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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MANIZALES 1

Bitacora
Docente: Julio César García
Michael Rivas Cordoba
Mateo Cardona Marin
Sebastian Burbano
UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MANIZALES
Sistemas de comunicaciones.

I. A NCHO DE BANDA PARA AM-DSB CON M =0.5 través de circuitos simples. Las estaciones de radio comercia-
les suelen emplear éste método de transmisión que también
En el siguiente sistema de la Figura 1, determinar el consu-
se conoce comúnmente como modulación de amplitud. La
mo de ancho de banda en cada uno de los puntos A,B,C,D,E.
respectiva señal modulada DSB-LC se escribe como:

yAM (t) = x(t) cos ωc t + a cos ωc t
donde a es la constante de desplazamiento

Figura 1. Diagrama modulacion AM-DSB kd = a = 0
La correspondiente DEE(densidad espectral de potencia) se
La señal de entrada se muestra en la Figura 2 y esta su
muestra en la Fig.4 y tiene la forma:
respectiva densidad espectral, la cual nos indica el consumo
de ancho de banda de la señal(Ω). Dado que el punto A
se encuentra ubicado después de un ampliﬁcador y este 1 1
yAM (ω) = X(ω+ωc )+ X(ω−ωc )+πaδ(ω−ωc )+πaδ(ω+ωc )
dispositivo no presenta consumo de ancho de banda, el punto 2 2
A tiene el mismo ancho de banda inicial. Como se observa en la DEE de la Figuraa 4 el ancho
de banda que este modulador consume esta dado por las
frecuencias positivas dado que las frecuencias negativas no se
toman ya que no tiene un sentido físico y no hay un consumo
en ancho de banda para estas. La modulación DSB-LC duplica
el ancho de banda de la señal original. En efecto, si el ancho
de banda de la señal original corresponde a Ω, el ancho de
banda de la señal modulada a transmitir, corresponde a 2Ω,
esto es, el ancho de la banda lateral inferior más el ancho de
la banda lateral superior. Gráﬁcamente se puede determinar
este valor:

Figura 2. Señal moduladora x(t) ω + ωc − ω + ωc = 2ωc
Para el punto C dado que es un canal sin ruido, este canal
no consume ancho de banda y su correspondiente valor es el
que sale de modulador , 2Ω.

Figura 3. Densidad espectral x(t)

Para el punto B el cual se encuentra ubicado después de Figura 4. Densidad espectral señal modulada
un modulador DSB-LC-AM(Double Side Band with Large
Carrier Amplitude Modulation), el cual incluye un termino Para el punto D que corresponde a un demodulador, en este
de portadora adicional que hace posible la demodulación a caso, un detector de la envolvente de una sinusoide, que no


la potencia del mensaje si depende en gran parte de este índice
depende de la fase exacta ni de la frecuencia de ésta (es decir,
de modulación. Para encontrar la influencia de ente factor en
de la portadora). El espectro que resulta del demodulador es:
la potencia de las señales es necesario conocer los valores de
1 1 1 amplitud de la señal portadora y de la señal moduladora.
y(t) cos(ωc t) = X(ω)+ X(ω+2ωc )+ X(ω−2ωc )+πaδ(ω−ωc )+πaδ(ω+ωc )
2 4 4
La DEE del demodulador se encuentra en la Fig.??, gráfi-
camente se determino el consumo de ancho de banda:

ω + ωc − 0 = ω + ωc
Como se había asumido inicialmente ω corresponde a Ω,
entonces el consumo de ancho de banda es 3Ω, siendo este el
consumo de ancho de banda en el punto D. Para recuperar la
señal se puede utilizar un filtro pasa bajas y un amplificador
eliminar el factor de escalamiento.
Figura 6. Coeficiente de modulacion m=1

II. A NCHO DE BLANDA PARA AM-SSB CON M =1
La siguiente grafica representa el diagrama de modulacion
para una señal x(t).
Figura 5. Densidad espectral de la señal modulada

