![Puerto La Cruz, 16 de Septiembre del 2015
Explicación del fundamento del método de variación de parámetros (V.P)
Para la ecuación lineal de segundo orden se busca una solución de la forma
𝑦 𝑝 = 𝑢1(𝑥).𝑦1(𝑥) + 𝑢2(𝑥). 𝑦2 (x) (1)
En que 𝑦1y 𝑦2 formen un conjunto fundamental de soluciones, de la forma
homogénea de 𝑎2( 𝑥) 𝑦′′
+ 𝑎1( 𝑥) 𝑦′
+ 𝑎 𝑜( 𝑥) 𝑦 = 𝑔( 𝑥) (2) , aplicamos dos veces la
regla del producto para diferenciar 𝑦 𝑝, y obtenemos
𝑦′ 𝑝 = 𝑢1.𝑦′1 +𝑢′1.𝑦1 + 𝑢2.𝑦′2 + 𝑢′2.𝑦2 (3)
𝑦′′ 𝑝 = 𝑢1.𝑦′′1 +𝑢′1.𝑦′1 +𝑢′′1.𝑦1 +𝑢′1.𝑦′1 + 𝑢2.𝑦′′2+y; 𝑢′2 +𝑢′′2.𝑦2 +𝑢′2.𝑦′2 (4)
Sustituimos (1), las derivadas de arriba en la ecuación () y agrupamos los
términos:
cero cero
𝑦′′ 𝑝+P(x) 𝑦′ 𝑝 + 𝑄( 𝑥) 𝑦 𝑝 = 𝑢1[𝑦′′
1
+ 𝑃𝑦′
1
+ 𝑄𝑦′
1
] + 𝑢2[𝑦′′
2
+ 𝑃𝑦′
2
+ 𝑄𝑦′
2
]
+𝑢′′1.𝑦1+𝑢 𝑖.𝑦𝑖+𝑢′′2 .𝑦2 + 𝑢′2 .𝑦′2+P[𝑢′1.𝑦1 + 𝑢′2.𝑦2]+ 𝑢 𝑖.𝑦𝑖+𝑢′2.𝑦′2
=
𝑑
𝑑𝑥
[𝑢′1.𝑦1]+
𝑑
𝑑𝑥
[𝑢2.𝑦′2]+P[𝑢′1.𝑦1 + 𝑢′2.𝑦2]+yiu+𝑢′2 .𝑦′2
=
𝑑
𝑑𝑥
[𝑢′1.𝑦1 + 𝑢′2.𝑦2] + 𝑃[𝑢′1.𝑦1 + 𝑢′2.𝑦2+ yiu+𝑢′2.𝑦′2 = 𝑓(𝑥) (5)
Dado que buscamos determinar dos funciones desconocidas, 𝑢1y 𝑢2 , es de
esperar que necesitemos dos ecuaciones. Las podemos obtener si establecemos
la hipótesis adicional de que las funciones 𝑢1y 𝑢2 satisfacen 𝑢′1.𝑦1+𝑢′2.𝑦2 = 0. Esta
hipótesis es pertinente porque si pedimos que, la ecuación (5) se reduce a
𝑢′1.𝑦1 + 𝑢′2. 𝑦2 =f(x). Con ello ya tenemos las dos ecuaciones que deseábamos,
aunque sea para determinar las derivadas 𝑢1 y 𝑢2; Aplicamos la regla de Cramer y
la solución del sistema
.𝑦1+𝑢′2.𝑦2 = 0
𝑢′1.𝑦1 + 𝑢′2. 𝑦2 =f(x).](https://image.slidesharecdn.com/asignacionmate4-160117194655/85/Asignacion-mate4-11-320.jpg)
Asignacion mate4
- 1. Universidad de Oriente Núcleo de Anzoátegui Unidad de Cursos Básicos Departamento de Ciencias Matemáticas IV Asignación N°1 Profesor: Cedeño, Humberto Bachilleres: Amorin, Maria P C.I.26.346.571 Sec.02 Djandji, George C.I.26.789.085 Sec.02 Maimoun,Gustavo C.I.25.687.400 Sec.04
- 2. Puerto La Cruz, 17 de Septiembre del 2015 Modelos Matemáticos de Ecuaciones Diferenciales Diseminación de una enfermedad Cuando se analiza la diseminación de una enfermedad contagiosa -la gripe, por ejemplo-, es razonable suponer que la tasa o razón con que se difunde no sólo es proporcional a la cantidad de personas, x(r), que la han contraído en el momento t, sino también a la cantidad de sujetos, y(t), que no han sido expuestos todavía al contagio. Si la tasa es entonces dx/dt, Entonces 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑘𝑥𝑦 Donde k es la acostumbrada constante de proporcionalidad. Si, por ejemplo, se introduce una persona infectada en una población constante de n personas, entonces x y y se relacionan mediante x + y = n + 1. Usamos esta ecuación para eliminar y en la ecuación (8) y obtenemos el modelo 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑘𝑥(𝑛 + 1 − 𝑥) Una condición inicial obvia que acompaña a la ecuación anterior es x(O) = 1. Ley de Newton del enfriamiento Según la ley empírica de Newton acerca del enfriamiento, la rapidez con que se enfría un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la del medio que le rodea, que es la temperatura ambiente. Si T(t) representa la temperatura del objeto en el momento es la temperatura constante del medio que lo t, 𝑇 𝑚 rodea y es la rapidez con que se enfría el objeto, la ley de Newton del enfriamiento se dT/dt traduce en el enunciado matemático 𝑑𝑇 𝑑𝑡 ∞ 𝑇 − 𝑇 𝑚 O sea 𝑑𝑇 𝑑𝑡 = 𝑘(𝑇 − 𝑇 𝑚) En donde k es una constante de proporcionalidad. Como supusimos que el objeto se enfría, se debe cumplir que T > 𝑇 𝑚 en consecuencia, lo lógico es que k < 0.
