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- 1. Energía cinética para un sistema de partículas En mecánica clásica, la energía cinética de un objeto puntual (un cuerpo tan pequeño que su dimensión puede ser ignorada), o en un sólido rígido que no rote, está dada la ecuación donde m es la masa y v es la rapidez (o velocidad) del cuerpo. En mecánica clásica la energía cinética se puede calcular a partir de la ecuación del trabajo y la expresión de una fuerza F dada por la segunda ley de Newton: La energía cinética se incrementa con el cuadrado de la rapidez. Así la energía cinética es una medida dependiente del sistema de referencia. La energía cinética de un objeto está también relacionada con su momento lineal: Energía cinética en diferentes sistemas de referencia Como se ha dicho, en la mecánica clásica, la energía cinética de una masa puntual depende de su masa m y sus componentes del movimiento. Se expresa en Joules (J). 1 J = 1 kg·m2/s2. Estos son descritos por la velocidad v de la masa puntual, así: En un sistema de coordenadas especial, esta expresión tiene las siguientes formas: Coordenadas cartesianas (x, y, z): Coordenadas polares (r,φ): Coordenadas cilíndricas (r,φ,z): Coordenadas esféricas (r,φ,θ): Con eso el significado de un punto en una coordenada y su cambio temporal se describe como la derivada temporal de su desplazamiento: En un formalismo Hamiltoniano no se trabaja con esas componentes del movimiento, o sea con su velocidad, si no con su impulso p (cambio en la cantidad de movimiento). En caso de usar componentes cartesianas obtenemos: Energía cinética de sistemas de partículas Para una partícula, o para un sólido rígido que no esté rotando, la energía cinética va a cero cuando el cuerpo para. Sin embargo, para sistemas que contienen muchos
- 2. cuerpos con movimientos independientes, que ejercen fuerzas entre ellos y que pueden (o no) estar rotando; esto no es del todo cierto. Esta energía es llamada 'energía interna'. La energía cinética de un sistema en cualquier instante de tiempo es la suma simple de las energías cinéticas de las masas, incluyendo la energía cinética de la rotación. Un ejemplo de esto puede ser el sistema solar. En el centro de masas del sistema solar, el sol está (casi) estacionario, pero los planetas y planetoides están en movimiento sobre él. Así en un centro de masas estacionario, la energía cinética está aun presente. Sin embargo, recalcular la energía de diferentes marcos puede ser tedioso, pero hay un truco. La energía cinética de un sistema de diferentes marcos inerciales puede calcularse como la simple suma de la energía en un marco con centro de masas y añadir en la energía el total de las masas de los cuerpos que se mueven con rapidez relativa entre los dos marcos. Esto se puede demostrar fácilmente: sea V la rapidez relativa en un sistema k de un centro de masas i: Sin embargo, sea la energía cinética en el centro de masas de ese sistema, podría ser el momento total que es por definición cero en el centro de masas y sea la masa total: . Sustituyendo obtenemos: La energía cinética de un sistema entonces depende del Sistema de referencia inercial y es más bajo con respecto al centro de masas referencial, por ejemplo: en un sistema de referencia en que el centro de masas sea estacionario. En cualquier otro sistema de referencia hay una energía cinética adicional correspondiente a la masa total que se mueve a la rapidez del centro de masas.
- 3. A veces es conveniente dividir a la energía cinética total de un sistema entre la suma de los centros de masa de los cuerpos, en su energía cinética de traslación y la energía de rotación sobre el centro de masas: donde: Ec es la energía cinética total, Et es la energía cinética de traslación y Er es la energía de rotación o energía cinética angular en este sistema. Entonces la energía cinética en una pelota de tenis en viaje tiene una energía cinética que es la suma de la energía en su traslación y en su rotación. Relación trabajo y energía para un sistema de partículas En el tema de dinámica de una partícula se dedujo que el trabajo realizado por todas las fuerzas que actúan sobre ella es igual a la variación de energía cinética de la misma. En el caso de un sistema de partículas veremos cómo se modifica esta expresión, considerando que pueden actuar fuerzas internas y externas. También definiremos nuevas magnitudes, más útiles a la hora de determinar cómo un sistema intercambia energía con el exterior. Variación de energía cinética Imaginemos un sistema formado por dos partículas, sobre las que actúan fuerzas externas (en verde) y fuerzas internas (en rojo). En cada instante, la energía cinética del sistema es la suma de la energía cinética de cada partícula; por tanto, la variación de energía cinética del sistema en un intervalo de tiempo será:
- 4. Aplicando para cada partícula que la variación de su energía cinética es igual al trabajo de todas las fuerzas que actúan sobre ella: Sumando ambas variaciones, obtenemos finalmente que: Es importante destacar que aunque la suma de las fuerzas internas siempre es cero, no lo es la suma de los trabajos realizados por ellas, ya que para calcular el trabajo hay que tener en cuenta la trayectoria que describe cada partícula. Energía propia Teniendo en cuenta que las fuerzas internas suelen ser conservativas, por ser centrales, el trabajo realizado por ellas se puede expresar en función de una energía potencial asociada. Utilizando la relación anterior, queda entonces: Definimos una nueva magnitud, llamada energía propia (U) como la suma de la energía cinética y la potencial interna:
- 5. Conviene hacer notar que la energía cinética debe estar referida a un sistema de referencia inercial, ya que se calcula a partir de las velocidades. Sin embargo, la energía potencial interna es independiente del sistema de referencia, ya que sólo depende de las distancias relativas entre las partículas. Conservación de la energía En términos de la energía propia, el trabajo de las fuerzas externas es: Podemos distinguir tres casos: Sistema aislado (no actúan fuerzas externas): el trabajo de las fuerzas externas es nulo de lo que se deduce que en un sistema aislado la energía propia se conserva. Las fuerzas externas son conservativas: en este caso el trabajo de dichas fuerzas se expresa en función de una energía potencial externa. Sustituyendo: La energía mecánica de un sistema es la suma de la energía cinética, la potencial interna y la potencial externa. Entonces, cuando las fuerzas internas y externas son conservativas, la energía mecánica del sistema se conserva.
