![1.1 Introducción. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 12
Sin embargo, hay casos en los que esta ecuación no tiene solución (no hay lugar geométrico) o el conjunto
solución es una “cónica degenerada”: Un punto o una o dos rectas.
Usando la teoría de formas cuadráticas podemos obtener un criterio para clasificar las cónicas a partir de su
ecuación general.
Si ∆ = 4ACF − AE2 − B2F + BDE − CD2, tenemos el siguiente resultado.
Teorema 1.1
Consideremos la cónica de ecuación A x2 + B xy + Cy2 + D x + Ey + F = 0, entonces:
a.) Si B2 − 4AC = 0 y ∆ 6= 0, tenemos una parábola.
b.) Si B2 − 4AC < 0 y ∆ 6= 0, tenemos una elipse.
c.) Si B2 − 4AC > 0 y ∆ 6= 0, tenemos una hipérbola.
En coordenadas rectangulares, una hipérbola tiene ecuación
A x2
+ B xy + Cy2
+ D x + Ey + F = 0.
con B2 − 4AC > 0 y ∆ 6= 0.
Si B 6= 0, el “eje focal” no es paralelo a los ejes X ni Y y la cónica presenta una rotación respecto a estos ejes.
Esta rotación se puede “eliminar” haciendo un cambio de variable.
Por ejemplo, si la cónica presenta una rotación de ángulo θ respecto al eje X, entonces el cambio de variable
puede ser x = x0 cosθ − y0 senθ y y = x0 senθ + y0 cosθ. De esta manera la cónica aparecerá sin rotación en el
sistema X0Y0 .
Si B = 0, el “eje focal” es paralelo al eje X o es paralelo al eje Y. En este caso decimos que la cónica está en
“posición estándar” y podemos simplificar la ecuación de la hipérbola de tal manera que podamos ver mucha
información con solo inspeccionar la ecuación.
1.1 Introducción.
Además de la rectas, los círculos, los planos y las esferas; los griegos se interesaron por las curvas obtenidas
como secciones de un cono (parábolas, elipses e hipérbolas). No es totalmente claro el por qué del interés en
estas curvas ([17], [14]).](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-12-320.jpg)
![1.1 Introducción. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 13
Las referencias que están disponibles parecen relacionar
las cónicas con el problema de duplicación del cubo (pro-
blema de Delos): Dado un cubo de lados de medida s y
por tanto de volumen s3, encontrar un cubo de lados de
medida x y volumen 2s3. Hay que entender que solo se
podía usar las condiciones auto-impuestas en la época: Las
construcciones debían hacerse solo con regla (sin marcas) y
compás. Hipócrates redujo el pro-blema a un problema de
proporciones,
s : x = x : y = y : 2s (1.1)
De aquí se deduce que los valores x,y deben estar en la
parábola x2 = sy y en la hipérbola xy = 2s2. La solución
se obtiene como la intersección de estas curvas, x = 3
√
2s
que es un número que no se puede construir con regla
y compás (como se demostró un 2000 años después). En
la época griega, estas curvas aparecen como relaciones
geométricas.
Figura 1.1: Derivación de la ecuación de la
parábola según Apolonio de Perga ([14]).
Menecmo (320 a. C.) parece ser el primero en encontrar estas curvas, en sus esfuerzos por resolver el problema
de Delos de manera geométrica. No es claro como pudo llegar a estas curvas (aunque hay varias conjeturas).
Es probable que fuera de una manera similar a la manera en la que Apolonio de Perga (262 a.C.) las deduce
en sus libros.
En el siglo III a.C., Apolonio estudia las cónicas como una sección de un cono circular y caracteriza los puntos
de la cónica según sus distancias a dos líneas y deduce una gran cantidad de propiedades geométricas a partir
de su caracterización, todo en términos geométricos, sin notación algebraica (la manipulación de las cónicas es
esencialmente algebraica, disfrazada en forma geométrica). Sus tratados sobre cónicas fueron una joya de las
matemática antigua.
Pappus de Alejandría (a.C.290 - a. C.350) publicó una obra en la que se resume los conocimientos matemáticos
de su época, recogiendo fragmentos, a veces íntegros, de las obras que constituían los fundamentos de la
enseñanza de las matemáticas en la ciudad de Alejandría, hoy en gran parte perdidas. En lo que respecta a
cónicas, su contribución más importante fue la introducción de los conceptos de foco, directriz y excentricidad
de una cónica con lo que se puede dar una definición equivalente en términos de la proporción entre la
distancia de los puntos de la cónica a un foco y la distancia a una directriz; esta proporción es constante y se
denota con e y se le llama excentricidad de la cónica.](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-13-320.jpg)
![1.1 Introducción. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 14
Figura 1.2: Definición de una cónica usando foco, directriz y excentricidad.
Después de Pappus pasaron doce siglos en el que hubo una total pérdida de interés por las cónicas (desde
los tiempos de Pappus hasta el siglo XVII). Luego vino un renovado interés en una época en que se tenían
nuevos métodos (los de Desargues y los de al geometría analítica) y las necesidades de la nueva astronomía,
por ejemplo.
Para los pioneros de la ciencia moderna (Galileo, Kepler, Huygens y Newton), los estudios de Apolonio sobre
la parábola, hipérbola y la elipse fueron el punto de partida para su exploración de las leyes de la naturaleza.
Con la introducción de la geometría analítica (geometría con coordenadas más la posibilidad de manipular
y resolver ecuaciones algebraicas), las curvas planas se podían definir por una ecuación de dos variables. J.
Wallis fue el primero en probar de manera clara, en 1655, que la ecuación
Ax2
+ Bxy + Cy2
+ Dx + Ey + F = 0
es la representación algebraica de las cónicas. Según los coeficientes A,B,C,D,E y F, hay curvas de diversa
naturaleza. Por ejemplo, x2 + y2 = 0 la satisface solo el punto (x,y) = (0,0) mientras que x2 + y2 + 1 = 0 no
tiene solución. Si la ecuación factoriza como (A1x + B1y + C1)(A2x + B2y + C2) = 0 tendríamos un par de
rectas, es decir, los puntos que están sobre las rectas de ecuación A1x + B1y + C1 = 0 o A2x + B2y + C1 = 0
satisfacen el caso reducible. Fuera de estos ‘casos degenerados’ y del caso reducible, queda el caso irreducible
que corresponde a las parábolas, elipses e hipérbolas.
En este capítulo se introducen las cónicas como lugares geométricos1 y luego se pasa a la versión analíti-
ca. En la primera parte solo consideramos cónicas con eje focal paralelo a los ejes coordenados, es decir,
cónicas de ecuación Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0. En la segunda parte se considera la ecuación general
Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 que, en el caso no degenerado, corresponde a cónicas con rotación. Ha-
ciendo un cambio de variable, se “elimina la rotación” y volvemos al caso estándar en un nuevo sistema de ejes.
1Las definiciones que se presentan son equivalentes a la definición original de las “cónicas” como una sección de un cono. Una
demostración elegante de esta equivalencia fue presentada en 1822 por el matemático belga G.P. Dandelin. Aunque es sencilla, en este
texto no se incluye la demostración. Se puede consultar [11].](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-14-320.jpg)
![2.2 Funciones escalares de dos variables (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 52
Dominio y su representación gráfica.
Como en funciones de una variable, el dominio máximo de f es el conjunto de puntos (x,y) ∈ R2 tal que
z = f (x,y) este bien definida.
Representación gráfica de regiones definidas por desigualdades. En general, cualquier combinación de
ecuaciones y desigualdades pueden definir una región, de manera implícita. En Esta sección se introduce casos
sencillos. Una exposición más completa sobre representación de dominios la puede ver en el apéndice 8.3
Desigualdades del tipo y ≥ f (x) o y ≤ f (x) en un intervalo [a,b].
La representación gráfica de la curva y = f (x) consiste de la representación de los pares (x,y) con
y = f (x). Los puntos (x,y) con y ≥ f (x) conforman una región por encima de la representación gráfica
de f (incluyendo esta representación) y, de manera análoga, los puntos (x,y) con y ≤ f (x) conforman
una región por debajo de la representación gráfica de f (incluyendo esta representación.)
Ver con CFDPlayer Requiere FreeCDF Player
Desigualdades del tipo y f (x) o y f (x) en un intervalo [a,b]. Este caso es similar al anterior, como la
desigualdad es estricta, no incluye la curva y = f (x).
Desigualdades del tipo x ≥ g(y) o x ≤ g(y) en un intervalo [a,b].
La representación gráfica de la curva x = g(x) consiste de la representación de los pares (x,y) con
x = g(x). Los puntos (x,y) con y ≥ g(x) conforman una región a la derecha de la representación gráfica](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-52-320.jpg)
![2.3 Superficies en R3 (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 57
Ejemplo 2.10
Consideremos la función f (x,y) = 3 − (x − 2)2 −
(y − 2)2. Su dominio máximo es R2. Frecuentemente
hacemos la representación gráfica de f sobre un
dominio restringido, por ejemplo sobre el conjunto
D = [1, 3] × [1, 3],
Z
X
Figura 2.11: f restringida a D = [1, 3] × [1, 3]
Ejercicios
4
2.1 Considere la función f (x,y) =
p
(x − 4)2 + y2 − 1
xy
. Indique el dominio máximo de f y realice la
representación gráfica.
2.2 Considere la función f (x,y) =
p
(y + 1)2 − x − 1
log(x − y)
. Indique el dominio máximo de f y realice la
representación gráfica.
2.3 Considere la función f (x,y) =
3y − 6x + 3
ln(1 − x) + 1
. Indique el dominio máximo de f y realice la
representación gráfica.
2.4 Considere la función f (x,y) =
q
1 − x2 − y2
4
x − y
+
√
x − y. Indique el dominio máximo de f y realice
la representación gráfica.
2.3 Superficies en R3
Nos interesan las superficies de ecuación z = f (x,y), es decir, las superficies formadas por los puntos (x,y,z)
que satisfacen la ecuación z = f (x,y) o también en la forma F(x,y,z) = 0.
A veces decimos “superficie de ecuación (explícita) z = f (x,y)” o “superficie de ecuación (implícita)
F(x,y,z) = 0”. Como sugiere el ejemplo 2.2, un bosquejo de una superficie se puede hacer con un conjunto](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-57-320.jpg)
![2.3 Superficies en R3 (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 59
Ejemplo 2.11
En el espacio tridimensional, una circunferencia en el plano XY, de radio a y centrada en el origen se
puede describir de varias maneras, por ejemplo,
. Ecuación cartesiana: x2 + y2 = a2; z = 0.
. Una ecuación paramétrica:
r(t) = acost ı̂ + asent ̂ + 0 · k̂; t ∈ [0,2π].
X
Y
Curvas en los planos XY, XZ y YZ. En general, “F(x,y) = 0; z = 0” es la ecuación de una curva en el plano
XY. De manera análoga, “F(x,z) = 0; y = 0” corresponde a una curva en el plano XZ y “F(y,z) = 0; x = 0”
corresponde a una curva en el plano YZ.
Ejemplo 2.12
Realizar la representación gráfica, en el espacio, de la curva C1 : x + y = 3; z = 0
Solución:
. La curva C : x + y = 3; z = 0, corresponde a una recta en el plano XY. Interseca al eje X en
x = 3 y al eje Y en y = 3.
. Una parametrización es x(t) = t, y(t) = 3 − t y z(t) = 0, es decir, C : r(t) = t ı̂ + (3 − t) ̂ + 0 · k̂; t ∈
R
X
Y
- 1 1 2 3
- 1
1
2
3
Figura 2.12: Recta x + y = 3 en el plano XY
X
Y
Figura 2.13: Recta x + y = 3 en el espacio tridimendional](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-59-320.jpg)
![2.3 Superficies en R3 (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 60
Ejemplo 2.13
Realizar la representación gráfica, en el espacio, de la curva C : (x − 2)2 + (z − 2)2 = 1; y = 0.
Solución:
. La curva C : (x − 2)2 + (z − 2)2 = 1; y = 0 corresponde a una circunferencia de radio 1 en el
plano XZ. Su centro es (2,0,2).
. Una parametrización es
C : r(t) = (2 + cost) ı̂ + 0 · ̂ + (2 + sent) k̂; t ∈ [0,2π]
X
Z
Ejemplo 2.14
Realizar la representación gráfica, en el espacio, de la curva C3 : z = 2 − y2; x = 0.
Solución:
. La curva C3 es la parábola : y2 = −(z − 2) (cóncava hacia abajo) en el plano YZ. El vértice es
(0,0,2) e interseca al eje X en x =
√
2 y x = −
√
2.
. Una parametrización es C : r(t) = 0 · ı̂ + t ̂ + (2 − t2) k̂; t ∈ R](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-60-320.jpg)
![2.3 Superficies en R3 (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 67
Ejemplo 2.23
El cilindro de ecuación z = 2 − x2 es una superficie
cilíndrica generada por la parábola z = 2 − x2,y = 0; con
línea generatriz paralela al eje Y.
Para obtener una parametrización de esta superficie,
usamos la ecuación de la curva en el plano XZ, toma-
nos x = t y z = 2 − t2. La coordenada y = s es libre.
r(t,s) = (t, s, 2 − t2), t,s ∈ R.
X
Y
Z
2
Ejemplo 2.24
Dibujar el cilindro de ecuación
(x − 4)2
4
+
(y − 3)2
16
= 1.
Solución: La superficie cilíndrica generada por la elipse de ecuación
(x − 4)2
4
+
(y − 3)2
16
= 1
tiene su línea generatriz paralela al eje Z.
Una parametrización de esta superficie es
r(t,s) = (4 + 2cost, 3 + 4sent, s), t ∈ [0,2π], s ∈ R.
Aquí tomamos x(t) = 4 + 2cost y y(t) = 3 + 4sent. z = s es libre.
X
Y](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-67-320.jpg)
![2.4 Superficies cuadráticas. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 68
Ejemplo 2.25
Dibujar el cilindro de ecuación (y − 2)2 + (z − 2)2 = 4.
Solución: La superficie cilíndrica generada por la circunferencia (y − 2)2 + (z − 2)2 = 4
tiene su línea generatriz paralela al eje X. Una parametrización de esta superficie es
r(t,s) = (2 + 2cost, s, 2 + 2sent), t ∈ [0,2π], s ∈ R. La circunferencia en el plano XZ se para-
metriza con x = 2 + 2cost y z = 2 + 2sent. y = s es libre.
X
Y
Z
1
2
1
2
3
1
2
2.4 Superficies cuadráticas.
Rotar una cónica (no degenerada) alrededor de su eje focal, por ejemplo, produce un caso especial de un
conjunto más general de superficie llamadas superficies de segundo orden. Estas superficies satisfacen una
ecuación de segundo grado en x, y y z y también son llamadas superficies cuadráticas o cuádricas [16].
La curva de intersección entre un plano y una superficie cuadrática es una cónica. Hay 17 tipos estándar de
cuádricas, algunas de ellas son: paraboloide, esfera, esferoide, elipsoide, cono, hiperboloide, cilindro, cono
elíptico, cilindro elíptico, hiperboloide elíptico, paraboloide elíptico, etc.
Aquí solo consideramos cuádricas en posición estándar (sin rotación). Estas superficies tienen ecuación
Ax2
+ By2
+ Cz2
+ Dx + Ey + Fz + G = 0.
Curvas de nivel y trazas.
Si S es una superficie en el espacio de ecuación F(x,y,z) = 0, todos los pares (x,y) ∈ R2 que satisfacen la
ecuación F(x,y,c) = 0 definen una curva en el plano XY (siempre y cuando este conjunto no sea vacío). A
esta curva se le llama una curva de nivel de la superficie. Geométricamente corresponden a la proyección sobre
le plano XY, de el corte del plano z = c con la superficie S.
También nos interesa dibujar la curva como una curva en el espacio. Por abuso del lenguaje se dice “la curva
de nivel z = c” para indicar la curva de nivel “F(x,y,c) = 0; z = 0”. A las curvas “F(x,y,c) = 0; z = c” (si](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-68-320.jpg)
![2.5 Sólidos simples (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 80
2.10 Considere la superficie de ecuación S : 4 − z = x2 + (y − 2)2 + z. Dibuje por separado las curvas de
corte de S con los planos x = 0, z = 3 y z = 0. Y luego dibuje S.
2.5 Sólidos simples
Los sólidos simples se describen por medio de su frontera, es decir, se describen por las superficies que lo
limitan. Un sólido simple es un conjunto compacto limitado por una o varias superficies orientables (de dos
caras), sin hoyos, con borde y sin traslapes; en el interior del sólido no hay superficies ni ‘burbujas’ (la frontera
del sólido es tal que divide el espacio en dos partes).
Visualizando curvas de intersección entre superficies
Para realizar dibujos ‘a mano’ es esencial visualizar las curvas de intersección entre superficies. En general,
si dos superficies se cortan en una o varias curvas, una manera de bosquejar estas curvas es buscar algunos
puntos de contacto. En los casos más sencillos, estos puntos los podemos localizar en los planos XY, XZ o
YZ. En los ejemplos que siguen, estos “puntos-guía” se señalan con un punto rojo.
Ejemplo 2.38
Consideremos la curva C de intersección de la superficie S1 : z = 1 − x2 y el plano S2 : y = 3, en el
primer octante.
Para dibujar esta curva, calculamos “dos puntos guía” para trazar la curva. Los puntos guía están en
rojo en la figura. Son el punto de interseción entre las rectas z = 1 y y = 3 en el plano YZ y el punto de
interseción entre las rectas z = 1 y y = 3 en el plano XY. La curva que queremos dibujar inicia en uno
de estos puntos y termina en el otro.
Para obtener una parametrización de esta curva C, podemos tomar a x = t como paramétro,
C : r(t) = (t, 3, 1 − t2) con t ∈ [0,1].
Plano y = 3 Superficie S1 : z = 1 − x2 Curva de intersección.
X
Y
Z
3
X
Y
Z
1
1
X
Y
Z
1
3
1
recta
recta](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-80-320.jpg)
![2.5 Sólidos simples (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 81
Ejemplo 2.39
Consideremos la curva C de intersección entre la superficie S1 : z = 4 −
x2
4
y el plano S2 : x + y = 6 en
el primer octante.
El plano S2 : x + y = 6 interseca a los ejes X e Y en x = 6 y y = 6, respectivamente. Como se observa,
los puntos-guía están en los planos XY y YZ.
En el plano XY el punto-guía se obtiene sustituyendo x = 4 en la ecuación de la recta x + y = 6, z = 0;
se obtiene (4,2,0).
En el plano YZ el punto-guía es claramente (0,6,4).
Usando x = t, una parametrización de la curva C es r(t) = (t,6 − t,4 − t2/4); t ∈ [0,6].
Curva de intersección: z = 4 −
x2
4
T
x + y = 6
4
4
6
6
X Y
Z
X Y
Z
4
6
6
4 4
X Y
Z
4
6
6
C
Ejemplo 2.40
Consideremos la superficie S1 : z = 1 − x2 y el plano S2 : y + z = 2 en el primer octante. Los puntos-guía
son (1,2,0) y (0,1,1). El punto (0,1,1) se obtiene sustituyendo z = 1 en la ecuación de la recta
y + z = 2,x = 0.
Para una parametrización, podemos tomar x = t como parámetro, C : r(t) = (t, 2 − (1 − t2), 1 − t2),
t ∈ [0,1].](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-81-320.jpg)
![2.5 Sólidos simples (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 82
Plano y + z = 2 Superficie S1 : z = 1 − x2 Curva de intersección
X
Y
Z
2
2
X
Y
Z
1
1
2
1
C
X
Y
Z
1
Ejemplo 2.41
Consideremos la curva de intersección entre la superficie S1 : x2 + z2 = 9 y el plano S2 : y − x = −2 en
el primer octante.
El corte del plano S2 : y − x = −2 con el plano XZ es la recta x = 2 (pues sobre este plano, y = 0).
Sustituyendo x = 2 en la ecuación x2 + z2 = 9, y = 0; obtenemos el punto de intersección (2,0,
√
5).
El otro punto-guía se obtiene sustituyendo x = 3 en la ecuación del plano S2 : y − x = −2, este punto
es (3,1,0). Para una parametrización podemos usar x = t como paramétro.
Curva de intersección C : r(t) = (t, t − 2,
√
9 − t2); t ∈ [2,3].
X
Z
1
2
3
1
3
Y
Plano
Cilindro
X
Y
Z
2
3
1
3
X
Y
Z
2
3
1
3
C
Ejemplo 2.42
Consideremos la superficie S1 : z = 1 − x2 y el plano S2 : 2z − y = 0, en el primer octante. Para dibujar la
curva C de intersercción en el primer octante, buscamos los puntos guía. En este caso estos puntos son
(1,0,0) y (0,2,1).
Para obtener una parametrización de la curva C, podemos usar x = t como paramétro;
C : r(t) = (t, 2(1 − t2), 1 − t2), t ∈ [0,1].](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-82-320.jpg)
![2.5 Sólidos simples (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 83
Plano S2 : 2z − y = 0 Plano S2 y superficie S1 : z = 1 − x2 Curva de intersección
X
Y
Z
X
Y
Z
1
1
X
Y
Z
1
1
C
Ejemplo 2.43
Consideremos las superficies S1 : x2 + y2 = 16, S2 : 2x − z2 = 0, en el primer octante. Para dibujar la
curva C de intersercción en el primer octante, buscamos los puntos guía. En este caso estos puntos son
(0,4,0) y (2,0,
√
8).
Para obtener una parametrización de la curva C, podemos parametrizar desde el plano XY.
La circunferencia x2 + y2 = 16 se parametriza con x = 4cost y y = 4sent. La coordenada z es
z =
√
2x =
√
2cost. Así, C : r(t) = (4cost, 4sent,
√
2cost), t ∈ [0,π/2].
Superficie S1 : x2 + y2 = 16 Superficie S2 : 2x − z2 = 0 Curva de intersección
4
4
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
4
4
4
2 8
Perspectiva. En general, cuando dibujamos el sistema de ejes XYZ en posición estándar, podemos mover el
eje X un poco hacia arriba o un poco hacia abajo y esto hace que la perspectiva cambie.
En el dibujo que sigue, se muestra la intersección del mismo cilindro y el mismo plano, la diferencia está en la
posición del eje X (lo que produce el cambio de perspectiva!). En el primer caso el plano se ve “desde arriba”
en el segundo caso el plano lo vemos “desde abajo”](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-83-320.jpg)
![3.2 Derivadas parciales. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 106
es decir, en este caso la derivada parcial
∂ f
∂x
existe en (0,0)y es cero y también
∂ f
∂y
(0,0) = 0.
Ejemplo 3.2 (Derivadas parciales de funciones de dos variables).
En este ejemplo se muestra como calcular derivadas parciales usando las reglas de derivación ordinaria.
Recordemos que en una variable, [k f (x)]0 = k f 0(x) y
k
f (x)
0
=
−k · f 0(x)
f2(x)
.
z = x2y2 + y =⇒
∂z
∂x
= 2xy2
+ 0
z = x2y2 + y =⇒
∂z
∂y
= 2x2
y + 1
z =
x3
y5
=
1
y5
· x3
=⇒
∂z
∂x
=
1
y5
· 3x2
z =
x3
y5
=⇒
∂z
∂y
=
−x3 · 5y4
y10
Recordemos que en una variable, [au]0 = au ln(a)u0 y [xα]0 = αxα−1.
Si z = xy con x 0, entonces
∂z
∂x
= yxy−1
Si z = xy con x 0, entonces
∂z
∂y
= xy
lnx
Si C(r,θ) = rn cos(nθ) con n ∈ N una contante. Entonces
∂C
∂r
= nrn−1
cos(nθ) y
∂C
∂θ
= −nrn
sen(nθ)
Recordemos que en una variable, si u = g(x) entonces [f (u)]0 = f 0(u) · u0.
Si z = arctan(y/x) =⇒
∂z
∂x
=
1
1 + (y/x)2
·
−y · 1
x2](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-106-320.jpg)
![3.3 Derivadas parciales de orden superior (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 107
Si z =
cos(xy) + xsen2y
2
entonces
∂z
∂x
(π,π/2) =
−ysen(xy) + sen2y
2 x=π, y=π/2
x=π, y=π/2
x=π, y=π/2
=
−π · sen(π2/2)
4
.
Sea f de una variable y derivable, y z = f (u) con u = x5 + y3, entonces
∂z
∂x
= f 0
(u) · 5x4
y
∂z
∂y
= f 0
(u) · 3y2
Sean f y g funciones derivables de una variable y z =
f (u)
g(u)
con u = x5 + y3, entonces
.
∂z
∂x
=
∂
∂x
[f (u)] · g(u) −
∂
∂x
[g(u)] · f (u)
g2(u)
=
f 0(u) · 5x4 · g(u) − g0(u) · 5x4 · f (u)
g2(u)
.
∂z
∂y
=
∂
∂y
[f (u)] · g(u) −
∂
∂y
[g(u)] · f (u)
g2(u)
=
f 0(u) · 3y2 · g(u) − g0(u) · 3y2 · f (u)
g2(u)
3.3 Derivadas parciales de orden superior
Si f es una función de dos variables x e y, entonces sus derivadas parciales fx y fy también son funciones
de dos variables, de modo que podemos considerar sus derivadas parciales (fx)x, (fx)y, (fy)x y (fy)y , las
cuales cuales se llaman segundas derivadas parciales de f. Si z = f (x,y), se utilizan diferentes notaciones
para estas derivadas parciales,
(fx)x = fxx = f11 =
∂
∂x
∂ f
∂x
=
∂2 f
∂x2
=
∂2z
∂x2
(fx)y = fxy = f12 =
∂
∂y
∂ f
∂x
=
∂2 f
∂y∂x
=
∂2z
∂y∂x
(fy)x = fyx = f21 =
∂
∂x
∂ f
∂y
=
∂2 f
∂x∂y
=
∂2z
∂x∂y
(fy)y = fyy = f22 =
∂
∂y
∂ f
∂y
=
∂2 f
∂y2
=
∂2z
∂y2
La notación fxy o
∂2 f
∂y∂x
significa que primero derivamos con respecto a x y luego con respecto a y, mientras
que para calcular fyx el orden se invierte.](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-107-320.jpg)
![3.3 Derivadas parciales de orden superior (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 109
uy = ey senx
con lo cual
uxx = −ey senx
uyy = ey senx
de donde
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
= −ey
senx + ey
senx = 0
Ejemplo 3.6
La ecuación de onda
∂2u
∂t2
= a2 ∂2u
∂x2
, donde a es una constante, describe el movimiento de una onda,
que puede ser una onda de sonido, una onda de luz o una onda que viaja a lo largo de una cuerda
vibrante. Si f y g son funciones de una sola variable dos veces derivables, compruebe que la función
u(x,t) = f (x + at) + g(x − at) satisface la ecuación de onda.
Solución: Primero un cambio de variable. Sea A = x + at y B = x − at. De esta manera u = f (A) + g(B).
Las derivadas de u(x,y) con respecto a x están dadas por :
∂u
∂x
= f 0
(A) + g0
(B),
∂2u
∂x2
= f 00
(A) + g00
(B)
Las derivadas de u(x,y) con respecto a t están dadas por :
∂u
∂t
= a f 0
(A) − ag0
(B),
∂2u
∂t2
= a2
f 00
(A) + a2
g00
(B)
Sustituyendo obtenemos
∂2u
∂t2
= a2
f 00
(A) + a2
g00
(B) = a2
[f 00
(A) + g00
(B)] = a2 ∂2u
∂x2
Ejemplo 3.7
Consideremos f y g funciones de una sola variable dos veces derivables, compruebe que la función
u(x,y) = x f (x + y) + yg(x + y) satisface la ecuación diferencial parcial uxx − 2uxy + uyy = 0.
Solución: Primero un cambio de variable. Sea A = x + y, entonces u = x f (A) + yg(A). Las derivadas
de u(x,y) con respecto a x están dadas por
ux = f (A) + x f 0(A) + yg0(A)](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-109-320.jpg)
![3.5 Regla de la cadena. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 116
∂z
∂v
=
∂z
∂x
∂x
∂v
+
∂z
∂y
∂y
∂v
= 2xey3 ∂x
∂v
+ 3x2
y2
ey3 ∂y
∂v
= 2xey3
u + 3x2
y2
ey3
· −3v2
Ejemplo 3.13
Sea f una función diferenciable y z(x,y) = f (x2,xy2). Para derivar usando la regla de la cadena usamos
el cambio de variable u = x2 y v = xy2, entonces z(x,y) = f (u,v) y
∂z
∂x
=
∂ f
∂u
·
∂u
∂x
+
∂ f
∂v
·
∂v
∂x
=
∂ f
∂u
· 2x +
∂ f
∂v
· y2
∂z
∂y
=
∂ f
∂u
·
∂u
∂y
+
∂ f
∂v
·
∂v
∂y
=
∂ f
∂u
· 0 +
∂ f
∂v
· 2xy
Ejemplo 3.14
Sea f una función derivable y z = f (x,y) con x = rcosθ, y = rsenθ, entonces
∂z
∂r
=
∂ f
∂x
∂x
∂r
+
∂ f
∂y
∂y
∂r
=
∂ f
∂x
cosθ +
∂ f
∂y
senθ
∂z
∂θ
=
∂ f
∂x
∂x
∂θ
+
∂ f
∂y
∂y
∂θ
=
∂ f
∂x
· −rsenθ +
∂ f
∂y
rcosθ
Ejemplo 3.15
Si z(x,y) = g(y) · f (x − 2y, y3). Calcule zx y zxy.
Solución: Sea u = x − 2y, v = y3. Entonces z(x,y) = g(y) f (u,v).
zx = g(y) [fu · 1 + fv · 0] = g(y) fu(u,v)
zxy = g0(y) · 1 · fu(u,v) + g(y)
−2 f uu + 3y2 f uv](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-116-320.jpg)
![3.5 Regla de la cadena. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 117
Ejemplo 3.16
Sea V = V(P,T). Si P(V − b)eRV = RT, con b,R constantes, calcule
∂V
∂T
.
Solución: V es función de P y T. Derivamos a ambos lados respecto a T,
∂
∂T
h
P(V − b)eRV
i
=
∂
∂T
[RT]
P
h
VTeRV
+ (V − b)eRV
RVT
i
= R
∴
∴
∴ VT =
R
PeRV(1 + (V − b)R).
Ejemplo 3.17
Sea z(x,y) = g(u,v) con u = x2y2 y v = xy. Calcule
∂2z
∂y∂x
.
Solución:
∂z
∂x
=
∂g
∂u
∂u
∂x
+
∂g
∂v
∂v
∂x
=
∂g
∂u
· 2xy2 +
∂g
∂v
· y
∂2z
∂y∂x
=
∂
∂y
∂g(u,v)
∂u
· 2xy2
+
∂
∂y
2xy2
·
∂g
∂u
+
∂g(u,v)
∂v
+ y ·
∂
∂y
∂g(u,v)
∂v
=
∂2g
∂u2
· uy +
∂2g
∂v∂u
· vy
· 2xy2 + 4xy ·
∂g
∂u
+
∂g(u,v)
∂v
+ y ·
∂2g
∂u∂v
· uy +
∂2g
∂v2
· vy
=
∂2g
∂u2
· 2yx2 +
∂2g
∂v∂u
· x
· 2xy2 + 4xy ·
∂g
∂u
+
∂g(u,v)
∂v
+ y ·
∂2g
∂u∂v
· 2yx2 +
∂2g
∂v2
· x](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-117-320.jpg)
![3.9 Parametrización de una curva (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 128
Ejemplo 3.26
Consideremos la superficie S de ecuación x2 + y2 + z2 = 1.
Sea P = (1/
√
3, 1/
√
3, 1/
√
3) ∈ S.
El gradiente de z es ∇z(x,y) =
−
x
z
, −
x
z
.
∇z(P) = (−1, −1).
El gradiente no está definido si z = 0 porque las derivadas
parciales se indefinen (las tangentes a la superficies sobre
la circunfencia x2 + y2 = 1 son rectas verticales)
3.9 Parametrización de una curva
Sea r : I ⊆ R −→ Rn. Si la función vectorial r es continua en I, entonces la gráfica de r se le llama curva y
decimos que esta curva esta descrita paramétricamente por r(t).
Por ejemplo, la curva C de ecuación y = f (x) con x ∈ [a,b], se pueden parametrizar usando a x como
parámetro, es decir, C : r(t) = (x(t),y(t)) = (t, f (t)) con t ∈ [a,b].
En general, nos interesan curvas en el espacio con parametrización C : r(t) = (x(t), y(t), z(t)) con t ∈ [a,b].
El vector r(t) es un vector de posición.
Figura 3.8: Parametrización de una curva
Rectas en R3. Si la recta L pasa por P en dirección de #»
v entonces una parametrización es
L(t) = P + t#»
v , t ∈ R](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-128-320.jpg)
![3.9 Parametrización de una curva (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 129
P
Figura 3.9: Parametrización de una recta
Elipse. Consideremos la elipse
(x − h)2
a2
+
(y − k)2
b2
= 1. Una parametrización es
r(t) = (h + a cost) ı̂ + (k + b sent) ̂, t ∈ [0,2π ]
Derivada de r(t)
La derivada de r (si existe) es r0(t) = lı́m
h→0
r(t + h) − r(t)
h
.
a.) Si x(t) y y(t) son funciones derivables en I y si r(t) = x(t) ı̂ + y(t) ̂, entonces
r0
(t) = x0
(t) ı̂ + y0
(t) ̂.
b.) Si x(t), y(t) y z(t) son funciones derivables en I y si r(t) = x(t) ı̂ + y(t) ̂ + z(t) k̂ entonces
r0
(t) = x0
(t) ı̂ + y0
(t) ̂ + z0
(t) k̂.
(traslación)
rectatangente
0
0
0
Figura 3.10: El vector r0(t) (trasladado) es un vector tangente a C en P = r(t)
De esta manera, la recta tangente a C en P = r(t0) tiene ecuación L(t) = P + t ·
# »
r0(t0)](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-129-320.jpg)
![3.11 Derivada direccional (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 136
Teorema 3.6 (Dirección de máximo cambio).
Sea f : D ⊆ R2 −→ R una función escalar. El valor máximo de la derivada direccional D#»
v f en (x,y) es
||∇f (x,y)|| y se presenta cuando el vector no nulo #»
v tiene la misma dirección que el vector gradiente
∇f (x,y).
Podemos justificar esto, informalmente, de la manera que sigue. Primero recordemos que si θ = ]u,v entonces
u · v = ||u|| · ||v||cos(θ). Ahora
D#»
v f (x,y) = ∇f (x,y) ·
#»
v
||#»
v ||
= ||∇f (x,y)|| cosθ.
donde θ es el ángulo entre el vector unitario
#»
v
||#»
v ||
y el vector ∇f (x,y).
El valor de D#»
v f (x,y) aumenta o disminuye solo si cosθ
cambia (si giramos el vector #»
v ).
Así que el máximo valor se obtiene cuando cosθ = 1 (es
decir θ = 0). Por tanto D#»
v f (x,y) es máxima cuando θ = 0
y en ese caso #»
v y ∇f (x,y) son paralelos.
Figura 3.19
Valor mínimo: El valor mínimo de la derivada direccional en (x,y) es −||∇f (x,y)|| y ocurre cuando #»
v tiene
la misma dirección −∇f (x,y).
Observación: f se mantiene constante sobre las curvas de nivel; la dirección (un vector #»
u
#»
u
#»
u ) en la que el cambio
(instantáneo) de f respecto a P es nulo es la dirección de un vector perpendicular a ∇f (P). Que la derivada
direccional se anule en P en la dirección de #»
u
#»
u
#»
u no significa, por supuesto que en esta dirección la función se
mantenga constante (esto solo pasa sobre las curvas de nivel) excepto que la curva de nivel sea una recta.](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-136-320.jpg)
![4.2 Máximos y mínimos locales en dos variables. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 149
Definición 4.1 (Extremos locales).
Sea f función de dos variables, f : R2 −→ R. f tiene un máximo local en p
p
p = (p1, p2) ∈ R2 si existe un
entorno abierto Uδ(p
p
p) tal que f (x,y) ≤ f (p
p
p) para todo (x,y) ∈ Uδ(p
p
p). El punto (p1, p2, f (p
p
p)) se dice
un máximo local de f y el número f (p
p
p) es el máximo de f en el entorno Dδ(p
p
p).
Sea f función de dos variables, f : R2 −→ R. f tiene un mínimo local en p
p
p = (p1, p2) ∈ R2 si existe un
entorno abierto Uδ(p
p
p) tal que f (x,y) ≥ f (p
p
p) para todo (x,y) ∈ Uδ(p
p
p). El punto (p1, p2, f (p
p
p)) se dice
un mínimo local de f y el número f (p
p
p) es el mínimo de f en el entorno Uδ(p
p
p).
U
Figura 4.3: Puntos críticos y un máximo y un mínimo local.
Si las desigualdades de la definición anterior se cumplen para todos los puntos en el dominio de f, entonces
f tiene un máximo absoluto (o mínimo absoluto) en p
p
p.
Puntos críticos y extremos locales
Definición 4.2 (Punto crítico).
Un punto p
p
p ∈ R2 es un punto crítico de f si ∇f (p
p
p) = 0, es decir, si
∂ f
∂x
(p
p
p)
∂ f
∂x
(p
p
p)
∂ f
∂x
(p
p
p) = 0 y
∂ f
∂y
(p
p
p)
∂ f
∂y
(p
p
p)
∂ f
∂y
(p
p
p) = 0
También p
p
p es punto crítico si f no esta definida en este punto, pero aquí solo consideramos extremos “suaves”.
Definición 4.3 (Punto de silla).
Un punto crítico p
p
p donde f no alcanza un máximo ni mínimo local se llama punto de silla, es decir, en
cualquier entorno alrededor de p
p
p, hay puntos x
x
x en los que f (x
x
x) 0 y puntos x
x
x en los que f (x
x
x) 0
Esta definición de “punto de silla” puede variar según el texto (ver [24] )](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-149-320.jpg)
![4.2 Máximos y mínimos locales en dos variables. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 151
Ahora, si p
p
p es un punto crítico de f, entonces
f (x
x
x) − f (p
p
p) =
1
2
Ah2
+ 2Bhk + Ck2
+ R(x
x
x,p
p
p)
Para determinar si en el el punto crítico p
p
p, la función f alcanza un máximo o mínimo local, debemos
determinar el signo de f (x
x
x) − f (p
p
p) en un entorno de p
p
p, para saber si f (x
x
x) ≥ f (p
p
p) o f (x
x
x) ≤ f (p
p
p). Si en
cualquier entorno de p
p
p hay puntos donde f cambia de signo, entonces tenemos un punto de silla.
La teoría es similar al caso de una variable: En presencia de extremos locales, el signo de f (x
x
x) − f (p
p
p) es el
signo de Ah2 + 2Bhk + Ck2 en un entorno suficientemente pequeño de cada punto crítico donde f alcanza
máximos o mínimos locales2.
Si el determinante D2 = AC − B2 0, entonces la forma cuadrática Ah2 + 2Bhk + Ck2, es siempre positiva o
siempre negativa. Si D2 = AC − B 0 la forma cuadrática cambia de signo.
Podemos analizar el signo de Ah2 + 2Bhk + Ck2 completando cuadrados. Sea D2 = AC − B2, entonces
A(Ah2
+2Bhk + Ck2
) = (Ah + Bk)2
+ (AC − B2
)k2
=⇒
Ah2 + 2Bhk + Ck2 ≥ 0 si D2 0 y A 0
Ah2 + 2Bhk + Ck2 ≤ 0 si D2 0 y A 0
con esto se puede establecer que
a.) f (x
x
x) − f (p
p
p) ≥ 0 en un entorno de p
p
p si D2 0 y si A 0
b.) f (x
x
x) − f (p
p
p) ≤ 0 en un entorno de p
p
p si D2 0 y si A 0
Si D2 0 entonces, podemos razonar con varios casos. Por simplicidad solo consideremos dos casos con
A 6= 0 y C 6= 0. Si B = 0 entonces A y C tienen signos contrarios, por lo que la forma cuadrática cambia de
signo sobre las rectas x = 0 y y = 0. Si B 6= 0, entonces la forma cuadrática cambia de signo sobre las rectas
y = 0 y By = −Ax. Entonces se podría establecer, comparando f (x
x
x) − f (p
p
p) ≥ 0 con la forma cuadrática,
que p
p
p es un punto de silla.
Si D2 = 0 entonces en general, si A 6= 0 y B 6= 0, hay rectas que pasan por el origen, sobre las que el
término (Ah + Bk)2 se anula, entonces f (x
x
x) − f (p
p
p) = R(x
x
x,p
p
p) sobre estas rectas, es decir, no podemos decir
algo acerca del signo.
2Est es así porque una propiedad de las formas cuadráticas que son siempre positivas, es que existe un M 0 tal que para todo h
1
2
h
Ah2
+ 2Bhk + Ck2
i
≥ M||x
x
x − p
p
p||2
y como
R(x
x
x,p
p
p)
||x
x
x − p
p
p||2
→ 0 si x
x
x → p
p
p, entonces hay un entorno alrededor de p
p
p en el que |R(x
x
x,p
p
p)| M||x
x
x − p
p
p||2, es decir, la forma
cuadrática domina al resto R es este entorno. El caso de una forma cuadrática o siempre negativa es similar. Se usa la misma idea si
la forma cuadratica cambia de signo para mostrar que δ f también cambia de signo (ver [25], [18])](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-151-320.jpg)
![4.2 Máximos y mínimos locales en dos variables. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 152
Ver con CFDPlayer Requiere FreeCDF Player
D2 0 y A 0 D2 0 y A 0 D2 0 D2 = 0 D2 = 0
Figura 4.6: Forma cuadrática Ah2 + 2Bhk + Ck2 para distintos valores de D2 y A
Específicamente: Si f tiene segundas derivadas continuas y si el determinante D2 = AC − B2 es positivo, entonces
el signo de f (x
x
x) − f (p
p
p) es el signo de Ah2 + 2Bhk + Ck2, en un entorno suficientemente pequeño de p
p
p. Si el
determinante D2 es negativo, entonces f (x
x
x) − f (p
p
p) cambia de signo con la forma cuadrática, en trayectorias contenidas
en un entorno de p
p
p (ver [25]).
En vista de la anterior afirmación, la clasificación de los puntos críticos depende del signo de la forma
cuadrática (si D2 6= 0). El signo de la forma cuadrática es fácil de establecer usando el discriminante D2. La
idea geométrica es la que se muestra a continuación.
Ver con CFDPlayer Requiere FreeCDF Player
S S
Figura 4.7: Polinomio de Taylor P2(x,y) y la forma cuadrática, sobre la superficie S
Teorema 4.2 (Condición suficiente).
Sea f : U ⊆ R2 −→ R de clase C2 en un subconjunto abierto U de R2. Consideremos el “discriminante”
D2(x,y) = fxx(x,y) · fyy(x,y) −
fxy(x,y)
2
. Si (x0,y0) ∈ U es punto crítico de f, entonces
a.) si D2(x0,y0) 0 y fxx(x0,y0) 0, entonces f alcanza un mínimo local en (x0,y0).
b.) si D2(x0,y0) 0 y fxx(x0,y0) 0, entonces f alcanza un máximo local en (x0,y0).
c.) Si D2(x0,y0) 0, entonces (x0,y0, f (x0,y0)) es u punto de silla.](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-152-320.jpg)
![4.2 Máximos y mínimos locales en dos variables. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 156
Si y =
6 − 4x
3
, al sustituir en la ecuación (E2) obtenemos los puntos críticos (0,2),
1,
2
3
.
Clasificación. D2(x,y) = (−4y)(−6x) − [6 − 4x − 6y]2
(x0,y0) D1 = fxx(x0,y0) D2 = D2(x0,y0) Clasificación
(0,0) 0 −36 (0,0,0) es punto de silla
(3,0) 0 −36 (3,0,0) es punto de silla
(0,2) −8 −36 (0,2,0) es punto de silla
(1,2/3) −8/3 12 (1,2/3,4/3) es máximo local.
Ver con CFDPlayer
Figura 4.10: f (x,y) = 6xy − 2x2y − 3xy2
Ejemplo 4.5
Sea z = yxe−
−
−x + y2. Calcule y clasifique los puntos críticos de z.
Solución: Los puntos críticos se obtienen resolviendo el sistema ∇z = (0,0),
∂z
∂x
= 0
∂z
∂y
= 0
=⇒
e−xy − e−xxy = 0
e−xx + 2y = 0
=⇒
y(1 − x) = 0 =⇒ y = 0 o x = 1
e−xx + 2y = 0 (E2)](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-156-320.jpg)
![4.3 Extremos con restricciones: Multiplicadores de Lagrange (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 160
restricciones. Entonces, usando regla de la cadena,
d
dt
f (r(t))
t=t0
=
d
dt
f (x(t),y(t))
t=t0
= ∇f (x∗
x∗
x∗
) · r0
(t0) = 0
[ ]
Esto nos dice que ∇f (x∗
x∗
x∗) es perpendicular al vector tangente a la curva de restricción en x∗
x∗
x∗, es decir, ∇f (x∗
x∗
x∗)
y ∇g(x∗
x∗
x∗) son paralelos donde se alcanzan los extremos locales (si ∇g(x∗
x∗
x∗) 6= 0)... pero no necesariamente
viceversa.
En tres variables, podríamos encontrar los puntos críticos del problema de optimización, como soluciones del
sistema
L(x,y,z,λ) = f (x,y,z) − λ g(x,y,z)
A λ se le llama multiplicador (de Lagrange). Observe que λ podría ser cero. Esto pasa por ejemplo cuando un
extremo local con restricciones coincide con un extremo local (sin restricciones).
Figura 4.11: Un problema de optimización con restricciones.
Método de los multiplicadores de Lagrange con una restricción:](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-160-320.jpg)
![4.4 Cuando las condiciones de primer orden fallan. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 166
Cuando ∇g se anula. El método de multiplicadores de Lagrange requiere que ∇g no se anule en los
puntos críticos de f sobre D para que el conjunto de puntos críticos de L contenga al conjunto de puntos
críticos de f sobre D. Si ∇g(x) se anula podrían pasar varias cosas de cuidado.
I Consideramos el problema de mínimizar la distancia de
la curva (x − 1)3 − y2 = 0 al origen, es decir, minimizar d =
p
x2 + y2 sujeta a (x − 1)3 − y2 = 0. Este problema es equivalente
al problema:
Minimizar d = x2 + y2 sujeta a (x − 1)3 − y2 = 0.
• x = 1 y y = 0 es una solución del problema (como se ve
gráficamente), pues este punto está en la curva de restricción y
también (x − 1)3 = y2 entonces (x − 1)3 ≥ 0 =⇒ x ≥ 1. Por
tanto de D, d(x,y) = x2 + y2 ≥ d(1,0) = 1. Figura 4.15: La distancia de la curva al
origen se minimiza si x = 1 y y = 0
• (1,0) no es punto crítico de L. La lagrangiana sería L(x,y,λ) = x2 + y2 − λ[(x − 1)3 − y2] y debemos
resolver el sistema
2x − 3λ(x − 1)2 = 0 (E1)
2y + 2yλ = 0 (E2)
(x − 1)3 − y2 = 0 (E3)
Factorizando en (E2) obtenemos y = 0 y λ = −1. Sustituyendo y = 0 en (E3) nos da x = 1, pero
este valor no es solución pues no satisface (E1). Sustituyendo λ = −1 en (E1) nos da la cuadrática
3x2 − 4x + 3 = 0 que tiene raíces complejas, así que el sistema no tiene soluciones en R y los puntos
críticos de L no detectan el mínimo local (1,0,1)
I Problema: Maximizar z = −y sujeto a la
restricción y3 − x2 = 0
• (0,0,0) es un máximo local para este problema
pues como y3 = x2 entonces y ≥ 0 por lo que
z(x,y) = −y ≤= 0 = z(0,0) ∀ (x,y) ∈ D.
• (0,0) no es punto crítico de L(x,y,λ) =
−y − λ(y3 − x2). El sistema ∇L = 0 no tiene solu-
ción. El método de multiplicadores de Lagrange no
detecta el óptimo.
Cilindro
2
Figura 4.16: Máximo local en (0,0,0)](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-166-320.jpg)
![4.9 Criterio de clasificación para n ≥ 3. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 177
Un punto P se dice máximo local de f (x1,x2,...,xn) si existe un vecindario VP alrededor de P en que se
cumple que f (P) ≥ f (Q), ∀Q ∈ VP .
Un punto P se dice punto de ensilladura (o de silla) de f (x1,x2,...,xn) si existe un vecindario VP
alrededor de P en que se cumple tanto f (P) ≤ f (Q) como f (P) ≥ f (R), para distintos puntos Q, R de VP.
Criterio para máximos y mínimos. El teorema de Taylor se puede generalizar a varias variables así:
Sea V un conjunto convexo abierto. Si f es continua y tiene derivadas parciales continuas de segundo orden,
sobre V, entonces existe t ∈ [0,1] tal que, para cualesquiera dos puntos P, Q ∈ V; Q = P + h
f (P + h) = f (P) + ∇f (P) · h +
1
2
h H[tQ + (1 − t)P]hT
donde h = (h1,h2,...,hn)
H es llamada matriz Hessiana, |H[R]| = DET
fx1x1
(R) fx1x2 (R) ··· fx1xn (R)
fx2x1
(R) fx2x2 (R) ··· fx2xn (R)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
fxnx1
(R) fxnx2 (R) ··· fxnxn (R)
Del teorema de Taylor y de la teoría previa de formas cuadráticas, podemos obtener las siguientes condiciones
suficientes para un máximo o un mínimo local.
Teorema 4.10
Sea D1(P), D2(P), ...,Dn(P), n determinantes definidos como sigue:
Di(P) = DET
fx1x1
(P) fx1x2 (P) ··· fx1xi
(P)
fx2x1
(P) fx2x2 (P) ··· fx2xi
(P)
.
.
.
.
.
.
.
.
.
fxix1
(P) fxix2 (P) ··· fxixi
(P)
Entonces,
• f alcanza un un mínimo en P si D1(P) 0, D2(P) 0, ...,Dn(P) 0
• f alcanza un un máximo en P si todos los determinantes pares son positivos y todos los
determinantes impares son negativos, i. e., Di(P) 0 si i es par Di(P) 0 si i es impar](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-177-320.jpg)
![4.9 Criterio de clasificación para n ≥ 3. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 181
L = f (x1,...,xn) +
m
∑
i=1
λi[ci − gi
(x1,...,xn)]
y el hessiano orlado será:
0 0 ··· 0 g1
1 g1
2 ··· g1
n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 ··· 0 gm
1 gm
2 ··· gm
n
g1
1 g2
1 ··· gm
1 Lx1x1
Lx1x2 ··· Lx1xn
.
.
.
.
.
.
.
.
.
g1
n g2
n ··· gm
n Lxnx1
Lxnx2 ··· Lxnxn
Ejemplo 4.18
Hallar los extremos de z = x2 + y2 sujeto a la restricción x + 4y = 2.
Solución: La función lagrangiana es x2 + y2 − λ(2 − x − 4y).
Puntos críticos:
Lx = 2x − λ = 0
Ly = 2y − 4λ = 0
Lλ = 2 − x − 4y = 0
=⇒ λ = 4
17 , x = 2
17 , y = 8
17 .
Así, el único punto crítico es: P = ( 2
17, 8
17 )
Test: Usemos el teorema para clasificar los puntos críticos. En este caso, solo debemos calcular el hessiano
orlado D2
D2(P) =
0 1 4
1 2 0
4 0 2
= −34 0
así que ( 2
17 , 8
17,z( 2
17 , 8
17 )) es un mínimo local.
Ejemplo 4.19
Maximizar f (x,y) = 2y − x sujeto a y = senx, 0 ≤ x ≤ 2π](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-181-320.jpg)
![4.10 (*) Extremos globales. Condiciones de Kuhn-Tucker. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 184
nivel, donde la recta tangente es 3x + 2y = 12, o más precisamente, los puntos P = (a,b), sobre esta
curva de nivel, donde la pendiente de la recta tangente es −3/2
La pendiente de la recta tangente a la curva de nivel (x − 4)2 + (y − 4)2 = k, en P es
y0(a,b) = −3/2 = −
Fx(P)
Fy(P)
= −
a − 4
b − 4
y, puesto que P está también sobre la recta 3x + 2y = 12, entonces tendríamos que 3a + 2b = 12.
Resolvemos entonces el sistema:
−
a − 4
b − 4
= −3/2
3a + 2b = 12
=⇒ a = 28
13 , b =
36
13
.
Condiciones de Kuhn-Tucker.
Consideremos el problema
“Maximizar w = f (x1,x2,...xn) sujeto a gi(x1,...,xn) ≤ ci, i = 1,2,...,m con xj ≥ 0, j = 1,2,...,n.”
Entonces, consideremos la función lagrangiana
L = f (x1,...xn) +
m
∑
i=1
yi[ci − gi(x1,...,xn)]
Las yi son los multiplicadores de Lagrange.
Las condiciones de Kuhn-Tucker para un máximo son
Lxj
≤ 0, xj ≥ 0, xj Lxj
= 0, j = 1,2,...n
Lyj
≥ 0, yi ≥ 0, yi Lyi
= 0, i = 1,2,...,m
Las condiciones de Kuhn-Tucker para un mínimo son
Lxj
≥ 0, xj ≥ 0, xj Lxj
= 0, j = 1,2,...n
Lyj
≤ 0, yi ≥ 0, yi Lyi
= 0, i = 1,2,...,m](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-184-320.jpg)
![5.1 Integral doble. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 190
ZZ
R
f (x,y)dA = lı́m
||M||→0
n
∑
i=1
f (xi,yi)∆Ai con n = Card(M)
En el caso de que R = [a,b] × [c,d], la ma-
lla MR se puede tomar como un conjunto de
rectángulos Rij = [xi,xi+1] × [yj,yj+1] de área
∆Aij = ∆xi∆yj. En este caso es natural reempla-
zar el elemento de área dA por dxdy y escribir
el límite como,
Z b
a
Z d
c
f (x,y)dxdy = lı́m
n,m→∞
n
∑
i=1
m
∑
j=1
f (xi,yj)∆xi∆yj Malla
Ver con CFDPlayer Requiere FreeCDF Player
Figura 5.1: Aproximación del volumen de un sólido con sumas de Riemann
Las propiedades de las funciones integrables en dos variables son similares a las propiedades de las funiones
integrables en una variable.
Teorema 5.1 (Propiedades de la funciones integrables).
a.) Si f es continua sobre R, entonces f es integrable sobre R.
b.) Sea k ∈ R. Si f y g son integrables sobre R, entonces k f y f ± g son integrables sobre R y
ZZ
R
k f (x,y)dA = k
ZZ
R
f (x,y)dA y
ZZ
R
f (x,y) ± g(x,y)dA =
ZZ
R
f (x,y)dA ±
ZZ
R
g(x,y)dA](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-190-320.jpg)
![5.2 Cálculo de integrales dobles. Integral iterada. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 191
c.) Si f y g son integrables sobre regiones R y S que no se traslapan, entonces f es integrables sobre
R ∪ S y ZZ
R∪S
f (x,y)dA =
ZZ
R
f (x,y)dA +
ZZ
S
f (x,y)dA
d.) Si f y g son integrables sobre R y f (x,y) ≤ g(x,y) para todo (x,y) ∈ R, entonces
ZZ
R
f (x,y)dA ≤
ZZ
R
g(x,y)dA
e.) Si f es integrable sobre R y M ≤ f (x,y) ≤ m para todo (x,y) ∈ R, entonces
M A(R) ≤
ZZ
R
f (x,y)dA ≤ m A(R)
Otros tipos de integración. El concepto de integral que hemos visto es el concepto de integral en el sentido de
Riemann y es suficiente para los cálculos y las aplicaciones en este libro. Para otros propósitos esta integral no
es adecuada y se requiere definir un tipo más general de integración, por ejemplo la integral en el sentido
Lebesgue. Una diferencia esencial entre una integral y otra es la manera en que se mide los conjuntos de
puntos. La integral de Riemann usa medida de Jordan y la de Lebesgue, medida de Lebesgue.
5.2 Cálculo de integrales dobles. Integral iterada.
Integrales iteradas. El teorema de Fubini establece que si f es continua sobre R, la integral doble se puede
evaluar por “integración parcial” respecto a cada variable, una a la vez. Este es el método de “integrales
iteradas”. Primero debemos especificar dos maneras de describir una misma región.
Región entre las curvas y = g1(x) y y = g2(x).
R = {(x,y) ∈ R2 tal que a ≤ x ≤ b y g1(x) ≤ y ≤
g2(x)} con g1 y g2 funciones continuas en [a,b].
R
Región entre las curvas x = h1(y) y x = h2(y).
R = {(x,y) ∈ R2 tal que p ≤ y ≤ q y h1(y) ≤ x ≤
h2(y)} con h1 y h2 funciones continuas en [p,q].](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-191-320.jpg)
![5.2 Cálculo de integrales dobles. Integral iterada. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 192
Teorema 5.2 (Fubini).
Sea R = {(x,y) ∈ R2 tal que a ≤ x ≤ b y g2(x) ≤ y ≤ g1(x)} con g1
y g2 funciones continuas en [a,b]. Si f es continua en R, entonces
ZZ
R
f (x,y)dA =
Z b
a
Z g2(x)
g1(x)
f (x,y)dydx =
Z b
a
Z g2(x)
g1(x)
f (x,y)dy
dx
R
Sea R = {(x,y) ∈ R2 tal que p ≤ y ≤ q y h1(y) ≤ x ≤ h2(y)} con h1
y h2 funciones continuas en [p,q]. Si f es continua en R, entonces
ZZ
R
f (x,y)dA =
Z q
p
Z h2(y)
h1(y)
f (x,y)dxdy =
Z q
p
Z h2(y)
h1(y)
f (x,y)dx
dy
Ejemplo 5.1
Sea R la región de la figura. Vamos a calcular
ZZ
R
xydA usando el
orden de integración “dydx” y el orden de integración “dxdy.”
Observe que R se puede describir como
R : 0 ≤ x ≤ 2,
x2
2
≤ y ≤ x
R : 0 ≤ y ≤ 2, y ≤ x ≤
p
2y.
Ver con CFDPlayer
X
Y
Integrando en el orden “dydx”
ZZ
R
xydA =
Z 2
0
Z x
x2
2
xydy
dx
=
Z 2
0
x
y2
2
x
x2
2
#
dx
=
Z 2
0
x
x2
2
− x
x4
8
dx =
2
3
X
Y](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-192-320.jpg)
![5.3 Área y Volumen (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 197
VQ =
Z 1
0
Z 1−x2
0
1 − x − 0 dzdx
=
Z 1
0
z − zx|1−x2
0 dx
=
Z 1
0
(1 − x)(1 − x2
)dx =
5
12
Cálculo de VQ proyectando sobre el plano XY. La
proyección sobre el plano xy se muestra en la figura
La ecuación de la curva C3 corresponde a y = 1 − x
con x ∈ [0,1]. Desde el punto de vista del plano XY,
el sólido Q esta entre las superficies z = 1 − x2 y
z = 0.
Integrando en el orden “dydx” queda
Ver con CFDPlayer
X
Y
Z
VQ =
Z 1
0
Z 1−x
0
1 − x2
− 0 dydx
=
Z 1
0
1 − x − x2
(1 − x)dx =
5
12
Cálculo de VQ proyectando sobre el plano YZ. En este caso, el sólido no está entre dos superificies. Desde
el punto de vista del plano YZ, tenemos un sólido Q1 que está entre x = 0 y z = 1 − x2 en la región
R1 y un sólido Q2 que está entre x = 0 y el plano x + y = 1 en R2. Ademas, Q = Q1 ∪ Q2, como se
muestra en la figura, y entonces
VQ = VQ1
+ VQ2
Ver con CFDPlayer
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z Proyección
La proyección sobre este plano se muestra en la figura. La curva de proyección C1 es la proyección sobre](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-197-320.jpg)
![5.3 Área y Volumen (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 198
YZ de la curva de intersección entre la superficie z = 1 − x2 y el plano x + y = 1. C1 tiene ecuación en
términos de x e y.
z = 1 − x2
x + y = 1 =⇒ z = 1 − (1 − y)2
, y ∈ [0,1]
La curva C1 divide la región de integración en dos partes, la región R1 y la región R2.
Desde el punto de vista del plano YZ, el sólido está limitado por las superficies
x =
√
1 − z y x = 0 sobre R1.
x = 1 − y y x = 0 sobre R2.
Integrando en el orden “dzdy” queda
VQ =
Z 1
0
Z 1
2y−y2
√
1 − z − 0 dzdy +
Z 1
0
Z 2y−y2
0
1 − y − 0 dzdy
=
Z 1
0
2 1 − 2y + y2
3/2
3
dy +
Z 1
0
2y − 3y2
+ y3
dy =
5
12
Nota: 1 − 2y + y2
3/2
=
p
(y − 1)6 = |(y − 1)3| = −(y − 1)3 si y ∈ [0,1].
Ejemplo 5.6 (Volumen en coordenadas rectangulares).
Ver con CFDPlayer Requiere FreeCDF Player
Plantee la integral (o las integrales) con las que se puede obtener el volumen del sólido Q limitado por
las superficies S1 : y = x2 + z2, S2 : y = 1, S3 : y = 4, en el primer octante.
Solución: Vamos calcular el volumen usando la proyección del sólido Q en el plano XZ, usando el
orden de integración “dzdx”. La proyección del sólido Q es R = R1 + R2 + R3, como se muestra en la](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-198-320.jpg)
![5.3 Área y Volumen (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 199
figura de abajo. El cálculo con las otras dos proyecciones lo puede ver en el CDF.
Observemos que en la región R1 el sólido está entre las superficies y = 1 y y = 4 mientras que en las
otras dos regiones, el solido está entre las superficies y = x2 + z2 y y = 4.
R1
R2
R3
0.5 1.0 1.5 2.0
X
0.5
1.0
1.5
2.0
Z
VQ =
ZZ
R1
3dA +
ZZ
R2
4 − x2
− z2
dA +
ZZ
R3
4 − x2
− z2
dA
=
Z 1
0
Z √
1−x2
0
3dzdx +
Z 1
0
Z √
4−x2
√
1−x2
4 − x2
− z2
dzdx +
Z 2
1
Z √
4−x2
0
4 − x2
− z2
dzdx
Ejemplo 5.7
Sea Q el sólido limitado por las superficies
x2 + z2 = 4,
x + y = 5, z = 2, y = z = 0.
Plantear la o las integrales dobles necesarias
para calcular VQ usando como región R cada una
de las proyecciones del sólido sobre los planos
YZ, XZ, XY
Ver con CFDPlayer
5
2
3
4
2
2
Solución:
Cálculo de VQ proyectando sobre el plano XZ.
La proyección Ryz sobre el plano xz se muestra en la figura. La ecuación de la curva C2 corresponde a
x2 + z2 = 4 con x ∈ [0,2].](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-199-320.jpg)
![5.3 Área y Volumen (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 200
Sobre la región Ryz, el sólido Q esta entre las superficies y = 0 (abajo) y y = 5 − x (arriba).
2
5
3
1
Usando el orden de integración “dxdz” tenemos
VQ =
Z 2
0
Z 5
√
4−z2
5 − x − 0dxdz
=
Z 2
0
29
2
−
z2
2
− 5
p
4 − z2 dz
=
29z
2
−
z3
6
−
5z
√
4 − z2
2
− 10 arcsin
z
2
2
0
=
83
3
− 5π ≈ 11.9587
Nota: Utilizando la sustitución trigonométrica
z
2
= senθ, se obtiene (salvo constantes)
Z p
4 − z2 dz =
z
√
4 − z2
2
+ 2 arcsin
z
2
.
Cálculo de VQ proyectando sobre el plano YZ.
La proyección Ryz sobre el plano yz se muestra en la figura Para hallar la ecuación de la curva C1
observe que esta curva esta arriba del eje y por lo que:
C1 : x2
+ z2
= 4 ∩ x + y = 5 =⇒
z = +
p
4 − (5 − y)2 si y ∈ [3,5]
o
y = 5 −
√
4 − z2 si z ∈ [0,2]](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-200-320.jpg)
![5.3 Área y Volumen (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 201
2
5
2
3
Sobre la región Ryz, el sólido Q está entre las superficies x =
√
4 − z2 (abajo) y x = 5 − y (arriba).
Usando el orden de integración “dydz” tenemos
VQ =
Z 2
0
Z 5−
√
4−z2
0
5 − y −
p
4 − z2 dydz =
83
3
− 5π ≈ 11.9587
Cálculo de VQ proyectando sobre el plano XY.
La proyección sobre el plano se muestra en la figura. La ecuación de la curva C3 corresponde a
y = 5 − x con x ∈ [0,5]. Esta curva divide la región de integración en dos regiones R1 y R2. El sólido
Q esta limitado por las superficies
z =
√
4 − x2 (abajo) y z = 2 (arriba) sobre R1
z = 0 (abajo) y z = 2 (arriba) sobre R2
2
5 3
2
Usando el orden de integración “dydx” tenemos](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-201-320.jpg)
![5.4 Cambio de variable en una integral doble. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 204
5.7 Plantear la o las integrales necesarias para calcular el volumen del
sólido Q si este sólido está limitado por las superficies y = 2 − 2x2;
y = 1 − x2; y + 2z = 2; x = 0 y z = 0; en el I octante.
1
1 2
1
X
Y
Z
5.8 Plantear la integral que da el volumen del sólido Q, del ejemplo 5.8, proyectando sobre el plano
XY
5.9 Plantear la o las integrales necesarias para calcular el volumen
sólido Q si este sólido está limitado por la superficie y2 + z2 = 4 y los
planos 2x − 2y + z = 2; x = 0 y z = 0.
1
2
3
2
3
2
5.10 Considere el sólido Q limitado por el cilin-
dro x2 + y2 = 1/4, el cono 3z2 = x2 + y2, la esfera
x2 + y2 + z2 = 1 y los planos x = 0 y x = y; tal y como se
muestra en la figura 5.3.
Plantear la integral (o las integrales) necesarias para
calcular el volumen del sólido Q
5.4 Cambio de variable en una integral doble.
En una variable, si f tiene una derivada continua en [a, b] y x = x(u) está definida en [u1, u2] con a = x(u1)
y b = x(u2), y si f (x(u)) es continua en [u1, u2], entonces](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-204-320.jpg)
![5.4 Cambio de variable en una integral doble. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 207
Ci : r
r
r(ui,v), v ∈ [vj,vj + ∆v] y el lado v = vj en la curva Cj : r
r
r(u,vj), v ∈ [ui,ui + ∆u].
Si además r
r
r−1 es continua, r
r
r es un homeomorfismo y la frontera del rectángulo Rij es ’mapeada’ en la
frontera de S = r
r
r(Rij) y el interior en el interior.
U
V
X
Y
Si r
r
r(ui,vj) = (xi,yj), un vector tangente en (xi,yj) en Ci es
∂r
r
r(ui,v)
∂v v=vj
. Como este vector representa la
velocidad a la que se desplaza el punto r
r
r(ui,v) cuando v va de vj a vj + ∆v, entonces en la curva Ci, (xi,yj)
se desplaza, en el tiempo ∆v, una distancia aproximada
∂r
r
r(ui,v)
∂v v=vj
∆v. Usando el teorema del valor medio
para derivadas lo diariamos así,
r
r
r(ui,v + ∆v) − r
r
r(ui,v) ≈ ∆u r
r
rv
Analogamente, un vector tangente en (xi,yj) en Cj es
∂r
r
r(u,vj)
∂v u=ui
. Como este vector representa la velocidad
a la que se desplaza el punto r
r
r(u,vj) cuando u va de ui a ui + ∆u, entonces en la curva CJ, (xi,yj) se
desplaza, en el tiempo ∆v, una distancia aproximada
∂r
r
r(u,vj)
∂u u=ui
∆u.
Por tanto, el rectángulo Rij en R, se transforma en una porción del plano XY que es casi el paralelogramo
de lados
∂r
r
r(ui,v)
∂v v=vj
∆v y
∂r
r
r(u,vj)
∂u u=ui
∆u. El área de este paralelogramo es, en términos de producto
vectorial,
∂r
r
r(ui,v)
∂v v=vj
×
∂r
r
r(u,vj)
∂u u=ui
∆u∆v](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-207-320.jpg)
![5.5 Coordenadas Polares. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 211
x = rcos(θ)
y = rsen(θ)
(*)
X
Y
Para efectos de cambio de variable, esta transformación es invertible si r 0 y si θ ∈ [θ0, θ0 + 2π[. Podemos
definir la inversa desde R+ × [0, 2π[ a R2 − {(0,0)} con r =
p
x2 + y2 y θ el único ángulo θ ∈ [0, 2π[ que
satisface (∗), es decir θ = arctan(y/x) si x 0 y θ = arctan(y/x) + π si x 0 pues arctan(t) está definida
en ] − π/2, π/2[ (si r = 0, el cambio de variable aplica todo el eje θ en el origen (0,0).)
r
θ
(3, π/6)
x
y
θ = π/6
r = 3
Poniendo u = r y v = θ tenemos el cambio de variable,
x = rcos(θ)
y = rsen(θ)
En este caso,
J(r,θ) =
∂x
∂r
∂x
∂θ
∂y
∂r
∂y
∂θ
= r
X
Y
Como ya indicamos, este cambio de variable es invertible si r 0 y si θ ∈ [θ0, θ0 + 2π [ (a veces es cómodo
tomar ángulos negativos).
Si en R y R0 se cumplen las condiciones del teorema de cambio de variable, entonces
ZZ
R
f (x,y)dA =
ZZ
R0
f (rcos(θ), rsen(θ))rdrdθ](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-211-320.jpg)
![5.5 Coordenadas Polares. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 213
x = ar cost y y = br sent; el Jacobiano es J = r ab
La nueva región es D = {(u,v) ∈ R2 |u2 + v2 ≤ 1}. La integral se puede hacer usando coordenadas polares
u = rcosθ y v = rsenθ.
Y, por supuesto, una elipse (o un círculo) con traslación se le puede aplicar una trasformación previa. Por
ejemplo, la región R =
(x,y) ∈ R2 |
(x − h)2
a2
+
(y − k)2
b2
≤ 1
se le aplica el cambio de variable
u =
x − 1
a
, v =
y − 2
b
. El jacobiano es |J| =
1
ab
.
La nueva región es D = {(u,v) ∈ R2 |u2 + v2 ≤ 1}. La integral se puede hacer usando coordenadas polares
u = rcosθ y v = rsenθ.
Ejemplo 5.11
Ver con CFDPlayer Requiere FreeCDF Player
Calcule, usando corrdenadas polares, el área de la región R tal y como se muestra en la figura.
Solución: La ecuación de la curva es
x2
+ y2
+ 2x =
q
x2 + y2
Como r2 = x2 + y2, haciendo la conversión a coordenadas
polares obtenemos la ecuación
r2
+ 2rcosθ = r,
es decir, r = 1 − 2cosθ
La curva inicia cuando r = 0. Resolvemos r = 0 =⇒ 1 − 2cosθ = 0 =⇒ θ = ±π/3 en [0,2π]. Así, la
región está entre los rayos θ = π/3 y θ = π. Entonces,
AR =
ZZ
R
1 · rdrdθ
=
Z π
π/3
Z 1−2cosθ
0
1 · rdrdθ
=
1
4
2π − 3
√
3](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-213-320.jpg)
![5.5 Coordenadas Polares. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 214
Ejemplo 5.12
Ver con CFDPlayer Requiere FreeCDF Player
Considere la región R que se muestra en la figura. Calcule,
usando corrdenadas polares,
I =
ZZ
R
q
x2 + y2 dA.
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
Solución: La región está entre las curvas r = 2 y r = 4sen2θ.
Como r = 0 =⇒ r = sen2θ = 0 =⇒ θ = 0 y θ =
π
2
.
Podemos verificar con la figura que el dominio de la curva
r = 4sen2θ es [0, π/2.]
Para obtener los límites de integración, buscamos la
intersección entre las curvas: r = 2 ∩
∩
∩ r = 4sen2θ, es decir,
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
2 = 4sen2θ =⇒ θ =
π
12
y θ =
5π
12
.
I =
ZZ
R
r · rdrdθ
=
Z 5π/12
π/12
Z 4sen2θ
2
r2
drdθ](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-214-320.jpg)
![5.5 Coordenadas Polares. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 216
1 − 2cosθ = 2sen(θ), elevamos al cuadrado,
−3 − 4cosθ + 8cos2 θ = 0, hacemos sustitución y resolvemos,
cosθ =
4 ±
√
112
16
La solución que nos sirve es θ1 = arccos
4−
√
112
16
≈ 1.994
Tangentes al polo:
1 − 2cosθ = 0 = =⇒ θ =
π
3
2senθ = 0 = =⇒ θ = 0
I =
Z
R
xy dA
=
Z π/3
0
Z 2sen(θ)
0
[rcos(θ) rsen(θ)] · rdrdθ
+
Z θ1
π/3
Z 2sen(θ)
1−2cos(θ)
r3
cos(θ) sen(θ)drdθ
con θ1 = arccos
4 −
√
112
16
!
Ejemplo 5.15
Calcule, usando corrdenadas polares, el área de la región
R tal y como se muestra en la figura.
Solución: La ecuación de la curva es r = 4 + 4sen3θ.
La curva inicia cuando r = 0. Resolvemos r = 0 =⇒
4 + 4sen3θ = 0 =⇒ θ = −
π
6
+ 2k
π
3
.
Como tenemos la figura, podemos verificar (posiblemente
con una tabla de valores) que los límites de integración
adecuados son θ = −
π
6
y θ =
π
2
.
1 2 3 4 5 6 7
1
1
2
3
4](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-216-320.jpg)
![5.8 Coordenadas cilíndricas. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 243
Ejercicios
22
5.31 Verifique, que el volumen del cono de base circular
de radio a y altura h es VC =
πa2h
3
.
Ayuda: El cono se puede modelar con la ecuación
x2 + y2 =
a2(z − h)2
h2
, tal y como se muestra en la figura. El
cono está entre z = 0 y z = h −
h
a
q
x2 + y2 pues z ≤ h.
X
Y
5.32 Calcule el volumen del sólido Q limitado por el cono
z2 = x2 + y2 y la esfera x2 + y2 + z2 = 1.
5.33 Calcule, usando coordenadas esféricas, el volumen del sólido Q limitado por un casquete de la
esfera x2 + y2 + z2 = 4 y el cilindro x2 + y2 = 1, como se muestra en la figura.
5.34 Sea I =
ZZZ
Q
q
x2 + y2 dV =
Z 2
0
Z √
4−x2
0
Z √
16−x2−y2
0
q
x2 + y2 dzdydx
a.) Dibuje el sólido Q. Observe que el sólido está entre las superficies z2 + x2 + y2 = 16, x2 + y2 =
4, x ∈ [0,2].
b.) Calcule I usando coordenadas cilíndricas.](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-243-320.jpg)
![5.9 (*) Coordenadas esféricas. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 249
Ejemplo 5.42
Calcular, usando coordenadas esféricas, el volumen
de la esfera Q : x2 + y2 + z2 = 1.
Solución: Vamos a calcular el volumen de un
octavo de esfera. Aplicando el cambio de variable,
ρ = 1, π/4 ≤ θ ≤ π/2 y 0 ≤ ϕ ≤ π/2. Notemos que
|sen ϕ| = sen ϕ en [0,π/2].
X
Y
VQ = 8 ·
ZZZ
Q
dV
= 8 ·
Z π/2
0
Z π/2
0
Z 1
0
ρ2
|sen ϕ|dρdθ dϕ
= 8 ·
Z π/2
0
Z π/2
0
ρ3
3
sen ϕ
1
0
dθ dϕ
= 8 ·
Z π/2
0
Z π/2
0
sen ϕ
3
dθ dϕ = 8 ·
−
π cos ϕ
6
π/2
0
=
4π
3
Ejemplo 5.43
Calcular
ZZZ
Q
x2
+ y2
dxdydz donde Q es la esfera (x − 1)2 + y2 + z2 = 1.
Solución: Como ya vimos, esta esfera se puede describir, en coordenadas esféricas, como
ρ = 2sen ϕ cosθ, −
π
2
≤ θ ≤
π
2
, 0 ≤ ϕ ≤ π
Notemos además que |sen ϕ| = sen ϕ en [0,π ]. Luego](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-249-320.jpg)
![5.9 (*) Coordenadas esféricas. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 250
ZZZ
Q
(x2
+ y2
)dV =
Z π
0
Z π/2
−π/2
Z 2sen ϕ cosθ
0
(ρ2
sen2
ϕ)ρ2
sen ϕdρdθ dϕ
=
Z π
0
Z π/2
−π/2
32
5
cos5
θ sin8
ϕdθ dϕ
=
Z π/2
−π/2
32
5
cos5
θ dθ ·
Z π
0
sin8
ϕdϕ =
512
75
·
35π
128
=
28π
15
.
Aquí usamos las integrales
Z
cos5
θ dθ =
5 sin(θ)
8
+
5 sin(3θ)
48
+
sin(5θ)
80
Z
sin8
ϕdϕ =
840 ϕ − 672 sin(2 ϕ) + 168 sin(4 ϕ) − 32 sin(6 ϕ) + 3 sin(8 ϕ)
3072
.
Ejemplo 5.44
Calcular el volumen del sólido Q de ecuación (x2 + y2 + z2)3 = z4 (ver figura).
Solución: Q se puede describir, en coordenadas esféricas, como
r = cos2
ϕ, 0 ≤ θ 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π
Notemos además que |sen ϕ| = sen ϕ en [0,π ]. Luego,
ZZZ
Q
dxdydz =
Z π
0
Z 2π
0
Z cos2 ϕ
0
r2
sen ϕdrdθ dϕ
=
Z π
0
Z 2π
0
cos(ϕ)6
sin(ϕ)
3
dθ dϕ
=
Z π
0
2πcos(ϕ)6
sin(ϕ)
3
dϕ = −
2π
3
cos(ϕ)7
7
π
0
=
4π
21](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-250-320.jpg)
![5.9 (*) Coordenadas esféricas. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 253
ZZZ
Q
zdV =
Z π/4
0
Z π/2
0
Z 1
0
z
z }| {
[ρsen(ϕ)cos(θ)] ·ρ2
sen(ϕ)dρdϕdθ
=
Z π/4
0
Z π/2
0
ρ4
4
sen2
(ϕ)cos(θ)
1
0
dϕdθ
=
Z π/4
0
Z π/2
0
1
4
sen2
(ϕ)cos(θ)dϕdθ =
Z π/4
0
θ
2
−
1
4
sen(2θ)
cosθ
4
π/2
0
dθ
=
Z π/4
0
π
4
cosθ
4
dθ =
π senθ
16
π/4
0
=
π
16
√
2
, pues sen(π/4) =
1
√
2
.
Ejercicios
23
5.36 Sea S la esfera de radio 1 centrada en el origen. Verifique que
ZZZ
S
e
√
(x2+y2+z2)3
dV =
4
3
π(e − 1)
5.37 Calcule, usando coordenadas esféricas, el volumen
del sólido Q limitado por el cono z2 = x2 + y2 y la esfera
x2 + y2 + z2 = 1.
5.38 Verifique, usando coordenadas esféricas, que el volumen del cono de base circular de radio a y
altura h es VC =
πa2h
3
.
Ayuda: El cono se puede modelar con la ecuación x2 + y2 =
z2a2
h2
, tal y como se muestra en la
figura.
X
Y
5.39 Use coordenadas esféricas para evaluar la integral](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-253-320.jpg)
![5.10 (*) Singularidades. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 254
Z 2
−2
Z √
4−y2
0
Z √
4−x2−y2
−
√
4−x2−y2
y2
q
x2 + y2 + z2 dzdxdy
5.40 [Volumen de un casquete de esfera]. El sólido Q está limitado por la esfera x2 + y2 + z2 = a2 y el
plano z = h con 0 h a (el caso h = a corresponde a media esfera). Usando coordenadas esféricas,
verifique que el volumen de Q es VQ =
h2π
3
(3a − h).
Ayuda: Esta es una integral sencilla (aunque asusta). Como sen(ψ) =
a − h
a
(ver figura), entonces
ϕ =
π
2
− arcsen
a − h
a
. La integral simplifica totalmente, pues el recorrido de ϕ sería evaluado con
cos ϕ y
cos
π/2 − arcsen
a − h
a
= sen
arcsen
a − h
a
=
a − h
a
.
X
Y
5.10 (*) Singularidades.
El método preferido para analizar el comportamiento de las funciones en sus singularidades es el paso al
límite. Si f (x,y) es continua en una región R excepto en un punto (a,b) entonces definimos Re = R − Be
donde Be es un círculo de radio e 0 alrededor de (a,b). Si lı́m
e→0
ZZ
Re
f (x,y)dxdy existe, entonces
ZZ
R
f (x,y)dxdy = lı́m
e→0
ZZ
Re
f (x,y)dxdy](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-254-320.jpg)
![5.10 (*) Singularidades. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 255
Ejemplo 5.46
Calcular
Z 1
0
Z 1
0
x
p
1 − y2
dydx.
Solución: Tenemos una singularidad en y = 1. Entonces
Z 1
0
Z 1
0
x
p
1 − y2
dydx = lı́m
e→0
Z 1
0
Z 1−e
0
x
p
1 − y2
dydx
= lı́m
e→0
Z 1
0
xarcseny|1−e
0 dx
= lı́m
e→0
Z 1
0
xarcsen(1 − e)dx
= lı́m
e→0
x2
2
arcsen(1 − e)
1
0
= lı́m
e→0
1
2
arcsen(1 − e) =
π
4
.
Ejemplo 5.47
Sea R el rectángulo [0,1] × [0,1]. Calcular
ZZ
R
1
√
xy
dxdy.
Solución: Hay un problema en x = 0,y = 0.
ZZ
R
1
√
xy
dxdy = lı́m
e→0
Z 1
e
Z 1
e
1
√
xy
dydx
= lı́m
e→0
4(1 −
√
e)2
= 4.
Integrales impropias y primitivas. El Teorema de Darboux dice que si una función P es primitiva de otra
función, entonces P debe cumplir el Teorema del Valor Intermedio: La imagen de un intervalo es también un
intervalo. En particular, las funciones que tienen una discontiniudad de salto en un intervalo, no pueden tener
primitiva en este intervalo. Por ejemplo,
1.
Z
1
x2
dx = −
1
x
+ K pero
Z 1
−1
1
x2
dx 6= 0, en realidad
Z 1
−1
1
x2
dx es divergente](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-255-320.jpg)
![5.10 (*) Singularidades. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 256
2. Variaciones de este ejemplo son
Z 5
2
1
(x − 4)2
dx,
Z 1
−1
1
x
dx
3. En varias variables, si calculamos sin tener en cuenta las singularidades podemos obtener cosas como
Z 1
−1
Z 1
−1
x2 − y2
(x2 + y2)2
dxdy = −π mientras que
Z 1
−1
Z 1
−1
x2 − y2
(x2 + y2)2
dxdy = π
Ejercicios
24
5.41 Verifique que
ZZ
R
1
√
x − y
dxdy =
8
3
donde R es el rectángulo [0,1] × [0,1].
5.42 Verifique que
ZZ
R
lnxdxdy = 2 − e donde R = {(x,y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ ey, 0 ≤ y ≤ 1}.
5.43 Sea a 0. Calcular
ZZ
D
s
1 +
x2 + y2
a − x2 − y2
dA si D es el disco x2 + y2 ≤ a.](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-256-320.jpg)
![6.2 Superficies regulares. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 260
es parametrizar S como
r
r
r(x,y) = x ı̂ + y ̂ + 0 · k̂, (x,y) ∈ D.
Ejemplo 6.2
Sea S la porción del paraboloide z = x2 + y2 entre
z = 0 y z = 1. Entonces S se puede parametrizar
como,
S : r
r
r(x,y) = x ı̂ + y ̂ + (x2
+ y2
) k̂, (x,y) ∈ D = {(x,y) : x2
+ y2
≤ 1}.
También, z = x2 + y2 se podría ver como circunferen-
cias de radio
√
z, entonces
S : r
r
r(θ,z) =
√
zcost ı̂ +
√
zsint ̂ + z k̂, θ ∈ [0,2π[ y z ∈ [0,1].
X
Y
Ejemplo 6.3
Sea S1 : x2 + y2 = a2, 0 ≤ z ≤ h. S es el cilindro de la figura.
Esta superficie se puede parametrizar como
r
r
r(θ,z) = acosθ ı̂ + asenθ ̂ + z k̂, con (θ,z) ∈ D = [0,2π[×[0,h].
6.2 Superficies regulares.
Sea S : r
r
r(u,v) = x(u,v) ı̂ + y(u,v) ̂ + z(u,v) k̂ con (u,v) ∈ D. r
r
r es de clase C1 si x(u,v), y(u,v) y z(u,v)
son de clase C1 (funciones continuamente diferenciables). En este caso, consideremos los vectores
∂r
r
r
∂u
=
∂x
∂u
,
∂y
∂u
,
∂z
∂u
y
∂r
r
r
∂v
=
∂x
∂v
,
∂y
∂v
,
∂z
∂v
. Los vectores
∂r
r
r
∂u P
y
∂r
r
r
∂v P
son tangentes a S en P.](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-260-320.jpg)
![6.3 Área de una superficie. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 261
Definición 6.1
Sea D abierto y sea S una superficie parametrizada por r
r
r : D ⊂ R2 −→ R3 de clase C1. Decimos
que S es una superficie regular en (u,v) si
∂r
r
r
∂u
×
∂r
r
r
∂v
6= 0̂
0̂
0̂. Si S se puede partir en un número finito de
elementos regulares se dice regular a trozos.
Caso z = f (x,y)
Observe que si S : z = f (x,y) entonces si r
r
r(x,y) = x ı̂ + y ̂ + f (x,y) k̂ en D con fx y fy continuas,
∂r
r
r
∂x
×
∂r
r
r
∂y
= (−fx, −fy, 1) 6= 0̂
0̂
0̂.
con lo cual la superficie S es regular en D.
6.3 Área de una superficie.
La idea de la definición de área de una superficie paramétrica consiste en aproximar el área de S,
denotada AS, sumando las áreas de sus “planos tangentes” en una malla de puntos, es decir el área de los
paralelogramos generados por los vectores escalados ∆ui r
r
ru y ∆vj r
r
rv. Luego tomados el límite cuando ∆vj →
→
→ 0
y ∆uj →
→
→ 0.
Y
D
Consideremos el caso particular de un rectánguo. Sea D = [a,b] × [c,d] y sea S una superficie parametrizada
por r
r
r(x,y) en D, con r
r
r una función definida y acotada sobre R. Supongamos que MD es una partición de
D con n2 rectángulos. Si a = x0 x1 ... xn = b y c = y0 y1 ... yn = d (igualmente espaciados, es
decir, si n →
→
→ ∞ entonces ∆xi, ∆yi,→
→
→ 0), cada rectángulo Rij tiene un vértice en (xi,yi). Sea ∆Aij el área de la
imagen de cada rectángulo Rij. Cada imagen r
r
r(Rij) es aproximadamente un paralelogramo si ∆xi y ∆yi son
pequeños, es decir, cada imagen r(Rij) se puede aproximar muy bien con el plano tangente en ese punto.
En el punto r
r
r(xi,yj) de la superficie S, el plano tangente tiene ecuación
Ti(s,t) : r
r
r(xi,yj) + tr
r
rx(xi,yj) + sr
r
ry(xi,yj), con t,s ∈ R.](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-261-320.jpg)
![6.3 Área de una superficie. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 266
Ejemplo 6.6 (Usando coordenadas rectangulares).
Calcular el área de la superficie S : y + x2 + z2 = 4.
Solución: La proyección sobre XZ esta limitada por
el círculo x2 + z2 = 4 y la ecuación de la superficie es
S : y = 4 − x2
− z2
.
Figura 6.1: Superficie S
Primera manera:
AS =
ZZ
Dxz
q
1 + y2
x + y2
z dA
=
ZZ
Dxz
p
1 + 4x2 + 4z2 dA, cambio de variable:
x = rcosθ
z = rsenθ,
=
Z π/2
0
Z 2
0
p
1 + 4r2 cos2 θ + 4r2 sen2 θ rdrdθ
=
Z π/2
0
Z 2
0
r
p
1 + 4r2 drdθ
=
Z π/2
0
1 + 4r2
3
2
12
2
0
dθ =
π
24
(17
√
17 − 1) ≈ 9.04423.
Segunda manera: Podemos usar la parametrización r
r
r(y,θ) =
p
4 − y cosθ ı̂ + y ̂ +
p
4 − y senθ k̂ con
y ∈ [0,4] y θ ∈ [0,π/2].
AS =
ZZ
D
∂r
r
r
∂y
×
∂r
r
r
∂θ
dydθ =
Z π/2
0
Z 4
0
p
17/4 − y dydθ =
π
24
(17
√
17 − 1).](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-266-320.jpg)
![6.3 Área de una superficie. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 267
Ejemplo 6.7
Calcular el área de la superficie S : y + z = 6 tal y como se ve en la figura (a).
Solución: Como S : y(x,z) = 6 − z, usamos la parametrización r
r
r(x,z) = x ı̂ + (6 − z) ̂ + z k̂ sobre la
región D definida por x ∈ [0,
√
2] y 2 ≤ z ≤ 4 − x2. Entonces yx = 0 y yz = −1. La proyección sobre
Dxz se ve en la figura (b).
AS =
ZZ
Dxz
q
1 + y2
x + y2
z dA
=
Z √
2
0
Z 4−x2
2
√
2 dzdx
=
Z √
2
0
√
2(2 − x2
)dx =
8
3
Ejemplo 6.8 (Parametrizando con coordenadas esféricas y con coordenadas rectangulares).
Calcular el área de la superficie de la esfera S : x2 + y2 + z2 = a2.
Solución: Vamos a calcular de dos maneras, parametrizan-
do con coordenadas esféricas y parametrizando con coordenadas
rectangulares (más complicado).](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-267-320.jpg)
![6.3 Área de una superficie. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 268
Primera manera: Coordenadas esféricas. La esfera la podemos parametrizar con coordenadas esféricas,
S : r
r
r(θ, ϕ) = asen ϕcosθ ı̂ + asen ϕsenθ ̂ + acos ϕ k̂, con (θ, ϕ) ∈ D = [0,2π[×[0,π]
∂r
r
r
∂θ
= (−asenθ sen ϕ, acosθ sen ϕ, 0)
∂r
r
r
∂ϕ
= (acosθ cos ϕ, acos ϕ senθ, −asen ϕ)
=⇒
∂r
r
r
∂θ
×
∂r
r
r
∂z
= a2 sen ϕ
AS =
ZZ
D
∂r
r
r
∂θ
×
∂r
r
r
∂ϕ
dϕdθ =
Z 2π
0
Z π
0
a2
sen ϕdϕdθ = 4a2
π.
Segunda manera: Coordenadas rectangulares. Usamos la parametrización r
r
r(x,y) = x ı̂ + y ̂ +
p
a2 − x2 − y2 k̂. Solo vamos a calcular el área de la parte superior de la esfera. El área total la
obtenemos multiplicando por dos.
zx = −
x
p
a2 − x2 − y2
zy = −
y
p
a2 − x2 − y2
=⇒ AS = 2
ZZ
D
q
1 + z2
x + z2
y dA = 2
ZZ
D
s
1 +
x2 + y2
a − x2 − y2
dA
Conviene hacer cambio de variable y usar coordenadas polares. Observe que las derivadas se indefinen
en la frontera del círculo (si r = a). La integral se calcula desde 0 hasta r = e con 0 e a. Al final
hacemos e −→ a.
AS = 2
ZZ
D
s
1 +
x2 + y2
a − x2 − y2
dA
= 2
Z 2π
0
Z e
0
a
√
a2 − r2
rdrdθ si ;e −→ a (integral impropia!)
= 2
Z 2π
0
a2
dθ = 4a2
π
Para calcular
Z e
0
a
√
a2 − r2
rdr hacemos u = a2 − r2, du = −2rdr
r
r. Queda
−
1
2
Z a2−e2
a2
a
√
u
du = −
a
2
√
u
1/2
a2−e2
a2
= a2
− a
p
a2 − e2 −→ a2
si e −→ a.
Nota: Observe que AS también se pudo calcular con AS =
ZZ
D
q
F
F
F2
x + F2
y + F2
z
|Fz|
dA. En este caso F
F
F(x,y,z) =
x2 + y2 + z2 − a2 = 0. Puesto que esta fórmula solo se puede usar si la proyección es uno a uno con la
superficie, solo podemos considerar la parte superior de la esfera. Pasando a polares, la integral queda
igual al cálculo anterior.](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-268-320.jpg)
![6.4 Integral sobre una superficie. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 269
Ejemplo 6.9 (Usando una parametrización de S).
Calcular el área del cilindro x2 + y2 = a2 de altura h, es
decir 0 ≤ z ≤ h.
Solución: Como ya vimos, la parametrización de esta
superficie es
r
r
r(θ,z) = acosθ ı̂ + asenθ ̂ + z k̂, (θ,z) ∈ D = [0,2π[×[0,h].
Luego,
r
r
rθ = (−asenθ, acosθ, 0)
r
r
rz = (0, 0, 1)
∂r
r
r
∂θ
×
∂r
r
r
∂z
= ||(acosθ,asenθ,0)|| = a.
Entonces,
AS =
ZZ
D
∂r
r
r
∂θ
×
∂r
r
r
∂z
dzdθ =
Z 2π
0
Z h
0
adzdθ = 2hπa.
6.4 Integral sobre una superficie.
Supongamos que tenemos una región plana S y queremos determinar la cantidad de “fluido” a través de
S (se supone que el fluido puede atravesar la superficie sin ninguna resistencia). La cantidad de fluido es
“densidad por el ‘volumen’ que ocupa”. Si el flujo se mueve con velocidad constante V
V
V, entonces durante un
intervalo de tiempo ∆t llenará un cuboide de base S y “extensión” (arista) ∆tV
V
V. El volumen de este cuboide
es “área de la base” ∆S por “altura”, la altura h se calcula con la norma proyección de V
V
V sobre el vector
normal unitario a S, denotado N
N
N. Como se sabe, h = ||(∆tV
V
V · N
N
N) N
N
N|| = ∆tV
V
V · N
N
N, entonces
Volumen del cuboide sobre S = V
V
V · N
N
N ∆S∆t](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-269-320.jpg)
![6.4 Integral sobre una superficie. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 275
a.) Calcular I usando coordenadas rectangulares, S : x =
p
a2 − y2.
b.) Calcular I usando la parametrización S1 : r
r
r(θ,z) = acosθ ı̂ + asenθ ̂ + z k̂, (θ,z) ∈ D =
[−π/2,π/2] × [0,h].
Solución:
a.) Proyectando sobre YZ, S : x =
p
a2 − y2. En este caso,
q
1 + x2
y + x2
z =
a
p
a2 − y2
ZZ
S
1
a2 + z2
dS =
ZZ
D
1
a2 + z2
a
p
a2 − y2
dydz
=
Z a
−a
a
p
a2 − y2
dy
Z h
0
1
a2 + z2
dz (la primera integral es impropia),
= lı́m
e→0+
aarcsen
y
a
a−e
−a+e
·
1
a
arctan
z
a
h
0
=
a
π
2
+ a
π
2
1
a
arctan
h
a
.
b.) En este caso, esta es la manera fácil. Usando la parametrización uno-uno
r
r
r(θ,z) = acosθ ı̂ + asenθ ̂ + z k̂, (θ,z) ∈ D = [−π/2,π/2] × [0,h].
rθ = (−asenθ, acosθ, 0)
rz = (0, 0, 1)
∂r
r
r
∂θ
×
∂r
r
r
∂z
= ||(acosθ,asenθ,0)|| = a.
ZZ
S
1
a2 + z2
dS =
ZZ
D
1
a2 + z2
∂r
r
r
∂θ
×
∂r
r
r
∂z
dzdθ =
Z π/2
−pi/2
Z h
0
a
a2 + z2
dzdθ = πarctan
h
a
.](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-275-320.jpg)
![6.4 Integral sobre una superficie. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 276
Note que usando esta parametrización no tenemos problemas de singularidades.
Ejemplo 6.14 (Usando coordenadas esféricas).
Considere la integral de superficie I =
ZZ
S1
lnzdS con
S el casquete de esfera x2 + y2 + z2 = 1, 1
2 ≤ z ≤ 1.
a.) Calcular I usando la parametrización (coordenadas esféricas)
S1 : r
r
r(θ, ϕ) = (sen ϕ cosθ, sen ϕsenθ, cos ϕ), con (θ, ϕ) ∈ [0,2π[×[0,π/3].
b.) Calcular I usando la parametrización
S1 : r
r
r(z,θ) =
p
1 − z2 cost ı̂ +
p
1 − z2 sent ̂ + z k̂ con
1
2
≤ z ≤ 1 y θ ∈ [0,2π[.
c.) Calcular I usando coordenadas rectangulares
Solución:
a.) Vamos a usar una parametrización del casquete de la esfera basada en coordenadas esféricas.
Observe que los parámetros son θ y ϕ. En este caso, ρ = 1.
x = sen ϕ cosθ
y = sen ϕsenθ
z = cos ϕ
=⇒ r
r
r(θ, ϕ) = (sen ϕ cosθ, sen ϕsenθ, cos ϕ), con (θ, ϕ) ∈
[0,2π[×[0,π/3].
El valor ϕ = π/3 se obtiene de resolver z = 1 · cos ϕ = 1
2. Luego,](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-276-320.jpg)
![6.4 Integral sobre una superficie. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 277
rθ = (−sinθ sin ϕ,cosθ sin ϕ,0)
rϕ = (cosθ cos ϕ,cos ϕ sinθ,−sin ϕ)
∂r
r
r
∂θ
×
∂r
r
r
∂ϕ
= sen ϕ 0 en [0,π/3],
Las variables de integración son ϕ y θ, así que debemos sustituir z en el integrando. Para resolver
la integral se hace la sustitución u = cos ϕ,
ZZ
S
lnz dS =
Z 2π
0
Z π/3
0
ln(cos ϕ)sen ϕdϕdθ = −
Z 2π
0
Z cosπ/3
1
ln(u)dudθ = π (ln2 − 1)
b.) Como S : x2 + y2 = 1 − z2, con 1
2 ≤ z ≤ 1; podemos parametrizar el casquete como
r
r
r(z,θ) =
p
1 − z2 cost ı̂ +
p
1 − z2 sent ̂ + z k̂ con
1
2
≤ z ≤ 1 y θ ∈ [0,2π[.
∂r
r
r
∂z
×
∂r
r
r
∂θ
= (−
√
1 − z2 cost, −
√
1 − z2 sent, −z) = 1
En este caso las variables de integración son z y θ así que no hay nada que sustituir en la integral,
ZZ
S
lnzdS =
Z 2π
0
Z 1
1/2
ln(z) · 1dzdθ = = π (ln2 − 1)
c.) En coordenadas rectangulares S : z =
p
1 − x2 − y2, con z ∈ [1/2,1]. Entonces la proyección
sobre el plano XY está entre las circunferencias x2 + y2 = 3/4 y x2 + y2 = 1. Las variables de
integración son x e y así que debemos sustituir z en el integrando,](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-277-320.jpg)
![6.8 Teorema de la Divergencia. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 292
Convenio para superficies cerradas. En el caso de superficies cerradas, se conviene en que si N
N
N apunta hacia
afuera, esta es “la orientación positiva” y si N
N
N apunta hacia adentro, esta es “la orientación negativa”.
6.8 Teorema de la Divergencia.
Ahora nos interesa analizar el flujo de un campo vectorial F
F
F(x,y,z) = (P,Q,R) continuamente diferenciable, a
través de la frontera S = ∂Q de un sólido simple Q, en la dirección del vector normal unitario exterior a ∂Q.
El flujo total se puede separar entre el flujo que entra al sólido y el flujo que sale, en cada cara del sólido el
flujo podría ser distinto.
Divergencia significa “alejarse de”. Intuitivamente, la “divergencia” es la densidad de flujo o flujo neto por
unidad de volumen; es la cantidad de flujo que entra o sale en un punto y se calcula como el “cambio de flujo
total”, es decir, la suma de el cambio de F en la dirección de X, el cambio de F en la dirección de Y y el
cambio de F en la dirección de Z.
En un caso sencillo, se toma un cubo Q centrado en (a,b,c) con aristas paralelas a los ejes. Calcular el flujo
sobre S = ∂Q requiere calcular el flujo sobre cada una de las caras.
En la cara que contiene al punto (a + ∆x/2,b,c) (punto rojo en la figura anterior) la estimación del flujo total
F
F
Ftx+ sería
Ftx+ ≈ F
F
F(a + ∆x/2,b,c) · (1,0,0)∆y∆z = P(a + ∆x/2,b,c)∆y∆z
En la cara (opuesta) que contiene al punto (a − ∆x/2,b,c) la estimación del flujo total F
F
Ftx− sería
Ftx− ≈ F
F
F(a + ∆x/2,b,c) · (−1,0,0)∆y∆z = −P(a − ∆x/2,b,c)∆y∆z
Luego el flujo total estimado en ambas caras sería,
Ftx+ + Ftx− ≈ [P(a + ∆x/2,b,c) − P(a − ∆x/2,b,c)]∆y∆z =
∂P
∂x
(a,b,c)∆x∆y∆z si ∆x ≈ 0](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-292-320.jpg)
![Curvas y parametrizaciones.
Longitud de una curva.
Integral de línea para campos escalares.
(∗)Longitud de arco en coordenadas pola-
res.
Integral de línea de campos vectoriales.
Trabajo.
Campos conservativos. Independencia
de la trayectoria.
Teorema de Green (en el plano).
Área como una integral de línea.
Teorema de Stokes (Teorema de Green en
el espacio).
7 — Integral de línea.
7.1 Curvas y parametrizaciones.
Definición 7.1
Consideremos la función vectorial continua r
r
r : [a,b] −→ Rn con r
r
r(t) = (x1(t),x2(t),...,xn(t)). La
representación gráfica de r
r
r se dice que es la curva C determinada por r
r
r y que une los puntos A = r
r
r(a)
y B = r
r
r(b).
Si r
r
r(a) = r
r
r(b), la curva se dice cerrada.
Si r
r
r es inyectiva en [a,b], la curva se dice simple. Si r
r
r es cerrada y es inyectiva en ]a,b], la curva se
dice cerrada simple. Las curvas cerradas simples se llaman curvas de Jordan.
A r
r
r le llamamos una parametrización de C.
Curva Curva simple Curva cerrada Curva cerrada simple
Figura 7.1: Curvas](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-301-320.jpg)
![7.1 Curvas y parametrizaciones. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 302
Ejemplo 7.1
Consideremos la curva C : y2 + (z − 1)2 = 1 iniciando en
A = (0,0,0) y finalizando en B = (0,0,2), tal y como se muestra
en la figura.
Una parametrizacion de esta curva es
C : r
r
r(t) = (0,cost, 1 + sent) con t ∈ [−π/2,π/2]
Observemos que
r
r
r(−π/2) = (0, cos(−π/2), 1 + sen(−π/2)) = (0,0,0)
r
r
r(π/2) = (0, cos(π/2), 1 + sen(π/2)) = (0,0,2)
X
Y
Z
A
B
Figura 7.2: Curva C : r
r
r(t) = (0,cost, 1 + sent)
La ecuación polar de esta curva: r = 2sent con t ∈ [0, π/2].
Ejemplo 7.2
Sean A = (2,0,1) y B = (0,2,2). Consideremos la curva
C : r
r
r(t) = A + t · (B − A) con t ∈ [0,1]. Este es un segmento de
recta que inicia en A y terina en B tal y como se muestra en la
figura.