El punto E representa el ancho de bando del punto D (3Ω)
dado que este amplificador no es un dispositivo que consuma
ancho de banda.
Figura 7. Diagrama de modulacion AM-SSB

I-A. Coeficiente de modulacion
La Figura 2 representa la señal moduladora y la Figura
El Coeficiente de modulación es un término utilizado para 3 la densidad espectral de potencia de esta señal. El punto
describir la cantidad de cambio de amplitud (modulación) A representa la salida de un amplificador, dado que este
presente en una forma de una onda de AM. El porcentaje dispositivo no consume ancho de banda, el punto A tiene el
de modulación es simplemente el coeficiente de modulación mismo ancho de banda inicial(Ω).
establecido como un porcentaje. Más específico, el porcentaje El punto B se encuentra después de un modulador de banda
de modulación proporciona el cambio de porcentaje en la lateral única (Single Sideband - SSB), la cual aumenta la
amplitud de la onda de salida cuando está actuando sobre efectividad espectral en dos. Básicamente, la forma directa
la portadora por una señal modulante. Matemáticamente, el de generar una señal SSB consiste en formar inicialmente
coeficiente de modulación es: una señal DSB y, luego, suprimir una de las bandas laterales
Em con un filtro. En la practica, esas operaciones suelen ser
m= complejas; la primera dificultad radica en implementar un filtro
Ec
de banda lateral con la calidad requerida, que debe tener unas
donde m es el coeficiente de modulación, Em es el cambio características de corte bastante pendientes en ωc , tales que
pico en la amplitud del voltaje de la forma de onda de salida rechacen todos las componentes de frecuencia por un lado de
y Ec amplitud pico del voltaje de la portadora no modulada. ωc , pero aceptando todas las otras al lado contrario de ωc .
El índice de modulación también se define como: Los filtros con pendientes de corte en forma de flancos, en
Vm´x − Vm´
a ın
la practica, se reemplazan por dispositivos con características
m= × 100 de corte menos exigente, que implican que las componentes
Vm´x + Vm´
a ın
de frecuencia de la señal, que se encuentran cercanas a cero,
Se puede observarse que el porcentaje de modulación llega sufran distorsiones. Sin embargo se puede demostrar que el
a 100 % cuando Em = Ec .También puede observarse que en siguiente formato de señal modulada corresponde al de la señal
una modulación al 100 %, la mínima amplitud de la envolvente SSB ySSB (t):
es Vm´ = 0. El porcentaje máximo que puede imponerse sin
ın
provocar una distorsión excesiva es del 100 %. En la Fig.?? ySSB (t) = x(t) cos ωc x(t) sin ωc t
ˆ
puede observarse que el porcentaje de modulación llega a
100 %(valor de 1). donde la diferencia representa una señal SSB de banda
Dado que el coeficiente de modulación en AM no influye lateral superior (Upper Sideband -USB),mientras la suma es
en las frecuencias, sino en las amplitudes de la onda, el ancho la de banda lateral inferior (Lower Sideband - LSB). La
de banda no se ve afectado por los valores que este tome, pero respectiva DEE se obtiene como:


1 1 1 ˆ 1 ˆ
ySSB (ω) = X(ω−ωc )+ X(ω+ωc )− X(ω − ωc ) − X(ω + ωc )
2 2 2j 2j
Obteniendo la correspondiente a la señal SSB de banda lateral
superior:

 0 |ω| < ωc
Y (ω) = X(ω + ωc ) ω < −ωc
Figura 10. Coeficiente de modulacion m=1
X(ω − ωc ) ω>ω


Gráficamente la DEE para la modulación de SSB de banda
lateral superior se encuentra en la Figura 8. Se determino el II-A. Coeficiente de modulacion
ancho de banda a partir de esta gráfica: Dado que el coeficiente de modulación en AM no influye
en las frecuencias, sino en las amplitudes de la onda, el ancho
ω + ωc − ω = ωc de banda no se ve afectado por los valores que este tome, pero
la potencia del mensaje si depende en gran parte de este índice
de modulación.

