Clase8-Estadística

ESTADÍSTICA
Clase 8
Wendy Plata Alarcón
wplata@espol.edu.ec

ESTADÍSTICA
IV. MODELOS
ESTOCÁSTICOS CONTINUOS
Guayaquil, junio de 2015
Wendy Plata Alarcón
wplata@espol.edu.ec

Variables Aleatorias Continuas
Estadística para Ingenierías3
 Variable Aleatoria Continua: una Variable Aleatoria X,
definida sobre un Espacio Muestral ( , L) es continua
cuando y solo cuando para todo x real su Distribución
Acumulada F es una función continua en R.
0)x(Flimy1)x(Flim:quecumpleSe
)xX(P)x(F
xx




 Densidad de una Variable Aleatoria Continua: si X es
continua, entonces existe una función continua y no
negativa f tal que, para todo x real,







b
a
dx)x(f)bxa(P
1dx)x(f
0)x(f

 Si X es continua y con densidad f:
 Función de Distribución: de una Variable Aleatoria
Continua, siempre es continua.
 
a
a
0dt)t(f)aXa(P)aX(P
)a(F)b(F)bXa(P
)x('F)x(f
dt)t(f)xX(P)X(F
x


 

Variables Aleatorias Continuas:
ejemplo
 Se conoce que el tiempo de vida útil, en años, de una
máquina troqueladora previo a que se produzca la primera
falla que lleve a un mantenimiento emergente, ha sido
modelado como una Variable Aleatoria X tal que,
 Determinar la función de densidad f(x) y determinar la
probabilidad que una de estas máquinas vaya a
mantenimiento emergente, antes del primer año de vida.






 
0x;e1
0x;0
)X(F
2
x

ejemplo
 Desarrollo:
 Función de Densidad
 P(X < 1)
xderestoelparaceroy0xpara;e
2
1
)x('F)x(f 2
x


3935.06065.01e1)1X(P
)1(F)1X(P)1X(P
2
1




ejemplo
 Encuentre la Función de Distribución de la Variable
Aleatoria X cuya densidad está dada por:
 Desarrollo:
 0 < x < 1








xderesto;0
2x1;x2
1x0;x
)x(f
2
x
2
t
tdtdt)t(f)x(F
2x
0
2x
0
x
0
1  

ejemplo
 Desarrollo:
 1  x < 2














2x;1
2x1;1
2
x
x2
1x0;
2
x
0x;0
)x(F 2
2
1
2
x
x2
2
1
2
3
2
x
x2)x(F
2
3
2
x
x2
2
1
2
2
x
x2
2
t
t2dt)t2(dt)t(f)x(F
22
2
22
x
1
2x
1
x
1
2























 
Por lo tanto, la Función
de Distribución será:

Valores Esperados de unaVariable
Aleatoria Continua
 El Valor Esperado de una función U se denota E[u(x)] y
de existir se define como:
 Función Generadora de Momentos
 Media Varianza



 dx)x(f)x(u)]x(u[E
)a,a(t;dx)x(fe)e(E)t(M xtxt
x  





 dx)x(xf]x[E 22222
dx)x(fx]x[E  



Aleatoria Continua: ejemplo
 Si la Función de Densidad de Probabilidad de X está
dada por:
 Encontrar el valor esperado de g(x) = 3 + x2 - 5x











xderesto;0
3x2;2/)x3(
2x1;2/1
1x0;2/x
)x(f

Aleatoria Continua: ejemplo
 Desarrollo
)x(E5)x(E)3(E]x5x3[E)]x(g[E 22

2
3
6
8
4
12
6
27
4
27
4
1
4
4
6
1
6
x
4
x3
4
x
6
x
dx
2
x)x3(
dx
2
x
dx
2
x
)x(E
3
2
32
2
1
2
1
0
3
3
2
2
1
1
0
2



