- 6. Actúan fuerzas de rozamiento (no conservativas): en el término del trabajo de las fuerzas externas hay que considerar también el trabajo realizado por las fuerzas de rozamiento, y la expresión final queda: Es decir, cuando actúan fuerzas de rozamiento, la variación de energía mecánica es igual al trabajo de las fuerzas de rozamiento. Colisión (choque) Cuando dos o más cuerpos se aproximan entre sí, entre ellos actúan fuerzas internas que hacen que su momento lineal y su energía varíen, produciéndose un intercambio entre ellos de ambas magnitudes. En este caso se dice que entre los cuerpos se ha producido una colisión o choque. Es preciso recalcar que, para que se produzca una colisión, no es necesario que los cuerpos hayan estado físicamente en contacto en un sentido microscópico; basta que se aproximen lo suficiente como para que haya habido interacción entre ellos La característica fundamental de una colisión es que las fuerzas que determinan lo que ocurre durante la misma son únicamente fuerzas internas (de interacción entre los distintos cuerpos que colisionan). Como consecuencia de este hecho la velocidad del centro de masas del sistema durante la colisión va a ser constante ya que la aceleración del centro de masas es producida únicamente por las fuerzas externas que actúan sobre el sistema. Momento lineal en una colisión El momento lineal de un sistema de partículas es igual al momento lineal de su centro de masas. Como durante una colisión éste es constante, En todo choque el momento lineal total del sistema se conserva.
- 7. Choque en una dimensión. Como las fuerzas que actúan durante el choque son internas, el momento lineal total del sistema se conserva. La ecuación anterior es una ecuación vectorial y como tal hay que utilizarla al analizar un choque entre partículas. Energía La variación de energía cinética de un sistema de partículas viene dada por: En una colisión las fuerzas relevantes son las fuerzas internas, por lo que la expresión anterior puede escribirse: A partir de aquí podemos distinguir dos tipos de colisiones: aquellas en que las fuerzas internas no hacen trabajo y en las que sí que lo hacen. Choque elástico Un choque elástico es aquél en que las fuerzas internas no hacen trabajo. De la ecuación anterior se deduce que en este caso la energía cinética del sistema de partículas se conserva durante el choque. Para el caso de una colisión entre dos partículas representado en la figura anterior se tiene entonces: Un ejemplo típico de colisión elástica lo constituye el choque de las bolas de billar. Puesto que éstas son rígidas no cambian de forma, y por tanto las fuerzas internas no hacen trabajo.
- 8. El choque de las bolas de billar es elástico. Durante un choque elástico se conservan el momento lineal y la energía cinética. Choque inelástico En un choque inelástico las fuerzas internas hacen trabajo, por lo que la energía cinética del sistema ya no permanece constante, aunque el momento lineal sigue conservándose. Si el trabajo de las fuerzas internas es negativo, la energía cinética del sistema disminuirá durante la colisión. Cuando un coche choca contra un obstáculo se deforma, por lo que las fuerzas internas hacen trabajo y el choque es inelástico. La energía cinética disminuye. El grado de inelasticidad de un choque viene determinado por el coeficiente de restitución: Que puede tomar valores entre cero y uno. Para un choque elástico e = 1 y para uno totalmente inelástico (las masas quedan unidas después del choque) e = 0.
