Capi10p

CAPITULO 10
CÁLCULO DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ESTRUCTURA
POR MEDIO DE LA MATRIZ A
RESUMEN
Se presenta el cálculo de la matriz de rigidez de una estructura de dos formas a saber: la
primera trabajando con toda la matriz de compatibilidad de deformaciones y la segunda que es la que
más se utiliza calculando con las submatrices de la matriz A . Se realizan una serie de ejemplos
considerando diferentes sistemas de coordenadas en los elementos.
Para que el lector pueda desarrollar los triples productos matriciales que se requieren para
calcular la matriz de rigidez, se presenta un diagrama de flujo para que el lector realice un programa
de computación. Por otra parte se presenta el uso del Programa CAL que realiza operaciones
matriciales en forma muy elemental.
10. 1 FORMULACIÓN MATRICIAL
En los capítulos anteriores se estudió con detenimiento las siguientes ecuaciones:
PAQ
pkP
qAp
t
=
=
=
Al sustituir la ecuación ( 10.2 ) en la ecuación ( 10.3 ) se tiene:
pkAQ t
=
Si en ésta última relación matricial se reemplaza la ecuación ( 10.1 ) se obtiene:
( )qAkAQ t
=
Por otra parte se conoce que:
( 10.1 )
( 10.2 )
( 10.3 )
( 10.4 )

314 Roberto Aguiar Falconí
CEINCI-ESPE
qKQ =
De las ecuaciones ( 10.4 ) y ( 10.5 ) se deduce que la matriz de rigidez de una estructura se
obtiene realizando el siguiente triple producto matricial:
AkAK t
=
donde K es la matriz de rigidez de la estructura; A es la matriz de compatibilidad de
deformaciones; k es la matriz que está conformada por las matrices de rigidez de cada uno de los
elementos de la estructura colocados en la diagonal.
Desde el punto de vista matemático, la deducción de la ecuación (10.6 ) no es rigurosa,
concretamente no se ha justificado el por qué de los paréntesis que se presenta en la ecuación
(10.4). Esta omisión por parte del autor se lo ha realizado con el propósito de non desviar la atención
del estudiante y lo más importante presentar el problema de una manera sencilla. Una demostración
más rigurosa implicaría el estudiar primero aplicaciones lineales:
nn
RRf →:
y posteriormente espacios vectoriales. Con ésta aclaración se pasa a realizar ejercicios que ayuden a
comprender el uso de la ecuación ( 10.6 ).
• EJEMPLO N.- 1
Para la estructura de la figura 10.1 cuyos elementos son axialmente rígidos, se pide calcular
la matriz de rigidez de la estructura. En las figuras 10.2 y 10.3 se presentan los sistemas de
coordenadas qQ − de la estructura y pP − de los elementos con los cuales se obtuvo la matriz
A .
Figura 10.1 Estructura de ejemplo 1 Figura 10.2 Sistema qQ −
El sistema pP − mostrado en la figura 10.3 implica que la numeración de los elementos de
la estructura es la presentada en la figura 10.4.
( 10.5 )
( 10.6 )

ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS 315
Figura 10.3 Sistema pP − Figura 10.4 Numeración de los elementos.
La matriz A que se obtiene es:
=A
−−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−−
10
1
00
10
1
10
010
001
6
1
01
6
1
00
• SOLUCIÓN
En éste capítulo no se calculará la matriz A que fue estudiada en el capítulo anterior. Es
responsabilidad del lector realizar su comprobación.
Por ser los elementos axialmente rígidos, hipótesis del ejercicio, la matriz de rigidez de
miembro para elementos de sección constante y al despreciar el efecto de corte es:
=k =
21
122
42
24
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
Para los datos numéricos del ejercicio, se tiene:
===
21
12
5
2
21
12
102
3
21
12
3
1 )3()2()1(
kkk

CEINCI-ESPE
La forma de la matriz k que consta en la ecuación ( 10.6 ) para el ejercicio es:
=
)(
)(
)(
3
2
1
00
00
00
k
k
k
k
Al sustituir los valores obtenidos se encuentra:
=
5
4
5
2
0000
5
2
5
4
0000
00
10
3
102
3
00
00
102
3
10
3
00
0000
3
2
3
1
0000
3
1
3
2
K
Al efectuar el producto matricial AkAt
se obtiene la matriz de rigidez de la estructura K .
=
080.0120.0167.0
120.0749.1474.0
167.0474.0616.1
K
10. 2 CÁLCULO DE K TRABAJANDO CON SUBMATRICES
El calcular la matriz de rigidez de una estructura por la forma propuesta en el apartado
anterior implica trabajar con matrices cuyo orden es demasiado alto. Por éste motivo se busca un
algoritmo de cálculo que conduzca a los mismos resultados pero trabajando con matrices de menor
orden. Para lograr este objetivo se recuerda que la matriz A es particionada. En efecto ésta matriz
está compuesta por submatrices, tantas como elementos tenga la estructura.
En el ejemplo anterior se tiene que las dos primeras filas de la matriz de compatibilidad de
deformaciones A corresponden al elemento 1, las dos siguientes al elemento 2 y las dos últimas al
elemento 3.
=
6
1
01
6
1
00
)1(
A