Una parametrizacion de esta curva es
C : r
r
r(t) = (2 − 2t, 2t, t + 1) con t ∈ [0,1]
X
Z
Figura 7.3: Curva C : r(t) = A + t · (B − A)
Observemos que](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-302-320.jpg)
![7.1 Curvas y parametrizaciones. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 303
r
r
r(0) = (2 − 2 · 0, 2 · 0, 0 + 1) = A
r
r
r(1) = (2 − 2 · 1, 2 · 1, 1 + 1) = B
La derivada de r
r
r se define de la manera usual
r
r
r0
(t) = lı́m
h→0
r
r
r(t + h) − r
r
r(t)
h
= (x0
1(t),x0
2(t),...,x0
n(t))
Ejemplo 7.3
Consideremos la curva C parametrizada por
r
r
r(t) = (1 + cost) ı̂ + (1 + sent) ̂ + (1 + 1
2 sent) k̂ con t ∈ [0,3].
r
r
r0(t) = −sent ı̂ + cost ̂ + (1
2 sent + t
2 cost) k̂
En la figura se representa la traslación de este vector velocidad r
r
r0(t).
X
Y
Z
Figura 7.4: Curva r
r
r(t) = (1 + cost) ı̂ + (1 + sent) ̂ + (1 + 1
2 sent) k̂](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-303-320.jpg)
![7.1 Curvas y parametrizaciones. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 304
Ejemplo 7.4
Consideremos la curva C parametrizada por r
r
r(t) = t ı̂ + (4 − t) ̂ + (4 − (t − 1)2) k̂ con t ∈ [0,3].
A = r
r
r(0) = (0, 4 − 0,4 − (0 − 1)2) = (0,4,3) y B = r
r
r(3) = (3, 4 − 3,4 − (3 − 1)2) = (3,1,0).
r
r
r0(t) = ı̂ − 1 ̂ + −2(t − 1) k̂. En particular, r
r
r0(1) = (1,−1,0). En la figura se representa la
traslación de este vector velocidad al punto P = r
r
r(1).
Figura 7.5: Curvas
Curvas regulares. Sea r
r
r(t) una parametrización de una curva C en el plano o en el espacio. El parámetro t
podría ser tiempo, ángulo, longitud de arco, coordenada x, etc. Decimos que la curva C es regular o ’suave’
en [a,b] si r
r
r0(t) es continua en [a,b] y r
r
r0(t) 6= 0
0
0 para todo t ∈ [a,b] (es decir las componentes de r
r
r no se
anulan simultáneamente). También decimos que una curva C es regular a trozos en [a,b] si es regular en cada
subintervalo de alguna partición finita de [a,b].
Figura 7.6: Curva regular a trozos
En R2 escribimos r
r
r(t) = (x(t),y(t)) o también r
r
r(t) = x(t) ı̂ + y(t) ̂, con t ∈ [a,b]
En R3 escribimos r
r
r(t) = (x(t),y(t),z(t)) o también r
r
r(t) = x(t) ı̂ + y(t) ̂ + z(t) k̂, con t ∈ [a,b]](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-304-320.jpg)
![7.1 Curvas y parametrizaciones. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 305
Una función vectorial es de clase C1 si las derivadas de sus componentes son continuas.
Ejemplo 7.5 (Curvas Orientadas).
Consideremos las curvas C1 y C2
X
Y
1 1 2
1
2
3
4
X
Y
1 1 2
1
2
3
4
Figura 7.7: Curvas C1 y C2.
Ambas curvas tienen ecuación, en coordenadas rectangulares, y = x2 con x ∈ [−1,2]. Pero C1 inicia en
A = (−1,1) y termina en B = (2,4); mientras que C2 inicia en B y termina en A.
Para parametrizar cada curva debemos tomar en cuenta su orientación.
Una parametrización de C1 es (tomando a x = t como parámetro),
r
r
r(t) = (x(t), y(t)) = ( t
|{z}
x(t)
, t2
|{z}
y(t)
) o también r
r
r(t) = t
|{z}
x(t)
ı̂ + t2
|{z}
y(t)
̂ con t ∈ [−1,2].
Observe que
r
r
r(−1) = (x(−1), y(−1)) = (−1, (−1)2) = A y r
r
r(2) = (2, 22) = B.
Como C2 es C1 con la otra orientación, entonces podemos parametrizar C2 con r1(t) = r(a + b − t),
de esta manera r1(t) = r(−1 + 2 − t) = r(1 − t)
r
r
r1(t) = (x(1 − t), y(1 − t)) = (1 − t, (1 − t)2
) o también r
r
r1(t) = (1 − t)
| {z }
x(t)
ı̂ + (1 − t)2
| {z }
y(t)
̂ con t ∈ [−1,2].
Observe que r
r
r1(−1) = B y r
r
r1(2) = A.](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-305-320.jpg)
![7.1 Curvas y parametrizaciones. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 306
(Cambio de orientación).
si r(t) es una parametrización con t ∈ [a,b], entonces una parametrización que invierte la orientación es
r1(t) = r(a + b − t) con t ∈ [a,b]
(Curvas r = g(θ)).
Si la curva C tiene ecuación r = g(θ) entonces una parametrización es r(t) = (g(t)cost, g(t)sent).
(Parametrizar una elipse contra-reloj).
Una elipse de ecuación
(x − h)2
a2
+
(y − k)2
b2
= 1 se puede parametrizar con
r
r
r(t) = (h + acost) ı̂ + (k + bsent) ̂ con t ∈ [0,2π[.
En particular la circunferencia (x − h)2 + (y − k)2 = a2 se puede parametrizar con
r
r
r(t) = (h + acost) ı̂ + (k + asent) ̂ con t ∈ [0,2π[.
Ejemplo 7.6
Ver con CFDPlayer
Sea C la curva de ecuación
(x − 1)2
+ (y − 2)2
= 16; z = 3.
Se trata de una circunferencia en el plano z = 3, es
decir, un caso particular de elipse. Una parametriza-
ción es
r
r
r(t) = (1 + 4cos t) ı̂ + (2 + 4sen t) ̂ + 3 k̂, t ∈ [0,2π[
Observe que r
r
r(0) = (5,2,3) = r
r
r(2π).
Figura 7.8: Curva C.](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-306-320.jpg)
![7.1 Curvas y parametrizaciones. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 307
Ejemplo 7.7
Ver con CFDPlayer Requiere FreeCDF Player
Considere la curva C = C1 + C2 + C3 + C4 + C5 + C6 . La curva inicia en A = (2,0,0) y fnaliza en
B = (2,4,1). La curva C1 es el trozo de circunferencia x2 + z2 = 4 y las otras curvas son segmentos de
recta, tal y como se ve en la figura. Parametrizar C.
(2,2,2)
Solución:
C1 es un cuarto de circunferencia de radio 2, en el plano XZ. La podemos parametrizar con
C1 : r1(t) = (2cost, 0, 2sent), t ∈ [0, π/2]
C2 es un segmento de recta paralelo el eje Y. Podemos tomar como parámetro a y = t, además
x(t) = 0 y z(t) = 2. Una parametrización es
C2 : r2(t) = (0, t, 2), t ∈ [0,2],
C3 es un segmento de recta paralelo el eje X. Podemos tomar como parámetro a x = t, además
y(t) = 2 y z(t) = 2. Una parametrización es
C3 : r3(t) = (t, 2, 2), t ∈ [0,2],
C4 es un segmento de recta paralelo el eje Z. Podemos tomar como parámetro a z = t, además
y(t) = 2 y x(t) = 2. Si t ∈ [0,2], la orientación queda invertida, lo cual denotamos con −C4 en la
parametrización que sigue,
−C4 : r4(t) = (2, 2, t), t ∈ [0,2]
C5 es un segmento de recta paralelo el eje Y. Podemos tomar como parámetro a y = t, además
x(t) = 2 y z(t) = 0. Una parametrización es
C5 : r5(t) = (2, t, 0), t ∈ [2,4]](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-307-320.jpg)
![7.1 Curvas y parametrizaciones. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 308
C6 es un segmento de recta paralelo el eje Z. Podemos tomar como parámetro a z = t, además
y(t) = 4 y x(t) = 2. Una parametrización es
C6 : r6(t) = (2, 4, t), t ∈ [0,1]
Segmentos de recta. Sean A,B ∈ R3. El segmento de recta que va de A hasta B se puede parametrizar con
r(t) = A + t(B − A) con t ∈ [0,1].
El punto inicial es r(0) = A + 0·(B − A) = A; el punto final es r(1) = A + 1·(B − A) = B y el punto
medio es r(1/2) = A +
1
2
·(B − A) =
A + B
2
.
Ejemplo 7.8
El segmento C1 que va de A = (1,2,0) hasta B = (2,1,2)
se puede parametrizar con
r(t) = A + t(B − A)
= (1 + t, 2 − t, 2t) con t ∈ [0,1].
Ejemplo 7.9
Considere la curva C = C1 + C2 + C3 tal y como se
muestra en la figura. Parametrizar C.
Solución:
C1 es un segmento de recta sobre el eje Y por
tanto x(t) = 0 y z(t) = 0. Una parametrización
es
r1(t) = (0, t, 0) con t ∈ [0,3].
C2 es un cuarto de circunferencia de radio 3,
en el plano YZ. Lo podemos parametrizar con
r2(t) = (0, 3cost, 3sent) con t ∈ [0,π/2].](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-308-320.jpg)
![7.1 Curvas y parametrizaciones. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 309
C3 es un segmento de recta que va de (2,1,2) hasta (0,0,3). Podemos parametrizar con
r3(t) = (2,1,2) + t[(0,0,3) − (2,1,2)]
= (2 − 2t, 1 − t, 2 + 2t) con t ∈ [0,1]
Ejemplo 7.10
Ver con CFDPlayer Requiere FreeCDF Player
Considere la curva C de intersección entre las superficies S1 : z = 4 − x2 y el plano S2 : x + y = 3 en el
primer octante. Determine una parametrización para C.
Solución: Si tomamos a x = t, entonces la curva S1 : z = 4 − x2 se parametriza con r0(t) = (t,0,4 − t2) y
la paramerización de C se obtiene usando el hecho de que y = 3 − x, pues la curva está en el plano S2.
Una paramerización es
C : r(t) = (t, 3 − t ,4 − t2
), t ∈ [0,2]](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-309-320.jpg)
![7.1 Curvas y parametrizaciones. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 310
Ejemplo 7.11
Considere la curva C de intersección entre el plano
2x − 2y + z = 2 y el cilindro y2 + z2 = 4. Determine
una parametrización para C.
Solución: Los puntos de C son puntos
(x(t),y(t),z(t)) en donde y(t) y z(t) están en
la circunferencia y2 + z2 = 4, es decir, podemos
poner y(t) = 2cost y z(t) = 2sent.
Como x(t) está en el plano 2x − 2y + z = 2,
despejando: x(t) = 1 − z(t)/2 + y(t), ahora podemos
escribir
C : r(t) = (1 + 2cost − sent, 2cost, 2sent) con t ∈ [0,π/2]
Observe que r(0) = (3, 2, 0) y r(π/2) = (0, 0, 2).
Ejemplo 7.12
Considere la curva C de intersección entre el cilindro
x2 + y2 = 1 y el plano z = 2 − x. Parametrizar C.
Solución: Hay varias maneras de parametrizar
C. Veamos dos maneras.
Primera manera: Los puntos de C son puntos
(x(t), y(t), z(t)) con x(t) y y(t) sobre la
circunfe-rencia x2 + y2 = 1, por lo tanto
podemos poner x(t) = cost y y(t) = sent.
Como z(t) está en el plano z = 2 − x, entonces
z(t) = 2 − x(t). Una parametrización podría ser
C : r(t) = (cost, sent, 2 − cost) con t ∈ [0,π/2]
Observe que r(0) = (1,0,1) y que r(π/2) =
(0,1,2).
Segunda manera: Ver los puntos de C con x(t) y z(t) sobre la recta z = 2 − x y y(t) en el el
cilindro x2 + y2 = 1. Una parametrización se podría obtener tomando a x = t como paramétro:](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-310-320.jpg)
![7.1 Curvas y parametrizaciones. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 311
−C : r(t) = (t,
p
1 − t2, 2 − t) con t ∈ [0,1]
La parametrización invierte la orientación, eso lo indicamos con ”−C”.
Ejercicios
28
7.1 Determine una parametrización para cada una de las siguientes curvas.
a.) b.)
X
Y
X
Y
c.) d.)
e.) f.)
plano](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-311-320.jpg)
![7.2 Longitud de una curva. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 312
7.2 Longitud de una curva.
Consideremos una curva C regular y simple, parametrizada por r
r
r en [a,b]. Para calcular la longitud de C,
la idea es partir el intervalo [a,b] en n partes [a,t1] ∪ [t1,t2] ∪ ... ∪ [tn−1,b] y considerar una línea poligonal
inscrita en C, como se muestra en la figura.
Ver con CFDPlayer
Figura 7.9: Longitud de arco como una integral de Riemann.
La longitud de la curva (“rectificable”) se define como el límite al cual tiende la suma de las longitudes de los
segmentos de la línea poligonal cuando ||P|| = Máx(ti−1 − ti) −→ 0 si n −→ ∞, es decir
s = lı́m
n→∞
n
∑
i=1
||r
r
r(ti) − r
r
r(ti−1)||
Si C es regular, por el teorema del valor medio podemos poner ||r
r
r(ti) − r
r
r(ti−1)|| = ||r
r
r0(ξi)(ti − ti−1)|| con
ξi ∈]ti,ti−1[ y concluir
lı́m
n→∞
n
∑
i=1
||r
r
r0
(ξi)4t|| =
Z b
a
||r
r
r0
(t)||dt
Definición 7.2 (Longitud de una curva).
Sea C regular, simple y parametrizada por r
r
r(t), t ∈ [a,b]. Si ds = ||r
r
r0(t)||dt, entonces la longitud (de
arco) de C es
s =
Z
C
1 · ds =
Z b
a
||r
r
r0
(t)||dt
Además, la longitud de arco no depende de la parametrización de C (ni, por tanto, de la orientación).](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-312-320.jpg)
![7.2 Longitud de una curva. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 313
Sea C parametrizada por r
r
r(t) con t ∈ [a,b].
Caso C : r
r
r(t) = x(t) ı̂ + y(t) ̂
Si r
r
r(t) = x(t) ı̂ + y(t) ̂ con t ∈ [a,b] entonces
s =
Z
C
ds =
Z b
a
||r
r
r0
(t)||dt =
Z b
a
q
(x0(t))2 + (y0(t))2 dt
Caso C : y = f (x)
Si y = f (x) entonces tomando x = t tenemos
s =
Z
C
||r
r
r0
(t)||dt =
Z b
a
q
1 + (f 0(x))2 dx
Caso C : r
r
r(t) = x(t) ı̂ + y(t) ̂ + z(t) k̂
Si r
r
r(t) = x(t) ı̂ + y(t) ̂ + z(t) k̂ con t ∈ [a,b] entonces
s =
Z
C
ds =
Z b
a
||r
r
r0
(t)||dt =
Z b
a
q
(x0(t))2 + (y0(t))2 + (z0(t))2 dt
Ejemplo 7.13
Calcular la longitud de la circunferencia de un círculo de radio a.
Solución: La circunferencia C se puede parametrizar con
C : r(t) = acos(t)
| {z }
x(t)
ı̂ + asen(t)
| {z }
y(t)
̂ con t ∈ [0,2π[.
r0
(t) = −asen(t)
| {z }
x0(t)
ı̂ + acos(t)
| {z }
y0(t)
̂
s =
Z
C
ds =
Z b
a
||r
r
r0
(t)||dt =
Z 2π
0
q
(asent)2 + (acost)2 dt =
Z 2π
0
adt = 2aπ
Ejemplo 7.14
Calcular la longitud de la la hélice x(t) = 2cos(t), y(t) = 2sen(t), z(t) = t/4 con t ∈ [0,2π].
Solución:](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-313-320.jpg)
![7.2 Longitud de una curva. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 314
r(t) = 2cos(t)
| {z }
x(t)
ı̂ + 2sen(t)
| {z }
y(t)
̂ + t/4
|{z}
z(t)
k̂ con t ∈ [0,2π].
r0(t) = −2sen(t)
| {z }
x0(t)
ı̂ + 2cos(t)
| {z }
y0(t)
̂ + 1/4
|{z}
z0(t)
k̂
Z
C
ds =
Z b
a
||r
r
r0
(t)||dt =
Z 2π
0
r
4sen2(t) + 4cos2(t) +
1
16
dt
=
Z 2π
0
r
65
16
dt = 2π
r
65
16
.
Ejercicios
29
7.2 Calcular la longitud de la curva C : y =
√
x3, x ∈ [0,44]
7.3 Calcular la longitud de la curva C : x =
2
3
(y − 1)3/2
, y ∈ [1, 4].
7.4 Calcular la longitud de la curva C : y2 = (2x − 1)3, x ∈ [1/2, 4] (Ayuda: La curva tiene dos ramas).
7.5 Calcular la longitud de la curva C : y = log(secx), x ∈ [0, π/4]
7.6 Calcular la longitud de la curva C : y =
x3
6
+
1
2x
, x ∈ [1, 2]
7.7 Plantear la o las integrales que dan la longitud de las siguientes curvas,
a.) b.)
1
1 2 3 4
1
2
3](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-314-320.jpg)
![7.3 Integral de línea para campos escalares. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 316
Definición 7.3
Sea f : U ⊂ Rn −→ R continua y C una curva suave y simple, contenida en U y parametrizada por
r
r
r(t) con t ∈ [a,b], entonces la integral de línea de f sobre C es
Z
C
f ds =
Z b
a
f (r
r
r(t))||r
r
r0
(t)||dt
Ejemplo 7.15
Sea C el arco de parábola x = y2 con y ∈ [0,
√
2]. Calcular
Z
C
2x − 2y2
+ 8yds
Solución: Usemos y = t como parámetro,
C : r(t) = t2
|{z}
x(t)
ı̂ + t
|{z}
y(t)
̂ con t ∈ [0,
√
2].
r0
(t) = 2t
|{z}
x0(t)
ı̂ + 1
|{z}
y0(t)
̂
Entonces ds = ||r
r
r0(t)||dt =
p
[x0(t)]2 + [y0(t)]2 dt =
p
(2t)2 + 12 dt
Z
C
2x − 2y2
+ 8yds =
Z √
2
0
(2t2
− 2t2
+ 8t)
q
(2t)2 + 12 dt
=
Z √
2
0
8t
p
4t2 + 1dt
=
2
3
(4t2
+ 1)3/2
√
2
0
= 52/3
Ejemplo 7.16
Calcular
Z
C
(x2
+ y2
)5
ds con C la circunferencia x2 + y2 = 4.
Solución: Una parametrización de la circunferencia es
C : r(t) = 2cost ı̂ + 2sent ̂, con t ∈ [0,2π].
Como ds = ||r
r
r0(t)||dt = ||4sen2 t + 4cos2 t||dt = 2dt entonces](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-316-320.jpg)
![7.3 Integral de línea para campos escalares. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 317
Z
C
(x2
+ y2
)5
ds =
Z 2π
0
45
2dt = 2 · 45
· 2π.
Ejemplo 7.17
Calcular
Z
C
z2
x2 + y2
ds con C la espira (una vuelta) de la hélice x(t) = 2cos(t), y(t) = 2sen(t), z(t) = 2t.
Solución: Como ||r
r
r0(t)|| = ||4sen2 t + 4cos2 t + 4|| =
√
8, entonces
Z
C
z2
x2 + y2
ds =
Z 2π
0
4t2
4
√
8dt =
16
√
2
3
π3
.
Ejercicios
30
7.8 Calcular
Z
C
xy2
ds donde C es la mitad superior de la circunferencia de ecuación x2 + y2 = 16
7.9 Calcular
Z
C
xds donde C es el arco de parábola C : y = x2 con x ∈ [−1,1].
7.10 Calcular
Z
C
xy + z
2x − y
ds donde C es el segmento de recta que va de (0,0,0) a (1,1,0).
7.11 Calcule la integral de línea
Z
C
x + y + z
x2 + y2 + z2
ds
donde C es el segmento de recta que va desde
A = (1,1,1) hasta el punto B = (2,2,2), tal y como
se muestra en la figura a la derecha](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-317-320.jpg)
![7.4 (∗)Longitud de arco en coordenadas polares. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 319
Longitud de arco en coordenadas polares
Z
C
f ds =
Z θ2
θ1
f (r(θ)cos(θ),r(θ)sen(θ))
q
[r0(θ)]2 + r2(θ)dθ
Ejemplo 7.18
Calcular
Z
C
x
q
x2 − y2 ds con C la curva de ecuación
(x2 + y2)2 = 4(x2 − y2), x ≥ 0.
Figura 7.10: Curva C
Solución: Cambiando a polares la curva queda con ecuación r = 2
p
cos(2θ) donde −
π
4
≤ θ ≤
π
4
.
Además
(x0
)2
+ (y0
)2
= [r0
(θ)]2
+ r2
(θ) =
−
2sen(2θ)
√
cos2θ
2
+
2
q
cos(2θ)
2
=
4
cos2θ
Z
C
x
q
x2 − y2 ds =
Z π/4
−π/4
rcosθ
p
r2 cos2 θ − r2 sen2 θ
s
4
cos(2θ)
dθ
= 8
Z π/4
−π/4
cos2θ cosθ dθ (sustituyendo r y simplificando).
= 8
Z π/4
−π/4
cosθ − 2sen2
θ cosθ dθ (sustituyendo cos2θ = cos2
θ − sen2
θ)
= senθ − 2
sen3 θ
3
π/4
−π/4
=
16
√
2
3.](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-319-320.jpg)
![7.5 Integral de línea de campos vectoriales. Trabajo. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 321
En la definición anterior, C puede ser regular, cerrada y simple. En particular si C es la unión de curvas
regulares y simples C1, C2, ...,Cm, escribimos C = C1 + C2 + ... + Cm y definimos
Z
C
F
F
F · dr
dr
dr =
Z
C1
F
F
F · dr
dr
dr +
Z
C2
F
F
F · dr
dr
dr + ··· +
Z
Cn
F
F
F · dr
dr
dr
El vector unitario tangente es T =
r
r
r0(t)
||r
r
r0(t)||
y dr
r
r = (dx1(t), dx2(t),...,dxn(t)) =
(x
0
1(t)dt, x
0
2(t)dt,...,x
0
n(t)dt). Si C esta parametrizada por r
r
r(s) (usando la longitud de arco s
como parámetro) con 0 ≤ s ≤ `, entonces como dr
dr
dr = r
r
r0(t)dt =
r
r
r0(t)
||r
r
r0(t)||
||r
r
r0
(t)||dt = T
T
T ds, tenemos
Z
C
F
F
F · dr
dr
dr =
Z `
0
(F · T)ds
La función escalar F
F
F · T puede tener discontinuidades de primera espacie ligadas a algún punto esquina
de C.
Si C está parametrizada por r
r
r(t) con t ∈ [a,b], entonces
Z
C
F
F
F · dr
dr
dr =
Z b
a
(F
F
F(r
r
r(t)) ·
r
r
r0(t)
||r
r
r0(t)||
)||r
r
r0
(t)||dt =
Z b
a
(F
F
F(r
r
r(t)) · r
r
r0
(t)dt
F
F
F(x,y) = P(x,y) ı̂ + Q(x,y) ̂
Sea F
F
F(x,y) = P(x,y) ı̂ + Q(x,y) ̂, como dx = x0(t)dt y dy = y0(t)dt, podemos escribir
Z
C
F
F
F · dr
dr
dr =
Z b
a
F
F
F(r
r
r(t)) · r
r
r0
(t)dt =
Z b
a
Pdx + Qdy
Es decir,
Z
C
F
F
F · dr
dr
dr =
Z b
a
Pdx + Qdy
=
Z b
a
(P(x(t),y(t)), Q(x(t),y(t)) · (x0
(t), y0
(t))dt
F
F
F(x,y,z) = P(x,y,z) ı̂ + Q(x,y,z) ̂ + R(x,y,z) k̂
Si F
F
F(x,y,z) = P(x,y,z) ı̂ + Q(x,y,z) ̂ + R(x,y,z) k̂, como dx = x0(t)dt, dy = y0(t)dt y dz = z0(t)dt,
podemos escribir](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-321-320.jpg)
![7.5 Integral de línea de campos vectoriales. Trabajo. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 322
Z
C
F
F
F · dr
dr
dr =
Z b
a
F
F
F(r(t)) · r0
(t)dt =
Z b
a
Pdx + Qdy + Rdz
Es decir,
Z
C
F
F
F · dr
dr
dr =
Z b
a
Pdx + Qdy + Rdz
=
Z b
a
(P(x(t),y(t),z(t)), Q(x(t),y(t),z(t)), R(x(t),y(t),z(t))) · (x0
(t), y0
(t), z0
(t))dt
Cuando una curva C es parametrizada por r
r
r(t) con t ∈ [a,b], entonces inducimos una orientación en
C. Distintas parametrizaciones pueden inducir distintas orientaciones.
Por ejemplo, en la figura se tiene la curva y = 2sen(x) con x ∈ [0,3]. Dos parametrizaciones que
inducen orientaciones opuestas son r
r
r1(t) = (t,sent) y r
r
r2(t) = (3 − t,sen(3 − t)) ambas con t ∈ [0,3].
Figura 7.12: Orientación inducida por dos parametrizaciones.
Si r1(t) parametriza C en una dirección con vector tangente T y r2(t) parametriza C en sentido
contrario, con vector tangente −T, entonces denotamos la segunda curva como −C y admitimos como
válido que
Convenio
Z
−C
F
F
F · dr
dr
dr = −
Z
C
F
F
F · dr
dr
dr
Más adelante, cuando veamos el teorema de Green, usaremos la siguiente noción de orientación: la curva
cerrada C está orientada positivamente, respecto a una región D, si al movernos sobre C, la región siempre está a
nuestra izquierda.
Note que el trabajo W puede ser un número negativo. Esto ocurre cuando la fuerza actúa en contra del
desplazamiento de la partícula.
En la sección 7.9, la integral
Z
C
F
F
F · dr
dr
dr se interpreta como “la suma” de las componentes de F
F
F tangentes
a la curva. Si C es cerrada, esta integral indica cómo F
F
F tiende a circular alrededor de la curva. Esta
interpretación es la que usamos para el teorema de Green.](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-322-320.jpg)
![7.5 Integral de línea de campos vectoriales. Trabajo. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 323
Ejemplo 7.19
Consideremos una fuerza constante F
F
F(x,y) = 1 ı̂ +0 ̂.
Calcule
Z
C
F
F
F · dr
dr
dr si C el segmento de recta que se
muestra en la figura.
Solución: Usamos a x = t como parámetro. La para-
metrización r
r
r(t) = t ı̂ + 1 ̂, t ∈ [0,2], parametriza a
“−C” pues r
r
r(0) = (0,1) = B y r
r
r(2) = (2,1) = A.
Figura 7.13: Curva C
Es costumbre escribir,
−C : r
r
r(t) = t ı̂ + 1 ̂, t ∈ [0,2],
r
r
r0
(t) = 1 ı̂ + 0 ̂
Como F
F
F(x,y) = 1 ı̂ + 0 ̂ entonces P(x,y) = 1 y Q(x,y) = 0.
Z
C
F
F
F · dr
dr
dr = −
Z
−C
F
F
F · dr
dr
dr
= −
Z
C
(P(x(t),y(t)), Q(x(t),y(t))) · (x0
(t), y0
(t))dt
= −
Z 2
0
(1, 0) · (1, 0)dt
= −
Z 2
0
1dt = −2
Ejemplo 7.20
Sea F
F
F(x,y) = x ı̂ + (x + y) ̂. Calcule
Z
C
F
F
F · dr
dr
dr si C es la curva de ecuación es y = x2, x ∈ [−1,2] tal y
como se muestra en la figura.
Solución: Usamos a x = t como parámetro. La parametrización r
r
r(t) = t ı̂ + t2 ̂, t ∈ [−1,2], parametriza
a “−C” pues r
r
r(−1) = (−1,1) = B y r
r
r(2) = (2,4) = A.](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-323-320.jpg)
![7.5 Integral de línea de campos vectoriales. Trabajo. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 324
Es costumbre escribir,
−C : r
r
r(t) = t ı̂ + t2
̂, t ∈ [−1,2],
r
r
r0
(t) = 1 ı̂ + 2t ̂
Como F
F
F(x,y) = x ı̂ + (x + y) ̂ entonces P(x,y) = x
y Q(x,y) = x + y.
Z
C
F
F
F · dr
dr
dr = −
Z
−C
F
F
F · dr
dr
dr
= −
Z
C
(P(x(t),y(t)), Q(x(t),y(t))) · (x0
(t), y0
(t))dt
= −
Z 2
−1
(t, t + t2
) · (1, 2t)dt
= −
Z 2
−1
t + 2t2
+ 2t3
dt = −15
Figura 7.14: Curva C
Ejemplo 7.21
Calcular
Z
C
y2
dx + x2
dy donde C es la elipse
x2
4
+
y2
9
= 1.
Solución: Podemos usar la parametrización
−C : r
r
r(θ) = 2cosθ ı̂ + 3senθ ̂ con θ ∈ [0,2π].
Como F
F
F(x,y) = (y2,x2) entonces P = y2 y Q = x2.
Entonces,
Figura 7.15: Curva C.](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-324-320.jpg)
![7.5 Integral de línea de campos vectoriales. Trabajo. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 325
Z
C
y2
dx + x2
dy =
Z
C
F
F
F · dr
r
r
= −
Z 2π
0
(9sen2
θ, 4cos2
θ) · (−2senθ, 3cosθ)dθ
= −
Z 2π
0
−18sen3
θ + 12cos3
θ dθ = 0 ( Usar: cos3
θ = (1 − sen2
θ)cosθ.)
Ejemplo 7.22
Sea F
F
F(x,y,z) = 2xln(yz) ı̂ +
x2
y
− 5ex
̂ +
x2
z
+ 2z
k̂ y sea C la curva de la figura. Calcular
Z
C
F
F
F · dr
dr
dr.
Solución:
−C1 : r
r
r1(t) = (0,t,1) con t ∈ [1,3],
C2 : r
r
r2(t) = (0,1,t) con t ∈ [1,2]. Figura 7.16: Curva C = C1 ∪ C2.
Luego
Z
C
F
F
F · dr
dr
dr =
Z
C1
F
F
F · dr
dr
dr +
Z
C2
F
F
F · dr
dr
dr = −
Z 3
1
F
F
F(r
r
r1(t)) · r
r
r0
1(t)dt +
Z 2
1
F
F
F(r
r
r2(t)) · r
r
r0
2(t)dt
= −
Z 3
1
F
F
F(0,t,1) · r
r
r0
1(t)dt +
Z 2
1
F
F
F(0,1,t) · r
r
r0
2(t)dt
= −
Z 3
1
(0,−5,2) · (0,1,0)dt +
Z 2
1
(0,−5,2t) · (0,0,1)dt
= −
Z 3
1
[0 + (−5) · 1 + 0] dt +
Z 2
1
[0 + 0 + (2t) · 1]dt = 13](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-325-320.jpg)
![7.5 Integral de línea de campos vectoriales. Trabajo. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 326
Ejemplo 7.23
Sea F
F
F(x,y,z) = (z + cosx) ı̂ + (2z + xcosx) ̂ + x k̂.
Calcular
Z
C
C
C
F
F
F · dr
dr
dr si C = C1 + C2 + C3, tal y como se
muestra en la figura de la derecha.
Solución:
Una parametrización para C es
C :
−C1 : r1(t) = (2,1,t), t ∈ [0,2]
−C2 : r2(t) = (t,1,0), t ∈ [0,2]
−C3 : r3(t) = (0,t,0), t ∈ [0,1] Figura 7.17
Así
Z
C
C
C
F
F
F · dr
dr
dr = −
Z 2
0
(t + cos(2), 2t + 2cos(2), 2) · r0
1(t)dt −
Z 2
0
(cost, tcost, t) · r0
2(t)dt −
Z 1
0
(t,0,0) · r0
3(t)dt
= −
Z 2
0
(t + cos(2), 2t + 2cos(2), 2) · (0,0,t)dt −
Z 2
0
(cost, tcost, t) · (1,0,0)dt −
Z 1
0
(t,0,0) · (0,1,0)dt
= −
Z 2
0
2tdt −
Z 2
0
costdt − 0
= −t2 2
0
− sent|2
0 = −4 − sen(2)
Ejemplo 7.24
Sea F
F
F(x,y,z) = (x + y) ı̂ + (y − z) ̂ + (x + z) k̂ y sea C la curva de la figura 7.18. Calcular
Z
C
F
F
F · dr
dr
dr.
Solución: Primero parametrizamos C.
C1 se puede parametrizar usando la fórmula para el segmento de recta que va desde A1 = (1,2,0) hasta
A2 = (0,4,2), es decir,
C1 : r
r
r1(t) = A1 + t(A2 − A1) = (1 − t) ı̂ + (2 + 2t) ̂ + 2t k̂, con t ∈ [0,1].](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-326-320.jpg)
![7.5 Integral de línea de campos vectoriales. Trabajo. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 327
C2 se puede parametrizar tomando z = t.
Y
Z
F
Y
Z
Figura 7.18: Curva C
C1 : r
r
r1(t) = (1 − t) ı̂ + (2 + 2t) ̂ + 2t k̂, t ∈ [0,1],
√
√
√
−
−
−C2 : r
r
r2(t) = (0,t2,t), t ∈ [0,2], r
r
r2(0) = (0,0,0) y r
r
r2(2) = A2.
Z
C
F
F
F · dr
dr
dr =
Z
C1
F
F
F · dr
dr
dr−
Z
C2
F
F
F · dr
dr
dr
=
Z 1
0
F
F
F(r1(t)) · r0
1(t)dt −
−
−
Z 2
0
F
F
F(r2(t)) · r0
2(t)dt
=
Z 1
0
(3 + t,2,1 + t) · (−1,2,2)dt −
−
−
Z
0
(t2
,t2
− t,t) · (0,2t,1)dt
=
Z 1
0
t + 3 dt −
−
−
Z 2
0
t − 2t2
+ 2t3
dt = −
−
−
23
6
Ejemplo 7.25
Sea F
F
F(x,y) = (y2, x2). Calcule
Z
C
F
F
F · dr
dr
dr donde C es la curva de la figura 7.19.](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-327-320.jpg)
![7.5 Integral de línea de campos vectoriales. Trabajo. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 328
Solución: Parametrizamos C,
C1 : r1(t) = (t,0) con t ∈ [0,1]
C2 : r2(t) = (1,t) con t ∈ [0,1]
−C3 : r3(t) = (t,t2) con t ∈ [0,1] X
Y
0.5
Figura 7.19: Curva C = C1 ∪ C2 ∪ C3.
Z
C
y2
dx + x2
dy =
Z
C1
y2
dx + x2
dy +
Z
C2
y2
dx + x2
dy −
Z
−C3
y2
dx + x2
dy
=
Z 1
0
(0,t2
) · (1,0)dt +
Z 1
0
(t2
,1) · (0,1)dt −
Z 1
0
(t4
,t2
) · (1,2t)dt
=
Z 1
0
0dt +
Z 1
0
1dt −
Z 1
0
[t4
+ 2t3
]dt =
3
10
.
Ejercicios
31
7.14 Calcular
Z
C
F
F
F · dr
dr
dr, F(x,y) = xi − yj, C1 : (x −
3)2 + y3 = 1 donde C = C1 ∪ C2. X
Y
7.15 Calcule
Z
C
xdy − ydx donde C = C1 ∪ C2
X
Y](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-328-320.jpg)
![7.6 Campos conservativos. Independencia de la trayectoria. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/).
330
7.20 Considere el campo de fuerzas
F
F
F(x,y,z) = 4xez ı̂ + ycos(z) ̂ + 2x2ez k̂.
Sea C la curva de la figura a la derecha. Calcule
Z
C
F
F
F · dr
dr
dr.
7.6 Campos conservativos. Independencia de la trayectoria.
Una condición para que la integral de línea no dependa de la trayectoria que une a A con B es que exista ϕ
tal que F
F
F = ∇ϕ con ϕ ∈ C1. En este caso podemos calcular la integral de línea usando cualquier camino que
una A con B o también, usando el Teorema Fundamental para la integral de línea.
Definición 7.5
Un conjunto D ⊂ Rn se dice conexo si todo par de puntos de D se pueden unir con una curva regular a
trozos contenida en D. Es decir, D es de “una sola pieza”.
Un conjunto D ⊂ Rn abierto y conexo se dice simplemente conexo si toda curva cerrada simple C en
D, encierra una región que está también en D. Es decir, los conjuntos simplemente conexos no tienen
“agujeros”.
Un conjunto D ⊂ Rn se dice convexo si para todo par de puntos A,B ∈ D, el segmento de recta que une
A con B está contenido en D, es decir, {A + t(B − A) : t ∈ [0,1]} ⊂ D.](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-330-320.jpg)
![7.6 Campos conservativos. Independencia de la trayectoria. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/).
334
Primer Manera: Con un camino C0 que inicia en (2,0,4) y ter-
mina en (0,0,0). El camino que hemos escogido se ve en la figura.
−C1 : r1(t) = (t,0,4) con t ∈ [0,2]
−C2 : r2(t) = (0,0,t) con t ∈ [0,4]
Z
C0
F
F
F · dr
dr
dr =
Z
C1
F
F
F · dr
dr
dr +
Z
C2
F
F
F · dr
dr
dr
= −
Z 2
0
F
F
F(t,0,4) · r0
1(t)dt −
Z 4
0
F
F
F(0,0,t) · r0
2(t)dt
= −
Z 2
0
(4e4
t,1,2e4
t2
) · (1,0,0)dt −
Z 4
0
(0,1,0) · (0,0,1)dt
= −
Z 2
0
4te4
dt = −8e4
.
X
Y
Figura 7.21: Curva C0 = C1 ∪ C2.
Segunda Manera: Con una función potencial.
ϕx = 4xez =⇒ ϕ(x,y,z) =
Z
4xez
dx = 2x2
ez
+ K1(y,z),
ϕy = cos(y) =⇒ ϕ(x,y,z) =
Z
cosy dy = seny + K2(x,z), =⇒ ϕ(x,y,z) = 2x2
ez
+ seny + C
ϕz = 2x2ez =⇒ ϕ(x,y,z) =
Z
2x2
ez
dz = 2x2
ez
+ K3(x,y).
Finalmente,
Z
C
F
F
F · dr
dr
dr = ϕ(0,0,0) − ϕ(2,0,4) = −8e4
.
Comentario: La condición “simplemente conexo” para que F sea conservativo.
Sea F(x,y) =
−y
x2 + y2
,
x
x2 + y2
definido en R2 − {(0,0)}. Se verifica que Py = Qx pero
Z
C
F · dr = 2π si C es la circunferencia x2
+ y2
= 1,
lo cual indica que F no tiene función potencial.
Lo mismo pasa si consideramos F(x,y,z) =
−y
x2 + y2
,
x
x2 + y2
, 0
para R3 − {(0,0,0)}](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-334-320.jpg)
![7.9 Teorema de Stokes (Teorema de Green en el espacio). (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 343
Ejemplo 7.32 (Área de un polígono simple).
Verifique que el área de un polígono simple de n vértices {(x0,y0),...,(xn−1,yn−1)} es
A =
n−1
∑
k=0
(xk+1 + xk)(yk+1 − yk)
2
Asumimos que (x0,y0) = (xn,yn).
...
. . .
.
.
.
.
.
Solución: El área del polígono es, por el teorema de Green en el plano,
AP =
I
C
xdy =
ZZ
D
1dA
Aquí C = C1 + C2 + ... + Cn−1 y cada segmento Ci está parametrizado por
ri(t) = ((xk+1 − xk)t + xk , (yk+1 − yk)t + yk) con t ∈ [0,1],
entonces,
AP =
I
C
xdy =
n−1
∑
k=0
I
Ci
(yk+1 − yk)[(xk+1 − xk)t + xk] dt =
n−1
∑
k=0
(xk+1 + xk)(yk+1 − yk)
2
7.9 Teorema de Stokes (Teorema de Green en el espacio).
Rotacional de un campo vectorial. Sea F
F
F = (P,Q,R) entonces el rotacional de F
F
F es](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-343-320.jpg)
![7.9 Teorema de Stokes (Teorema de Green en el espacio). (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 344
RotF
F
F =
ı̂ ̂ k̂
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
P Q R
= (Ry − Qz, Pz − Rx, Qx − Py).
El gradiente, la divergencia y el rotacional se puede expresar en términos del operador “nabla”,
∇ =
∂
∂y
,
∂
∂y
,
∂
∂y
Este operador lo aplicamos como si fuera un vector. De esta manera,
∇f =
∂
∂y
,
∂
∂y
,
∂
∂y
f =
∂ f
∂y
,
∂ f
∂y
,
∂ f
∂y
∇ · F
F
F =
∂
∂y
,
∂
∂y
,
∂
∂y
(P,Q,R) =
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
+
∂R
∂z
∇ × F
F
F =
∂
∂y
,
∂
∂y
,
∂
∂y
× (P,Q,R) = (Ry − Qz, Pz − Rx, Qx − Py)
Circulación y vorticidad. La “vorticidad” es la tendencia de un fluido que se mueve a girar un objeto que es
arrastrado por este fluido.
La “circulación” es el movimiento total del fluido a medida que viaja a
lo largo de una curva. La circulación de un fluido sobre una circunfe-
rencia C en un plano z = c se mide con la componente tangencial de
F
F
F, es decir, se mide con F
F
F · T
T
T donde T
T
T =
r0(t)
||r0(t)||
.
———
El “movimiento total” del fluido sobre C se obtiene integrando respecto a la longitud de arco,
circulación =
Z
C
F
F
F · T
T
T ds =
Z
C
F
F
F · dr
dr
dr
Si la circunferencia es C : r
r
r(t) = (a + rcost) ı̂ + (a + rsent) ̂ + c k̂ con t ∈ [0,2π] y si F
F
F(x,y,z) = (−ky,0,0),
entonces RotF
F
F = (0,0,k) y
circulación =
Z
C
F
F
F · dr
dr
dr = kπr2
= RotF
F
F · N
N
Nz Acírculo](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-344-320.jpg)
![7.9 Teorema de Stokes (Teorema de Green en el espacio). (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 346
Ejemplo 7.33
Sea S1 la superficie de ecuación z = 2 definida sobre el círculo
D = {x2 + y2 ≤ 4}, tal y como se muestra en la figura. La curva
C es la frontera de S1. Una parametrización para C es
r
r
r(t) = 2cost
| {z }
x(t)
i + 2sent
| {z }
y(t)
j + 2
|{z}
z(t)
k, t ∈ [0,2π]
Si F
F
F(x,y,z) = 3y i−xz j + yz2k,
a.) calcular
Z
C
F · dr
r
r usando la definición de integral de lí-
nea,
b.) utilice el Teorema de Stokes para calcular
Z
C
F · dr
r
r.
————————- . Ver en 3D (en Internet)
——
X
Y
Solución:
a.) Por definición de integral de línea.
Z
C
F · dr
r
r =
Z
C
F
F
F(r
r
r(t)) · r0
(t)dt
=
Z 2π
0
(3 · 2sent,−(2cost)(2),(2sent)(2)2
) · (−2sent,2cost,0)dt
=
Z 2π
0
− 12sen2
t − 8cos2
tdt = −20π
b.) La superficie es S : z = 2 y la proyección es el círculo x2 + y2 = 4.
El vector N
N
N se debe tomar de acuerdo a la regla de la mano derecha: N
N
N =
(−zx,−zy,1)
||(−zx,−zy,1)||
= (0,0,1).
Luego, RotF
F
F = (x + z2, 0, −3 − z). Entonces,
Z
C
F · dr
r
r =
Z Z
S
RotF
F
F · N
N
N dS =
Z Z
Rxy
(x + z2
,0,−3 − z) · (0,0,1)dA =
Z Z
Rxy
−3 − z dA
=
Z Z
Rxy
−5dA, pues S1 : z = 2
=
Z 2π
0
Z 2
0
−5rdrdθ = −20π](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-346-320.jpg)
![8.1 Apéndice A: Más sobre cónicas (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 361
Bcos2 θ − 2Asenθ cosθ + 2Csenθ cosθ − Bsen2 θ = 0 =⇒ (C − A)sen(2θ) + Bcos(2θ) = 0.
Si A 6= C, tan(2θ) =
B
A − C
. Aquí tomamos la solución θ =
arctan(B/(A − C))
2
∈] − π/4,π/4[.
Si A = C, entonces Bcos(2θ) = 0. Para eliminar la rotación podemos tomar θ = π/4.
Si θ = α es el ángulo que anula el coeficiente del término “xy”, la ecuación general queda como
A0
x02
+ C0
y02
+ D0
x0
+ E0
y0
+ F0
= 0
Más adelante haremos referencia al caso particular θ = π/2, en este caso, el efecto de la transformación es,
básicamente, intercambiar x con y, es decir, el resultado de aplicar el cambio de variable es
C x2
− B xy + Ay2
+ E x − Dy + F = 0.
Ejemplo 8.2
Consideremos la cónica 3x2 − 2xy + 5y2 − 10x − 10y − 4 = 0. Su centro es, según (8.3), (h,k) =
(15/7,10/7). Como A = 3 6= C = 5, el ángulo de rotación que anula el coeficiente del término xy
al hacer el cambio de variable (8.5) es θ = arctan(−2/(3−5))
2 = π/8. Al aplicar el cambio de variable se
obtiene la cónica (con coeficientes aproximados)
2.585x02
+ 5.414y02
− 13.065x0
− 5.411y − 4 = 0.
El centro de la cónica en el sistema X0Y0 es (h0,k0) ≈ (2.526,0.499). Como conocemos el ángulo de
rotación, entonces h
k
= cosθ −senθ
senθ cosθ
h0
k0
≈ 2.14286
1.42857
como ya sabíamos.
Estudio de la ecuación general.
En el estudio de la ecuación general, empezamos con el caso más sencillo. Necesitamos este caso para
reducir los casos más complejos, vía traslación o rotación, a este caso y luego, usando invariantes, obtener la
clasificación del teorema (8.1).](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-361-320.jpg)
![8.1 Apéndice A: Más sobre cónicas (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 374
Ejemplo 8.8
Considere la cónica con ecuación polar r =
8
1 + cosθ
.
Como e = 1, se trata de una parábola. El foco está, por supuesto, en el
origen. La directriz está a la derecha del foco y tiene ecuación x = 8. El
vértice es V = (4,0).
5
5
5
En Wolfram Mathematica se puede hacer la representación gráfica usando PolarPlot. El código del
ejemplo anterior es,
PolarPlot[ 8/(1+Cos[t]),{t,0,2Pi},
PlotRange-{{-10,10},{-10,10}},
AxesStyle-Arrowheads[{-0.05,0.05}]
];
Afelio y Perihelio. La ecuación de una elipse (0 e 1) con foco en el origen es r =
ed
1 + e cosθ
. Para calcular
la distancia al sol en el Perihelio hacemos θ = 0, es decir, r =
ed
1 + e
. Para calcular calcular la distancia al
sol en el Afelio hacemos θ = π, es decir, r =
ed
1 − e
. Como la suma de ambas distancias es 2a, entonces
2a =
ed
1 + e
+
ed
1 − e
=⇒ a =
ed
(1 + e)(1 − e)
. Así, r =
ed
1 + e
= a(1 − e) y r =
ed
1 − e
= a(1 + e).
Reconocimiento de cónicas con métodos matriciales.
La ecuación general A x2 + 2B xy + Cy2 + D x + Ey + F = 0 se puede escribir en términos matriciales como
x y
A B
B C
x
y
+ D E
x
y
+ F = 0, (8.18)
o, como XT AX + KX + F = 0 con X =
x
y
, A =
A B
B C
y K = D E
.
Si P =
p11 p12
p21 p22
es una matriz que diagonaliza ortogonalmente a A, tal que Det(P) = 1, entonces el cambio
de variable
x
y
= P
x0
y0
provoca una rotación. Sustituyendo X = PX0 en la ecuación (8.18),
(PX0
)T
A(PX0
) + K(PX0
) + F = 0 ⇐⇒ X0T
(PT
AP)X0
+ K(PX0
) + F = 0.](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-374-320.jpg)
![8.1 Apéndice A: Más sobre cónicas (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 376
La base ortonormalizada para el espacio propio asociado a λ2 = 9 es v2 =
−1/
√
5
2/
√
5
!
.
La matriz P =
2/
√
5 −1/
√
5
1/
√
5 2/
√
5
!
tiene determinante igual a 1. Ahora, haciendo el cambio de variable
X = PX0 nos queda,
4x02
+ 9y02
− 8x0
− 36y0
+ 4 = 0 o
(x0 − 1)2
9
+
(y0 − 2)2
4
= 1.
El ángulo de rotación es θ = arccos((1,0) · v1)/||(1,0)||||v1|| = arccos(2/
√
5) ≈ 0.463. El centro de la
elipse, en el sistema X0Y0 es (h0,k0) = (1,2), por tanto, en el sistema XY es
cosθ −senθ
sinθ cosθ
h0
k0
,
i.e., (h,k) = (0,
√
5).
Ecuación paramétrica de una cónica.
Una parametrización de una curva C
C
C es una función r(t) = (x(t),y(t)), t ∈ [a,b], con x(t) y y(t) funciones
conti-nuas en [a,b]. Las parametrizaciones es lo que más usado en gráficos por computadora y modelado
geométrico ya que los puntos de la curva se calculan fácilmente. En contraste, la evaluación de los puntos de
una curva definida implícitamente (como es el caso de las cónicas) es mucho más difícil.
En esta sección vamos a establecer una parametrización para la cónica propia de ecuación general
A x2 + B xy + Cy2 + D x + Ey + F = 0. Hay varias maneras de hacer esto. Aquí vamos a usar la teoría que
hemos desarrollado previamente, usando algunas parametrizaciones conocidas para los casos simples. No
vamos a ver cómo se obtiene una parametrización. Para esto puede ver ([?]). En principio, podemos usar el
teorema (8.1) para identificar la cónica, luego la llevamos a la forma estándar. En esta forma es fácil definir la
parametrización.
Parábola. La parábola (y − k)2 = 4p(x − h) se puede parametrizar como
x(t) = h + pt2,
t ∈ R.
y(t) = k + 2pt,
Para parametrizar A x2 + B xy + Cy2 + D x + Ey + F = 0, recordemos que esta ecuación corresponde a una
parábola si B2 − 4AC = 0 y 4ACF + BDE − AE2 − CD2 − FB2 6= 0. Aplicamos una rotación de ángulo
θ = arctan(B/(A − C)) si A 6= C, en otro caso, θ = π/4. La ecuación se reduce a
A0
x02
+ C0
y02
+ D0
x0
+ E0
y0
+ F0
= 0,](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-376-320.jpg)
![8.1 Apéndice A: Más sobre cónicas (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 377
donde
A0 = Acos2 θ + Bsenθ cosθ + Csen2 θ,
C0 = Ccos2 θ − Bsenθ cosθ + Asen2 θ,
D0 = Dcosθ + Esenθ,
E0 = Ecosθ − Dsenθ,
F0 = F.
(8.21)
En este caso A0 = 0 o C0 = 0. En resumen, la ecuación se reduce a
A0
x02
+ D0
x0
+ E0
y0
+ F = 0 o C0
y02
+ D0
x0
+ E0
y0
+ F = 0.
Una vez que tenemos la ecuación así, ya podemos completar cuadrados y aplicar la parametrización. Para
obtener una representación gráfica simétrica se puede usar t ∈ [−s,s], s 0.
Estudio del caso C0 y02 + D0 x0 + E0 y0 + F = 0. La ecuación canónica en el sistema X0Y0 es
(y0
+ E0
/2C0
)2
= −
D0
C0
(x0
+ F/D0
− E02
/4C0
D0
).
Por lo tanto, h = (E02 − 4C0F)/4C0D0, k = −E0/2C0 y p = −D/4C0. La parametrización en el sistema X0Y0 es
x0(t) = h + pt2,
t ∈ [−s,s], s 0.
y0(t) = k + 2pt,
y la parametrización en el sistema XY es
x(t)
y(t)
=
cosθ −senθ
sinθ cosθ
x0(t)
y0(t)
, t ∈ R.
donde θ es el ángulo de rotación.
Ejemplo 8.10
Parametrizar la cónica 3x2 −
√
36xy + 3y2 − 10x − 10y − 4 = 0.](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-377-320.jpg)
![8.1 Apéndice A: Más sobre cónicas (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 378
Solución: Como B2 − 4AC = 0 y 4ACF + BDE − AE2 −
CD2 − FB2 = −1200 6= 0, se trata de una parábola. Como
A = C el ángulo es θ = π/4. Al aplicar la rotación nos
queda la ecuación
6y2
− 10
√
2x − 4 = 0.
Entonces h = −
√
2/5, k = 0 y p = 5/(6
√
2). Por lo tanto, la parametrización en el sistema XY es
x(t) = 1
60 (−12 − 50t + 25t2),
t ∈ [−s,s], s 0.
y(t) = 1
60 (−12 + 50t + 25t2),
El estudio del caso A0 x02 + D0 x0 + E0 y0 + F = 0 queda como ejercicio.
La elipse. Si la ecuación canónica de la elipse es
(x − h)2
a2
+
(y − k)2
b2
= 1, una parametrización es
x(t) = h + acost,
t ∈ [0,2π ].
y(t) = k + bsent,
En particular, la circunferencia (x − h)2 + (y − k)2 = r2 se parametriza como
x(t) = h + rcost,
t ∈ [0,2π ].
y(t) = k + rsent,
Si A x2 + Bxy + Cy2 + D x + Ey + F = 0 es la ecuación de una elipse, al aplicar una rotación que elimine el
término “xy”, obtenemos
A0
x02
+ C0
y02
+ D0
x0
+ E0
y0
+ F = 0
Completando cuadrados nos queda
(x0 − h)2
F0/A0
+
(y0 − k)2
F0/C0
= 1,
donde h = −D0/2A0, k = −E0/2C0, F0 = −F + D02/4A0 + E02/4C0. Esta información es suficiente para para-
metrizar la elipse con
x0(t)
y0(t)
en el sistema X0Y0. La parametrización
x(t)
y(t)
en el sistema XY se obtiene
con](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-378-320.jpg)
![8.1 Apéndice A: Más sobre cónicas (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 379
x(t)
y(t)
=
cosθ −senθ
sinθ cosθ
x0(t)
y0(t)
, t ∈ [0,2π],
donde θ es el ángulo de rotación.
Ejemplo 8.11
Parametrizar la cónica 2x2 − 2
√
3xy + 4y2 + 5x + 6y − 1 = 0.
Solución: Como B2 − 4AC = −20 0 y (A + C)(4ACF +
BDE − AE2 − CD2 − FB2) = 6(−192 − 60
√
3) 0, se trata
de una elipse. El ángulo de rotación es θ = π/6. Al aplicar
la rotación nos queda la ecuación
x2
+ 3 +
5
√
3
2
!
x + 5y2
+
−
5
2
+ 3
√
3
y − 1 = 0.
Entonces h = −3.66506, k = −0.269615, a = 3.84658 y b = 1.72024. Por tanto,
x0(t) = −3.66506 + 3.84658cost
y0(t) = −0.269615 + 1.72024sent.
La parametrización en el sistema XY es
x(t)
y(t)
=
√
3
2 −1
2
1
2
√
3
2
!
x0(t)
y0(t)
=
−3.03923 + 3.33123cost − 0.860121sent
−2.06603 + 1.92329cost + 1.48977sent
, t ∈ [0,2π],
El centro de la elipse, en XY, es (−3.03923,−2.06603).
La Hipérbola. Si la ecuación canónica de la hipérbola es
(x − h)2
a2
−
(y − k)2
b2
= 1, una parametrización es
x(t) = h + acosht,
t ∈ [−s,s], s 0.
y(t) = k + bsenht,
Esta parametrización solo es para la rama derecha de la hipérbola. La rama de la izquierda la obtenemos por
reflexión sobre el eje x = h, es decir,
x(t) = 2h − (h + acosht),
t ∈ [−s,s], s 0.
y(t) = k + bsenht,](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-379-320.jpg)
![8.2 Apéndice B: Coordendas Polares (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 383
Conversión de coordendas rectangulares a coordenadas polares. Si tenemos las coordenadas (x,y) de un
punto P, podemos determinar un juego de coordenadas polares con r ≥ 0 y θ ∈ [0,2π[.
La función ”arctan” usualmente la tomamos como la inversa de la función tangente, por tanto la función
”arctan” devuelve ángulos en el intervalo ] − π/2, π/2]. Es costumbre hacer algunos ajustes a la función
arcotangente de tal manera que, dado u punto punto (x,y), podamos obtener un juego de coordenadas (r,θ)
con el ángulo correcto.
Dado en punto (x,y), un juego de coordenadas polares para este punto es (r,θ) con
r =
p
x2 + y2
θ =
arctan(y/x) si x 0 (I y IV cuadrante)
arctan(y/x) + π si x 0 (II y III cuadrante)
π
2
si x = 0 y y 0
−
π
2
si x = 0 y y 0
0 si x = 0 y y = 0 (convenio)
Ejemplo 8.14 (Conversión de coordenadas polares a coordendas rectangulares)
a.) Consideremos el punto P(
√
3,π/3). Para hacer la conversión a coordenadas rectangulares,
usamos la fórmula que establecimos más arriba.
(r,θ) = (
√
3, π/3) =⇒
x =
√
3 cosπ/3 =
√
3
2
y =
√
3 senπ/3 =
3
2
=⇒ (x,y) =
√
3
2
,
3
2
!
b.) Consideremos el punto P(−
√
3,π/3). Para hacer la conversión a coordenadas rectangulares,
usamos la fórmula que establecimos más arriba.
(r,θ) = (−
√
3, π/3) =⇒
x = −
√
3 cosπ/3 = −
√
3
2
y = −
√
3 senπ/3 = −
3
2
=⇒ (x,y) = −
√
3
2
, −
3
2
!](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-383-320.jpg)
![8.2 Apéndice B: Coordendas Polares (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 386
Ejemplo 8.17 (Ecuación polares de una curva)
Obtener una ecuación en coordenadas polares de la curva (x2 + y2)3 = 25x.
Solución: Sustituyendo,
(x2
+ y2
)3
= 25
x
(r2
)3
= 25
rcosθ
r6
= 25
rcosθ
r = 2
5
√
cosθ
2 1 1 2
2
1
1
2
Figura 8.14: Curva (x2 + y2)3 = 25x.
Ejercicios
37
8.4 Obtener una ecuación en coordenadas polares para la curva (x2 + y2)3 = x3.
8.5 Obtener una ecuación en coordenadas polares para la curva y = x
8.6 Obtener una ecuación en coordenadas polares para la curva (x + 1)2 + y2 = 1
8.7 Obtener una ecuación en coordenadas polares para la curva x2 + y2 = 2
p
x2 + y2 + x
Graficar en coordenadas polares.
En general, en este curso, nos interesan curvas de ecuación r = g(θ). La manera de hacer la representación
gráfica de curvas sencillas es (por ahora) representar algunos puntos de la curva y usar propiedades de
simetría para completar el gráfico.
Ejemplo 8.18
Realizar el gráfico de la función r = 4senθ
Solución: Hacemos una tabla de valores para esta función tomando valores de θ en [0, 2π].](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-386-320.jpg)
![8.2 Apéndice B: Coordendas Polares (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 391
Ejemplo 8.20
Realizar el gráfico de la curva de ecuación r = 1 − 2cosθ.
Solución: Para realizar la gráfica vamos a aplicar las pruebas de simetría, vamos a calcular los valores
máximos, los ceros y las tangentes al polo. Finalmente haremos una tabla de valores.
a.) Simetría: La curva es simétrica respecto al Eje Polar.
b.) El valor máximo de |r| : Por inspección: Como 2 ≥ −2cosθ ≥ −2, entonces el valor máximo es
|r| = 3 cuando θ = π
c.) Ceros en [0,2π]: 1 − 2cosθ = 0 =⇒ cosθ =
1
2
=⇒ θ = π/3 y θ = 5π/3.
d.) Tangentes al Polo en [0,2π] : La función se anula en α = π/3, 5π/3. Como r0(θ) = 2senθ y co-
mo r0(π/3) 6= 0 y r0(5π/3) 6= 0, entonces las rectas θ = π/3 y θ = 5π/3 son dos tangentes al Polo.
e.) Tabla de valores y gráfico
θ 0 π/6 π/3 π/2 2π/3 π
r −1 ≈ −0.73 0 1 2 3
Figura 8.17: Curva de ecuación
r = 1 − 2cosθ.
Nota sobre tangentes al Polo. Si f 0 no está definida en el cero θ = α entonces no se pueden definir tangentes
al Polo para este valor del ángulo. Como ya indicamos, puede pasar que la derivada solo exista como un
límite unilateral o que dy/dx se tenga que calcular como una forma indeterminada en el caso de que f (α) = 0
y f 0(α) = 0. Por ejemplo, la curva de ecuación r =
p
cos(2θ) tiene ceros en θ = ±π/4 pero su derivada
r0(θ) =
−sen(2θ)
p
cos(2θ)
está definida solo si cos(2θ) 0. Aún así, la derivada existe como límite unilateral:](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-391-320.jpg)
![8.3 Apéndice C:Representación gráfica de regiones definidas por
desigualdades (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 395
8.3 Apéndice C:Representación gráfica de regiones definidas por desigualdades
En general, cualquier combinación de ecuaciones y desigualdades pueden definir una región, de manera
implícita. Esta sección se introduce casos sencillos.
Desigualdades del tipo y ≥ f (x) o y ≤ f (x) en un intervalo [a,b].
La representación gráfica de la curva y = f (x) consiste de la representación de los pares (x,y) con
y = f (x). Los puntos (x,y) con y ≥ f (x) conforman una región por encima de la representación gráfica
de f (incluyendo esta representación) y, de manera análoga, los puntos (x,y) con y ≤ f (x) conforman
una región por debajo de la representación gráfica de f (incluyendo esta representación.)
Desigualdades del tipo y f (x) o y f (x) en un intervalo [a,b]. Este caso es similar al anterior, como la
desigualdad es estricta, no incluye la curva y = f (x).
Desigualdades del tipo x ≥ g(y) o x ≤ g(y) en un intervalo [a,b].
La representación gráfica de la curva x = g(x) consiste de la representación de los pares (x,y) con
x = g(x). Los puntos (x,y) con y ≥ g(x) conforman una región a la derecha de la representación gráfica
de g (incluyendo esta representación) y, de manera análoga, los puntos (x,y) con x ≤ g(y) conforman
la región a la izquierda de la representación gráfica de g (incluyendo esta representación.)
Cuando la desigualdad es estricta, la región no incluye la curva.](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-395-320.jpg)
![Bibliografía
[1] James J. Callahan. Advanced Calculus. A Geometric View. Springer. 1st Edition. 2010.
[2] Serge Lang. Calculus of Several Variables. Addison-Wesley. 1973.
[3] Klaus Weltner, Wolfgang J. Weber, Jean Grosjean y Peter Schuster. Mathematics for Physicists and
Engineers. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. 2009.
[4] Wilfred Kaplan. Advanced Calculus. Pearson; 5 edition. 2002.
[5] Sadri Hassani. Mathematical Methods For Students of Physics and Related Fields. Springer. 2009.
[6] Susan J. Colley. Vector Calculus. Pearson Education, Inc., 4ta ed. 2012.
[7] Andrew Pressley. Elementary Differential Geometry. 2nd edition. Springer-Verlag London Limited.
2010.
[8] B. Kusse.; E. Westwing. Mathematical Physics. Applied Mathematics for Scientists and Engineers. 2nd
Edition. Wiley-VCH Verlag GmbH Co. 2006.
[9] Claudio Pita R. Cálculo Vectorial. Prentice-Hall. 1995.
[10] Louis Brand. Advanced Calculus. An Introduction to Classical Analysis. Wiley Sons, Inc. 1995.
[11] Tom Apostol. Calculus. Wiley. 1967
[12] J.M. Aarts. “Plane and Solid Geometry.” Springer. 2007.
[13] A. Chiang. “Métodos Fundamentales de Economía Matemática”. McGraw-Hill. 1987
[14] J. L. Coolidge. “A history of the conic sections and quadric surfaces”. Dover publications, Inc. 1968.
[15] E. Dowling. “Matemáticas Para Economistas”. McGraw-Hill. 1982](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-401-320.jpg)
![BIBLIOGRAFÍA (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 402
[16] Eric W. Weisstein, “Quadratic Surface. ”From MathWorld–A Wolfram Web Resource. http:
//mathworld.wolfram.com/QuadraticSurface.html
[17] H. Eves. “An introduction to the history of mathematics”. Holt, Rinehart and Winston, Inc. 1969.
[18] Jerrold Marsden, Anthony Tromba. Cálculo Vectorial. Addison-Wesley, 2004.
[19] M. Minoux. “Mathematical Programing”. Wiley Sons. New York. 1986
[20] Walter Mora F. “Gráficos 3D interactivos con Mathematica y LiveGraphics3D ”. Revista digital Ma-
temática, Educación e Intenet (http://tecdigital.tec.ac.cr//revistamatematica/). Volumen
6, número 2. 2005.
[21] Jorge Poltronieri. Cálculo Integral: Integración Múltiple. Editorial Cimpa. 1ra ed. Escuela de Mate-
mática, Universidad de Costa Rica. 2006.
[22] Jorge Poltronieri. “Cálculo Integral: Integración de Línea y Superficie”. Editorial Cimpa. 1ra ed.
Escuela de Matemática, Universidad de Costa Rica. 2006.
[23] Sherman Stein. “Cálculo con Geometría Analítica”. McGraw-Hill. 1984.
[24] Sudhir R. Ghorpade, Balmohan V. Limaye. “A Course in Multivariable Calculus and Analysis”.
Springer. 2009
[25] Susan Colley. “Vector Calculus”. Pearson. 4ta ed. 2006.
[26] Rangarajan K. Sundaram. A First Course in Optimization Theory. Cambridge University Press. 1996.
[27] J. Vergara, “Programación Matemática y Cálculo Económico”. Ed. Vicens-vives. España. 1975.](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-402-320.jpg)
![(https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 404
1.5 Como (h,k) = (−1,1) y p = 1, entonces (x + 1)2 = 4(y − 1).
1.6 La ecuación es (y − k)2 = 4p(x − h) y abre a la izquierda. El vértice es (h,k) = (5,4) y p = −2. Entonces
la ecuación canónica es (y − 4)2 = −8(x − 5).
1.7 (x − 2)2 = 2(y − 3).
1.8 El vértice es (h,k) = (2,0). Como b 2, la parábola solo podría abrir hacia arriba o hacia la derecha.
Si abre hacia arriba, la ecuación canónica es (x − 2)2 = 4py. En este caso, como 8 + p = 10 =⇒ p = 2 y
entonces b = 10. En este caso tenemos la pará]bola (x − 2)2 = 8y.
Si abre hacia la derecha, la ecuación canónica es y2 = 4p(x − 2). En este caso, como la directriz tiene
ecuación x = 2 − p, tenemos
b − (2 − p) = 10
64 = 4p(b − 2)
=⇒ p = 8; b = 4 o p = 2; b = 10.
Las tres parábolas son (x − 2)2 = 8y; y2 = 32(x − 2) y y2 = 8(x − 2).
-5 5 10
-10
-5
5
10
1.9 Si el foco está en la directriz tendríamos una recta (una cónica degenerada).
1.10
(x + 1)2
1/4
+
(y − 5/4)2
1
= 1.
1.11
a.)
(y − 1)2
4
+
(x + 2)2
6
5
= 1
b.)
(x + 4)2
16
+
(y + 2)2
4
= 1
c.)
(x + 2)2
4
+
(y + 4)2
16
= 1
d.) x2 +
(y − 2)2
2
= 1](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-404-320.jpg)
![(https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 426
Proyección sobre XZ
X
Y
Z
1
2
3 1
2
2
La curva C1 se proyecta en la curva C en el
plano XZ. La curva C1 es la intersección de las
superficies y2 + z2 = 1 y 2x − 2y + z = 2,
y2 + z2 = 1
=⇒ (−1 +
z
2
+ x)2 + z2 = 1.
2x − 2y + z = 2 =⇒ (una elipse con r
Soluciones del Capítulo 3
3.1 Usando la regla para la derivada del cociente,
∂ f
∂y
=
∂
∂y
[xy] · (x2
− y2
) −
∂
∂y
x2
− y2
· xy
(x2 − y2)2
=
x · (x2 − y2) + 2y · xy
(x2 − y2)2
∂ f
∂x
=
∂
∂x
[xy] · (x2
− y2
) −
∂
∂x
x2
− y2
· xy
(x2 − y2)2
=
y · (x2 − y2) − 2x · xy
(x2 − y2)2
fy(2,1) =
10
9
.
3.2 Se debe usar la regla de la cadena para funciones de una variable,
∂ f
∂y
= 5ln4
(xy + x2 + 2y) ·
∂
∂y
ln(xy
+ x2
+ 2y
)
= 5ln4
(xy + x2 + 2y) ·
1
xy + x2 + 2y
· (xy lnx + 2y ln2)
=
∂ f
∂x
= 5ln4
(xy + x2 + 2y) ·
∂
∂x
ln(xy
+ x2
+ 2y
)
= 5ln4
(xy + x2 + 2y) ·
1
xy + x2 + 2y
· (y · xy−1 + 2x)](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-426-320.jpg)
![(https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 428
z = f (u) ·
p
x + y2.
∂z
∂y
= f 0(u) ·
∂
∂y
[u] ·
q
x + y2 + f (u) ·
∂
∂y
q
x + y2
= f 0(u) · (x2 + 1) ·
p
x + y2 + f (u) ·
y
p
x + y2
=
∂z
∂x
= f 0(u) ·
∂
∂x
[u] ·
q
x + y2 + f (u) ·
∂
∂x
q
x + y2
= f 0(u) · (2xy) ·
p
x + y2 + f (u) ·
1
2
p
x + y2
3.8 ux = ey cosx
uy = ey senx
uxx = −ey senx
uyy = ey senx
∂2u
∂x2
+
∂2u
∂y2
= −ey
senx + ey
senx = 0
√
3.9 ut = −acos(x − at) +
a
x + at
utt = −a2 sen(x − at) −
a2
(x + at)2
ux = cos(x − at) +
1
x + at
uxx = −sen(x − at) −
1
(x + at)2
utt = −a2 sen(x − at) −
a2
(x + at)2
= a2
·
−sen(x − at) −
1
(x + at)2
= a2
· uxx.
√
3.10 Sea A = x − at y B = x + at, entonces u(x,t) = f (A) + f (B).
ut = −a f 0(A) + ag0(B)
utt = a2 f 00(A) + a2g00(B)
ux = f 0(A) + g0(B)
uxx = f 00(A) + g00(B)
utt = a2 f 00(A) + a2g00(B) = a2 · uxx.
√
3.11 Satisface
∂z
∂x
+
∂z
∂y
= 1.
zx =
ex
ex + ey
zy =
ey
ex + ey
∂z
∂x
+
∂z
∂y
=
ex
ex + ey
+
ey
ex + ey
= 1
√
Satisface
∂2z
∂x2
·
∂2z
∂y2
−
∂2z
∂x∂y
2
= 0.](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-428-320.jpg)
![(https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 429
zxx =
ex · (ex + ey) − ex · ex
(ex + ey)2
zyy =
ey · (ex + ey) − ey · ey
(ex + ey)2
∂2z
∂x∂y
=
∂
∂x
ey
ex + ey
=
−ey · ex
(ex + ey)2
.
∂2z
∂x2
·
∂2z
∂y2
−
∂2z
∂x∂y
2
=
ex · (ex + ey) − ex · ex
(ex + ey)2
·
ey · (ex + ey) − ey · ey
(ex + ey)2
−
−ey · ex
(ex + ey)2
2
=
ex · ey
(ex + ey)2
·
ey · ex
(ex + ey)2
−
−ey · ex
(ex + ey)2
2
= 0
√
3.12 Sea u = ysen(x), entonces w = f (u).
wx = f 0(u) · ycos(x)
wy = f 0(u) · sen(x)
cos(x)wx + ysen(x)wy = cos2(x) · y · f 0(u) + sen2(x) · y · f 0(u) = cos2 x + sen2 x
y f 0(u) = y f 0(u)
3.13
∂g
∂x
= 2xsen(3x − 2y) + 3x2
cos(3x − 2y),
∂g
∂y
= −2x2
cos(3x − 2y) y
∂2g
∂y∂x
= −4xcos(3x − 2y) −
6x2
sen(3x − 2y). La identidad se verifica de manera directa.
3.14 Derivamos a ambos lados respecto a R1,
∂
∂R1
1
R
=
∂
∂R1
1
R1
+
1
R2
+
1
R3
−1 ·
∂R
∂R1
R2
=
−1
R2
1
=⇒
∂R
∂R1
=
R2
R2
1.
3.15
∂P
∂V
= −
P
V
∂V
∂T
=
mR
P
∂T
∂P
=
V
mR
∂P
∂V
∂V
∂T
∂T
∂P
= −
P
V
mR
P
V
mR
= −1.
√
3.16
∂K
∂m
∂2K
∂v2
=
1
2
v2
· m = K.
√
3.17
∂w
∂x
= f 0
(u) · 2x · g(y)
∂2w
∂x2
= 2g(y) · [f 00
(u) · 2x2
+ f 0
(u)]
∂2w
∂y∂x
= 2x[f 00
(u) · 2y · g(y) + g0
(y) · f 0
(u)]](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-429-320.jpg)
![(https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 440
Clasificación. D2(x,y) = [(1 + 4x2 + 2(x2 + y2)] · [1 + 4y2 + 2(x2 + y2)] − 16x2y2. Evaluamos
D2(0.68939835...,0.68939835...) = 19.4466... 0 y fxx(0.68939835...,0.68939835...) 0, es de-
cir, el punto en el paraboloide dónde se alcanza la distancia mínima al punto (2,2,2) es
(0.68939835...,0.68939835...,z(0.68939835...,0.68939835...)).
4.8 Los puntos críticos son (0,0), (1,1) y (−1,−1)
4.9 Suponga que las dimensiones de la caja son x cm de ancho, y cms de largo y z cms de alto, entonces su
volumen es :
10 = xyz =⇒ z =
10
xy
Por otro lado, el costo total esta dado por c(x,y,z) = 20xz + 20yz + 40xy
De donde obtenemos que
c(x,y) =
200
x
+
200
y
+ 40xy
Calculando las derivadas parciales, formamos el siguiente sistema
∂c
∂x
= 40y −
200
x2
= 0 (E1)
∂c
∂y
= 40x −
200
y2
= 0 (E2)
Multiplicando por (E1) por x a ambos lados y (E2) por y ambos lados, obtenemos x = y. Sustituyendo en
(E1) obtenemos x = y = 3
√
5
D2(x,y) =
160000
x3y3
− 1600 y al evaluar en el punto P = ( 3
√
5, 3
√
5), tenemos que (( 3
√
5, 3
√
5,120 3
√
5) es un
mínimo local.
Respuesta: Las dimensiones de la caja con costo mínimo son x = 3
√
5, y = 3
√
5 y z = 10/ 3
√
25.
4.10
4.11
4.12 El área de la superficie es S(x,y,h) = 2xh + 2yh + 2xy = 64. Despejando h obtenemos que le volumen es
V = xy
32 − xy
x + y
. Resolviendo ∇V = (0,0) obtenemos x = y =
√
32/3.](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-440-320.jpg)
![(https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 446
Proyección sobre XY.
VQ =
Z 1
0
Z √
4−y2
0
[2 − y − 0]dxdy
X
Y
Z
2
1
2
5.7
Proyectando sobre XY.
VQ =
Z 1
0
Z 2−2x2
1−x2
[1 − y/2 − 0] dydx
X
Y
Z
1 1
2
1
5.8
5.9
Proyectamos sobre YZ.
VQ =
Z 0
−1
Z 2+2y
0
[1 − z/2 + y − 0] dzdy +
Z 2
0
Z √
4−y2
0
[1 − z/2 + y − 0] dzdy
1
2
2
2
5.10 Proyectamos sobre XY.](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-446-320.jpg)
![(https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 447
V =
Z 1
√
8
0
Z √
3/4−x2
√
1/4−x2
q
1 − x2 − y2 −
q
(x2 + y2)/3dydx +
Z √
3/8
1
√
8
Z √
3/4−x2
x
q
1 − x2 − y2 −
q
(x2 + y2)/3dydx
5.11 Solución: La región está entre las curvas r = 2 y r = 4sen2θ. Esto nos da tres subregiones: desde el
origen hasta la curva r = 4sen2θ y desde el origen hasta la curva r = 2.
Como r = 0 =⇒ r = sen2θ = 0 =⇒ θ = 0 y θ =
π
2
. Podemos verificar con la figura que el dominio de la
curva r = 4sen2θ es [0, π/2.]
Para obtener los límites de integración de las tres subregiones, buscamos la intersección entre las curvas:
r = 2 ∩
∩
∩ r = 4sen2θ, es decir,
2 = 4sen2θ =⇒ θ =
π
12
y θ =
5π
12
.
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-447-320.jpg)
![(https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 449
5.15
5.16
5.17 r = 0 =⇒ 2 + 2sen(3θ) = 0 θ1 =
7π
6
y θ2 =
11π
6
.
Z 11π
6
7π
6
Z 2sin(3θ)+2
0
1rdrdθ = 2π
Nota: El intervalo [−7π/6,−π/6] no es correcto, agrega un trozo adicional de curva y
el resultado daría, en valor absoluto, 3π. Use Wolfram Alpha (Internet) para graficar + 2
Sin[3t]PolarPlot[2, t, -7 Pi/6, -Pi/6]
5.18 VQ =
Z 2π
0
Z π/4
0
Z 1
0
ρ2
sen ϕdρdϕdθ =
π
3
2 −
√
2
5.19
Solución: La manera fácil es proyectar sobre XZ y
usar coordenadas polares,
VQ =
ZZ
Rxz
4 − x dA
=
Z π/2
0
Z 2
2senθ
(4 − rcosθ) · r drdθ
= 2π − 2
X
Y
Z
2
2
,
5.20 Proyectar sobre XZ y usar coordenadas polares. Calculando la intersección entre las superficies podemos
establecer que la región de integración Rxy está entre las curvas x2 + y2 =
1
4
, x2 + y2 =
3
4
y las rectas y = x y
x = 0.
VQ =
Z π/2
π/4
Z √
3/2
1/2
q
1 − x2 − y2 −
s
1 − x2 − y2
3
rdrdθ
5.21 Aplicamos el cambio de variable
x = ar cost y y = br sent; el Jacobiano es J = r ab
La nueva región es D = {(u,v) ∈ R2 |u2 + v2 ≤ 1}. Ahora use coordenadas polares.](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-449-320.jpg)
![(https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 452
5.38 Como z = ρcos ϕ = h, entonces el sólido se puede describir en coordenadas polares como
0 ≤ ρ ≤
h
cos ϕ
, 0 ≤ θ ≤ 2π y 0 ≤ ϕ ≤ arctan(a/h).
Esta integral es sencilla (aunque no parece). Recuerde que cos ϕ =
h
√
a2 + h2
, con esto la integral simplifica
my bien.
VC =
Z 2π
0
Z arctan(a/h)
0
Z h/cos ϕ
0
ρ2
sen ϕdρdϕdθ =
πa2h
3
5.39
5.40 Como z = a − h entonces ρcos ϕ = a − h. Así Q se describe en coordenadas esféricas como
a − h
cos ϕ
≤ ρ ≤ a, 0 ≤ θ ≤ 2π, y 0 ≤ ϕ ≤ π/2 − arcsen(
a − h
a
).
RRR
Q
dV =
Z 2π
0
Z π/2−arcsen( a−h
a )
0
Z a
a−h
cos ϕ
ρ2
sen ϕdρdϕdθ
=
Z 2π
0
Z π/2−arcsen( a−h
a )
0
ρ3 sen ϕ
3
a
a−h
cos ϕ
dϕdθ
=
Z 2π
0
Z π/2−arcsen( a−h
a )
0
1
3
[a3
sen ϕ − (a − h)3
sec3
ϕ sen ϕ]dϕdθ
=
Z 2π
0
1
3
−a3
cos ϕ − (a − h)3 1
2cos2 ϕ
π/2−arcsen( a−h
a )
0
dθ pues
Z
sec3
ϕ sen ϕdϕ =
sec2 ϕ
2
+ K (sustitu
=
Z 2π
0
1
3
3ah2 − h3
2
dθ pues cos
π/2 − arcsen
a − h
a
=
a − h
a
.
=
π
3
3ah2
− h3
5.41
5.42
5.43 2a2π](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-452-320.jpg)
![(https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 456
ZZ
S
S
S
F
F
F · N
N
NdS
dS
dS =
Z 2
0
Z 4−x2
0
Z 3−x
0
2dydzdx
=
Z 2
0
Z 4−x2
0
(6 − 2x)dzdx
=
Z 2
0
(6 − 2x)(4 − x2
)dx
=
Z 2
0
(2x3
− 6x2
− 8x + 24)dx
=
x4
2
− 2x3
− 4x2
+ 24x
2
0
= 8 − 16 − 16 + 48 = 24
6.18
6.19 divF
F
F = y2 + z2
La proyección es el círculo x2 + y2 ≤ 1
ZZ
S
F
F
F · N
N
N dS =
ZZZ
Q
divF
F
FdV
=
Z 2π
0
Z 1
0
Z 1
−1
r2
rdrdθ
= π
6.20
6.21
6.22
6.23
Soluciones del Capítulo 7
7.1 1. Parametrización de la curva e.)
−C1 : r1(t) = (t,2t,0) con t ∈ [0,1].
Observe que r1(0) = (0,0,0) y r1(1) = (1,2,0).](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-456-320.jpg)
![(https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 457
C2 : r2(t) = (0,0,t) con t ∈ [0,1].
Observe que r2(0) = (0,0,0) y r2(1) = (0,0,1).
−C3 : r3(t) = (cost,2cost,sent) con ∈ [0,π/2].
Observe que r3(0) = (1,2,0) y r3(π/2) = (0,0,1).
2. Parametrización de la curva f.)
C1 : r1(t) = (2cost,0,2sent) con t ∈ [0,π/2].
Observe que r1(0) = (2,0,0) y r1(π/2) = (0,0,2).
C2 : r2(t) = (2cost, 4 − 2cost, 2sent) con t ∈ [0,π/2].
Observe que r2(0) = (2,2,0) y r2(π/2) = (0,4,2).
−C3 : r3(t) = (t,4 − t,0) con t ∈ [0,2].
Observe que r3(0) = (0,4,0) y r3(2) = (2,2,0).
−C4 : r4(t) = (cost,4 − cost,1 + sent) con t ∈ [−π/2,π/2].
Observe que r4(−π/2) = (0,4,0) y r4(π/2) = (0,4,2).
7.2 s =
Z 44
0
√
1 + 9/4tdt = 296
7.3 s = 2
Z 4
1
√
tdt = 14/3
7.4 s = 2
Z 4
1/2
q
1 + 9(2t − 1)dt = 1022/27
7.5 Recuerde que
Z
secxdx = ln|secx + tanx|.
s =
Z π/4
0
sectdt = ln(
√
2 + 1)
7.6
7.7
7.8 La circunferencia se parametriza como r(t) = (4cost, 4sent) con t ∈ [0,π].
Z
C
xy2
ds = 64
Z π
0
cost sen2
tdt = 0
7.9
Z
C
xds =
Z 1
−1
t
p
1 + 4t2 dt = 0
7.10 C : r(t) = (t,t,0) con t ∈ [0,1].
Z
C
xy + z
2x − y
ds =
Z 1
0
t
√
2dt
7.11 r0(t) = (1,1,1) y entonces](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-457-320.jpg)
![(https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 458
Z
C
x + y + z
x2 + y2 + z2
ds =
Z 2
1
t + t + t
t2 + t2 + t2
p
12 + 12 + 12 dt
p
12 + 12 + 12 dt
p
12 + 12 + 12 dt
=
Z 2
1
√
3
t
dt =
√
3 ln|t|
2
1
=
√
3 ln 2
7.12
Z
C
x2 + 2y
√
33 − 8z
ds =
Z 1
−1
8 − t2
dt
7.13
7.14
7.15
7.16
7.17
7.18
7.19 Solución: Parametrizamos las curvas,
C1 : r1(t) = cost ı̂ + sent ̂ + 0 k̂ con t ∈ [0,π/2].
C2 : r2(t) = A + t(B − A) = 2t ı̂ + (t + 1) ̂ + 3t k̂, t ∈ [0,1].
Z
C
xdx + zdy + dz =
Z
C1
xdx + zdy + dz +
Z
C2
xdx + zdy + dz
=
Z π/2
0
−costsentdt +
Z 1
0
4t + 3t + 3dt
= −
1
2
+
13
2
= 6.
7.20
7.21 F
F
F = (P,Q,R) es conservativo pues Py = z2 + senxcos(π − y) = Qx, Ry = 2xz = Qz y Rx = 2yz = Pz.
una función potencial es φ(x,y,z) = xyz2 + cos(x)sen(π − y) + K. Por lo tanto
Z
C
F · dr
dr
dr = φ(0,π,0) − φ(π,0,0) = 0
7.22 (a) Como rot F
rot F
rot F=(0,0,0), entonces F
F
F es conservativo sobre cualquier región simplemente conexa donde
z 6= 0.](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-458-320.jpg)
![(https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 459
(b) ∇φ = F =⇒
φ =
Z
2x + 5 dx = x2 + 5x + K1(y,z)
φ =
Z
3y2
dy = y3 + K2(x,z)
φ =
Z
1
z
dz = ln|z| + K3(x,y)
=⇒ φ(x,y,z) = x2 + 5x + y3 + lnz.
Luego,
Z
C
C
C
F
F
F · dr
dr
dr = φ(B) − φ(A) = 6 − 1 = 5
(c) Como F
F
F es conservativo en regiones simplemente conexas, donde z no se anula, podemos tomar el
camino C0 = C1 + C2 para integrar.
−
−
−C1 : r1(t) = (0,t,1) con t ∈ [0,1]. r0
1(t) = (0,1,0)
C2 : r2(t) = (t,0,1) con t ∈ [0,1]. r0
2(t) = (1,0,0)
Entonces,
Z
C
C
C0
F
F
F · dr
dr
dr = −
−
−
Z 1
0
(5, 3t2
, 1) · (0, 1, 0)dt +
Z 1
0
(2t + 5, 0, 1) · (1, 0, 0)dt = −1 + 6 = 5
7.23 1.
RotF
F
F =
ı̂ ̂ k̂
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
yz + ycos(xy) xz + xcos(xy) xy
= (x − x) ı̂ + (−y + y) ̂
+(z + cos(xy) + xycos(xy) − (z + cos(xy) + xycos(xy))) k̂
= (0,0,0)
2. Sea G(x,y,z) una función potencial, así
Gx(x,y,z) = yz + ycos(xy) =⇒ G(x,y,z) = xyz + sen(xy) + C1(y,z)
∂
∂y
(xyz + sen(xy) + C1(y,z)) = xz + xcos(xy) =⇒ C1y(y,z) = 0 =⇒ C1(y,z) = C2(z)
∂
∂z
(xyz + sen(xy) + C2(z)) = xy =⇒ C2
0
(z) = 0 =⇒ C2(z) = K
Así, G(x,y,z) = xyz + sen(xy) + K, por lo que
Z
C
C
C
F
F
F · dr
dr
dr = G(0,0,0) − G(2,1,2) = K − (4 + sen(2) + K) = −4 − sen(2).](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-459-320.jpg)
![(https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 460
3. Se seguirá la siguiente ruta
−C1 : r1(t) = (2,1,t), t ∈ [0,2]
−C2 : r2(t) = (t,1,0), t ∈ [0,2]
−C3 : r3(t) = (0,t,0), t ∈ [0,1]
Así
Z
C
C
C
F
F
F · dr
dr
dr = −
Z 2
0
(t + cos(2),2t + 2cos(2),2) · (0,0,t)dt −
Z 2
0
(cost,tcost,t) · (1,0,0)dt −
Z 1
0
(t,0,0) · (0,1,0)dt
= −
Z 2
0
2tdt −
Z 2
0
costdt − 0
= −t2 2
0
− sent|2
0 = −4 − sen(2)
7.24
7.25 Una función potencial es φ(x,y,z) = xyz − y2x + x2z
7.26
Z
C
C
C
F
F
F · dr
dr
dr = 0
7.27 Calcule usando el camino que va de (2,5,0) a (−2,5,0)
7.28
7.29
7.30
a.) −
64
3
b.)
Z
C1
F
F
F · dr
dr
dr +
Z
C2
F
F
F · dr
dr
dr +
Z
C3
F
F
F · dr
dr
dr +
Z
C4
F
F
F · dr
dr
dr = 4 − 36 + 28/3 + 4/3 = −
64
3
7.31 Como se cumplen las condiciones para aplicar el teorema de Green en el plano, excepto la orientación de
la curva, entonces
Z
C
C
C
F
F
F · dr
dr
dr = −
−
−
Z 2
−2
Z 3
3y2/4
1 − 0 dxdy = −8.](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-460-320.jpg)
![(https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 461
7.32 Por el teorema de Green:
Z
nC
F
F
F · dr
dr
dr =
Z 1
0
Z x2+1
0
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
dydx
=
Z 1
0
Z x2+1
0
(2x − 1)dydx
=
Z 1
0
(2x − 1)(x2
+ 1)dx =
1
6
.
7.33
7.34
7.35
7.36
7.37 1.
Z
C
C
C
F
F
F · dr
dr
dr =
Z
C
C
C1
F
F
F · dr
dr
dr +
Z
C
C
C2
F
F
F · dr
dr
dr +
Z
C
C
C3
F
F
F · dr
dr
dr +
Z
C
C
C4
F
F
F · dr
dr
dr
a) −C1 : r1(t) = (t,t,0) t ∈ [0,1] =⇒
Z
C
C
C1
F
F
F · dr
dr
dr = −
Z 1
0
−t2
dt =
1
3
b) C2 : r2(t) = (0,0,t) t ∈ [0,1] =⇒
Z
C
C
C2
F
F
F · dr
dr
dr =
Z 1
0
0dt = 0
c) C3 : r3(t) = (0,t,1 − t) t ∈ [0,1] =⇒
Z
C
C
C3
F
F
F · dr
dr
dr =
Z 1
0
1 − t dt =
1
2
d) C4 : r4(t) = (t,1,0) t ∈ [0,1] =⇒
Z
C
C
C1
F
F
F · dr
dr
dr =
Z 1
0
−12
dt = −1
Z
C
C
C
F
F
F · dr
dr
dr = 1/3 + 1/2 − 1
2.
ZZ
S
S
S
RotF
F
F · N
N
NdS
dS
dS =
ZZ
S
S
S1
RotF
F
F · N
N
NdS
dS
dS +
ZZ
S
S
S2
RotF
F
F · N
N
NdS
dS
dS.
RotF
F
F = (−1,−1,2y)
Para S
S
S1 un vector normal es N1 = (1,−1,0) (acorde con la orientación de C
C
C).
ZZ
S
S
S1
RotF
F
F · N
N
N1 dS
dS
dS =
ZZ
S
S
S1
0 dS
dS
dS = 0](https://image.slidesharecdn.com/clculoenvariasvariables-waltermoraf-240603231550-32004fec/85/Calculo-en-varias-variables-Walter-Mora-F-pdf-461-320.jpg)
Cálculo en varias variables - Walter Mora F..pdf
- 2. Walter Mora F. Desde Internet − Visualización Interactiva Cálculo en Varias Variables —-Primera edición -Visualización Interactiva con Wolfram CDFPlayer (libre) Revista digital Matemática, Educación e Internet. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/).
- 3. Copyright© Revista digital Matemática Educación e Internet (http://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). Correo Electrónico: wmora2@itcr.ac.cr Escuela de Matemática Instituto Tecnológico de Costa Rica Apdo. 159-7050, Cartago Teléfono (506)25502225 Fax (506)25502493 Mora Flores, Walter. Cálculo en Varias Variables. 1ra ed. – Escuela de Matemática,Instituto Tecnológico de Costa Rica. 2012. 396 pp. ISBN Obra Independiente: 978-9968-641-12-8 1. Cálculo. 2. Integral doble y triple 3. Integral de línea y superficie.
- 4. Derechos reservados © 2017 Revista digital Matemática, Educación e Internet. http://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/. Photos by: Viviana Loaiza. Parque Nacional Chirripó, Costa Rica. Licencia Creative Commons Reconocimiento - No Comercial 3.0 Unported Licence (la “Licencia”). Usted puede utilizar este archivo de conformidad con la Licencia. Usted puede obtener una copia de la Licencia en http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0. A menos que lo requiera la ley aplicable o se acuerde por escrito, el software distribuido bajo la Licencia se distribuye “tal y como está”, sin garantías ni condiciones de ningún tipo, ya sea expresa o implícita.
- 5. Índice general Prólogo 9 1 Secciones Cónicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1 Introducción. 12 1.2 Preliminares 15 1.3 La Parábola 17 1.4 La Elipse 24 1.5 La Hipérbola. 34 1.6 (*) Clasificación de cónicas y la ecuación de segundo grado 42 2 Superficies y Sólidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.1 Espacio tridimensional. Coordenadas cartesianas. 47 2.2 Funciones escalares de dos variables 50 2.3 Superficies en R3 57 2.4 Superficies cuadráticas. 68 2.5 Sólidos simples 80 2.6 Proyección (ortogonal) de un sólido simple 94 2.7 (*) Definición formal de una superficie 100 3 Cálculo diferencial en varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 3.1 Introducción 103
- 6. 3.2 Derivadas parciales. 104 3.3 Derivadas parciales de orden superior 107 3.4 Función diferenciable. Diferencial total. 113 3.5 Regla de la cadena. 114 3.6 Derivadas de una función definida de manera implícita. 119 3.7 (*) Derivación implícita: Caso de dos ecuaciones. 124 3.8 Gradiente. 126 3.9 Parametrización de una curva 128 3.10 Gradiente, curvas y superficies de nivel. 130 3.11 Derivada direccional 132 3.12 Plano tangente y el vector normal. 139 4 Máximos y mínimos locales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 4.1 Introducción 147 4.2 Máximos y mínimos locales en dos variables. 148 4.3 Extremos con restricciones: Multiplicadores de Lagrange 159 4.4 Cuando las condiciones de primer orden fallan. 165 4.5 Máximos y mínimos locales en varias variables. 169 4.6 Puntos críticos y extremos locales 170 4.7 Clasificación de puntos críticos 170 4.8 Clasificación de puntos críticos en el caso de dos variables. 172 4.9 Criterio de clasificación para n ≥ 3. 172 4.10 (*) Extremos globales. Condiciones de Kuhn-Tucker. 183 5 Integral doble e integral triple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 5.1 Integral doble. 189 5.2 Cálculo de integrales dobles. Integral iterada. 191 5.3 Área y Volumen 195 5.4 Cambio de variable en una integral doble. 204 5.5 Coordenadas Polares. 210 5.5.1 Coordenadas polares y elipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 5.6 Integral triple. 224 5.7 Cambio de variables en integral triple. 231
- 7. 5.8 Coordenadas cilíndricas. 233 5.9 (*) Coordenadas esféricas. 244 5.9.1 Describiendo Superficies en Coordenadas Esféricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 5.9.2 Cambio de variable con coordenadas esféricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 5.10 (*) Singularidades. 254 6 Integral de superficie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 6.1 Superficies parametrizadas. 259 6.2 Superficies regulares. 260 6.3 Área de una superficie. 261 6.4 Integral sobre una superficie. 269 6.5 Campos escalares y campos vectoriales. 281 6.6 Integral de flujo. 283 6.7 Superficies orientables. 290 6.8 Teorema de la Divergencia. 292 7 Integral de línea. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 7.1 Curvas y parametrizaciones. 301 7.2 Longitud de una curva. 312 7.3 Integral de línea para campos escalares. 315 7.4 (∗)Longitud de arco en coordenadas polares. 318 7.5 Integral de línea de campos vectoriales. Trabajo. 320 7.6 Campos conservativos. Independencia de la trayectoria. 330 7.7 Teorema de Green (en el plano). 338 7.8 Área como una integral de línea. 342 7.9 Teorema de Stokes (Teorema de Green en el espacio). 343 8 Apéndices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 8.1 Apéndice A: Más sobre cónicas 357 8.2 Apéndice B: Coordendas Polares 380 8.3 Apéndice C:Representación gráfica de regiones definidas por desigualdades 395 Bibliografía 400 9 Soluciones de los ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
- 9. Prólogo Uno de los objetivos de este libro es la visualización interactiva en 2D y en 3D. La mayoría de los gráficos vienen con una liga a una aplicación, llamada usualmente “demostración”, que se corre con Wolfram CDFPlayer (libre). Las demostraciones son archivo .cdf y requieren haber instalado en la computadora Wolfram CDF Player. Esta aplicación es gratuita. El libro viene con un folder con las “demostraciones” .cdf, si por alguna razón la “demostración” no estan disponibles en el disco duro, la liga descarga la “demostración” desde Internet. El lector puede visualizar e interactuar con las figuras en la “demostración”, usando el ratón. La idea es visualizar no solo el espacio tridimensional, también poder entrenar en visualizar cortes de superficies, intersecciones y proyecciones de una superficie o un sólido, en algunos de los planos XY, XZ o YZ. Este conocimiento se aplica después en el cálculo de integrales dobles, triples, de línea y de superficie. Varias “demostraciones” se usan para visualizar la dinámica de una definición o un teorema y su alcance y significado. En algunas figuras (no implementadas en esta edición en CDF) persiste una liga para interactuar con un applet de java. Para usar esta facilidad, se debe tener java instalado y agregar, en la configuracion de seguridad de java, el sitio https://tecdigital.tec.ac.cr/ Como es conocido, la visualización interactiva funciona bien como complemento y requiere “narrativa” por parte del profesor, para obtener buenos resultados en la enseñanza. Este es un libro para el profesor y el estudiante. Se trata de refrescar con una introducción con la teoría que sustenta los cálculos. Luego se presentan una ejemplos para aprender destrezas de cálculo. Muchos de estos ejemplos han aparecido en exámenes, en el curso de Cálculo Superior del Instituto Tecnológico
- 10. de Costa Rica. En esta edición se completaron todos los applets y se incluye una introducción intuitiva a los temas de cambio de variable, integrales de línea y superficie, circulación y flujo, divergencia, rotacional y teorema de Stokes. Esta es una revisión y ajuste a formato CDF, del libro “Cálculo en varias variables” del mismo autor. Se cambiaron y/o se mejoraron algunos gráficos, se mejoró la exposición teórica y se redistribuyó parte del material y, en genral, se corrigieron errores en algunos enunciados y en los ejemplos. Se está desarrolando una versión del libro totalmente en formato CDF. El material en su estado actual, disponible lo puede encontrar en https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/Libros/ CDFindex.htm La plantilla L A TEX de este libro se puede solicitar al autor (wmora2@gmail.com) Cartago, Julio 2017. W. Mora F.
- 11. Introducción. Preliminares La Parábola La Elipse La Hipérbola. (*) Clasificación de cónicas y la ecuación de segundo grado 1 — Secciones Cónicas La parábola, la elipse y la hipérbola son llamadas “secciones cónicas”. La circunferencia es un caso especial de elipse. Todas estas curvas se pueden obtener como curvas de intersección entre un plano y un cono. Se atribuye a Menecmo (320 a. C.) su descubrimiento inicial. En el siglo III a.C., Apolonio de Perga estudia las cónicas como una sección de un cono circular y caracteriza los puntos de la cónica según sus distancias a dos líneas y deduce una gran cantidad de propiedades geométricas a partir de su caracterización, todo en términos geométricos, sin notación algebraica (la manipulación de las cónicas es esencialmente algebraica, disfrazada en forma geométrica). Sus tratados sobre cónicas fueron una joya de las matemática antigua. En coordenadas rectangulares, una cónica tiene “ecuación general” A x2 + B xy + Cy2 + D x + Ey + F = 0. - 1 1 2 3 - 2 2 4 - 1 1 2 3 - 2 2 4 - 1 1 2 3 4 - 2 2 4 Parábola Elipse Hipérbola Eje focal E j e f o c a l Eje focal
- 12. 1.1 Introducción. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 12 Sin embargo, hay casos en los que esta ecuación no tiene solución (no hay lugar geométrico) o el conjunto solución es una “cónica degenerada”: Un punto o una o dos rectas. Usando la teoría de formas cuadráticas podemos obtener un criterio para clasificar las cónicas a partir de su ecuación general. Si ∆ = 4ACF − AE2 − B2F + BDE − CD2, tenemos el siguiente resultado. Teorema 1.1 Consideremos la cónica de ecuación A x2 + B xy + Cy2 + D x + Ey + F = 0, entonces: a.) Si B2 − 4AC = 0 y ∆ 6= 0, tenemos una parábola. b.) Si B2 − 4AC < 0 y ∆ 6= 0, tenemos una elipse. c.) Si B2 − 4AC > 0 y ∆ 6= 0, tenemos una hipérbola. En coordenadas rectangulares, una hipérbola tiene ecuación A x2 + B xy + Cy2 + D x + Ey + F = 0. con B2 − 4AC > 0 y ∆ 6= 0. Si B 6= 0, el “eje focal” no es paralelo a los ejes X ni Y y la cónica presenta una rotación respecto a estos ejes. Esta rotación se puede “eliminar” haciendo un cambio de variable. Por ejemplo, si la cónica presenta una rotación de ángulo θ respecto al eje X, entonces el cambio de variable puede ser x = x0 cosθ − y0 senθ y y = x0 senθ + y0 cosθ. De esta manera la cónica aparecerá sin rotación en el sistema X0Y0 . Si B = 0, el “eje focal” es paralelo al eje X o es paralelo al eje Y. En este caso decimos que la cónica está en “posición estándar” y podemos simplificar la ecuación de la hipérbola de tal manera que podamos ver mucha información con solo inspeccionar la ecuación. 1.1 Introducción. Además de la rectas, los círculos, los planos y las esferas; los griegos se interesaron por las curvas obtenidas como secciones de un cono (parábolas, elipses e hipérbolas). No es totalmente claro el por qué del interés en estas curvas ([17], [14]).
- 13. 1.1 Introducción. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 13 Las referencias que están disponibles parecen relacionar las cónicas con el problema de duplicación del cubo (pro- blema de Delos): Dado un cubo de lados de medida s y por tanto de volumen s3, encontrar un cubo de lados de medida x y volumen 2s3. Hay que entender que solo se podía usar las condiciones auto-impuestas en la época: Las construcciones debían hacerse solo con regla (sin marcas) y compás. Hipócrates redujo el pro-blema a un problema de proporciones, s : x = x : y = y : 2s (1.1) De aquí se deduce que los valores x,y deben estar en la parábola x2 = sy y en la hipérbola xy = 2s2. La solución se obtiene como la intersección de estas curvas, x = 3 √ 2s que es un número que no se puede construir con regla y compás (como se demostró un 2000 años después). En la época griega, estas curvas aparecen como relaciones geométricas. Figura 1.1: Derivación de la ecuación de la parábola según Apolonio de Perga ([14]). Menecmo (320 a. C.) parece ser el primero en encontrar estas curvas, en sus esfuerzos por resolver el problema de Delos de manera geométrica. No es claro como pudo llegar a estas curvas (aunque hay varias conjeturas). Es probable que fuera de una manera similar a la manera en la que Apolonio de Perga (262 a.C.) las deduce en sus libros. En el siglo III a.C., Apolonio estudia las cónicas como una sección de un cono circular y caracteriza los puntos de la cónica según sus distancias a dos líneas y deduce una gran cantidad de propiedades geométricas a partir de su caracterización, todo en términos geométricos, sin notación algebraica (la manipulación de las cónicas es esencialmente algebraica, disfrazada en forma geométrica). Sus tratados sobre cónicas fueron una joya de las matemática antigua. Pappus de Alejandría (a.C.290 - a. C.350) publicó una obra en la que se resume los conocimientos matemáticos de su época, recogiendo fragmentos, a veces íntegros, de las obras que constituían los fundamentos de la enseñanza de las matemáticas en la ciudad de Alejandría, hoy en gran parte perdidas. En lo que respecta a cónicas, su contribución más importante fue la introducción de los conceptos de foco, directriz y excentricidad de una cónica con lo que se puede dar una definición equivalente en términos de la proporción entre la distancia de los puntos de la cónica a un foco y la distancia a una directriz; esta proporción es constante y se denota con e y se le llama excentricidad de la cónica.
