Capitulo 4

Matemáticas Financieras Capítulo 4. Bonos y obligaciones
Ricardo Coronado Velasco 1
4. Bonos y obligaciones
4.1 Conceptos básicos
Las obligaciones o bonos son documentos o títulos de crédito emitidos por un go-
bierno o una empresa privada, a un plazo establecido, que ganan intereses pagaderos a
intervalos de tiempo claramente determinados. Constituyen los instrumentos de finan-
ciamiento, por medio de los cuales un gobierno o una empresa privada se agencia del
dinero necesario para financiar sus proyectos a largo plazo. Pueden ser adquiridos
tanto por personas físicas como morales: la empresa o gobierno que emite las obliga-
ciones o bonos se obliga a pagarles un interés periódico y a reintegrarles su inversión
al cabo de cierto tiempo.
4.2 Tipos de bonos y obligaciones
Cuando los títulos los emite un gobierno, se les denomina bonos; cuando una empresa
privada, obligaciones o bonos corporativos.
De acuerdo con el destinatario se clasifican en:
a. Al portador, los que no tienen el nombre de su propietario.
b. Nominativos, los que lo tienen.
Por el tipo de garantía que los respalda se dividen en:
a. Fiduciarios, aquellos cuya protección la constituye un fideicomiso.
b. Hipotecarios, los que se avalan con hipoteca sobre bienes propiedad de la em-
presa emisora.
c. Prendarios, si los respaldan diversos bienes.
d. Quirografarios, cuando la buena reputación de la empresa emisora, en cuanto
al cumplimiento de sus obligaciones contraídas, los asegura.
Ahora bien, para el pago de intereses los bonos y obligaciones se emiten generalmente
acompañados de cupones. Éstos son pagarés impresos en serie, vienen unidos al título
y contienen impresa la fecha de su vencimiento. El tenedor del documento puede co-
brar el interés ganado en un determinado periodo, desprendiendo el cupón correspon-
diente y presentándolo al banco. Sin embargo, algunos bonos y obligaciones carecen
de cupones: en estos casos el interés generado se capitaliza y se paga al vencimiento
del documento. Por otro lado, existen bonos y obligaciones que no pagan intereses en
absoluto. Son los llamados de cupón cero y se venden con una tasa de descuento: su
valor de venta es inferior a su valor nominal.
4.3 Valor de una obligación
El título o documento del bono u obligación, tiene tres elementos esenciales:

1. Valor nominal: marcado en el documento, constituye el capital que el inver-
sionista inicial proporciona al emisor del título, excepto en el caso en el que el
documento se coloca con descuento.
2. Valor de redención: la cantidad que el emisor del título deberá entregar al te-
nedor del documento, cuando se venza el plazo estipulado.
3. Fecha de emisión: aquella en la que el emisor coloca en el mercado de valores
sus obligaciones o bonos.
Así, si el valor de redención es superior al valor nominal, se dice que se redime con
prima; si inferior, se redime con descuento; y, si igual, se redime a la par.
Si bien un bono u obligación tiene una fecha de vencimiento o redención (estipulada
claramente en el documento), el emisor puede redimirla antes de dicha fecha. Por su-
puesto que para poder hacerlo es necesario que el documento contenga una cláusula
de redención anticipada. Este mecanismo le permite a la empresa emisora retirar sus
títulos en circulación cuando las tasas de interés en el mercado bajan, y sustituirlos por
otros que paguen esas tasas de interés reducidas.
En cuanto a los intereses, el emisor los determina a través de una tasa de interés no-
minal, también llamada tasa de cupón. Esta tasa, dependiendo de las condiciones del
mercado financiero, puede ser:
a. Fija: vigente durante la vida del documento (y, por supuesto, establecida desde
el momento de la emisión). Previene al inversionista contra las caídas de las
tasas de interés.
b. Variable: fluctúa reflejando las condiciones del mercado prevalecientes y está
vinculada a una tasa de referencia (Cetes, TIIE, etc.).
c. Real: se calcula periódicamente con base en el valor nominal del título ajusta-
do con la inflación. Protege al inversionista contra la pérdida de poder adquisi-
tivo de su inversión.
El organismo emisor le paga los intereses al inversionista a través de una serie de cu-
pones que éste cobrará periódicamente. El valor de los cupones se calcula en términos
de interés simple con la fórmula
R = N
r
p
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ (4.1)
donde R es el valor del cupón; N, el valor nominal del bono; r, la tasa nominal o de
cupón; y p, la frecuencia de capitalización al año.
EJEMPLO 4.3.1
Una compañía emite obligaciones con valor nominal de $150.00, el 1 de octubre de
2011. Los títulos se redimen a la par, el 1 de octubre de 2012. La empresa ofrece in-