=
010
001)2(
A
=
10
1
00
10
1
10
)3(
A
En función de las submatrices, la matriz A para el ejemplo 1 es la siguiente.
−−−
−−−
=
)3(
)2(
)1(
A
A
A
A
Para el caso general la forma de la matriz de compatibilidad de deformaciones es:
=
)(
)(
)2(
)1(
......
......
.....
.....
n
i
A
A
A
A
A
Entonces la matriz
t
A resulta:
[ ]tntittt
AAAAA )()()2()1(
...................=
Al realizar el triple producto matricial AkAt
con las submatrices y considerando que la
matriz k está compuesta por las matrices de rigidez de los elementos colocados en la diagonal se
obtiene:
=
=
n
i
iiti
AkAK
1
)()()(
donde n es el número de elementos que tiene la estructura. La sumatoria se realiza hasta n cuando la
estructura analizada no tiene elementos totalmente flexibles. Para el caso de que la estructura tenga
elementos totalmente rígidos, primero la matriz A ya no tendrá n submatrices si no menos, tantas
como elementos totalmente rígidos se tengan. Luego la sumatoria ya no será hasta n.
( 10.7 )

CEINCI-ESPE
• EJEMPLO N.- 2
Por el procedimiento descrito en el apartado 10.2 calcular la matriz de rigidez de la estructura
presentada en la figura 10.5. Cuyo elemento vertical es transversalmente rígido.
Figura 10.5 Figura 10.6 Sistema qQ − Figura 10.7 Sistema pP −
• SOLUCIÓN
En las figuras 10.6 y 10.7 se presentan los sistemas qQ − y pP − respectivamente, para
los cuales se obtuvo la matriz A que es la siguiente:
=A
−−−−−−−−
0
1
0
1
1
10
H
L
L
Para el ejemplo se tiene:
=)1(
k
H
EAo
=)2(
k
L
EA
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
o
oo
oo
00
0
42
0
24
El resultado de los productos matriciales reporta:

=)1()1()1(
AkA t
H
EAo
0
00
=)2()2()2(
AkA t
+
32
2
2
126
64
L
EI
L
EI
L
EI
L
HEA
L
EI
oo
ooo
=K
H
EAo
0
00
+
+
32
2
2
126
64
L
EI
L
EI
L
EI
L
HEA
L
EI
oo
ooo
=K
+
+
H
EA
L
EI
L
EI
L
EI
L
HEA
L
EI
ooo
ooo
32
2
2
126
64
10. 3 CÁLCULO DE K CON CUALQUIER SISTEMA pP −
En los ejercicios que se han resuelto en éste capítulo, se ha venido trabajando con el
siguiente sistema de coordenadas de elemento.
Figura 10.8 Sistema de coordenadas pP − .
Lo más común es trabajar con el sistema pP − indicado en la figura 10.8. Pero en general
se puede calcular la matriz de rigidez de una estructura con cualquier sistema de coordenadas de
miembro como se ha indicado en los capítulos anteriores. Con el propósito de ilustrar lo anotado en
este apartado se repasa lo estudiado para el sistema de coordenadas del elemento indicado en la
figura 10.9 para posteriormente realizar ejercicios con éste sistema.
Figura 10.9 Sistema de coordenadas pP −

CEINCI-ESPE
Para éstas coordenadas, las deformaciones de un elemento, son:
123
1122
121
θθ
θ
−=
−−=
−=
p
Lvvp
uup
La matriz de rigidez para el sistema indicado en la figura 10.9 al no considerar el efecto de
corte es:
=k
−
−
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EA
46
0
612
0
00
2
23
A manera de repaso se presenta a continuación los valores con los cuales se obtienen las
deformaciones de un elemento y la respectiva matriz de rigidez para el caso de un elemento
axialmente rígido que se indica en la figura 10.10 y para el caso de un elemento transversalmente
rígido que se indica en la figura 10.11.
Figura 10.10 Elemento ∞=A Figura 10.11 Elemento ∞=I .
122
1211121
θθ
θ
−=
−=−−=
p
uupLvvp
=k
−
−
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
46
612
2
23
=k
L
EA
• EJEMPLO N.- 3
Calcular la matriz de rigidez para la estructura indicada en la figura 10.1, para el sistema de
coordenadas qQ − indicado en la figura 10.2, si ahora el sistema de coordenadas de los elementos
es el indicado en la figura 10.12.

• SOLUCIÓN
Por ser el sistema pP − muy poco usual se procede a calcular los términos de la primera
columna de la matriz A para el efecto en la figura 10.13 se presenta la deformada elemental 1q . Es
conveniente que el lector analice elemento por elemento para el cálculo de las deformaciones.
Para el elemento AB , las condiciones de borde que únicamente 12 =θ , las restantes
coordenadas del elemento son nulas. Las deformaciones del elemento AB son:
Figura 10.12 Sistema pP − Figura 10.13 Deformada elemental 1q
101
06000
122
1121
=−=−=
=∗−−=−−=
θθ
θ
p
Lvvp
De la figura 10.13 se observa que para el elemento BC solamente 11 =θ y las demás
coordenadas son nulas. Luego las deformaciones valen:
110
104104100
4
3
−=−=
−=∗−−=
p
p
Para el elemento CD las deformaciones son nulas, lo que se aprecia en la figura 10.13. Por lo
tanto 065 == pp .
Se han utilizado las fórmulas indicadas para elementos axialmente rígidos. Se deja al lector el
cálculo de la segunda y tercera columna de la matriz de compatibilidad de deformaciones que resulta.
−
−−
−−−−−−−−−−−−−−
−
−
−−−−−−−−−−−−−−
−
=
010
1100
011
00104
001
100
A
Ahora se evalúa la matriz de rigidez de cada elemento con la siguiente ecuación:

