Ejercicios resueltosmate

EJERCICIOI
• Solución• Solución
Caso 1:
 POR DATO
𝑥, 𝑦 > 0 y 𝑥 > 𝑦
X = 2
1
𝑥
<
1
𝑦
=>
1
2
<
1
1
= 0.5 < 1 VERDADERO
Y = 1
a)
𝑥
3
+
𝑥−5
7
+
8𝑥
21
≤ 1
Mcm: 21
7x + 3(x - 5) + 8x  1(21)
7x + 3x - 15 + 8x  21
18 x  36
X  36/18
X  2
CS: ] − ∞ ; 2 ]

• Solución • Solución
Caso 2:
Si
𝑥
6
≤
3
𝑥
+
1
2
, entonces, el conjunto solución es ] − ∞; −3] 𝑈[6; +∞[
MCM:6X
𝑥2
≤ 18 + 3𝑥
𝑥2
− 3x − 18 ≤ 0
(x - 6)(x + 3)
X = 6
X = - 3
CS: [ - 3 ; 6 ]
EJERCICIOI
C)
3(2𝑥−2)
2
>
6𝑥−3
5
+
𝑥
10
Mcm: 10
5 (6x - 6) > 2 (6x - 3) + x
30x - 30 > 12x - 6 + x
30x - 13x > 24
X >
24
17
X > 1.41

• Solución
EJERCICIOI
D) Si −5 < 2𝑥 − 3 < 5, determine el intervalo a que pertenece 3 − 4𝑥
-5 < 2X - 3 < 5 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 − 2
10 > - 4X + 6 > -10 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 3
7 > 3 - 4x > - 13
CS: ] - 13 ; 7 [

• Solución a
• 𝑎) 𝑥2 + 𝑎 − 𝑏 𝑥 − 𝑎𝑏 < 0, 𝑠𝑖 𝑏 < −𝑎
• 𝑥2
+ 𝑎 − 𝑏 𝑥 − 𝑎𝑏 < 0
• 𝑥 −−−−− − + 𝑎 ….. ax
• 𝑥 −−−−− − − 𝑏 ….. -bx
• 𝑎𝑥 − 𝑏𝑥
• 𝑥 (𝑎 − 𝑏)
• 𝑥 + 𝑎 𝑥 − 𝑏 = 0
• 𝑥 + 𝑎 = 0
• 𝑥 = −𝑎
• 𝑥 − 𝑏 = 0
• 𝑥 = 𝑏
• Solución b
• (2x +1) (x-3) < 9 + (x + 1) (x - 4)
• 2 𝑥2 − 5𝑥 − 3 < 9 𝑥2 − 3𝑥 − 4
• 𝑥2
− 2𝑥 − 8 < 0
• Comprobando:
• X --------- 4 = -4
• X -------- -2 = +2
• (x-4) (x+2)
• x-4 = 0 x+2 =0
• x= 4 x= -2
•
• 𝑐. 𝑠 = ] − 00; −4] 𝑢 [ 4; 00 + [
EJERCICIOII

• Solución c • Solución d
EJERCICIOII
( x − 2 )( 𝑥 − 5) < 0
( 2𝑥 − 5)( 𝑥 + 3) ≥ 0
( x − 2 )( 𝑥 − 5) < 0
𝑥2
− 5 𝑥 − 2 𝑥 + 10 < 0
𝑥2
− 7 𝑥 + 10 = 0
X1 = 5
X2 = 2
( 2𝑥 − 5)( 𝑥 + 3) ≥ 0
2𝑥2
+ 6 𝑥 − 5 𝑥 − 15 ≥ 0
2𝑥2
+ 1 𝑥 − 15 ≥ 0
X1 = 2.5
X2 = -3
12
𝑥 − 1
> 2 ( 𝑥 + 6)
𝑥2
− 5𝑥 − 3 < 9 𝑥2
− 3𝑥 − 4