- 3. Modelo de disolución El problema que ahora abordamos es el análisis de la evolución de una mezcla en un compartimiento (un fluido en el interior de un recipiente, un gas en el interior de una habitación,...) Se supone que en un determinado instante hay Y 0 gramos de una sustancia disuelta en un recipiente que tiene una capacidad de V litros y que a partir de ese instante se introduce en el recipiente un fluido que contiene una concentración de Ce gramos por litro con una velocidad de entrada de este de Ve litros por minuto. Se supone que la mezcla se hace uniforme y sale a Vs litros por minuto. El problema que nos planteamos es determinar la cantidad en gramos de la sustancia que hay en el recipiente en cada instante t. Si y(t) denota a la cantidad de sustancia en el minuto t, entonces el ritmo con el que esta cambia viene dada por la ecuación diferencial lineal de primer orden: Y`(t) = Ve* Ce - Vs y(t) V+ (Ve+Vs) Reacciones químicas En química hay algunas reacciones que se apegan a la siguiente ley empírica: si las moléculas de la sustancia A se descomponen y forman moléculas más pequeñas, es natural suponer que la rapidez con que se lleva a cabo esa descomposición es proporcional a la cantidad de la sustancia A que no ha sufrido la conversión; esto es, si X(r) es la cantidad de la sustancia A que queda en cualquier momento, entonces dxldt = kx, donde k es una constante negativa (porque X es decreciente). Un ejemplo de una reacción química de primer orden es la conversión del cloruro de t-butilo (cloruro de terbutilo) para formar alcohol t- butílico: (CH3)3CCL+ NaOH (CH3)3COH + NaCL La rapidez de la reacción está determinada tan sólo por la concentración del cloruro de terbutilo. Ahora bien, en la reacción: CH3CCL +NaOH CH3OH + NaCL
- 4. Por cada molécula de cloruro de metilo se consume una molécula de hidróxido de sodio para formar una molécula de alcohol metílico y una de cloruro de sodio. En este caso, la razón con que avanza la reacción es proporcional al producto de las concentraciones de CH3CL y NaOH que quedan. Si X representa la cantidad de CH3OH que se forma, y a y b son las cantidades dadas de las dos primeras sustancias, A y B, las cantidades instantáneas que no se han convertido en C son α - X y β - X, respectivamente; por lo tanto, la razón de formación de C está expresada por: dxldt = k (α - X) ( β - X), Donde k es una constante de proporcionalidad. Una reacción cuyo modelo es la ecuación (7) se denomina reacción de segundo orden. Caída libre Supongamos que se arroja una piedra hacia arriba, desde la azotea de un edificio; consideremos que su posición respecto al suelo es s(t). La aceleración de la piedra es la segunda derivada, ds²/dt². Si suponemos que la dirección hacia arriba es positiva, que la masa de la piedra es m y que no hay otra fuerza, además de la de la gravedad (g), actuando sobre la piedra, la segunda ley de Newton establece que: m ds² = -mg o sea -ds² = g (1) dt² dt² Donde g es la aceleración de la gravedad y mg es el peso de la piedra. Se usa el signo menos porque el peso de la piedra es una fuerza que se dirige hacia abajo, opuesta a la dirección positiva. Si la altura del edificio es S0 y la velocidad inicial de la piedra es V0. S queda determinada mediante el problema de valor inicial. ds² = -g S(0)= S0 , S(0)= V0 (2) dt²
- 5. Aunque no hemos estudiado las soluciones de las ecuaciones que hemos formulado, vemos que la ecuación (2) se puede resolver integrando dos veces la constante -g con respecto a t. Las condiciones iniciales determinan las dos constantes de integración. Circuitos en serie En un circuito con el interruptor cerrado, la corriente se representa con i(r) y la carga en el capacitar, cuando el tiempo es t, la corriente 1 se denota con q(t). Las letras L, C y R son constantes denominadas inductancia, capacitancia y resistencia, respectivamente. Según la segunda ley de Kirchhoff, el voltaje E(t) a través de un circuito cerrado debe ser igual a las caídas de voltaje en el mismo. Como la corriente i(t) se relaciona con la carga q(t) en el capacitor mediante i =dqldt, sumamos las caídas de voltaje. Inductor = L di = dq² Resistor = iR= R dq dt dt² dt
- 6. C (a) Resistor: resistencia R: ohms (Ω) caída de voltaje:iR i R i C Capacitor = 1 q C Ahora igualamos la suma al voltaje total para llegar a la ecuación diferencial de segundo orden L dq² + R dq + 1 q = E(t) dt² dt C
- 7. Crecimiento y decaimiento: Uno de los primeros intentos de modelar matemáticamente el crecimiento demográfico humano lo hizo Thomas Malthus economista inglés en 1798. En esencia, la idea del modelo rnalthusiano es la hipótesis de que la tasa de crecimiento de la población de un país crece en forma proporcional a la población total… P(t), de ese país en cualquier momento t. En otras palabras. Mientras más personas haya en el momento t, habrá más en el futuro. En términos matemáticos, esta hipótesis se puede expresar 𝑑𝑃 𝑑𝑡 ∞ P O sea 𝑑𝑃 𝑑𝑡 = kP, (1) Donde k es tura constante de proporcionalidad. A pesar de que este sencillo modelo no tiene en cuenta muchos factores (por ejemplo, inmigración y emigración) que pueden influir en las poblaciones humanas, haciéndolas crecer o disminuir, predijo con mucha exactitud la población de Estados Unidos desde 1790 hasta 1860. La ecuación diferencial (1) aún se utiliza con mucha frecuencia para modelar poblaciones de bacterias y de animales pequeños durante cortos intervalos. El núcleo de un átomo está formado por combinaciones de protones y neutrones. Muchas de esas combinaciones son inestables; esto es los átomos se desintegran o se convienen en átomos de otras sustancias. Se dice que estos núcleos son radiactivos; por ejemplo, con el tiempo. el radio Ra 226, intensamente radiactivo, se transforma en gas radón. Rn 222. También radiactivo. Para modelar el fenómeno de la desintegración radiactiva se supone que la tasa con que los núcleos de una sustancia se desintegran (decaen) es proporcional a la cantidad (con más precisión. El número) de núcleos, A(t), de la sustancia que queda cuando el tiempo es t (o en el momento t): 𝑑𝐴 𝑑𝑡 ∞ A O sea 𝑑𝐴 𝑑𝑡 = kA. (2) Por supuesto que las ecuaciones (1) y (2) son exactamente iguales; la diferencia radica en la interpretación de los símbolos y de las constantes