de Fabricio, con relación al plano cartesiano señalado?
d. Compara tus resultados con uno de tus compañeros y anota las diferencias en un color
diferente.
10. En el plano cartesiano, ¿qué ocurre con las dos circunferencias dibujadas, la de Clara y la de
Fabricio?
a. ¿Cómo se interpreta la intersección de las dos circunferencias en el contexto del problema?
b. ¿Cómo se obtiene algebraicamente las coordenadas de los puntos de intersección de las
circunferencias?
c. ¿Por qué la intersección de ambas circunferencias, algebraicamente, da una recta que pasa por
dichos puntos?
d. ¿Cómo se obtiene y cómo se interpreta en este problema la intersección de la recta anterior
con una de las circunferencias?
e. ¿Varía su respuesta anterior si prueban intersectando la recta con la otra circunferencia?
f. Comprueba comparando con los resultados de tus compañeros que los puntos de intersección
sean correctos.
11. ¿Cuáles son las coordenadas exactas en las que se encuentran los dos posibles restoranes en los
que se podría reunir Clara y Fabricio, según el plano cartesiano de la Figura 2?
12. Si la representación gráfica de la situación de los dos amigos es la que muestra la Figura 3, ¿qué
condición cambió entre ellos: el lugar de trabajo o la distancia a la que se desean desplazar?
Argumenten y determinen el nuevo punto de intersección de las circunferencias.
Fig. 3: Mapa de un sector de Temuco, con un sistema de referencias dado.

1. Se recomienda verificar al inicio que los estudiantes distinguen
entre un círculo y una circunferencia, dado que primero se les
solicita identificar la región que se forma al interceptar dos
círculos, que tiene infinitos puntos en este caso. Luego se les pide
interceptar dos circunferencias, por lo que la respuesta se
reduce solo a dos puntos. Para obtener la circunferencia, se debe
hablar de las distancias máximas que cada amigo está dispuesto
a avanzar desde sus trabajos respectivos.
2. Al comienzo no se cuenta con un sistema de referencia; por
ende, para dibujar los radios, tienen que extraer la información
del contexto, donde se señala la distancia aproximada entre dos
puntos en la realidad. Por ejemplo, si la distancia en línea recta entre el hospital y Caupolicán es de
210m en la realidad, entonces deben medir con una regla el segmento que une los dos puntos en
la Figura 1 y luego encontrar la escala adecuada, usando la regla de proporcionalidad directa.
3. Durante las actividades, se les pide obtener ecuaciones de circunferencia. Al principio, se trata de
dos ecuaciones y cada una está centrada en el origen de un plano cartesiano, por lo que aplicar la
expresión de distancia entre dos puntos debería ser simple. Aunque no hayan trabajado antes esa
distancia, la pueden determinar aplicando el teorema de Pitágoras. A partir del punto 7, como las
ecuaciones no estarán centradas en el origen, deben poner atención en la distancia entre dos
puntos, siendo uno de ellos el centro de la circunferencia.
4. Se recomienda que usen alguna herramienta digital que esté disponible libremente en la web.
5. Si el centro de una circunferencia no coincide con el origen del plano cartesiano, la ecuación de la
circunferencia se trabaja como (𝑥 − 𝑎)2
+ (𝑦 − 𝑏)2
= 𝑟2
, donde el centro de la circunferencia es
el punto (𝑎; 𝑏)
• Explican las respuestas relacionadas con problemas sobre rectas y circunferencias.
• Describen situaciones mediante ecuaciones analíticas de rectas o circunferencias.
• Elaboran representaciones gráficas en el plano cartesiano.
- Calculadora algebraica Wiris
- Desarrollo matemático del tema
https://www.curriculumnacional.cl/link/http://www.profesorenlinea.cl/geometria/Ecuacion_Circu
nferencia.html

Actividad 3: Rectas y circunferencias en el plano cartesiano
PROPÓSITO
Se espera que los estudiantes relacionen las ecuaciones de rectas y circunferencias con la situación de
tsunami. Esta relación permite responder de manera adecuada frente a situaciones de riesgo; por lo
tanto, se pretende que resuelvan problemas en contexto, utilizando circunferencias concéntricas cuyo
radio crece según una función afín, y la intersección de rectas y circunferencias, incluyendo el caso
especial de tangente. Pueden elegir las herramientas manuales o digitales que les sean más familiares
para representar o calcular.
Actitudes
DESARROLLO
LA PROPAGACIÓN DE LAS ONDAS DE UN TSUNAMI
1. Modelar la propagación de las ondas de un tsunami en la superficie del
Océano Pacífico puede ser de vida o muerte en una situación real.
Fig. 1: Propagación de las ondas de un tsunami luego de un temblor.
Conexión
interdisciplinaria:
Ciencias para la
Ciudadanía
OA f, 3° y 4° medio

a. En el dibujo se ha marcado el punto rojo como el epicentro del temblor, lo cual producirá
olas y un tsunami. Se necesita saber a qué lugar llegaría primero el tsunami, realiza tus
estimaciones dibujando círculos concéntricos sobre el mapa.
Fig. 2: Propagación de las ondas de un tsunami.
b. Cambia el epicentro del temblor y dibuja su propagación en el mapa. ¿A qué lugar llegaría
primero?
c. Compara tus estimaciones con tu compañero.
d. ¿Por qué conviene poner el centro de las ondas del tsunami en el centro del sistema de
coordenadas?
e. Marca un sistema de coordenadas, donde el largo de cada cuadrícula representa una unidad.
Determina la ecuación de la circunferencia dibujada.

2. En el modelo, el centro de las ondas del tsunami está en el origen del plano cartesiano. Considera
la siguiente información: En la profundidad del mar, las ondas se propagan a rapidez constante de
600
km
h
. En el plano el largo de cada cuadrícula representa 50km. La línea de la costa más cercana
al centro del tsunami tiene una inclinación de 45° con el eje y.
a. Dibuja las circunferencias concéntricas para cada 30 minutos desde el inicio de la propagación
y determina gráficamente el tiempo y el lugar de la primera llegada del frente del tsunami a la
costa.
b. Determine algebraicamente los resultados estimados al inicio de la actividad.
c. Utiliza herramientas tecnológicas digitales como GeoGebra para determinar tiempo y posición
de la llegada de las ondas del tsunami en más puntos de la línea de la costa, variando parámetros
como velocidad del tsunami o el tiempo.
3. Practica determinando la ecuación de la recta que pasa por dos puntos:
a. Dibuja una recta cualquiera en el plano cartesiano. Marca dos puntos sobre ella.
b. Determina la pendiente de la recta, usando la expresión:
𝑚 =
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
, donde 𝑥1 ≠ 𝑥2
c. Usando uno de los puntos antes elegidos u otro punto sobre la recta, expresa la ecuación de la
recta, usando la expresión:
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0)
4. Practica determinando ecuaciones de la circunferencia centradas en el origen:
a. Ubica un punto en el plano a 3cm del centro (0;0).
b. Repite la instrucción anterior con al menos 10 puntos más. ¿Qué figura se está formando?
c. Usando un compás, completa la curva anterior con todos los puntos del plano que están a 3cm
del centro.
d. Elige un punto cualquiera sobre la circunferencia anterior y usa la expresión analítica de la
distancia entre dos puntos para expresar algebraicamente la distancia entre los dos puntos.
e. Repite el punto anterior, considerando los dos puntos como 𝐴 (𝑥1; 𝑦1) y 𝑂 (0; 0).
1. Los estudiantes tienen que saber cómo se determina la distancia entre dos puntos y haber resuelto
problemas o ejercicios usando la expresión analítica asociada, que es la que se sugiere emplear en
la primera actividad. De igual modo, deben poder establecer la ecuación de una recta que pasa por
dos puntos. Si no dominan bien estos temas, se recomienda explicarlos con detalle antes de iniciar
el trabajo.
2. En la primera parte, se puede hacer dos ajustes que simplifiquen las tareas. Una opción es centrar
la circunferencia en el origen del plano cartesiano. La otra es usar puntos conocidos con números
enteros y no generalizar de inmediato usando las coordenadas (𝑥; 𝑦) y (ℎ; 𝑘).
• Elaboran representaciones gráficas en el plano cartesiano.
• Modelan situaciones, utilizando la ecuación de la recta o la circunferencia.

