La Integral definida

MOISES VILLENA MUÑOZ Cap 3 La Integral Definida
Objetivo:
Se pretende que el estudiante calcule integrales
definidas aplicando teoremas y propiedades
3.1 DEFINICIÓN
3.2 TEOREMA DE INTEGRABILIDAD
3.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
3.4 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
3.4.1 PROPIEDAD DE LINEALIDAD
3.4.2 PROPIEDAD DE ADITIVIDAD
3.4.3 PROPIEDAD DE COMPARACIÓN
3.4.4 PROPIEDAD DE ACOTAMIENTO
3.4.5 PROPIEDAD DE SUSTITUCIÓN
3.4.6 PROPIEDAD DE SIMETRÍA
3.4.7 PROPIEDAD DE PERIODICIDAD
3.4.8 PROPIEDAD DE LA DERIVADA DE UNA
INTEGRAL
3
43

3.1 DEFINICIÓN
Ya se ha mencionado que un problema a resolver es la determinación
del área bajo una curva )(xfy = .
El cálculo integral proporciona las herramientas para dar solución a
esta problemática.
Dividiendo la región en " " rectángulos. Observe la figura:n
Las bases de los rectángulos son de dimensión no necesariamente
igual. Las alturas de cada rectángulo estarían dadas por el respectivo valor
que se obtiene en la función f con el punto (observe la figura) que se ha
denotado como x . El área del primer rectángulo sería 111 )( xxfA ∆= , el
área del segundo rectángulo sería 222 )( xxfA ∆= ; y así , el área del
n-ésimo rectángulo sería nnn xxfA ∆= )( .
n
x
44

Observe que si tomamos 11 xx = , 22 xx = , 33 xx = , …, ii xx = , se
tienen rectángulos circunscritos; en cambio si se toma 01 xx = , 12 xx = ,
23 xx = , …, 1−= ii xx se tendrían rectángulos inscritos.
La suma de las áreas de los rectángulos sería:n
( ) ( ) ( ) ( ) nn xxfxxfxxfxxf ∆++∆+∆+∆ K332211
Que de manera abreviada tenemos:
( )∑=
∆
n
i
ii xxf
1
Bien, lo que se quiere es el área de la región, por tanto se debería
considerar una suma de una cantidad muy, pero muy grande de
rectángulos, es decir una suma infinita. Por tanto, el área de la región
estaría dada por:
( ) ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
∆= ∑=
∞→
n
i
ii
n
xxflímA
1
De aquí surge la definición de Integral Definida.
Sea f una función que está definida en el intervalo [ ].ba,
Al ( ) ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ ∆∑=
∞→
n
i
ii
n
xxf
1
lím se le denomina la integral definida (o
integral de Riemann) de f de " " a "b" y se denota de laa
siguiente manera: .∫
b
a
dxxf )(
Además, si existe este límite decimos que f es integrable
en [ ].ba,
Ahora, con el siguiente teorema dejamos sentado el hecho de cuando
una función es integrable.
45

3.2 TEOREMA DE INTEGRABILIDAD
Si f es acotada en [ ]ba, y si f es continua a excepción de
un número finito de puntos, entonces f es integrable [ ]ba, .
En particular si f es continua en todo [ ]ba, entonces es
integrable en [ ]ba,
Ejemplo
Hallar el área bajo la curva
2
)( xxf = en [ ]3,1
SOLUCIÓN:
Aplicando la definición (Suma de Riemann) se tiene:
])()()()([lím)(lím 33221
1
1 nn
n
i
n
ii
n
xxfxxfxxfxxfxxfA ∆++∆+∆+∆=∆= ∑=
∞→∞→
K
PRIMER MÉTODO. RECTANGULOS CIRCUNSCRITOS.
Escogemos 11 xx = , 22 xx = , 33 xx = , …, ii xx =
Representando la región, tenemos:
0x 1x 2x nx
{
x∆
{
x∆
{
x∆
2
xy =
Ahora bien, observe que si tomamos a todas las particiones de igual dimensión, tendríamos
nnn
ab
x
213
=
−
=
−
=∆
y
46