III. A NCHO DE BLANDA PARA FM CON β M =0.5

Figura 8. Densidad espectral señal modulada

Dado que ω fue definido en la señal inicial como Ω el Figura 11. Diagrama de modulacion FM
consumo de ancho de banda en el punto B es Ω. Para el
punto C dado que es un canal sin ruido, este canal no Para la salida en el punto B en el caso de FM, la frecuencia
consume ancho de banda y su correspondiente valor es el instantanea es igual a:
que sale de modulador , Ω. El punto D se encuentra despues
del demodulador de señales SSB que se realiza utilizando ωi (t) = ωc + akf cosωm t = ωc + ∆ωcosωm t
el modelo de detección coherente que implica que la señal Por lo tanto, la fase instantanea se determina como:
modulada ySSB (t) se multiplique por una portadora local. La t
señal demodulada, mediante el principio coherente se define θ(t) = ωi (τ )dτ = ωc t + sin ωm t
como: 0
de lo cual, la señal modulada en frecuencia esta dada por:
jωc t jβsinωm t
ySSB (ω) = (x(t) cos ωc t x(t) sin ωc t) cos((ωc + ωc )t + ϕ0 )
ˆ yF M (t) = A

El espectro de la señal demodulada se encuentra en la Figura la señal exponencial jβsinωm t es una función periódica del
9 de la cual se define el ancho de banda: tiempo con frecuencia fundamental ωm = 2π/T [rad/seg], que
puede representarse usando la serie de Fourier:
ω + ωc − 0 = ωc + ω ∞
jβsinωm t jωc t
= Fk ,
k=−∞

donde:
T /2
1 jβsinωc t −jksinωm t
Fk =
T −T /2

Figura 9. Densidad espectral de la señal modulada Mediante el cambio de variable ξ = ωm t = (2π/T )t, la
expresión anterior es igual a:
Dado que ω se define como Ω inicialmente, el ancho de π
1 j(βsinξ−kξ)
banda en D corresponde a 2Ω. El punto E representa el ancho Fk = dξ.
de bando del punto D (2Ω) dado que este amplificador no 2π −π

es un dispositivo que consuma ancho de banda. La Figura la integral anterior, que es función de los valores de k ∈ ℵ y
10 muestra una envolvente modulada al 50 %(valor de 0.5); β ∈ + , puede evaluarse en forma numerica y se conoce con
el cambio pico en la amplitud de la envolvente es igual a la el nombre de la funcion de Bessel de primera clase, la cual se
mitad de la amplitud de la onda no modulada. denota por Jk (β). El calculo de algunas de estas funciones se


muestran en la Figura 12. En general, se puede demostrar que
la funcion de Bessel de primera clase cumple las siguientes desviacion de F recuencia maxima ∆ω
propiedades: D= =
ancho de banda de x(t) Ω
En terminos del indice de desviacion, la regla de Carson es
igual a:

∆ωF M ≈ Ω(1 + D)
Para el punto C dado que es un canal sin ruido este canal
no consume ancho de banda y su correspondiente valor es el
que sale del modulador cuyo valor es:ω(1 + D). Para la salida
del demodulador requiere de un descriminador o sistema que
produzca una salida proporcional a la desviación de frecuencia
instantánea de la señal de entrada. Tal sistema recibe el nombre
de discriminador de frecuencia, para el cual, cuando la entrada
es una señal modulada de angulo, entonces su salida tendrá la
forma:

