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1. 3. Modelos, señales y sistemas Panorama Modelos en control • El por qué de los modelos matemáticos • Complejidad de modelos • Construcción de modelos Linealización y escalamiento Tipos de modelos Funciones transferencia y diagramas de bloques • Estabilidad • Álgebra de bloques

2. CAUT1 Clase 3 1 Modelos en control El diseño de un sistema de control típicamente requiere un de- licado balance entre limitaciones fundamentales y soluciones de compromiso. Para poder lograr este balance, es necesario tener una comprensión cabal del proceso en cuestión. Esta comprensión usualmente se captura en un modelo ma- temático. Teniendo un modelo, es posible predecir el impacto de distintos diseños posibles sin comprometer al sistema real. En este capítulo vamos a discutir brevemente cómo elegir el nivel adecuado de complejidad de un modelo; linealizar modelos no lineales; obtener experimentalmente modelos elementales.

3. CAUT1 Clase 3 2 En particular, revisaremos algunas propiedades básicas de las funciones transferencias y los diagramas de bloques, dos modelos matemáticos muy comúnmente usados en inge- niería de control. No discutiremos en detalle cómo obtener modelos matemá- ticos en forma analítica. La derivación de modelos matemáti- cos es una disciplina compleja en sí misma, elementos de la cual se estudian, por ejemplo, en Procesos y Máquinas Indus- triales I y II.

4. CAUT1 Clase 3 3 El por qué de los modelos matemáticos en control Recordando el ejemplo de la colada continua, el control del nivel en este proceso sólo tiene tres formas de manipular la válvula: abrirla, cerrarla, o dejarla como está. Sin embargo, hemos visto también que el modo preciso en que estas acciones se llevan a cabo involucran compromisos delicados entre objetivos de diseño contrapuestos, tales como la velocidad de respuesta y la sensibilidad a ruido de me- dición. Para muchos problemas es posible encontrar un controlador adecuado simplemente mediante prueba y error. Sin embargo, en muchos casos el enfoque de prueba y error no es facti- ble, debido a complejidad, eficiencia, costo, o aún seguridad.

5. CAUT1 Clase 3 4 En particular, es imposible mediante prueba y error responder a cuestiones como las siguientes antes de hacer pruebas: Dada una planta y un objetivo deseado de operación, ¿qué controlador puede alcanzarlo? ¿Se puede alcanzar el objetivo propuesto con algún controlador? Dados un controlador y una planta, ¿cómo operarán en lazo cerrado? ¿Por qué un lazo dado opera de la forma que lo hace? ¿Puede mejorarse? ¿Con qué controlador? ¿Cómo cambiaría la operación si se cambiaran los paráme- tros del sistema, o si las perturbaciones fueran mayores, o si fallara algún sensor? Para responder sistemáticamente a estas cuestiones necesi- tamos modelos matemáticos.

6. CAUT1 Clase 3 5 Los modelos matemáticos nos brindan los medios de capturar el comportamiento de un sistema sujeto a condiciones iniciales, entradas de control y perturbaciones mediante un conjun- to de ecuaciones matemáticas. La importancia de los modelos matemáticos radica en que pueden ser simulados en situaciones hipotéticas, ensayados en estados que serían peligrosos en el sistema real, y usados como base para sintetizar controladores.

7. CAUT1 Clase 3 6 Complejidad de modelos Al construir un modelo es importante tener en cuenta que todo proceso real es complejo, por lo que cualquier intento de construir una descripción exacta de la planta es usualmente una meta imposible de alcanzar. Afortunadamente, la realimentación usualmente nos permite tener éxito aún con modelos muy simples, siempre y cuando éstos capturen las características esenciales del problema. Es importante destacar que los modelos empleados para control usualmente difieren de los utilizados, por ejemplo, para diseño del proceso.

8. CAUT1 Clase 3 7 Los sistemas reales pueden ser arbitrariamente complejos, por lo que todo modelo deberá ser necesariamente una des- cripción aproximada del proceso. Introducimos tres definiciones para clarificar este enunciado. Modelo nominal. Es una descripción aproximada de la planta que se usa para el diseño de control. Modelo de calibración. Es una descripción más exhaustiva de la planta. Incluye características no usadas en el diseño de control pero que tienen directa influencia en el desem- peño alcanzado. Error de modelo. Es la diferencia entre el modelo nominal y el modelo de calibración. Los detalles de este error podrían ser desconocidos, pero podrían disponerse de cotas apro- ximadas.