 
6
11
6
451618
2
3
5
3
8
3)]x(g[E 








3
8
8
16
6
24
8
81
6
81
6
1
6
8
8
1
8
x
6
x3
6
x
8
x
dx
2
x)x3(
dx
2
x
dx
2
x
)x(E
3
2
43
2
1
3
1
0
4
3
2
22
1
21
0
3
2



























 

Variable Aleatoria Uniforme
Continua
 Una Variable Aleatoria Continua es denominada
Uniforme con parámetros  y  cuando y solo cuando
su densidad f se define como:
 Media Varianza
}xRx{S;
1
)x(f 


2


12
)( 2
2 


Continua
 Distribución Acumulada
















 
x;1
),(x;dx
1
ax;0
)x(F
x
0t;
)(t
)ee(
)t(M
2tt
x 





Continua
 Densidad f Distribución Acumulada F
X
f(x)
 

1
X
F(x)
 
1

Continua: ejemplo
 En ciertos experimentos, el error cometido cuando se determina
la densidad de una sustancia es una Variable Aleatoria que tiene
Densidad Uniforme con  = -0.015 y  = 0.015. Encuentre la
probabilidad de que un error esté entre -0.002 y 0.003.
 Desarrollo:
 Por lo tanto, la probabilidad de que un error esté entre -0.002 y
0.003 es 0.1667.
1667.0)003.0x002.0(P
03.0
005.0
03.0
002.0
03.0
003.0
03.0
x
dx
03.0
1
)003.0x002.0(P
003.0
002.0
003.0
002.0







Variable Aleatoria Normal
 Se dice que una Variable Aleatoria Continua X tiene
Distribución Normal con media  y varianza 2 si su
densidad es
 Se cumple que , además es verdad que
E(x) =  y E(x – )2 = 2.
RS,e
2
1
)x(f)x( x
x
2
1
2












1dx)x(f 



Variable Aleatoria Normal
 Nótese que la densidad de X es simétrica con respecto a ,
por lo que P(X > ) = 0.50 = P(X < ). Su gráfico semeja
una “campana” y muchos han optado por llamarla la
“campana de Gauss”.
18171615141312
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
X
Densidad
2 = 1

Distribución Normal Estándar
 Si X  N(, 2), tal que  = 0 y 2 = 1, se dice que X es
Normal Estándar, y su distribución es
RS);z(e
2
1
)z(f z
2
z2




0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
X
Densidad
0

z
1 - 
Z es el percentil (1 - )100
de la Normal Estándar

 Es importante recordar cuál es el valor del percentil
90, así como el 95, el 97.50 y el 99, por lo que
expresamos que:
90.0dz)z(f
281.1

0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
X
Densidad
1,2820
0,1
95.0dz)z(f
6448.1

0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
X
Densidad
1,6450
0,05

 Es importante recordar cuál es el valor del percentil
90, así como el 95, el 97.50 y el 99, por lo que
expresamos que:
975.0dz)z(f
959.1

99.0dz)z(f
326.2

0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
X
Densidad
1,960
0,025
0
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
X
Densidad
2,326
0,01
0

 Supongamos ahora que tenemos una Variable Aleatoria Z  N(0,1) y se
pide determinar la probabilidad de que Z tome valores menores que
0.50.
 Usando lo aprendido hasta el momento, el cálculo de esta probabilidad
sería de la siguiente manera:
 Esta integral es posible resolverla solamente con el uso de Métodos
Numéricos. Por lo tanto, para determinar probabilidades cuando se
trabaja con la Distribución Normal Estándar, nos valemos de una Tabla
que se presenta en la siguiente lámina.
dze
2
1
dz)z(f)50.0z(P
5.0 5.0
2
z2
  




Tabla de la Distribución Normal
Estándar
 El valor de la tabla para Z representa el área bajo la
curva de la Normal Estándar a la izquierda de Z.
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
X
Densidad
0 Z
Probabilidad