- Calculadora algebraica Wiris
- Desarrollo matemático del tema
https://www.curriculumnacional.cl/link/https://www.sangakoo.com/es/temas/interseccion-de-
una-circunferencia-y-una-recta

Actividad 4: Seguridad en el trabajo
PROPÓSITO
Los estudiantes modelan un espacio de seguridad, utilizando la ecuación de la circunferencia y la
tangente a ella en un punto. Resuelven el problema analíticamente, buscando la intersección entre
rectas y circunferencias. Se espera que reconozcan la importancia de las herramientas disponibles para
resolver el problema y que utilicen las ecuaciones de rectas y circunferencias para delimitar zonas de
seguridad.
OA 4. Resolver problemas acerca de rectas y circunferencias en el plano, mediante su
representación analítica, de forma manuscrita y con uso de herramientas tecnológicas.
OA e. Construir modelos realizando conexiones entre variables para predecir posibles escenarios
de solución a un problema, y tomar decisiones fundamentadas.
Actitudes
DESARROLLO
SOLDAR Y EL ESPACIO DE SEGURIDAD
1. La foto muestra el esmerilado de una pieza metálica. Ese
trabajo requiere reglas de seguridad para el trabajador y
para el entorno del lugar, porque genera chispas que
pueden causar lesiones a personas o daños materiales.
Las chispas salen en forma tangencial al disco en el punto
del contacto entre el disco y la pieza a trabajar.
¿Qué relación geométrica de posición mutua existe entre la
tangente y el radio que toca la tangente? Fig. 1 Esmerilado de una pieza metálica.

2. En la siguiente imagen esquemática, se mira verticalmente hacia abajo. Se eligió un sistema
cartesiano de coordenadas, de manera que el centro del disco del esmeril eléctrico se encuentre en
el origen 𝑂(0,0) del sistema de coordenadas. El eje del esmeril eléctrico, representado por la línea
punteada, tiene la dirección de la bisectriz del segundo cuadrante del sistema de coordenadas. El
disco del esmeril tiene un diámetro 𝑑 = 20𝑐𝑚.
Fig. 2: Esmeril con centro del disco en el origen 𝑂(0,0)
a. Determina las coordenadas del punto 𝑃 en el cual el esmeril toca la pieza de trabajo.
Aproxímalas a la décima en 𝑐𝑚.
b. Considerando la relación geométrica de posición entre la tangente y el radio 𝑂𝑃
̅̅̅̅ , determina la
ecuación de la tangente en el punto 𝑃(14,1 ; 14,1).
3. El siguiente esquema muestra el entorno de un puesto de trabajo en el cual
se trabaja con un esmeril eléctrico. El alcance del rayo de las chispas es de
aproximadamente 4𝑚 y se considera un rayo de seguridad de 𝑅 = 5𝑚.
Fig. 3: Alcance del rayo de un esmeril eléctrico.
Además, el haz de las chispas que se genera con el esmeril tiene una forma cónica y sus rayos
marginales tienen una pendiente de 𝑚1 = 1,1 y de 𝑚2 = 0,9.
a. Elabora las ecuaciones de los rayos marginales de las chispas que se generan en el punto 𝑃.
b. Debido a las dimensiones de 𝑅 = 5𝑚 y del radio del disco de 10𝑐𝑚, se adapta el modelo a una
forma 2D, de modo que el punto 𝑃 coincida con el punto 𝐻 en el suelo. Mediante la geometría
Conexión
interdisciplinaria:
Ciencias para la
Ciudadanía
OA g, 3° y 4° medio

analítica, determina el punto de intersección del rayo tangencial con la circunferencia del
modelo. Considera que la ecuación de la tangente se simplifica a 𝑦 = 𝑥.
c. Considera que las ecuaciones de los rayos marginales se simplifican a 𝑦 = 1,1𝑥 e 𝑦 = 0,9𝑥,
respectivamente. Determina los puntos de intersección de los rayos marginales con la
circunferencia. Compara los resultados con los de la actividad anterior.
d. Elabora una representación gráfica en un sistema de cartesiano de coordenadas en el cual una
unidad corresponde a 1𝑚.
1. Para que una tangente siempre está perpendicular al radio que une el centro con el punto contacto
de la circunferencia con la tangente, se recomienda establecer una secuencia de secantes paralelas
(empezando con un diámetro) que están perpendiculares a un radio y cuyos puntos de intersección
con la circunferencia se acercan al punto de contacto, convirtiendo las secantes en la tangente.
2. Se sugiere motivarlos a trabajar individual y autónomamente; para esto, se pueden preparar las
respuestas correctas y dejar a libre disposición de los estudiantes, también se puede hacer una
especie de puzle para que ellos mismo asocien las respuestas correctas con las preguntas, en este
caso, no se debe agregar el número de la respuesta. Algunas respuestas correctas son:
𝑃(14,1 ; 14,1); 𝑦 = 𝑥 − 28,2; 𝑚1 = 1,1 ; 𝑦 = 1,1𝑥 − 29,61; 𝑚2 = 0,9 ; 𝑦 = 0,9𝑥 − 26,76.
3. Para la parte contextualizada en colegios técnico-profesionales, se recomienda articularse con el
profesor de la especialidad y mencionar aspectos de seguridad laboral que hay en los puestos de
trabajo de los alumnos. El profesor debe explicarles que a veces se debe hacer supuestos
simplificados para aplicar un modelo más sencillo.
• Elaboran ecuaciones de rectas a partir de la pendiente y las coordenadas de un punto dado.
• Modelan situaciones, utilizando la ecuación de la recta o la circunferencia.
- Ejercicios de circunferencias y rectas
https://www.curriculumnacional.cl/link/http://www.reformamatematica.net/wp-
content/uploads/2018/10/20181015-Solucionario-G-circunferencias-y-rectas.pdf
- Ejercicios de ecuación de la circunferencia
https://www.curriculumnacional.cl/link/https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matemati
cas/analitica/conica/ejercicios-de-la-ecuacion-de-la-circunferencia.html