10 == ax
n
xxx
2
101 +=∆+=
nn
xxxxx
4
1
2
212012 +=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=∆+=∆+= ,
nn
xxxxx
6
1
2
313023 +=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=∆+=∆+=
M
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=∆+=∆+=
n
ixixixxi
2
110
Entonces:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
3
26
3
4
3
88
6
3
2
2
3
4
23
2
3
264
23
2
3
)12)(1(2
)1(2
2
6
)12)(1(4
2
)1(42
44
1
2
44
1
2
22
1
)(
2
2
2
1
2
2
11
1
2
2
1
2
1
321
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+++=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++++=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ ++
++=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ ++
+++=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ ++
+
+
+=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
++=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
∆=
∆+∆+∆+∆=
∞→
∞→
∞→
∞→
∞→
===
∞→
=
∞→
=
∞→
=
∞→
∞→
∑∑∑
∑
∑
∑
A
nn
lím
n
n
n
n
lím
n
nn
n
n
lím
n
nn
nn
n
lím
nnn
n
nn
n
n
n
lím
i
n
i
nn
lím
n
i
n
i
n
lím
nn
ilím
xxflím
xxfxxfxxfxxflímA
n
n
n
n
n
n
i
n
i
n
i
n
n
i
n
n
i
n
n
i
i
n
n
n
L
SEGUNDO MÉTODO. RECTANGULOS INSCRITOS.
Escogemos 01 xx = , 12 xx = , 23 xx = , …, 1−= ii xx
Representando la región, tenemos:
47

Ahora, igual que el método anterior:
0x 1x 2x nx
{
x∆
{
x∆
{
x∆
2
xy =
1−nx
n
x
2
=∆ y ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
n
ixi
2
1
Entonces:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
3
26
3
4
3
810
6
3
2
2
3
4
33
2
3
264
33
2
3
)12)(1(2
)1(21
2
6
112)(14
2
)(14
1
2
44
1
2
44
1
2
22
1
)(
2
2
2
1
2
2
1
1
0
1
0
2
2
1
0
2
1
0
1210
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
++−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−+−=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡ +−
+−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −−
+−+−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ +−−
+
−
+−=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
++=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
∆=
∆+∆+∆+∆=
∞→
∞→
∞→
∞→
∞→
==
−
=
∞→
−
=
∞→
−
=
∞→
−
=
∞→
−
∞→
∑∑∑
∑
∑
∑
A
nn
lím
n
n
n
n
lím
n
nn
n
n
lím
n
nn
nn
n
lím
nnn
n
nn
n
n
n
lím
i
n
i
nn
lím
n
i
n
i
n
lím
nn
ilím
xxflím
xxfxxfxxfxxflímA
n
n
n
n
n
n
i
n
i
n
i
n
n
i
n
n
i
n
n
i
i
n
n
n
L
48

Note que el asunto no es tan sencillo. Se podría volver aún más
engorroso si la función f tuviese regla de correspondencia compleja.
El teorema siguiente nos permitirá evaluar integrales definidas de
una manera muy rápida y sencilla, liberándonos de la ideas de calcular
integrales definidas empleando su definición.
3.3 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
Sea f continua en [ ]ba, y sea cualquierF
antiderivada de f en [ ]ba, entonces:
)()()( aFbFdxxf
b
a
−=∫
Demostración:
En la expresión , haciendo)()( aFbF − nxb = y 0xa = tenemos:
)()()()( 0xFxFaFbF n −=−
Restando y sumando términos, resulta:
[ ] [ ] [
[ ]
∑=
−
−−−−
−=
−+−−+−+−=
−=−
n
i
ii
nnnnn
n
xFxF
xFxFxFxFxFxFxFxF
xFxFaFbF
1
1
0112211
0
)()(
)()()()()()()()(
)()()()(
K ]
Aplicando el teorema del valor medio para derivadas a en el intervaloF [ ]ii xx ,1−
Como es continua y diferenciable enF [ ]ii xx ,1− entonces ix∃ tal que
( )
1
1)(
)´(
−
−
−
−
=
ii
ii
i
xx
xFxF
xF
Como )()´( ii xfxF = y iii xxx ∆=− −1 entonces:
( )
i
ii
i
x
xFxF
xf
∆
−
= −1)(
)(
Despejando resulta: ( ) iiii xxfxFxF ∆=− − )()( 1 .
49

