Clase5 Formas funcionales

1
Clase 5. Formas funcionales y modelos de regresión
con variables cualitativas
Nerys Ram´ırez Mordán
Pontificia Universidad Católica Madre y Maestra
Econometr´ıa I (EC-411-T)
30 de junio de 2018

2
Contenido
1 Introducción
2 Formas funcionales
Desviaciones
Forma logar´ıtmica: log-log
semi elasticidades: nivel-log
semi elasticidades: log-nivel
3 Modelos con interacciones
Modelos con interacciones
Forma cuadrática
4 Modelos de regresión con
variables dicótomas
Dummy como variable
independiente
Interacciones entre variables
binarias y cuantitativas
5 Comentarios finales sobre la
presentación
6 Referencias

4
Introducción
El análisis emp´ırico frecuentemente requiere utilizar variables de
naturaleza cualitativas y formas funcionales distinta a la conocida
hasta ahora (yi = β0 + k
j=1 βjxj + ui).
Donde βj permanece constante independientemente al valor de xj,
supuesto que no parecer muy realista en muchas aplicaciones
(Wooldridge, 2009, p.24).
Por tanto, necesitamos seleccionar la forma funcional de la
relación entre las variables.

5
Introducci´on
Fuente: Principle of econometrics.

7
Formas comunes
Tabla 1. Formas funcionales utilizadas tradicionales
Forma Modelo
Lineal y = β0 + β1x1 +
Desviación y = β0 + β1(x1 − µx) +
Logar´ıtmicos ln(y) = β0 + β1ln(x1) +
semi logar´ıtmicos ln(y) = β0 + β1x1 +
semi logar´ıtmicos y = β0 + β1ln(x1) +
cuadrático y = β0 + β1x1 + β2x2
1 +
Interacción y = β0 + β1x1 + β2x1 ∗ x2 +
Dummys (x) y = β0 + β1x1 + β2d1 +
Dummys (y) d = β0 + β1x1 +

8
—————————————————–
Desviaciones
—————————————————–

9
Desviaciones
Según Wooldridge (2009), en econom´ıa emp´ırica suelen aparecer
variables como las puntuaciones de un test -o el análisis del ´ındice
de desnutrición-, cuya interpretación en términos de unidades
pueden parecer dif´ıciles, en tales casos, suelen utilizarse los
modelos con variables estandarizadas:
w = β0 + β1
(ptest1 − µptest)
σptest
+ (1)
Ahora, el β1 se interpreta en términos de desviaciones.

10
Desviaciones de la experiencia en el salario

11
—————————————————–
Forma logar´ıtmica (elasticidades)
—————————————————–
Fuente: tomado de Principle of econometrics, p.142

12
Formas logar´ıtmicas
En muchos casos, observaremos relaciones no lineales entre las
variables, por lo que deseamos estimar versiones logar´ıtmica o
semi-logar´ıtmica de nuestros modelos, que se interpretan como
elasticidades y semi-elasticidades, respectivamente.
Modelo Var. independiente Var. dependiente Interpretaci´on
Nivel-nivel y x ∆y = β∆x
nivel-log y log(x) ∆y = (β/100) %∆x
log-nivel log(y) x %∆y = β ∗ 100∆x
log-log log(y) log(x) %∆y = β %∆x

13
Forma log-log
El modelo log-log asume la siguiente forma:
ln(y) = β0 + β1 ln(x1) + (2)
Derivando ambos lados (y
y = β1
1
x1
, dado que ln u(x) = u (x)
u(x) ), se
obtiene la derivada de la funci´on:
y = β1
y
x1
(3)
Como la elasticidad del modelo es x1 = β1
y
x1
(Hill, Griﬃths y
Lim, 2011, p.55), en el modelo logar´ıtmico esta elasticidad es β1
directamente.

14
Forma log-log
Donde el efecto marginal β1 % es llamado elasticidad. Si
obtenemos β1 =0.7, un incremento en xi de un 1 % se espera un
incremento en la esperanza condicional de la variable yi de
aproximadamente 0.7 %.

15
Forma logar´ıtmica: elasticidades en un modelo de demanda
Suponga, desea estimar la elasticidad precio de un determinado
producto, as´ı como sus elasticidades cruzadas y su elasticidad renta, a
partir de un modelo log-log:
log(q1) = β0 + β1p1 + β2p2 + β3y + u

16
—————————————————–
Forma logar´ıtmica (semi elasticidades)
—————————————————–
Fuente: Principle of econometrics, p.142

17
semi elasticidades: nivel-log
El modelo nivel-log asume la siguiente forma:
y = β0 + β1ln(x1) + (4)
Donde el efecto marginal [∂E[yi|xi]
∂xi
= β1
xi
, β1 ≈ ∆yi
∆xi/xi
] indica que
ante ∆ discreto, β1/100 es el efecto aproximado de un cambio de
1 % en xi, siendo su elasticidad igual a = dy
dx
x
y = β1
y .
Por ejemplo, si β1 = 75, ante un incremento en xi igual al 1 %, se
espera un incremento en la variable independiente en
aproximadamente 0.75 (β/100) unidades.

