Ejercicios transformada de laplace
8 recomendaciones38,759 vistas
Este documento presenta la resolución de un ejercicio sobre sistemas eléctricos modelados por ecuaciones diferenciales. Se halla la función de transferencia H(s) del sistema cuando la entrada es un impulso unitario. Luego, se calcula la carga q(t) cuando la entrada es un escalón de 300 voltios, y finalmente la corriente i(t) a partir de q(t). El proceso involucra aplicar transformadas de Laplace y sus propiedades para resolver las ecuaciones diferenciales.
![EJERCICIO.
Un sistema esta modelado bajo la siguiente ecuación diferencial:
)(2)(6
)()(
2
2
txty
dt
tdy
dt
tyd
Hallar la función de transferencia H(s) cuando la entrada x(t) es un impulso unitario.
Solución
y’’-y’-6y = 2x, entonces aplicando Laplace )(2)(6)()(2
sXsYssYsYs
)(2]6)[( 2
sXsssY , y por lo tanto se tiene
6
2
)(
)(
)( 2
sssX
sY
sH
)2)(3(
2
)(
)(
)(
sssX
sY
sH ; Aplicando la transformada inversa de Laplace:
11
)2)(3(
2
)(
ss
sH , y desarrollando por fracciones parciales:
32)2)(3(
2
)( 11
s
k
s
k
ss
sH
22
21
)3(
2
)3)(2(
2
)2()()2(
ss
s
sss
ssHsk
5
2
)32(
2
5
2
1 k](https://image.slidesharecdn.com/ejerciciostransformadadelaplace-130602221235-phpapp01/85/Ejercicios-transformada-de-laplace-6-320.jpg)
Ejercicios transformada de laplace
- 6. EJERCICIO. Un sistema esta modelado bajo la siguiente ecuación diferencial: )(2)(6 )()( 2 2 txty dt tdy dt tyd Hallar la función de transferencia H(s) cuando la entrada x(t) es un impulso unitario. Solución y’’-y’-6y = 2x, entonces aplicando Laplace )(2)(6)()(2 sXsYssYsYs )(2]6)[( 2 sXsssY , y por lo tanto se tiene 6 2 )( )( )( 2 sssX sY sH )2)(3( 2 )( )( )( sssX sY sH ; Aplicando la transformada inversa de Laplace: 11 )2)(3( 2 )( ss sH , y desarrollando por fracciones parciales: 32)2)(3( 2 )( 11 s k s k ss sH 22 21 )3( 2 )3)(2( 2 )2()()2( ss s sss ssHsk 5 2 )32( 2 5 2 1 k
- 7. 33 32 )2( 2 )3)(2( 2 )3()()3( ss s sss ssHsk 5 2 )23( 2 5 2 2 k 3 1 5 2 2 1 5 2 )2)(3( 2 )( ssss sH 111 3 1 5 2 2 1 5 2 )( ss sH tt eeth 32 5 2 5 2 )( EJERCICIO El sistema eléctrico mostrado en la figura tiene como modelo matemático la siguiente ecuación a) Hallar la función de transferencia del sistema (condiciones iniciales iguales a cero). Solución: Condiciones iniciales q(0)=0, q’(0)=0, i(0)=0. q C RqLq 1 ''' L q CL q L R q L L 1 ''' L q CL q L R q 1 ''' Aplicando la transformada de Laplace L Lq CL q L R qL 11 1 ''' )( )( )( 1 )( tv dt tdi Ldtti C tRi i ? )( )( )( sV sQ sH i salidatq entradatv FC HL R i )( )( 02.0 2 16 dt tdq ti )( )( queolvidarNoNota.