Reemplazando en tenemos:[ ]
∑=
−−=−
n
i
ii xFxFaFbF
1
1)()()()(
∑=
∆=−
n
i
ii xxfaFbF
1
)()()(
Tomando límite queda:
[ ]
∫∑
∑
=∆=−
∆=−
=
∞→
=
∞→∞→
b
a
n
i
ii
n
n
i
ii
nn
dxxfxxfaFbF
xxfaFbF
)()(lím)()(
)(lím)()(lím
1
1
La parte derecha de la última igualdad, por definición es la integral definida de en [ ].f ba,
Por tanto L.Q.Q.D.
∫=−
b
a
dxxfaFbF )()()(
Ejemplo
Hallar el área bajo la curva en
2
xy = [ ]3,1
SOLUCIÓN:
El área bajo la curva estará dada por , aplicando el teorema fundamental del calculodxxA
∫=
3
1
2
3
26
3
1
3
27
3
1
3
3
3
33
3
1
3
3
1
2
=−=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−+=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+==
∫ CCC
x
dxxA
Hemos dado solución a una gran problemática.
Observe que 0)( =∫
a
a
dxxf y
∫∫ −=
a
b
b
a
dxxfdxxf )()( ¿Porqué?
50

3.4 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
3.4.1 PROPIEDAD DE LINEALIDAD
Suponga que f y g son integrables en el intervalo
[ ba, ] y sea Rk ∈ , entonces:
1. [ ] [ ] [∫∫∫ ±=±
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()( ]
2. ∫∫ =
b
a
b
a
dxxfkdxxkf )()(
3.4.2 PROPIEDAD DE ADITIVIDAD
Si f es integrable en un intervalo que contiene a los
puntos a, b y c (no importar su orden), entonces:
∫∫∫ +=
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
Demostración:
Por el teorema fundamental del cálculo:
∫∫∫ =−=−+−=+
b
a
b
c
c
a
dxxfaFbFcFbFaFcFdxxfdxxf )()()()()()()()()(
PREGUNTA: ¿Verdadero o falso?
∫∫∫ +=
3
5
2
5
1
2
3
1
2
dxxdxxdxx
51

Ejemplo 1
Calcular
∫ donde
5
1
)( dxxf
⎩
⎨
⎧
<+−
≥−
=
3;13
3;12
)( 2
xxx
xx
xf
SOLUCIÓN:
Como tiene dos reglas de correspondencia, es decir:f
Entonces aplicando la propiedad de aditividad, tenemos:
( ) ( )
( ) ([ ])
3
38
395251
2
3
3
1
3
2
27
9
2
2
2
3
3
1213)(
5
3
2
3
1
23
5
3
3
1
2
5
1
=
−−−+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−=
−++−=
∫∫∫
x
x
x
xx
dxxdxxxdxxf
Ejemplo 2
Calcular ∫−
−−
4
2
21 dxx
SOLUCIÓN:
Para obtener las reglas de correspondencia que definen a , obtenemos la gráfica def
21 −−= xy
Entonces:
52