• Solución a
EJERCICIOIII
X= cantidad de armarios
Pago total = $ 1000
Precio por unidad = 1000/x
Precio de venta :
Pv = Pc + ganancia Pv = Pc - perdida
60 ≤
1000
𝑥
+ 𝑔𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 58 ≥
1000
𝑥
− 𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎
𝑥 ≥
1000
60−𝑔𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎
𝑥 ≤
1000
58+𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎
Utilidad = Pv-Pc
200 ≤
1000
𝑥
+ 𝑔𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 − 60

• Solución b
EJERCICIOIII
Plaza La cachina = PC
Plaza Boulevard = PB
Plaza Visa = PV
 Linea Azul ( PC unido con PB)
Pendiente : 𝑚 =
𝑥−𝑥1
𝑦−𝑦1
=
30−20
70−80
= −1
Ecuación:
𝑌 − 𝑦1 = 𝑚 ( 𝑋 − 𝑥1)
𝑌 − 80 = (−1)( 𝑋 − 20)
𝑌 = 100 − 𝑋
 Linea roja ( Pv unido con Pb)
𝑚 =
70 − 40
30 − 25
= 6
𝑦 − 40 = (6)( 𝑥 − 25)
𝑦 = 6𝑥 − 110
 Linea Verde ( Pc unido con Pv)
𝑚 =
25 − 20
40 − 80
= −
1
8
𝑦 − 80 = (
−1
8
)(𝑥 − 20)
𝑦 = 82.5 − 0.125𝑥

• Solución a
EJERCICIOIV
 Multiplicamos por -1 a la segunda ecuacion
( 𝑥 − 3𝑦)(−1) ≤ 2(−1)
3𝑦 − 𝑥 ≤ −2
 Sistema de ecuaciones
2𝑥 + 3𝑦 ≤ 45
(3𝑦 − 𝑥 ≤ −2 ) ……………….x2
2𝑥 + 3𝑦 ≤ 45
6𝑦 − 2𝑥 ≤ −4
9𝑦 ≤ 41
𝑦 ≤
41
9
𝑥 ≤
94
3
Maximizando la funcion
𝑧 ≤ 5 ×
94
3
+ 7 ×
41
9
𝑧 ≤ 188.56
𝑍𝑚𝑎𝑥 = 188

• Solución b
EJERCICIOIV
Indicando los vértices.

• Solución a
EJERCICIOV
Desarrollo:
X Y 3𝑥 + 𝑦 ≤ 18
0 18 Y = 18
6 0 X = 6
X Y 𝑥 + 𝑦 ≤ 12
0 12 Y = 12
12 0 X = 12
Expresion maxima
𝒁 = 𝟑𝟎𝒙 + 𝟐𝟎𝒚
a = (2, 5) = 30(2) + 20(5) = 160
b = (7, 5) = 30(7) + 20(5) = 210
c = (12, 0) = 30(12) + 20(0) =360
d = (2, 0) = 30(2) + 20(0)=60
La maxima expresion de 30x + 20y =360

Solución
EJERCICIOVI
Área del triángulo EBA =
EB x EA
2
= 22000 𝑘𝑚2
.
EB =2 x
𝟐𝟐𝟎𝟎𝟎
𝑬𝑨
EB = 2 x
22000
222.4
≈ 200
EB ≈ 200 km
Como EB ≈ 200 km ≈ 110 milas
Además:
El área del triángulo ECA =
𝐸𝐶 𝑥 𝐸𝐷
2
= 40000 km2
EC = 2 𝑥
40000
𝐸𝐷
EC = 2 x
40000
370.4
EC ≈ 216 km
Como EC ≈ 216 𝑘𝑚 ≈ 120 𝑚𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠
Como BC = EC – EB = 120 millas – 110 millas = 10 millas
Por lo tanto BC mide 10 millas.
a) El punto A y B tiene como coordenadas (120;120) , (0;10) respectivamente.
Entonces la pendiente de la recta que une los puntos A y B es:
𝑚 𝐿1 =
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
=
120−10
120
=
110
120
=
11
12
Y la ecuación de la recta resultaría:
𝐿1: (𝑦 − 10) =
11
12
(𝑥 − 0)
𝐿1: 12𝑦 − 120 = 11𝑥
𝐿1: 11𝑥 − 12𝑦 + 120 = 0