CEINCI-ESPE
=k
−
−
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
46
612
2
23
Al reemplazar valores se tiene:
−
−
=
−
−
=
−
−
=
5
4
25
3
25
3
125
3
10
3
80
9
80
9
10160
9
6
4
6
1
6
1
18
1
)3()2()1(
kkk
Los resultados del triple producto matricial son:
=
=
=
024.0120.0000.0
120.0800.0000.0
000.0000.0000.0
000.0000.0000.0
000.0949.0474.0
000.0474.0949.0
056.0000.0167.0
000.0000.0000.0
167.0000.0667.0
)3()3()3(
)2()2()2(
)1()1()1(
AkA
AkA
AkA
t
t
t
)3()3()3()2()2()2()1()1()1(
3
1
)()()(
AkAAkAAkAAkAK ttt
i
iiti
++==
=
=
080.0120.0167.0
120.0749.1474.0
167.0474.0616.1
K
Nótese que se obtuvo el mismo resultado en el ejemplo 1 esto no es una casualidad. La
matriz de rigidez es la misma por que el sistema de coordenadas de la estructura qQ − es el mismo.
Para terminar con éste subapartado se menciona el hecho de que se puede calcular K empleando
diferentes sistemas de coordenadas de elemento como se verá en el siguiente ejemplo.
• EJEMPLO N.- 4
Para la estructura del ejemplo 3, calcular la matriz de rigidez de la estructura K usando el
sistema pP − que se indica en la figura 10.14

Figura 10.14 Sistema pP − para cada elemento.
• SOLUCIÓN
Con el sistema pP − de la figura 10.14 la matriz de compatibilidad de deformaciones resulta
−
−−
−−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−−
−
=
010
1100
010
001
001
100
A
Las diferentes matrices de rigidez de los elementos son:
=)1(
k
−
−
=
−
−
6
4
6
1
6
1
18
1
46
612
2
23
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
=)2(
k
102
3
21
12
42
24
=
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
=)3(
k
−
−
=
−
−
5
4
25
3
25
3
125
3
46
612
2
23
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
Si se observa con detenimiento los ejemplos 1 y 3, se ve que
)1()1()1(
AkA t
y
)3()3()3(
AkA t
se realizó en el ejemplo 3 y que el producto
)2()2()2(
AkA t
se lo ejecutó en el
ejemplo 1. Por lo tanto la matriz de rigidez de la estructura K tiene que ser la misma.

CEINCI-ESPE
10. 4 EDIFICIO DE CORTE
Por ser importante dentro del Análisis Sísmico de Estructuras y por considerar que es
oportuno tratarlo en este punto se procede a calcular la matriz de rigidez para el modelo numérico de
cálculo que se conoce con el nombre de Edificio de Corte, previamente se describe el modelo. El
edificio de corte está constituido por vigas infinitamente rígidas y columnas axialmente rígidas, en los
cuales la masa está concentrada a novel de entrepiso. Su denominación proviene de la analogía de
éste con la viga en voladizo de masa y rigidez uniforme distribuida cuyas deformaciones se deben
exclusivamente al esfuerzo de corte.
• EJEMPLO N.- 5
Para la estructura de la figura 10.15, edificio de corte de dos pisos, se presenta en las figuras
10.16 y 10.17 los sistemas de coordenadas de la estructura qQ − y de elemento pP − . Se desea
encontrar la matriz de rigidez de la estructura.
Figura 10.15 Figura 10.16 Figura 10.17
−
−
−−−−−−−−−−
−
−
−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−
22
22
22
22
1
1
1
1
11
11
11
11
0
1
0
1
0
1
0
1
HH
HH
HH
HH
H
H
H
H
=A

• SOLUCIÓN
Nótese que los elementos horizontales no contribuyen a la formación de la matriz de rigidez
de la estructura. De acuerdo a la matriz A se tiene que los elementos 1 y 2 corresponden a las
columnas de la planta baja y los elementos 3 y 4 a las columnas de la primera planta alta.
=)1(
k
21
122
1H
EIo
=)2(
k
21
122
1
1
H
EI
=)3(
k
21
122
2
2
H
EI
=)4(
k
21
122
2
3
H
EI
Luego de efectuar
=
=
4
1
)()()(
i
iiti
AkAK se obtiene:
=K
++−
+−+++
3
2
2
3
2
2
3
2
2
3
2
2
3
2
2
3
2
2
3
2
2
3
2
2
3
1
1
3
1
12121212
121212121212
H
EI
H
EI
H
EI
H
EI
H
EI
H
EI
H
EI
H
EI
H
EI
H
EIo
Por otra parte se define a nk como la rigidez del piso n, de la siguiente manera:
=nk
j
i n
i
H
EI
3
12
donde nH es la altura del entrepiso n; iI es el momento de inercia de la columna i en el piso n; E
es el módulo de elasticidad del material; j es el número de columnas en el piso n. Para la estructura
que se analiza se tiene que la rigidez del piso 1 es:
=1k 3
1
1
3
1
1212
H
EI
H
EIo
+
Para el piso 2, la rigidez de piso vale:
=2k 3
2
3
3
2
2 1212
H
EI
H
EI
+
Con ésta notación la matriz de rigidez de la estructura para el pórtico de la figura 10.15, es:
−
−+
=
22
221
kk
kkk
K
Al generalizar los resultados obtenidos en el ejemplo 5, para un edificio de corte de n pisos
como el mostrado en la figura 10.18, para el sistema de coordenadas de la figura 10.19, la matriz de
rigidez es la siguiente:

CEINCI-ESPE
−
−+−
−+−
−+
=
nn kk
kkkk
kkkk
kkk
K
....0000
............................
0..........................
0.......0
0......0
0......00
4433
3322
221
Figura 10.18 Edificio de Corte Figura 10.19 Sistema de coordenadas.
La matriz de rigidez es simétrica, en la cual los términos de la diagonal son 21 kk + ; 32 kk + ;
43 kk + ; 54 kk + ; …. hasta nk y los elementos de las diagonales adyacentes son 2k− ; 3k− ;
4k− ; ……hasta nk− .
10.5 DIAGRAMA DE FLUJO PARA EL TRIPLE PRODUCTO MATRICIAL
Con el propósito de ayudar al lector a realizar ejercicios se incluye a continuación el diagrama
de flujo de un programa que efectúa el siguiente producto matricial: AkAt
. La nomenclatura
empleada en el diagrama es: A para la matriz A , BK para la matriz de rigidez k ; NFC es el
número de filas de la matriz A , NCA es el número de columnas de la matriz A . La matriz de
rigidez k es de orden NFA por NFA y estará conformada por las matrices de rigidez de cada uno
de los elementos colocados en la diagonal. El producto de kAt
se almacena en la matriz ATBK .
Finalmente el producto de ATBK por A se almacena en la matriz S . De tal manera que
AkAS t
= .

INICIO
NFA NCA
10
I = 1, NFA
10
J = 1, NCA
A(I,J)
10
20
I = 1, NFA
20
J = 1, NFA
BK(I,J)
20
30
I = 1, NCA
30
J = 1, NFA
ATBK(I,J) = 0.0
30
K = 1, NFA
ATBK(I,J) = ATBK(I,J)
+ A (K,J) * BK (K,J)
30
40
I = 1, NFA
40
J = 1, NCA
a

CEINCI-ESPE
A manera de resumen se indica:
1. En el lazo 10 se lee la matriz A , previamente se leyó el número de filas y columnas de ésta
matriz. Se lee toda la matriz.
2. En el lazo 20 se lee la matriz de rigidez k que está compuesta por las matrices de rigidez de
cada uno de los elementos colocados en la diagonal. En el diagrama de flujo a ésta matriz se
la ha denominado matriz BK .
3. Una vez que se han leído las matrices A y k en el lazo 30 se realiza el producto matricial
kAt
.
4. En el lazo 40 se completa el objetivo del diagrama de flujo ( )AkAt
.
5. El resultado del triple producto matricial se lo reporta en el lazo 50.
Antes de implementar el programa el lector debe dimensionar los arreglos
SATBKBKA ,,, . Si se desea ver la contribución de cada uno de los elementos en la matriz de
rigidez de la estructura, es decir si se quiere programar exclusivamente
)()()( iiti
AkA , en el lazo 20
se debe cambiar la variable NFA por NCA. Claro está que después habrá que ir sumando los
resultados parciales. Se recalca que en la forma presentada del diagrama de flujo se encuentra la
matriz de rigidez de la estructura trabajando con toda la matriz A y con toda la matriz k .
FIN
40
K = 1, NFA
50
I = 1, NFA
40
50
J = 1, NCA
50
S(I,J) = 0.0
S(I,J) = S(I,J)
+ ATBK (I,K) * A (K,J)
a
S (I,J)