Figura 12. Funciones de Besel de primera clase yd (t) = kd f racdφ(t)dt
donde kd es la sensibilidad del discriminador. En el caso
a. Jk (β) ∈ , de FM, la salida del discriminador ideal de frecuencias es
b. Jk (β) = J−k (β) para k par. yd (t) = kd kf x(t). Una aproximacion al discriminador ideal
c. Jk (β) = −J−k (β), para k impar. de frecuencia consiste de un diferenciador ideal seguido de un
∞ 2
d. k=−∞ Jk (β) = 1 detector de envolvente. Si la entrada al diferenciador se tiene
Por lo tanto: la señal, la salida esta dada por:
∞ dφ(t)
jβsinωm t
= Jk (β) jkωm t y = −a(ωc t + sin(ωc t + φ(t)).
dt
k=−∞
de la cual se observa, que la señal xc está modulada, tanto
con lo cual yF M (t)es igual a en amplitud como en frecuencia.La envolvente de y (t) es:
∞
yF M (t) = a jkωc t
Jk (β) jkωm t a(ωc t + dφ(t)/dt),
k=−∞ y la salida del detector de envolvente es entonces propor-
∞ cional a la frecuencia instantánea
=a Jk (β)cos((ωc + kωm )t)
k=−∞ yd (t) = ωi (t).
Por lo tanto el ancho de banda para valores grandes de β Para el punto E dado que es un ampliﬁcador y no consume
se puede aproximar como: ancho de banda y su correspondiente valor es el que sale del
demodulador el cual es:yd (t) = ωi (t).
∆ω
∆ωF M = 2kωm ≈ 2βωm = 2 ωm ≈ 2∆ω.
ωm IV. A NCHO DE BLANDA PARA FM CON β M =3
por lo tanto al reemplazar el valor de β = 0, 5 se tiene que
el ancho de banda es igual a ∆ω,entonces:

∆ωF M = ωm
Asumiendo valores pequeños de β , las unicas funciones de
Figura 13. Diagrama de modulacion FM
Bessel de magnitud considerable son J0 (β) y J1 (β). De aqui
que el ancho de banda en el caso de banda angosta se pueda
Para la salida en el punto B en el caso de FM, la frecuencia
aproximar como ∆ωF M = ωm . Para cualquier valor de β se
instantanea es igual a:
puede aproximar por medio de la Regla de Carson y calcula
el ancho de banda como:
ωi (t) = ωc + akf cosωm t = ωc + ∆ωcosωm t
∆ωF M ≈ ωm (1 + β). Por lo tanto, la fase instantanea se determina como:
t
Para estos casos el indice de modulacion se puede deﬁnir
θ(t) = ωi (τ )dτ = ωc t + ωm t
como: 0


de lo cual, la señal modulada en frecuencia esta dada por: puede aproximar por medio de la Regla de Carson y calcula
el ancho de banda como:
jωc t jβ∗sinωm t
yF M (t) = A
la señal exponencial jβsinωm t es una función periódica del ∆ωF M ≈ 6ωm (1 + β).
tiempo con frecuencia fundamental ωm = 2π/T [rad/seg], que
puede representarse usando la serie de Fourier: Para estos casos el indice de modulacion se puede deﬁnir
como:
∞
jβ∗sinωm t jωc t
= Fk ,
k=−∞ desviacion de F recuencia maxima ∆ω
D= =
donde: ancho de banda de x(t) Ω
T /2
1 jβsinωc t −jksinωm t En terminos del indice de desviacion, la regla de Carson es
Fk =
T −T /2
igual a:

Mediante el cambio de variable ξ = ωm t = (2π/T )t, la
expresión anterior es igual a: ∆ωF M ≈ 6Ω(1 + D)
π
1 j(βsinξ−kξ)
Fk = dξ. y como la expresión esta dado en terminos de la regla de
2π −π Carson por lo tanto podemos decir que D = β entonces
la integral anterior, que es función de los valores de k ∈ ℵ y el ancho de banda es igual a:24ω Para el punto C dado
β ∈ + , puede evaluarse en forma numerica y se conoce con que es un canal sin ruido este canal no consume ancho de
el nombre de la funcion de Bessel de primera clase, la cual se banda y su correspondiente valor es el que sale del modulador
denota por Jk (β). El calculo de algunas de estas funciones se cuyo valor es:6ω(1 + D). Para la salida del demodulador
muestran en la Figura 12. En general, se puede demostrar que requiere de un descriminador o sistema que produzca una
la funcion de Bessel de primera clase cumple las siguientes salida proporcional a la desviación de frecuencia instantánea
propiedades: de la señal de entrada. Tal sistema recibe el nombre de
a. Jk (β) ∈ , discriminador de frecuencia, para el cual, cuando la entrada
b. Jk (β) = J−k (β) para k par. es una señal modulada de angulo, entonces su salida tendrá la
c. Jk (β) = −J−k (β), para k impar. forma:
∞ 2
d. k=−∞ Jk (β) = 1
Por lo tanto: yd (t) = kd f racdφ(t)dt
∞
jβsinωm t
= Jk (β) jkωm t donde kd es la sensibilidad del discriminador. En el caso
k=−∞ de FM, la salida del discriminador ideal de frecuencias es
yd (t) = kd kf x(t). Una aproximacion al discriminador ideal
con lo cual yF M (t)es igual a de frecuencia consiste de un diferenciador ideal seguido de un
∞ detector de envolvente. Si la entrada al diferenciador se tiene
jkωc t jkωm t la señal, la salida esta dada por:
yF M (t) = a Jk (β)
k=−∞
∞ dφ(t)
y = −a(ωc t + sin(ωc t + φ(t)).
=a Jk (β)cos((ωc + kωm )t) dt
k=−∞
de la cual se observa, que la señal xc está modulada, tanto
Por lo tanto el ancho de banda para valores grandes de β
en amplitud como en frecuencia.La envolvente de y (t) es:
se puede aproximar como:
∆ω a(ωc t + dφ(t)/dt),
∆ωF M = 2kωm ≈ 2βωm = 2 ωm ≈ 2∆ω.
ωm
por lo tanto al reemplazar el valor de β = 3 se tiene que el y la salida del detector de envolvente es entonces propor-
ancho de banda es igual a ∆ω,entonces: cional a la frecuencia instantánea

∆ωF M = 6ωm
yd (t) = ωi (t).
Asumiendo valores pequeños de β , las unicas funciones de
Bessel de magnitud considerable son J0 (β) y J1 (β). De aqui Para el punto E dado que es un ampliﬁcador y no consume
que el ancho de banda en el caso de banda angosta se pueda ancho de banda y su correspondiente valor es el que sale del
aproximar como ∆ωF M = 6ωm . Para cualquier valor de β se demodulador el cual esta dado por la expresion: yd (t) = ωi (t).


Figura 14. Diagrama de modulacion AM-DSB

Figura 16. Densidad espectral de la señal

sin afectar la información que se transmitirá. El filtro debe
ser un pasa bandas que permita pasar la información que este
en losa 20KHz y elimine las frecuencias que no estén dentro
de este ancho de banda. La señal modulada con el filtro se
describe como:
Figura 15. Ancho de banda de la señal de entrada
yP B (t) = yAM (t) ∗ h(t)
V. F ILTROS EN SISTEMAS DE COMUNICACIONES yP B (t) = x (t) cosωC t + ax (t) cosωC t ∗ h (t)
El sistema ilustrado en la Fig.14 requiere que la señal
pueda transmitirse por un canal de 20khz de ancho de banda. Al pasar la señal modulada por el filtro se obtiene:
Determine las características del filtro, en los puntos que se
requieran. 1 1
En la figura 15 se muestra la señal de entrada la cual yP B (ω) = ( X(ω+ωc )+ X(ω−ωc )+πaδ(ω−ωc )+πaδ(ω+ωc ))∗h(ω)
2 2
estaba especificada con un valor de ancho de banda definido
en 11.025KHz. Al pasar esta señal por el modulador DSB-
LC-AM se obtiene a la salida el doble del valor de ancho de
El filtro pasa bandas permite el paso de una banda de
banda de la señal de origen de entrada, esto es 22.05KHz.
frecuencias. Es decir este tipo de filtros son selectores
de frecuencia y rechaza aquellas frecuencias superiores e
Ahora se asume la frecuencia de la portadora en 100KHz
inferiores de acuerdo a un valor determinado. Este tipo de
y teniendo como valores de la frecuencia lateral inferior, la
filtros, tienen un voltaje máximo de salida o una ganancia
frecuencia lateral superior y el ancho de banda:
máxima a una frecuencia denominada frecuencia central FC.
LSB = (100 − 11,025) KHza100KHz
La banda de frecuencias entre la superior y la inferior es el
ancho de banda de este tipo de filtros. Para este caso el ancho
LSB = 88,975KHza100KHz
de banda después del filtro es de 20khz.

