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C 1 CINEMÁTICA
• Movimiento Mecánico. Bases para su
estudio.
• Métodos vectorial, de coordenadas y
natural.
• Magnitudes cinemáticas.
• Movimiento unidimensional.
• Movimiento rectilíneo uniformemente
variado. Movimiento rectilíneo uniforme.
• Caída libre
• Ejemplos
Bibliog. Sears, Física Universitaria

Mecánica de
los cuerpos
macroscópicos
Movimiento
mecánico

Cinemática: Rama de la Mecánica
que se dedica a la descripción del
movimiento mecánico sin interesarse
por las causas que lo provocan.
Dinámica: Rama de la Mecánica
que se dedica a investigar las causas
que provocan el movimiento
mecánico.

Movimiento Mecánico: Cambio de
posición de un cuerpo respecto a otros,
tomados como referencia.
Carácter: Relativo
Definir sistema
bajo estudio
Definir
Sistema de
Referencia
(SR)

Bases para el estudio del
movimiento mecánico
• Definición del Sistema de Referencia (SR)
• Utilización de magnitudes físicas apropiadas y
relaciones entre ellas.
• Empleo de modelos para el sistema físico:
Modelo de cuerpo rígido y Modelo de partícula.
• Utilización del principio de independencia de
los movimientos de Galileo así como del
principio de superposición.

SR: Cuerpos que se toman como referencia para
describir el movimiento del sistema bajo estudio.
x(t)
y(t)
z(t)
Se le asocia
• Observador
• Sistema de
Coordenadas
y
x
z
• Reloj

SRI: Es aquel para el cual el
sistema bajo estudio en
ausencia de la acción de otros
cuerpos, se mueve con MRU.

Magnitudes Físicas
Cinemáticas
Posición,
Velocidad,
Aceleración
Dinámicas
Fuerza, Torque

Modelos
de Partícula: el cuerpo puede ser
considerado como un objeto puntual.
de Cuerpo Rígido: Las distancias
entre los diferentes puntos del
cuerpo no varían.

Rotación pura de cuerpo
sólido
Es aplicable el modelo del cuerpo
rígido pero no el de partícula

Objetivo
Determinación de las Leyes del
Movimiento
Posición (t), Velocidad (t), Aceleración (t)
Describir el
Movimiento
mecánico

Métodos
•Vectorial (conciso, elegante)
•de Coordenadas Mayor número de
ecuaciones
•Natural Coordenadas curvilíneas
Problemas de
la cinemática
Posición (t)
Velocidad (t)
Aceleración (t)
P.
Directo
P.
Inverso
Cond.
Iniciales

 
t
t
r 

 
t
r
)
(
: t
r
posición
 
t
t
V 

 
t
V
dt
dr
t
r
t
V
velocidad
t






lim
0
)
(
:
dt
dV
t
a
n
aceleració 
)
(
:
m
V r

t
r
V
media
velocidad m



:
r

)
(
)
(
: t
r
t
t
r
r
ento
desplazami 




   
t
t
V
t
t
V
a
n
aceleració m





:
media
Vectorial
dr

)
(t
x
)
(t
y
)
(t
z
)
(
),
(
),
(
: t
z
t
y
t
x
posición
,
)
(
:
dt
dx
t
V
velocidad x 
dt
dy
t
Vy 
)
(
dt
dz
t
Vz 
)
(
dt
dV
t
a
n
aceleració x
x 
)
(
:
dt
dV
t
a y
y 
)
(
dt
dV
t
a z
z 
)
(
De Coord.
y

x

z

z
y
x
ento
desplazami 

 ,
,
:

,
)
(
: 
 V
dt
ds
t
V
velocidad 


dt
dV
t
aT 
)
(
T
a
a
2
2
T
N
a
a
a 


n
0

s
0

s
n
V
dt
d
V
t
a
n
aceleració N

 2
)
(
: 

N
a
Natural
)
(
)
(
: 
V
dt
d
dt
dV
t
a
n
aceleració 


n
)
(
: t
s
posición
0

s

 

Metodología
• Identificar sistema físico
• Selección del SRI (Ubicación del Observador)
• Selección del método o métodos (vectorial, de
coordenadas o natural)
• Resolver el problema directo (derivando) o el
indirecto (integrando) o ambos: Hallar
analíticamente la dependencia temporal de la
posición, la velocidad y la aceleración; y
Dibujar las gráficas

y
x
t1
t2
A
B
r


r(t1)
r(t2)
r(t1) Vector posición en el instante t1
r(t2) Vector posición en el instante t2

Vector desplazamiento
El vector desplazamiento en el intervalo de
tiempo [t1 , t2] esta dado por:
¿Es importante conocer la trayectoria
del móvil para hallar el vector
desplazamiento?
)
t
(
)
t
( 1
2
r
r
r 



B
t1
t2
No es necesario conocer la trayectoria para determinar el
vector desplazamiento en el intervalo de tiempo deseado, solo
es necesario conocer las posiciones en dichos instantes de
tiempo
A
r