tereses de 5.5%, pagaderos en cupones que se vencen los días primeros de los meses
de enero, abril, julio y octubre de cada año. (a) Calcule el valor de los cupones. (b)
Dibuje el diagrama de tiempo correspondiente.
SOLUCIÓN
(a) De acuerdo con los datos, la frecuencia de capitalización (p) es 4. De la Ec. 4.1
tenemos
R =150
0.055
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = $2.06
(b) El diagrama de tiempo, incluyendo todas las cantidades es:
4.4 Compra y venta
El tenedor de un bono u obligación puede transferirlo (venderlo) a otro inversionista,
antes de la fecha de su vencimiento. Se dice que la transferencia es con prima, si el
valor de compra venta es mayor que el de redención; con descuento, si aquél es menor
que éste; a la par, si son iguales.
El precio que paga un inversionista interesado en la compra de los títulos se denomina
valor de mercado. La operación puede darse al vencimiento de alguno de los cupones,
denominada en fechas; o bien, antes del vencimiento del siguiente cupón, pero des-
pués del último, llamada entre fechas. En esta curso nos limitaremos al primer caso.
Además del tipo de garantía del título y de las condiciones económicas prevalecientes,
el valor de mercado se fija de acuerdo con los siguientes factores:
ü La tasa de interés nominal.
ü La tasa de interés deseada por el inversionista, conocida como de rendimiento.
ü El intervalo de tiempo para el pago de los intereses (cupones).
ü El valor de redención.
ü El tiempo que hay desde la fecha de compra hasta la de redención.

Con ellos el inversionista puede calcular cuánto está dispuesto a pagar en la compra
de un bono u obligación, suponiendo que desea un rendimiento determinado.
Para el inversionista la compra de un bono equivale a un préstamo que él hace al or-
ganismo emisor. Por lo tanto, espera un beneficio. Éste se mide en función de una tasa
de interés o rendimiento deseado, que aquí denominamos i. Esta tasa es independiente
del de la tasa de cupón r que ofrece la emisora.
Si el inversionista quiere saber cuánto debe pagar por un bono para obtener un rendi-
miento i, debe sumar el valor presente —a la fecha de la transacción— de las cantida-
des que recibirá con la compra del título.
Éstas son dos:
1. El valor M de redención del documento, al vencimiento del plazo.
2. Un número explícito de cupones de valor R, que el inversionista cobrará perió-
dicamente en el banco
El valor presente del valor de redención se obtiene con la fórmula
M 1+ i
p( )
−np
(4.2)
donde np coincide con el número de cupones que faltan por cobrar, a partir de la fecha
de la operación.
El valor presente del total de pagos R se calcula con la fórmula del de una anualidad
vencida,
R
1− 1+ i
p( )
−np
i
p
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
(4.3)
Sumando las Ecs. 4.2 y 4.3, obtenemos el valor de compra de un bono u obligación
para un rendimiento deseado:
C = M 1+ i
p( )
−np
+ R
1− 1+ i
p( )
−np
i
p
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
(4.4)
donde, C es el valor de compra venta; M es el valor de redención del título; N, el valor
nominal; r, la tasa de cupón o de interés que ofrece el emisor; i, la tasa de rendimiento