de proporcionalidad. En el caso del crecimiento, como cabe esperar en (1), k> 0, y en el caso de la desintegración en (2), ¡(< 0. El modelo de desintegración 2 también se aplica a sistemas biológicos; por e'e1nlo. La determinación de la “vida media” o “periodo medio” de una medicina. Nos referimos al tiempo que tarda el organismo en eliminar 50% de ella, sea por excreción o metabolismo. Mezclado Al mezclar dos soluciones salinas de distintas concentraciones se da pie a una ecuación diferencial de primer orden… que define la cantidad de sal que contiene
- 8. la mezcla. Supongamos que un tanque mezclador grande contiene 300 galones de agua… en donde se ha disuelto sal. Otra solución de salmuera se bombea al tanque a una tasa de 3 galones por minuto. El contenido se agita perfectamente y es desalojado a la misma tasa (Fig. 1.10). Si la concentración de la solución que entra es 2 libras/galón, hay que formar un modelo de la cantidad de sal en el tanque en cualquier momento. Sea A(t) la cantidad de sal (en libras) en el tanque en cualquier momento. En este caso. La rapidez con que cambia A(r) es la tasa neta: 𝑑𝐴 𝑑𝑡 = ( 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 ) - ( 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 ) = R1 – R2 (11) Ahora bien, la razón R1, con que entra la sal al tanque, en lb/min, es: R1 = (3 𝑔𝑎𝑙/𝑚𝑖𝑛).(2 𝑙𝑏/𝑔𝑎𝑙) = 6 lb/min, Mientras que la razón. R2, con que sale la sal es: R2 = (3 𝑔𝑎𝑙/𝑚𝑖𝑛).( 𝐴 300 𝑙𝑏/𝑔𝑎𝑙) = 𝐴 100 lb/min. Entonces. la ecuación (11) se transforma en: 𝑑𝐴 𝑑𝑡 = 6 - 𝐴 100 (12) Segunda ley de Newton del movimiento: Para establecer un modelo matemático del movimiento de un cuerpo dentro de un campo de fuerzas, con frecuencia se
- 9. comienza con la segunda ley de Newton. Recordemos que en física elemental. La primera ley del movimiento de Newton establece que un cuerpo quedará en reposo o continuará moviéndose con velocidad constante. A menos que sea sometido a una fuerza externa. En los dos casos. Esto equivale a decir que cuando la suma de las fuerzas ΣF=0 sea. La fuerza neta o resultante- que actúan sobre el cuerpo es cero. la aceleración ¿: del cue1po es cero. La segunda ley del movimiento de Newton indica que cuando la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo no es cero. la fuerza neta es proporcional a su aceleración n; con más propiedad. ΣF=ma, donde m es la masa del cuerpo. Caída de los cuerpos y resistencia del aire En ciertas circunstancias un cuerpo que cae de masa m, se encuentra con una resistencia del aire que es proporcional a su velocidad instantánea v en este caso. si consideramos que la dirección positiva es hacia abajo la fuerza neta que actúa sobre la masa es mg - kv, en que el peso. mg, del cuerpo es una fuerza que actúa en dirección positiva y la resistencia del aire en dirección contraria -esto es hacia arriba- o dirección positiva. Ahora bien, como v se relaciona con la aceleración ¿¡ mediante a = dv/dt, la segunda ley de Newton se enuncia como F = ma = m dv/dt. Al igualar la fuerza neta con esta forma de la segunda ley obtenemos una ecuación diferencial de la velocidad del cuerpo en cualquier momento: m 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = mg – kv. (17) En este caso k, es constante de proporcionalidad positiva.