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
5
9
2
9
1283
2
1
9
2
9
1
2
1
1
2
1
221
2
1
3
2
3
222
331121
4
3
2
3
1
2
1
1
2
1
2
2
4
3
3
1
1
1
1
2
4
2
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−−+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−+⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+−=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+−+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−=
−++−+++−−=−−
−
−
−
−
−
−−
∫∫∫∫∫
x
x
x
x
x
x
x
x
dxxdxxdxxdxxdxx
3.4.3 PROPIEDAD DE COMPARACIÓN
Si f y g son integrables en [ ]ba, y si )()( xgxf ≤ ,
[ bax ,∈∀ ]; entonces: dxxgdxxf
b
a
b
a
∫∫ ≤ )()(
3.4.4 PROPIEDAD DE ACOTAMIENTO
Si f es integrable en [ ]ba, y si
Mxfm ≤≤ )( , [ ]bax ,∈∀ ; entonces:
( ) )()( abMdxxfabm
b
a
−≤≤− ∫
3.4.5 PROPIEDAD DE SUSTITUCIÓN
Supóngase que g tiene una derivada continua en [ ]ba,
y sea f continua en el rango de g . Entonces:
donde∫∫
=
=
=
=
=
)(
)(
)()´())((
bgt
agt
bx
ax
dttfdxxgxgf )(xgt =
Ejemplo
Calcular
∫
π
π
4
9
2
2
cos
dx
x
x
SOLUCIÓN:
53

Tomando el cambio de variable xt = entonces tenemos dtxdx 2= , y para los límites de
integración
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=⇒=
=⇒=
ππ
ππ
39
24
2
2
tx
tx
por tanto la integral en términos de t sería:
( ) 32
2
3
212
sen2sen2sen2cos22
cos
32
2
3
2
3
2
3
−=−=
−=== πππ
π
π
π
π
π
∫∫ ttdtdtx
x
t
Note que para resolver la integral anterior no es necesario aplicar la
propiedad de sustitución; la integral puede ser resulta como en el caso de
las integrales indefinidas y luego ser evaluada para x. ¿cómo sería?.
3.4.6 PROPIEDAD DE SIMETRÍA
1. Si es una función PAR entonces:f
dxxfdxxf
aa
a
)(2)(
0
∫∫ =
−
2. Si es una función IMPAR entonces:f
0)( =
∫−
dxxf
a
a
Demostraremos sólo la primera parte, la segunda es de forma
análoga y se recomienda al lector que la realice.
DEMOSTRACIÓN
Aplicando la propiedad de aditividad dxxfdxxfdxxf
a
a
a
a
)()()(
0
0
∫∫∫ +=
−−
Para la primera integral aplicando la propiedad de sustitución:
Si tomamos el cambio de variable xt −= entonces dxdt −= y para los límites de integración
. Sustituyendo resulta
⎩
⎨
⎧
=⇒−=
=⇒=
atax
tx 00
[ ]
∫∫ −−=−−
00
)()(
aa
dttfdttf
54

Por hipótesis es una función par, por tanto se cumple que y además si
invertimos los límites de integración, tenemos:
f )()( tftf =−
∫∫ =−−
a
a
dttfdttf
0
0
)()(
la última integral si xt = queda [ ]
∫∫ =−−
a
a
dxxfdttf
0
0
)()(
Finalmente L.Q.Q.D.dxxfdxxfdxxfdxxf
aaaa
a
)(2)()()(
000
∫∫∫∫ =+=
−
Ejemplo
Calcular dx
x
x
∫−
+
5
5
2
5
4
SOLUCIÓN:
Obtengamos primero )( xf − para
4
)( 2
5
+
=
x
x
xf .
44)(
)(
)( 2
5
2
5
+
−=
+−
−
=−
x
x
x
x
xf
Observe )()( xfxf −=− , por tanto es una función impar y por la propiedad de simetría,
rápidamente concluimos que:
f
0
4
5
5
2
5
=
+∫−
dx
x
x
3.4.7 PROPIEDAD DE PERIODICIDAD
Si f es periódica con período T , entonces:
∫∫ =
+
+
b
a
Tb
Ta
dxxfdxxf )()(
DEMOSTRACIÓN
En la integral , haciendo cambio de variable
∫
+
+
Tb
Ta
dxxf )( Txt −= .
55