18
Forma nivel-log: semi-elasticidades en un modelo de demanda
En este caso, expresamos el cambio en (β/100) unidades en y, tras el
cambio porcentual en una de las variables independientes.
q1 = β0 + β1log(p1) + β2log(p2) + β3log(y) + u

19
semi elasticidades: log-nivel
El modelo log-nivel asume la siguiente forma:
ln(y) = β0 + β1x1 + (5)
La derivada parcial seria y = β1y, por lo que la elasticidad es
igual a = dy
dx
x
y = β1x1.
Ahora β1 ∗ 100 % es aproximadamente el efecto porcentual
esperado, ante un cambio en la variable xi en una unidad.
Por ejemplo si β =0.06, ante un cambio de una unidad en la
variable independiente, esperamos en promedio un incremento en
6 % (β ∗ 100 %).

20
Forma log-lin: semi-elasticidades en un modelo de demanda
En este caso, se expresa el cambio en β ∗ 100 % esperado en la
esperanza condicional de y, tras el cambio porcentual en una de las
variables independientes.
log(q1) = β0 + β1p1 + β2p2 + β3y + u

22
interacciones
Los modelos con interacciones nos permiten analizar el efecto
conjunto de variables en los casos donde el efecto parcial de una
dependa del nivel de la otra −o de ella misma−.
y = β0 + β1x1 + β2x1 ∗ x2 + (6)
Note que ahora el efecto marginal depende del nivel de la variable
con la cu´al se ha establecido la interacci´on.
∂E [yi|x1, x2]
∂x1
= β1 + β2x2 (7)

23
Interacciones precios de la vivienda
Suponga el modelo del precio de las viviendas en función de sus
caracter´ısticas particulares:
precio = β0 + β1metro + β2habitaciones +
Pero considerar que el hecho de una casa tener una habitación más,
puede tener efectos distintos dependiendo de su tamaño:
precio = β0 + β1metro + β2metro ∗ hab + β3hab +
Ahora, el efecto de una habitación adicional es:
δprecio = [β3 + β2metro]δhab

24
Interacciones en el modelo de salario
Suponga la interacción entre experiencia y educación en el modelo de
salarios:
wage = β0 + β1educ + β2exp + β3educ · exp + u
Por tanto, el efecto de la educación queda en función de la experiencia:
δwage = [β1 + β3exp]δeduc = 0.06 + 0.045exp

25
—————————————————–
Forma cuadr´atica
—————————————————–
Fuente: tomado de Principle of econometrics, p.142

26
Forma cuadrática
El modelo de interacción que utiliza dos veces las misma variable,
es un modelo en forma cuadrática (x1 · x1 = x12).
El modelo cuadrático permite expresar rendimientos
marginales crecientes o decrecientes a partir del modelo de
regresión que adquiere la siguiente forma:
y = β0 + β1x1 + β2x2
1 + (8)
Ahora, la pendiente de la regresión depende de x1:
∆y = [β1 + 2β2x1]∆x1

27
Forma cuadrática
Supongamos el siguiente modelo, tomado de Wooldridge (2009):
salarioi = 3.73 + 0.298expi − 0.0061exp2
i + i
El valor negativo del segundo coeficiente indica rendimientos marginales
decrecientes. Un año adicional de experiencia incrementa el salario en promedio en
unos 0.298 (esto ser´ıa cierto solo cuando la experiencia pasa de 0 a 1).
0 años de experiencia: ∆y = [β1 + 2β2x]∆x= [0.298-2*0.0061*0]*1=0.298
2 años de experiencia: ∆y = [β1 + 2β2x]∆x= [0.298-2*0.0061*2]*1=0.286
Observe que cada año va incrementando el salario en un monto relativamente menor
al anterior, por lo que, este alcanza un punto de inflexión:
x∗ = β1
2β2

28
Modelos de regresi´on con variables dic´otomas

29
Variables cualitativas
El análisis emp´ırico requiere de la inclusión de variables
cualitativas de tipo binaria (sexo, rama de actividad, desempleo,
zona de residencia, entre otros), que puede ser captada empleando
variables dummys (cero - uno) (Gujarati y Poter (2009, p.277),
llaman artificiales a este tipo de variables).
Fuente: tomada de Wooldridge (2009)
Nota. El nombre de la variable, debe asumir la caracter´ısticas del grupo de
observaciones representado con el valor de 1.