Tabla de la Distribución
Normal Estándar
Percentil
Probabilidades

Distribución Normal Estándar:
ejemplo
 Usando la Tabla de la Distribución Normal Estándar,
determinar la probabilidad de que Z sea menor o
igual que 0.21, mayor que -0.5; y, tome valores
entre -1 y 1.
 Desarrollo
 P(Z  0.21) = 0.5832
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
X
Densidad
0,21
0,5832
0

ejemplo
 Desarrollo
 P(Z > -0.50) = P(Z > 0.50) = 1 – P(Z  0.50)
 P(Z > -0.50) = 1 – 0.6915 = 0.3085
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
X
Densidad
-0,5
0,3085
0

ejemplo
 Desarrollo
 P(-1 Z  1) = P(Z  1) – P(Z  -1) = P(Z  1) – P(Z  1)
 P(-1 Z  1) = P(Z  1) – [1 – P(Z < 1)]
 P(-1 Z  1) = 2P(Z  1) -1 = 2(0.8413) – 1 = 0.6826
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
X
Densidad
-1
0,6827
0 1

De una Normal cualquiera a la
Normal Estándar
 Si X es una Variable Aleatoria Normal con media 
cualquiera y varianza 2 > 0, es posible probar que X
se relaciona con Z  N(0,1) a través de una
transformación muy simple:
 Esta última expresión, nos permite determinar la
probabilidad de que X, tome valores en cualquier
intervalo real.
)1,0(N
X
Z),(NX 2





Normal Estándar: ejemplo
 El valor de la nota, sobre 100 puntos, de Matemáticas
que obtiene un estudiante nativo de una comunidad
rural ecuatoriana al terminar la educación primaria
puede ser modelada como una Variable Aleatoria
Normal con  = 60 y 2 = 225. Si en dicha comunidad
estudian 1200 niños, determine:
 ¿Cuántos de ellos obtienen notas entre 50 y 70?
 ¿Con qué nota se alcanza el percentil 95 de la
distribución?

 Desarrollo
 X: Nota, sobre 100 puntos, de Matemáticas que
obtienen al terminar la educación primaria.
 ¿Cuántos de ellos obtienen notas entre 50 y 70?
59764.596)4972.0(120070y50entrenotasconsestudiantedeNúmero
4972.01)7486.0(2)70x50(P
1)67.0Z(P2)]67.0Z(P1[)67.0Z(P
)67.0Z(P)67.0Z(P)67.0Z(P)67.0Z(P
)67.0Z67.0(P
15
6070
Z
15
6050
P)70x50(P









 




 ¿Con qué nota se alcanza el percentil 95 de la
distribución?
6.84x
60)15(64.1x
64.1
15
60x
95.0
15
60x
ZP
95.0)xX(P









 


0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
X
Densidad
1,645
0,95
0
Por lo tanto, se alcanza el
percentil 95 de la distribución
con una nota de 84.6

Función Generadora de Momentos de
unaVariable Aleatoria Normal
 Si X es una Variable Aleatoria Normal con Media  y
Varianza 2, su Función Generadora de Momentos es:
 Si X es una Variable Aleatoria Normal Estándar, su
Función Generadora de Momentos es:
Rt;e)t(M 2
t
t
x
22



Rt;e)t(M 2
t
x
2


Variable Aleatoria Gamma
 Decimos que X es una Variable Aleatoria Gamma con
parámetros  y , cuando y solo cuando su densidad
es:
  y  son constantes
positivas.
}0xRx{S
;ex
)(
1
)x(f
x
1


 



6050403020100
0,07
0,06
0,05
0,04
0,03
0,02
0,01
0,00
X
Densidad
G(10,2)
G(8,3)

 Probar que f es una Densidad no es complicado, si
manejamos la definición de Función Gamma, que es:
)!1(dxxe)(
0
1x
 


1
)(
)(
dyey
)(
dye)y(
)(
1
dx
dy
x
y;1dxex
)(
1
1dxex
)(
1
0
y1
0
y
1
0
x
1
x
1
0














