Del cambio de variable se obtiene Ttx += , dtdx = y los límites para la nueva variable son:
⎩
⎨
⎧
=⇒+=
=⇒+=
atTax
btTbx
Reemplazando, resulta: y como, por hipótesis, es una función
periódica se cumple que
∫∫ +=
+
+
b
a
Tb
Ta
dtTtfdxxf )()( f
)()( tfTtf =+ , entonces
∫∫ =+
b
a
b
a
dttfdtTtf )()(
Que finalmente, si xt = quedaría L.Q.Q.D.
∫∫ =
+
+
b
a
Tb
Ta
dxxfdxxf )()(
3.4.8 PROPIEDAD DE LA DERIVADA DE UNA INTEGRAL
Algunos autores le llaman Segundo Teorema fundamental del
Cálculo.
Sea f continua en [ ]ba, y sea " x " un punto variable
de . Entonces:),( ba
)()( xfdttf
dx
d x
a
=⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∫
Ejemplo 1
Calcular
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+∫
x
x dt
t
t
D
2
2
2
3
17
SOLUCIÓN:
Aplicando la propiedad anterior, rápidamente concluimos que:
1717 2
2
3
2
2
2
3
+
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+∫ x
x
dt
t
t
D
x
x
56

Ejemplo 2
Calcular
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+∫
2
2
2
3
17
x
x dt
t
t
D
SOLUCIÓN:
Invirtiendo los límites de integración y aplicando la propiedad, concluimos que:
1717 2
2
3
2
2
2
3
+
−=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−
∫ x
x
dt
t
t
D
x
x
La propiedad anterior puede ser generalizada de la siguiente manera:
[ ]
dx
du
ufdttf
dx
d
xu
a
)()(
)(
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∫
Ejemplo 3
Calcular
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+∫
3
2
2
2
3
17
x
x dt
t
t
D
SOLUCIÓN:
Aplicando la propiedad, concluimos que:
( )
( )
( )
17
3
3
1717 6
2
13
2
23
2
3
3
2
2
2
3
3
+
=
+
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+∫ x
x
x
x
x
dt
t
t
D
x
x
Ejemplo 4
Calcular
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+∫
3
2
172
2
3x
x
x dt
t
t
D
SOLUCIÓN:
Aplicando la propiedad de aditividad, tenemos que:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
+
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+ ∫ ∫∫
0
0
2
2
3
2
2
3
2
2
3
2
33
2
171717
x
x
x
x
x
x dt
t
t
dt
t
t
Ddt
t
t
D
Derivando cada término y aplicando la propiedad, resulta:
57

( )
( )
( )
( )
)3(
17
)2(
17
1717
17171717
2
23
2
3
3
22
2
3
2
0
2
2
3
0
2
2
3
0
2
2
3
0
2
2
3
0
0
2
2
3
2
2
3
32
3
22
3
x
x
x
x
x
x
dt
t
t
Ddt
t
t
D
dt
t
t
Ddt
t
t
Ddt
t
t
dt
t
t
D
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
+
−=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
−=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
+
∫∫
∫∫∫ ∫
FINALMENTE:
17
2
17
3
17 4
4
6
2
13
2
2
3
3
2
+
−
+
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+∫ x
x
x
x
dt
t
t
D
x
x
x
Ejemplo 5
Calcular
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
∫
x
x xtdtD
1
SOLUCIÓN:
Observe que por tanto:
∫∫ =
xx
tdtxxtdt
11
( )
( ) ( )
( )
2
1
2
3
2
1
2
2
1
2
2
2
2
1
2
1
11
11
−=
+−=
+=
•+•=
⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
•+
⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
•=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
•=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
∫
∫∫
∫∫
x
x
x
x
t
xxtdt
tdtDxtdtxD
tdtxDxtdtD
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
58