- 14. 1.1 Introducción. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 14 Figura 1.2: Definición de una cónica usando foco, directriz y excentricidad. Después de Pappus pasaron doce siglos en el que hubo una total pérdida de interés por las cónicas (desde los tiempos de Pappus hasta el siglo XVII). Luego vino un renovado interés en una época en que se tenían nuevos métodos (los de Desargues y los de al geometría analítica) y las necesidades de la nueva astronomía, por ejemplo. Para los pioneros de la ciencia moderna (Galileo, Kepler, Huygens y Newton), los estudios de Apolonio sobre la parábola, hipérbola y la elipse fueron el punto de partida para su exploración de las leyes de la naturaleza. Con la introducción de la geometría analítica (geometría con coordenadas más la posibilidad de manipular y resolver ecuaciones algebraicas), las curvas planas se podían definir por una ecuación de dos variables. J. Wallis fue el primero en probar de manera clara, en 1655, que la ecuación Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 es la representación algebraica de las cónicas. Según los coeficientes A,B,C,D,E y F, hay curvas de diversa naturaleza. Por ejemplo, x2 + y2 = 0 la satisface solo el punto (x,y) = (0,0) mientras que x2 + y2 + 1 = 0 no tiene solución. Si la ecuación factoriza como (A1x + B1y + C1)(A2x + B2y + C2) = 0 tendríamos un par de rectas, es decir, los puntos que están sobre las rectas de ecuación A1x + B1y + C1 = 0 o A2x + B2y + C1 = 0 satisfacen el caso reducible. Fuera de estos ‘casos degenerados’ y del caso reducible, queda el caso irreducible que corresponde a las parábolas, elipses e hipérbolas. En este capítulo se introducen las cónicas como lugares geométricos1 y luego se pasa a la versión analíti- ca. En la primera parte solo consideramos cónicas con eje focal paralelo a los ejes coordenados, es decir, cónicas de ecuación Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0. En la segunda parte se considera la ecuación general Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 que, en el caso no degenerado, corresponde a cónicas con rotación. Ha- ciendo un cambio de variable, se “elimina la rotación” y volvemos al caso estándar en un nuevo sistema de ejes. 1Las definiciones que se presentan son equivalentes a la definición original de las “cónicas” como una sección de un cono. Una demostración elegante de esta equivalencia fue presentada en 1822 por el matemático belga G.P. Dandelin. Aunque es sencilla, en este texto no se incluye la demostración. Se puede consultar [11].
- 15. 1.2 Preliminares (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 15 Graficador de cónicas. Una manera fácil de obtener la representación gráfica de una cónica es introducir su ecuación (o sus propiedades) en Wolfram Alpha, en http://www.wolframalpha.com/input/?i=conics 1.2 Preliminares Distancia entre dos puntos. La distancia euclidiana de un punto A = (a1,a2) a otro punto B = (b1,b2) se puede obtener usando el teorema de Pitágoras: d(A,B) = ||A − B|| = p (a1 − b1)2 + (a2 − b2)2 Ejemplo 1.1 Sean A = (1,1) y B = (5,3). Entonces, d(A,B) = ||A − B|| = q (1 − 5)2 + (1 − 3)2 = √ 20 X Y A B 2 5 Figura 1.3: ||B − A|| = √ 20 Punto Medio. El punto medio entre A y B es M = A + B 2 . La distancia de A a M es d(A, M) = ||A − B|| 2 . Ejemplo 1.2 Sean A = (1,1) y B = (5,3). El punto medio es M = (1 + 5, 3 + 1) 2 = (3,2). X Y A B M 13 Figura 1.4: d(M,B) = √ 13
- 16. 1.2 Preliminares (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 16 Completar el cuadrado. En el tema de cónicas es muy útil la “completación de cuadrados” pues nos permite reducir ecuaciones del tipo Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 a una ecuación más natural y con más información. Una manera de completar cuadrados es ax2 + bx + c = a x + b 2a 2 − b2 4a + c Ejemplo 1.3 a.) Completar el cuadrado en 4x2 − 8x Solución: 4x2−8x = 4 x + −8 2 · 4 2 − (−8)2 4 · 4 = 4(x − 1)2 − 4 b.) Completar el cuadrado en y2 + 4y − 8 Solución: y2 + 4y − 8 = y + 4 2 2 − (4)2 4 · 1 − 8 = (y + 2)2 − 12 Lugares geométricos. Informalmente, un “lugar geométrico” es el “rastro” o la “huella” que deja un punto que se mueve de acuerdo a una ley especificada. En lo que a nosotros concierne, usaremos esta definición: Un “lugar geométrico” es el conjunto de todos los puntos (usualmente los puntos de una curva o una superficie) que satisfacen algún criterio o propiedad. Ejemplo 1.4 (Lugar geométrico). Una circunferencia en el plano es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto O O O llamado “centro”. Nos interesa la ecuación cartesiana de la curva que se forma: Una circunferencia de radio a está formada por todos los puntos (x,y) que están a una distancia “a” del centro O = (h,k) O = (h,k) O = (h,k). Entonces ||(x,y) − (h,k)|| = a =⇒ q (x − h)2 + (y − k)2 = a =⇒ (x − h)2 + (y − k)2 = a2 Figura 1.5: Lugar geométrico La ecuación (x − h)2 + (y − k)2 = a2 es la versión “analítica” para una circunferencia de centro (h,k) y radio a.
- 17. 1.3 La Parábola (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 17 1.3 La Parábola Ver con CFDPlayer Requiere FreeCDF Player Definición 1.1 (La parábola como lugar geométrico). En un plano, una parábola es el lugar geométrico de todos los puntos Q equidistantes de un punto fijo F (llamado foco) y de una recta fija ` (llamada directriz) que no contiene a F, es decir, d(Q,F) = d(Q,`). Figura 1.6: Parábola Propiedad focal de la parábola: En Física, la ley de reflexión establece que si un rayo de luz `1 toca una superficie pulida m en un punto Q, este rayo es reflejado a lo largo de otra recta `2 de tal manera que si n es la recta normal a m en Q, el ángulo de incidencia α es igual al ángulo de reflexión β. Esta ley combina muy bien con la llamada “propiedad focal” de la parábola: La normal a la parábola en cualquier punto Q de la parábola forma ángulos iguales con el segmento FQ (que corresponde a `1 ) y la recta que pasa por Q y es paralela al eje de simetría de la parábola (que corresponde a `2 ). Aplicaciones. Las antenas utilizadas preferentemente en las comunicaciones vía satélite son las antenas parabólicas. Las señales que inciden sobre su superficie se reflejan y alimentan el foco de la parábola, donde se encuentra el elemento receptor (también podría ser un elemento emisor). Son antenas parabólicas de foco primario. Se usa también otro tipo de antena que no es redonda, sino oval y simétrica y se obtiene como un corte de la antena parábolica; el receptor queda en el punto focal, pero recibe alimentación a un lado (antena offset) del plato resultante del corte, esto se hace así para evitar eliminar la ’sombra’ del receptor (con lo que el rendimiento es algo mayor que en la de foco primario).
- 18. 1.3 La Parábola (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 18 La propiedad focal de la parábola también se usa para el diseño de los focos de los automóviles, en este caso se debe usar un lente para desviar la luz de tal manera que no afecte a los conductores que vienen de frente, Reflector parábolico Bombilla Luz alta Luz colimada Lente Luz dispersada Figura 1.7: Reflectores parábolicos (Wikipedia Commons) Directriz, eje, vértice y foco. La recta que pasa por F y es perpendicular a L se llama “eje” o “eje de simetría”. El punto de la parábola que está sobre este eje transversal se llama vértice y lo denotamos con V. Por la definición de la parábola, el vértice está a la misma distancia de la recta ` y del Foco. Esta distancia la denotamos con p Latus Rectum: El latus rectum de la parábola es la cuerda que pasa por el foco y es perpendicular al eje. La longitud del latus rectum es 4p. V F Tratamiento analítico. En coordenadas rectangulares, una parábola tiene ecuación general (1.1) Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 con B2 − 4AC = 0 y ∆ 6= 0 Si B 6= 0, el “eje focal” no es paralelo al eje X ni al eje Y. En este caso, la parábola presenta una rotación respecto a estos ejes. La rotación se puede eliminar (respecto a los nuevos ejes X0, Y0) haciendo el cambio de variable x = x0 cosθ − y0 senθ y y = x0 senθ + y0 cosθ.
- 19. 1.3 La Parábola (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 19 Figura 1.8: Parábola con rotación La versión analítica, en posición estándar, requiere colocar la directriz paralela al eje X o paralela al eje Y. Directriz paralela al eje Y. Si la directriz es paralela al eje Y y si V = (h,k), entonces hay dos posibilidades: la parábola abre a la izquierda o abre a la derecha. En el caso de que la parábola abre a la derecha, el foco es F = (h + p,k) Los puntos Q = (x,y) de la parábola satisfacen d(Q,F) = d(Q,`), es decir, V F Y X p (x − h − p)2 + (y − k)2 = x − h + p (x − h − p)2 + (y − k)2 = (x − h + p)2 (y − k)2 = 4p(x − h)2 Como p 0, entonces x ≥ h como se espera. Así, si la parábola abre hacia la derecha, su ecuación canónica es (y − k)2 = 4p(x − h) con p 0. En el caso de que la parábola abra a la izquierda, el foco es F = (h − p,k). Los puntos Q = (x,y) de la parábola satisfacen d(Q,F) = d(Q, L). Procediendo como antes, q (x − h + p)2 + (y − k)2 = x − h − p =⇒ (y − k)2 = 4p(x − h) con p = −p. Como p = −p, el foco es F = (h + p,k) nuevamente. En ambos casos, la ecuación simplificada es (y − k)2 = 4p(x − h) donde p = |p|. Con esta notación, si p 0, la parábola abre a la derecha y si p 0, la parábola abre a la izquierda. Esta ecuación es llamada ecuación canónica o natural. Esta ecuación es especial pues contiene la información del vértice, el foco y la directriz.
- 20. 1.3 La Parábola (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 20 Parábola (y − k)2 = 4p(x − h) (y − k)2 = 4p(x − h) (y − k)2 = 4p(x − h) X Y V F X Y V F Figura 1.9: Parábola con directriz ` paralela al eje Y. Directriz paralela al eje X. De manera análoga al caso anterior, si la directriz es paralela al eje X, entonces la ecuación canónica de la parábola es (x − h)2 = 4p(y − k) de tal manera que si p 0, la parábola abre hacia arriba y si p 0, la parábola abre hacia abajo. En re- sumen, si la directriz es paralela al eje X o paralela al eje Y, y si el vértice es V = (h,k), la ecuación canónica es Ver con CFDPlayer Requiere FreeCDF Player Parábola (x − h)2 = 4p(y − k) (x − h)2 = 4p(y − k) (x − h)2 = 4p(y − k) V F 0; F V Y X Y X Figura 1.10: Parábola con directriz ` paralela al eje X.
- 21. 1.3 La Parábola (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 21 Ecuación general de la parábola en posición estándar. La ecuación general de la parábola es de la forma Cy2 + Dx + Ey + F = 0 con C 6= 0 y D 6= 0 o de la forma Ax2 + Dx + Ey + F = 0 con A 6= 0 y E 6= 0. Completando el cuadrado obtenemos la ecuación canónica. También podríamos obtener el vértice, el foco y la ecuación de la directriz en términos de C,D,E y F. Ejemplo 1.5 Verificar que el vértice de la parábola y = ax2 + bx + c es el punto − b 2a , − ∆ 4a . Solución: Completando cuadrados obtenemos ax2 + bx + c − y = a x + b 2a 2 − b2 4a + c − y = a x + b 2a 2 + −b2 + 4ac 4a − y = a x + b 2a 2 − ∆ 4a − y si ∆ = b2 − 4ac. Entonces, ax2 + bx + c − y = 0 =⇒ x + b 2a 2 = 1 a y + ∆ 4a y el vértice es − b 2a , − ∆ 4a . Ejemplo 1.6 Hallar la ecuación canónica, el vértice, el foco y la directriz de la parábola cuya ecuación es y2 − 6y − 2x + 17 = 0. Además realice la gráfica. Solución: Para hallar la ecuación canónica debemos comple- tar cuadrados. y2 − 6y − 2x + 17 = 0 (y − 3)2 −9 − 2x + 17 = 0 (y − 3)2 = 2 (x − 4) El vértice es V = (4,3) y como 4p = 2 ⇒ p = 1/2 0. La parábola abre hacia la derecha y tiene el foco en F = (4.5, 3). La directriz es la recta de ecuación x = 3.5. La gráfica se muestra en la figura. X Y V F 4 4.5 3.5 Figura 1.11: Parábola (y − 3)2 = 2 (x − 4)
- 22. 1.3 La Parábola (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 22 Ejemplo 1.7 Hallar la ecuación canónica de la parábola con vértice en (−2,4) y foco en (−2,3). Realizar la gráfica. Solución: Dado que el vértice y el foco tienen igual abscisa, el eje de la parábola es vertical, además las distancia entre el foco y el vértice es |p| = 1 y como abre hacia abajo, p = −1. Entonces la ecuación canónica es, (x + 2)2 = −4(y − 4) La directriz es la recta y = 5 . La gráfica se muestra en la figura. X Y V F 4 3 Ejemplo 1.8 Determine la ecuación canónica y el foco de la parábola (o las parábolas) que satisfacen simultáneamente las siguientes condiciones: a.) vértice en (2,0), b.) contiene al punto P = (8,b) con b 0, c.) la distancia de P a la directriz es 10, d.) eje de simetría paralelo al eje Y. X Y V P b Solución: De acuerdo a d.) la parábola abre hacia arriba o hacia abajo. Por la posición del vértice y el punto (8,b), solo podría abrir hacia arriba. El vértice es (h,k) = (2,0) por lo que lo que la ecuación de la parábola es (x − 2)2 = 4p(y − 0); p 0. La directriz es y = k − p = −p. Para determinar p y b tenemos dos datos La distancia de (8,b) a la directriz es 10, es decir b + p = 10 El punto (8,b) está en la parábola, es decir, (8 − 2)2 = 4p(b) b = 10 − p 36 = 4pb =⇒ 36 = 4p(10 − p) =⇒ 36 − 40p + 4p2 = 0 X Y V P P 1 9 8
- 23. 1.3 La Parábola (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 23 Con lo que p = 1 o p = 9. Por lo tanto, las parábolas que cumplen estas condiciones son (x − 2)2 = 4y (cuando b = 1) o (x − 2)2 = 36y (cuando b = 9). Ambas parábolas se muestran en la figura de la derecha. Ejemplo 1.9 Hallar las parábolas que contienen los puntos (4,4),(4,−4) de la circunferencia (x − 6)2 + y2 = 20 y la distancia de su vértice al centro de esta circunferencia es 6 unidades. Solución: La situación, según los datos, es la que se presenta en la fi- gura de la derecha. La ecuación es, en ambos casos, (y − k)2 = 4p(x − h). Si el vértice es (h,k) = (0,0) : Como (4,4) está en la parábola, entonces (y − k)2 = 4p(x − h) =⇒ 42 = 16 p =⇒ p = 1. La ecuación de la parábola es y2 = 4x. Si el vértice es (h,k) = (12,0) : Como (4,4) está en la parábola, entonces y2 = 4p(x − 12) =⇒ 42 = 4p(−8) =⇒ p = −1/2 La ecuación de la parábola es y2 = −2(x − 12) X Y Ejercicios 1 1.1 Determine la ecuación del lugar geométrico de los puntos Q del plano XY tales que equidistan del punto (2,3) y de la recta de ecuación x = 4. 1.2 Determine la ecuación canónica de las siguientes parábolas, a.) y = 2x2 − 4x + 1. b.) −9y2 − 8x − 3 = 0 c.) y2 + 2y − 4x = 7 d.) x2 + 2x − 2y + 5 = 0 e.) x2 − y + 2 = 0 1.3 Determine la ecuación canónica de la parábola con vértice en (1,3) y foco en (2,3).
- 24. 1.4 La Elipse (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 24 1.4 Determine la ecuación canónica de la parábola con eje focal paralelo al eje X y que pasa por los puntos (0,0), (−1,2) y (−2,−2) 1.5 Determine la ecuación canónica de la parábola con vértice en (−1,1) y directriz y = 0. 1.6 Determine la ecuación canónica de la parábola con foco en (3,4) y directriz x = 7. 1.7 Determine la ecuación canónica de la parábola con vértice en (2,3), eje focal paralelo al eje Y y que pasa por el punto (4,5). 1.8 Hay tres parábolas que satisfacen simultáneamente las siguientes condiciones: a.) Vértice en (2,0), b.) contiene al punto P = (b,8) con b 2, c.) la distancia de P a la directriz es 10. Determine la ecuación canónica de cada una de estas parábolas y el valor de b en cada caso. 1.9 En la definición de la parábola como un lugar geométrico se indica que el foco no está en la directriz. ¿Qué pasa si el foco está en la directriz? 1.4 La Elipse Ver con CFDPlayer Requiere FreeCDF Player Definición 1.2 (La elipse como lugar geométrico). En un plano, una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos Q cuya suma de distancias a dos puntos fijos, F1 y F2, (llamados focos), es constante (una constante mayor que d(F1,F2)). Si la suma es la constante 2a, con 2a d(F1,F2), entonces d(Q,F1) + d(Q,F2) = 2a Propiedad focal de la elipse. La elipse también tiene una “propiedad focal” análoga a la de la parábola: La normal a la elipse en cualquier punto Q de la elipse forma ángulos iguales con el segmento F1Q y el segmento F2Q
- 25. 1.4 La Elipse (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 25 Figura 1.12 Esta propiedad se usa por ejemplo en medicina para tratar cálculos (“piedras”) que se forman en el riñón, vejiga y uréteres; con ondas de choque. La “litotricia extracorpórea” por ondas de choque consiste en la emisión de ondas desde un aparato emisor de ondas. El paciente se acuesta sobre una mesa y el emisor de ondas se acopla en un sistema reflector apropiado con forma elíptica, de tal manera que el emisor esté en un foco y el cálculo renal en el otro. De esta forma las ondas de choque (que casi no sufren pérdidas en agua y tejidos corporales) al reflejarse en la pared elíptica, inciden directamente en el cálculo. cálculo renal Como en el caso de la parábola, también la propiedad focal de la elipse se usa para el diseño de focos para automóvil y de reflectores para las lámparas que vemos en el consultorio del dentista, Foco moderno Lámpara de dentista Ejes, centro y vértices. Supongamos que los focos de la elipse son F1 y F2. Además, d(Q,F1) + d(Q,F2) = 2a con 2a d(F1,F2). La recta que pasa por los focos se llama eje focal. Este eje focal corta a la elipse en dos puntos V1, V2 llamados vértices. El segmento de recta que une los vértices se llama eje mayor. El punto en la mitad del eje mayor se llama centro de la elipse. El eje normal es el eje que pasa por el centro y es perpendicular al eje focal. Este eje normal corta a la elipse en dos puntos A y A0. El segmento que une estos dos puntos se llama eje menor. Eje focal
- 26. 1.4 La Elipse (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 26 De acuerdo a la definición de la elipse, la distancia entre los vértices es 2a y cada vértice está a una distancia de a unidades del centro. Si la longitud del semieje menor es b, entonces como el triángulo 4F1AF2 es isósceles, entonces d(A,F1) = a y se obtiene que la distancia de cada foco al centro es c con c2 = a2 − b2. Excentricidad. La excentricidad de la elipse se define como e = c a y describe la forma general de la elipse, además 0 e 1. Para una circunferencia la excentricidad es cero y valores cercanos a 1 corresponden a elipses más alargadas y achatadas (ver sección 8.1). Figura 1.13: Excentricidad de la elipse La excentricidad de las órbitas planetarias varían mucho en el sistema solar. La excentricidad de la tierra es 0.017 lo que la hace casi circular. La excentricidad de Plutón es 0.25 y es la más alta del sistema solar. La excentricidad del cometa Halley es 0.97 lo que hace que su órbita sea muy alargada, tanto que tarda 76 años en completar su órbita y la mayoría del tiempo permanece invisible para nosotros. Orbita del cometa Halley Sol Orbita de Plúton Sol Latus Rectum. Los latus rectum en la elipse corresponden a las cuerdas perpendiculares al eje focal y que pasan por cada uno de los focos. Si a es la longitud del semieje mayor y b es la longitud del semieje menor, la longitud de cada cuerda es 2b2 a Tratamiento analítico. En coordenadas rectangulares, una elipse tiene ecuación general (ver 1.1)
- 27. 1.4 La Elipse (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 27 Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 con B2 − 4AC 0 y ∆ 6= 0 Si B 6= 0, el “eje focal” no es paralelo al eje X ni al eje Y. En este caso, la elipse presenta una rotación respecto a estos ejes. La rotación se puede eliminar (respecto a los nuevos ejes X0, Y0) haciendo el cambio de variable x = x0 cosθ − y0 senθ y y = x0 senθ + y0 cosθ. La versión analítica, en posición estándar, requiere poner el eje mayor paralelo al eje X o paralelo al eje Y. Figura 1.14: Elipse con rotación Eje mayor paralelo al eje Y. En este caso, si el centro es (h,k), entonces F1 = (h,k + c) y F2 = (h,k − c). Los puntos (x,y) de la elipse satisfacen d((x,y),F1) + d((x,y),F2) = 2a, es decir, q (x − h)2 + (y − k + c)2 + q (x − h)2 + (y − k − c)2 = 2a Ahora simplificamos la ecuación, X Y Q(x,y) q (x − h)2 + (y − k + c)2 2 = 2a − q (x − h)2 + (y − k − c)2 2 a2 − c(y − k) = a q (x − h)2 + (y − k + c)2, elevamos al cuadrando, a4 + 2a2 c(y − k) + c2 (y − k)2 = a2 (x − h)2 + a2 (y − k)2 + 2a2 c(y − k) + a2 c2 , sustituyendo c2 = a2 − b2 , −b2 (y − k)2 = a2 (x − h)2 − a2 b2 =⇒ (x − h)2 b2 + (y − k)2 a2 = 1 La ecuación simplificada (x − h)2 b2 + (y − k)2 a2 = 1, se le llama ecuación canónica o natural. Contiene toda la información para determinar la longitud de los semiejes, la longitud c, focos y vértices.
- 28. 1.4 La Elipse (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 28 Eje mayor paralelo al eje X. En este caso, si el centro es (h,k), entonces F1 = (h − c,k) y F2 = (h + c,k). Los puntos (x,y) de la elipse satisfacen d((x,y),F1) + d((x,y),F2) = 2a, es decir, q (x − h + c)2 + (y − k)2 + q (x − h − c)2 + (y − k)2 = 2a. X Y Q(x,y) Figura 1.15: Elipse con eje mayor paralelo al eje X Co- mo antes, la ecuación simplificada queda (x − h)2 a2 + (y − k)2 b2 = 1. A esta ecuación se le llama ecuación canónica o natural. Contiene toda la información para determinar la longitud de los semiejes, la longitud c, focos y vértices.,En resumen, Ver con CFDPlayer Requiere FreeCDF Player Elipse sin rotación. “a” es la longitud del semieje mayor X Y Y X Circunferencia de radio a. Formalmente, la curva que delimita un círculo se llama circunferencia. Por abuso del lenguaje se habla de un “círculo de radio a”. La circunferencia es un caso especial de elipse en la que los focos son iguales y coinciden con el centro de la circunferencia. En este caso, a2 = b2 = a2 . Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia de un círculo con centro en O = (h,k) y radio a, es
- 29. 1.4 La Elipse (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 29 (x − h)2 a2 + (y − k)2 a2 = 1 o también (x − h)2 + (y − k)2 = a2 Figura 1.16: Circunferencia de radio a centra- da en (h,k) Ecuación general de la elipse en posición estándar. La ecuación general de un elipse con eje mayor paralelo al eje X o al eje Y es Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, con A y C no nulos y del mismo signo. Sin embargo, esta ecuación también podría tener como conjunto solución una cónica degenerada. Si la ecuación corresponde a una cónica propia, basta con que AC 0 para decir que es una elipse. La manera práctica de decidir si es una elipse es obtener la ecuación canónica completando cuadrados. El estudio de la ecuación general se hace en la sección (1.6). Ejemplo 1.10 Hallar la ecuación canónica de la elipse 4x2 + y2 − 8x + 4y − 8 = 0. Realizar su gráfica identificando los vértices, los focos y el centro. Solución: Para hallar la ecuación canónica debemos completar el cuadrado de la expresión en ambas variables x e y. 4x2 + y2 − 8x + 4y − 8 = 0 4x2 − 8x + y2 + 4y − 8 = 0 4(x − 1)2 + (y + 2)2 = 16 (x − 1)2 4 + (y + 2)2 16 = 1 X Y El centro es (h,k) = (1,−2). La elipse tiene eje mayor paralelo al eje Y. Como a2 = 16 y b2 = 4, entonces a = 4 y b = 2. Ahora, c2 = 16 − 4 =⇒ c = √ 12. Los focos son (1,−2 ± √ 12) y los vértices son (1,−6), (1,2). Las intersecciones con los ejes son y ≈ −5.46, y ≈ 1.46, x ≈ −0.73 y x ≈ 2.73.
- 30. 1.4 La Elipse (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 30 Ejemplo 1.11 Determine la ecuación canónica y las características más importantes de la elipse cuyo eje mayor tiene extremos (−3,5) y (7,5) y cuyo eje menor tiene extremos (2,2) y (2,8). Solución: El centro es el punto medio entre (−3,5) y (7,5), es decir, (2,5). El semieje mayor mide a = 5 y el semieje menor mide b = 3. Como el eje mayor es paralelo al eje X, la ecuación canónica es, (x − 2)2 25 + (y − 5)2 9 = 1. Como c2 = 25 − 9, entonces c = 4 y los focos son (2 ± 4,5). Los vértices son (2 ± 5,5). Las intersecciones con el eje Y son y ≈ 2.25 y y ≈ 7.75. X Y Ejemplo 1.12 Determine la ecuación canónica de la elipse con vértices en (3,1), (3,9) y eje menor de longitud 6. Realizar la gráfica. Solución: El eje mayor de la elipse es paralelo al eje Y. Como la longitud del eje menor es de 6 unidades, entonces b = 3. Como los vértices están en (3,1) y (3,9), entonces el centro es (h,k) = (3,5) y por tanto a = 4. La ecuación canónica es (x − 3)2 9 + (y − 5)2 16 = 1 La gráfica de la elipse se muestra en la figura de la derecha. Solo hay una intersección con el eje Y en y = 5. X Y Ejemplo 1.13 Determine la ecuación canónica de la elipse con focos en (2,5) y (2,3) y que contiene al punto (3,6). Realizar la gráfica. Solución: Por la posición de los focos, el eje mayor es paralelo al eje Y. Además también de-
- 31. 1.4 La Elipse (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 31 ducimos que el centro es (h,k) = (2,4) y que c = 1. Como c2 = a2 − b2, tenemos b2 = a2 − 1. Hasta ahora tenemos que la ecuación canónica es (x − 2)2 b2 + (y − 4)2 a2 = 1 Como b2 = a2 − 1 y como la elipse contiene al punto (3,6), este punto satisface esta ecuación, es decir, (3 − 2)2 b2 + (6 − 4)2 a2 = 1, 1 a2 − 1 + 4 a2 = 1 =⇒ a2 = 3 ± √ 5. X Y Como b2 = a2 − 1 0, la única solución es (x − 2)2 2 + √ 5 + (y − 4)2 3 + √ 5 = 1. Las intersecciones con el eje Y son y ≈ 3.46, y ≈ 4.54. Ejemplo 1.14 Determine la ecuación de la circunferencia de radio 2 con centro en el vértice de la parábola de foco (1,−1) y directriz x = −3. Realizar la gráfica. Solución: Como el vértice de una parábola está a la mitad del camino entre el foco y la directriz entonces (h,k) = (−1,−1). La ecuación de la circunferencia es (x + 1)2 + (y + 1)2 = 4. Las intersecciones con el eje X son x ≈ −2.73 y x ≈ 0.73. Las intersecciones con el eje Y son y ≈ −2.73 y y ≈ 0.73. Y X
- 32. 1.4 La Elipse (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 32 Ejercicios 2 1.10 Considere la elipse a la derecha. Si se sabe que el punto (−1/2, 5/4) está en la elipse, determine su ecuación canónica, sus focos y sus vértices. X Y 1.11 En cada caso, obtener la ecuación canónica de la elipse. a.) (y − 1)2 2 + 5(x + 2)2 3 = 2 b.) x2 16 + x 2 + y2 4 + y + 1 = 0 c.) x2 4 + x + y2 16 + y 2 + 1 = 0 d.) x2 + y2 2 − 2y + 1 = 0 1.12 Considere la cónica 4x2 + y2 − 16x − 6y + 21 = 0. Realizar su gráfica identificando los vértices, los focos, el centro y la intersección con los ejes. 1.13 Determine la ecuación de la elipse cuyo centro está en el origen, contiene al punto (−1,3) y uno de sus vértices es (0,5). Realizar la gráfica. 1.14 Determinar la ecuación canónica de la elipse si se sabe que es tangente a los ejes en el primer cuadrante y uno de sus vértices es (8,2). 1.15 Determine la ecuación canónica y los demás elementos de la elipse con centro en (0,0), eje mayor horizontal y los puntos (3,1) y (4,0) están en la elipse. 1.16 Determine la ecuación canónica y los demás elementos de la elipse con centro en (2,1), longitud del eje menor 2ul y eje mayor vertical y de longitud 6ul. 1.17 Hallar la ecuación canónica y los demás elementos de la elipse que tiene un vértice y un foco en común con la parábola y2 + 4x = 32 y que tiene su otro foco en el origen.
- 33. 1.4 La Elipse (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 33 1.18 Determine la ecuación canónica y los demás elementos de la elipse cuya suma de distancias a los puntos (±3,0) es 16. 1.19 Considere la cónica de ecuación 9y2 + 16x2 + 54y − 64x + 1 = 0. Verifique que se trata de una elipse e indique sus características principales. 1.20 Se tiene un círculo inscrito en un cuadrado tal y como se muestra en la figura que sigue. Determinar el radio. 1.21 Considere la cónica C C C de ecuación x2 − 4x + 8y + 12 = 0. Determine la ecuación canónica y las características más importantes, de la elipse que cumple simúltaneamente con las siguientes condiciones, a.) Su centro coincide en el vértice de la cónica C C C b.) La distancia entre sus focos es 4 y están en la recta x = 2 c.) La distancia de un foco al vértice más cercano es 3 1.22 Considere la parábola P cuya gráfica se muestra en la figura. Determine la ecuación canónica de la elipse E cuyo centro es el foco de P y contiene los puntos (0,0) y (9,−5 3 ). F X Y 1.23 Determine la ecuación canónica de la elipse que satisface simultáneamente las siguientes condiciones: a.) El vértice V1 de la elipse coincide con el foco de la parábola de ecuación (x − 2)2 = −4y + 24.
- 34. 1.5 La Hipérbola. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 34 b.) El vértice V2 de la elipse coincide con el centro de la hipérbola de ecuación x2 − 4x − y2 + 2y = −2. c.) La elipse contiene el punto (1,2). 1.24 En la definición de la elipse como un lugar geométrico se indica que 2a d(F1,F2). ¿Qué pasa si 2a ≤ d(F1,F2)? 1.5 La Hipérbola. Ver con CFDPlayer Requiere FreeCDF Player Definición 1.3 (La hipérbola como lugar geométrico). En un plano, una hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos Q tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, F1 y F2, (llama- dos focos), es constante (una constante menor que d(F1,F2)). Si la diferencia es la constante 2a, con 2a d(F1,F2), enton- ces |d(Q,F1) − d(Q,F2)| = 2a Propiedad focal de la hipérbola. La hipérbola también tiene una “propiedad focal” análoga a la de la elipse y la parábola: La normal a la hipérbola en cualquier punto Q de la hipérbola, forma ángulos iguales con el segmento F1Q y el segmentos F2,Q Q
- 35. 1.5 La Hipérbola. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 35 La propiedad focal de la hipérbola tiene varias aplicaciones. Por ejemplo, en la construcción de telescopios. Un telesco- pio común tipo Cassegrain consiste de un espejo primario parabólico y de un espejo secundario hiperbólico. En la fi- gura (1.17) la luz se refleja en un espejo primario parabólico y se desplaza hacia el foco F. Antes de llegar a este foco, hay un espejo hiperbólico en el camino, que comparte el foco F con la parábola. Este espejo refleja la luz al otro foco de la hipérbola, donde se encuentra el observado. F Espejo primario (parábolico) Espejo secundario (hipérbolico) Figura 1.17: Telescopio Cassegrain. Ejes, centro y vértices. Supongamos que los focos de la hipérbola son F1 y F2. Además, |d(Q,F1) − d(Q,F2)| = 2a con 2a d(F1,F2). La recta que pasa por los focos se llama eje focal. Este eje focal corta a la hipérbola en dos puntos V1, V2 llamados vértices. El segmento de recta que une los vértices se llama eje transverso. El punto medio de este eje se llama centro de la hipérbola. De la definición de la hipérbola se puede deducir que la distancia entre los vértices es 2a y cada vértice está a una distancia de a unidades del centro. Si la distancia del centro a cada uno de los focos es c, co- mo c a, podemos formar el triángulo isósceles 4V1V2A que se muestra en la figura de la derecha. La altura de este triángulo la denotamos con b. El eje conjugado es el segmento AA0 (en la figura de la derecha) y mide 2b. Este segmento pasa por el centro y es perpendicular al eje focal. Claramente, este el semieje conjugado tiene longitud b y, por pitágoras, c2 = a2 + b2 . Excentricidad. La excentricidad de la hipérbola es e = c a . En este caso, e 1. Si e ≈ 1, la ramas de la hipérbola son muy abiertas mientras que si e no está cerca de 1, las ramas abren poco y la hipérbola se muestra “achatada” (ver sección 8.1).
- 36. 1.5 La Hipérbola. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 36 Latus Rectum. Los latus rectum en la hipérbola corresponden a las cuerdas perpendiculares al eje focal y que pasan por cada uno de los focos. Al igual que en la elipse, cada lado recto mide 2b2 a . Tratamiento analítico. En coordenadas rectangulares, una hipérbola tiene ecuación general (ver 1.1) Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 con B2 − 4AC 0 y ∆ 6= 0 Si B 6= 0, el “eje focal” no es paralelo al eje X ni al eje Y. En este caso, la hipérbola presenta una rotación respecto a estos ejes. La rotación se puede eliminar (respecto a los nuevos ejes X0, Y0) haciendo el cambio de variable x = x0 cosθ − y0 senθ y y = x0 senθ + y0 cosθ. La versión analítica, en posición estándar, requiere poner el eje focal paralelo al eje X o paralelo al eje Y. Figura 1.18: hipérbola con rotación Eje mayor paralelo al eje X. En este caso, si el centro es (h,k), entonces F1 = (h + c,k) y F2 = (h − c,k). Los puntos Q = (x,y) de la hipérbola satisfacen |d(Q,F1) − d(Q,F2)| = 2a, es decir, q (x − h + c)2 + (y − k)2 − q (x − h − c)2 + (y − k)2 = 2a Para simplificar un poco el cálculo, supongamos que d(Q,F1) − d(Q,F2) 0 (el otro caso es es totalmente similar), entonces X Y
- 37. 1.5 La Hipérbola. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 37 q (x − h + c)2 + (y − k)2 2 = 2a − q (x − h − c)2 + (y − k)2 2 , c(x − h) − a2 = a q (x − h − c)2 + (y − k)2, elevamos al cuadrado, (c2 − a2 )(x − h)2 − a2 (y − k)2 = a2 (c2 − a2 ), (x − h)2 a2 − (y − k)2 c2 − a2 = 1. Poniendo b2 = c2 − a2, la ecuación simplificada sería (x − h)2 a2 − (y − k)2 b2 = 1; esta ecuación se le llama ecuación canónica o natural. Contiene toda la información para determinar la longitud de los semiejes, c, focos y vértices. Eje mayor paralelo al eje Y. En este caso, si el centro es (h,k), entonces F1 = (h,k − c) y F2 = (h,k + c). Los puntos Q = (x,y) de la hipérbola satisfacen |d(Q,F1) − d(Q,F2)| = 2a, es decir, q (x − h)2 + (y − k + c)2 − q (x − h)2 + (y − k − c)2 = 2a. X Y Como antes, la ecuación simplificada queda (y − k)2 a2 − (x − h)2 b2 = 1. A esta ecuación se le llama ecuación canónica o natural. Contiene toda la información para determinar la longitud de los semiejes, c, focos y vértices. Asíntotas de la hipérbola. Consideremos las ecuaciones canónicas de la hipérbola. Despejando y en cada caso, se obtiene (y − k)2 a2 − (x − h)2 b2 = 1 =⇒ y = k ± a b q (x − h)2 + b2, (x − h)2 a2 − (y − k)2 b2 = 1 =⇒ y = k ± b a q (x − h)2 − a2. Si x es suficientemente grande, se pueden despreciar las constantes que suman o restan, es decir,
- 38. 1.5 La Hipérbola. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 38 (y − k)2 a2 − (x − h)2 b2 = 1 =⇒ y ≈ k ± a b (x − h), (x − h)2 a2 − (y − k)2 b2 = 1 =⇒ y ≈ k ± b a (x − h). Esto sugiere que las rectas y = k ± a b (x − h), y = k ± b a (x − h) son asíntotas oblicuas de la hipérbola corres- pondiente. En efecto, un cálculo rápido nos permite establecer que (y − k)2 a2 − (x − h)2 b2 = 1 =⇒ lı́m x→±∞ y − k ± a b (x − h) = 0, (x − h)2 a2 − (y − k)2 b2 = 1 =⇒ lı́m x→±∞ y − k ± b a (x − h) = 0. Teorema 1.2 (Asíntotas de la hipérbola). La hipérbola de ecuación (y − k)2 a2 − (x − h)2 b2 = 1 tiene asíntotas y = k ± a b (x − h) La hipérbola de ecuación (x − h)2 a2 − (y − k)2 b2 = 1 tiene asíntotas y = k ± b a (x − h) Y X Y X
- 39. 1.5 La Hipérbola. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 39 Hipérbolas. Y Y X X Ecuación general de la hipérbola en posición estándar. La ecuación general de una hipérbola con eje focal paralelo al eje X o al eje Y es Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, con A y C no nulos y de diferente signo.Sin embargo, esta ecuación puede también corresponder a una cónica degenerada. Si la ecuación corresponde a una cónica propia, basta con que AC 0 para decir que es una hipérbola. La manera práctica de decidir si es una hipérbola es obtener la ecuación canónica completando cuadrados. El estudio de la ecuación general se hace en la sección (1.6). Ejemplo 1.15 Determine la ecuación canónica y las características de la cónica que contiene a los puntos P = (x,y) para los cuales |d(P, A) − d(P,B)| = 2 donde A = (−3,0) y B = (−3,3). Realizar la gráfica. Solución: Se trata de un hipérbola con focos A y B y por tanto c = 1.5 y el centro es (h,k) = (−3, 3/2). Co- mo |d(P,F1) − d(P,F2)| = 2a entonces a = 1. y entonces b2 = 5/4. Luego ecuación canónica es (y − 3 2 )2 1 − (x + 3)2 5/4 = 1 Las asíntotas son y = ± 1 √ 5/4 (x +3) +3/2. La intersección con los ejes son y ≈ −1.363, y ≈ 4.363, x ≈ −4.25 y x ≈ −1.75, X Y
- 40. 1.5 La Hipérbola. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 40 Ejemplo 1.16 Identifique y trace la gráfica de la cónica de ecuación 4y2 − 9x2 + 36x − 24y − 36 = 0, indicando centro, vértices, focos, asíntotas e intersección con los ejes. Solución: Completando cuadrados obtenemos 4(y − 3)2 − 9(x − 2)2 = 36 por lo que la ecuación canónica es (y − 3)2 9 − (x − 2)2 4 = 1 Se trata de un hipérbola con eje transversal vertical y cen- tro en (2,3). Como a = 3 y b = 2 entonces c = √ 13. Los vértices son v1 = (2,0) y v2 = (2,6) y los focos son F1 = (2,3 − √ 13) y F2 = (2,3 + √ 13). Las intersecciones con los ejes: y ≈ −1.24, y ≈ 7.24 y x = 2. X Y Ejemplo 1.17 Hallar la ecuación canónica, los focos, los vértices y las asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es 9x2 − y2 − 36x − 6y + 18 = 0. Realizar la gráfica. Solución: Completando el cuadrado en ambas variables, 9 x2 − 4x + 4 − 4 − y2 + 6y + 9 − 9 + 18 = 0 9(x − 2)2 − (y + 3)2 = 9 (x − 2)2 1 − (y + 3)2 9 = 1 Por tanto, el centro está en (2,−3), a = 1, b = 3 y c2 = a2 + b2 =⇒ c2 = 10 =⇒ c = √ 10 Los vértices están en (1,−3), (3,−3), los focos en (2 ± √ 10,−3) y las asíntotas son y = ±3(x − 2) − 3. Las inter- secciones con los ejes son y ≈ −8.19, y ≈ 2.196, x ≈ 0.58 y x ≈ 3.41. X Y
- 41. 1.5 La Hipérbola. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 41 Ejemplo 1.18 Hallar la ecuación canónica de la hipérbola con vértices en (3,−5) y (3,1) y asíntotas y = 2x − 8 y y = −2x + 4. Además calcule los focos y realice la gráfica. Solución: Como los vértices son vértices en (3,−5) y (3,1), el centro es (3, −2). Además, la hipérbola tiene eje transversal vertical y a = 3. Por otro lado, por el teorema de las asíntotas, m1 = 2 = a b =⇒ b = a 2 =⇒ b = 3 2 Por tanto, la ecuación canónica es (y + 2)2 9 − (x − 3)2 9 4 = 1 X Y El valor de c está dado por c2 = a2 + b2 =⇒ c2 = 45 4 =⇒ c = 3 √ 5 2 Los focos están en (3,−2 − 3 √ 5 2 ) y (3,−2 + 3 √ 5 2 ). Las intersecciones con el eje Y son y ≈ −8.70, y ≈ 4.70. Ejercicios 3 1.25 Determine la ecuación canónica y los demás elementos de la hipérbola 36x2 − 64y2 = 2304 1.26 Determine la ecuación canónica de la hipérbola con focos en (1,4) y (1,−4) y con a = 3. 1.27 Determine la ecuación canónica de la hipérbola con centro en (−4,1) y un vértice en (2,1) y semieje conjugado de longitud 4. 1.28 Determine la ecuación canónica de la hipérbola de ecuación 9x2 − 16y2 − 18x − 64y − 199 = 0. 1.29 Determine la ecuación canónica de la hipérbola con vértices en (0,2) y (6,2) y asíntotas y = 2/3x ∧ y = 4 − 2/3x. 1.30 Determine la ecuación canónica de la hipérbola que contiene al punto (4,6) y cuyas asíntotas son y = ± √ 3x.
- 42. 1.6 (*) Clasificación de cónicas y la ecuación de segundo grado (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 42 1.31 Determine la ecuación de la hipérbola con centro en el origen y que contiene los puntos (3,1) y (9,5). 1.32 Determine la ecuación canónica de de la hipérbola que satisface simultáneamente las siguientes condiciones, a.) El centro de la hipérbola coincide con el vértice de la parábola de ecuación y2 − 2y + 8x + 17 = 0. b.) Uno de sus focos se ubica en (3,1) c.) Uno de sus vértices se ubica en (1,1). Realice la gráfica e indique sus principales características. 1.33 Determine el tipo de cónica representada por la ecuación x2 k + y2 k − 16 = 1 en los casos a.) Si k 16 b.) Si 0 k 16 c.) Si k 0 1.34 Realice el dibujo de la sección cónica de ecuación 9(x − 1)2 − (y + 1)2 = 9. Indique además todas sus características. 1.35 En la definición de la hipérbola como un lugar geométrico se indica que 2a d(F1,F2). ¿Qué pasa si 2a ≥ d(F1,F2)? 1.6 (*) Clasificación de cónicas y la ecuación de segundo grado Una cónica tiene ecuación general A x2 + B xy + Cy2 + D x + Ey + F = 0. (1.2) Sin embargo, hay casos en los que esta ecuación no tiene solución (no hay lugar geométrico) o el conjunto solución es una cónica degenerada (un punto, una o dos rectas). En el caso de que tengamos una cónica no degenerada con ecuación 1.2, clasificar la cónica obteniendo la ecuación canónica: Si B = 0, solo habría que completar cuadrados. Si B 6= 0, habría que aplicar una rotación de ejes y y luego completar cuadrados, con estos cálculos obtenemos la ecuación canónica de la cónica (en un nuevo sistema X0Y0) y sus características más importantes (centro, vértice(s), etc.).
- 43. 1.6 (*) Clasificación de cónicas y la ecuación de segundo grado (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 43 Clasificación usando la representación matricial. Las cónicas tienen una representación matricial A x2 + B xy + Cy2 + D x + Ey + F = 0 =⇒ x y A B/2 B/2 C x y + D E x y + F = 0 De esta manera se puede usar la teoría de formas cuadráticas para obtener los siguientes resultados: Teorema 1.3 Consideremos la cónica de ecuación A x2 + B xy + Cy2 + D x + Ey + F = 0. Sea ∆ = 4 A B/2 D/2 B/2 C E/2 D/2 E/2 F = 4ACF − AE2 − B2F + BDE − CD2, entonces: a.) Si B2 − 4AC = 0 y ∆ 6= 0, tenemos una parábola. b.) Si B2 − 4AC 0 y ∆ 6= 0, tenemos una elipse. c.) Si B2 − 4AC 0 y ∆ 6= 0, tenemos una hipérbola. d.) Si B2 − 4AC = 0 y ∆ = 0, tenemos dos líneas paralelas o un conjunto vacío. Las líneas son distintas si D2 + E2 4(A + C)F, pero son una sola (coinciden) si D2 + E2 = 4(A + C)F (por ejemplo, en el caso de que el foco está sobre la directriz, en la definición de más arriba), y son distintas en el plano complejo si D2 + E2 4(A + C)F. e.) Si B2 − 4AC 0 y ∆ = 0, tenemos un punto (la elipse colapsa en un punto). f.) Si B2 − 4AC 0 y ∆ = 0, tenemos dos líneas que se intersecan (solo quedan las “asíntotas”). Invariantes. Usando la teoría de invariantes (ver Apéndice A.) podemos identificar la cónica, sin atender a sus elementos, directamente aplicando el siguiente teorema, Teorema 1.4 Consideremos la ecuación general A x2 + B xy + Cy2 + D x + Ey + F = 0. Entonces, a.) si B2 − 4AC = 0 y 4ACF + BDE − AE2 − CD2 − FB2 6= 0, tenemos una parábola, b.) si B2 − 4AC 0 y (A + C)(4ACF + BDE − AE2 − CD2 − FB2) 0, tenemos una elipse, c.) si B2 − 4AC 0 y 4ACF + BDE − AE2 − CD2 − FB2 6= 0, tenemos una hipérbola.
- 44. 1.6 (*) Clasificación de cónicas y la ecuación de segundo grado (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 44 Si definitivamente se sabe que la ecuación general corresponde a una cónica propia, entonces a) si B2 − 4AC = 0, tenemos una parábola, b) si B2 − 4AC 0, tenemos una elipse, c) si B2 − 4AC 0, tenemos una hipérbola. Una exposición más detallada se puede ver en el apéndice 8.1. Ejemplo 1.19 Clasificar la cónica de ecuación 2x2 − 5y2 − xy + 3y + 1 = 0. Solución: . En este caso A = 2, B = −1, C = −5, D = 0, E = 3 y F = 1. Ahora calculamos, B2 − 4AC = 41 0 y 4ACF + BDE − AE2 − CD2 − FB2 = −59 6= 0, por tanto se trata de una hipérbola.
- 45. 1.6 (*) Clasificación de cónicas y la ecuación de segundo grado (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 45 Revisado:Julio, 2017 Versión actualizada de este libro y el formato CDF: http://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/Libros/
- 47. Espacio tridimensional. Coordenadas car- tesianas. Funciones escalares de dos variables Superficies en R3 Superficies cuadráticas. Sólidos simples Proyección (ortogonal) de un sólido simple (*) Definición formal de una superficie 2 — Superficies y Sólidos. 2.1 Espacio tridimensional. Coordenadas cartesianas. Una vez que se ha especificado una unidad de medida, un número x ∈ R puede ser usado para representar un punto en una línea, un par (x,y) ∈ R2 se puede usar para representar un punto en un plano, ———————- (a) Punto en una línea (b) Punto en el plano De manera análoga, un triple (x,y,z) ∈ R3 se puede usar para representar un punto en el espacio tridimensional. Tomamos un punto fijo cualquiera O, llamado origen, y tres planos distintos, mutuamente perpendiculares, que pasan por O. Los planos se intersecan en pares en tres rectas (ejes) mutua- mente perpendiculares que pasan por O llamadas X, Y y Z. Para hacer la representación en un plano podemos trazar el eje Y y el eje Z de frente y la parte positiva del eje X se representa en una dirección aproximadamente sur-oeste, para simular profundidad (perpectiva). Dibujamos (x,y) en el plano XY y, desde este punto, dibujamos un segmento paralelo al eje Z y orientado de acuerdo al signo de z y de longitud |z|, como se muestra en la figura. 0
- 48. 2.1 Espacio tridimensional. Coordenadas cartesianas. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 48 Ejemplo 2.1 Los puntos en el eje X tienen coordenadas (x,0,0), x ∈ R, los puntos en el eje Y tienen coordenadas (0,y,0), y ∈ R y los puntos en el eje Z tienen coordenadas (0,0,z), z ∈ R. En la figura que sigue se muestran cinco ejemplos de puntos en el espacio. Figura 2.1: Puntos (2,0,0), (0,1,0), (0,0,3),(2,1,3) y (2,−1,0). Planos XY, XZ y YZ. Hay tres planos que contienen un par de ejes coordenados: El plano XY es el plano que contiene el eje X y el eje Y, el plano XZ es el plano que contiene el eje X y el eje Z y el plano YZ es el plano que contiene el eje Y y el eje Z. Ver con CFDPlayer Requiere FreeCDF Player X Y X Z Y Z Plano XY Plano XZ Plano YZ Figura 2.2
- 49. 2.1 Espacio tridimensional. Coordenadas cartesianas. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 49 El primer octante. Los planos XY, XZ y YZ dividen el espacio en ocho partes llamadas octantes. El primer octante corresponde a la parte positiva de los ejes. (a) Octantes (b) Primer octante (c) Habitación en el primer octante Figura 2.3 Vistas isométricas de un punto. Considere el punto Px,y,z = (a,b,c) en el espacio tridimensional, se define la vista de este punto en el plano XY como el punto Px,y = (a,b,0). Análogamente se define la vista en el plano YZ como Py,z = (0,b,c) y la vista en el plano XZ como Px,z = (a,0,c). Estas vistas también se denominan “proyecciones perpendiculares” del punto en el plano respectivo.
- 50. 2.2 Funciones escalares de dos variables (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 50 2.2 Funciones escalares de dos variables Definición 2.1 Una función escalar de dos variables f : R2 −→ R con dominio D ⊆ R2, asigna a cada par (x,y) ∈ D, un único número real denotado con f (x,y). El gráfico de f es el conjunto {(x,y,z) : x,y ∈ D y z = f (x,y)}. El criterio (fórmula) que define a f puede ser explícito o implícito. Para hablar de una función de dos variables se escribe z = f (x,y) o F(x,y,z) = 0. Ejemplo 2.2 Forma explícita: z = x2 + y2 o equivalentemente f (x,y) = x2 + y2. Por ejemplo, f (1,2) = 12 + 22 = 5 y f (0,3) = 9, por tanto, los puntos (1,2,5) y (0,3,9) están en la gráfica de f. Forma implícita: F(x,y,z) z }| { x2 + y2 + z2 − 1 = 0; z ≥ 0. Por ejemplo, si x = 1 y y = 0 entonces z = 0 y el punto (1,0,0) está en la gráfica de la función. Si x = 1 y y = 1 entonces 12 + 12 + z2 = 1 =⇒ z2 = −1, es decir, (1,1) no está en el dominio de la función. La representación gráfica de f corresponde a la representación de todos los puntos (x,y,z) que satisfacen la ecuación z = f (x,y) o F(x,y,z) = 0. Ver con CFDPlayer Requiere FreeCDF Player Ejemplo 2.3 Consideremos la función f (x,y) = 3 + r 1 − (x − 2)2 4 − (y − 3)2 9 . La función está bien definida si el subradical 1 − (x − 2)2 4 − (y − 3)2 9 9 ≥ 0, entonces el dominio máximo de esta función es el conjunto Df = (x,y) ∈ R2 : (x − 2)2 4 + (y − 3)2 9 ≤ 1 , es decir, Df es la región encerrada por la elipse (x − 2)2 4 + (y − 3)2 9 = 1 (incluido el borde).
- 51. 2.2 Funciones escalares de dos variables (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 51 X Y Z 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 3 Figura 2.4: Dominio de la función f (x,y) = 3 + r 1 − (x − 2)2 4 − (y − 3)2 9 (en celeste) Ejemplo 2.4 La función z = 1 x2 + y2 solo se indefine en (0,0), entonces el dominio máximo de esta función es el conjunto Df = R2 − {(0,0)}. X Y Z Figura 2.5: Dominio de la función z = 1 x2 + y2 (en celeste)
- 52. 2.2 Funciones escalares de dos variables (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 52 Dominio y su representación gráfica. Como en funciones de una variable, el dominio máximo de f es el conjunto de puntos (x,y) ∈ R2 tal que z = f (x,y) este bien definida. Representación gráfica de regiones definidas por desigualdades. En general, cualquier combinación de ecuaciones y desigualdades pueden definir una región, de manera implícita. En Esta sección se introduce casos sencillos. Una exposición más completa sobre representación de dominios la puede ver en el apéndice 8.3 Desigualdades del tipo y ≥ f (x) o y ≤ f (x) en un intervalo [a,b]. La representación gráfica de la curva y = f (x) consiste de la representación de los pares (x,y) con y = f (x). Los puntos (x,y) con y ≥ f (x) conforman una región por encima de la representación gráfica de f (incluyendo esta representación) y, de manera análoga, los puntos (x,y) con y ≤ f (x) conforman una región por debajo de la representación gráfica de f (incluyendo esta representación.) Ver con CFDPlayer Requiere FreeCDF Player Desigualdades del tipo y f (x) o y f (x) en un intervalo [a,b]. Este caso es similar al anterior, como la desigualdad es estricta, no incluye la curva y = f (x). Desigualdades del tipo x ≥ g(y) o x ≤ g(y) en un intervalo [a,b]. La representación gráfica de la curva x = g(x) consiste de la representación de los pares (x,y) con x = g(x). Los puntos (x,y) con y ≥ g(x) conforman una región a la derecha de la representación gráfica
- 53. 2.2 Funciones escalares de dos variables (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 53 de g (incluyendo esta representación) y, de manera análoga, los puntos (x,y) con x ≤ g(y) conforman la región a la izquierda de la representación gráfica de g (incluyendo esta representación.) Cuando la desigualdad es estricta, la región no incluye la curva. Ejemplo 2.5 (Dominio de una función). Determine y realice la representación gráfica del dominio de la función z = p 3y − 6x + 3 + ln(1 − x) + 1 Solución: Necesitamos que 3y − 6x + 3 ≥ 0 y que 1 − x 0, es decir, Df = (x,y) ∈ R2 tal que y ≥ 2x − 1 y x 1 Representación gráfica: El dominio de f es la intersección de la región y ≥ 2x − 1 (región arriba de la recta y = 2x − 1, incluida) y de la región x 1 (región a la izquierda de la recta x = 1, sin incluirla). 1 Figura 2.6: Df = (x,y) ∈ R2 tal que y ≥ 2x − 1 y x 1
- 54. 2.2 Funciones escalares de dos variables (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 54 Ejemplo 2.6 (Dominio de una función). Determine y realice la representación gráfica del dominio de la función f (x,y) = 1 y2 − 2y − 4x − 3 + 1 √ x − y Solución: Necesitamos x − y 0 y que y2 − 2y − 4x − 3 6= 0. Completando cuadrados obtenemos quela ecuación y2 − 2y − 4x − 3 = 0 corresponde a la parábola (y − 1)2 = 4(x + 1). Df = (x,y) ∈ R2 tal que y x y (y − 1)2 6= 4(x + 1) Representación gráfica: El dominio de f es la región y x (región abajo de la recta y = x, sin incluirla) excluyendo la parábola (y − 1)2 = 4(x + 1). Figura 2.7: Df = (x,y) ∈ R2 tal que y x y (y − 1)2 6= 4(x + 1) Ejemplo 2.7 (Dominio de una función). Determine y realice la representación gráfica del dominio de la función f (x,y) = ln(x − y2) + r 1 − y2 − x2 2 Solución: Necesitamos que x − y2 0 y que 1 − y2 − x2 2 ≥ 0, es decir,
- 55. 2.2 Funciones escalares de dos variables (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 55 Df = (x,y) ∈ R2 tal que x y2 y y2 + x2 2 ≤ 1 Representación gráfica: El dominio de f es la intersección de la región x y2 (región a la derecha de la parábola x = y2 , sin incluirla) y de la región y2 + x2 2 ≤ 1 (el interior de la elipse y2 + x2 2 = 1 incluyendo la elipse). Figura 2.8: Df = (x,y) ∈ R2 tal que x y2 y y2 + x2 2 ≤ 1 Ejemplo 2.8 Considere la función f (x,y) = log(x2 − 3(y + 2)) x + y − 1 . a.) Determine el dominio de la función f. b.) Realizar la representación gráfica de este dominio. Solución: x2 − 3(y + 2) 0 =⇒ y x2 3 − 2. Esto corresponde a la región por debajo de la parábola y = x2 3 − 2. Los puntos de la parábola no están en el dominio, por eso se dibuja “punteada”. x + y − 1 6= 0 =⇒ y 6= 1 − x. Los puntos de esta recta no están en el dominio. Df = {(x,y) ∈ R2 : y x2 3 − 2 ∧ y 6= 1 − x}
- 56. 2.2 Funciones escalares de dos variables (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 56 Figura 2.9: Dominio de la función f (x,y) = log(x2 − 3(y + 2)) x + y − 1 . Ejemplo 2.9 Consideremos la función f (x,y) = 2x + 3 p y − x − 2 . a.) Determine el dominio de la función f. b.) Realizar la representación gráfica de este dominio. Solución: Los puntos (x,y) que están en el domi- nio son puntos tales que y − x − 2 0. Así que dominio máximo es Df = {(x,y) ∈ R2 tq y x + 2.}. Esto corresponde a la región que está sobre la recta y = x + 2. La representación gráfica de este dominio corresponde a la región que está por encima de la recta y = x + 2 y se debe excluir la recta, por eso se dibuja “punteada”. X Y -3 -2 -1 0 1 2 3 -1 0 1 2 3 Figura 2.10: Dominio de la función f (x,y) = 2x + 3 p y − x − 2 .
- 57. 2.3 Superficies en R3 (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 57 Ejemplo 2.10 Consideremos la función f (x,y) = 3 − (x − 2)2 − (y − 2)2. Su dominio máximo es R2. Frecuentemente hacemos la representación gráfica de f sobre un dominio restringido, por ejemplo sobre el conjunto D = [1, 3] × [1, 3], Z X Figura 2.11: f restringida a D = [1, 3] × [1, 3] Ejercicios 4 2.1 Considere la función f (x,y) = p (x − 4)2 + y2 − 1 xy . Indique el dominio máximo de f y realice la representación gráfica. 2.2 Considere la función f (x,y) = p (y + 1)2 − x − 1 log(x − y) . Indique el dominio máximo de f y realice la representación gráfica. 2.3 Considere la función f (x,y) = 3y − 6x + 3 ln(1 − x) + 1 . Indique el dominio máximo de f y realice la representación gráfica. 2.4 Considere la función f (x,y) = q 1 − x2 − y2 4 x − y + √ x − y. Indique el dominio máximo de f y realice la representación gráfica. 2.3 Superficies en R3 Nos interesan las superficies de ecuación z = f (x,y), es decir, las superficies formadas por los puntos (x,y,z) que satisfacen la ecuación z = f (x,y) o también en la forma F(x,y,z) = 0. A veces decimos “superficie de ecuación (explícita) z = f (x,y)” o “superficie de ecuación (implícita) F(x,y,z) = 0”. Como sugiere el ejemplo 2.2, un bosquejo de una superficie se puede hacer con un conjunto
- 58. 2.3 Superficies en R3 (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 58 de curvas; a estas curvas se les llama ‘trazas’ o ‘cortes verticales y horizontales’. En esta sección vamos a ocuparnos con superficies simples: Planos, superficies cilíndricas y superficies cuádricas1 Curvas en el espacio. Una manera de describir una curva en el plano XY es por medio de su ecuación cartesiana F(x,y) = c. Por ejemplo, una circunferencia de radio a tiene ecuación: x2 + y2 = a2. Desde este punto de vista, una curva C definida por esta ecuación es un conjunto de puntos, a saber, C = {(x,y) ∈ R2 | F(x,y) = c} Las curvas en R3 podrían ser definidas por un par de ecuaciones (como intersección de dos superficies), F1(x,y,z) = c1 ; F2(x,y,z) = c2, Por ejemplo, en el espacio tridimensional, la elipse de ecuación (x − 1)2 4 + (z + 1)2 9 = 1 (en el plano XZ) tendría ecuación (x − 1)2 4 + (z + 1)2 9 = 1; y = 0. X Z Plano Ecuación paramétrica. Otra manera de definir una curva es como el lugar geométrico de un punto en movimiento, r(t) es la posición del punto en el instante t. La curva es descri- ta por una función r(t) de parámetro t. Para curvas planas: r : R → → → R2, r(t) = x(t) ı̂ + y(t) ̂. Para curvas en el espacio r : R → → → R3, r(t) = x(t) ı̂ + y(t) ̂ + z(t) k̂. 1Un cono es una superficie si removemos el vértice.
- 59. 2.3 Superficies en R3 (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 59 Ejemplo 2.11 En el espacio tridimensional, una circunferencia en el plano XY, de radio a y centrada en el origen se puede describir de varias maneras, por ejemplo, . Ecuación cartesiana: x2 + y2 = a2; z = 0. . Una ecuación paramétrica: r(t) = acost ı̂ + asent ̂ + 0 · k̂; t ∈ [0,2π]. X Y Curvas en los planos XY, XZ y YZ. En general, “F(x,y) = 0; z = 0” es la ecuación de una curva en el plano XY. De manera análoga, “F(x,z) = 0; y = 0” corresponde a una curva en el plano XZ y “F(y,z) = 0; x = 0” corresponde a una curva en el plano YZ. Ejemplo 2.12 Realizar la representación gráfica, en el espacio, de la curva C1 : x + y = 3; z = 0 Solución: . La curva C : x + y = 3; z = 0, corresponde a una recta en el plano XY. Interseca al eje X en x = 3 y al eje Y en y = 3. . Una parametrización es x(t) = t, y(t) = 3 − t y z(t) = 0, es decir, C : r(t) = t ı̂ + (3 − t) ̂ + 0 · k̂; t ∈ R X Y - 1 1 2 3 - 1 1 2 3 Figura 2.12: Recta x + y = 3 en el plano XY X Y Figura 2.13: Recta x + y = 3 en el espacio tridimendional
- 60. 2.3 Superficies en R3 (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 60 Ejemplo 2.13 Realizar la representación gráfica, en el espacio, de la curva C : (x − 2)2 + (z − 2)2 = 1; y = 0. Solución: . La curva C : (x − 2)2 + (z − 2)2 = 1; y = 0 corresponde a una circunferencia de radio 1 en el plano XZ. Su centro es (2,0,2). . Una parametrización es C : r(t) = (2 + cost) ı̂ + 0 · ̂ + (2 + sent) k̂; t ∈ [0,2π] X Z Ejemplo 2.14 Realizar la representación gráfica, en el espacio, de la curva C3 : z = 2 − y2; x = 0. Solución: . La curva C3 es la parábola : y2 = −(z − 2) (cóncava hacia abajo) en el plano YZ. El vértice es (0,0,2) e interseca al eje X en x = √ 2 y x = − √ 2. . Una parametrización es C : r(t) = 0 · ı̂ + t ̂ + (2 − t2) k̂; t ∈ R
- 61. 2.3 Superficies en R3 (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 61 Y Z Ejercicios 5 2.5 Realizar la representación gráfica, en el espacio, de las curvas a.) z = 4 − x2; y = 0. b.) (z − 2)2 + (y − 2)2 = 4; x = 0. c.) (y − 1)2 4 + x2 = 1; z = 0. d.) z + 2y = 4; x = 0. e.) z2 − y2 = 4; x = 0. f.) z2 − x2 = 4; y = 0. g.) y2 − x2 = 4; z = 0. 2.6 ¿Es (x − 1)2 + (y + 2)2 + z2 = 0 la ecuación de una curva? Planos Posiblemente los planos son las superficies más sencillas de dibujar. La ecuación cartesiana de un plano es ax + by + cz = d con con a2 + b2 + c2 6= 0 (se prohíbe el caso a = b = c = 0). Para realizar la representación gráfica de un plano Π nos basamos en el hecho de que si P,Q son dos puntos en este plano, entonces la recta (o cualquier segmento de ella) que contiene a estos puntos, está en el plano. En la práctica necesitamos al menos dos segmentos de recta para dibujar una parte del plano, mediante un triángulo o un paralelogramo.
- 62. 2.3 Superficies en R3 (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 62 Planos de ecuación cartesiana con dos variables ausentes. La ausencia de variables en la ecuación solo significa que estas variables tienen coeficiente nulo y, por tanto, estas variables pueden tomar valores arbitrarios. Por ejemplo el plano Π : 0 · x + 0 · y + z = 2 es el plano z = 2, es decir, Π = {(x,y,2) : x,y ∈ R}. De aquí en adelante, Ver con CFDPlayer Requiere FreeCDF Player El plano x = a es el plano Π = {(a,y,z) : y,z ∈ R}. El plano y = b es el plano Π = {(x,b,z) : x,z ∈ R}. El plano z = c es el plano Π = {(x,y,c) : x,y ∈ R}. Ejemplo 2.15 . El plano Π : z = 0 lo constituyen todos los puntos de la forma (x,y,0) con x,y ∈ R arbitrarios, es decir, el plano z = 0 es el plano XY. . Una parametrización es Π : r(t,s) = t ı̂ + s ̂ + 0 · k̂, (t,s) ∈ R × R. X Y Plano Ejemplo 2.16 Dibujar el plano z = 2. Solución: . El plano z = 2 lo constituyen todos los puntos de la forma (x,y,2) con x,y ∈ R arbitrarios, es decir, es un plano paralelo al plano XY que pasa por la coordenada z = 2. . Una parametrización es Π : r(t,s) = t ı̂ + s ̂ + 2 · k̂, (t,s) ∈ R × R. X Y Plano
- 63. 2.3 Superficies en R3 (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 63 Ejemplo 2.17 Dibujar el plano y = 3. Solución: . El plano Π : y = 3 lo constituyen todos los puntos de la forma (x,3,z) con x,z ∈ R, es decir, es un plano paralelo al plano YZ que pasa por la coordenada y = 3. . Una parametrización es Π : r(t,s) = t ı̂ + 3 · ̂ + s k̂, (t,s) ∈ R × R. Plano Planos de ecuación cartesiana con una variable ausente. Cuando hay una variable ausente (i.e., una variable con coeficiente nulo), el plano está ‘generado’ por la recta determinada por las variables presentes. Ejemplo 2.18 Dibujar el plano x + y = 2. Solución: . El plano Π : x + y = 2 es el conjunto de puntos {(x,y,z) : x + y = 2, z ∈ R} Las coordenadas x e y están sobre la recta x + y = 2, z = 0 y la coordenada z es arbitraria. . Una parametrización es Π : r(t,s) = t ı̂ + (2 − t) ̂ + s k̂, (t,s) ∈ R × R. Y ; X Ejemplo 2.19 Dibujar el plano y + z = 3.
- 64. 2.3 Superficies en R3 (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 64 Solución: . El plano Π : y + z = 3 es el conjunto de puntos {(x,y,z) : y + z = 3, x ∈ R} Las coordenadas y y z están sobre la recta y + z = 3, x = 0 y la coordenada x es arbitraria. . Una parametrización es Π : r(t,s) = t ı̂ + s ̂ + (3 − s) k̂, (t,s) ∈ R × R. Y Z Planos de ecuación cartesiana sin variables ausentes. Podemos distinguir entre los que pasan por el origen y los que no. Una forma sencilla para dibujar planos que no contienen el origen consiste en determinar la intersección del plano con cada eje coordenado y trazar los segmentos de recta que unen estos puntos. En caso necesario, se pueden extender dos de estos segmentos y formar un paralelogramo. Ejemplo 2.20 Dibujar el plano 4x − 4y + 2z = 4 Solución: . El plano interseca a los ejes coordenados en x = 1, y = −1 y z = 2. Podemos usar el segmento que va de x = 1 a y = −1 y el segmento que va dey = −1 a z = 2. Con estos dos segmentos podemos dibujar un paralelogramo. . Como los puntos A = (1,0,0), B = (0,−1,0), C = (0,0,2) están en el plano, una parametrización es Π : r(t,s) = A + t · (B − A) + s · (C − A) = t ı̂ + (t + s − 1) ̂ + 2s k̂; s,t ∈ R. X Y Z Plano Planos que contienen el origen. Para dibujar planos que contienen el origen se anula una de las variables y se dibuja una primera recta resultante en el plano correspondiente. Luego se anula otra variable y se dibuja
- 65. 2.3 Superficies en R3 (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 65 una segunda recta en el plano correspondiente. Tomamos dos segmentos, uno en cada recta y formamos un paralelogramo. Ejemplo 2.21 Dibujar el plano x + y − 2z = 0. Solución: . Como el plano x + y − 2z = 0 pasa por el origen, po- demos usar un segmento de la recta x − 2z = 0; y = 0 y un segmento de la recta y − 2z = 0; x = 0, para dibujar un paralelogramo que represente al plano. . Para obtener una parametrización, podemos usar los puntos del plano A = (3,0,1.5), B = (0,0,0) y el punto C = (0,3,1.5), Π : r(t,s) = A + t · (B − A) + s · (C − A) = 3t ı̂ + 3s ̂ + 1.5(s + t) k̂; s,t ∈ R. X Y Z 1 2 1 2 Plano Ejercicios 6 2.7 Dibujar los planos que se indican a continuación: a.) 2z + y = 2 b.) x = 2 c.) x − y − z = 0 d.) x + y − z = 2 e.) 2x + 2y + 2z = 2 2.8 Dibujar el plano 4x − 4y + 2z = 4 en el primer octante. Superficies cilíndricas o “cilindros”. El término “cilindro” tiene varios significados relacionados y puede ser un concepto algo confuso. La palabra “cilindro” probablemente evoque la imagen de un cilindro circular recto, pero en cálculo en varias variables un cilindro (cilindro generalizado) se refiere a una superficie generada por una curva: Un cilindro es una
- 66. 2.3 Superficies en R3 (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 66 superficie formada por una familia de rectas paralelas, llamadas generatrices, que pasan por los puntos respectivos de una cierta curva directriz. Si la directriz vive en un plano y si la generatriz es perpendicu- lar a este plano, el cilindro se le dice “cilindro recto”. Un cilindro es un caso particular de una superficie reglada. En este libro solo se consideran cilindros (generalizados) de ecuación r(t,s) = c(t) + s · − → e ; t ∈ I, s ∈ R donde c(t) es la parametrización de una curva que está en alguno de los plano XY, YZ o XZ y − → e es un vector perpendicular al plano correspondiente. Es decir, en nuestro caso, las superficies con ecuación en dos de las tres variables x,y y z van a ser cilindros rectos, con línea generatriz paralela al eje asociado con la variable ausente (en este libro, la línea generatriz es el eje asociado a al variable ausente!). Por ejemplo, el cilindro de ecuación z = 1 − x2 tiene generatriz paralela al eje Y mientras que el cilindro y2 + (z − 1)2 = 1 tiene generatriz paralela al eje X. Ejemplo 2.22 Para dibujar el cilindro de ecuación z = 2cos(x) + 2 primero deberíamos dibujar la curva de ecuación z = 2cos(x) + 2; y = 0. Luego, según nuestro convenio, la superficie cilíndrica z = 2cos(x) + 2 tiene línea generatriz paralela al eje Y. Para obtener uan parametrización de esta superficie, tomamos x = t y z = 2cos(x) + 2. y = s es libre. r(t,s) = (t, s, 2cost + 2), t,s ∈ R, X Y Z X Y Z Cilindro
- 67. 2.3 Superficies en R3 (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 67 Ejemplo 2.23 El cilindro de ecuación z = 2 − x2 es una superficie cilíndrica generada por la parábola z = 2 − x2,y = 0; con línea generatriz paralela al eje Y. Para obtener una parametrización de esta superficie, usamos la ecuación de la curva en el plano XZ, toma- nos x = t y z = 2 − t2. La coordenada y = s es libre. r(t,s) = (t, s, 2 − t2), t,s ∈ R. X Y Z 2 Ejemplo 2.24 Dibujar el cilindro de ecuación (x − 4)2 4 + (y − 3)2 16 = 1. Solución: La superficie cilíndrica generada por la elipse de ecuación (x − 4)2 4 + (y − 3)2 16 = 1 tiene su línea generatriz paralela al eje Z. Una parametrización de esta superficie es r(t,s) = (4 + 2cost, 3 + 4sent, s), t ∈ [0,2π], s ∈ R. Aquí tomamos x(t) = 4 + 2cost y y(t) = 3 + 4sent. z = s es libre. X Y
- 68. 2.4 Superficies cuadráticas. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 68 Ejemplo 2.25 Dibujar el cilindro de ecuación (y − 2)2 + (z − 2)2 = 4. Solución: La superficie cilíndrica generada por la circunferencia (y − 2)2 + (z − 2)2 = 4 tiene su línea generatriz paralela al eje X. Una parametrización de esta superficie es r(t,s) = (2 + 2cost, s, 2 + 2sent), t ∈ [0,2π], s ∈ R. La circunferencia en el plano XZ se para- metriza con x = 2 + 2cost y z = 2 + 2sent. y = s es libre. X Y Z 1 2 1 2 3 1 2 2.4 Superficies cuadráticas. Rotar una cónica (no degenerada) alrededor de su eje focal, por ejemplo, produce un caso especial de un conjunto más general de superficie llamadas superficies de segundo orden. Estas superficies satisfacen una ecuación de segundo grado en x, y y z y también son llamadas superficies cuadráticas o cuádricas [16]. La curva de intersección entre un plano y una superficie cuadrática es una cónica. Hay 17 tipos estándar de cuádricas, algunas de ellas son: paraboloide, esfera, esferoide, elipsoide, cono, hiperboloide, cilindro, cono elíptico, cilindro elíptico, hiperboloide elíptico, paraboloide elíptico, etc. Aquí solo consideramos cuádricas en posición estándar (sin rotación). Estas superficies tienen ecuación Ax2 + By2 + Cz2 + Dx + Ey + Fz + G = 0. Curvas de nivel y trazas. Si S es una superficie en el espacio de ecuación F(x,y,z) = 0, todos los pares (x,y) ∈ R2 que satisfacen la ecuación F(x,y,c) = 0 definen una curva en el plano XY (siempre y cuando este conjunto no sea vacío). A esta curva se le llama una curva de nivel de la superficie. Geométricamente corresponden a la proyección sobre le plano XY, de el corte del plano z = c con la superficie S. También nos interesa dibujar la curva como una curva en el espacio. Por abuso del lenguaje se dice “la curva de nivel z = c” para indicar la curva de nivel “F(x,y,c) = 0; z = 0”. A las curvas “F(x,y,c) = 0; z = c” (si
- 69. 2.4 Superficies cuadráticas. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 69 existen) les llamamos ‘trazas’ o ‘cortes’ de la superficie. X Y Z Figura 2.14: Traza o corte z = c y curva de nivel. X Y Z 1 1 1 Figura 2.15: Algunas curvas de nivel y algunas trazas. Como se deduce fácilmente, si nos movemos sobre una curva de nivel z = c, la función se mantiene constante. Ejemplo 2.26 Consideremos la superficie de ecuación z = x2 + y2. Como z es una suma de cuadrados, z debe ser ≥ 0. Vamos a dibujar las curvas de nivel correspondientes a z = 0,1,2 y z = 3. La curva de nivel z = 0 es el punto (0,0,0) La curva de nivel z = 1 : circunferencia 1 = x2 + y2; z = 0. La curva de nivel z = 2 : circunferencia 2 = x2 + y2; z = 0. La curva de nivel z = 3 : circunferencia 3 = x2 + y2; z = 0. ———- X Y Ejemplo 2.27 Consideremos la superficie de ecuación z = (y − 2)2 − (x − 3)2 4 . Vamos a dibujar las curvas de nivel correspondientes a z = 0 y z = 1. Si z = 0 tenemos (y − 2)2 = (x − 3)2 4 , es decir, un par de rectas: y = 2 ± (x − 3) 2 ; z = 0.
- 70. 2.4 Superficies cuadráticas. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 70 La curva de nivel z = 1 es la hipérbola 1 = (y − 2)2 − (x − 3)2 4 ; z = 0. X Y Ejemplo 2.28 Consideremos la superficie de ecuación z − 1 = (x − 2)2 + (y − 2)2 4 . Dibujar las curvas de nivel correspondientes a z = 1,2,3 y z = 4. Solución: La curva de nivel z = 1 es el punto (2,2,0). La curva de nivel z = 2 es la elipse 1 = (x − 2)2 + (y − 2)2 4 . La curva de nivel z = 3 es la elipse 2 = (x − 2)2 + (y − 2)2 4 , es decir, 1 = (x − 2)2 2 + (y − 2)2 8 . X Y La curva de nivel z = 4 es la elipse 3 = (x − 2)2 + (y − 2)2 4 , es decir, 1 = (x − 2)2 3 + (y − 2)2 12 . Trazas o cortes. Con el fin de realizar el dibujo de una superficie S de ecuación explícita z = f (x,y) o de ecuación implícita F(x,y,z) = 0, procedemos a realizar cortes a esta superficie con planos paralelos a los planos coordenados. Estas curvas son llamadas trazas o cortes y producen un dibujo ‘de alambre’ de la superficie a dibujar. Para describir las trazas por ecuaciones se procede de la siguiente manera:
- 71. 2.4 Superficies cuadráticas. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 71 Si la traza resulta de la intersección de la superficie S con el plano x = c, entonces su ecuación es “z = f (c,y); x = c” o “F(c,y,z) = 0; x = c,” y se representa en el plano x = c. Si la traza resulta de la intersección de la superficie S con el plano y = c, entonces su ecuación es “z = f (x,c); y = c” o “F(x,c,z) = 0; y = c,” y se representa en el plano y = c. Si la traza resulta de la intersección de la superficie S con el plano z = c, entonces su ecuación es “c = f (x,y), z = c” o “F(x,y,c) = 0, z = c” y se representa en el plano z = c. Ejemplo 2.29 Consideremos la superficie de ecuación z = x2 + y2. Dibujar la traza z = 1. Solución: La traza z = 1 es la circunferencia 1 = x2 + y2 ; con z = 1. La curva se representa en el plano z = 1. Como la circunferencia vive en el plano z = 1, para dibujarla ubicamos su centro (0,0,1) y trazamos un par de rectas paralelas a los ejes X e Y que pasen por este punto, estas líneas las podemos usar como “ejes” para dibujar este tipo de elipse. 1 La “caja” punteada que pasa por los vérticies de la curva, nos ayuda a hacer el trazo de la curva “en perspetiva” Estrategia general: Trasladar los ejes. Para dibujar trazas, una estrategia consiste en trasladar los ejes al plano de dibujo:x = c; y = c o z = c. Figura 2.16: Traslación de ejes
- 72. 2.4 Superficies cuadráticas. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 72 Ejemplo 2.30 Consideremos la superficie S de ecuación 4(y − 1)2 + 4(z − 1)2 = x2. Dibujar la traza x = 2. Solución: La traza x = 2 es la curva (y − 1)2 + (z − 1)2 = 1; x = 2. Para dibujar la traza primero trasladamos los ejes al plano x = 2, luego dibujamos la curva en el plano YZ. Finalmente dibujamos la curva “(y − 1)2 + (z − 1)2 = 1; x = 2” usando los ejes Y0Z0 Ver con CFDPlayer Requiere FreeCDF Player Figura 2.17: Traslación de ejes Figura 2.18 Figura 2.19: Traza x = 2 Ejemplo 2.31 Consideremos la superficie de ecuación z − 1 = (x − 2)2 + (y − 2)2 4 . Dibujar la traza z = 3. Solución: La traza z = 3 es la elipse (x − 2)2 2 + (y − 2)2 8 = 1 en el plano z = 3. Como la elipse vive en el plano z = 3, para dibujarla ubicamos su centro (2,2,3) y trazamos un par de semiejes X0 y Y0 paralelos a los ejes X e Y que pasen por este punto, estas líneas las podemos usar para dibujar la elipse de la manera usual. Cuádricas Nos interesan las cuádricas de ecuación Ax2 + By2 + Cz2 + Dx + Ey + Fz + G = 0. Excepto casos degenerados, completando cuadrados podemos obtener la ecuación canónica de cada superficie cuadrática.
- 73. 2.4 Superficies cuadráticas. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 73 A continuación se muestra algunas cuádricas en posición estándar y centradas en el origen. Cuádricas centradas en el origen Elipsoide: Tiene ecuación x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1 Es simétrico con respecto a cada uno de los tres planos coordenados y tiene intersección con los ejes coorde- nados en (±a,0,0), (0,±b,0) y (0,0,±c). La traza del elipsoide sobre cada uno de los planos coordenados es un único punto o una elipse. X Y Z Paraboloide elíptico: Tiene ecuación x2 a2 + y2 b2 = z c Sus trazas sobre planos horizontales z = k son elipses: x2 a2 + y2 b2 = k c . Sus trazas sobre planos verticales, ya sean x = k o y = k son parábolas. Paraboloide hiperbólico: Tiene ecuación y2 b2 − x2 a2 = z c . Sus trazas sobre planos horizontales z = k son hipér- bolas o dos rectas (z = 0). Sus trazas sobre planos ver- ticales paralelos al plano x son parábolas que abren hacia abajo, mientras que las trazas sobre planos ver- ticales paralelos al plano YZ son parábolas que abren hacia arriba. Su gráfica tiene la forma de una silla de montar. Cono elíptico: Tiene ecuación x2 a2 + y2 b2 = z2 c2 . Sus trazas sobre planos horizontales z = k son elipses. Sus trazas sobre planos verticales corresponden a hipérbolas o un par de rectas.
- 74. 2.4 Superficies cuadráticas. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 74 Hiperboloide de una hoja: Tiene ecuación x2 a2 + y2 b2 − z2 c2 = 1. Sus trazas sobre planos horizontales z = k son elipses x2 a2 + y2 b2 = 1 + k2 c2 . Sus trazas sobre planos verticales son hipérbolas o un par de rectas que se intersecan. X Y Z Hiperboloide de dos hojas: Tiene ecuación z2 a2 − y2 b2 − x2 c2 = 1. Es una superficie con dos hojas (o mantos) separadas. Sus trazas sobre planos horizontales z = k son elipses y sobre planos verticales son hipérbolas X Y Z Ejemplo 2.32 Considere la superficie S de ecuación z = (y − 2)2 + 4(x − 1)2 Dibuje por separado las trazas obtenidas al intersecar S con los planos de ecuación y = 2, x = 1, z = 0 y z = 4, y dibuje la superficie. Solución: Se trata de un parabolide elíptico. La traza y = 2 corresponde a la parábola 4(x − 1)2 = z, y = 2. La traza x = 1 corresponde a la parábola (y − 2)2 = z, x = 1. La traza z = 4 corresponde a la elipse (y − 2)2 4 + (x − 1)2 = 1, z = 4. La traza z = 0 corresponde al vértice del parabolide, (1,2,0).
- 75. 2.4 Superficies cuadráticas. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 75 Ver con CFDPlayer Requiere FreeCDF Player Traza y = 2 Traza x = 1 Traza z = 4 X Y Z 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 X Y Z 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 X Y Z 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 X Y Z 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 Ejemplo 2.33 Identifique y dibuje la superficie cuadrática (x − 3)2 4 + (y − 3)2 9 + (z − 1)2 4 = 1. Solución: Se trata de un elipsoide con centro en (3,3,1). Una estrategia de dibujo es la siguiente: Los elipsoides se puede dibujar con tres elipses (trazas). En este caso, se pueden usar x = 3; y = 3 y z = 1 (estos valores corresponden al centro de la cuádrica). La traza x = 3 corresponde a la elipse (y − 3)2 9 + (z − 1)2 4 = 1, x = 3; que se dibuja en el plano x = 3. X Y Z 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 1 2 3 Si y = 3 obtenemos la elipse (circunferencia) (x − 3)2 + (z − 1)2 = 4, y = 3; que se dibuja en el plano y = 3.
- 76. 2.4 Superficies cuadráticas. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 76 X Y Z 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 1 2 3 Si z = 1 obtenemos la elipse (x − 3)2 4 + (y − 3)2 9 = 1, z = 1; que se dibuja en el plano z = 1. X Y Z 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 1 2 3 Este es el elipsoide, 1 2 3 4 1 2 3 4 5 6 1 2 3 X Y Z
- 77. 2.4 Superficies cuadráticas. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 77 Ejemplo 2.34 Consideremos la superficie de ecuación z = x2 + y2. Trazar la superficie usando las trazas correspon- dientes a z = 0,1,3 y x = 0. Solución: La traza z = 0 es el punto (0,0,0) La traza z = 1 es la circunferencia 1 = x2 + y2; en el plano z = 1 La traza z = 3 es la circunferencia 3 = x2 + y2;en el plano z = 3 La traza x = 0 es la parábola z = y2; en el plano x = 0 X Y Z X Y Z 3 Ejemplo 2.35 Consideremos la superficie de ecuación z − 1 = (x − 2)2 + (y − 2)2 4 . Trazar la superficie usando las trazas correspondientes a z = 1,2,3,4 y x = 2. Solución: La traza z = 1 es el punto (2,2,1) La traza z = 2 es la elipse 1 = (x − 2)2 + (y − 2)2 4 en el plano z = 2. La traza z = 3 es la elipse 1 = (x − 2)2 2 + (y − 2)2 8 en el plano z = 3. La traza z = 4 es la elipse 1 = (x − 2)2 3 + (y − 2)2 12 en el plano z = 4. La traza x = 2 es la parábola z − 1 = (y − 2)2 4 en el plano x = 2.
- 78. 2.4 Superficies cuadráticas. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 78 2 2 X Y Z 2 2 Ejemplo 2.36 Identifique y dibuje la superficie cuadrática x2 + 2z2 − 6x − y + 10 = 0 Solución: Completando el cuadrado en x obtenemos el paraboloide elíptico y − 1 = (x − 3)2 + 2z2. Abre en dirección del la parte positiva del eje Y. Trazas. La estrategia es la siguiente: El paraboloide elíptico (que está más arriba), se puede dibujar con un par de elipses y una parábola. Para obtener las elipses le damos valores a y en la ecuación y − 1 = (x − 3)2 + 2z2. Se requiere que y ≥ 1. Si y = 1 obtenemos el punto: (3,1,0). Si y = 2 obtenemos la elipse 1 = (x − 3)2 + z2 1/2 en el plano y = 2 Si y = 3 obtenemos la elipse 1 = (x − 3)2 2 + z2 en el plano y = 3 Para obtener la parábola, ponemos x = 3 y obtenemos la parábola y = 2z2 + 1 en el plano x = 3. 3 Ejemplo 2.37 Identifique y dibuje la superficie cuadrática 4x2 − y2 + 2z2 + 4 = 0.
- 79. 2.4 Superficies cuadráticas. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 79 Solución: Dividiendo por 4 obtenemos: −x2 + y2 4 − z2 2 = 1, que corresponde a un hiperboloide de dos hojas. Abre en dirección del eje Y. Trazas. La estrategia es la siguiente: El hiperboloide de dos hojas (que está más arriba), se puede dibujar con dos elipses y una hipérbola por cada hoja. Para obtener elipses, arreglamos la ecuación como y2 4 − 1 = x2 + z2 2 . Las elipses se obtienen dando valores a y con |y| 2. Si y = ±2 obtenemos dos puntos: (0,2,0), (0,−2,0). Si y = ±3 obtenemos la elipse x2 5/4 + z2 5/2 = 1 en el plano y = 3 y el plano y = −3. Si y = ±4 obtenemos la elipse x2 3 + z2 6 = 1 en el plano y = 4 y el plano y = −4. Para obtener la hipérbola, ponemos x = 0 y arreglamos la ecuación como y2 4 − z2 2 = 1. Ejercicios 7 2.9 Dibuje cada una de las siguientes cuádricas: a.) y = (x − 2)2 + (z − 2)2 b.) z2 + y2 = x/4 c.) x2 + y2 + (z − 1)2/9 = 1 d.) x2 + y2 − (z − 2)2 = 1 e.) x2 + y2 − (z − 2)2 = 0 f.) x2 + (y − 2)2 − z2 = 0
- 80. 2.5 Sólidos simples (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 80 2.10 Considere la superficie de ecuación S : 4 − z = x2 + (y − 2)2 + z. Dibuje por separado las curvas de corte de S con los planos x = 0, z = 3 y z = 0. Y luego dibuje S. 2.5 Sólidos simples Los sólidos simples se describen por medio de su frontera, es decir, se describen por las superficies que lo limitan. Un sólido simple es un conjunto compacto limitado por una o varias superficies orientables (de dos caras), sin hoyos, con borde y sin traslapes; en el interior del sólido no hay superficies ni ‘burbujas’ (la frontera del sólido es tal que divide el espacio en dos partes). Visualizando curvas de intersección entre superficies Para realizar dibujos ‘a mano’ es esencial visualizar las curvas de intersección entre superficies. En general, si dos superficies se cortan en una o varias curvas, una manera de bosquejar estas curvas es buscar algunos puntos de contacto. En los casos más sencillos, estos puntos los podemos localizar en los planos XY, XZ o YZ. En los ejemplos que siguen, estos “puntos-guía” se señalan con un punto rojo. Ejemplo 2.38 Consideremos la curva C de intersección de la superficie S1 : z = 1 − x2 y el plano S2 : y = 3, en el primer octante. Para dibujar esta curva, calculamos “dos puntos guía” para trazar la curva. Los puntos guía están en rojo en la figura. Son el punto de interseción entre las rectas z = 1 y y = 3 en el plano YZ y el punto de interseción entre las rectas z = 1 y y = 3 en el plano XY. La curva que queremos dibujar inicia en uno de estos puntos y termina en el otro. Para obtener una parametrización de esta curva C, podemos tomar a x = t como paramétro, C : r(t) = (t, 3, 1 − t2) con t ∈ [0,1]. Plano y = 3 Superficie S1 : z = 1 − x2 Curva de intersección. X Y Z 3 X Y Z 1 1 X Y Z 1 3 1 recta recta
- 81. 2.5 Sólidos simples (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 81 Ejemplo 2.39 Consideremos la curva C de intersección entre la superficie S1 : z = 4 − x2 4 y el plano S2 : x + y = 6 en el primer octante. El plano S2 : x + y = 6 interseca a los ejes X e Y en x = 6 y y = 6, respectivamente. Como se observa, los puntos-guía están en los planos XY y YZ. En el plano XY el punto-guía se obtiene sustituyendo x = 4 en la ecuación de la recta x + y = 6, z = 0; se obtiene (4,2,0). En el plano YZ el punto-guía es claramente (0,6,4). Usando x = t, una parametrización de la curva C es r(t) = (t,6 − t,4 − t2/4); t ∈ [0,6]. Curva de intersección: z = 4 − x2 4 T x + y = 6 4 4 6 6 X Y Z X Y Z 4 6 6 4 4 X Y Z 4 6 6 C Ejemplo 2.40 Consideremos la superficie S1 : z = 1 − x2 y el plano S2 : y + z = 2 en el primer octante. Los puntos-guía son (1,2,0) y (0,1,1). El punto (0,1,1) se obtiene sustituyendo z = 1 en la ecuación de la recta y + z = 2,x = 0. Para una parametrización, podemos tomar x = t como parámetro, C : r(t) = (t, 2 − (1 − t2), 1 − t2), t ∈ [0,1].
- 82. 2.5 Sólidos simples (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 82 Plano y + z = 2 Superficie S1 : z = 1 − x2 Curva de intersección X Y Z 2 2 X Y Z 1 1 2 1 C X Y Z 1 Ejemplo 2.41 Consideremos la curva de intersección entre la superficie S1 : x2 + z2 = 9 y el plano S2 : y − x = −2 en el primer octante. El corte del plano S2 : y − x = −2 con el plano XZ es la recta x = 2 (pues sobre este plano, y = 0). Sustituyendo x = 2 en la ecuación x2 + z2 = 9, y = 0; obtenemos el punto de intersección (2,0, √ 5). El otro punto-guía se obtiene sustituyendo x = 3 en la ecuación del plano S2 : y − x = −2, este punto es (3,1,0). Para una parametrización podemos usar x = t como paramétro. Curva de intersección C : r(t) = (t, t − 2, √ 9 − t2); t ∈ [2,3]. X Z 1 2 3 1 3 Y Plano Cilindro X Y Z 2 3 1 3 X Y Z 2 3 1 3 C Ejemplo 2.42 Consideremos la superficie S1 : z = 1 − x2 y el plano S2 : 2z − y = 0, en el primer octante. Para dibujar la curva C de intersercción en el primer octante, buscamos los puntos guía. En este caso estos puntos son (1,0,0) y (0,2,1). Para obtener una parametrización de la curva C, podemos usar x = t como paramétro; C : r(t) = (t, 2(1 − t2), 1 − t2), t ∈ [0,1].
- 83. 2.5 Sólidos simples (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 83 Plano S2 : 2z − y = 0 Plano S2 y superficie S1 : z = 1 − x2 Curva de intersección X Y Z X Y Z 1 1 X Y Z 1 1 C Ejemplo 2.43 Consideremos las superficies S1 : x2 + y2 = 16, S2 : 2x − z2 = 0, en el primer octante. Para dibujar la curva C de intersercción en el primer octante, buscamos los puntos guía. En este caso estos puntos son (0,4,0) y (2,0, √ 8). Para obtener una parametrización de la curva C, podemos parametrizar desde el plano XY. La circunferencia x2 + y2 = 16 se parametriza con x = 4cost y y = 4sent. La coordenada z es z = √ 2x = √ 2cost. Así, C : r(t) = (4cost, 4sent, √ 2cost), t ∈ [0,π/2]. Superficie S1 : x2 + y2 = 16 Superficie S2 : 2x − z2 = 0 Curva de intersección 4 4 X Y Z X Y Z X Y Z 4 4 4 2 8 Perspectiva. En general, cuando dibujamos el sistema de ejes XYZ en posición estándar, podemos mover el eje X un poco hacia arriba o un poco hacia abajo y esto hace que la perspectiva cambie. En el dibujo que sigue, se muestra la intersección del mismo cilindro y el mismo plano, la diferencia está en la posición del eje X (lo que produce el cambio de perspectiva!). En el primer caso el plano se ve “desde arriba” en el segundo caso el plano lo vemos “desde abajo”
- 84. 2.5 Sólidos simples (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 84 Figura 2.20: Efecto en la perspectiva al mover el eje X Dibujo de sólidos simples ¿Siempre dibujamos en el I octante?. No, excepto que se pida de manera específica. A veces se pide el dibujo en el primer octante para simplificar el dibujo, pero para otros sólidos es obligatorio especificar el octante para que se cumpla la especificación de sólido simple que dimos más arriba y así evitar ambigüedades (recuerde que los sólidos simples son conjuntos compactos y no tienen superficies interiores ni ‘burbujas’). Por ejemplo, el sólido de la figura que sigue, es un “sólido simple”, limitado por las siguientes cinco superficies: S1 : z = x2 + y2, S2 : 2z = 2 + 3x, S3 : z = 4, S4 : x = 0 y S5 : y = 0, en el primer octante. Ambiguedades. Por ejemplo, el sólido Q limitado por z = 2 − x2; y = 3; x = 0; y = 0 y z = 0, no es un sólido simple pues x = 0 es una superficie interior. Si eliminamos esta superficie interior, si tendríamos un sólido simple.
- 85. 2.5 Sólidos simples (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 85 Sólido Q (no simple) limitado por z = 2 − x2; y = 3; x = 0; y = 0 y z = 0. Sólido Q simple, limitado por z = 2 − x2; y = 3; y = 0 y z = 0, X Y Z 3 2 0 X Y Z Los siguientes sólidos son una “variación” del sólido anterior, pero ahora se trata de sólidos simples. En particular muestran que la presencia de los planos “x = 0, y = 0, z = 0” no implica que el sólido esté en el primer octante, de hecho se pueden usar estos planos especificando que el sólido está en otro octante. Los dos sólido de la figura que sigue, están limitados por las mismas superficies, pero el de la izquierda está en el primer octante y el de la derecha está en el segundo octante. X Y Z 3 2 X Y Z 2 3 Figura 2.21: Sólidos limitados por las mismas superficies, pero en distinto octante. El dibujo de sólidos simples se hace estableciendo las rectas o las curvas de intersección entre las superficies que limitan el sólido. Ejemplo 2.44 Dibujar el sólido Q limitado por la superficie S1 : z = 4 − x2 y el plano S2 : x + y = 4; en el primer octante Solución: Dibujamos ambas superrficies y observamos dos puntos-guía: (2,2,0) y (0,4,4). Esto nos permite bosquejar la curva de interseccion entre S1 y S2.
- 86. 2.5 Sólidos simples (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 86 Superficie S1 : z = 4 − x2 y plano S2 : x + y = 4 Sólido Q Ejemplo 2.45 Dibujar el sólido Q limitado por la superficie S1 : x2 + z2 = 16 y el plano S2 : y + z = 4; en el primer octante Solución: Dibujamos ambas superrficies y observamos dos puntos-guía: (4,4,0) y (0,0,4). Esto nos permite bosquejar la curva de interseccion entre S1 y S2. Superficie S1 : x2 + z2 = 16 y plano S2 : y + z = 4 Sólido Q Ejemplo 2.46 Dibuje el sólido Q limitado por las superficies S1 : (y − 2)2 = x − 2, S2 : y = 4, S3 : x + z = 6, S4 : x = 0 S5 : y = 0 y S6 : z = 0. Solución: La parte delicada es dibujar la intersección entre las superficies S1 y S3. El plano x + z = 6 debe ajustarse para lograr visualizar la intersección con la superficie S1. Observe que el plano x + z = 6 debe pasar por (2,2,4) que está encima del vértice de la parábola (y − 2)2 = x − 2.
- 87. 2.5 Sólidos simples (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 87 Superficie S1 : (y − 2)2 = x − 2 y plano S3 : x + z = 6 Sólido Q Ejemplo 2.47 Dibuje el sólido Q limitado por las superficies S1 : (y − 2)2 = x − 2, S2 : y = 1, S3 : y = 4, S4 : x + z = 6, S5 : x = 0 y S6 : z = 0. Solución: La parte delicada es dibujar la intersección entre las superficies S1 y S4. El plano x + z = 6 debe ajustarse para lograr visualizar la intersección con la superficie S1. S1 : (y − 2)2 = x − 2 y S4 : x + z = 6 Sólido Q
- 88. 2.5 Sólidos simples (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 88 Ejemplo 2.48 Dibuje el sólido Q limitado por las superficies S1 : x2 + y2 = 4, S2 : z − y = 3, y S3 : z = 0. Solución: El plano S2 : z − y = 3 interseca al cilindro en los puntos (0,−2,1) y (0,2,5). Podemos usar estos puntos para dirigir el bosquejo de la curva de intersección. Superficie S1 : x2 + y2 = 4 y plano S2 : z − y = 3 Sólido Q Ejemplo 2.49 Dibuje el sólido Q limitado por las superficies S1 : x2 + y2 = 16, S2 : 2 5 x − y + z = 2, en el I octante. Solución: Primero calculamos el par de puntos-guía en los que el plano S2 : 2 5 x − y + z = 2 interseca al cilindro S1 : x2 + y2 = 16, específicamente, en las rectas del cilindro x = 4 y y = 4. Estos puntos son (0,4,6) y (4,0,2/5). Ahora bosquejamos la curva de interseccion, pero solo en el primer octante. Superficie S1 : x2 + y2 = 16 y plano S2 : 2 5 x − y + z = 2 Sólido Q
- 89. 2.5 Sólidos simples (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 89 Ejemplo 2.50 Dibujar el sólido Q limitado por los planos x − y + z = 0; y + z = 2; x = 0 y z = 0. Solución: Dibujamos ambos planos y marcamos los puntos guía para trazar el segmento de intersección. Uno de los puntos se obtiene como la intersección de las rectas −y + z = 0 y y + z = 2, y el otro como la intersección de las rectas x − y = 0 y y = 2. Estos puntos son (0,1,1) y (2,2,0) El sólido se mantiene en el primer octante pues está limitado por el plano x = 0 (plano YZ) y el plano z = 0 (plano XY). Planos x − y + z = 0; y + z = 2; Sólido Q X Y Z 2 2 1 X Y Z Ejemplo 2.51 Dibujar el sólido Q limitado por la superficie S1 : z = 1 − x2 y los planos 2z − y = 0; y = 0; x = 0; en el primer octante. Solución: La superficie S1 : z = 1 − x2 queda arriba y el plano 2z − y = 0 queda abajo. El plano z = 0 no es parte del sólido. El punto (0,2,1) se obtiene como intersección de las rectas z = 1 y 2z − y = 0.