 Media












































)x(E
)!1(
)!1(
)!1(
!
)x(E
)(
)1(
dyey
)(
dye)y(
)(
1
)x(E
dx
dy
x
y;dxex
)(
1
dx
)(
ex
x)x(E
0
y
0
y
0
/x
0
/x1

 Varianza
22
22222222222
2
22
2
2
0
y1
2
0
y12
0
/x1
0
/x1
22
)1()]x(E[)x(E
)1(
)!1(
)!1()1(
)!1(
)!1(
)x(E
)(
)2(
dyey
)(
dye)y(
)(
1
)x(E
dx
dy
x
y;dxex
)(
1
dx
)(
ex
x)x(E














































Rt;)t1(
)()t1(
)(
)t(M
dyey
)()t1(
1
t1
dye
t1
y
)(
1
)t(M
dxt
1
dyxt
1
y
;dxex
)(
1
dx
)(
ex
e)e(E)t(M
x
0
y1
0
y
1
x
0
xt
1
1
0
/x1
xtxt
x














































































Distribución Exponencial
 Decimos que una Variable Aleatoria X tiene una Distribución
Exponencial con parámetro , si es una Gamma con  = 1, y 
es cualquier constante real positiva.
 Media:  = E(x) = 
 Varianza: 2 = 2
 Generadora de Momentos:
0x;
e
)x(f
/x




80706050403020100
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
X
Densidad
Rt;
t1
1
)t(Mx 


Exp(2)
Exp(5)

Distribución Exponencial: ejemplo
 Se nos dice por experiencias previas se conoce que el
“tiempo de espera” en la cola frente a la ventanilla
de un banco en Cuenca, un día laborable cualquiera,
puede ser modelado como una Distribución
Exponencial con Media igual a tres minutos.
Determinar su Densidad y Distribución Acumulada de
Probabilidades.

 Desarrollo:
 X: tiempo de espera en la cola frente a la ventanilla
de un banco en Cuenca.
  =  = 3 minutos.
 Función de Densidad:

 RS;e
3
1
)x(f 3/x

 Desarrollo:
 Función de Distribución Acumulada:
XderestoelparaceroySxpara;e1)x(F
1e)x(F
edy
3
e
)xX(P)x(F
3/x
3/x
x
0
3/y
x
0
3/y









 El operario de una estación de bombeo ha observado
que la demanda de agua durante las primeras horas de
la tarde tiene aproximadamente distribución
exponencial con Media 100 pies3/s
 Determine:
 La probabilidad de que la demanda exceda los
200 pies3/s durante las primeras horas de la tarde para
un día seleccionado al azar.
 ¿Cuál tendría que ser la capacidad de bombeo de la
estación durante las primeras horas de la tarde a fin de
que la demanda sea mayor a la capacidad de bombeo
con una probabilidad de solamente 0.01?

 Desarrollo:
 X: demanda de agua en pies3/s durante las primeras
horas de la tarde
 La probabilidad de que la demanda exceda los
200 pies3/s durante las primeras horas de la tarde para
un día seleccionado al azar.
 Por lo tanto, la probabilidad de que la demanda exceda
los 200 pies3/s durante las primeras horas de la tarde es
0.1353.
1353.0ee11)200(F1)200x(P 2100/200
 

 Desarrollo:
 ¿Cuál tendría que ser la capacidad de bombeo de la
estación durante las primeras horas de la tarde a fin de
que la demanda sea mayor a la capacidad de bombeo
con una probabilidad de solamente 0.01?
s/pies52.460)6052.4(100a
)01.0ln(
100
a
01.0e01.0)ax(P
3
100/a


 

Variable Ji-Cuadrado con
n grados de libertad
 Caso particular de la Variable G(,), en donde
 = n/2 y  = 2, n es entero positivo. Se la denota por
2.
 Media:  = n
 Varianza: 2 = 2n
0x;
)2/n(2
ex
)x(f 2/n
2/x12/n




2/n
x )t21()t(M 

302520151050
0,14
0,12
0,10
0,08
0,06
0,04
0,02
0,00
X
Densidad
2(6)
2(10)

