COMPOSICION DE FUNCIONES Y APLICACIONES.pdf
1 recomendación2,734 vistas
Este documento proporciona información sobre la composición de funciones. Explica qué es una función compuesta y cómo determinar su regla de correspondencia. Incluye ejemplos de cómo calcular funciones compuestas f∘g y g∘f dadas funciones f y g. El objetivo es que los estudiantes aprendan a resolver problemas de contexto real usando la composición de funciones.
COMPOSICION DE FUNCIONES Y APLICACIONES.pdf
- 1. UPN, PASIÓN POR TRANSFORMAR VIDAS CURSO: MATEMATICA BASICA TEMA: COMPOSICION DE FUNCIONES Y APLICACIONES Determinación de la regla de correspondencia. Dominio de la función compuesta Departamento de Ciencias
- 2. SERÁ LO MISMO….. Colocar piña en una pizza Colocar pizza en una piña
- 3. RESPONDA LAS SIGUIENTES PREGUNTAS ¿Qué es una función? ¿Qué es el dominio de una función? De igual forma, ¿Qué es el rango de una función? ¿Crees que se podrá construir una función compuesta usando dos funciones? ¿Qué se debe tener en cuenta para hallar la regla de correspondencia de una composición de funciones?
- 4. LOGRO DE LA SESIÓN Al finalizar la sesión, el estudiante resuelve ejercicios y problemas de contexto real relacionado a su carrera profesional haciendo uso de la composición de funciones, de forma correcta.
- 5. CONTENIDOS 1. Composición de funciones. 2. Determinación de la regla de correspondencia de la función compuesta (f o g y g o f). 3. Dominio de la función compuesta 4. Aplicaciones de composición de funciones 5. Referencias bibliográficas 6. Metacognición
- 6. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES 𝑫𝒐𝒎 𝒇 ∘ 𝒈 = 𝒙 ∕ 𝒙 ∈ 𝑫𝒐𝒎 𝒈 𝒙 ∩ 𝒈 𝒙 ∈ 𝑫𝒐𝒎𝒇(𝒙) La función compuesta de dos funciones 𝑓 y 𝑔 , que lo escribiremos𝑓 𝑜 𝑔, se define de la siguiente forma: (𝒇 ∘ 𝒈)(𝒙) = 𝒇(𝒈(𝒙)) El dominio de 𝑓 𝑜 𝑔 es el conjunto de todas las 𝑥 en el dominio de 𝑔, tales que 𝑔(𝑥) esté en el dominio de 𝑓.
- 7. Sean las funciones: 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2 𝑦 𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 4 Solución: 𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑔 𝑥 ) COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Ejemplo 1 a) La composición de f con g es como sigue: 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑥2 − 4) 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 4 + 2 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑥2 − 2 𝑔𝑜𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑓 𝑥 ) b) La composición de g con f es como sigue: 𝑔 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑥 + 2) 𝑔 𝑓 𝑥 = (𝑥 + 2)2 − 4 𝑔 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 4𝑥 + 4 − 4 𝑔 𝑓 2 = (2)2 + 4(2) c) La composición de g con f es como sigue: 𝑔 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 4𝑥 𝑔 𝑓 2 = 4 + 8 𝑔 𝑓 2 = 12 𝑎) (𝑓𝑜𝑔) 𝑥 𝑏) (𝑔𝑜𝑓) 𝑥 𝑐) (𝑔𝑜𝑓) 2 Encuentre lo siguiente:
- 8. 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 − 2 𝑦 𝑔 𝑥 = 𝑥 Solución: COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Ejemplo 2 𝑔 𝑥 = 𝑥 𝑔 9 = 9 𝑔 9 = 3 𝑓 𝑔 9 = 𝑓 3 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 − 2 𝑓 3 = 1 3 − 2 𝑓 3 = 1 a) 𝑓𝑜𝑔 9 = 𝑓 𝑔 9 a) (fog)(9) b) (fog)(4) c) (gof )(6) d) (gof )(1) Evalúe donde sea posible: Reemplazando en f(x): Sean las funciones: 𝑔 𝑥 = 𝑥 𝑔 4 = 4 𝑔 4 = 2 𝑓 𝑔 4 = 𝑓 2 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 − 2 𝑓 2 = 1 2 − 2 𝑓 2 = 𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 Reemplazando en f(x): b) 𝑓𝑜𝑔 4 = 𝑓 𝑔 4 Esto no está definido. El valor de x = 4 no pertenece al dominio de 𝑓𝑜𝑔 de modo que 𝑓𝑜𝑔 4 no puede determinarse.