- 9. Dinámica de cuerpos rígidos El cuerpo rígido es un caso especial de un sistema de partículas. Es un cuerpo ideal en el cual las partículas que lo componen no modifican su posición relativa entre ellas, cualquiera sea la fuerza o torque a la que esté sometido. Es decir, ninguna fuerza y/o torque que “actúe” sobre el sólido rígido será capaz de modificar la distancia que guarda cada una de las partículas que componen al sólido con todas las demás. Esta es su característica distintiva. Tipos de movimientos de cuerpos rígidos: traslación, rotación y roto-traslación Traslación pura El cuerpo rígido puede tener un movimiento de traslación pura; en este tipo de movimiento, las velocidades de cada una de las partículas que componen al sólido, en cada instante de tiempo, son iguales (tener presente que la velocidad es un ector; esto implica que el módulo, la dirección y el sentido de la velocidad son iguales para todas las partículas en un instante dado). En general, el movimiento del sólido será curvilíneo y, por lo tanto, tendrá componentes de aceleración tangencial y normal. Rotación pura Si el único movimiento del cuerpo rígido es de rotación alrededor de un eje, decimos que el movimiento es de rotación pura; en este caso, las trayectorias de todas las partículas del sólido son circunferencias concéntricas; la velocidad de cada partícula tendrá la dirección y sentido del versor tangente a la circunferencia en cada instante de tiempo. Asimismo, las velocidades de las distintas partículas que integran el sólido no serán las mismas; la única velocidad común será la velocidad angular del cuerpo. Movimiento roto-traslatorio El sólido rígido puede trasladarse y rotar simultáneamente. En esta circunstancia, diremos que el movimiento es roto-traslatorio; es el movimiento más general que puede tener. Un típico ejemplo del movimiento roto-traslatorio lo constituye el movimiento de la Tierra: se traslada en una órbita elíptica alrededor del Sol y simultáneamente gira en torno a un eje que pasa por sus polos. Trabajo y energía para cuerpos rígidos Este principio se utilizara ahora para analizar el movimiento plano de cuerpos rígidos. Aquí utilizaremos los parámetros de velocidad y desplazamiento, no es necesario el cálculo de la aceleración. También debemos observar que estas cantidades, trabajo y energía cinética, son cantidades escalares. Recordar, que también debemos suponer que el cuerpo rígido esta formado por n partículas de masa ∆mi
- 10. Donde, T1 y T2, valor inicial y final de la Energía Cinética Total de las partículas que forma el cuerpo rígido. U1-2 trabajo de todas las fuerzas que actúan sobre las diversas partículas del cuerpo rígido. La energía Cinética Total: U1-2, representa el trabajo que realizan todas las fuerzas que actúan en un cuerpo rígido, tanto interno como externo. Por definición de cuerpo rígido, Ui-2, Interno es cero; pues la distancia es la misma y las fuerzas internas son iguales, la misma dirección, sentido opuesto. U1-2, se reduce al trabajo de las fuerzas externas y estas actúan sobre el cuerpo durante el desplazamiento considerado. Trabajo de las Fuerzas que actúan sobre un Cuerpo Rígido El trabajo de una fuerza F, durante un desplazamiento de su punto de aplicación desde A1 hasta A2, es F = magnitud de la Fuerza α = ángulo que forma con la dirección del movimiento de su punto de aplicación A y S= es la variable de interacción que mide la distancia recorrida por A, a lo largo de su trayectoria. Equilibrio de cuerpos rígidos Un cuerpo rígido se puede definir como aquel que no sufre deformaciones por efecto de fuerzas externas, es decir un sistema de partículas cuyas posiciones relativas no cambian. Un cuerpo rígido es una idealización, que se emplea para efectos de estudios de cinemática, ya que esta rama de la mecánica, únicamente estudia los objetos y no las fuerzas exteriores que actúan sobre ellos.