deseada por el inversionista; p, la frecuencia de capitalización por año; n, el plazo, en
años, entre la fecha de compra y la de redención; y np, el número de periodos o el
número de cupones que el inversionista recibirá a partir de la fecha de compra.
EJEMPLO 4.4.1
Una compañía emite obligaciones de $150 que se redimen a la par el 1 de julio de
2017, con intereses del 23.5%, pagaderos en cupones que vencen los días primeros de
los meses de enero, abril, julio y octubre de cada año. ¿Cuánto debería pagarse por
cada bono el 1 de octubre de 2012, si se pretende obtener rendimientos del 35% anual
con capitalización trimestral? ¿A cuánto ascienden las utilidades para el inversionista
que las compra?
SOLUCIÓN
Ya que los cupones se pagan en enero, abril, julio y octubre de cada año, se trata, por
lo tanto, de cupones trimestrales. En consecuencia, se puede decir que el interés que la
compañía ofrece es de 23.5% anual con capitalización trimestral.
Es importante verificar que las tasas i y r se expresan en el mismo periodo de capitali-
zación, lo cual en este problema se cumple.
Además, entre el 1 de octubre de 2012 y el 1 de julio de 2017 hay 19 trimestres. Por
otro lado, como el título se vence a la par, el valor de redención es igual al valor no-
minal.
Así, los datos con los que contamos son:
Variable Valor
N 150
M 150
p 4
np 19
De la ecuación (4.1), el valor de cada cupón es:
R =150 ×
0.235
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = $8.81
Luego, sustituyendo en la Ec. 4.2, el valor presente del de redención:
150 1+ 0.35
4( )
−19
= 30.47

De la misma forma, de acuerdo con la Ec. 4.3, el valor presente de los 19 cupones que
falta por cobrar es:
8.81×
1− 1+ 0.35
4( )
−19
0.35
4
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
= 80.25
Sustituyendo ambas cantidades en la Ec. 4.4,
C = 30.47 + 80.25 =110.73
Con esto queda respondida la primera pregunta: el bono tiene un valor de compraven-
ta de $110.73.
Ahora bien, la utilidad por bono es la diferencia entre lo que el inversionista recibe en
total por cada bono y su valor de compra venta.
Lo que recibe corresponde a dos rubros: (1) el valor M de redención del bono, y (2) la
suma de los 19 cupones, cada uno de valor R. Es decir, recibe
150 +19 ×8.81 =150 +167.44 = 317.44
Lo que invierte es el valor de compraventa, o sea: $110.73.
Así, si simbolizamos con U la utilidad, U = 317.44 −110.73 = $206.71, que es res-
puesta a la segunda pregunta del problema.
COMENTARIO ADICIONAL
Nótese que el valor de compra venta es menor que el de redención (110.73 < 150.00).
Entonces, la transferencia se hizo con descuento.
EJEMPLO 4.4.2
¿Cuál es el valor de compraventa de una obligación quirografaria con valor nominal
de 150, intereses del 26.75% nominal en cupones mensuales, suponiendo que se redi-
men a 115? La operación se realizó 5 años antes del vencimiento y se ofrecen al in-
versionista con un rendimiento del 27.5% de interés anual compuesto por semestres.
SOLUCIÓN
Para comenzar, recordemos que las dos tasas, r e i, se deben capitalizar en el mismo
periodo. En este caso, mensualmente. Ya que r es la tasa de cupón, su periodo es el