- 90. 2.5 Sólidos simples (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 90 Ejemplo 2.52 Dibujar el sólido Q limitado por la superficie S1 : z = 1 − x2 y los planos 2z − y = 0; x = 0; z = 0 y y = 2, en el primer octante. Solución: Como el sólido está limitado por los planos z = 0 y x = 0, entonces el plano 2z − y = 0 queda en la parte de arriba del sólido. X Y Z 1 1 2 2 Ejemplo 2.53 Dibujar el sólido Q limitado por la superficie S1 : z = 1 − x2 y el plano y + z = 2; en el primer octante. Solución: En este caso no es necesario especificar los planos x = 0; y = 0 y z = 0; con solo especificar que está en el primer octante es suficiente porque en este caso no hay ambiguedad. X Y Z 1 1 2 2 (0,1,1) 1
- 91. 2.5 Sólidos simples (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 91 Ejemplo 2.54 Dibujar el sólido Q limitado por las superficies S1 : x2 + y2 = 1; S2 : x − z2 = 0 y los planos z = 2 − x; x = 0 y y = 0, en el primer octante. Solución: Tal vez sea más sencillo dibujar primero la superficie S1 : x2 + y2 = 1 y el plano z = 2 − x; luego dibujamos la otra superficie S2 : x − z2 = 0. Superficie S1 : x2 + y2 = 1 y plano z = 2 − x Agregamos la superficie S2 : x − z2 = 0. Sólido Q X Y Z 1 1 2 2 (1,0,1) X Y Z 1 2 1 2 X Y Z 1 1 2 Ejemplo 2.55 Dibuje el sólido Q limitado por la superficie y = x2 + 2 y los planos x − y = 0; x + z = 2; x = 0 y z = 0. Solución: Tal vez sea más sencillo dibujar primero los planos x − y = 0 y x + z = 2; luego agre-gamos la otra superficie y = x2 + 2. Planos x − y = 0 y x + z = 2 Agregamos y = x2 + 2. Sólido Q 2 X Y Z 2 2 2 X Y Z 2 2 6 2 X Y Z 2 2 6
- 92. 2.5 Sólidos simples (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 92 Ejemplo 2.56 Dibuje el sólido Q limitado por las superficies x2 + z2 = 4; y + x = 2; z = 4; y y = 0, x = 0, en el I octante. Solución: Diibujamos los planos y + x = 2 y z = 4; luego agregamos la otra superficie x2 + z2 = 4. Planos y + x = 2; z = 4. Agregamos la superficie x2 + z2 = 4. Sólido Q X Y Z 2 2 4 2 2 X Y Z 2 4 2 X Y Z 2 2 4 Ejercicios 8 2.11 Dibujar el sólido Q limitado por las superficies x2 + y2 = 4z; z + x = 4; y = 1 y x = 0, en el I octante. 2.12 X Y Z 2 1 2 Dibujar el sólido Q1 limitado por las superficies x2 + y2 = 4; z + y = 2; y = 1 y y = 0, en el I octante. 2.13 X Y Z 2 2 4 Sólido Q2 limitado por la superficie x2 + y2 = 4; y los planos z + y = 2; x + √ 3y = 2 √ 3 y x = 0, en el I octante 2.14 X Y Z 1 2 1 2 1 Sólido Q3 limitado por la superficie y2 + z2 = 1; y los planos x + y = 2; x − y + z = 0, en el I octante.
- 93. 2.5 Sólidos simples (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 93 2.15 X Y Z 1 2 3 2 3 2 3 -1 Sólido Q4 limitado por la superficie y2 + z2 = 4 y los planos 2x − 2y + z = 2; x = 0 y z = 0. 2.16 2 4 X Y Z 2 -2 4 6 Sólido Q5 limitado por la superficie (x − 4)2 + y2 = 4 y los planos x − z = 0; y = −2; y = 2; y z = 0 con 0 ≤ x ≤ 4. 2.17 X Y Z 2 1 4 2 4 Sólido Q6 limitado por la superficie y2 + z2 = 16 y los planos x + 2y + z = 2; x + z = 2; x = 0; y z = 0 en el I octante. 2.18 X Y Z 2 1 2 4 Sólido Q7 limitado por la superficie y2 + z2 = 16 y los planos x + 2y + z = 2; x + z = 2; x = 0; y z = 0 en el I y IV octante. 2.19 X Y Z 1 2 6 6 3 9 Sólido Q8 limitado por la superficie y = x2 y los planos 2z + 3y = 18; x + y = 6; z = 3; x = 0; y z = 0, en el I octante. 2.20 X Y Z 2 3 4 2 4 Sólido Q9 limitado por la superficie x2 = 4 − z y los planos 3z +2y = 6; z = 2x; y = 0; y z = 0. 2.21 2 3 9 3 X Y Z Sólido Q10 limitado por la superficie z = 9 − x2 y los planos 5y − 5x + 2z = 0 y y = 3, en el primer octante. 2.22 X Y Z 1 2 4 4 Sólido Q11 limitado por las superficies z = 4 − x2; 2y + z = 8; y = x; x = 0 y z = 0, en el primer octante. 2.23 X Y Z 4 4 6 4 6 Sólido Q12 limitado por las superficies z = 4 − x2/4; y = 6 − x; y = 4 y y = 0, en el primer octante. 2.24 X Y Z 2 4 1 2 4 SólidoQ13 limitado por las superficies z = 4 − x2; x + 2y = 4; z = 4; z = 0 y y = 0.
- 94. 2.6 Proyección (ortogonal) de un sólido simple (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 94 2.25 X Y Z 1 1 2 1 Sólido Q14 limitado por las superficies y = 2 − 2x2; y = 1 − x2; y + 2z = 2; x = 0 y z = 0; en el I octante. 2.26 X Y Z 1 1 2 1 2 Sólido Q15 limitado por las superficies y = 2 − 2x2; y = 1 − x2; y + 2z = 2; x = 0 y z = 2, en el I octante. 2.27 1 1 1 SólidoQ16 limitado por las superficies x2 + y2 = 1; z = 1 − x2, en el I octante. 2.28 X Y Z 1 1 1 Sólido Q17 limitado por las superficies z = 1 − x2; z − y = 1; y = x; x = 0 y z = 0, en el I y IV octante. 2.6 Proyección (ortogonal) de un sólido simple Proyección ortogonal de un punto. La proyección ortogonal de un punto P en un plano Π es el punto en este plano cuya distancia (euclidiana) a P es mínima. Intuitivamente corresponde a la “sombra” del punto proyectada perpendicularmente sobre el plano Π. En la figura que sigue se muestra la proyección de un punto P sobre cada uno de los planos XY, YZ y XZ. Proyección sobre XY Proyección sobre YZ Proyección sobre XZ X Y Z X Y Z X Y Z , P P P Proyección ortogonal de una superficie La proyección perpendicular de una superficie S sobre un plano Π es la proyección perpendicular de cada uno de sus puntos sobre este plano. En este libro solo nos interesa la proyección de la superficie S sobre los planos coordenados.
- 95. 2.6 Proyección (ortogonal) de un sólido simple (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 95 Ejemplo 2.57 En este ejemplo visualizamos la proyección de un triángulo S sobre cada uno de los planos XY, YZ y XZ. Proyección sobre XY Proyección sobre YZ Proyección sobre XZ X Y Z S X Y Z S X Y Z S En la práctica nos interesa describir la proyección de manera analítica porque, en este curso, estas proyecciones van a ser regiones de integración. En general, para obtener la proyección sobre uno de los planos XY, XZ o YZ; primero proyectamos ortogonalmente, algunos puntos de la superificie, sobre el plano de elección. La ecuación de la proyección de las curvas entre estos puntos se puede determinar usando las ecuaciones de las superficies de cuya intersección ellas son producto. Ejemplo 2.58 Consideremos la superficie S : x2 + z2 = 4 limitada por el plano de ecuación x + y = 5, en el primer octante, tal y como se muestra en la figura que sigue. C S Figura 2.22: Superficie S1 : x2 + z2 = 4 Usaremos los vértices V1 = (2,0,0), V2 = (2,3,0), V3 = (0,5,2) y V4 = (0,0,2)
- 96. 2.6 Proyección (ortogonal) de un sólido simple (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 96 a.) Proyección sobre el plano XY. La proyección de los vértices es sobre sus coordenadas en el plano XY. La curva C se proyecta sobre la recta x + y = 5 (la ecuación de un plano ortogonal al plano XY). Figura 2.23: Proyección de la superficie S sobre el plano XY b.) Proyección sobre el plano YZ. La proyección de los vértices es sobre sus coordenadas en el plano YZ. La curva C se proyecta sobre la curva C0. Para determinar la ecuación de C0, usamos el hecho de que esta curva es la proyección de la curva de intersección entre S : x2 + z2 = 4 y el plano de ecuación x + y = 5. Como la curva está en el plano YZ, debemos “eliminar” la variable x : Despejamos en una ecuación y sustituimos en la otra. x2 + z2 = 4 ∩ x + y = 5 =⇒ C0 : (5 − y)2 + z2 = 4 Y Figura 2.24: Proyección de la superficie S sobre el plano YZ c.) Proyección sobre el plano XZ. La superficie S : x2 + z2 = 4 es un cilindro, su proyección sobre este plano es la curva que le dio origen (no una región).
- 97. 2.6 Proyección (ortogonal) de un sólido simple (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 97 X Z C' C Figura 2.25: Proyección de la superficie S sobre el plano XZ Proyección de un sólido. En el caso de sólidos simples, la proyección se determina proyectando las superficies (posiblemente no todas) que lo limitan. Ejemplo 2.59 Consideremos el sólido Q limitado por la superficie S1 : x2 + z2 = 4 y los planos ecuación S2 : x + y = 5, S3 : z = 0, S4 : z = 2 y S5 : y = 0; como se muestra en la figura que sigue. C Figura 2.26: Sólido Q Para proyectar el sólido podríamos usar los vértices V1 = (5,0,0), V2 = (2,0,0), V3 = (2,3,0), V4 = (0,5,2), (0,0,2) y (5,0,2). a.) Proyección sobre el plano XY. La proyección de los vértices es sobre sus coordenadas en el plano XY. La curva C se proyecta sobre la recta x + y = 5 (la ecuación de un plano ortogonal al plano XY).
- 98. 2.6 Proyección (ortogonal) de un sólido simple (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 98 X Y 1 2 3 4 X 1 2 3 4 Y Figura 2.27: Proyección del sólido Q sobre el plano XY b.) Proyección sobre el plano YZ. La proyección de los vértices es sobre sus coordenadas en el plano YZ. La curva C se proyecta sobre la curva C0. Para determinar la ecuación de C0, usamos el hecho de que esta curva es la proyección de la curva de intersección entre S : x2 + z2 = 4 y el plano de ecuación x + y = 5. Como la curva está en el plano YZ, debemos “eliminar” la variable x : Despejamos en una ecuación y sustituimos en la otra. x2 + z2 = 4 ∩ x + y = 5 =⇒ C0 : (5 − y)2 + z2 = 4 o y = 5 − p 4 − z2 Y Z 1 2 3 4 5 0.5 1.0 1.5 2.0 X Y Figura 2.28: Proyección del sólido Q sobre el plano YZ c.) Proyección sobre el plano XZ. La superficie S : x2 + z2 = 4 es un cilindro, su proyección sobre este plano es la curva que le dio origen. El plano z = 2 proyecta sobre la recta z = 2 en el plano y = 0. X Z 5 2 X Z
- 99. 2.6 Proyección (ortogonal) de un sólido simple (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 99 Figura 2.29: Proyección del sólido Q sobre el plano XY Ejercicios 9 2.29 Dibujar las proyecciones del sólido Q si este sólido está limitado por x2 + y2 = 4; z + y = 2; y = 1; x = 0; y = 0 y z = 0, en el I octante X Y Z 2 1 2 2.30 Dibujar las proyecciones del sólido Q si este sólido está limitado por las superficies y = 2 − 2x2; y = 1 − x2; y + 2z = 2; x = 0 y z = 0; en el I octante. X Y Z 1 1 2 1 2.31 Dibujar las proyecciones del sólido Q si este sólido está limitado por la superficie y2 + z2 = 4 y los planos 2x − 2y + z = 2; x = 0 y z = 0.
- 100. 2.7 (*) Definición formal de una superficie (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 100 X Y Z 1 2 3 2 3 2 3 -1 2.7 (*) Definición formal de una superficie No todas las superficies (suaves) en R3 se pueden describir con una sola ecuación F(x,y,z) = 0 (con o sin desigualdades). En general, para estudiar superficies de una manera más general, se requiere estudiarlas “localmente”. A veces se define una superficie de manera local. Una superficie S es un subconjunto de R3 que en un entorno de cualquiera de sus puntos, luce como un “parche” de R2, es decir, para cada p ∈ S e-xiste un entorno abierto U ⊆ R2 y un entorno W ⊆ R3 que contiene a p tal que se puede establecer una biyección continua (homeomorfismo) rp : U → → → S ∩ W. A cada homeomorfismo rp se le llama “parche” o parametrización del conjunto abierto S ∩ W. Una colección de tales parches que cubren S se llama un atlas de S. X Y Si una superficie S tiene ecuación z = f (x,y) con (x,y) ∈ D ⊆ R2, entonces la superficie sería de un solo “parche”, y una parametrización sería r(x,y) = x ı̂ + y ̂ + f (x,y) k̂ con (x,y) ∈ D. Más adelante veremos más ejemplos de superficies y parametrizaciones.
- 101. 2.7 (*) Definición formal de una superficie (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 101 Revisado:Julio, 2017 Versión actualizada de este libro y el formato CDF: http://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/Libros/
- 103. Introducción Derivadas parciales. Derivadas parciales de orden superior Función diferenciable. Diferencial total. Regla de la cadena. Derivadas de una función definida de ma- nera implícita. (*) Derivación implícita: Caso de dos ecua- ciones. Gradiente. Parametrización de una curva Gradiente, curvas y superficies de nivel. Derivada direccional Plano tangente y el vector normal. 3 — Cálculo diferencial en varias variables 3.1 Introducción La derivada de una función de una variable mide la tasa de cambio de la variable dependiente respecto a la variable independiente. La derivada de la función y = f (x) en x es, f 0 (x) = lı́m ∆x→0 ∆y ∆x = lı́m h→0 f (x + h) − f (x) h siempre y cuando este límite exista. Geométricamen- te, la derivada de f en x es la pendiente de la recta tangente a f en el punto (x, f (x)) Ver con CFDPlayer Si f : R2 −→ R, la derivada de f en x x x = (x0,y0) ∈ R2, en la dirección de un vector unitario v v v = (v1,v2) ∈ R2, mide la tasa (instántanea) de cambio de f a través de la recta L(h) = x x x + hv v v cuando h = 0. De nuevo, esta derivada en la dirección de v v v se obtiene como un límite, lı́m h→0 f (x x x + hv v v) − f (x x x) h = lı́m h→0 f (x0 + hv1,y0 + hv2) − f (x0,y0) h . El cambio en la recta L es ||x x x − x x x − hv v v|| = ||hv v v|| = h (pues v v v es unitario). La curva de intersección de la superficie S de ecuación z = f (x,y) con el plano generado por la recta L (tal y como se muestra en la figura 3.1) tiene ecuación paramétrica
- 104. 3.2 Derivadas parciales. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 104 C(h) = (x0 + hv1,y0 + hv2, f (x x x + hv v v)) Geométricamente, esta derivada de f en x x x, es la pendiente de la recta tangente a la curva C(h) en h = 0. Ver con CFDPlayer Requiere FreeCDF Player Figura 3.1: Derivada direccional en x x x la dirección de v v v De particular interés son la derivada en la dirección del eje X, denotada ∂ f ∂x , y la derivada en la dirección del eje Y, denotada ∂ f ∂y ; llamadas derivadas parciales respecto a x e y respectivamente. Figura 3.2: Derivada parcial en x x x la dirección de X Figura 3.3: Derivada parcial en x x x la dirección de Y 3.2 Derivadas parciales. Definición 3.1 (Derivadas parciales). Sea U ⊆ Rn un conjunto abierto y sea f : U −→ R. Entonces la derivada parcial ∂ f ∂xi de f respecto a la variable xi en el punto x x x = (x1,...,xn), se define como
- 105. 3.2 Derivadas parciales. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 105 ∂ f ∂xi = lı́m h→ → →0 f (x1,x2,...,xi + h,...,xn) − f (x1,...,xn) h = lı́m h→ → →0 f (x x x + hei ei ei) − f (x x x) h siempre y cuando este límite exista. Aquí ei ei ei = (0,...,1,...0) con un 1 en la i−ésima posición. El dominio de ∂ f ∂xi es el subconjunto de Rn en el que este límite existe. Caso de dos variables Cuando z = f (x,y), es común denotar las derivadas parciales con ∂ f ∂x , ∂z ∂x , zx o fx. Según la definición, ∂ f ∂x = lı́m h→ → →0 f (x + h,y) − f (x,y) h y ∂ f ∂y = lı́m h→ → →0 f (x,y + h) − f (x,y) h Es decir, para calcular ∂ f ∂x derivamos de manera oridinaria f respecto a x pensando en y como una constante y para calcular ∂ f ∂y derivamos de manera oridinaria f respecto a y pensando en x como una constante. Esto es válido siempre y cuando apliquen los teoremas de derivadas en una variable. Ejemplo 3.1 (Cálculo directo y por definición). Sea f (x,y) = 3 √ x 3 √ y, entonces aplicando la regla del producto, ∂ f ∂x = ∂ ∂x 3 √ x 3 √ y = 3 √ y 3x2/3 ∂ f ∂y = ∂ ∂y 3 √ x 3 √ y = 3 √ x 3y2/3 . Esta es la manera de derivar f respecto a x y respecto a y usando teoremas de derivadas. Sin embargo esto no decide si la función es derivable o no en (0,0). Para saber si estas derivadas parciales existen en (0,0), se debe calcular usando la definición, ∂ f ∂x (0,0) = lı́m h→ → →0 f (0 + h,0) − f (0,0) h = lı́m h→ → →0 0 − 0 h = 0, ∂ f ∂y (0,0) = lı́m h→ → →0 f (0,0 + h) − f (0,0) h = lı́m h→ → →0 0 − 0 h = 0,
- 106. 3.2 Derivadas parciales. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 106 es decir, en este caso la derivada parcial ∂ f ∂x existe en (0,0)y es cero y también ∂ f ∂y (0,0) = 0. Ejemplo 3.2 (Derivadas parciales de funciones de dos variables). En este ejemplo se muestra como calcular derivadas parciales usando las reglas de derivación ordinaria. Recordemos que en una variable, [k f (x)]0 = k f 0(x) y k f (x) 0 = −k · f 0(x) f2(x) . z = x2y2 + y =⇒ ∂z ∂x = 2xy2 + 0 z = x2y2 + y =⇒ ∂z ∂y = 2x2 y + 1 z = x3 y5 = 1 y5 · x3 =⇒ ∂z ∂x = 1 y5 · 3x2 z = x3 y5 =⇒ ∂z ∂y = −x3 · 5y4 y10 Recordemos que en una variable, [au]0 = au ln(a)u0 y [xα]0 = αxα−1. Si z = xy con x 0, entonces ∂z ∂x = yxy−1 Si z = xy con x 0, entonces ∂z ∂y = xy lnx Si C(r,θ) = rn cos(nθ) con n ∈ N una contante. Entonces ∂C ∂r = nrn−1 cos(nθ) y ∂C ∂θ = −nrn sen(nθ) Recordemos que en una variable, si u = g(x) entonces [f (u)]0 = f 0(u) · u0. Si z = arctan(y/x) =⇒ ∂z ∂x = 1 1 + (y/x)2 · −y · 1 x2
- 107. 3.3 Derivadas parciales de orden superior (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 107 Si z = cos(xy) + xsen2y 2 entonces ∂z ∂x (π,π/2) = −ysen(xy) + sen2y 2 x=π, y=π/2 x=π, y=π/2 x=π, y=π/2 = −π · sen(π2/2) 4 . Sea f de una variable y derivable, y z = f (u) con u = x5 + y3, entonces ∂z ∂x = f 0 (u) · 5x4 y ∂z ∂y = f 0 (u) · 3y2 Sean f y g funciones derivables de una variable y z = f (u) g(u) con u = x5 + y3, entonces . ∂z ∂x = ∂ ∂x [f (u)] · g(u) − ∂ ∂x [g(u)] · f (u) g2(u) = f 0(u) · 5x4 · g(u) − g0(u) · 5x4 · f (u) g2(u) . ∂z ∂y = ∂ ∂y [f (u)] · g(u) − ∂ ∂y [g(u)] · f (u) g2(u) = f 0(u) · 3y2 · g(u) − g0(u) · 3y2 · f (u) g2(u) 3.3 Derivadas parciales de orden superior Si f es una función de dos variables x e y, entonces sus derivadas parciales fx y fy también son funciones de dos variables, de modo que podemos considerar sus derivadas parciales (fx)x, (fx)y, (fy)x y (fy)y , las cuales cuales se llaman segundas derivadas parciales de f. Si z = f (x,y), se utilizan diferentes notaciones para estas derivadas parciales, (fx)x = fxx = f11 = ∂ ∂x ∂ f ∂x = ∂2 f ∂x2 = ∂2z ∂x2 (fx)y = fxy = f12 = ∂ ∂y ∂ f ∂x = ∂2 f ∂y∂x = ∂2z ∂y∂x (fy)x = fyx = f21 = ∂ ∂x ∂ f ∂y = ∂2 f ∂x∂y = ∂2z ∂x∂y (fy)y = fyy = f22 = ∂ ∂y ∂ f ∂y = ∂2 f ∂y2 = ∂2z ∂y2 La notación fxy o ∂2 f ∂y∂x significa que primero derivamos con respecto a x y luego con respecto a y, mientras que para calcular fyx el orden se invierte.
- 108. 3.3 Derivadas parciales de orden superior (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 108 Ejemplo 3.3 Calcule las segundas derivadas parciales de f (x,y) = x3 + x2y2 + y3 Solución: Las primeras derivadas parciales son fx(x,y) = 3x2 + 2xy2 fy(x,y) = 2x2y + 3y2 De donde obtenemos que : fxx(x,y) = 6x + 2y2 fxy(x,y) = ∂ ∂y 3x2 + 2xy2 ) = 4xy fyx(x,y) = ∂ ∂x 2x2 y + 3y2 = 4xy fyy(x,y) = 6y + 2x2 Ejemplo 3.4 Sea f : R −→ R una función dos veces derivable y sea z = f (u) con u = x3y4. Entonces, ∂z ∂x = f 0 (u) · 3x2 y4 ∂2z ∂x2 = f 00 (u) · 3x2 y4 · 3x2 y4 + 6xy4 f 0 (u) ∂2z ∂y∂x = f 00 (u) · 4x3 y3 · 3x2 y4 + 12x2 y3 f 0 (u) ∂z ∂y = f 0 (u) · x3 4y3 ∂2z ∂y2 = f 00 (u) · 4x3 y3 · 4x3 y3 + 12x3 y2 f 0 (u) ∂2z ∂x∂y = f 00 (u) · 3x2 y4 · 4x3 y3 + 12x2 y3 f 0 (u) Ejemplo 3.5 Las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales se usan para expresar leyes físicas. Por ejemplo, la ecuación diferencial parcial ∂2u ∂x2 + ∂2u ∂y2 = 0, se conoce como ecuación de Laplace, en honor a Pierre Laplace (1749 - 1827). Las soluciones de esta ecuación se llaman funciones armónicas y desempeñan un papel fundamental en las aplicaciones relacionadas con conducción de calor, flujo de fluidos y potencial eléctrico. Compruebe que la función u(x,y) = ey senx satisface la ecuación de Laplace. Solución: Las primeras derivadas parciales están dadas por ux = ey cosx
- 109. 3.3 Derivadas parciales de orden superior (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 109 uy = ey senx con lo cual uxx = −ey senx uyy = ey senx de donde ∂2u ∂x2 + ∂2u ∂y2 = −ey senx + ey senx = 0 Ejemplo 3.6 La ecuación de onda ∂2u ∂t2 = a2 ∂2u ∂x2 , donde a es una constante, describe el movimiento de una onda, que puede ser una onda de sonido, una onda de luz o una onda que viaja a lo largo de una cuerda vibrante. Si f y g son funciones de una sola variable dos veces derivables, compruebe que la función u(x,t) = f (x + at) + g(x − at) satisface la ecuación de onda. Solución: Primero un cambio de variable. Sea A = x + at y B = x − at. De esta manera u = f (A) + g(B). Las derivadas de u(x,y) con respecto a x están dadas por : ∂u ∂x = f 0 (A) + g0 (B), ∂2u ∂x2 = f 00 (A) + g00 (B) Las derivadas de u(x,y) con respecto a t están dadas por : ∂u ∂t = a f 0 (A) − ag0 (B), ∂2u ∂t2 = a2 f 00 (A) + a2 g00 (B) Sustituyendo obtenemos ∂2u ∂t2 = a2 f 00 (A) + a2 g00 (B) = a2 [f 00 (A) + g00 (B)] = a2 ∂2u ∂x2 Ejemplo 3.7 Consideremos f y g funciones de una sola variable dos veces derivables, compruebe que la función u(x,y) = x f (x + y) + yg(x + y) satisface la ecuación diferencial parcial uxx − 2uxy + uyy = 0. Solución: Primero un cambio de variable. Sea A = x + y, entonces u = x f (A) + yg(A). Las derivadas de u(x,y) con respecto a x están dadas por ux = f (A) + x f 0(A) + yg0(A)
- 110. 3.3 Derivadas parciales de orden superior (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 110 uxx = f 0(A) + f 0(A) + x f 00(A) + yg00(A) = 2f 0(A) + x f 0(A) + yg0(A) uxy = f 0(A) + x f 00(A) + g0(A) + yg00(A) uy = x f 0(A) + g(A) + yg0(A) uyy = x f 00(A) + g0(A) + g0(A) + yg00(A) = 2f 00(A) + 2g0(A) + yg00(A) Sustituyendo, uxx − 2uxy + uyy = 2 f 0(A) + x f 00(x + y) + yg00(A) − 2f 0(A) − 2x f 00(A) − 2g0(A) −2yg00(A) + x f 00(A) + 2g0(A) + yg00(A) = 0 Ejemplo 3.8 Compruebe que la función u(x,y) = p x2 + y2 + z2 satisface la ecuación diferencial de Laplace en derivadas parciales ∂2u ∂x2 + ∂2u ∂y2 + ∂2u ∂z2 = 0. Solución: Calculemos las derivadas parciales ∂u ∂x = −2x 2 p (x2 + y2 + z2)3 , ∂u ∂y = − y (x2 + y2 + z2)3/2 , ∂u ∂z = − z (x2 + y2 + z2)3/2 , ∂u ∂x2 = 2x2 − y2 − z2 (x2 + y2 + z2)5/2 , ∂u ∂y2 = − −x2 + 2y2 − z2 (x2 + y2 + z2)5/2 , ∂u ∂z2 = − −x2 − y2 + 2z2 (x2 + y2 + z2)5/2 . y al sumarlas obtenemos el resultado deseado. Observación: Note que las derivadas parciales mixtas fxy y fyx en el ejemplo anterior son iguales. El siguiente teorema, da las condiciones bajo las cuales podemos afirmar que estas derivadas son iguales. El teorema es conocido de Clairaut o también como Teorema de Schwarz. Teorema 3.1 (Teorema de Clairaut o Teorema de Schwarz). Sea f : D ⊆ R −→ R una función escalar donde D es un disco abierto con centro en (a,b) y radio δ, si las funciones fxy y fyx son continuas en D, entonces fxy(a,b) = fyx(a,b)
- 111. 3.3 Derivadas parciales de orden superior (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 111 Ejemplo 3.9 (Hipótesis en el Teorema de Clairaut). Sea f (x,y) = xy x2 − y2 x2 + y2 y f (0,0) = 0. Se tiene fx(0,0) = fy(0,0) = 0, pero fxy(0,0) 6= fyx(0,0). En efecto, aunque fxy y fyx están definidas en (0,0), no son continuas en este punto. Para ver esto, podemos calcular estas derivadas de dos maneras distintas y observar que el valor difiere. Primero derivamos sobre la recta x = 0 y luego sobre la recta y = 0. zx(0,y) = lı́m h→0 f (h,y) − f (0,y) h = lı́m h→0 hy(h2 − y2) h(h2 + y2) = −y y zx(x,0) = lı́m h→0 f (x,h) − f (x,0) h = lı́m h→0 hx(h2 − y2) h(h2 + y2) = x Ahora zxy(0,0) = lı́m h→0 fy(h,0) − fy(0,0) h = lı́m h→0 h − 0 h = 1 y zyx(0,0) = lı́m k→0 fx(0,k) − fx(0,0) h = lı́m h→0 −k − 0 k = −1 Esto muestra que fxy(0,0) 6= fyx(0,0). El gráfico de f (x,y) muestra un salto en (0,0) Ejercicios 10 3.1 Sea f (x,y) = xy x2 − y2 . Calcule ∂ f ∂y , ∂ f ∂x y fy(2,1). 3.2 Sea f (x,y) = ln5 (xy + x2 + 2y) Calcule ∂ f ∂y , ∂ f ∂x . 3.3 Sea z(x,y) = 2(ax + by)2 − (x2 + y2) con a2 + b2 = 1. Verifique que ∂2z ∂x2 + ∂2z ∂y2 = 0. 3.4 Sea z = f x2 y con f derivable. Verifique que x ∂z ∂x + 2y ∂z ∂y = 0. 3.5 Sea z = r xy + arctan y x . Demuestre que zx ∂z ∂x + zy ∂z ∂y = xy. 3.6 Sea C(x,t) = t−1/2 e−x2 /kt . Verifique que esta función satisface la ecuación (de difusión) k 4 · ∂2C ∂x2 = ∂C ∂t
- 112. 3.3 Derivadas parciales de orden superior (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 112 3.7 Sea z = f (x2y + y) · p x + y2. Calcule ∂ f ∂y , ∂ f ∂x . 3.8 Verifique que u(x,y) = ey senx satisface la ecuación de Laplace ∂2u ∂x2 + ∂2u ∂y2 = 0 3.9 Sea a ∈ R una constante. Verifique que u(x,t) = sen(x − at) + ln(x + at) es solución de la ecuación de onda utt = a2uxx. 3.10 Sea a ∈ R una constante y f y g funciones dos veces derivables. Verifique que u(x,t) = f (x − at) + g(x + at) es solución de la ecuación de onda utt = a2uxx. 3.11 Verifique que z = ln(ex + ey) es solución de las ecuación diferencial ∂z ∂x + ∂z ∂y = 1 y de la ecuación diferencial ∂2z ∂x2 · ∂2z ∂y2 − ∂2z ∂x∂y 2 = 0. 3.12 Sea f una función derivable en todo R y sea w(x,y) = f (ysenx). Verifique que cos(x) ∂w ∂x + ysen(x) ∂w ∂y = y f 0 (ysenx) 3.13 Sea g(x,y) = x2 sen(3x − 2y). Verifique la identidad x · ∂2g ∂y∂x = 2 ∂g ∂y + 6x · g(x,y). 3.14 La resistencia total R producida por tres conductores con resistencias R1, R2 y R3 conectadas en paralelo en un circuito eléctrico está dado por la fórmula 1 R = 1 R1 + 1 R2 + 1 R3 . Calcule ∂R ∂R1 . Sugerencia: derive a ambos lados respecto a R1 . 3.15 La ley de gases para un gas ideal de masa fija m, temperatura absoluta T, presión P y volumen V es PV = mRT donde R es la constante universal de los gases ideales. Verifique que ∂P ∂V ∂V ∂T ∂T ∂P = −1. 3.16 La energía cinética de un cuerpo de masa m y velocidad v es K = 1 2 mv2 . Verifique que ∂K ∂m ∂2K ∂v2 = K. 3.17 Sea f y g funciones dos veces derivables. Sea u = x2 + y2 y w(x,y) = f (u) · g(y). Calcule ∂w ∂x , ∂2w ∂x2 , ∂2w ∂y∂x y ∂w ∂y . 3.18 Sea f y g funciones dos veces derivables. Sea w(x,y) = f (u) + g(v) donde u = x y y v = y x . Calcule ∂w ∂x , ∂2w ∂y∂x .
- 113. 3.4 Función diferenciable. Diferencial total. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 113 3.19 Sea w = e3x · f (x2 − 4y2), donde f es una función dos veces diferenciable. Calcule ∂2w ∂x∂y . 3.20 Sea u(r,θ) = rn cos(nθ) con n ∈ N una contante. Verfique que u satisface la ecuacón urr + ur r + uθθ r2 = 0 3.4 Función diferenciable. Diferencial total. Definición 3.2 (Función diferenciable) Sea f : U ⊂ R2 −→ R. Si las derivadas parciales de f existen y son continuas en un entorno de (x0,y0) ∈ U, entonces f se dice diferenciable en (x0,y0). En una variable, ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0) se puede aproximar con el diferencial dy = f 0(x0)dx, es decir, como f 0(x) ≈ ∆y ∆x , entonces ∆y ≈ f 0 (x)dx = dy T X Y y dy dx x x+dx (x,f(x)) (x+dx, f(x+dx)) De manera similar, el cambio en f en dos variables es ∆ f = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0,y0) y se puede aproximar con el diferencial total, d f = fx(x0,y0)dx + fy(x0,y0)dy Es decir, si f es diferenciable en (x0,y0) y si ∆x = x − x0 y ∆y = y − y0 son pequeños, entonces f se puede aproximar usando el plano tangente:
- 114. 3.5 Regla de la cadena. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 114 f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) = f (x,y) ≈ f (x0,y0) + fx(x0,y0)∆x + fy(x0,y0)∆y. Si z = f (x,y) es diferenciable, el diferencial total d f representa el incremento de f a lo largo del plano tangente a f en el punto (x,y). Sería como calcular con el plano tangente en vez de usar la superficie S (ver figura anterior). 3.5 Regla de la cadena. Recordemos que en una variable, si f (u) y u(x) son derivables, entonces la regla de la cadena establece d f dx = d f du du dx La regla de la cadena nos indica como varía f conforme recorremos la trayectoria u(x). Formalmente es la derivada de f en presencia de un cambio de variable u. En funciones de varias variables la relación persiste en un siguiente sentido Teorema 3.2 (Regla de la cadena – Caso I). Sean x = x(t) y y = y(t) derivables y z = f (x,y) diferenciable en (x,y) = (x(t),y(t)), entonces si z = f (x(t),y(t)) es derivable, dz dt = ∂ f ∂x x0 (t) + ∂ f ∂y y0 (t) = ∇z(x(t),y(t)) · (x0 (t),y0 (t)) Una interpretación en Física es que dz dt es un porcentaje del vector velocidad (interpretación del producto punto).
- 115. 3.5 Regla de la cadena. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 115 Teorema 3.3 (Regla de la cadena – Caso II.) Sean u = u(x,y) y v = v(x,y) con derivadas parciales en (x,y). Si z = f (u,v) es diferenciable en (u,v) = (u(x,y),v(x,y)) entonces z = f (u,v) tiene derivadas parciales de primer orden en (x,y) y ∂z ∂x = ∂ f ∂u ∂u ∂x + ∂ f ∂v ∂v ∂x ∂z ∂y = ∂ f ∂u ∂u ∂y + ∂ f ∂v ∂v ∂y Ejemplo 3.10 Sea z(x,y) = p arctan(y/x) + tan(xy). Podemos hacer un cambio de variable y calcular ∂z ∂x usando la regla de la cadena. Sea u(x,y) = arctan(y/x) y v(x,y) = tan(xy), entonces z = √ u + v. ∂z ∂x = ∂z ∂u ∂u ∂x + ∂z ∂v ∂v ∂x = 1 2 √ u + v 1 1 + (y/x)2 · −y · 1 x2 + 1 2 √ u + v ysec2 (xy) Al sustituir u y v obtenemos el resultado completo, si fuera necesario. Ejemplo 3.11 Sea z(x,y) = x2 + 3y2, donde x = et y y = cos(t) entonces dz dt = ∂z ∂x dx dt + ∂z ∂y dy dt = 2xet−6ysen(t) = 2e2t − 6cos(t)sen(t) Ejemplo 3.12 Sea z(u,v) = x2ey3 , donde x = uv y y = u2 − v3 entonces ∂z ∂u = ∂z ∂x ∂x ∂u + ∂z ∂y ∂y ∂u = 2xey3 ∂x ∂u + 3x2 y2 ey3 ∂y ∂u = 2xey3 v + 3x2 y2 ey3 2u
- 116. 3.5 Regla de la cadena. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 116 ∂z ∂v = ∂z ∂x ∂x ∂v + ∂z ∂y ∂y ∂v = 2xey3 ∂x ∂v + 3x2 y2 ey3 ∂y ∂v = 2xey3 u + 3x2 y2 ey3 · −3v2 Ejemplo 3.13 Sea f una función diferenciable y z(x,y) = f (x2,xy2). Para derivar usando la regla de la cadena usamos el cambio de variable u = x2 y v = xy2, entonces z(x,y) = f (u,v) y ∂z ∂x = ∂ f ∂u · ∂u ∂x + ∂ f ∂v · ∂v ∂x = ∂ f ∂u · 2x + ∂ f ∂v · y2 ∂z ∂y = ∂ f ∂u · ∂u ∂y + ∂ f ∂v · ∂v ∂y = ∂ f ∂u · 0 + ∂ f ∂v · 2xy Ejemplo 3.14 Sea f una función derivable y z = f (x,y) con x = rcosθ, y = rsenθ, entonces ∂z ∂r = ∂ f ∂x ∂x ∂r + ∂ f ∂y ∂y ∂r = ∂ f ∂x cosθ + ∂ f ∂y senθ ∂z ∂θ = ∂ f ∂x ∂x ∂θ + ∂ f ∂y ∂y ∂θ = ∂ f ∂x · −rsenθ + ∂ f ∂y rcosθ Ejemplo 3.15 Si z(x,y) = g(y) · f (x − 2y, y3). Calcule zx y zxy. Solución: Sea u = x − 2y, v = y3. Entonces z(x,y) = g(y) f (u,v). zx = g(y) [fu · 1 + fv · 0] = g(y) fu(u,v) zxy = g0(y) · 1 · fu(u,v) + g(y) −2 f uu + 3y2 f uv
- 117. 3.5 Regla de la cadena. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 117 Ejemplo 3.16 Sea V = V(P,T). Si P(V − b)eRV = RT, con b,R constantes, calcule ∂V ∂T . Solución: V es función de P y T. Derivamos a ambos lados respecto a T, ∂ ∂T h P(V − b)eRV i = ∂ ∂T [RT] P h VTeRV + (V − b)eRV RVT i = R ∴ ∴ ∴ VT = R PeRV(1 + (V − b)R). Ejemplo 3.17 Sea z(x,y) = g(u,v) con u = x2y2 y v = xy. Calcule ∂2z ∂y∂x . Solución: ∂z ∂x = ∂g ∂u ∂u ∂x + ∂g ∂v ∂v ∂x = ∂g ∂u · 2xy2 + ∂g ∂v · y ∂2z ∂y∂x = ∂ ∂y ∂g(u,v) ∂u · 2xy2 + ∂ ∂y 2xy2 · ∂g ∂u + ∂g(u,v) ∂v + y · ∂ ∂y ∂g(u,v) ∂v = ∂2g ∂u2 · uy + ∂2g ∂v∂u · vy · 2xy2 + 4xy · ∂g ∂u + ∂g(u,v) ∂v + y · ∂2g ∂u∂v · uy + ∂2g ∂v2 · vy = ∂2g ∂u2 · 2yx2 + ∂2g ∂v∂u · x · 2xy2 + 4xy · ∂g ∂u + ∂g(u,v) ∂v + y · ∂2g ∂u∂v · 2yx2 + ∂2g ∂v2 · x
- 118. 3.5 Regla de la cadena. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 118 Ejemplo 3.18 Sea F(u,v) = −u − v con u2 = x − y y v2 = x + y. Si u 6= 0 y v 6= 0, verifique a.) Fx = − u + v 2uv . b.) Fy = − v − u 2uv . Solución: Primero veamos que 2uux = 1, 2vvx = 1, 2uuy = −1 y 2vvy = 1. Por lo tanto a.) Fx = Fu ux + Fv vx = −1 · 1 2u −1 · 1 2v = − u + v 2uv . b.) Fy = Fu uy + Fv vy = −1 · − 1 2u −1 · 1 2v = − v − u 2uv . Ejercicios 11 3.21 Sea z = xy2 + x con x = sent y y = tan(t). Calcule dz dt . 3.22 Sea w = x2 + 2xy + y2 con x = tcost y y = tsent. Calcule dw dt . 3.23 Sea z = u √ u + v2 con u = xy y v = arctan(y/x). Calcule ∂z ∂x y ∂z ∂y . 3.24 Sea z = g(y) · f (x,y) con f y g funciones con derivadas de segundo orden. a.) Calcule ∂z ∂x b.) Calcule ∂z ∂y c.) Si x = t2 y y = u2 + t3, calcule ∂z ∂t y ∂z ∂u 3.25 Sea z = f (xy,x). Si f tiene derivadas parciales de segundo orden fu, fuv, fuu y fvv, calcular ∂2z ∂y∂x . 3.26 Sea z = ∂ f ∂x + ∂ f ∂y , donde f = f (x,y) es una función con derivadas de segundo orden. Si x = u2 + v y y = u + v2, calcule ∂z ∂u y ∂z ∂v . 3.27 Sea z = f (u,v), donde u = x2 + y2, v = xy. Si f tiene derivadas parciales de segundo orden fu, fuv, fuu y fvv continuas (es decir, fuv = fvu ). Verifique que: ∂2z ∂x2 = 2 ∂ f ∂u + 4x2 ∂2 f ∂u2 + 4xy ∂2 f ∂u∂v + y2 ∂2 f ∂v2
- 119. 3.6 Derivadas de una función definida de manera implícita. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 119 3.28 Sea z = f (x2 + cosy, x2 − 1) − g(3xy2) con g derivable y f con derivadas parciales continuas y de segundo orden. Calcule zxy 3.29 Sea z = x2 f4(xy,y2) con f con derivadas parciales continuas. Calcule zy y zx 3.30 Sea z = f (x2 − y, xy) donde s = x2 − y y t = xy. Calcule ∂ f ∂t y ∂ f ∂s (Sugerencia: Calcule zx y zy y despeje lo que se pide). 3.31 Verifique que si f es diferenciable, la función z = f (xy) satisface la ecuación x ∂z ∂x − y ∂z ∂y = 0 3.32 Sea u = f (r) con f derivable y r2 = x2 + y2 + z2. Mostrar que xux + yuy + zuz = r f 0 (r) 3.33 Supongamos que se sabe que x ∂z ∂x + y ∂z ∂y = 2x2 sen(xy) con x 0 y y 0. (∗) Verifique que aplicando un cambio de variable de (x,y) a (u,v) donde u = xy y v = x/y; entonces la ecuación (∗) se convierte en la ecuación ∂z ∂u = v senu Sugerencia: Como z = z(u,v); calcule las derivadas parciales y luego despeje x y y en el cambio de variable. Al sustituir, obtiene el resultado. 3.6 Derivadas de una función definida de manera implícita. Supongamos que se conoce que z es una función de x e y, es decir, z = f (x,y), pero que z está definida de manera implícita por una ecuación del tipo F(x,y,z) = 0 Estas situaciones ya las hemos encontrado antes, por ejemplo en la ecuación de una esfera: x2 + y2 + z2 = a2. Esta ecuación define a z como una función de x y y y en este caso, z se puede despejar: z = q a2 − x2 − y2 y z = − q a2 − x2 − y2 Cuando una función está definida de manera implícita, no siempre es posible despejarla. Por ejemplo considere y2 + xz + z2 − ez − 1 = 0. Pero si podemos calcular las derivadas parciales.
- 120. 3.6 Derivadas de una función definida de manera implícita. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 120 Podemos deducir, de manera informal, las fórmulas para zx y zy. Supongamos que z = z(x,y) es una función diferenciable que satisface la ecuación F(x,y,z(x,y)) = 0 en algún conjunto abierto D. Sea g(x,y) = F(x,y,z) = 0, aplicando la regla de la cadena a g(x,y) = F(u,v,w), con u(x,y) = x, v(x,y) = y y w(x,y) = z(x,y), obtenemos ∂g ∂x = ∂F ∂u ∂u ∂x + ∂F ∂v ∂v ∂x + ∂F ∂w ∂w ∂x y ∂g ∂y = ∂F ∂u ∂u ∂y + ∂F ∂v ∂v ∂y + ∂F ∂w ∂w ∂y Ahora, como ∂g ∂x = 0 y ∂v ∂x = 0, entonces ∂g ∂x = 1 · ∂F ∂u + ∂F ∂w ∂z ∂x = 0 Despejando, ∂z ∂x = − ∂F ∂x ∂F ∂z en todos los puntos de D donde ∂F ∂z (x,y,z(x,y)) 6= 0 De manera similar, ∂z ∂y = − ∂F ∂y ∂F ∂z Teorema 3.4 Si F es diferenciable en un conjunto abierto D de Rn y si la ecuación F(x1,x2,...,xn) = 0 define a xn como una función diferenciable xn = f (x1,x2,...,xn−1) en algún conjunto abierto de Rn−1, entonces ∂ f ∂xi = − ∂F ∂xi ∂F ∂xn en aquellos puntos en los que ∂F ∂xn 6= 0.
- 121. 3.6 Derivadas de una función definida de manera implícita. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 121 z definida de manera implícita por F(x,y,z) = 0. Si z = z(x,y) está definida de manera implícita por F(x,y,z) = 0 de acuerdo a las hipótesis del teorema 3.6, entonces zx = − Fx Fz y zy = − Fy Fz . En el teorema de la función implícita podemos intercambiar variables. Por ejemplo, si x y z son las variables independientes y si se cumplen las hipótesis del teorema, yx = − Fx Fy y yz = − Fz Fy . Este teorema se puede generalizar para ecuaciones F(x,y,z,u) = 0. Ejemplo 3.19 Sea z definida de manera implícita por F(x,y,z) = xyz + x + y − z = 0. Como se cumplen las condiciones del teorema 3.6 entonces zx = − Fx Fz = − zy + 1 xy − 1 y zy = − Fy Fz = − zx + 1 xy − 1 Ejemplo 3.20 Calcule zx y zy si F(x,y,z) = x2 − 2y2 + 3z2 − yz + y = 0 define a z como z = z(x,y). Solución: Dado que Fx = 2x, Fy = −4x − z + 1, Fz = 6z − y, entonces si Fz 6= 0, por el teorema 3.6, zx = − 2x 6z − y zy = − 1 − 4y − z 6z − y en R2 − {(x,y) ∈ R2 : 6z(x,y) − y = 0.}
- 122. 3.6 Derivadas de una función definida de manera implícita. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 122 Ejemplo 3.21 Considere la función z definida de manera implícita por x2 + y2 + z2 − 1 = 0. Calcular zx, zy, zxx xx xx, zyy yy yy y zyx yx yx Solución: z está definida de manera implícita por F(x,y,z) = x2 + y2 + z2 − 1 = 0. Entonces, zx = − Fx Fz = − x z y zy = − Fy Fz = − y z Para calcular zxy, zxx y zyy debemos notar que zx y zy no son funciones definidas de implícita, como tal derivamos de manera ordinaria. zxx xx xx = ∂(zx) ∂x = ∂ − x z ∂x = − 1 · z − xzx z2 = − z − x − x z z2 , zyy yy yy = ∂(zy) ∂y = ∂ − y z ∂y = − 1 · z − yzy z2 = − z2 + y2 z3 , zyx yx yx = ∂(zy) ∂x = ∂ − y z ∂x = y · zx z2 = y − x z z2 . Ejemplo 3.22 Si F(xz,yz) = 0 define a z como función implícita de x e y y además cumple con las condiciones del teorema 3.6 en cada punto de una región D, entonces verifique que, en D, se satisface la ecuación y · ∂z ∂y + x · ∂z ∂x = −z Solución: Sea u = xz y v = yz, entonces F(xz,yz) = F(u,v) = 0. ∂z ∂y = − Fy Fz = − Fu · 0 + Fv · z Fu · x + Fv · y ∂z ∂x = − Fx Fz = − Fu · z + Fv · 0 Fu · x + Fv · y Luego
- 123. 3.6 Derivadas de una función definida de manera implícita. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 123 y · ∂z ∂y + x · ∂z ∂x = −y · Fv · z Fu · x + Fv · y + −x · Fu · z Fu · x + Fv · y = − z(Fu · x + Fv · y) Fu · x + Fv · y = −z Ejercicios 12 3.34 Si x2y2 + sen(xyz) + z2 = 4 define a z como función implícita de x e y, verifique que x ∂z ∂x − y ∂z ∂y = 0. 3.35 Sea g xy z , x2 + y2 = 0 una ecuación que define a z como una función de x e y. Verifique que si gx, gy y gz existen y son continuas en toda la región en la que gz 6= 0, entonces y ∂z ∂x − x ∂z ∂y = − z(x2 − y2) xy 3.36 Sea z = f (z/xy) con f dos veces derivable. Calcule ∂z ∂x , ∂z ∂y y verifique que x ∂z ∂x − y ∂z ∂y = 0. 3.37 Sea z = xln(yz). Calcule ∂z ∂x , ∂z ∂y , ∂2z ∂x2 , ∂2z ∂y2 y ∂2z ∂x∂y . 3.38 Si f (zx,y2) = xy define a z como función implícita de x y y, calcule zxy. 3.39 Si f (zx,y2) + g(z2) = 5 define a z como función implícita de x y y, calcule zx y zy 3.40 Sea f una función con derivadas de segundo orden continuas y g una función dos veces derivable. Supongamos que la ecuación 2g(z) + f( ( (x2 , , , y2) ) ) = 0 define a z como funcón implícita de x y y. a) Calcule ∂z ∂x y ∂z ∂y b) Calcule ∂2z ∂y∂x 3.41 Repita el ejercicios anterior con la función zx + f (x2,y2) = 0. 3.42 Sea f una función con derivadas de segundo orden continuas y g una función dos veces derivable. Supongamos que la ecuación g(z)f3( ( (x2 , , , y2) ) ) = 0 define a z como funcón implícita de x y y. Calcule ∂z ∂x y ∂z ∂y
- 124. 3.7 (*) Derivación implícita: Caso de dos ecuaciones. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 124 3.43 Sea z definido implícitamente por medio de la relación z = x · f y z con f una función con derivada continua. Verifique que z satisface la ecuación: x ∂z ∂x + y ∂z ∂y = z 3.44 Si zx + e e ezy = x define a z como función implícita de x y y, calcule zx, zy y ∂2z ∂x2 3.45 Sea f una función con derivadas de segundo orden continuas y g una función dos veces derivable. Si y = g(z2) + f (y2, x2) define a z como función implícita de x y y, calcule zx, zy y ∂2z ∂y2 . 3.7 (*) Derivación implícita: Caso de dos ecuaciones. Supongamos que u = u(x,y) y v = v(x,y) son funciones definidas de manera implícita por las ecuaciones F(x,y,u,v) = 0 y G(x,y,u,v) = 0 Para deducir las expresiones para ux,uy,vx,vy se resuelve el sistema dF = Fxdx + Fydy + Fudu + Fvdv = 0 dG = Gxdx + Gydy + Gudu + Gvdv = 0 para du y dv. Si J = Fu Fv Gu Gv , obtenemos du = − 1 J Fx Fv Gx Gv dx − 1 J Fy Fv Gy Gv dy como du = ux dx + uy dy entonces se obtienen las fórmulas (siempre y cuando J 6= 0.) ux = − Fx Fv Gx Gv J , uy = − Fy Fv Gy Gv J y
- 125. 3.7 (*) Derivación implícita: Caso de dos ecuaciones. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 125 vy = − Fu Fy Gu Gy J , vx = − Fu Fx Gu Gx J Ejemplo 3.23 Si u = u(x,y) y v = v(x,y) son funciones definidas de manera implícita por las ecuaciones F = u2 + v2 − x2 − y = 0, G = u + v − x2 + y = 0, calcular ux y uy. Solución: Como J = Fu Fv Gu Gv = 2u 2v 1 1 = 2(u − v), entonces, ux = x(1 − 2v) u − v y uy = 1 + 2v 2(u − v) . Ejemplo 3.24 Sea z = f (x,y) definida por z = u + v donde u = u(x,y) y v = v(x,y) son funciones definidas de manera implícita por las ecuaciones F = u + eu+v − x = 0 G = v + eu−v − y = 0 Si u = v = 0 entonces x = y = 1. Calcular zx(1,1). Solución: zx = ux + vy. Podemos calcular ux y vy usando las fórmulas respectivas, sin embargo, para cálculos numéricos es más práctico derivar respecto a x las expresiones F = 0 y G = 0. En efecto, derivando respecto a x obtenemos ux + eu+v (ux + vx) − 1 = 0 y vx + eu−v (ux − vx) = 0 de modo que cuando x = 1,y = 1,v = u = 0 se obtiene 2ux + vx − 1 = 0 y ux = 0 con lo que ux = 0 vx = 1 si x = 1,y = 1,v = u = 0. Así que zx(1,1) = 0 + 1 = 1.
- 126. 3.8 Gradiente. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 126 3.8 Gradiente. Definición 3.3 (Campo Gradiente). Sea f : D ⊆ Rn −→ R una función (o campo) escalar diferenciable en una región R, entonces la función (o campo) gradiente de f es la función vectorial ∇f : R ⊆ Rn −→ R definida por ∇f (x1,x2,...,xn) = ( fx1 , fx2 ,..., fxn ) En el caso f : D ⊆ R2 −→ R, ∇f (x,y) = fx, fy = ∂ f ∂x ı̂ + ∂ f ∂y ̂ En el caso f : D ⊆ R3 −→ R, ∇f (x,y,z) = fx, fy fz = ∂ f ∂x ı̂ + ∂ f ∂y ̂ + ∂ f ∂z k̂ Interpretación geométrica del campo gradiente. El gradiente ∇z : R2 → → → R2 es un campo vectorial (campo gradiente). Por ejemplo, consideremos el paraboloide z − 1 = x2 + y2, el campo gradiente de z es ∇z = (2x,2y). Una representación gráfica de esta superficie y de algunos vectores (trasladados) se ve en la figura 3.4. Los vectores apuntan en la dirección de máximo crecimiento del paraboloide y la magnitud de estos vectores nos dan una medida de la ‘intensidad’ de esta razón de cambio. Ahora consideremos el paraboloide z − 3 = −x2 − y2, el campo gradiente de z es ∇z = (−2x,−2y). Una representación gráfica de esta superficie y de algunos vectores (trasladados) se ve en la figura 3.4. Los vectores apuntan en la dirección de máximo decrecimiento del paraboloide y la magnitud de estos vectores nos dan una medida de la ‘intensidad’ de esta razón de cambio Figura 3.4: ∇z(P) apunta en la dirección de máximo crecimiento respecto a cada punto P Figura 3.5: ∇z(P) apunta en la dirección de máximo crecimiento respecto a cada punto P
- 127. 3.8 Gradiente. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 127 Figura 3.6: z = 10 y − 3 2 e−x2−(y− 3 2 )2 y su campo gradiente Figura 3.7: Superficie z = 2 − 3(x − 1) (1 + x2 + y2) y su campo gradiente Ejemplo 3.25 Si f (x,y) = senxy + x2y2, calcule∇f (π,1). Solución: El gradiente está dado por : ∇f (x,y) = ycosxy + 2xy2 ı̂ + xcosxy + 2x2 y ̂ y evaluando ∇f (π,1) = (2π − 1) ı̂ + 2π2 − π ̂ Si x2 + y2 + z2 = 1, calcule∇z(x,y). Solución: Excepto en la circunferencia x2 + y2 = 1 (curva de nivel z = 0), se puede calcular ∇f (x,y) = − Fx Fz , − Fy Fz , = − x z ı̂ + − y z ̂ Si G(x,y,z) = x2z + z3y + xyz, calcule∇G(x,y,z). Solución: ∇G(x,y,z) = (Gx, Gy, Gz) = (2xz + yz) ı̂ + (z3 + xz) ̂ + (x2 + 3z2 y + xz) k̂
- 128. 3.9 Parametrización de una curva (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 128 Ejemplo 3.26 Consideremos la superficie S de ecuación x2 + y2 + z2 = 1. Sea P = (1/ √ 3, 1/ √ 3, 1/ √ 3) ∈ S. El gradiente de z es ∇z(x,y) = − x z , − x z . ∇z(P) = (−1, −1). El gradiente no está definido si z = 0 porque las derivadas parciales se indefinen (las tangentes a la superficies sobre la circunfencia x2 + y2 = 1 son rectas verticales) 3.9 Parametrización de una curva Sea r : I ⊆ R −→ Rn. Si la función vectorial r es continua en I, entonces la gráfica de r se le llama curva y decimos que esta curva esta descrita paramétricamente por r(t). Por ejemplo, la curva C de ecuación y = f (x) con x ∈ [a,b], se pueden parametrizar usando a x como parámetro, es decir, C : r(t) = (x(t),y(t)) = (t, f (t)) con t ∈ [a,b]. En general, nos interesan curvas en el espacio con parametrización C : r(t) = (x(t), y(t), z(t)) con t ∈ [a,b]. El vector r(t) es un vector de posición. Figura 3.8: Parametrización de una curva Rectas en R3. Si la recta L pasa por P en dirección de #» v entonces una parametrización es L(t) = P + t#» v , t ∈ R
- 129. 3.9 Parametrización de una curva (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 129 P Figura 3.9: Parametrización de una recta Elipse. Consideremos la elipse (x − h)2 a2 + (y − k)2 b2 = 1. Una parametrización es r(t) = (h + a cost) ı̂ + (k + b sent) ̂, t ∈ [0,2π ] Derivada de r(t) La derivada de r (si existe) es r0(t) = lı́m h→0 r(t + h) − r(t) h . a.) Si x(t) y y(t) son funciones derivables en I y si r(t) = x(t) ı̂ + y(t) ̂, entonces r0 (t) = x0 (t) ı̂ + y0 (t) ̂. b.) Si x(t), y(t) y z(t) son funciones derivables en I y si r(t) = x(t) ı̂ + y(t) ̂ + z(t) k̂ entonces r0 (t) = x0 (t) ı̂ + y0 (t) ̂ + z0 (t) k̂. (traslación) rectatangente 0 0 0 Figura 3.10: El vector r0(t) (trasladado) es un vector tangente a C en P = r(t) De esta manera, la recta tangente a C en P = r(t0) tiene ecuación L(t) = P + t · # » r0(t0)
- 130. 3.10 Gradiente, curvas y superficies de nivel. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 130 3.10 Gradiente, curvas y superficies de nivel. Recordemos que si z = f (x,y) entonces la curva z = c (es decir, c = f (x,y)) la llamamos “curva de nivel”. Si tenemos w = g(x,y,z), la superficie w = 0 (es decir 0 = g(x,y,z)), se denomina superficie de nivel w = 0. Vamos analizar un caso sencillo de manera infor- mal: Si tenemos una superficie S de ecuación S : z = f (x,y) entonces consideremos la curva de nivel z = c, es decir, C : c = f (x,y). Si esta ecuación define a y como función implícita de x, entonces una para- metrización de la curva de nivel es r(x) = (x,y(x)) y un vector tangente (en el caso de que exista) sería r0 (x) = (1,y0 (x)) = 1,− fx fy 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 X - 1.5 - 1.0 - 0.5 0.5 1.0 1.5 Y Figura 3.11: El gradiente es perpendicular a las curvas de nivel Ahora, como ∇z = (fx, fy) entonces ∇z · 1,− fx fy = 0. Como el producto punto es cero, estos dos vecores son perpendiculares. En general, si S es una superficie de ecuación G(x,y,z) = 0, con G derivable con continuidad en el plano XY, y si P = (x0,y0,z0) ∈ S, entonces, 1. Si se cumplen las condiciones del teorema de la función implícita, en P se tiene, ∇z(x,y) = − Gx Gz , − Gy Gz El vector ∇z(x0,y0) es perpendicular a la cur- va de nivel z = z0, es decir ∇z(x0,y0) es per- pendicular al vector tangente en (x0,y0). Si ne- cesitamos un vector perpendicular, podríamos usar solamente (−Gx,−Gy). Por supuesto, si la ecuación de la superficie es z = f (x,y), pode- mos calcular el gradiente de la manera usual tomando G = z − f (x,y) = 0 y entonces Gz = 1. Figura 3.12: ∇z(x0,y0,z0) es perpendicular a la curva de nivel z = z0 . 2. El vector ∇G(x0,y0,z0) es perpendicular a la superficie de nivel w = 0, es decir ∇G(x0,y0,z0) es perpendicular a cada curva de la superficie S, que pasa por P = (x0,y0,z0).
- 131. 3.10 Gradiente, curvas y superficies de nivel. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 131 Ver con CFDPlayer Requiere FreeCDF Player Figura 3.13: ∇G(P) es perpendicular (al plano tangente) a S en P. Ejemplo 3.27 Considere la curva C de ecuación y2 − x2(1 + x) = 0. Sea P = 1/6, √ 7/ √ 216 . Observe que P ∈ C. Calcule un vector perpendicular a la curva en P. Solución: Podemos ver C como una curva de nivel de z = y2 − x2(1 + x), concretamente la curva de nivel z = 0. De acuerdo a la teoría, el vector ∇z(P) es perpendi- cular a la curva de nivel C en P. Veamos ∇z(x,y) = (−x2 − 2x(x + 1), 2y) ∇z(P) = (−5/12, √ 7/ √ 54) En la figura 3.14 se muestra gráficamente la situación. Figura 3.14: ∇z(P) es un vector perpendicular a la curva en P
- 132. 3.11 Derivada direccional (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 132 Ejemplo 3.28 Considere la superficie S de ecuación 1 9 (z − 1)2 + (x − 2)2 + (y − 2)2 − 4 = 0. Sea P = (3,2,1 + 3 √ 3). Observe que P ∈ S. Calcule un vector perpendicular a la superficie S en P. Solución: De acuerdo a la teoría, el vector ∇G(P) es perpendicular a la curva de nivel S en P donde G(x,y,z) = 1 9 (z − 1)2 + (x − 2)2 + (y − 2)2 − 4. ∇G(x,y,z) = (Gx, Gy, Gz) = 2(x − 2), 2(y − 2), 2 9 (z − 1) ∇G(P) = 2,0, 2 √ 3 En la figura 3.15 se muestra gráficamente la situación. Figura 3.15: ∇G(P) (traslación) es un vector perpendicular a la superficie S en P 3.11 Derivada direccional Suponga que deseamos calcular la tasa de cambio de z = f (x,y) en el punto x x x = (x0,y0) en la dirección de un vector unitario arbitrario #» v = (a,b), para esto consideremos la superficie S con ecuación z = f (x,y) (la gráfica de f ) y sea z0 = f (x0,y0). Entonces el punto P = (x0,y0,z0) pertenece a S. El plano vertical generado por la recta L que pasa por el punto (x0,y0,0) en la dirección del vector #» v , inter- seca a la superficie S en la curva C. La pendiente de la recta tangente T a la curva C en el puntoP es la tasa de cambio de z en la dirección del vector #» v . Figura 3.16: Derivada direccional Sea Q = (x,y,z) otro punto sobre la curva C, y sean P0 = (x0,y0) y Q0 = P0 + h#» v las proyecciones ortogonales sobre el plano XY de los puntos P y Q, entonces # » P0 Q0 = Q0 − P0 = h#» v
- 133. 3.11 Derivada direccional (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 133 para algún escalar h. Así pues, x − x0 = ha =⇒ x = x0 + ha y − y0 = hb =⇒ y = y0 + hb Ver con CFDPlayer v Figura 3.17: || # » P0Q0|| = h||#» v || El cambio sobre recta L es || # » P0Q0|| = h||#» v || = h pues #» v es unitario, por tanto la razón de cambio está dada por ∆z h||#» v || = ∆z h = z − z0 h = f (x0 + ha, y0 + hb) − f (x0,y0) h y al tomar el límite cuando h −→ 0 (siempre y cuando este límite exista) obtenemos la tasa de cambio instantánea de z (con respecto a la distancia) en la dirección de #» v , la cual se llama derivada direccional de f en la dirección de #» v . Definición 3.4 (Derivada direccional). Sea f : D ⊂ R2 −→ R una función escalar y sean (x0,y0) ∈ D y #» v = (a,b) un vector unitario, entonces la derivada direccional de f en (x0,y0) en la dirección del vector unitario #» v , está dada por : D#» v f (x0,y0) = lı́m h→0 f (x0 + ha, y0 + hb) − f (x0,y0) h Aplicando regla de la cadena, obtenemos una fórmula para la derivada direccional en términos del gradiente. Supongamos que quremos calcular la derivada direccional en la dirección de un vector #» v = (a,b) no necesariamente unitario, entonces si (x,y) = (x0 + ha, y0 + hb),
- 134. 3.11 Derivada direccional (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 134 D#» v f (x0,y0) = lı́m h→0 f (x0 + ha, y0 + hb) − f (x0,y0) h||#» v || = 1 ||#» v || · d dh f (x,y) h=0 = 1 ||#» v || · ∂ f ∂x · xh + ∂ f ∂y · yh = ∇f (x0,y0) · #» v ||#» v || Teorema 3.5 (Cálculo de la derivada direccional). Sea f : D ⊂ Rn −→ R una función escalar diferenciable en D, entonces f tiene derivada direccional en la dirección de cualquier vector no nulo #» v = (a,b) y está dada por: D#» v f (x,y) = ∇f (x,y) · · · #» v ||#» v || = fx(x,y) a ||#» v || + fy(x,y) b ||#» v || Ejemplo 3.29 Calcule la derivada direccional D#» v f (x,y) si f (x,y) = x3 − 3xy + 4y2 y #» v = ( √ 3, 1). Calcule D#» v f (1,2). Solución: Evaluar el gradiente: Como ∇f (x,y) = (3x2 − 3y, −3x + 8y) entonces ∇f (1,2) = (−3, 13) ||#» v || = 2 Cálculo: D#» u u u f (1,2 1,2 1,2) = ∇f (1,2 1,2 1,2) · · · #» v ||#» v || = (−3, 13) · · · ( √ 3, 1) 2 = −3 √ 3 2 + 13 1 2
- 135. 3.11 Derivada direccional (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 135 Ejemplo 3.30 Calcule la derivada direccional de f (x,y,z) = x sen(yz), en el puntoP = (1,3,0) en la dirección del vector #» v = ı̂ + 2 ̂ − k̂. Solución: El vector gradiente de la función f esta dado por ∇f (x,y,z) = (sen(yz),xzcos(yz),xycos(yz)) evaluando enP tenemos que ∇f (1,3,0) = (0,0,3). Por otro lado, como ||#» v || = √ 6, un vector unitario en la dirección de #» v es #» v ||#» v || = 1 √ 6 ı̂ + 2 √ 6 ̂ − 1 √ 6 k̂ = 1 √ 6 , 2 √ 6 , − 1 √ 6 Cálculo: D#» v f (1,3,0 1,3,0 1,3,0) = ∇f (1,3,0) 1,3,0) 1,3,0) · · · #» v ||#» v || = (0,0,3) · · · 1 √ 6 , 2 √ 6 , −1 √ 6 = − 3 √ 6 Componente. Recuerdemos que la componente de #» v en la dirección de #» v es #» v · #» v ||u|| , esta componente es la longitud de la proyección vectorial de #» v sobre #» v proy − → v − → u = #» v · #» v ||u|| #» v . Con lo cual, la fórmula D#» v f (x,y) = ∇f (x,y) · #» v ||#» v || nos dice que la derivada direccional es la componente del vector gradiente ∇f (P) en la dirección del vector #» v Figura 3.18 Dirección de máximo y mínimo cambio. Suponga que tenemos una función f de dos o de tres variables y consideramos todas las posibles derivadas direccionales de f en un punto P dado. Esto proporciona las tasas de cambio de f en todas las posibles direcciones. De modo que podemos plantear la siguiente pregunta : ¿En cuál de estas direcciones f cambia con mayor velocidad?, y ¿cuál es la máxima razón de cambio?. Intuitivamente, de acuerdo a la figura 3.18, la derivada direccional en P aumenta conforme el vector #» v se acerca al gradiente. Las respuestas a estas preguntas las da el siguiente teorema.
- 136. 3.11 Derivada direccional (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 136 Teorema 3.6 (Dirección de máximo cambio). Sea f : D ⊆ R2 −→ R una función escalar. El valor máximo de la derivada direccional D#» v f en (x,y) es ||∇f (x,y)|| y se presenta cuando el vector no nulo #» v tiene la misma dirección que el vector gradiente ∇f (x,y). Podemos justificar esto, informalmente, de la manera que sigue. Primero recordemos que si θ = ]u,v entonces u · v = ||u|| · ||v||cos(θ). Ahora D#» v f (x,y) = ∇f (x,y) · #» v ||#» v || = ||∇f (x,y)|| cosθ. donde θ es el ángulo entre el vector unitario #» v ||#» v || y el vector ∇f (x,y). El valor de D#» v f (x,y) aumenta o disminuye solo si cosθ cambia (si giramos el vector #» v ). Así que el máximo valor se obtiene cuando cosθ = 1 (es decir θ = 0). Por tanto D#» v f (x,y) es máxima cuando θ = 0 y en ese caso #» v y ∇f (x,y) son paralelos. Figura 3.19 Valor mínimo: El valor mínimo de la derivada direccional en (x,y) es −||∇f (x,y)|| y ocurre cuando #» v tiene la misma dirección −∇f (x,y). Observación: f se mantiene constante sobre las curvas de nivel; la dirección (un vector #» u #» u #» u ) en la que el cambio (instantáneo) de f respecto a P es nulo es la dirección de un vector perpendicular a ∇f (P). Que la derivada direccional se anule en P en la dirección de #» u #» u #» u no significa, por supuesto que en esta dirección la función se mantenga constante (esto solo pasa sobre las curvas de nivel) excepto que la curva de nivel sea una recta.
- 137. 3.11 Derivada direccional (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 137 Ejemplo 3.31 Considere la placa rectangular que se muestra en la figura de la derecha. Si la temperatura en un punto (x,y) de la placa está dada por T(x,y) = 4(x − 2)2 − 7(y − 0.4)2 determine la dirección en la que debe de ir un insecto que está en el punto P = (0,0), para que se caliente lo más rápidamente. ¿Y qué debe hacer el insecto si desea ir por un camino en el que la temperatura se mantenga constante? 2 0 2 4 3 2 1 0 1 2 3 Figura 3.20: Mejor dirección, respecto a (4,2). Solución: La dirección en la que la temperatura aumenta más rápidamente respeto a P es la dirección del gradiente (vector negro en la figura): ∇T(x,y) = (8(x − 2),−14(y − 0.4)) =⇒ ∇T(0,0) = (−16,5.6) En cuanto a la otra pregunta, aunque la derivada direccional es nula en la dirección de un vector perpendicular al gradiente (vector rojo en la figura) esto solo dice que la razón de cambio instántaneo en esa dirección es cero. La trayectoria en la que la temperatra se mantiene constante es la curva de nivel T(x,y) = T(0,0) (curvas blancas). Es por ahí donde debería caminar el insecto. Ejemplo 3.32 Suponga que la temperatura en un punto(x,y,z)en el espacio está dada por T(x,y,z) = 80 1 + x2 + 2y2 + 3z2 donde T está medida en grados centígrados y x,y,z están en metros. ¿En qué dirección aumenta más rápido la temperatura respecto al punto (1,1,−2)? ¿Cuál es la máxima tasa de incremento ? Solución: El gradiente de Tes ∇T(x,y,z) = − 160x (1 + x2 + 2y2 + 3z2)2 ı̂ − 320y (1 + x2 + 2y2 + 3z2)2 ̂ − 480z (1 + x2 + 2y2 + 3z2)2 k̂ Evaluando en el punto P = (1,1,−2) obtenemos ∇T(1,1,−2) = 5 8 − ı̂ − 2 ̂ + 6 k̂
- 138. 3.11 Derivada direccional (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 138 Por tanto, la temperatura se incrementa con mayor rapidez en la dirección del vector gradiente #» v = − ı̂ − 2 ̂ + 6 k̂ La tasa máxima de incremento es la longitud del vector gradiente ||∇T(1,1,−2)|| = 5 8 − ı̂ − 2 ̂ + 6 k̂ = 5 √ 41 8 Vector unitario tangente. Definición 3.5 Sea C una curva descrita por la función vectorial continua r(t), t ∈ I. Si existe la derivada r0(t) y no es nula, la recta que pasa por r(t) y es paralela a r0(t) se llama tangente a C en r(t). El vector r0(t) se denomina vector tangente a C en r(t). El vector unitario tangente T es una función vectorial asociada a la curva C y se define como #» T(t) = r0(t) ||r0(t)|| , si ||r0 (t)|| 6= 0 Ejemplo 3.33 La pendiente de la recta tangente en P en la dirección de #» v = (1,1) es D(1,1)z(P) = ∇z(1/ √ 3, 1/ √ 3) · (1,1) √ 2 = − √ 2 El gradiente ∇z(1/ √ 3, 1/ √ 3) es perpendicular a la recta tangente a la curva de nivel z = 1 √ 3 en P. La derivada direccional en la dirección del vector unitario tangente es cero. Geométricamente, la recta L, en la figura que sigue, tiene pendiente cero.
- 139. 3.12 Plano tangente y el vector normal. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 139 Esto es así pues si #» TP es el vector unitario tangente a la curva de nivel z = 1 √ 3 en (1/ √ 3, 1/ √ 3), entonces D#» TP f (P) = ∇f (P) · #» TP = 0 (¿porqué?) = ||∇f (P)|| cosθ = 0 lo cual implica que θ = π/2. 3.12 Plano tangente y el vector normal. Si f es diferenciable, entonces el plano tangente a z = f (x,y) en P = (x0,y0,z(x0,y0)) tiene ecuación fx(x0, y0)(x − x0) + fy(x0, y0)(y − y0) = z − z0 Figura 3.21: Plano tangente a z = f (x,y) en P si f es diferenciable. Caso general. Podemos obtener la ecuación cartesiana del plano tangente (si existe) usando un vector normal a la superficie S : G(x,y,z) = 0. Si G es derivable con continuidad en P = (x0,y0,z0) ∈ S y si el gradiente en P es no nulo, los vectores tangentes a cada curva en S que pasan por P están en el plano tangente a esta superficie en P y ∇G(x0,y0,z0) es un vector normal a este plano (ver capítulo 6.1).
- 140. 3.12 Plano tangente y el vector normal. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 140 Figura 3.22: ∇G(P) es perpendicular al plano tangente a S en P. Así, una ecuación del plano tangente en P es ax + by + cz = d con (a,b,c) = ∇G(x0,y0,z0) y d = ∇G(x0,y0,z0) · · · P. ( Plano Tengente) Si S tiene ecuación z = f (x,y) con f diferenciable, el plano tangente en P ∈ S tiene ecuación cartesiana fx(x0, y0)(x − x0) + fy(x0, y0)(y − y0) = z − z0 Si la superficie S tiene ecuación G(x,y,z) = 0 con G diferenciable, el plano tangente en P ∈ S tiene ecuación cartesiana Gx(P)x + Gy(P)y + Gz(P)z = ∇G(P) · P (Un vector normal) No hay un solo vector normal, aunque todos tienen la misma dirección, el tamaño puede variar.
- 141. 3.12 Plano tangente y el vector normal. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 141 Si S tiene ecuación z = z(x,y) entonces si ponemos G(x,y,z) = z − z(x,y), un vector normal es N = (−zx, −zy,1) Si S está definida de manera implícita por G(x,y,z) = 0, entonces un vector normal es N1 = Gx, Gy, Gz o también N2 = Gx Gz , Gy Gz , 1) = 1 Gz (Gx, Gy, Gz si Gz 6= 0. Ejemplo 3.34 Sea S la superficie de ecuación f (x,y) = xy x2 + y2 , si (x,y) 6= (0,0) y f (0,0) = 0. Aunque fx(0,0) = fy(0,0) = 0, no hay plano tangente pues la función es discontinua en este punto (aunque esté definida). Ejemplo 3.35 Sea S la superficie de ecuación z = x2 + 2y2. Obtener una ecuación cartesiana del plano tangente a S en P = (1,1,3). Solución: Primera manera. En este caso fx(x,y) = 2x y fy(x,y) = 4y. Entonces una ecuación cartesiana sería, fx(1,1)(x − 1) + fy(1,1)(y − 1) = z − 3, es decir, 2(x − 1) + 4(y − 1) = z − 3, Otra manera. Sea S : G(x,y,z) = z − x2 − 2y2 = 0. Entonces un vector normal al plano tangente a S en P es ∇G = (−2x, −4y, 1). Ahora, ∇G(1,1,3) = (−2,−4,1), entonces una ecuación del plano tangente es −2x−4y + 1z = ∇G(1,1,3) · P = −3 Ejemplo 3.36 Consideremos la superficie S de ecuación x2 + y2 + z2 = 1. Sea P = (1/ √ 3, 1/ √ 3, 1/ √ 3) ∈ S. Calculemos la ecuación cartesiana del plano tangente en P.
- 142. 3.12 Plano tangente y el vector normal. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 142 La ecuación de S es G(x,y,z) = x2 + y2 + z2 − 1 = 0. ∇G(x,y,z) = (2x, 2y, 2z). N = ∇G(P) = (2/ √ 3, 2/ √ 3, 2/ √ 3) y d = P · ∇G(P) = 2 Una ecuación cartesiana del plano tangente: 2 √ 3 x + 2 √ 3 y + 2 √ 3 z = 2 o también x + y + z = √ 3. Ejemplo 3.37 Consideremos la superficie S de ecuación x2 + y2 + z2 = 1. y P = (0, 1, 0) ∈ S. Calcule la ecuación del plano tangente a S en P. Solución: Sea G(x,y,z) = x2 + y2 + z2 − 1. Entonces ∇G(x,y,z) = (2x, 2y, 2z). Por tanto un vector normal es N = G(0, 1, 0) = (0, 2, 0) La ecuación cartesiana del plano tangente a S en P es 0 · x + 2 · y + 0 · z = 2, es decir y = 1. Observe que en este punto, como ∇z(x,y) = − x z , − x z , la derivada direccional no existe. Ejemplo 3.38 Consideremos la superficie S de ecuación x2 + y2 + z2 = 1. Encuentre los puntos Q = (a,b,c) ∈ S tal que el plano tangente en Q sea paralelo al plano 2x − y + 3z = 1. Solución: Q tiene tres incógnitas así que necesitamos, en principio, tres ecuaciones. Como Q ∈ S, esto nos da una ecuación: a2 + b2 + c2 = 1. Como el plano tangente en Q es paralelo al plano 2x − y + 3z = 1, sus vectores normales deben ser paralelos, es decir ∇G(Q) = λ(2,−1,3) esto nos da tres ecuaciones adicionales y una incógnita más, λ.
- 143. 3.12 Plano tangente y el vector normal. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 143 Para encontrar Q solo debemos resolver el sistema a2 + b2 + c2 = 1 ∇G(Q) = λ(2,−1,3) es decir, a2 + b2 + c2 = 1 (2a,2b,2c) = λ(2,−1,3) =⇒ a2 + b2 + c2 = 1 2a = 2λ 2b = −λ 2c = 3λ Resolviendo, obtenemos las dos soluciones Q = − 1 √ 2/7 , 1 √ 14 , − 3 √ 14 , λ = − √ 2/7 y Q = 1 √ 2/7 , − 1 √ 14 , 3 √ 14 , λ = √ 2/7 Ejercicios 13 3.46 Sea f (x,y) = 4 − x2 − y2 la ecuación de una superficie S. a.) Calcule D~ u ~ u ~ u f (Q) si ~ u = (−2,1) y Q = (1,1,2) es un punto en la superficie. b.) Determine el punto P = (a,b,c) ∈ S para el cual la derivada direccional de f en P es √ 2 en dirección de ~ u = (−2,1) y √ 5 en la dirección de ~ v = (1,1). c.) Encuentre la ecuación cartesiana del plano tangente a S en el punto R = (1,−1,2) ∈ S. d.) Determine un vector ~ u para el cual la derivada direccional en R = (1,−1,2) ∈ S es máxima y calcule su valor. 3.47 Sea x2 + xyz + z3 = 1 la ecuación de una superficie S. a.) Calcule D~ u ~ u ~ uz(Q) si u = (−2,1) y Q = (1,2,0) ∈ S
- 144. 3.12 Plano tangente y el vector normal. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 144 b.) Determine b ∈ R − {0} tal que en P = (1,b,0) ∈ S y D~ u ~ u ~ uz(P) = √ 2. c.) Encuentre la ecuación cartesiana del plano tangente a S en el punto R = (1,−1,1) ∈ S. d.) Determine un vector ~ u para el cual la derivada direccional en R = (1,−1,1) ∈ S es mínima y calcule su valor. 3.48 Considere la superficie S de ecuación z3 + xz + y = 1. P P P = (1,1,0) ∈ S a.) Calcule D~ u ~ u ~ uz(P P P) donde ~ u ~ u ~ u = (1,−2) b.) ¿Cuál es el máximo valor que podría alcanzar la derivada direccional en P P P y en cuál dirección ~ v ~ v ~ v se alcanza? c.) Calcule la ecuación cartesiana del plano tangente en el punto P P P 3.49 Considere la superficie S de ecuación xyz2 = 8z. P P P = (1,1,8) ∈ S a.) Calcule D~ u ~ u ~ uz(P P P) donde ~ u ~ u ~ u = (−5, √ 2) b.) ¿Cuál es el máximo valor que podría alcanzar la derivada direccional en P P P y en cuál dirección ~ v ~ v ~ v se alcanza? c.) Calcule la ecuación cartesiana del plano tangente en el punto P P P 3.50 Calcule la ecuación vectorial de la recta normal a la superficie S : x2 + y2 + z2 = 1 en el punto P = (1/2,1/2,1/ √ 2) 3.51 Considere la superficie S de ecuación exz xz xz + xy = yz + 1. Sea P = (0,1,0) ∈ S. a.) Calcule la derivada direccional de z en P en la dirección del vector u = (1,2). b.) Calcule la ecuación del plano tangente a S en P.
- 145. 3.12 Plano tangente y el vector normal. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 145 Revisado:Julio, 2017 Versión actualizada de este libro y el formato CDF: http://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/Libros/
- 147. Introducción Máximos y mínimos locales en dos varia- bles. Extremos con restricciones: Multiplicado- res de Lagrange Cuando las condiciones de primer orden fallan. Máximos y mínimos locales en varias va- riables. Puntos críticos y extremos locales Clasificación de puntos críticos Clasificación de puntos críticos en el caso de dos variables. Criterio de clasificación para n ≥ 3. (*) Extremos globales. Condiciones de Kuhn-Tucker. 4 — Máximos y mínimos locales. 4.1 Introducción ¿Por qué, en una variable, en un punto crítico p p p, f alcanza un máximo local si f 00(p p p) 0?. En una variable, los puntos críticos de f son los puntos x = p p p en los que f 0(p p p) = 0 (o en los que f 0 se indefine). Muchas veces se puede clasificar este punto crítico con el signo de f 00(p p p). Esto se puede establecer usando polinomios de Taylor. Según el teorema de Taylor, en los alrededores de p p p, f (x) − f (p p p) = f 0 (p p p)h + f 00(p p p) 2 h2 + ... + f (n)(p p p) n! hn + f (n+1)(ξ)hn+1 (n + 1)! con ξ entre p p p y h y x = p p p + h En particular, si p p p es un punto crítico de f, es decir, f 0(p p p) = 0, entonces para n = 2, f (x) − f (p p p) = f 00(ξ) 2 h2 con ξ entre p p p y h. Si f 00 es continua y f 00(p p p) 6= 0, entonces hay un entorno alrededor de p p p (con h pequenño) donde f 00(ξ) y f 00(p p p) tienen tiene el mismo signo1 por lo que, en un entorno suficientemente pequeño de p p p, f (x) f (p p p) si f 00(p p p) 0 (f alcanza un mínimo local en p p p) f (x) f (p p p) si f 00(p p p) 0 (f alcanza un máximo local en p p p) Interpretación geométrica. Observe que le signo de f 00(p p p) 6= 0 decide el signo (y por tanto la concavidad) del polinomio de Taylor de orden dos: Como f 0(p p p) = 0, 1Si f 00 es continua y f 00(p p p) 6= 0, entonces f 00 conserva el signo. Si h es suficientemente pequeño, p p p + h está en este entorno y f 00(p p p), f 00(ξ) y por tanto f (p p p + h) − f (p p p), tienen todos el mismo signo; por esto el signo de f (p p p + h) − f (p p p) es el signo de f 00(p p p) si h es suficientemente pequeño. Se concluye que si f 00(p p p) 0 entonces f (p p p + h) f (p p p) en un entorno de p p p y, en p p p f alcanza un mínimo local y si f 00(p p p) 0 entonces f (p p p + h) f (p p p) en un entorno de p p p y, en p p p f alcanza un máximo local.
- 148. 4.2 Máximos y mínimos locales en dos variables. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 148 f (x) − f (p p p) = 1 2 f 00 (p p p)(x − p p p)2 + R2(p p p,x) por tanto, la cuadrática y = f 00(p p p)(x − p p p)2 siempre es positiva o siempre es negativa y además domina al resto R2 en algún entorno de p p p. Si f 00(p p p) = 0 no podemos decir algo del signo (solo nos queda el resto R2(p p p,x)). En la figura que sigue se muestra la gráfica del polinomio de Taylor P2 y la gráfica de f. Recordemos que P2(x) = f (p p p) + f 0(p p p)(x − p) + f 00(p p p) 2 (x − h)2 . Ver con CFDPlayer Requiere FreeCDF Player Figura 4.1: El signo de f 00(p p p) se usa para clasificar puntos críticos. Formalmente, el signo de f (p p p + h) − f (p p p) coincide con el signo del término de segundo orden (la parábola) y = f 00(p p p)(x − p p p)2 en un entorno de p p p Figura 4.2: Parábolas f 00(p p p)(x − p p p)2 con f 00(p p p) 0 y f 00(p p p) 0 4.2 Máximos y mínimos locales en dos variables. Como en cálculo en una variable, los extremos locales de una función de dos variables son puntos donde la función alcanza un máximo o un mínimo en un entorno del dominio de la función. Si la función está definida en una región U, los extremos globales son los puntos donde la función toma valores máximos o mínimos en toda esta región, y esto podría suceder en cualquier parte de la región en consideración. Recordemos que un entorno abierto alrededor de p p p ∈ R2 de radio δ es el conjunto Uδ(p p p) = {x x x ∈ R2 : ||x x x − p p p|| δ}, es decir, un disco (sin borde) con centro en p p p y de radio δ.
- 149. 4.2 Máximos y mínimos locales en dos variables. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 149 Definición 4.1 (Extremos locales). Sea f función de dos variables, f : R2 −→ R. f tiene un máximo local en p p p = (p1, p2) ∈ R2 si existe un entorno abierto Uδ(p p p) tal que f (x,y) ≤ f (p p p) para todo (x,y) ∈ Uδ(p p p). El punto (p1, p2, f (p p p)) se dice un máximo local de f y el número f (p p p) es el máximo de f en el entorno Dδ(p p p). Sea f función de dos variables, f : R2 −→ R. f tiene un mínimo local en p p p = (p1, p2) ∈ R2 si existe un entorno abierto Uδ(p p p) tal que f (x,y) ≥ f (p p p) para todo (x,y) ∈ Uδ(p p p). El punto (p1, p2, f (p p p)) se dice un mínimo local de f y el número f (p p p) es el mínimo de f en el entorno Uδ(p p p). U Figura 4.3: Puntos críticos y un máximo y un mínimo local. Si las desigualdades de la definición anterior se cumplen para todos los puntos en el dominio de f, entonces f tiene un máximo absoluto (o mínimo absoluto) en p p p. Puntos críticos y extremos locales Definición 4.2 (Punto crítico). Un punto p p p ∈ R2 es un punto crítico de f si ∇f (p p p) = 0, es decir, si ∂ f ∂x (p p p) ∂ f ∂x (p p p) ∂ f ∂x (p p p) = 0 y ∂ f ∂y (p p p) ∂ f ∂y (p p p) ∂ f ∂y (p p p) = 0 También p p p es punto crítico si f no esta definida en este punto, pero aquí solo consideramos extremos “suaves”. Definición 4.3 (Punto de silla). Un punto crítico p p p donde f no alcanza un máximo ni mínimo local se llama punto de silla, es decir, en cualquier entorno alrededor de p p p, hay puntos x x x en los que f (x x x) 0 y puntos x x x en los que f (x x x) 0 Esta definición de “punto de silla” puede variar según el texto (ver [24] )
- 150. 4.2 Máximos y mínimos locales en dos variables. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 150 Como en cálculo en una variable, los extremos locales se alcanzan en puntos críticos, es decir, en el caso de que f sea diferenciable, la derivada de f se anula en los puntos críticos. Pero también hay puntos críticos en los que f no alcanza máximos ni mínimos locales (los llamados puntos de silla). Teorema 4.1 Sea U ⊂ R2 un conjunto abierto y f : U ⊂ R2 −→ R diferenciable, si p p p ∈ R2 es un extremo local de f entonces ∇f (p p p) = 0, es decir, p p p es punto crítico de f. Figura 4.4: En los extremos locales ∇f (p p p) = 0 Figura 4.5: En los puntos de silla ∇f (p p p) = 0 Clasificación de puntos críticos De manera análoga al caso de una variable, usamos el polinomio de Taylor de segundo orden (como una primera opción) para clasificar puntos críticos. La fórmula de Taylor de segundo orden en dos variables, alrededor de (a,b) se puede definir en un entorno U abierto alrededor de (a,b), si f : U ⊆ R2 −→ R, es de clase C2. En ese caso, T2(x,y) = f (a,b) + fx(a,b)(x − a) + fy(a,b)(y − b) + 1 2 fxx(a,b)(x − a)2 + fxy(a,b)(x − a)(y − b) + 1 2 fyy(a,b)(y − b)2 Haciendo x x x = (x,y), p p p = (a,b), (h,k) = (x − a,y − b), (h,k) = (x − a,y − b), (h,k) = (x − a,y − b), A = fxx(a,b), B = fxy(a,b) y C = fyy(a,b) se tiene f (x x x) = f (p p p) + fx(p p p)h + fy(p p p)k + 1 2 fxx(p p p)h2 + 2fxy(p p p)hk + fyy(p p p)k2 = f (p p p) + ∇f (p p p) · (h,k) + 1 2 Ah2 + 2Bhk + Ck2 + R(x x x,p p p) donde el resto R(x x x,p p p) disminuye más rápido que ||x x x − p p p||2 , es decir, R(x x x,p p p) ||x x x − p p p||2 → 0 si x x x → p p p
- 151. 4.2 Máximos y mínimos locales en dos variables. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 151 Ahora, si p p p es un punto crítico de f, entonces f (x x x) − f (p p p) = 1 2 Ah2 + 2Bhk + Ck2 + R(x x x,p p p) Para determinar si en el el punto crítico p p p, la función f alcanza un máximo o mínimo local, debemos determinar el signo de f (x x x) − f (p p p) en un entorno de p p p, para saber si f (x x x) ≥ f (p p p) o f (x x x) ≤ f (p p p). Si en cualquier entorno de p p p hay puntos donde f cambia de signo, entonces tenemos un punto de silla. La teoría es similar al caso de una variable: En presencia de extremos locales, el signo de f (x x x) − f (p p p) es el signo de Ah2 + 2Bhk + Ck2 en un entorno suficientemente pequeño de cada punto crítico donde f alcanza máximos o mínimos locales2. Si el determinante D2 = AC − B2 0, entonces la forma cuadrática Ah2 + 2Bhk + Ck2, es siempre positiva o siempre negativa. Si D2 = AC − B 0 la forma cuadrática cambia de signo. Podemos analizar el signo de Ah2 + 2Bhk + Ck2 completando cuadrados. Sea D2 = AC − B2, entonces A(Ah2 +2Bhk + Ck2 ) = (Ah + Bk)2 + (AC − B2 )k2 =⇒ Ah2 + 2Bhk + Ck2 ≥ 0 si D2 0 y A 0 Ah2 + 2Bhk + Ck2 ≤ 0 si D2 0 y A 0 con esto se puede establecer que a.) f (x x x) − f (p p p) ≥ 0 en un entorno de p p p si D2 0 y si A 0 b.) f (x x x) − f (p p p) ≤ 0 en un entorno de p p p si D2 0 y si A 0 Si D2 0 entonces, podemos razonar con varios casos. Por simplicidad solo consideremos dos casos con A 6= 0 y C 6= 0. Si B = 0 entonces A y C tienen signos contrarios, por lo que la forma cuadrática cambia de signo sobre las rectas x = 0 y y = 0. Si B 6= 0, entonces la forma cuadrática cambia de signo sobre las rectas y = 0 y By = −Ax. Entonces se podría establecer, comparando f (x x x) − f (p p p) ≥ 0 con la forma cuadrática, que p p p es un punto de silla. Si D2 = 0 entonces en general, si A 6= 0 y B 6= 0, hay rectas que pasan por el origen, sobre las que el término (Ah + Bk)2 se anula, entonces f (x x x) − f (p p p) = R(x x x,p p p) sobre estas rectas, es decir, no podemos decir algo acerca del signo. 2Est es así porque una propiedad de las formas cuadráticas que son siempre positivas, es que existe un M 0 tal que para todo h 1 2 h Ah2 + 2Bhk + Ck2 i ≥ M||x x x − p p p||2 y como R(x x x,p p p) ||x x x − p p p||2 → 0 si x x x → p p p, entonces hay un entorno alrededor de p p p en el que |R(x x x,p p p)| M||x x x − p p p||2, es decir, la forma cuadrática domina al resto R es este entorno. El caso de una forma cuadrática o siempre negativa es similar. Se usa la misma idea si la forma cuadratica cambia de signo para mostrar que δ f también cambia de signo (ver [25], [18])
- 152. 4.2 Máximos y mínimos locales en dos variables. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 152 Ver con CFDPlayer Requiere FreeCDF Player D2 0 y A 0 D2 0 y A 0 D2 0 D2 = 0 D2 = 0 Figura 4.6: Forma cuadrática Ah2 + 2Bhk + Ck2 para distintos valores de D2 y A Específicamente: Si f tiene segundas derivadas continuas y si el determinante D2 = AC − B2 es positivo, entonces el signo de f (x x x) − f (p p p) es el signo de Ah2 + 2Bhk + Ck2, en un entorno suficientemente pequeño de p p p. Si el determinante D2 es negativo, entonces f (x x x) − f (p p p) cambia de signo con la forma cuadrática, en trayectorias contenidas en un entorno de p p p (ver [25]). En vista de la anterior afirmación, la clasificación de los puntos críticos depende del signo de la forma cuadrática (si D2 6= 0). El signo de la forma cuadrática es fácil de establecer usando el discriminante D2. La idea geométrica es la que se muestra a continuación. Ver con CFDPlayer Requiere FreeCDF Player S S Figura 4.7: Polinomio de Taylor P2(x,y) y la forma cuadrática, sobre la superficie S Teorema 4.2 (Condición suficiente). Sea f : U ⊆ R2 −→ R de clase C2 en un subconjunto abierto U de R2. Consideremos el “discriminante” D2(x,y) = fxx(x,y) · fyy(x,y) − fxy(x,y) 2 . Si (x0,y0) ∈ U es punto crítico de f, entonces a.) si D2(x0,y0) 0 y fxx(x0,y0) 0, entonces f alcanza un mínimo local en (x0,y0). b.) si D2(x0,y0) 0 y fxx(x0,y0) 0, entonces f alcanza un máximo local en (x0,y0). c.) Si D2(x0,y0) 0, entonces (x0,y0, f (x0,y0)) es u punto de silla.
- 153. 4.2 Máximos y mínimos locales en dos variables. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 153 El teorema solo da condiciones suficientes: No nos dice algo si D2(x0,y0) = 0. En este caso se podría usar otros métodos para clasificar. En este test, se puede usar fyy en vez de fxx pues si D2(x0,y0) 0, ambas tienen el mismo signo. Ejemplo 4.1 Calcule y clasifique los puntos críticos de la función f (x,y) = x3 + 3y − y3 − 3x. Solución: Puntos críticos: ∂ f ∂x = 0 ∂ f ∂y = 0 =⇒ 3x2 − 3 = 0 3 − 3y2 = 0 Oobtenemos los puntos críticos (1,1), (1,−1), (−1,1) y (−1,−1). Clasificación. D2(x,y) = (6x)(−6y) − (0)2 (x0,y0) D1 = fxx(x0,y0) D2 = D2(x0,y0) Clasificación (1,1) 6 −36 (1,1,0) es punto de silla (1,−1) 6 36 (1,−1,−1.2) es mínimo local. (−1,1) −6 36 (−1,1,1.2) es máximo local. (−1,−1) −6 −36 (−1,−1,0) es punto de silla La representación gráfica de f se muestra en al figura. Figura 4.8: f (x,y) = x3 + 3y − y3 − 3x
- 154. 4.2 Máximos y mínimos locales en dos variables. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 154 Ejemplo 4.2 Calcule y clasifique los puntos críticos de la función f (x,y) = x4 + y4 − 2x2 + 4xy − 2y2. Solución: Puntos críticos: ∂ f ∂x = 0 ∂ f ∂y = 0 =⇒ 4x3 + 4y − 4x = 0 4y3 − 4y + 4x = 0 (E2) Sumando miembro a miembro obtenemos x3 + y3 = 0 =⇒ x = −y. Ahora sustituimos en la ecuación (E2), queda 4x3 − 4x − 4x = 0 =⇒ x(x2 − 2) = 0; con lo cual obtenemos los puntos críticos (0,0), ( √ 2, − √ 2), (− √ 2, √ 2). Clasificación. D2(x,y) = (12x2 − 4)(12y2 − 4) − (4)2 (x0,y0) D1 = fxx(x0,y0) D2 = D2(x0,y0) Clasificación (0,0) −4 0 Criterio no decide. ( √ 2, − √ 2) 20 384 ( √ 2, − √ 2,−8) es mínimo local. (− √ 2, √ 2) 20 384 (− √ 2, √ 2,−8) es mínimo local. La representación gráfica de f se muestra en al figura. Aunque D2(0,0) = 0 y el criterio no proporciona información, la gráfica a la derecha nos indica que se trata de un punto de silla. Figura 4.9: f (x,y) = x4 + y4 − 2x2 + 4xy − 2y2
- 155. 4.2 Máximos y mínimos locales en dos variables. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 155 Ejemplo 4.3 Ver con CFDPlayer Calcule el volumen de la caja rectangular más grande que esté en el primer octante con tres de sus caras en los planos coordenados y un vértice en el plano x + 2y + 3z = 6. Y X Z Solución: Debemos maximizar V = xyz. Como z = 2 − x/3 − 2y/3, el volumen de la caja es V = xy(2 − x/3 − 2y/3). Puntos críticos. Nos interesa solo x 0 y y 0. Entonces, Vx = 0 Vy = 0 =⇒ − 2y 3 (−3 + x + y) = 0 − x 3 (−6 + x + 4y) = 0 =⇒ −3 + x + y = 0 −6 + x + 4y = 0 =⇒ x = 2, y = 1. Clasificación. D2 = D2(x,y) = VxxVyy − V2 xy = − 2y 3 · − 4x 3 − 2 3 (x + 2y − 3) 2 . Así D2(2,1) = 4/3 0 y D1 = Vxx(2,1) = −2/3 0. Esto nos dice que el volumen es máximo cuando las dimensiones de la caja son x = 2, y = 1 y z = 2 3 . Por otro lado, el volumen máximo es 4 3 ul3 . Ejemplo 4.4 Sea f (x,y) = 6xy − 2x2y − 3xy2. Calcule y clasifique los puntos críticos de f. Solución: Los puntos críticos se obtienen resolviendo el sistema ∇f = (0,0), ∂ f ∂x = 0 ∂ f ∂y = 0 =⇒ 6y − 4xy − 3y2 = 0 6x − 2x2 − 6xy = 0 =⇒ y(6 − 4x − 3y) = 0 =⇒ y = 0 o y = 6 − 4x 3 6x − 2x2 − 6xy = 0 (E2) Si y = 0 , al sustituir en la ecuación (E2) obtenemos los puntos críticos (0,0),(3,0).