OA 4. Resolver problemas acerca de rectas y
circunferencias en el plano, mediante su
representación analítica, de forma manuscrita
y con uso de herramientas tecnológicas.
OA d. Argumentar, utilizando lenguaje
simbólico y diferentes representaciones, para
justificar la veracidad o falsedad de una
conjetura, y evaluar el alcance y los límites de
OA e. Construir modelos realizando
conexiones entre variables para predecir
posibles escenarios de solución a un
problema, y tomar decisiones
fundamentadas.
• Explican las respuestas relacionadas con
problemas sobre rectas y circunferencias.
• Describen situaciones mediante ecuaciones
analíticas de rectas o circunferencias.
• Elaboran ecuaciones de rectas a partir de la
pendiente y las coordenadas de un punto
dado.
• Modelan situaciones, utilizando la ecuación
de la recta o la circunferencia.
Se puede usar las siguientes actividades como ejemplos de evaluaciones para la unidad 4, cada una por
sí misma o en conjunto. Se sugiere delimitar la evaluación según el contexto y el tiempo disponible.
1. En los países en que predomina el sistema inglés de medidas (como Inglaterra y Estados Unidos), la
temperatura se mide en grados Fahrenheit. Para convertir a grados Celsius (y viceversa), se utiliza
una función lineal que vincula los puntos de congelamiento y de ebullición del agua. Se sabe que el
punto de congelación del agua ocurre cuando alcanza los 0° Celsius y el de ebullición8
, cuando llega
a 100° Celsius. Se sabe también que el agua se congela a 32° Fahrenheit y que ebulle a 212°
Fahrenheit.
A partir de los datos del enunciado, responde:
a. ¿A cuántos grados Fahrenheit equivalen 0° Celsius?
b. ¿A cuántos grados Fahrenheit equivalen 100° Celsius?
c. En el cuaderno, construye un plano cartesiano en donde el eje horizontal se representa los
grados Celsius y en el eje vertical, los grados Fahrenheit (ser cuidadoso con la escala de cada
eje). Considera como pares ordenados las dos temperaturas de las preguntas a. y b. para que
los grafiques como puntos en el plano cartesiano que construiste.
d. Determina la ecuación de la recta que permite transformar grados Celsius a grados Fahrenheit.
e. En el cuaderno, construye el gráfico de la ecuación de la recta encontrada en d.
f. Utiliza el gráfico hallado en e. para estimar a cuántos grados Fahrenheit equivalen 20° Celsius.
g. Utiliza la ecuación de la recta encontrada en d. para determinar a cuántos grados Celsius
equivalen 68° Fahrenheit.
8
El agua se congela a 0° Celsius y ebulle a 100° Celsius cuando está a nivel del mar.

h. Si alguien afirma que se encuentra en un lugar a –40° de temperatura, ¿por qué no es relevante
saber la unidad de medida de la temperatura? Justifica.
2. Usando un software para graficar, realiza las siguientes actividades:
a. Grafica la ecuación de la recta 𝐿 que pasa por los puntos 𝐴(2; 4) y 𝐵(5; 6).
b. Utilizando la representación gráfica de la ecuación 𝐿, ¿cuál podría ser la ecuación de una recta
perpendicular a la recta 𝐿? Justifica tu respuesta.
c. ¿Es correcto afirmar que la ecuación de la recta 𝑦 =
−3
2
𝑥 + 𝑝 (con 𝑝 ∈ ℝ) representa a todas
las rectas perpendiculares a la ecuación de la recta 3𝑦 − 2𝑥 = 8? Justifica tu respuesta.
(Sugerencia: Crea un deslizador para variar el valor de 𝑝).
d. Utilizando como el valor 𝑝 la intersección de las dos rectas del punto c., encuentra las
ecuaciones de dos rectas más, de modo que entre las cuatro conformen un rectángulo.
Conjetura respecto de la cantidad de soluciones posibles y justifica la conjetura que entregues
como respuesta.
3. Determina algebraicamente si existen puntos de intersección entre la recta 𝑥– 𝑦– 7 = 0 y la
circunferencia 𝑥2
+ 𝑦2
+ 6𝑥 − 4𝑦 − 37 = 0. Justifica tu respuesta.
4. Utiliza un software que permita graficar y estimar el intervalo de valores entre los que debe variar
el valor de 𝑘, de modo que exista intersección entre las circunferencias 𝑥2
+ 𝑦2
+ 6𝑥 − 4𝑦 − 36 =
0 y (𝑥 − 5)2
+ (𝑦 + 4)2
= 𝑘2
. Justifica tu respuesta.
Se sugiere que respondan las siguientes preguntas en forma colaborativa, según los recursos y el
contexto.
5. Usando un software, grafiquen las rectas 3𝑥 + 4𝑦 − 49 = 0, 4𝑥 − 3𝑦 − 32 = 0 y la circunferencia
de ecuación (𝑥 − 4)2
+ (𝑦 − 3)2
− 25 = 0 y, a continuación:
a. Determinen con el software si las rectas son o no tangentes a la circunferencia. Justifiquen
algebraica o numéricamente la afirmación que hagan.
b. Determinen el ángulo que forman las rectas. Justifiquen su afirmación.
c. Determinen las ecuaciones de dos tangentes a la circunferencia que pasen por el punto (−3; 2).
d. Usen la herramienta Relación de GeoGebra (que corresponde al ícono ) para determinar la
relación que existe entre las dos rectas halladas en c. Justifiquen numéricamente lo que indica
el software.
6. Creen una visualización similar a la propagación y el choque de dos ondas que se desplazan sobre la
superficie de un líquido (como el agua) y que representen aproximadamente las oscilaciones que
producen dos gotas que caen simultáneamente en dos puntos diferentes, ubicados a cierta distancia.
a. ¿Qué expresiones algebraicas puede utilizarse para generar la familia de circunferencias que
produce la caída de cada gota en la superficie del agua? Justifiquen la respuesta.
b. Busquen imágenes y vídeos que muestren ondas en el agua, tsunamis, cubetas de onda, y
relacionen el objeto con las imágenes obtenidas.

Niveles de logros
logrado
Se observa
aspectos
específicos que
pueden mejorar
No logrado por
ausencia o no se
puede entender
en absoluto
Representan una situación por medio de
rectas.
Describen situaciones por medio de rectas
y sus intersecciones.
Determinan la recta perpendicular a una
recta dada.
Determinan la intersección de una recta
con una circunferencia.
Determinan la intersección de dos
circunferencias.
Varían parámetros de ecuaciones de rectas
o circunferencias para que se intercepten
entre ellas.
Modelan situaciones, utilizando la ecuación
de la circunferencia.

