Cap03 - C2
- 2. Contenidos: ● Escalares y vectores ● Sistemas de coordenadas ● Algunas propiedades de los vectores ● Componentes de un vector ● Vectores unitarios
- 3. Vectores Las magnitudes físicas fundamentales que estudiamos en el capítulo de introducción son tales que están determinadas por medio de un único número. Llamaremos a este tipo de magnitudes escalares. Existe otro tipo de magnitudes físicas que están determinadas por más de un único número. Ellas son las magnitudes que denominaremos vectores.
- 4. Vectores Algunos ejemplos de magnitudes escalares son: Temperatura Resistencia eléctrica Diferencia de potencial Presión
- 5. Vectores Algunos ejemplos de vectores son: Fuerza: coloquialmente hablamos de cuánta fuerza ejercemos y de hacia dónde y dónde la ejercemos. Velocidad: acostumbramos hablar de qué tan rápido nos movemos y hacia dónde. Desplazamiento: decimos cuánto nos hemos movido y hacia dónde.
- 6. Vectores De los tres ejemplos anteriores se ve que los vectores tienen algunos elementos en común: ●Están completamente definidos por más de un número o valor. ●Intuitivamente están asociados a las ideas de magnitud y dirección. ●En este capítulo, estas nociones las formularemos matemáticamente.
- 7. Vectores Comenzaremos considerando el concepto de posición Podemos indicar un punto por un par de coordenadas (x,y) en un sistema de coordenadas cartesiano, como en la figura:
- 8. Vectores Ahora, podemos imaginar que en el punto P(4,2) se encuentra un objeto. Decimos entonces, que la posición de dicho objeto está descrita por el punto P cuyas coordenadas son x = 4m e y = 2m
- 9. Vectores Como vemos, se requieren dos números, x = 4 m e y = 2 m, para determinar e informar la posición de un objeto. Notemos que, en el ejemplo, el objeto está sobre un plano. En general, se requieren más de dos números para establecer la posición de un objeto. Por ejemplo, en el espacio.
- 10. Vectores En algunas situaciones usamos coordenadas, indicamos, por ejemplo, la “intersección de un par de calles”. En otras situaciones decimos “dos cuadras hacia el centro”. Dos cuadras: idea de la distancia entre dos puntos. Cantidad de cuadras que se debe recorrer para llegar a la posición deseada. Hacia el centro: idea de la dirección en la que se debe caminar para llegar a la posición deseada.
- 11. Vectores Matemáticamente, ¿de dónde proviene nuestra noción de la vida diaria en la que se indica la posición de un objeto por medio de qué tan lejos se encuentra y en qué dirección? y Distancia desde el origen 0 hasta el punto P: P(x0 , y0) y0 r r= x + y 2 0 2 0 x 0 x0 Ángulo formado por la flecha, con respecto al eje x: θ = tan − 1 ( y 0 / x 0 )
- 12. Definición de vector Podemos indicar la posición de cualquier punto por medio de los valores de r y del ángulo θ Decimos que la flecha que comienza en el origen 0 y termina en el punto P representa gráficamente a un vector. y P(x0 , y0) El largo de la flecha se y0 r llama módulo del vector. x 0 x0 El ángulo que el vector forma con respecto al eje x es su dirección.
- 13. Vectores Algunos ejemplos de magnitudes físicas vectoriales que estudiaremos en el transcurso de esta asignatura: Desplazamiento Torque Velocidad Momento lineal Aceleración Momento angular Fuerza ...
- 14. Equivalencia de vectores Consideraremos dos vectores como equivalentes cuando sus módulos y direcciónes sean iguales B Los vectores A y B son equivalentes, y tienen igual módulo y dirección. D A Los vectores A y C no son equivalentes, tienen la misma dirección, pero su módulo es distinto. x Los vectores A y D no son equivalentes, C E tienen el mismo módulo, pero sus direcciones son distintas. Los vectores A y E no son equivalentes, difieren tanto en módulo, como en dirección.
- 15. Equivalencia de vectores Ejemplo: y y B A B A x x 0 0 El transporte de A paralelo al El transporte de A paralelo al eje x produce un nuevo vector eje y produce un nuevo vector equivalente B equivalente B
- 16. Suma de vectores
- 17. La suma de vectores es Conmutativa
- 18. Multiplicación por un Escalar y y B = αA A x x 0 0 Al multiplicar un vector por un número (un escalar) obtenemos un nuevo vector, con la misma dirección que el inicial, pero con una longitud distinta.