- 156. 4.2 Máximos y mínimos locales en dos variables. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 156 Si y = 6 − 4x 3 , al sustituir en la ecuación (E2) obtenemos los puntos críticos (0,2), 1, 2 3 . Clasificación. D2(x,y) = (−4y)(−6x) − [6 − 4x − 6y]2 (x0,y0) D1 = fxx(x0,y0) D2 = D2(x0,y0) Clasificación (0,0) 0 −36 (0,0,0) es punto de silla (3,0) 0 −36 (3,0,0) es punto de silla (0,2) −8 −36 (0,2,0) es punto de silla (1,2/3) −8/3 12 (1,2/3,4/3) es máximo local. Ver con CFDPlayer Figura 4.10: f (x,y) = 6xy − 2x2y − 3xy2 Ejemplo 4.5 Sea z = yxe− − −x + y2. Calcule y clasifique los puntos críticos de z. Solución: Los puntos críticos se obtienen resolviendo el sistema ∇z = (0,0), ∂z ∂x = 0 ∂z ∂y = 0 =⇒ e−xy − e−xxy = 0 e−xx + 2y = 0 =⇒ y(1 − x) = 0 =⇒ y = 0 o x = 1 e−xx + 2y = 0 (E2)
- 157. 4.2 Máximos y mínimos locales en dos variables. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 157 I caso. Si y = 0, sustituimos en (E2) y obtenemos x = 0. II caso Si x = 1 sustituimos en (E2) y obtenemos y = − 1 2e . Clasificación. D2(x,y) = 2ye−x (x − 2) − (e−x − e−xx) 2 (x0,y0) D1 = fxx(x0,y0) D2 = D2(x0,y0) Clasificación (0,0) 0 −1 0 (0,0,0) es punto de silla 1,− 1 2e 1 2e2 0 1 e2 0 (1,−1/2e, −1/4e2) es mínimo local Ejemplo 4.6 Sea z = x2y2 − x − y. Calcule y clasifique los puntos críticos de z. Solución: Los puntos críticos se obtienen resolviendo el sistema ∇z = (0,0), ∂z ∂x = 0 ∂z ∂y = 0 =⇒ 2xy2 − 1 = 0 (E1) 2x2y − 1 = 0 (E2) Como y = 0 no es solución, podemos despejar x = 1 2y2 de (E1). Ahora sustituimos en (E2) y obtenemos y = 3 r 1 2 . Entonces tenemos el punto crítico 3 r 1 2 , 3 r 1 2 ! Clasificación. D2(x,y) = 2y2 · 2x2 − (4xy)2 (x0,y0) D1 = fxx(x0,y0) D2 = D2(x0,y0) Clasificación 3 r 1 2 , 3 r 1 2 ! 3 r 1 2 −3 3 √ 4 0 3 r 1 2 , 3 r 1 2 , − 3 2 3 √ 2 ! es punto de silla
- 158. 4.2 Máximos y mínimos locales en dos variables. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 158 Ejemplo 4.7 Calcule y clasifique los puntos críticos de la función f (x,y) = x2. Solución: Primero calculamos los puntos críticos fx = 2x = 0 fy = 0 = 0 El sistema tiene infinitas soluciones de la forma (0,y). Así que tenemos un número infinito de puntos críticos. D2(x,y) = (2)(0) − (0)2 = 0 así que este criterio no da información aunque, de acuerdo a la gráfica , se trata de puntos donde f alcanza mínimos locales. Ejercicios 14 4.1 Calcule y clasifique los puntos críticos de la función f (x,y) = −3x2y + x2 + xy3. 4.2 Calcule y clasifique los puntos críticos de la función f (x,y) = x4 + y4 − 4xy + 1. 4.3 Determine y clasifique los puntos críticos de f (x,y) = x3 + 3xy2 − 3x2 − 3y2 + 4. 4.4 Sea z = xy + a x + b y la ecuación de una superficie (con a y b constantes). Si P = (1,2) es un punto crítico de z, determine si en P la función alcanza un máximo relativo, un mínimo relativo o un punto de silla. 4.5 Calcular y clasificar los puntos críticos de z = 4x2 − xy + y2. 4.6 Calcule y clasifique los puntos críticos de z = (x2 − y2 )e−x2−y2 . 4.7 Hallar el punto del paraboloide P : z = x2 + y2 + 2 más cercano al punto Q = (2,2,2) . 4.8 Calcule y clasifique los puntos críticos de z = 4xy − 2x2 − y4 4.9 ¿Cuáles deben ser las dimensiones de un envase de forma rectangular, de volumen de 10 cm3 y costo mínimo, si el material de los lados de la caja cuestan 10 colones el centímetro cuadrado y el material de la tapa y el fondo cuestan 20 colones el centímetro cuadrado?. 4.10 Calcule el volumen de la caja de base rectángular más grande, que tenga caras en los planos
- 159. 4.3 Extremos con restricciones: Multiplicadores de Lagrange (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 159 x = 0, y = 0, z = 0, en el primer octante, y un vértice en el plano 2x + 2y + 2z = 10 (haga un dibujo). 4.11 Resuelva el ejercicio anterior si el plano tiene ecuación x a + y b + z c = 1, con a,b,c números positivos. 4.12 Encuentre las dimensiones da la caja rectángular de máximo volumen, si el área de su superficie total debe ser de 64cm2 4.13 Sea z = yxe− − −x + y2. Calcule y clasifique los puntos críticos de z. 4.3 Extremos con restricciones: Multiplicadores de Lagrange Supóngase que queremos hallar los máximos y los mínimos relativos de z = f (x,y) sujeto a la restricción g(x,y) = 0. Esto significa que la función f (x,y) solo podrá ser evaluada en los puntos (x,y) que estén en la curva de nivel g(x,y) = 0, es decir f (x,y) está restringida (o sujeta) a g(x,y) = 0. Una manera de resolver este problema se puede obtener con un análisis geométrico de la situación (figura ??). En las cercanías de un máximo local, nos desplazamos sobre g en la dirección de crecimiento de f, hasta el punto más profundo que puede alcanzarse sobre g en esta dirección. Este punto podría ser el máximo local con restricciones que andamos buscando. Digamos que es P = (a,b,c). Para poder determinar este punto con una ecuación, podemos pensar que viajamos a “este punto más profundo” atravesando curvas de nivel, entonces la “última” curva de nivel debería ser una curva de nivel z = c tangente a g en P (si P no es un punto terminal de g). Que estas curvas sean tangentes significa que sus gradientes son paralelos, es decir, ∇z(a,b) = λ∇g(a,b.) Esta es la ecuación que usamos para determinar P. El análisis es similar para determinar un mínimo local con restricciones: En las cercanías de un mínim local, nos desplazamos sobre g en la dirección de decrecimiento hasta el punto más profundo que podamos alcanzar. Teorema 4.3 (Multiplicadores Lagrange. Condición de primer orden) Sea U ⊆ R2 un conjunto abierto y sean f,g : U → R funciones C1 y sea x∗ x∗ x∗ un extremo local de f en el conjunto D = {x x x ∈ U | g(x x x) = 0.} Entonces, si ∇g(x∗ x∗ x∗) 6= (0,0), existe λ ∈ R (que puede ser cero) tal que ∇f (x∗ x∗ x∗ ) − λ∇g(x∗ x∗ x∗ ) = (0,0) El teorema dice que los extremos locales x∗ x∗ x∗ de f sujetos a la restricción g(x,y) = 0 (y ∇g(x∗ x∗ x∗) 6= (0,0)), son puntos críticos de la función “lagrangiana” L(x,y,λ) = f (x,y) − λ g(x,y), pero no necesariamente viceversa. Puede suceder que algunos puntos críticos de L no sean extremos locales de f sujeto a la restricción g(x,y) = 0. En el caso de z = f (x,y) sujeta a g(x,y) = 0, podríamos informalmente justificar el teorema así: Sea r(t) = (x(t),y(t)) una parametrización de la curva g y sea x∗ x∗ x∗ = r(t0) un extremo local de este problema con
- 160. 4.3 Extremos con restricciones: Multiplicadores de Lagrange (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 160 restricciones. Entonces, usando regla de la cadena, d dt f (r(t)) t=t0 = d dt f (x(t),y(t)) t=t0 = ∇f (x∗ x∗ x∗ ) · r0 (t0) = 0 [ ] Esto nos dice que ∇f (x∗ x∗ x∗) es perpendicular al vector tangente a la curva de restricción en x∗ x∗ x∗, es decir, ∇f (x∗ x∗ x∗) y ∇g(x∗ x∗ x∗) son paralelos donde se alcanzan los extremos locales (si ∇g(x∗ x∗ x∗) 6= 0)... pero no necesariamente viceversa. En tres variables, podríamos encontrar los puntos críticos del problema de optimización, como soluciones del sistema L(x,y,z,λ) = f (x,y,z) − λ g(x,y,z) A λ se le llama multiplicador (de Lagrange). Observe que λ podría ser cero. Esto pasa por ejemplo cuando un extremo local con restricciones coincide con un extremo local (sin restricciones). Figura 4.11: Un problema de optimización con restricciones. Método de los multiplicadores de Lagrange con una restricción:
- 161. 4.3 Extremos con restricciones: Multiplicadores de Lagrange (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 161 Para minimizar o maximizar f (x1,x2,...,xn) sujeta a la condición g(x1,x2,...,xn) = 0 , se busca los puntos críticos de L(x1,y1,...,xn,λ) = f (x1,x2,...,xn) − λg(x1,x2,...,xn). Para hallar los puntos críticos de L(x1,y1,...,xn,λ) se debe resolver el sistema Lx1 = 0 . . . . . . . . . Lxn = 0 g(x1,x2,...,xn) = 0 Criterio de clasificación. Para determinar si los puntos críticos son máximos, mínimos o no son ni máximos ni mínimos, se podría recurrir a al criterio de la Hessiana orlada (ver más adelante). Sin embargo, en los problemas que siguen, los puntos críticos se pueden clasificar de manera directa (usando la geometría del problema o una comparación). Ejemplo 4.8 Maximizar y minimizar f (x,y) = x2 + 1 3 y − 3 2 2 + 1 sujeto a la restricción x2 + 4y2 9 = 1. Solución: Sea L(x,y,λ) = x2 + 1 3 y − 3 2 2 + 1 − λ x2 + 4y2 9 − 1 . Lx = 0 Ly = 0 Lλ = 0 =⇒ 2x − 2λx = 0 =⇒ x(1 − λ) = 0 (E1) 2 3 y − 3 2 − 8λy 9 = 0 (E2) 1 − x2 − 4y2 9 = 0 (E3) De (E1) vemos que la solución del sistema requiere que x = 0 o λ = 1 . Si x = 0, sustituyendo en (E3) obtenemos los puntos y = ±3/2. Si λ = 1, sustituimos en la ecuación (E2) y obtenemos y = −4.5, pero al sustituir en la ecuación (E2) nos da una soluciön compleja. Los puntos críticos de L son (0,3/2) con λ = 0 y (0,−3/2) con λ = 1.5. Evaluando en f cada punto, obtenemos que en (0,3/2) se alcanza un mínimo local (coincide con el mínimo de f, por eso λ = 0) y en (0,−3/2) se alcanza un máximo local.
- 162. 4.3 Extremos con restricciones: Multiplicadores de Lagrange (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 162 Figura 4.12: Un problema de optimización con restricciones. Ejemplo 4.9 Minimizar z = x2 + y2 sujeto a x − y = 0. Solución: Sea L(x,y,λ) = x2 + y2 − λ(x − y). Lx = 0 Ly = 0 Lλ = 0 =⇒ 2x − λ = 0 2y + λ = 0 x − y = 0 (E3) Sustituyendo x = λ/2 y y = −λ/2 en (E3) obtenemos λ = 0 y, por tanto, x = 0, y = 0. En este caso, λ = 0 indica que el mínimo con restricciones coincide con un mínimo local de z. Ejemplo 4.10 Determine tres números reales positivos x, y, z cuya suma sea 10 y su producto máximo. Solución: Hay que maximizar el producto P = xyz sujeto a la restricción x + y + z = 10.
- 163. 4.3 Extremos con restricciones: Multiplicadores de Lagrange (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 163 Sea L(x,y,λ) = xyz − λ(x + y + z − 10). Lx = 0 Ly = 0 Lz = 0 g(x,y,z) = 0 =⇒ yz − λ = 0 xz − λ = 0 xy − λ = 0 x + y + z − 10 = 0 (E4) Despejando λ obtenemos yz = xz y xz = xy. Como x, y y z son, en este caso, positivos; podemos cancelar y entonces x = y = z. Sustituyendo en (E4) nos queda 3x − 10 = 0, es decir, x = y = z = 10 3 . Ejemplo 4.11 Determine el máximo y el mínimo de f (x,y) = x2 + y2 sujeto a x4 + y4 = 1 Solución: La lagrangiana es L(x,y,λ) = x2 + y2 − λ(x4 + y4 − 1) Puntos críticos: Lx = 2x − λ4x3 = 0 Ly = 2y − λ4y3 = 0 Lλ = −x4 − y4 + 1 = 0 (E3) =⇒ 2x(1 − 2λx2) = 0 2y(1 − 2λy2) = 0 −x4 − y4 + 1 = 0 (E3) Casos para anular las tres ecuaciones: Caso x = 0 y y = 0. Al sustituir en (E3) obtenemos 1 = 0. No obtenemos puntos críticos. Caso x = 0 y 1 − 2λy2 = 0. Al sustituir en (E3) obtenemos los puntos críticos (0,±1) y λ = 1/2. Caso y = 0 y 1 − 2λx2 = 0. Al sustituir en (E3) obtenemos los puntos críticos (±1,0) y λ = 1/2. Caso 1 − 2λy2 = 0 y 1 − 2λx2 = 0. Elevando al cuadrado obtenemos 4λ2y4 = 1 y 4λ2x4 = 1. Multiplicando (E3) por 4λ2 a ambos lados y sustituyendo, obtenemos los cuatro puntos críticos
- 164. 4.3 Extremos con restricciones: Multiplicadores de Lagrange (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 164 ±1 4 √ 2 , ±1 4 √ 2 y λ2 = 1/2. Para clasificar los puntos de manera “empírica”, podemos evaluar en la función f . Para visualizar la situación, dibujamos la curva de intersección entre la superficie z = x2 + y2 y la superficie generada por la curva x4 + y4 = 1. X Y Z X Y Z 1 así, tenemos cuatro puntos máximos relativos, ±1 4 √ 2 , ±1 4 √ 2 , 2 √ 2 y cuatro puntos mínimos relativos, (0,±1,1), (±1,0,1) Ejemplo 4.12 Calcule el valor mínimo de la función f (x,y) = x2 + (y − 2)2 si (x,y) son puntos de la hipérbola x2 − y2 = 1. Solución: . El problema es minimizar la función objetivo f (x,y) = x2 + (y − 2)2 sujeto a la restricción x2 − y2 − 1 = 0. La lagrangiana es L(x,y,λ) = x2 + (y − 2)2 − λ(x2 − y2 − 1) Puntos críticos: Debemos resolver el sistema ∇L = 0, es decir, Lx = 2x − 2λx = 0 Ly = 2(y − 2) + 2λy = 0 Lλ = x2 − y2 − 1 = 0 =⇒ 2x(1 − λ) = 0 (E1) (y − 2) + λy = 0 (E2) x2 − y2 − 1 = 0 (E3) De (E1) vemos que tenemos dos casos, x = 0 y λ = 1. El caso x = 0 no es solución pues no satisface (E3).
- 165. 4.4 Cuando las condiciones de primer orden fallan. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 165 El caso λ = 1 lo sustituimos en (E2) y obtenemos y = 1 y este valor de y lo sustituimos en (E3) y obtenemos x = ± √ 2. Este procedimiento nos garantiza que todas las ecuaciones se anularon y que son la solución del sistema. Los puntos críticos son ( √ 2,1) y (− √ 2,1). Para determinar de manera empírica el mínimo, evaluamos estos puntos en f. f ( √ 2,1) = 3 f (− √ 2,1) = 3 En este caso, los dos puntos ( √ 2,1,3) y (− √ 2,1,3) son mínimos locales. Figura 4.13: Mínimos locales 4.4 Cuando las condiciones de primer orden fallan. En general, el método de multiplicadores de Lagrange es muy eficiente, sin embargo los puntos críticos de L no necesariamente son solución del problema de optimización que da origen a L. El teorema 4.3 solo da condiciones necesarias. Consideremos el problema: Minimizar f (x,y) = x3 + y3 sujeto a la restricción g = x − y = 0. (0,0) no es ni máximo ni mínimo local de f en D pues ∀e 0, (e,e) ∈ D y (−e,−e) ∈ D pero f (0,0) = 0 f (−e,−e) = −2e3 y f (0,0) = 0 f (e,e) = 2e3 . Sin embargo (0,0) satisface ∇g(0,0) = (1,−1) 6= (0,0) y es la única solución (con λ = 0 ) del sistema ∇L(x,y,λ) = 0, Lx = 3x2 − λ = 0 Ly = 3y2 − λ = 0 Lλ = x − y = 0 Z Figura 4.14: (0,0) es punto crítico de L pero no es solución del problema
- 166. 4.4 Cuando las condiciones de primer orden fallan. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 166 Cuando ∇g se anula. El método de multiplicadores de Lagrange requiere que ∇g no se anule en los puntos críticos de f sobre D para que el conjunto de puntos críticos de L contenga al conjunto de puntos críticos de f sobre D. Si ∇g(x) se anula podrían pasar varias cosas de cuidado. I Consideramos el problema de mínimizar la distancia de la curva (x − 1)3 − y2 = 0 al origen, es decir, minimizar d = p x2 + y2 sujeta a (x − 1)3 − y2 = 0. Este problema es equivalente al problema: Minimizar d = x2 + y2 sujeta a (x − 1)3 − y2 = 0. • x = 1 y y = 0 es una solución del problema (como se ve gráficamente), pues este punto está en la curva de restricción y también (x − 1)3 = y2 entonces (x − 1)3 ≥ 0 =⇒ x ≥ 1. Por tanto de D, d(x,y) = x2 + y2 ≥ d(1,0) = 1. Figura 4.15: La distancia de la curva al origen se minimiza si x = 1 y y = 0 • (1,0) no es punto crítico de L. La lagrangiana sería L(x,y,λ) = x2 + y2 − λ[(x − 1)3 − y2] y debemos resolver el sistema 2x − 3λ(x − 1)2 = 0 (E1) 2y + 2yλ = 0 (E2) (x − 1)3 − y2 = 0 (E3) Factorizando en (E2) obtenemos y = 0 y λ = −1. Sustituyendo y = 0 en (E3) nos da x = 1, pero este valor no es solución pues no satisface (E1). Sustituyendo λ = −1 en (E1) nos da la cuadrática 3x2 − 4x + 3 = 0 que tiene raíces complejas, así que el sistema no tiene soluciones en R y los puntos críticos de L no detectan el mínimo local (1,0,1) I Problema: Maximizar z = −y sujeto a la restricción y3 − x2 = 0 • (0,0,0) es un máximo local para este problema pues como y3 = x2 entonces y ≥ 0 por lo que z(x,y) = −y ≤= 0 = z(0,0) ∀ (x,y) ∈ D. • (0,0) no es punto crítico de L(x,y,λ) = −y − λ(y3 − x2). El sistema ∇L = 0 no tiene solu- ción. El método de multiplicadores de Lagrange no detecta el óptimo. Cilindro 2 Figura 4.16: Máximo local en (0,0,0)
- 167. 4.4 Cuando las condiciones de primer orden fallan. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 167 I Problema: Maximizar z = 2x3 − 3x2 sujeto a la restricción (3 − x)3 − y2 = 0 Este problema tiene solo un máximo local cuando x = 3 y y = 0 pero este máximo no está dentro de los cuatro puntos críticos de L. Ver con CFDPlayer El sistema ∇L = 0 tiene cuatro soluciones, todas con λ = 0, (0,±3 √ 3,0), (1,±2 √ 2,0) y no detecta el máximo local en (3,0). Cilindro Figura 4.17: Máximo local se alcanza en (3,0), pero este punto no es punto crítico de L I Problema: Mínimo z = x2 + y2 sujeto a la restricción x2 − y2 = 0 El mínimo local se alcanza en (0,0) y aunque ∇g(0,0) = (0,0), ahora sí (0,0) es solución del problema de optimización. En este caso ∇f (0,0) = (0,0) por lo que trivialmente la ecuación ∇f − λ∇g = 0 tiene infinitas solución (0,0,λ) con λ ∈ R. Multiplicadores de Lagrange vs sustituir la restricción. Consideremos el problema Optimizar z = x2 − y2 sujeto a la restricción x2 + y2 = 1 Con multiplicadores de Lagrange L(x,y,λ) = x2 − y2 − λ(x2 + y2 − 1) ∇L = 0 =⇒ (x,y,λ) = (0,−1,−1) (0,1,−1) (1,0,1) (−1,0,1) Con una sustitución Si hacemos la sustitución y2 = 1 − x2 en z = x2 − y2 , z = 2x2 − 1 dz dx = 0 =⇒ (x,y) = (0,−1) (0,1) El método de sustitución funciona si hacemos la otra sustitución x2 = 1 − y2... pero...
- 168. 4.4 Cuando las condiciones de primer orden fallan. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 168 Determinar extremos absolutos. Si el conjunto de puntos Ag donde la restricción g se anula, es cerrado y acotado y si f es continua entonces si hay extremos absolutos en Ag. Formalmente uno obtiene los valores de la función en los puntos críticos y los compara con los valores de la función en la frontera de Ag y así obtiene los extremos absolutos. Los puntos críticos los detectamos usando el método de multiplicadores de Lagrange, pero también a veces hay extremos excepcionales en Ag en los que el gradiente de f o el de g se indefinen o puntos donde el gradiente de g se anula como el ejemplo anterior. Ejercicios 15 4.14 Se quiere construir un cilindro circular recto con fondo pero sin tapa (ver figura). Si se dispone de 48π cm2 de lata para construirlo; use multiplicadores de Lagrange para determinar las dimensiones del cilindro de tal manera que su volumen sea máximo. h r 4.15 Considere la superficie S de ecuación xy2z = 32. a.) Si (x,y,z) ∈ S S S entonces x 6= 0, y 6= 0 y z 6= 0, ¿Porqué? b.) Use multiplicadores de Lagrange para encontrar los puntos Q Q Q = (x,y,z) ∈ S S S que están más cerca del origen O = (0,0,0). 4.16 Se desea construir un tanque para almacenar agua caliente en un cilindro con un tope esférico (media esfera). El tanque se debe diseñar de tal manera que puede almacenar 300m3 de líquido. Determinar la altura total y el diámetro del tanque de tal manera que la pérdida de calor en la superficie sea mínima. (La pérdida de calor en la superficie será mínima si su área es mínima). 4.17 La densidad de una superficie metálica esférica de ecuación x2 + y2 + z2 = 4 está dada por ρ = 2 + xz + y2. Encuentre los puntos donde la densidad es mayor y menor.
- 169. 4.5 Máximos y mínimos locales en varias variables. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 169 4.18 Maximizar z = 1 − y sujeto a la condición x6 + y6 = 1. 4.19 Obtener el máximo local de f (x,y) = 9 − x2 − y2 sujeta a x + y = 3 4.20 Sean k una constante positiva y C(r,h) = 2kr2 + 2.5(2krh) conr,h 0. Minimizar C(r,h) sujeta a la restricción kr2h = 1000. 4.21 Calcule los puntos críticos de z = x2y2 sujeta a la condición x2 + y2 = 1. 4.22 Calcule el valor mínimo de la función f (x,y) = x2 + (y − 2)2 si (x,y) son puntos de la hipérbola x2 − y2 = 1. 4.23 (*) Consideremos el problema: Minimizar f (x,y) = x3 + y3 sujeto a la restricción g = x − y = 0. (0,0) no es ni máximo ni mínimo local de f en D pues ∀e 0, (e,e) ∈ D y (−e,−e) ∈ D pero f (0,0) = 0 f (−e,−e) = −2e3 y f (0,0) = 0 f (e,e) = 2e3 . Sin embargo, verifique que (0,0) es la única solución del sistema ∇L(x,y,λ) = 0 4.24 (*) Consideremos el problema: Maximizar z = −y sujeto a la restricción y3 − x2 = 0. El punto (0,0,0) es un máximo local para este problema pues como y3 = x2 entonces y ≥ 0 por lo que z(x,y) = −y ≤= 0 = z(0,0) ∀ (x,y) ∈ D. Verfique que (0,0) no es punto crítico de L(x,y,λ) = −y − λ(y3 − x2). 4.5 Máximos y mínimos locales en varias variables. Como en cálculo en una variable, los extremos locales de una función de varias variables son puntos donde la función alcanza un máximo o un mínimo en un entorno del dominio de la función. Si la función está definida en una región D, los extremos globales son los puntos donde la función toma valores máximos o mínimos y esto podría suceder en cualquier parte de la región en consideración. Recordemos que un entorno abierto alrededor de p p p ∈ Rn de radio δ es el conjunto Dδ(p p p) = {x x x ∈ Rn : ||x x x − p p p|| δ} (discos sin borde en R2 y el interior de esferas en R3 ). Definición 4.4 (Extremos locales). Sea f función de n variables, f : Rn −→ R. f tiene un máximo local en p p p = (p1, p2,..., pn) ∈ Rn si existe un entorno abierto Dδ(p p p) tal que f (x1,x2,...,xn) ≤ f (p p p) para todo (x1,x2,...,xn) ∈ Dδ(p p p). El punto (p1, p2,..., pn, f (p p p)) se dice un máximo local de f y el número f (p p p) es el máximo de f en el entorno Dδ(p p p). f tiene un mínimo local en p p p = (p1, p2,..., pn) ∈ Rn si existe un entorno abierto Dδ(p p p) tal que f (x1,x2,...,xn) ≥ f (p p p) para todo (x1,x2,...,xn) ∈ Dδ(p p p). El punto (p1, p2,..., pn, f (p p p)) se dice un mínimo
- 170. 4.6 Puntos críticos y extremos locales (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 170 local de f y el número f (p p p) es el mínimo de f en el entorno Dδ(p p p). Si las desigualdades de la definición anterior se cumplen para todos los puntos en el dominio de f, entonces f tiene un máximo absoluto (o mínimo absoluto) en p p p. 4.6 Puntos críticos y extremos locales Sea f continua. Un punto p p p ∈ Rn es un punto crítico de f si D D D f (p p p) = 0 (o si D D D f no esta definida en este pun- to), es decir, si ∂ f ∂xi ∂ f ∂xi ∂ f ∂xi = 0, i = 1,2,...,n. Un punto crítico que no es ni máximo ni mínimo local se llama punto de silla. Como en cálculo en una variable, los extremos locales son puntos críticos, es decir, en el caso de que f sea diferenciable, la derivada de f se anula en los puntos críticos. Teorema 4.4 Sea U ⊂ Rn un conjunto abierto y f : U ⊂ Rn −→ R diferenciable, si p p p ∈ Rn es un extremo local de f entonces D D D f (p p p) = 0, es decir, p p p es punto crítico de f. 4.7 Clasificación de puntos críticos La fórmula de Taylor de segundo orden en n variables dice que si f : U ⊆ Rn −→ R, es de clase C2 en x x x ∈ U, entonces si h h h = (h1,...,hn) ∈ Rn, existe 0 ξ 1 tal que f (x x x + h h h) = f (x x x) + n ∑ i=1 hi ∂ f ∂xi (x x x) + R1(x x x,h h h) con R1(x x x,h h h) = 1 2 n ∑ i=1 n ∑ j=1 hihj ∂2 f ∂xi∂xj (x x x + ξh h h). Si definimos D2 f = ∂2 f ∂x1∂x1 ... ∂2 f ∂x1∂xn . . . . . . . . . ∂2 f ∂xn∂x1 ... ∂2 f ∂xn∂xn , entonces n ∑ i=1 n ∑ j=1 hihj ∂2 f ∂xi∂xj (x x x + ξh h h) = h h h · D2 f (x x x + ξh h h) · h h hT . Así, la fórmula de Taylor de segundo orden se puede escribir como, f (x x x + h h h) = f (x x x) + D D D f (x x x) · h h hT + 1 2 h h h · D2 f (x x x + ξh h h) · h h hT , 0 ξ 1. La matriz Hesssiana3 de f en x x x es la matriz D2 f (x x x). 3En honor a Ludwing Otto Hesse (1811 − 1874).
- 171. 4.7 Clasificación de puntos críticos (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 171 Evaluando en un punto crítico p p p, D f (p p p) = 0 y la fórmula de Taylor de segundo orden queda f (p p p + h h h) − f (p p p) = h h h · D2 f (x x x + ξh h h) · h h hT , 0 ξ 1. El signo de la resta f (p p p + h h h) − f (p p p) es el signo de h h h · D2 f (x x x + ξh h h) · h h hT. Si las derivadas ∂2 f ∂xi∂xj son continuas en un vecindario de p p p, entonces si el determinante de la matriz hessiana es positivo, f (p p p + h h h) − f (p p p) tiene el mismo signo que h h h · D2 f (x x x) · h h hT en un entorno de este punto, así que en este caso, el signo de h h h · D2 f (p p p) · h h hT decide si en p p p la función f alcanza un máximo o un mínimo local. Pero h h h · D2 f (p p p) · h h hT depende de h h h. Para establecer si h h h · D2 f (p p p) · h h hT es positiva o negativa para todos los valores de h h h en un entorno, se usa la teoría de formas cuadráticas. Matriz definida positiva y matriz definida negativa. Una forma cuadrática g : Rn −→ R, g(h h h) = h h h · An×n · h h hT, es definida positiva si g(h h h) ≥ 0 para todo h h h ∈ Rn y g(h h h) = 0 solo si h h h = 0. Similarmente, g es definida negativa si g(h h h) ≤ 0 para todo h h h ∈ Rn y g(h h h) = 0 solo si h h h = 0. Del álgebra lineal se sabe que si A = (aij)n×n, D1 = a11, D2 =Det a11 a12 a21 a22 ,..., Dn =Det a11... ...a1n . . . . . . an1... ...ann , entonces h h h · An×n · h h hT es definitiva positiva si Di 0 para i = 1,2,...,n h h h · An×n · h h hT es definitiva negativa si sgn(Di) = (−1)i para i = 1,2,...,n Test de clasificación. En varias variables la clasificación de un punto crítico p p p se puede establecer si h h h · D2 f (p p p) · h h hT es definida positiva o definida negativa. Esto se hace calculando D1,D2, etc. Teorema 4.5 (Condición suficiente). Sea f : U ⊆ Rn −→ R de clase C3 y p p p ∈ U un punto crítico de f. Si h h h · D2 f (p p p) · h h hT es definida positiva, entonces p p p es un mínimo relativo de f. Similarmente, si h h h · D2 f (p p p) · h h hT es definida negativa, entonces p p p es un máximo relativo de f. En la demostración de este teorema se establece que si h h h · D2 f (p p p) · h h hT es definida positiva entonces en la fórmula de Taylor obtenemos f (p p p + h h h) − f (p p p) 0 en un entorno de p p p, es decir f (p p p) es un valor mínimo local. Similarmente, si h h h · D2 f (p p p) · h h hT es definida negativa entonces en la fórmula de Taylor obtenemos f (p p p + h h h) − f (p p p) 0 en un entorno de p p p, es decir f (p p p) es un valor máximo local.
- 172. 4.8 Clasificación de puntos críticos en el caso de dos variables. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 172 4.8 Clasificación de puntos críticos en el caso de dos variables. De acuerdo a lo que hemos establecido en la sección anterior, en el caso de dos variables es sencillo determinar si h h h · D2 f (p p p) · h h hT es definida positiva o definida negativa. En este caso, h h h · D2 f (p p p) · h h hT = (h1 h2) fxx(p p p) fxy(p p p) fyx(p p p) fyy(p p p) h1 h2 . Si f tiene derivadas parciales de segundo orden continuas, las derivadas mixtas son iguales y entonces D1(p p p) = fxx(p p p) y D2 = fxx(p p p) · fyy(p p p) − fxy(p p p) 2 . En este caso a veces se usa fxx(p p p) en vez de D1 y D2(p p p) en vez de D2. Teorema 4.6 (Condición suficiente). Sea f : R2 −→ R de clase C3 en un conjunto abierto U de R2. Sea D2(x,y) = fxx(x,y) · fyy(x,y) − fxy(x,y) 2 . Si (x0,y0) ∈ U es punto crítico de f, entonces a.) si D2(x0,y0) 0 y fxx(x0,y0) 0, entonces f alcanza un mínimo local en (x0,y0). b.) si D2(x0,y0) 0 y fxx(x0,y0) 0, entonces f alcanza un máximo local en (x0,y0). c.) Si D2(x0,y0) 0, entonces (x0,y0, f (x0,y0)) es u punto de silla. 4.9 Criterio de clasificación para n ≥ 3. En problemas de extremos sin restricciones solo presentamos el criterio de clasificación para dos variables. Ahora vamos a presentar el caso general. Como antes, este criterio de clasificación no siempre funciona y se debe recurrir a otras técnicas. Tambien presentamos un criterio de clasificación par el caso de problemas de optimización con restricciones. Formas cuadráticas. La forma cuadrática general, con n variables, es F(x1,x2,...,xn) = a11x2 1 + a22x2 2 + ··· + annx2 n + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + ··· + 2a1nx1xn + 2a23x2x3 + 2a24x2x4 + ··· + 2a2nx2xn . . . + 2a(n−1)nx(n−1)xn
- 173. 4.9 Criterio de clasificación para n ≥ 3. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 173 En particular, para dos y tres variables tendríamos: F(x,y) = ax2 + 2bxy + cy2 y F(x,y,z) = ax2 + by2 + cz2 + 2a1xy + 2a2xz + 2a3yz Forma matricial Si ponemos 2aijx1xj = aijxixj + ajixjxi con aij = aji, entonces F(x1,x2,...,xn) se puede reescribir así F(x1,x2,...,xn) = a11x2 1 + a12x1x2 + ··· + a1nx1xn + a21x2x1 + a22x2 2 + ··· + a2nx2xn . . . + an1xnx1 + an2xnx2 + ··· + annx2 n Entonces, la forma F(x1,x2,...,xn) se puede escribir matricialmente así: F(x1,x2,...,xn) = (x1,x2,...,xn) A(x1,x2,...xn)T = XAXT donde A = (aij)n×n . Observe que A es simétrica. Ejemplo 4.13 Sea F(x,y,z) = x2 + 4xy + 2xz − 7y2 − 6yz + 5z2, entonces F(x,y,z) = (x, y, z) 1 2 1 2 −7 −3 1 −3 5 (x, y, z)T Formas definidas positivas y definidas negativas. El estudio algebraico de las formas cuadráticas esta centrado, en determinar si una forma tiene siempre el mismo signo, i.e., si la forma es positiva o negativa Definición 4.5 F(x1,x2,··· ,xn) se dice definida positiva si F(x1,x2,··· ,xn) 0, ∀x1,x2,...,xn, no todos iguales a cero. F(x1,x2,··· ,xn) se dice definida negativa si F(x1,x2,··· ,xn) 0, ∀x1,x2,...,xn, no todos iguales a cero.
- 174. 4.9 Criterio de clasificación para n ≥ 3. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 174 Teorema 4.7 F(x,y) = ax2 + 2bxy + cy2 0, ∀x,y, no todos iguales a cero, si y sólo si a 0 y DET a b b c 0 F(x,y) = ax2 + 2bxy + cy2 0, ∀x,y, no todos iguales a cero, si y sólo si a 0 y DET a b b c 0 Este teorema se puede probar completando cuadrados: F(x,y) = a x + b a y 2 + ac − b2 a y2 , así, F(x,y) 0, ∀x,y no todos iguales a cero, si y sólo si a 0 y ac − b2 a y2 0, o sea, a 0 y ac − b2 0. Generalización. Para establecer la generalización de este teorema a n variables, necesitamos las siguientes definiciones: Sea Dn = |A| es decir: Dn = a11 a12 ··· a1n a21 a22 ··· a2n . . . . . . . . . an1 an2 ··· ann Sea Di definido de la siguiente manera: Di = a11 a12 ··· a1i a21 a22 ··· a2i . . . . . . . . . ai1 ai2 ··· aii Los Di son los menores principales de Dn .
- 175. 4.9 Criterio de clasificación para n ≥ 3. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 175 Teorema 4.8 F(x1,x2,··· ,xn) es definida positiva si D1 0, D2 0, ··· , Dn 0 F(x1,x2,··· ,xn) es definida negativa si Di 0 para i par, y Di 0 para i impar. Ejemplo 4.14 Sea F(x,y,z) = 2x2 − 4xy + 4xz + 6y2 − 4yz + 8z2. F es definida positiva, pues D3 = 2 −2 2 −2 6 −2 2 −2 8 = 48 0, D2 = 2 −2 −2 6 = 8 0, D1 = 2 0 Formas cuadráticas con restricciones lineales. Supongamos que F(x1,x2,··· ,xn) está restringida a que sus variables cumplan la relación lineal α1x1 + α2x2 + ··· + αnxn = 0 . ‘Orlando’ los determinantes Di obtenemos los nuevos determinantes Di : Sea Di, i ≥ 2, definido de la siguiente manera: Di = DET 0 α1 α2 ··· αi α1 a11 a12 ··· a1i α2 a21 a22 ··· a2i . . . . . . . . . αi an1 an2 ··· aii Dn = DET 0 α1 α2 ··· αn α1 a11 a12 ··· a1n α2 a21 a22 ··· a2n . . . . . . . . . αn an1 an2 ··· ann A Di se le llama determinante orlado.
- 176. 4.9 Criterio de clasificación para n ≥ 3. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 176 Teorema 4.9 F(x1,x2,··· ,xn), restringida a que sus variables cumplan la relación lineal α1x1 + α2x2 + ···αnxn = 0, es definida positiva si D2 0, D3 0, ··· , Dn 0 F(x1,x2,··· ,xn), restringida a que sus variables cumplan la relación lineal α1x1 + α2x2 + ···αnxn = 0, es definida negativa si Di 0 para i ≥ 2, par; y Di 0 para i impar. Ejemplo 4.15 La forma cuadrática f (x,y,z) = x2 − y2 − 7z2 + xy, sujeta a la relación lineal x + y + 2z = 0, es definida negativa, pues D3 = 0 1 1 2 1 1 1 2 0 1 1 2 −1 0 2 0 0 −7 = −2 0, D2 = 0 1 1 1 1 1 2 1 1 2 −1 = 1 0. Ejercicios 16 4.25 Verifique que F(x,y) = 4xy − 2x2 − 3y2, es definida negativa. 4.26 Verifique que F(x,y,z) = x2 + y2 + z2 − yz, es definida positiva. 4.27 Verifique que la forma F(x,y) = x2 + y2 + 3xy, restringida a que sus variables cumplan la relación lineal 2x + y = 0, es definida negativa. 4.28 ¿Es F(x,y) = x2 + y2 + 3xy, definida negativa? 4.29 Verifique que la forma F(x,y,z) = −x2 − y2 − z2 + xy + yz + xz, restringida a que sus variables cumplan la relación lineal x + y + z = 0, es definida negativa. Clasificación de puntos críticos. Recordemos la definición de extremos locales. Definición 4.6 Un punto P se dice mínimo local de f (x1,x2,...,xn) si existe un vecindario VP alrededor de P en que se cumple que f (P) ≤ f (Q), ∀Q ∈ VP .
- 177. 4.9 Criterio de clasificación para n ≥ 3. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 177 Un punto P se dice máximo local de f (x1,x2,...,xn) si existe un vecindario VP alrededor de P en que se cumple que f (P) ≥ f (Q), ∀Q ∈ VP . Un punto P se dice punto de ensilladura (o de silla) de f (x1,x2,...,xn) si existe un vecindario VP alrededor de P en que se cumple tanto f (P) ≤ f (Q) como f (P) ≥ f (R), para distintos puntos Q, R de VP. Criterio para máximos y mínimos. El teorema de Taylor se puede generalizar a varias variables así: Sea V un conjunto convexo abierto. Si f es continua y tiene derivadas parciales continuas de segundo orden, sobre V, entonces existe t ∈ [0,1] tal que, para cualesquiera dos puntos P, Q ∈ V; Q = P + h f (P + h) = f (P) + ∇f (P) · h + 1 2 h H[tQ + (1 − t)P]hT donde h = (h1,h2,...,hn) H es llamada matriz Hessiana, |H[R]| = DET fx1x1 (R) fx1x2 (R) ··· fx1xn (R) fx2x1 (R) fx2x2 (R) ··· fx2xn (R) . . . . . . . . . fxnx1 (R) fxnx2 (R) ··· fxnxn (R) Del teorema de Taylor y de la teoría previa de formas cuadráticas, podemos obtener las siguientes condiciones suficientes para un máximo o un mínimo local. Teorema 4.10 Sea D1(P), D2(P), ...,Dn(P), n determinantes definidos como sigue: Di(P) = DET fx1x1 (P) fx1x2 (P) ··· fx1xi (P) fx2x1 (P) fx2x2 (P) ··· fx2xi (P) . . . . . . . . . fxix1 (P) fxix2 (P) ··· fxixi (P) Entonces, • f alcanza un un mínimo en P si D1(P) 0, D2(P) 0, ...,Dn(P) 0 • f alcanza un un máximo en P si todos los determinantes pares son positivos y todos los determinantes impares son negativos, i. e., Di(P) 0 si i es par Di(P) 0 si i es impar
- 178. 4.9 Criterio de clasificación para n ≥ 3. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 178 • Si ninguna de estas condiciones es satisfecha, entonces en P podría haber o no haber un extremo local. Ejemplo 4.16 Encontrar los extremos de f (x,y,z) = x2 + 3y2 + 4z2 − 2xy − 2yz + 2xz Solución: Puntos críticos: Resolvemos el sistema fx = x − y + z = 0 fy = −x + 3y − z = 0 fz = x − y + 4z = 0 así, el único punto crítico es P = (0,0,0). Test: Como tenemos una función de tres variables, calculamos D1(P), D2(P) y D3(P) D3(P) = DET fxx(P) fxy(P) fxz(P) fyx(P) fyy(P) fyz(P) fzx(P) fzy(P) fzz(P) = DET 2 −2 2 −2 6 −2 2 −2 8 = 48 0 D2(P) = DET 2 −2 −2 6 = 8 0, D1(P) = fxx(P) = 2 0 por lo tanto en P = (0,0,0) f alcanza un mínimo local. Ejemplo 4.17 Calcule y clasifique los puntos críticos de f (x,y,z) = x2 − y2 − zy. Solución: Puntos críticos: Resolvemos el sistema
- 179. 4.9 Criterio de clasificación para n ≥ 3. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 179 fx = 2x = 0 fy = −2y − z = 0 fz = −y = 0 así, el único punto crítico es P = (0,0,0). Test: Como tenemos una función de tres variables, calculamos D1(P), D2(P) y D3(P) D3(P) = DET fxx(P) fxy(P) fxz(P) fyx(P) fyy(P) fyz(P) fzx(P) fzy(P) fzz(P) = DET 2 0 0 0 −2 −1 0 −1 0 = −2 0 D2(P) = DET 2 0 0 −2 = −4 0, D1(P) = fxx(P) = 2 0 Clasificación de puntos críticos para problemas con restricciones. Consideremos el problema “Optimizar la función objetivo: f (x1, x2, ...,xn) sujeta a la restricción: g(x1,x2,...,xn) = c ” La función lagrangiana será: L(x1,...,xn,λ1) = f (x1,...,xn) − λ(c − g(x1,...,xn)) Así, los puntos críticos se obtienen resolviendo el sistema (condiciones de primer orden) Lx1 = fx1 − λgx1 = 0 Lx2 = fx2 − λgx2 = 0 . . . . . . . . . Lxn = fxn − λgxn = 0 Lλ = g(x1,x2,...,xn) = 0 El criterio que se usará para clasificar los puntos críticos difiere del criterio que se usa en el problema de
- 180. 4.9 Criterio de clasificación para n ≥ 3. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 180 optimización sin restricciones. Teorema 4.11 Consideremos el hessiano orlado Dn(P) = 0 gx1 (P) gx2 (P) ··· gxn (P) gx1 (P) Lx1x1 (P) Lx1x2 (P) ··· fx1xn (P) gx2 (P) Lx2x1 (P) Lx2x2 (P) ··· Lx2xn (P) . . . . . . . . . gxn (P) Lxnx1 (P) Lxnx2 (P) ··· Lxnxn (P) y sus menores principales Di(P) = 0 gx1 (P) gx2 (P) ··· gxi (P) gx1 (P) Lx1x1 (P) Lx1x2 (P) ··· Lx1xi (P) gx2 (P) Lx2x1 (P) Lx2x2 (P) ··· Lx2xi (P) . . . . . . . . . gxi (P) Lxix1 (P) Lxix2 (P) ··· Lxixi (P) Entonces, si P es un punto crítico de f sujeto a la restricción g(x1,...,xn) = c , se tiene • En P f alcanza un mínimo local si D2(P) 0, D3(P) 0, ...,Dn(P) 0 • En P f alcanza un máximo local si todos los determinantes pares son positivos y todos los determinantes impares son negativos, i. e., Di(P) 0 si i ≥ 2, es par Di(P) 0 si i es impar En el anterior teorema, no aparece D1 . Este siempre es negativo. Cuando aparece más de una restricción, se debe considerar un hessiano con más de una orla: Si hay n variables y m restricciones (m n) de la forma gi(x1,...,xn) = ci entonces la lagrangiana será
- 181. 4.9 Criterio de clasificación para n ≥ 3. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 181 L = f (x1,...,xn) + m ∑ i=1 λi[ci − gi (x1,...,xn)] y el hessiano orlado será: 0 0 ··· 0 g1 1 g1 2 ··· g1 n . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 ··· 0 gm 1 gm 2 ··· gm n g1 1 g2 1 ··· gm 1 Lx1x1 Lx1x2 ··· Lx1xn . . . . . . . . . g1 n g2 n ··· gm n Lxnx1 Lxnx2 ··· Lxnxn Ejemplo 4.18 Hallar los extremos de z = x2 + y2 sujeto a la restricción x + 4y = 2. Solución: La función lagrangiana es x2 + y2 − λ(2 − x − 4y). Puntos críticos: Lx = 2x − λ = 0 Ly = 2y − 4λ = 0 Lλ = 2 − x − 4y = 0 =⇒ λ = 4 17 , x = 2 17 , y = 8 17 . Así, el único punto crítico es: P = ( 2 17, 8 17 ) Test: Usemos el teorema para clasificar los puntos críticos. En este caso, solo debemos calcular el hessiano orlado D2 D2(P) = 0 1 4 1 2 0 4 0 2 = −34 0 así que ( 2 17 , 8 17,z( 2 17 , 8 17 )) es un mínimo local. Ejemplo 4.19 Maximizar f (x,y) = 2y − x sujeto a y = senx, 0 ≤ x ≤ 2π
- 182. 4.9 Criterio de clasificación para n ≥ 3. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 182 Solución: F(x,y,λ) = 2y − x − λ(y − senx) Puntos críticos: Fx = −1 + λcosx = 0 Fy = 2 − λ = 0 Fλ = −y + senx = 0 =⇒ λ = 2, cosx = 1 2 o sea, x = π 3 , x = 5π 3 . Así los puntos críticos son: P1 = (π 3 , √ 3 2 ) y P2 = (5π 3 , − √ 3 2 ) Test: Usemos el teorema para clasificar los puntos críticos. En este caso, solo debemos calcular el hessiano orlado D2 D2 = 0 −cosx 1 −cosx 0 0 1 0 0 así que D2(P1) = D2(P2) = 0 y, en este caso, el criterio no da información. Ejercicios 17 En los siguentes ejercicios, la clasificación de los puntos críticos puede hacerse usando el criterio del Hessiano orlado o haciendo una curva (si se pudiera). 4.30 Obtener el máximo de f (x,y) = 9 − x2 − y2 sujeta a x + y = 3 4.31 Minimizar C(r,h) = 2kr2 + 2.5(2krh) sujeta a la restricción Kr2h = 1000, K, r, h 0. 4.32 Calcule máximos y mínimos de z = 4x2 + 9y2 sujeta a la condición x2 + y2 = 1. 4.33 Calcule máximos y mínimos de z = 4xy sujeta a la condición x2 9 + y2 4 = 1. 4.34 Calcule máximos y mínimos de z = x2y2 sujeta a la condición x2 + y2 = 1. 4.35 Calcule máximos y mínimos de z = yx + y2 sujeta a la condición lnx − lny = 1, x 0, y 0. 4.36 Calcule máximos y mínimos de w = zyx sujeta a la condición x2 + y2/9 + z2/4 − 1 = 0.
- 183. 4.10 (*) Extremos globales. Condiciones de Kuhn-Tucker. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 183 4.10 (*) Extremos globales. Condiciones de Kuhn-Tucker. Haremos aquí, una pequeño acercamiento a la programación no lineal. Sea w una función posiblemente no lineal, Un problema de maximización en programación no lineal, tiene la siguiente forma: “Maximizar w = f (x1,x2,...xn) sujeto a gi(x1,...,xn) ≤ ci, i = 1,2,...,m con xj ≥ 0, j = 1,2,...,n. ” Un problema de minimización en programación no lineal, tiene la siguiente forma: “Minimizar w = f (x1,x2,...xn) sujeto a gi(x1,...,xn) ≥ ci, i = 1,2,...,m con xj ≥ 0, j = 1,2,...,n.” Solución gráfica. Para obtener una solución gráfica de un problema de programación no lineal (o lineal) sencillo, usamos las mismas ideas que se discutieron en la sección de multiplicadores de Lagrange. Las restricciones gi ≤ 0 y las condiciones de no negatividad, determinan una región factible para encontrar una solución. Nos movemos luego, sobre esta región o hacia esta región, sobre las curvas de nivel de w, en la dirección en la que w crece o decrece, según sea el problema (maximización o minimización). Una vez encontrada una solución, el problema de determinar si es un máximo (o mínimo) global depende de que se satisfagan ciertas condiciones. Ejemplo 4.20 Minimizar w = (x − 4)2 + (y − 4)2, sujeto a las condiciones 2x + 3y ≥ 6, y 3x + 2y ≤ 12, x, y ≥ 0. Solución: Aquí las restricciones son lineales. La región factible es la región sombreada en las figuras. La función w es un paraboloide con vértice en (4,4,0) . La dirección de decrecimiento es hacia el vértice (entre más me acerco al centro, más pequeño se hace w). El punto P, donde w alcanza el mínimo local, se encontraría en el “punto más profundo” de la región factible en la dirección de decrecimiento. 2 4 6 8 1 2 3 4 5 6 7 2 4 6 8 1 2 3 4 5 6 7 Para calcular este punto, observamos que la recta de contacto es 3x + 2y = 12. La curva de nivel de contacto es (x − 4)2 + (y − 4)2 = k. Así que tenemos que calcular los puntos P, sobre esta curva de
- 184. 4.10 (*) Extremos globales. Condiciones de Kuhn-Tucker. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 184 nivel, donde la recta tangente es 3x + 2y = 12, o más precisamente, los puntos P = (a,b), sobre esta curva de nivel, donde la pendiente de la recta tangente es −3/2 La pendiente de la recta tangente a la curva de nivel (x − 4)2 + (y − 4)2 = k, en P es y0(a,b) = −3/2 = − Fx(P) Fy(P) = − a − 4 b − 4 y, puesto que P está también sobre la recta 3x + 2y = 12, entonces tendríamos que 3a + 2b = 12. Resolvemos entonces el sistema: − a − 4 b − 4 = −3/2 3a + 2b = 12 =⇒ a = 28 13 , b = 36 13 . Condiciones de Kuhn-Tucker. Consideremos el problema “Maximizar w = f (x1,x2,...xn) sujeto a gi(x1,...,xn) ≤ ci, i = 1,2,...,m con xj ≥ 0, j = 1,2,...,n.” Entonces, consideremos la función lagrangiana L = f (x1,...xn) + m ∑ i=1 yi[ci − gi(x1,...,xn)] Las yi son los multiplicadores de Lagrange. Las condiciones de Kuhn-Tucker para un máximo son Lxj ≤ 0, xj ≥ 0, xj Lxj = 0, j = 1,2,...n Lyj ≥ 0, yi ≥ 0, yi Lyi = 0, i = 1,2,...,m Las condiciones de Kuhn-Tucker para un mínimo son Lxj ≥ 0, xj ≥ 0, xj Lxj = 0, j = 1,2,...n Lyj ≤ 0, yi ≥ 0, yi Lyi = 0, i = 1,2,...,m
- 185. 4.10 (*) Extremos globales. Condiciones de Kuhn-Tucker. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 185 Bajo ciertas hipótesis, las condiciones de Kuhn-Tucker, son condiciones necesarias y suficientes para determinar si en un punto P , la función objetivo w alcanza un máximo o mínimo global. Teorema 4.12 (Versión para restricciones lineales). Dado el problema no lineal “Maximizar (o Minimizar) w = f (x1,x2,...xn) sujeto a gi(x1,...,xn) ≤ ci, i = 1,2,...,m con xj ≥ 0, j = 1,2,...,n,” si se satisfacen las siguientes condiciones: a.) las gi son lineales (diferenciables y convexas) en el octante no negativo, b.) f es diferenciable y cóncava en el octante no negativo, c.) el punto P satisface las condiciones de Kuhn-Tucker entonces en P , la función objetivo w alcanza un máximo (o mínimo) global. Para verificar que un punto P satisface las condiciones de Kuhn-Tucker, se desarrollan estas condiciones, i.e. , se calculan las derivadas parciales Lxj y las Lyi , luego las Lxj se evalúan en P y se debe verificar que existen y1,y2,...,yn tal que se satisface todo el conjunto de condiciones. Ejemplo 4.21 Minimizar w = (x − 4)2 + (y − 4)2, sujeto a las condiciones 2x + 3y ≥ 6, −3x − 2y ≥ −12, x, y ≥ 0. Solución: Ya sabemos que w podría alcanzar un a mínimo global en P = (28 13, 36 13 ). Ahora verificamos si satisface las condiciones de Kuhn-Tucker, pues las condiciones a.) y b.) ya se cumplen. Sea L = (x − 4)2 + (y − 4)2 + y1(6 − 2x − 3y) + y2(−12 + 3x + 2y). Como es un problema de minimiza- ción, las condiciones son 1. Lx = 2(x − 4) − 2y1 + 3y2 ≥ 0 2. Ly = 2(y − 4) − 3y1 + 2y2 ≥ 0 3. Ly1 = 6 − 2x − 3y ≤ 0 4. Ly2 = −12 + 3x + 2y ≤ 0 5. x Lx = 2x(x − 4) − 2xy1 + 3xy2 = 0
- 186. 4.10 (*) Extremos globales. Condiciones de Kuhn-Tucker. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 186 6. y Ly = 2y(y − 4) − 3yy1 + 2yy2 = 0 7. y1Ly1 = 6y1 − 2xy1 − 3yy1 = 0 8. y2Ly2 = −12y2 + 3xy2 + 2yy2 = 0 Las condiciones de no negatividad, claramente se cumplen para el punto P. Ahora debemos evaluar estas ocho condiciones en nuestro punto P y verificar que existen y1,y2 tales que las condiciones se cumplen. Al sustituir en las condiciones 5. y 6. obtenemos que Lx(P) = 0 y que Ly(P) = 0, de donde se obtiene −2y1 + 3y2 = 48/13 −3y1 + 2y2 = 32/13 =⇒ y1 = 0, y2 = 16 13 , que son no negativas como se pedía. Con estos valores de las yi y P, se cumplen todas las condiciones de Kuhn-Tucker. Por tanto en P la función objetivo w alcanza un mínimo global. Ejercicios 18 Resuelva los siguientes ejercicios usando el método gráfico. Aplique, si se puede, las condiciones de Kuhn-Tucker. 4.37 Maximizar w = x2 + y2, sujeto a las condiciones 2x + 3y ≥ 6, −3x − 2y ≥ −12, x, y ≥ 0. 4.38 Maximizar z = 3x + 2y , sujeta a las restricciones −3x + 2y ≤ 6 y −4x + 9y ≤ 36, x,y ≥ 0 4.39 Maximizar z = 4x + 3y , sujeta a las restricciones 2x + 3y ≤ 18 y 4x + 2y ≤ 10, x,y ≥ 0 4.40 Mínimizar z = (x − 1)2 + (y − 2)2 , sujeta a las restricciones −3x + 2y ≤ 6 y −4x + 9y ≤ 36, x,y ≥ 0 4.41 Mínimizar z = 3x2 + (y − 1)2 , sujeta a las restricciones −3x − y ≤ 6 y −4x + y ≤ 6, x,y ≥ 0 4.42 Mínimizar z = −x4 , sujeta a las restricciones x ≤ 6 y x ≥ −2
- 187. 4.10 (*) Extremos globales. Condiciones de Kuhn-Tucker. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 187 Revisado:Julio, 2017 Versión actualizada de este libro y el formato CDF: http://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/Libros/
- 189. Integral doble. Cálculo de integrales dobles. Integral ite- rada. Área y Volumen Cambio de variable en una integral doble. Coordenadas Polares. Coordenadas polares y elipses Integral triple. Cambio de variables en integral triple. Coordenadas cilíndricas. (*) Coordenadas esféricas. Describiendo Superficies en Coordena- das Esféricas. Cambio de variable con coordenadas esféricas. (*) Singularidades. 5 — Integral doble e integral triple. 5.1 Integral doble. Sea R es una región acotada y cerrada del plano, de área A(R) y sea f : R2 → R una función definida y acotada sobre R. Suponga- mos que MR = {R1,R2,...Rn} es un conjunto de n celdas que conforman una malla que cubre R (ver figura). El área de cada celda Ri la denotamos con ∆Ai. Una suma de Riemann de f sobre R es una expresión de la forma n ∑ i=1 f (xi,yi)∆Ai donde (xi,yi) ∈ Ri. Malla MR Celda Ri Si f es continua y positiva sobre R, entonces f (xi,yi)∆Ai aproxima el volumen de cada paralelepípedo Pi de base Ri y altura f (xi,yi); en este caso la suma de Riemann aproxima el volumen del sólido entre la región R y el gráfico de f. Diámetro de la malla. El diámetro de cada celda Ri es la máxima distancia entre todas las distancias entre cualesquiera dos puntos en Ri y se denota ||Ri||. El diámetro de la malla MR es ||MR|| = Supi{||Ri||}. Definición 5.1 (Función integrable). Si las sumas de Riemann de f sobre la malla MR tienen un límite, independiente de la escogencia de los (xi,yi), conforme ||MR|| → 0, entonces decimos que f es integrable sobre R y que la integral es este límite. En este caso escribimos,
- 190. 5.1 Integral doble. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 190 ZZ R f (x,y)dA = lı́m ||M||→0 n ∑ i=1 f (xi,yi)∆Ai con n = Card(M) En el caso de que R = [a,b] × [c,d], la ma- lla MR se puede tomar como un conjunto de rectángulos Rij = [xi,xi+1] × [yj,yj+1] de área ∆Aij = ∆xi∆yj. En este caso es natural reempla- zar el elemento de área dA por dxdy y escribir el límite como, Z b a Z d c f (x,y)dxdy = lı́m n,m→∞ n ∑ i=1 m ∑ j=1 f (xi,yj)∆xi∆yj Malla Ver con CFDPlayer Requiere FreeCDF Player Figura 5.1: Aproximación del volumen de un sólido con sumas de Riemann Las propiedades de las funciones integrables en dos variables son similares a las propiedades de las funiones integrables en una variable. Teorema 5.1 (Propiedades de la funciones integrables). a.) Si f es continua sobre R, entonces f es integrable sobre R. b.) Sea k ∈ R. Si f y g son integrables sobre R, entonces k f y f ± g son integrables sobre R y ZZ R k f (x,y)dA = k ZZ R f (x,y)dA y ZZ R f (x,y) ± g(x,y)dA = ZZ R f (x,y)dA ± ZZ R g(x,y)dA
- 191. 5.2 Cálculo de integrales dobles. Integral iterada. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 191 c.) Si f y g son integrables sobre regiones R y S que no se traslapan, entonces f es integrables sobre R ∪ S y ZZ R∪S f (x,y)dA = ZZ R f (x,y)dA + ZZ S f (x,y)dA d.) Si f y g son integrables sobre R y f (x,y) ≤ g(x,y) para todo (x,y) ∈ R, entonces ZZ R f (x,y)dA ≤ ZZ R g(x,y)dA e.) Si f es integrable sobre R y M ≤ f (x,y) ≤ m para todo (x,y) ∈ R, entonces M A(R) ≤ ZZ R f (x,y)dA ≤ m A(R) Otros tipos de integración. El concepto de integral que hemos visto es el concepto de integral en el sentido de Riemann y es suficiente para los cálculos y las aplicaciones en este libro. Para otros propósitos esta integral no es adecuada y se requiere definir un tipo más general de integración, por ejemplo la integral en el sentido Lebesgue. Una diferencia esencial entre una integral y otra es la manera en que se mide los conjuntos de puntos. La integral de Riemann usa medida de Jordan y la de Lebesgue, medida de Lebesgue. 5.2 Cálculo de integrales dobles. Integral iterada. Integrales iteradas. El teorema de Fubini establece que si f es continua sobre R, la integral doble se puede evaluar por “integración parcial” respecto a cada variable, una a la vez. Este es el método de “integrales iteradas”. Primero debemos especificar dos maneras de describir una misma región. Región entre las curvas y = g1(x) y y = g2(x). R = {(x,y) ∈ R2 tal que a ≤ x ≤ b y g1(x) ≤ y ≤ g2(x)} con g1 y g2 funciones continuas en [a,b]. R Región entre las curvas x = h1(y) y x = h2(y). R = {(x,y) ∈ R2 tal que p ≤ y ≤ q y h1(y) ≤ x ≤ h2(y)} con h1 y h2 funciones continuas en [p,q].
- 192. 5.2 Cálculo de integrales dobles. Integral iterada. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 192 Teorema 5.2 (Fubini). Sea R = {(x,y) ∈ R2 tal que a ≤ x ≤ b y g2(x) ≤ y ≤ g1(x)} con g1 y g2 funciones continuas en [a,b]. Si f es continua en R, entonces ZZ R f (x,y)dA = Z b a Z g2(x) g1(x) f (x,y)dydx = Z b a Z g2(x) g1(x) f (x,y)dy dx R Sea R = {(x,y) ∈ R2 tal que p ≤ y ≤ q y h1(y) ≤ x ≤ h2(y)} con h1 y h2 funciones continuas en [p,q]. Si f es continua en R, entonces ZZ R f (x,y)dA = Z q p Z h2(y) h1(y) f (x,y)dxdy = Z q p Z h2(y) h1(y) f (x,y)dx dy Ejemplo 5.1 Sea R la región de la figura. Vamos a calcular ZZ R xydA usando el orden de integración “dydx” y el orden de integración “dxdy.” Observe que R se puede describir como R : 0 ≤ x ≤ 2, x2 2 ≤ y ≤ x R : 0 ≤ y ≤ 2, y ≤ x ≤ p 2y. Ver con CFDPlayer X Y Integrando en el orden “dydx” ZZ R xydA = Z 2 0 Z x x2 2 xydy dx = Z 2 0 x y2 2 x x2 2 # dx = Z 2 0 x x2 2 − x x4 8 dx = 2 3 X Y
- 193. 5.2 Cálculo de integrales dobles. Integral iterada. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 193 Integrando en le orden “dxdy” ZZ R xydA = Z 2 0 Z √ 2y y xydx # dy = Z 2 0 x2 2 y √ 2y y dy = Z 2 0 2y 2 y − y2 2 y dy = 2 3 X Y Ejemplo 5.2 En este ejemplo se muestra como el número de regiones de integración puede variar, de acuerdo a la elección del orden de integración. Considere la integral I = ZZ R x2 + y2 dA, donde R es la región de la figura. Vamos a calcular esta integral doble, usando el orden de integración “dydx” y el orden de integración “dxdy.” Ver con CFDPlayer Y Orden “dydx”: en este caso R = R1 S R2 S R3. La manera de ver la región es como sigue, Y ZZ R x2 + y2 dA = Z 1 0 Z x2 0 x2 + y2 dy # dx + Z 2 1 Z 1 0 x2 + y2 dy dx + Z 3 2 Z 3−x 0 x2 + y2 dy dx = Z 1 0 x2 y + y3 3 x2 0 dx + Z 2 1 x2 y + y3 3 1 0 dx + Z 3 2 x2 y + y3 3 3−x 0 dx = Z 1 0 x4 + x6 3 dx + Z 2 1 1 3 + x2 dx + Z 3 2 9 − 9x + 6x2 − 4x3 3 dx = 1207 210
- 194. 5.2 Cálculo de integrales dobles. Integral iterada. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 194 Orden “dxdy” I = Z 1 0 Z 3−y √ y x2 + y2 dx dy = Z 1 0 x2 y + y3 3 3−y √ y # dy = Z 1 0 9 − 9y − y 3 2 3 + 6y2 − y 5 2 − 4y3 3 dy = 1207 210 Y Ejemplo 5.3 Considere la integral I = Z 1 0 Z x −x3 f (x,y)dydx + Z 4 1 Z x x−2 f (x,y)dydx. Dibuje la región de integración y re-escriba la integral en el orden “dxdy.” Solución: La región de integración en la primera integral es 0 ≤ x ≤ 1 y x ≤ y ≤ −x3. La región de integración en la segunda integral es 1 ≤ x ≤ 4 y x ≤ y ≤ x − 2. En la figura aparece la región de integración. Si y es la variable independiente,R = R1 S R2 S R3. Orden “dxdy” ZZ R f (x,y)dA = ZZ R3 f (x,y)dA + ZZ R2 f (x,y)dA + ZZ R1 f (x,y)dA = Z 4 2 Z 4 y f (x,y)dxdy + Z 2 0 Z y+2 y f (x,y)dxdy + Z 0 −1 Z y+2 − 3 √ y f (x,y)dxdy
- 195. 5.3 Área y Volumen (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 195 Ejemplo 5.4 Sea I = Z −1 −2 Z x+6 4−4(x+2)2 dydx + Z 0 −1 Z x+6 x+1 dydx. a.) Dibuje la región de integración. b.) Plantear la integral o las integrales que corres- ponden a I invirtiendo el orden de integración. Ver con CFDPlayer Solución: La región es R : 4 − 4(x + 2)2 ≤ y ≤ x + 6 si −2 ≤ x ≤ −1 x + 1 ≤ y ≤ x + 6 si −1 ≤ x ≤ 0 Para integrar en el orden “dxdy” hay que partir la región en tres subregiones R1, R2, R3. R1 : −2 + p 4 − y 2 ≤ x ≤ y − 1 si 0 ≤ y ≤ 1 R2 : −2 + p 4 − y 2 ≤ x ≤ 0 si 1 ≤ y ≤ 4 R3 : y − 6 ≤ x ≤ 0 si 4 ≤ y ≤ 6 Luego, I = Z 1 0 Z y−1 −2+ √ 4−y 2 dxdy + Z 4 1 Z 0 −2+ √ 4−y 2 dxdy + Z 6 4 Z 0 y−6 dxdy 5.3 Área y Volumen De acuerdo con nuestra definición de integral doble, El área AR de una región R se puede calcular con la integral doble (“área de la base × altura”) AR = ZZ R 1dA
- 196. 5.3 Área y Volumen (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 196 Sea f (x,y) ≥ 0 y continua en una región cerrada R. Sea VQ el volumen del sólido Q que tiene a R como base y una altura de medida f (x,y) en cada (x,y) ∈ R, entonces VQ = ZZ R f (x,y)dA Si el sólido Q está limitado, sobre la región cerrada R, por dos superficies de ecuaciones z = f (x,y) y z = g(x,y) con f y g continuas y f (x,y) − g(x,y) ≥ 0 sobre R, entonces VQ = ZZ Rxy f (x,y) − g(x,y)dA Ver con CFDPlayer Pared Muchas veces es conveniente considerar la región R como la proyección del sólido sobre los planos XZ o YZ. Ejemplo 5.5 Sea Q el sólido limitado por las superficies z = 1 − x2, y x + y = 1 en el primer octante. Calcule VQ usando como región R cada una de las proyecciones del sólido sobre los planos XY, YZ, XZ. Ver con CFDPlayer X Y Z Solución: Cálculo de VQ proyectando sobre el plano XZ. La pro- yección sobre el plano XZ se muestra en la figura.La región está entre la curva C2 : z = 1 − x2 y el eje X. Desde el punto de vista del plano XZ, el sólido esta limitado por las superficies x = 0 y y = 1 − x. Integrando en el orden “dzdx” queda Ver con CFDPlayer X Y Z
- 197. 5.3 Área y Volumen (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 197 VQ = Z 1 0 Z 1−x2 0 1 − x − 0 dzdx = Z 1 0 z − zx|1−x2 0 dx = Z 1 0 (1 − x)(1 − x2 )dx = 5 12 Cálculo de VQ proyectando sobre el plano XY. La proyección sobre el plano xy se muestra en la figura La ecuación de la curva C3 corresponde a y = 1 − x con x ∈ [0,1]. Desde el punto de vista del plano XY, el sólido Q esta entre las superficies z = 1 − x2 y z = 0. Integrando en el orden “dydx” queda Ver con CFDPlayer X Y Z VQ = Z 1 0 Z 1−x 0 1 − x2 − 0 dydx = Z 1 0 1 − x − x2 (1 − x)dx = 5 12 Cálculo de VQ proyectando sobre el plano YZ. En este caso, el sólido no está entre dos superificies. Desde el punto de vista del plano YZ, tenemos un sólido Q1 que está entre x = 0 y z = 1 − x2 en la región R1 y un sólido Q2 que está entre x = 0 y el plano x + y = 1 en R2. Ademas, Q = Q1 ∪ Q2, como se muestra en la figura, y entonces VQ = VQ1 + VQ2 Ver con CFDPlayer X Y Z X Y Z X Y Z Proyección La proyección sobre este plano se muestra en la figura. La curva de proyección C1 es la proyección sobre
- 198. 5.3 Área y Volumen (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 198 YZ de la curva de intersección entre la superficie z = 1 − x2 y el plano x + y = 1. C1 tiene ecuación en términos de x e y. z = 1 − x2 x + y = 1 =⇒ z = 1 − (1 − y)2 , y ∈ [0,1] La curva C1 divide la región de integración en dos partes, la región R1 y la región R2. Desde el punto de vista del plano YZ, el sólido está limitado por las superficies x = √ 1 − z y x = 0 sobre R1. x = 1 − y y x = 0 sobre R2. Integrando en el orden “dzdy” queda VQ = Z 1 0 Z 1 2y−y2 √ 1 − z − 0 dzdy + Z 1 0 Z 2y−y2 0 1 − y − 0 dzdy = Z 1 0 2 1 − 2y + y2 3/2 3 dy + Z 1 0 2y − 3y2 + y3 dy = 5 12 Nota: 1 − 2y + y2 3/2 = p (y − 1)6 = |(y − 1)3| = −(y − 1)3 si y ∈ [0,1]. Ejemplo 5.6 (Volumen en coordenadas rectangulares). Ver con CFDPlayer Requiere FreeCDF Player Plantee la integral (o las integrales) con las que se puede obtener el volumen del sólido Q limitado por las superficies S1 : y = x2 + z2, S2 : y = 1, S3 : y = 4, en el primer octante. Solución: Vamos calcular el volumen usando la proyección del sólido Q en el plano XZ, usando el orden de integración “dzdx”. La proyección del sólido Q es R = R1 + R2 + R3, como se muestra en la
- 199. 5.3 Área y Volumen (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 199 figura de abajo. El cálculo con las otras dos proyecciones lo puede ver en el CDF. Observemos que en la región R1 el sólido está entre las superficies y = 1 y y = 4 mientras que en las otras dos regiones, el solido está entre las superficies y = x2 + z2 y y = 4. R1 R2 R3 0.5 1.0 1.5 2.0 X 0.5 1.0 1.5 2.0 Z VQ = ZZ R1 3dA + ZZ R2 4 − x2 − z2 dA + ZZ R3 4 − x2 − z2 dA = Z 1 0 Z √ 1−x2 0 3dzdx + Z 1 0 Z √ 4−x2 √ 1−x2 4 − x2 − z2 dzdx + Z 2 1 Z √ 4−x2 0 4 − x2 − z2 dzdx Ejemplo 5.7 Sea Q el sólido limitado por las superficies x2 + z2 = 4, x + y = 5, z = 2, y = z = 0. Plantear la o las integrales dobles necesarias para calcular VQ usando como región R cada una de las proyecciones del sólido sobre los planos YZ, XZ, XY Ver con CFDPlayer 5 2 3 4 2 2 Solución: Cálculo de VQ proyectando sobre el plano XZ. La proyección Ryz sobre el plano xz se muestra en la figura. La ecuación de la curva C2 corresponde a x2 + z2 = 4 con x ∈ [0,2].
- 200. 5.3 Área y Volumen (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 200 Sobre la región Ryz, el sólido Q esta entre las superficies y = 0 (abajo) y y = 5 − x (arriba). 2 5 3 1 Usando el orden de integración “dxdz” tenemos VQ = Z 2 0 Z 5 √ 4−z2 5 − x − 0dxdz = Z 2 0 29 2 − z2 2 − 5 p 4 − z2 dz = 29z 2 − z3 6 − 5z √ 4 − z2 2 − 10 arcsin z 2 2 0 = 83 3 − 5π ≈ 11.9587 Nota: Utilizando la sustitución trigonométrica z 2 = senθ, se obtiene (salvo constantes) Z p 4 − z2 dz = z √ 4 − z2 2 + 2 arcsin z 2 . Cálculo de VQ proyectando sobre el plano YZ. La proyección Ryz sobre el plano yz se muestra en la figura Para hallar la ecuación de la curva C1 observe que esta curva esta arriba del eje y por lo que: C1 : x2 + z2 = 4 ∩ x + y = 5 =⇒ z = + p 4 − (5 − y)2 si y ∈ [3,5] o y = 5 − √ 4 − z2 si z ∈ [0,2]
- 201. 5.3 Área y Volumen (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 201 2 5 2 3 Sobre la región Ryz, el sólido Q está entre las superficies x = √ 4 − z2 (abajo) y x = 5 − y (arriba). Usando el orden de integración “dydz” tenemos VQ = Z 2 0 Z 5− √ 4−z2 0 5 − y − p 4 − z2 dydz = 83 3 − 5π ≈ 11.9587 Cálculo de VQ proyectando sobre el plano XY. La proyección sobre el plano se muestra en la figura. La ecuación de la curva C3 corresponde a y = 5 − x con x ∈ [0,5]. Esta curva divide la región de integración en dos regiones R1 y R2. El sólido Q esta limitado por las superficies z = √ 4 − x2 (abajo) y z = 2 (arriba) sobre R1 z = 0 (abajo) y z = 2 (arriba) sobre R2 2 5 3 2 Usando el orden de integración “dydx” tenemos
- 202. 5.3 Área y Volumen (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 202 VQ = Z 2 0 Z 5−x 0 2 − p 4 − x2 dydx + Z 5 2 Z 5−x 0 2 − 0dydx = 83 3 − 5π ≈ 11.9587 Ejemplo 5.8 Considere el sólido Q esta limitado por las superficies 4z = x2 + y2, y = 3, y = 1, z = 4, y x = 0. Vamos a calcular el volumen deQ en el plano YZ. Usando el CDF asociado, podremos ver también las proyecciones en los otros planos a.) Dibuje la región de integración en el plano yz. b.) Plantee la o las integrales correspondientes al volumen del sólido utilizando la proyección del item anterior. Solución: La región de integración aparece en la figura. VQ = Z 3 1 Z 4 y2/4 q 4z − y2 − 0dzdy Ejercicios 19 5.1 El área de la región Rxy viene dada por Z 1 0 Z y 0 dxdy + Z 2 1 Z √ 2−y 0 dxdy. Dibuje la región Rxy y calcule la integral en el orden dydx. 5.2 Considere la integral I = Z 4 0 Z 8−z2/2 4−z xy dydz dydz dydz + Z 0 −4 Z 8−z2/2 4+z xy dydz dydz dydz. Dibuje la región de integración y plantear la integral I usando el orden de integración dzdy dzdy dzdy.
- 203. 5.3 Área y Volumen (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 203 5.3 Considere la región R que se muestra a la derecha (región sombreada). Esta región está limitada por las curvas y = 0; y = 2; y = 2 − (x + 2)2 y x + y = 2. Plantear la integral ZZ R f (x,y)dA en el orden “dxdy” y en el orden “dydx” R 5.4 Considere la región R a la derecha. Esta región está limitada por las curvas y = 0; y = 2; y = 2 − (x + 2)2 y y = (x − 3)2. Plantear la integral ZZ R f (x,y)dA en el orden “dxdy” y en el orden “dydx” 5.5 Sea Q el sólido comprendido entre las super- ficies S1 : y = x2, S2 : y + z = 4, S3 : y − x = 3 y S4 : z = 0; tal y como se muestra en la figura a la derecha. a.) Dibuje la región de integración en el plano XY y en e plano XZ b.) Calcule el volumen del sólido Q. Z 5.6 Plantear la o las integrales necesarias para calcular el volumen del sólido Q si este sólido está limitado por x2 + y2 = 4; z + y = 2; y = 1; x = 0; y = 0 y z = 0, en el I octante
- 204. 5.4 Cambio de variable en una integral doble. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 204 5.7 Plantear la o las integrales necesarias para calcular el volumen del sólido Q si este sólido está limitado por las superficies y = 2 − 2x2; y = 1 − x2; y + 2z = 2; x = 0 y z = 0; en el I octante. 1 1 2 1 X Y Z 5.8 Plantear la integral que da el volumen del sólido Q, del ejemplo 5.8, proyectando sobre el plano XY 5.9 Plantear la o las integrales necesarias para calcular el volumen sólido Q si este sólido está limitado por la superficie y2 + z2 = 4 y los planos 2x − 2y + z = 2; x = 0 y z = 0. 1 2 3 2 3 2 5.10 Considere el sólido Q limitado por el cilin- dro x2 + y2 = 1/4, el cono 3z2 = x2 + y2, la esfera x2 + y2 + z2 = 1 y los planos x = 0 y x = y; tal y como se muestra en la figura 5.3. Plantear la integral (o las integrales) necesarias para calcular el volumen del sólido Q 5.4 Cambio de variable en una integral doble. En una variable, si f tiene una derivada continua en [a, b] y x = x(u) está definida en [u1, u2] con a = x(u1) y b = x(u2), y si f (x(u)) es continua en [u1, u2], entonces
- 205. 5.4 Cambio de variable en una integral doble. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 205 Z b a f (x)dx = Z u2 u1 f (x(u)) dx du du (∗) La inversa u = u(x) existe solo si x(u) es strictamente creciente o decreciente, pero no es una condición que se pida en la fórmula (∗). Hay una fórmula análoga a (∗) para integrales dobles; ZZ Rxy f (x,y)dxdy = ZZ Ruv f (x(u,v), y(u,v)) ∂(x,y) ∂(u,v) dudv con ∂(x,y) ∂(u,v) = Det ∂x ∂u ∂x ∂v ∂y ∂u ∂y ∂v Se asume que las funciones x = x(u,v), y = y(u,v) están definidas y tienen derivadas parciales continua en la región de integración Ruv en el plano uv. En este caso si se asume que las funciones inversas u = u(x,y), v = v(x,y) están definidas y son continuas en Rxy y que hay un mapeo invertible entre el interior de Rxy y el interior de Ruv. La función f (x,y) se asume continua en Rxy y así f (x(u,v), y(u,v)) es continua en Ruv. También se asume que el Jacobiano J(u,v) = ∂(x,y) ∂(u,v) es no nulo en el interior de Ruv. La restricción de que el cambio de variable sea invertible en el interior de Rxy (y por tanto que J(u,v) no se anule en el interior de Ruv ) es necesaria para poder usar cambio de variable con coordenadas polares en regiones que contienen el origen. U V X Y Teorema 5.3 (Cambio de variable). Sea Ruv una región compacta y conexa en el plano contenida en un cojunto abierto A de R2. Sea r r r : A → R2 con r r r(u,v) = (x(u,v), y(u,v)), una función continua con derivadas parciales continuas tal
- 206. 5.4 Cambio de variable en una integral doble. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 206 que r r r es invertible en el interior de Ruv y J(u,v) = Det ∂x ∂u ∂x ∂v ∂y ∂u ∂y ∂v es no nulo en el interior de Ruv. Sea Rxy = r r r(Ruv) y f : Rxy → R una función continua. Entonces, ZZ Rxy f (x,y)dxdy = ZZ Ruv f (x(u,v), y(u,v))|J(u,v)|dudv Notas. Observe que el Jacobiano J(u,v) va en valor absoluto dentro de la integral. Además solo se requiere que r r r(u,v) sea invertible en el interior de Ruv y por tanto |J(u,v)| no se anule en el interior de Ruv. Para verificar que un cambio de variable es invertible en una región uno podría, si se puede, calcular la transformación inversa r r r−1(x,y). En los ejemplos de este libro es sencillo calcular esta inversa. El ’Teorema de la Función Inversa’ solo dice, con las hipótesis respectivas, que si J(u0,v0) no se anula, entonces r r r(u,v) es invertible en un entorno de (u0,v0), pero no nos da información de si hay una inversa ‘global’. Sin embargo en la literatura se encuentran teoremas con condiciones especiales para ‘globalizar’ el resultado. Idea geométrica. Consideremos el cambio de variable x = x(u,v), y = (u,v) que transforma R en S y que cumplen las condicioes del teorema. Este cambio de variable define una función invertible r r r(u,v) = x(u,v) ı̂ + y(u,v) ̂ en el interior de S y S = r r r(R). r r Tomemos un rectángulo Rij de una malla M de R. r r r transforma el lado u = ui en la curva
- 207. 5.4 Cambio de variable en una integral doble. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 207 Ci : r r r(ui,v), v ∈ [vj,vj + ∆v] y el lado v = vj en la curva Cj : r r r(u,vj), v ∈ [ui,ui + ∆u]. Si además r r r−1 es continua, r r r es un homeomorfismo y la frontera del rectángulo Rij es ’mapeada’ en la frontera de S = r r r(Rij) y el interior en el interior. U V X Y Si r r r(ui,vj) = (xi,yj), un vector tangente en (xi,yj) en Ci es ∂r r r(ui,v) ∂v v=vj . Como este vector representa la velocidad a la que se desplaza el punto r r r(ui,v) cuando v va de vj a vj + ∆v, entonces en la curva Ci, (xi,yj) se desplaza, en el tiempo ∆v, una distancia aproximada ∂r r r(ui,v) ∂v v=vj ∆v. Usando el teorema del valor medio para derivadas lo diariamos así, r r r(ui,v + ∆v) − r r r(ui,v) ≈ ∆u r r rv Analogamente, un vector tangente en (xi,yj) en Cj es ∂r r r(u,vj) ∂v u=ui . Como este vector representa la velocidad a la que se desplaza el punto r r r(u,vj) cuando u va de ui a ui + ∆u, entonces en la curva CJ, (xi,yj) se desplaza, en el tiempo ∆v, una distancia aproximada ∂r r r(u,vj) ∂u u=ui ∆u. Por tanto, el rectángulo Rij en R, se transforma en una porción del plano XY que es casi el paralelogramo de lados ∂r r r(ui,v) ∂v v=vj ∆v y ∂r r r(u,vj) ∂u u=ui ∆u. El área de este paralelogramo es, en términos de producto vectorial, ∂r r r(ui,v) ∂v v=vj × ∂r r r(u,vj) ∂u u=ui ∆u∆v
- 208. 5.4 Cambio de variable en una integral doble. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 208 En la figura que sigue se ilustra esta situación con un punto genérico (u,v). X Y ' r r r El área del paralelogramo “curvilíneo” es aproximadamente el área del paralelogramo de lados ∂r r r ∂v ∆v y ∂r r r ∂u ∆u. El área de este último paralelogramo es ∂r r r ∂v × ∂r r r ∂u ∆u∆v = ı̂ ̂ k̂ ∂x ∂u ∂y ∂u 0 ∂y ∂u ∂y ∂v 0 = ∂x ∂u ∂y ∂u ∂y ∂u ∂y ∂v = |J(u,v)| k̂ De esta manera, si J(u,v) = 1, el cambio de variable conserva las áreas. Sino, el área de cada paralelogramo en XY es aproximadamente el área de cada rectángulo en UV, múltiplicada por |J(u,v)|. Por eso decimos que |J(u,v)| opera como un factor de compensación por la ‘deformación’ sufrida por la región ante un cambio de variable. Si la integral existe, deberíamos tener AS = ZZ S 1dxdy ≈ m ∑ i=1 n ∑ i=1 ASij ≈ m ∑ i=1 n ∑ i=1 |J(u,v)|u=ui, v=vj ∆u∆v = ZZ R |J(u,v)|dudv Y en general, AS = ZZ S f (x,y)dxdy ≈ m ∑ i=1 m ∑ i=1 f (xi,yj)ASij ≈ m ∑ i=1 m ∑ i=1 f (r r r(ui,vj))|J(u,v)|u=ui, v=vj ∆u∆v = ZZ R f (u,v)|J(u,v)|dudv
- 209. 5.4 Cambio de variable en una integral doble. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 209 Ejemplo 5.9 Calcular ZZ Rxy e y−x y+x dA usando el cambio de variable u = y − x y v = y + x. La región Rxy está limitada por las rectas x + y = 2, x = 0 y y = 0. Solución: . Primero debemos dibujar las región de integración Ruv para luego integrar. Nueva región de integración. El cambio de variable es invertible y la inversa es continua, entonces aplicamos el cambio de variable a la frontera de la región Rxy para calcular las curvas frontera de la región Ruv. Como v = y + x, el segmento de recta x + y = 2 corresponde a v = 2. Si x = 0 entonces u = v y si y = 0 entonces u = −v. X Y El cambio de variable es invertible: Resolviendo u = y − x v = y + x obtenemos x = 1 2 (v − u) y y = 1 2 (v + u). Calculamos el Jacobiano. J(u,v) = Det −1/2 1/2 1/2 1/2 = −1/2. Cálculo de la integral. ZZ Rxy e y−x y+x dA = ZZ Ruv e u v |J(u,v)|dudv = 1 2 Z 2 0 Z v −v e u v dudv = e − 1 e .
- 210. 5.5 Coordenadas Polares. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 210 Ejemplo 5.10 Calcule ZZ Rxy (y2 − x2 ) e(x+y)2 dA, donde Rxy es la región mostra- da en la figura. Utilice el cambio de variable u = y − x v = y + x Solución: Si u = y − x v = y + x entonces x = 1 2 (v − u) y = 1 2 (u + v) X Y 4 Como la inversa es continua, aplicando el cambio de variable a la frontera de Rxy , obtenemos la frontera de la región Ruv. A y = −x + 4 le corresponde, sustituyendo x e y, v = 4. A y = −x le corresponde v = 0 y A y = x + 4 le corresponde u = 4. La nueva región es más simple. ZZ Rxy (y2 − x2 ) e(x+y)2 dA = Z 4 0 Z 4 0 uvev2 dvdu = 4 · e16 − 4. Como se ve en los ejemplos anteriores, se usa el cambio de variable en la forma x = x(u,v), y = (u,v) tanto como u = u(x,y), v = v(x,y). Siempre hay que estar al tanto de que se cumplan las hipóstesis, en particular la invertibilidad. 5.5 Coordenadas Polares. Este cambio de variable es muy útil cuando la región de integración tiene curvas frontera fáciles de describir en coordenadas polares. Una introducción al tema de coordenadas polares la puede encontrar en el “Apéndice B: Coordenadas Polares” o la versión CDF (en la liga del párrafo qu sigue). Coordenadas polares. Un punto P = (x,y) ∈ R2 se puede especificar en coordenadas polares (r,θ) donde r es la distancia del origen a P y θ es el ángulo medido desde el eje X contrareloj. La conversión de coordenadas polares a coordenadas cartesianas se hace con la transformación
- 211. 5.5 Coordenadas Polares. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 211 x = rcos(θ) y = rsen(θ) (*) X Y Para efectos de cambio de variable, esta transformación es invertible si r 0 y si θ ∈ [θ0, θ0 + 2π[. Podemos definir la inversa desde R+ × [0, 2π[ a R2 − {(0,0)} con r = p x2 + y2 y θ el único ángulo θ ∈ [0, 2π[ que satisface (∗), es decir θ = arctan(y/x) si x 0 y θ = arctan(y/x) + π si x 0 pues arctan(t) está definida en ] − π/2, π/2[ (si r = 0, el cambio de variable aplica todo el eje θ en el origen (0,0).) r θ (3, π/6) x y θ = π/6 r = 3 Poniendo u = r y v = θ tenemos el cambio de variable, x = rcos(θ) y = rsen(θ) En este caso, J(r,θ) = ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂y ∂r ∂y ∂θ = r X Y Como ya indicamos, este cambio de variable es invertible si r 0 y si θ ∈ [θ0, θ0 + 2π [ (a veces es cómodo tomar ángulos negativos). Si en R y R0 se cumplen las condiciones del teorema de cambio de variable, entonces ZZ R f (x,y)dA = ZZ R0 f (rcos(θ), rsen(θ))rdrdθ
- 212. 5.5 Coordenadas Polares. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 212 En el caso de coordenadas polares, la nueva región Rrθ se puede describir en el mismo sistema XY. Si una región R se puede describir como una región en coordena- das polares tal que 0 ϕ0(θ) ≤ r ≤ ϕ1(θ) si θ0 ≤ θ ≤ θ1 donde θ1 − θ0 ≤ 2π entonces X Y ZZ R f (x,y)dA = Z θ1 θ0 Z ϕ1(θ) ϕ0(θ) f (rcos(θ), rsen(θ))rdrdθ Si una región R se puede describir como una región en coordenadas polares tal que 0 ≤ r ≤ ϕ1(θ) si θ0 ≤ θ ≤ θ1 entonces X Y ZZ R f (x,y)dA = Z θ1 θ0 Z ϕ1(θ) 0 f (rcos(θ), rsen(θ))rdrdθ Nota. En este caso, el cambio de variable es invertible en el interior de la región (r 0) y además aquí el Jacobiano no se anula, así que no afecta que r = 0. Nota. Las fórmulas anteriores requieren conocer de manera correcta el intervalo de integración. En algunas curvas en coordenadas polares se requiere ser especialmente cuidadoso con este detalle, sobre todo las curvas que tienen lazos. Si una región está entre dos curvas, hay que tener el cuidado de que las dos curvas “barran” la región en el mismo intervalo para el ángulo θ. 5.5.1 Coordenadas polares y elipses Para regiones elípticas se puede proceder de la siguiente manera: La región R = (x,y) ∈ R2 | x2 a2 + y2 b2 ≤ 1 se puede convertir en un círculo centrado en el origen con el cambio de variable (“coordenadas polares generalizadas”)
- 213. 5.5 Coordenadas Polares. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 213 x = ar cost y y = br sent; el Jacobiano es J = r ab La nueva región es D = {(u,v) ∈ R2 |u2 + v2 ≤ 1}. La integral se puede hacer usando coordenadas polares u = rcosθ y v = rsenθ. Y, por supuesto, una elipse (o un círculo) con traslación se le puede aplicar una trasformación previa. Por ejemplo, la región R = (x,y) ∈ R2 | (x − h)2 a2 + (y − k)2 b2 ≤ 1 se le aplica el cambio de variable u = x − 1 a , v = y − 2 b . El jacobiano es |J| = 1 ab . La nueva región es D = {(u,v) ∈ R2 |u2 + v2 ≤ 1}. La integral se puede hacer usando coordenadas polares u = rcosθ y v = rsenθ. Ejemplo 5.11 Ver con CFDPlayer Requiere FreeCDF Player Calcule, usando corrdenadas polares, el área de la región R tal y como se muestra en la figura. Solución: La ecuación de la curva es x2 + y2 + 2x = q x2 + y2 Como r2 = x2 + y2, haciendo la conversión a coordenadas polares obtenemos la ecuación r2 + 2rcosθ = r, es decir, r = 1 − 2cosθ La curva inicia cuando r = 0. Resolvemos r = 0 =⇒ 1 − 2cosθ = 0 =⇒ θ = ±π/3 en [0,2π]. Así, la región está entre los rayos θ = π/3 y θ = π. Entonces, AR = ZZ R 1 · rdrdθ = Z π π/3 Z 1−2cosθ 0 1 · rdrdθ = 1 4 2π − 3 √ 3
- 214. 5.5 Coordenadas Polares. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 214 Ejemplo 5.12 Ver con CFDPlayer Requiere FreeCDF Player Considere la región R que se muestra en la figura. Calcule, usando corrdenadas polares, I = ZZ R q x2 + y2 dA. 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Solución: La región está entre las curvas r = 2 y r = 4sen2θ. Como r = 0 =⇒ r = sen2θ = 0 =⇒ θ = 0 y θ = π 2 . Podemos verificar con la figura que el dominio de la curva r = 4sen2θ es [0, π/2.] Para obtener los límites de integración, buscamos la intersección entre las curvas: r = 2 ∩ ∩ ∩ r = 4sen2θ, es decir, 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 2 = 4sen2θ =⇒ θ = π 12 y θ = 5π 12 . I = ZZ R r · rdrdθ = Z 5π/12 π/12 Z 4sen2θ 2 r2 drdθ
- 215. 5.5 Coordenadas Polares. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 215 Ejemplo 5.13 (Volumen en coordenadas polares). Ver con CFDPlayer Requiere FreeCDF Player Plantee la integral (o las integrales) con las que se puede obtener el volumen del sólido Q limitado por las superficies S1 : y = x2 + z2, S2 : y = 1, S3 : y = 4, en el primer octante. Solución: La proyección del sólido Q es R = R1 + R2, como se muestra en la figura de la derecha. Usamos el cambio de variable x = rcosθ, z = rsenθ. La proyección del sólido Q en el plano XZ está entre las curvas r = 0 y r = 1 y entre r = 1 y r = 2. Ejemplo 5.14 Ver con CFDPlayer Requiere FreeCDF Player Calcule I = Z R xydA si R es la región limitada por las curvas r = 1 − 2cosθ y r = 2senθ , tal y como se muestra en la figura. Solución: La región de integración llega hasta la intersección de las curvas en θ = θ1. Cálculo de θ1 :
- 216. 5.5 Coordenadas Polares. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 216 1 − 2cosθ = 2sen(θ), elevamos al cuadrado, −3 − 4cosθ + 8cos2 θ = 0, hacemos sustitución y resolvemos, cosθ = 4 ± √ 112 16 La solución que nos sirve es θ1 = arccos 4− √ 112 16 ≈ 1.994 Tangentes al polo: 1 − 2cosθ = 0 = =⇒ θ = π 3 2senθ = 0 = =⇒ θ = 0 I = Z R xy dA = Z π/3 0 Z 2sen(θ) 0 [rcos(θ) rsen(θ)] · rdrdθ + Z θ1 π/3 Z 2sen(θ) 1−2cos(θ) r3 cos(θ) sen(θ)drdθ con θ1 = arccos 4 − √ 112 16 ! Ejemplo 5.15 Calcule, usando corrdenadas polares, el área de la región R tal y como se muestra en la figura. Solución: La ecuación de la curva es r = 4 + 4sen3θ. La curva inicia cuando r = 0. Resolvemos r = 0 =⇒ 4 + 4sen3θ = 0 =⇒ θ = − π 6 + 2k π 3 . Como tenemos la figura, podemos verificar (posiblemente con una tabla de valores) que los límites de integración adecuados son θ = − π 6 y θ = π 2 . 1 2 3 4 5 6 7 1 1 2 3 4
- 217. 5.5 Coordenadas Polares. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 217 AR = ZZ R 1 · rdrdθ = Z π/2 −π/6 Z 4+4senθ 0 1 · rdrdθ = 8π 1 2 3 4 5 6 7 1 1 2 3 4 Ejemplo 5.16 Calcular el área de la región limitada por la curva de ecuación (x2 + y2)2 − x2 + y2 = 0, x ≥ 0 (región celeste en la figura). Solución: Haciendo el cambio de variable x = rcosθ y y = rsenθ y sustituyendo en (x2 + y2)2 − x2 + y2 = 0, ob- tenemos r2 cos(θ)2 + r2 sin(θ)2 2 − r2 cos(θ)2 + r2 sen(θ)2 = 0 Simplificando queda r2 = cos(2θ), que es la ecuación de la lemniscata. Como x ≥ 0 entonces la mitad de la lemniscata que nos interesa es r = p cos(2θ). Tangentes al Polo: r = 0 =⇒ p cos(2θ) = 0 =⇒ θ = ± π 4 . Como tenemos la figura, podemos ver que estos rayos corresponden a los límites integración. Luego, el área de la región es Z π/4 −π/4 Z √ cos(2θ) 0 rdrdθ = 1/2 Z π/4 −π/4 cos(2θ)dθ = 1/2.
- 218. 5.5 Coordenadas Polares. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 218 Ejemplo 5.17 Calcular el área Ac del círculo de radio a. Solución: Para este cálculo podemos usar un círculo de radio a, centrado en el origen. La cir- cunferencia del círculo tiene ecuación cartesiana x2 + y2 = a2. Para obtener la ecuación en polares, sustituimos x = rcosθ e y = rsenθ y despejamos r : x2 + y2 = a2 =⇒ (rcosθ)2 + (rsenθ)2 = a2 =⇒ r2 = a2. Así, en coordenadas polares, la región de inte- gración va desde r = 0 hasta r = a y 0 ≤ θ ≤ 2π. X Y Ac = ZZ R 1 · dA = Z 2π 0 Z a 0 rdrdθ = Z 2π 0 r2 2 a 0 dθ = Z 2π 0 a2 2 dθ = a2 2 θ 2π 0 = π a2 Ejemplo 5.18 (Volumen) Plantear una integral, en polares, para calcular el volumen del sólido Q limitado por las superficies z = y x2 + 4 , x2 + y2 = 4 y z = 0 con x ≥ 0 y y ≥ 0. Solución: El sólido y su proyección sobre el plano XY se ven en la figura. X Y X Y Pasando a coordenadas polares tenemos VQ = ZZ R y x2 + 4 − 0 dA = Z π/2 0 Z 2 0 rsen(θ) r2 cos2(θ) + 4 rdrdθ
- 219. 5.5 Coordenadas Polares. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 219 Nota: Esta última integral se puede calcular observando que Z x arctan(x)dx = 1 2 −x + 1 + x2 arctanx , salvo constantes. Z π/2 0 Z 2 0 f (r,θ)drdθ = Z 2 0 Z π/2 0 f (r,θ)dθ dr, pues estamos integrando sobre un rectángulo. Veamos, VQ = ZZ R y x2 + 4 dA = Z π/2 0 Z 2 0 r2 sen(θ) r2 cos2(θ) + 4 drdθ = Z 2 0 Z π/2 0 r2 sen(θ) r2 cos2(θ) + 4 dθ dr = Z 2 0 Z 1 0 r2 4 + r2u2 dudr, (haciendo u = cosθ). = Z 2 0 Z 1 0 r 2 r/2 1 + (ru/2)2 dudr = Z 2 0 r 2 arctan(ru/2) 1 0 dr = Z 2 0 r 2 arctan(r/2)dr = 1 2 (π − 2). Ejemplo 5.19 (Volumen). Calcule el volumen del sólido Q limitado por las superficies z = 1 1 + x2 + y2 , x2 + y2 = 1 y z = 0. X Y Z X Y Solución:
- 220. 5.5 Coordenadas Polares. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 220 El sólido y su proyección sobre el plano XY se ven en la figura. El sólido Q está limitado por z = 1 1 + x2 + y2 y z = 0. Aplicando coordenadas polares (y como no hay singularidades) tenemos VQ = ZZ R 1 1 + x2 + y2 dA = Z 2π 0 Z 1 0 1 1 + r2 rdrdθ = Z 2π 0 1 2 ln(1 + r2 ) 1 0 dθ = Z 2π 0 1 2 ln(2)dθ = πln(2) Ejemplo 5.20 Calcule ZZ R xy (1 + x2 + y2)2 dA si R = {(x,y) ∈ R : x2 + y2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0}. Solución: La región R es la parte del círculo de radio 1, centrado en el origen, que está en el primer octante. Aquí usamos el hecho de que Z b a Z q p f (θ)g(r)drdθ = Z b a f (θ)dθ · Z q p g(r)dr. ZZ R xy (1 + x2 + y2)2 dA = Z π/2 0 Z 1 0 r3 cosθ senθ (1 + r2)2 drdθ = Z π/2 0 cosθ senθ dθ · Z 1 0 r3 (1 + r2)2 dr = 1 8 ln4 − 1 8 Ejercicios 20 5.11 Considere la región R que se muestra en la figura. Calcule, usando corrdenadas polares, I = ZZ R (x2 + y2 )dA. 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
- 221. 5.5 Coordenadas Polares. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 221 5.12 Considere la región R de la figura. Calcular el área AR de la región R, usando coordenadas polares. X Y 5.13 (*) Calcular el área de la región limitada por el lazo de la curva r = 1/2 + cosθ. Ayuda: Notar que el lazo interno va de θ = 2π/3 a θ = 4π/3. X Y 5.14 (*) Verifique, usando coordenadas polares, que el área de la región R (región sombreada mostrada en la figura) es 11 √ 3 2 + 14π 3 ≈ 24.187. Debe ser cuidadoso con la escogencia correcta de los límites de integración. 3 2 1 1 2 3 2 1 1 2 3 4 5 5.15 Utilizando coordenadas polares, plantear la o las integrales que permiten calcular el área de la región R (región sombreada) mostrada en la figura. X Y
- 222. 5.5 Coordenadas Polares. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 222 5.16 (*) Verifique, usando coordenadas polares, que el área de la región R (región sombreada mostrada en la figura) es ≈ 1.0708. Debe ser cuidadoso con la escogencia correcta de los límites de integración. En la región de integración, la circunferencia celeste va de θ = π/2 hasta θ = π que no es el mismo intervalo para la circunferencia r = 1. 5.17 Calcular el área de las regiones sombreadas. 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 0.5 1.0 1.5 2.0 a) 1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5 1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5 b) 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 c) 3 2 1 1 2 3 4 3 2 1 1 2 d)
- 223. 5.5 Coordenadas Polares. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 223 5.18 Calcule, usando coordenadas pola- res, el volumen del sólido Q limitado por el cono z2 = x2 + y2 y la esfera x2 + y2 + z2 = 1. 5.19 Calcule el volumen del sólido Q limitado por las superficies x2 + z2 = 4, x2 + (z − 1)2 = 1 y x = 4 − y, en el primer octante; como se muestra en la figura. Ayuda: Proyectar sobre XZ y usar coorde- nadas polares. X Y Z 5.20 Considere el sólido Q limitado por el cilin- dro x2 + y2 = 1/4, el cono 3z2 = x2 + y2, la esfera x2 + y2 + z2 = 1 y los planos x = 0 y x = y; tal y como se muestra en la figura. Calcular el volumen del sólido Q 5.21 Calcular el área AR de la región elíptica R = (x,y) ∈ R2 | x2 a2 + y2 b2 ≤ 1 . 5.22 Calcular ZZ R (x − 1)2 dA donde R = (x,y) ∈ R2 | (x − 1)2 9 + y2 25 ≤ 1 . 5.23 Usando el cambio de variable x = u2 − v2, y = 2uv; calcular I = ZZ T xydA donde T es el rectángulo de vértices (1,1), (2,1), (2,3) y (1,3). 5.24 Calcule ZZ T e(x+y)/(x−y) dA usando el cambio de variable u = x + y, v = x − y; donde T es el trapecio de vértices (1,0), (2,0), (0,−2) y (0,−1).
- 224. 5.6 Integral triple. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 224 5.25 Calcule ZZ T cos y − x y + x dA donde T es el trapecio de vértices (1,0), (2,0), (0,2) y (0,1). Ayuda: Usar cambio de variable u = y − x, v = y + x. 5.26 Calcule ZZ T xydA donde T es la región limitada por y = x, y = 3x, xy = 1 y xy = 3; en el primer cuadrante. Use el cambio de variable x = u/v y y = v. 5.6 Integral triple. Consideremos un cubo Q como el de la figura a la derecha. Su volumen es VQ = abc. Si la densidad ρ es constante en todo el cubo, la masa viene dada por MQ = ρVQ Si la densidad no es constante y ρ = ρ(x,y,z), entonces para obtener una aproximación de la masa, dividimos Q en N cubos Qi de volumen ∆Vi = ∆xi∆yi∆zi. Así, la densidad en el punto Pi(xi,yi,zi) es ∆Mi ≈ ρ(xi,yi,zi)∆xi∆yi∆zi. X Y La masa total del cubo Q sería, M ≈ N ∑ i=1 ∆Mi = N ∑ i=1 ρ(xi,yi,zi)∆xi∆yi∆zi Ahora, tomando el límite cuando N → ∞ (si existe), obtenemos M = lı́m N→∞ N ∑ i=1 ρ(xi,yi,zi)∆xi∆yi∆zi Esto es muy parecido a la integral de Riemann que definimos al principio de este capítulo. En realidad podemos reemplazar la malla MR por MQ = {Q1,Q2,...QN} y definir la integral triple de Riemann de una función f (x,y,z) sobre una región tridimensional Q como ZZZ Q f (x,y,z)dV = lı́m ||MQ||→∞ C(MQ) ∑ i=1 f (xi,yi,zi)∆Vi Los teoremas para integral doble se extienden de manera natural a la integral triple.
- 225. 5.6 Integral triple. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 225 (Integral Triple). Sea Q un sólido limitado por dos superficies suaves de ecuación z = f (x,y) (arriba) y z = g(x,y) (abajo), con f, g con derivadas parciales continuas. Sea Rxy su proyección, limitada por funciones con derivadas continuas. Si h(x,y,z) es continua sobre Q, entonces ZZZ Q f (x,y,z)dV = ZZ Rxy Z f (x,y) g(x,y) h(x,y,z)dz dA En particular, VQ = ZZZ Q 1 · dV = ZZ Rxy Z f (x,y) g(x,y) 1dzdA Ver con CFDPlayer Pared Ejemplo 5.21 Calcular, usando el orden “dxdzdy”, I = ZZZ Q 2x cos(y + z)dV con Q el sólido limitado por las superficies (ver figura) y + z = π, y = √ x, x = z = 0 Solución: Por el orden de integración que se pide, debemos proyectar sobre el plano YZ. Usaremos las integral Z y4 senydy = − 24 − 12y2 + y4 cosy + 4y −6 + y2 siny + K, que se calcula
- 226. 5.6 Integral triple. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 226 “por partes”. El sólido Q está entre x = 0 y x = y2. ZZZ Q 2x cos(y + z)dV = Z π 0 Z π−y 0 Z y2 0 2x cos(y + z)dx # dzdy = Z π 0 Z π−y 0 x2 cos(y + z) y2 0 dzdy = Z π 0 Z π−y 0 y4 cos(y + z)dzdy = Z π 0 y4 sen(y + z) π−y 0 dy = Z π 0 −y4 sen(y)dy = −48 + 12π2 − π4 Ejemplo 5.22 Considere el sólido Q limitado por z = 0, y + 2z = 2, x = 0 y y = 1 − x2 tal y como se muestra en la figura. Usando integral triple, Plantear la integrales necesarias para calcular el volumen de Q proyectando en cada uno de los planos XY, YZ y XZ X Y Z 1 1 2 1 Solución: Proyectando sobre XY. La región de integración Rxy está entre las curvas y = 1 − x2 y y = 2 − 2x2 y en esta región el sólido está entre z = 0 y z = 1 − y/2.
- 227. 5.6 Integral triple. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 227 1 1 2 VQ = Z 1 0 Z 2−2x2 1−x2 Z 1−y/2 0 1dz dydx Proyectando sobre YZ. La región de integración es Ryz = R1 + R2. La región R1 está entre las rectas z = 0 y z = 1 − y/2 y el sólido está entre x = p 1 − y y x = p 1 − y/2. La región R2 está entre las rectas z = 0 y z = 1 − y/2 y en esta región el sólido está entre x = 0 y x = p 1 − y/2. 1 1 2 1 VQ = Z 1 0 Z 1−y/2 0 Z √ 1−y/2 √ 1−y 1dx # dzdy + Z 2 1 Z 1−y/2 0 Z √ 1−y/2 0 1dx # dzdy Proyectando sobre XZ. Rxz = R1 + R2. La curva C1 que divide ambas regiones es la cruva de intersección entre y = 2 − 2z y y = 2 − 2x2. Igualdando obtenemos C : z = x2. La curva C2 se obtiene
- 228. 5.6 Integral triple. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 228 como la intersección de y = 1 − x2 y y = 2 − 2z. Entonces C2 : z = (1 + x2)/2. 1 1 2 1 0.5 : : VQ = Z 1 0 Z x2 0 Z 2−2x2 1−x2 1dy # dzdx + Z 1 0 Z 1 2 (1+x2) x2 Z 2−2z 1−x2 1dy dzdx Ejemplo 5.23 Calcular ZZZ Q x cos(y + z)dV con Q el sólido limitado por y + z = π, y = x, x = z = 0 X Y X Y Solución: Para calcular esta integral triple vamos a necesitar la integral Z xcosxdx = cosx + xsenx + K (se calcula “por partes”.) El sólido Q está entre las superficies z = 0 y z = π − y.