Ejemplo 6
Calcular
x
dtt
x
x
∫ −
→
0
2
0
1
lím
SOLUCIÓN:
La expresión presenta una indeterminación de la forma:
0
0
Aplicando la regla de L´Hopital, tenemos:
[ ]
1
1
01
1
1
lím
1
lím
22
0
0
2
0
=
−
=
−
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
→→
∫ x
xD
dttD
xx
x
x
x
Ejercicios Propuestos 3.1
1. Calcular
a. si( ) ,
3
2
∫−
dxxf
( )
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≤<−
≤≤−
=
31,21
12,2 2
xx
xx
xf
b.
∫ −
4
0
1 dxx
c.
∫−
−
4
2
13 dxx
d. ( )dxxx
∫−
−+−
4
2
213
e. dxx
∫−
−−
5
2
21
f.
∫
10
0
dxx
g. [ ]( )
∫ −
4
0
dxxx
h.
∫
4
9
2
2
cos
π
π
dx
x
x
i.
( )∫ ++
+
1
0
22
14
2
dx
xx
x
j. ( )[ ]
∫ −+
1
0
33cos3 dxxx
k. ( )
∫ π
2
1
0
2sen dxx
l. dxx
∫ −
5
0
2
9
m. ( ) ( )
∫ +−
e
dxxxx
1
2
ln32
n.
( )∫−
+
1
1
42
3
1
dx
x
x
o. ( )∫−
−
100
100
3972
3 dxxxsenx
2. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: Si es verdadera demuéstrela y en caso de ser
falsa de un contraejemplo.
a. Si ( ) ( )xgxf ≤ en [ ] ( ) ( )
∫∫ ≤
b
a
b
a
dxxgdxxfba ,,
b. ( ) ∫∫ =++
−
99
0
2
99
99
23
2 dxbxdxcxbxax
59

c. Si f es periódica con período T, entonces: ( ) ( )
∫∫ =
+
+
b
a
Tb
Ta
dxxfdxxf
d. ,f∀ ( ) ( )
∫∫
−
−
=−
a
b
b
a
dxxfdxxf
e. Si es una función parf [ ]aax ,−∈∀ , entonces ( )
∫∫ =
−
aa
a
dxxfdxxf
0
)(2
f. Si ( ) ( )xgxf ≤ en [ ]ba, , entonces ( ) ( )
∫∫ ≤
b
a
b
a
dxxgdxxf
g. Si ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( )aGbGaFbFbaxxGxF −=−∈∀′=′ ,,
h. Sea g una función derivable y supóngase que es una antiderivada de . EntoncesF f
( )( ) ( ) ( )( )
∫ +=′ CxgFdxxgxgf
3. Encuentre si toma las siguientes reglas de correspondencia:f ′ f
a. dt
t
xx
∫ −
lnsen
0
1
1
b. dtt
xx
tanxx
∫ −
sec2
ln
3 5
3
1
c. dt
t
xx
e
xxe
∫ −
3
secln
2
1
d.
∫
+
−
xx
x
dt
t
t
sen
4 5
3
2
1
2
e.
( )
( )
∫+
−
−
tanxx
x
dt
tt
t
sen
1ln
3
3
2
sencos
1
f.
∫ −
+
2
3
2
log6
cos1
sen1
x
x
dt
t
t
4. Determine:
a.
( )
3
0
2
0
lim
x
dttsen
x
x
∫
→
b.
1
lim 1
1 −
∫
+
→ x
dtsent
x
x
c.
x
dte
x
t
x
∫ −
∞→
+
1
1
lim
d.
2
0
2
2
51 ⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−∫
x
t
dt
dx
d
60

Misceláneos
1. A cada una de las proposiciones siguientes, califíquelas como Verdadera o Falsa. En cada caso justifique su
respuesta.
a) Si es una función continua en el intervalo´f [ ]ba , entonces
[ ] [ ]
∫ −=
b
a
afbfdxxfxf 22
)()()´()(2
b) Si entonces0)( =
∫
b
a
dxxf 0)( =xf para [ ]bax ,∈∀
c) Si es una función continua enf IR , entonces:
( ) ( )2
2
1
)(
2
xf
x
arctgxf
dxxf
dx
d
arctgx
x
−
+
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∫
d) [ ] ( ) INn
nn
dxx
n
∈
+
=
∫
+
;
2
1
1
0
e) Si yf g son funciones impares y continuas en IR , entonces
( )( ) 0
5
5
=
∫−
dxxgf o
f) 4
4
4
121
2
xxdttD
x
x +=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
∫
g)
∫−
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−+
2
2
434
6415
2
dxxxxex x
h) Si yf g son funciones continuas en el intervalo [ ]1,0 entonces
( ) ( ) ( ) ( )
∫∫ −=−
1
0
1
0
11 dxxgxfdxxgxf
i) Si entonces para0)( ≥
∫
b
a
dxxf 0)( ≥xf [ ]bax ,∈∀
j)
∫ ∫=
π
π
2
2
2
0
4 senxdxdxsenx
k) Si y entonces3)(
3
0
=
∫ dxxf 7)(
4
0
=
∫ dxxf 4)(
3
4
−=
∫ dxxf
l)
∫∫ +≥
1
0
2
1
0
1 dxxxdx
61

