Binomial1
- 1. Distribución binomial o de Bernoulli Yanry Márquez C.I 24.790.608 Origen de la distribución binomial La distribución binomial es uno de los primeros ejemplos de las llamadas distribuciones discretas (que solo pueden tomar un número finito, o infinito numerable, de valores). Fue estudiada por Jakob Bernoulli, quien escribió el primer tratado importante sobre probabilidad, “Ars conjectandi” (El arte de pronosticar). Los Bernoulli formaron una de las sagas de matemáticos más importantes de la historia Un experimento sigue el modelo de la distribución binomial o de Bernoulli si: 1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A (éxito) y su contrario . 2. La probabilidad del suceso A es constante, es decir, que no varía de una prueba a otra. Se representa por p. 3. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente. La distribución binomial se suele representar por B(n, p). n es el número de pruebas de que consta el experimento. p es la probabilidad de éxito. La probabilidad de es 1− p, y la representamos por q.
- 2. La función de probabilidad de la distribución binomial, también denominada función de la distribución de Bernoulli, es: n es el número de pruebas. k es el número de éxitos. p es la probabilidad de éxito. q es la probabilidad de fracaso. El número combinatorio :•
- 3. Características de la distribución binomial En cada prueba del experimento solo son posibles dos resultados: éxitos y fracaso. La probabilidad de fracaso también es constante, se representa por q, que es lo mismo a 1-p. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente. La variable aleatoria binomial, x, expresa el numero de éxitos obtenidos en las n pruebas. Por tanto, los valores que pueden tomar x son: 0,1,2,3,4……. N. Media y varianza de la distribución binomial Media: varianza Desviación típica:
- 4. En una oficina de servicio al cliente se atienden 100 personas diarias. Por lo general 20 personas se van sin recibir bien el servicio. Determine la probabilidad de que en una encuesta a 30 clientes 4 no hayan recibido un buen servicio Ninguno haya recibido un buen servicio A lo más 4 personas recibieron un buen servicio Entre 2 y cinco personas A) n=30 k=4 P=20/100=0,2 p(N,K,P)=(30/4) (0,2)4 (1-0,2)30-4 =(30/4) (0,2)4 (0,8)30 =(27405) (0,0016) (0,003022) =0,1325 × 100% = 13,25% La probabilidad de que no hayan recibido un buen servicio es de 13,25% Ejercicio n° 1
- 5. B) n=30 k=0 p=20/100=0,2 p=(N,K.P) P= (30/0) (0,2)0 (1-0,2)3-0 = 1. (1) (0,8)30 = 0,001238 × 100% =12,38% La probabilidad de que Ninguno haya recibido un buen servicio es de 12,38% c) n=30 k=20/100=0,2 p=(x≤4)= p(N,N,P)= (30/4) (0,2)4 (1-0,2)30-4 = 27405 (0,0016) (0,8)26 = 27405 (0,0016) (0,003022) =0,1325 × 100% =13,25% la probabilidad de que A lo más 4 personas recibieron un buen servicio es de 13,25%
- 6. D) n=30 k=2 p=20/100=0,2 p=(N,k,P) = (30/2) (0,2)2 (1-0,2)30-2 = 435 (0,04)) (0,001934) = 0,336516 × 100% =33,65% n=30 n=30 k=1 k=4 p=20/100=0,2 = (30/4) (0,2)4 (1-0,)30-4 P= (N,K,P)= (30/1) (0,2)1 (1-0,2) 30-1 =(27405) (0,0016) (0,003022) = 30 (0,2) (0,001547) =0,1325 × 100% = 0,0092 × 100% =13,25% =9,2% n=30 P(2≤×≤5)=(P×=2)+(P×=3)+(P×=4)+(P×=5) k=5 P(2≤×≤5)= 33,65+ 9,2+ 13,25+17,22 p=20/100=0,2 =73.32 = (30/5) (0,2))5 (1-0,2)25-5 =142506 (0,00032) (0,003777) = 0,1722 × 100% = 17,22% La probabilidad de que este Entre 2 y cinco personas es de 73,32%
- 7. Muchos jefes se dan cuenta de que algunas de las personas que contrataron no son lo que pretenden ser. Detectar personas que solicitan un trabajo y que falsifican la información en su solicitud ha generado un nuevo negocio. Una revista nacional notificó sobre este problema mencionando que una agencia, en un periodo de dos meses, encontró que el 35% de los antecedentes examinados habían sido alterados. Suponga que usted ha contratado la semana pasada 5 nuevos empleados y que la probabilidad de que un empleado haya falsificado la información en su solicitud es 0.45. A)¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las cinco solicitudes haya sido falsificada? B)¿Ninguna de las solicitudes haya sido falsificada? c)¿Las cinco solicitudes hayan sido falsificadas? A) N=5 P(N,K,P)= (N/K) PK(1-P)NK K=1 = (5/1) (0,45)1 (1-0,45))5-1 p=0,45 = 5 (0,45) ( 0,1785) =0,4016 × 100% = 40,16% La probabilidad de que al menos una de las cinco solicitudes haya sido falsificada es de 40.16% Ejercicio n°2
- 8. b) n=5 P(N,K,P)= (N,K) p(1-P) n-k k=0 P(N,K,P)= (5/0) (0,45)0 (1-0,45)5-0 p=0,45 = (5/0) (0,45)0 (0,0503) =0,0503 × 100% = 5,03% La probabilidad de que Ninguna de las solicitudes haya sido falsificada es de 5,03% c) n=5 (n/k) pk (1-p) n-k k=5 = (5/5) (0,45)5 (1-0,45)5-5 p=0,45 = 1 (0,0184) (0,55) =0,01012 × 100% =1,01% La probabilidad de que Las cinco solicitudes hayan sido falsificadas es de 1,01%