- 229. 5.6 Integral triple. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 229 ZZZ Q x cos(y + z)dV = Z π 0 Z π x Z π−y 0 x cos(y + z)dz dydx = Z π 0 Z π x x sen(y + z)| π−y 0 dydx = Z π 0 Z π x −x sen(y)dydx = 2 − π2 2 Ejemplo 5.24 Considere el sólido Q limitado por z = 4 − x2, y + z = 6, y = x, y = 5, z = 0 y x = 0, como se muestra en la figura. Usando integral triple, plantear la integrales necesarias para calcular el volumen de Q proyectando en cada uno de los planos XY, YZ y XZ Proyectando sobre el plano XY. La región de integración es Rxy = R1 + R2 + R3. La curva C divide las regiones R1 y R2 y la recta x = √ 3 divide la región R1 y la región R3. La curva C es la proyección de la curva de intersección entre las superficies z + y = 6 y z = 4 − x2, es decir, C : y = 2 + x2. La región R1 está entre y = x y y = 2 + x2, la región R2 está entre y = 2 + x2 y y = 5 y la región R3 está entre y = x y y = 5. VQ = ZZ R1 dV + ZZ R2 dV + ZZ R3 dV = Z √ 3 0 Z 2+x2 x Z 4−x2 0 1dz # dydx + Z √ 3 0 Z 5 2+x2 Z 6−y 0 1dz dydx + Z 2 √ 3 Z 5 x Z 4−x2 0 1dz # dydx
- 230. 5.6 Integral triple. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 230 Proyectando sobre el plano YZ. La curva C es la proyección de la curva de intersección entre las superficies y = x y z = 4 − x2, es decir, C : z = 4 − y2. VQ = Z 2 0 Z 4−y2 0 Z y 0 1dx dzdy + Z 2 0 Z 4 4−y2 Z √ 4−z 0 1dx # dzdy + Z 5 2 Z 6−y 0 Z √ 4−z 0 1dx # dzdy Proyectando sobre el plano XZ. VQ = Z 1 0 Z √ 4−z 0 Z 5 x 1dy dxdz + Z 4 1 Z √ 4−z 0 Z 6−z x 1dy dxdz VQ = 68 3 − 12 √ 3 5 . Ejercicios 21 5.27 Plantear la o las integrales triples necesarias para calcular el volumen del sólido Q si este sólido está limitado por x2 + y2 = 4; z + y = 2; y = 1; x = 0; y = 0 y z = 0, en el I octante
- 231. 5.7 Cambio de variables en integral triple. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 231 5.28 Plantear la o las integrales triples necesarias para calcular el volumen del sólido Q si este sólido está limitado por las superficies y = 2 − 2x2; y = 1 − x2; y + 2z = 2; x = 0 y z = 0; en el I octante. 1 1 2 1 X Y Z 5.29 Plantear la o las integrales triples necesarias para calcular el volumen sólido Q si este sólido está limitado por la superficie y2 + z2 = 4 y los planos 2x − 2y + z = 2; x = 0 y z = 0. 1 2 3 2 3 2 5.30 Calcular el volumen ZZZ Q 1 · dV de los sólidos que siguen a continuación, a) b) 5.7 Cambio de variables en integral triple. La versión del teorema de cambio de variable para integrales triples es la siguiente, Teorema 5.4 (Cambio de variable). Sea Q una región acotada en R3 cuya frontera consiste de un número finito de su- perficies suaves. Suponga-mos que Q está contenido en un conjunto abierto U y sea
- 232. 5.7 Cambio de variables en integral triple. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 232 L(u,v,w) = (x(u,v,w), y(u,v,w), z(u,v,w)) un cambio de variable de U en R3 invertible en el interior de Q y con derivadas parciales continuas. Sea f una función continua y acotada sobre L(Q) y sea J(u,v,w) = Det ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂w ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w no nulo en el interior de Q, entonces ZZZ Q f (L(u,v,w))|J(u,v,u)|dudvdw = ZZZ L(Q) f (x, y, z)dxdydz Ejemplo 5.25 (Volumen de un Paralelepípedo). Consideremos un paralelepípedo Q generado por los vectores A = (2,0,0), B = (0,2,2) y C = (0,2,0). Como se sabe del álgebra lineal, el volumen de Q es VQ = |Det(A B C)| = 8. Si L : R3 → R3 es una transformación lineal, entonces el paralelepípedo generado por L(A), L(B) y L(C), el cual denotamos con L(Q), tiene volumen VL(Q) = |Det(L)|VQ = |Det(L)| · 8. Verifiquemos en este caso el teorema de cambio de variable aplicando al sólido Q de la figura, la transformación lineal L(u,v,w) = (u/2, v/2w/2). X Y Z VL(Q) = Z 1 0 Z z+1 z Z 1 0 1 · dxdydz = 1 y VQ = Z 2 0 Z w+2 w Z 2 0 1dudvdw = 8
- 233. 5.8 Coordenadas cilíndricas. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 233 Ahora, com una verificación, calculamos VL(Q) aplicando un cambio de variable. Sea x = u/2, y = v/2, z = w/2 sobre Q, obtenemos el nuevo sólido L(Q). En este caso, J(u,v,w) = 1/2 0 0 0 1/2 0 0 0 1/2 = 1 8 , y entonces, por el teorema de cambio de variable, VL(Q) = ZZ Rvw Z 2 0 1 · |J(u,v,w)|dw dudv = Z 2 0 Z w+2 w Z 2 0 1 · 1 8 dw dudv = 1 8 · 8 = 1. 5.8 Coordenadas cilíndricas. Las coordenadas cilíndricas se usan para describir regiones que son simétricas respecto a alguno de los ejes. La posición de un punto P(x,y,z) en el espacio está determinada por los números r,θ,z donde (r,θ) son las coordenadas polares del punto (x,y). Si integramos proyectando sobre el plano XY, el cambio de variable es x = rcosθ y = rsenθ, además |J(r,θ,z)| = cosθ −rsenθ 0 sinθ rcosθ 0 0 0 1 = r z = z Como J(r,θ,z) = r entonces el cambio de variable es invertible si r 6= 0. Entonces, si se cumplen las condiciones del teorema de cambio de variable, (Coordenadas Cilíndricas). ZZZ Q h(x,y,z)dV = ZZ Rrθ Z f (rcosθ,rsenθ) g(rcosθ,rsenθ) h(rcosθ,rsenθ,z)dz rdrdθ
- 234. 5.8 Coordenadas cilíndricas. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 234 Ejemplo 5.26 Verifique que el volumen de un cilindro recto Q de radio a y altura h, es V = πa2h. Solución: Q es el cilindro x2 + y2 = a2 limitado por z = 0 y z = h. La proyección sobre el plano XY es el círculo x2 + y2 = a2. V = ZZZ Q dV = Z 2π 0 Z a 0 Z h 0 rdz drdθ = Z 2π 0 Z a 0 rhdrdθ = Z 2π 0 a2 2 hdθ = a2 2 hθ 2π 0 = πa2 h X Y Ejemplo 5.27 Ver con CFDPlayer Requiere FreeCDF Player Sea Q el sólido limitado por y = 1, y = x2 + z2 y y = 4; como se muestra en la figura. Calcule ZZZ Q 1 √ x2 + z2 + 1 dV.
- 235. 5.8 Coordenadas cilíndricas. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 235 Solución: Proyectamos sobre el plano XZ. Usamos coordenadas cilíndricas: x = rcosθ, z = rsenθ y y = y. De esta manera, las curvas 1 = x2 + z2 y 4 = x2 + z2 tienen ecuaciones r = 1 y r = 2, respectivamente. La región R1 está entre r = 0 y r = 1 y la región R2 esta entre r = 1 y r = 2. ZZZ Q 1 √ x2 + z2 + 1 dV = Z π/2 0 Z 1 0 Z 4 1 r r + 1 dydrdθ + Z π/2 0 Z 2 1 Z 4 r2 r r + 1 dydrdθ. Para terminar el cálculo, observe que (dividiendo) r r + 1 = 1 − 1 r + 1 y que r3 r + 1 = r2 − r + 1 − 1 r + 1 . Ejemplo 5.28 Ver con CFDPlayer Requiere FreeCDF Player Considere el sólido Q limitado por el cilindro x2 + y2 = 1/4, el cono 3z2 = x2 + y2, la esfera x2 + y2 + z2 = 1 y los planos x = 0 y x = y; tal y como se muestra en la figura. Calcular I = ZZZ Q 12z · dV Solución: Proyectamos sobre XZ y usamos coordenadas cilíndricas. Calculando la intersección entre las superficies podemos establecer que la región de integración Rxy está entre las curvas x2 + y2 = 1 4 , x2 + y2 = 3 4 y las rectas y = x y x = 0. Es decir, la región de integración está entre las curvas r = 1/2 y r = √ 3/2 con θ entre π/4 y π/2.
- 236. 5.8 Coordenadas cilíndricas. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 236 I = ZZZ Q 2z · dV = Z π/2 π/4 Z √ 3/2 1/2 Z √ 1−x2−y2 q 1−x2−y2 3 2z dz # rdrdθ = Z π/2 π/4 Z √ 3/2 1/2 Z √ 1−r2 q 1−r2 3 2z dz # rdrdθ = Z π/2 π/4 Z √ 3/2 1/2 8 9 · (r − r3 )drdθ Ejemplo 5.29 Verifique que el volumen una esfera S de radio a tiene volumen V = 4 3 πa3 . Solución: Podemos calcular el volumen de un octavo de esfera y multiplicar por 8 (ver figura). La esfera tiene ecuación x2 + y2 + z2 = a2. Como la proyección es un círculo, usamos coordenadas cilíndricas: x = rcosθ, y = rsenθ y z = z. La esfera está entre las superficies z = 0 y z = p a2 − x2 − y2 = √ a2 − r2.
- 237. 5.8 Coordenadas cilíndricas. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 237 V = 8 · ZZZ Q dV = 8 · Z π/2 0 Z a 0 Z √ a2−r2 0 rdz # drdθ = 8 · Z π/2 0 Z a 0 r p a2 − r2 drdθ = 8 · Z π/2 0 − q (a2 − r2)3 3 a 0 dθ = 8 · Z π/2 0 a3 3 dθ = 8a3 3 θ π/2 0 = 4 3 a3 π Ejemplo 5.30 Considere el sólido Q limitado por las superfi- cies z2 = x2 + y2 (cono), y el plano z = 1. a.) Calcular ZZZ Q 2zdV. b.) Calcular el volumen de Q. X Y Solución: a.) En coordenadas rectangulares tendríamos ZZZ Q 2zdV = ZZ R Z 1 √ x2+y2 2zdz dydx = Z 1 0 Z √ 1−y2 − √ 1−x2 Z 1 √ x2+y2 2zdzdydx La región de integración se describe fácil si usamos coordenadas cilíndricas. La proyección R sobre el plano XY es un círculo de radio 1. En coordenadas polares esta región se describe como R : 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ 1. Usando el cambio de variable x = rcosθ, y = rsenθ, entonces el sólido está entre las superficies z = r y z = 1.
- 238. 5.8 Coordenadas cilíndricas. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 238 ZZZ Q 2zdV = Z 2π 0 Z 1 0 Z 1 r 2zdz rdrdθ = Z 2π 0 Z 1 0 z2 1 r rdrdθ = Z 2π 0 Z 1 0 r − r3 drdθ = π 2 b.) Volumen de Q. ZZZ Q dV = Z 2π 0 Z 1 0 Z 1 r dz rdrdθ = Z 2π 0 Z 1 0 z|1 r rdrdθ = Z 2π 0 Z 1 0 r − r2 drdθ = π 3 Ejemplo 5.31 El sólido Q de la figura esta limitado por el cilindro x2 + y2 = 4 y el plano y + z = 4. Calcular el volumen de Q. Solución: Usamos coordenadas cilíndricas: x = rcosθ, y = rsenθ y z = z. Observemos que Q es- tá entre las superficies z = 0 y z = 4 − y = 4 − rsenθ. La región de integración en el plano XY es el círculo x2 + y2 = 4, es decir el círculo r = 2 con 0 ≤ θ ≤ 2π. VQ = ZZZ Q dV = Z 2π 0 Z 2 0 Z 4−rsenθ 0 rdz drdθ = Z 2π 0 Z 2 0 r (4 − r senθ) drdθ = Z 2π 0 8 − 8 senθ 3 dθ = 16π. X Y
- 239. 5.8 Coordenadas cilíndricas. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 239 Ejemplo 5.32 Calcule el volumen del sólido de la figura. Este sólido Q está limitado por la esfera x2 + y2 + z2 = 4 y el cilindro x2 + (y − 1)2 = 1, z ≥ 0. X Y X Y X Y Solución: El Sólido Q está entre las superficies z = 0 y z = p 4 − x2 − y2 = √ 4 − r2. La proyección del solido es el círculo x2 + (y − 1)2 = 1. Este círculo se describe en coordenadas polares como 0 ≤ r ≤ 2senθ, − π 2 ≤ θ ≤ π 2 o también, 0 ≤ r ≤ 2senθ, 0 ≤ θ ≤ π El volumen de Q es, ZZZ Q dV = Z π/2 −π/2 Z 2senθ 0 Z √ 4−r2 0 dz # rdrdθ = Z π/2 −π/2 Z 2senθ 0 zr| √ 4−r2 0 drdθ = Z π/2 −π/2 Z 2senθ 0 r p 4 − r2 drdθ = Z π/2 −π/2 − 1 3 (4 − r2 )3/2 2senθ 0 dθ = − 1 3 Z π/2 −π/2 (4 − 4sen2 θ)3/2 − 8dθ = − 1 3 Z π/2 −π/2 8 cos3 θ − 8dθ = − 8 3 (4/3 − π). Aquí se usó la integral Z cos3 tdt = 3 sin(t) 4 + sin(3t) 12 .
- 240. 5.8 Coordenadas cilíndricas. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 240 Ejemplo 5.33 Calcule el volumen de sólido Q, mostrado en la figura, el cual está limitado por la esfera x2 + y2 + z2 = 32 y los cilindros x2 + z2 = 22, x2 + z2 = 12. Solución: La proyección sobre XZ es una región entre un par de segmentos de círculo. Usamos coordenadas cilíndricas, el cambio de variable sería x = rcosθ z = rsenθ y = y y como antes, J(r,θ,y) = r. La proyección Rxz está entre las circunferencias r = 1 y r = 2 y el ángulo 0 ≤ θ ≤ π/2. El sólido Q está entre y = 0 y y = √ 32 − x2 − z2 = √ 32 − r2. VQ = Z π/2 0 Z 2 1 Z √ 9−r2 0 1 · dy # rdrdθ = Z π/2 0 Z 2 1 h y | √ 9−r2 0 i rdrdθ = Z π/2 0 Z 2 1 r p 9 − r2 drdθ, hacemos u = 9 − r2 , du = −2rdr, = Z π/2 0 − 1 3 9 − r2 3/2 2 1 dθ = π 6 16 √ 2 − 5 √ 5 .
- 241. 5.8 Coordenadas cilíndricas. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 241 Ejemplo 5.34 Calcule, usando coordenadas cilíndricas, el volumen del sólido Q, limitado por la porción de parabo- loide z = 4 − x2 − y2, la porción de esfera x2 + y2 + z2 = 16 y el plano x = y; en el primer octante (figura). X Y Solución: La región e integración, proyectando sobre XY, es R = R1 ∪ R2. R1 : 0 ≤ r ≤ 2, π/4 ≤ θ ≤ π/2, R2 : 2 ≤ r ≤ 4, π/4 ≤ θ ≤ π/2. En la región R1, el sólido está entre la porción de esfera x2 + y2 + z2 = 16 y la porción de paraboloide z = 4 − x2 − y2. En la región R2, el sólido está entre la porción de esfera x2 + y2 + z2 = 16 y el plano z = 0. VQ = ZZZ Q dV = Z π/2 π/4 Z 2 0 Z √ 16−r2 4−r2 rdz # drdθ + Z π/2 π/4 Z 4 2 Z √ 16−r2 0 rdzdrdθ = Z π/2 π/4 Z 2 0 r p 16 − r2 − r(4 − r2 )drdθ + Z π/2 π/4 Z 4 2 r p 16 − r2 drdθ = Z π/2 π/4 − 1 3 (16 − r2 )3/2 − 2r2 + r4 4 2 0 dθ + Z π/2 π/4 − 1 3 (16 − r2 )3/2 4 2 dθ = Z π/2 π/4 − 1 3 (16 − r2 )3/2 − 2r2 + r4 4 2 0 dθ + Z π/2 π/4 − 1 3 (16 − r2 )3/2 4 2 dθ = Z π/2 π/4 52 3 − 8 √ 3dθ + Z π/2 π/4 8 √ 3dθ = 13 3 − 2 √ 3 π + 2π √ 3 = 13π 3 .
- 242. 5.8 Coordenadas cilíndricas. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 242 Ejemplo 5.35 El sólido Q de la figura es un casquete, de altura h, de una esfera de radio a. X Y Vamos a usar coordenadas cilíndricas. Para calcular su volumen proyectamos sobre el plano XY. La proyección del casquete es un círculo de radio √ 2ha − h2. Este radio se obtiene calculando la intersección de la curva z2 + y2 = a2 y la recta z = a − h. El sólido Q está limitado arriba por la superficie z = p a2 − x2 − y2 = √ a2 − r2 y por abajo por la superficie z = a − h. Entonces VQ = Z 2π 0 Z √ 2ha−h2 0 Z √ a2−r2 r(a−h) rdzdrdθ Como (usando “sustitución”) Z r p a2 − r2 dr = − 1 3 q (a2 − r2)3 salvo constantes, se sigue que VQ = Z 2π 0 Z √ 2ha−h2 0 r p a2 − r2 − r(a − h)drdθ = Z 2π 0 − 1 3 q (a2 − r2)3 − r2(a − h) 2 √ 2ha−h2 0 dθ = Z 2π 0 − 1 3 (a − r)3 − (2ha − h2)(a − h) 2 + 1 3 a3 dθ = π 3 h2 (3a − h)
- 243. 5.8 Coordenadas cilíndricas. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 243 Ejercicios 22 5.31 Verifique, que el volumen del cono de base circular de radio a y altura h es VC = πa2h 3 . Ayuda: El cono se puede modelar con la ecuación x2 + y2 = a2(z − h)2 h2 , tal y como se muestra en la figura. El cono está entre z = 0 y z = h − h a q x2 + y2 pues z ≤ h. X Y 5.32 Calcule el volumen del sólido Q limitado por el cono z2 = x2 + y2 y la esfera x2 + y2 + z2 = 1. 5.33 Calcule, usando coordenadas esféricas, el volumen del sólido Q limitado por un casquete de la esfera x2 + y2 + z2 = 4 y el cilindro x2 + y2 = 1, como se muestra en la figura. 5.34 Sea I = ZZZ Q q x2 + y2 dV = Z 2 0 Z √ 4−x2 0 Z √ 16−x2−y2 0 q x2 + y2 dzdydx a.) Dibuje el sólido Q. Observe que el sólido está entre las superficies z2 + x2 + y2 = 16, x2 + y2 = 4, x ∈ [0,2]. b.) Calcule I usando coordenadas cilíndricas.
- 244. 5.9 (*) Coordenadas esféricas. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 244 5.35 Calcule el volumen del sólido Q limitado por S1 : x2 + z2 = 4, S2 : y + x = 2, S3 : z = 4, S5 : y = 0, S6 : x = 0. X Y 5.9 (*) Coordenadas esféricas. En el caso de coordenadas esféricas, la posición de un punto P = (x,y,z) en el espacio está determinada por los números ρ,θ, ϕ donde ρ es la distancia del punto al origen, θ es la medida del ángulo de la proyección del punto en el plano XY con el eje X (llamado “longitud”) y ϕ es la medida del ángulo entre el vector ~ P y el eje Z (llamado “latitud”). Est último ángulo se mide desde el eje Z. Los ángulos θ y ϕ se pueden tomar respecto a los otros ejes. 5.9.1 Describiendo Superficies en Coordenadas Esféricas. En lo que sigue, ϕ lo tomaremos como aparece en la figura anterior. El cambo de variable de coordenadas rectangulares a coordenadas esféricas es x = ρ sen ϕ cosθ y = ρ sen ϕsenθ z = ρ cos ϕ con ρ 0, 0 ≤ θ 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π. Observe que hay una relación entre coordenadas polares y esféricas: x = ρsen ϕ cosθ = rcosθ y = ρsen ϕsenθ = rsenθ
- 245. 5.9 (*) Coordenadas esféricas. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 245 A las coordenadas esféricas a veces se les llama “coordenada polares esféricas”. Ejemplo 5.36 (Semi-cono z2 = x2 + y2 z2 = x2 + y2 z2 = x2 + y2 con z ≥ 0 z ≥ 0 z ≥ 0) En la ecuación del cono z2 = x2 + y2 hacemos la sustitución x = ρsen ϕ cosθ, y = ρsen ϕsenθ, z = ρcos ϕ y obtenemos ρ2 cos2 ϕ = ρ2 sen2 ϕ cos2 θ + ρ2 sen2 ϕ sen2 θ =⇒ cos2 (ϕ) = sen2 (ϕ) Podemos tomar la solución ϕ = π 4 . Así, esta rama del cono se describe (en coordenadas esféricas) como ϕ = π 4 , 0 ≤ θ ≤ 2π, ρ 0. Una parametrización de esta superficie es r r r(ρ,θ) = ρsen π 4 cosθ, ρsen π 4 senθ, ρcos π 4 , con 0 ≤ θ 2π, ρ 0. X Y X Y Ejemplo 5.37 Consideremos el sólido limitado por la esfera x2 + y2 + z2 = 1 y el plano y = x, en el primer oc- tante. La esfera de radio 1 se describe en coordenadas esféricas por ρ = 1 pues, haciendo la sustitución x = ρsen ϕ cosθ, y = ρsen ϕsenθ, z = ρcos ϕ en x2 + y2 + z2 = 1 obtenemos ρ = 1. Este sólido se puede describir en coordenadas esféri- cas con 0 ≤ ρ ≤ 1, π/4 ≤ θ ≤ π/2 y 0 ≤ ϕ ≤ π/2. X Y
- 246. 5.9 (*) Coordenadas esféricas. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 246 Ejemplo 5.38 (Superficie de la esfera x2 + y2 + z2 = a2 x2 + y2 + z2 = a2 x2 + y2 + z2 = a2). Haciendo el cambio de variable y simplificando queda ρ = a. Luego, la esfera x2 + y2 + z2 = a2 se describe (en coordenadas esféricas) como ρ = a, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π X Y Una parametrización de esta superficie es r r r(ϕ,θ) = (asen ϕ acosθ, asen ϕsenθ, cos ϕ), con 0 ≤ θ 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π. Ejemplo 5.39 (Superficie de la esfera (x − 1)2 + y2 + z2 = 1 (x − 1)2 + y2 + z2 = 1 (x − 1)2 + y2 + z2 = 1). Para hacer la descripción de la esfera (x − 1)2 + y2 + z2 = 1 en coordenadas polares, hacemos el cambio de variable y, simplificando, queda ρ = 2sen ϕ cosθ. Luego, la esfera se describe (en coordenadas esféricas) como ρ = 2sen ϕ cosθ, − π 2 ≤ θ ≤ π 2 , 0 ≤ ϕ ≤ π Una parametrización de esta esfera es r r r(ρ, ϕ,θ) = (2sen ϕ cosθ · sen ϕ cosθ, 2sen ϕ cosθ · sen ϕsenθ, 2sen ϕ cosθ · cos ϕ) con − π 2 ≤ θ ≤ π 2 , 0 ≤ ϕ ≤ π X Y X Y
- 247. 5.9 (*) Coordenadas esféricas. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 247 Ejemplo 5.40 (Superficie S : (x2 + y2 + z2)3 = z4 S : (x2 + y2 + z2)3 = z4 S : (x2 + y2 + z2)3 = z4). Para hacer la descripción de la superficie (x2 + y2 + z2)3 = z4 en coordenadas polares, hacemos el cambio de variable y simplificando queda ρ = cos2 ϕ. Luego, la superficie se describe (en coordenadas esféricas) como ρ = cos2 ϕ, 0 ≤ θ 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π. ρ = cos2 ϕ, 0 ≤ θ π/2, 0 ≤ ϕ ≤ π/2 ρ = cos2 ϕ, 0 ≤ θ 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π. 5.9.2 Cambio de variable con coordenadas esféricas. En coordenadas esféricas ponemos u = r, v = θ y w = ϕ. Como dijimos antes, vamos a tomar el cambio de variable, r r r : x = ρsen ϕ cosθ y = ρsen ϕsenθ en este caso |J(ρ, ϕ,θ)| = ρ2 sen ϕ. z = ρcos ϕ con ρ 0, 0 ≤ θ 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π. El interior de la región de integración requiere ρ 0 y ϕ 6= kπ, k ∈ Z, para que el jacobiano no se anule. Si se cumplen las condiciones del teorema de cambio de variable, entonces (Coordenadas Esféricas). ZZZ Q0 f (x,y,z)dV = ZZZ Q f (ρcos ϕcosθ,ρcos ϕsenθ,ρsen ϕ)ρ2 |sen ϕ|dρdθ dϕ
- 248. 5.9 (*) Coordenadas esféricas. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 248 Ejemplo 5.41 Calcule, usando coordenadas esféricas, la integral ZZZ Q zdV si Q es el sólido limitado por las superfi- cies y = x y x2 + y2 + z2 = 1; en el primer octante. X Y Solución: Haciendo el cambio de variable, ρ = 1, π/4 ≤ θ ≤ π/2 y 0 ≤ ϕ ≤ π/2. Luego, ZZZ Q zdV = Z π/2 π/4 Z π/2 0 Z 1 0 ρcos(ϕ) · ρ2 sen(ϕ)dρdϕdθ = Z π/2 π/4 Z π/2 0 ρ4 4 cos(ϕ) · sen(ϕ) 1 0 dϕdθ = Z π/2 π/4 Z π/2 0 1 4 cos(ϕ) · sen(ϕ)dϕdθ = Z π/2 π/4 1 4 sen2(ϕ) 2 π/2 0 dθ = Z π/2 π/4 1 8 dθ = π 32 .
- 249. 5.9 (*) Coordenadas esféricas. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 249 Ejemplo 5.42 Calcular, usando coordenadas esféricas, el volumen de la esfera Q : x2 + y2 + z2 = 1. Solución: Vamos a calcular el volumen de un octavo de esfera. Aplicando el cambio de variable, ρ = 1, π/4 ≤ θ ≤ π/2 y 0 ≤ ϕ ≤ π/2. Notemos que |sen ϕ| = sen ϕ en [0,π/2]. X Y VQ = 8 · ZZZ Q dV = 8 · Z π/2 0 Z π/2 0 Z 1 0 ρ2 |sen ϕ|dρdθ dϕ = 8 · Z π/2 0 Z π/2 0 ρ3 3 sen ϕ 1 0 dθ dϕ = 8 · Z π/2 0 Z π/2 0 sen ϕ 3 dθ dϕ = 8 · − π cos ϕ 6 π/2 0 = 4π 3 Ejemplo 5.43 Calcular ZZZ Q x2 + y2 dxdydz donde Q es la esfera (x − 1)2 + y2 + z2 = 1. Solución: Como ya vimos, esta esfera se puede describir, en coordenadas esféricas, como ρ = 2sen ϕ cosθ, − π 2 ≤ θ ≤ π 2 , 0 ≤ ϕ ≤ π Notemos además que |sen ϕ| = sen ϕ en [0,π ]. Luego
- 250. 5.9 (*) Coordenadas esféricas. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 250 ZZZ Q (x2 + y2 )dV = Z π 0 Z π/2 −π/2 Z 2sen ϕ cosθ 0 (ρ2 sen2 ϕ)ρ2 sen ϕdρdθ dϕ = Z π 0 Z π/2 −π/2 32 5 cos5 θ sin8 ϕdθ dϕ = Z π/2 −π/2 32 5 cos5 θ dθ · Z π 0 sin8 ϕdϕ = 512 75 · 35π 128 = 28π 15 . Aquí usamos las integrales Z cos5 θ dθ = 5 sin(θ) 8 + 5 sin(3θ) 48 + sin(5θ) 80 Z sin8 ϕdϕ = 840 ϕ − 672 sin(2 ϕ) + 168 sin(4 ϕ) − 32 sin(6 ϕ) + 3 sin(8 ϕ) 3072 . Ejemplo 5.44 Calcular el volumen del sólido Q de ecuación (x2 + y2 + z2)3 = z4 (ver figura). Solución: Q se puede describir, en coordenadas esféricas, como r = cos2 ϕ, 0 ≤ θ 2π, 0 ≤ ϕ ≤ π Notemos además que |sen ϕ| = sen ϕ en [0,π ]. Luego, ZZZ Q dxdydz = Z π 0 Z 2π 0 Z cos2 ϕ 0 r2 sen ϕdrdθ dϕ = Z π 0 Z 2π 0 cos(ϕ)6 sin(ϕ) 3 dθ dϕ = Z π 0 2πcos(ϕ)6 sin(ϕ) 3 dϕ = − 2π 3 cos(ϕ)7 7 π 0 = 4π 21
- 251. 5.9 (*) Coordenadas esféricas. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 251 Ejemplo 5.45 (Intercambio de ejes). El sólidoQ está limitado por las superficies y = z y x2 + y2 + z2 = 1; en el primer octante. Vamos a calcular ZZZ Q zdV, usando coordenadas esféricas de tres maneras distintas (variando el orden de integración dxdydz). La manera “complicada”. En este caso ϕ varía entre 0 y el plano y = z. Enton- ces, ρsen ϕsenθ = ρcos ϕ =⇒ ϕ = arctan(csc(θ)). Luego, ϕ = π/2 si θ = 0 y 0 ϕ ≤ arctan(csc(θ)) si 0 θ ≤ π/2. El cambio de variable sería x = ρsen ϕ cosθ, y = ρsen ϕsenθ, |J| = ρ2 sen(ϕ). z = ρcos ϕ. Como tenemos ϕ = ϕ(θ), integramos en el orden dϕdθ. Debemos calcular (la integral impropia) I = Z π/2 0 Z arctan(csc(θ)) 0 Z 1 0 ρcos(ϕ) · ρ2 sen(ϕ)dρdϕdθ Aunque parece una integral complicada, en realidad no lo es. Solo debemos usar algunas identidades. φ = arctan(x) cos(arctan(x)) = 1 √ x2 + 1 sen(arctan(x)) = x √ x2 + 1 cos2(arctan(cscθ)) = 1 csc2 θ + 1 , θ ∈ D = R − {kπ : k ∈ Z} Esta última identidad se obtiene poniendo x = cscθ si cscθ 0 (no debemos usar φ!). Si cscθ 0 =⇒ −cscθ 0 y la identidad se obtiene usando las identidades arctan(−t) = −arctan(t) (pues tan(−t) = −tant) y cos(−t) = cos(t).
- 252. 5.9 (*) Coordenadas esféricas. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 252 El cálculo de la integral es como sigue, Z π/2 0 Z arctan(csc(θ)) 0 Z 1 0 rcos(ϕ) · ρ2 sen(ϕ)dρdϕdθ = Z π/2 0 ρ4 4 cos(ϕ) · sen(ϕ) 1 0 dϕdθ = Z π/2 0 1 4 cos(ϕ) · sen(ϕ)dϕdθ = Z π/2 0 − 1 8 cos2 (ϕ) arctan(csc(θ)) 0 dϕdθ = − 1 8 Z π/2 0 1 csc2 θ + 1 − 1dθ = 1 8 Z π/2 0 1 sen2 θ + 1 dθ Hacemos el cambio θ = arctan(t), dθ = 1 1 + t2 dt. Z 1 t √ t2 + 1 2 + 1 · 1 1 + t2 dt = Z 1 1 + 2t2 dt = arctan( √ 2t) √ 2 + C = arctan( √ 2tanθ) √ 2 + C Luego, R π/2 0 R arctan(csc(θ)) 0 R 1 0 rcos(ϕ) · r2 sen(ϕ)drdϕdθ = lı́m θ→ π 2 − 1 8 arctan( √ 2tanθ) √ 2 ! θ 0 = 1 8 π/2 √ 2 = π 16 √ 2 La manera fácil: Simplificación con un intercambio de ejes. El cambio de variable sería z = ρsen ϕ cosθ, y = ρsen ϕsenθ, |J| = ρ2 sen(ϕ). x = ρcos ϕ.
- 253. 5.9 (*) Coordenadas esféricas. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 253 ZZZ Q zdV = Z π/4 0 Z π/2 0 Z 1 0 z z }| { [ρsen(ϕ)cos(θ)] ·ρ2 sen(ϕ)dρdϕdθ = Z π/4 0 Z π/2 0 ρ4 4 sen2 (ϕ)cos(θ) 1 0 dϕdθ = Z π/4 0 Z π/2 0 1 4 sen2 (ϕ)cos(θ)dϕdθ = Z π/4 0 θ 2 − 1 4 sen(2θ) cosθ 4 π/2 0 dθ = Z π/4 0 π 4 cosθ 4 dθ = π senθ 16 π/4 0 = π 16 √ 2 , pues sen(π/4) = 1 √ 2 . Ejercicios 23 5.36 Sea S la esfera de radio 1 centrada en el origen. Verifique que ZZZ S e √ (x2+y2+z2)3 dV = 4 3 π(e − 1) 5.37 Calcule, usando coordenadas esféricas, el volumen del sólido Q limitado por el cono z2 = x2 + y2 y la esfera x2 + y2 + z2 = 1. 5.38 Verifique, usando coordenadas esféricas, que el volumen del cono de base circular de radio a y altura h es VC = πa2h 3 . Ayuda: El cono se puede modelar con la ecuación x2 + y2 = z2a2 h2 , tal y como se muestra en la figura. X Y 5.39 Use coordenadas esféricas para evaluar la integral
- 254. 5.10 (*) Singularidades. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 254 Z 2 −2 Z √ 4−y2 0 Z √ 4−x2−y2 − √ 4−x2−y2 y2 q x2 + y2 + z2 dzdxdy 5.40 [Volumen de un casquete de esfera]. El sólido Q está limitado por la esfera x2 + y2 + z2 = a2 y el plano z = h con 0 h a (el caso h = a corresponde a media esfera). Usando coordenadas esféricas, verifique que el volumen de Q es VQ = h2π 3 (3a − h). Ayuda: Esta es una integral sencilla (aunque asusta). Como sen(ψ) = a − h a (ver figura), entonces ϕ = π 2 − arcsen a − h a . La integral simplifica totalmente, pues el recorrido de ϕ sería evaluado con cos ϕ y cos π/2 − arcsen a − h a = sen arcsen a − h a = a − h a . X Y 5.10 (*) Singularidades. El método preferido para analizar el comportamiento de las funciones en sus singularidades es el paso al límite. Si f (x,y) es continua en una región R excepto en un punto (a,b) entonces definimos Re = R − Be donde Be es un círculo de radio e 0 alrededor de (a,b). Si lı́m e→0 ZZ Re f (x,y)dxdy existe, entonces ZZ R f (x,y)dxdy = lı́m e→0 ZZ Re f (x,y)dxdy
- 255. 5.10 (*) Singularidades. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 255 Ejemplo 5.46 Calcular Z 1 0 Z 1 0 x p 1 − y2 dydx. Solución: Tenemos una singularidad en y = 1. Entonces Z 1 0 Z 1 0 x p 1 − y2 dydx = lı́m e→0 Z 1 0 Z 1−e 0 x p 1 − y2 dydx = lı́m e→0 Z 1 0 xarcseny|1−e 0 dx = lı́m e→0 Z 1 0 xarcsen(1 − e)dx = lı́m e→0 x2 2 arcsen(1 − e) 1 0 = lı́m e→0 1 2 arcsen(1 − e) = π 4 . Ejemplo 5.47 Sea R el rectángulo [0,1] × [0,1]. Calcular ZZ R 1 √ xy dxdy. Solución: Hay un problema en x = 0,y = 0. ZZ R 1 √ xy dxdy = lı́m e→0 Z 1 e Z 1 e 1 √ xy dydx = lı́m e→0 4(1 − √ e)2 = 4. Integrales impropias y primitivas. El Teorema de Darboux dice que si una función P es primitiva de otra función, entonces P debe cumplir el Teorema del Valor Intermedio: La imagen de un intervalo es también un intervalo. En particular, las funciones que tienen una discontiniudad de salto en un intervalo, no pueden tener primitiva en este intervalo. Por ejemplo, 1. Z 1 x2 dx = − 1 x + K pero Z 1 −1 1 x2 dx 6= 0, en realidad Z 1 −1 1 x2 dx es divergente
- 256. 5.10 (*) Singularidades. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 256 2. Variaciones de este ejemplo son Z 5 2 1 (x − 4)2 dx, Z 1 −1 1 x dx 3. En varias variables, si calculamos sin tener en cuenta las singularidades podemos obtener cosas como Z 1 −1 Z 1 −1 x2 − y2 (x2 + y2)2 dxdy = −π mientras que Z 1 −1 Z 1 −1 x2 − y2 (x2 + y2)2 dxdy = π Ejercicios 24 5.41 Verifique que ZZ R 1 √ x − y dxdy = 8 3 donde R es el rectángulo [0,1] × [0,1]. 5.42 Verifique que ZZ R lnxdxdy = 2 − e donde R = {(x,y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ ey, 0 ≤ y ≤ 1}. 5.43 Sea a 0. Calcular ZZ D s 1 + x2 + y2 a − x2 − y2 dA si D es el disco x2 + y2 ≤ a.
- 257. 5.10 (*) Singularidades. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 257 Revisado:Julio, 2017 Versión actualizada de este libro y el formato CDF: http://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/Libros/
- 259. Superficies parametrizadas. Superficies regulares. Área de una superficie. Integral sobre una superficie. Campos escalares y campos vectoriales. Integral de flujo. Superficies orientables. Teorema de la Divergencia. 6 — Integral de superficie. 6.1 Superficies parametrizadas. Un parametrización de una superficie S sobre ua región D ⊆ R2 es una función continua r r r : D ⊂ R2 → → → R3, que es inyectiva en el interior de D, r r r(u,v) = ( ( (x(u,v),y(u,v),z(u,v)) ) ) con x(u,v), y(u,v) y z(u,v) funciones continuas sobre D, cuya imagen es S, es decir, r r r(D) = S. La superficie S = r r r(D) se puede describir como S : r r r(u,v) = x(u,v) ı̂ + y(u,v) ̂ + z(u,v) k̂, (u,v) ∈ D. Caso S : z = f (x,y) Una superficie S : z = f (x,y) en un dominio D, se puede parametrizar como r r r(x,y) = x ı̂ + y ̂ + f (x,y) k̂, (x,y) ∈ D. Observe que D es la proyección de la superficie en el plano XY. Ejemplo 6.1 Considere la superficie S : x2 + y2 ≤ 1, z = 0. Cla- ramente S es el círculo de radio 1 en el plano XY, centrado en el origen. X Y Para describir a S podemos escribir S : z = 0 en el dominio D = {x2 + y2 ≤ 1}. Pero más conveniente
- 260. 6.2 Superficies regulares. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 260 es parametrizar S como r r r(x,y) = x ı̂ + y ̂ + 0 · k̂, (x,y) ∈ D. Ejemplo 6.2 Sea S la porción del paraboloide z = x2 + y2 entre z = 0 y z = 1. Entonces S se puede parametrizar como, S : r r r(x,y) = x ı̂ + y ̂ + (x2 + y2 ) k̂, (x,y) ∈ D = {(x,y) : x2 + y2 ≤ 1}. También, z = x2 + y2 se podría ver como circunferen- cias de radio √ z, entonces S : r r r(θ,z) = √ zcost ı̂ + √ zsint ̂ + z k̂, θ ∈ [0,2π[ y z ∈ [0,1]. X Y Ejemplo 6.3 Sea S1 : x2 + y2 = a2, 0 ≤ z ≤ h. S es el cilindro de la figura. Esta superficie se puede parametrizar como r r r(θ,z) = acosθ ı̂ + asenθ ̂ + z k̂, con (θ,z) ∈ D = [0,2π[×[0,h]. 6.2 Superficies regulares. Sea S : r r r(u,v) = x(u,v) ı̂ + y(u,v) ̂ + z(u,v) k̂ con (u,v) ∈ D. r r r es de clase C1 si x(u,v), y(u,v) y z(u,v) son de clase C1 (funciones continuamente diferenciables). En este caso, consideremos los vectores ∂r r r ∂u = ∂x ∂u , ∂y ∂u , ∂z ∂u y ∂r r r ∂v = ∂x ∂v , ∂y ∂v , ∂z ∂v . Los vectores ∂r r r ∂u P y ∂r r r ∂v P son tangentes a S en P.
- 261. 6.3 Área de una superficie. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 261 Definición 6.1 Sea D abierto y sea S una superficie parametrizada por r r r : D ⊂ R2 −→ R3 de clase C1. Decimos que S es una superficie regular en (u,v) si ∂r r r ∂u × ∂r r r ∂v 6= 0̂ 0̂ 0̂. Si S se puede partir en un número finito de elementos regulares se dice regular a trozos. Caso z = f (x,y) Observe que si S : z = f (x,y) entonces si r r r(x,y) = x ı̂ + y ̂ + f (x,y) k̂ en D con fx y fy continuas, ∂r r r ∂x × ∂r r r ∂y = (−fx, −fy, 1) 6= 0̂ 0̂ 0̂. con lo cual la superficie S es regular en D. 6.3 Área de una superficie. La idea de la definición de área de una superficie paramétrica consiste en aproximar el área de S, denotada AS, sumando las áreas de sus “planos tangentes” en una malla de puntos, es decir el área de los paralelogramos generados por los vectores escalados ∆ui r r ru y ∆vj r r rv. Luego tomados el límite cuando ∆vj → → → 0 y ∆uj → → → 0. Y D Consideremos el caso particular de un rectánguo. Sea D = [a,b] × [c,d] y sea S una superficie parametrizada por r r r(x,y) en D, con r r r una función definida y acotada sobre R. Supongamos que MD es una partición de D con n2 rectángulos. Si a = x0 x1 ... xn = b y c = y0 y1 ... yn = d (igualmente espaciados, es decir, si n → → → ∞ entonces ∆xi, ∆yi,→ → → 0), cada rectángulo Rij tiene un vértice en (xi,yi). Sea ∆Aij el área de la imagen de cada rectángulo Rij. Cada imagen r r r(Rij) es aproximadamente un paralelogramo si ∆xi y ∆yi son pequeños, es decir, cada imagen r(Rij) se puede aproximar muy bien con el plano tangente en ese punto. En el punto r r r(xi,yj) de la superficie S, el plano tangente tiene ecuación Ti(s,t) : r r r(xi,yj) + tr r rx(xi,yj) + sr r ry(xi,yj), con t,s ∈ R.
- 262. 6.3 Área de una superficie. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 262 La porción de superficie de S que es imagen de a Rij se puede aproximar con un paralelogramo: una porción de el plano tangente,cuyos lados son ∆xi r r rx(xi,yj), ∆yj r r ry(xi,yj). Como es sabido, este paralelogramo tiene área ||∆xi r r rx(xi,yj) × ∆yj r r ry(xi,yj)|| Sacando los escalares y sumando, tenemos, AS ≈ n ∑ i,j=0 ||r r rx(xi,yj) × r r ry(xi,yj)||∆xi ∆yj y entonces, dado que si n → → → ∞ entonces ∆xi,∆yj → → → 0, tenemos AS = lı́m n→ → →∞ n ∑ i,j=0 ||r r rx(pij) × r r ry(pij)||∆xi ∆yj con pij = (xi,yi) Ver con CFDPlayer Definición 6.2 (Área de una superficie). Sea S una superficie regular definida sobre un conjunto abierto medible D. Digamos que S : r r r(u,v) = x(u,v) ı̂ + y(u,v) ̂ + z(u,v) k̂ con (u,v) ∈ D. Entonces, si llamamos dS = ∂r r r ∂u × ∂r r r ∂v dA, el área AS de la superficie S es AS = ZZ S 1 · dS = ZZ D ∂r r r ∂u × ∂r r r ∂v dA Si S = S1 ∪ ... ∪ Sm es la unión finita de superficies parametrizadas que se intersecan a lo sumo en curvas que forman parte de sus fronteras entonces, AS = AS1 + AS1 + AS2 + ... + ASk
- 263. 6.3 Área de una superficie. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 263 Caso S : z = f (x,y), Si S : z = f (x,y), una parametrización es r r r(x,y) = x ı̂ + y ̂ + f (x,y) k̂ y ∂r r r ∂x × ∂r r r ∂y = q 1 + f2 x + f2 y . Entonces, AS = ZZ S 1 · dS = ZZ D q 1 + f2 x + f2 y dA Caso S : F F F(x,y,z) = 0 Si S : F F F(x,y,z) = 0 donde S se puede proyectar uno a uno sobre una región D del plano XY y si F F F define a z como función de x e y y si F F Fz 6= 0 entonces zx = −Fx/Fz y zy = −Fy/Fz y la fórmula anterior quedaría AS = ZZ S 1 · dS = ZZ D q F F F2 x + F2 y + F2 z |Fz| dA Área de una superficie−Proyectando sobre varios varios planos. Asumimos que S es una superficie regular y que F es continuamente diferenciable e inyectiva sobre D. a) Proyectando sobre XY: Si S : z = z(x,y) o S : F(x,y,z) = 0, con (x,y) ∈ Dxy AS = ZZ Dxy q 1 + z2 x + z2 y dA o también AS = ZZ Dxy s F F F2 x + F2 y + F2 z F2 z dA con F F Fz 6= 0 en Dxy b) Proyectando sobre XZ: Si S : y = y(x,z) o S : F(x,y,z) = 0, con (x,z) ∈ Dxz AS = ZZ Dxz q 1 + y2 x + y2 z dA o también AS = ZZ Dxz v u u tF F F2 x + F2 y + F2 z F2 y dA con F F Fy 6= 0 en Dxz c) Proyectando sobre YZ: Si S : x = x(y,z) o S : F(x,y,z) = 0, con (y,z) ∈ Dyz AS = ZZ Dyz q 1 + x2 y + x2 z dA o también AS = ZZ Dyz s F F F2 x + F2 y + F2 z F2 x dA con F F Fx 6= 0 en Dyz
- 264. 6.3 Área de una superficie. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 264 Ejemplo 6.4 Ver con CFDPlayer Requiere FreeCDF Player La superficie S : x2 + z2 = 4 está e el primer octante está limitada por el plano x + y = 5, tal y como se muestra en la figura de la derecha. Plantee las integrales necesarias para calcular el área de la superficie S. Solución: Podemos proyectar sobre el plano XY. Como S : x2 + z2 = 4, podemos usar la fórmula para el área con F(x,y,z)x2 + z2 − 4. AS = ZZ S 1 · dS = ZZ Dxy s F F F2 x + F2 y + F2 z F2 z dA = ZZ Dxy s 4x2 + 02 + 4z2 4z2 dA = Z 2 0 Z 5−x 0 r 16 16 − 4x2 dydx (Impropia) = −4 − lı́m a→2− 10arcsen a 2 = −4 − 5π
- 265. 6.3 Área de una superficie. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 265 Ejemplo 6.5 (Usando coordenadas rectangulares). Plantear las integrales que dan el área de la superficie S = S1 + S2 tal y como se muestra en la figura de la derecha. Solución: Podemos proyectar sobre el plano YZ. Tenemos AS = AS1 + AS2 La superficie S1 tiene ecuación F(x,y,z) = 0 con F(x,y,z) = x2 + y2 − 4 La superficie S2 tiene ecuación x = 2 √ 3 − √ 3y. Entonces, AS = ZZ D1 v u u tF F F2 x + F F F2 y + F F F2 z F F F2 x dA + ZZ D2 q x2 y + x2 z + 1dA = Z 1 1/2 Z 2−y 0 s 4x2 + 4y2 + 02 4x2 dzdy + Z 2 1 Z 2−y 0 √ 3 + 0 + 1dzdy = Z 1 1/2 Z 2−y 0 s 4(4 − y2) + 4y2 + 02 4(4 − y2) dzdy + Z 2 1 Z 2−y 0 2dzdy ≈ 2.18703
- 266. 6.3 Área de una superficie. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 266 Ejemplo 6.6 (Usando coordenadas rectangulares). Calcular el área de la superficie S : y + x2 + z2 = 4. Solución: La proyección sobre XZ esta limitada por el círculo x2 + z2 = 4 y la ecuación de la superficie es S : y = 4 − x2 − z2 . Figura 6.1: Superficie S Primera manera: AS = ZZ Dxz q 1 + y2 x + y2 z dA = ZZ Dxz p 1 + 4x2 + 4z2 dA, cambio de variable: x = rcosθ z = rsenθ, = Z π/2 0 Z 2 0 p 1 + 4r2 cos2 θ + 4r2 sen2 θ rdrdθ = Z π/2 0 Z 2 0 r p 1 + 4r2 drdθ = Z π/2 0 1 + 4r2 3 2 12 2 0 dθ = π 24 (17 √ 17 − 1) ≈ 9.04423. Segunda manera: Podemos usar la parametrización r r r(y,θ) = p 4 − y cosθ ı̂ + y ̂ + p 4 − y senθ k̂ con y ∈ [0,4] y θ ∈ [0,π/2]. AS = ZZ D ∂r r r ∂y × ∂r r r ∂θ dydθ = Z π/2 0 Z 4 0 p 17/4 − y dydθ = π 24 (17 √ 17 − 1).
- 267. 6.3 Área de una superficie. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 267 Ejemplo 6.7 Calcular el área de la superficie S : y + z = 6 tal y como se ve en la figura (a). Solución: Como S : y(x,z) = 6 − z, usamos la parametrización r r r(x,z) = x ı̂ + (6 − z) ̂ + z k̂ sobre la región D definida por x ∈ [0, √ 2] y 2 ≤ z ≤ 4 − x2. Entonces yx = 0 y yz = −1. La proyección sobre Dxz se ve en la figura (b). AS = ZZ Dxz q 1 + y2 x + y2 z dA = Z √ 2 0 Z 4−x2 2 √ 2 dzdx = Z √ 2 0 √ 2(2 − x2 )dx = 8 3 Ejemplo 6.8 (Parametrizando con coordenadas esféricas y con coordenadas rectangulares). Calcular el área de la superficie de la esfera S : x2 + y2 + z2 = a2. Solución: Vamos a calcular de dos maneras, parametrizan- do con coordenadas esféricas y parametrizando con coordenadas rectangulares (más complicado).
- 268. 6.3 Área de una superficie. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 268 Primera manera: Coordenadas esféricas. La esfera la podemos parametrizar con coordenadas esféricas, S : r r r(θ, ϕ) = asen ϕcosθ ı̂ + asen ϕsenθ ̂ + acos ϕ k̂, con (θ, ϕ) ∈ D = [0,2π[×[0,π] ∂r r r ∂θ = (−asenθ sen ϕ, acosθ sen ϕ, 0) ∂r r r ∂ϕ = (acosθ cos ϕ, acos ϕ senθ, −asen ϕ) =⇒ ∂r r r ∂θ × ∂r r r ∂z = a2 sen ϕ AS = ZZ D ∂r r r ∂θ × ∂r r r ∂ϕ dϕdθ = Z 2π 0 Z π 0 a2 sen ϕdϕdθ = 4a2 π. Segunda manera: Coordenadas rectangulares. Usamos la parametrización r r r(x,y) = x ı̂ + y ̂ + p a2 − x2 − y2 k̂. Solo vamos a calcular el área de la parte superior de la esfera. El área total la obtenemos multiplicando por dos. zx = − x p a2 − x2 − y2 zy = − y p a2 − x2 − y2 =⇒ AS = 2 ZZ D q 1 + z2 x + z2 y dA = 2 ZZ D s 1 + x2 + y2 a − x2 − y2 dA Conviene hacer cambio de variable y usar coordenadas polares. Observe que las derivadas se indefinen en la frontera del círculo (si r = a). La integral se calcula desde 0 hasta r = e con 0 e a. Al final hacemos e −→ a. AS = 2 ZZ D s 1 + x2 + y2 a − x2 − y2 dA = 2 Z 2π 0 Z e 0 a √ a2 − r2 rdrdθ si ;e −→ a (integral impropia!) = 2 Z 2π 0 a2 dθ = 4a2 π Para calcular Z e 0 a √ a2 − r2 rdr hacemos u = a2 − r2, du = −2rdr r r. Queda − 1 2 Z a2−e2 a2 a √ u du = − a 2 √ u 1/2 a2−e2 a2 = a2 − a p a2 − e2 −→ a2 si e −→ a. Nota: Observe que AS también se pudo calcular con AS = ZZ D q F F F2 x + F2 y + F2 z |Fz| dA. En este caso F F F(x,y,z) = x2 + y2 + z2 − a2 = 0. Puesto que esta fórmula solo se puede usar si la proyección es uno a uno con la superficie, solo podemos considerar la parte superior de la esfera. Pasando a polares, la integral queda igual al cálculo anterior.
- 269. 6.4 Integral sobre una superficie. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 269 Ejemplo 6.9 (Usando una parametrización de S). Calcular el área del cilindro x2 + y2 = a2 de altura h, es decir 0 ≤ z ≤ h. Solución: Como ya vimos, la parametrización de esta superficie es r r r(θ,z) = acosθ ı̂ + asenθ ̂ + z k̂, (θ,z) ∈ D = [0,2π[×[0,h]. Luego, r r rθ = (−asenθ, acosθ, 0) r r rz = (0, 0, 1) ∂r r r ∂θ × ∂r r r ∂z = ||(acosθ,asenθ,0)|| = a. Entonces, AS = ZZ D ∂r r r ∂θ × ∂r r r ∂z dzdθ = Z 2π 0 Z h 0 adzdθ = 2hπa. 6.4 Integral sobre una superficie. Supongamos que tenemos una región plana S y queremos determinar la cantidad de “fluido” a través de S (se supone que el fluido puede atravesar la superficie sin ninguna resistencia). La cantidad de fluido es “densidad por el ‘volumen’ que ocupa”. Si el flujo se mueve con velocidad constante V V V, entonces durante un intervalo de tiempo ∆t llenará un cuboide de base S y “extensión” (arista) ∆tV V V. El volumen de este cuboide es “área de la base” ∆S por “altura”, la altura h se calcula con la norma proyección de V V V sobre el vector normal unitario a S, denotado N N N. Como se sabe, h = ||(∆tV V V · N N N) N N N|| = ∆tV V V · N N N, entonces Volumen del cuboide sobre S = V V V · N N N ∆S∆t
- 270. 6.4 Integral sobre una superficie. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 270 Figura 6.2: El fluido sobre S llena un sólido Si el fluido tiene densidad ρ, la masa del fluido es ∆M = ρV V V · N N N ∆S∆t. La densidad del fluido es F F F = ρV V V y el flujo total es la masa de fluido que pasa a través de S en una unidad de tiempo: F F F · N N N ∆S kilogramos por segundo. Ahora digamos que tenemos una corriente de fluido en el espacio con velocidad V V V(x,y,z) y densidad (masa por unidad de volumen) ρ(x,y,z) en cada punto (x,y,z). El vector densidad de flujo F F F F F F F F F(x,y,z) = V V V(x,y,z)ρ(x,y,z) tiene la misma dirección que la velocidad y nos dice cuánta masa de fluido circula por el punto (x,y,z) en la dirección de V V V(x,y,z), por unidad de área y de tiempo. Es decir, F F F representa la velocidad de un fluido. Para sugerir una definición razonable de cómo medir la masa total de fluido que atraviesa una determinada superficie S en el tiempo, se considera la superficie S parametrizada por r r r(u,v) en una región rectangular D. Sea N N N el vector unitario normal que tiene la misma dirección que el producto vectorial fundamental, N N N = ∂r r r ∂u × ∂r r r ∂v ∂r r r ∂u × ∂r r r ∂v (6.1) Para medir la cantidad de fluido que pasa a través de S en la unidad de tiempo y en “la dirección” de N N N, se descompone el rectángulo D en m subrectángulos D1,D2,...,Dm. Sean S1,S2,...,Sm las correspondientes porciones de superficie en S. Llamamos ∆Sk a la k−ésima porción Sk. Si la densidad ρ y la velocidad V V V son constantes en Sk y Sk es suficientemente plana, el fluido que atraviesa Sk en la unidad de tiempo ocupa un sólido cilíndrico oblicuo con base Sk y eje determinado por el vector velocidad V V V.
- 271. 6.4 Integral sobre una superficie. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 271 Figura 6.3: El fluido sobre Sk ocupa un sólido cilíndrico. Como el área de Sk es ∆Sk = ∂r r r ∂u × ∂r r r ∂v ∆uk ∆vk, el fluido sobre Sk ocupa un sólido cilíndrico de volumen (base por altura), ∆Sk ρV V V · N N N = F F F F F F F F F · N N N ∆Sk ≈ F F F F F F F F F · N N N ∂r r r ∂u × ∂r r r ∂v ∆uk ∆vk Esto sugiere que la suma m ∑ k=1 F F F F F F F F F · N N N ∆Sk puede ser una aproximación aceptable de la masa total de fluido que atraviesa Sk en la unidad de tiempo. Si ponemos f (x,y,z) = F F F F F F F F F · N N N, tenemos la siguiente definición (la notación D significa D = interior(D) ∪ ∂D) Definición 6.3 Sea D un abierto medible y S una superficie regular parametrizada por la función r r r(u,v), de clase C1 en D, donde (u,v) ∈ D, de modo que ∂r r r ∂u × ∂r r r ∂v 0 para todo (u,v) ∈ D, r es una biyección entre D y S. Sea f (x,y,z) una función definida y acotada sobre S. Se define la integral de superficie de f sobre S por ZZ S f (x,y,z)dS = ZZ D f (r r r(u,v)) ∂r r r ∂u × ∂r r r ∂v dA. Si S = S1 ∪ ... ∪ Sm es la unión finita de superficies parametrizadas que se intersecan a lo sumo en curvas que forman parte de sus fronteras entonces, ZZ S g(x,y,z)dS = m ∑ i ZZ Si g(x,y,z)dS Integral de superficie con coordenadas rectangulares.
- 272. 6.4 Integral sobre una superficie. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 272 Caso S : z = f (x,y) Si S : z = f (x,y) con f de clase C1 sobre D, se puede parametrizar S con con r r r(x,y) = x ı̂ + y ̂ + f (x,y) k̂ y entonces ZZ S g(x,y,z)dS = ZZ D g(x,y, f (x,y)) q 1 + f2 x + f2 y dA. Integral superficie−Proyectando sobre varios varios planos. Asumimos que S es una superficie regular y que F es continuamente diferenciable e inyectiva sobre D. a) Proyectando sobre XY: Si S : z = z(x,y) o S : F(x,y,z) = 0, con (x,y) ∈ Dxy ZZ S g(x,y,z)dS = ZZ Dxy g(x,y,z(x,y)) q 1 + z2 x + z2 y dA, o, en “versión implícita”, ZZ S g(x,y,z)dS = ZZ Dxy g(x,y,z(x,y)) s F F F2 x + F2 y + F2 z F2 z dA b) Proyectando sobre XZ: Si S : y = y(x,z) o S : F(x,y,z) = 0, con (x,z) ∈ Dxz ZZ S g(x,y,z)dS = ZZ Dxz g(x,y(x,z),z) q 1 + y2 x + y2 z dA o, en “versión implícita”, ZZ S g(x,y,z)dS = ZZ Dxz g(x,y(x,z),z) v u u tF F F2 x + F2 y + F2 z F2 y dA c) Proyectando sobre YZ: Si S : x = x(y,z) o S : F(x,y,z) = 0, con (y,z) ∈ Dyz ZZ S g(x,y,z)dS = ZZ Dyz g(x(y,z),y,z) q 1 + x2 y + x2 z dA o, en “versión implícita”, ZZ S g(x,y,z)dS = ZZ Dyz g(x(y,z),y,z) s F F F2 x + F2 y + F2 z F2 x dA
- 273. 6.4 Integral sobre una superficie. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 273 Ejemplo 6.10 Calcular la integral de superficie ZZ S z + x2 √ 1 + 4x2 dS con S la porción de la superficie z = 4 − x2 limitada por el plano x + 2y = 4, como se muestra en la figura Solución: En coordenadas rectangulares, q 1 + z2 x + z2 y = √ 1 + 4x2, ZZ S z + x2 √ 1 + 4x2 dS = ZZ D 4 − x2 + x2 √ 1 + 4x2 p 1 + 4x2 dA = Z 2 0 Z 2−x/2 0 4dydx = 12. Ejemplo 6.11 (Integrando sobre YZ). Calcular la integral de superficie ZZ S 2xyz dS con S la parte del plano y = x limitado por z = x2 + y2, como se muestra en la figura. Figura 6.4: Superficie S Solución: La superficie S solo se puede proyectar en los planos XZ o en YZ. La curva C de la proyección en el plano YZ se obtiene como la intersección del plano y el paraboloide: C : y = x ∩ z = x2 + y2 =⇒ C : z = 2y2. Como proyectamos en YZ, entonces S : x = y y q 1 + x2 y + x2 z = √ 2. Luego,
- 274. 6.4 Integral sobre una superficie. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 274 ZZ S 2xyz dS = ZZ D 2xyz q 1 + x2 y + x2 z dA = Z 1 0 Z 2y2 0 2y2 z √ 2dzdy = 4 √ 2/7 Ejemplo 6.12 Calcular la integral de superficie ZZ S z + 2x + 4 3 y dS con S la parte del plano x 2 + y 3 + z 4 = 1 situada en el primer octante. 1 1 Solución: Como S : z = 4 − 2x − 4 3 y entonces q 1 + z2 x + z2 y = √ 61/3. Las variables de integración son x e y así que debemos sustituir z en el integrando, ZZ S z + 2x + 4/3y dS = ZZ D (z + 2x + 4/3y) q 1 + z2 x + z2 y dA = Z 2 0 Z 3−3x/2 0 4 − 2x − 4 3 y + 2x + 4 3 y √ 61 3 dydx = Z 2 0 Z 3−3x/2 0 4 √ 61 3 dydx = 4 √ 61. Ejemplo 6.13 Sea a 0 y sea I = ZZ S 1 a2 + z2 dS con S el cilindro x2 + y2 = a2 limitado por los planos z = 0 y z = h 0.
- 275. 6.4 Integral sobre una superficie. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 275 a.) Calcular I usando coordenadas rectangulares, S : x = p a2 − y2. b.) Calcular I usando la parametrización S1 : r r r(θ,z) = acosθ ı̂ + asenθ ̂ + z k̂, (θ,z) ∈ D = [−π/2,π/2] × [0,h]. Solución: a.) Proyectando sobre YZ, S : x = p a2 − y2. En este caso, q 1 + x2 y + x2 z = a p a2 − y2 ZZ S 1 a2 + z2 dS = ZZ D 1 a2 + z2 a p a2 − y2 dydz = Z a −a a p a2 − y2 dy Z h 0 1 a2 + z2 dz (la primera integral es impropia), = lı́m e→0+ aarcsen y a a−e −a+e · 1 a arctan z a h 0 = a π 2 + a π 2 1 a arctan h a . b.) En este caso, esta es la manera fácil. Usando la parametrización uno-uno r r r(θ,z) = acosθ ı̂ + asenθ ̂ + z k̂, (θ,z) ∈ D = [−π/2,π/2] × [0,h]. rθ = (−asenθ, acosθ, 0) rz = (0, 0, 1) ∂r r r ∂θ × ∂r r r ∂z = ||(acosθ,asenθ,0)|| = a. ZZ S 1 a2 + z2 dS = ZZ D 1 a2 + z2 ∂r r r ∂θ × ∂r r r ∂z dzdθ = Z π/2 −pi/2 Z h 0 a a2 + z2 dzdθ = πarctan h a .
- 276. 6.4 Integral sobre una superficie. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 276 Note que usando esta parametrización no tenemos problemas de singularidades. Ejemplo 6.14 (Usando coordenadas esféricas). Considere la integral de superficie I = ZZ S1 lnzdS con S el casquete de esfera x2 + y2 + z2 = 1, 1 2 ≤ z ≤ 1. a.) Calcular I usando la parametrización (coordenadas esféricas) S1 : r r r(θ, ϕ) = (sen ϕ cosθ, sen ϕsenθ, cos ϕ), con (θ, ϕ) ∈ [0,2π[×[0,π/3]. b.) Calcular I usando la parametrización S1 : r r r(z,θ) = p 1 − z2 cost ı̂ + p 1 − z2 sent ̂ + z k̂ con 1 2 ≤ z ≤ 1 y θ ∈ [0,2π[. c.) Calcular I usando coordenadas rectangulares Solución: a.) Vamos a usar una parametrización del casquete de la esfera basada en coordenadas esféricas. Observe que los parámetros son θ y ϕ. En este caso, ρ = 1. x = sen ϕ cosθ y = sen ϕsenθ z = cos ϕ =⇒ r r r(θ, ϕ) = (sen ϕ cosθ, sen ϕsenθ, cos ϕ), con (θ, ϕ) ∈ [0,2π[×[0,π/3]. El valor ϕ = π/3 se obtiene de resolver z = 1 · cos ϕ = 1 2. Luego,
- 277. 6.4 Integral sobre una superficie. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 277 rθ = (−sinθ sin ϕ,cosθ sin ϕ,0) rϕ = (cosθ cos ϕ,cos ϕ sinθ,−sin ϕ) ∂r r r ∂θ × ∂r r r ∂ϕ = sen ϕ 0 en [0,π/3], Las variables de integración son ϕ y θ, así que debemos sustituir z en el integrando. Para resolver la integral se hace la sustitución u = cos ϕ, ZZ S lnz dS = Z 2π 0 Z π/3 0 ln(cos ϕ)sen ϕdϕdθ = − Z 2π 0 Z cosπ/3 1 ln(u)dudθ = π (ln2 − 1) b.) Como S : x2 + y2 = 1 − z2, con 1 2 ≤ z ≤ 1; podemos parametrizar el casquete como r r r(z,θ) = p 1 − z2 cost ı̂ + p 1 − z2 sent ̂ + z k̂ con 1 2 ≤ z ≤ 1 y θ ∈ [0,2π[. ∂r r r ∂z × ∂r r r ∂θ = (− √ 1 − z2 cost, − √ 1 − z2 sent, −z) = 1 En este caso las variables de integración son z y θ así que no hay nada que sustituir en la integral, ZZ S lnzdS = Z 2π 0 Z 1 1/2 ln(z) · 1dzdθ = = π (ln2 − 1) c.) En coordenadas rectangulares S : z = p 1 − x2 − y2, con z ∈ [1/2,1]. Entonces la proyección sobre el plano XY está entre las circunferencias x2 + y2 = 3/4 y x2 + y2 = 1. Las variables de integración son x e y así que debemos sustituir z en el integrando,
- 278. 6.4 Integral sobre una superficie. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 278 ZZ S lnzdS = ZZ D ln(z) q 1 + z2 x + z2 y dA = ZZ D log q 1 − x2 − y2 s 1 + x2 + y2 1 − x2 − y2 dA, (pasamos a polares), = Z 2π 0 Z 1 √ 3/4 log( p 1 − r2) r √ 1 − r2 drdθ (usamos la sustitución u2 = 1 − r2), = π (ln2 − 1) (la integral es impropia, se calcula con u → → → 0). Ejercicios 25 6.1 Determine el área de la superficie S de ecuación z = x2 + y2 que se encuentra limitada por los planos z = 4, z = 1, y = x y el plano y = 0, tal y como se muestra en la figura 6.2 Sea S la superficie del cono z2 = x2 + y2 com- prendida entre z = 0 y z = 1. Usando integral de superficie, calcular el área de la superficie S. 6.3 Calcule ZZ S x2 − 2y + zdS donde S es la superfi- cie de la figura.
- 279. 6.4 Integral sobre una superficie. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 279 6.4 Sea F(x,y,z) = (xy, x, z + 1) y sea S S S la porción de superficie de ecuación z = 4 − y2 limitada por las superficies z = 3, x = 4, z = 0 y x = y, tal y como se muestra en la figura de la derecha. Calcular ZZ S 2xy + z + 1dS S 6.5 La superficie S es el trozo del cilindro z − x2 = 0 que está limitado por los planos y = 0, y = x y z = 4, en el primer octante. La Superficie S se muestra en la figura que sigue. Calcule el área de S. S 6.6 Determine el área de la superficie S de ecuación z = x2 + y2 que se encuentra limitada por los planos z = 1, z = 3, y = x y el plano x = 0, tal y como se muestra en la figura.
- 280. 6.4 Integral sobre una superficie. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 280 6.7 Calcule la integral de superficie ZZ s (x2 + y2 + z)dS donde S es la superficie de ecuación z = 9 − x2 − y2, limitada por el plano z = 0 tal y como se muestra en la figura a la derecha. 6.8 Sea Q el sólido que se muestra en la figu- ra a la derecha y sea S la frontera de Q, es de- cir, S = ∂Q. Calcule Z S F · NdS donde F(x,y, z) = (x3 + senz, x2y + cosz,tan(x2 + y2)) X Y Z 1 1 2 3 6.9 Calcule el área de la superficie S tal y como se muestra en la figura a la derecha. X Y Z 1 2 3 1 1
- 281. 6.5 Campos escalares y campos vectoriales. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 281 6.10 Calcule el área de la superficie S tal y como se muestra en la figura a la derecha. 6.5 Campos escalares y campos vectoriales. Definición 6.4 Sea U ⊆ Rn un conjunto abierto. Una aplicación f : U −→ R se denomina campo escalar o función escalar. Una función f : U −→ Rn se denomina campo vectorial. Ejemplo 6.15 (Representación gráfica). Una manera de visualizar el campo gráficamente es anclar en cada punto (x,y) el respectivo vector F F F(x,y) (se traslada desde el origen). Pero también se puede anclar el vector de tal manera que el punto quede en el medio del vector (como si el vector fuera parte de una recta tangente). En general, la representación gráfica se hace anclando el vector de esta segunda manera y escalando el tamaño de los vectores de tal manera que unos no se sobrepongan sobre los otros, para tener una mejor vizua- lización de la dirección de “flujo” del campo vectorial. Así lo hace el software (como Wolfram Mathematica). Por ejemplo, Consideremos el campo F F F(x,y) = (−y,x). En la figura a.) se dibujan dos vectores anclados en el punto, en la figura b.) se dibujan dos vectores anclados con el punto en el medio y en la figura c.) se hace la representación gráfica del campo escalando los vectores, tal y como se acostumbra.
- 282. 6.5 Campos escalares y campos vectoriales. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 282 X Y X Y a.) b.) c.) Escalamiento X Y Figura 6.5: F F F(cos(π/4), sen(π/4)) Ejemplo 6.16 Representación gráfica del campo vectorial F F F(x,y) = (2x, 2y) sobre la circunferencia x2 + y2 = 1. Observe que si z = x2 + y2 entonces F F F(x,y) = ∇z, por eso los vectores son perpendiculares a esta circunferencia (la curva de nivel z = 1). X Y Figura 6.6: F F F sobre x2 + y2 = 1. Ejemplo 6.17 Representación gráfica, sobre la circunferencia x2 + y2 = 1, del campo vectorial F F F(x,y) = (−y,x). X Y
- 283. 6.6 Integral de flujo. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 283 Ejemplo 6.18 Sea C la curva de ecuación x2 + y2 = 1 En la figura de abajo se presenta parte de la representación gráfica, sobre C, del campo vectorial F F F(x,y) = (seny, senx). En la versión CDF, se puede apreciar la acción del campo conforme cuando la curva se desplaza. -2 -1 0 1 2 3 4 -2 -1 0 1 2 3 4 Figura 6.7: F F F1(x,y) = (seny, senx) sobre la curva C 6.6 Integral de flujo. Si F F F es la densidad de flujo de una corriente de fluido y N N N es el vector unitario normal a S definido por N N N = ∂r r r ∂u × ∂r r r ∂v ∂r r r ∂u × ∂r r r ∂v , entonces la masa total de fluido que pasa por S por unidad de tiempo en la dirección de N N N es ZZ S F F F · N N N dS = ZZ D F F F(r r r(u,v)) · ∂r r r ∂u × ∂r r r ∂v ∂r r r ∂u × ∂r r r ∂v ∂r r r ∂u × ∂r r r ∂v dA = ZZ D F F F(r r r(u,v)) · ∂r r r ∂u × ∂r r r ∂v dA
- 284. 6.6 Integral de flujo. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 284 Caso z = f (x,y) Como consecuencia tenemos que si S : z = f (x,y) con f de clase C1 sobre D, se puede parametrizar S con r r r(x,y) = x ı̂ + y ̂ + f (x,y) k̂ y entonces ZZ S F F F · N N N dS = ZZ Dxy F F F(x,y,z) · (−fx, −fy,1)dA Orientación. Nuestra expresión para el flujo total lleva implícita la escongencia de uno de los dos vectores normales unitarios. Escoger un vector unitario para la región S es equivalente a “orientar” la región (como veremos má adelante). Esta escogencia de N N N decide el signo de F F F · N N N. En lo que sigue, siempre vamos a escoger N N N = ∂r r r ∂u × ∂r r r ∂v ∂r r r ∂u × ∂r r r ∂v . Figura 6.8: Orientar S con N N N La integral ZZ S F F F · N N N dS calcula el flujo neto. El flujo que pasa en la “dirección” de el vector N N N escogido, “suma” y el flujo que pasa en la “dirección contraria”, “resta“. La suma de todo esto es el flujo neto. Integral de Flujo−Proyectando sobre varios varios planos. a) Proyectando sobre XY: Si S : z = z(x,y) o S : G(x,y,z) = 0, con (x,y) ∈ Dxy ZZ S F F F · N N N dS = ZZ Dxy F F F(x,y,z(x,y)) · (−zx,−zy,1)dA, o, en “versión implícita”, ZZ S F F F · N N N dS = ZZ Dxy F F F(x,y,z(x,y)) · (Gx, Gy, Gz) 1 Gz dA
- 285. 6.6 Integral de flujo. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 285 b) Proyectando sobre XZ: Si S : y = y(x,z) o S : G(x,y,z) = 0, con (x,z) ∈ Dxz ZZ S F F F · N N N dS = ZZ Dxz F F F(x,y(x,z),z) · (−yx,1,−yz)dA o, en “versión implícita”, ZZ S F F F · N N N dS = ZZ Dxz F F F(x,y(x,z),z) · (Gx, Gy, Gz) 1 Gy dA c) Proyectando sobre YZ: Si S : x = x(y,z) o S : G(x,y,z) = 0, con (y,z) ∈ Dyz ZZ S F F F · N N N dS = ZZ Dyz F F F(x(y,z),y,z) · (1,−xy,−xz)dA o, en “versión implícita”, ZZ S F F F · N N N dS = ZZ Dyz F F F(x(y,z),y,z) · (Gx, Gy, Gz) 1 Gx dA Ejemplo 6.19 Calcular ZZ S F F F · N N N dS si F F F(x,y,z) = (z + 1) k̂ y S es la superficie z = 2 + y con x2 + y2 = 1. Solución: La superficie S tiene ecuación z = 2 + y. Dxy es el círculo de radio 1. Entonces,
- 286. 6.6 Integral de flujo. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 286 ZZ S F F F · N N N dS = ZZ Dxy (0,0,z + 1) · (−zx, −zy,1)dA = ZZ Dxy (0,0,2 + y + 1) · (0,−1,1)dA = ZZ Dxy y + 3dA = Z 2π 0 Z 1 0 (3 + rsenθ)rdrdθ = Z 2π 0 6 + sen(θ) 4 dθ = 3π. Ejemplo 6.20 Sea F F F(x,y,z) = (0,y,0) y S el cilindro z = 2 − x2 2 , desde y = 0 hasta y = 2, como se ve en la figura. Calcular ZZ S F F F · N N N dS Solución: Intuitivamente, el flujo no pasa a través de la superficie S, así que la integral de flujo debería ser 0. X En este caso solo se puede proyectar sobre YZ o XY. La proyección sobre YZ es un rectángulo. Sea S : G(x,y,z) = 0 con G(x,y,z) = z − 2 + x2 2 . Entonces, ZZ S F F F · N N N dS = ZZ Dyz F F F · ∇G Gx dA = Z 2 0 Z 3/2 0 (0,y,0) · (x,0,1) 1 x dzdy = Z 2 0 Z 3/2 0 0dzdy = 0
- 287. 6.6 Integral de flujo. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 287 Ejemplo 6.21 Calcular ZZ S F F F · N N N dS si F F F(x,y,z) = (x,yz,xy) y S el cilindro de ecuación y = 4 − x2 limitado por el plano x + z = 2, tal y como se muestra en la figura de la derecha. Solución: La superficie S tiene ecuación G(x,y,z) = 0 con G(x,y,z) = y + x2 + 4. La proyección de S sobre el plano XZ es un triángulo. X Y ZZ S F F F · N N N dS = ZZ Dxz (x,yz,xy) · ∇G Gy dA donde S : G(x,y,z) = y + x2 + 4 = 0. = ZZ Dxz (x,yz,xy) · (2x,1,0)dA = Z 2 0 Z 2−x 0 2x2 + yz dzdx = Z 2 0 Z 2−x 0 2x2 + (4 − x2 )z dzdx = 112 15
- 288. 6.6 Integral de flujo. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 288 Ejemplo 6.22 Calcular ZZ S F F F · N N N dS si F F F(x,y,z) = 4xz ı̂ + yz3 ̂ + z2 k̂ y S es la superficie z2 + y2 + x2 = 4 entre z = 1 y z = 2. Solución: La superficie S tiene ecuación G(x,y,z) = 0 con G(x,y,z) = x2 + y2 + z2 − 4. La proyección Dxy es el círculo x2 + y2 = 3. Entonces, ZZ S F F F · N N N dS = ZZ Dxy (4xz,yz3 ,z2 ) · ∇G Gz dA = ZZ Dxy (4xz,yz3 ,z2 ) · x z , y z ,1 dA = ZZ Dxy 4x2 + y2 z2 + z2 dA = ZZ Dxy 4x2 + y2 (4 − x2 − y2 ) + 4 − x2 − y2 dA = 1 2 Z π/2 0 Z √ 3 0 (8 + 6r2 − r4 + r4 cos2θ)rdrdθ = 21π 4 . X Y Ejercicios 26 6.11 Calcule I = ZZ S F F F · N N N dS donde F F F es el campo vectorial dado por F F F(x,y,z) = y ı̂ − x ̂ + 8z k̂ y S la parte de la esfera de ecuación x2 + y2 + z2 = 9 que se encuentra dentro del cilindro x2 + y2 = 4, como se observa en la figura.
- 289. 6.6 Integral de flujo. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 289 6.12 Sea F F F(x,y,z) = xy2 ı̂ + x2y ̂ + y k̂. Sea S es la superficie dada por S = Sa ∪ Sb ∪ Sc donde Sa,Sb,Sc son las tres superficies frontera del sólido Q limitado por x2 + y2 = 1, z = 1 y z = −1 como se ve en la figu- ra. Calcule ZZ S F F F · N N N dS donde N N N es el vector normal unitario exterior a Q. 6.13 Sea F F F(x,y,z) = x ı̂ + y ̂ + z k̂ y E es la superficie de ecuación z = 1 + x2 + y2, con 1 ≤ z ≤ 3, tal y como se muestra en la figura. Calcular ZZ E F F F · N N N dS. X Y 6.14 Sea F F F(x,y,z) = (0, x + y, z). Calcule la integral de superficie ZZ S S S F F F · N N NdS dS dS, donde S S S es el trozo de cilindro de ecuación z = 1 − (x − 2)3 que está limitado por los planos y = 0, y = 3, z = 1 y z = 2 tal y como se muestra en la figura. S
- 290. 6.7 Superficies orientables. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 290 6.15 Sea S la superficie de ecuación z = x2 + y2 que se encuentra limitada por los planos z = 1, z = 3, y = x y el plano x = 0, tal y como se muestra en la figura. Calcule ZZ S S S F F F · N N N dS dS dS si F F F(x,y,z) = (x, y, z2) 6.16 Sea F(x,y,z) = (xy, x, z + 1) y sea S S S la porción de superficie de ecuación z = 4 − y2 limitada por las superficies z = 3, x = 4, z = 0 y x = y, tal y como se muestra en la figura de la derecha. Calcular ZZ S S S F F F · N N N dS dS dS. S 6.7 Superficies orientables. Sea S una superficie y r r r(u,v) una parametrización de S. Los vectores normales a S, en (u,v), puede escogerse entre los dos vectores unitarios opuestos N N N(u,v) = ± ∂r r r ∂u × ∂r r r ∂v ∂r r r ∂u × ∂r r r ∂v Caso S : z = f (x,y) En el caso de que S : z = f (x,y), si r r r(x,y) = x ı̂ + y ̂ + f (x,y) k̂ y entonces N N N+(x,y) = (−fx,−fy,1) q f2 x + f2 y + 1 y N N N−(x,y) = − (−fx,−fy,1) q f2 x + f2 y + 1
- 291. 6.7 Superficies orientables. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 291 Si la superficie tiene dos “caras”, el signo hace que cada vector normal esté en un lado u otro de la superficie. Este hecho se usa para “orientar” una superficie. Orientar una superficie significa escoger un signo para N N N, una cara de la superficie es caracterizado N N N y la otra cara por −N N N. Como N N N depende de la parametrización r r r, es está la que al fin y al cabo orienta la superficie. En el caso de una esfera, cada vector N N N+(x,y) (con signo positivo) apunta al exterior y el cada vector N N N−(x,y) apunta al interior Definición 6.5 Si en cada punto (x,y,z) de la superficie regular S es posible asociar un vector unitario N N N(x,y,z) de tal manera que como función, N N N sea continua sobre toda la superficie S, entonces se dice que S es orientable. Como decíamos, la definición supone que la superficie tiene dos lados. Uno de los lados queda determinado por la función continua N N N(x,y,z) sobre S y el otro lado por la normal de signo contrario. Hay superficies de una sola cara, como la banda de Möbius, que no son orientables. En la figura que sigue tenemos una banda de Möbius. Note que la escogen- cia de N N N no orienta la banda, es decir, si escogemos uno de los N N N , la presencia de estos vectores N N N “arri- ba” y “abajo” de la banda, muestran que hay una sola cara. En las integrales de flujo que hemos calculado, hemos usado el vector normal unitario fundamental N N N+. No siempre este es el vector que se elige para los cálculos. Algunos teoremas requieren superficies orientadas con vectores normales unitarios hacia el exterior.
- 292. 6.8 Teorema de la Divergencia. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 292 Convenio para superficies cerradas. En el caso de superficies cerradas, se conviene en que si N N N apunta hacia afuera, esta es “la orientación positiva” y si N N N apunta hacia adentro, esta es “la orientación negativa”. 6.8 Teorema de la Divergencia. Ahora nos interesa analizar el flujo de un campo vectorial F F F(x,y,z) = (P,Q,R) continuamente diferenciable, a través de la frontera S = ∂Q de un sólido simple Q, en la dirección del vector normal unitario exterior a ∂Q. El flujo total se puede separar entre el flujo que entra al sólido y el flujo que sale, en cada cara del sólido el flujo podría ser distinto. Divergencia significa “alejarse de”. Intuitivamente, la “divergencia” es la densidad de flujo o flujo neto por unidad de volumen; es la cantidad de flujo que entra o sale en un punto y se calcula como el “cambio de flujo total”, es decir, la suma de el cambio de F en la dirección de X, el cambio de F en la dirección de Y y el cambio de F en la dirección de Z. En un caso sencillo, se toma un cubo Q centrado en (a,b,c) con aristas paralelas a los ejes. Calcular el flujo sobre S = ∂Q requiere calcular el flujo sobre cada una de las caras. En la cara que contiene al punto (a + ∆x/2,b,c) (punto rojo en la figura anterior) la estimación del flujo total F F Ftx+ sería Ftx+ ≈ F F F(a + ∆x/2,b,c) · (1,0,0)∆y∆z = P(a + ∆x/2,b,c)∆y∆z En la cara (opuesta) que contiene al punto (a − ∆x/2,b,c) la estimación del flujo total F F Ftx− sería Ftx− ≈ F F F(a + ∆x/2,b,c) · (−1,0,0)∆y∆z = −P(a − ∆x/2,b,c)∆y∆z Luego el flujo total estimado en ambas caras sería, Ftx+ + Ftx− ≈ [P(a + ∆x/2,b,c) − P(a − ∆x/2,b,c)]∆y∆z = ∂P ∂x (a,b,c)∆x∆y∆z si ∆x ≈ 0
- 293. 6.8 Teorema de la Divergencia. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 293 De manera similar, si ∆V es el volumen de la caja, el flujo total en las caras paralelas a los planos y = 0 y z = 0 sería aproximadamente ∂Q ∂y (a,b,c)∆V y ∂R ∂z (a,b,c)∆V, respectivamente. Así, el flujo total a través de S = ∂Q con vector normal exterior, sería aproximadamente ∂P ∂x + ∂Q ∂y + ∂R ∂z (a,b,c) ∆V Así, el flujo total que pasa a través de la frontera de una pequeña caja de centro (a,b,c) es un escalamiento del volumen, el factor de escalamiento ∂P ∂x + ∂Q ∂y + ∂R ∂z , evaluado en el centro, se llama divergencia. Definición 6.6 La divergencia del campo vectorial F F F = (P,Q,R) es el campo escalar DivF F F = ∂P ∂x + ∂Q ∂y + ∂R ∂z Si F F F es continuamente diferenciable, DivF F F es continuo y si Qi es una caja de diámetro pequeño, entonces DivF F F∆V ≈ ZZZ Qi DivF F F dV Pero como DivF F F∆V es aproximadamente el flujo total a través de la frontera de Qi, en la dirección del vector normal exterior, entonces ZZZ Qi DivF F F dV ≈ ZZ ∂Qi F F F · N N N dA La generalización es llamada el Teorema de la divergencia o Teorema de Gauss.
- 294. 6.8 Teorema de la Divergencia. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 294 Teorema 6.1 ((Teorema de la Divergencia). Sea Q un sólido limitado por una superficie orientable S y sea N N N el vector normal unitario siempre exterior a Q. Si F F F es un campo vectorial de clase C1 sobre Q entonces ZZZ Q DivF F FdV = ZZ S F F F · N N N dS donde DivF F F = Px + Qy + Rz si F F F = (P,Q,R). Ejemplo 6.23 Calcular ZZ S F F F · N N N dS si F F F(x,y,z) = (z + 1) k̂, S es la frontera del sólido Q limitado por el cilindro x2 + y2 = 1, el plano z = 2 + y y z = 0, como se ve en la figura, y N N N es el vector unitario siempre exterior a Q. Solución: En vez de calcular la integral sobre cada una de las tres superficies que conforman la frontera de Q(ver los ejemplos 6.6, 6.6 y 6.20), usamos el teorema de la divergencia. X Y F F F(x,y,z) = (0,0,z + 1) y DivF F F = 0 + 0 + 1 = 1. Proyectando sobre el plano XY y usando coordenadas cilíndricas, tenemos ZZ S F F F · N N N dS = ZZZ Q DivF F F dV = ZZ D Z 2+y 0 1dzdA (la cantidad de flujo coincide con el volumen de Q!) = Z 2π 0 Z 1 0 Z 2+rsenθ 0 1rdzdrdθ = 2π
- 295. 6.8 Teorema de la Divergencia. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 295 La importancia de que N N N se exterior a Q. Consideremos los ejemplos 6.6, 6.6 y 6.20. El cálculo de la integral de flujo se hizo siempre con N N N1 = (−fx, −fy, 1). Pero este vector no siempre es exterior a Q. En el caso de la superficie Sa (figura siguiente), este vector no es exterior y ZZ Sa F F F · N N N dS = π. El resultado es ZZ S F F F · N N N dS = ZZ Sa F F F · (−N N N)dS + ZZ Sb F F F · N N N dS + ZZ Sc F F F · N N N dS = −π + 3π + 0 = ZZZ Q DivF F F dV = 2π Ejemplo 6.24 Calcular ZZ S F F F · N N N dS si F F F(x,y,z) = x ı̂ + y ̂ + z k̂ y S es la frontera del sólido Q comprendido entre las superficies z = 10 − x2 − y2 y z = 2 + x2 + y2, y N N N es el vector normal unitario siempre exterior a Q. Solución: Podemos usar el teorema de la divergencia. F F F(x,y,z) = (x,y,z) y DivF F F = 1 + 1 + 1 = 3. La proyección del sólido sobre el plano xy es un círculo de radio 2 pues z = 10 − x2 − y2 ∩ z = 2 + x2 + y2 =⇒ 4 = x2 + y2 . Usando coordenadas cilíndricas obtenemos, ZZ S F F F · N N N dS = ZZZ Q DivF F F dV = ZZ D Z 10−x2−y2 2+x2+y2 3dzdA = Z 2π 0 Z 2 0 Z 10−r2 2+r2 3rdzdrdθ = 48π X Y
- 296. 6.8 Teorema de la Divergencia. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 296 Ejemplo 6.25 Calcular ZZ S F F F · N N N dS si F F F(x,y,z) = ycosx ı̂ + 1 2 y2 senx ̂ + z k̂ y S es la frontera del sólido Q comprendido entre las superficies z = 1 + y, x2 + y2 = 1 y z = 0, y N N N es el vector normal unitario siempre exterior a Q. Solución: Podemos usar el teorema de la divergencia. La proyección del sólido sobre el plano XY es un círculo x2 + y2 = 1. DivF F F = −ysenx + ysenx + 1 = 1. —– ZZ S F F F · N N N dS = ZZZ Q DivF F F dV = ZZ D Z 1+y 0 1rdzdA = Z 2π 0 Z 1 0 Z 1+rsenθ 0 rdzdrdθ = Z 2π 0 Z 1 0 (1 + rsenθ)rdrdθ = π Ejemplo 6.26 Sea Q el sólido limitado por las superficies Sa : z = sen(xy), Sb : x = π 2 y Sc : y = x. Sea S la frontera del sólido Q y N N N es el vector normal unitario y exterior a Q. Calcule ZZZ S1 F F F · N N N dS si F F F = x3 3 , z, yx . Solución: Podemos usar el teorema de la divergencia. La proyección del sólido sobre el plano XY es el triángulo 0 ≤ x ≤ π/2 y 0 ≤ y ≤ x. DivF F F = x2 X Y S
- 297. 6.8 Teorema de la Divergencia. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 297 ZZ S F F F · N N N dS = ZZZ Q DivF F F dV = Z π 2 0 Z x 0 Z sen(xy) 0 x2 dzdydx = Z π 2 0 Z x 0 x2 sen(xy)dydx = Z π 2 0 x − xcos x2 dx = 1 8 π2 − 4sen π2 4 Ejercicios 27 6.17 Consideremos el campo de fuerzas F F F con F F F(x,y,z) = (x +sen(y)) ı̂ + (ln(xz) − y) ̂ + (2z +arctan(xy)) k̂ Calcule la integral de superficie ZZ S S S F F F · N N NdS dS dS donde S S S es la frontera del sólido Q, el cual se muestra en la figura a la derecha y N N N es el vector normal unitario siempre exterior a Q. Sólido 6.18 Use el teorema de la divergencia para calcular ZZ S F F F · N N N dS donde S es la frontera del sólido Q, li- mitado por la superficie z = x2 + y2 + 5 y el plano z = 10, tal y como se muestra en la figura a la derecha, F F F(x,y,z) = 2x ı̂ + y ̂ + z k̂ y N es el vector normal unitario exterior a Q. 1
- 298. 6.8 Teorema de la Divergencia. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 298 6.19 Calcule ZZ S F F F · N N N dS si F F F(x,y,z) = xy2 ı̂ + x2 y ̂ + y k̂, y S es la superficie dada por S = Sa ∪ Sb ∪ Sc donde Sa,Sb,Sc son las tres superficies frontera del sólido Q limitado por x2 + y2 = 1, z = 1 y z = −1 como se ve en la figura, además N N N es el vector normal unitario siempre exterior a Q. 6.20 Sea E la frontera del sólido Q limitado por la esfera x2 + y2 + z2 = 2 y el cono 2z2 = y2 + x2, tal y como se muestra en la figura. Si F F F(x,y,z) = xz ı̂ + xarctan(xz) ̂ + z2 2 k̂, calcular ZZ E F F F · N N N dS si N N N es el vector normal unitario siempre exterior a Q. X Y 6.21 Sea Q el sólido que se muestra en la figura a la derecha y sea S la frontera de Q, es decir, S = ∂Q. Calcule Z S F F F · N N NdS donde F(x,y, z) = (x3 + senz, x2 y + cosz,tan(x2 + y2 )) y N N N es el vector normal unitario siempre exterior a Q. X Y Z 1 1 2 3 6.22 Sea F F F(x,y,z) = 3yi − xzj + yzk, S es la frontera del sólido Q, el cual se muestra a la derecha, y N es un vector normal exterior a Q. a.) Calcule ZZ s F F F · N N N dS sin usar el Teorema de la Divergencia. b.) Calcule ZZ s F F F · N N N dS usando el teorema de la Divergencia. X Y Z
- 299. 6.8 Teorema de la Divergencia. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 299 6.23 Sea F F F(x,y,z) = (z2 + 2)k, S es la frontera del sólido Q, el cual se muestra a la derecha, y N es un vector normal exterior a Q. a.) Calcule ZZ s F F F · N N N dS sin usar el Teorema de la Divergencia. b.) Calcule ZZ s F F F · N N N dS usando el teorema de la Divergencia. X Y Z 1 1 3 3
- 300. 6.8 Teorema de la Divergencia. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 300 Revisado:Julio, 2017 Versión actualizada de este libro y el formato CDF: http://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/Libros/
- 301. Curvas y parametrizaciones. Longitud de una curva. Integral de línea para campos escalares. (∗)Longitud de arco en coordenadas pola- res. Integral de línea de campos vectoriales. Trabajo. Campos conservativos. Independencia de la trayectoria. Teorema de Green (en el plano). Área como una integral de línea. Teorema de Stokes (Teorema de Green en el espacio). 7 — Integral de línea. 7.1 Curvas y parametrizaciones. Definición 7.1 Consideremos la función vectorial continua r r r : [a,b] −→ Rn con r r r(t) = (x1(t),x2(t),...,xn(t)). La representación gráfica de r r r se dice que es la curva C determinada por r r r y que une los puntos A = r r r(a) y B = r r r(b). Si r r r(a) = r r r(b), la curva se dice cerrada. Si r r r es inyectiva en [a,b], la curva se dice simple. Si r r r es cerrada y es inyectiva en ]a,b], la curva se dice cerrada simple. Las curvas cerradas simples se llaman curvas de Jordan. A r r r le llamamos una parametrización de C. Curva Curva simple Curva cerrada Curva cerrada simple Figura 7.1: Curvas
- 302. 7.1 Curvas y parametrizaciones. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 302 Ejemplo 7.1 Consideremos la curva C : y2 + (z − 1)2 = 1 iniciando en A = (0,0,0) y finalizando en B = (0,0,2), tal y como se muestra en la figura. Una parametrizacion de esta curva es C : r r r(t) = (0,cost, 1 + sent) con t ∈ [−π/2,π/2] Observemos que r r r(−π/2) = (0, cos(−π/2), 1 + sen(−π/2)) = (0,0,0) r r r(π/2) = (0, cos(π/2), 1 + sen(π/2)) = (0,0,2) X Y Z A B Figura 7.2: Curva C : r r r(t) = (0,cost, 1 + sent) La ecuación polar de esta curva: r = 2sent con t ∈ [0, π/2]. Ejemplo 7.2 Sean A = (2,0,1) y B = (0,2,2). Consideremos la curva C : r r r(t) = A + t · (B − A) con t ∈ [0,1]. Este es un segmento de recta que inicia en A y terina en B tal y como se muestra en la figura. Una parametrizacion de esta curva es C : r r r(t) = (2 − 2t, 2t, t + 1) con t ∈ [0,1] X Z Figura 7.3: Curva C : r(t) = A + t · (B − A) Observemos que
- 303. 7.1 Curvas y parametrizaciones. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 303 r r r(0) = (2 − 2 · 0, 2 · 0, 0 + 1) = A r r r(1) = (2 − 2 · 1, 2 · 1, 1 + 1) = B La derivada de r r r se define de la manera usual r r r0 (t) = lı́m h→0 r r r(t + h) − r r r(t) h = (x0 1(t),x0 2(t),...,x0 n(t)) Ejemplo 7.3 Consideremos la curva C parametrizada por r r r(t) = (1 + cost) ı̂ + (1 + sent) ̂ + (1 + 1 2 sent) k̂ con t ∈ [0,3]. r r r0(t) = −sent ı̂ + cost ̂ + (1 2 sent + t 2 cost) k̂ En la figura se representa la traslación de este vector velocidad r r r0(t). X Y Z Figura 7.4: Curva r r r(t) = (1 + cost) ı̂ + (1 + sent) ̂ + (1 + 1 2 sent) k̂
- 304. 7.1 Curvas y parametrizaciones. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 304 Ejemplo 7.4 Consideremos la curva C parametrizada por r r r(t) = t ı̂ + (4 − t) ̂ + (4 − (t − 1)2) k̂ con t ∈ [0,3]. A = r r r(0) = (0, 4 − 0,4 − (0 − 1)2) = (0,4,3) y B = r r r(3) = (3, 4 − 3,4 − (3 − 1)2) = (3,1,0). r r r0(t) = ı̂ − 1 ̂ + −2(t − 1) k̂. En particular, r r r0(1) = (1,−1,0). En la figura se representa la traslación de este vector velocidad al punto P = r r r(1). Figura 7.5: Curvas Curvas regulares. Sea r r r(t) una parametrización de una curva C en el plano o en el espacio. El parámetro t podría ser tiempo, ángulo, longitud de arco, coordenada x, etc. Decimos que la curva C es regular o ’suave’ en [a,b] si r r r0(t) es continua en [a,b] y r r r0(t) 6= 0 0 0 para todo t ∈ [a,b] (es decir las componentes de r r r no se anulan simultáneamente). También decimos que una curva C es regular a trozos en [a,b] si es regular en cada subintervalo de alguna partición finita de [a,b]. Figura 7.6: Curva regular a trozos En R2 escribimos r r r(t) = (x(t),y(t)) o también r r r(t) = x(t) ı̂ + y(t) ̂, con t ∈ [a,b] En R3 escribimos r r r(t) = (x(t),y(t),z(t)) o también r r r(t) = x(t) ı̂ + y(t) ̂ + z(t) k̂, con t ∈ [a,b]
- 305. 7.1 Curvas y parametrizaciones. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 305 Una función vectorial es de clase C1 si las derivadas de sus componentes son continuas. Ejemplo 7.5 (Curvas Orientadas). Consideremos las curvas C1 y C2 X Y 1 1 2 1 2 3 4 X Y 1 1 2 1 2 3 4 Figura 7.7: Curvas C1 y C2. Ambas curvas tienen ecuación, en coordenadas rectangulares, y = x2 con x ∈ [−1,2]. Pero C1 inicia en A = (−1,1) y termina en B = (2,4); mientras que C2 inicia en B y termina en A. Para parametrizar cada curva debemos tomar en cuenta su orientación. Una parametrización de C1 es (tomando a x = t como parámetro), r r r(t) = (x(t), y(t)) = ( t |{z} x(t) , t2 |{z} y(t) ) o también r r r(t) = t |{z} x(t) ı̂ + t2 |{z} y(t) ̂ con t ∈ [−1,2]. Observe que r r r(−1) = (x(−1), y(−1)) = (−1, (−1)2) = A y r r r(2) = (2, 22) = B. Como C2 es C1 con la otra orientación, entonces podemos parametrizar C2 con r1(t) = r(a + b − t), de esta manera r1(t) = r(−1 + 2 − t) = r(1 − t) r r r1(t) = (x(1 − t), y(1 − t)) = (1 − t, (1 − t)2 ) o también r r r1(t) = (1 − t) | {z } x(t) ı̂ + (1 − t)2 | {z } y(t) ̂ con t ∈ [−1,2]. Observe que r r r1(−1) = B y r r r1(2) = A.
- 306. 7.1 Curvas y parametrizaciones. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 306 (Cambio de orientación). si r(t) es una parametrización con t ∈ [a,b], entonces una parametrización que invierte la orientación es r1(t) = r(a + b − t) con t ∈ [a,b] (Curvas r = g(θ)). Si la curva C tiene ecuación r = g(θ) entonces una parametrización es r(t) = (g(t)cost, g(t)sent). (Parametrizar una elipse contra-reloj). Una elipse de ecuación (x − h)2 a2 + (y − k)2 b2 = 1 se puede parametrizar con r r r(t) = (h + acost) ı̂ + (k + bsent) ̂ con t ∈ [0,2π[. En particular la circunferencia (x − h)2 + (y − k)2 = a2 se puede parametrizar con r r r(t) = (h + acost) ı̂ + (k + asent) ̂ con t ∈ [0,2π[. Ejemplo 7.6 Ver con CFDPlayer Sea C la curva de ecuación (x − 1)2 + (y − 2)2 = 16; z = 3. Se trata de una circunferencia en el plano z = 3, es decir, un caso particular de elipse. Una parametriza- ción es r r r(t) = (1 + 4cos t) ı̂ + (2 + 4sen t) ̂ + 3 k̂, t ∈ [0,2π[ Observe que r r r(0) = (5,2,3) = r r r(2π). Figura 7.8: Curva C.
- 307. 7.1 Curvas y parametrizaciones. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 307 Ejemplo 7.7 Ver con CFDPlayer Requiere FreeCDF Player Considere la curva C = C1 + C2 + C3 + C4 + C5 + C6 . La curva inicia en A = (2,0,0) y fnaliza en B = (2,4,1). La curva C1 es el trozo de circunferencia x2 + z2 = 4 y las otras curvas son segmentos de recta, tal y como se ve en la figura. Parametrizar C. (2,2,2) Solución: C1 es un cuarto de circunferencia de radio 2, en el plano XZ. La podemos parametrizar con C1 : r1(t) = (2cost, 0, 2sent), t ∈ [0, π/2] C2 es un segmento de recta paralelo el eje Y. Podemos tomar como parámetro a y = t, además x(t) = 0 y z(t) = 2. Una parametrización es C2 : r2(t) = (0, t, 2), t ∈ [0,2], C3 es un segmento de recta paralelo el eje X. Podemos tomar como parámetro a x = t, además y(t) = 2 y z(t) = 2. Una parametrización es C3 : r3(t) = (t, 2, 2), t ∈ [0,2], C4 es un segmento de recta paralelo el eje Z. Podemos tomar como parámetro a z = t, además y(t) = 2 y x(t) = 2. Si t ∈ [0,2], la orientación queda invertida, lo cual denotamos con −C4 en la parametrización que sigue, −C4 : r4(t) = (2, 2, t), t ∈ [0,2] C5 es un segmento de recta paralelo el eje Y. Podemos tomar como parámetro a y = t, además x(t) = 2 y z(t) = 0. Una parametrización es C5 : r5(t) = (2, t, 0), t ∈ [2,4]
- 308. 7.1 Curvas y parametrizaciones. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 308 C6 es un segmento de recta paralelo el eje Z. Podemos tomar como parámetro a z = t, además y(t) = 4 y x(t) = 2. Una parametrización es C6 : r6(t) = (2, 4, t), t ∈ [0,1] Segmentos de recta. Sean A,B ∈ R3. El segmento de recta que va de A hasta B se puede parametrizar con r(t) = A + t(B − A) con t ∈ [0,1]. El punto inicial es r(0) = A + 0·(B − A) = A; el punto final es r(1) = A + 1·(B − A) = B y el punto medio es r(1/2) = A + 1 2 ·(B − A) = A + B 2 . Ejemplo 7.8 El segmento C1 que va de A = (1,2,0) hasta B = (2,1,2) se puede parametrizar con r(t) = A + t(B − A) = (1 + t, 2 − t, 2t) con t ∈ [0,1]. Ejemplo 7.9 Considere la curva C = C1 + C2 + C3 tal y como se muestra en la figura. Parametrizar C. Solución: C1 es un segmento de recta sobre el eje Y por tanto x(t) = 0 y z(t) = 0. Una parametrización es r1(t) = (0, t, 0) con t ∈ [0,3]. C2 es un cuarto de circunferencia de radio 3, en el plano YZ. Lo podemos parametrizar con r2(t) = (0, 3cost, 3sent) con t ∈ [0,π/2].
