Conjuntos numericos y operaciones.docx
- 2. -Conjuntos: En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos considerada en sí misma como un objeto matemático. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él. -Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es: AI = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta} Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …} Formalmente, un conjunto es el tipo de objeto matemático del que tratan los axiomas de Zermelo-Fraenkel.
- 3. -Operaciones con conjuntos: Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos, nos permiten realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto. De las operaciones con conjuntos veremos las siguientes unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y complemento. ‒ Unión o reunión de conjuntos: Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro conjunto que contendrá a todos los elementos que queremos unir, pero sin que se repitan. Es decir, dado un conjunto A y un conjunto B, la unión de los conjuntos A y B será otro conjunto formado por todos los elementos de A, con todos los elementos de B sin repetir ningún elemento. El símbolo que se usa para indicar la operación de unión es el siguiente: ∪. Cuando usamos diagramas de Venn, para representar la unió de conjuntos, se sombrean los conjuntos que se unen o se forma uno nuevo. Luego se escribe por fuera la operación de unión. -Ejemplo 1. Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de estos conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente: -También se puede graficar del siguiente modo: -Ejemplo 2.
- 4. Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la unión de estos conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente: -Ejemplo 3. Dados dos conjuntos F={x/x estudiantes que juegan fútbol} y B={x/x estudiantes que juegan básquet}, la unión será F∪B={x/x estudiantes que juegan fútbol o básquet}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente: -Ejemplo 4. Dados los dos conjuntos A={3, 5, 6, 7} y B={5,6}, en donde B está incluido en A, la unión será AUB={3,5,6,7}. Usando diagramas de Venn se tendría
- 5. -Números reales: Se puede definir a los números reales como aquellos números que tienen expansión decimal periódica o tienen expansión decimal no periódica. El conjunto de los números reales (denotado por R) incluye tanto los números racionales (positivos, negativos y el cero) como los números irracionales: y en otro enfoque, a los trascendentes y a los algebraicos. Los irracionales y los trascendentes no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas, tales como V5, z. o el número real log(2), cuya trascendencia fue enunciada por Buler en el siglo XVIII. Claramente, la propiedad de tener expansión decimal periódica para los racionales la propiedad de tener expansión decimal no periódica para los irracionales define dos tipos de números muy distintos. Lo que significa que un número real es racional o irracional, nunca ambos -Ejemplo 1: -Ejemplo 2:
- 6. Desigualdades: Una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad). Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados. La notación a < b significa a es menor que b: La notación a- b significa a es mayor que b Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b: también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que" • La notación a € b significa a es menor o igual que b: • La notación a 2 b significa a es mayor o igual que bi Este tipo de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas). • La notación a «b significa tres mucho menor que b; • La notación a >> b significa a es mucho mayor que b: esta relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de magnitud. • La notación a # b significa que ha no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son comparables.