- 9. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES 𝑔 𝑥 = 𝑥 𝑔 1/4 = 1/4 𝑔 1/4 = 1/2 𝑔 𝑓 6 = 𝑔 1/4 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 − 2 𝑓 6 = 1 6 − 2 c) 𝑔𝑜𝑓 6 = 𝑔 𝑓 6 Reemplazando en g(x): 𝑓 6 = 1 4 𝑔 𝑥 = 𝑥 𝑔 −1 = −1 𝑔 −1 = 𝑁𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑔 𝑓 1 = 𝑔 −1 𝑓 𝑥 = 1 𝑥 − 2 𝑓 1 = 1 1 − 2 d) 𝑔𝑜𝑓 1 = 𝑔 𝑓 1 Reemplazando en g(x): 𝑓 1 = 1 −1 𝑓 1 = −1 El cual no es un número real. No podemos evaluar 𝑔𝑜𝑓 1 porque 1 no pertenece al dominio de 𝑔𝑜𝑓.
- 10. ¡Recuerda, cada desafío es una oportunidad para aprender!
- 11. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 1 𝑦 𝑔 𝑥 = 3𝑥 + 5 Sea: Solución: 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑔 𝑥 ) = 𝑓(3𝑥 + 5) = (3𝑥 + 5)2−1 = 9𝑥2 + 30𝑥 + 25 − 1 Determine 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 y el dominio de 𝑓 ∘ 𝑔 Determine 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 y el dominio de 𝑔 ∘ 𝑓 Observación: Cuando las funciones son polinomiales el dominio de 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 es igual a ℝ 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 1 𝑦 𝑔 𝑥 = 3𝑥 + 5 Sea: Ejemplo 3: Ejemplo 4: 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑓 𝑥 ) = 𝑔(𝑥2 − 1) = 3(𝑥2 − 1) + 5 Solución: Dominio de 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = ℝ = 9𝑥2 + 30𝑥 + 24 = 3𝑥2 + 2 = 3𝑥2 − 3 + 5 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 𝑔 ∘ 𝑓 𝑥
- 12. 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 𝑦 𝑔 𝑥 = 𝑥 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Sea: Solución: 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑔 𝑥 ) = 𝑓( 𝑥) = 𝑥 − 2 Determine 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 y el dominio de 𝑓 ∘ 𝑔 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 𝑔 𝑥 = 𝑥 (𝑥 ≥ 0) 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∘ 𝑔 = Hallando los dominios de las funciones: 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = 𝑅 = < −∞, +∞ > 𝐷𝑜𝑚 𝑔 = ሾ0, ۧ +∞ ሾ0, ۧ +∞ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑥/ 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑔 𝑔 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝑥 ∈ ሾ0, ۧ +∞ 𝑔(𝑥) ∈ 𝑅 𝑥 ≥ 0 𝑥 ∈ 𝑅 𝑥 ≥ 0 𝑥 ≥ 0 𝑥 ≥ 0 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 Ejemplo 5:
- 13. 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑦 𝑔 𝑥 = 2𝑥 − 3 COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Si f y g están definidos por: Solución: 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑔 𝑥 ) = 𝑓(2𝑥 − 3) 2𝑥 − 3 Determine 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 y el dominio de 𝑓 ∘ 𝑔 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ሾ0, ۧ +∞ 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑔 𝑥 = 2𝑥 − 3 2𝑥 − 3 ≥ 0 2𝑥 ≥ 3 𝑥 ≥ 3 2 ሾ3/2 , ۧ +∞ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝐷𝑜𝑚 𝑔 = 𝑅 = < −∞, +∞ > 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑥/𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑔 𝑔 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 (𝑥 ≥ 0) 𝑥 ∈ 𝑅 𝑔(𝑥) ∈ ሾ0, ۧ +∞ 2𝑥 − 3 ∈ ሾ0, ۧ +∞ 𝑥 ∈ 𝑅 𝑥 ∈ 𝑅 Hallando los dominios de las funciones: 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = Ejemplo 6:
- 14. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Ejemplo 7: Sean las funciones: 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑦 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 2 Hallar: Dom 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 0 2 -2 x y f (x) g (x) 2 x (fog)(x) y Dom(g)= ℝ Dom(fog) = [2, ∞[ Dom(f) = [0, ∞[ Solución Hallemos el 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓(𝑔 𝑥 ) = 𝑓(𝑥 − 2) 𝑥 − 2 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = Analizando gráficamente tenemos lo siguiente: 𝑥 ∈ 𝑅 𝑥/ 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑔 𝑔 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝑥 − 2 ∈ ሾ0, ۧ +∞ 𝑥 − 2 ≥ 0 𝑥 ≥ 2 Dom(fog) = [2, ∞[
- 15. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Ejemplo 8 Dadas las funciones: y Halle: fog y gof {( 2,0),( 1, 4),(3,1),(5,2)} = − − − f {( 2, 1),(0,3),(1,4),(2,0),(4,5)} g = − − Solución: Para hallar fog, debemos conocer previamente el rango de “g” y el dominio de “f”, así: Ran(g)={–1, 0, 3, 4, 5} y Dom(f)={–2, –1, 3, 5}, entonces: Buscamos los pares de “g” y “f” que tengan como segundas y primeras componentes a: –1, 3, 5, respectivamente. Luego: Por lo tanto, tenemos: ( ) ( ) { 1,3,5} Ran g Dom f = − ( 2, 1) ( 1, 4) ( 2, 4) (0,3) (3,1) (0,1) (4,5) (5,2) (4,2) − − − − → − − → → g f f g g f f g g f f g {( 2, 4),(0,1),(4,2)} f g = − −
- 16. Para hallar gof se analiza en forma similar Para gof : Ran(f)={–4, 0, 1, 2,} y Dom(g)={–2, 0, 1, 2, 4} entonces: Luego: Por lo tanto, tenemos: ( ) ( ) {0,1,2} Ran f Dom g = ( 2,0) (0,3) ( 2,3) (3,1) (1,4) (3,4) (5,2) (2,0) (5,0) f g g f f g g f f g g f − → − → → {( 2,3),(3,4),(5,0)} g f = − COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Dadas las funciones: y Halle: fog y gof {( 2,0),( 1, 4),(3,1),(5,2)} = − − − f {( 2, 1),(0,3),(1,4),(2,0),(4,5)} g = − − Ejemplo 9 Solución:
- 17. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Solución: De los datos tenemos : f −1 = 6 → 𝑔 𝑓 −1 = 𝑔 6 = 8 → (−1; 8) ∈ 𝑔 ∘ 𝑓 g∘ 𝑓 = {(−1,8), (3,9), (5,8)} Dados los conjuntos: 𝐴 = −1, 3, 5 ; 𝐵 = 6, 7 𝐶 = 8, 9 ; y las funciones 𝑓 𝑦 𝑔 definidas por: 𝑓 −1 = 6; 𝑓 3 = 7; 𝑓 5 = 6; 𝑔 6 = 8; 𝑔 7 = 9. Calcule : 𝒈 ∘ 𝒇 f 3 = 7 → 𝑔 𝑓 3 = 𝑔 7 = 9 → (3; 9) ∈ 𝑔 ∘ 𝑓 f 5 = 6 → 𝑔 𝑓 5 = 𝑔 6 = 8 → (5; 8) ∈ 𝑔 ∘ 𝑓 𝑓 −1 = 6; 𝑓 3 = 7; 𝑓 5 = 6; 𝑔 6 = 8; 𝑔 7 = 9 Ejemplo 10
- 18. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Determina 𝑓 ∘ 𝑔 (𝑥) y también el dominio de 𝑓 ∘ 𝑔 (𝑥), si las funciones son: 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 3; 𝑥 ∈ 3; 9 𝑔 𝑥 = 2𝑥 − 1; 𝑥 ∈ 3; ∞ Solución: 1° Hallemos el 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑥/ 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑔 𝑔 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 𝑥 ∈ 3; ∞ 2𝑥 − 1 ∈ 3; 9 𝑥 > 3 3 ≤ 2𝑥 − 1 ≤ 9 4 ≤ 2𝑥 ≤ 10 2 ≤ 𝑥 ≤ 5 Luego el 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∘ 𝑔 = 3; 5 𝑓 ∘ 𝑔 (𝑥) = 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓 2𝑥 − 1 𝑓 ∘ 𝑔 (𝑥) = 2𝑥 − 1 2 − 3 𝑓 ∘ 𝑔 (𝑥) = 4𝑥2 − 4𝑥 + 1 − 3 𝑓 ∘ 𝑔 (𝑥) = 4𝑥2 − 4𝑥 − 2