EJERCICIOVI
a) La recta que pasa por los puntos C y D cuyas respectivas coordenadas son
(0;0),(200;120):
𝑚 𝐿2 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
𝑚 𝐿2=
120
200
=
3
5
Cuya ecuación es:
𝐿2: (𝑦 − 120) =
3
5
(𝑥 − 200)
𝐿2: 5𝑦 − 600 = 3𝑥 − 600
𝐿2: 3𝑥 − 5𝑦 = 0
Donde las restricciones serian:
𝑥 ≥ 0,
𝑥 ≤ 200 ,
11𝑥 − 12𝑦 ≥ −120,
3𝑥 − 5𝑦 ≤ 0,
𝑦 ≥ 0,
𝑦 ≤ 120

EJERCICIOVIISolución:
a) Sea la función 𝑓( 𝑥) = 𝑥 + 25 − 𝑥2 hallaremos el dominio de f(x):
Como la función es una suma de raíces cuadradas cuyos dominos son los valores de x donde el
argumento es mayor o igual que cero.
𝑓(𝑥) = 𝑥 + 25 − 𝑥2
Entonces se debe cumplir: 𝑥 ≥ 0 ∧ 25 − 𝑥2
≥ 0
𝑥 ≥ 0 ∧ 𝑥2
− 25 ≤ 0
𝑥 ≥ 0 ∧ (𝑥 + 5)(𝑥 − 5) ≤ 0
C.S. [𝟎; +∞[ ∧ C.S. [– 𝟓; 𝟓]
Entonces el Dom (f)= [𝟎; 𝟓]
Lo que fácilmente se observa en la grafica de la función f(x):
-5 5

EJERCICIOVII
Por lo tanto el enunciado (a) es falso.
a) La función 𝑓( 𝑥) = −4𝑥2
+ 6, la función es decreciente en 𝑥 ∈] − ∞;0[
Veamos la grafica de f(x):
f(x)=-4x^2+6
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
En la gráfica se puede observar que es creciente en el intervalo donde 𝑥 ∈] − ∞; 0[.
Por lo tanto el enunciado (b) es falso
a) Dada la función 𝑓( 𝑥) = −4𝑥2
+ 6, luego el rango de la función 𝑦 ∈ [6; −∞[
El rango de una función son los posibles valores que puede tomar y = f(x).
Como f(x) es una función polinomial su dominio es todos los números reales R.
Además: 𝑥2 ≥ 0 ; para cualquier valor de 𝑥 ∈ 𝑅
−𝟒𝒙 𝟐 ≤ 𝟎 … multiplicando la desigualdad por un numero negativo.
−𝟒𝒙 𝟐 + 𝟔 ≤ 𝟔 … sumando 6 a la desigualdad
𝑓(𝑥) ≤ 6
Por lo tanto: Ran (f)=]−∞; 𝟔]