10.6 USO DE CAL
Existen varias versiones del programa CAL, Computer Assisted Learning la primera versión
data de 1960 y fue dirigida por el Profesor Ray Clough en la Universidad de Berkeley en California.
Posteriormente ha sido mejorado con el concurso de varios estudiantes de post grado dirigidos por
profesores como E.L. Wilson. Es un programa netamente didáctico orientado para el estudio del
Análisis Matricial de Estructuras y para Dinámica de Estructuras.
Para utilizar CAL el usuario debe saber como se resuelve una estructura, por ejemplo y darle
al programa una serie de órdenes mediante comandos de CAL que van ejecutando cada uno de los
pasos de la solución. En el presente apartado se indican los comandos con los cuales se puede
obtener el triple producto matricial:
)()()( iiti
AkA pero también se complementa con otros comandos
básicos para álgebra matricial.
LOAD A R=? C=?
El comando LOAD crea una matriz A de R filas y C columnas. A continuación de la
definición de LOAD debe indicarse los elementos de la matriz A por filas, los mismos que
pueden estar separados por comas o por un espacio en blanco o por varios espacios en
blanco.
MULT A B C
El comando MULT crea la matriz C con el producto de las matrices A y B , siempre y
cuando sea posible realizar el producto matricial BAC =
TRAN A B
El comando TRAN obtiene la matriz B con el contenido de la transpuesta de A . De tal
manera que
t
AB =
TMULT A B C
El comando TMULT obtiene la matriz transpuesta de A y multiplica por la matriz B . El
resultado lo almacena en la matriz C . En consecuencia se tiene BAC t
= .
PRINT A
El comando PRINT imprime la matriz A por pantalla y también en el ARCHIVO.OUT donde
se almacenan todas las operaciones que se realizan con CAL. En lugar de escribir toda la
palabra PRINT puede escribirse únicamente la letra P, en la primera columna.
Todas las instrucciones que se deseen realizar se las graba en un ARCHIVO con cualquier
nombre, conviene que éste nombre tenga pocas letras. Posteriormente cuando se ejecuta el
programa CAL en la versión que se disponga el programa pregunta el nombre del archivo de
datos y una vez que el usuario da el nombre el programa le indica que el archivo de
resultados tiene el mismo nombre con la extensión OUT. Es en éste archivo en que se va
almacenando toda la secuencia de cálculo.

CEINCI-ESPE
ADD A B
El comando ADD realiza la suma de las matrices A y B el resultado lo almacena en A .
QUIT
Sirve para terminar la terminación de un grupo de comandos. Finaliza la ejecución de CAL
cuando se llega al comando QUIT se sale automáticamente del programa.
RETURN
El comando RETURN es similar al comando QUIT con la diferencia de que con el comando
RETURN no se abandona el programa CAL sino que únicamente termina la ejecución de un
bloque de trabajo que fue identificado con la sentencia SUBMIT cuando se ejecuta el
programa CAL. Por lo tanto se continúa dentro del programa y se puede ejecutar otro bloque
de trabajo.
En el archivo de datos la primera instrucción es la identificación de un bloque de trabajo esto
se lo hace con la letra B seguido de un número. Por ejemplo B1 a continuación se indica toda
la secuencia de cálculo de ese bloque y puede terminar con el comando RETURN. Después
en el archivo de datos se puede tener otro bloque de trabajo, por ejemplo B2 y su secuencia
de trabajo que finaliza con RETURN, etc. Cuando se ejecuta CAL con la sentencia SUBMIT
se especifica el bloque de trabajo que se desee calcular.
SUBMIT NAME
El comando SUBMIT va acompañado del nombre de bloque de trabajo que se desea
ejecutar. En consecuencia NAME es el bloque que puede ser B1 o B2 o el bloque que se
desea ejecutar. Se recuerda que cada bloque finaliza con el comando RETURN o QUIT.
C
La letra C en la primera columna indica al programa que lo que viene a continuación son
comentarios.
Estos son los comandos básicos con los cuales se puede obtener la matriz de rigidez de una
estructura utilizando el programa CAL. Ahora se van a indicar otros comandos que sirven
para el Álgebra Matricial.
SUB A B
El comando SUB realiza la diferencia de las matrices BA − el resultado se almacena en la
matriz A .
INVERT A
El comando INVERT obtiene la matriz inversa de A , el resultado se almacena en A de tal
manera que antes de ejecutar este comando habían determinados valores en la matriz A
después de utilizarlo se cambia el contenido con los valores de la inversa.
DUP A B
El comando DUP crea la matriz B con los mismos valores de la matriz A .

DELETE A
El comando DELETE borra el contenido de la matriz A
• EJEMPLO N.- 6
Preparar el archivo de datos para el programa CAL para ejecutar el producto matricial
)1(
1
)1(
AkA t
del ejemplo 3.
• SOLUCIÓN
B1
LOAD A R=2 C=3
0 0 -1
1 0 0
LOAD K R=2 C=2
0.556 -0.1667
-0.1667 0.6667
TMULT A K C
MULT C A D
PRINT D
QUIT
• COMENTARIOS
i) En el ejemplo al bloque de trabajo se ha denominado B1. Cuando se ejecute CAL se indicará
SUBMIT B1.
ii) En el archivo de datos indicado cuando se llegue al comando QUIT se sale del programa
CAL.
El lector puede continuar resolviendo el ejemplo 3 con CAL.
10.7 EJERCICIOS RESUELTOS
• EJEMPLO N.- 7
La estructura de la figura 10.20 está compuesta por elementos totalmente flexibles de igual
longitud y sección transversal. En las figuras 10.21 y 10.22 se presentan los sistemas qQ − y
pP − respectivamente. Se pide obtener la matriz de rigidez de la estructura.