que rige. La tasa de rendimiento de 27.5% anual compuesto por semestres debe con-
vertirse a una equivalente compuesta por meses.
Esta tasa se puede calcular con la relación de tasas equivalentes, o bien, con las fun-
ciones financieras de una hoja de cálculo (MS Excel, por ejemplo). En el caso prime-
ro, la fórmula es
i1 = p1 1+
i2
p2
( )
p2
p1
−1
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
o sea,
i1 =12 × 1+ 0.275
2( )
2
12
−1
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ = 26.05%
es decir: la tasa del 27.5% anual de capitalización semestral es equivalente a la de
26.05% anual con capitalización mensual.
Con la hoja de cálculo de MS Excel, la tasa semestral se convierte primero a una tasa
efectiva con la función INT.EFECTIVO, luego, esa tasa se convierte a nominal con la
función TASA.NOMINAL.
Una vez realizado lo anterior, los datos del problema se resumen en la siguiente tabla:
Variable Valor
N 150
M (1.15N) 172.5
p 12
n 5
np 60
r 26.75%
i 26.05%
De la Ec. 4.1, el valor de cada cupones es
R =150 ×
0.2675
12
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = 3.34

De las Ecs. 4.2 y 4.3, los valores presentes de redención y de los 60 cupones por co-
brar son, respectivamente,
150 × 1+ 0.2605
12( )
−60
= 47.56
y
3.34 ×
1− 1+ 0.2605
12( )
−60
0.2605
12
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
=111.58
Sumando ambas cantidades, de acuerdo con la Ec. 4.4, C = $159.14, el valor de com-
pra venta.
COMENTARIO ADICIONAL
El bono se compró con un descuento de $13.36 (M – C). Además, cada bono tiene una
utilidad de $213.98.
EJEMPLO 4.4.3. CÁLCULO DEL RENDIMIENTO
Con frecuencia el inversionista conoce el valor de redención del título y el de compra,
pero desconoce cuál es la tasa de rendimiento que le proporciona el título.
Existen varias formas de resolver este problema. Una muy sencilla es utilizar la hoja
de cálculo de MS Excel. Las herramientas de análisis BUSCAR OBJETIVO o la herra-
mienta SOLVER resultan muy eficaces.
Otra manera, es emplear métodos de prueba y error.
Uno de ellos es ensayar con varias tasas en la Ec. 4.4 hasta obtener un valor de com-
para venta muy aproximado al del título. La eficacia de este método depende de la
habilidad del calculador para establecer un intervalo numérico dentro del cual esté la
tasa correcta. Un buen inicio se obtiene suponiendo i cercano a r.
También se puede empezar el proceso de prueba y error a partir de la ecuación:
[ ]
( )
2 np R M C
i
np M C
⋅ + −
=
+
(4.5)
Esta fórmula proporciona la tasa de rendimiento i en términos de la frecuencia de ca-
pitalización de r. Por lo tanto, para expresarla en términos anuales hay que multipli-
carla por p.

Para ilustrar lo anterior, suponga que le interesa calcular el rendimiento que dará un
bono comprado a $108.00, 3 años antes de su vencimiento. El título tiene un valor
nominal de $100, se redime a la par, y paga intereses del 28% anual con cupones se-
mestrales.
SOLUCIÓN
Para comenzar, el valor de los cupones es R =100 ×
0.28
2
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ = $14.00 .
Con la Ec. 4.5 calculamos el primer intento,
i =
2 np⋅ R + M −C⎡⎣ ⎤⎦
np M +C( )
=
2 6⋅14 +100 −108⎡⎣ ⎤⎦
6⋅ 100 +108( )
= 0.12179
que es la tasa semestral. La anual será: 0.12179 × 2 = 0.24359 . O sea, i = 24.359%.
Calculando el valor de compraventa (Ec. 4.4) con esta tasa, tenemos, C = 107.45. Un
valor menor al real de 108.
Ahora hay que probar con varias tasas ligeramente mayores y menores que el obteni-
do, hasta acercarse lo más posible al 108. Así, obtenemos la siguiente tabla:
24.550% 107.0372821
24.420% 107.3158555
24.359% 107.44692
24.300% 107.5739001
24.200% 107.7895998
24.100% 108.005904
24.050% 108.1142834
Como puede verse, la tasa de rendimiento que mejor se ajusta al precio de compra
venta dado es 24.1% anual, con capitalización semestral.
Para generar esta tabla el MS Excel cuenta con la poderosa herramienta de análisis
TABLA DE DATOS DE UNA COLUMNA.
4.5 Emisión
El principal emisor de bonos en México es el Gobierno Federal. Entre los más impor-
tantes están los siguientes:

§ Bonos
de
Desarrollo
del
Gobierno
Federal
con
Tasa
de
Interés
Fija
(BO-‐
NOS).
Pagan
intereses
cada
6
meses
a
una
tasa
que
se
fija
al
momento
de

la
emisión
y,
por
lo
general,
el
plazo
es
de
3
y
5
años.

§ Bonos
de
Desarrollo
del
Gobierno
Federal
(BONDES).
Hay
dos
tipos:
con

pago
de
intereses
semestral
y
protección
contra
la
inflación
(BONDES

182),
y
con
pago
de
intereses
trimestral
(BONDEST).

§ Bonos
de
Regulación
Monetaria
del
Banco
de
México
(BREMS).
Este
bono

es
de
reciente
creación
y
lo
emite
el
Banco
de
México
con
el
objeto
de
re-‐
gular
la
liquidez
en
el
mercado
de
dinero.
Paga
intereses
cada
28
días.
La

tasa
de
interés
es
variable
y
el
plazo
es,
por
lo
general,
de
tres
años.

§ Bonos
de
Desarrollo
del
Gobierno
Federal
Denominados
en
Unidades
de

Inversión
(UDIBONOS).
Su
valor
nominal
es
de
100
UDIS
y
operan
a
des-‐
cuento.
Su
principal
característica
es
que
están
ligados
al
Índice
Nacional

de
Precios
al
Consumidor
con
el
fin
de
proteger
al
inversionista
de
las
al-‐
zas
inflacionarias.
El
plazo
de
este
tipo
de
bonos
es
de
182
días
y
sus
múl-‐
tiplos.
Los
intereses
se
generan
en
UDIS
y
se
pagan
cada
182
días.

§ Bonos
de
Protección
al
Ahorro
Bancario
(BPAs).
El
emisor
de
estos
bonos

es
el
Instituto
de
Protección
al
Ahorro
Bancario
(IPAB).
El
plazo
es
de
3
o

5
años
y
el
pago
de
los
intereses
es
cada
28
días.

4.6 Tasa de interés a largo plazo
Un bono o una obligación constituye la promesa de realizar dos acciones: hacer pagos
periódicos de intereses y redimir el título a su vencimiento.
Los rendimientos de los bonos y obligaciones tienden a aumentar o disminuir con el
tiempo. A medida que las tasas de interés suben, los precios de las obligaciones dis-
minuyen; y viceversa: si aquellas bajan, estos aumentarán hasta el punto cercano al
precio que una sociedad anónima pueda recurrir al retiro de las obligaciones de la cir-
culación.
Una forma de evitar problemas concernientes al riesgo de que las obligaciones sean
retiradas anticipadamente, consiste en comprar la que hayan estado en mercado duran-
te varios años. El rendimiento al vencimiento sobre emisiones ya maduras constante-
mente se ajustan a las tasas vigentes respecto de nuevas emisiones.
En cualquier momento determinado, el rendimiento sobre emisiones más viejas será
inferior al de las nuevas emisiones, pero esto se compensará en parte por impuestos
sobre la renta más bajos que se pagarán sobre las ganancias de capital que representan
diferencias entre los precios de compra y redención.