Programa de Estudio Matemática 4° Medio Formación General Proyecto
Proyectos Interdisciplinarios
Manual de orientación
¿Qué es el Aprendizaje Basado en Proyectos?
El Aprendizaje Basado en Proyectos se define como una propuesta de enseñanza que se organiza en
torno a un problema o necesidad que se puede resolver, aplicando diferentes perspectivas y áreas del
conocimiento. Para encontrar la solución, los estudiantes movilizarán conocimientos, habilidades y
actitudes durante todo el proceso hasta llegar a una solución que se expresa en un producto. Los
proyectos surgen desde sus propias inquietudes e intereses, potenciando así su motivación por
aprender y su compromiso frente al propio aprendizaje.
¿Por qué fomenta el trabajo interdisciplinario?
La complejidad de un problema real o necesidad es la razón que justifica la participación y conexión de
distintos saberes y disciplinas. Por ejemplo, los proyectos STEM se desarrollan sobre problemas o
necesidades que vinculan ciencia, tecnología, matemática e ingeniería para su solución.
¿Cómo se relaciona con las Habilidades para el siglo XXI?
La metodología de proyecto permite que los estudiantes potencien estas habilidades y actitudes, ya
que, por ejemplo, su procedimiento los organiza para que busquen juntos una solución, los desafía para
que flexiblemente encuentren una respuesta nueva al problema y para que reflexionen con otros desde
diferentes perspectivas, generando así el trabajo colaborativo, la comunicación y el pensamiento crítico
y creativo.
¿Cuáles son los elementos del Aprendizaje Basado en Proyectos?
Pregunta o problema central
Los problemas que se aborda en un proyecto se vinculan con situaciones reales y significativas para los
estudiantes. Se relacionan con sus inquietudes e intereses y los motivan a explorar y participar
activamente en la búsqueda responsable de una solución.
Indagación sostenida
Cuando se enfrentan a un problema desafiante, comienza el proceso de búsqueda para construir
soluciones. Durante este proceso, los alumnos hacen nuevas preguntas, utilizan recursos y profundizan
los conocimientos.
Autenticidad
Los proyectos tienen un contexto auténtico. Por ejemplo: los estudiantes resuelven problemas que
enfrentan las personas fuera de la escuela, pero también pueden centrarse en problemas auténticos
dentro de ella. Los proyectos pueden tener un impacto real en los demás, como cuando los alumnos
atienden una necesidad en su escuela o comunidad (por ejemplo: diseñar y construir un huerto escolar,

mejorar un parque comunitario, ayudar a los inmigrantes locales); también pueden crear algo que otras
personas usarán o experimentarán. Un proyecto puede tener autenticidad personal si refleja las
preocupaciones, los intereses, las culturas, las identidades y los problemas de los estudiantes en sus
vidas.
Voz y elección del estudiante
Los alumnos deben sentir que pueden participar activamente, tomar decisiones, expresar sus puntos
de vista, proponer soluciones durante el trabajo en equipo y expresarse por medio de los productos
que crean. Participan activamente en un proyecto, desde el momento en que identifican el problema
hasta que divulgan el producto; así fortalecen su compromiso y motivación con el propio aprendizaje.
Metacognición
A lo largo de un proyecto los estudiantes –junto con el docente– deben reflexionar sobre lo que están
aprendiendo, cómo están aprendiendo y por qué están aprendiendo. La reflexión puede ocurrir de
manera informal, como parte de la cultura y el diálogo en el aula, pero también debe ser una parte
explícita de los diarios del proyecto, la evaluación formativa programada, las discusiones en los puntos
de control del proyecto y las presentaciones públicas de su trabajo. La reflexión sobre el proyecto en
sí, cómo se diseñó e implementó, los ayuda a decidir cómo podrían abordar su próximo proyecto y a
mejorar la forma de aplicar esta metodología.
Crítica y revisión
Los estudiantes deben estar abiertos a dar y recibir comentarios constructivos acerca del trabajo propio
y el de sus compañeros, lo que permite mejorar los procesos y productos del proyecto. Idealmente,
tiene que hacerlo según protocolos formales y con el apoyo de rúbricas. Los invitados o expertos
externos también pueden ayudar, brindando un punto de vista auténtico y real. La crítica y revisión del
trabajo propio permite a los alumnos evaluar los resultados de su aprendizaje, fortaleciendo la
evaluación formativa.
Producto público
A diferencia de otras metodologías, en el Aprendizaje Basado en Proyectos la respuesta o solución a la
pregunta o problema se expresa en un "producto", que puede ser un artefacto tangible, multimedial o
digital, una presentación sobre la solución a un problema, un desempeño o evento, entre otras
opciones. Al finalizar el proyecto, los estudiantes tienen que poder presentarlo públicamente; eso
aumenta su motivación, ya que no se reduce a un intercambio privado entre profesor y alumno. Esto
tiene un impacto en el aula y en la cultura escolar, pues ayuda a crear una "comunidad de aprendizaje",
en la cual los estudiantes y los maestros discuten lo que se está aprendiendo, cómo se aprende, cuáles
son los estándares de desempeño aceptables y cómo se puede mejorar el desempeño de los alumnos.
Finalmente, hacer que el trabajo de los alumnos sea público es una forma efectiva de comunicarse con
los pares y los miembros de la comunidad.

¿Qué debo considerar antes de la ejecución de un proyecto?
- Incorporar en la planificación anual de la asignatura una o más experiencias de proyectos,
tomando en cuenta el tiempo semanal de la misma.
- Si la asignatura es de 2 horas a la semana, se recomienda incorporar un proyecto acotado o
abordar toda una unidad de aprendizaje mediante esta metodología.
- Si la asignatura es de 6 horas semanales, se recomienda destinar un tiempo fijo a la semana
(por ejemplo, 2 horas) para el proyecto.
- La planificación anual también debe incorporar la exhibición pública de los proyectos. Se
recomienda que sea una instancia en que se invite a los padres, familias, expertos y otros
miembros de la comunidad (se sugiere solicitar a la dirección del establecimiento que reserve
un día para llevar a cabo la actividad).
- Identificar en los Objetivos de Aprendizaje, tópicos, necesidades o problemas que se pueda
abordar interdisciplinariamente con dos o más asignaturas.
- Si el proyecto involucra a dos o más asignaturas, los profesores deben planificarlo juntos y
solicitar un tiempo adecuado para ello a su jefe técnico o al director.
- Una vez hecha esta planificación e iniciado el año escolar, se debe explicar a los estudiantes en
qué consiste esta metodología, exponerles los tópicos que se identificó en las Bases
Curriculares y pedirles que, a partir de ello, propongan problemas o preguntas que se puede
resolver o responder mediante un proyecto.
- El Aprendizaje Basado en Proyectos requiere de un trabajo grupal y colaborativo. Cada
integrante del grupo debe asumir un rol específico, el cual puede ir rotando durante la
ejecución del proyecto.
¿Cómo se organiza y ejecuta el proyecto?
Para organizar el proyecto, se presenta una ficha con diferentes componentes que ayudarán a
ejecutarlo. A continuación, se explica cada uno de esos componentes.
Resumen del proyecto
Síntesis del tema general, el propósito y el resultado esperado del proyecto.
Nombre del proyecto
Se recomienda incluir un subtítulo que evidencie el tema o el contenido que se trabaja en el proyecto.
Problema central
En esta sección, se expone un párrafo de la pregunta o problema que se quiere resolver por medio del
proyecto. Se recomienda explicar cuál es el tema que se va a resolver y por qué el proyecto puede
hacerlo o desarrollar reflexiones profundas en los alumnos.
Propósito
Se explica el objetivo general y específico del proyecto.
Objetivos de Aprendizaje de Habilidades y Conocimientos
En esta sección, se explica cuáles son los Objetivos de Aprendizaje de la asignatura que se desarrollará
en el proyecto. Se espera que sean interdisciplinarios, por lo que se recomienda incorporar los OA de
las otras asignaturas involucradas.