- 19. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES Sean las funciones 𝑓 𝑥 = 𝑥2 y 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 3 a. Encuentra las funciones 𝑓 ∘ 𝑔 y 𝑔 ∘ 𝑓 y sus dominios. b. Halla 𝑓 ∘ 𝑔 5 y 𝑔 ∘ 𝑓 7 . Solución: a. 1° Hallemos el 𝐷𝑜𝑚 𝑓 ∘ 𝑔 = ℝ∧ el 𝐷𝑜𝑚 𝑔 ∘ 𝑓 = ℝ 𝑓 ∘ 𝑔 (𝑥) = 𝑓 𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 − 3 = 𝑥 − 3 2 𝑥2 − 6𝑥 + 9 𝑔 ∘ 𝑓 (𝑥) = 𝑔 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥2 = 𝑥2 − 3 𝑏. 𝑓 ∘ 𝑔 5 = 52 − 6 5 + 9 = 4 𝑔 ∘ 𝑓 7 = 72 − 3 = 46
- 20. PROBLEMA APLICATIVO DE COMPOSICIÓN DE FUNCIONES En una compañía de celulares el costo total de elaborar 𝑞 unidades durante un día de trabajo es 𝐶 𝑞 = 2𝑞 + 50 dólares. En un día típico de trabajo, durante las primeras 𝑡 horas se fabrican 𝑞 𝑡 = 30 𝑡 unidades. Exprese el costo de fabricación total como una función de 𝑡 y determine el gasto en la producción de celulares al final de la quinta hora. Solución: 𝐶 ∘ 𝑞 (𝑡) = 𝐶 𝑞(𝑡) 𝐶 30𝑡 = 2(30𝑡) + 50 = 60𝑡 + 50 𝐶 ∘ 𝑞 (5) =60(5) + 50 = 350 Los gastos en la producción de celulares al final de la quinta hora es $350
- 21. Problema sobre venta de escritorios Solución: Hallando el El modelo matemático de Resolviendo obtenemos:
- 22. Problemas sobre costos a) Determine e interprete b) Encuentre el costo de las unidades producidas en 4 horas. c) Encuentre el tiempo que debe transcurrir a fin de que el costo sea de S/15 000.
- 23. Problemas sobre costos Solución: a) Determine e interprete. c) Encuentre el tiempo que debe transcurrir a fin de que el costo sea de S/15 000. Respuesta: Deben transcurrir 5 años aproximadamente para que el costo sea de S/15 000. b) Encuentre el costo de las unidades producidas en 4 horas. Rpta: La función resultante es el costo en función del tiempo.
- 24. Problema sobre venta de zapatos b)
- 25. Aplicación 1 Solución: Por lo tanto: y
- 26. Aplicación 2 Solución: El nivel de monóxido será 338,5ppm
- 27. ¡Recuerda, cada desafío es una oportunidad para aprender!
- 28. METACOGNICIÓN 1. ¿Qué has aprendido en esta sesión? 2. ¿Cuáles son los errores que has cometido en el desarrollo de esta sesión? ¿Cómo lo has enfrentado y superado? 3. ¿En qué aspectos de tu vida crees que corresponde aplicar esta sesión de la composición de funciones? 4. La sesión de hoy día, ¿lo utilizarás en el futuro?
- 29. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS • Arya, J. y Jardish,R. (2009). Matemáticas aplicadas a la administración y la economía (5.a ed.). • Harshbarger, R. y Reynold, J. (2005). Matemáticas aplicadas a la administración, economía y ciencias sociales (7.a ed.). • Hoffmann, L., Bradley, G., Sobecki, D., Price, M. y Sandoval, S. (2014). Matemáticas aplicadas a la administración y negocios (11.a ed.).
- 30. GRACIAS