- 7. -Ejemplo 1: C.S = X ∈ (-∞, -1/3) -Ejemplo 2: C.S=X∈(-∞,-6/7)
- 8. -Valor absoluto: El valor absoluto o módulo de un número real. denotado por (X), es el valor de (x) sin considerar el signo, sea este positivo o negativo. Por ejemplo, el valor absoluto de 3 es 3 y el valor absoluto de - 3 es 3. Algunos autores extienden la noción de valor absoluto a los números complejos, donde el valor absoluto coincide con el módulo. El valor absoluto está vinculado con las nociones de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales. Para resolver ecuaciones con valor absoluto, podemos seguir los siguientes pasos: -Paso 1: Elevar al cuadrado a ambos lados de la ecuación. Esto nos asegurará de que la expresión que tiene al valor absoluto resulte positiva, ya que la función valor absoluto es la magnitud. -Paso 2: Cambiar los signos de valor absoluto por paréntesis. -Paso 3: Expandir y simplificar los paréntesis y las expresiones elevadas al cuadrado. -Paso 4: Resolver la ecuación cuadrática obtenida. -Ejemplo 1: -Resuelve la ecuación ∣x−2∣=4. Para asegurarnos de que el lado izquierdo de la ecuación sea positivo, podemos elevar al cuadrado a ambos lados de la ecuación: Ahora, podemos reemplazar a los signos de valor absoluto por paréntesis: Expandiendo el paréntesis y simplificando, tenemos:
- 9. Podemos resolver la ecuación cuadrática por factorización: Las soluciones son: -Ejemplo 2: Encuentra la solución a la ecuación ∣x+4∣=5. Vamos a elevar al cuadrado a ambos lados para asegurarnos de que el lado izquierdo es positivo: Usando paréntesis en lugar de signos de valor absoluto, tenemos: Ahora, simplificamos al expandir el paréntesis: Resolviendo por factorización, tenemos: Las soluciones son:
- 10. -Desigualdades con valor absoluto: Una desigualdad con valor absoluto es una expresión con la función valor absoluto, así como también con los signos de valor absoluto. Por ejemplo. la expresión Ix +51>2 es una desigualdad con valor absoluto que contiene un signo "mayor que". Las siguientes son desigualdades con valor absoluto; Los pasos para resolver desigualdades con valor absoluto son similares a los pasos para resolver ecuaciones, con la diferencia que tenemos que tener en cuenta un poco de información extra para resolver las desigualdades. Los siguientes pasos son reglas generales que pueden seguirse para resolver desigualdades con valor absoluto: -Paso 1: Despejar completamente la expresión con el valor absoluto. -Paso 2: Resolver las versiones positivas y negativas de las desigualdades con valor absoluto. Cuando el número en el otro lado del signo de desigualdad es negativo, concluimos que, o bien todos los números reales son soluciones o que la desigualdad no tiene solución. Cuando el número en el otro lado es positivo, procedemos a formar una desigualdad compuesta al remover las barras del valor absoluto. -Paso 3: El tipo de signo de desigualdad determina el formato de la desigualdad compuesta a ser formada. Si es que un problema contiene los signos "mayor que" o "mayor/igual que", forma una desigualdad compuesta de la siguiente manera: (Valores dentro del signo de valor absoluto) < - (el número en cl otro lado) (Valores dentro del signo de valor absoluto) › (el número en el otro lado) De igual forma, si es que un problema contiene signos menores que o menor/igual que, forma una desigualdad compuesta de tres partes de la siguiente manera: (El número en el otro lado del signo) < (valores dentro del signo de valor absoluto): (el numero en el otro lado del signo) -Paso 4: Resuelve las desigualdades.
- 11. -Ejemplo 1: Escribimos la inecuación como: Por tanto, la solución es: -Ejemplo 2: Escribimos la inecuación como: Por tanto, la solución es: O bien, con la notación de paréntesis, En cualquier caso, los extremos del intervalo son abiertos (porque la desigualdad es estricta).
- 12. -Bibliografía: -Conjuntos: https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto -Operaciones con conjuntos: https://www.conoce3000.com/html/espaniol/Libros/Matemat ica01/Cap10-03-OperacionesConjuntos.php - Números reales, desigualdades, valor absoluto y desigualdades con valor absoluto: https://es.slideshare.net/JesusSP4/presentacin-nmeros-reales- y-desigualdadesdocx -Ejercicio de números reales: https://ocw.unizar.es/ocw/pluginfile.php/926/mod_resource/ content/2/T1_Ejercicios%20Resueltos.pdf -Ejercicios de desigualdades: https://www.diloentutospc.com/ejercicios-de-desigualdad/ -Ejercicios de valor absoluto: https://www.neurochispas.com/wiki/10-ejercicios-de- ecuaciones-con-valor-absoluto/ -Ejercicios de desigualdades con valor absoluto: https://www.matesfacil.com/BAC/absoluto/valor-absoluto- inecuaciones-ejercicios-resueltos.html