Vector velocidad media
Se define el vector velocidad media
en el intervalo de tiempo [t1 , t2]
como:
   












s
m
t
t
r
r
t
r
V
1
2
t
t
m
1
2

y
x
t1
t2
A
B
r

m
V
r
//
Vm 
)
(t1
r
)
(t2
r
La velocidad media apunta en la
misma dirección del vector
desplazamiento

Y(m)
x(m)
t1
t2
Δl
:
Δl Distancia total recorrida en el
intervalo de tiempo [t1 , t2]
r


Rapidez media
La rapidez media es igual a la
distancia total recorrida entre
el tiempo total empleado
t
l
empleado
tiempo
recorrida
distancia
v
~
m




• La rapidez media no es un vector
• la rapidez media no es igual al modulo
del vector velocidad media (para el mismo
intervalo de tiempo)
m
m V
v 

t2
t'
2
t"
2
t1
B
A
Y(m)
x(m)
v
r1
 r
r2
m
V
r2
'
 r'
m
V
r2
"
 r"
m
V

t3
A
Y(m)
x(m)
El vector velocidad
instantánea es
tangente a la
trayectoria que
describe la partícula
t2
t1
)
v(t1 )
v(t2
)
v(t3

 v
v




La velocidad instantánea es la
derivada del vector posición
respecto del tiempo
Velocidad instantánea
dt
dr
t
r
lim
v(t) 0
t 


 


Esta expresión podemos
expresarla en función de sus
componente rectangulares
dt
dx(t)
vx 
dt
dy(t)
vy 
dt
dz(t)
vz 
dt
dr
t
r
lim
v(t) 0
t 


 


Rapidez instantánea
t
l
v(t)


 
 0
~
t
lim
Si 0
Δt 
r

t1
t2
Δl
r
l 

 dr
v
t
d
dr



Rapidez instantánea
La rapidez instantánea es igual al
modulo de la velocidad instantánea
dt
dr
t
r
lim
v
~
0
t
(t) 


 

)
t
(
(t) v
v
~ 
Al modulo de la velocidad
instantánea se le conoce como
rapidez instantánea

A
Y(m)
x(m)
t2
t1
1
2
1
2
m
t
t
)
V(t
)
V(t
a



)
v(t1
)
v(t2

Aceleración media
Se define la aceleración media como la
rapidez de cambio de la velocidad
instantánea en un determinado intervalo
de tiempo








 2
1
2
1
2
m
s
m
t
t
)
V(t
)
V(t
a

Y(m)
x(m)
La aceleración en este
pequeño intervalo de tiempo
apunta hacia la concavidad
de la trayectoria
t
)
v(t
t1 )
v(t1
v

v
 a
t
V
lim
a o
t
(t)


 

a

dt
ˆ
d
v
dt
dv
ˆ
a




La aceleración instantánea es igual a
la derivada del vector velocidad
instantánea respecto del tiempo t

(t)
a
 
dt
ˆ
v
d
dt
dV 

n̂
v
v



 ˆ
dt
dv
a
n̂
a
ˆ
a
a n


 
dt
dv
a 



2
n
v
a
2
n
2
a
a
a 
 

N
a

T
a

Es la aceleración normal , responsable
del cambio de dirección de la velocidad
Es la aceleración tangencial responsable
del cambio del modulo de la velocidad

dt
(t)
dv
a x
x 
dt
(t)
dv
a y
y 
dt
(t)
dv
a z
z 
Expresado en componentes rectangulares
dt
dV
a 

Resumen:
Si se conoce la posición de la partícula con el
tiempo r(t) podemos determinar su velocidad y
aceleración instantánea por simple derivación
dt
dr
v
(t)
(t) 
2
(t)
2
(t)
(t)
dt
r
d
dt
dv
a 
 n
a
a 
 
Problema directo

Así mismo si se conoce la aceleración con el tiempo
es posible encontrar la posición y la velocidad usando
el camino inverso, es decir integrando:
dt
a
dv
dt
dv
a (t)
(t)
(t) 





t
t
(t)
)
(t
(t)
O
O
dt
a
v
v



t
t
(t)
)
(t
(t)
O
O
dt
a
v
v
dt
v
dr
dt
dr
v (t)
(t)
(t) 





t
t
(t)
)
(t
(t)
O
O
dt
v
r
r


Son los vectores posición y velocidad en el instante to
Problema inverso

Ejemplo 1:
Si el vector posición de una partícula
esta dada por:
k
t
j
1)
2t
(t
i
1)
(2t
r 4
2
3
(t)
ˆ
ˆ
ˆ 






Hallar:
1) el vector posición para t= 0 y 2 s
2)El vector desplazamiento en el intervalo [0,2]s
3) su velocidad media en el intervalo [0,2]s
su velocidad instantánea en t = 0 y t=2 s
5) su aceleración media en el intervalo [0,2]s
6) su aceleración instantánea en t = 0 y 2s

Movimien
to en
una
dimensió
n

Podemos aplicar lo discutido
anteriormente al caso de una
partícula moviendose en una
sola dimensión, por ejemplo
a lo largo del eje x

