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CÁLCULO DIFERENCIAL E
INTEGRAL II
Dr. Juan E. Nápoles Valdes

Espacios: Espacios de n dimensiones. Espacio afín. Espacios métricos. Espacio
Euclidiano. Entornos, entornos reducidos. Clasificación de puntos : aislados, de
acumulación, interiores, exteriores, frontera. Contorno y frontera. Curvas y superficies:
Métodos de definición de curvas y superficies, familias de curvas y superficies.
Funciones: El concepto de función, dominio y rango de una función, funciones de dos y de
n variables independientes. Representación gráfica. Escala funcional. Curvas de nivel.
Superficie de nivel.
Objetivos Instructivos. Con esta clase pretendemos que los alumnos sean capaces de conocer:
• La clasificación de los conjuntos de puntos en el plano.
• La definición de funciones de varias variables y su representación gráfica.
UNIDAD 1

• Geometría: proporciona una representación formal
de las propiedades y estructuras abstractas dentro
de un espacio. Distancia (“cercanía”).
• Transformaciones: un grupo de transformaciones
del espacio, bajo las cuales, las proposiciones
permanecen verdaderas
Espacio de n dimensiones

Sobre la recta real, R, podíamos medir la distancia, utilizando la noción de modulo (valor
absolute), y la distancia entre a y b, dos números reales cualquiera, está dada por |a - b|.
Sea X≠ un conjunto. Una aplicación d:XxXR+ se llama métrica (o distancia) sobre X, si
verifica las siguientes propiedades (o axiomas):
1. d(x, y) = d(y, x), para todo x,yX,
2. d(x, y) = 0 , ssí x = y , d(x, y) ≥ 0, para todo x,yX,
3. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), para todo x,y,zX.
El par (X,d) se llama espacio métrico y d es la distancia o métrica sobre X.
Espacio Euclideano: modelo coordenado de espacio

Ejemplos
1) El prototipo clásico es la recta real con la distancia usual, generada por d(x, y) = |x - y|.
2) El plano R2 con la “distancia usual” (generada por el Teorema de Pitágoras):
d((x1 , y1), (x2 , y2)) = [(x1 - x2)2 + (y1 - y2)2] 1/2.
En ocasiones es llamada la distancia d2
3) El plano con la distancia de la ciudad (o del taxi), d((x1,y1),(x2,y2))=|x1-x2|+|y1-y2|.
Usualmente llamada 1-distancia o d1 .
4) El plano, con la distancia del supremo (o máximo) definida por
d((x1 , y1), (x2 , y2)) = max(|x1 - x2|, |y1 - y2| ).
Es llamada distancia infinita d∞.

Más ejemplos
Métricas sobre espacios de funciones. Sea C[0,1] el conjunto de todas las funciones reales
definidas sobre el interval [0,1].
5) Definimos la distancia entre f,g C[0,1] por
6) La distancia en media cuadrática está dada por 𝑑2 𝑓, 𝑔 = 0
1
𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) 2𝑑𝑥
7) La distancia del supremo, en este caso viene dada por
𝑑∞ 𝑓, 𝑔 = 𝑠𝑢𝑝 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) , 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
𝑑1 𝑓, 𝑔 =
0
1
𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥

Dos ejemplos más
8) Métrica Discreta. Sea X≠ un conjunto cualquiera, definimos
𝑑 𝑥, 𝑦 =
1, 𝑥 ≠ 𝑦,
0, 𝑥 = 𝑦
9) Métrica del bosque.

Bolas, entornos o vecindades
Sea (X,d) un espacio métrico , aX, 0≤r<+∞ entonces
B(a,r)={xX:d(a,x)<r}, bola abierta
𝐵(𝑎, 𝑟) = {𝑥 ∈ 𝑋: 𝑑(𝑎, 𝑥) ≤ 𝑟}, bola cerrada
E(a,r)={xX:d(a,x)=r}, esfera
Entorno reducido o entorno perforado: un entorno de un punto es un entorno reducido si el
propio punto no pertenece al mismo.

¿Existirán bolas elípticas en R2?

Sea S≠. Un punto z0 se llama un punto interior de un conjunto S
(z0So) si podemos encontrar una vecindad de
z0 cuyos puntos pertenecen todos a S. Si toda vecindad de
z0 contiene puntos pertenecientes a S y también puntos no
pertenecientes a S, entonces z0 se llama punto frontera (z0S).
Análogamente, un punto z0 se llama un punto exterior a un
conjunto S si podemos encontrar una vecindad de
z0 cuyos puntos pertenecen todos al interior del complemento de S,
exterior (z0extS).

Sea S≠. Un punto z0 se llama un punto de acumulación de S
(z0S’), si todo vecindad de z0 contiene puntos de S distintos de z0. Un
punto z0 se llama un punto aislado de S si existe una vecindad de
z0 que no contiene puntos de S. Un punto z0 se llama un punto de
adherencia (o clausura) de S (z0𝑆), si todo vecindad de z0 contiene
puntos de S. La adherencia de un conjunto (S) satisface
(S)=S’{aislados}.
Un conjunto S será abierto, cuando todos sus puntos son interiores,
SSo, será cerrado, si contiene todos sus puntos de acumulación, o
sea, si S𝑆.

Funciones de Varias Variables.

19
Una función f de dos variables es una regla que asigna a cada par ordenado de
números reales (x,y) de un conjunto D, un número real único denotado por f(x,y).
El conjunto D es el Dominio de f y su imagen es el conjunto de valores que toma
f, es decir {f(x,y): (x,y)D}.
Funciones de más variables, pueden definirse similarmente.
P(a, b)
Q(c, d)
R(m, n)
z = f(m, n)
z = f(c, d)
z = f(a, b)
z = f(x, y)
z
x
y

20
Definición: Si f es una función de dos variables con dominio D, entonces la
gráfica de f es el conjunto de los puntos (x, y, z) de R3 tales que z = f(x,y) y (x,y)
está en D.

O
Definición: Las curvas de nivel de una función f de dos variables, son las curvas con
ecuaciones f(x,y)=k, donde k es una constante (que pertenece a la imagen de f).

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