Tipo de Proyecto Interdisciplinario
Es importante aclarar qué aspectos de las distintas disciplinas se aplicará en el proyecto. Esta sección
busca que el docente exponga y explique tales relaciones de manera que sea más fácil guiar el trabajo
interdisciplinario. Para esto, conviene que se coordine con los profesores de las otras áreas
disciplinares.
Producto
Todo proyecto debe tener como resultado un producto; es decir, algún objeto, aparato, informe,
estudio, ensayo, disertación oral, escrita, visual, audiovisual o multivisual para que los estudiantes
divulguen el trabajo realizado.
Habilidades y actitudes para el siglo XXI
Es importante que el docente resalte que esta metodología pretende que los alumnos desarrollen
habilidades y actitudes del siglo XXI, que son transversales a todas las áreas del currículum. Esto permite
que profesores y alumnos sean conscientes de que ellas van más allá de los conocimientos y habilidades
disciplinares.
Recursos
Se tiene que describir los componentes, insumos de trabajo, bibliografía o elementos fundamentales
para el proyecto.
Etapas
Hay que planificar el proyecto según fases de trabajo, considerando el tiempo destinado al mismo en
la planificación anual.
Cronograma semanal
Es importante planificar el avance del proyecto clase a clase; en una sola se puede desarrollar más de
una etapa, o una etapa puede durar más de una clase. Lo importante es que la planificación sea clara y
ordenada para que profesor y alumnos trabajen de la manera más regular posible, considerando los
avances u obstáculos que puedan encontrar en el desarrollo del proyecto.
Evaluación formativa y sumativa
En esta sección, el docente tiene que especificar con qué criterios se evaluará el proyecto y qué
instrumentos se aplicará, tanto en la dimensión formativa como en la sumativa. Es importante recordar
que la retroalimentación es un componente esencial del proyecto, por lo que profesor debe señalar
cómo llevará a cabo dicho proceso.
Difusión final
Dependiendo del objetivo del proyecto, se sugiere que cuando lo terminen, los alumnos dediquen
algún tiempo para difundirlo a la comunidad escolar.

Proyecto STEM: Selección natural: Entendiendo la evolución a través del juego
Resumen del Proyecto
El proyecto busca que los estudiantes sean capaces de corregir preconceptos erróneos sobre la
selección natural y la teoría de la evolución, como visiones teleológicas, creacionistas, ideas acerca del
desarrollo “progresivo” del ser humano, y pensar que la cooperación y el altruismo no se pueden por el
mecanismo de selección natural. Para corregir los preconceptos errados, se diseña actividades
concretas tipo juego que les permitan cambiar sus preconcepciones de la biología evolucionaria para
comenzar a dar explicaciones más científicas.
Primero, jugarán un juego de Selección Natural de un rasgo físico, el color, y luego otro de un rasgo
conductual, la cooperación. Representarán los resultados de los juegos con gráficos y estadísticas que
les permitirán aplicar habilidades transversales de ciencias y matemática. Finalmente, presentarán los
resultados a la comunidad.
Nombre del Proyecto
SELECCIÓN NATURAL
Entendiendo la evolución a través del juego
Problema central
¿En qué consiste realmente la selección natural dentro del proceso de la evolución de las especies?
La evolución es un tema central en Biología; aunque ha ido ganando preponderancia en la enseñanza,
todavía prevalecen muchas concepciones erradas y la enseñanza no logra solucionar esa deficiencia.
Los sesgos esencialistas pueden distorsionar juicios sobre una amplia gama de fenómenos evolutivos,
como los conceptos de variación, herencia, adaptación, domesticación, especialización y extinción.
Los estudiantes, ya antes de entrar a la escuela, vienen con preconcepciones teleológicas y vitalistas,
que los inducen a concebir una evolución lamarkeana, y les dificulta comprender los mecanismos
ciegos de la selección natural.
Propósito
Se pretende que los alumnos cambien sus preconcepciones de biología sobre evolución para
comenzar a dar explicaciones más científicas, usando selección natural en lugar de explicaciones
teleológicas y creacionistas.
Se espera que, por medio de este proyecto, comprendan y expliquen el mecanismo de selección
natural, en el entendido de que es un sistema ciego y que el azar es central en su funcionamiento.
También se busca que comprendan el rol de la herencia de rasgos (tanto físicos como conductuales),
grafiquen patrones y desarrollen el pensamiento poblacional. Esto se evidencia con la construcción
de explicaciones científicas que empleen correctamente el concepto de evolución.

Objetivos de Aprendizaje de Habilidades
CIENCIAS
OA Habilidades
OA a. Formular preguntas y problemas sobre tópicos
científicos de interés, a partir de la observación de
fenómenos y/o la exploración de diversas fuentes.
OA d. Analizar las relaciones entre las partes de un
sistema en fenómenos y problemas de interés, a partir
de tablas, gráficos, diagramas y modelos.
OA e. Construir, usar y comunicar argumentos
científicos.
OA f. Desarrollar y usar modelos basados en
evidencia, para predecir y explicar mecanismos y
fenómenos naturales.
MATEMÁTICA
OA Conocimiento y comprensión
OA 3. Modelar fenómenos o situaciones cotidianas del
ámbito científico y del ámbito social, que requieran el
cálculo de probabilidades y la aplicación de las
distribuciones binomial y normal.
OA Habilidades
OA e. Construir modelos, realizando conexiones
entre variables para predecir posibles escenarios de
solución a un problema, y tomar decisiones
fundamentadas.
analizando críticamente las simplificaciones requeridas
y considerando las limitaciones de aquellos.
BIOLOGÍA DE LOS ECOSISTEMAS
OA 1. Explicar el estado de la biodiversidad actual a
partir de teorías y evidencias científicas sobre el origen
de la vida, la evolución y la intervención humana.
Preguntas
• ¿Cómo funciona la selección natural?
• ¿Cómo podemos observar y explicar la
teoría evolutiva de Darwin sin observar
a los animales directamente?
• ¿Se puede utilizar la estadística para
comprender la selección natural?
• ¿Hay factores colaborativos en la
evolución de las especies, o la
supervivencia y adaptación se dan sólo
por factores individuales?

Tipo de Proyecto Interdisciplinario STEM
• Matemática
• Biología
Producto
Análisis estadístico del resultado de los juegos acerca de la selección natural tanto del rasgo color
como el de cooperación.
Reporte audiovisual sobre los resultados estadísticos de los juegos y su relación con el concepto de
selección natural.
Pensamiento crítico
Trabajo colaborativo
Comunicación
Recursos
SELECCIÓN NATURAL
• Un pliego de papel color tierra de 3 x 1,5m
• Fichas de color blanco y color tierra de 5 x 5 cm (100 de cada color)
• Bolsas para guardar las fichas que indiquen: Generación I, II y III; si fueron capturadas o no.
• Hojas para confeccionar cuadros estadísticos y gráficos.
Cómic de explicación en http://www.conectastem.cl/conecta/Comics/seleccion-natural/
COOPERACIÓN
• 2 contenedores plásticos de 0,5 x 1.0 m, adaptados con una red y una ventana en la tapa.
• Adornos de Navidad tipo guirnaldas esféricas de distintos tamaños.
• Ganchos elaborados con alambres de dos tipos: gancho simple y gancho doble, de unos 4 cm.
• Bolsas para guardar ganchos y adornos que indiquen Generación I, II y III para organismos muertos
y sobrevivientes.
Cómic de explicación en http://www.conectastem.cl/conecta/Comics/coopera/
Etapas
• Fase 1: Comprensión del problema: ¿en qué consiste la selección natural? Conversar con los
estudiantes sobre la evolución, explicando cómo el factor del azar influye en ella.
• Fase 2: Juego de selección natural
• Fase 3: Análisis estadístico de selección natural