- 11. La estática de cuerpos extensos es mucho más complicada que la del punto, dado que bajo la acción de fuerzas el cuerpo no sólo se puede trasladar sino también puede rotar y deformarse. Consideraremos aquí la estática de cuerpos rígidos, es decir indeformables. En este caso para que haya equilibrio debemos pedir, tomando como referencia un punto P cualquiera del cuerpo, que P no se traslade y que no haya rotaciones. Es decir que la resultante de todas las fuerzas aplicadas sea nula y que el momento resultante (la suma de los momentos de todas las fuerzas) se anule. Por lo tanto es necesario tomar en cuenta el punto de aplicación de cada fuerza. Supondremos ahora que se conocen F y M y dejamos para más adelante el problema de cómo calcularlos. Sobre un cuerpo rígido actuan: 1. Fuerzas externas representan la acción que ejercen otros cuerpos sobre el cuerpo rígidos, son las responsables del comportamiento externo del cuerpo rígido, causarán que se mueva o aseguraran su reposo. 2. Fuerzas internas: son aquellas que mantienen unidas las partículas que conforman el cuerpo rígido. Se puede concluir que cada una de las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo rígido pueden ocasionar un movimiento de traslación, rotación o ambas siempre y cuando dichas fuerzas no encuentren ninguna oposición. Para que un cuerpo rígido tenga equilibrio estático se debe cumplir que: La sumatoria de las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo sean iguales a cero, no existe aceleración lineal. La sumatorias de los torques que actúen sobre el cuerpo sean iguales a cero, no existe aceleración angular Centro de gravedad Debido a que un cuerpo es una distribución continua de masa, en cada una de sus partes actúa la fuerza de gravedad. El centro de gravedad es la posición donde se puede considerar actuando la fuerza de gravedad neta, es el punto ubicado en la posición promedio donde se concentra el peso total del cuerpo. Para un objeto simétrico homogéneo, el centro de gravedad se encuentra en el centro geométrico, pero no para un objeto irregular. Centro de masa Es la posición geométrica de un cuerpo rígido en la cual se puede considerar concentrada toda su masa; corresponde a la posición promedio de todas las partículas de masa que forman el cuerpo rígido. El centro de masa de cualquier objeto simétrico homogéneo, se ubica sobre un eje de simetría.
- 12. En forma más sencilla podemos decir que el centro de masa es el punto en el cual se puede considerar concentrada toda la masa de un objeto o un sistema. Cuando se estudia el movimiento de un cuerpo rígido se puede considerar la fuerza neta aplicada en el centro de masa y analizar el movimiento de este último como si fuera una partícula. Cuando la fuerza es el peso, entonces se considera aplicado en el centro de gravedad. Para casi todos los cuerpos cerca de la superficie terrestre, el centro de masa es equivalente al centro de gravedad, ya que la gravedad es casi constante, es decir, si la gravedad es constante en toda la masa, el centro de gravedad coincide con el centro de masa. Tipos de apoyo para el análisis del diagrama de cuerpo libre en equilibrio de cuerpos rígidos: Apoyo simple: Restringe un grado de libertad de los tres que posee el cuerpo, puede evitar el cuerpo se mueva hacia arriba, pero permite que se desplace a los lados y que rote. La fuerza de interacción con el cuerpo es perpendicular al apoyo. Articulación: Restringe dos grados de libertad, el cuerpo no se puede desplazar hacia arriba (verticalmente), ni hacia los lados (horizontalmente). La reacción a este tipo de apoyos es una fuerza cuyos componentes se observan en la figura. Empotrado: Restringe los tres grados de libertad. Desplazamiento vertical , horizontal y rotación Principio de Inercia Todos sabemos que cuando un ómnibus frena, los pasajeros son impulsados hacia delante, como si sus cuerpos trataran de seguir; a veces, en algunos choques, hasta hay personas que son despedidas fuera de los vehículos. Este es uno de los ejemplos que demuestra que "los cuerpos que los cuerpos que están en movimiento tienden a seguir en movimiento". Esta propiedad de la materia se llama inercia. Pero hay otros aspectos de la inercia. Cuando un ómnibus arranca, por ejemplo, los pasajeros son impelidos hacia atrás, como si trataran de quedar en el reposo en el que se hallaban. Podríamos decir entonces que "los cuerpos que están en reposo tienden a seguir en reposo". Pero hay más todavía. Si el conductor de un automóvil acelera o aminora la marcha, esas modificaciones repercuten inmediatamente en el cuerpo de los pasajeros, quienes se inclinan hacia atrás o hacia adelante respectivamente, de esto se deduce que "los cuerpos en movimiento tienden a mantener su velocidad"; pero como la velocidad es un vector, esto significa que "se mantiene no sólo la medida, sino también la dirección y el sentido de la velocidad". Esto se puede ver cuando un vehículo entra en una curva, entonces los pasajeros son empujados hacia fuera, pues sus cuerpos tienden a seguir en la dirección que traían; incluso el auto mismo se inclina, y si se toma la curva a excesiva velocidad, se produce el vuelco, lo que muestra la tendencia del auto a seguir en línea recta.
- 13. Principio de Transmisibilidad El principio de transmisibilidad se aplica a las fuerzas precisamente en el punto de aplicación de las mismas. De manera que si aplicamos una fuerza constante a un cuerpo, al cual a su vez ocasiona que ésta se desplace continuamente, entonces simultáneamente se desplazan tanto la fuerza como el cuerpo. Al deslizarse la fuerza, permanecen constantes su magnitud, dirección, sentido y línea de acción, y, por lo tanto, el efecto externo que produce dicha fuerza al cuerpo al que se le esta aplicando permanece constante, es decir, no sufre alteración.