9. CAUT1 Clase 3 8 Construcción de modelos Dos enfoques diferenciados para la construcción de modelos: Experimental. Se basa en pensar al sistema como una caja negra. En este enfoque se postula una determinada estruc- tura de modelo, a la que que se varían los parámetros, bien vía prueba y error, o bien vía algún algoritmo, hasta que la el comportamiento dinámico del modelo se ajusta al obser- vado en la planta mediante ensayos. Analítico. Se basa en el uso de leyes físicas (conservación de masa, energía y momento). El modelo se obtiene a partir de las leyes fenomenológicas básicas que determinan las relaciones entre todas las señales del sistema. En la práctica es común combinar ambos enfoques.

10. CAUT1 Clase 3 9 Ejemplo. Consideremos un tanque cilíndrico de área A que descarga a través de un orificio en el fondo. Los principios físicos indican que el flujo de descarga q2 puede modelarse razonablemente como q2(t) = K p h(t), donde h es el nivel de líquido en el tanque y K una constante a determinar, por ejemplo, usando principios físicos. Figura de Dorf & Bishop (2000). Por ejemplo, se mide h(t) cada T segundos, donde T se elige tal que la variación |h(t) − h(t − T)| sea peque- ña. Así, q̂2(t) ≈ |h(t) − h(t − T)|A/T, y K podría estimarse haciendo una regresión lineal de q̂2(t) sobre p h(t) para distintos valores de t. Vemos en este ejemplo como el modelo final combina conoci- miento físico con mediciones experimentales.

11. CAUT1 Clase 3 10 Los modelos relevantes en control son a menu- do bastante simples en comparación al proceso verdadero, y usualmente combinan razonamiento físico con datos experimentales. Otra consideración de relevancia práctica es la inclusión del actuador en el proceso de modelado. Los actuadores son, en general, bastante alineales, y usualmente tienen su propia di- námica que, a veces, puede hasta dominar otras característi- cas del proceso (como suele pasar con válvulas, actuadores hidráulicos, rectificadores controlados) Asi, de aquí en más, cuando nos refiramos al modelo de la planta, entenderemos que este modelo también incluye los actuadores, cuando sea necesario.

12. CAUT1 Clase 3 11 Linealización Aunque casi todo sistema real tiene características no lineales, muchos sistemas pueden describirse razonablemente por modelos lineales — al menos dentro de ciertos rangos de ope- ración. Como normalmente un sistema de control opera en las cerca- nías de un equilibrio, se hace una linealización alrededor de este equilibrio. El resultado es un modelo lineal, mucho más simple, pero adecuado para el diseño de control. Para un mismo sistema no lineal, la linealización alrededor de distintos puntos de equilibrio dará, en general, distintos modelos linealizados.

13. CAUT1 Clase 3 12 Consideramos la linealización del modelo general en ecuaciones de estado ẋ(t) = f x(t),u(t) y(t) = g x(t),u(t) (1) alrededor de un punto de equilibrio, o punto de operación. Un punto de equilibrio está definido por un triplo de valores constantes (x∗ ,u∗ ,y∗ ) que satisfacen (1), es decir que 0 = f x∗ ,u∗ y∗ = g x∗ ,u∗ . Vamos a considerar la linealización del sistema alrededor de un punto de equilibrio (alternativamente, también podría ser alrededor de una trayectoria).

14. CAUT1 Clase 3 13 Si las funciones f y g son suficientemente regulares, las ecuaciones (1) pueden aproximarse por ẋ(t) ≈ f(x∗ ,u∗ )+ ∂ f ∂x

18. x∗,u∗ ∆x(t)+ ∂ f ∂u

22. x∗,u∗ ∆u(t), y(t) ≈ g(x∗ ,u∗ )+ ∂g ∂x

26. x∗,u∗ ∆x(t)+ ∂g ∂u

30. x∗,u∗ ∆u(t), (2) donde ∆x(t) . = x(t)−x∗ y ∆u(t) . = u(t)−u∗ . Como f(x∗ ,u∗ ) = 0 = ẋ∗ y g(x∗ ,u∗ ) = y∗ , de (2) obtenemos finalmente el sistema (incremental) linealizado ∆ẋ(t) = A∆x+B∆u ∆y = C∆x+D∆u. (3)