• Fase 4: Comprensión del problema: la evolución, ¿es producto únicamente de la capacidad
individual, o la cooperación y la organización con otros puede facilitar la sobrevivencia?
• Fase 5: Juego de cooperación
• Fase 6: Análisis estadístico de cooperación
• Fase 7: Presentación de resultados a la comunidad
Cronograma semanal
Primera clase (Fases 1, 2 y 3)
• Plantear el problema.
• Guiar a los estudiantes mediante preguntas y actividades de descubrimiento para construir
conocimiento respecto de la selección natural, preguntándoles acerca de sus preconcepciones y
explicando cómo el azar influye en la selección evolutiva.
Ejemplo: Extracto de la serie Cosmos (2017), capítulo 2.
https://www.youtube.com/watch?v=JlkXsG4Jfwg
• Aplicar el juego de la selección natural.
• Elaborar informe y gráficos estadísticos.
Segunda clase (Fases 4, 5 y 6)
• Plantear el problema.
• Guiar a los estudiantes mediante preguntas y actividades de descubrimiento para construir
conocimiento acerca de la cooperación entre los individuos de una especie.
Ejemplo: Revisar documental “Nuestro Planeta” (2019)
• Aplicar juego de la cooperación.
• Elaborar informe y gráficos estadísticos
Tercera clase (Fase 7)
• Presentar resultados aprendidos a la comunidad.
• Se propone analizar el problema del criadero de gallinas ponedoras de huevos y las dos opciones
de selección artificial (gallina que pone más huevos de cada caja se reproduce, todas las gallinas
de la jaula que pone más huevos se reproducen); que los estudiantes predigan cuál opción es
mejor y, luego de conocer los resultados, intenten explicarlos.
Evaluación Formativa
Retroalimentación de cada fase del proceso.
Evaluación Sumativa
Informe de gráficos y estadísticas

Difusión Final
Demostración de las conclusiones frente a la comunidad.
Bibliografía
Araya, R., Bahamondes, M., Contador, G., Dartnell, P. y Aylwin, M. (2013) “Enseñanza de la selección
natural con juego masivo por internet”, en Congreso de Pedagogía 2013, La Habana, Cuba.
“Comic Coopera”, Conecta Stem, http://www.conectastem.cl/conecta/Comics/coopera/
“Comic Selección Natural”, Conecta Stem http://www.conectastem.cl/conecta/Comics/seleccion-
natural/
Muir, W.M. (1995). Group selection for Adaptation to Multiple-Hen Cages: Selection Program and
Direct Responses. En Pultry Sciences 75(4), p. 447-458
Criterios de evaluación
Tanto para las habilidades y actitudes del siglo XXI de Pensamiento creativo e innovación, Pensamiento
crítico y Trabajo colaborativo, como para el Diseño de proyecto y la Presentación del trabajo, referirse
a las rúbricas correspondientes en el Anexo.

Proyecto TP: Usando la estadística para prevenir accidentes de tránsito
Se pretende promover en la comunidad que es necesario realizar las mantenciones preventivas de los
vehículos para evitar accidentes de tránsito por fallas mecánicas. Para esto, los estudiantes harán una
investigación, un análisis estadístico y campañas de sensibilización que fomenten la responsabilidad que
tenemos, como ciudadanos, de mantener adecuadamente nuestros vehículos.
Nombre del Proyecto
Usando la estadística para prevenir accidentes de tránsito
Problema central
¿Estamos conscientes de la cantidad de accidentes de tránsito que se originan por fallas mecánicas?
¿Cómo puedo aportar con mis conocimientos a reducir la cantidad de accidentes en mi comunidad?
Propósito
Crear una campaña de sensibilización sobre los accidentes de tránsito, especialmente los que se
producen por fallas mecánicas o por falta de mantención de un vehículo.
MATEMÁTICA
OA de Conocimiento y comprensión
OA 2. Fundamentar decisiones en situaciones de
incerteza, a partir del análisis crítico de datos
estadísticos y con base en los modelos binomial y
normal.
OA de Habilidad
OAC. Tomar decisiones fundamentadas en
evidencia estadística y/o en la evaluación de
resultados obtenidos a partir de un modelo
probabilístico.
FORMACIÓN TÉCNICO-PROFESIONAL
OAA. Comunicarse oralmente y por escrito con
claridad, utilizando registros de habla y de escritura
pertinentes a la situación laboral y a la relación con
los interlocutores.
Preguntas
• ¿Qué factores mecánicos pueden influir en
que ocurra un accidente de tránsito?
• ¿Cuántos accidentes suceden en nuestro
país debido a fallas mecánicas?
• ¿Qué precauciones puedo tomar para
evitar un accidente por falla mecánica?
• ¿Cómo nos ayuda la estadística a estudiar
estos accidentes?
• ¿Cómo comunicar los resultados del
análisis estadístico para sensibilizar a la
comunidad?

OAH. Manejar tecnologías de la información y
comunicación para obtener y procesar información
pertinente al trabajo, así como para comunicar
resultados, instrucciones e ideas.
ESPECIALIDAD DE MECÁNICA AUTOMOTRIZ
OA 1. Inspeccionar y diagnosticar averías y fallas en
el funcionamiento mecánico, eléctrico o
electrónico de vehículos motorizados,
identificando el o los sistemas y componentes
comprometidos y realizando mediciones y
controles de verificación de distintas magnitudes
mediante instrumentos análogos y digitales, con
referencia a las especificaciones técnicas del
fabricante.
OA 3. Realizar mantenimiento básico de diversos
sistemas de vehículos automotrices livianos,
semipesados y pesados, de acuerdo a las pautas de
mantenimiento del fabricante, de inspección y
diagnóstico de fallas.
• ¿Cómo permite la mecánica automotriz
prevenir los accidentes de tránsito?
• ¿Cómo sensibilizar a la comunidad para ser
agentes activos para prevenir los
accidentes de tránsito?
• Matemática
• Especialidad de Mecánica automotriz
Producto
• Crear una campaña de sensibilización sobre los accidentes de tránsito que se producen por fallas
mecánicas, empleando recursos digitales. Dar a conocer a la comunidad las estadísticas
relacionadas con los accidentes de tránsito producidos por fallas mecánicas.
• Pensamiento creativo e innovación
• Trabajo colaborativo
Recursos
TIC
Bibliografía