Variable Erlang
 Caso particular de la Variable G(,), en donde
 = n y  , n es entero positivo.
 Media:  = n
 Varianza: 2 = n2
0x;
)n(
ex
)x(f n
/x1n




n
x )t1()t(M 


Distribución Beta
 Decimos que X es una Variable Aleatoria Beta con
parámetros  y  cuando y solo cuando, su Densidad f
es:
 Media Varianza







R,};1x0Rx{S
;)x1(x
)()(
)(
)x(f 11



)1()( 2
2




Distribución Beta: ejemplo
 La proporción de ítems defectuosos en una línea de
producción sigue una Distribución Beta con
parámetros  = 1 y  = 5. Determine la Media y
Varianza.
 Media:
 Varianza:
}1x0Rx{S;)x1(5)x(f 4

6
1
51
1






252
5
)7()6(
5
)1()( 22
2





Función de Confiabilidad
 Cuando ocurren procesos en los que se registran las
fallas de un sistema, a fin de calcular las
probabilidades que se dan en los extremos (colas) de
la distribución de una Variable Continua X, se define
la Función de Confiabilidad R, de tal manera que su
regla de correspondencia es,
R(x) = 1 – F(x) para xR

Función de Riesgo
 Se define también la Función de Riesgo h como el
negativo de la derivada con respecto a X, del
logaritmo natural de R. Esta función es denotada por
h por su nombre en inglés, “hazard function”.
0)x(R;
)x(R
)x(f
)x(h
)x(R
)x('R
)]x(R[log
dx
d
)x(h e



Desigualdad de Markov
 Sea u una función que toma valores no negativos y
que está definida en términos de una Variable
Aleatoria X, cuya Densidad o Distribución de
Probabilidades es f; si E[u(x)] existe, entonces, para
cualquier constante positiva  se cumple que:
 


)]x(u[E
)x(uP

Desigualdad de Markov: ejemplo
 Si por ejemplo X es el número de estudiantes que
anualmente aprueban un curso de Estadística, y la
media  de X es 300, entonces se puede afirmar en
términos de la Desigualdad de Markov, acerca de
P(X  500) lo siguiente:
 Tomemos u(x) = x, por lo que:
5
3
)500X(P
500
300
500
)500X(P
)x(E
)X(P






Teorema de Chebyshev
 Sea X una Variable Aleatoria Continua (o Discreta) con
Densidad f y Varianza finita 2; sea k una constante
positiva; bajo estas condiciones, la probabilidad de
que X difiera de su Media , por un valor mayor o
igual que k veces su Desviación Estándar , es menor
o igual a 1/k2. Esto es:
  2
k
1
kXP 

Teorema de Chebyshev: ejemplo
 Sea X una Variable Aleatoria Continua tal que:
 Calcule la probabilidad P(X -   k) para k = 1 y
además acote esta probabilidad utilizando la
Desigualdad de Chebyshev.






xderesto;0
2x2;
4
1
)x(f

 Desarrollo:
 X es una Variable Aleatoria Uniforme Continua con
parámetros  = -2 y  = 2, esto es, X  U(-2,2).
 Calcular P(X - 0  1(1.15)) = P(X  1.15) = 0.425
0
2
22
2





3
4
12
16
12
)22(
12
)( 22
2





15.1
3
4


 Desarrollo:
 Utilizando Chebyshev P(X  1)  1, ya que k = 1
 Conclusión
 La probabilidad pedida es 0.425 mientras que la
Desigualdad de Chebyshev nos informa que dicha
probabilidad es menor o igual que uno, lo cual es
verdadero, pero, dadas las circunstancias poco
informativo.

Referencias
 Zurita, G. (2010), “Probabilidad y Estadística:
Fundamentos y Aplicaciones”, Segunda Edición,
Escuela Superior Politécnica del Litoral, Instituto de
Ciencias Matemáticas, Guayaquil-Ecuador.

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