![ JERARQUÍA EN FORMA DECRECIENTE DE LAS OPERACIONES ENTRE NÚMEROS REALES
La más alta son los signos de agrupación: Si aparecen varios signos de agrupación, la jerarquía
en orden creciente es la siguiente: primero paréntesis ( ), luego Corchetes [ ] y por último { }.
Le sigue multiplicación y división: tienen la misma jerarquía.
Por último, suma y resta: tienen la misma jerarquía.
Si en una expresión aparecen combinadas la suma, la resta, la multiplicación y la división con
los signos de agrupación, el resultado de la expresión se obtiene el siguiente orden: los
resultados de las operaciones que estén entre signos de agrupación, luego los resultados de
las multiplicaciones y divisiones y por último los resultados de las sumas y restas.](https://image.slidesharecdn.com/conjuntosnumricos-240512235538-8da8c42f/85/Conjuntos-Numericos-Resumen-Matematica-15-320.jpg)
Conjuntos Numéricos - Resumen Matemática
- 1. UNIDAD I: Conjuntos Numéricos Sistemas Numéricos. Números enteros. Números racionales. Números reales. Operaciones con números reales. Propiedades. Orden. Potencia y sus propiedades. Exponentes racionales. Raíces. Valor absoluto de un número real. Números complejos: propiedades, operaciones, representación geométrica. Principio de inducción matemática.
- 2. NÚMEROS REALES Los números naturales N comienzan con el número 1 (uno) y generalmente se utilizan para contar. Como conjunto se representa de la siguiente manera: Para representar a los naturales en una recta, se ubica hacia la derecha la secuencia 1, 2, 3, ... a una distancia fija, denominada unidad, como se ilustra en la siguiente figura: El Conjunto de los Números Naturales
- 3. NÚMEROS REALES El conjunto de los números naturales, sus opuestos negativos y el cero constituyen el conjunto de los números enteros. El conjunto de los números enteros se simboliza con la letra Z. Este conjunto, amplía las posibilidades de representar diversas situaciones. Se representa de la siguiente forma: 𝑍 = 𝑁 ∪ {0} ∪ 𝑍− Para representar los Z en una recta, se toma una longitud fija como unidad, se ubica el 0 (cero) y los valores a la derecha de cero son positivos y a la izquierda se marcan con el signo negativo. Esta situación se ilustra en la siguiente gráfica: El Conjunto de los Números Enteros (Z)
- 4. NÚMEROS REALES Los números racionales Q permiten representar partes de una unidad. Tienen la propiedad de que se pueden escribir como el cociente de dos números enteros, como una fracción 𝑚 𝑛 donde 𝑚 es el numerador y 𝑛 el denominador, que no puede ser 0 (cero). Se definen de la siguiente manera: Todos los números enteros son números racionales, ya que cualquier entero se puede expresar como la división entre él mismo y el 1, es decir sí En una recta, los racionales se representan de la siguiente forma: El Conjunto de los Números Racionales (Q)
- 5. NÚMEROS REALES Transformación de una fracción en una expresión decimal Se divide el numerador por el denominador. Si el resto es 0, la expresión será decimal exacto (por ejemplo 2/5 = 0,4), caso contrario, la expresión será periódica, en la cual se repiten indefinidamente alguna o algunas cifras decimales llamadas “periodo” (por ejemplo 1/3 = 0,333…, se expresa 0, 3). • Expresión Decimal Periódica Pura • Expresión Decimal Periódica Mixta El Conjunto de los Números Racionales (Q)
- 6. NÚMEROS REALES Fracciones equivalentes Dos fracciones son equivalentes cuando representa el mismo número, por ejemplo 1 4 , 2 8 𝑦 5 20 son equivalentes porque todas representan el número 0,25. El Conjunto de los Números Racionales (Q)
- 7. NÚMEROS REALES Operaciones de los Números Racionales: Adición y sustracción de fracciones con igual denominador: Para sumar fracciones con igual denominador, se conserva en denominador y se suman los numeradores. Siendo a, b, c diferentes a 0, lo podemos representar de la siguiente forma: 𝑎 𝑐 ± 𝑏 𝑐 = 𝑎 ± 𝑏 𝑐 Adición y sustracción de fracciones con distinto denominador Para sumar fracciones con distinto denominador, se igualan los denominadores de las fracciones, buscando el mínimo común múltiplo entre los denominadores y amplificando cada fracción por el número que corresponda. Luego, se realiza la adición o sustracción de la misma forma que en el caso anterior (igual denominador). En el caso que sean 2 fracciones, siendo a, b, c, d diferentes a 0, lo podemos representar de la siguiente forma: 𝑎 𝑐 ± 𝑏 𝑑 = 𝑎𝑑 ± 𝑏𝑐 𝑐𝑑 El Conjunto de los Números Racionales (Q)