30
Dummy: interpretación geométrica
Ahora, este tipo de variables (d) se pueden incluir en la regresión:
y = β0 + β1x1 + β2d1 + (9)
En el modelo anterior, la diferencia de la esperanza condicionada
entre ambos grupos es capturada por β1, que geométricamente
representa un desplazamiento del intercepto entre ambos grupos.
Fuente: tomada de Wooldridge (2009, p.228)

31
Uso de dummy en la ecuaci´on de salarios
Suponga que deseamos estudiar las diferencias salariales entre hombres
y mujeres con igual escolaridad formal -el control de otras variables,
requiere incluirla en el modelo-, por lo que, se incluye una variable
binaria llamada mujer:
salario = β0 + β1educ + β2mujer +
Donde la intersecci´on para los hombres es β0 y β0 + β1 en el caso de las
mujeres. Por lo que, la diferencia en el valor esperado del salario
condicionado al sexo y la escolaridad formal, viene dada como:
β2 = E[w|mujer = 1, educ] − E[w|mujer = 0, educ]

32
Uso de dummy en la ecuaci´on de salarios
Suponga deseamos comparar el salario entre los principales
sectores de la econom´ıa, siendo el sector agr´ıcola, nuestro sector de
referencia, d1=sector industrial, d2=sector servicio.
w = β0 + β1d1 + β2d2 + u (10)
Aplicando esperanza, comparamos el salario medio de los sectores:
E[y|d1 = 0, d2 = 0] = β0
E[y|d1 = 1, d2 = 0] = β0 + β1
E[y|d1 = 0, d2 = 1] = β0 + β2
E[y|d1 = 1, d2 = 1] = β0 + β1 + β2?

33
Análisis de pol´ıticas
Verifique que las dummys, permiten realizar análisis de pol´ıticas
públicas, al comparar un grupo de tratamiento con otro grupo
control (no participa en el programa).
La clase que toma el valor de cero considerada como el grupo de
referencia.

34
Dummy. Información ordinal
En muchas ocasiones, podemos estar interesados en comparar
varios grupos, como sectores de la econom´ıa o zonas geográficas,
por lo que, quisiéramos incluir una variable ordinal (or) en el
modelo de regresión tradicional y = β0 + β1or + , no obstante,
dado el que los valores de or solo asumen un significado nominal,
no tiene sentido esperar que el cambio de 0 a 1 sea proporcionar a
cuando la variable pasa de 3 a 4.
Una alternativa a este proceso es crear una dummy para cada
una de las categor´ıas consideradas o utilizar interacciones
entre dummys.

35
Dummy. Informaci´on ordinal (Alt. 1)
Se puede incluir una variable binaria para cada grupo considerado:
log(w) = β0 + β1mujer + β2soltera + β3educ + β4exp + (11)
La diferencia en salario entre una mujer soltera y una casada, es
β2:
E[y|mujer = 1, soltera = 0] = β0 + β1
E[y|mujer = 1, soltera = 1] = β0 + β1 + β2
En el caso de los hombres, esta diferencia es tambi´en β2:
E[y|mujer = 0, soltera = 0] = β0
E[y|mujer = 0, soltera = 1] = β0 + β2

36
Note que el modelo anterior considera que la prima de estar
casado es igual para ambos sexos.
Una alternativa es diferenciar 4 grupos a lo interno de la poblaci´on:
1) hombres solteros, 2) hombres casados; 3) mujeres solteras y 4)
mujeres casadas, como se expresa en el siguiente modelo:
log(w) = β0 + β1mSol + β2Mcas + β3hSol + βiXi + (12)
Este incluye n − 1 variables cualitativas para evitar la trampa
por variable binaria.

37
Dummy: trampa de variable dummy
Suponga estima el modelo que compara el salario medio de tres
sectores de la econom´ıa, representando cada sector por medio de
una dummy:
y1 = β0 + β1d1 + β2d2 + β3d3 + u (13)
Este modelo incluir´ıa colinialidad perfecta, dado que
M
m=1 dm = 1, lo que coincide con las constante.
Incluir ambas variables como independientes permitir´ıan incurrir
en la trampa de variables binarias, por tanto, para m
categor´ıas, se recomienda incluir (m-1) dimensiones.
Conoci´endose la categor´ıa no incluida en el modelo, como el grupo
base, de control o de referencia.

