Criba segmentada
- 1. Criba segmentada: distribución de los números primos en las tiras numéricas. José Acevedo Jiménez Santiago, Rep. Dom. 30/04/2018 Criba de Eratóstenes. Mediante la criba de Eratóstenes podemos encontrar todos los números primos menores que un número natural dado. Comenzando por el 2, que es el primer número primo1 , se colocan todos los números naturales en una tabla; buscamos los que sean múltiplos de algún número (los compuestos), para descartarlos como primos. Los números que no han sido descartados, inexorablemente son declarados números primos. La criba de Eratóstenes finaliza cuando el cuadrado del último número primo confirmado es mayor que el número más grande de la lista. Ejemplo: Criba segmentada. Sea el mayor número de una tira de números impares consecutivos (los pares no son tomados en cuenta pues todos, excepto el 2, son compuestos), si conocemos los números primos impares, sin excepción, menores o iguales que , entonces podemos hallar los números primos que se encuentran en la tira dada.
- 2. Ejemplo: Los números primos impares menores que 19.8 son: 3, 5, 7, 11, 17, 19. Para , con los primeros seis números primos impares podemos determinar cuáles son los números primos que se encuentran entre (a, b). A primera impresión, la criba segmentada no tiene nada de especial pues resultaría mejor aplicar la criba de Eratóstenes para filtrar los números primos existentes entre 2 y un número dado . Sin embargo, la verdadera aplicación de la criba segmentada no está en su eficiencia sino en el hecho de que es posible, dada una tira de números naturales incognitos, determinar dónde podrían estar los posibles números primos. Como podemos ver en la imagen contigua de abajo, las casillas azules representan números que inexorablemente deben ser compuestos, los factores primos más pequeños de los números que componen la tira son: 3, 5 y 7. Las casillas verdes pueden ser ocupadas por números primos o por números compuestos. Ecuaciones de repartición de números compuestos.
- 3. Sean , entonces: 1) Si el mcd , el par tiene infinitas soluciones de números enteros. 2) Si el mcd , el par no tiene soluciones enteras. 3) Si el mcd ( , ) , el par tiene infinitas soluciones de números enteros. Lo que las ecuaciones nos indican es que en una tira incógnita de números naturales existen múltiplos de que están a cualquier distancia de un múltiplo de Primos gemelos. La criba segmentada y las ecuaciones de repartición de números compuestos además de indicarnos cómo se distribuyen los números primos en las tiras numéricas, nos confirman la existencia de infinitos números primos gemelos. Veamos un ejemplo: Supongamos que tenemos una ristra de números impares consecutivos, de longitud , donde es el número mayor y el menor. Esta cumple que: Por la criba segmentada sabemos que todos los números compuestos que componen la tira tienen un factor primo menor o igual a . Las ecuaciones de repartición de números compuestos nos permiten “saltar” las casillas , esto lo podremos hacer indefinidamente con cualquier factor primo que se nos antoje, pero hay una contradicción porque la tira tiene una cantidad finita de factores primos. Esto nos hace pensar que existen infinitos números primos gemelos 1. Por convención el número 1 no se considera primo.