31. CAUT1 Clase 3 14 Si las variables x ∈ Rn , u ∈ Rm , y ∈ Rp , entonces A,B,C,D son matrices — las matrices Jacobianas de f y g evaluadas en el punto de operación, es decir, A . = ∂ f ∂x

35. x∗,u∗ ∈ Rn×n , B . = ∂ f ∂u

39. x∗,u∗ ∈ Rn×m , C . = ∂g ∂x

43. x∗,u∗ ∈ Rp×n , D . = ∂g ∂u

47. x∗,u∗ ∈ Rp×m . (4) Si las variables x, u, e y son escalares (o sea, ∈ R), entonces A,B,C y D son también escalares y representan las pendientes de las superficies f y g en el punto de operación.

48. CAUT1 Clase 3 15 Ejemplo: levitador magnético. La figura muestra el esque- ma de un sistema de suspensión magnética, en el que una bola de material ferromagnético de masa m se “levita” mediante un electroimán controlado por fuente de corriente. El movimiento de la bola se puede aproxi- mar por la ecuación diferencial no lineal ÿ(t)−g+ L0a 2m(a+y(t))2 [i(t)]2 = 0, (5) donde g es la aceleración de la gravedad, y(t) es la posición de la bola, e i(t) la corriente de excitación del electroimán. Los parámetros L0 y a son constantes positivas. Deseamos obtener un modelo incremental linealizado alrededor de un punto de equilibrio definido por la corriente i(t) = i∗ .

49. CAUT1 Clase 3 16 Solución: Punto de equilibrio. En el punto de equilibrio inducido por la corriente constante i(t) = i∗ , necesariamente y(t) = constante, es decir, ẏ(t) = 0 = ÿ(t). Así, de (5) obtenemos 0 = L0a 2m(a+y∗)2 [i∗ ]2 −g ⇒ y∗ = r L0a 2mg i∗ −a. Ecuaciones de estado NL. Definiendo las variables de estado x1 . = y, x2 . = ẏ, y la entrada u . = i, obtenemos de (5) las ecuaciones de estado en la forma (1), ẋ1(t) ẋ2(t) =    x2(t) g− L0a 2m(a+x1(t))2 [u(t)]2    = f1(x2(t)) f2(x1(t),u(t)) y(t) = x1(t) = g(x1(t)). (6)

50. CAUT1 Clase 3 17 Jacobianos y modelo linealizado. ∂ f ∂x =   ∂ f1 ∂x1 ∂ f2 ∂x2 ∂ f2 ∂x1 ∂ f2 ∂x2   =    0 1 L0au2 m(a+x1)3 0   , ∂g ∂x = h ∂g ∂x1 ∂g ∂x2 i = 1 0 ∂ f ∂u =   ∂ f1 ∂u ∂ f2 ∂u   =   0 − L0au m(a+x1)2  , ∂g ∂u = 0 Con los valores numéricos L0 = 0,01H, a = 0,05m, m = 0,01kg, g = 9,81m/s2 , y i∗ = 2A, obtenemos y∗ = 0,050963. Con x1 = y∗ y u = i∗ en (4), obtenemos el modelo incremental lineal ∆ẋ = 0 1 194,327 0 ∆x+ 0 −9,81 ∆u ∆y(t) = 1 0 ∆x.

51. CAUT1 Clase 3 18 Escalamiento1 Un factor importante antes de trabajar con un modelo es hacer una buena selección de los factores de escala (unidades) para las variables y el tiempo. Un buen escalamiento hará los cálculos más simples y más precisos y disminuirá enormemente los problemas de simula- ción en computador. 1 Ver §2.6 en Franklin, Powell Emami-Naeini (1991), Control de sistemas dinámicos con retroalimentación. Addison-Wesley Iberoamericana.

52. CAUT1 Clase 3 19 Ejemplo. Volvamos al ejemplo anterior para ilustrar el proce- dimiento en concreto. Las ecuaciones del sistema incremental lineal obtenido pueden escribirse de la forma ∆ẋ1 = ∆x2 ∆ẋ2 = 194,327∆x1 −9,81∆u. (7) Para este sistema tan simple las magnitudes de los paráme- tros no están tan mal, pero aún así es bueno en la práctica tratar de tener constantes entre 0,1 y 100, o entre 0,1 y 10 si es posible, mediante una cuidadosa selección de escala, es decir las unidades en que medir las variables. Definamos las variables normalizadas z1 = ∆x1 x01 , z2 = ∆x2 x02 , v = ∆u u0 , τ = ω0t. (8)