- 8. NÚMEROS REALES Multiplicación de números fraccionarios El producto entre dos o más números racionales es otro número racional, cuyo numerador y denominador son los productos de los numeradores y denominadores de cada uno de los factores. Siendo a, b, c y d diferentes de cero, pertenecientes al conjunto de los números enteros, lo podemos representar de la siguiente forma: 𝑎 𝑐 ∙ 𝑏 𝑑 = 𝑎𝑏 𝑐𝑑 División de números fraccionarios El cociente entre dos o más números racionales es otro número racional, cuyo numerador es el producto del numerador del primero con el denominador del segundo número racional, y denominador es el producto del denominador del primero por el numerador del segundo números racional. Siendo a, b, c, d diferentes de cero, pertenecientes al conjunto de los números enteros, lo podemos representar de la siguiente forma: 𝑎 𝑐 : 𝑏 𝑑 = 𝑎𝑑 𝑐𝑏 Como sabemos, las expresiones decimales se las puede expresar como fracciones y realizar las operaciones. El Conjunto de los Números Racionales (Q)
- 10. NÚMEROS REALES Es el conjunto de números que no pueden expresarse como cociente de dos enteros, en este sentido su expresión decimal no es finita ni periódica, es decir que a sus cifras decimales no se les puede determinar un período y su número de cifras decimales es indefinido. Se simbolizan con la letra Q∗ o I. Ejemplo: Propiedades de I: a) I es infinito b) El conjunto I no tiene ni primero ni último elemento. c) Entre dos números irracionales existen infinitos números irracionales, entonces se dice que I es denso. El Conjunto de los Números Irracionales (I)
- 11. NÚMEROS REALES Operaciones con números irracionales: Suma y resta de números irracionales: La suma y resta de dos números irracionales se hace aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma, en caso que tengan un factor común y se quiera una representación exacta. Ejemplos: 2 5 + 7 5 = 9 5 7 2 − 4 2 = 3 2 Si los números irracionales no tienen factor común y se quiere representación exacta, la suma se deja con esa representación sin poderse agrupar más. Ejemplo:2𝜋 − 5 = 2𝜋 − 5 El Conjunto de los Números Irracionales (I)
- 12. NÚMEROS REALES Multiplicación de números irracionales: La multiplicación de dos números irracionales se puede realizar utilizando las propiedades asociativa y conmutativa para el producto. 2 5 3 2 = 6 5 ∙ 2 = 6 10 El Conjunto de los Números Irracionales (I)
- 13. NÚMEROS REALES Es el conjunto formado por la unión de los racionales y los irracionales: 𝑅 = 𝑄 ∪ 𝐼 El Conjunto de los Números Reales (R)
- 14. Formas de representación Expresiones enteras Ej: 1, 2, 3 4, 5, … Fraccionarias Decimales finitos Ej: 1,2 ; 3,5 ; 0,72; … Decimales periódicos Puros Ej: 0, 4333333333 Decimales periódicos Mixtos Ej: 7,45454545
- 15. JERARQUÍA EN FORMA DECRECIENTE DE LAS OPERACIONES ENTRE NÚMEROS REALES La más alta son los signos de agrupación: Si aparecen varios signos de agrupación, la jerarquía en orden creciente es la siguiente: primero paréntesis ( ), luego Corchetes [ ] y por último { }. Le sigue multiplicación y división: tienen la misma jerarquía. Por último, suma y resta: tienen la misma jerarquía. Si en una expresión aparecen combinadas la suma, la resta, la multiplicación y la división con los signos de agrupación, el resultado de la expresión se obtiene el siguiente orden: los resultados de las operaciones que estén entre signos de agrupación, luego los resultados de las multiplicaciones y divisiones y por último los resultados de las sumas y restas.
- 16. POTENCIA EN R Sea 𝑎 ∈ 𝑟, n entero positivo, definimos 𝑎𝑛 = 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ 𝑎 … n: exponente a: base de la potencia n veces
- 17. POTENCIA EN R PROPIEDADES
- 18. RADICACIÓN EN R
- 19. RADICACIÓN EN R PROPIEDADES
- 20. RADICACIÓN EN R Ejemplos:
- 21. OPERACIÓN CON RADICALES Extracción de factores fuera del radical: Para extraer un factor fuera del radical se divide el exponente del factor por el índice, el resultado es el exponente del factor fuera del radical y el resto de la división es el exponente del factor que queda dentro del radical.
- 22. OPERACIÓN CON RADICALES RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES Es el proceso en que se transforma una fracción con radicales en el denominador a otra equivalente sin radicales. CASO 1
- 23. OPERACIÓN CON RADICALES RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES CASO 2: Denominador con un solo radical. Se multiplica y se divide por una raíz con el mismo índice y el exponente del radicando es la diferencia entre el índice y el exponente del radical original.
- 24. OPERACIÓN CON RADICALES RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES CASO 3: Cuando se tiene un binomio con radicales en el denominador de la fracción, se multiplica y divide por el binomio conjugado.
- 25. VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL Se define como valor absoluto de un número real a 𝒂 = ቐ 𝒂 𝒔𝒊 𝒂 > 𝟎 𝟎 𝒔𝒊 𝒂 = 𝟎 −𝒂 𝒔𝒊 𝒂 < 𝟎 Propiedades de valor absoluto
- 26. VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL Se define como valor absoluto de un número real a 𝒂 = ቐ 𝒂 𝒔𝒊 𝒂 > 𝟎 𝟎 𝒔𝒊 𝒂 = 𝟎 −𝒂 𝒔𝒊 𝒂 < 𝟎 EJEMPLOS 𝟒 = 𝟒 −𝟔 = − −𝟔 = 𝟔