- 10. Universidad de Oriente Núcleo de Anzoátegui Unidad de Cursos Básicos Departamento de Ciencias Matemáticas IV Asignación N°2 Profesor: Cedeño, Humberto Bachilleres: Amorin, Maria P C.I.26.346.571 Sec.02 Djandji, George C.I.26.789.085 Sec.02 Maimoun,Gustavo C.I.25.687.400 Sec.04
- 11. Puerto La Cruz, 16 de Septiembre del 2015 Explicación del fundamento del método de variación de parámetros (V.P) Para la ecuación lineal de segundo orden se busca una solución de la forma 𝑦 𝑝 = 𝑢1(𝑥).𝑦1(𝑥) + 𝑢2(𝑥). 𝑦2 (x) (1) En que 𝑦1y 𝑦2 formen un conjunto fundamental de soluciones, de la forma homogénea de 𝑎2( 𝑥) 𝑦′′ + 𝑎1( 𝑥) 𝑦′ + 𝑎 𝑜( 𝑥) 𝑦 = 𝑔( 𝑥) (2) , aplicamos dos veces la regla del producto para diferenciar 𝑦 𝑝, y obtenemos 𝑦′ 𝑝 = 𝑢1.𝑦′1 +𝑢′1.𝑦1 + 𝑢2.𝑦′2 + 𝑢′2.𝑦2 (3) 𝑦′′ 𝑝 = 𝑢1.𝑦′′1 +𝑢′1.𝑦′1 +𝑢′′1.𝑦1 +𝑢′1.𝑦′1 + 𝑢2.𝑦′′2+y; 𝑢′2 +𝑢′′2.𝑦2 +𝑢′2.𝑦′2 (4) Sustituimos (1), las derivadas de arriba en la ecuación () y agrupamos los términos: cero cero 𝑦′′ 𝑝+P(x) 𝑦′ 𝑝 + 𝑄( 𝑥) 𝑦 𝑝 = 𝑢1[𝑦′′ 1 + 𝑃𝑦′ 1 + 𝑄𝑦′ 1 ] + 𝑢2[𝑦′′ 2 + 𝑃𝑦′ 2 + 𝑄𝑦′ 2 ] +𝑢′′1.𝑦1+𝑢 𝑖.𝑦𝑖+𝑢′′2 .𝑦2 + 𝑢′2 .𝑦′2+P[𝑢′1.𝑦1 + 𝑢′2.𝑦2]+ 𝑢 𝑖.𝑦𝑖+𝑢′2.𝑦′2 = 𝑑 𝑑𝑥 [𝑢′1.𝑦1]+ 𝑑 𝑑𝑥 [𝑢2.𝑦′2]+P[𝑢′1.𝑦1 + 𝑢′2.𝑦2]+yiu+𝑢′2 .𝑦′2 = 𝑑 𝑑𝑥 [𝑢′1.𝑦1 + 𝑢′2.𝑦2] + 𝑃[𝑢′1.𝑦1 + 𝑢′2.𝑦2+ yiu+𝑢′2.𝑦′2 = 𝑓(𝑥) (5) Dado que buscamos determinar dos funciones desconocidas, 𝑢1y 𝑢2 , es de esperar que necesitemos dos ecuaciones. Las podemos obtener si establecemos la hipótesis adicional de que las funciones 𝑢1y 𝑢2 satisfacen 𝑢′1.𝑦1+𝑢′2.𝑦2 = 0. Esta hipótesis es pertinente porque si pedimos que, la ecuación (5) se reduce a 𝑢′1.𝑦1 + 𝑢′2. 𝑦2 =f(x). Con ello ya tenemos las dos ecuaciones que deseábamos, aunque sea para determinar las derivadas 𝑢1 y 𝑢2; Aplicamos la regla de Cramer y la solución del sistema .𝑦1+𝑢′2.𝑦2 = 0 𝑢′1.𝑦1 + 𝑢′2. 𝑦2 =f(x).