CEINCI-ESPE
10.8 SOLUCIÓN
Para el sistema pP − indicado en la figura 10.22, la matriz A resulta.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
−
−
−
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
010000
00
1
000
10
1
000
001001
1
1
00
1
0
0
1
01
1
0
000010
00010
1
00000
1
L
L
LL
LL
L
L
Las tres primeras filas corresponden a la matriz
)1(
A , las tres siguientes son
)2(
A y las tres
últimas son
)3(
A .
Por otra parte como los elementos son de igual longitud y de igual sección transversal, la
matriz de rigidez de cada uno de ellos es la misma. Luego se tiene:
=== )3()2()1(
kkk
L
EA
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
o
oo
oo
00
0
42
0
24
La contribución de cada uno de los elementos en la matriz de rigidez de la estructura se
presenta a continuación.
=A

=)1()1()1(
AkA t
000000
000000
000000
000
4
0
6
00000
000
6
0
12
2
23
L
EI
L
EI
L
EA
L
EI
L
EI
oo
o
oo
=)2()2()2(
AkA t
−
−−−
−
−
−
−
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EA
L
EA
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EA
L
EA
oooo
oooo
oo
oooo
oooo
oo
46
0
26
0
612
0
612
0
0000
26
0
46
0
612
0
612
0
0000
22
2323
22
2323
)3()3()3(
AkA t
=
23
23
12
0
6
000
00000
6
0
12
000
000000
000000
000000
L
EI
L
EI
L
EA
L
EI
L
EI
oo
o
oo
La matriz de rigidez de la estructura se obtiene sumando la contribución de cada uno de los
elementos.
)3()3()3()2()2()2()1()1()1(
AkAAkAAkAK ttt
++=

CEINCI-ESPE
K =
−
+−−
+−
−
+
+
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EA
L
EI
L
EI
L
EI
L
EA
L
EI
L
EA
L
EI
L
EI
L
EI
SIMETRICA
L
EA
L
EI
L
EA
L
EI
oooo
oooo
ooo
ooo
oo
oo
86
0
26
0
12
0
612
0
12
00
866
12
0
12
22
323
3
22
3
3
• EJEMPLO N.- 8
Calcular la matriz de rigidez para el pórtico plano de la figura 10.23, si los sistemas qQ − y
pP − son los presentados en las figuras 10.24 y 10.25.
Figura 10.23 Figura 10.24 Sistema qQ − Figura 10.25 Sistema pP − .
• SOLUCIÓN
Las matrices de rigidez de cada uno de los elementos son:
=)1(
k
L
EA
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
o
oo
oo
00
0
42
0
24
)2(
k =
L
EAo
2
=)3(
k
L
EA
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
o
oo
oo
2
00
0
2
4
2
2
0
2
2
2
4
La matriz de compatibilidad de deformaciones es:

=A
−
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
−
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
01211
1
2
1
000
0
2
1
100
0220
2
2
00010
0010
1
0000
1
L
L
L
L
L
L
)2()2()2(
AkA t
L
EA
L
LLL
L
o2
00000
0101
00
00000
0101
2
−
−
−−
=
=)3()3()3(
AkA t
++−
++−
−
−−−
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EA
L
EI
EA
L
EI
L
EA
L
EA
L
EI
EA
L
EI
LEA
L
EI
EAEA
L
EA
EA
L
EA
L
EA
L
EA
EA
L
EA
L
EA
ooo
ooo
o
ooo
o
o
o
o
o
oo
o
o
oo
o
o
oo
2
2
3
00
2
3
22
3
2
3
22
2
3
2
2
0
222
0
222
2
232
2
=)1()1()1(
AkA t

CEINCI-ESPE
Al sumar las tres matrices correspondientes a los triples productos matriciales se obtiene K .
=K ( ) ( )
( ) ( )+
+++
+
−
++++−
−
++
L
EI
L
EI
L
EI
L
EA
L
EI
EA
L
EI
L
EA
L
EA
LEA
L
EI
EA
L
EI
EA
SIMETRICA
L
EA
L
EA
L
EI
L
EA
ooo
oo
o
oo
o
o
o
o
o
o
oo
oo
2
2
3
00
12
2
3
12
2
3
2
2
1
2
22
66
12
2
3
2
12
2
1
2
2
32
2
3
• EJEMPLO N.- 9
Para la armadura plana indicada en la figura 10.26, calcular la matriz de rigidez K si todos
los elementos tienen la misma rigidez axial EA .
Figura 10.26
• SOLUCIÓN
En primer lugar se procede a calcular la longitud de cada uno de los elementos el resultado
se indica en la tabla 1.
Tabla 1 Longitudes de las barras de ejemplo 9
Elemento Longitud
1=2=3 L
4=5 2L
6=7 3 L

En segundo lugar se determina un sistema de coordenadas generalizadas qQ − y un
sistema de coordenadas de los elementos pP − , los mismos que se indican en las figuras 10.27 y
10.28, respectivamente.
Figura 10.27 Figura 10.28
En tercer lugar se determina la matriz A tal que qAp = . Nótese que la matriz A que se
ha escrito está multiplicada por
2
1
.
=A
−
−
−−
−−
−
110000
110000
003100
000031
333100
330031
000202
2
1
. En cuarto lugar se obtiene la matriz de rigidez de cada uno de los elementos de la armadura
=== )3()2()1(
kkk
L
EA
== )5()4(
kk
L
EA
2
== )7()6(
kk
L
EA
3
Finalmente se efectúa el triple producto matricial con cada uno de los elementos y se
determina la matriz de rigidez de la estructura. El resultado que se obtiene es:

CEINCI-ESPE
=K
+−−−
+−−−
−−−
−−−−
−
−−
32603333
03263333
339300
333704
330093
330437
4L
EA
A pesar de que en éste capítulo no se ha hecho referencia a las armaduras planas, se ha
obtenido la matriz de rigidez para una de ellas siguiendo los mismos lineamientos que se han
formulado para los pórticos planos. Esto se debe a que los conceptos son generales, se aplican a
cualquier tipo de estructura. Únicamente por facilidad se ha trabajado con pórticos planos y ahora se
empieza con armaduras planas.
• EJEMPLO N.- 10
Una estructura articulada consta de tres elementos conectados en la unión A como se indica
en la figura 10.29. El elemento AC es vertical. Las secciones rectas 1A y 3A son de 50 mm
2
y 2A es
de 100 mm
2.
El valor de
23
/10200 mmNE ∗= . Calcular la matriz de rigidez de la estructura K de
acuerdo a lo formulado en el apartado 10.1, para el sistema qQ − que se indica en la figura 10.30.
• SOLUCIÓN
Considerando el sistema pP − mostrado en la figura 10.31, la matriz A es la siguiente:
=A
−−
−
−
8.06.0
0.10.0
8.06.0
Las matrices de rigidez de los elementos son:

== )3()1(
kk =
∗
=
mm
KN
L
EA
2
5000
20050
1
1
)2(
k =
∗
==
mm
KN
L
EA
5
4000
200100
2
2
=
)(
)(
)(
3
2
1
00
00
00
k
k
k
k =
200
050
002
Se realiza el triple producto matricial con la matriz A completa.
AkAK t
=
−−−
−
=
8.00.18.0
6.00.06.0
K
200
050
002
−−
−
−
8.06.0
0.10.0
8.06.0
=
56.700.0
00.044.1
K
• EJEMPLO N.- 11
Calcular la matriz de rigidez K para el pórtico plano indicado en la figura 10.32, trabajando
con los sistemas qQ − y pP − indicados en las figuras 10.33 y 10.34.
• SOLUCIÓN
Por trabajar con un sistema de coordenadas de elemento no tan común se procede a detallar
el cálculo de la matriz de compatibilidad de deformaciones A .

CEINCI-ESPE
Primera columna de A
1011 ≠== iqyq i
Figura 10.35 Deformada elemental 1q
1
1
0
124
21123
122
1121
−=−=
−=−−=
=−=
=−−=
θθ
θ
θθ
θ
p
LLvvp
p
Lvvp
Segunda columna de A
2012 ≠== iqyq i
Figura 10.36 Deformada elemental 2q
1
0
0
0
124
1123
122
1121
=−=
=−−=
=−=
=−−=
θθ
θ
θθ
θ
p
Lvvp
p
Lvvp
Por consiguiente:
=A
−
−
−−−−−−−−−
11
0
01
00
2L

La forma de la matriz de rigidez de miembro para el sistema pP − con el que se está
trabajando es:
=k
−
−
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
46
612
2
23
Al sustituir valores se tiene:
=)1(
k
−
−
1
1
2
1
1
2
1
1
3
1
1
46
612
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
=)2(
k
−
−
2
2
2
2
2
2
2
2
3
2
2
46
612
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
El resultado de los triples productos matriciales es:
=)1()1()1(
AkA t
00
0
4
1
1
L
EI
=)2()2()2(
AkA t
2
2
2
2
2
2
2
2
42
24
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
=+= )2()2()2()1()1()1(
AkAAkAK tt
+
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
42
244
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
• EJEMPLO N.- 12
Si en la estructura del problema anterior se trabaja con el sistema qQ − presentado en la
figura 10.37. Calcular la matriz de rigidez utilizando los resultados obtenidos en el ejemplo 11.
Figura 10.37

CEINCI-ESPE
• SOLUCIÓN
Al comparar las figuras 10.33 y 10.37 se encuentra que únicamente se ha cambiado la
numeración del sistema de coordenadas generalizadas, concretamente se cambió el 2 por el 1. Esto
significa por ejemplo que en este ejercicio 1q es la rotación del nudo C, mientras que en el problema
anterior 1q es la rotación del nudo B. Para encontrar la nueva matriz de rigidez se procede de la
siguiente manera:
♣ En la matriz encontrada en el ejemplo anterior se cambia la fila 1 por la fila 2, quedando:
+
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
244
42
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
♣ Finalmente se cambia la columna 1 por la columna 2, encontrando de ésta manera la matriz
de rigidez K para el sistema de coordenadas de la figura 10.37.
=K
+
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
442
24
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
L
EI
El fundamento de lo expuesto se debe a la matriz de transformación de coordenadas T .
• EJEMPLO N.- 13
Escribir directamente la matriz de rigidez para el pórtico de la figura 10.38 si el sistema de
coordenadas generalizadas es el mostrado en la figura 10.39.
Figura 10.38 Figura 10.39