53. CAUT1 Clase 3 20 El escalamiento de tiempo cambia la diferenciación: d∆x dt = d∆x d(τ/ω0) = ω0 d∆x dτ . Este escalamiento en ∆ẋ1 y ∆ẋ2 y el uso de (8) en (7) da (ω0x01) dz1 dτ = x02 z2 (ω0x02) dz2 dτ = (194,327x01)z1 −(9,8u0)v, o sea, dz1 dτ = x02 ω0x01 z2 dz2 dτ = 194,327x01 ω0x02 z1 − 9,8u0 ω0x02 v.

54. CAUT1 Clase 3 21 Si tomamos la posición en cm, resulta x01 = 0,01; la velocidad en dm/s da x02 = 0,1. Así, si elegimos ω0 = 10, tenemos dz1 dτ = z2 dz2 dτ = 1,94327z1 −(9,81u0)v. Finalmente, tomando u0 = 1/9,81 = 0,102, llegamos al sistema normalizado dz1 dτ = z2 dz2 dτ = 1,94327z1 −v, que es un modelo con parámetros bastante mejor escalados que el original. Mucho mejor para manipulación y simulación digital. Cualitativamente, ambos modelos son equivalentes.

55. CAUT1 Clase 3 22 Tipos de modelos Atributo Atributo antagónico Determina si. . . SISO MIMO . . . las ecuaciones del modelo tienen una entrada y una salida. Lineal No lineal . . . las ecuaciones del modelo son lineales en las variables del sistema. Estacionario Inestacionario . . . los parámetros del modelo son constantes. Continuo Discreto . . . las ecuaciones del modelo describen su comportamiento en cada instante de tiempo, o sólo en muestras discretas. Entrada-salida Espacio de estados . . . las ecuaciones dependen sólo de las entradas y las sa- lidas, o también de variables de estado.

56. CAUT1 Clase 3 23 Sistemas lineales, estacionarios, en tiempo continuo Los sistemas que vamos a considerar están descriptos por modelos lineales, estacionarios, en tiempo continuo. Éstos pueden siempre representarse por una ecuación diferencial ordinaria de la forma dn y(t) dtn +an−1 dn−1 y(t) dtn−1 +···+a0y(t) = bm dm u(t) dtm +···+b0u(t). (9)

57. CAUT1 Clase 3 24 Transformada de Laplace Para una señal en tiempo continuo y(t) definida para t ∈ [0,∞), se define la transformada de Laplace L {y(t)} = Y(s) = Z ∞ 0− e−sτ y(τ)dτ. Una propiedad muy útil de la transformada de Laplace es la de la transformada de la derivada de una función, L {ẏ(t)} = sY(s)−y(0− ).

58. CAUT1 Clase 3 25 Funciones transferencia Asumiendo condiciones iniciales nulas — y(0− ) = 0,ẏ(0− ) = 0,...) — si aplicamos la transformada de Laplace a la ecua- ción diferencial (9) la convertimos en la algebraica sn Y(s)+an−1sn−1 Y(s)+···+a0Y(s) = bmsm U(s)+···+b0U(s), que puede expresarse alternativamente como Y(s) = G(s)U(s), donde G(s) = N(s) D(s) , y donde N(s) = bmsm +bm−1sm−1 +···+b0, D(s) = sn +an−1sn−1 +···+a0. La función G(s) es la función transferencia del sistema. Es un modelo entrada-salida.

59. CAUT1 Clase 3 26 Algunas definiciones pertinentes a funciones transferencia: Ceros del sistema: son las raíces de N(s) = 0. Polos del sistema: son las raíces de D(s) = 0. Grado relativo: es la diferencia en grados n−m entre nume- rador y denominador. Función transferencia propia: si m ≤ n. Función transferencia estrictamente propia: si m n. Función transferencia bipropia: si m = n. Función transferencia impropia: si m n.

60. CAUT1 Clase 3 27 Función transferencia y ecuaciones de estado Dadas las ecuaciones de estado ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t) y(t) = Cx(t)+Du(t), (10) si les aplicamos L {◦} obtenemos las ecuaciones algebraicas sX(s)−x(0− ) = AX(s)+BU(s) Y(s) = CX(s)+DU(s), de donde X(s) = (sI −A)−1 x(0− )+(sI −A)−1 BU(s) Y(s) = [C(sI −A)−1 B+D]U(s)+C(sI −A)−1 x(0− ). Así, G(s) = C(sI −A)−1 B+D es la función transferencia del sistema (10).