U SB = 100a (100 + 11,025) KHz

U SB = 100a111,025KHz

B = 111,025KHz − 88,975KHz

B = 22,05KHz

Donde LSB y USB son las frecuencias de la banda lateral
inferior y superior respetivamente. Al pasar la señal por el Figura 17. Filtro pasabandas
modulador se obtiene una señala modelada de la siguiente
manera: En la Figura 17 se encuentra la respuesta en magnitud del
filtro y en la figura 18 se encuentra el valor absoluto de la
1 1
yAM (ω) = X(ω+ωc )+ X(ω−ωc )+πaδ(ω−ωc )+πaδ(ω+ωc )señal modulada filtrada para el caso inicial.
2 2 Después de el canal se encuentra el el detector de envolvente y
Mostrando la densidad espectral de la densidad de la señal el demodulador, estos dos se analizaran como el demodulador
ya modulada como: de la señal AM, el cual recupera y reproduce la información
de la fuente original . La señal recuperada debe contener
Como la señal debe ser transmitida por un canal de las mismas frecuencias que las de la información original, y
20KHz de ancho de banda, primero se debe realizar un filtro tener las mismas características de la amplitud relativa.
pasabandas que suprima los valores no deseados de la señal, La salida del detector abarcará las tres frecuencias de


de envolvente o detector de picos, dado que detecta la forma
de la envolvente de entrada.

la señal AM, el cual recupera y reproduce la información
de la fuente original . La señal recuperada debe contener las
mismas frecuencias que las de la información original, y tener
las mismas características de la amplitud relativa. En la figura
6 se encuentra la forma de onda de la señal modulada en AM
que entra al detector y en la figura 20.

Figura 18. Señal filtrada

entrada(la frecuencia de lado inferior, la portadora y
la frecuencia de lado superior), los armónicos de las
tres frecuencias, y los productos cruzados de todas las
combinaciones posibles de las tres frecuencias y sus
armónicos.

Figura 19. Señal AM

Figura 20. Forma de voltaje de salida

Para este tipo de demoduladores se no coherente, se requiere
que el índice de modulación sea inferior a uno. El circuito
esta compuesto por un diodo que actúa como rectificador
de media onda y un filtro RC que elimina las componentes
de alta frecuencia. Con este detector de envolvente se
recupera la señal inicial. El filtro 2 no tiene funcionamiento
dado que la señal fue recuperada con el detector de envolvente.

Después de el canal se encuentra el el detector de
envolvente y el demodulador, estos dos se analizaran como el
demodulador de la señal AM, el cual recupera y reproduce la
información de la fuente original . La señal recuperada debe
contener las mismas frecuencias que las de la información
original, y tener las mismas características de la amplitud
relativa. En la figura 6 se encuentra la forma de onda de la
señal modulada en AM que entra al detector y en la figura
a7 se muestra la forma de onda del voltaje de salida del
detector de AM sencillo, no coherente, que se llama detector

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