EJERCICIOVII a) La función 𝑓( 𝑥) = 3𝑥2
− 𝑥 + 5 siempre es positiva.
Análogamente al problema anterior:
𝑥2
≥ 0 … se cumple para todo número real. (es decir todo número
elevado al cuadrado es positivo)
3𝑥2
− 𝑥 + 5 = 3 𝑥2
−
1
3
𝑥 + 5
= 3 (𝑥 −
1
6
)2
−
1
36
+ 5
= 𝟑 (𝒙 −
𝟏
𝟔
) 𝟐
+
𝟏𝟕𝟗
𝟑𝟔
𝒙 −
𝟏
𝟔
𝟐
≥ 𝟎 … se verifica ya que (𝑥 −
1
6
) ∈ 𝑅
(𝒙 −
𝟏
𝟔
) 𝟐
+
𝟏𝟕𝟗
𝟑𝟔
≥
𝟏𝟕𝟗
𝟑𝟔
… sumando
179
36
a la desigualdad
3 𝒙 −
𝟏
𝟔
𝟐
+
𝟏𝟕𝟗
𝟑𝟔
≥ 𝟑.
𝟏𝟕𝟔
𝟑𝟔
… multiplicando por (3) a la desigualdad.
3 𝒙 −
𝟏
𝟔
𝟐
+
𝟏𝟕𝟗
𝟑𝟔
≥
𝟏𝟕𝟔
𝟏𝟐
≥ 𝟎 …. Ya que
176
12
es positivo.
3 𝒙 −
𝟏
𝟔
𝟐
+
𝟏𝟕𝟗
𝟑𝟔
≥ 𝟎
𝟑𝒙 𝟐 − 𝒙 + 𝟓 ≥ 𝟎
𝒇(𝒙) ≥ 𝟎 … para todo valor de x ∈ R
Por lo tanto f(x) es positivo para cualquier valor de “x”.

EJERCICIOVIII
SOLUCION:
1. f(x) =
𝑥
𝑥2−81
El dominio de la función f(x) son todos los valores de x donde f(x) exista.
Como f(x) es una división de dos funciones polinomiales y como sabemos que las funciones
polinomiales tienen como dominio a todos los reales (R).
Solo bastara restringir los valores para los cuales el denominador se hace cero. Ya que si no lo
hacemos quedara una indeterminación.
𝑥2
− 81 ≠ 0
(𝑥 + 9)(𝑥 − 9) ≠ 0
𝑥 ≠ −9 ∧ 𝑥 ≠ 9
Entonces el dominio de f(x) es : Dom (f) = R – −9,9
f(x)=x/(x^2-81)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
2. f(x)=
𝑥
(𝑥−2) 𝑥−1
Veamos que valores de x hacen que el denominador sea cero:
( 𝑥 − 2) ≠ 0 ∧ 𝑥 − 1 ≠ 0
𝑥 ≠ 2 ∧ 𝑥 ≠ 1
Ahora veamos para que valores de x el denominador 𝑥 − 1 existe:
Como para que una raiz cuadrada exista el argumento debe ser mayor o igual que cero:
𝑥 − 1 ≥ 0
𝑥 ≥ 1

EJERCICIOVIIIDom(f)= [1;+∞[ − 1;2 = ]1;2[ ∪ ]2;+∞[
Lo que se ve claramente en la grafica: f(x)=x/((x-2)(x-1)^0.5)
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
3. f(x) =
𝑥+1
𝑥2−3𝑥+2
Análogamente al ejercicio 1 tanto el numerador como el denominador son polinomios.
Entonces analizamos los puntos donde el denominador es cero :
𝑥2
− 3𝑥 + 2 ≠ 0
(𝑥 − 1)(𝑥 − 2) ≠ 0
𝑥 ≠ 1 ∧ 𝑥 ≠ 2
Por lo tanto el Dom(f) = R – 1; 2
Lo que fácilmente en la grafica se puede observar:

EJERCICIOVIII
f(x)=(x+1)/(x^2-3x+2)
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
x
y
+ +-
4. f(x) = 𝑥2 + 𝑥 − 12
El dominio de la función raíz cuadrada son los valores donde el argumento es mayor o igual
que cero.
Entonces: 𝑥2 + 𝑥 − 12 ≥ 0
(𝑥 + 4)(𝑥 − 3) ≥ 0
𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠: 𝑥 = 4 ∧ 𝑥 = 3
-∞ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
+∞

EJERCICIOVIII
Lo que fácilmente en la grafica se puede observar:
f(x)=(x^2+x-12)^0.5
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y

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