61. CAUT1 Clase 3 28 Función de transferencia de sistemas con retardo En general, vamos a considerar funciones transferencia racio- nales y propias, que corresponden a sistemas lineales, estacionarios y de dimensión finita (orden finito). Una excepción de gran importancia en la práctica es el caso de sistemas con retardo entre entrada y salida. Estrictamen- te, estos sistemas tienen dimensión infinita. Sin embargo, su representación mediante función transferencia es aún tratable, aunque deja de ser racional. La función transferencia de un retardo de T segundos es de la forma G(s) = e−sT ⇔ y(t) = u(t −T).

62. CAUT1 Clase 3 29 Ejemplo: Sistema intercambiador de calor. Un ejemplo simple de un sistema con retardo es el intercambiador de calor de la figura. La función tranferencia entre la entrada (ten- sión aplicada al elemen- to calefactor) y la salida (temperatura sensa- da) es aproximadamen- te de la forma G(s) = Ke−sT (τs+1) . Notar que K,T y τ dependen de la velocidad del ventilador, que puede ser variable. Aunque muy simple, este tipo de modelo es muy común en aplicaciones de control de procesos.

63. CAUT1 Clase 3 30 Estabilidad de funciones transferencia Estabilidad entrada-salida. 2 Decimos que un sistema es estable entrada-salida, o BIBO estable, si toda entrada acotada produce una salida acotada. Teorema. [Estabilidad entrada-salida] Un sistema lineal, estacionario y de tiempo continuo es estable entrada-salida si todos los polos de su función transferencia tienen parte real negativa. Estabilidad Inestabilidad 0 σ jω Región de estabilidad entrada- salida para los polos de G(s). 2 También Estabilidad BIBO, del inglés Bounded-Input Bounded-Output, (entrada acotada/salida acotada).

64. CAUT1 Clase 3 31 Desafío: Asumiendo una función transferencia racional y propia, demostrar el Teorema. Ayuda: 1. Mostrar que si todos los polos de G(s) tienen parte real negativa, entonces la antitransformada g(t) (respuesta al im- pulso del sistema) es absolutamente integrable, es decir, Z ∞ 0 |g(τ)| dτ M; para alguna M 0. 2. Mostrar que si g(t) es absolutamente integrable, entonces para toda entrada acotada u(t) la salida y(t) = L −1 {G(s)U(s)} = Z t 0 g(t −τ)u(τ)dτ = Z t 0 g(τ)u(t −τ)dτ es acotada — o sea, el sistema es estable entrada-salida.

65. CAUT1 Clase 3 32 Diagramas de bloques Capturan la esencia del sistema en un formalismo gráfico abs- tracto de simple manipulación. Representan el flujo y proce- samiento de las señales dentro del sistema. Figura del curso ME155A, Prof. Åström, UCSB 2001. Los diagramas de bloques permiten ver la similaridad esencial entre distintos tipos de sistemas (independizan del dominio físico). Otro formalismo gráfico con esta propiedad son los diagramas de enlaces (bond graphs).

66. CAUT1 Clase 3 33 Álgebra de bloques Ejemplo de Dorf Bishop (2000)

67. CAUT1 Clase 3 34 Resumen Para poder diseñar en forma sistemática un controlador para un sistema es necesario disponer de una descripción formal — aunque posiblemente simple — del mismo. Esta descripción es el modelo matemático del sistema. Los modelos matemáticos pueden obtenerse en forma experimental o analítica, y en general, en la práctica, mediante una combinación de ambos métodos. En general, los modelos matemáticos involucran un con- junto de ecuaciones diferenciales no lineales. En muchos casos, estas ecuaciones pueden linearizarse alrededor de un punto de operación, con lo que se obtiene un modelo incremental lineal mucho más tratable.

68. CAUT1 Clase 3 35 La elección de unidades adecuadas (escalamiento) de las variables y el tiempo permite mejorar los modelos desde el punto de vista computacional. Las funciones transferencia describen las propiedades entrada-salida de los sistemas en forma algebraica en el dominio Laplace. Una función transferencia es estable entrada-salida (entrada acotada/salida acotada) si todos sus polos tienen parte real negativa.

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