î
v
v
î
x(t)
r (t)
(t)
(t) 

î
a
a )
t
(
)
t
( 
x
)
(to
v

(t)
v

)
(to
r

(t)
r

Para el movimiento en el eje X las ecuaciones
se reducen a:
 
0
t
a

Movimiento rectilíneo variado
v
a Movimiento rectilíneo acelerado
v y a igual signo
v
a
  )
t
(
a
)
t
(
v
t
x
Movimiento rectilíneo retardado
v y a signos opuestos

X(t)
t
p
Q
R 0
v 
0
v 
0
v 
dt
dx
v (t)

Velocidad instantánea


t
ti tf
t
a > 0
a = 0
a < 0
Aceleración instantánea
dt
dv
a
(t)



t
ti tf
t
En toda gráfica v versus t el área bajo la
curva es igual al desplazamiento del móvil
curva
la
bajo
area

 
2
1
t
t
vdt
Δx
v
dt
dx


Ejemplo 1:
En la gráfica velocidad versus
tiempo, haga un análisis del tipo de
movimiento e indique en que tramos
el movimiento es acelerado o
desacelerado

Diremos que un movimiento
rectilíneo es uniforme variado si la
aceleración del móvil permanece
constante en todo momento.
Supongamos que una partícula
parte de la posición xo en el
instante t0=0 , con una velocidad vo

x

 
t
0
v
v
adt
dv
o
a
o
v (t)
v
o
x
(t)
x
t=0
Como a= cte. entonces dv/dt=a es fácil de
integrar
t
v
v o
(t) a

 Velocidad
instantánea
Problema inverso

Podemos ahora determinar la posición de la
partícula en cualquier instante de tiempo t

 
t
0
(t)dt
v
dx
x
xo

 

t
0
o t)dt
v
dx a
x
xo
(
t
v
v o
(t) a


2
o
o
(t) t
2
1
t
v
x
x a




x
a
o
v (t)
v
o
x
(t)
x
t=0
Hallaremos ahora una expresión para
determinar la velocidad media en el intervalo de
tiempo [0, t]:
Δt
Δx
Vm

t
x
-
x
V o
(t)
m 

x
a
o
v (t)
v
o
x
(t)
x
t=0
t
x
-
x
V o
(t)
m 
2
o
o
(t) t
2
1
t
v
x
x a



t
v
-
v
a o
(t)

Y usando las ecuaciones
anteriormente deducidas

x
a
o
v (t)
v
o
x
(t)
x
t=0
2
v
v
t
x
-
x
V o
(t)
o
(t)
m



Finalmente obtenemos

x
a
o
v (t)
v
o
x
(t)
x
t=0
Δx
2
v
v 2
0
2
(t)
a


También se puede demostrar:
Donde : 0
(t) x
x
Δx 

Es el desplazamiento en el intervalo de tiempo
[0 , t]

Δx
2
v
v 2
0
2
(t)
a


Resumen
0
(t) x
x
Δx 

[0 , t]
t
v
v o
(t) a


2
o
o
(t) t
2
1
t
v
x
x a



2
v
v
t
x
-
x
V o
(t)
o
(t)
m



2
v
v
t
t
x
-
x
V )
(t
)
(t
1
2
)
(t
)
(t
m
1
2
1
2



 [t1 , t2 ]
cte
a  MRUA
Despejando t en la
1ra y sustituyendo
en la 2da, se
obtiene la 3ra

Movimiento Uniformemente Acelerado
t
v
v o
(t) a



0
0
at

O t
t
xo
x(t)
t
Pendiente = v0
pendiente = v(t)
2
o
o
(t) t
2
1
t
v
x
x a



O t
a
a
Pendiente = 0
a

Movimiento Rectilíneo Uniforme MRU
dato
a:
0
at
V
V 
 0
0
2
2
0
0
at
t
V
x
x 


0
a
V
x
t
t
t
x0
V0
Movimiento Parabólico
0

x
a
x
x V
V 0

t
V
x
x x
0
0 

MRU
Eje x
g
ay 

gt
V
V y
y 
 0
2
2
0
0
gt
t
V
y
y y 


MRUV
Eje y

v0 -v0
V =0
Haga click en la bolita verde

j
ˆ
g
a 

ĵ
v
v 0
0

y
0
gt
v
v 0


2
gt
2
1
t
v
y
y 0
0



y
g
2
v
v 2
0
2




a
v
x
t t
t
v0
-v0
-g
tv
tv/2
tv
H
j
ˆ
g
a 

gt
v
v 0


2
gt
2
1
t
v
y
y 0
0




Problema 7
Una partícula de 2 kg es lanzada verticalmente
hacia arriba con una rapidez de 100 m/s,
determine:
a) El tiempo que permanece en el aire.
b) Su posición en el instante t = 5 s.
c) La altura máxima alcanzada.
d) Su desplazamiento entre 5 y 15 s
e) El tiempo que demora en cambiar la velocidad
de 60 m/s a -60m/s

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