- 309. 7.1 Curvas y parametrizaciones. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 309 C3 es un segmento de recta que va de (2,1,2) hasta (0,0,3). Podemos parametrizar con r3(t) = (2,1,2) + t[(0,0,3) − (2,1,2)] = (2 − 2t, 1 − t, 2 + 2t) con t ∈ [0,1] Ejemplo 7.10 Ver con CFDPlayer Requiere FreeCDF Player Considere la curva C de intersección entre las superficies S1 : z = 4 − x2 y el plano S2 : x + y = 3 en el primer octante. Determine una parametrización para C. Solución: Si tomamos a x = t, entonces la curva S1 : z = 4 − x2 se parametriza con r0(t) = (t,0,4 − t2) y la paramerización de C se obtiene usando el hecho de que y = 3 − x, pues la curva está en el plano S2. Una paramerización es C : r(t) = (t, 3 − t ,4 − t2 ), t ∈ [0,2]
- 310. 7.1 Curvas y parametrizaciones. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 310 Ejemplo 7.11 Considere la curva C de intersección entre el plano 2x − 2y + z = 2 y el cilindro y2 + z2 = 4. Determine una parametrización para C. Solución: Los puntos de C son puntos (x(t),y(t),z(t)) en donde y(t) y z(t) están en la circunferencia y2 + z2 = 4, es decir, podemos poner y(t) = 2cost y z(t) = 2sent. Como x(t) está en el plano 2x − 2y + z = 2, despejando: x(t) = 1 − z(t)/2 + y(t), ahora podemos escribir C : r(t) = (1 + 2cost − sent, 2cost, 2sent) con t ∈ [0,π/2] Observe que r(0) = (3, 2, 0) y r(π/2) = (0, 0, 2). Ejemplo 7.12 Considere la curva C de intersección entre el cilindro x2 + y2 = 1 y el plano z = 2 − x. Parametrizar C. Solución: Hay varias maneras de parametrizar C. Veamos dos maneras. Primera manera: Los puntos de C son puntos (x(t), y(t), z(t)) con x(t) y y(t) sobre la circunfe-rencia x2 + y2 = 1, por lo tanto podemos poner x(t) = cost y y(t) = sent. Como z(t) está en el plano z = 2 − x, entonces z(t) = 2 − x(t). Una parametrización podría ser C : r(t) = (cost, sent, 2 − cost) con t ∈ [0,π/2] Observe que r(0) = (1,0,1) y que r(π/2) = (0,1,2). Segunda manera: Ver los puntos de C con x(t) y z(t) sobre la recta z = 2 − x y y(t) en el el cilindro x2 + y2 = 1. Una parametrización se podría obtener tomando a x = t como paramétro:
- 311. 7.1 Curvas y parametrizaciones. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 311 −C : r(t) = (t, p 1 − t2, 2 − t) con t ∈ [0,1] La parametrización invierte la orientación, eso lo indicamos con ”−C”. Ejercicios 28 7.1 Determine una parametrización para cada una de las siguientes curvas. a.) b.) X Y X Y c.) d.) e.) f.) plano
- 312. 7.2 Longitud de una curva. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 312 7.2 Longitud de una curva. Consideremos una curva C regular y simple, parametrizada por r r r en [a,b]. Para calcular la longitud de C, la idea es partir el intervalo [a,b] en n partes [a,t1] ∪ [t1,t2] ∪ ... ∪ [tn−1,b] y considerar una línea poligonal inscrita en C, como se muestra en la figura. Ver con CFDPlayer Figura 7.9: Longitud de arco como una integral de Riemann. La longitud de la curva (“rectificable”) se define como el límite al cual tiende la suma de las longitudes de los segmentos de la línea poligonal cuando ||P|| = Máx(ti−1 − ti) −→ 0 si n −→ ∞, es decir s = lı́m n→∞ n ∑ i=1 ||r r r(ti) − r r r(ti−1)|| Si C es regular, por el teorema del valor medio podemos poner ||r r r(ti) − r r r(ti−1)|| = ||r r r0(ξi)(ti − ti−1)|| con ξi ∈]ti,ti−1[ y concluir lı́m n→∞ n ∑ i=1 ||r r r0 (ξi)4t|| = Z b a ||r r r0 (t)||dt Definición 7.2 (Longitud de una curva). Sea C regular, simple y parametrizada por r r r(t), t ∈ [a,b]. Si ds = ||r r r0(t)||dt, entonces la longitud (de arco) de C es s = Z C 1 · ds = Z b a ||r r r0 (t)||dt Además, la longitud de arco no depende de la parametrización de C (ni, por tanto, de la orientación).
- 313. 7.2 Longitud de una curva. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 313 Sea C parametrizada por r r r(t) con t ∈ [a,b]. Caso C : r r r(t) = x(t) ı̂ + y(t) ̂ Si r r r(t) = x(t) ı̂ + y(t) ̂ con t ∈ [a,b] entonces s = Z C ds = Z b a ||r r r0 (t)||dt = Z b a q (x0(t))2 + (y0(t))2 dt Caso C : y = f (x) Si y = f (x) entonces tomando x = t tenemos s = Z C ||r r r0 (t)||dt = Z b a q 1 + (f 0(x))2 dx Caso C : r r r(t) = x(t) ı̂ + y(t) ̂ + z(t) k̂ Si r r r(t) = x(t) ı̂ + y(t) ̂ + z(t) k̂ con t ∈ [a,b] entonces s = Z C ds = Z b a ||r r r0 (t)||dt = Z b a q (x0(t))2 + (y0(t))2 + (z0(t))2 dt Ejemplo 7.13 Calcular la longitud de la circunferencia de un círculo de radio a. Solución: La circunferencia C se puede parametrizar con C : r(t) = acos(t) | {z } x(t) ı̂ + asen(t) | {z } y(t) ̂ con t ∈ [0,2π[. r0 (t) = −asen(t) | {z } x0(t) ı̂ + acos(t) | {z } y0(t) ̂ s = Z C ds = Z b a ||r r r0 (t)||dt = Z 2π 0 q (asent)2 + (acost)2 dt = Z 2π 0 adt = 2aπ Ejemplo 7.14 Calcular la longitud de la la hélice x(t) = 2cos(t), y(t) = 2sen(t), z(t) = t/4 con t ∈ [0,2π]. Solución:
- 314. 7.2 Longitud de una curva. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 314 r(t) = 2cos(t) | {z } x(t) ı̂ + 2sen(t) | {z } y(t) ̂ + t/4 |{z} z(t) k̂ con t ∈ [0,2π]. r0(t) = −2sen(t) | {z } x0(t) ı̂ + 2cos(t) | {z } y0(t) ̂ + 1/4 |{z} z0(t) k̂ Z C ds = Z b a ||r r r0 (t)||dt = Z 2π 0 r 4sen2(t) + 4cos2(t) + 1 16 dt = Z 2π 0 r 65 16 dt = 2π r 65 16 . Ejercicios 29 7.2 Calcular la longitud de la curva C : y = √ x3, x ∈ [0,44] 7.3 Calcular la longitud de la curva C : x = 2 3 (y − 1)3/2 , y ∈ [1, 4]. 7.4 Calcular la longitud de la curva C : y2 = (2x − 1)3, x ∈ [1/2, 4] (Ayuda: La curva tiene dos ramas). 7.5 Calcular la longitud de la curva C : y = log(secx), x ∈ [0, π/4] 7.6 Calcular la longitud de la curva C : y = x3 6 + 1 2x , x ∈ [1, 2] 7.7 Plantear la o las integrales que dan la longitud de las siguientes curvas, a.) b.) 1 1 2 3 4 1 2 3
- 315. 7.3 Integral de línea para campos escalares. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 315 7.3 Integral de línea para campos escalares. Masa de un alambre. Consideremos un trozo de alambre delgado cuya masa varía continuamente y tiene valor ρ(x x x) gramos por centímetro en el punto x x x sobre C. Para estimar la masa total sobre C, hacemos una partición de C : {r r r(t0),r r r(t1),...,r r r(tk+1)} donde r r r es una parametrización de C. Si ∆si = ||r r r(ti+1) − r r r(ti)|| centímetros, la masa del segemento que va de r r r(ti+1) a r r r(ti) es aproximadamente ρ(r r r(ti))∆si gramos y la masa total m del alambre sería m ≈ k ∑ i=1 ρ(r r r(ti))∆si Esta es una suma de Riemman y por tanto podemos tomar el límite (si existe): m = Z C ρ(x x x)ds Generalizando la fórmula, si ∆si = ||r r r(ti+1) − r r r(ti)|| = ||r r r0(ξi)||∆t, entonces Z C f ds = lı́m n→ → →∞ k ∑ i=1 f (r r r(ti))||r r r0 (ξi)||∆t
- 316. 7.3 Integral de línea para campos escalares. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 316 Definición 7.3 Sea f : U ⊂ Rn −→ R continua y C una curva suave y simple, contenida en U y parametrizada por r r r(t) con t ∈ [a,b], entonces la integral de línea de f sobre C es Z C f ds = Z b a f (r r r(t))||r r r0 (t)||dt Ejemplo 7.15 Sea C el arco de parábola x = y2 con y ∈ [0, √ 2]. Calcular Z C 2x − 2y2 + 8yds Solución: Usemos y = t como parámetro, C : r(t) = t2 |{z} x(t) ı̂ + t |{z} y(t) ̂ con t ∈ [0, √ 2]. r0 (t) = 2t |{z} x0(t) ı̂ + 1 |{z} y0(t) ̂ Entonces ds = ||r r r0(t)||dt = p [x0(t)]2 + [y0(t)]2 dt = p (2t)2 + 12 dt Z C 2x − 2y2 + 8yds = Z √ 2 0 (2t2 − 2t2 + 8t) q (2t)2 + 12 dt = Z √ 2 0 8t p 4t2 + 1dt = 2 3 (4t2 + 1)3/2 √ 2 0 = 52/3 Ejemplo 7.16 Calcular Z C (x2 + y2 )5 ds con C la circunferencia x2 + y2 = 4. Solución: Una parametrización de la circunferencia es C : r(t) = 2cost ı̂ + 2sent ̂, con t ∈ [0,2π]. Como ds = ||r r r0(t)||dt = ||4sen2 t + 4cos2 t||dt = 2dt entonces
- 317. 7.3 Integral de línea para campos escalares. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 317 Z C (x2 + y2 )5 ds = Z 2π 0 45 2dt = 2 · 45 · 2π. Ejemplo 7.17 Calcular Z C z2 x2 + y2 ds con C la espira (una vuelta) de la hélice x(t) = 2cos(t), y(t) = 2sen(t), z(t) = 2t. Solución: Como ||r r r0(t)|| = ||4sen2 t + 4cos2 t + 4|| = √ 8, entonces Z C z2 x2 + y2 ds = Z 2π 0 4t2 4 √ 8dt = 16 √ 2 3 π3 . Ejercicios 30 7.8 Calcular Z C xy2 ds donde C es la mitad superior de la circunferencia de ecuación x2 + y2 = 16 7.9 Calcular Z C xds donde C es el arco de parábola C : y = x2 con x ∈ [−1,1]. 7.10 Calcular Z C xy + z 2x − y ds donde C es el segmento de recta que va de (0,0,0) a (1,1,0). 7.11 Calcule la integral de línea Z C x + y + z x2 + y2 + z2 ds donde C es el segmento de recta que va desde A = (1,1,1) hasta el punto B = (2,2,2), tal y como se muestra en la figura a la derecha
- 318. 7.4 (∗)Longitud de arco en coordenadas polares. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 318 7.12 Calcule la integral de línea Z C x2 + 2y √ 33 − 8z ds donde C es la curva que se muestra en la figura a la derecha 1 1 2 3 4 1 2 3 7.13 Calcule la integral de línea Z C x + y + z − 2 ds donde C = C1 + C2 + C3 + C4 es la curva que se muestra en la figura a la derecha z X Y 7.4 (∗)Longitud de arco en coordenadas polares. Ahora el parámetro será θ. Si C esta dada por r = r(θ) con θ1 ≤ θ ≤ θ2, entonces x(θ) = r(θ)cos(θ) y(θ) = r(θ)sen(θ) =⇒ x0 = r0(θ)cos(θ) − r(θ)sen(θ) y0 = r0(θ)sen(θ) + r(θ)cos(θ) Luego, desarrollando y simplificando: ||(x0,y0)|| = p (x0)2 + (y0)2 = p (r0(θ))2 + r2(θ). Así,
- 319. 7.4 (∗)Longitud de arco en coordenadas polares. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 319 Longitud de arco en coordenadas polares Z C f ds = Z θ2 θ1 f (r(θ)cos(θ),r(θ)sen(θ)) q [r0(θ)]2 + r2(θ)dθ Ejemplo 7.18 Calcular Z C x q x2 − y2 ds con C la curva de ecuación (x2 + y2)2 = 4(x2 − y2), x ≥ 0. Figura 7.10: Curva C Solución: Cambiando a polares la curva queda con ecuación r = 2 p cos(2θ) donde − π 4 ≤ θ ≤ π 4 . Además (x0 )2 + (y0 )2 = [r0 (θ)]2 + r2 (θ) = − 2sen(2θ) √ cos2θ 2 + 2 q cos(2θ) 2 = 4 cos2θ Z C x q x2 − y2 ds = Z π/4 −π/4 rcosθ p r2 cos2 θ − r2 sen2 θ s 4 cos(2θ) dθ = 8 Z π/4 −π/4 cos2θ cosθ dθ (sustituyendo r y simplificando). = 8 Z π/4 −π/4 cosθ − 2sen2 θ cosθ dθ (sustituyendo cos2θ = cos2 θ − sen2 θ) = senθ − 2 sen3 θ 3 π/4 −π/4 = 16 √ 2 3.
- 320. 7.5 Integral de línea de campos vectoriales. Trabajo. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 320 7.5 Integral de línea de campos vectoriales. Trabajo. Trabajo. Si una fuerza (empuje) constante F F F desplaza una partícula a lo largo de un vector ∆r r r, el trabajo realizado por esta fuerza se define como el producto de la medida del desplazamiento por la componente Fe de la fuerza en la dirección de dicho desplazamiento (fuerza efectiva), es decir, el trabajo es W = ||Fe||||∆r r r|| Si θ es la medida del ángulo formado por F F F y ∆r r r entonces el escalar ||Fe|| = ||F F F||cosθ es la componente de la fuerza en la dirección del movimiento1 (0 si θ = π/2 y ||F F F|| si θ = 0) y ||∆r r r|| la medida del desplazamiento. Luego el trabajo realizado es W = ||F F F||||∆r r r||cosθ = F F F F F F F F F · ∆r r r Figura 7.11: Trabajo. Para calcular el trabajo sobre una curva C, se consideran pedazos muy pequeños de la curva, tan pequeños que son, aproximadamente, segmentos de recta y la fuerza es casi constante sobre estos pedazos de tamaño ||dr r r||. El trabajo hecho por F F F para mover la partícula desde el inicio hasta el final de dr r r es F F F · dr r r. Sumando todos los trabajos (pasando a la integral) obtenemos W = Z C F F F · dr dr dr Definición 7.4 (Trabajo). Sea F F F un campo vectorial continuo sobre la curva C. Suponemos que C está orientada, es regular y simple. Entonces W = Z C F F F · dr dr dr = lı́m k→ → →∞ ||M||→ → →0 k ∑ i=1 F F F(r r ri) · ∆r r ri, si el límite existe cuando es tomado sobre todas las particiones ordenadas r r r(t0), r r r(t1), ...r r r(tk+1) de C con ||M|| = máxi{||∆r r ri||} y ∆r r ri = r r r(ti+1) − r r r(ti), i = 1,...,k 1 F F F se descompone como la suma de su componente ortogonal y su proyección ortogonal sobre ∆r r r. Solamente la proyección ortogonal es la parte de F F F responsable del trabajo que se efectúa.
- 321. 7.5 Integral de línea de campos vectoriales. Trabajo. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 321 En la definición anterior, C puede ser regular, cerrada y simple. En particular si C es la unión de curvas regulares y simples C1, C2, ...,Cm, escribimos C = C1 + C2 + ... + Cm y definimos Z C F F F · dr dr dr = Z C1 F F F · dr dr dr + Z C2 F F F · dr dr dr + ··· + Z Cn F F F · dr dr dr El vector unitario tangente es T = r r r0(t) ||r r r0(t)|| y dr r r = (dx1(t), dx2(t),...,dxn(t)) = (x 0 1(t)dt, x 0 2(t)dt,...,x 0 n(t)dt). Si C esta parametrizada por r r r(s) (usando la longitud de arco s como parámetro) con 0 ≤ s ≤ `, entonces como dr dr dr = r r r0(t)dt = r r r0(t) ||r r r0(t)|| ||r r r0 (t)||dt = T T T ds, tenemos Z C F F F · dr dr dr = Z ` 0 (F · T)ds La función escalar F F F · T puede tener discontinuidades de primera espacie ligadas a algún punto esquina de C. Si C está parametrizada por r r r(t) con t ∈ [a,b], entonces Z C F F F · dr dr dr = Z b a (F F F(r r r(t)) · r r r0(t) ||r r r0(t)|| )||r r r0 (t)||dt = Z b a (F F F(r r r(t)) · r r r0 (t)dt F F F(x,y) = P(x,y) ı̂ + Q(x,y) ̂ Sea F F F(x,y) = P(x,y) ı̂ + Q(x,y) ̂, como dx = x0(t)dt y dy = y0(t)dt, podemos escribir Z C F F F · dr dr dr = Z b a F F F(r r r(t)) · r r r0 (t)dt = Z b a Pdx + Qdy Es decir, Z C F F F · dr dr dr = Z b a Pdx + Qdy = Z b a (P(x(t),y(t)), Q(x(t),y(t)) · (x0 (t), y0 (t))dt F F F(x,y,z) = P(x,y,z) ı̂ + Q(x,y,z) ̂ + R(x,y,z) k̂ Si F F F(x,y,z) = P(x,y,z) ı̂ + Q(x,y,z) ̂ + R(x,y,z) k̂, como dx = x0(t)dt, dy = y0(t)dt y dz = z0(t)dt, podemos escribir
- 322. 7.5 Integral de línea de campos vectoriales. Trabajo. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 322 Z C F F F · dr dr dr = Z b a F F F(r(t)) · r0 (t)dt = Z b a Pdx + Qdy + Rdz Es decir, Z C F F F · dr dr dr = Z b a Pdx + Qdy + Rdz = Z b a (P(x(t),y(t),z(t)), Q(x(t),y(t),z(t)), R(x(t),y(t),z(t))) · (x0 (t), y0 (t), z0 (t))dt Cuando una curva C es parametrizada por r r r(t) con t ∈ [a,b], entonces inducimos una orientación en C. Distintas parametrizaciones pueden inducir distintas orientaciones. Por ejemplo, en la figura se tiene la curva y = 2sen(x) con x ∈ [0,3]. Dos parametrizaciones que inducen orientaciones opuestas son r r r1(t) = (t,sent) y r r r2(t) = (3 − t,sen(3 − t)) ambas con t ∈ [0,3]. Figura 7.12: Orientación inducida por dos parametrizaciones. Si r1(t) parametriza C en una dirección con vector tangente T y r2(t) parametriza C en sentido contrario, con vector tangente −T, entonces denotamos la segunda curva como −C y admitimos como válido que Convenio Z −C F F F · dr dr dr = − Z C F F F · dr dr dr Más adelante, cuando veamos el teorema de Green, usaremos la siguiente noción de orientación: la curva cerrada C está orientada positivamente, respecto a una región D, si al movernos sobre C, la región siempre está a nuestra izquierda. Note que el trabajo W puede ser un número negativo. Esto ocurre cuando la fuerza actúa en contra del desplazamiento de la partícula. En la sección 7.9, la integral Z C F F F · dr dr dr se interpreta como “la suma” de las componentes de F F F tangentes a la curva. Si C es cerrada, esta integral indica cómo F F F tiende a circular alrededor de la curva. Esta interpretación es la que usamos para el teorema de Green.
- 323. 7.5 Integral de línea de campos vectoriales. Trabajo. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 323 Ejemplo 7.19 Consideremos una fuerza constante F F F(x,y) = 1 ı̂ +0 ̂. Calcule Z C F F F · dr dr dr si C el segmento de recta que se muestra en la figura. Solución: Usamos a x = t como parámetro. La para- metrización r r r(t) = t ı̂ + 1 ̂, t ∈ [0,2], parametriza a “−C” pues r r r(0) = (0,1) = B y r r r(2) = (2,1) = A. Figura 7.13: Curva C Es costumbre escribir, −C : r r r(t) = t ı̂ + 1 ̂, t ∈ [0,2], r r r0 (t) = 1 ı̂ + 0 ̂ Como F F F(x,y) = 1 ı̂ + 0 ̂ entonces P(x,y) = 1 y Q(x,y) = 0. Z C F F F · dr dr dr = − Z −C F F F · dr dr dr = − Z C (P(x(t),y(t)), Q(x(t),y(t))) · (x0 (t), y0 (t))dt = − Z 2 0 (1, 0) · (1, 0)dt = − Z 2 0 1dt = −2 Ejemplo 7.20 Sea F F F(x,y) = x ı̂ + (x + y) ̂. Calcule Z C F F F · dr dr dr si C es la curva de ecuación es y = x2, x ∈ [−1,2] tal y como se muestra en la figura. Solución: Usamos a x = t como parámetro. La parametrización r r r(t) = t ı̂ + t2 ̂, t ∈ [−1,2], parametriza a “−C” pues r r r(−1) = (−1,1) = B y r r r(2) = (2,4) = A.
- 324. 7.5 Integral de línea de campos vectoriales. Trabajo. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 324 Es costumbre escribir, −C : r r r(t) = t ı̂ + t2 ̂, t ∈ [−1,2], r r r0 (t) = 1 ı̂ + 2t ̂ Como F F F(x,y) = x ı̂ + (x + y) ̂ entonces P(x,y) = x y Q(x,y) = x + y. Z C F F F · dr dr dr = − Z −C F F F · dr dr dr = − Z C (P(x(t),y(t)), Q(x(t),y(t))) · (x0 (t), y0 (t))dt = − Z 2 −1 (t, t + t2 ) · (1, 2t)dt = − Z 2 −1 t + 2t2 + 2t3 dt = −15 Figura 7.14: Curva C Ejemplo 7.21 Calcular Z C y2 dx + x2 dy donde C es la elipse x2 4 + y2 9 = 1. Solución: Podemos usar la parametrización −C : r r r(θ) = 2cosθ ı̂ + 3senθ ̂ con θ ∈ [0,2π]. Como F F F(x,y) = (y2,x2) entonces P = y2 y Q = x2. Entonces, Figura 7.15: Curva C.
- 325. 7.5 Integral de línea de campos vectoriales. Trabajo. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 325 Z C y2 dx + x2 dy = Z C F F F · dr r r = − Z 2π 0 (9sen2 θ, 4cos2 θ) · (−2senθ, 3cosθ)dθ = − Z 2π 0 −18sen3 θ + 12cos3 θ dθ = 0 ( Usar: cos3 θ = (1 − sen2 θ)cosθ.) Ejemplo 7.22 Sea F F F(x,y,z) = 2xln(yz) ı̂ + x2 y − 5ex ̂ + x2 z + 2z k̂ y sea C la curva de la figura. Calcular Z C F F F · dr dr dr. Solución: −C1 : r r r1(t) = (0,t,1) con t ∈ [1,3], C2 : r r r2(t) = (0,1,t) con t ∈ [1,2]. Figura 7.16: Curva C = C1 ∪ C2. Luego Z C F F F · dr dr dr = Z C1 F F F · dr dr dr + Z C2 F F F · dr dr dr = − Z 3 1 F F F(r r r1(t)) · r r r0 1(t)dt + Z 2 1 F F F(r r r2(t)) · r r r0 2(t)dt = − Z 3 1 F F F(0,t,1) · r r r0 1(t)dt + Z 2 1 F F F(0,1,t) · r r r0 2(t)dt = − Z 3 1 (0,−5,2) · (0,1,0)dt + Z 2 1 (0,−5,2t) · (0,0,1)dt = − Z 3 1 [0 + (−5) · 1 + 0] dt + Z 2 1 [0 + 0 + (2t) · 1]dt = 13
- 326. 7.5 Integral de línea de campos vectoriales. Trabajo. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 326 Ejemplo 7.23 Sea F F F(x,y,z) = (z + cosx) ı̂ + (2z + xcosx) ̂ + x k̂. Calcular Z C C C F F F · dr dr dr si C = C1 + C2 + C3, tal y como se muestra en la figura de la derecha. Solución: Una parametrización para C es C : −C1 : r1(t) = (2,1,t), t ∈ [0,2] −C2 : r2(t) = (t,1,0), t ∈ [0,2] −C3 : r3(t) = (0,t,0), t ∈ [0,1] Figura 7.17 Así Z C C C F F F · dr dr dr = − Z 2 0 (t + cos(2), 2t + 2cos(2), 2) · r0 1(t)dt − Z 2 0 (cost, tcost, t) · r0 2(t)dt − Z 1 0 (t,0,0) · r0 3(t)dt = − Z 2 0 (t + cos(2), 2t + 2cos(2), 2) · (0,0,t)dt − Z 2 0 (cost, tcost, t) · (1,0,0)dt − Z 1 0 (t,0,0) · (0,1,0)dt = − Z 2 0 2tdt − Z 2 0 costdt − 0 = −t2 2 0 − sent|2 0 = −4 − sen(2) Ejemplo 7.24 Sea F F F(x,y,z) = (x + y) ı̂ + (y − z) ̂ + (x + z) k̂ y sea C la curva de la figura 7.18. Calcular Z C F F F · dr dr dr. Solución: Primero parametrizamos C. C1 se puede parametrizar usando la fórmula para el segmento de recta que va desde A1 = (1,2,0) hasta A2 = (0,4,2), es decir, C1 : r r r1(t) = A1 + t(A2 − A1) = (1 − t) ı̂ + (2 + 2t) ̂ + 2t k̂, con t ∈ [0,1].
- 327. 7.5 Integral de línea de campos vectoriales. Trabajo. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 327 C2 se puede parametrizar tomando z = t. Y Z F Y Z Figura 7.18: Curva C C1 : r r r1(t) = (1 − t) ı̂ + (2 + 2t) ̂ + 2t k̂, t ∈ [0,1], √ √ √ − − −C2 : r r r2(t) = (0,t2,t), t ∈ [0,2], r r r2(0) = (0,0,0) y r r r2(2) = A2. Z C F F F · dr dr dr = Z C1 F F F · dr dr dr− Z C2 F F F · dr dr dr = Z 1 0 F F F(r1(t)) · r0 1(t)dt − − − Z 2 0 F F F(r2(t)) · r0 2(t)dt = Z 1 0 (3 + t,2,1 + t) · (−1,2,2)dt − − − Z 0 (t2 ,t2 − t,t) · (0,2t,1)dt = Z 1 0 t + 3 dt − − − Z 2 0 t − 2t2 + 2t3 dt = − − − 23 6 Ejemplo 7.25 Sea F F F(x,y) = (y2, x2). Calcule Z C F F F · dr dr dr donde C es la curva de la figura 7.19.
- 328. 7.5 Integral de línea de campos vectoriales. Trabajo. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 328 Solución: Parametrizamos C, C1 : r1(t) = (t,0) con t ∈ [0,1] C2 : r2(t) = (1,t) con t ∈ [0,1] −C3 : r3(t) = (t,t2) con t ∈ [0,1] X Y 0.5 Figura 7.19: Curva C = C1 ∪ C2 ∪ C3. Z C y2 dx + x2 dy = Z C1 y2 dx + x2 dy + Z C2 y2 dx + x2 dy − Z −C3 y2 dx + x2 dy = Z 1 0 (0,t2 ) · (1,0)dt + Z 1 0 (t2 ,1) · (0,1)dt − Z 1 0 (t4 ,t2 ) · (1,2t)dt = Z 1 0 0dt + Z 1 0 1dt − Z 1 0 [t4 + 2t3 ]dt = 3 10 . Ejercicios 31 7.14 Calcular Z C F F F · dr dr dr, F(x,y) = xi − yj, C1 : (x − 3)2 + y3 = 1 donde C = C1 ∪ C2. X Y 7.15 Calcule Z C xdy − ydx donde C = C1 ∪ C2 X Y
- 329. 7.5 Integral de línea de campos vectoriales. Trabajo. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 329 7.16 Calcule la integral Z C F F F · dr dr dr donde C = C1 ∪ C2 ∪ C3, y además F(x, y) = (2y + √ 9 + x3)i + (5x + earctany)j 7.17 Calcule Z C x2 zdx−yx2 dy + 3xzdz donde C = C1 ∪ C2 ∪ C3 (figura de la derecha). 7.18 Evalúe la integral de línea Z C xds donde C = C1 ∪ C2 ∪ C3 es la curva del ejercicio anterior. 7.19 Calcule I = Z C xdx + zdy + dz. La curva C = C1 ∪ C2 es la curva que aparece en la figura; C1 es un trozo de la circunferencia x2 + y2 = 1 y C2 es el segmento que va de (0,1,0) a B = (2,2,3).
- 330. 7.6 Campos conservativos. Independencia de la trayectoria. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 330 7.20 Considere el campo de fuerzas F F F(x,y,z) = 4xez ı̂ + ycos(z) ̂ + 2x2ez k̂. Sea C la curva de la figura a la derecha. Calcule Z C F F F · dr dr dr. 7.6 Campos conservativos. Independencia de la trayectoria. Una condición para que la integral de línea no dependa de la trayectoria que une a A con B es que exista ϕ tal que F F F = ∇ϕ con ϕ ∈ C1. En este caso podemos calcular la integral de línea usando cualquier camino que una A con B o también, usando el Teorema Fundamental para la integral de línea. Definición 7.5 Un conjunto D ⊂ Rn se dice conexo si todo par de puntos de D se pueden unir con una curva regular a trozos contenida en D. Es decir, D es de “una sola pieza”. Un conjunto D ⊂ Rn abierto y conexo se dice simplemente conexo si toda curva cerrada simple C en D, encierra una región que está también en D. Es decir, los conjuntos simplemente conexos no tienen “agujeros”. Un conjunto D ⊂ Rn se dice convexo si para todo par de puntos A,B ∈ D, el segmento de recta que une A con B está contenido en D, es decir, {A + t(B − A) : t ∈ [0,1]} ⊂ D.
- 331. 7.6 Campos conservativos. Independencia de la trayectoria. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 331 D D C D es simplemente conexo, pero no convexo D es conexo pero no simplemente conexo D D es convexo Definición 7.6 Sea F F F un campo vectorial definido sobre un conjunto abierto U. Si ϕ es una función diferenciable sobre U tal que F F F = ∇ϕ, decimos que ϕ es una función potencial de F F F. También decimos que F F F es conservativo. Si U es conexo y F F F conservativo, las funciones potenciales de F F F son iguales salvo constantes. También se puede mostrar que si F F F = (P,Q) y si Py 6= Qx, entonces F F F no es conservativo (no tiene función potencial). La condición Py = Qx es solo necesaria para que F F F sea conservativo. La condición es necesaria y suficiente si U es simplemente conexo. Teorema 7.1 (Test de derivadas mixtas). Sea F F F = P ı̂ + Q ̂ es de clase C1 en un conjunto simplemente conexo D del plano. Decimos que F F F es conservativo sii ∂P ∂y = ∂P ∂x Sea F F F = P ı̂ + Q ̂ + R k̂ es de clase C1 en un conjunto simplemente conexo D del espacio. Decimos que F F F es conservativo sii ∂P ∂y = ∂Q ∂x , ∂P ∂z = ∂R ∂x , ∂Q ∂z = ∂R ∂y Teorema 7.2 (Teorema Fundamental para integrales de línea). Sea ϕ : D ⊂ Rn −→ R una función de clase C1 donde D es conexo y abierto. Sea C una curva regular a trozos en D parametrizada por r r r y sean A = r r r(a) y B = r r r(b); se tiene Z C ∇ϕ · dr dr dr = ϕ(B) − ϕ(A)
- 332. 7.6 Campos conservativos. Independencia de la trayectoria. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 332 Teorema 7.3 (Campos conservativos). Sea D simplemente conexo. Sea C una curva orientada y simple contenida en D y parametrizada por r r r. Suponemos que C inicia en A y termina en B. Sea F F F un campo definido en D. F F F es conservativo ⇐⇒ existe ϕ de clase C1 tal que F F F = ∇ϕ, sobre D. Si F F F es conservativo, existe ϕ de clase C1 tal que Z C F F F · dr dr dr = ϕ(B) − ϕ(A) Si F F F es conservativo, Z C F F F · dr dr dr = Z C0 F F F · dr dr dr donde C0 es cualquier curva, contenida en D, regular a trozos y que va de A a B. F F F es conservativo ⇐⇒ Z C F F F · dr dr dr = 0 para cualquier curva cerrada simple C contenida en D. Observe que si Z C F F F · dr dr dr = 0 para alguna curva cerrada simple C, esto no significa que F F F sea conservativo. El la parte 3. del ejemplo 7.5 tenemos un campo con integral nula sobre una elipse pero que no es conservativo. Ejemplo 7.26 Sea F F F(x,y,z) = (2xln(yz) − 5yex ) ı̂ + x2 y − 5ex ̂ + x2 z + 2z k̂ y sea C una curva simple que une A = (2,2,1) con B = (3,1,e). Calcule Z C F F F · dr dr dr. Solución: F F F es de clase C1 en la región D = {(x,y,z) : x 0, y 0, z 0}. Esta región es simplemente conexa. El campo es conservativo en esta región pues, ∂P ∂y = −5ex + 2x/y = ∂Q ∂x , ∂P ∂z = 2x/z = ∂R ∂x , ∂Q ∂z = 0 = ∂R ∂y Luego, podemos calcular la integral de línea usando un camino C0 en D que una A con B o también podemos calcular una función potencial ϕ y usar el teorema fundamental para integrales de línea. En este caso vamos a calcular la integral usando una función potencial ϕ. Como ∇ϕ = F entonces ϕx = P, ϕy = Q, y ϕz = R.
- 333. 7.6 Campos conservativos. Independencia de la trayectoria. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 333 ϕx = 2xln(yz) − 5yex =⇒ ϕ(x,y,z) = Z 2xln(yz) − 5yex dx = x2 ln(yz) − 5yex + K1(y,z). ϕy = x2 y − 5ex =⇒ ϕ(x,y,z) = Z x2 y − 5ex dy = x2 lny − 5yex + K2(x,z). ϕz = x2 z + 2z =⇒ ϕ(x,y,z) = Z x2 z + 2zdz = x2 lnz + z2 + K3(x,y). Observemos que x2 lny + x2 lnz = x2 ln(yz). Recolectando primitivas podemos adivinar que ϕ(x,y,z) = x2 ln(yz) − 5yex + K lo cual podemos aceptar después de verificar que ϕx = P, ϕy = Q, y ϕz = R. Finalmente, Z C F F F · dr dr dr = ϕ(B) − ϕ(A) = 8 + 11e2 − 5e3 − 4 log(2) ≈ −13.9207. Ejemplo 7.27 Considere el campo de fuerzas F F F(x,y,z) = 4xez ı̂ + cos(y) ̂ + 2x2ez k̂. Sea C la curva de la figura. Calcule Z C F F F · dr dr dr. Solución: F F F es de clase C1 sobre D = R3 que es simple- mente conexa. Dichosamente no tenemos que integrar sobre la curva C pues F F F es conservativo. En efecto ∂P ∂y = 0 = ∂Q ∂x , ∂P ∂z = 4xez = ∂R ∂x , y ∂Q ∂z = 0 = ∂R ∂y ——————————— . Ver en 3D (en Internet) —- Figura 7.20: Curva C. En este ejemplo vamos a calcular la integral de dos maneras distintas: usando una función potencial y también usando un camino C0.
- 334. 7.6 Campos conservativos. Independencia de la trayectoria. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 334 Primer Manera: Con un camino C0 que inicia en (2,0,4) y ter- mina en (0,0,0). El camino que hemos escogido se ve en la figura. −C1 : r1(t) = (t,0,4) con t ∈ [0,2] −C2 : r2(t) = (0,0,t) con t ∈ [0,4] Z C0 F F F · dr dr dr = Z C1 F F F · dr dr dr + Z C2 F F F · dr dr dr = − Z 2 0 F F F(t,0,4) · r0 1(t)dt − Z 4 0 F F F(0,0,t) · r0 2(t)dt = − Z 2 0 (4e4 t,1,2e4 t2 ) · (1,0,0)dt − Z 4 0 (0,1,0) · (0,0,1)dt = − Z 2 0 4te4 dt = −8e4 . X Y Figura 7.21: Curva C0 = C1 ∪ C2. Segunda Manera: Con una función potencial. ϕx = 4xez =⇒ ϕ(x,y,z) = Z 4xez dx = 2x2 ez + K1(y,z), ϕy = cos(y) =⇒ ϕ(x,y,z) = Z cosy dy = seny + K2(x,z), =⇒ ϕ(x,y,z) = 2x2 ez + seny + C ϕz = 2x2ez =⇒ ϕ(x,y,z) = Z 2x2 ez dz = 2x2 ez + K3(x,y). Finalmente, Z C F F F · dr dr dr = ϕ(0,0,0) − ϕ(2,0,4) = −8e4 . Comentario: La condición “simplemente conexo” para que F sea conservativo. Sea F(x,y) = −y x2 + y2 , x x2 + y2 definido en R2 − {(0,0)}. Se verifica que Py = Qx pero Z C F · dr = 2π si C es la circunferencia x2 + y2 = 1, lo cual indica que F no tiene función potencial. Lo mismo pasa si consideramos F(x,y,z) = −y x2 + y2 , x x2 + y2 , 0 para R3 − {(0,0,0)}
- 335. 7.6 Campos conservativos. Independencia de la trayectoria. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 335 El problema en principio es que se requiere que F esté definido en una región simplemente conexa, pero la explicación detallada de este fenomeno con el campo F es una cuestión topológica que tiene que ver con homotopias. Un artículo sencillo de leer sobre esto, lo puede encontrar en V. Pati, “How Topology Governs Analysis” http://www.isibang.ac.in/~statmath/stinc/database/notes/puncturedplane.pdf Ejercicios 32 7.21 Considere el campo vectorial F F F(x,y,z) = (yz2 − senxsen(π − y), xz2 − cos(π − y)cosx, 2xyz) y sea C la curva que une los puntos (π,0,0) con (0,π,0), como se ve en la figura a.) Verifique que F F F es conservativo. b.) Calcule Z C F F F · dr dr dr usando una función potencial. 7.22 Sea F F F(x,y,z) = (2x + 5) ı̂ + (3y2) ̂ + 1 z k̂ y C C C la trayectoria que va de A = (0,1,1) hasta B = (1,0,1) de acuerdo a la figura de la derecha. a.) Verifique que el campo vectorial F F F es conserva- tivo. b.) Calcule la integral de línea Z C C C F F F · dr dr dr utilizando una función potencial. c.) Calcule la integral de línea Z C C C F F F · dr dr dr, sin usar una función potencial.
- 336. 7.6 Campos conservativos. Independencia de la trayectoria. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 336 7.23 Sea F F F definido por F F F(x,y,z) = (yz + ycos(xy)) ı̂ + (xz + xcos(xy)) ̂ + xy k̂ y C C C la trayectoria que va de A hasta B de acuerdo a la figura de la derecha. a.) Verifique que el campo vectorial F F F es conserva- tivo. b.) Calcule la integral de línea Z C C C F F F · dr dr dr utilizando una función potencial. c.) Calcule la integral de línea Z C C C F F F · dr dr dr sin usar una función potencial. 7.24 Sea F un campo de fuerzas tal que F(x, y, z) = (2xy + z3)i + x2 j + 3xz2 k . a.) Demostrar que F es un campo de fuerzas conservativo. b.) Hallar una función potencial de F. c.) Determinar el trabajo realizado para desplazar un cuerpo en este campo desde la posición (1,1,1) hasta (1,1,2) . 7.25 Sea F un campo de fuerzas tal que F(x, y, z) = (yz − y2 + 2xz)i + (xz − 2xy)j + (xy + x2) k. a.) Demostrar que F es un campo de fuerzas conservativo. b.) Hallar una función potencial de F. c.) Determinar el trabajo realizado para desplazar un cuerpo en este campo desde la posición (0,1,0) hasta (−1,−1,0) .
- 337. 7.6 Campos conservativos. Independencia de la trayectoria. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 337 7.26 Sea F F F definido por F F F(x,y,z) = x ı̂ − y ̂ + z k̂ y C C C = C1 + C2 + C3 + C4 la curva que se muestra en la figura de la derecha. a.) Verifique que el campo vectorial F F F es conserva- tivo. b.) Calcule la integral de línea Z C C C F F F · dr dr dr utilizando una función potencial. c.) Calcule la integral de línea Z C C C F F F · dr dr dr sin usar una función potencial. z X Y 7.27 Sea F un campo de fuerzas tal que F(x, y, z) = −(2x +3x2 z2 )i − (2y +3y2 z4 )j − (2x3 z +4y3 z3 )k a.) Demostrar que F es un campo de fuerzas conservativo. b.) Calcule la integral de línea Z C C C F F F · dr dr dr 1 1 2 3 4 1 2 3 7.28 Sea F(x,y) = −y x2 + y2 , x x2 + y2 definido en R2 − {(0,0)}. Verifique que Py = Qx pero que sin embargo, Z C F · dr = 2π si C es la circunferencia x2 + y2 = 1.
- 338. 7.7 Teorema de Green (en el plano). (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 338 7.29 Sea F un campo de fuerzas tal que F F F(x, y, z) = ycos(xy) + 1 x + 1 , xcos(xy), 1 z + 1 . a.) Demostrar que F es un campo de fuerzas conservativo. b.) Calcule la integral de línea Z C C C F F F · dr dr dr 7.7 Teorema de Green (en el plano). El siguiente teorema, llamado “Teorema de Green en el plano”, aplica para regiones planas limitadas por curvas cerradas y simples, regulares a trozos. Una idea intuitiva, en términos de “circulación”, se puede ver en la sección 7.9. Teorema 7.4 (Teorema de Green en el plano). Sean P y Q campos escalares derivables con continuidad en un conjunto abierto S1 del plano XY. Sea C una curva simple cerrada regular a trozos y sea D la región encerrada por C (es decir, C = ∂D). Si D está contenida en S, se tiene la identidad I C Pdx + Qdy = ZZ D ∂Q ∂x − ∂P ∂y dA donde C es recorrida en sentido contrario a las agujas del reloj. Intuitivamente, C es recorrida en sentido contrario a las agujas del reloj si al caminar a lo largo de C la región D está siempre a la izquierda. Notar que C = ∂D indica que C es la frontera de D.
- 339. 7.7 Teorema de Green (en el plano). (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 339 Ejemplo 7.28 Calcular Z C y2 dx + x2 dy si C es la curva de la figura. Solución: En este caso, P(x,y) = y2 y Q(x,y) = x2. Como se cumplen las condiciones del teorema de Green entonces, Z C y2 dx + x2 dy = ZZ D ∂Q ∂x − ∂P ∂y dA = Z 1 0 Z x2 0 2x − 2y dydx = Z 1 0 2x3 − x4 dx = 3 10 Figura 7.22: Curva C = C1 ∪ C2 ∪ C3. Ejemplo 7.29 Calcular Z C (x + y)dx + (3x + arctany)dy si C es la curva de la figura. Solución: En este ejemplo, P(x,y) = x + y y Q(x,y) = 3x + arctan(y). Como se cumplen las condiciones del teorema de Green, entonces Z C (x + y)dx + (3x + arctany)dy = ZZ D ∂Q ∂x − ∂P ∂y dA = Z 1 −1 Z 3−3x 2 x2−1 3 − 1dydx = Z 1 −1 5 − 3x − 2x2 dx = 26 3 X Y
- 340. 7.7 Teorema de Green (en el plano). (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 340 Ejemplo 7.30 Calcular Z C (x + arcsenx)dx + (2x + ln(y2 − 3))dy si C es la curva de la figura. Solución: En este ejemplo, P(x,y) = x + arcsenx y Q(x,y) = 2x + ln(y2 − 3). Como se cumplen las con- diciones del teorema de Green podemos poner X Y 2 1 1 2 1 4 Z C (x + arcsenx)dx + (2x + ln(y2 − 3))dy = ZZ D ∂Q ∂x − ∂P ∂y dA = Z 2 −2 Z 4−x2 1−x2/4 2dydx = Z 2 −2 6 − 3x2 2 dx = 16. Ejercicios 33 7.30 Sea F F F un campo vectorial dado por F F F(x,y) = (x + y) ı̂ − (x2 + y2) ̂. La curva C es la frontera del trapecio limitado por las curvas y = 0, x = 1, x = 3 y y = x como se muestra en la figura. a.) Calcular la integral Z C F F F · dr dr dr usando el teorema de Green. b.) Calcular la integral Z C F F F · dr dr dr sin utilizar el teorema de Green.
- 341. 7.7 Teorema de Green (en el plano). (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 341 7.31 Considere el campo vectorial F F F(x,y) = x ı̂ + (x + y2 ) ̂. Calcular Z C C C F F F · dr dr dr donde C C C = C C C1 + C C C2 tal y como se muestra en la figura a la derecha. 7.32 Considere el campo vectorial F F F(x,y,z) = y ı̂ + x2 ̂. Calcule la integral de línea Z C C C F F F · dr dr dr donde C C C es la curva que se muestra en la figura a la derecha 7.33 Calcule la integral Z C F F F · dr dr dr donde C = C1 ∪ C2 ∪ C3, y y F(x, y) = (xy2 + √ 2 + cosx)i + (yx2 − yeseny)j
- 342. 7.8 Área como una integral de línea. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 342 7.34 Calcule Z C (4y + arctan(x/5)dx + (x2 + ln(y + 1))dy donde C es el camino representado en la figura a la derecha. X Y 7.8 Área como una integral de línea. Si P(x,y) = 0 y Q(x,y) = x entonces Qx − Py = 1, aplicando el teorema de Green (si se cumplen las condiciones) obtenemos otra manera para calcular el área de AD siendo la frontera de la región D una curva orientada contra-reloj. I C 0dx + xdy = ZZ D 1dA = AD Lo cual puede ser conveniente si la integral de línea no ofrece gran dificultad. Teorema 7.5 Si D es una región plana limitada por una curva C, cerrada simple, regular a trozos y orientada contra-reloj, entonces el área de D viene dada por AD = I C xdy Ejemplo 7.31 Calcular el área de la región encerrada por la elipse x2 a2 + y2 b2 = 1. Solución: Parametrizamos la elipse con r r r(t) = acost ı̂ + bsent ̂ con t ∈ [0,2π[. Esta parametrización orienta la elipse contra-reloj. En este caso, x = acost mientras que y = bsent y dy = bcostdt, AD = Z C xdy = Z 2π 0 acost · bcostdt = πab.
- 343. 7.9 Teorema de Stokes (Teorema de Green en el espacio). (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 343 Ejemplo 7.32 (Área de un polígono simple). Verifique que el área de un polígono simple de n vértices {(x0,y0),...,(xn−1,yn−1)} es A = n−1 ∑ k=0 (xk+1 + xk)(yk+1 − yk) 2 Asumimos que (x0,y0) = (xn,yn). ... . . . . . . . . Solución: El área del polígono es, por el teorema de Green en el plano, AP = I C xdy = ZZ D 1dA Aquí C = C1 + C2 + ... + Cn−1 y cada segmento Ci está parametrizado por ri(t) = ((xk+1 − xk)t + xk , (yk+1 − yk)t + yk) con t ∈ [0,1], entonces, AP = I C xdy = n−1 ∑ k=0 I Ci (yk+1 − yk)[(xk+1 − xk)t + xk] dt = n−1 ∑ k=0 (xk+1 + xk)(yk+1 − yk) 2 7.9 Teorema de Stokes (Teorema de Green en el espacio). Rotacional de un campo vectorial. Sea F F F = (P,Q,R) entonces el rotacional de F F F es
- 344. 7.9 Teorema de Stokes (Teorema de Green en el espacio). (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 344 RotF F F = ı̂ ̂ k̂ ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z P Q R = (Ry − Qz, Pz − Rx, Qx − Py). El gradiente, la divergencia y el rotacional se puede expresar en términos del operador “nabla”, ∇ = ∂ ∂y , ∂ ∂y , ∂ ∂y Este operador lo aplicamos como si fuera un vector. De esta manera, ∇f = ∂ ∂y , ∂ ∂y , ∂ ∂y f = ∂ f ∂y , ∂ f ∂y , ∂ f ∂y ∇ · F F F = ∂ ∂y , ∂ ∂y , ∂ ∂y (P,Q,R) = ∂P ∂x + ∂Q ∂y + ∂R ∂z ∇ × F F F = ∂ ∂y , ∂ ∂y , ∂ ∂y × (P,Q,R) = (Ry − Qz, Pz − Rx, Qx − Py) Circulación y vorticidad. La “vorticidad” es la tendencia de un fluido que se mueve a girar un objeto que es arrastrado por este fluido. La “circulación” es el movimiento total del fluido a medida que viaja a lo largo de una curva. La circulación de un fluido sobre una circunfe- rencia C en un plano z = c se mide con la componente tangencial de F F F, es decir, se mide con F F F · T T T donde T T T = r0(t) ||r0(t)|| . ——— El “movimiento total” del fluido sobre C se obtiene integrando respecto a la longitud de arco, circulación = Z C F F F · T T T ds = Z C F F F · dr dr dr Si la circunferencia es C : r r r(t) = (a + rcost) ı̂ + (a + rsent) ̂ + c k̂ con t ∈ [0,2π] y si F F F(x,y,z) = (−ky,0,0), entonces RotF F F = (0,0,k) y circulación = Z C F F F · dr dr dr = kπr2 = RotF F F · N N Nz Acírculo
- 345. 7.9 Teorema de Stokes (Teorema de Green en el espacio). (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 345 Sobre un cuadrado tenemos algo parecido. Sea C la frontera de un cuadrado, orientada contrareloj, en el plano z = c. Supongamos que cada uno de sus lados miden L y que estos lados son paralelos a los ejes. Como antes F F F = (−ky,0,0). En este caso, F F F · T T T = 0 en loa lados paralelos al eje Y, En el lado de arriba (y = b + L) la velocidad tangencial es k(b + L) y el lado de abajo (y = b) la velocidad tangencial es −kb; por lo tanto, ——— circulación = k(b + L)L − kbL = kL2 = RotF F F · N N Nz Acuadrado Con un (buen poco) de esfuerzo, podemos calcular la circulación de F F F a através de la frontera de rectángulos en los otros planos y generalizar este comportamiento local para llegar a la conclusión de que si S1 es una superficie orientada, entonces circulación de F F F a través de ∂S1 = Flujo de RotF F F a través de S1 Z ∂S1 F · T T T ds = ZZ S1 RotF F F · N N N dS = ZZ D ”circulación microscópica de F F F” dA Orientación positiva de C = ∂S1 respecto a N N N. El teorema de Stokes (o de Green el el espacio) requiere que la curva esté orientada “positivamente”, esto significa que la orientación de la curva debe ser tal que gire contra-reloj respecto al vector normal unitario N N N. Figura 7.23: Orientación positiva de C respecto a N. Teorema 7.6 (Teorema de Stokes). Sea S1 una superficie orientable, regular a trozos y limitada por una curva C = ∂S1, cerrada y regular a trozos. Si F F F = (P,Q,R) es de clase C1 sobre S1 y si N N N (el vector normal unitario) es elegido de tal manera que C tiene orientación positiva, entonces Z C F F F · dr dr dr = ZZ S1 RotF F F · N N N dS El teorema de Stokes se puede extender a dos o más curvas cerradas.
- 346. 7.9 Teorema de Stokes (Teorema de Green en el espacio). (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 346 Ejemplo 7.33 Sea S1 la superficie de ecuación z = 2 definida sobre el círculo D = {x2 + y2 ≤ 4}, tal y como se muestra en la figura. La curva C es la frontera de S1. Una parametrización para C es r r r(t) = 2cost | {z } x(t) i + 2sent | {z } y(t) j + 2 |{z} z(t) k, t ∈ [0,2π] Si F F F(x,y,z) = 3y i−xz j + yz2k, a.) calcular Z C F · dr r r usando la definición de integral de lí- nea, b.) utilice el Teorema de Stokes para calcular Z C F · dr r r. ————————- . Ver en 3D (en Internet) —— X Y Solución: a.) Por definición de integral de línea. Z C F · dr r r = Z C F F F(r r r(t)) · r0 (t)dt = Z 2π 0 (3 · 2sent,−(2cost)(2),(2sent)(2)2 ) · (−2sent,2cost,0)dt = Z 2π 0 − 12sen2 t − 8cos2 tdt = −20π b.) La superficie es S : z = 2 y la proyección es el círculo x2 + y2 = 4. El vector N N N se debe tomar de acuerdo a la regla de la mano derecha: N N N = (−zx,−zy,1) ||(−zx,−zy,1)|| = (0,0,1). Luego, RotF F F = (x + z2, 0, −3 − z). Entonces, Z C F · dr r r = Z Z S RotF F F · N N N dS = Z Z Rxy (x + z2 ,0,−3 − z) · (0,0,1)dA = Z Z Rxy −3 − z dA = Z Z Rxy −5dA, pues S1 : z = 2 = Z 2π 0 Z 2 0 −5rdrdθ = −20π
- 347. 7.9 Teorema de Stokes (Teorema de Green en el espacio). (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 347 Ejemplo 7.34 Utilice el teorema de Stokes para calcular Z C F F F · dr r r donde F F F(x,y,z) = 3yi−xzj + yz2k y C es la curva de intersección entre el paraboloide 2z = x2 + y2 y el plano z = 2, tal y como se muestra en la figura. Solución: La curva es borde de dos superficies, el plano z = 2 y también del paraboloide 2z = x2 + y2. ¿Cuál superficie escoger, el paraboloide o el plano?. De acuerdo al Teorema de Stokes, se puede escoger cualquiera de las dos. La más simple es el plano z = 2. Si S : z − 2 = 0 entonces N N N = ±(0,0,1). ¿Cuál signo se escoge?. Las integrales Z C F F F · dr r r y ZZ S1 RotF F F · N N N dS tienen el mismo valor si N N N se escoge de acuerdo a la regla de la mano derecha (sino, difieren en el signo), en este caso particular y de acuerdo a la orientación de C, el que se debe escoger es N N N = (0,0,1). Z C F · dr r r = ZZ S1 RotF F F · N N N dS = ZZ Rxy (z2 + x, 0, −z − 3) · (0,0,1)dA, = Z 2π 0 Z 2 0 (−z − 3)rdrdθ = Z 2π 0 Z 2 0 (−2 − 3)rdrdθ = −10 θ 2π 0 = −20π.
- 348. 7.9 Teorema de Stokes (Teorema de Green en el espacio). (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 348 Ejemplo 7.35 Sea F F F(x,y,z) = (x + y, 2x − z, y + z) y S1 la porción del plano 3x + 2y + z = 6 en el primer octante. Sea C la frontera de la superficie S1. Calcular Z C F F F · dr dr dr. Solución: La ecuación de la superficie S1 es z = 6 − 3x − 2y. La curva está orienta- da a favor de reloj respecto al vector normal N1 = (−zx,−zy,1) = (3,2,1), como se ve en la figura, por lo tanto debemos usar el vector N1 = (zx,zy,−1) = (−3,−2,−1). Recordemos que no necesitamos hacerlo unitario por la cancelación de normas en la integral de superficie. RotF F F = (2,0,1). Z C F F F · dr dr dr = ZZ S1 RotF F F · N N N dS = ZZ D (2,0,1) · (−3,−2,−1)dydx = − Z 2 0 Z 3−3/2x 0 7dydx = −21. ———— X Y Ejemplo 7.36 Calcular Z C F F F · dr dr dr si F F F(x,y,z) = (yz,x,z2). C es la frontera de la superficie S1 : y = x2 + 1 limitada porlos planos z = 5 − y y z = 0, como se ve en la figura. Solución: Vamos a resolver el problema de dos maneras: Proyectando S1 sobre XZ y proyectando S1
- 349. 7.9 Teorema de Stokes (Teorema de Green en el espacio). (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 349 sobre YZ. Proyectando S1 sobre el plano XZ. Como S1 : y = 1 + x2, un vector normal es N N N1(x,y,z) = ±(−yx,1,−yz). El normal adecuado es N N N1(x,y,z) = (yx,−1,yz) = (2x,−1,0). En la figura aparece el vector N N N1(1,2,2) = (2,−1,0). RotF F F = (0,y,1 − z). Z C F F F · dr dr dr = ZZ S1 RotF F F · N N N dS = Z 2 0 Z √ 4−x2 0 (0,y,1 − z) · (2x,−1,0)dzdx = Z 2 0 Z √ 4−x2 0 −y dzdx = Z 2 0 Z √ 4−x2 0 −x2 − 1dzdx = −48/5. Proyectando S1 sobre el plano YZ. Como S1 : x = p 1 − y, un vector normal es N N N1(x,y,z) = ±(1,−xy,−xz). El normal adecuado es N N N1(x,y,z) = 1, −1 2 p y − 1 ,0 ! . RotF F F = (0,y,1 − z). Z C F F F · dr dr dr = ZZ S1 RotF F F · N N N dS = Z 5 1 Z 5−y 0 (0,y,1 − z) · 1, −1 2 p y − 1 ,0 ! dzdy = Z 5 1 Z 5−y 0 − y 2 p y − 1 dzdy = −48/5.
- 350. 7.9 Teorema de Stokes (Teorema de Green en el espacio). (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 350 Ejemplo 7.37 Sea S1 : y = 4 − x2 − z2 en el primer octante y C = ∂S1. Calcular Z C F F F · dr dr dr si F F F(x,y,z) = (xy,z,y) Solución: La ecuación de la superficie S1 es y = 4 − x2 − z2. Vamos a proyectar sobre el plano XZ. El vector normal adecuado para que se cumpla la identidad del teorema de Stokes es N N N1(x,y,z) = (−yx,1,−yz) = (2x,1,2z). Para ver esto, tome un punto de la superficie S, digamos (1,2,1). En este caso N1(1,2,1) = (2,1,2). Al trasladarlo a la superficie, vemos que es el vector adecuado. Figura 7.24: Curva C. RotF F F = (0,0,−x). Z C F F F · dr dr dr = ZZ S1 RotF F F · N N N dS = ZZ D (0,0,−x) · (2x,1,2z)dzdx = Z 2 0 Z √ 4−x2 0 −2xz dzdx = −4. Ejemplo 7.38 Sea Q el sólido limitado por las superficies S1 : z = sen(xy), S2 : x = π 2 y S3 : y = x. Calcule Z C F F F · dr dr dr si F F F = (z, x, x) y C es la frontera de la superficie S1. X C N Solución: Como S1 : z = sen(xy), entonces N N N1(x,y,z) = (−ycos(xy), −xcos(xy), 1). Tomamos un punto de la superficie, digamos (1,1,sen(1)), en la figura de arriba se muestra la traslación del vector
- 351. 7.9 Teorema de Stokes (Teorema de Green en el espacio). (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 351 N N N1(1,1,sen(1)); se nota que la curva C no está orientada positivamente, así que debemos tomar N N N1 = (ycos(xy), xcos(xy), −1). Ahora, RotF F F = (0,0,1); proyectamos sobre el plano XY, la región de integración es el triángulo 0 ≤ x ≤ π/2 y 0 ≤ y ≤ x. Z C F F F · dr dr dr = ZZ S1 RotF F F · N N N dS = Z π/2 0 Z x 0 (0,0,1) · (ycos(xy), xcos(xy), −1)dydx = Z π/2 0 Z x 0 − 1dydx = π2 8 Ejercicios 34 7.35 Calcule Z C F F F · dr dr dr donde C es el camino que se representa en la figura a la derecha y además F es el campo de fuerzas: F(x, y, z) = x2 i + 4xy3 j + xy2 k . X Y 7.36 Considere el campo de fuerzas F(x, y, z) = z2 ycos(xy)i + z2 x(1 +cos(xy))j +2sen(xy) k. Calcule Z C F F F · dr dr dr si C es el camino que se indica en la figura a la derecha. X Y Z 1
- 352. 7.9 Teorema de Stokes (Teorema de Green en el espacio). (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 352 7.37 Sea F F F(x,y,z) = −y2 ı̂ + z ̂ + x k̂. Considere- mos la superficie de la figura, S = S1 S S2 y la curva C = C1 + C2 + C3 + C4 el borde de la superficie S. a.) Calcular Z C C C F F F · dr dr dr usando la definición de integral de línea. b.) Calcular Z C C C F F F · dr dr dr usando el Teorema de Stokes 7.38 Usando el Teorema de Stokes calcule la integral Z C F F F · dr dr dr donde F(x, y, z) = xyi + yzj + xz k y C es el camino indicado en la figura a la derecha. X Y Z 7.39 Sea F F F(x,y,z) = −y ı̂ + z ̂ + (x + z) k̂. Use el teorema de Stokes para calcular Z C C C F F F · dr dr dr donde C es la curva de la figura que sigue.
- 353. 7.9 Teorema de Stokes (Teorema de Green en el espacio). (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 353 7.40 Sea F F F(x,y,z) = 2yz ı̂ − 4x ̂ − 3z2 k̂, y sea C la curva que se obtiene al intersecar la superficie z = 4 − x2 con el plano y + z = 6, tal y como se muestra en la figura. Calcular Z C F · dr dr dr. 7.41 Plantee las integrales necesarias para calcular Z C F F F · dr dr dr si F(x, y, z) = 3yi − xzj + yz2 k y C es el camino indicado en la figura a la derecha. X Y 7.42 Sea F F F(x,y,z) = (x2 − y, yz − x, x + 2y). Calcule la integral de línea Z C C C F F F · dr dr dr , donde C C C es la curva que se muestra en la figura de la derecha. plano
- 354. 7.9 Teorema de Stokes (Teorema de Green en el espacio). (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 354 7.43 Sea F F F(x,y,z) = (x + z, 2y, y − z). Calcule la integral de línea Z C C C F F F · dr dr dr , donde C C C = C C C1 + C C C2 + C C C3 tal y como se muestra en la figura de la derecha. 7.44 Calcule la integral Z C C C F F F · dr r r donde F F F = (zx, zy, x) y además C = C1 + C2 + C3 + C4 es la curva que se muestra en la figura.
- 355. 7.9 Teorema de Stokes (Teorema de Green en el espacio). (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 355 Revisado:Julio, 2017 Versión actualizada de este libro y el formato CDF: http://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/Libros/
- 357. Apéndice A: Más sobre cónicas Apéndice B: Coordendas Polares Apéndice C:Representación gráfica de re- giones definidas por desigualdades Bibliografía 8 — Apéndices 8.1 Apéndice A: Más sobre cónicas En esta sección vamos a ver que la manera práctica de identificar la cónica de ecuación (1.2), con todos sus elementos. También vamos ver teoría de invariantes. Usando esta teoría podemos identificar la cónica, sin atender a sus elementos, directamente aplicando el siguiente teorema, Teorema 8.1 Consideremos la ecuación general A x2 + B xy + Cy2 + D x + Ey + F = 0. Entonces, a) si B2 − 4AC = 0 y 4ACF + BDE − AE2 − CD2 − FB2 6= 0, tenemos una parábola, b) si B2 − 4AC 0 y (A + C)(4ACF + BDE − AE2 − CD2 − FB2) 0, tenemos una elipse, c) si B2 − 4AC 0 y 4ACF + BDE − AE2 − CD2 − FB2 6= 0, tenemos una hipérbola. Si definitivamente se sabe que la ecuación general corresponde a una cónica propia, entonces a) si B2 − 4AC = 0, tenemos una parábola, b) si B2 − 4AC 0, tenemos una elipse, c) si B2 − 4AC 0, tenemos una hipérbola.
- 358. 8.1 Apéndice A: Más sobre cónicas (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 358 Preliminares: Traslación y rotación de ejes. Traslación del origen. Sea P con coordenadas (x,y) en el sistema estándar XY. Nos interesa las coordenadas de P en un nuevo sistema X0Y0 con ejes paralelos a los ejes X e Y. Si el nuevo sistema tiene su origen en el punto (h,k) (en coor-denadas estándar), el punto P tendrá coordenadas P = (x0 ,y0 ) = (x − h,y − k) en el nuevos sistema. Así, la transformación de coordenadas, para pasar del sistema XY al sistema X0Y0, es X Y X’ Y’ Figura 8.1 x = x0 + h y = y0 + k (8.1) Si aplicamos este cambio de variable a la ecuación general A x2 + Bxy + Cy2 + D x + Ey + F = 0, obtenemos Ax02 + Bx0 y0 + Cy02 + (D + 2Ah + Bk)x0 + (A + Bh + 2Ck)y0 + Dh + Ah2 + Ek + Bhk + Ck2 + F = 0. Cónicas centrales. Para eliminar la traslación en el eje X0 y la traslación en el eje Y0, debemos tomar h y kde tal manera que D + 2Ah + Bk = 0, A + Bh + 2Ck = 0. (8.2) Esta sistema tiene solución si B2 − 4AC 6= 0. En este caso, h = 2CD − BE B2 − 4AC , k = 2AE − BD B2 − 4AC . (8.3) Así, si B2 − 4AC 6= 0, la ecuación general queda reducida a Ax02 + Bx0 y0 + Cy02 + CD2 − BDE + AE2 + B2F − 4ACF B2 − 4AC = 0. (8.4) Las cónicas propias para las cuales B2 − 4AC 6= 0, se llaman “cónicas centrales”. Como la ecuación reducida (8.4) permanece sin cambios al sustituir x e y por −x y −y, esta cónica es simétrica respecto al punto (h,k) definido por las ecuaciones (8.3). Es decir, (h,k) es el centro de esta cónica.
- 359. 8.1 Apéndice A: Más sobre cónicas (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 359 Ejemplo 8.1 Consideremos la cónica 3x2 − 2xy + 5y2 − 10x − 10y − 4 = 0. Verifique que es una cónica central y calcule su centro (h,k). Aplicar el cambio de variable (8.1) para reducir la cónica. Solución: Como B2 − 4AC 6= 0, se trata de una cónica central. El centro es, según (8.3), (h,k) = (15/7, 10/7). Aplicando el cambio de variable x = x0 + h y y = x0 + k, obtenemos 3x02 − 2x0 y0 + 5y02 − 153/7 = 0. X X X’ Y Y Y’ Rotación alrededor del origen. Sea P con coordenadas (x,y) en el sistema estándar XY. Nos interesa las coor- denadas de P en un nuevo sistema X0Y0 que corresponden a una rotación, respecto al origen en el sistema XY. Si el ángulo de rotación es θ (contra-reloj), el punto P = (x,y) tendrá coordenadas (x0 ,y0 ) = (xcosθ + ysenθ, −xsenθ + ycosθ) en el nuevo sistema. En la figura (8.2) se ve que OM = ON cosθ − NPsenθ (¿porqué?) y como x0 = ON y y0 = NP, concluimos entonces que x = x0 cosθ − y0 senθ. De manera análoga, y = x0 senθ + y0 cosθ. Y Figura 8.2 La transformación de coordenadas, para pasar del sistema XY al sistema rotado (en un ángulo θ contra-reloj) X0Y0, es, x = x0 cosθ − y0 senθ y = x0 senθ + y0 cosθ (8.5) En forma matricial, x y = cosθ −senθ senθ cosθ x0 y0
- 360. 8.1 Apéndice A: Más sobre cónicas (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 360 Al sustituir x = x0 cosθ − y0 senθ e y = x0 senθ + y0 cosθ en la ecuación general A x2 + B xy + Cy2 + D x + Ey + F = 0, obtenemos la ecuación A0 x02 + Bx0 y0 + C0 y02 + D0 x0 + E0 y0 + F = 0, donde A0 = Acos2 θ + Bsenθ cosθ + Csen2 θ B0 = Bcos2 θ − 2Asenθ cosθ + 2Csenθ cosθ − Bsen2 θ C0 = Ccos2 θ − Bsenθ cosθ + Asen2 θ D0 = Dcosθ + Esenθ E0 = Ecosθ − Dsenθ F0 = F Eliminar el término “xy”. Aquí es de interés el caso en que tomemos θ de tal manera que el coeficiente de “xy” se anule. En este caso, nos quedaría una nueva ecuación, A0 x02 + C0 y02 + D0 x0 + E0 y0 + F = 0. Esto nos dice que si la ecuación A x2 + B xy + Cy2 + D x + Ey + F = 0 corresponde a una cónica propia, este cambio de variable deja la cónica en forma estándar (sin rotación) en el sistema X0Y0. Si en la ecuación general, B 6= 0, podemos usar una rotación para eliminar el término “xy”. Al sustituir x = x0 cosθ − y0 senθ e y = x0 senθ + y0 cosθ en la ecuación general A x2 + B xy + Cy2 + D x + Ey + F = 0, obtenemos la ecuación x02 Acos2 θ + Bsenθ cosθ + Csen2 θ + x0y0 Bcos2 θ − 2Asenθ cosθ + 2Csenθ cosθ − Bsen2 θ + y02 Ccos2 θ − Bsenθ cosθ + Asen2 θ + y0(Ecosθ − Dsenθ) + x0(Dcosθ + Esenθ) + F = 0 Necesitamos calcular θ de tal manera que su coeficiente Bcos2 θ − 2Asenθ cosθ + 2Csenθ cosθ − Bsen2 θ se anule,
- 361. 8.1 Apéndice A: Más sobre cónicas (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 361 Bcos2 θ − 2Asenθ cosθ + 2Csenθ cosθ − Bsen2 θ = 0 =⇒ (C − A)sen(2θ) + Bcos(2θ) = 0. Si A 6= C, tan(2θ) = B A − C . Aquí tomamos la solución θ = arctan(B/(A − C)) 2 ∈] − π/4,π/4[. Si A = C, entonces Bcos(2θ) = 0. Para eliminar la rotación podemos tomar θ = π/4. Si θ = α es el ángulo que anula el coeficiente del término “xy”, la ecuación general queda como A0 x02 + C0 y02 + D0 x0 + E0 y0 + F0 = 0 Más adelante haremos referencia al caso particular θ = π/2, en este caso, el efecto de la transformación es, básicamente, intercambiar x con y, es decir, el resultado de aplicar el cambio de variable es C x2 − B xy + Ay2 + E x − Dy + F = 0. Ejemplo 8.2 Consideremos la cónica 3x2 − 2xy + 5y2 − 10x − 10y − 4 = 0. Su centro es, según (8.3), (h,k) = (15/7,10/7). Como A = 3 6= C = 5, el ángulo de rotación que anula el coeficiente del término xy al hacer el cambio de variable (8.5) es θ = arctan(−2/(3−5)) 2 = π/8. Al aplicar el cambio de variable se obtiene la cónica (con coeficientes aproximados) 2.585x02 + 5.414y02 − 13.065x0 − 5.411y − 4 = 0. El centro de la cónica en el sistema X0Y0 es (h0,k0) ≈ (2.526,0.499). Como conocemos el ángulo de rotación, entonces h k = cosθ −senθ senθ cosθ h0 k0 ≈ 2.14286 1.42857 como ya sabíamos. Estudio de la ecuación general. En el estudio de la ecuación general, empezamos con el caso más sencillo. Necesitamos este caso para reducir los casos más complejos, vía traslación o rotación, a este caso y luego, usando invariantes, obtener la clasificación del teorema (8.1).
- 362. 8.1 Apéndice A: Más sobre cónicas (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 362 Reducción al caso más simple. Vamos a establecer la reducción de la ecuación general en los casos en que B2 − 4AC se anula o no se anula. Si B2 − 4AC 6= 0, la ecuación general se reduce a A0 x2 + C0 y2 + F0 = 0. En efecto, si h = (2CD − BE)/(B2 − 4AC) y k = (2AE − BD)/(B2 − 4AC), al aplicar la traslación x = x0 + h, y = y0 + k, a la ecuación general A x2 + B xy + Cy2 + D x + Ey + F = 0, obtenemos Ax02 + Bx0 y0 + Cy02 + CD2 − BDE + AE2 + B2F − 4ACF B2 − 4AC = 0, (8.6) Ahora, a esta ecuación reducida le aplicamos la rotación x00 = x0 cosθ − y0 senθ e y00 = x0 senθ + y0 cosθ con θ escogido de tal manera que se elimine el término “x0y0”, obtenemos x002 Acos2 θ + Bsenθ cosθ + Csen2 θ + y002 Ccos2 θ − Bsenθ cosθ + Asen2 θ + CD2 − BDE + AE2 + B2F − 4ACF B2 − 4AC = 0. O, en forma abreviada, A0x002 + C0y002 + F0 = 0. Si B2 − 4AC = 0, la ecuación general se reduce a A0 x002 + E0 y0 + F0 = 0 o C0 y002 + D0 x0 + F0 = 0. En efecto, como B = ±2 √ AC, la ecuación general se reduce a A x2 ± 2 √ AC xy + Cy2 + D x + Ey + F = 0. Como antes, tomamos θ de tal manera que se elimine el término “xy”. La ecuación general se reduce a A0 x02 + D0 x0 + E0 y0 + F = 0 o C0 y02 + D0 x0 + E0 y0 + F = 0. Hay dos casos pues A0 = 0 o C0 = 0. Para ver esto, observemos que A0 = Acos2 θ ± 2 √ ACsenθ cosθ + Csen2 θ = ( √ Acosθ ± √ Csenθ)2 C0 = Ccos2 θ ± 2 √ ACsenθ cosθ + Asen2 θ = ( √ Ccosθ ± √ Asenθ)2 Uno de estos coeficientes se anula si √ Csenθ = − √ Acosθ o √ Asenθ = √ Ccosθ. Si A = C y B = ±2 √ AC, obtenemos el resultado. Si A 6= C y B = ±2 √ AC, entonces como tan(2θ) = 2tanθ 1 − tan2 θ = B A − C tenemos, Btan2 θ + 2(A − C)tanθ − B = 0 =⇒ tanθ = −2(A − C) ± p 4(A − C)2 + 4B2 2B =⇒ tanθ = ± A √ AC = ± √ A √ C (racionalizando con √ A), =⇒ √ Csenθ = − √ Acosθ o √ Asenθ = √ Ccosθ.
- 363. 8.1 Apéndice A: Más sobre cónicas (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 363 Completando cuadrados, estas ecuaciones se reducen a A0 x002 + E0 y0 + F0 = 0 o C0 y002 + D0 x0 + F0 = 0. Así, el estudio de la ecuación general se reduce al estudio de los casos A0x02 + C0y02 + F0 = 0 y C0 y002 + D0 x0 + F0 = 0 (pues aplicando una rotación de π/2, se intercambia x con y). En lo que sigue, se hace el estudio detallado. Estudio de los casos más simples. El primer caso que analizamos corresponde a la ecuación Ax2 + Cy2 + F = 0. (8.7) Si ninguno de los coeficientes es cero, tenemos x2 − F A + y2 − F C = 1. (8.8) De aquí podemos deducir que1 a) Si AC 0 y AF 0, tenemos una elipse. b) Si AC 0 y AF 0, no hay lugar geométrico. c) Si AC 0 y F 0 o F 0, tenemos una hipérbola. En el caso de que algunos coeficientes en Ax2 + Cy2 + F = 0 sean cero, tenemos d) Si AC 0 y F = 0, tenemos un punto. e) Si AC 0 y F = 0, tenemos dos rectas que se intersecan. f) Si AC = 0 y (A + C)F 0, no hay lugar geométrico. g) Si AC = 0 y (A + C)F 0, tenemos líneas paralelas. h) Si AC = 0 y F = 0, tenemos una línea. Ecuaciones sin el término “xy”. En la ecuación Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0. (8.9) Si A ni C son cero, completando cuadrados tenemos A x + D 2A 2 + C y + E 2C 2 = D2 4A + E2 4C − F. (8.10) 1Observe que AC 0 y AF 0 significa que A y F tienen signo contrario y que A y C tienen el mismo signo.
- 364. 8.1 Apéndice A: Más sobre cónicas (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 364 Si hacemos el cambio de variable x0 = x + D 2A , y0 = y + E 2C , la ecuación (8.9) se convierte en Ax02 + Cy02 + 4ACF − CD2 − AE2 4AC = 0. Esta ecuación es del mismo tipo que la ecuación (8.8), así que podemos concluir que a) si AC 0 y 4ACF − CD2 − AE2 4C 0, tenemos una elipse, b) si AC 0 y 4ACF − CD2 − AE2 4AC ≷ 0, tenemos una hipérbola. Usando la ecuación (8.10) podemos establecer centro, vértices, etc., en términos de los coeficientes A,C,D,E y F. Casos A = 0 ó C = 0. Ecuación Ax2 + Dx + Ey + F = 0. Si A 6= 0 y E 6= 0, completando cuadrados en la ecuación, se obtiene la ecuación canónica de la parábola x + D 2A 2 = − E A y + F E − D2 4EA Ecuación Cy2 + Dx + Ey + F = 0. Si C 6= 0 y D 6= 0, completando cuadrados en la ecuación, se obtiene la ecuación canónica de la parábola y + E 2C 2 = − D C x + F D − E2 4CD Ecuaciones con el término “xy”. Si la ecuación A x2 + B xy + Cy2 + D x + Ey + F = 0 corresponde a una cónica propia, la presencia del término “Bxy” indica que la cónica no esta en posición estándar sino que presenta una rotación de ángulo θ, respecto al origen. El “discriminante” B2 − 4AC, si se trata de una cónica no degenerada, indica la naturaleza de la cónica. Ejemplo 8.3 Consideremos la cónica (propia) 3x2 + 5y2 − 10x − 10y − 4 = 0. Para tener una primera idea de cómo afecta la aparición del término “Bxy”, vamos a agregar a esta ecuación este término de tal manera que B2 − 4AC sea negativo, positivo y nulo. Para esto, en la figura (8.3) se muestra la gráfica de las cónicas 3x2 + 5y2 − 10x − 10y − 4 = 0, 3x2−2xy + 5y2 − 10x − 10y − 4 = 0, 3x2− √ 60xy + 5y2 − 10x − 10y − 4 = 0 y 3x2−20xy + 5y2 − 10x − 10y − 4 = 0, en ese orden.
- 365. 8.1 Apéndice A: Más sobre cónicas (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 365 (a) B2 − 4AC 0 (b) B2 − 4AC 0 (c) B2 − 4AC = 0 (d) B2 − 4AC 0 Figura 8.3: En el caso de cónicas propias, el signo de B2 − 4AC nos indica que que tipo de cónica se trata. Para estudiar la ecuación general hacemos un cambio de variable para convertir esta ecuación en una del tipo (8.10). La idea del cambio de variable es introducir un nuevo sistema X0Y0 en el que la cónica quede en posición estándar, i.e., respecto a este sistema la cónica no presenta rotación. Si θ = α es el ángulo que anula el coeficiente del término “xy”, la ecuación general queda como A0 x02 + C0 y02 + D0 x0 + E0 y0 + F0 = 0 donde A0 = Acos2 α + Bsenαcosα + Csen2 α C0 = Ccos2 α − Bsenαcosα + Asen2 α D0 = Dcosα + Esenα E0 = Ecosα − Dsenα F0 = F. Como esta ecuación es del tipo (8.10), a) si A0C0 0 y 4A0C0F0 − C0D02 − A0E02 4C0 0, tenemos una elipse, b) si A0C0 0 y 4A0C0F0 − C0D02 − A0E02 4A0C0 ≷ 0, tenemos una hipérbola, c) si C0 = 0, A0 6= 0 y E0 6= 0, tenemos una parábola, d) si A0 = 0, C0 6= 0 y D0 6= 0, tenemos una parábola. Centro, focos y vértices de la cónica. Una vez que hemos eliminado el término “xy” de la ecuación general, podemos obtener la ecuación canónica, completando cuadrados. Si en el sistema X0Y0, el centro (o el vértice) de la cónica es (h0,k0), entonces, en el sistema XY, (h,k) se puede obtener como
- 366. 8.1 Apéndice A: Más sobre cónicas (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 366 h k = cosα −senα sinα cosα h0 k0 . Y en general, si (x0,y0) es un foco o un vértice de la cónica en el sistema X0Y0, entonces el respectivo foco o vértice en el sistema XY sería cosα −senα sinα cosα x0 y0 Si B2 − 4AC 6= 0, el centro (de la elipse o hipérbola) en el sistema XY también se puede calcular (como vimos antes) con la fórmula, h = (2CD − BE)/(B2 − 4AC), k = (2AE − BD)/(B2 − 4AC). Si B2 − 4AC = 0, se dice que el centro de la cónica está “en el infinito”. Si ya tenemos la ecuación sin rotación, el resto de la información la calculamos de la manera usual y luego aplicamos una rotación para ubicarla en el sistema XY. Ejemplo 8.4 Identifique la cónica 3x2−2xy + 5y2 − 10x − 10y − 4 = 0, determine su ecuación canónica en el sistema X0Y0 y trazar su gráfica. Solución: Primero calculamos el ángulo de rotación tan(2α) = B A − C = 1 =⇒ α = π/8. La nueva ecuación es A0 x02 + C0 y02 + D0 x0 + E0 y0 + F0 = 0. donde A0 = Acos2 α + Bsenαcosα + Csen2 α ≈ 2.585 C0 = Ccos2 α − Bsenαcosα + Asen2 α ≈ 5.414 D0 = Dcosα + Esenα ≈ −13.065 E0 = Ecosα − Dsenα ≈ −5.411 F0 = F = −4. X’ X Y Y’
- 367. 8.1 Apéndice A: Más sobre cónicas (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 367 La cónica en el sistema X0Y0 tiene ecuación (con coeficientes aproximados) 2.585x02 + 5.414y02 − 13.065x0 − 5.411y0 − 4 = 0. Se trata de una elipse con ecuación canónica (x0 − 2.527)2 8.456 + (y0 − 0.499)2 4.037 = 1. Para hacer la representación gráfica, podemos dibujar los ejes X0, Y0 en el sistema estándar (rotando los ejes π/8 contra-reloj) y dibujar respecto a estos ejes usando la ecuación canónica. Ejemplo 8.5 Identifique la cónica x2 − 20 √ 3xy + 21y2 − 6 = 0, determine su ecuación canónica en el sistema X0Y0 y trazar su gráfica. Solución: Primero calculamos el ángulo de rotación tan(2α) = B A − C = √ 3 =⇒ α = π/6 La nueva ecuación es −9x02 + 31y02 + 0 · x0 + 0 · y0 − 6 = 0. X’ X Y Y’ La cónica en el sistema X0Y0 tiene ecuación −9x02 + 31y02 − 6 = 0. Se trata de una hipérbola con ecuación canónica − x02 2/3 + y02 6/31 = 1. Para hacer la representación gráfica, podemos dibujar los ejes X0, Y0 en el sistema estándar (rotando los ejes π/6 contra-reloj) y dibujar respecto a estos ejes, usando la ecuación canónica. Ejemplo 8.6 Identifique y haga la representación gráfica de la cónica 5x2 − 4xy + 8y2 + 4 √ 5x − 16 √ 5y + 4 = 0. Determine su centro (h,k) en el sistema XY.
- 368. 8.1 Apéndice A: Más sobre cónicas (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 368 Solución: Aplicando el cambio d variable nos queda, 4x02 + 9y02 − 8x0 − 36y0 + 4 = 0 o (x0 − 1)2 9 + (y0 − 2)2 4 = 1. El ángulo de rotación es θ =≈ 0.463. El centro de la elipse, en el sistema X0Y0 es (h0,k0) = (1,2), por tanto, en el sistema XY es cosθ −senθ sinθ cosθ h0 k0 = (0, √ 5). X’ X Y’ Y Invariantes y clasificación de cónicas. No es necesario eliminar el término “xy” para clasificar una cónica. Esto se puede determinar con el valor de ciertas combinaciones de coeficientes. Cuando aplicamos a la ecuación general A x2 + B xy + Cy2 + D x + Ey + F = 0, el cambio de variable (8.5) obtenemos la ecuación A0 x02 + C0 y02 + D0 x0 + E0 y0 + F0 = 0, donde A0 = Acos2 θ + Bsenθ cosθ + Csen2 θ C0 = Ccos2 θ − Bsenθ cosθ + Asen2 θ D0 = Dcosθ + Esenθ E0 = Ecosθ − Dsenθ F0 = F (8.11) Cuando aplicamos el cambio de variable (8.1), del origen al nuevo origen O0 = (h,k), la ecuación general queda A0 x02 + C0 y02 + D0 x0 + E0 y0 + F0 = 0, donde A0 = A,B0 = B,C0 = C, D0 = 2Ah + Bk + D, E0 = Bh + 2Ck + E, F0 = Ah2 + Bhk + Ck2 + Dh + Ek + F. (8.12) Se observa entonces que si aplicamos una rotación, el coeficiente F no varía y si aplicamos una traslación, no varían los coeficientes A,B y C. También hay combinaciones de coeficientes que no cambian cuando se aplican combinaciones de estas dos transformaciones de coordenadas. Estas combinaciones se llamamos invariantes (respecto a traslación y rotación). Las combinaciones de coeficientes que nos interesan son las que deciden la naturaleza de la cónica, por ejemplo B2 − 4AC. El invariante más simple es la combinación Θ = A + C. En efecto, en el caso de una traslación es obvio, según (8.12), que A + C = A0 + C0. En el caso de una rotación, podemos usar (8.21) para establecer que A0 + C0 = (A + C)cos2 θ + (A + C)sen2 θ = A + C.
- 369. 8.1 Apéndice A: Más sobre cónicas (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 369 Un segundo invariante es Φ = B2 − 4AC. El valor de Φ no cambia si aplicamos una traslación pues no cambian A,B y C. Si aplicamos una rotación, A0 − C0 = (A − C)cos2θ + Bsen2θ, y entonces (A0 − C0 )2 + B02 = (A − C)2 + B2 , Ahora, agregamos 2AC − 2AC en el miembro izquierdo y 2A0C0 − 2A0C0 en el miembro derecho para obtener (A0 + C0 )2 − 4A0 C0 + B02 = (A + C)2 − 4AC + B2 , finalmente, como Θ es invariante, B02 − 4A0 C0 = B2 − 4AC. Un tercer invariantes es ∆ = 4ACF + BDE − AE2 − CD2 − FB2. La prueba es similar. Ahora vamos aplicar estos invariantes para identificar cónicas a partir de la ecuación general. Como hemos visto, la ecuación general A x2 + B xy + Cy2 + D x + Ey + F = 0, se puede reducir a alguna de las formas A0 x2 + C0 y2 + F0 = 0, con A0 ,C0 no nulos. (8.13) C00 y2 + D00 x = 0, con C00 6= 0 y D00 6= 0. (8.14) Es suficiente considerar estos casos porque al aplicar una rotación de π/2 se intercambia x con y y se obtienen las otras combinaciones. Si la ecuación general se reduce a la forma (8.14), entonces Φ = 0 y ∆ = −C00D002 6= 0. ComoΦ y ∆ son invariantes, aplicados en la ecuación general, nos dice que si Φ = B2 − 4AC = 0 y ∆ = 4ACF + BDE − AE2 − CD2 − FB2 6= 0, entonces tenemos una parábola. Si la ecuación general se reduce a la forma (8.13), entonces Φ = −4A0C0 y ∆ = 4A0C0F0 = −ΦF0. Si Φ 0, la ecuación general solo se puede reducir a la forma (8.13) y en este caso Φ = −4A0C0 0 nos dice que A0 y C0 tienen signos opuestos y que F0 es cero solo cuando ∆ = 0. De acuerdo a nuestra caracterización de cónicas en el caso más simple, la ecuación general representa una hipérbola si Φ = B2 − 4AC 0 y ∆ 6= 0.
- 370. 8.1 Apéndice A: Más sobre cónicas (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 370 Si Φ 0, la ecuación general solo se puede reducir a la forma (8.13) y en este caso Φ = −4A0C0 0 nos dice que A0 y C0 tienen signos iguales y que F0 es cero solo cuando ∆ = 0. De acuerdo a nuestra caracterización de cónicas en el caso más simple, la ecuación general representa una elipse si Φ = B2 − 4AC 0, ∆ 6= 0 y F0 tiene signo opuesto a A0 y C0. En resumen, si Φ 0, la ecuación general corresponde a una elipse si Θ∆ 0. Toda este análisis se resumen en teorema (8.1). Excentricidad: Otra manera de definir las cónicas. La parábola, la elipse y la hipérbola se pueden definir en términos de las distancias a un punto fijo y una recta dada. En un plano, consideremos una recta fija ` y un punto fijo F, no contenido en la recta; se llama “cónica” al lugar geométrico de un punto Q que se mueve en el plano de tal manera que la razón d(Q,F) d(Q,`) es siempre igual a una constante positiva, denotada con e. La recta ` se llama directriz y el punto F se llama foco. La constante e = d(Q,F) d(Q,`) se llama excentricidad de la cónica. Figura 8.4 Para hacer el análisis sencillo, se puede ubicar la directriz en el eje Y y se puede tomar el foco en F = (s,0), con s 0. Si Q = (x,y) está en el lugar geométrico, entonces si QA es el segmento perpendicular al eje Y, de debe cumplir QF QA = e, que analíticamente corresponde a p (x − s)2 + y2 |x| = e. Y Figura 8.5 Simplificando se obtiene (1 − e2)x2 − 2sx + y2 + s2 = 0. Esta ecuación es la ecuación de una cónica, pero su naturaleza depende del valor de e.
- 371. 8.1 Apéndice A: Más sobre cónicas (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 371 Si e = 1, obtenemos la parábola y2 = 2s(x − s/2). Si e 6= 1, podemos dividir por 1 − e2 y completar el cuadrado: x − s 1 − e2 2 s2e2 (1 − e2)2 + y2 s2e2 1 − e2 = 1. (8.15) Por tanto, si e 1 entonces 1 − e2 0; y tenemos la hipérbola x − s 1 − e2 2 s2e2 (1 − e2)2 − y2 s2e2 e2 − 1 = 1 con centro (h,k) = s 1 − e2 , 0 , a2 = s2e2 (1 − e2)2 , y b2 = s2e2 e2 − 1 . Como en la hipérbola c2 = a2 + b2, tenemos en particular, e = c a . Si e 1, entonces 1 − e2 0 y la ecuación corresponde a una elipse. De manera análoga, se puede mostrar que e = c a . En resumen, dada una recta ` y un punto fijo F que no está en `, el lugar geométrico de los puntos Q del plano tales que el cociente de las distancias de Q a F y a ` es una constante, e, es a) una elipse si 0 e 1 (una circunferencia si e = 0), b) una parábola si e = 1 y c) una hipérbola si e 1. En general, si a es la longitud del semieje mayor en la elipse o la longitud del semieje transversal en la hipérbola, en ambos casos, la excentricidad es e = c/a; c se calcula como c2 = a2 − b2 en la elipse y como c2 = a2 + b2 en la hipérbola. En la parábola la excentricidad es siempre e = 1. Figura 8.6 Ejemplo 8.7 En este ejemplo consideramos cónicas con distinta excentricidad.
- 372. 8.1 Apéndice A: Más sobre cónicas (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 372 La elipse (x − 2)2 4 + (y − 1)2 5 = 1 (en celeste) tiene excentricidad e = c a ≈ 0.44 mientras que la elipse (x − 2)2 + (y − 1)2 5 = 1 (en violeta) tiene excentricidad e = c a ≈ 0.89. Como se observa, si la excentricidad es ≈ 1, la elipse se parece a una circunferencia. La hipérbola (x − 2)2 4 − (y − 1)2 = 1 (en celeste) tiene excentricidad e = c a ≈ 1.118. La hipérbola (x − 2)2 4 − (y − 1)2 30 = 1 (en violeta) tiene excentricidad e = c a ≈ 2.91. Se observa como una excentricidad grande hace que la hipérbola tenga ramas “estrechas”. Ecuación polar de una cónica. El matemático y astrónomo J. Kepler (1571-1630), sobre la base de una gran cantidad de datos obtenidos por Tycho Brahe (1546-1601) acerca del movimiento planetario (en particular de Marte), descubrió que la trayectoria de los planetas del sistema solar es elíptica, con el sol en uno de sus focos. En un principio Kepler pensaba que las orbitas debían ser circulares, una idea difícil de desechar dado que la excentricidad de la órbita de Marte es 0.093315 (casi una circunferencia!). Sol Planeta Afelio Perihelio El Afelio es el punto más alejado de la órbita de un planeta alrededor del Sol. El perihelio, es el punto más cercano al Sol. Si a es la longitud del semieje mayor de la órbita elíptica y e la excentricidad, entonces en el afelio, la distancia del planeta al sol es r = a(1 + e) y en el perihelio la distancia del planeta al sol es a(1 − e). Para obtener estas distancias es conveniente expresar la ecuación de una elipse en términos del semieje mayor a y la excentricidad. Para simplificar, supongamos que tenemos una cónica C con excentricidad e, un foco F en el origen y una directriz vertical ` a una distancia d a la derecha de F.
- 373. 8.1 Apéndice A: Más sobre cónicas (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 373 Y Y Figura 8.7 Como vimos en la sección anterior, se debe cumplir QF QA = e. Si ponemos s = QA y r = QF, entonces s = |d − rcosθ| y r |d − rcosθ| = e. Si Q(x,y) está a la izquierda de la directriz `, entonces s = d − rcosθ, despejando r obtenemos r = ed 1 + e cosθ Si Q(x,y) está a la derecha de la directriz `, entonces s = rcosθ − d, despejando r obtenemos r = ed e cosθ − 1 En este caso, como r 0, e 0 y d 0, se cumple ecosθ 1 por lo que e 1. Esto dice que solo las hipérbolas tienen puntos a la derecha de la directriz `. En resumen, Teorema 8.2 Sea C una cónica con excentricidad e, un foco F en el origen y una directriz vertical ` a una distancia d a la derecha de F. Si 0 e ≤ 1, la cónica C es una elipse o una parábola; todo punto de C está a la izquierda de ` y satisface la ecuación polar r = ed 1 + e cosθ (8.16) Si e 1, la curva es una hipérbola con una rama a cada lado de `. Los puntos de la rama de la izquierda satisfacen la ecuación (8.16) y los de la rama de la derecha satisfacen r = ed e cosθ − 1 (8.17)
- 374. 8.1 Apéndice A: Más sobre cónicas (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 374 Ejemplo 8.8 Considere la cónica con ecuación polar r = 8 1 + cosθ . Como e = 1, se trata de una parábola. El foco está, por supuesto, en el origen. La directriz está a la derecha del foco y tiene ecuación x = 8. El vértice es V = (4,0). 5 5 5 En Wolfram Mathematica se puede hacer la representación gráfica usando PolarPlot. El código del ejemplo anterior es, PolarPlot[ 8/(1+Cos[t]),{t,0,2Pi}, PlotRange-{{-10,10},{-10,10}}, AxesStyle-Arrowheads[{-0.05,0.05}] ]; Afelio y Perihelio. La ecuación de una elipse (0 e 1) con foco en el origen es r = ed 1 + e cosθ . Para calcular la distancia al sol en el Perihelio hacemos θ = 0, es decir, r = ed 1 + e . Para calcular calcular la distancia al sol en el Afelio hacemos θ = π, es decir, r = ed 1 − e . Como la suma de ambas distancias es 2a, entonces 2a = ed 1 + e + ed 1 − e =⇒ a = ed (1 + e)(1 − e) . Así, r = ed 1 + e = a(1 − e) y r = ed 1 − e = a(1 + e). Reconocimiento de cónicas con métodos matriciales. La ecuación general A x2 + 2B xy + Cy2 + D x + Ey + F = 0 se puede escribir en términos matriciales como x y A B B C x y + D E x y + F = 0, (8.18) o, como XT AX + KX + F = 0 con X = x y , A = A B B C y K = D E . Si P = p11 p12 p21 p22 es una matriz que diagonaliza ortogonalmente a A, tal que Det(P) = 1, entonces el cambio de variable x y = P x0 y0 provoca una rotación. Sustituyendo X = PX0 en la ecuación (8.18), (PX0 )T A(PX0 ) + K(PX0 ) + F = 0 ⇐⇒ X0T (PT AP)X0 + K(PX0 ) + F = 0.
- 375. 8.1 Apéndice A: Más sobre cónicas (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 375 Como P diagonaliza a A, entonces (PT AP) = λ1 0 0 λ2 , donde λ1 y λ2 son vectores propios de A. Entonces, X0T(PT AP)X0 + K(PX0) + F = 0 es equivalente a x0 y0 λ1 0 0 λ2 x0 y0 + D E p11 p12 p21 p22 + F = 0, (8.19) o λ1x02 + λ2y02 + D0 x0 + E0 y0 + F = 0. (8.20) Como se ve, se eliminó el término “xy” y la cónica se puede reconocer fácilmente. Cálculo de la matriz P. Primero hay que calcular una base ortonormal para cada espacio propio asociado a ca- da valor propio λi . En nuestro caso, cada espacio propio tiene una base ortonormal con un solo vector unitario. Ahora debemos colocar estos vectores base como columnas de la matriz P de tal manera que |P| = 1. Si P = v1 v2 con |P| = 1, los vectores unitarios v1 y v2, generan los nuevos ejes X0Y0. El ángulo de rotación es θ = ∠e1,v1 con e1 = (0,1). Ejemplo 8.9 Identifique y haga la representación gráfica de la cónica 5x2 − 4xy + 8y2 + 4 √ 5x − 16 √ 5y + 4 = 0. Solución: La forma matricial de la cónica es XT AX + KX + F = 0 con A = 5 −2 −2 8 y K = 4 √ 5 −16 √ 5 ! . La ecuación característica de A es |λI − A| = Det λ − 5 2 2 λ − 8 = (λ − 9)(λ − 4). X’ X Y’ Y La base ortonormalizada para el espacio propio asociado a λ1 = 4 es v1 = 2/ √ 5 1/ √ 5 !
- 376. 8.1 Apéndice A: Más sobre cónicas (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 376 La base ortonormalizada para el espacio propio asociado a λ2 = 9 es v2 = −1/ √ 5 2/ √ 5 ! . La matriz P = 2/ √ 5 −1/ √ 5 1/ √ 5 2/ √ 5 ! tiene determinante igual a 1. Ahora, haciendo el cambio de variable X = PX0 nos queda, 4x02 + 9y02 − 8x0 − 36y0 + 4 = 0 o (x0 − 1)2 9 + (y0 − 2)2 4 = 1. El ángulo de rotación es θ = arccos((1,0) · v1)/||(1,0)||||v1|| = arccos(2/ √ 5) ≈ 0.463. El centro de la elipse, en el sistema X0Y0 es (h0,k0) = (1,2), por tanto, en el sistema XY es cosθ −senθ sinθ cosθ h0 k0 , i.e., (h,k) = (0, √ 5). Ecuación paramétrica de una cónica. Una parametrización de una curva C C C es una función r(t) = (x(t),y(t)), t ∈ [a,b], con x(t) y y(t) funciones conti-nuas en [a,b]. Las parametrizaciones es lo que más usado en gráficos por computadora y modelado geométrico ya que los puntos de la curva se calculan fácilmente. En contraste, la evaluación de los puntos de una curva definida implícitamente (como es el caso de las cónicas) es mucho más difícil. En esta sección vamos a establecer una parametrización para la cónica propia de ecuación general A x2 + B xy + Cy2 + D x + Ey + F = 0. Hay varias maneras de hacer esto. Aquí vamos a usar la teoría que hemos desarrollado previamente, usando algunas parametrizaciones conocidas para los casos simples. No vamos a ver cómo se obtiene una parametrización. Para esto puede ver ([?]). En principio, podemos usar el teorema (8.1) para identificar la cónica, luego la llevamos a la forma estándar. En esta forma es fácil definir la parametrización. Parábola. La parábola (y − k)2 = 4p(x − h) se puede parametrizar como x(t) = h + pt2, t ∈ R. y(t) = k + 2pt, Para parametrizar A x2 + B xy + Cy2 + D x + Ey + F = 0, recordemos que esta ecuación corresponde a una parábola si B2 − 4AC = 0 y 4ACF + BDE − AE2 − CD2 − FB2 6= 0. Aplicamos una rotación de ángulo θ = arctan(B/(A − C)) si A 6= C, en otro caso, θ = π/4. La ecuación se reduce a A0 x02 + C0 y02 + D0 x0 + E0 y0 + F0 = 0,
- 377. 8.1 Apéndice A: Más sobre cónicas (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 377 donde A0 = Acos2 θ + Bsenθ cosθ + Csen2 θ, C0 = Ccos2 θ − Bsenθ cosθ + Asen2 θ, D0 = Dcosθ + Esenθ, E0 = Ecosθ − Dsenθ, F0 = F. (8.21) En este caso A0 = 0 o C0 = 0. En resumen, la ecuación se reduce a A0 x02 + D0 x0 + E0 y0 + F = 0 o C0 y02 + D0 x0 + E0 y0 + F = 0. Una vez que tenemos la ecuación así, ya podemos completar cuadrados y aplicar la parametrización. Para obtener una representación gráfica simétrica se puede usar t ∈ [−s,s], s 0. Estudio del caso C0 y02 + D0 x0 + E0 y0 + F = 0. La ecuación canónica en el sistema X0Y0 es (y0 + E0 /2C0 )2 = − D0 C0 (x0 + F/D0 − E02 /4C0 D0 ). Por lo tanto, h = (E02 − 4C0F)/4C0D0, k = −E0/2C0 y p = −D/4C0. La parametrización en el sistema X0Y0 es x0(t) = h + pt2, t ∈ [−s,s], s 0. y0(t) = k + 2pt, y la parametrización en el sistema XY es x(t) y(t) = cosθ −senθ sinθ cosθ x0(t) y0(t) , t ∈ R. donde θ es el ángulo de rotación. Ejemplo 8.10 Parametrizar la cónica 3x2 − √ 36xy + 3y2 − 10x − 10y − 4 = 0.