m) Si es una función continua enf IR tal que para cualquier número real x ,
entonces es una función impar.0)()(
1212
==
∫∫−
x
x
x
x
dttfdttf f
n) Si es una antiderivada de la dunción , entoncesF f
∫ +=+ dxxfxF )12()12(
o) Si es una función continua en el intervalof [ ]5,2 y entonces7)(
5
2
=
∫ dxxf
7)(
5
2
−=
∫
−
−
dxxf
p) Si es una función tal quef 0cos3)(2
2
0
=+
∫ dttxf
x
entonces xxxf cos3)´( −=
q) Si yf g son funciones tales que y para todo
x
xexf =)( )()( xgxf ≥
[ ]1,0∈x entonces .( )
∫ ≤
1
0
1dxxg
r) Si [ ] 1)(0,2,0 ≤≤∈∀ xfx entonces 1)(0
2
0
≤≤
∫ dxxf
s) Si es una función continua en el intervalof [ ]10,0 y
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
∫
2
3
0
2
1
)(
x
t
x dt
t
e
Dxf para
[ ]10,0∈x entonces 3
5
3
)1´( ef = .
t)
∫∫ =
ππ 2
2
2
2
cos dxxdxsenx
u) π
ππ
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∑=
+∞→ n
i
n
n
i
n
coslim
1
v)
2
coslim 2
1
0
π
=
∑=
→
i
n
i
p
x donde { }ixmaxp ∆= . p es una partición del intervalo [ ]π,0 .
w) Si , entonces( ) 1)(2
2
1
2
=+
∫−
dxxxf 1)(
2
1
−=
∫−
dxxf
62

x)
( )
3
1
lim
2
3
0
2
0
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∫
+
→
xtg
dttsen
x
x
y) 1
2
lim 2
1
2
1
−=
∑=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
∞→
e
n
e
n
i
n
i
n
z)
∫∫
++
=∈∀
ππ 22
cos,,
b
b
a
a
xdxdxsenxRba
2. Calcular
a.
( )
3
0
0
cos1
lim
x
dtt
x
x
∫ −
→
b.
( )∫ −
2
1
2
3
2
6
1
dx
x
c.
∫
2
0
32
cos
π
xdxxsen
d.
∫ ++
2
1
2
22
3
dx
xx
e.
( )
6
0
2
0
2
lim
x
dttsen
x
x
∫
→
f. [ ]( )
∫ −
3
0
2 dxxx
g. ( )
∫−
−−+
3
2
21 dxxxx
h.
∫ −+
5
1
12
1
dx
x
i.
∫ −
−
4
2
3
4
dx
xx
x
j.
∫ +
5ln
2ln
2
16
12
dt
e t
k. ( )
∫−
−−
21
2
312 dxx
l.
∫−
+
3
2
32 dxx
m.
∫
+
π
π
2
2
2
cos1
dx
x
n.
( )
3
0
2
0
2
1
lim
x
dt
t
tsen
x
x
∫ +
→
o.
∫−
−−
4
3
32
dxe
x
p.
( ) dxe
x
xsen x
∫−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
2
2
2
3
1
63

3. Si es una función tal que . Determine los intervalos donde el
gráfico de es cóncava hacia arriba.
f ( )∫ ∈+−= −
3
32
,56489)(
x
t
IRxdtettxf
f
4. Si yf g son funciones tales que , y , entonces calcule
el valor de
3)(
4
1
=
∫ dxxf 2)(
7
4
−=
∫ dxxf 6)(3
7
1
=
∫ dxxg
[ ]
∫ +
1
7
)()(5 dxxgxf
64

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