- 8. L sV sQ LC qssQ L R qsqsQs )( )( 1 )0()()0(')0()(2 L sV sQ LC ssQ L R sQs )( )( 1 )()(2 LC s L Rs L sV sQ 1 1 )( )( 2 Reemplazando para L=2, R=16 y C=0.02, tenemos que: 258 2 1 )02.0(2 1 2 16 2 1 )( )( 22 sssssV sQ b) Encontrar la carga q(t) (la salida) en cualquier tiempo t>0 si la entrada es un paso (escalón) de 300 voltios. Solución Ahora bien si la entrada es v=300(t) (señal escalón o paso de amplitud 300). Y la s LtL 300 300)(300 11 )(300 tv , s sVtvL 300 )()(1 sss sV ss sQ 300 258 2 1 )( 258 2 1 )( 22 )258( 150 )( 2 sss sQ Para hallar la carga q(t) se aplica la transformada inversa de Laplace, ya que )()(1 tqsQL se debe realizar el desarrollo en fracciones parciales. Para encontrar q(t) a partir de )258( 150 )( 2 sss sQ , se pueden utilizar Diferentes Métodos. Se va explicar y aplicar cada método, paso por paso: Método I; Fracciones parciales mediante ecuaciones algebraicas: cbxx BAx 2 258)258( 150 2 321 2 ss ksk s k sss se multiplican ambos miembros por el mínimo común denominador s(s2 +8s+25): 258 )258()()258( )258( )258(150 2 2 32 2 1 2 2 ss sssksk s sssk sss sss skskssk )()258(150 32 2 1 ; se encuentra k1 sustituyendo s=0: )0)()0(()25)0(80(150 32 2 1 kkk 61 k Reemplazando k1=6 y desarrollando los factores, se obtiene: )()258(6150 32 2 ksksss
- 9. skskss 3 2 2 2 150486150 150)48()6(150 3 2 2 sksk ; aquí se igualan los coeficientes de potencias iguales de s lo que da: 062 k 0483 k 150150 Substituyendo los valores de k1, k2 y k3, en 258)258( 150 2 321 2 ss ksk s k sss se obtiene: 22222222 3)4( 24 3)4( )4(66 3)4( 24)4(66 258 4866 258 4866 ss s ss s sss s sss s s 2222 3)4( 3 8 3)4( )4( 6 6 ss s s 2222 3)4( 3 8 3)4( )4( 6 6 )( ss s s sQ Se aplica transformada inversa: NOTA 1 significa INVERSA DE LAPLACE 1 22 1 22 11 3)4( 3 8 3)4( )4( 6 6 )( ss s s sQ 1 22 1 22 11 3)4( 3 8 3)4( )4( 6 1 6)( ss s s sQ ; Para solucionar, ver la tabla de transformadas de Laplace. )3(8)3(6)1(6)()( 44 1 tSenetCosetqsQ tt )3(8)3(66)( 44 tSenetCosetq tt c) Calcular la corriente i(t) de acuerdo a los resultados obtenidos en el punto anterior. Solución Ahora se debe hallar dt tdq ti )( )( : )3(8)3(6)6( )( 44 tSene dt d tCose dt d dt d dt tdq tt tttt e dt d tSentSen dt d ee dt d tCostCos dt d e dt tdq 4444 )3()3(8)3()3(6)0( )( 62 k 483 k
- 10. tttt etSentCoseetCostSene dt tdq 4444 4)3()3(384)3()3(36)0( )( )3(4)3(38)3(4)3(36 )( 4444 tSenetCosetCosetSene dt tdq tttt )3(32)3(24)3(24)3(18 )( 4444 tSenetCosetCosetSene dt tdq tttt )3(32)3(18 )( 44 tSenetSene dt tdq tt )3(50)( 4 tSeneti t Método II; Fracciones parciales usando la relación: 2222 )( 2 )( )(2 s y s sx js jyx js jyx )258( 150 )( 2 sss sQ , se hallan las raíces de la ecuación cuadrática s2 +8s+25. 2 68 2 368 2 100648 )1(2 )25)(1(488 2 4 22 j a acbb s 34 2 6 2 8 j j , de aquí que 342,1 js . )34()34()258( 150 )( * 21 2 js k js k s k sss sQ 0 2 0 201 )258( 150 )258( 150 )( ss s sssss sssQK 25 150 25)0(8)0( 150 2 61 k , igual al k1 encontrado mediante el otro método. 34 34 )34)(34( 150 )34()()34( js js jsjss jssQjsk 1824 150 )6)(34( 150 )3434)(34( 150 )34( 150 2 34 jjjjjjjjss js 2418 150 j , Racionalizando el denominador se tiene: 576324 36002700 576432432324 36002700 2418 2418 2418 150 2 j jjj j j j j