- 19. Multiplicación por un Escalar Ejemplo: y y A x x 0 0 B = −A Con la elección: α=−1 hemos invertido el vector
- 22. Vectores unitarios Hemos visto gráficamente algunas operaciones sobre los vectores. Sin embargo, para nuestros estudios posteriores necesitaremos una descripción analítica de los mismos. y ˆ j Definiremos los vectores i y ˆ , ˆ j los cuales tienen las siguientes x 0 tres propiedades: iˆ Tienen la dirección positiva del eje Son perpendiculares (ortogonales) Tienen módulo uno (adimensionales)
- 23. Descomposición de vectores y De la suma de vectores sabemos que: A Ay A = Ax + Ay De la multiplicación por un escalar sabemos que ˆ j x Ax ax i 0 iˆ Ax Ay ay j Luego: A ax i ay j
- 24. Todo vector puede ser descompuesto como una suma de los vectores unitarios multiplicados por la componente escalar de cada eje. A ax i a y j y ay A Por ejemplo, en la figura: j A 6i 4 j 0 x i ax
- 25. Operaciones con vectores Consideremos los vectores: A ax i ay j B bx i by j Suma de vectores: C = A+ B = ( axi + a y ˆ ˆ j ) + ( bx i + b y ˆ ˆ j ) C = ( a x + bx ) iˆ + (a y ) + by ˆ j C = cx i + c y ˆ ˆ j
- 26. Operaciones con vectores Resta de vectores: C = A− B = ( axi + ay ˆ ˆ j ) − ( bx i + b y ˆ ˆ j ) C = ( a x − bx ) iˆ + ( a y − by ˆ j ) C = cxi + c y ˆ ˆ j O sea, que para la suma y resta de vectores, se tiene: c x = a x ± bx c y = a y ± by
- 27. Multiplicación de un vector por un escalar: ( C = αA = α a x i + a y ˆ ˆ j ) C = ( αa x ) iˆ + ( αa ) ˆj y C = cxi + c y ˆ ˆ j O sea, que para este caso, se tiene: cx = α ax cy = αay
- 28. Producto Escalar de dos vectores El producto escalar de dos vectores A y B es una cantidad escalar igual al producto de las magnitudes de los dos vectores y el coseno del ángulo entre los dos vectores. A ⋅ B = A B co s (θ ) P roy ección de A sobre B Proyección de B sobre A A cos θ B B A θ A θ B cos θ
- 29. Se cumplen las siguiente propiedades: A⋅ B = B⋅ A Conmutativa ( A⋅ B + C ) = A⋅ B + A⋅C Distributiva A ⋅ ( λB ) = λ A⋅ B Asociativa y El producto escalar entre ˆ vectores unitarios es: j i ⋅i = ˆ⋅ ˆ = k⋅k = 1 ˆ ˆ j j ˆ ˆ ˆ k ˆ x i z i ⋅ ˆ = ˆ⋅k = k⋅i = 0 ˆ j j ˆ ˆ ˆ
- 30. Si los vectores están expresado en componentes: A = A x i + A y ˆ + Az k ˆ j ˆ B = B x i + B y ˆ + Bz k ˆ j ˆ Entonces, se define el producto escalar como: A ⋅ B = A x B x + A y B y + Az B z Caso particular: A= B A ⋅ A = A x A x + A y A y + Az Az A ⋅ A = A x + A y + A z2 2 2 A⋅ A = A 2
- 31. Si conocemos la magnitud de y un vector, |A|, y su dirección, el ángulo θ, entonces podemos ay A calcular sus componentes de la |A | siguiente forma: j θ x ax = |A|cos(θ) 0 i ax ay = |A|sin(θ) Inversamente, si conocemos sus componentes podemos A = a 2 x + a 2 y calcular su módulo y su dirección, de la siguiente forma: ( θ = tan −1 a y / a x )
- 32. La descomposición de un vector en un plano, en vectores unitarios ortogonales, puede ser extendida al caso del espacio tridimensional. Basta considerar tres vectores ortogonales unitarios, como se aprecia en la figura. Luego, un vector arbitrario se descompone como: A ax i ay j az k