Etapas
Fase 1: Análisis del problema:
o Guiados por las preguntas, los estudiantes reflexionan sobre el problema.
o Proponen formas de solucionarlo.
Fase 2: Investigación:
o Organizados en grupos, investigan los accidentes de tránsito ocurridos en nuestro país y sus
causas en la página gubernamental de Conaset (2019 a, b).
o En el laboratorio de computación, filtran la información para confeccionar gráficos y
esquemas que les permitan centrar su análisis en los accidentes originados por fallas
mecánicas.
Fase 3: Relaciones entre parámetros técnicos y el riesgo de accidentes:
o Analizan el Manual de procedimientos e interpretan los resultados para establecer la relación
entre los parámetros que se inspecciona y la probabilidad de aumentar el riesgo de tener
accidentes de tránsito. Eligen algunos factores que se revisa en una Planta de Revisión
Técnica (PRT); entre ellos, la inspección visual, la inspección de luces, la alineación y frenos,
la detección de holguras y la suspensión.
o Elaboran preguntas y dan a conocer la interpretación estadística de los datos analizados. Por
ejemplo: ¿Qué porcentaje de accidentes se produce en Chile por una falla en el sistema de
frenos? ¿Sabías que, en los últimos 10 años, los accidentes de tránsito han aumentado en…?
Fase 4: Elaboración de material multimedia:
o En el taller de la especialidad y apoyados en los instrumentos y herramientas del taller, crean
videos en que explican los puntos de revisión que escogieron y vinculan la falla o deficiencia
en su funcionamiento con un posible accidente de tránsito.
Fase 5: Difusión de los resultados del proyecto:
o Crean un canal de YouTube, perfil de Instagram o Facebook para dar a conocer sus análisis a
la comunidad, y los promueven por redes sociales.
o Informan sobre sus resultados a la comunidad.
Cronograma semanal
Semana 1: Diagnóstico y análisis (Fase 1).
Semana 2: Proceso de investigación (Fase 2).
Semana 3: Interpretación estadística (Fase 3).
Semana 4: Elaboración del material multimedia (Fase 4).
Semana 5: Difusión (Fase 5).

Los jóvenes hacen un seguimiento del avance (físico o digital), que contiene el desarrollo de cada una
de las etapas, para ser retroalimentados a lo largo del proceso.
Elaboran videos para explicar a la comunidad las estadísticas que entrega Conaset sobre las causas
de los accidentes de tránsito; además, explican la importancia de los aspectos que fiscalizan las PRT
y los riesgos de no efectuar las mantenciones preventivas a un vehículo.
Difusión Final
Crean un canal de YouTube, perfil de Instagram o Facebook para dar a conocer sus análisis a la
comunidad, y los promueven por redes sociales.
Participan en una feria científica con una muestra de los gráficos analizados y explican a los visitantes
las fallas mecánicas que pueden causar que un vehículo participe en un accidente de tránsito.
Exponen sus trabajos a otros estudiantes de la comunidad para incentivarlos a ingresar a la
especialidad.
Bibliografía
Conaset. (2019). Estadísticas generales. Comisión Nacional de Seguridad de Tránsito. Recuperado de
https://www.curriculumnacional.cl/link/https://www.conaset.cl/programa/observatorio-
datos-estadistica/biblioteca-observatorio/estadisticas-generales/
MTT. (2015). Manual de procedimientos e interpretación de resultados/Revisiones técnicas clase B.
Ministerio de Transportes y Telecomunicaciones. Disponible en
https://www.curriculumnacional.cl/link/http://www.prt.cl/Documentos/Manual%20de%20Pr
ocedimientos%20e%20Interpretaci%C3%B3n%20de%20Resultados%20B%20v11.pdf

Proyecto TP: ¿De qué depende mejorar las jubilaciones en Chile?
Para comenzar, los estudiantes investigan respecto del problema de la jubilación en Chile. Se los invita
a reflexionar sobre las posibles causas que explican por qué es tan importante comprender el significado
de invertir en fondos de menor o mayor riesgo y su relación con el concepto de rentabilidad y ahorro
previsional voluntario (APV).
Luego, crean un modelo de cálculo de jubilación a mediano y largo plazo que considere variables clave
para mejorar las jubilaciones y validar dicha propuesta con un experto en el área. Este proyecto se
conecta interdisciplinariamente con el uso de tecnologías y de habilidades de diseño para difundir la
propuesta elaborada, de modo que finalmente se realice una feria para presentar los principales
resultados.
Nombre del Proyecto
¿De qué depende mejorar las jubilaciones en Chile?
Problema central
¿Cómo elaborar una proyección de jubilación a mediano y largo plazo que permita identificar las
condiciones para lograr una “mayor” o “menor” jubilación?
Propósito
Este proyecto permite a los jóvenes recopilar e interpretar información, usando tecnología, para
elaborar una proyección de las futuras jubilaciones que podrían tener sus padres y cómo mejorarlas.
MATEMÁTICA
OA 1. Fundamentar decisiones en el ámbito
financiero y económico, personal o comunitario, a
partir de modelos que consideren tasas de interés e
índices económicos.
Preguntas
• ¿En qué medida somos responsables de
nuestras jubilaciones?
• ¿Qué variables se debe considerar para
obtener una mayor o menor jubilación?
• ¿Cómo tomar buenas decisiones para
mejorar nuestras jubilaciones?
• ¿Cuándo debería una persona tener sus
ahorros en un fondo de menor riesgo,

OAL. Tomar decisiones financieras bien informadas y
con proyección a mediano y largo plazo respecto del
ahorro, especialmente del ahorro previsional, de los
seguros, y de los riesgos y oportunidades del
endeudamiento crediticio, así como de la inversión.
ADMINISTRACIÓN, MENCIÓN RECURSOS HUMANOS
OA 2. Calcular remuneraciones y finiquitos,
obligaciones tributarias y previsionales del personal
de una empresa, de acuerdo a los contratos de
trabajo, la legislación vigente y las Normas
Internacionales de Contabilidad (NIC).
CONTABILIDAD
OA 1. Leer y utilizar información contable sobre la
marcha de la empresa, de acuerdo a las normas
internacionales de contabilidad y a la legislación
tributaria vigente.
para mejorar sus expectativas de una
mayor jubilación?
• ¿Cuándo obtiene una jubilación
mayores beneficios al pertenecer a un
fondo con mayor rentabilidad y mayor
riesgo?
• Matemática
• Administración
• Contabilidad
Producto
• Presentación de un modelo de jubilación a mediano y largo plazo.
• Pensamiento crítico
Recursos
TIC
Etapas
Fase 1: Análisis del problema
o Reflexionan a partir de las preguntas.

o Analizan la jubilación de los padres como parte de un caso real.
Fase 2: Investigación
o Reflexionan acerca de medidas que se podría tomar para mejorar las posibles
jubilaciones.
o Investigan para validar las medidas propuestas.
Fase 3: Propuesta para mejorar las jubilaciones
o Construyen una propuesta para mejorar las jubilaciones.
o Validan la propuesta con un experto en el área de la economía.
o Mejoran la propuesta, incluyendo los aportes del experto en economía.
Fase 4: Difusión de la propuesta para mejorar las jubilaciones
Cronograma semanal
• Primera semana: Análisis del problema (Fase 1)
• Segunda semana: Investigación (Fase 2)
• Tercera semana: Elaboración de la propuesta (Fase 3)
• Cuarta semana: Difusión (Fases 4)
Los estudiantes elaboran un informe de avance (físico o digital) que incluye el desarrollo de cada una
de las etapas para ser retroalimentados a lo largo del proceso.
En grupos, entregan un informe con la proyección de las jubilaciones según los datos entregados por
el profesor, y con las posibles medias a tomar para mejorarla.
Difusión Final
Las propuestas de modelamiento de optimización de servicio de reparto se pueden presentar en la
feria de ciencias y/o en ferias vocacionales del establecimiento educativo para motivar a los visitantes
a estudiar la especialidad.
Bibliografía
SP. (2019). Simulador de pensión para asociados a una AFP. Superintendencia de Pensiones.
Disponible en
https://www.curriculumnacional.cl/link/https://www.chileatiende.gob.cl/fichas/35757-simulador-
de-pension-para-afiliados-a-una-afp
Tanto para las Habilidades del siglo XXI de Pensamiento creativo e innovación, Pensamiento crítico y
Trabajo colaborativo, como para el Diseño de proyecto y la Presentación del trabajo, referirse a las
rúbricas correspondientes en el Anexo.