4.7 Problemas
Transferencia de bonos y obligaciones
1. La compañía Aeronaves del Sureste, emite obligaciones con valor nominal de
$200 pagando intereses del 33% anual con cupones que vencen al decimoquin-
to día de los meses de enero, mayo y septiembre de cada año. ¿Cuál es el pre-
cio de cada obligación el 15 de mayo de 2002, si se redimen a la par el 15 de
septiembre de 2009 y se pretenden rendimientos del 42% anual compuesto por
cuatrimestres?
2. ¿Una obligación de $100 de la Siderúrgica del Norte, paga intereses del 18%
anual compuesto por cuatrimestres. ¿Cuál es el valor de compraventa el 1 de
febrero si vence a la par el 1 de octubre del año siguiente y se pretende un ren-
dimiento del 16% nominal cuatrimestral?
3. Encuentre el precio de compraventa el 15 de agosto de 2002, de una obliga-
ción hipotecaria con valor nominal de $300, paga intereses del 16% anual en
cupones trimestrales, se desea un rendimiento del 18% anual compuesto por
trimestres y además:
a. Se redime a la par el 15 de agosto de 2006
b. Se redime a 120 el 15 de noviembre de 2005
c. Se redime a 72 el 15 de febrero de 2007
Prima y descuento
1. El 15 de abril de 2000, Arrendamiento Dinámico, S. A. emitió obligaciones
quirografarias con valor nominal de $150, y vencimiento el 15 de junio de
2007. Obtenga el valor de compraventa y la prima el 15 de octubre de 2001
suponiendo que se redimen a la par, pagan intereses del 26.4% en cupones bi-
mestrales que vencen el decimoquinto día de los meses pares de cada año, y
ofrecen rendimientos del 23.70% anual capitalizable por bimestres.
2. El 10 de enero de 2002, una compañía de televisión emite obligaciones con va-
lor nominal de $300, que se redimen a 98 el 10 de enero de 2007 y pagan in-
tereses del 33% anual, el décimo día de enero, abril, julio y octubre de cada
año. Obtenga el valor de compraventa y la prima, o descuento, el 10 de octubre
de 2003 considerando rendimientos del 36.8% anual capitalizable por trimes-
tres.
3. Una obligación con valor nominal de $100 devenga intereses del 30% pagade-
ros en cupones que se cobran el tercer día de los meses de enero, mayo y sep-
tiembre de cada año. Obtenga el valor de compraventa, las utilidades y la pri-
ma o el descuento para un inversionista, que las adquiere el 3 de septiembre de
2001, ganando el 30.6% anual capitalizable por cuatrimestres, suponiendo que:
a) Se redimen a la par el 3 de enero de 2005
b) Se redimen a 95 el 3 de mayo de 2004

Valor contable
1. ¿En cuánto se negocian el 10 de octubre de 2001, las obligaciones con valor
nominal de $200, se redimen a 112 dentro de 3 años, pagan intereses del 11%
en cupones semestrales y ofrecen rendimiento con intereses del 28.6% anual
capitalizable por semestre? Haga el cuadro de amortización de la prima o
acumulación del descuento.
2. La compañía Galletas Mexicanas, S A, colocó en el mercado bursátil, obliga-
ciones hipotecarias con valor nominal de $100, vencimiento a la par en 5 años
e intereses del 33.6% anual pagaderos en cupones cuatrimestrales. Obtenga el
valor de compraventa 2 anos después de su emisión con el 30% de rendimiento
anual compuesto por cuatrimestres. Haga el cuadro de amortización de la pri-
ma en sus primeros cuatro renglones.
3. Una empresa del ramo automotriz, emitió y colocó en el mercado de valores,
obligaciones quirografarias con denominación de $300 vencimiento a 6 años
de plazo e intereses del 25.6% anual pagaderos en cupones cuatrimestrales.
¿Cuál es su precio en el mercado, 2 años después de su emisión, si se ofrecen
con el 27.3% de rendimiento anual capitalizable por cuatrimestres? Haga el
cuadro de amortización de la prima o acumulación del descuento en sus prime-
ros renglones-y suponga que:
a) Se redimen a la par
b) Se redimen a 115

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