Ecuaciones eulerprint
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Este documento resume las ecuaciones fundamentales que gobiernan el movimiento de un fluido ideal. Explica que un fluido ideal es incompresible, de densidad constante y que la presión es la única fuerza que actúa sobre un elemento de fluido. Deriva las ecuaciones de Euler que describen el equilibrio de fuerzas sobre un elemento de fluido y la ecuación de continuidad. También presenta el teorema de Bernouilli para flujos estacionarios e irrotacionales de un fluido ideal.
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- 1. Ecuaciones del movimiento de un fluido ideal Fluido ideal: 1. Es incompresible, su volumen no cambia al moverse 2. La densidad ρ es constante para todos los elementos de fluido y para todos los tiempos. 3. La fuerza sobre un elemento de superficie nδS dentro del fluido es pn δS, donde p(x, y, z, t) es una funci´on escalar denominada presi´on. 1
- 2. Implicaciones de la condici´on de incompresibilidad El flujo (volumen por unidad de tiempo) a trav´es de un elemento de superficie δS es u · n δS. El flujo neto a trav´es de una superficie cerrada S que rodea un volumen V ser´a cero en el caso de un fluido incompresible S u · n dS = V · u dV = 0. Como esto debe cumplirse para todos los elementos de fluido · u = 0 en todos los puntos del fluido. 2
- 3. Fuerzas sobre un elemento de fluido: Ecuaciones de Euler La fuerza sobre una superficie cerrada S que rodea un volumen de fluido ser´a (tercera propiedad del fluido ideal) − S pn δS = − V p dV, Entonces, si p es continuo la fuerza neta por unidad de volumen debida a la presi´on ser´a − p. Si sobre el fluido act´ua la fuerza de la gravedad (fuerza de volumen), la fuerza total sobre una part´ıcula de fluido de volumen δV ser´a (− p + ρg)δV. 3
- 4. Esta fuerza ser´a igual a la masa de la part´ıcula de fluido (que se conserva) por su aceleraci´on ρδV Du Dt . Las ecuaciones del movimiento del fluido ideal (denominadas ecuaciones de Euler) ser´an Du Dt = − 1 ρ p + g, · u = 0. Tenemos una ecuaci´on vectorial (o tres ecuaciones escalares) y una ecuaci´on escalar, las inc´ognitas son u, v, w, p. 4
- 5. Ecuaciones de Euler en coordenadas cartesianas ∂u ∂t + (u · )u = − 1 ρ ∂p ∂x ∂v ∂t + (u · )v = − 1 ρ ∂p ∂y ∂w ∂t + (u · )w = − 1 ρ ∂p ∂z donde (u · )f = u ∂f ∂x + v ∂f ∂y + w ∂f ∂z La ecuaci´on de continuidad es ∂u ∂x + ∂v ∂y + ∂w ∂z = 0 5
- 6. Ecuaciones de Euler en coordenadas cil´ındricas ∂ur ∂t + (u · )ur − u2 φ r = − 1 ρ ∂p ∂r ∂uφ ∂t + (u · )uφ + uruφ r = − 1 ρr ∂p ∂φ ∂uz ∂t + (u · )uz = − 1 ρ ∂p ∂z donde (u · )f = ur ∂f ∂r + uφ r ∂f ∂φ + uz ∂f ∂z La ecuaci´on de continuidad es 1 r ∂(rur) ∂r + 1 r ∂uφ ∂φ + ∂uz ∂z = 0 6
- 7. Ecuaciones de Euler en coordenadas esf´ericas ∂ur ∂t + (u · )ur − u2 θ + u2 φ r = − 1 ρ ∂p ∂r ∂uθ ∂t + (u · )uθ + uruθ r − u2 φ cot θ r = − 1 ρr ∂p ∂θ ∂uφ ∂t + (u · )uφ + uruφ r + uθuφ cot θ r = − 1 ρr sin θ ∂p ∂φ donde (u · )f = ur ∂f ∂r + uθ r ∂f ∂θ + uφ r sin θ ∂f ∂φ 7
- 8. La ecuaci´on de continuidad es 1 r2 ∂(r2 ur) ∂r + 1 r sin θ ∂(uθ sin θ) ∂θ + 1 r sin θ ∂uφ ∂φ = 0 8
- 9. Teorema de Bernouilli Como la fuerza gravitacional es conservativa podemos escribirla como gradiente de un potencial χ g = − χ (en este caso χ = gz.) ∂u ∂t + (u · )u = − p ρ + χ . Utilizando la igualdad (u · )u = ( × u) × u + 1 2 u2 9
- 10. y suponiendo que el flujo es estacionario podemos escribir ( × u) × u = − H donde H = p ρ + 1 2u2 + χ. Multiplicando escalarmente por u tenemos (u · )H = 0, por lo tanto en un flujo estacionario de un fluido ideal H es constante a lo largo de una l´ınea de corriente. Este es el denominado teorema de Bernouilli para l´ıneas de corriente. Si adem´as × u = 0 (flujo irrotacional) ( × u) × u = 0 = − H 10
- 11. es decir, en un flujo estacionario irrotacional de un fluido ideal H es constante en todo el fluido. Este es el denominado teorema de Bernouilli para el flujo irrotacional. 11
- 12. Ecuaci´on de la vorticidad Teniendo en cuenta la definici´on de la vorticidad, ω = ×u, la ecuaci´on de Euler se puede escribir como ∂u ∂t + ω × u = − H, y tomando el rotacional ∂ω ∂t + × (ω × u) = 0. Esta ecuaci´on se puede escribir como ∂ω ∂t + (u · )ω − (ω · )u + ω · u − u · ω = 0 12
- 13. teniendo en cuenta que · u = 0 y · ω = 0 (por ser la divergencia de un rotacional), tenemos ∂ω ∂t + (u · )ω = (ω · )u, o, alternativamente, Dω Dt = (ω · )u. Esta es la ecuaci´on de la vorticidad. Para un flujo bidimensional (ω · )u = ω∂u ∂z = 0, por lo tanto Dω Dt = 0. En un flujo bidimensional de un fluido ideal sometido a una fuerza conser- vativa, la vorticidad de cada elemento individual del fluido se conserva. 13
- 14. En el caso de un flujo estacionario (u · )ω = 0, En un flujo bidimensional estacionario de un fluido ideal sometido a una fuerza conservativa, la vorticidad de cada elemento individual del fluido es constante a lo largo de una l´ınea de corriente. 14
- 15. Vorticidad y circulaci´on Por el teorema de Stokes, el flujo de la vorticidad a trav´es de una superficie es igual a la circulaci´on de la velocidad a lo largo del contorno de dicha superficie: v · dl = × v · dS = ω · dS 15