- 11. 9 36 9 27 900 36002700 j j 43 jk y su conjugado será 43* jk Reemplazando k1, k y k* , en la ecuación general, se obtiene: )34( 43 )34( 436 )34()34()258( 150 )( * 21 2 js j js j sjs k js k s k sss sQ haciendo uso de la relación, donde x=-3, y=-4, =4 y =3; se obtiene que: 2222 )( 2 )( )(2 s y s sx js jyx js jyx 22222222 3)4( 3 8 3)4( )4( 6 3)4( )4)(3(2 3)4( )4)(3(2 ss s ss s 2222 3)4( 3 8 3)4( )4( 6 6 )( ss s s sQ , aplicando la transformada inversa para obtener q(t): 1 22 1 22 11 3)4( 3 8 3)4( )4( 6 6 )( ss s s sQ 1 22 1 22 11 3)4( 3 8 3)4( )4( 6 1 6)( ss s s sQ ; Para solucionar, ver la tabla de transformadas de Laplace. )3(8)3(6)1(6)()( 44 1 tSenetCosetqsQ tt )3(8)3(66)( 44 tSenetCosetq tt La cual es idéntica a la obtenida por el método anterior. )3(50)( 4 tSeneti t d) Si vi(t)=100Sen(3t), hallar q(t) e i(t): 22 3 3 100)()3(100)3(100)( s sVtSentSentv 258 2 1 )( )( 2 sssV sQ ; Reemplazando V(s) 9 300 258 5.0 )( 22 sss sQ
- 12. )9)(258( 150 )( 22 sss sQ , utilizando cualquiera de los métodos expuestos anteriormente se encuentra que: 2222222222 3)4( 4 52 75 3)4( 1 26 75 352 75 3 1 26 75 )9)(258( 150 )( s s ss s ssss sQ aplicando la transformada inversa, tenemos: )3( 52 75 )3( 26 25 )3( 52 75 )3( 26 25 )( 44 tCosetSenetSentSentq tt )3(2)3(3 52 25 )3(3)3(2 52 25 )( 4 tSentCosetCostSentq t )3(17)3(6 52 25 )3(3)3(2 52 75)( )( 4 tSentCosetSentCos dt tdq ti t e) Halle la respuesta impulso. Solución Nota: Significa La TRANSFORMADA DE LAPLACE 1)()()()()( sVttvttv 258 2 1 )( )( 2 sssV sQ ; Reemplazando V(s) )1( 258 5.0 )( 2 ss sQ Esta es la respuesta impulso. Método ; Fracciones Parciales : )34()34(258 5.0 )()( * 1 2 js k js k ss sHsQ 34 34 1 )34( 5.0 )34)(34( 2 1 )34( js js jsjsjs jsk k1 j jjj 12 1 6 5.0 3434 5.0 , no olvidar que j j 1 12 1 1 jk y 12 1* jk )34( 12 1 )34( 12 1 )()( js j js j sHsQ , de aquí utilizando la relación, donde: x=0, y=1/12, =4, y =3.
- 13. 2222 )( 2 )( )(2 s y s sx js jyx js jyx 2222 3)4( )3( 12 12 3)4( )4)(0(2 ss s 22 3)4( 3 6 1 )()( s sHsQ , aplicando la transformada inversa, se obtiene: )3( 6 1 )()( 4 tSenethtq t Esta es la respuesta impulso. EJERCICIO Hallar la transformada de Laplace de la siguiente señal periodica función: G(t)= SOLUCION La grafica de la función G(t), es : Periodo T=2. Teorema visto en clase : Transformada de Laplace de una función periódica es : T sT sT dttGe e tG 0 )( 1 1 )( . En las tablas de transformada se encuentra esta relación. 2 02 2 02 )0()( 1 1 )( 1 1 )( dtedttSene e dttSene e tG sTsT s sT s Sen(t), 0<t< 0, <t<2
- 14. 02 )( 1 1 )( dttSene e tg sT s , podemos resolver la integral 0 )( dttSene sT de dos formas o métodos, usando integración por partes o utilizando la formula que se vio en clase, la cual estaba escrita en el tablero el día del parcial: )()()( 2222 bxCose ba b bxSene ba a bxSene axaxax , donde a=-s y b=1. Se resolverá el problema utilizando la ecuación anterior, por ser el método más rápido: 0 2222 )( 1)( 1 )( 1)( )( tCose s tSene s s tSene ststst 0 22 )( 1 1 )( 1 tCose s tSene s s stst 0 2 )()( 1 tCostsSen s e st )0()0( 1 )()( 1 2 0 2 CossSen s e CossSen s e ss 1 1 1 1 1 1 1 1 )1( 1 22222 s e ss e ss e sss )1(1 1 1 1 1 1 )( 1 1 )( 222202 se e s e e dttSene e tg s ss s sT s )1(1 1 )( 22 se e sG s s También se puede solucionar integrando por partes pero la solución es más laborioso. EJERCICIO Con condiciones iniciales iguales a cero, la respuesta (de un sistema lineal invariante en el tiempo) a una entrada x(t)=Sen(2t), para t>0, esta dada por y(t)=2e-2t +Sen(2t)-2Cos(2t), para t>0, encontrar la función de transferencia. SOLUCION NOTA: Este símbolo significa Transformada de Laplace, NO una integral Nota: 4 2 )2()()( 2 s tSentxsX )2(2)2(2)()( 2 tCostSenetysY t )4)(2( 122 )4)(2( )2(2)2(2)4(2 4 2 4 2 2 2 22 2 22 ss s ss ssss s s ss