• SOLUCIÓN
La forma de la matriz de rigidez para el edificio de corte presentado es:
=K
−
−+−
−+
33
3322
221
0
0
kk
kkkk
kkk
donde ik es la rigidez del piso i. De acuerdo a lo indicado en apartado 10.4 se tiene:
3331
241212
H
EI
H
EI
H
EI
k ooo
=+=
En el ejercicio se considera que todas las columnas tienen la misma sección transversal y
altura de piso. Por lo tanto:
3321
24
H
EI
kkk o
===
Luego
K =
−
−−
−
33
333
33
2424
0
244824
0
2448
H
EI
H
EI
H
EI
H
EI
H
EI
H
EI
H
EI
oo
ooo
oo
• EJEMPLO N.- 14
Si en el problema anterior la matriz =
111
011
001
T define una matriz de transformación
de coordenadas de la forma
∗
= qTq . Se pide calcular
∗
K .
• SOLUCIÓN
==∗
100
110
111
TKTK t
−
−−
−
33
333
33
2424
0
244824
0
2448
H
EI
H
EI
H
EI
H
EI
H
EI
H
EI
H
EI
oo
ooo
oo
111
011
001

CEINCI-ESPE
=∗
K
3
3
3
24
00
0
24
0
00
24
H
EI
H
EI
H
EI
o
o
o
Como se verá en los próximos capítulos es conveniente que la matriz de rigidez sea diagonal
debido a que es más fácil obtener su inversa. Por lo que se recomienda resolver el edificio de corte
en las coordenadas asterisco.
• EJEMPLO N.- 15
Demostrar que si una matriz cuadrada k de orden m es simétrica y que si A es de orden
mxn . Entonces el producto AkAt
es simétrico.
• SOLUCIÓN
Sea AkAB t
= para demostrar que la matriz resultante del triple producto es simétrica
bastará probar que BBt
= . Al obtener la matriz transpuesta de B se tiene:
( ) ( )ttttttt
AkAAkAB ==
Pero ( ) AA
tt
= ( Propiedad de las matrices) y kkt
= (Por ser simétrica la matriz de
rigidez). Luego se tiene que:
AkAB tt
=
Con lo que se ha probado que
t
BB = que era lo que se quería demostrar.
Esta propiedad que se ha demostrado, ayudará al lector a comprobar los resultados cuando
calcule la matriz de rigidez de una estructura que debe salir simétrica.
• EJEMPLO N.- 16
Demostrar que en estructuras isostáticas se cumple la siguiente propiedad:
( ) ( ) 11111 −−−−−
== tt
AkAAkAK
• SOLUCIÓN
Si la estructura es isostática se tiene que la matriz A es cuadrada y regular. En
consecuencia existe
1−
A . En estructuras hiperestáticas no se puede encontrar la inversa de la matriz
A . Con ésta introducción todo lo que se indica a continuación es válido para estructuras isostáticas.

Se sabe que:
( ) QAPPAQ
PkppkP
pAqqAp
tt 1
1
1
−
−
−
==
==
==
Al reemplazar la última ecuación en la anterior y el resultado en la primera se tiene:
( ) QAkAq t 111 −−−
=
Por otra parte se conoce que:
Al igualar éstas dos últimas ecuaciones y simplificar Q se tiene:
( ) 1111 −−−−
= t
AkAK
Pero
( ) ( ) 11111 −−−−−
=== ttt
AkAAkAKAkAK
10.8 EJERCICIOS PROPUESTOS
Trabajando con la matriz de compatibilidad completa en los ejercicios 1 y 2 encontrar la
matriz de rigidez de la estructura.
Ejercicio N.- 1

CEINCI-ESPE
Ejercicio N.- 2
En los ejercicios 3 y 4 calcular la matriz de rigidez de la estructura trabajando con
submatrices.
Ejercicio N.- 3
100
1
2
=
LA
I
o
o
Ejercicio N.- 4

Calcular la matriz de rigidez de las estructuras de los ejercicios 5 y 6 empleando dos sistemas
de coordenadas de elemento y comprobar que sale la misma matriz de rigidez.
Ejercicio N.- 5
90
1
2
=
HA
I
o
o
Ejercicio N.- 6
Ejercicio N.- 7
Calcular la matriz de rigidez de la estructura del ejercicio 6 considerando los siguientes
sistemas de coordenadas generalizadas.
Caso a

CEINCI-ESPE
Caso b
En el caso b no se ha considerado el desplazamiento lateral del pórtico. El objetivo del
ejercicio es que el lector reconozca la forma de las matrices que resultan.
Ejercicio N.- 8
Utilizando cualquier algoritmo o método encontrar la matriz de rigidez del ejercicio anterior. Se
recomienda el Método de las Rigideces sucesivas si desea impóngase alguna carga y encuentre el
desplazamiento y giros.
Ejercicio N.- 9
Para el ejercicio resuelto N.-8 interpretar cual es el sistema
∗∗
− qQ y obtener la matriz
triangular inferior unitaria.
Ejercicio N.- 10
Demostrar que ( ) AA
tt
= y demostrar que ( ) tttt
ABCCBA = . En el ejemplo resuelto
N.- 16 se consideró ya demostradas estas propiedades.
Ejercicio N.- 11
Demostrar que la matriz de rigidez de una estructura es simétrica de dos formas. La primera
por medio de la teoría de estructuras y la segunda con álgebra lineal, probando que
t
KK = .
Ejercicio N.- 12
Elaborar un diagrama de flujo que permita obtener la matriz de rigidez de un pórtico plano
cuyos elementos se consideran totalmente flexibles, siendo dato la matriz de compatibilidad de
deformaciones A

Capi10p

Más contenido relacionado

La actualidad más candente (20)

Destacado (18)

Similar a Capi10p (20)

Último (20)

Capi10p