38
La interacciones entre variables binarias es una forma alternativa
de comparar grupos.
Yi = β0 + β1D1i + β2D2i + β3(D1iD2i) + ui (14)
Por tanto, se puede expresar la ecuación 12 en una regresión donde
aparezcan las variables (mujer, casado) por separado y una
interacción entre estas, lo que indica que la prima de estar
casado dependa del género.
log(w) = β0 + β1mujer + β2soltero + β3mujer ∗ soltero + (15)
Mujer soltera: β0 + β1 + β2 + β3
Mujer casada: β0 + β1
Hombre soltero: β0 + β2
Hombre casado: β0

39
Interacciones entre variables binarias y cuantitativas
Podemos suponer que el rendimiento de la educaci´on es el mismo
para hombres y mujeres?.
Por tanto, se necesita estimar un diferencial de pendiente que nos
permita comparar los efectos parciales de las variables a lo interno
de diversos grupos:
Yi = β0 + β1D1i + β2xi + β3xiD1i + ui (16)
β1 se conoce como el diferencial de intercepto, mientras que β3
es el diferencial de pendiente.

40
Interacciones de variables cualitativas en la ecuación de salarios
Se utiliza la ecuación de salarios para entender si el rendimiento
educativo de los hombres es igual al de las mujeres (diferencial de
pendiente), usando la siguiente regresión:
log(w) = β0 + β1mujer + β2educ + β3mujer ∗ educ + (17)
Cuando mujer = 0, β0 es el intercepto para los hombres y su
retorno es β2. Mientras que para mujer = 1, el intercepto para
mujeres es β0 + β1 y el retorno es β2 + β3. Por tanto, β1 mide la
diferencia entre intercepto y β3 entre pendientes.

41
Diferenciales de pendientes e interceptos
Por tanto, dependiendo los valores de β1 y β3 podemos tener
algunas de las situaciones siguientes:
Fuente: tomada de Wooldrige (2009, p.240).

42
Test de diferencia en coeficientes
Esta metodolog´ıa permite verificar si se requieren establecer
diferencias entre grupos, probando la hipótesis sobre la igualdad
entre todos los intercepto e pendientes consideradas.
Por ejemplo, en el modelo del salario:
ln(w) = β0 + β1educ + β2exper + (18)
Por ejemplo:
ln(w) = α0 + α1mujer + α2educ + α3educ ∗ mujer +
Y testeamos la hipótesis nula de que: α0 = α1 en el caso del
intercepto y ¿α2 = α3 respecto a las pendientes?.

43
Resumen de uso de variables binarias

44
Comentarios ﬁnales sobre la presentaci´on

45
Presentar resultados
Es elegante y recomendado utilizar tablas para representar nuestros resultados,
sea un modelo varios. Esta, por lo general asume la siguiente forma, donde se
suelen presentar los errores de los coeﬁcientes y su nivel de signiﬁcancia
(∗∗∗
p < 0.001, ∗∗
p < 0.01, ∗
p < 0.05):
Tabla 1. Regresiones estimadas, 2010
Model 1
(Intercept) 246.55∗∗∗
(1.49)
pool 5.43
(3.31)
R2
0.00
Adj. R2
0.00
Num. obs. 1000
RMSE 42.16
∗∗∗p < 0.001, ∗∗p < 0.01, ∗p < 0.05

46
Model 1 Model 2
(Intercept) −2.86∗
2.35
(1.18) (1.45)
educ 0.60∗∗∗
−0.54∗
(0.09) (0.23)
exper 0.05 0.28∗∗∗
(0.04) (0.04)
educ:exper 0.00
(0.00)
I(educ2
) 0.05∗∗∗
(0.01)
I(exper2
) −0.00∗∗∗
(0.00)
R2
0.23 0.30
Adj. R2
0.22 0.30
Num. obs. 526 526
RMSE 3.26 3.09
∗∗∗p < 0.001, ∗∗p < 0.01, ∗p < 0.05

47
Model 1 Model 2
(Intercept) −2.86 (1.18)∗
2.35 (1.45)
educ 0.60 (0.09)∗∗∗
−0.54 (0.23)∗
exper 0.05 (0.04) 0.28 (0.04)∗∗∗
educ:exper 0.00 (0.00)
I(educ2
) 0.05 (0.01)∗∗∗
I(exper2
) −0.00 (0.00)∗∗∗
R2
0.23 0.30
Adj. R2
0.22 0.30
Num. obs. 526 526
RMSE 3.26 3.09
∗∗∗p < 0.001, ∗∗p < 0.01, ∗p < 0.05

49
Referencias
1 Leifeld, P. (2013). texreg: Conversion of R regression output to latex tables
2 Hill, C., Griﬃths, W. and Lim, G. (2011). Principle of Econometric.
3 Schmidheiny, K. (2016). Functional Form in the Linear Model. Short Guides to
Microeconometrics. Unversitat Basel.
4 Wooldridge, J. (2009). Introducci´on a la Econometr´ıa: un enfoque moderno.
4ta. ed. Michigan State University. Cengage Learning

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