- 378. 8.1 Apéndice A: Más sobre cónicas (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 378 Solución: Como B2 − 4AC = 0 y 4ACF + BDE − AE2 − CD2 − FB2 = −1200 6= 0, se trata de una parábola. Como A = C el ángulo es θ = π/4. Al aplicar la rotación nos queda la ecuación 6y2 − 10 √ 2x − 4 = 0. Entonces h = − √ 2/5, k = 0 y p = 5/(6 √ 2). Por lo tanto, la parametrización en el sistema XY es x(t) = 1 60 (−12 − 50t + 25t2), t ∈ [−s,s], s 0. y(t) = 1 60 (−12 + 50t + 25t2), El estudio del caso A0 x02 + D0 x0 + E0 y0 + F = 0 queda como ejercicio. La elipse. Si la ecuación canónica de la elipse es (x − h)2 a2 + (y − k)2 b2 = 1, una parametrización es x(t) = h + acost, t ∈ [0,2π ]. y(t) = k + bsent, En particular, la circunferencia (x − h)2 + (y − k)2 = r2 se parametriza como x(t) = h + rcost, t ∈ [0,2π ]. y(t) = k + rsent, Si A x2 + Bxy + Cy2 + D x + Ey + F = 0 es la ecuación de una elipse, al aplicar una rotación que elimine el término “xy”, obtenemos A0 x02 + C0 y02 + D0 x0 + E0 y0 + F = 0 Completando cuadrados nos queda (x0 − h)2 F0/A0 + (y0 − k)2 F0/C0 = 1, donde h = −D0/2A0, k = −E0/2C0, F0 = −F + D02/4A0 + E02/4C0. Esta información es suficiente para para- metrizar la elipse con x0(t) y0(t) en el sistema X0Y0. La parametrización x(t) y(t) en el sistema XY se obtiene con
- 379. 8.1 Apéndice A: Más sobre cónicas (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 379 x(t) y(t) = cosθ −senθ sinθ cosθ x0(t) y0(t) , t ∈ [0,2π], donde θ es el ángulo de rotación. Ejemplo 8.11 Parametrizar la cónica 2x2 − 2 √ 3xy + 4y2 + 5x + 6y − 1 = 0. Solución: Como B2 − 4AC = −20 0 y (A + C)(4ACF + BDE − AE2 − CD2 − FB2) = 6(−192 − 60 √ 3) 0, se trata de una elipse. El ángulo de rotación es θ = π/6. Al aplicar la rotación nos queda la ecuación x2 + 3 + 5 √ 3 2 ! x + 5y2 + − 5 2 + 3 √ 3 y − 1 = 0. Entonces h = −3.66506, k = −0.269615, a = 3.84658 y b = 1.72024. Por tanto, x0(t) = −3.66506 + 3.84658cost y0(t) = −0.269615 + 1.72024sent. La parametrización en el sistema XY es x(t) y(t) = √ 3 2 −1 2 1 2 √ 3 2 ! x0(t) y0(t) = −3.03923 + 3.33123cost − 0.860121sent −2.06603 + 1.92329cost + 1.48977sent , t ∈ [0,2π], El centro de la elipse, en XY, es (−3.03923,−2.06603). La Hipérbola. Si la ecuación canónica de la hipérbola es (x − h)2 a2 − (y − k)2 b2 = 1, una parametrización es x(t) = h + acosht, t ∈ [−s,s], s 0. y(t) = k + bsenht, Esta parametrización solo es para la rama derecha de la hipérbola. La rama de la izquierda la obtenemos por reflexión sobre el eje x = h, es decir, x(t) = 2h − (h + acosht), t ∈ [−s,s], s 0. y(t) = k + bsenht,
- 380. 8.2 Apéndice B: Coordendas Polares (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 380 Si A x2 + B xy + Cy2 + D x + Ey + F = 0 corresponde a una hipérbola (i.e. si B2 − 4AC 0 y B2 − 4AC 0 y 4ACF + BDE − AE2 − CD2 − FB2 6= 0), eliminamos el término “xy” y obtenemos la forma reducida A0x2 + C0y2 + D0x + E0y + F = 0. Completando cuadrados obtenemos h, k, a y b pero respecto al sistema X0Y0. Si (x0(t), y0(t)) es la parametrización en el sistema X0Y0, la representación gráfica de la cónica en el sistema XY la podemos hacer con la parametrización x(t) y(t) = cosθ −senθ sinθ cosθ x0(t) y0(t) , donde θ es el ángulo de rotación. El estudio completo queda como ejercicio. 8.2 Apéndice B: Coordendas Polares introducción Las coordenadas de un punto en el plano también se pueden establecer fijando un punto O, llamado polo u origen y construyendo un eje con punto inicial O. Este eje lo llamamos Eje Polar. Este nuevo sistema de coordendas se llama “sistema de coordenadas polares”. A cada punto P en el plano se le pueden asignar las coordenadas (r,θ) (llamadas coordenadas polares del punto) de la manera que se indica en la figura que sigue, Eje polar Polo Figura 8.8: Coordenadas polares de P. r es la distancia de O a P. Más adelante la tomaremos como una “distancia dirigida”, es decir, el signo “−” invierte la dirección. θ es el ángulo desde el Eje Polar hasta el segmento OP Ejemplo 8.12 a.) El punto P 2, π 3 está a 2 unidades del polo. El ángulo desde el Eje Polar hasta OP es θ = π 3 . b.) El punto Q 3,− π 6 está a 3 unidades del polo. El ángulo desde el Eje Polar hasta OQ es θ = − π 6 . c.) El punto R 3, 11π 6 está a 3 unidades del polo. El ángulo desde el Eje Polar hasta OR es
- 381. 8.2 Apéndice B: Coordendas Polares (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 381 θ = 11π 6 . Figura 8.9: Puntos P, Q y R. Ejemplo 8.13 (r como “distancia dirigida”) a.) El punto P 2, π 3 está a 2 unidades del polo. El ángulo desde el Eje Polar hasta OP es θ = π 3 . b.) El punto Q −2, π 3 está a 2 unidades del polo pero en dirección opuesta a P. El ángulo desde el Eje Polar hasta OP es θ = π 3 . Figura 8.10: r como “distancia dirigida” c.) El punto P 2, π 3 tambien se puede representar como P 2, π 3 + 2π y como P −2, π 3 + π No unicidad. A diferencia de las coordenadas rectángulares de un punto, en coordenadas polares la representación no es única: P(r,θ) también se puede representar como P(r,θ ± 2kπ) con k ∈ Z. Además como r la tomamos como una distancia dirigida, entonces P(r,θ) también se puede representar como
- 382. 8.2 Apéndice B: Coordendas Polares (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 382 P(−r,θ ± (2k + 1)π) con k ∈ Z. Adicionalmente, el polo se puede representar con O(0,θ) con θ ∈ R. Ejercicios 35 8.1 Represente, en un sistema de coordenadas polares, los siguientes puntos, a.) (2,π) b.) (−2,π) c.) (3,π/4) d.) (3,9π/4) e.) (−3,5π/4) Conversión de coordenadas Para empezar podemos establecer una relación inicial entre la coordenada (r,θ) de un punto P y sus respectivas coordenadas cartesianas. La relación se puede ver usando una figura, X Y Figura 8.11: Conversión de coordenadas Conversión de coordenadas polares a coordendas rectangulares. Deducimos que si tenemos las coordenadas polares (r,θ) de un punto P, entonces las coordenadas cartesianas de P son (x,y) con x = rcosθ y = rsenθ
- 383. 8.2 Apéndice B: Coordendas Polares (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 383 Conversión de coordendas rectangulares a coordenadas polares. Si tenemos las coordenadas (x,y) de un punto P, podemos determinar un juego de coordenadas polares con r ≥ 0 y θ ∈ [0,2π[. La función ”arctan” usualmente la tomamos como la inversa de la función tangente, por tanto la función ”arctan” devuelve ángulos en el intervalo ] − π/2, π/2]. Es costumbre hacer algunos ajustes a la función arcotangente de tal manera que, dado u punto punto (x,y), podamos obtener un juego de coordenadas (r,θ) con el ángulo correcto. Dado en punto (x,y), un juego de coordenadas polares para este punto es (r,θ) con r = p x2 + y2 θ = arctan(y/x) si x 0 (I y IV cuadrante) arctan(y/x) + π si x 0 (II y III cuadrante) π 2 si x = 0 y y 0 − π 2 si x = 0 y y 0 0 si x = 0 y y = 0 (convenio) Ejemplo 8.14 (Conversión de coordenadas polares a coordendas rectangulares) a.) Consideremos el punto P( √ 3,π/3). Para hacer la conversión a coordenadas rectangulares, usamos la fórmula que establecimos más arriba. (r,θ) = ( √ 3, π/3) =⇒ x = √ 3 cosπ/3 = √ 3 2 y = √ 3 senπ/3 = 3 2 =⇒ (x,y) = √ 3 2 , 3 2 ! b.) Consideremos el punto P(− √ 3,π/3). Para hacer la conversión a coordenadas rectangulares, usamos la fórmula que establecimos más arriba. (r,θ) = (− √ 3, π/3) =⇒ x = − √ 3 cosπ/3 = − √ 3 2 y = − √ 3 senπ/3 = − 3 2 =⇒ (x,y) = − √ 3 2 , − 3 2 !
- 384. 8.2 Apéndice B: Coordendas Polares (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 384 Ejemplo 8.15 (Conversión de coordendas rectangulares a coordenadas polares) a.) Consideremos el punto P(−1,1). Para hacer la conversión a coordenadas polares, usamos la fórmula que establecimos más arriba. Observemos que P(−1,1) está en II cuadrante. (x,y) = (−1, 1) =⇒ r = √ 2 θ = arctan 1 −1 + π + π + π = − π 4 + π = 3π 4 =⇒ (r,θ) = √ 2, 3π 4 b.) Consideremos el punto P(0,2). Para hacer la conversión a coordenadas polares, usamos la fórmula que establecimos más arriba. Observemos que P(0,2) está en el eje Y. (x,y) = (0, 2) =⇒ r = √ 4 = 2 θ = π 2 =⇒ (r,θ) = 2, π 2 Ejercicios 36 8.2 Haga la conversión a coordenadas cartesianas de los siguientes puntos, a.) (1,π) b.) (−1,π) c.) (2,π/3) d.) (−2,π/3) 8.3 Haga una conversión a coordenadas polares de los siguientes puntos, a.) (0,−5) b.) (−5,0) c.) (− √ 3,− √ 3) d.) ( √ 3,− √ 3) e.) ( √ 2, √ 3) Curvas en coordenadas polares Para hacer la conversión de la ecuación de una curva en coordenadas rectagulares a una ecuación en coordenadas polares, usamos las relaciones
- 385. 8.2 Apéndice B: Coordendas Polares (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 385 r = q x2 + y2, x = rcosθ y = rsenθ A veces es posible despejar r = g(θ), con excepción de algunos valores de r, y este despeje aún así es adecuado para nuestros cálculos. Los dos primeros ejemplos que siguen son las curvas más simples: r =constante y θ = constante. Ejemplo 8.16 (Circunferencias y rayos) a.) Las circunferencia x2 + y2 = a2 tiene ecuación polar r = a (función constante). En efecto, sustituyendo obtenemos x2 + y2 = a2 r2 = a2 r = a Figura 8.12: Circunferencia r = 2 b.) La recta de ecuación y = mx (una recta que pasa por el origen) tiene ecuación θ = arctan(m) En efecto, sustituyendo obtenemos y = m x rsenθ = mrcosθ tanθ = m θ = arctan(m) Por ejemplo, la recta y = √ 3x tiene ecuación en pola- res θ = arctan √ 3 = π 3 . Figura 8.13: Recta θ = π 3
- 386. 8.2 Apéndice B: Coordendas Polares (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 386 Ejemplo 8.17 (Ecuación polares de una curva) Obtener una ecuación en coordenadas polares de la curva (x2 + y2)3 = 25x. Solución: Sustituyendo, (x2 + y2 )3 = 25 x (r2 )3 = 25 rcosθ r6 = 25 rcosθ r = 2 5 √ cosθ 2 1 1 2 2 1 1 2 Figura 8.14: Curva (x2 + y2)3 = 25x. Ejercicios 37 8.4 Obtener una ecuación en coordenadas polares para la curva (x2 + y2)3 = x3. 8.5 Obtener una ecuación en coordenadas polares para la curva y = x 8.6 Obtener una ecuación en coordenadas polares para la curva (x + 1)2 + y2 = 1 8.7 Obtener una ecuación en coordenadas polares para la curva x2 + y2 = 2 p x2 + y2 + x Graficar en coordenadas polares. En general, en este curso, nos interesan curvas de ecuación r = g(θ). La manera de hacer la representación gráfica de curvas sencillas es (por ahora) representar algunos puntos de la curva y usar propiedades de simetría para completar el gráfico. Ejemplo 8.18 Realizar el gráfico de la función r = 4senθ Solución: Hacemos una tabla de valores para esta función tomando valores de θ en [0, 2π].
- 387. 8.2 Apéndice B: Coordendas Polares (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 387 θ θ θ r r r 0 0 π 6 2 π 3 2 √ 3 π 2 4 2π 3 2 √ 3 5π 6 2 π 0 7π 6 −2 3π 2 −4 5 Figura 8.15: Gráfica de r = 4senθ Simetría En el ejemplo 8.18 podemos notar que la gráfica presenta simetría respecto al eje Y. Haber notado esto nos hubiera permitido conocer propiedades de simetría de la gráfica.Hay una manera de verificar si una curva presenta simetría respecto a la línea θ = π/2, respecto al Eje Polar y respecto al Polo. Estas pruebas de simetría solo dan “condiciones suficientes”, es decir, si la prueba de simetría falla, podría ser todavía que la curva presente simetría. Esto es así porque como las coordenadas en polares no son únicas, las curvas pueden tener ecuaciones alternativas. En algunas de estas ecuaciones las pruebas de simetría funcionan, en otras no. Pruebas de simetría. En este curso solo consideramos tres pruebas de simetría. (a) Simetría respecto a la recta θ = π/2 (b) Simetría respecto al Eje Polar (c) Simetría respecto al Polo
- 388. 8.2 Apéndice B: Coordendas Polares (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 388 (Pruebas de simetría: Suficientes pero no necesarias) Prueba de simetría Aplicar a r = f (θ) y simplificar Simetría respecto a la recta θ = π/2 r = f (π − θ) o − r = f (−θ) Simetría respecto al Eje Polar r = f (−θ) o − r = f (π − θ) Simetría respecto al Polo r = f (π + θ) o − r = f (θ) Para aplicar las pruebas de simetría es útil recordar que cos(−θ) = cos(θ) sen(−θ) = −sen(θ) cos(π − θ) = −cos(θ) sen(π − θ) = sen(θ) cos(π + θ) = −cos(θ) sen(π + θ) = −sen(θ) Ejemplo 8.19 Aplicar las pruebas de simetría la curva de ecuación r = 3 + 2cosθ. Solución: a.) Simetría respecto a la recta θ = π/2: La prueba no dice nada. r = 3 + 2cosθ. Primera sustitución: r = 3 + 2cos(π − θ) = 3 − 2cosθ, falla! r = 3 + 2cosθ. Segunda sustitución: −r = 3 + 2cos(−θ) =⇒ r = −3 − 2cosθ, falla! b.) Simetría respecto al Eje Polar: Sí hay simetría. r = 3 + 2cosθ. Primera sustitución: r = 3 + 2cos(−θ) = 3 + 2cosθ c.) Simetría respecto al Polo: La prueba no dice nada.
- 389. 8.2 Apéndice B: Coordendas Polares (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 389 r = 3 + 2cosθ. Primera sustitución: r = 3 + 2cos(π + θ) = 3 − 2cosθ, falla! r = 3 + 2cosθ. Segunda sustitución: −r = 3 + 2cosθ =⇒ r = −3 − 2cosθ, falla! Figura 8.16: La curva r = 3 + 2cosθ presenta simetría respecto al Polo Prueba rápida de simetría a.) Las curvas de ecuación r = f (senθ) son simétricas respecto a la línea θ = π 2 b.) Las curvas de ecuación r = f (cosθ) son simétricas respecto respecto al Eje Polar Ejercicios 38 8.8 Verifque que la curva r = 1 − 2cosθ es simétrica respecto al Polo 8.9 Aplicar las pruebas de simetría a la curva de ecuación r = 2cos3θ. 8.10 Aplicar las pruebas de simetría a la curva de ecuación r2 = a2 cos3θ con a constante no nula. 8.11 Aplicar las pruebas de simetría a la curva de ecuación r2 = a2 cos2θ con a constante no nula. 8.12 Aplicar las pruebas de simetría a la curva de ecuación r = 3cos2θ con a constante no nula.
- 390. 8.2 Apéndice B: Coordendas Polares (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 390 Máximos, ceros y tangentes al polo. Una ayuda adicional para realizar el gráfico de una curva con ecuación en coordenadas polares, es conocer los ángulos para los que |r| es máximo y para los cuales r = 0 y adicionalmete conocer las tangentes al polo. Máximo valor de |r|. Para curvas sencillas podemos obtner el valor máximo de |r| por inspección, usando el hecho de que −1 ≤ senθ ≤ 1 y −1 ≤ cosθ ≤ 1. Adionalmente podríamos aplicar cálculo: Los puntos críticos los obtenemos resolviendo la ecuación dr dθ = 0. Ceros. Resolvemos la ecuación trigonométrica f (θ) = 0 Tangentes al Polo. Sea C una curva de ecuación r = f (θ) con f una función derivable. Si la gráfica de C pasa por el Polo cuando θ = α entonces f (α) = 0. Una tangente θ = α a la curva r = f (θ) es una “tangente al polo” si f (α) = 0. Como r = f (θ), x = f (θ)cosθ y = f (θ)senθ y entonces, las pendientes de las tangentes vienen dadas por dy dx = dy dθ dx dθ = f 0(θ)senθ + f (θ)cosθ f 0(θ)cosθ − f (θ)senθ (cuidado: La pendiente de la tangente no es f 0(θ)) Así, la recta θ = α es una tangente a la curva si existe la derivada dy dx θ=α = f 0(α)senα + f (α)cosα f 0(α)cosα − f (α)senα El caso más sencillo es cuando f (α) = 0 y f 0(α) 6= 0, en este caso: dy dx θ=α = tanα. Tangentes y Tangentes al Polo La línea θ = α es una tangente al polo en la gráfica de la curva ,C si f (α) = 0 y f 0(α) 6= 0 La línea θ = α es una tangente al polo vertical, en la gráfica de la curva C, si f (α) = 0 y dy dx −→ ∞ si θ → α La línea θ = α es una tangente al polo horizontal, en la gráfica de la curva C, si f (α) = 0 y dy dx θ=α = 0. También puede pasar que la derivada solo exista como un límite unilateral o que dy/dx se tenga que calcular como una forma indeterminada en el caso de que f (α) = 0 y f 0(α) = 0.
- 391. 8.2 Apéndice B: Coordendas Polares (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 391 Ejemplo 8.20 Realizar el gráfico de la curva de ecuación r = 1 − 2cosθ. Solución: Para realizar la gráfica vamos a aplicar las pruebas de simetría, vamos a calcular los valores máximos, los ceros y las tangentes al polo. Finalmente haremos una tabla de valores. a.) Simetría: La curva es simétrica respecto al Eje Polar. b.) El valor máximo de |r| : Por inspección: Como 2 ≥ −2cosθ ≥ −2, entonces el valor máximo es |r| = 3 cuando θ = π c.) Ceros en [0,2π]: 1 − 2cosθ = 0 =⇒ cosθ = 1 2 =⇒ θ = π/3 y θ = 5π/3. d.) Tangentes al Polo en [0,2π] : La función se anula en α = π/3, 5π/3. Como r0(θ) = 2senθ y co- mo r0(π/3) 6= 0 y r0(5π/3) 6= 0, entonces las rectas θ = π/3 y θ = 5π/3 son dos tangentes al Polo. e.) Tabla de valores y gráfico θ 0 π/6 π/3 π/2 2π/3 π r −1 ≈ −0.73 0 1 2 3 Figura 8.17: Curva de ecuación r = 1 − 2cosθ. Nota sobre tangentes al Polo. Si f 0 no está definida en el cero θ = α entonces no se pueden definir tangentes al Polo para este valor del ángulo. Como ya indicamos, puede pasar que la derivada solo exista como un límite unilateral o que dy/dx se tenga que calcular como una forma indeterminada en el caso de que f (α) = 0 y f 0(α) = 0. Por ejemplo, la curva de ecuación r = p cos(2θ) tiene ceros en θ = ±π/4 pero su derivada r0(θ) = −sen(2θ) p cos(2θ) está definida solo si cos(2θ) 0. Aún así, la derivada existe como límite unilateral:
- 392. 8.2 Apéndice B: Coordendas Polares (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 392 Figura 8.18: Las rectas θ = ±π/4 son tangentes al Polo. Las rectasθ = ±π/4 son “tangentes en el límite”, pues como x = r(θ)cosθ y = r(θ)senθ Entonces, dy dx = dy dθ dx dθ = r0(θ)senθ + r(θ)cosθ r0(θ)cosθ − r(θ)senθ = −sen(2θ) p cos(2θ) senθ + q cos(2θ)cosθ −sen(2θ) p cos(2θ) cosθ − q cos(2θ)senθ −→ 1 si θ −→ π 4 + Ejercicios 39 8.13 Realizar el gráfico de las curvas cuya ecuación se indica en la lista que sigue. Usar simetría, ceros, valores máxomo de |r|, tangentes al Polo y una tabla de valores. a.) r = 2 b.) θ = 3π/4 c.) r = 3cosθ d.) r = 3senθ e.) r = 2 + 3cosθ f.) r = 2 − 3cosθ g.) r = 4cos2θ h.) r = 4sen2θ
- 393. 8.2 Apéndice B: Coordendas Polares (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 393 Curvas especiales Hay muchas curvas importantes que tienen una ecuación simple en coordenadas polares. A continuación hacemos un resumen de algunas de estas curvas. Caracol Caracol Caracol Cardioide Figura 8.19: Caracoles r = a ± bcosθ, r = a ± bsenθ, a 0, b 0. Figura 8.20: Rosas de n pétalos si n es impar y de 2n pétalos si n es par Círculo Lemniscata Círculo Lemniscata Figura 8.21: Círculos y Lemniscatas
- 394. 8.2 Apéndice B: Coordendas Polares (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 394 Revisado:Julio, 2017 Versión actualizada de este libro y el formato CDF: http://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/Libros/
- 395. 8.3 Apéndice C:Representación gráfica de regiones definidas por desigualdades (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 395 8.3 Apéndice C:Representación gráfica de regiones definidas por desigualdades En general, cualquier combinación de ecuaciones y desigualdades pueden definir una región, de manera implícita. Esta sección se introduce casos sencillos. Desigualdades del tipo y ≥ f (x) o y ≤ f (x) en un intervalo [a,b]. La representación gráfica de la curva y = f (x) consiste de la representación de los pares (x,y) con y = f (x). Los puntos (x,y) con y ≥ f (x) conforman una región por encima de la representación gráfica de f (incluyendo esta representación) y, de manera análoga, los puntos (x,y) con y ≤ f (x) conforman una región por debajo de la representación gráfica de f (incluyendo esta representación.) Desigualdades del tipo y f (x) o y f (x) en un intervalo [a,b]. Este caso es similar al anterior, como la desigualdad es estricta, no incluye la curva y = f (x). Desigualdades del tipo x ≥ g(y) o x ≤ g(y) en un intervalo [a,b]. La representación gráfica de la curva x = g(x) consiste de la representación de los pares (x,y) con x = g(x). Los puntos (x,y) con y ≥ g(x) conforman una región a la derecha de la representación gráfica de g (incluyendo esta representación) y, de manera análoga, los puntos (x,y) con x ≤ g(y) conforman la región a la izquierda de la representación gráfica de g (incluyendo esta representación.) Cuando la desigualdad es estricta, la región no incluye la curva.
- 396. 8.3 Apéndice C:Representación gráfica de regiones definidas por desigualdades (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 396 Parábolas. Elipses. Hipérbolas.
- 397. 8.3 Apéndice C:Representación gráfica de regiones definidas por desigualdades (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 397 Ahora vamos a ver un ejemplo de cómo s epuede representar el dominio de un función de dos variables. Ejemplo 8.21 (Dominio de una función). Determine y realice la representación gráfica del dominio de la función f (x,y) = p 3y − 6x + 3 + ln(1 − x) + 1 Solución: Necesitamos que 3y − 6x + 3 ≥ 0 y que 1 − x 0, es decir, Df = (x,y) ∈ R2 tal que y ≥ 2x − 1 y x 1 Representación gráfica: El dominio de f es la intersección de la región y ≥ 2x − 1 (región arriba de la recta y = 2x − 1, incluida) y de la región x 1 (región a la izquierda de la recta x = 1, sin incluirla). 1 Figura 8.22: Df = (x,y) ∈ R2 tal que y ≥ 2x − 1 y x 1 Ejemplo 8.22 (Dominio de una función). Determine y realice la representación gráfica del dominio de la función f (x,y) = 1 y2 − 2y − 4x − 3 + 1 √ x − y Solución: Necesitamos x − y 0 y que y2 − 2y − 4x − 3 6= 0. Completando cuadrados obtenemos quela ecuación y2 − 2y − 4x − 3 = 0 corresponde a la parábola (y − 1)2 = 4(x + 1).
- 398. 8.3 Apéndice C:Representación gráfica de regiones definidas por desigualdades (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 398 Df = (x,y) ∈ R2 tal que y x y (y − 1)2 6= 4(x + 1) Representación gráfica: El dominio de f es la región y x (región abajo de la recta y = x, sin incluirla) excluyendo la parábola (y − 1)2 = 4(x + 1). Figura 8.23: Df = (x,y) ∈ R2 tal que y x y (y − 1)2 6= 4(x + 1) Ejemplo 8.23 (Dominio de una función). Determine y realice la representación gráfica del dominio de la función f (x,y) = ln(x − y2) + r 1 − y2 − x2 2 Solución: Necesitamos que x − y2 0 y que 1 − y2 − x2 2 ≥ 0, es decir, Df = (x,y) ∈ R2 tal que x y2 y y2 + x2 2 ≤ 1 Representación gráfica: El dominio de f es la intersección de la región x y2 (región a la derecha de la parábola x = y2 , sin incluirla) y de la región y2 + x2 2 ≤ 1 (el interior de la elipse y2 + x2 2 = 1 incluyendo la elipse).
- 399. 8.3 Apéndice C:Representación gráfica de regiones definidas por desigualdades (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 399 Figura 8.24: Df = (x,y) ∈ R2 tal que x y2 y y2 + x2 2 ≤ 1
- 401. Bibliografía [1] James J. Callahan. Advanced Calculus. A Geometric View. Springer. 1st Edition. 2010. [2] Serge Lang. Calculus of Several Variables. Addison-Wesley. 1973. [3] Klaus Weltner, Wolfgang J. Weber, Jean Grosjean y Peter Schuster. Mathematics for Physicists and Engineers. Springer-Verlag Berlin Heidelberg. 2009. [4] Wilfred Kaplan. Advanced Calculus. Pearson; 5 edition. 2002. [5] Sadri Hassani. Mathematical Methods For Students of Physics and Related Fields. Springer. 2009. [6] Susan J. Colley. Vector Calculus. Pearson Education, Inc., 4ta ed. 2012. [7] Andrew Pressley. Elementary Differential Geometry. 2nd edition. Springer-Verlag London Limited. 2010. [8] B. Kusse.; E. Westwing. Mathematical Physics. Applied Mathematics for Scientists and Engineers. 2nd Edition. Wiley-VCH Verlag GmbH Co. 2006. [9] Claudio Pita R. Cálculo Vectorial. Prentice-Hall. 1995. [10] Louis Brand. Advanced Calculus. An Introduction to Classical Analysis. Wiley Sons, Inc. 1995. [11] Tom Apostol. Calculus. Wiley. 1967 [12] J.M. Aarts. “Plane and Solid Geometry.” Springer. 2007. [13] A. Chiang. “Métodos Fundamentales de Economía Matemática”. McGraw-Hill. 1987 [14] J. L. Coolidge. “A history of the conic sections and quadric surfaces”. Dover publications, Inc. 1968. [15] E. Dowling. “Matemáticas Para Economistas”. McGraw-Hill. 1982
- 402. BIBLIOGRAFÍA (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 402 [16] Eric W. Weisstein, “Quadratic Surface. ”From MathWorld–A Wolfram Web Resource. http: //mathworld.wolfram.com/QuadraticSurface.html [17] H. Eves. “An introduction to the history of mathematics”. Holt, Rinehart and Winston, Inc. 1969. [18] Jerrold Marsden, Anthony Tromba. Cálculo Vectorial. Addison-Wesley, 2004. [19] M. Minoux. “Mathematical Programing”. Wiley Sons. New York. 1986 [20] Walter Mora F. “Gráficos 3D interactivos con Mathematica y LiveGraphics3D ”. Revista digital Ma- temática, Educación e Intenet (http://tecdigital.tec.ac.cr//revistamatematica/). Volumen 6, número 2. 2005. [21] Jorge Poltronieri. Cálculo Integral: Integración Múltiple. Editorial Cimpa. 1ra ed. Escuela de Mate- mática, Universidad de Costa Rica. 2006. [22] Jorge Poltronieri. “Cálculo Integral: Integración de Línea y Superficie”. Editorial Cimpa. 1ra ed. Escuela de Matemática, Universidad de Costa Rica. 2006. [23] Sherman Stein. “Cálculo con Geometría Analítica”. McGraw-Hill. 1984. [24] Sudhir R. Ghorpade, Balmohan V. Limaye. “A Course in Multivariable Calculus and Analysis”. Springer. 2009 [25] Susan Colley. “Vector Calculus”. Pearson. 4ta ed. 2006. [26] Rangarajan K. Sundaram. A First Course in Optimization Theory. Cambridge University Press. 1996. [27] J. Vergara, “Programación Matemática y Cálculo Económico”. Ed. Vicens-vives. España. 1975.
- 403. 9 — Soluciones de los ejercicios Soluciones del Capítulo 1 1.1 Se trata de una parábola con foco en (2,3) y directriz con ecuación x = 4. Por lo tanto, la parábola tiene vértice en (3,3) y abre hacia la izquierda. Su ecuación es (y − 3)2 = −4(x − 3). 1.2 a.) 2x2 − 4x + 1 = y ⇒ 2(x − 1)2 = y + 1 ⇒ (x − 1)2 = 1 2 (y + 1). b.) y2 = − 8 9 (x + 3 8 ) c.) (y + 1)2 = 4(x + 2) d.) (x + 1)2 = 2(y − 2) e.) x2 = (y − 2) 1.3 El vértice es (h,k) = (1,3). Por la posición del foco se deduce que el eje es paralelo al eje X y la parábola abre hacia la derecha. Entonces la ecuación canónica es (y − 3)2 = 4p(x − 1). Como p = ||(2,3) − (1,3)|| = 1, la ecuación canónica es (y − 3)2 = 4(x − 1). 1.4 La ecuación canónica es de la forma (y − k)2 = 4p(x − h). Como contiene los tres puntos, entonces (0 − k)2 = 4p(0 − h) (2 − k)2 = 4p(−1 − h) (−2 − k)2 = 4p(−2 − h) =⇒ h = 1 24 , p = − 2 3 y k = 1 3 Por tanto, la parábola es y − 1 3 2 = 4 · − 2 3 x − 1 24
- 404. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 404 1.5 Como (h,k) = (−1,1) y p = 1, entonces (x + 1)2 = 4(y − 1). 1.6 La ecuación es (y − k)2 = 4p(x − h) y abre a la izquierda. El vértice es (h,k) = (5,4) y p = −2. Entonces la ecuación canónica es (y − 4)2 = −8(x − 5). 1.7 (x − 2)2 = 2(y − 3). 1.8 El vértice es (h,k) = (2,0). Como b 2, la parábola solo podría abrir hacia arriba o hacia la derecha. Si abre hacia arriba, la ecuación canónica es (x − 2)2 = 4py. En este caso, como 8 + p = 10 =⇒ p = 2 y entonces b = 10. En este caso tenemos la pará]bola (x − 2)2 = 8y. Si abre hacia la derecha, la ecuación canónica es y2 = 4p(x − 2). En este caso, como la directriz tiene ecuación x = 2 − p, tenemos b − (2 − p) = 10 64 = 4p(b − 2) =⇒ p = 8; b = 4 o p = 2; b = 10. Las tres parábolas son (x − 2)2 = 8y; y2 = 32(x − 2) y y2 = 8(x − 2). -5 5 10 -10 -5 5 10 1.9 Si el foco está en la directriz tendríamos una recta (una cónica degenerada). 1.10 (x + 1)2 1/4 + (y − 5/4)2 1 = 1. 1.11 a.) (y − 1)2 4 + (x + 2)2 6 5 = 1 b.) (x + 4)2 16 + (y + 2)2 4 = 1 c.) (x + 2)2 4 + (y + 4)2 16 = 1 d.) x2 + (y − 2)2 2 = 1
- 405. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 405 1.12 La ecuación canónica la obtenemos completando cuadrados. Ecuación canónica: (y − 3)2 4 + (x − 2)2 1 = 1. Centro: (h,k) = (2,3) a2 = 4, b2 = 1 y c = √ 3 Focos: (2, 3 ± √ 3) No hay intersección con ejes. 1 2 3 4 1 2 3 4 1.13 Los datos los podemos representar en la figura de la derecha. Como el centro es (h,k) = (0,0), entonces la ecuación es x2 b2 + y2 a2 = 1 Esto es así pues el vértice (0,5) nos indica que el eje mayor está (en este caso) sobre el eje Y. -1 1 -4 -2 2 4 Ahora, como (0,5) es un vértice y el centro está en (0,0), se sigue que a = 5 y x2 b2 + y2 25 = 1 Por otra parte, como (−1,3) está en la elipse (−1)2 b2 + 32 25 = 1 de aquí, despejando, obtenemos b2 = 25 16 . Finalmente, la ecuación canónica de la elipse es x2 25 16 + y2 25 = 1
- 406. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 406 1.14 La elipse se puede ver en la figura de la derecha. Como la elipse es tangente a los ejes en el primer cuadrante, el otro vértice debe ser (0,2) (su eje mayor no puede ser paralelo al eje Y pues su semieje menor sería de 8 unidades y el mayor de 1 unidad!). Luego, (h,k) = (4,2), a = 4 y b = 2. La ecuación canónica es (x − 4)2 16 + (y − 2)2 4 = 1. 2 4 6 1 2 3 4 1.15 La elipse se puede ver en la figura de la derecha. Según los datos, (h,k) = (0,0) y (4,0) es el vértice de la derecha, entonces a = 4 y (3,1) satisface la ecuación de la elipse: 32 16 + 12 b2 = 1 =⇒ b2 = 16 7 . La ecuación canónica es x2 16 + y2 16 7 = 1. -4 -2 2 4 -1 1 Centro: (h,k) = (0,0), c = r 96 7 , focos: (0 ± r 96 7 ,0), vértices: (4,0) y (−4,0). 1.16 (x − 2)2 + (y − 1)2 9 = 1. Centro: (h,k) = (2,1), c = √ 8, focos: (2,1 ± √ 8) vértices: (2,1 ± 3). 1.17 La elipse se puede ver en la figura de la derecha.
- 407. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 407 La ecuación canónica de la parábola es y2 = −4(x − 8). De esta ecuación se obtiene el otro foco y un vértice derecho de la elipse. La ecuación canónica es (x − 3.5)2 4.52 + y2 8 = 1. 2 4 6 8 -4 -2 2 4 Centro: (h,k) = (3.5,0), c = 3.5, focos: (0,0) y (7,0), vértices: (−1,0) y (8,0). 1.18 La ecuación canónica es x2 64 + y2 55 = 1. Centro: (h,k) = (0,0), c = 3, focos: (±3,0), vértices: (±8,0). 1.19 La ecuación canónica es (x − 2)2 9 + (y + 3)2 16 = 1. Por lo tanto es una elipse. Centro: (h,k) = (2,−3), c = √ 7, focos: (2,−3 ± √ 7), vértices: (2,−3 ± 4). 1.20 Si consideramos los lados del cuadrado como ejes coordenados, el círculo inscrito es un círculo con centro en (r,r) y (x,y) = (3,4) es un punto en la circunferencia. Por lo tanto, (x − h)2 + (y − k)2 = r2 , (3 − r)2 + (4 − r)2 = r2 , r = 7 − 2 √ 6 ≈ 2.1 r = 7 + 2 √ 6 ≈ 11.8 Como r 4 entonces r = 7 − 2 √ 6. Y X 1.21 a.) C C C es una parábola de ecuación canónica (x − 2)2 = −8(y + 1).
- 408. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 408 b.) Centro de la elipse (2,−1) c.) d(F1,F2) = 4 =⇒ 2c = 4 =⇒ c = 2 d.) d(F1,V1) = 3 =⇒ a − c = 3 =⇒ a = 5 e.) b2 = 21 f.) Ecuación canónica de la elipse: (x − 2)2 21 + (y + 1)2 25 = 1 g.) Vértices (2,4), (2,−6). h.) Focos (2,1), (2,−3). 1.22 X Y F Figura 9.1: Parábola P y elipse E Según la figura ??, la parábola P tiene ecuación (x − 4)2 = 4p(y + 3). Además como (0,0) es un punto de la parábola P, al sustituir obtenemos que p = 4 3 . Entonces el foco de la parábola es F = (4,−5/3). Ahora, la ecuación canónica de la elipse E, con centro en F, es (x − 4)2 n2 + (y + 5/3)2 m2 = 1 Como la elipse E contiene a los puntos (0,0) y (9,−5 3 ), sustituimos estos puntos en la ecuación de la elipse E, (0 − 4)2 n2 + (0 + 5/3)2 m2 = 1 =⇒ n2 = 25 y m2 = 625 81 (9 − 4)2 n2 + (−5/3 + 5/3)2 m2 = 1 La ecuación canónica de la elipse E es (x − 4)2 25 + (y + 5/3)2 625 81 = 1
- 409. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 409 1.23 De la información que nos dan deducimos: El foco de la parábola (x − 2)2 = −4(y − 6) es V1 = (2, 6−1) = (2,5) pues p = −1. El centro de la hipérbola (x − 2)2 − (y − 1)2 = 1 es V2 = (2,1). Los vértices nos indican que la elipse tiene centro en (h,k) = (2,3) y su ecuación canónica es (x − 2)2 b2 + (y − 3)2 22 = 1. Como la elipse contiene el punto (1,2), (1 − 2)2 b2 + (2 − 3)2 22 = 1 =⇒ b2 = 4 3 . La ecuación canónica de la elipse es (x − 2)2 4 3 + (y − 3)2 22 = 1. X Y 1.24 1.25 La ecuación canónica es x2 64 − y2 36 = 1. Como c = 10, los focos son (±10,0) y los vértices son (±8,0). La ecuación de las asíntotas es 3x − 4y = 0 y 3x + 4y = 0. 1.26 La ecuación canónica es y2 9 − (x − 1)2 7 = 1. 1.27 El centro es (−4,1). a = 6 y b = 4. La ecuación canónica es (x + 4)2 36 − (y − 1)2 16 = 1. 1.28 La ecuación canónica es (x − 1)2 16 − (y + 2)2 9 = 1. Vértices en (−3,2), (5,−2) y focos en (−4,−2),(6,−2). Las asíntotas son y = ± 3 4 (x − 1) − 2. 1.29 La ecuación canónica es (x − 3)2 9 − (y − 2)2 4 = 1.
- 410. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 410 Como c = √ 13, los focos son (3 ± √ 13,2) y los vértices son (3 ± 3,2). 1.30 Como √ 3 · 4 6, la asíntota y = √ 3x va por arriba del punto (4,6). Esto nos dice que la ecuación de la hipérbola es x2 a2 − y2 b2 = 1. Como (4,6) está en la hipérbola y como b2 = 3a2, entonces 16 a2 − 36 3a2 = 1 =⇒ a = 4. Así, la ecuación canónica es x2 4 − y2 12 = 1. 1.31 La ecuación canónica es x2 6 − y2 2 = 1. 1.32 La parábola tiene ecuación canónica (y − 1)2 = −8(x + 2), por tanto el centro de la hipérbola es (−2,1). Como un foco esta en (3,1) y un vértice esta en (1,1), el eje transversal es paralelo al eje X, a = 3, c = 5 y b = 4. La ecuación canónica es (x + 2)2 9 − (y − 1)2 16 = 1. Sus focos son (3,1), (−7,1) y sus vértices (1,1), (−5,1). Las asíntotas son y = ±4 3 (x + 2) + 1. La hipérbola interseca al eje X en x ≈ −5.093 y x ≈ 1.0933. -6 -4 -2 2 4 -4 -2 2 4 6 1.33 a.) Como k 0 y k − 16 0, se trata de una elipse. b.) Como k 0 y k − 16 0, se trata de una hipérbola. c.) Como k 0 y k − 16 0, la ecuación no tiene solución, es decir, no es la ecuación de una curva. 1.34 Se trata de una hipérbola. La ecuación canónica es (x − 1)2 − (y + 1)2 9 = 1. Centro (1,−1), a2 = 1 y b2 = 9, c2 = 1 + 9 =⇒ c = √ 10, Focos (1± √ 10, −1). Asíntotas: y = ± 3 1 (x − 1) − 1. X Y 1.35
- 411. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 411 Soluciones del Capítulo 2 2.1 Df = {(x,y) ∈ R2 tq (x − 4)2 + y2 ≥ 1 y x 6= 0 y y 6= 0.} Este dominio corresponde al exterior de la elipse (incluye el borde) y se debe excluir los ejes X y Y (líneas punteadas). 2.2 Como log(1) = 0 debemos excluir los puntos para los cuales x − y = 1. Df = {(x,y) ∈ R2 tq (y + 1)2 ≥ x + 1 y y 6= x − 1 y y x} -2 -1 0 1 2 3 -2 0 2 4 2.5 a.) z = 4 − x2; y = 0. X Y Z 1 2 1 2 1 2 3
- 412. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 412 b.) (z − 2)2 + (y − 2)2 = 4; x = 0. X Y Z 1 2 1 2 1 2 3 c.) (y − 1)2 4 + x2 = 1; z = 0 d.) z + 2y = 4; x = 0 X Y Z 1 2 1 2 1 2 3 e.) f.) g.)
- 413. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 413 2.6 Es un punto, P = (1,−2,0) 2.7 a.) Plano 2z + y = 2. X Y 1 2 Z b.) Plano x = 2. Y 2 X Z c.) Plano x − y − z = 0. Podemos usar las rectas y = x y z = x. X Y Z d.) Plano x + y − z = 2. Podemos usar las intersecciones con los ejes: x = 2; y = 2; z = −1. X Y Z e.) Plano 2x + 2y + 2z = 2. Podemos usar las intersecciones con los ejes: x = 1; y = 1; z = 1.
- 414. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 414 X Y Z 2.8 Plano 4x − 4y + 2z = 4 en el primer octante. En este caso el plano lo dibujamos desde el segmento que va de x = 1 hasta z = 2. X Y 1 2 Z 2.9 a.) y = (x − 2)2 + (z − 2)2 b.) z2 + y2 = x/4 X Y Z c.) x2 + y2 + (z − 1)2/9 = 1
- 415. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 415 X Y Z d.) x2 + y2 − (z − 2)2 = 1 X Y Z e.) x2 + y2 − (z − 2)2 = 0 X Y Z f.) x2 + (y − 2)2 − z2 = 0
- 416. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 416 X Y Z 2.10 Se trata del paraboloide 4 − z = x2 + (y − 2)2. El vértice es (0,2,4). a.) Si x = 0 entonces 4 − z = (y − 2)2. Por tanto la traza es (y − 2)2 = −(z − 4), x = 0. b.) Si z = 3 obtenemos la traza 1 = x2 + (y − 2)2, z = 3. c.) Si z = 0 obtenemos la traza 4 = x2 + (y − 2)2, z = 0. 1 2 1 2 3 4 1 2 3 X Y Z 1 2 1 2 3 4 1 2 3 X Y Z 2.11 2.12 Sólido Q1
- 417. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 417 X Y Z 2 1 2 2.13 Sólido Q2. X Y Z 2 2 4
- 418. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 418 2.14 Sólido Q3. X Y Z 1 2 1 2 1 2.15 Sólido Q4. X Y Z 1 2 3 2 3 2 3 -1 2.16 Sólido Q5.
- 419. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 419 2 4 X Y Z 2 -2 4 6 2.17 Sólido Q6. X Y Z 2 1 4 2 4 2.18 Sólido Q7. X Y Z 2 1 2 4 2.19 Sólido Q8.
- 420. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 420 X Y Z 1 2 6 6 3 9 2.20 Sólido Q9. X Y Z 2 3 4 2 4 2.21 Sólido Q10.
- 421. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 421 2 3 9 3 X Y Z 2.22 Sólido Q11. X Y Z 1 2 4 4
- 422. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 422 2.23 Sólido Q12. X Y Z 4 4 6 4 6 2.24 Sólido Q13. X Y Z 2 4 1 2 4 2.25 Sólido Q14.
- 423. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 423 X Y Z 1 1 2 1 2.26 Sólido Q15. X Y Z 1 1 2 1 2 2.27 Sólido Q16.
- 424. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 424 1 1 1 2.28 Sólido Q17. X Y Z 1 1 1 2.29 Proyecciones de Q. Proyección sobre XY Proyección sobre YZ Proyección sobre XZ X Y Z 2 1 2 X Y Z 2 1 2 X Y Z 2 1 2 1 2 2.30 Proyecciones de Q.
- 425. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 425 Proyección sobre XY Proyección sobre YZ Proyección sobre XZ 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 0.5 : : 2.31 Proyecciones de Q. Proyección sobre XY X Y Z 1 2 1 2 2 La curva C1 se proyecta en la curva C en el plano XY. La curva C1 es la intersección de las superficies y2 + z2 = 4 y 2x − 2y + z = 2; para calcular su ecuación eliminamos z, y2 + z2 = 1 =⇒ y2 + (2 − 2x + 2y)2 = 4. 2x − 2y + z = 2 =⇒ (una elipse con ro Proyección sobre YZ X Y Z 1 2 2 2
- 426. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 426 Proyección sobre XZ X Y Z 1 2 3 1 2 2 La curva C1 se proyecta en la curva C en el plano XZ. La curva C1 es la intersección de las superficies y2 + z2 = 1 y 2x − 2y + z = 2, y2 + z2 = 1 =⇒ (−1 + z 2 + x)2 + z2 = 1. 2x − 2y + z = 2 =⇒ (una elipse con r Soluciones del Capítulo 3 3.1 Usando la regla para la derivada del cociente, ∂ f ∂y = ∂ ∂y [xy] · (x2 − y2 ) − ∂ ∂y x2 − y2 · xy (x2 − y2)2 = x · (x2 − y2) + 2y · xy (x2 − y2)2 ∂ f ∂x = ∂ ∂x [xy] · (x2 − y2 ) − ∂ ∂x x2 − y2 · xy (x2 − y2)2 = y · (x2 − y2) − 2x · xy (x2 − y2)2 fy(2,1) = 10 9 . 3.2 Se debe usar la regla de la cadena para funciones de una variable, ∂ f ∂y = 5ln4 (xy + x2 + 2y) · ∂ ∂y ln(xy + x2 + 2y ) = 5ln4 (xy + x2 + 2y) · 1 xy + x2 + 2y · (xy lnx + 2y ln2) = ∂ f ∂x = 5ln4 (xy + x2 + 2y) · ∂ ∂x ln(xy + x2 + 2y ) = 5ln4 (xy + x2 + 2y) · 1 xy + x2 + 2y · (y · xy−1 + 2x)
- 427. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 427 3.3 ∂2z ∂x2 = 4a2 − 2 ∂2z ∂y2 = 4b2 − 2 ∂2z ∂x2 + ∂2z ∂y2 = 4(a2 + b2 ) − 4 = 0. √ 3.4 Sea u = x2 y , entonces z = f (u) ∂z ∂x = f 0 (u) · 2x y ∂z ∂y = f 0 (u) · −x2 y2 x ∂z ∂x + 2y ∂z ∂y = f 0 (u) 2x2 y − 2x2 y = 0 √ 3.5 ∂z ∂x = y − y x2 + y2 2z ∂z ∂x = x + x x2 + y2 2z Ahora sustituimos, zx ∂z ∂x + zy ∂z ∂y = zx y − y x2 + y2 2z + zy x + x x2 + y2 2z = 2xy − xy x2 + y2 + xy x2 + y2 2 = xy 3.6 Pongamos C(x,t) = e−x2 /kt √ t . ∂C ∂t = √ t −2x kt − 1 √ t e−x2 /kt t = e −x2 /kt x2 kt5/2 − 1 2t3/2 ∂C ∂x = 1 √ t −2x kt e −x2 /kt ∂2C ∂x2 = e −x2 /kt 1 √ t 4x2 k2t2 − 2 kt = e −x2 /kt 4x2 k2t5/2 − 2 kt3/2 Luego, multiplicando ∂2C ∂x2 por k 4 se obtiene la identidad. 3.7 z es una función de dos variables pero f es una función de un solo argumento y como tal, se deriva de la manera ordinaria. Aquí es conveniente hacer el cambio de variable u = x2y + y de tal manera que
- 428. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 428 z = f (u) · p x + y2. ∂z ∂y = f 0(u) · ∂ ∂y [u] · q x + y2 + f (u) · ∂ ∂y q x + y2 = f 0(u) · (x2 + 1) · p x + y2 + f (u) · y p x + y2 = ∂z ∂x = f 0(u) · ∂ ∂x [u] · q x + y2 + f (u) · ∂ ∂x q x + y2 = f 0(u) · (2xy) · p x + y2 + f (u) · 1 2 p x + y2 3.8 ux = ey cosx uy = ey senx uxx = −ey senx uyy = ey senx ∂2u ∂x2 + ∂2u ∂y2 = −ey senx + ey senx = 0 √ 3.9 ut = −acos(x − at) + a x + at utt = −a2 sen(x − at) − a2 (x + at)2 ux = cos(x − at) + 1 x + at uxx = −sen(x − at) − 1 (x + at)2 utt = −a2 sen(x − at) − a2 (x + at)2 = a2 · −sen(x − at) − 1 (x + at)2 = a2 · uxx. √ 3.10 Sea A = x − at y B = x + at, entonces u(x,t) = f (A) + f (B). ut = −a f 0(A) + ag0(B) utt = a2 f 00(A) + a2g00(B) ux = f 0(A) + g0(B) uxx = f 00(A) + g00(B) utt = a2 f 00(A) + a2g00(B) = a2 · uxx. √ 3.11 Satisface ∂z ∂x + ∂z ∂y = 1. zx = ex ex + ey zy = ey ex + ey ∂z ∂x + ∂z ∂y = ex ex + ey + ey ex + ey = 1 √ Satisface ∂2z ∂x2 · ∂2z ∂y2 − ∂2z ∂x∂y 2 = 0.
- 429. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 429 zxx = ex · (ex + ey) − ex · ex (ex + ey)2 zyy = ey · (ex + ey) − ey · ey (ex + ey)2 ∂2z ∂x∂y = ∂ ∂x ey ex + ey = −ey · ex (ex + ey)2 . ∂2z ∂x2 · ∂2z ∂y2 − ∂2z ∂x∂y 2 = ex · (ex + ey) − ex · ex (ex + ey)2 · ey · (ex + ey) − ey · ey (ex + ey)2 − −ey · ex (ex + ey)2 2 = ex · ey (ex + ey)2 · ey · ex (ex + ey)2 − −ey · ex (ex + ey)2 2 = 0 √ 3.12 Sea u = ysen(x), entonces w = f (u). wx = f 0(u) · ycos(x) wy = f 0(u) · sen(x) cos(x)wx + ysen(x)wy = cos2(x) · y · f 0(u) + sen2(x) · y · f 0(u) = cos2 x + sen2 x y f 0(u) = y f 0(u) 3.13 ∂g ∂x = 2xsen(3x − 2y) + 3x2 cos(3x − 2y), ∂g ∂y = −2x2 cos(3x − 2y) y ∂2g ∂y∂x = −4xcos(3x − 2y) − 6x2 sen(3x − 2y). La identidad se verifica de manera directa. 3.14 Derivamos a ambos lados respecto a R1, ∂ ∂R1 1 R = ∂ ∂R1 1 R1 + 1 R2 + 1 R3 −1 · ∂R ∂R1 R2 = −1 R2 1 =⇒ ∂R ∂R1 = R2 R2 1. 3.15 ∂P ∂V = − P V ∂V ∂T = mR P ∂T ∂P = V mR ∂P ∂V ∂V ∂T ∂T ∂P = − P V mR P V mR = −1. √ 3.16 ∂K ∂m ∂2K ∂v2 = 1 2 v2 · m = K. √ 3.17 ∂w ∂x = f 0 (u) · 2x · g(y) ∂2w ∂x2 = 2g(y) · [f 00 (u) · 2x2 + f 0 (u)] ∂2w ∂y∂x = 2x[f 00 (u) · 2y · g(y) + g0 (y) · f 0 (u)]
- 430. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 430 ∂w ∂y = f 0 (u) · 2y · g(y) + g0 (y) · f (u) 3.18 ∂w ∂x = f 0 (u) · 1 y + g0 (v) · −y x2 ∂2w ∂y∂x = f 00 (u) · −x y2 · 1 y − 1 y2 · f 0 (u) + g00 (v) · 1 x · −y x2 − 1 x2 · g0 (v). 3.19 Sea u = x2 − 4y2, ∂w ∂y = −e3x f 0 (u) · 8y ∂2w ∂x∂y = 8y −3e3x f 0 (u) − e3x f 00 (u) · 2x 3.20 ∂u ∂rr = n(n − 1)rn−2 cos(nθ) y ∂u ∂θθ = −n2 rn cos(nθ). Sustituyendo y simplificando se verifica la ecuación. 3.21 dz dt = ∂z ∂x · dx dt + ∂z ∂y · dy dt = (y2 + 1) · cost + 2xy · sec2 t 3.22 dw dt = 2t + 2tsen2t + 2t2 cos2t 3.23 ∂z ∂x = ∂z ∂u · ∂u ∂x + ∂z ∂v · ∂v ∂x = p u + v2 + u 2 √ u + v2 · y + uv √ u + v2 · −y/x2 1 + y x 2 ∂z ∂y = ∂z ∂u · ∂u ∂y + ∂z ∂v · ∂v ∂y = p u + v2 + u 2 √ u + v2 · x + uv √ u + v2 · 1/x 1 + y x 2 3.24 a.) ∂z ∂x = g(y) · ∂ f ∂x
- 431. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 431 b.) ∂z ∂y = g0 (y) · f (x,y) + g(y) ∂ f ∂y c.) ∂z ∂t = g0 (y) · 3t2 · f (x,y) + g(y) ∂ f ∂x · 2t + ∂ f ∂y · 3t2 ∂z ∂u = g0 (y) · 2u · f (x,y) + g(y) ∂ f ∂x · 0 + ∂ f ∂y · 2u 3.25 ∂z ∂x = ∂ f ∂u · y + ∂ f ∂v Aplicamos regla del producto, ∂2z ∂x∂y = ∂ ∂y ∂ f ∂u · y + ∂ ∂y ∂ f ∂v = 1 · ∂ f ∂u + y ∂2 f ∂u2 · x + ∂2 f ∂u∂v · x 3.26 ∂z ∂u = ∂2 f ∂x2 · ∂x ∂u + ∂2 f ∂y∂x · ∂y ∂u + ∂2 f ∂x∂y · ∂x ∂u + ∂2 f ∂y2 · ∂y ∂u = ∂2 f ∂x2 · 2u + ∂2 f ∂y∂x · 1 + ∂2 f ∂x∂y · 2u + ∂2 f ∂y2 · 1 ∂z ∂v = ∂2 f ∂x2 · ∂x ∂v + ∂2 f ∂y∂x · ∂y ∂v + ∂2 f ∂x∂y · ∂x ∂u + ∂2 f ∂y2 · ∂y ∂u = ∂2 f ∂x2 · 1 + ∂2 f ∂y∂x · 2v + ∂2 f ∂x∂y · 1 + ∂2 f ∂y2 · 2v 3.27 ∂z ∂x = 2x ∂ f ∂u + y ∂ f ∂v Aplicamos la regla del producto, ∂2z ∂x2 = ∂ ∂x 2x ∂ f ∂u + ∂ ∂x y ∂ f ∂v = 2 ∂ f ∂u + 2x 2x ∂2 f ∂u2 + y ∂2 f ∂v∂u + y 2x ∂2 f ∂u∂v + y ∂2 f ∂v2 Simplificando se obtiene el resultado. 3.28 Primero debemos hacer un cambio de variable para poder aplicar la regla de la cadena. Sea z = f (u,v) − g(w). Entonces,
- 432. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 432 zy = fu · −seny − g(w) · 6xy. zxy = −seny(fuu · 2x + fuv · 2x) − g00(w) · 3y2 · 6xy + 6y · g0(w) 3.29 Primero debemos hacer un cambio de variable para poder aplicar la regla de la cadena. Sea z = x2 f4(u,v). Entonces, zx = 2x f4(u,v) + x2(4f3(u,v) · (fu · y + fv · 0)) zy = x2(4f3(u,v) · (fu · x + fv · 2y)) 3.30 Las derivadas parciales que se piden aparecen cuando calculamos ∂z ∂x y ∂z ∂y . La idea es despejar a partir de estos dos cálculos. ∂z ∂x = ∂ f ∂s · 2x + ∂ f ∂t · y =⇒ ∂ f ∂t = 1 y + 2x2 ∂z ∂x + 2x · ∂z ∂y ∂z ∂y = ∂ f ∂s · −1 + ∂ f ∂t · x De manera análoga, ∂ f ∂s = 1 y + 2x2 ∂z ∂x − y · ∂z ∂y 3.31 Sea u = xy. Con un cálculo directo obtenemos ∂z ∂x = y f (u) y ∂z ∂y = x f 0 (u) Sustituyendo en la ecuación diferencial se obtiene el resultado. 3.32 3.33 Al aplicar el cambio de variable, z es una función de u y v, es decir, z = z(u,v). Por tanto ∂z ∂x = ∂z ∂u ux + ∂z ∂v vy = y ∂z ∂u + 1 y ∂z ∂v y ∂z ∂y = x ∂z ∂u − x2 y ∂z ∂v Sustituyendo ∂z ∂x , ∂z ∂y , x = √ uv y y = √ u/ven (∗), nos queda ∂z ∂u = v senu 3.34 Sea F(x,y,z) = x2y2 + sen(xyz) + z2 − 4. Si las derivadas parciales zx y zy existen en todo el dominio en el que Fz 6= 0, entonces ∂z ∂x = − Fx Fz = − 2xy2 + yzcos(xyz) xycos(xyz) + 2z
- 433. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 433 ∂z ∂y = − Fy Fz = − 2x2y + xzcos(xyz) xycos(xyz) + 2z La identidad se obtiene sustituyendo y simplificando. 3.35 En este caso, F = g xy z , x2 + y2 . ∂z ∂x = − gx gz = − gu · y z + gv · 2x −gu · xy z2 ∂z ∂x = − gy gz = − gu · x z + gv · 2y −gu · xy z2 y · gu · y z + gv · 2x gu · xy z2 − x · gu · x z + gv · 2y gu · xy z2 = − gu x2 − y2 z gu · xy z2 = − z(x2 − y2) xy √ 3.36 Sea F = z − f (u) con u = z/xy. ∂z ∂x = − Fx Fz = − −f 0(u) · −z x2y 1 − f 0(u) · 1 xy = − z x · f 0(u) xy − f 0(u) . ∂z ∂y = − Fy Fz = − −f 0(u) · −z xy2 1 − f 0(u) · 1 xy = − z y · f 0(u) xy − f 0(u) . x ∂z ∂x − y ∂z ∂y = −x · z x · f 0(u) xy − f 0(u) − y · − z y · f 0(u) xy − f 0(u) = 0 √ 3.37 La primera derivada se hace derivando implícitamente; las segundas derivadas son derivadas ordinarias. ∂z ∂x = − zln(yz) x − z . ∂2z ∂x2 = ∂ ∂x − zln(yz) x − z = − ∂z ∂x · ln(yz) + z · y · ∂z ∂x yz (x − z) − 1 − ∂z ∂x · zln(yz) (x − z)2 = − − zln(yz) x − z · ln(yz) + z · y · − zln(yz) x − z yz (x − z) − 1 + zln(yz) x − z · zln(yz) (x − z)2
- 434. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 434 ∂z ∂y = − xz y(x − z) ∂2z ∂y2 = ∂ ∂y − xz y(x − z) = − x · ∂z ∂y · y(x − z) − x − z − y · ∂z ∂y · xz y2(x − z)2 = x · xz y(x − z) · y(x − z) − x − z − y · xz y(x − z) · xz y2(x − z)2 ∂2z ∂x∂y = ∂ ∂x − xz y(x − z) = − z + x · ∂z ∂x · y(x − z) − y − y · ∂z ∂x · xz y2(x − z)2 = − z + x · − zln(yz) x − z · y(x − z) − y − y · − zln(yz) x − z · xz y2(x − z)2 3.38 3.39 3.40 3.41 3.42 3.43 3.44 3.45 3.46 a.) ∇f = (−2x, −2y) D~ u ~ u ~ u f (Q) = ∇f (Q) · u ||u|| = (−2, −2) · (−2,1) √ 5 = 2 √ 5 b.) Du f (P) = (−2a,−2b) · (−2,1)/ √ 5 = √ 2 =⇒ 4a − 2b = √ 10 Dv f (P) = (−2a,−2b) · (1,1)/ √ 2 = √ 5 =⇒ −2a − 2b = √ 10 Entonces, a = 0 y b = − √ 5/2. P = (0,− √ 5/2,3/2).
- 435. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 435 c.) La superficie S tiene ecuación z = 4 − x2 − y2. Si G = z − 4 + x2 + y2 entonces un vector normal al plano es N = ∇G(R) = (2,−2,1). Luego la ecuación cartesiana es 2x − 2y + z = 6. d.) Du f (R) es máxima si ~ u = ∇f (R) = (−2,2). En este caso, D∇f (R) f (R) = ||∇f (R)|| = √ 8. 3.47 a.) ∇f = − 2x + yz xy + 3z2 , , , −xz xy + 3z2 D~ u ~ u ~ u f (Q) = ∇z(Q) · ~ v ||~ v|| = (−1,0) · (−2,1) √ 5 = 2 √ 5 b.) D~ v ~ v ~ vz(P) = (−2/b,0) · (−2,1)/ √ 5 = √ 2 =⇒ b = 4/ √ 10 c.) La superficie S tiene ecuación G(x,y,z) = x2 + xyz + z3 − 1, entonces ∇G = (2x + yz,xz,xy + 3z2). Un vector normal al plano es N = ∇G(R) = (1,1,2). Luego la ecuación cartesiana es x + y + 2z = 2. d.) Duz(R) es mínima si ~ u = −∇z(R) = (1/2,1/2). En este caso, D∇z(R)z(R) = −||∇z(R)|| = − √ 1/2. 3.48 a.) z = z(x,y) está definida de manera implícita. Sea F(x,y,z) = z3 + xz + y − 1. ∇z = − Fx Fz , , , − Fy Fz , = − z 3z2 + x , , , − 1 3z2 + x ; D~ u ~ u ~ uz(P) = ∇z(P) · (1,−2) √ 5 = (0,−1) · (1,−2) √ 5 = 2/ √ 5 ≈ 0.894427. b.) El máximo valor que podría alcanzar la derivada direccional en P es ||∇z(P)|| = 1 cuando ~ v = ∇z(P) = (0,−1). c.) Como la superficie S tiene ecuación G(x,y,z) = z3 + xz + y − 1, la ecuación cartesiana del plano tangente en el punto P es ∇G(P) · (x,y,z) = ∇G(P) · P. ∇G(x,y,z) = (z , 1 , 3z2 + x) N = ∇G(1,1,0) = (0 , 1 , 1) La ecuación cartesiana del plano tangente en el punto P es y + z = 1. 3.49
- 436. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 436 a.) z = z(x,y) está definida de manera implícita. Sea F(x,y,z) = xyz2 − 8z. ∇z = − Fx Fz , , , − Fy Fz , = − yz2 2zxy − 8 , , , − xz2 2zxy − 8 ; D~ u ~ u ~ uz(P) = ∇z(P) · (−5, √ 2) √ 27 = (−8,−8) · (−5, √ 2) √ 27 = 40 − 8 √ 2 √ 27 ≈ 5.52068 b.) c.) Como la superficie S tiene ecuación G(x,y,z) = xyz2 − 8z, la ecuación cartesiana del plano tangente en el punto P es ∇G(P) · (x,y,z) = ∇G(P) · P. ∇G(x,y,z) = (yz2 , xz2 , 2xyz − 8) N = ∇G(1,1,8) = (64 , 64 , 8) La ecuación cartesiana del plano tangente en el punto P es 64x + 64y + 8z = 192. 3.50 La recta normal L pasa por P y va en la dirección de un vector normal a la superficie S e P. Podemos to- mar N = ∇G(P) = (1,1,2/ √ 2), así una ecuación vectorial de la recta es L : (x,y,z) = P + t(1,1,2/ √ 2), t ∈ R. 3.51 a.) b.) 3.51 Soluciones del Capítulo 4 4.1 Los puntos críticos son (0,0) y P = ( 4 25 , 2 5 ). En (0,0) el críterio no decide, en ( 4 25 , 2 5 , f (P)) es punto de silla. 4.2 Puntos críticos. ∂ f ∂x = 4x3 − 4y = 0 =⇒ y = x3, ∂ f ∂y = 4y3 − 4x = 0 =⇒ x(x8 − 1) = 0 =⇒ x = 0 x = ±1
- 437. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 437 Puntos críticos: (0,0), (1,1), (−1,−1). Clasificación. D2(x,y) = fxx · fyy − fxy 2 = 12x2 · 12y2 − 16. P fxx(P) fyy(P) (fxy(P))2 D2(P) Clasificación (0,0) 0 0 16 −16 (0,0,1) es punto de silla. (1,1) 12 12 16 128 (1,1,−1) es mínimo local. (−1,−1) 12 12 16 128 (−1,−1,−1) es mínimo local 4.3 Puntos críticos. fx = 3x2 + 3y2 − 6x = 0 (E1) fy = 6xy − 6y = 0 (E2) =⇒ 3(x2 + y2 − 2x) = 0 6y(x − 1) = 0 =⇒ y = 0 o x = 1. Si y = 0, sustituyendo en (E1) queda 3(x2 − 2x) = 0 =⇒ x = 0, x = 2. Si x = 1, sustituyendo en (E1) queda 3(y2 − 1) = 0 =⇒ y = 1, y = −1. Finalmente, tenemos cuatro puntos críticos: (0,0), (2,0), (1,1) y (1,−1). Clasificación. D2(x,y) = fxx · fyy − (fxy)2 = (6x − 6) · (6x − 6) − 36y2 . En (0,0) f alcanza un máximo relativo, pues D2(0,0) = 36 0 y fxx(0,0) = −6 0. En (2,0) f alcanza un mínimo relativo pues D2(2,0) = 36 0 y fxx(2,0) = 6 0. En (1,1) f no alcanza un extremo pues D2(1,1) = −36 0 (punto de silla). En (1,−1) f no alcanza un extremo pues D2(1,−1) = −36 0 (punto de silla). 4.4 Como P = (1,2) es punto crítico, las derivadas parciales de z se anulan en P, es decir ∂z ∂x (1,2) = 0 ∂z ∂x (1,2) = 0 =⇒ y − a x2 (1,2) = 0 x − b y2 (1,2) = 0 =⇒ 2 − a 12 = 0 1 − b 22 = 0 =⇒ a = 2 y b = 4 Ahora, D2(x,y) = 2a x3 2b y3 − 12 = 4 x3 8 y3 − 1. D2(1,2) = 3 y zxx(1,2) = 4 0. Luego, en el punto P = (2,1) z alcanza un mínimo relativo.
- 438. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 438 4.5 Puntos críticos: Resolvemos el sistema, zx = 8x − y = 0 =⇒ 8x = y =⇒ 16y = y =⇒ y = 0 zy = −x + 2y = 0 =⇒ 2y = x así, el único punto crítico es (0,0). Test: D2(x,y) = 8 · 2 · −(−1)2 = 15 (es constante) y puesto que zxx = 8 0, entonces =(0, 0, 0) es un mínimo relativo. 4.6 La gráfica de f es, X Y Z 1 2 1 2 Puntos críticos: El sistema es ( zx = 2xe−x2−y2 − 2xe−x2−y2 (x2 − y2) = 0 zy = −2ye−x2−y2 − 2ye−x2−y2 (x2 − y2) = 0 Simplificando queda ( e−x2−y2 2x(1 − x2 + y2) = 0 −e−x2−y2 2y(1 + x2 − y2) = 0 como e−x2−y2 0 entonces nos queda el sistema 2x(1 − x2 + y2) = 0 −2y(1 + x2 − y2) = 0 Tenemos 4 casos: . caso 1.) 2x = 0 y 2y = 0. Entonces x = 0 y y = 0.
- 439. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 439 . caso 2.) 2x = 0 y (1 + x2 − y2) = 0 . Entonces x = 0 y y = ±1 . caso 3.) −2y = 0 y (1 − x2 + y2) = 0. Entonces y = 0 y x = ±1 . caso 4.) (1 − x2 + y2) = 0 y (1 + x2 − y2) = 0 . Este caso es inconsistente pues quedaría x2 − y2 = 1 y x2 − y2 = −1 Test: Calculamos D2 y evaluamos cada uno de los cinco puntos. zxx = 2e−x2−y2 (2x4 − x2(2y2 + 5) + y2 + 1) zyy = 2e−x2−y2 (x2(2y2 − 1) − 2y4 + 5y2 − 1) zxy = 4xye−x2−y2 (x2 − y2) Luego tenemos: . Para P = (0,0,0), D2(P) = −4 . P es un punto de silla. . Para (0,1,−1/e), D2(P) = 2.165 0 zxx = 1.47 0 . Se trata de un mínimo relativo. . Para (0,−1,−1/e), D2(P) = 2.165 0 zxx = 1.47 0 . Se trata de un mínimo relativo. . Para (1,0,1/e), D2(P) = 2.165 0 zxx = −1.47 0 . Se trata de un máximo relativo. . Para (−1,0,−1/e), D2(P) = 2.165 0 zxx = −1.47 0 . Se trata de un máximo relativo. 4.7 La distancia del punto al paraboloide es d(x,y) = p (x − 2)2 + (y − 2)2 + (x2 + y2)2. Puntos críticos: Debemos resolver el sistema x − 2 + 2x(x2 + y2 ) = 0 y − 2 + 2y(y2 + y2 ) = 0 Como x = 0, y = 0 no es solución del sistema, podemos asumir que x 6= 0 y y 6= 0. Luego, despejando x2 + y2 = 2 − x 2x = 2 − y 2y =⇒ x = y. Ahora, sustiyendo x = y en cualquiera de las ecuaciones, obtenemos x − 2 + 4x3 = 0. La calculadora nos da las soluciones x = 0.68939835...,y = 0.68939835....
- 440. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 440 Clasificación. D2(x,y) = [(1 + 4x2 + 2(x2 + y2)] · [1 + 4y2 + 2(x2 + y2)] − 16x2y2. Evaluamos D2(0.68939835...,0.68939835...) = 19.4466... 0 y fxx(0.68939835...,0.68939835...) 0, es de- cir, el punto en el paraboloide dónde se alcanza la distancia mínima al punto (2,2,2) es (0.68939835...,0.68939835...,z(0.68939835...,0.68939835...)). 4.8 Los puntos críticos son (0,0), (1,1) y (−1,−1) 4.9 Suponga que las dimensiones de la caja son x cm de ancho, y cms de largo y z cms de alto, entonces su volumen es : 10 = xyz =⇒ z = 10 xy Por otro lado, el costo total esta dado por c(x,y,z) = 20xz + 20yz + 40xy De donde obtenemos que c(x,y) = 200 x + 200 y + 40xy Calculando las derivadas parciales, formamos el siguiente sistema ∂c ∂x = 40y − 200 x2 = 0 (E1) ∂c ∂y = 40x − 200 y2 = 0 (E2) Multiplicando por (E1) por x a ambos lados y (E2) por y ambos lados, obtenemos x = y. Sustituyendo en (E1) obtenemos x = y = 3 √ 5 D2(x,y) = 160000 x3y3 − 1600 y al evaluar en el punto P = ( 3 √ 5, 3 √ 5), tenemos que (( 3 √ 5, 3 √ 5,120 3 √ 5) es un mínimo local. Respuesta: Las dimensiones de la caja con costo mínimo son x = 3 √ 5, y = 3 √ 5 y z = 10/ 3 √ 25. 4.10 4.11 4.12 El área de la superficie es S(x,y,h) = 2xh + 2yh + 2xy = 64. Despejando h obtenemos que le volumen es V = xy 32 − xy x + y . Resolviendo ∇V = (0,0) obtenemos x = y = √ 32/3.
- 441. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 441 4.13 Puntos críticos: (0,0) y (1,−1/2e). El punto (0,0,0) es punto de silla y en (1,−1/2e) la función alcanza un mínimo local. 4.14 Problema: “Maximizar V(r,h) = πr2h sujeto a 48π = 2πr h + πr2.” L(r,h,λ) = πr2h − λ(2r h + r2 − 48). Lr = 2πrh − λ(2h + 2r) = 0 (1) Lh = πr2 − λ2r = 0 (2) Lλ = 2r h + r2 = 48 (3) =⇒ λ = πrh h + r , pues h 0 y r 0. λ = πr/2 2r h + r2 = 48 Ahora, λ = λ =⇒ πrh h + r = π 2 r =⇒ r(h − r) = 0 =⇒ r = h (r 0). Luego, sustituimos r = h en la ecuación (3) : 2r h + r2 = 48 =⇒ 2h2 + h2 = 48 =⇒ h = ±4. ∴ Las dimensiones son h = 4 y r = 4. 4.15 a.) Como xy2z = 32 entonces x, y ni z puede ser nulos (sino el producto sería 0). b.) Problema: “Minimizar d(Q,O) sujeto a la restricción xy2z = 32.” “Minimizar d = p x2 + y2 + z2 sujeto a la restricción xy2z = 32.” sea L(x,y,z,λ) = p x2 + y2 + z2 − λ(xy2z − 32) = p x2 + y2 + z2 − λxy2z − 32λ). Puntos críticos. Lx = 0 Ly = 0 Lz = 0 Lλ = 0 =⇒ x p x2 + y2 + z2 − λy2 z = 0 (E1) y p x2 + y2 + z2 − 2λxyz = 0 (E2) z p x2 + y2 + z2 − λxy2 = 0 (E3) xy2z − 32 = 0 (E4) Como x, y y z son no nulos, podemos despejar λ en las ecuaciones (E1), (E2) y (E3),
- 442. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 442 λ = 2x2 = y2 z }| { x y2z p x2 + y2 + z2 = y 2xyz p x2 + y2 + z2 = z xy2 p x2 + y2 + z2 , de donde obtenemos 2x2 = y2 y y2 = 2z2, es decir x = ±z y y2 = 2z2. Sustituyendo en la ecuación (E4) nos queda z · 2z2 · z = 2z4 = 32, es decir z = ±2. Finalmente, como y2 0 y como xy2z = 32 entonces x y z deben tener el mismo signo, es decir, x = z y y = ± √ 2z. Tenemos solo cuatro posibles soluciones, Q1 = (2, −2 √ 2, 2); λ = 1/8, Q2 = (2, −2 √ 2, 2); λ = 1/8, Q3 = (−2, 2 √ 2, −2); λ = 1/8, Q4 = (−2, 2 √ 2, −2); λ = 1/8. Como d(Q1,O) = d(Q2,O) = d(Q3,O) = d(Q4,O), los cuatro puntos son los puntos de S más cercanos al origen. 4.16 Problema: “Minimizar A = 3πr2 + 2πrh sujeto a la restricción V = πr2h + 2 3 πr3 = 400” La altura total es h + r ≈ 8.49m y el diámetro es d ≈ 8.49m 4.17 Problema: “Maximizar ρ = 2 + xz + y2 sujeto a la restricción x2 + y2 + z2 − 4 = 0”. Sea L(x,y,z,λ) = 2 + xz + y2 − λ(x2 + y2 + z2 − 4). Factorizando en la ecuación Ly = 0 obtenemos los casos y = 0 y λ = 1, y con las ecuaciones Lx = 0 y Lz = 0 obtenemos los casos z = 0 y λ = ±1/2. Resolviedo para estos casos se obtienen los cuatro puntos críticos: (0,±2,0), (± √ 2,0,± √ 2),(± √ 2,0,∓ √ 2). Evaluando ρ en los seis puntos encontramos que ρ es máximo en los puntos (0,±2,0) y mínimo en los puntos (± √ 2,0,∓ √ 2). 4.18 (0,−1,2). 4.19 x = 3/2, y = 3/2, λ = −3. 4.20
- 443. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 443 4.21 λ = 0, x = −1, y = 0, λ = 0, x = 1, y = 0, λ = 0, y = −1, x = 0, λ = 0, y = 1, x = 0, λ = 1 2 , x = − 1 √ 2 , y = − 1 √ 2 , λ = 1 2 , x = − 1 √ 2 , y = 1 √ 2 , λ = 1 2 , x = 1 √ 2 , y = − 1 √ 2 , λ = 1 2 , x = 1 √ 2 , y = 1 √ 2 . 4.22 (± √ 2,1) y λ = 1. Observe que x = 0 no satisface la restricción. 4.23 4.24 4.25 4.26 4.27 4.28 4.29 4.30 4.31 4.32 4.33 4.34 4.35 4.36 x = ±1/3, y = ±3, z = ±4/3, wmax = 2 √ 3/3 4.37 4.38 4.39 4.40 4.41 4.42
- 444. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 444 Soluciones del Capítulo 5 5.1 AR = Z 1 0 Z 2−x2 x dydx = 7/6 X Y 1 2 1 5.2 5.3 1. I = Z 2 0 Z 2−y −2+ √ 2−y f (x,y) · dxdy 2. I = Z −2+ √ 2 −2 Z 2 2−(x+2)2 f (x,y) · dydx + Z 0 −2+ √ 2 Z 2 0 f (x,y) · dydx + Z 2 0 Z 2−x 0 f (x,y) · dydx 5.4 Cuidado, debe escoger la rama correcta en cada parábola. ZZ R f (x,y)dA = Z 2 0 Z 3− √ y −2+ √ 2−y f (x,y)dxdy ZZ R f (x,y)dA = Z −2+ √ 2 −2 Z 2 2−(x+2)2 f (x,y)dydx + Z 3− √ 2 −2+ √ 2 Z 2 0 f (x,y)dydx + Z 3 3− √ 2 Z (x−3)2 0 f (x,y)dydx 5.5 Proyección sobre XZ
- 445. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 445 Volumn de Q proyectando sobre XY VQ = ZZ R1 (4 − y)dA + ZZ R2 (4 − y)dA = R 1 x0 R 3+x x2 (4 − y)dydx + R 2 1 R 4 x2 (4 − y)dydx con x0 = 0.5 · (1− sqrt13) ≈ −1.30 5.6 El cálculo es fácil proyectando sobre XY o YZ. Proyección sobre YZ. VQ = Z 1 0 Z 2−y 0 q 4 − y2 − 0 dzdy X Y Z 2 1 2
- 446. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 446 Proyección sobre XY. VQ = Z 1 0 Z √ 4−y2 0 [2 − y − 0]dxdy X Y Z 2 1 2 5.7 Proyectando sobre XY. VQ = Z 1 0 Z 2−2x2 1−x2 [1 − y/2 − 0] dydx X Y Z 1 1 2 1 5.8 5.9 Proyectamos sobre YZ. VQ = Z 0 −1 Z 2+2y 0 [1 − z/2 + y − 0] dzdy + Z 2 0 Z √ 4−y2 0 [1 − z/2 + y − 0] dzdy 1 2 2 2 5.10 Proyectamos sobre XY.
- 447. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 447 V = Z 1 √ 8 0 Z √ 3/4−x2 √ 1/4−x2 q 1 − x2 − y2 − q (x2 + y2)/3dydx + Z √ 3/8 1 √ 8 Z √ 3/4−x2 x q 1 − x2 − y2 − q (x2 + y2)/3dydx 5.11 Solución: La región está entre las curvas r = 2 y r = 4sen2θ. Esto nos da tres subregiones: desde el origen hasta la curva r = 4sen2θ y desde el origen hasta la curva r = 2. Como r = 0 =⇒ r = sen2θ = 0 =⇒ θ = 0 y θ = π 2 . Podemos verificar con la figura que el dominio de la curva r = 4sen2θ es [0, π/2.] Para obtener los límites de integración de las tres subregiones, buscamos la intersección entre las curvas: r = 2 ∩ ∩ ∩ r = 4sen2θ, es decir, 2 = 4sen2θ =⇒ θ = π 12 y θ = 5π 12 . 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
- 448. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 448 I = ZZ R r2 · rdrdθ = Z π/12 0 Z 4sen2θ 0 r3 drdθ + Z 5π/12 π/12 Z 2 0 r3 drdθ + Z π/2 5π/12 Z 4sen2θ 0 r3 drdθ = 16π 3 − 7 √ 3 5.12 Solución: Debemos hacer el cambio de variable x = rcos(θ) y y = rsen(θ). X Y Observe que La recta y = 1 √ 2 se transforma en rsenθ = 1 √ 2 =⇒ r = 1 √ 2sen(θ) . La circunferencia x2 + y2 = 1 se transforma en r = 1. La recta y = x se transforma en θ = π/4. En efecto, y = x =⇒ cosθ = sen(θ) =⇒ θ = π/4. Esto, por supuesto, también lo podemos establecer de manera geométrica. AR = ZZ R 1 · dA = Z 3π 4 π 4 Z 1 1 √ 2sen(θ) rdrdθ = Z 3π 4 π 4 r2 2 1 1 √ 2sen(θ) dθ = Z 3π 4 π 4 1 2 − 1 4 1 sen2(θ) dθ = Z 3π 4 π 4 1 2 − 1 4 csc2 (θ)dθ = θ 2 + 1 4 cot(θ) 3π 4 π 4 = π − 2 4 5.13 5.14 Los límites de integración son θ = −π/6 y θ = 7π/6. Ahora calcule la integral que da el área.
- 449. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 449 5.15 5.16 5.17 r = 0 =⇒ 2 + 2sen(3θ) = 0 θ1 = 7π 6 y θ2 = 11π 6 . Z 11π 6 7π 6 Z 2sin(3θ)+2 0 1rdrdθ = 2π Nota: El intervalo [−7π/6,−π/6] no es correcto, agrega un trozo adicional de curva y el resultado daría, en valor absoluto, 3π. Use Wolfram Alpha (Internet) para graficar + 2 Sin[3t]PolarPlot[2, t, -7 Pi/6, -Pi/6] 5.18 VQ = Z 2π 0 Z π/4 0 Z 1 0 ρ2 sen ϕdρdϕdθ = π 3 2 − √ 2 5.19 Solución: La manera fácil es proyectar sobre XZ y usar coordenadas polares, VQ = ZZ Rxz 4 − x dA = Z π/2 0 Z 2 2senθ (4 − rcosθ) · r drdθ = 2π − 2 X Y Z 2 2 , 5.20 Proyectar sobre XZ y usar coordenadas polares. Calculando la intersección entre las superficies podemos establecer que la región de integración Rxy está entre las curvas x2 + y2 = 1 4 , x2 + y2 = 3 4 y las rectas y = x y x = 0. VQ = Z π/2 π/4 Z √ 3/2 1/2 q 1 − x2 − y2 − s 1 − x2 − y2 3 rdrdθ 5.21 Aplicamos el cambio de variable x = ar cost y y = br sent; el Jacobiano es J = r ab La nueva región es D = {(u,v) ∈ R2 |u2 + v2 ≤ 1}. Ahora use coordenadas polares.
- 450. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 450 5.22 Transformamos la región R es un círculo con el cambio de variable, u = (x − 1) 3 , v = y 5 . El Jacobiano es J = 1 15 . La nueva región es D = {(u,v) ∈ R2 |u2 + v2 ≤ 1}. Ahora use coordenadas polares. 5.23 5.24 I = 3/4(e − e−1). 5.25 5.26 5.27 El cálculo es fácil proyectando sobre XY o YZ. Proyección sobre YZ. VQ = Z 1 0 Z 2−y 0 Z √ 4−y2 0 dx # dzdy X Y Z 2 1 2 Proyección sobre XY. VQ = Z 1 0 Z √ 4−y2 0 Z 2−y 0 dz dxdy X Y Z 2 1 2
- 451. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 451 5.28 Proyectando sobre XY. VQ = Z 1 0 Z 2−2x2 1−x2 Z 1−y/2 0 dz dydx X Y Z 1 1 2 1 5.29 Proyectamos sobre YZ. VQ = Z 0 −1 Z 2+2y 0 Z 1−z/2+y 0 dx dzdy + Z 2 0 Z √ 4−y2 0 Z 1−z/2+y 0 dx dzdy 1 2 2 2 5.30 a) 395 8 b) 5.31 VC = Z 2π 0 Z a 0 Z h − hr/a 0 rdzdrdθ = πa2h 3 5.32 VQ = Z 2π 0 Z 1/ √ 2 0 Z √ 1−r2 r rdzdrdθ = π 3 2 − √ 2 5.33 VQ = Z 2π 0 Z 1 0 Z √ 4−r2 r rdzdrdθ = 2π 8 3 − √ 3 5.34 8π2 3 − 2 √ 3π. 5.35 La proyección sobre XY es la región limitada por la recta x + y = 2 en el primer cuadrante. VQ = Z 2 0 Z 2−x 0 Z 4 √ 4−x2 dzdydx. 5.36 5.37 VQ = Z 2π 0 Z π/4 0 Z 1 0 ρ2 sen ϕdρdϕdθ = π 3 2 − √ 2
- 452. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 452 5.38 Como z = ρcos ϕ = h, entonces el sólido se puede describir en coordenadas polares como 0 ≤ ρ ≤ h cos ϕ , 0 ≤ θ ≤ 2π y 0 ≤ ϕ ≤ arctan(a/h). Esta integral es sencilla (aunque no parece). Recuerde que cos ϕ = h √ a2 + h2 , con esto la integral simplifica my bien. VC = Z 2π 0 Z arctan(a/h) 0 Z h/cos ϕ 0 ρ2 sen ϕdρdϕdθ = πa2h 3 5.39 5.40 Como z = a − h entonces ρcos ϕ = a − h. Así Q se describe en coordenadas esféricas como a − h cos ϕ ≤ ρ ≤ a, 0 ≤ θ ≤ 2π, y 0 ≤ ϕ ≤ π/2 − arcsen( a − h a ). RRR Q dV = Z 2π 0 Z π/2−arcsen( a−h a ) 0 Z a a−h cos ϕ ρ2 sen ϕdρdϕdθ = Z 2π 0 Z π/2−arcsen( a−h a ) 0 ρ3 sen ϕ 3 a a−h cos ϕ dϕdθ = Z 2π 0 Z π/2−arcsen( a−h a ) 0 1 3 [a3 sen ϕ − (a − h)3 sec3 ϕ sen ϕ]dϕdθ = Z 2π 0 1 3 −a3 cos ϕ − (a − h)3 1 2cos2 ϕ π/2−arcsen( a−h a ) 0 dθ pues Z sec3 ϕ sen ϕdϕ = sec2 ϕ 2 + K (sustitu = Z 2π 0 1 3 3ah2 − h3 2 dθ pues cos π/2 − arcsen a − h a = a − h a . = π 3 3ah2 − h3 5.41 5.42 5.43 2a2π
- 453. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 453 Soluciones del Capítulo 6 6.1 Vamos a proyectar sobre el plano xy. Como se ve en la figura, la proyección está entre los círculos x2 + y2 = 1 y x2 + y2 = 2 con 0 ≤ θ ≤ π/4. Entonces AS = ZZ D q 1 + z2 x + z2 y dA = ZZ D q 1 + 4x2 + 4y2 dydx = Z π/4 0 Z 2 1 p 4r2 + 1rdr r rdθ, (sustitución: u = 4r2 + 1) = −5 √ 5 + 17 √ 17 π 48 6.2 el círculo x2 + y2 = 1. dS dS dS = q z2 x + z2 y + 1 dA = s x2 x2 + y2 + y2 x2 + y2 + 1 dA AS = ZZ S S S dS dS dS = Z 2π 0 Z 1 0 √ 2rdrdθ = π √ 2. 6.3 6.4 Proyectamos sobre XY. RR S 2xy + z + 1)dS = Z 2 1 Z 4 y 2xy + z + 1 dxdy = Z 2 1 Z 4 y 2xy + 4 − y2 + 1 dxdy
- 454. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 454 6.5 A = ZZ S S S dS dS dS = Z 2 0 Z x 0 p 4x2 + 1dydx = Z 2 0 x p 4x2 + 1dx = Z 17 1 √ u du 8 = u 3 2 12 17 1 = 5,7577 6.6 Proyectamos sobre XY AS = ZZ S S S dS dS dS = Z π/2 π/4 Z √ 3 1 p 1 + 4r2 r drdθ = 1 12 Z π/2 π/4 (1 + 4r2 )3/2 √ 3 1 dθ = π 48 (13 √ 13 − 5 √ 5) 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 Vamos a proyectar sobre el plano XY. La proyección es el círculo x2 + y2 ≤ 2. Como z = p 9 − x2 − y2 entonces podemos poner N N N = (−x/z, −y/z, 1) ||(−x/z, −y/z, 1)|| . Luego, ZZ S F F F · N N N dS = ZZ S (y,−x,8z) · (−x/z, −y/z, 1) ||(−x/z, −y/z, 1)|| ||(−x/z, −y/z, 1)||dA = ZZ D 8zdA = Z 2π 0 Z 2 0 8 p 9 − r2 rdrdθ = 16π(53/2 − 93/2) −3 6.12 ZZ S F F F · N N N dS = π
- 455. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 455 6.13 6.14 ZZ S S S F F F · N N NdS dS dS = Z 3 1 Z 3 0 (0,x + y,1 − (x − 2)3 ) · (−3(x − 2)2 ,0,1)dydx = Z 3 1 Z 3 0 (1 − (x − 2)3 )dydx = Z 3 1 Z 3 0 (−x3 + 6x2 − 12x + 9)dydx = 3 Z 3 1 (−x3 + 6x2 − 12x + 9)dx = 3 − x4 4 + 2x3 − 6x2 + 9x 3 0 = 6 6.15 Proyectamos sobre XY AS = ZZ S S S dS dS dS = Z π/2 π/4 Z √ 3 1 p 1 + 4r2 r drdθ = 1 12 Z π/2 π/4 (1 + 4r2 )3/2 √ 3 1 dθ = π 48 (13 √ 13 − 5 √ 5) 6.16 Proyectamos sobre XY. ZZ S S S F F F · N N N dS dS dS = Z 2 1 Z 4 y (xy, x, z + 1) · (0, 2y, 1)dxdy = Z 2 1 Z 4 y 2xy + z + 1 dxdy = Z 2 1 Z 4 y 2xy + 4 − y2 + 1 dxdy 6.17 Se puede aplicar el teorema de divergencia. Div F = 1 − 1 + 2 = 2.
- 456. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 456 ZZ S S S F F F · N N NdS dS dS = Z 2 0 Z 4−x2 0 Z 3−x 0 2dydzdx = Z 2 0 Z 4−x2 0 (6 − 2x)dzdx = Z 2 0 (6 − 2x)(4 − x2 )dx = Z 2 0 (2x3 − 6x2 − 8x + 24)dx = x4 2 − 2x3 − 4x2 + 24x 2 0 = 8 − 16 − 16 + 48 = 24 6.18 6.19 divF F F = y2 + z2 La proyección es el círculo x2 + y2 ≤ 1 ZZ S F F F · N N N dS = ZZZ Q divF F FdV = Z 2π 0 Z 1 0 Z 1 −1 r2 rdrdθ = π 6.20 6.21 6.22 6.23 Soluciones del Capítulo 7 7.1 1. Parametrización de la curva e.) −C1 : r1(t) = (t,2t,0) con t ∈ [0,1]. Observe que r1(0) = (0,0,0) y r1(1) = (1,2,0).
- 457. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 457 C2 : r2(t) = (0,0,t) con t ∈ [0,1]. Observe que r2(0) = (0,0,0) y r2(1) = (0,0,1). −C3 : r3(t) = (cost,2cost,sent) con ∈ [0,π/2]. Observe que r3(0) = (1,2,0) y r3(π/2) = (0,0,1). 2. Parametrización de la curva f.) C1 : r1(t) = (2cost,0,2sent) con t ∈ [0,π/2]. Observe que r1(0) = (2,0,0) y r1(π/2) = (0,0,2). C2 : r2(t) = (2cost, 4 − 2cost, 2sent) con t ∈ [0,π/2]. Observe que r2(0) = (2,2,0) y r2(π/2) = (0,4,2). −C3 : r3(t) = (t,4 − t,0) con t ∈ [0,2]. Observe que r3(0) = (0,4,0) y r3(2) = (2,2,0). −C4 : r4(t) = (cost,4 − cost,1 + sent) con t ∈ [−π/2,π/2]. Observe que r4(−π/2) = (0,4,0) y r4(π/2) = (0,4,2). 7.2 s = Z 44 0 √ 1 + 9/4tdt = 296 7.3 s = 2 Z 4 1 √ tdt = 14/3 7.4 s = 2 Z 4 1/2 q 1 + 9(2t − 1)dt = 1022/27 7.5 Recuerde que Z secxdx = ln|secx + tanx|. s = Z π/4 0 sectdt = ln( √ 2 + 1) 7.6 7.7 7.8 La circunferencia se parametriza como r(t) = (4cost, 4sent) con t ∈ [0,π]. Z C xy2 ds = 64 Z π 0 cost sen2 tdt = 0 7.9 Z C xds = Z 1 −1 t p 1 + 4t2 dt = 0 7.10 C : r(t) = (t,t,0) con t ∈ [0,1]. Z C xy + z 2x − y ds = Z 1 0 t √ 2dt 7.11 r0(t) = (1,1,1) y entonces
- 458. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 458 Z C x + y + z x2 + y2 + z2 ds = Z 2 1 t + t + t t2 + t2 + t2 p 12 + 12 + 12 dt p 12 + 12 + 12 dt p 12 + 12 + 12 dt = Z 2 1 √ 3 t dt = √ 3 ln|t| 2 1 = √ 3 ln 2 7.12 Z C x2 + 2y √ 33 − 8z ds = Z 1 −1 8 − t2 dt 7.13 7.14 7.15 7.16 7.17 7.18 7.19 Solución: Parametrizamos las curvas, C1 : r1(t) = cost ı̂ + sent ̂ + 0 k̂ con t ∈ [0,π/2]. C2 : r2(t) = A + t(B − A) = 2t ı̂ + (t + 1) ̂ + 3t k̂, t ∈ [0,1]. Z C xdx + zdy + dz = Z C1 xdx + zdy + dz + Z C2 xdx + zdy + dz = Z π/2 0 −costsentdt + Z 1 0 4t + 3t + 3dt = − 1 2 + 13 2 = 6. 7.20 7.21 F F F = (P,Q,R) es conservativo pues Py = z2 + senxcos(π − y) = Qx, Ry = 2xz = Qz y Rx = 2yz = Pz. una función potencial es φ(x,y,z) = xyz2 + cos(x)sen(π − y) + K. Por lo tanto Z C F · dr dr dr = φ(0,π,0) − φ(π,0,0) = 0 7.22 (a) Como rot F rot F rot F=(0,0,0), entonces F F F es conservativo sobre cualquier región simplemente conexa donde z 6= 0.
- 459. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 459 (b) ∇φ = F =⇒ φ = Z 2x + 5 dx = x2 + 5x + K1(y,z) φ = Z 3y2 dy = y3 + K2(x,z) φ = Z 1 z dz = ln|z| + K3(x,y) =⇒ φ(x,y,z) = x2 + 5x + y3 + lnz. Luego, Z C C C F F F · dr dr dr = φ(B) − φ(A) = 6 − 1 = 5 (c) Como F F F es conservativo en regiones simplemente conexas, donde z no se anula, podemos tomar el camino C0 = C1 + C2 para integrar. − − −C1 : r1(t) = (0,t,1) con t ∈ [0,1]. r0 1(t) = (0,1,0) C2 : r2(t) = (t,0,1) con t ∈ [0,1]. r0 2(t) = (1,0,0) Entonces, Z C C C0 F F F · dr dr dr = − − − Z 1 0 (5, 3t2 , 1) · (0, 1, 0)dt + Z 1 0 (2t + 5, 0, 1) · (1, 0, 0)dt = −1 + 6 = 5 7.23 1. RotF F F = ı̂ ̂ k̂ ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z yz + ycos(xy) xz + xcos(xy) xy = (x − x) ı̂ + (−y + y) ̂ +(z + cos(xy) + xycos(xy) − (z + cos(xy) + xycos(xy))) k̂ = (0,0,0) 2. Sea G(x,y,z) una función potencial, así Gx(x,y,z) = yz + ycos(xy) =⇒ G(x,y,z) = xyz + sen(xy) + C1(y,z) ∂ ∂y (xyz + sen(xy) + C1(y,z)) = xz + xcos(xy) =⇒ C1y(y,z) = 0 =⇒ C1(y,z) = C2(z) ∂ ∂z (xyz + sen(xy) + C2(z)) = xy =⇒ C2 0 (z) = 0 =⇒ C2(z) = K Así, G(x,y,z) = xyz + sen(xy) + K, por lo que Z C C C F F F · dr dr dr = G(0,0,0) − G(2,1,2) = K − (4 + sen(2) + K) = −4 − sen(2).
- 460. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 460 3. Se seguirá la siguiente ruta −C1 : r1(t) = (2,1,t), t ∈ [0,2] −C2 : r2(t) = (t,1,0), t ∈ [0,2] −C3 : r3(t) = (0,t,0), t ∈ [0,1] Así Z C C C F F F · dr dr dr = − Z 2 0 (t + cos(2),2t + 2cos(2),2) · (0,0,t)dt − Z 2 0 (cost,tcost,t) · (1,0,0)dt − Z 1 0 (t,0,0) · (0,1,0)dt = − Z 2 0 2tdt − Z 2 0 costdt − 0 = −t2 2 0 − sent|2 0 = −4 − sen(2) 7.24 7.25 Una función potencial es φ(x,y,z) = xyz − y2x + x2z 7.26 Z C C C F F F · dr dr dr = 0 7.27 Calcule usando el camino que va de (2,5,0) a (−2,5,0) 7.28 7.29 7.30 a.) − 64 3 b.) Z C1 F F F · dr dr dr + Z C2 F F F · dr dr dr + Z C3 F F F · dr dr dr + Z C4 F F F · dr dr dr = 4 − 36 + 28/3 + 4/3 = − 64 3 7.31 Como se cumplen las condiciones para aplicar el teorema de Green en el plano, excepto la orientación de la curva, entonces Z C C C F F F · dr dr dr = − − − Z 2 −2 Z 3 3y2/4 1 − 0 dxdy = −8.
- 461. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 461 7.32 Por el teorema de Green: Z nC F F F · dr dr dr = Z 1 0 Z x2+1 0 ∂Q ∂x − ∂P ∂y dydx = Z 1 0 Z x2+1 0 (2x − 1)dydx = Z 1 0 (2x − 1)(x2 + 1)dx = 1 6 . 7.33 7.34 7.35 7.36 7.37 1. Z C C C F F F · dr dr dr = Z C C C1 F F F · dr dr dr + Z C C C2 F F F · dr dr dr + Z C C C3 F F F · dr dr dr + Z C C C4 F F F · dr dr dr a) −C1 : r1(t) = (t,t,0) t ∈ [0,1] =⇒ Z C C C1 F F F · dr dr dr = − Z 1 0 −t2 dt = 1 3 b) C2 : r2(t) = (0,0,t) t ∈ [0,1] =⇒ Z C C C2 F F F · dr dr dr = Z 1 0 0dt = 0 c) C3 : r3(t) = (0,t,1 − t) t ∈ [0,1] =⇒ Z C C C3 F F F · dr dr dr = Z 1 0 1 − t dt = 1 2 d) C4 : r4(t) = (t,1,0) t ∈ [0,1] =⇒ Z C C C1 F F F · dr dr dr = Z 1 0 −12 dt = −1 Z C C C F F F · dr dr dr = 1/3 + 1/2 − 1 2. ZZ S S S RotF F F · N N NdS dS dS = ZZ S S S1 RotF F F · N N NdS dS dS + ZZ S S S2 RotF F F · N N NdS dS dS. RotF F F = (−1,−1,2y) Para S S S1 un vector normal es N1 = (1,−1,0) (acorde con la orientación de C C C). ZZ S S S1 RotF F F · N N N1 dS dS dS = ZZ S S S1 0 dS dS dS = 0
- 462. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 462 Para S S S2 un vector normal es N2 = (0,−1,−1) (acorde con la orientación de C C C). ZZ S S S2 RotF F F · N N N2 dS dS dS = Z 1 0 Z 1 x 1 − 2ydydx = −1/2 + 1/3. Finalmente, ZZ S S S RotF F F · N N NdS dS dS = 0 + −1/2 + 1/3. 7.38 7.39 Aplique el teorema de Stokes con las superficies de la figura que sigue. S1 S2 7.40 7.41 7.42 Rot(F) = ı̂ ̂ k̂ ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z x2 − y yz − x x + 2y = (2 − y,−1,0) Un vector normal para y = 2x es N1 = (2,−1,0), pero la curva gira a favor de reloj respecto a N1, por lo que ha que ajustar el signo. Así
- 463. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 463 Z C Fdr = − ZZ S S S Rot(F) · N N N dA = − ZZ R (2 − y,−1,0) · (2,−1,0)dA = − ZZ R (−2y − 3)dA = − Z π 2 0 Z 1 0 (−2(2rcosθ) − 3)rdrdθ = − Z π 2 0 −4 r3 3 cosθ − 3 r2 2 r=1 r=0 dθ = − Z π 2 0 −4 3 cosθ − 3 2 dθ = − −4 3 senθ − 3θ 2 π 2 0 = − −4 3 + 3π 4 7.43 Se cumplen las condiciones para aplicar el teorema de Stokes (Teo de Green en el espacio). Podemos tomar como la superficie S, la porción del plano z = 2 − x limitada por el cilindro x2 + y2 = 1. Entonces un vector normal que nos sirve es N N N = (1,0,1). 9.1 Sea Q el sólido limitado por y + z = 6, 4x − 4y − z = 0, z = 4 − x2, z = 0 y x = 0, tal y como se muestra en la figura. a.) Calcular Z C F F F · dr dr dr si F F F(x,y,z) = (x,x,z) y C es la frontera de la superficie S1 en la figura. b.) Calcular ZZ ∂Q F F F · N N N dS donde F F F(x,y,z) = (x,y,z), ∂Q es la frontera del sólido Q y N N N es el vector vector normal unitario exterior.
- 464. (https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/). 464 Como F F F(x,y,z) = (x + z, 2y, y − z), entonces RotF F F = (1,1,0). Z C C C F F F · dr dr dr = ZZ S RotF F F · N N N dS = Z π/2 0 Z 1 0 (1,1,0) · (1,0,1) (1,1,0) · (1,0,1) (1,1,0) · (1,0,1) rdrdθ = π/4 7.44 C es una curva cerrada simple, suave a trozos. Podemos usar el Teorema de Stokes (T. Green en el espacio). Tenemos dos opciones, proyectar sobre el plano XY o sobre el plano YZ. Proyectando sobre el plano XY. En este caso, S : z = 4 − x2 y N = (−zx, −zy,1) = (2x,0,1). Z C C C F F F · dr r r = ZZ S RotF · N dS = − ZZ Rxy (−y, x − 1, 0) · (2x, 0,1) dA = − Z 2 0 Z x2+1 0 −2xy dydx = 62 3 ≈ 20.6667 Proyectando sobre el plano YZ. En este caso, S : x = √ 4 − z y N = (1, −xy,−xz) = 1,0, 1 2 √ 4 − z . Z C C C F F F · dr r r = ZZ S RotF · N dS = − ZZ Rxy (−y, x − 1, 0) · 1,0, 1 2 √ 4 − z dA (∗) = − Z 4 0 Z 5−z 0 −y dydz = 62 3 ≈ 20.6667 Nota. La integral (∗) no es impropia pues al hacer el producto punto, el integrando es una función acotada. Las discontinuidades en un integrando acotado no afectan la integral sin constituyen un conjunto de medida cero.