Proyecto TP: Optimizando el servicio de despacho de productos
Para comenzar, los estudiantes investigan respecto del problema de los servicios de reparto. Se los invita
a reflexionar sobre las posibles causas que explican por qué es tan importante optimizar servicios de
reparto y el impacto que produce en los usuarios y profesionales que trabajan en esta área laboral.
Luego, crean un modelo de optimización que considere variables clave para mejorar un servicio de
reparto y aplicarlo en un piloto a menor escala. Se pretende, además, conectar interdisciplinariamente
este proyecto con el uso de tecnologías y de habilidades de diseño para difundir la propuesta elaborada,
de modo que, finalmente, se organice una feria para presentar los principales resultados.
Nombre del Proyecto
OPTIMIZANDO EL SERVICIO DE DESPACHO DE PRODUCTOS
Problema central
Establecer un plan estratégico optimizado para el servicio de reparto de productos.
Propósito
Se pretende que construyan un modelo para optimizar los servicios prestados por una empresa, mediante
la distribución de locales y servicios de entrega de productos, aplicando conocimientos geométricos como
rectas y circunferencias en el plano. El proyecto, podría ser de especial interés para la especialidad de
Administración de Empresas, mención Logística.
MATEMÁTICA
OA 4. Resolver problemas acerca de rectas y
circunferencias en el plano, mediante su
representación analítica, de forma manuscrita y con
uso de herramientas tecnológicas.
OAJ. Emprender iniciativas útiles en los lugares de
trabajo y/o proyectos propios, aplicando principios
básicos de gestión financiera y administración para
generarles viabilidad.
Preguntas
¿Por qué es necesario optimizar los servicios de
reparto?
¿Qué variables debe considerarse para optimizar un
servicio de repartos?
¿Cómo permiten los conocimientos geométricos de
rectas y circunferencias modelar y optimizar
fenómenos de servicio de repartos?
¿Cómo repercute la optimización de un servicio de
reparto en la calidad laboral de los usuarios y los
profesionales de reparto?

ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS
OA 2. Elaborar un programa de actividades
operativas de un departamento o área de una
empresa, de acuerdo a orientaciones de la jefatura
y/o del plan estratégico de gestión, considerando
recursos humanos, insumos, equipamiento,
distribución temporal y proyección de resultados.
OA 3. Hacer seguimiento y elaborar informes del
desarrollo de un programa operativo de un
departamento o área de una empresa, sobre la
base de evidencias, aplicando técnicas apropiadas y
considerando todos los elementos del programa.
Mención LOGÍSTICA
OA 5. Prevenir riesgos de accidentes laborales,
mediante la aplicación de normas básicas de
seguridad en zonas de almacenamiento y
distribución, y el reconocimiento de la rotulación
internacional de sustancias peligrosas.
• Matemática
• Administración de empresas, mención Logística
Producto
• Presentación de un modelo de optimización de servicio de reparto.
• Pensamiento crítico
Recursos
TIC
Software GeoGebra
Google Maps

Etapas
• Fase 1: Análisis del problema.
• Fase 2. Investigación:
o Los alumnos investigan estrategias para determinar la ubicación geográfica de una empresa de
distribución logística.
o Se reúnen en equipos para analizar y comentar la información recopilada y establecen
conclusiones sobre los aspectos relevantes para elegir la ubicación más adecuada.
o Con base en las conclusiones, determinan posibles ubicaciones (en su entorno cercano) para
instalar una sucursal para su empresa de venta de productos con despacho a domicilio.
• Fase 3: Construcción de un modelo de optimización:
o Ubican en el mapa las direcciones seleccionadas por el grupo, apoyados por la herramienta
Google Maps (Google, 2019).
o Toman una captura del mapa para insertarlo en la aplicación GeoGebra (GeoGebra, 2019),
donde dibujan circunferencias concéntricas con centro en cada ubicación del posible local.
o Analizan las circunferencias construidas en todas las ubicaciones para elegir tres locales desde
los cuales se pueda tener un óptimo radio de reparto.
o Utilizando Google Maps, determinan el radio real de reparto que debe tener cada una de las
sucursales (con la herramienta medir distancia).
o En Google Maps, determinan la ubicación geográfica de las intersecciones de las tres
circunferencias,
o Apoyados en Google Maps, determinan la ubicación geográfica de las zonas entre las
intersecciones de las circunferencias, y escogen dos direcciones que se encuentren en cada
zona de intersección.
o En Google Maps, con la herramienta medir distancia, determinan desde cuál de las sucursales
sería más rentable hacer el despacho, utilizando el método “la ruta más corta” y creando nodos
con las intersecciones de las calles apreciadas en el mapa.
• Fase 4: Pilotaje de la propuesta de modelamiento:
o Aplican el piloto.
o Reelaboran la propuesta de modelamiento de optimización en función de los resultados
obtenidos al aplicar el piloto.
o Elaboran el informe.
• Fase 5: Difusión de la propuesta.
Cronograma semanal
• Primera semana: Análisis e investigación (Fases 1 y 2)
• Segunda semana: Construcción de un modelo (Fase 3)
• Tercera semana: Pilotaje del modelamiento (Fase 3)
• Cuarta semana: Difusión (Fase 4)

Los estudiantes elaboran un informe de avance (físico o digital) que incluye el desarrollo de cada una de las
etapas, para ser retroalimentados a lo largo del proceso.
En grupos, exponen el problema y dan un nombre y rubro ficticio a la empresa, para aplicar la solución en
contexto.
Bibliografía
Google. (2019). Google Maps. Disponible en
(https://www.curriculumnacional.cl/link/https://www.google.com/maps/)
GeoGebra. (2019). GeoGebra. Disponible en
(https://www.curriculumnacional.cl/link/https://www.geogebra.org/graphing)
Tanto para las habilidades y actitudes del siglo XXI de Pensamiento creativo e innovación, Pensamiento
crítico y Trabajo colaborativo, como para el Diseño de proyecto y la Presentación del trabajo, referirse
a las rúbricas correspondientes en el Anexo.

Programa de Estudio Matemática 4° Medio Formación General Bibliografía
Bibliografía
Bermejo, M. (1991). Geometría descriptiva aplicada. México: Alfaomega.
Bertoline, G., Wiebe, E., Miller, C. y Mohler, J. (1999). Dibujo en ingeniería y comunicación gráfica.
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Wiggins, G. & McTighe, J. (2005). Understanding by design. Virginia: Association for Supervision and
Curriculum Development.

Programa de Estudio Matemática 4° Medio Formación General Anexos
Anexos

RÚBRICA PARA EL TRABAJO COLABORATIVO

RÚBRICA PARA EL PENSAMIENTO CRÍTICO

RÚBRICA DE PENSAMIENTO CREATIVO E INNOVACIÓN

RÚBRICA DE DISEÑO DEL PROYECTO

RÚBRICA DE PRESENTACIÓN DEL TRABAJO

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