E.D. Cauchy Euler
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La ecuación de Cauchy-Euler es una ecuación diferencial de segundo orden donde los coeficientes son constantes. El documento explica que se examinarán las soluciones generales de la ecuación homogénea de segundo orden y que luego se podrá resolver la ecuación no homogénea usando el método de variación de parámetros. También resume los métodos de solución para cuando las raíces son distintas o repetidas.
E.D. Cauchy Euler
- 2. Ecuación de CAUCHY-EULER Toda ecuacion diferencial de forma: Donde los coeficientes an, an-1, …, a0 son son constentes , tiene lso nombres de ecuacion de Cauchy- Euler.
- 3. Comenzaremos el desarrollo examinando detarlladamente las formas de soluciones generales de la ecuacion homogenea de segundo orden. La solucion de ecuaciones de orden superior sera analoga. Una vez determinada la funcion complementaria yc(x) tambien podemos resolver la ecuacion no homogenea ax^2y’’ + bxy’ + cy = g(x) con el metodo de variacion de parametros.
- 4. Metodo de solucion Intentaremos una solucion de la forma , donde m esta por determinar. La primera y la segunda derivadas son, respectivamente.
- 6. Metodo de solucion: Caso 1 RAICES DISTINTAS Sean m1y m2 las raices reales de una ecuacion, tales que . Entonces forman un conjunto fundamental de soluciones. Asi pues, la solucion general es:
- 7. Metodo de solucion: Caso 2 RAICES REALES REPETIDAS Si las raices de la ecuacion son m1=m2 solo llegaremos a una solucion que es y=x^m1. Cuando las raices de la ecuacion cuadratica am^2 + (b-a)m +c = 0 son iguales, el discriminante de los coeficientes tiene que ser cero. De acuerdo con la formula cuadatica, la raiz debe ser m1 = - (b-a)/2ª. Escribimos la ecuacion Cauchy-Euler en la forma
- 8. E identificamos Entonces la solucion general es: